3.1 Aplicaciones del método de "Monte Carlo"

Métodos o Técnicas
de simulación
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Métodos o Técnicas de
simulación
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1. Resumen del documento........................................................................................................ 3
2. Listado de técnicas de simulación ....................................................................................... 3
3. Estado del arte ........................................................................................................................... 4
3.1 Aplicaciones del método de "Monte Carlo"..................................................................... 4
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1. Resumen del documento
2. Listado de técnicas de simulación
A continuación se nombran las técnicas o métodos de simulación encontradas en
la etapa de búsqueda.
Técnicas de Simulación en la actualidad
El presente decumento se desarrolla en base a los siguientes métodos:(se puede
actualizar)
 Método de Monte Carlo
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3. Estado del arte
3.1 Aplicaciones del método de "Monte Carlo"
El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico
usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar
con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo
(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un
generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de
los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron
enormemente con el desarrollo de la computadora.
El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación,
proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la
segunda guerra mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE.UU.
Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de
hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fusión, la
cual posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte
fundamental de los algoritmos de trazado de rayos para la generación de
imágenes sintéticas.
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3.1.1. Aplicación en trazado de rayos
El trazado de rayos es una técnica utilizada para generar imágenes 3d con un
gran realismo, a partir de modelos 3d con o sin textura.
El algoritmo de trazado de rayos de Monte Carlo modificado original consta de tres
etapas:
La generación de los rayos, el procesado de las reflexiones y el cálculo de la
respuesta al impulso del canal.
Los rayos son generados desde la posición del emisor, siguiendo una distribución
de probabilidad derivada a partir del patrón de emisión: cuando un rayo incide
sobre un obstáculo éste se convierte en un nuevo emisor y se genera un nuevo
rayo, en este caso reflejado, calculando siempre en cada reflexión la contribución
de potencia sobre el receptor. El proceso continua hasta que el rayo haya
experimentado el número máximo de rebotes a analizar o su tiempo de vuelo
sobrepase la duración de la ventana de tiempo especificada de inicio para la
respuesta al impulso a calcular. A continuación, un ejemplo en pseudo-código de la
estructura básica del algoritmo:
Estructura del algoritmo de Monte Carlo modificado básico
Begin
1. Generar nuevo rayo (t=0, P=1)
2. Lazo while t<tMAX
- Propagar rayo hasta el primer obstáculo (t = t + d/c)
- Reducir potencia del rayo usando el coeficiente de reflexión (P=rP)
- Calcular la contribución desde ese punto al receptor
- Generar rayo desde el nuevo punto
End
3. Repetir pasos 1 y 2 para un número de rayos NR, hasta que la varianza de la
respuesta al impulso obtenida sea aceptable
End
3.1.2. Aplicación en sistemas moleculares
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Este método de Montecarlo se puede aplicar a sistemas moleculares, prediciendo
una amplia cantidad de propiedades en las estructuras de las moléculas. Dicha
aplicación consiste en introducir números aleatorios en diferentes cálculos, lo cual
permite simular efectos "térmicos" variables.
El método de Montecarlo (MC) se aplica a sistemas moleculares para: predecir los
valores promedio de las propiedades de estructuras en medios térmicos; estimar
la distribución de cargas en moléculas; calcular constantes cinéticas de reacción,
energías libres, constantes dieléctricas, coeficientes de compresibilidad,
capacidades caloríficas y puntos de cambio de estado; etc.
Variantes del MC se usan para resolver problemas muy diversos. De todas ellas,
en el caso de los cálculos computacionales relacionados con sistemas
moleculares, las más importantes son las siguientes:
(1) Método Clásico (Classical Monte Carlo, CMC): aplicación de distribuciones de
probabilidades (generalmente la distribución clásica de Maxwell y Boltzmann) para
obtener propiedades termodinámicas, estructuras de energía mínima y constantes
cinéticas;
(2) Método Cuántico (Quantum Monte Carlo, QMC): uso de trayectorias aleatorias
para calcular funciones de onda y energías de sistemas cuánticos y para calcular
estructuras electrónicas usando como punto de partida la ecuación de
Schroedinger;
(3) Método de la Integral a lo largo de la Trayectoria (Path-Integral Quantum Monte
Carlo, PIMC): cálculo de las integrales de la Mecánica Estadística Cuántica para
obtener propiedades termodinámicas y constantes cinéticas usando como punto
de partida la integral a lo largo de la trayectoria de Feynman;
(4) Método Volumétrico (Volumetric Monte Carlo, VMC): uso de números aleatorios
y cuasi-aleatorios para generar volúmenes moleculares y muestras del espacio de
fase molecular);
(5) Método de Simulación (Simulation Monte Carlo, SMC): uso de algoritmos
aleatorios para generar las condiciones iniciales de la simulación de trayectorias
cuasi-clásicas o para introducir efectos estocásticos ("termalización de las
trayectorias") en Dinámica Molecular. (El así llamado "Método Cinético" —Kinetic
Monte Carlo, KMC— es uno de los SMC.)
El MC es es uno de los métodos con que cuentan la Física Cuántica y la Química
Cuántica para resolver los problemas que involucran múltiples cuerpos (manybody problems). En el caso de los sistemas en estado condensado, se emplean
unas cuantas variantes, tales como el Método de la Integral a lo largo de la
Trayectoria (Path Integral Monte Carlo, PIMC), el Método de Difusión (Diffusion
Monte Carlo, DMC), el Método de las Funciones de Green (Green's Function
Monte Carlo, GFMC) y el Método Variacional (Variational Monte Carlo, VMC).
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3.1.3. Aplicación del Método de Monte Carlo en el Análisis de Riesgo
de los Proyectos
El método de Monte Carlo incorporada a los modelos financieros aproximaciones
para las distribuciones de probabilidades de los parámetros que están siendo
estudiados.
El método de Monte Carlo es una herramienta de investigación y planeamiento;
básicamente es una técnica de muestreo artificial, empleada para operar
numéricamente sistemas complejos que tengan componentes aleatorios.
Esta metodología provee como resultado, incorporada a los modelos financieros,
aproximaciones para las distribuciones de probabilidades de los parámetros que
están siendo estudiados.
Para ello son realizadas diversas simulaciones donde, en cada una de ellas, son
generados valores aleatorios para el conjunto de variables de entrada y
parámetros del modelo que están sujetos a incertidumbre. Tales valores aleatorios
generados siguen distribuciones de probabilidades específicas que deben ser
identificadas o estimadas previamente.
Esta información será fundamental como respaldo de al decisiones gerenciales; no
pueden quedar dudas que el conocimiento de la probabilidad de ocurrencia de
toda la gama de posibles rendimientos, brinda una cierta seguridad de que la
información disponible ha sido empleada con la máxima eficacia.
Simulación de Monte Carlo en Excel
De forma simplificada, se puede aplicar el Modelo de Monte Carlo en el Excel de
la siguiente forma:
1. Estimar la escala de valores que podría alcanzar cada factor, y la probabilidad
de ocurrencia asociada a cada valor.
2. Elegir, aleatoriamente, uno de los valores de cada factor, y dependiendo de la
combinación seleccionada, computar la tasa de rendimiento resultante.
3. Repetir el mismo proceso una y otra ves, la cantidad de veces que sea
necesaria, que permita definir y evaluar la probabilidad de ocurrencia de cada
posible tasa de rendimiento. Como existen millones de posibles combinaciones de
factores, necesitamos efectuar un número de pruebas suficientemente grande
para que pueda apreciarse la posibilidad de ocurrencia de las varias tasas de
rendimiento. El resultado a que se llegará será una lista de distintas tasas de
rendimiento que podrían lograrse, que puede variar desde una pérdida (si los
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factores son adversos) hasta la ganancia máxima que sea posible lograr conforme
con los pronósticos que se hayan efectuado.
4. Se calcula la tasa media esperada, que es el promedio ponderado de todas las
tasas resultantes de las sucesivas pruebas realizadas, siendo la base de
ponderación la probabilidad de ocurrencia de cada una.
5. También se determina la variabilidad de los valores respecto del promedio, lo
que es importante porque a igualdad de otros factores, la empresa
presumiblemente preferirá los proyectos de menor variabilidad.
Dependiendo de la política de decisión, el proceso lo podremos aplicar a la tasa
interna de retorno o al valor actual neto. Los ejercicios aquí presentados trabajan
en base al valor actual neto.
Ejemplo para distribuciones discretas (el de distribuciones continuas es mucho
más complejo):
Bastaría colocar la distribución discreta basada en la función de probabilidad
acumulada (entre 0% y 100%), generar un aleatorio ( por la función =aleatorio()) y
, por ejemplo, a través de una función de búsqueda y referencia (buscarv())
identificar el valor correspondiente.
Usando una función de buscar y referencia, como buscarv. del Excel, podríamos
generar aleatorios y así aseguramos la aleatoriedad de las cantidades obtenidas, y
que luego de "n" simulaciones ("n" no debería ser menor a 1.000) , permitiría
calcular el promedio y el riesgo de la distribución.
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Si hacemos mil simulaciones encontraremos que el promedio y el riesgo tienden a
estabilizarse próximos a los valores poblacionales anteriormente calculados.
Para realizar una tabla de estas simulaciones se puede realizar una macro; la cual
valla tomando los valores, los lleve a otra hoja (usando el pegado especial para
pasar las fórmulas a valores); para esta misma macro debe usar las posiciones
relativas para que se vallan incorporando los registros.
Juntando el gráfico de los números de simulaciones con los valores del promedio y
el desvío, puede verse que a partir de las 200 simulaciones los valores se
estabilizan.
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3.1.4. Aplicación del método de Monte Carlo en finanzas y economía.
La valuación y cobertura de las opciones son temas que en los últimos veinte años han
adquirido una gran importancia.
El problema de la valuación puede ser analizado tanto desde un marco probabilístico
como desde el punto de vista de las ecuaciones en derivadas parciales. Desde el
probabilístico, valuar una opción se reduce al cálculo de una esperanza de una función
continua aplicada a un proceso estocástico, mientras que determinar la cobertura implica
el cálculo de la derivada de dicha esperanza. Para buena parte de las opciones la
valuación y el cálculo de la cobertura no pueden hacerse en forma exacta, hay que
aproximarlas por medio de métodos numéricos. Entre ellos, el más popular es el método
de Monte-Carlo que consiste en aproximar la esperanza por medio de la media muestral
de una muestra
de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.
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