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ECONOMETRÍA APLICADA
Facultad de Ciencias
Económicas y Empresariales
3
REGRESIÓN CON SERIES TEMPORALES
José Alberto Mauricio
Departamento de Fundamentos del Análisis Económico II
EctrAp-JAM-TR3.pdf
COPYRIGHT  2012-2016 José Alberto Mauricio
E-mail: [email protected]
Versión 4.0 - Septiembre 2016
II
3
REGRESIÓN CON SERIES TEMPORALES
BIBLIOGRAFÍA
Hill, Griffiths, Lim (2011): Capítulos 9, 12.
Peña (2010): Capítulos 17, 18.
III
CONTENIDO
Introducción ....................................................................................................................... 1
3.1
3.2
Objetivos ............................................................................................................... 1
Series Estacionarias y Series No Estacionarias .................................................. 1
Regresión con Series Estacionarias ................................................................................ 2
3.3
3.4
Modelos de Regresión con Autocorrelación ......................................................... 2
Modelos ADL ........................................................................................................ 6
Regresión con Series No Estacionarias ........................................................................ 14
3.5
3.6
Regresión Espuria .............................................................................................. 14
Cointegración ..................................................................................................... 14
Resumen ........................................................................................................................... 17
IV
ECONOMETRÍA APLICADA
3 REGRESIÓN CON SERIES TEMPORALES
INTRODUCCIÓN
3.1 OBJETIVOS
Los habituales en el análisis de regresión (evaluación de efectos causales, previsión, …), con
atención especial a las posibles relaciones dinámicas entre las variables consideradas.
3.2 SERIES ESTACIONARIAS Y SERIES NO ESTACIONARIAS
Una serie temporal estacionaria es en este Tema 3 una serie con un nivel medio y una
dispersión que son constantes (es decir, una serie estacionaria en varianza).
Una serie temporal no estacionaria es en este Tema 3 una serie sin estacionalidad, con un
nivel medio general que no es constante, pero con una dispersión que sí lo es.
Observación 1: El único tipo de no estacionariedad que se considera en este Tema 3 es el que permite convertir a una
serie no estacionaria en estacionaria aplicándole un número adecuado d ³ 1 de diferencias regulares. Por lo tanto, se
supone implícitamente que si una serie requiere alguna transformación de Box-Cox (típicamente un logaritmo
neperiano), o una diferencia estacional (o ambas cosas), para hacerla estacionaria, dichas transformaciones ya han sido
tenidas en cuenta previamente. Es habitual referirse a series no estacionarias de este tipo como series integradas de
orden d, ó I(d ) . También suele decirse que una serie estacionaria es una serie integrada de orden 0, ó I(0).
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3 REGRESIÓN CON SERIES TEMPORALES
REGRESIÓN CON SERIES ESTACIONARIAS
3.3 MODELOS DE REGRESIÓN CON AUTOCORRELACIÓN
Ejemplo ST11.1 - Datos
 Grácos GY1, GY2, GX1, GX2, GYX1, GYX2.
Ejemplo ST11.2 - Modelo RLS con Autocorrelación
 Modelo MCO.
 Grácos GRESMCO1, GRESMCO2, GRESMCO3  residuos autocorrelacionados.
3.3.1 Definición
Covarianzas (correlaciones) distintas de cero entre las perturbaciones de un modelo.
3.3.2 Consecuencias
Las mismas que cuando las perturbaciones son heteroscedásticas (en ambos casos, la matriz
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de varianzas-covarianzas de las perturbaciones deja de ser una matriz escalar):
Y = Xb + U , con E[ U | X ] = 0 , pero Var[ U | X ] = s 2 W con W =
/ I.
Por lo tanto:
ˆ W ] = b , pero
E[ b
ˆ W ] = s 2 ( X ¢X )-1 X ¢WX ( X ¢X )-1 =
/ s 2 ( X ¢X )-1 .
Var[ b
Ningún resultado de la RLM basado en la expresión s 2 ( X ¢X )-1 para Var[ b̂ W ] es
aplicable ahora (por ejemplo, el Teorema de Gauss-Markov). Además, cualquier cálculo
ˆ W es incorrecto (por
basado en la estimación sˆ2 ( X ¢X )-1 de la matriz de covarianzas de b
ejemplo, los errores estándar habituales de los estimadores MCO).
3.3.3 Detección
 Grácos de residuos. ACF-PACF residuales.
Observación 2: Para determinar si las G primeras autocorrelaciones simples de las perturbaciones de un modelo de
regresión son conjuntamente signicativas, suele emplearse el valor calculado del estadístico de Ljung-Box
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r i (uˆt )2
,
QLB (uˆt ) = n (n + 2) å
n
i
i =1
G
donde n es el número de residuos uˆt disponibles. Bajo la hipótesis nula de que r1 (U t ) = r 2 (U t ) = ... = rG (U t ) = 0 ,
el estadístico de Ljung-Box sigue aproximadamente una distribución 2 (G ) .
 Contraste de Breusch-Godfrey.
Observación 3: El contraste de Breusch-Godfrey se emplea prácticamente en cualquier situación para contrastar la
hipótesis de que las perturbaciones de un modelo de regresión no están autocorrelacionadas, frente a la alternativa de
que sí lo están hasta un orden P determinado:
1.
Estimar el modelo de regresión considerado por MCO y guardar los residuos uˆ1 , uˆ2 , ..., uˆN .
2.
Estimar por MCO la regresión auxiliar (con término constante) de uˆt sobre x t 2 , ..., x tK , uˆt -1 , ..., uˆt -P y guardar
el coeciente de determinación normal Rû2 de esta regresión auxiliar.
Calcular BG = N ´ Rû2 y el p-value Pr[ 2 (P ) ³ BG ] ; alternativamente, calcular el estadístico FBG para el
contraste de signicación conjunta de uˆt -1 , ..., uˆt -P en la regresión auxiliar anterior y el p-value
Pr[ F (P , N - K - P ) ³ FBG ]; si el p-value es sucientemente pequeño (menor que el nivel de signicación
escogido), rechazar la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación.
Los cálculos referidos a BG y FBG se pueden llevar a cabo con EViews seleccionando en la ventana donde se
encuentra el modelo original estimado por MCO View  Residual Tests  Serial Correlation LM Test... y escribiendo en la
celda Lags to include: el valor de P.
Ejemplo ST11.3: (1) Repasar GRESMCO1, GRESMCO2, GRESMCO3. (2) Contraste de Breusch-Godfrey en modelo MCO.
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3.3.4 Utilización Adecuada de MCO
ˆ W ] frente
El Estimador de Newey-West es un estimador robusto (consistente) de VarAs[ b
a cualquier tipo de autocorrelación y heteroscedasticidad:
ˆW ] =
ˆ b
VarAs[
1
N
ˆ -1 S
ˆ NW Q
ˆ -1 ,
Q
donde
ˆ º
Q
ˆ NW º
S
1
N
1
N
åiN=1 Xi Xi¢ =
1
N
X ¢X,
åiN=1 Uˆi 2 Xi Xi¢ + åhH=1 ( 1 - Hh+1 ) ( N1 åiN=-1h éë UˆiUˆi +h ( Xi Xi¢+h + Xi +h Xi¢ ) ùû ) .
H £ N - 1 es tal que Cov[U i , U i +h ] = 0 para h > H . En la
práctica, H se escoge como la parte de entera del número 4( N / 100)2 /9 , o bien como la parte entera del número N 1 / 4 .
Observación 4: En esta fórmula para ŜNW , el número
Observación 5: Un ajuste muy común del estimador ŜNW cuando se emplea con muestras cortas, consiste en
multiplicar ŜNW por N N
(este ajuste está implementado, por ejemplo, en EViews, así como la primera de las dos
-K
sugerencias del nal de la Observación 4 para escoger H en ŜNW ).
Ejemplo ST11.4: Modelo MCONW: Comparar estimaciones (iguales), errores estándar (distintos) y residuos (iguales) con
los del modelo MCO.
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3.4 MODELOS ADL
3.4.1 Modelo ADL(1,1)
Yt = b0 + b1Yt -1 + g 0 Xt + g1 Xt -1 + U t , con b1 < 1.
[1]
Ejemplo ST11.5: Modelo ADL: (1) Grácos GRESADL1, GRESADL2, GRESADL3. (2) Contraste de Breusch-Godfrey.
3.4.2 Modelo ADL(1,1) - Funciones de Respuesta
Yt - b1Yt -1 = b0 + g 0 Xt + g1 Xt -1 + U t .
 Representación en términos de los retardos de Xt :
(1 - b1 B )Yt = b0 + ( g 0 + g1 B )X t + U t .
g + g1 B
b0
Yt =
Xt + Vt = m0 + v ( B )Xt + Vt , con
+ 0
1 - b1
1 - b1B
g + g1 B
v (B ) º 0
º v 0 + v1 B + v 2 B 2 + ...
1 - b1 B
Yt = m0 + v 0 Xt + v1 Xt -1 + v 2 Xt -2 + ... + Vt .
Observación 6 - IRF / SRF: La representación [3] del modelo ADL(1,1) puede escribirse como
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[2]
[3]
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Yt = m0 + (v0 + v1B + v2 B 2 + ...)Xt + Vt = m0 + v (B )Xt + Vt ,
de manera que [3] representa una relación de causalidad unidireccional del tipo ( Xt -k )  (Yt ) (k ³ 0), a través de la
función de transferencia u ( B ) º v 0 + v1 B + v 2 B 2 + ... º å k¥= 0 uk B k del input (Xt ) sobre el output (Yt ) . La
secuencia u0 , u1 , u2 , ... de coecientes de u(B ) se denomina la función de respuesta al impulso (IRF, del inglés
Impulse Response Function), en el sentido de que uk = ¶Yt / ¶Xt -k = ¶Yt +k / ¶Xt para todo k ³ 0.
Las guras de la página siguiente contienen la IRF asociada con varias funciones de transferencia, así como la función
de respuesta al escalón (SRF, del inglés Step Response Function) ek º å ki =0 ui (k ³ 0) correspondiente. En todos los
casos, la ganancia a largo plazo (steady-state gain) m1 º v (1) º å k¥= 0 uk es igual a 1. (PRG09-IRF-SRF.prg)
En las guras se han utilizado las funciones de transferencia siguientes:
Panel A : u(B ) = 1 . Panel B : u(B ) = 0.5 + 0.5B . Panel C : u ( B ) = 0.25 + 0.5 B + 0.25 B 2 .
0.125 + 0.25B + 0.125B 2
0.25 + 0.25 B
0.5
u
B
=
Panel
F
:
(
)
u
B
=
.
Panel
E
:
(
)
.
.
Panel D : u ( B ) =
1 - 0.5 B
1 - 0.5 B
1 - 0.5 B
0.4 + 0.4 B
0.8
0.2 + 0.4 B + 0.2 B 2
Panel G : u( B ) =
. Panel H : u(B ) =
. Panel I : u ( B ) =
.
1 - 0.6B + 0.4 B 2
1 - 0.6B + 0.4 B 2
1 - 0.6 B + 0.4 B 2
Observación 7 - Casos Particulares: Si en [1] se supone que (U t )  IID(0, sU2 ) , entonces: (i) cuando b1 = g1 = 0 , [1] se
reduce a un modelo de regresión estático con perturbaciones IID; (ii) cuando g 0 = g1 = 0 , [1] es un modelo AR(1);
(iii) cuando g1 = - b1 g 0 , [1] se convierte en un modelo de regresión con perturbaciones AR(1) del tipo
Yt = m0 + g 0 X t + Vt , con Vt = b1Vt -1 + U t y (iv) cuando b1 = 1 y g1 = - g 0 , [1] se convierte en un modelo de
regresión estático entre Yt y  X t con perturbaciones IID del tipo Yt = b0 + g 0 X t + U t .
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IRF
SRF
IRF
SRF
IRF
SRF
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
0
14
0
14
0
14
PANEL A
IRF
0
14
0
14
PANEL B
SRF
IRF
0
PANEL C
SRF
IRF
SRF
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
0
14
0
14
0
14
PANEL D
IRF
0
14
0
14
PANEL E
SRF
IRF
0
SRF
IRF
SRF
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
14
0
PANEL G
14
0
14
0
PANEL H
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14
PANEL F
1
0
14
14
0
14
0
PANEL I
14
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3.4.3 Modelo ADL(1,1) - Equilibrio
Relación esperada (equilibrio) implícita en [1] con Y* º E[Yt ], X * º E[ X t ], E[U t ] = 0 :
Y* = b0 + b1Y* + g 0 X * + g1 X * , o bien
Y* =
g + g1
b0
X * = m0 + m1 X * .
+ 0
1 - b1
1 - b1
[4]
Observación 8: El parámetro m1 en [4] es la ganancia a largo plazo de la Observación 6 en el modelo ADL(1,1) [1]-[3].
3.4.4 Modelo ADL(1,1) - Representación ECM
Yt [ -Yt -1 ] = b0 + b1Yt -1 [ -Yt -1 ] + g 0 X t [ - g 0 X t -1 + g 0 X t -1 ] + g1 X t -1 + U t ,
Yt = b0 - (1 - b1 )Yt -1 + g 0 X t + ( g 0 + g1 )X t -1 + U t ,
g + g1
b0
é
ù
Yt = -(1 - b1 ) ê Yt -1 - 0
X t -1 ú + g 0 X t + U t ,
1 - b1
1 - b1
ëê
ûú
Yt = d (Yt -1 - m0 - m1 X t -1 ) + g 0 X t + U t , con
d1 º -(1 - b1 ), m0 º
g + g1
b0
, m1 º 0
.
1 - b1
1 - b1
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[5]
[6]
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El término de error o desequilibrio Yt -1 - m0 - m1 Xt -1 en [5] representa en qué medida no
se satisface en el momento t - 1 la relación esperada [4] (es decir, en qué medida Yt -1 no
satisface su relación de equilibrio [4] con X t -1 ).
Cuando d1 < 0 (  b1 < 1), el término de corrección de error d1 (Yt -1 - m0 - m1 X t -1 ) en
[5] indica que Yt varía con respecto a Yt -1 en la dirección adecuada para corregir en cada
momento t una parte del desequilibrio de Yt -1 con respecto a X t -1 , de manera que los
desequilibrios o errores son transitorios (no persistentes o estacionarios).
Un modelo como [5] se denomina un modelo de corrección de error (ECM, del inglés Error
Correction Model). El conjunto formado por [5]-[6] se denomina la representación ECM del
modelo ADL(1,1) descrito por [1]-[4].
3.4.5 Estrategia General con Series Estacionarias
 Estimar varios modelos ADL y seleccionar, entre aquellos cuyos residuos no presenten
autocorrelación, el que mejor ajuste proporcione (criterios de información). Con
frecuencia, un modelo ADL(1,1) es suciente.
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 Para el modelo ADL seleccionado, [i] representar las funciones de repuesta, [ii] estimar
la ganancia a largo plazo, [iii] escribir la relación de equilibrio estimada y representar
grácamente la serie de desequilibrios correspondientes, y [iv] escribir la representación
ECM estimada. Adicionalmente, un modelo ADL también puede utilizarse para calcular
o simular previsiones igual que con un modelo de regresión.
Ejemplo ST11.6 - Modelo ADL(1,1)
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 2001:02 2012:12
Included observations: 143 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
C
3.174433
0.545221
5.822284
Y(-1)
0.449531
0.075242
5.974486
X
-0.902156
0.097135
-9.287640
X(-1)
0.570787
0.113883
5.012024
R-squared
0.454578 Mean dependent var
Adjusted R-squared
0.442807 S.D. dependent var
S.E. of regression
1.151094 Akaike info criterion
Sum squared resid
184.1773 Schwarz criterion
Log likelihood
-221.0016 F-statistic
Durbin-Watson stat
2.083204 Prob(F-statistic)
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Prob.
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
3.880054
1.542083
3.146876
3.229752
38.61623
0.000000
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yt = bˆ0 + bˆ1yt -1 + gˆ0 x t + gˆ1x t -1 + uˆt ,
Modelo Estimado:
yt = 3.174 + 0.450yt -1 - 0.902 x t + 0.571x t -1 + uˆt ,
(0.545)
(0.075)
(0.097)
(0.114)
[7]
N = 143, sˆ = 1.151, AIC = 3.147, BIC = 3.230.
vˆ( B ) º
Función de Transferencia:
gˆ0 + gˆ1B
1-bˆ1B
IRF
Ganancia:
[8]
SRF
1.0
1.0
0.0
0.0
-1.0
-1.0
0
.
14
mˆ1 º vˆ(1) =
0
gˆ0 + gˆ1
1-bˆ1
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14
= -0.602.
[9]
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Equilibrio:
ECM:
3 REGRESIÓN CON SERIES TEMPORALES
y* = mˆ0 + mˆ1 x * =
bˆ0
1-bˆ1
+
gˆ0 + gˆ1
1-bˆ1
x * = 5.767 - 0.602 x * .
[10]
yt = dˆ (yt -1 - mˆ0 - mˆ1 x t -1 ) + gˆ0 x t + uˆt , con
dˆ1 º -(1 - bˆ1 ), mˆ0 º
bˆ0
1-bˆ1
, mˆ1 º
gˆ0 + gˆ1
1-bˆ1
.
yt = -0.550(yt -1 - 5.767 + 0.602 x t -1 ) - 0.902 x t + uˆt .
[11]
Observación 9: Las estimaciones de los parámetros d1 , m 0 y m1 que guran en [9]-[11], junto con los errores estándar
correspondientes, pueden calcularse estimando directamente por Mínimos Cuadrados No Linelaes la representación
ECM [5] del modelo ADL(1,1) [1]:
Dependent Variable: D(Y)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 2001:02 2012:12
Included observations: 143 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 5 iterations
D(Y) = C(1) * ( Y(-1) - C(2) - C(3) * X(-1) ) + C(4) * D(X)
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
C(1)
-0.550469
0.075242
-7.315992
C(2)
5.766783
0.576459
10.00381
C(3)
-0.601976
0.175862
-3.422996
C(4)
-0.902156
0.097135
-9.287640
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Prob.
0.0000
0.0000
0.0008
0.0000
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3 REGRESIÓN CON SERIES TEMPORALES
REGRESIÓN CON SERIES NO ESTACIONARIAS
El problema principal en un análisis de regresión con series no estacionarias reside en la
posibilidad de obtener resultados signicativos al estimar relaciones entre series que en
realidad no están relacionadas en absoluto. Dichas relaciones estimadas, que son tan sólo
aparentes, se denominan relaciones espurias porque carecen de autenticidad.
3.5 REGRESIÓN ESPURIA
Ejemplo en ST12-Espur.wf1. Indicador: residuos no estacionarios. [Estadísticos habituales.]
3.6 COINTEGRACIÓN
Como regla general, en un análisis de regresión no deben utilizarse series no estacionarias
para evitar el problema de la regresión espuria.
No obstante, existe una excepción importante a esta regla: el caso en el que las series no
estacionarias consideradas en el análisis están cointegradas.
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3 REGRESIÓN CON SERIES TEMPORALES
Observación 21: Cuando una serie no estacionaria sólo requiere una diferencia regular para hacerla estacionaria, suele
decirse que dicha serie es una serie I(1) (integrada de orden 1). Por su parte, una serie I(0) es una serie estacionaria.
Esta terminología se utiliza con mucha frecuencia en el análisis de series temporales cointegradas.
Se dice que dos series temporales I(1) (no estacionarias) están cointegradas cuando existe
una combinación lineal de dichas series que es I(0) (estacionaria).
Dos series I(1) están cointegradas cuando comparten una tendencia semejante y nunca se
alejan de manera persistente (tan sólo de forma transitoria) la una de la otra.
En otros términos, dos series I(1) están cointegradas cuando están sujetas a una relación
estable o de equilibrio entre ellas.
Aunque existen opciones más formales, la manera más sencilla de decidir si dos series I(1)
están cointegradas consiste en comprobar grácamente si los residuos de una RLS con
dichas series son estacionarios.
Ejemplo en ST13-Coint.wf1. Interpretación en términos de la transmisión de los efectos de la
política monetaria al resto de la economía.
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ECONOMETRÍA APLICADA
3 REGRESIÓN CON SERIES TEMPORALES
3.6.1 Modelos de Regresión para Series Cointegradas
Todo lo expuesto sobre regresión con series estacionarias es aplicable también al caso de la
regresión con series no estacionarias cointegradas.
Ejemplo en ST13-Coint.wf1. Modelo ADL(1,1): estimación, IRF/SRF, equilibrio, ECM.
3.6.2 Regresión con Series No Cointegradas
En este caso, la regla general consiste en transformar primero las series no estacionarias
consideradas en el análisis para hacerlas estacionarias, y proceder después como en el caso
del análisis de regresión con series estacionarias.
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ECONOMETRÍA APLICADA
3 REGRESIÓN CON SERIES TEMPORALES
RESUMEN
 Series Estacionarias, o No Estacionarias Cointegradas: En un análisis de regresión con
las series originales (sin diferenciar), no existe el riesgo de encontrar relaciones espurias.
En este caso, se debe utilizar las series sin diferenciar en el análisis de regresión que se
pretenda llevar a cabo [por ejemplo, estimar varios modelos ADL y seleccionar, entre
aquellos cuyos residuos no presenten autocorrelación, el que mejor ajuste proporcione
(criterios de información); con frecuencia, un modelo ADL(1,1) es suciente].
 Series No Estacionarias No Cointegradas: En un análisis de regresión con las series
originales (sin diferenciar), sí existe el riesgo de encontrar relaciones espurias. En este
caso, se debe diferenciar primero las series originales para hacerlas estacionarias, y
utilizar las series estacionarias en el análisis de regresión que se pretenda llevar a cabo.
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