FÍSICA Plan 95. Dept. F´ısica Aplicada Primer parcial (16-01

FÍSICA Plan 95.
Primer parcial (16-01-2009)
Dept. Fı́sica Aplicada
ETSECCPB
PROBLEMAS
1. Problema
Un gas ideal de peso molecular M y constante adiabática γ se encuentra encerrado entre dos superficies esféricas
concéntricas de radios r1 y r2 (r2 > r1 ) cuyas temperaturas son T1 y T2 , respectivamente (ver figura). Nos dicen
que la temperatura del gas depende de la distancia al origen r según la ley
b
T (r) = a + ,
r
siendo a y b dos constantes a determinar.
a) Determinar las constantes a y b en función de r1 , r2 , T1 y T2 .
Posteriormente nos dicen que r2 = 2r1 y que T2 = T1 /2.
b) Demostrar que en este caso a = 0 y expresar b en función de r1 y T1 .
En t = 0, la superficie de radio r1 sufre una pequeña expansión, generando una onda de presión que se
propaga en todas direcciones de forma homogénea.
c) Utilizando la expresión de la velocidad de propagación (adiabática) de las ondas longitudinales en un gas
junto con la ley T (r) = b/r del apartado (b), determinar la velocidad que tendrá la onda de presión a una
distancia arbitraria r del origen, con r ∈ (r1 , 2r1 ).
d ) Determinar el instante de tiempo en el que la onda de presión llega a la superficie externa de radio r2 .
Aclaración: El caso r2 = 2r1 y T2 = T1 /2 es aplicable en los apartados (b), (c) y (d). En el caso de no
haber obtenido el valor de b, expresar los resultados de los apartados (c) y (d) en función de esta constante
indeterminada. La constante R de los gases ideales se supone conocida.
r2
r
r1
T1
γ, M , T (r)
T2
2. Problema
Un gas ideal recorre el ciclo de la figura. Donde 1 → 2 es una isoterma, 2 → 3 un segmento de una recta que
pasa por el origen (como se puede ver) y 3 → 1 una transformación politrópica del tipo pV α = C. Se suponen
conocidos los valores de R, γ, Cv , α. Expresar todos los resultados en función de p1 , V1 , V2 .
a) Calcular los valores del volumen, la presión y temperatura en cada punto.
Se toma a partir de ahora α = 3.
b) Calcular la variación de energı́a interna, el trabajo realizado y el calor absorbido en cada una de las ramas
del ciclo.
c) Calcular la variación de entropı́a del sistema en cada una de las ramas del ciclo y su suma total.
d ) El ciclo toma calor de un foco a temperatura constante e igual a su temperatura máxima y lo cede a un foco
a temperatura constante e igual a su temperatura mı́nima. Calcular la variación de entropı́a del universo.
p
1
2
3
V
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS
1. Problema
a) Imponemos los valores de la temperatura en los radios:
a+
b
= T1 ,
r1
y
a+
b
= T2 .
r2
Restando ambas igualdades obtenemos el valor de b y sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de ellas
obtenemos a:
r1 r2
r2 T2 − r1 T1
b=
.
(T1 − T2 ) y a =
r2 − r1
r2 − r1
b) Para r2 = 2r1 y T2 = T1 /2, los valores de a y b son:
b=
r1 2r1
(T1 − T1 /2) → b = r1 T1 ,
2r1 − r1
a=
2r1 T1 /2 − r1 T1
=0 → a=0.
2r1 − r1
c) Hacemos uso de la expresión de la velocidad de las ondas de presión longitudinales:
c=
r
γRT (r)
→ c=
M
r
γRr1 T1
.
rM
d ) La onda de presión se propaga en todas direcciones con velocidad radial
dr
= βr−1/2 ,
dt
p
siendo β ≡ Rγr1 T1 /M . Por lo tanto, el diferencial de radio dr que avanza la onda en un diferencial de
tiempo dt es:
dr = βr−1/2 dt → r1/2 dr = βdt.
El frente de onda parte de r = r1 en t = 0. Integrando a ambos lados la relación diferencial anterior
obtenemos el tiempo T transcurrido hasta llegar a r2 = 2r1 :
Z
2r1
r1
r1/2 dr = β
Z
0
T
s
√
2
2(
8
−
1)r
M
1
3/2
dt →
= βT → T =
(2r1 )3/2 − r1
.
3
3
γRT1
2. Problema
Se puede hacer para n moles o para un solo mol porque no se dice nada sobre el número de moles. Aquı́ se hace
para n.
p1 V 1
.
nR
p1 V 1
Del punto 2 sólo falta conocer la presión, que vale p2 =
. La temperatura es T1 porque está en la
V2
misma isoterma que el punto 1.
Del punto 3 hay que calcularlo todo.
p2
Por estar en la recta que pasa por el 2 y el origen cumple: p3 =
V3 .
V
α 2
V1
.
Por estar en la misma politrópica que 1 cumple: p3 = p1
V3
Igualando las dos expresiones de p3 , se obtiene:
1
V3 = V1α−1 V22 α+1
a) Del punto 1 sólo falta conocer la temperatura, que vale T1 =
A partir de cualquiera de las expresiones de p3 , se obtiene el valor de p3 , que es:
2α
α+1
V1
p3 = p1
V2
A partir de pV = nRT aplicado al punto 3, se obtiene:
2 α−1
p1 V1 V1 α+1
T3 =
nR V2
Para operar se tomará:
T3 = T1
Para α = 3, las coordenadas del puntio 3 son: p3 = p1
b) Proceso 1 → 2:
2 α−1
V1 α+1
V2
r !3
p
p1 V12
V1
V1
= T1
< T1 .
, V3 = V1 V2 y T3 =
V2
nRV2
V2
∆U12 = 0 W12 = Q12 = nR ln
V2
>0
V1
Proceso 2 → 3:
∆U23 = nCv (T3 − T1 ) = nCv T1
p1 V 1 V 1
V1
− 1 =⇒ ∆U23 =
−1 <0
V2
γ − 1 V2
p3 V 3 − p2 V 2
nR(T3 − T1 )
(p2 + p3 )(V3 − V2 )
p1 V1 (γ + 1) V1
=
=
=⇒ W23 =
−1 <0
W23 =
2
2
2
2(γ − 1)
V2
p1 V1 (γ + 1) V1
p1 V 1 V 1
p1 V1 (γ + 1) V1
−1 +
− 1 =⇒ Q23 =
−1 <0
Q23 = ∆U23 + W23 =
γ − 1 V2
2(γ − 1)
V2
2(γ − 1)
V2
Proceso 3 → 1:
Q31 = ∆U31 + W31
V1
p1 V 1
∆U31 = nCv (T1 − T3 ) =⇒ U31 =
1−
>0
γ−1
V2
p3 V 3 − p 1 V 1
p1 V 1 V 1
=⇒ W31 =
−1 <0
W31 =
2
2
V2
p1 V 1
V1
p1 V1 (3 − γ)
V1
p1 V 1 V 1
=
1−
1−
+
− 1 =⇒ Q31 =
>0
γ−1
V2
2
V2
2(γ − 1)
V2
c) Usando la expresión general:
∆S = nCv ln
Tf
Vf
+ nR ln
Ti
Vi
se obtiene:
∆S12 = nR ln
V2
V1
∆S23 = nCv ln
nR V1
V1
+
ln
V2
2
V2
∆S31 = nCv ln
V2
nR V1
+
ln
V1
2
V2
Es trivial ver que ∆S12 + ∆S23 + ∆S31 = 0 .
d ) La tempertura máxima es T1 y la mı́nima T3 . Se calcula ahora el calor positivo, que es el realmente absobido.
Es:
V2
V1
3−γ
Qabs = Q12 + Q31 = p1 V1 ln
1−
+
V1
2(γ − 1)
V2
La variación de entropı́a del foco caliente es:
∆SF C = −
V2
3−γ
Qabs
= −nR ln
− nR
T1
V1
2(γ − 1)
1−
V1
V2
El calor cedido por el sistema es:
Qced = Q23 =⇒ ∆SF F
Q23
γ+1
= −
= nR
T3
2(γ − 1)
V2
−1
V1
Por tanto la variación total de la entropı́a del universo es:
∆S = ∆SF F + SF C =⇒
V1
nR
∆S = nR ln
+
V2
2(γ − 1)
V2
V1
(γ + 1)
+ (3 − γ)
−4
V1
V2
ETSECCPB FÍSICA Plan 95
Primer Examen Parcial (16 01 2009)
Departamento de Fı́sica Aplicada
Identificación de la prueba: 250 18004 00 0 00
1. Si la tensión y la longitud de una cuerda vibrante se duplican, manteniendo su densidad constante, la frecuencia
fundamental de oscilación queda multiplicada por
√
a) 2/2.
√
b) 2 2.
√
c) 2.
d ) 2.
2. En el interior de un tubo cerrado en x = 0 y abierto en x = L se generan ondas estacionarias. Si p(x, t) es la
perturbación de la presión con respecto a la presión de referencia en equilibrio termodinámico, podemos afirmar
que:
a) (∂x p)(0, t) = 0 y p(L, t) = 0.
b) (∂x p)(L, t) = 0 y p(0, t) = 0.
c) (∂x p)(0, t) = 0 y (∂x p)(L, t) = 0.
d ) p(0, t) = 0 y p(L, t) = 0.
3. La impedancia de una cuerda tiene dimensiones de:
a) M T −1 .
b) M T −1 L−2 .
c) M −1 T −1 L−1 .
d ) M T −1 L−1 .
4. En una cuerda infinita se propaga una onda de la forma y(x, t) = sin(kx−ωt)+sin(kx+ωt), con k y ω constantes
positivas. Podemos afirmar que la potencia en t = 0 es:
a) cero en toda la cuerda.
b) positiva en algunos puntos la cuerda.
c) negativa en algunos puntos la cuerda.
d ) no nula en algunos puntos de la cuerda, pero de signo indeterminado.
5. Una cuerda de impedancia Z1 está unida en un extremo a otra de impedacia Z2 = 2Z1 . Al punto de unión llega
una onda incidente de amplitud 10 cm. Se verifica:
a) la onda reflejada tiene una amplitud aproximada de 3,3 cm y está en oposición de fase con la incidente.
b) la onda reflejada tiene una amplitud aproximada de 3,3 cm y está en fase con la incidente.
c) la onda transmitida tiene una amplitud aproximada de 3,3 cm y está en fase con la incidente.
d ) la onda transmitida tiene una amplitud aproximada de 6,7 cm y está en oposición de fase con la incidente.
6. Una cuerda de impedancia Z1 está unida en un extremo a otra de impedacia Z2 = 2Z1 . Al punto de unión llega
una onda incidente, cuya energı́a mecánica vale 27 j. Se puede afirmar:
a) la onda reflejada transporta una energı́a de 3 j y está en oposición de fase con la incidente.
b) la onda reflejada transporta una energı́a de 3 j y está en fase con la incidente.
c) la onda transmitida transporta una energı́a de 24 j y está en oposición de fase con la incidente.
d ) la onda transmitida transporta una energı́a de 3 j y está en fase con la incidente.
7. La sensación sonora, debida a un altavoz esférico muy pequeño, vale 60 dB a un metro de distancia de su centro.
Para que valga 20 dB, habrá que estar a
a) cien metros de su centro.
b) diez metros de su centro.
c) veinte metros de su centro.
d ) cinco metros de su centro.
8. En un calorı́metre de capacitat calorı́fica C hi tenim continguda una massa m de gel a 0o C. Quina massa M
de vapor a 100o C hem d’afegir per tal que, a l’equilibri, tinguem tot aigua lı́quida a 0o C? Les calors latents de
fusió i de vaporització del gel són Lf i Lv respectivament i la calor especı́fica de l’aigua lı́quida és c.
a) M =
b) M =
c) M =
d) M =
m Lf
Lv +100 c
m Lf
Lv +273 c
100 C+m Lf
Lv +100 c
273 C+m Lf
Lv +273 c
9. Pretenem transformar una massa m de gel inicialment a 0o C en vapor a 100o C de forma reversible. Si les calors
latents de fusió i de vaporització del gel són Lf i Lv respectivament, a quina temperatura Tf ha d’estar el forn
en el qual realitzem el procés? La calor especı́fica de l’aigua lı́quida és c.
a) Només ho aconseguirem en un forn de temperatura variable.
Lf /273 + c ln (373/273) + Lv /373
b) Tf =
Lf + 100c + Lv
c) Tf = 100o C
d ) Tf = 50o C
10. En un cilindre vertical de secció S i alçada h0 inicialment obert a l’atmosfera (P0 , T0 ), li posem un pistó sense
fregament de massa M que comprimeix l’aire (considerat un gas ideal diatòmic) sota l’acció de la gravetat g. Si
el sistema cilindre-pistó és adiabàtic, l’alçada h1 a la que s’establirà el nou equilibri serà:
a) h1 =
7/2 P0 S+M g
7/2 (P0 S+M g)
b) h1 =
P0 S
P0 S+M g
c) h1 =
5/2 P0 S+M g
5/2 (P0 S+M g)
d ) h1 =
2 P0 S+M g
2 (P0 S+M g)
h0
h0
h0
h0
11. Una màquina tèrmica reversible intercanvia calor amb tres fonts tèrmiques. Si les fonts estan a T , T /2 i T /4, i
les calors intercanviades amb les dues primeres és Q i Q/2, respectivament, el treball W net realitzat serà de:
a) W = Q
b) W = Q/2
c) W = 2 Q
d ) Les dades són insuficients per calcular W
12. Un gas ideal de Cv conegut, però no necessàriament constant segueix un procés que respon a l’expressió P = a T .
Indiqueu quan val la calor molar d’aquest procés.
a) C = Cv
b) C = Cv + R
aP
R
c) C = Cv +
T
d ) C = Cv + R/2
13. Un mol de gas ideal amb Cv constant i inicialment a (P0 ,V0 ), pateix una expansió adiabàtica contra el buit fins
a assolir un volum 2 V0 . Indiqueu quina afirmació és correcta.
a) L’increment d’entropia de l’univers val ∆Sunivers = R ln(2).
b) La pressió final en el nou equilibri val 0.
c) La temperatura del gas augmenta.
d ) El treball realitzat és W = P0 V0
14. Un gas ideal recorre un ciclo. La variación de entropı́a del gas es cero en todo ciclo. Indicar qué respuesta es
falsa:
a) Todo ciclo recorrido por un gas ideal es reversible.
b) Para decir algo sobre su reversibilidad hay que concer la variación de entropı́a de las diversas fuentes
térmicas que intercambian calor con el ciclo.
c) Si el ciclo es de Carnot reversible su rendimiento es máximo.
d ) La variación de entalpı́a del gas es nula.
15. Si M representa masa, L longitud, T tiempo y K temperatura absoluta; las dimensiones de la entropı́a son:
a) M L2 T −2 K −1
b) L2 T −2 K −1
c) M L2 T −1 K −1
d ) L2 T −1 K −1
16. Indicar qué afirmación es cierta para un gas ideal:
a) En un proceso adiabático cuasiestático la entalpı́a puede variar.
b) En un proceso adiabático cuasiestático la entalpı́a no varı́a.
c) En un proceso adiabático cuasiestático la temperatura es constante.
d ) En un proceso adiabático cuasiestático la energı́a interna no varı́a.
17. Para un gas ideal, en un proceso adiabático a presión constante, se verifica:
a) La temperatura puede variar.
b) La temperatura es constante.
c) La temperatura aumenta siempre.
d ) La temperatura disminuye siempre.
18. La variación de entropı́a de una masa m agua que se evapora a 200 C es:
m Lv
.
293
373
m Lv
+ mc ln
.
b) ∆S =
373
293
m Lv
373
c) ∆S =
+ mc ln
.
293
293
m Lv
373
d ) aproximadamente ∆S =
+ mc ln
, pero no se puede calcular con más precisión porque falta saber
373
293
el volumen que ocupa el vapor de agua y no se conoce la presión.
a) ∆S =
19. Se lanza hacia arriba un cuerpo de masa m por un plano inclinado con rozamiento. Cuando vuelve a la posición
inicial:
a) La entropı́a del universo ha aumentado.
b) La entropı́a del universo no ha variado.
c) No tiene sentido hablar de variación de entropı́a porque no hay intercambio de calor.
d ) En este proceso se conserva la energı́a mecánica.
20. El calor especı́fico de un gas ideal verifica:
a) depende del tipo de gas, la temperatura y el proceso.
b) sólo depende del tipo de gas y la temperatura.
c) sólo depende de la temperatura.
d ) no depende del tipo de gas, sólo de la temperatura y el proceso.
FÍSICA Pla 95.
Respostes al Test.
ETSECCPB
Primer parcial (16-01-2009)
Preg.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Permutació
1
2
3
d
d
b
c
d
d
b
a
d
c
d
b
a
b
b
c
b
b
b
c
b
c
d
d
a
d
d
a
c
d
b
d
c
a
c
d
c
a
b
d
c
a
b
d
b
d
d
b
b
d
a
d
b
c
d
d
d
d
d
a
4
d
d
b
c
d
a
d
b
d
a
d
b
c
d
d
c
b
d
d
b
FÍSICA Plan 95.
Segundo parcial (13-05-2009)
Dept. Fı́sica Aplicada
ETSECCPB
PROBLEMAS
1. ProblemaUna esfera maciza de radio a con una densidad de carga uniforme ρ > 0 se recubre
con una corteza concéntrica dieléctrica lineal y homogénea de grosor b−a y permitividad relativa
εr (ver Fig. 1).
a) Determinar el campo de desplazamiento D en todo el espacio (dirección, sentido y módulo)
y representar kDk en función de la distancia r al centro de la esfera.
b) Determı́nese lo mismo para los campos E y P.
c) Determinar los valores y localización de las densidades de polarización ρb y σb .
Seguidamente retiramos la corteza dieléctrica y practicamos un orificio muy fino rectilı́neo
que atraviesa diametralmente la esfera maciza. En el instante t = 0, dejamos en reposo una
carga puntual de masa m y carga q < 0 en el extremo superior del orificio (ver Fig. 2).
d ) Escribir en una lı́nea la 2a Ley de Newton para la partı́cula.
e) Determinar la distancia r(t) de la carga al centro de la esfera en función del tiempo.
m, q < 0
b
a
ρ>0
a
εr
ρ>0
Fig. 1
Fig. 2
2. ProblemaUn circuito está formado por un cable infinito doblado de forma que tiene dos lados
verticales paralelos y seminfinitos y uno horizontal de longitud l, en la parte superior. El circuito
se cierra con una varilla conductora de resistencia R y masa m. Inicialmente esta varilla está en
reposo arriba del todo. El circuito está inmerso en una región del espacio en la que hay un campo
~ = B e~x B > 0. Sobre la resistencia actúa la fuerza de la gravedad.
magnético constante, B
a) Calcular la fem inducida por el movimiento de la resistencia.
b) Escribir la ecuación de movimiento de la resistencia.
c) Calcular la velocidad lı́mite de la resistencia.
d ) Calcular la potencia instantanea suministrada al circuito.
e) Calcular la potencia instantanea disipada por la resistencia.
Z
Y
X
R
Z
Fig. 3
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS
1. Problema.
m, q < 0
b
a
a
εr
ρ>0
ρ>0
Fig. 1
Fig. 2
a) El campo D se determina haciendo uso del teorema de Gauss. Por simetrı́a, D = D(r) r̂,
con r̂ = r−1 r, r = (x, y, z) y r = krk. Por lo tanto, consideramos superficies esféricas
concéntricas de radio arbitrario r:

4 3



πr ρ,
(r < a)





I
 ρr r̂, (r < a)
 3
4 3
D·dS = qint, f −→ 4πr2 D(r) =
πa ρ, (a < r < b) −→ D(r) =  a33 ρ

S
3




r̂, (r > a)

2
 4 3
3r

πa ρ,
(r > b)
3
b) Para determinar E y P, utilizamos las expresiones que relacionan dichos campos (en medios
lineales) con el campo D antes calculado:
E=
D
,
ε0 εr
P=
εr − 1
D,
εr
sabiendo que εr = 1 para r < a y r > b. Por lo tanto:


ρr






r̂,
(r < a)
0,
(r < a)




3ε
0




(εr − 1)a3 ρ
a3 ρ
E(r) =
y P(r) =
r̂,
(a
<
r
<
b)
r̂, (a < r < b)


3ε0 εr r2
3εr r2








a3 ρ



 0,
(r > b).
r̂,
(r
>
b)
2
3ε0 r
c) ρb = 0 para r < a y r > b, dado que no son dieléctricos. Para a < r < b, ρb = −∇ · P ∼
∇ · (r−2 r̂) = 0. Luego, no hay densidades volúmicas de carga ligada o de polarización. Las
densidades superficiales de polarización aparecen en las fronteras del dieléctrico, y vienen
dadas por la componente normal P · n̂, siendo n̂ = −r̂ en r = a y n̂ = r̂ en r = b. Por lo
tanto:
1 − εr aρ
εr − 1 aρ
σbr=a = lı́m+ −r̂ · P = −
, −→ σbr=a =
<0,
r→a
εr 3
εr 3
σbr=b = lı́m− r̂ · P =
r→b
ε r − 1 a3 ρ
ε r − 1 a3 ρ
r=b
,
−→
>0.
σ
=
b
εr 3b2
εr 3b2
de lo anterior se deduce que |σbr=a | =
6 |σbr=b |.
Los módulos de los campos D, E y P pedidos en los apartados (a) y (b) vienen dados por
las siguientes gráficas.
kE(r)k
ρa/3ε0
ρa/3
ρa/3ε0 εr
kD(r)k
ρa3 /3ε0 b2
3
ρa /3ε0 εr b2
0
a
b
r
a
0
kP(r)k
b
r
(εr − 1)ρa/3εr
(εr − 1)ρa3/3εr b2
0
a
b
r
d ) Tomamos el eje z alineado con el orificio diametral y con su origen en el centro del bloque
esférico, de forma que la coordenada de la partı́cula es r(t) = (0, 0, z(t)). Despreciando
efectos gravitatorios, la única fuerza que actúa sobre la partı́cula es la electrostática creada
por el bloque esférico fijado en el espacio. Por lo tanto, la 2a Ley de Newton para la
coordenada z de la partı́cula es:
ρq
d2 z
z.
m 2 =
dt
3ε0
El producto ρq tiene signo negativo; es decir, ρq/z < 0 si z > 0 y ρq/z > 0 si z < 0.
e) La ecuación del apartado anterior podemos reescribirla como:
s
|q|ρ
d2 z
,
+ ω 2 z = 0, con ω =
2
dt
3ε0 m
que es la ecuación del oscilador armónico, cuya solución general es
z(t) = A cos(ωt + ϕ).
Las constantes A y ϕ se determinan mediante las condiciones iniciales de la partı́cula (parte
del reposo desde el extremo superior del orificio):
z(0) = a, ż(0) = 0, −→ A cos ϕ = a, −Aω sin φ = 0.
Tomando A = a y ϕ = 0, la solución particular es:
z(t) = a cos ωt ,
es decir, la partı́cula realiza un movimiento armónico simple de amplitud a entre los polos
norte y sur del bloque esférico.
2. Problema.
a) Se supone que el contorno del circuito tiene el sentido de giro que corresponde a tener e~x
como normal unitaria. Por ser z ≤ 0, se verifica:
~ = −lz e~x =⇒ Φ = −Blz =⇒ ε = − dΦ = Blv.
S
dt
Sólo hay movimiento en el sentido negativo del eje z, por tanto la fem inducida genera una
corriente que se opone al aumento del flujo.
ε = Blv(t) ≤ 0 .
b) Sobre la resistencia actúan dos fuerzas, la magnética y la gravitatoria.
B 2 l2 v
B 2 l2 v
~
~
~
~
~
Fg = −mg e~z ; Fmag = I l × B =
e~y × e~x =⇒ Fmag = −
e~z .
R
R
Como sólo hay movimiento en el eje z, la ecuación del moviento es:
m
dv
B 2 l2 v
= −mg −
dt
R
integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales, queda la siguiente expresión para
la velocidad:
B 2 l2
mgR v = − 2 2 1 − e− mR t
B l
Como se puede ver y era de esperar, la velocidad es negativa. El cálculo de la posición no
se hace porque desde el punto de vista del elctromagnetismo no tiene ningún interés.
c) Para calcular la velocidad lı́mite hay dos posibilidades equivalentes.
Primera: velocidad para la que la aceleración es nula:
mgR
B 2 l2 v
−mg −
= 0 =⇒ vl = − 2 2
R
B l
Segunda: velocidad cuando el tiempo es muy grande:
vl = lı́m v(t) =⇒ vl = −
t→∞
mgR
B 2 l2
Ambos valores coinciden.
d ) La potencia instantanea entregada al circuito es:
P (t) = ε(t)I(t) = Blv
2 l2 2 l2
Blv
m2 g 2 R B 2 l2 2
t
−2 BmR
t
− BmR
+
e
1
−
2e
=
v =⇒ P (t) =
R
R
B 2 l2
e) La potencia instantanea disipada en la resistencia es:
PR (t) = (I(t))2 R = ε(t)I(t) =⇒ PR (t) = P (t) =
2 l2 2 l2
m2 g 2 R t
−2 BmR
t
− BmR
+
e
1
−
2e
B 2 l2
La potencia total disipada en el circuito coincide con la entregada por la fem, como era de
esperar.
FÍSICA Plan 95.
Test 2o Parcial (13-05-09)
Dept. Fı́sica Aplicada
ETSECCPB
Identificación de la prueba: 250 18004 01 0 00
El tiempo para hacer el test es de una hora.
Hay que marcar con lápiz o bolı́grafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el
cuadro.
Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.
Si no se rellenan los cuadros de la permutación, NO se corregirá el TEST.
Durante el test se prohibe usar calculadoras y teléfonos móviles.
1. Una partı́cula puntual de masa m y carga q se mueve con una velocidad constante ~v = v e~z .
Cuando se encuentra en el punto de coordenadas r~0 = x0 e~y , el potencial vector en un punto
cualquiera ~r = (x, y, z) vale:
~ = µ0 qv e~z × (~r − r~0 ) .
a) A
4π|~r − r~0 |3
~ = µ0 qv e~z × (~r − r~0 ) .
b) A
4π|~r − r~0 |
~ = µ0 qv e~z .
c) A
4π|~r − r~0 |3
~ = µ0 qv e~z .
d) A
4π|~r − r~0 |
2. Una varilla conductora de longitud ℓ es paralela al eje x y se mueve a velocidad constante
v = (0, v, 0), v > 0, en presencia de un campo magnético uniforme B = (0, 0, B), con B > 0. El
valor absoluto de la diferencia de potencial inducida entre los extremos de la varilla es:
(a) 0
(b) Bℓv
(c) 2Bℓ2 v
(d) Bℓ2 v/2
~ de módulo uniforme, B, y paralelo al eje z. El valor absoluto
3. Se tiene un campo magnético B
x2 + y 2 z 2
+ 2 = 1 , z ≥ 0 vale:
del flujo magnético a través de la superficie abierta
a2
b
a) πa2 B.
b) 0.
c) 4πabB.
d ) 2πabB.
4. Indicar qué afirmación es cierta:
a) El campo eléctrico es conservativo en presencia de un campo magnético cualquiera.
b) Un campo magnético cualquiera puede generar un campo eléctrico.
c) El campo eléctrico es siempre conservativo.
d ) El campo eléctrico no es conservativo en presencia de un campo magnético dependiente del
tiempo.
5. Si ∂t E 6= 0, podemos asegurar que:
(a) ∇ · B 6= 0.
(b) ∇ · B > 0.
(c) ∇ · B = 0.
(d) ∇ · B < 0.
6. La permeabilidad magnética del vacio vale:
N
N
(b) µ0 = 4π × 10−7 2 .
(a) µ0 = 4π × 10−7 2 .
A
C
N
N
(c) µ0 = 4π × 10−7
.
(d) µ0 = 4π × 109 2 .
Am
A
7. En t = 0, una carga puntal de masa m y carga q se encuentra en el origen de coordenadas
(0, 0, 0) y con velocidad inicial v0 = (v0 , 0, 0), con v0 > 0. En el espacio hay un campo eléctrico
uniforme de valor E = E0 ẑ. En t = 2, la partı́cula se encuentra en:
a)
b)
c)
d)
(v0 , 0, 2qE0 /m)
(v0 , 0, qE0 /2m)
(2v0 , 0, 2qE0 /m).
(2v0 , 0, qE0 /m)
8. Un condensador cuya capacidad en el vacio es C0 se conecta a los bordes de un generador hasta
cargarlo totalmente, en este momento la diferencia de potencial entre sus placas es V0 . Una vez
cargado se deja desconectado y se introduce entre sus placas un dieléctrico de permeabilidad
relativa εr > 1. Se verifica:
a) Como está desconectado, todo sigue igual.
b) La diferencia de potencial entre sus bornes es
V0
.
εr
c) Su capacidad disminuye.
d ) La carga es menor.
9. Un Tesla es equivalente a :
J
.
Cm
J
b)
.
Am
N
c)
.
Am
N
d)
.
Cm
a)
10. Dos hilos rectilı́neos, infinitos y paralelos al eje z pasan por los puntos (0, a, 0) y (0, −a, 0).
Ambos hilos transportan la misma intensidad y en sentido opuesto. El campo magnético en el
eje x tiene únicamente componente:
a) z.
b) x.
c) y.
d ) es nulo.
~ = (0,6, −0,8)E, E > 0, se encuentra el dipolo: p~ = (0,8, 0,6)p, p >
11. En el campo electrostático: E
0. Indicar qué afirmación es correcta.
a) El dipolo gira hasta que su momento dipolar sea p~ = (−0,6, −0,8)p
b) El dipolo no se mueve.
c) El dipolo gira hasta que su momento dipolar sea p~ = (0,6, −0,8)p
d ) El dipolo gira hasta que su momento dipolar sea p~ = (−0,6, 0,8)p
~ = βε0 E
~ con β > 1. Se cumple:
12. El vector deplazamiento de un dieléctrico es D
~ en el interior del dieléctrico es mayor que en el vacı́o.
a) |E|
~
b) El vector polarización vale P~ = ε0 β E.
c) Las moléculas de este dieléctrico no tienen momento dipolar propio ni inducido.
~
d ) El vector polarización vale P~ = ε0 (β − 1)E.
13. Dos hilos rectilı́neos, infinitos y paralelos al eje z pasan por los puntos (0, a, 0) y (0, −a, 0).
Ambos hilos transportan la misma intensidad y en el mismo sentido. El campo magnético en el
eje x tiene únicamente componente:
a) z.
b) y.
c) es nulo.
d ) x.
14. Un circuito de corriente alterna está compuesto por una resistencia, R, en serie con un montaje
formado por una autoinducción, L, en paralelo con un condensador de capacidad C. La frecuencia
de resonancia de este circuito vale:
a) 0 Hz.
b) No está definida.
1
.
c) ω = √
CL
√
d ) ω = CL.
15. En una zona del espacio hay una densidad volúmica de carga ρ, no necesariamente uniforme.
Si S1 y S2 son dos superficies cerradas de modo que S1 se encuentra en el interior de S2 y los
flujos de campo eléctrico a través de dichas superficies son Φ1 y Φ2 , respectivamente, entonces
la carga eléctrica neta contenida entre ambas superficies es:
a) ǫ0 (Φ2 − Φ1 )/2.
b) ǫ0 (Φ2 − Φ1 ).
c) ǫ0 (Φ1 − Φ2 ).
d ) ǫ0 (Φ1 − Φ2 )/2
16. Un circuito de corriente alterna está compuesto por una resistencia, R, en serie con un montaje
formado por una autoinducción, L, en paralelo con un condensador de capacidad C. Cuando la
1
:
frecuencia angular de la corriente tiende a ω = √
LC
a)
b)
c)
d)
la intensidad tiende a anularse.
el desfase de la intensidad respecto a la fem tiende a 0.
el circuito está en resonancia.
la energı́a disipada por la resistencia es máxima.
17. En t ≤ 0, una zona del espacio no tiene carga eléctrica (ρ = 0). Posteriormente aparece una
densidad de corriente eléctrica j = (x, y, z). Podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
ρ = −3t, ∀t > 0.
ρ = 3t, ∀t > 0.
ρ = 3t + g(x, y, z), ∀t > 0, con g =
6 0.
ρ = −3t + g(x, y, z), ∀t > 0, con g =
6 0.
18. Una superficie esférica está cargada con una densidad de carga uniforme. Si duplicamos la
densidad, la energı́a electrostática:
a)
b)
c)
d)
se duplica.
disminuye.
no varı́a.
se cuadruplica.
19. Se tiene un conductor rectilineo de longitud prácticamente infinita y cuya sección transversal
es un cı́rculo de radio R. Por él pasa una corriente de intensidad I, que está uniformemente
distribuida en el area transversal y dirigida en el sentido creciente del eje z. En un punto
(x0 , y0 , 0), cuya distancia al eje es r0 < R, se verifica:
~ = µ0 Ir0 (x0 , y0 , 0)
~ = µ0 Ir0 (−y0 , x0 , 0)
~ = µ0 I
(a) B
(b) B
(c) B
2
2
2πR
r0
2πR
r0
2πR
µ
Ir
(x
,
y
,
0)
0
0
0
0
~ =−
(d) B
2πR2
r0
20. Una espira por la que circula una intensidad I está consituida por dos arcos de circunferencia de radios a y b
(b > a) unidos radialmente tal y como indica la figura. El
campo B en el centro común de los arcos O es:
ẑ
O
π
4
I
r=a
a)
b)
c)
d)
(0, 0, −µ0 I(a − b)/16ab).
(0, 0, −µ0 I(a − b)/ab).
(0, 0, µ0 I(a − b)/ab).
(0, 0, µ0 I(a − b)/16ab).
r=b
FÍSICA Pla 95.
Respostes al Test.
ETSECCPB
Segon parcial (13-05-2009)
Preg.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
d
b
a
d
c
a
c
b
c
b
c
d
b
a
b
a
a
d
b
d
Permutació
1
2
c
d
d
c
b
b
b
d
b
d
b
c
d
d
d
d
d
b
c
a
c
c
c
c
b
b
a
d
d
b
a
c
c
b
d
d
a
d
d
c
3
d
d
b
d
d
a
b
a
d
c
d
d
c
d
a
d
d
c
a
c
FÍSICA Plan 95.
Examen Final (12-06-2009)
Dept. Fı́sica Aplicada
ETSECCPB
PROBLEMAS
1. Problema (30 %) Un mol de gas ideal monoatòmic segueix un cicle en tres etapes. La primera
etapa consisteix en un escalfament isòcor quasiestàtic des de les condicions inicials (P0 ,T0 ) fins
a duplicar la pressió (P1 = 2P0 ). A continuació segueix una recta d’equació P = P0 (3 − V /V0 )
fins a recuperar la pressió inicial (P2 = P0 ). El cicle es tanca mitjançant un procés isòbar.
a) Calculeu la calor (Q), el treball (W ) i l’increment d’energia interna (∆U ) del sistema en
cadascuna de les etapes. (3 punts)
b) Calculeu el treball total i el rendiment η del cicle. (2 punts)
c) Calculeu la temperatura màxima (Tmax ) del cicle i l’increment d’entropia de l’univers (∆S)
si la calor s’intercanvia amb dues fonts a les temperatures extremes del cicle. (3 punts)
1 δQ
d ) Expresseu la calor molar del procés rectilini 1-2 en funció del volum C(V ) =
.
n T
(2 punts)
2. Problema (50 %) Sobre el plano z = 0, se encuentra una distribución uniforme de carga
eléctrica con densidad σ > 0. De dicha distribución, extraemos un disco de radio a centrado en
el origen (ver figura).
a) Determinar las componentes del campo de eléctrico E sobre un punto arbitrario de coordenadas (0, 0, z) contenido en el eje perpendicular z y que pasa por el centro del orificio.
b) Representar la componente Ez en función de la coordenada z del punto sobre el eje antes
considerado.
c) Una partı́cula de masa m y carga q < 0 se encuentra inicialmente en reposo y en el punto
(0, 0, z0 ), con |z0 | ≪ a. Determinar la coordenada z(t) para t > 0.
d ) Hágase lo mismo que en el apartado anterior si inicialmente la partı́cula se encontrase en
reposo, pero con coordenada |z0 | ≫ a. Obtener z(t) siempre que se cumpla |z(t)| ≫ a.
Nota: despreciar efectos gravitatorios. Razónese cada paso de la resolución, mostrando los cálculos intermedios de forma explı́cita. Aquellas resoluciones sin cálculos detallados no se valorarán.
z
a
σ
3. Problema (20 %) Se tiene una cuerda de longitud L fija por ambos extremos. La cuerda oscila
en un armónico que tiene un solo nodo en el interior. La velocidad de propagación de las ondas
trnsversales es c.
a) Calcular su longitud de onda, su número de ondas y su frecuencia angular ω.
b) Suponiendo du función de onda de la forma:
y(x, t) = A cos(ωt + α) sin(kx)
∂y
(x, 0) =
Calcular la función de onda, sabiendo que y(x, 0) > 0, para x cerca del origen, y
∂t
0.
c) Calcular la densidad de energı́a potencial instantanea y media en un periodo en el nodo del
interior.
d ) Calcular la densidad de energı́a cinética instantanea y media en un periodo en cada vientre
del interior.
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS
1. Problema
a) Els tres estats que delimiten el cicle són:
P
0 P0
1 2P0
2 P0
V
V0
V0
2V0
T
Po Vo /R = T0
2Po Vo /R = 2T0
2Po Vo /R = 2T0
Els resultats demanats són (fent servir Cv = 32 R):
W
0-1 0
Z
1-2
0
1
3
P (V )dV = P0 V0
2
2-0 −P0 V0
Q
Cv
3
P0 V0 = P0 V0
R
2
3
P0 V0
2
5
Cv
+ 1 P0 V0 = − P0 V0
−
R
2
∆U
Cv
3
P0 V0 = P0 V0
R
2
0
−
3
Cv
P0 V0 = − P0 V0
R
2
b) El treball total és la suma dels treballs parcials:
1
W = W01 + W12 + W20 = P0 V0
2
L’única part del cicle conflictiva és el procés 1-2, ja que si bé el treball és sempre positiu,
l’increment d’energia interna creix al principi per acabar disminuint. No és difı́cil veure que,
en el tram de recta considerat, el treball domina sempre i, per tant, sempre hi ha absorció de
calor. Les calors absorbida (Q) i cedida (Q′ ) al llarg del cicle són, per tant:
Cv 3
+
P0 V0 = 3P0 V0
Q = Q01 + Q12 =
R
2
5
Cv
′
+ 1 P0 V0 = − P0 V0
Q = Q20 = −
R
2
L’eficiència del cicle és, per tant:
W
Q + Q′
Q′
η=
=
=1+
=1−
Q
Q
Q
Cv
R
Cv
R
+1
1
1
= Cv
=
3
6
+2
2R +3
c) Podem expressar la temperatura al llarg del procés en funció del volum com:
2 !
P (V )V
V
V
P0
V
T (V ) =
3−
V = T0 3 −
=
R
R
V0
V0
V0
Derivant per trobar els extrems tenim:
T0
V
3
9
dT
=
3−2
= 0 → Vm = V0 → Tm = T0
dV Vm
V0
V0 Vm
2
4
L’increment d’entropia de l’univers és:
∆Su = ∆Scicle + ∆STmax + ∆STmin = 0 +
1
7
−Q′
5
−Q
+
= Cv + R = R
Tmax Tmin
9
3
6
d ) Del primer principi en forma diferencial tenim que la calor intercanviada al llarg del procés
1-2 és:
!
3 − VV0
V
dT
= n Cv + R
δQ = dU +P dV = nCv dT +P dV = nCv dT +P0 3 −
dT
V0 T0 3 − 2 V
3 − 2 VV0
P0
V0
on P ha estat substituida de l’equació de la recta i dV aı̈llada en funció de dT a partir de
l’expressió de la derivada de l’apartat anterior.
Utilitzant la definició de calor molar obtenim, de forma immediata:
15 − 8 VV0
3 − VV0
1 δQ
=
R
C12 (V ) =
= Cv + R
n T 12
3 − 2 VV0
6 − 4 VV0
2. Problema
a) El campo eléctrico creado por un anillo de radio r uniformemente cargado sobre un punto
arbitrario (0, 0, z) del eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano que lo contiene
es:
kQz
1
E(0, 0, z) = 2
ẑ,
con
k
=
,
(z + r2 )3/2
4πε0
siendo Q la carga total del anillo (resultado visto en clase de teorı́a). Consideremos un anillo
de radio r > a contenido en el plano z = 0 y cuyo grosor diferencial es dr. La carga neta
diferencial contenida en ese anillo es dQ = σ2πrdr. Por lo tanto, la contribución diferencial
dE al campo eléctrico en un punto del eje será:
dE(0, 0, z) =
(z 2
rdr
kσz2πrdr
σz
kzdQ
ẑ = 2
ẑ =
ẑ.
2
3/2
2
3/2
2
+r )
(z + r )
2ε0 (z + r2 )3/2
El campo neto lo obtenemos integrando para todos los anillos que consituyen la distribución
dada, es decir, anillos con r ∈ [a, +∞):
b
Z b
σz
σ
rdr
z
σz
1
√
ẑ
ẑ =
E(0, 0, z) = lı́m
ẑ =
lı́m − √
2
2
2
b→+∞ a 2ε0 (z 2 + r 2 )3/2
b→+∞
2ε0
2ε0 a + z 2
z +r a
σ
f(z), con f(z) = z(a2 + z 2 )−1/2 .
2ε0
Comprobamos que la función f(z) no tiene replacemen
extremos
relativos:
Ez (0, 0, z)
a2
df
σ/2ε0
= 2
> 0,
dz
(a + z 2 )3/2
b) La componente axial del campo es Ez =
por lo que f(z) es estrictamente creciente. Para |z| →
∞, el campo es el del plano infinito:
0
z
z
σ
σ
σ
√
p
.
=±
= lı́m
2
2
2
2
z→±∞ 2ε0
z→±∞ 2ε0 |z|
2ε0
a +z
1 + a /z
lı́m
z
−σ/2ε0
0
Finalmente, f(0) = 0.
c) Para |z| << a, los primeros términos de la serie de Taylor de f(z) son:
z
z
z
z
1 z2
z
=
=
+ · · · = + O(3) ∼ .
1−
f(z) = 2
2
1/2
2
2
1/2
2
(a + z )
a(1 + z /a )
a
2a
a
a
La fuerza electrostática tiene solo componente axial. En la coordenada z, la 2a ley de Newton
sobre la partı́cula, en aproximación a primer orden, es:
m
d2 z
qσ z
d2 z
qσ
qσ
d2 z
=
qE
∼
−→
−
z
=
0
−→
+ ω 2 z = 0, con ω 2 = −
,
z
2
2
2
dt
2ε0 a
dt
2aε0 m
dt
2aε0 m
es decir, la ecuación del oscilador armónico. La solución general es
z(t) = A cos(ωt + φ),
con A y φ constantes arbitrarias a determinar por las condiciones iniciales:
z(0) = z0
A cos φ = z0
A = z0 , −z0
−→
−→
,
ż(0) = 0
−Aω sin φ = 0
φ =
0, π
con lo cual:
z(t) = z0 cos(ωt), con ω =
r
−qσ
2amε0
d ) Para |z| >> a, los primeros términos de la serie de Taylor de f(z) son:
z
1 a2
z
z
z
z
f(z) = 2
1
−
=
=
+
·
·
·
=
+
O(2)
∼
,
(a + z 2 )1/2
|z|(1 + a2 /z 2 )1/2
|z|
2 z2
|z|
|z|
La fuerza electrostática tiene solo componente axial. En la coordenada z, la 2a ley de Newton
sobre la partı́cula, en aproximación a primer orden, es:

qσ

z̈ =
, z>0


2mε0
qσ z
d2 z
,
, −→
m 2 = qEz ∼

dt
2ε0 |z|
qσ

 z̈ = −
, z<0
2mε0
es decir, la ecuación del movimiento uniformemente acelerado. Dado que z(0) = z0 y ż0 = 0,
la solución es:
z(t) = z0 +
qσ 2
qσ 2
t , (si z0 > 0) o bien z(t) = z0 −
t , (si z0 < 0).
4mε0
4mε0
3. Problema
L
a) Por tener los extremos fijos, la longitud de la cuerda debe ser un múltiplo entero de la mitad
de la longitud de onda. por tener un solo nodo en el interior la longitud de la cuerda es
igual a la longitud de onda, L = λ.
2π
2πc
El número de ondas es k =
. La frecuencia angular es ω = kc =
.
L
L
b) La ecuación y(x, t) = A cos(ωt+α) sin(kx) y las condiciones iniciales van a permitir calcular
la forma de la función de onda.
y(x, 0) = A cos α sin kx = A cos α sin
2πx
> 0 =⇒ cos α > 0
L
2πx
∂y
2πx
∂y
(x, t) = −Aω sin(ωt+α) sin
=⇒
(x, 0) = −Aω sin α sin
= 0 =⇒ sin α = 0 =⇒ α = 0, π
∂t
L
∂t
L
cos α > 0 =⇒ α = 0 =⇒
La función de onda es:
y(x, t) = A cos
2πx
2πct
sin
L
L
c) La densidad de energı́a potencial en un punto cualquiera y un instante cualquiera es:
2
T ∂y
µc2 k 2 A2
ηP (x, t) =
(x, t) =
(cos ωt cos kx)2
2 ∂x
2
2
2πct
2µc2 π 2 A2
L
cos
=⇒ ηP (L/2, t) =
.
en el caso del nodo: x =
2
L2
L
La densidad de energı́a potencial media en un periodo vale en el nodo:
L
µc2 π 2 A2
ηP
=
2
L2
d ) La densidad de energı́a cinética en un punto cualquiera y en un instante cualquiera es:
2
µω 2 A2
µ ∂y
(x, t) =
(sin ωt sin kx)2
ηC (x, t) =
2 ∂t
2
3L
L
. Por tanto se verifica que sin kx1 =
Los dos vientres están situados en x1 = y en x2 =
4
4
π
3π
sin = 1 y sin kx2 = sin
= −1. Como en la densidad de energı́a potencial todas las
2
2
funciones trigonométricas van elevadas al cuadrado la densidad de energı́a cinética es igual
en ambos vientres en todo instante y su valor es:
µω 2 A2
2µc2 π 2 A2
ηC (xv , t)) =
(sin ωt)2 =⇒ ηC (xv , t) =
2
L2
2πct
sin
L
2
donde xv indica la abscisa del vientre. El promedio en un periodo de la densidad de energı́a
cinética en uno de los vientres es:
ηC (xv ) =
µc2 π 2 A2
L2
ETSECCPB FÍSICA Plan 95 Departamento de Fı́sica Aplicada Examen Final (12 06
2009)
Identificación de la prueba: 250 18004 02 0 00
1. Indicar qué afirmación es cierta:
a) El calor es una forma de energı́a que se pone de manifiesto cuando se transfiere de un
sistema a otro.
b) El calor contenido en un sistema se puede calcular y vale mcT . Siendo: m la masa del
sistema, c su calor especı́fico y T su temperatura absoluta.
c) Un sistema puede estar a menor temperatura que otro y tener más energı́a calorı́fica.
d ) Un sistema puede estar a mayor temperatura que otro y tener la misma energı́a calorı́fica.
2. Un proceso cuasiestático verifica:
a)
b)
c)
d)
Puede no ser reversible.
Es siempre reversible.
Es isotérmico.
Es adiabático.
3. En un cilindro adiabático vertical se encuentra encerrado un mol de un gas ideal. La tapa del
cilindro puede deslizarse a lo largo de éste y también es adiabática. Inicialmente el gas del
2mg
interior ejerce una presión p0 =
, con m masa de la tapa y S su superficie y el gas ocupa un
S
volumen Sl0 . En el exterior del cilindro se ha hecho el vacio. Se deja expandir el gas libremente
hasta su presión de equilibrio. La temperatura final vale:
a) Tf = T0 −
mgl0
.
Cp
b) Tf = T0 .
mgl0
.
Cv
mgl0
.
d ) Tf = T0 −
R
c) Tf = T0 −
4. En un cilindro adiabático vertical se encuentra encerrado un mol de un gas ideal. La tapa del
cilindro puede deslizarse a lo largo de éste y también es adiabática. Inicialmente el gas del
2mg
interior ejerce una presión p0 =
, con m masa de la tapa y S su superficie y el gas ocupa un
S
volumen Sl0 . En el exterior del cilindro se ha hecho el vacio. Se deja expandir el gas libremente
hasta su presión de equilibrio. La variación de entropı́a del universo es:
γ+1
2γ
γ+1
b) ∆S = Cp ln
2γ
γ+1
c) ∆S = Cv ln
2γ
γ+1
d ) ∆S = Cv ln
2γ
a) ∆S = Cp ln
+ R ln 2.
− R ln 2.
+ R ln 2.
− R ln 2.
5. Una casa que está a una temperatura 2,5T pierde una potencia Q̇, que va al exterior en forma
de energı́a calorı́fica. La temperatura del exterior es T . La variación de entropı́a del universo es:
a) ∆S = 0,6
b) ∆S =
Q̇
.
T
Q̇
.
T
Q̇
.
T
Q̇
d ) ∆S = 1,4 .
T
c) ∆S = 0,4
6. En un calorı́metre adiabàtic de capacitat calorı́fica negligible barregem una massa m d’aigua
lı́quida a temperatura T1 amb una altra massa m d’aigua lı́quida a temperatura T2 . Si deixem
arribar el sistema a l’equilibri, quin haurà estat l’increment d’entropia de l’univers? (la calor
especı́fica de l’aigua lı́quida és c = 1).
1 T1 T2
a) ∆Suniv = m ln
+
+2
4 T2 T1
1 T1 T2
+
+2
b) ∆Suniv = m ln
2 T2 T1
1 T1 T2
+
+1
c) ∆Suniv = m ln
4 T2 T1
1 T1 T2
d ) ∆Suniv = m ln
+
+1
2 T2 T1
7. Un sistema segueix un procés cı́clic i produeix treball. Indiqueu quina afirmació és FALSA:
a) El sistema podria idealment no cedir calor al llarg de tot el cicle.
b) L’increment d’entropia del sistema ha de ser nul.
c) L’increment d’entropia de l’univers podria ser nul.
d ) El sistema intercanvia calor amb almenys dues fonts tèrmiques.
8. Dos gasos ideals amb Cv constant, un monoatòmic (gas 1) i l’altre diatòmic (gas 2), pateixen expansions adiabàtiques reversibles partint des del mateix estat inicial (P0 ,V0 ,T0 ). En el
procés, la temperatura d’ambdos gasos es redueix a la meitat (T1 = T2 = T0 /2). Indiqueu quina
afirmació és correcta.
a) El nombre de mols dels dos gasos és el mateix (n1 = n2 ).
b) El treball realitzat és el mateix (W1 = W2 ).
c) L’estat final de tots dos gasos és el mateix (P1 = P2 i V1 = V2 ).
d ) L’increment d’energia interna dels dos gasos és el mateix (∆U1 = ∆U2 ).
9. Una màquina tèrmica reversible agafa calor d’una font a temperatura T1 , produeix un treball W
i cedeix el remanent de calor a una segona màquina tèrmica reversible que produeix un treball
2W , cedint la calor sobrant a una font a temperatura T3 . A quina temperatura T2 cedeix la
primera màquina calor a la segona?
2T1 + T3
3
T1 + T3
b) T2 =
2
T1 + 2T3
c) T2 =
3
2
T + T32
d ) T2 = 1
T1 T3
a) T2 =
10. Quina de les següents afirmacions és certa per tots els gasos ideals?
a) L’energia interna només depen de la temperatura.
b) L’entropia només depen de la temperatura.
c) L’expressió de les adiabàtiques reversibles és P V γ = ct.
d ) En una expansió isòbara quasiestàtica, el treball val W = nCp ∆T .
11. Una onda, que se propaga en una cuerda infinita, viene dada por y(x, t) = A cos(kx − ωt + α),
∂y
con A, k, ω, α constantes positivas. Además cumple y(0, 0) = 0 y
(0, 0) < 0. El valor de α es:
∂t
3π
.
2
π
b) .
2
c) π.
a)
d ) 2π.
12. En un circuito de corriente alterna están en serie una autoinducción L, un condensador de
capacidad C y otra autoinducción L′ . La frecuencia de resonancia de este circuito es:
1
a) ω = p
.
C(L + L′ )
1
.
b) ω = p
C(L2 + L′2 )
p
c) ω = C(L + L′ ).
p
d ) ω = C(L2 + L′2 ).
~ = (−y, x, 0) se puede considerar generada por la densidad de corrien13. La excitación magnética H
te de carga:
a) ~j = 2~ez .
b) ~j = 2(−y, x, 0)/µ0 .
c) ~j = 2µ0 (−y, x, 0).
d ) ~j = 2µ0 (x, y, 0).
~ = −2t~ex genera el siguiente campo eléctrico:
14. El campo magnético B
~ = (0, −z, y).
a) E
~ = (0, x, y).
b) E
~ = (0, y, z).
c) E
~ = (−x, −y, 0).
d) E
15. El campo eléctrostático creado por un dipolo eléctrico de momento dipolar p~ en un punto de
vector posición ~r = (x, y, z), muy lejano del dipolo, vale:
1
(~p · ~r) ~r
~
a) E(x, y, z) =
3
− p~ .
4πε0 r3
r r
p~
~
b) E(x,
y, z) =
.
4πε0 r3
c) es nulo por la ley de Gauss.
(~
p
·
~
r
)
~
r
1
~
3
− p~ .
d ) E(x,
y, z) =
4πε0
r r
16. Dos hilos rectilı́neos infinitos separados una distancia d transportan la misma intensidad de
corriente pero en sentido sentidos opuesto. El campo magnético en un punto del espacio a
distancia d/2 de ambos hilos es:
a)
b)
c)
d)
perpendicular a los hilos y de módulo máximo
perpendicular a los hilos y de módulo mı́nimo
paralelo a los hilos y de módulo máximo
paralelo a los hilos y de módulo mı́nimo
17. Las dimensiones del coeficiente de autoinducción de un sistema magnético son :
a)
b)
c)
d)
M L2 Q−2
M T −1 Q−1
M L−2 Q−2
M L−2 Q−1
18. En t = 0, conectamos las armaduras de un condensador de capacidad C (inicialmente cargado)
a los extremos de un autoinducción L. Transcurrido un tiempo, la carga del condensador Q(t)
cumple:
√
a) Q(t + 2π LC) = Q(t)
√
b) Q(t + 2π/ LC) = Q(t)
c) Q(t + 2π/LC) = Q(t)
d ) Q(t + 2πLC) = Q(t)
19. En el extremo inferior de una cuerda colgada del techo se genera un pulso de onda que posteriormente se propaga hacia arriba. Si la velocidad con la que llega el pulso al centro de la cuerda
es v, la velocidad del pulso al llegar al techo será:
√
a) v 2
b) 2v
√
c) v/ 2
d ) v/2
20. En un circuito de corriente alterna hay una resistencia y un condensador en paralelo. La frecuencia angular de la fem es ω. Se verifica:
RLω
.
a) El módulo de la impedancia resultante es √
2
R + L2 ω 2
p
b) El módulo de la impedancia resultante es R2 + (Lω)−2 .
c) Si ω es muy grande casi toda la intensidad pasa por la autinducción.
d ) Si ω es muy pequeña casi toda la intensidad pasa por la resistencia.
Departamento de Fı́sica Aplicada.
FÍSICA Plan 95.
Soluciones del Test.
ETSECCPB
Examen Final (12-06-09)
Preg.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Permutación
1
2
3
a
a
b
b
c
d
d
a
a
d
c
d
a
d
c
a
d
b
b
d
a
b
c
c
b
b
c
d
c
b
c
c
a
a
d
d
c
a
b
c
c
d
a
b
b
d
d
c
b
a
c
d
b
b
c
a
a
d
b
b
4
a
b
a
a
a
d
c
c
b
a
d
b
c
a
d
b
b
d
b
c