HOJA DE PROBLEMAS ÓPTICA I CURSO 2006/2007 n´

HOJA DE PROBLEMAS
ÓPTICA I
CURSO 2006/2007
TEMA 1:
1.1.- La anchura de banda del espectro de emisión de una fuente láser es: ∆ν = 30
MHz. ¿Cuál es la duración del pulso luminoso emitido por la fuente? ¿Cuál es la
longitud del pulso?
1.2.- Una fuente de luz de sodio emite un tren de ondas con una longitud de onda
media de λ = 589,3 nm. a) ¿Cuántas ondas hay en 1 mm.? b) ¿Cuál es la frecuencia de
la luz emitida? ¿Cuál es su periodo?
1.3.- La potencia luminosa de una fuente de luz monocromática es de 10 W en la
longitud de onda de 500 nm. ¿A qué distancia máxima será detectada esta fuente por
un observador si su ojo reacciona a un flujo luminoso de 60 fotones/s?
Dato: Tómese para el diámetro de la pupila del ojo el valor: 0,5 cm.
1.4.- Demuéstrese que la superposición de dos oscilaciones armónicas de frecuencia
angular ω da lugar a otra oscilación armónica igualmente con frecuencia ω. Estúdiese
si se mantiene el mismo resultado en el caso de: a) ondas esféricas, b) ondas
cilíndricas.
TEMA 2:
2.1.- Un rayo de luz viaja de un punto a otro atravesando una superficie plana que
separa dos medios de índices n y n´. Demostrar, utilizando el principio de Fermat del
tiempo mínimo, que la trayectoria seguida por el rayo viene dada por la ley de Snell.
n´
2.2.- Una fuente puntual situada en un punto P1 se encuentra en el interior de una
esfera hueca espejada interiormente, emitiendo un rayo que, tras reflejarse en la
esfera, pasa por P2, simétrico de P1 respecto del centro. ¿En qué punto(s) de la
esfera deberá reflejarse dicho rayo?
2.3.- Dos puntos A y B en el espacio distan 10 cm. Suponemos ahora que estos
puntos quedan inmersos en un medio distinto del aire con índice de refracción 1,6.
¿Cuál es el camino óptico asociado a este camino geométrico?
2.4- Un buzo bajo el agua ve el sol con un ángulo aparente de 45º respecto de la
vertical. ¿Dónde está el sol?
2.5.- En el fondo de una cubeta se sitúa una fuente luminosa puntual P. Un observador
situado fuera de la dirección normal observa una imagen de esta fuente en P' (véase
figura). Estúdiese si el camino óptico asociado al segmento PP' es o no constante.
y
aire
O
x
agua
P’
P
2.6.- Sea un reflector elíptico espejado interiormente y sean P1 y P2 sus focos.
Demostrar que los rayos que salen de P1 y llegan a P2 tras una reflexión presentan
camino óptico estacionario.
2.7.- Demostrar que en un espejo parabólico de revolución todo rayo que pasa por el
foco ha incidido paralelo al eje.
2.8.- Sea una superficie esférica de radio de curvatura R sobre la que incide un rayo
paralelo al eje. Encontrar, aplicando el principio de Fermat, el camino óptico del rayo
geométrico refractado por esta superficie.
2.9.- Un rayo de luz incide desde la izquierda en la cara vertical de un cubo de vidrio
de índice de refracción 1,50 (véase figura). El plano de incidencia se supone que es
plano del papel y el cubo está sumergido en agua. Calcular el valor máximo del ángulo
de incidencia del rayo incidente para que se produzca reflexión total interna dentro del
cubo de vidrio.
n=1,50
θ
2.10.- Se tiene un recipiente de vidrio con forma de medio cilindro, con índice de
refracción 1,65. Sobre la cara plana se sitúa una gota de líquido. Calcular el valor que
debe tener el índice de refracción de la gota para que se produzca reflexión total
interna dentro del semicilindro para un valor del ángulo crítico θc = 58o.
2.11.- Un cable de fibra óptica de índice n = 1.5 se sumerge en agua (n = 1.33). ¿Cuál
es el ángulo crítico para que la luz se mantenga dentro del cable?
2.12.- Una fibra óptica Selfoc está caracterizada por tener una variación en el
índice de refracción:
n
2
( x, y ) = n02 1 − α 2 ( x 2 + y 2 ) 
donde: n0 y a son constantes. Este tipo de fibras se utiliza en comunicaciones
ópticas. Obtener la trayectoria del rayo geométrico en este medio.
NOTA: Téngase en cuenta la aproximación paraxial.
2.13.- Una fibra óptica está diseñada con una variación gradual en el índice de
refracción que tiene la siguiente expresión:
n ( x ) = n0 sech (α x )
Donde: n0 y a son constantes. Encontrar la trayectoria del rayo geométrico
propagándose en este medio. Demostrar que el periodo de oscilación del rayo es
independiente de las condiciones iniciales de propagación.
TEMA 3:
3.1.- En el fondo de un recipiente lleno de agua hay un espejo plano. Un individuo se
inclina sobre el recipiente y ve la imagen de su ojo en el espejo a la distancia óptima: d
= 25 cm. siendo la distancia desde el ojo hasta la superficie del agua: h = 5 cm.
Determinar la profundidad del recipiente. El índice de refracción del agua es: n = 4/3.
3.2.- Sean dos semiesferas concéntricas de vidrio con distintos índices de refracción,
tal como indica la figura. Construir la marcha del rayo
AB
bajo la condición:
n2 R
=
n1 r
A
B
3.3.- La posición de una estrella, vista desde la Tierra, difiere un poco de la real a
causa de la refracción de los rayos en la atmósfera. Determinar el error al fijar la
posición angular de una estrella que desde la Tierra se ve bajo un ángulo de 45o con
la vertical. El índice de refracción del aire cerca de la superficie de la Tierra es: n =
1,0003.
3.4.- Una varilla transparente de 40 cm. de largo e índice n = 1.5 tiene un extremo
plano y el otro en forma de semiesfera de 12 cm. de radio. Se coloca un objeto sobre
el eje de la varilla a 10 cm. del extremo semiesférico. Calcular la posición y el aumento
de la imagen final.
R
TEMA 4:
4.1.- Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes convergentes iguales de
distancia focal 10 mm. Un objeto de 1 cm. Se sitúa 15 mm. A la izquierda de la primera
lente. ¿Cuál debe ser la separación entre lentes para que la imagen final sea real,
derecha y cuatro veces mayor que el objeto?
4.2.- Cuando una lente delgada se sumerge en agua, su potencia se hace una cuarta
parte de la que tenía el aire. ¿Cuál es el índice de refracción del vidrio?
4.3.- Demuéstrese que para una lente delgada positiva la separación mínima entre dos
puntos conjugados ambos reales es 4f.
4.4.- Una lente delgada convergente tiene una distancia focal f. Obtener la posición del
objeto para que la imagen sea real y para que sea virtual. Explicar por qué en una
lente divergente la imagen es siempre virtual.
4.5.- Se dispone de N lentes delgadas convergentes alineadas, cada una de distancia
focal f, de modo que el foco imagen coincida con el foco objeto de la siguiente. Hallar
el valor N para que la imagen de un punto luminoso situado a la izquierda de la
primera lente a una distancia mayor que f, sea real.
4.6.- Un objeto de 5 cm. De longitud está situado sobre el eje de una lente delgada
convergente de distancia focal 10 cm. y forma con éste un ángulo 30o. Su pie dista del
polo de la lente 25 cm. Calcular la posición de la imagen y el ángulo que forma con el
eje, el aumento lateral y la longitud de la imagen.
4.7.- En la figura se representa una fuente puntual de luz S, su imagen S1 obtenida
por medio de una lente, y el eje óptico de la lente OO1. Determinar, por construcción,
la posición de la lente y hallar su foco. ¿La imagen dada, es virtual o real?
S0
S1
4.8.- Un pez de pequeño tamaño se encuentra en el centro de una pecera
esférica de 40 cm. De diámetro. Encontrar la posición y el aumento lateral de la
imagen del pez, visto por un observador fuera de la pecera.
4.9.- Considérese un sistema periódico compuesto por lentes convergentes de
distancias focales f1 y f2, dispuestas alternativamente a una distancia d entre
ellas. Encontrar la condición de estabilidad de este sistema.
4.10.- En la figura se da la marcha del rayo ABC a través de una lente divergente.
Determinar por construcción, el foco de la lente.
C
B
A
TEMA 5:
5.1.- ¿Para qué valores del índice de refracción de un prisma rectangular es posible la
trayectoria del rayo representada en la figura? La sección del prisma es un triángulo
isósceles; el rayo incide normalmente en la cara AB.
A
B
5.2. - Dos rayos paralelos se propagan en el aire. En el camino de uno de ellos, se
coloca una lámina transparente, de índice n = 1,54 y espesor desconocido, que está
inclinada 30º con respecto a la horizontal. Si la diferencia de camino óptico entre los
dos rayos es de 0,00351 mm, calcular el espesor de la lámina.
5.3.- Considérese una lámina de vidrio plano-paralela de espesor d inmersa en aire,
una de cuyas caras se esmerila de modo que se comporta como un difusor; es decir,
refleja la luz en todas direcciones. Un rayo de luz incide perpendicularmente por la
cara transparente, observándose sobre la cara difusora un punto intenso de luz
rodeado de un círculo oscuro. Obtener una expresión para el radio de dicho círculo
oscuro en función del índice de refracción de la lámina y de su espesor.
TEMA 6:
6.1.- Un objeto O está a una altura h sobre el eje óptico de una lente delgada
convergente de distancia focal f, con distancia objeto s0. A una distancia s1 de la lente
se sitúa una pantalla. Aplicando el formalismo matricial de la óptica paraxial hállese: a)
la relación entre s0 y s1 para que la imagen de O se forme en la pantalla. b) El aumento
lateral del sistema en función de s0 y s1.
6.2.- Supongamos una esfera de radio 20 cm. e índice de refracción n = 1,6. Encontrar
mediante el formalismo matricial la posición del plano focal paraxial y los planos
principales.
6.3.- Se supone un resonador óptico compuesto por dos espejos esféricos de radios
R1 y R2, respectivamente y separados una distancia L. Obtener la condición de
estabilidad del sistema.
TEMA 7:
7.1.- Sea un sistema formado por dos lentes delgadas convergente L1 (f1 = 200 mm.,
D1= 50 mm.) y a su derecha L2 (f2 = 50 mm., D2 = 10 mm.) separadas 25 cm.
Calcúlese: a) El tamaño y situación de los diafragmas de apertura y de campo para un
punto axial muy alejado de L1.
7.2.- Una apertura circular de 1 cm. de diámetro es la pupila de entrada de un sistema
óptico. Dicha pupila está situada a medio camino entre una fuente de luz extensa y
una lente convergente de focal 10 cm. La lente proyecta una imagen de la fuente en
una pantalla situada a 14 cm. de la lente. Calcular el diámetro de la pupila de salida
del sistema.
7.3.- Se tiene una lente delgada convergente inmersa en aire de focal imagen: f’ = 10
cm. y diámetro D = 4 cm. A una distancia de 20 cm. a la derecha de la lente se coloca
un diafragma de diámetro d = 2 cm. Calcular la apertura numérica y el campo de
iluminación media para objetos situados en el plano focal objeto.
7.4.- ¿Es compatible la presencia de alguna aberración de Seidel con un
comportamiento estigmático objeto-imagen? Razónense la respuesta.
7.5.- Se considera un dioptrio esférico de radio R. Encontrar las condiciones para que
la aberración esférica sea cero.
7.6.- Los dos rayos que viajan paralelos al eje inciden en la cara plana de una lente
planoconvexa de índice de refracción n = 1.6. Si la cara convexa es esférica, un rayo
cerca del borde no atraviesa el punto focal (ocurre aberración esférica). Si esta cara
tiene un radio de curvatura de 20 cm, y los dos rayos inciden a alturas h = 0.5 cm y 12
cm del eje, hallar la diferencia entre las posiciones donde éstos cruzan el eje.
(para valientes!)