U U U U x y z x y z δ δ δ ∆ = ∆ + ∆ + ∆ δ δ δ

IES La Magdalena.
Avilés. Asturias
PROPAGACIÓN DE ERRORES
Cuando obtenemos una magnitud de forma indirecta (a partir de cálculos en los que intervienen medidas
directas), debemos de tener en cuenta la incertidumbre de las medidas directas y su propagación debido a
las operaciones matemáticas a las que las sometamos.
Para una magnitud (U) que dependa de varias variables:
U = f(x,y,z), el error se calcula según (Gauss):
2
2
  δU
 δU
  δU

∆U = 
∆x  + 
∆y  + 
∆z 
 δx
  δy

  δz
• Una sola variable:
∆U =
U = f(x)
2
dU
∆x
dx
Ejemplo. Cálculo del volumen de una esfera
Datos : r = 2,30 ± 0,05 cm
4
4
V = πr 3 = π 2,303 cm3 = 51,0 cm3
3
3
dU 4
3 πr 2 = 4πr 2
=
dr
3
dU
∆V =
∆r = 4πr 2 ∆r = 4π 2,302 cm2 0,05 cm = 3,32 cm3 ≈ 3 cm3
dr
La cifra del error ha de coincidir, en orden de magnitud, con la última cifra significativa de la medida.
Expresión : V = 51 ± 3 cm3
U = a x ∆U = a ∆x
x
∆x
U=
∆U =
a
a
a = cons tan te
Una sola c.s
Si para calcular el periodo de de un péndulo tomamos el tiempo que
tarda en dar cinco oscilaciones, cometiendo un error de 0,001 s (incertidumbre del cronómetro), para obtener el periodo hay que dividir
la medida entre cinco, y el error también quedará dividido entre cinco.
(Hay que tener en cuenta que a la hora de expresar la medida si el
error calculado es menor que la incertidumbre del aparato de medida
se debe poner esta como error).
Ejemplo. Cálculo de la longitud de una circunferencia:
Dato : D = 20,5 ± 0,1cm
(Diámetro)
El error sería 0,1 cm / 2= 0,05 cm, pero como es
R = 10,3 ± 0,1cm
inferior a la precisión del aparato tomamos 0,1 cm
L = 2 π R = 2 π . 10,3 cm = 64,7 cm
∆L = 2 π ∆R = 2 π . 0,1cm = 0,628 cm ≈ 0,6 cm
L = 64,7 ± 0,6 cm
FisQuiWeb
Propagación de errores
• Dos variables (producto, cociente):
a = cte 


a = cte 

U = a xn ym
U=a
xn
ym
2
 ∆x   ∆y 
∆U = U  n

 + m
y 
 x  
Ejemplo. Determinación de "g" mediante un péndulo:
g = 4 π2
2
L
T2
Para T = 1,440 ± 0,002 s
L = 0,500 ± 0,001m
g = 4π2
L
0,500 m
m
= 4π2
= 9,52 2
2
2 2
T
1,440 s
s
2
2
m
 ∆L   2∆T 
∆g = g 
+
= 9,52 2


s
 L   T 
Expresión : g = 9,52 ± 0,02
U=a
x
y
2
m
s2
a = cte 


a = cte 

U=ax y
Para:
2
m
m
 0,001   0,002 
 0,500  +  1, 440  = 0,023 s2 = 0,02 s2

 

2
 ∆x   ∆y 
∆U = U 

 +
 x   y 
• Dos variables (suma, diferencia):
2
U= a x ±b y
n
 ∆y 
 ∆x 
∆U = T1  n
+ T22  m


y 
 x 

m
2
Donde : T1 = a x n ;T2 = b ym
Para :
U=x+y
∆U = ∆x 2 + ∆y 2
2
2