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1
1.
EXPERIMENTO No. 2:
2.
OBJETIVO


Estudiar las características de los movimientos oscilantes en un sistema masa – resorte:
Como un movimiento armónico simple (MAS).
Como un movimiento armónico amortiguado (MAA).
3.
TEORÍA
A.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y
AMORTIGUADO
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Cuando a un sistema oscilante se le perturba desde su posición de equilibrio estable, se
producen oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. La característica que
identifica a una oscilación es su periodicidad, es decir, se repite sucesivamente.
Existen muchos ejemplos familiares de oscilaciones: los péndulos de reloj, las cuerdas de
los instrumentos musicales que vibran para producir sonidos, etc.
Un caso muy importante de movimiento oscilatorio es el movimiento armónico simple
(MAS) que se genera cuando al desplazar un objeto desde su posición de equilibrio
estable, aparece una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento. El sistema
oscila sin fricción.
El sistema masa - resorte es un ejemplo típico en el que se genera un MAS. Figura (1).
Fig. 1 a) Resorte sin deformar. b) El sistema masa–resorte está en
equilibrio, con el resorte deformado y se cumple que k x o = m g.
c) La posición de equilibrio indicada en b) permite definir el
origen de coordenadas para el eje X. La masa m oscila con
respecto al punto O, con A  x  +A
Utilizando la expresión para la fuerza elástica del resorte: F =  kx y aplicando la 2da
d2x
Ley de Newton F = ma = m 2 , resulta la siguiente ecuación diferencial:
dt
m a =  k x …...……..............………………. (1)
2
d2x
k
a  2 ( ) x
m
dt
reordenando,
(2)
La solución de esta ecuación nos da la expresión para la posición (x) de la masa m en cualquier
instante t:
x(t) = A cos (ot + ). ......................................................... (3)
A : amplitud del MAS.
k
frecuencia angular natural del sistema.
ω0 
m
: fase inicial del movimiento.
f: Frecuencia del MAS. Es el número de oscilaciones por segundo.
f
ω0
1
k
( )
2π
2π m
T: Periodo. Es el tiempo que dura una oscilación.
1
m
T   2π
..................................................…….(4)
f
k
B.
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO
En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica en forma de calor
debido a alguna fuerza de fricción existente; por consiguiente la energía mecánica inicial
del movimiento disminuye continuamente hasta que el movimiento cesa, a este
movimiento se le denomina movimiento armónico amortiguado.
En la figura (2) la oscilación del cuerpo se amortigua
debido al movimiento del émbolo dentro del líquido. La
fricción y por tanto la pérdida de energía por unidad de
tiempo depende del tamaño y forma del émbolo así como
también de la viscosidad del líquido.
Fig.(2)
Movimiento Armónico Amortiguado
La representación más sencilla y común de una fuerza viscosa es aquella proporcional a
la velocidad de la masa pero en sentido opuesto. Ec.(5)
F  bv  b
f
dx ………………………………..(5)
dt
3
Donde b es una constante llamado factor de amortiguamiento. Agregando esta fuerza en
la ec.(1) resulta la ecuación diferencial que representa a un movimiento armónico
amortiguado. Luego de ordenar:
2
d x b dx k

 x  0 ……………………..............(6)
dt m dt m
2
La solución de esta ecuación diferencial nos da la expresión para la posición x de la
masa m en cualquier instante t :
x(t) A0e

b
t
2m
cos(ωd t  δ) …………….............. (7)
A 0 = Amplitud inicial del movimiento.

b
t
A  A 0e 2m es la amplitud en función del tiempo t. A0 > 0.
Frecuencia angular d del movimiento armónico amortiguado:
ωd  ω02  (
4.
…………………………..(8)
EQUIPO









5.
b 2
)
2m
01 Resorte de 10cm de longitud con cuerda de seguridad
01 Juego de pesas de bronce de 50, 100 y 200g.
01 Regla de madera de 1m.
01 Cronómetro digital
01 Base triangular de fierro
02 Varillas de fierro de 75cm. x ½”
01 Mordaza de Fe de 3”
01 Pieza metálica con émbolo
01 Recipiente de plástico con graduación.
PROCEDIMIEMTO
Cálculo de la Constante Elástica del Resorte (K)
NOTA. Asegúrese que la cuerda de seguridad del resorte no se encuentre rota.
1)
2)
Suspenda el resorte de la varilla horizontal y mida su longitud (Lo).
Coloque sucesivamente masas desde 100g hasta 300g, cada 50g, midiendo las
diferentes longitudes del resorte estirado (L). Anote los datos en la Tabla I.
Tabla I
L o = ________ cm ,
L = L – L0
4
Masa ( kg )
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
L(cm)
L (cm)
F(N)
Movimiento Armónico Simple
1)
Suspenda del resorte masas desde 100g hasta 300g cada 50g y haga oscilar el
sistema con pequeñas amplitudes para no malograr el resorte.
Haga oscilar cada masa midiendo el tiempo cada 10 oscilaciones, repita este
procedimiento cinco veces por masa y anote en la Tabla II.
2)
Tabla II
Masa (kg) Tiempo t(s) de 10
oscilaciones
t1 t2 t3 t4 t5
Periodo Prom.
t
T i
50
1/m (Kg -1)
(rad/s) 2(rad/s)2
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
Movimiento Armónico Amortiguado
1) Instale el equipo como en la fig.(2). Agregando al émbolo la masa de 100g , haga
oscilar al sistema y tome el tiempo de cuatro oscilaciones, repita hasta tres veces en
total y anote en Tabla III. En la última columna de esta tabla va el tiempo promedio
de una oscilación, que será periodo promedio Tpromedio de las oscilaciones amortigua
das.
Tabla III.
Masa émbolo = ……………..
Masa total (Masa embolo + 100)g =……………..
Tiempo de 04 oscilaciones
t1
t2
t3
Periodopromedio
T
2) Vuelva a hacer oscilar el sistema con una amplitud inicial A0 = 6 cm en t=0, en plena
oscilación anote las siguientes cinco amplitudes, es decir, tome la amplitud en la
primera, segunda, etc; oscilaciones y complete la tabla IV. Tenga en cuenta que el
final de la 1a oscilación ocurre en t = T; la segunda oscilación ocurre en t = 2T, etc.
TABLA IV
5
A (cm)
t (s)
6.
0
CÁLCULOS Y RESULTADOS
a) Usando los datos de la Tabla I, graficar Fuerza vs deformación (L). Calcular a partir de la
ecuación de este gráfico la constante elástica del resorte.
Pendiente = K = ______________________N/m
b). De los datos de la Tabla II graficar  vs 1/m y 2 vs. 1/m. Halle la pendiente de la recta
más aproximada, demuestre que está pendiente es igual a la constante k del resorte. Compare
con el obtenido en 6a y calcule el % de la diferencia.
pendiente = K =________________N/m
c). De los datos de la Tablas IV grafique Amplitud vs. tiempo.
d) Complete la Tabla V
Tabla V.
masa = _________
o = _________
A (cm)
t (s)
Ln (A)
e) Graficar Ln(A) vs t. Halle la pendiente y demuestre que de este valor se obtiene el
coeficiente de amortiguación “b”.
f) De la ec (8) halle la frecuencia del movimiento amortiguado (d) y el periodo del
movimiento amortiguado Td
7.
CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES
8.
CUESTIONARIO (5 puntos)