Informe - Escuela de Ingeniería Eléctrica
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Universidad de Costa Rica
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Eléctrica
IE – 0502 Proyecto Eléctrico
Compuertas lógicas ópticas
Por:
Pierre van der Laat Ulate, 943654
Ciudad Universitaria Rodrigo Facio
Diciembre del 2007
Compuertas lógicas ópticas
Por:
Pierre van der Laat Ulate
Sometido a la Escuela de Ingeniería Eléctrica
de la Facultad de Ingeniería
de la Universidad de Costa Rica
como requisito parcial para optar por el grado de:
BACHILLER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
Aprobado por el Tribunal:
_________________________________
Ing. Luís Diego Marín Naranjo
Profesor Guía
_________________________________
Ing. Ignacio Ramírez Antillón
Profesor lector
_________________________________
Ing. Jaime Allen Flores
Profesor lector
ii
DEDICATORIA
A Dios, el único que nunca se equivoca, porque todos nosotros nos equivocamos
una y mil veces.
A mis padres, por su apoyo.
A mis profesores y a la Universidad de Costa Rica por haberme educado.
iii
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE DE FIGURAS...................................................................................vi
ÍNDICE DE TABLAS.................................................................................. viii
NOMENCLATURA........................................................................................ix
RESUMEN........................................................................................................x
CAPÍTULO 1: Introducción ...........................................................................1
1.1
Objetivos.................................................................................................................5
1.1.1
Objetivo general..............................................................................................5
1.1.2
Objetivos específicos ......................................................................................5
1.2
Metodología ............................................................................................................5
CAPÍTULO 2: Desarrollo teórico ..................................................................6
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Compuertas lógicas optoelectrónicas con interferencia no-coherente....................7
2.1.1
Relaciones importantes en el desarrollo de las compuertas lógicas ópticas de
n-entradas......................................................................................................................13
2.1.2
Ecuaciones que rigen las compuertas ‘OR’, ‘NOR’, ‘AND’, ’NAND’ .......14
2.1.3
El ‘OR’ optoelectrónico................................................................................16
2.1.4
El ‘NAND’ optoelectrónico..........................................................................19
2.1.5
Compuertas ‘NOR’ y ‘AND’ optoelectrónicas ............................................22
Compuertas lógicas optoelectrónicas con interferencia coherente .......................23
Análisis teórico de la velocidad de conmutación y procesamiento de datos ........24
Fototransistores .....................................................................................................35
Fotorresistencias ...................................................................................................39
CAPÍTULO 3: Informes................................................................................40
3.1
Informe de la construcción de dos compuertas AND optoelectrónicas................40
3.2
Informe del diseño de compuertas optoelectrónicas utilizando interferencia
constructiva de ondas no-coherentes. ...................................................................................44
3.3
Informe del diseño de compuertas optoelectrónicas utilizando interferencia
constructiva de ondas no-coherentes. ...................................................................................46
CAPÍTULO 4: Conclusiones y recomendaciones .......................................47
BIBLIOGRAFÍA............................................................................................51
APÉNDICE A .................................................................................................53
A.1
Suma de ondas electromagnéticas coherentes: .....................................................53
iv
A.2
A.3
Suma de ondas electromagnéticas no-coherentes .................................................55
Interferencia de ondas electromagnéticas coherentes con desfase de 0° y 180°: .56
A.3.1
Ecuaciones para un desfase de 0°: ................................................................57
A.3.2
Ecuaciones para un desfase de 180°: ............................................................58
APÉNDICE B .................................................................................................59
B.1 Demostración del algoritmo de la sección 2.1.3 ............................................................59
B.2 Demostración del algoritmo de la sección 2.1.4 ............................................................60
APÉNDICE C .................................................................................................62
C.1
Demostración del mejor caso para compuertas optoelectrónicas. ........................62
C.2 Demostración de resultados de la sección 2.3................................................................66
C.2.1
Demostración de las desigualdades f 1 < f 2 (ecuación (2.3-16)) .................66
C.2.2 Demostración de la desigualdad f 3 < f 1 : ..........................................................69
APÉNDICE C .................................................................................................72
C.1
MUESTRAS Y ORDENACIONES .....................................................................72
ANEXO 1 ........................................................................................................76
1.1
1.2
Código fuente en MatLab 6.5 de Figura 2.14 .......................................................76
Código en MatLab para Figura C.1 ......................................................................78
ANEXO 2 ........................................................................................................80
2.1 Fotos de las compuertas de la sección 3.1. .....................................................................80
ANEXO 3 ........................................................................................................85
3.1 Datos del fabricante para componentes. .........................................................................85
v
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1. Desarrollo del número de transistores en los procesadores de INTEL y la ley
de Moore. ............................................................................................................................2
Figura 2.1. (a) Circuito comúnmente utilizado para el fotodiodo detector, y que se
propuso inicialmente para el diseño de las compuertas OR y NAND. (b) Circuito del
comparador ventana, cuya salida estará en alto cuando la señal del fotodiodo esté entre
los valores deseados............................................................................................................8
Figura 2.2. (a) Entrada láser modulada por interferómetro Mach-Zehnder. (b) Entrada
LED modulada por corriente. ...........................................................................................10
Figura 2.3. (a) Recta característica de Potencia Óptica vrs. Corriente para los diodos
emisores de luz o LED’s. (b) Curva característica de Potencia Óptica vrs. Corriente
según la temperatura ambiente para el diodo láser. (c) Modulación digital del diodo
láser. ..................................................................................................................................11
Figura 2.4. Curva característica para el interferómetro Mach-Zehnder...........................12
Figura 2.5. (a) Diagrama de bloques para construir compuertas con láseres. (b)
Diagrama de bloques para construir compuertas con LED’s. El inversor electrónico se
coloca sólo cuando es necesario. ......................................................................................13
Figura 2.6 Circuito detector para el “OR” optoelectrónico. La flecha negra indica el
fotodiodo. ..........................................................................................................................16
Figura 2.7. Diagrama de bloques del circuito que NO INVIERTE la entrada. (a) Con
láser. (b) Con LED...........................................................................................................17
Figura 2.8. Diagrama de bloques del circuito que INVIERTE la entrada. . (a) Con láser.
(b) Con LED. ....................................................................................................................17
Figura 2.9. Circuito detector del ‘NAND’ optoelectrónico. Las flechas negras indican el
fotodiodo. ..........................................................................................................................19
Figura 2.10. Diagrama de bloques del circuito que INVIERTE la entrada para el bit ‘m’
NO NEGADO en ‘S’=0, (a) con láser, (b) con LED. .......................................................20
Figura 2.11. Diagrama de bloques del circuito que NO INVIERTE la entrada para el bit
‘l’ NEGADO en ‘S’=0, (a) con láser, (b) con LED. .........................................................20
Figura 2.12. Circuito detector del fotodiodo para las compuertas ‘NOR’ y ‘AND’. ......22
Figura 2.13. Circuitos equivalentes entre sí. (b) Circuito equivalente del fotodiodo. ....27
vi
Figura 2.14. Gráfico de las funciones f 1 , f 2 , y f 3 (ecuaciones (2.3-11), (2.3-14) y (2.312) respectivamente), para el ejemplo con Imax = 10mA, C = 1pF, Vcc = 5V, y n1 de 2 a
171 bits. Aquí se utiliza la función gamma. ....................................................................33
Figura 2.15. Conexiones externas hechas a un fototransistor n-p-n. (a) Radiación
absorbida en la región de la base causa que se fluya una corriente del emisor a través de
la resistencia de carga RL y por tanto aparecerá un voltaje de señal en ella. (b) Las
corrientes que se asumen fluyen en el fototransistor. .......................................................37
Figura 2.16.Estructura n-p-n del fototransistor basado en una heterounión InGaAsP/InP.
..........................................................................................................................................38
Figura 3.1. Circuito emisor con IRLED’s para los arreglos de la figura 3.2 y la Figura
3.3. ....................................................................................................................................41
Figura 3.2. Circuito emisor IRLED (izquierda), y circuito detector con fotorresistencias
y LED (LED genérico visible como indicador de salida).................................................42
Figura 3.3. Circuito emisor IRLED (izquierda), y circuito detector con fototransistores y
LED (LED verde como indicador de salida). ...................................................................43
Figura C.1 Gráfica de la función (C.1-1), para ‘n’=0 a 15. ..............................................63
Figura Anexo.2.1.1. Foto del arreglo optoelectrónico con fotorresistencias para el caso
en que ambas entradas están en bajo. LED verde apagado..............................................80
Figura Anexo.2.1.2. Foto del arreglo optoelectrónico con fotorresistencias para el caso
en que la primera de las entradas están en bajo, y la segunda de las entradas están en
bajo. LED verde apagado.................................................................................................81
Figura Anexo.2.1.3. Foto del arreglo optoelectrónico con fotorresistencias para el caso
en que la primera de las entradas estaba en alto, y la segunda de las entradas están en
bajo. LED verde apagado.................................................................................................81
Figura Anexo.2.1.4. Foto del arreglo optoelectrónico con fotorresistencias para el caso
en que ambas entradas están en alto, y se observa el LED verde encendido....................82
Figura Anexo.2.1.5. Foto del arreglo optoelectrónico con fototransistores para el caso en
que ambas entradas están en bajo. LED verde apagado. .................................................82
Figura Anexo.2.1.6. Foto del arreglo optoelectrónico con fototransistores para el caso en
que la primera entrada está en bajo y la segunda en alto. LED verde apagado. ..............83
Figura Anexo.2.1.7. Foto del arreglo optoelectrónico con fototransistores para el caso en
que la primera entrada está en alto y la segunda está en bajo. LED verde apagado........83
Figura Anexo.2.1.8. Foto del arreglo optoelectrónico con fototransistores para el caso
en que ambas entradas están en alto, y se observa el LED verde encendido....................84
vii
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2.1. Tabla de verdad de las entradas y las salidas del circuito de la figura 2.1 (a). .7
Tabla 2.2. Tabla de verdad del circuito de la Figura 2.6. .................................................16
Tabla 2.3 Ejemplo para S= x3' + x2' + x1 .............................................................................18
Tabla 2.4. Tabla de verdad del circuito de la figura 2.9. .................................................19
Tabla 2.5 Ejemplo para ( x3' x2' x1 )’. ....................................................................................21
Tabla 2.6. Algunos resultados tabulados de las funciones f 1 , f 2 , y f 3 (ecuaciones (2.311), (2.3-14), y (2.3-12) respectivamente). Note que las frecuencias son las frecuencias
equivalentes para la compuerta de principio a fin y se consideró el peor caso para la
compuerta electrónica. Para estos datos se tomaron los valores Imax = 10mA, C = 1pF,
Vcc = 5V, y n1 de 2 a 128 bits de entrada. .......................................................................34
Tabla 3.1. Tabla de verdad de la compuerta AND con fotorresistencias del circuito de la
figura 3.2, y la Figura 3.3..................................................................................................42
Tabla Anexo.3.1.1. Datos del fabricante para uno de los fototransistores de la Figura 3.3.
Parte # 276-142 de Radio Shack.......................................................................................86
Tabla Anexo.3.1.2. Datos de cada IRLED. Parte #276-142 de Radio Shack.................86
viii
NOMENCLATURA
Rango(A)
Rango de la matriz A.
N
Conjunto de los números naturales ({0, 1, 2, 3, …})
x∈N
El elemento x pertenece al conjunto de números naturales.
‘S’
Salida de la interferencia constructiva o destructiva de todas las
entradas ópticas.
S
Salida de la compuerta lógica
bi
Resultado de la i-ésima ecuación de la matriz.
xi
i-ésimo bit significativo de los datos de entrada.
xm
Bit m-ésimo que NO está NEGADO en ‘S’ en bajo.
xl'
Bit l-ésimo que está NEGADO en ‘S’ en bajo.
C
Variable de ‘control’ utilizada para obtener un valor deseado en ‘S’,
tiene un valor constante en la tabla de verdad.
c
Valor de la variable C en el sistema.
∞
n!= Γ(n) = ∫ t n −1e −t ∂t
Función “factorial” o función “gamma”, definida para
0
números complejos, en nuestro caso los podemos
considerar tanto reales como enteros positivos.
ix
RESUMEN
El objetivo principal de este trabajo fue demostrar un principio de funcionamiento
de compuertas lógicas ópticas. Este objetivo fue llevado a cabo mediante dos modalidades
principales de compuertas optoelectrónicas:
•
Con fotodiodos.
•
Con fototransistores o fotorresistencias.
El primero fue estudiado desde el punto de vista teórico y comprende
principalmente su aplicación a compuertas de 2 ó más entradas. En la sección 2.3 se
analiza desde el punto de vista teórico-matemático los arreglos optoelectrónicos con
fotodiodos, demostrándose que los circuitos electrónicos superan a estos diseños
optoelectrónicos por al menos poco más de un orden de magnitud, bajo especificaciones
similares de velocidad de conmutación de los componentes. Por lo tanto aún cuando la
óptica puede superar la electrónica en cuanto a velocidad de ancho de banda, para que los
diseños de las secciones 2.1 y 2.2 tomen valor, los fotodetectores deberían superar a la
electrónica en al menos cerca de dos órdenes de magnitud.
Para el segundo punto, que se planteó como un objetivo extra, se analizó
brevemente, y se armó un experimento demostrativo basado en un diseño de la referencia 7.
Este arreglo óptico se pretende utilizar como experimento demostrativo para el LAFTLA.
Por fin, con esto se demostró que se pueden utilizar circuitos relativamente sencillos para
armar una compuerta lógica AND optoelectrónica de dos entradas.
x
CAPÍTULO 1: Introducción
La carrera para la creación de computadoras más potentes y más rápidas viene
dándose desde hace varias décadas. Esta carrera se ve mejor resumida en la Ley de Moore.
“En 1965 Gordon Moore afirmó que la tecnología tenía futuro, que el número de
transistores por pulgada en circuitos integrados se duplicaba cada año y que la tendencia
continuaría durante las siguientes dos décadas.
Algo más tarde modificó su propia ley al afirmar que el ritmo bajaría, y la densidad
de los datos se doblarían aproximadamente cada 18 meses. Esta progresión de crecimiento
exponencial, doblar la capacidad de los microprocesadores cada año y medio, es lo que se
considera la Ley de Moore.” 1
La figura 1.1 muestra la progresión del número de
transistores en los procesadores Intel.
Sin embargo, ya han pasado más de dos décadas, y en general la ley se siguió
cumpliendo. Entonces, ¿tiene límite la velocidad y densidad de los transistores en los
procesadores? Pues bien, la respuesta no es sencilla. Aunque por un lado, en la actualidad,
en el mercado se consiguen procesadores INTEL de alrededor de poco más de 3 GHz,
también es cierto que existen transistores capaces de conmutar a velocidades superiores a
los 800 GHz en laboratorios especializados2 y bajo condiciones especiales.
1
2
Ver referencia 5
Ver referencia 6
1
2
Figura 1.1. Desarrollo del número de transistores en los procesadores de INTEL y la
ley de Moore3.
Sin embargo, en el caso de la electrónica, se tiene la desventaja de que estos
transistores con los que se pueden construir compuertas lógicas, lo hacen muy bien para
compuertas lógicas de dos entradas y una salida, mientras que en los buses de datos (que
pueden considerarse como compuertas lógicas de más de dos entradas y si es necesario de
más de una salida) empiezan a tener un desempeño cada vez más pobre conforme aumenta
el número de entradas y salidas.
Es esta una de las posibles aplicaciones donde pudiera llegar a ser importante la
óptica para los procesadores. Debido a que las guías de onda, con su tamaño reducido y
capacidad actual de transmisión a altísimas velocidades (fácilmente a 10 GHz, aunque a un
precio aún no tan bajo), se convierte en una opción importante para la implementación de
2
3
los buses de datos (como las memorias RAM) y líneas de transmisión entre transistores que
se encuentren a “largas distancias entre sí” dentro de los procesadores. Y es que en los
últimos años se ha venido desarrollando enormemente la industria de la optoelectrónica, no
sólo con las guías de onda monomodo sobre silicio, sino también, con láseres bombeados
eléctricamente que son construidos virtualmente dentro de las capas de silicio 4 , y que
eliminan la necesidad de alineamientos manuales, que son costosos y engorrosos, y que
sirven para alinear el láser y la guía de onda. Inclusive, se sabe5 que mediante métodos
similares también se pueden construir moduladores de fase electro-ópticos y elementos nolineales tales como los SOA’s (Semiconductor Optical Amplifier), limpiando el camino
hacia la implementación de funciones lógicas complejas en “chips optoelectrónicos”.
A lo largo de este trabajo, se expone un modelo matemático, para aplicar algunas de
estas nuevas tecnologías y determinar la mejor manera de implementar “chips
optoelectrónicos”. Para lo anterior se usaron dos enfoques principales:
•
La optoelectrónica, con base en la interferencia constructiva de ondas
electromagnéticas no coherentes
•
Y la optoelectrónica, con base en la interferencia constructiva y
destructiva de ondas electromagnéticas coherentes.
Para el diseño mediante la tecnología optoelectrónica con base en la interferencia
constructiva no coherente, se pretende desarrollar una base teórica para poder implementar
casi cualquier tipo de compuerta lógica. Esta tecnología tiene la ventaja potencial de
3
4
Ver referencia 5.
Ver referencia 8 y 13.
3
4
poderse implementar mintérminos de 2 ó más entradas en una sola unidad y que permitiría
realizar en 1 solo ciclo operaciones que normalmente requerirían de 2 a más ciclos en total.
Para el diseño de la tecnología optoelectrónica con base en interferencia
constructiva y destructiva de ondas electromagnéticas coherentes, también se pretende
desarrollar una base teórica para la implementación de varias funciones lógicas, inclusive
con algunas funciones de más de un mintérmino, y que en algunos casos se podrían realizar
en sólo 1 ciclo.
Finalmente como aplicaciones a los temas aquí tratados tenemos para las
compuertas lógicas optoelectrónicas en general:
5
•
Bus de datos.
•
Matrices de memorias RAM.
•
Demultiplexores.
•
Routers.
•
Etc.
Ver referencia 9.
4
1.1 Objetivos
1.1.1
Objetivo general
•
Demostrar teóricamente un principio de funcionamiento para
compuertas lógicas ópticas.
1.1.2
Objetivos específicos
•
Demostrar de manera teórica un principio de funcionamiento a
partir de elementos ópticos y optoelectrónicos de cuatro
compuertas lógicas básicas:
o AND
o NAND
o OR
o NOR
1.2 Metodología
La metodología a seguir es de estudio teórico de algunos casos representativos de la
posibilidad de implementación de compuertas lógicas de básicamente 2 tipos:
•
La optoelectrónica, con base en la interferencia constructiva nocoherente de ondas electromagnéticas no-coherentes.
•
La optoelectrónica, con base en la interferencia constructiva y
destructiva de ondas electromagnéticas coherentes.
5
CAPÍTULO 2: Desarrollo teórico
Inicialmente se pensó en diseñar compuertas lógicas ópticas con elementos
optoelectrónicos que fuesen capaces de realizar, en un solo ciclo, lo que requiere de
muchos ciclos en las compuertas electrónicas tradicionales. Conforme se avanzó en el
desarrollo de estas ideas se encontraron varias limitantes teóricas que hacen que estas
compuertas lógicas, con el diseño que se planteó inicialmente, no fuesen viables desde el
punto de vista práctico.
En la sección 2.1 se incluyeron los lineamientos básicos para el diseño de las 4
compuertas lógicas básicas optoelectrónicas (a saber ‘OR’, ’NOR’, ’AND’, y ’NAND’).
En la sección 2.2, se aborda brevemente el tema de compuertas lógicas
optoelectrónicas basadas en interferencia coherente de ondas electromagnéticas, así como
un ejemplo de una compuerta.
En la sección 2.3 se incluyó una demostración teórico-matemática de porqué las
compuertas electrónicas de dos entradas (o ¿por qué no también, las compuertas ópticas de
dos entradas?) son, bajo condiciones similares de ancho de banda de los componentes,
mucho más veloces que las compuertas lógicas optoelectrónicas basadas en un principio
decodificación analógico.
6
7
2.1
Compuertas lógicas optoelectrónicas con interferencia no-coherente
En la bibliografía se encuentran reportes de LED’s que conmutan a velocidades de
hasta 4GHz6 y que podrían ser utilizados para la construcción de chips de memoria con
tecnología LED o láser, como por ejemplo se hace con los optoacopladores. O también se
pueden construir compuertas lógicas con el diseño que aquí se propuso. Para este diseño se
utilizó la teoría de interferencia no-coherente del Apéndice A.
En general se propuso un circuito muy utilizado para el fotodiodo detector, este se
muestra en la figura 2.1 (a) y (b).
Tabla 2.1. Tabla de verdad de las entradas y las salidas del circuito de la figura 2.1
(a).
6
Número de entradas en ‘on’
Salida
0
0
1 ó más
1
Ver referencia 11
7
8
D119
V+
8
U5A
3
+
V1
2
R3
5Vdc
-
LF353/NS
Salida
4
4k
5Vdc
1
V-
OUT
V3
V4
Vdc
Vdc
0
(a)
V+
8
U7A
3
+
R5
1
4
Vdc
OUT
2
V7
LF353/NS
V-
1k
V6
D120
5Vdc
0
R4
0
U6A
8
V8
3
+
V+
1k
Vdc
R6
0 2
R7
1
1k
-
R8
V-
1k
OUT
Salida
1k
4
LF353/NS
0
(b)
Figura 2.1. (a) Circuito comúnmente utilizado para el fotodiodo detector, y que se
propuso inicialmente para el diseño de las compuertas OR y NAND. (b) Circuito del
comparador ventana, cuya salida estará en alto cuando la señal del fotodiodo esté
entre los valores deseados.
Los detectores de la figura 2.1 constan de una fuente de polarización que alimenta
un fotodiodo y una resistencia, la resistencia sirve para convertir en voltaje la corriente del
fotodiodo. Por otro lado, el amplificador operacional en modo comparador, sirve para
comparar el voltaje producido por la corriente del fotodiodo con un voltaje dado que, por
8
9
ejemplo en el caso de una compuerta OR, podría indicar cuando en la entrada hay sólo una
entrada en alto, o sólo dos entradas en alto, y así por el estilo.
En lugar de un solo amplificador operacional también se pueden agregar varios en
paralelo en configuración comparador ventana, de manera que cuando el voltaje producido
por la corriente del fotodiodo que pasa por la resistencia está entre dos niveles dados se
produce una salida en alto en esa parte del circuito. Lo anterior funciona en general como
un convertidor analógico-digital. El detalle, está en que cambiando la función de entrada,
invirtiendo (por medio de un inversor electrónico) o dejando sin invertir la entrada, se
cambia también, la función de salida. Para estos casos, hay que tomar en cuenta que no se
pueden alimentar un número ilimitado de amplificadores operacionales por cuanto estos
consumen corriente que, aunque poca, le resta fuerza a la señal del fotodiodo.
Por otro lado, en las compuertas, inicialmente se consideró como posibles fuentes
de luz para implementar la entrada de la compuerta lógica optoelectrónica un láser CW
(onda continua, por sus siglas en inglés) modulado por una interferómetro Mach-Zehnder, o
en su defecto, un LED controlado por corriente, como en la figura 2.2. Con respecto al
láser, estos se modulan por medio de un interferómetro Mach-Zehnder, y no por corriente,
debido a la llamada corriente de umbral que es la corriente mínima necesaria para que un
láser empiece a emitir luz coherente y entre en la llamada zona lineal. La ecuación
característica del interferómetro Mach-Zehnder es la ecuación (2.1-1) y su gráfico (donde
‘ Vπ ’ se llama voltaje de media onda, y se refiere al voltaje necesario para que el ángulo de
desfase entre las trayectorias sea igual a 180°), se encuentra en la figura 2.4, mientras tanto,
9
10
el gráfico característico de la recta Corriente vrs. Potencia Óptica del LED es lineal, su
función es la ecuación (2.1-2) y se muestra en la figura 2.3.
πV
Pout
= 0.51 + cos
Pin
Vπ
(2.1-1)
En la ecuación (2.1-1) ‘Pout’ es la irradiancia de salida del interferómetro de MachZehnder (ver figura 2.4), ‘Pin’ es la irradiancia de entrada, ‘V’ es el voltaje aplicado a los
terminales del interferómetro.
(2.1-2)
P = ηiW g
En la ecuación (2.1-2) ‘P’ es la potencia óptica de salida del LED, ‘i’ es la carga
(corriente) inyectada por segundo, y ‘Wg’ es la energía de hueco del material (entre los
niveles de energía).
Por lo que queda demostrada la respuesta lineal de la relación
Potencia-Corriente en el LED.
Interferómetro.
Mach-Zehnder
Láser CW
(a)
(b)
Figura 2.2. (a) Entrada láser modulada por interferómetro Mach-Zehnder. (b)
Entrada LED modulada por corriente.
Como se muestra en la figura 2.3 (b) y (c), la potencia óptica equivalente a un cero
lógico en la modulación digital de un diodo láser, es considerable, y de ahí la importancia
10
11
del interferómetro Mach-Zehnder, ya que este provee un cero lógico con una potencia
relativa mucho menor al de la modulación digital.
(a)
(b)
(c)
Figura 2.3. (a) Recta característica de Potencia Óptica vrs. Corriente para los diodos
emisores de luz o LED’s7. (b) Curva característica de Potencia Óptica vrs. Corriente
según la temperatura ambiente para el diodo láser8. (c) Modulación digital del diodo
láser9.
7
Ver referencia [6]
Ver referencia [6]
9
Ver referencia [6]
8
11
12
Figura 2.4. Curva característica para el interferómetro Mach-Zehnder10.
El arreglo óptico general en que se pensó para construir las compuertas lógicas
ópticas fue el de la figura 2.5. En la figura 2.5(a) y (b) el inversor electrónico es para
aquellas compuertas lógicas en que se invierte la entrada a la compuerta, y por ende debe
estar sólo en caso necesario. Además se puede agregar un prisma, un acoplador de fibra
óptica, o un acoplador de guía de onda para unir las ondas electromagnéticas antes de ser
detectadas por el fotodiodo dependiendo del medio en que se esparzan las ondas. La suma
de las irradiancias no-coherentes debió ser tal que no se dañara el fotodiodo por exceso de
radiación; y la suma de las irradiancias de los emisores en bajo debió ser tal que, fuera
menor a cuando hay sólo un emisor en alto.
10
Ver referencia [6]
12
13
Entrada
X1
Entrada
Xn
Inversor
electrónico
(opcional)
Inversor
electrónico
(opcional)
Interf.
MachZehnder
Fotodiodo
detector
Circuito
electrónico
Fotodiodo
detector
Circuito
electrónico
Interf.
MachZehnder
(a)
Entrada
X1
Entrada
Xn
Inversor
electrónico
(opcional)
Inversor
electrónico
(opcional)
LED
LED
(b)
Figura 2.5. (a) Diagrama de bloques para construir compuertas con láseres. (b)
Diagrama de bloques para construir compuertas con LED’s. El inversor electrónico
se coloca sólo cuando es necesario.
2.1.1
Relaciones importantes en el desarrollo de las compuertas lógicas ópticas de nentradas
En los Apéndices A.1, A.2 y A.3 se demostró la interferencia de haces coherentes,
no-coherentes, y coherentes con desfases de 0° y 180°, respectivamente. Recordemos que
la irradiancia de la luz es proporcional al cuadrado del campo eléctrico multiplicado por
13
14
una constante, sin embargo, para nuestros efectos consideramos en la sección 2.1 la onda
electromagnética como no-coherente, como lo es la luz de dos LED’s o dos láseres
diferentes. En el apéndice A se demostró que la intensidad de la suma de las ondas en la
vida real varia entre, la suma de los cuadrados de los campos eléctricos multiplicado por
una constante y, el cuadrado de la suma de los campos eléctricos multiplicados por una
constante (ver Apéndices A.1 y A.2).
2.1.2
Ecuaciones que rigen las compuertas ‘OR’, ‘NOR’, ‘AND’, ’NAND’
Para calcular la irradiancia resultante, en este capítulo 2 se asumió el caso de
interferencia no-coherentes (ver apéndice A.2), es decir, que la irradiancia resultante es
igual a la suma de las irradiancias.
Con el sistema de ecuaciones, formado por los valores de los bits de entrada según
la tabla de verdad, se pudo definir una matriz de la forma (2.1.2-1).
1
M
M
0
0
M
0
0
K
O
K
K
K
O
K
K
0
M
1
0
0
M
0
0
0
M
0
1
0
M
0
0
0
M
0
0
1
M
0
0
K
O
K
K
K
O
K
K
0
M
0
0
0
M
1
0
0 x n bn
M M M
0 xi +1 bi +1
0 xi bi
*
=
0 xi −1 bi −1
M M M
0 x 2 b2
1 x1 b1
(2.1.2-1)
14
15
Donde se denotó, sin pérdida de generalidad, los bits de datos de entrada de las
compuertas lógicas ópticas como la variable real11 ‘ xi ’. Así mismo, se denotó como bi , la
constante que determina el valor de ‘ xi ’.
Los valores de cada una de estas variables, se varían según las características de
diseño, y estas se pueden definir según sea la función lógica de la compuerta óptica.
La matriz cuadrada (2.1.2-1) es la matriz identidad. Y su Rango(A) = n, ya que el
rango es igual al número de ecuaciones linealmente independientes del sistema de
ecuaciones lineales.
Además, es de ‘n’ variables independientes, por lo que a cada matriz se le debió
proporcionar ‘n’ ecuaciones linealmente independientes y consistentes para encontrar la
solución particular que se usó en la construcción de cada compuerta lógica.
11
El valor de la variable puede tomarse como la amplitud del campo eléctrico de la onda electromagnética,
siempre que luego se haga la conversión a irradiancia cuando calcule la potencia que recibirá el fotodiodo..
15
16
2.1.3
El ‘OR’ optoelectrónico.
Para obtener la función lógica booleana ‘OR’, se consideró el circuito detector de la
figura 2.6.
D119
+
V+
8
U5A
3
V1
2
R3
5Vdc
-
5Vdc
LF353/NS
Salida
4
4k
1
V-
OUT
V3
V4
Vdc
Vdc
0
Figura 2.6 Circuito detector para el “OR” optoelectrónico. La flecha negra indica el
fotodiodo.
Tabla 2.2. Tabla de verdad del circuito de la Figura 2.6.
Entrada del fotodiodo
Salida
0
0
1
1
A continuación se describe el algoritmo que se consideró para diseñar un ‘OR’
óptico de n-entradas. Considere la siguiente función lógica12 S= (x n + K + xl' + K + x1 ) :
a) El dato de entrada xm =0 en ‘S’=0, si el bit ‘m’ NO está NEGADO en
‘S’=0, y el diagrama del circuito fue el de la Figura 2.7
12
Ver Apéndice B.1 para una demostración matemática de este algoritmo.
16
17
b) El dato de entrada xl' =1 en ‘S’ ≠ 0 , si el bit ‘l’ está en NEGADO en
‘S’=0, y el diagrama del circuito fue el de la Figura 2.8.
Interferómetro
Mach-Zehnder
Dato de
entrada
(a)
Dato de
entrada
LED
(b)
Figura 2.7. Diagrama de bloques del circuito que NO INVIERTE la entrada. (a) Con
láser. (b) Con LED.
Dato de
entrada
Inversor
electrónico
Interferómetro
Mach-Zehnder
(a)
Dato de
entrada
Inversor
electrónico
LED
(b)
Figura 2.8. Diagrama de bloques del circuito que INVIERTE la entrada. . (a) Con
láser. (b) Con LED.
17
18
2.1.3.1 Ejemplo de un ‘OR’ optoelectrónico de 3 entradas
En el siguiente ejemplo se verificó el resultado del algoritmo anterior mediante la
tabla de verdad resultante de este planteamiento para un caso específico.
Tabla 2.3 Ejemplo para S= x3' + x2' + x1
x3
x2
x1
Interferencia
S=Salida de
constructiva
Compuerta
OR= x3' + x2' + x1
0
0
0
2
1
0
0
1
3
1
0
1
0
1
1
0
1
1
2
1
1
0
0
1
1
1
0
1
2
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
18
19
2.1.4
El ‘NAND’ optoelectrónico
Para el circuito detector del ‘NAND’ optoelectrónico se consideró un circuito como
el de la figura 2.9.
D119
+
V+
8
U5A
3
V1
2
R3
5Vdc
-
5Vdc
LF353/NS
Salida
4
4k
1
V-
OUT
V3
V4
Vdc
Vdc
0
Figura 2.9. Circuito detector del ‘NAND’ optoelectrónico. Las flechas negras indican
el fotodiodo.
Tabla 2.4. Tabla de verdad del circuito de la figura 2.9.
Entrada de fotodiodo
Salida
0
0
1
1
A continuación se describió el algoritmo que se consideró para diseñar un ‘NAND’
óptico de n-entradas, para la función lógica13 S= (x n K xl' K x1 ) ’:
a)
El dato de entrada xm =1 en ‘S’ ≠ 0 .
Si el bit ‘m’ NO está
NEGADO en ‘S’=0, y el diagrama del circuito fue el de la Figura
2.10.
13
Ver Apéndice B.2 para una demostración matemática de este algoritmo
19
20
b)
El dato de entrada xl' =0 en ‘S’=0. Si el bit ‘l’ esta NEGADO en
‘S’=0, y el diagrama del circuito fue el de la Figura 2.11.
Dato de
entrada
Interferómetro
Mach-Zehnder
Inversor
electrónico
(a)
Dato de
entrada
Inversor
electrónico
LED
(b)
Figura 2.10. Diagrama de bloques del circuito que INVIERTE la entrada para el bit
‘m’ NO NEGADO en ‘S’=0, (a) con láser, (b) con LED.
Dato de
entrada
Interferómetro
Mach-Zehnder
(a)
Dato de
entrada
LED
(b)
Figura 2.11. Diagrama de bloques del circuito que NO INVIERTE la entrada para el
bit ‘l’ NEGADO en ‘S’=0, (a) con láser, (b) con LED.
20
21
2.1.4.1 Ejemplo de tabla de verdad para un NAND de 3 entradas optoelectrónico
En el siguiente ejemplo se mostró la tabla de verdad resultante de este
planteamiento.
Tabla 2.5 Ejemplo para ( x3' x2' x1 )’.
x3
x2
x1
Salida de
S=Salida de
interferencia
compuerta
constructiva
“NAND”=
( x3' x2' x1 )’
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
2
1
0
1
1
1
1
1
0
0
2
1
1
0
1
1
1
1
1
0
3
1
1
1
1
2
1
21
22
2.1.5
Compuertas ‘NOR’ y ‘AND’ optoelectrónicas
Estas compuertas se pueden construir con el circuito detector de la figura 2.12. Este
consiste en un circuito detector idéntico al de las compuertas ‘OR’ y ’NAND’ unido en la
salida a un inversor electrónico CMOS. Las reglas para las entradas de la compuerta ‘OR’
son las mismas que para las de la compuerta ‘NOR’, y las de la entrada de la compuerta
‘AND’ son las mismas que para la compuerta ‘NAND’.
R1
D119
8
U5A
+
1k
V+
3
M2
OUT
1
V1
5Vdc
MbreakP
LF353/NS
M1
4
4k
5Vdc
-
V-
2
R3
V5
5Vdc
V3
V4
Vdc
MbreakN
Salida
Vdc
0
Figura 2.12. Circuito detector del fotodiodo para las compuertas ‘NOR’ y ‘AND’.
22
23
2.2
Compuertas lógicas optoelectrónicas con interferencia coherente
Como se demostró en el apéndice A.1 y A.3, la interferencia de ondas
electromagnéticas coherentes da como resultado una irradiancia tal que se cumple la
ecuación (2.2-1).
I total
n
= ∑ I j
j =1
2
(2.2-1)
Donde ‘Ij’ es cada una de las Irradiancias de las entradas.
Para diseñar las compuertas lógicas optoelectrónicas con interferencia no-coherente,
se puede seguir las mismas reglas de las compuertas de interferencia no-coherente, con la
salvedad de que la suma de cada entrada será según la ecuación (2.2-1), que crece mucho
más que para el caso de suma de ondas no-coherentes (correspondiente a la ecuación (2.22)). Lo anterior hace que la resistencia de carga tenga que ser mayor para abarcar la misma
cantidad de bits de entrada en cada compuerta, que, según se verá en la sección 2.3 implica
una menor velocidad de procesamiento real de datos.
n
I total = ∑ I j
(2.2-2)
j =1
23
24
2.3
Análisis teórico de la velocidad de conmutación y procesamiento de
datos
El diseño general que se pensó para las compuertas lógicas ópticas consiste en
utilizar un circuito detector con un fotodiodo, una resistencia, y varios amplificadores
operacionales, como en la figura 2.1. En general se trata de utilizar el mismo principio de
un convertidor analógico-digital, adaptándolo para decodificar, en uno o dos ciclos, una
señal óptica binaria.
La fortaleza de este arreglo consiste en que es capaz de procesar en pocos ciclos una
señal binaria de dos o más bits, aprovechando el mayor ancho de banda que presentan
algunos detectores comparado a los circuitos electrónicos 14 , y fue por esta razón que
inicialmente se pensó en realizar esta investigación. Sin embargo, según fue avanzando la
investigación, al calcular la velocidad de conmutación entre un nivel de tensión y otro, y en
particular su demanda sobre el llamado efecto ‘RC’ aún para el mejor de los casos, se llegó
a la conclusión de que esta velocidad o frecuencia lograda para procesar más de dos bits fue
muy baja, y aunque esto se puede corregir con fotodiodos extremadamente veloces, me
pareció que era más práctico simplemente seguir realizando de manera tradicional con las
compuertas electrónicas.
En efecto, para todas las compuertas electrónicas es necesario considerar la
siguiente ecuación (2.3-1) de ancho de banda a -3dB. En particular hubo que reconsiderar
14
Ver referencia 7
24
25
la magnitud de los dB para cada una de las compuertas optoelectrónicas como veremos a
continuación.
f −3dB =
1
2 * π * RL * C
(2.3-1)
Donde C es la capacitancia del fotodiodo, y RL es la resistencia de carga del
circuito del fotodiodo.
La resistencia de carga varió su valor un según la sensibilidad que se le quiera dar al
circuito y también, asociado a esta, la magnitud de los dB’s que se utilizó para obtener la
ecuación (2.3-1). Como ya se mencionó, la fórmula (2.3-1) (que varía un poco en el caso
de las compuertas optoelectrónicas, como se verá más adelante) fue el talón de Aquiles de
este trabajo, es decir su punto más débil. Si bien, por un lado se pudo tomar un RL más
grande para tener un sistema más sensible, que abarcara un mayor número de bits, un
mayor número de palabras lógicas en una sola compuerta, y que lo procesara todo en un
solo ciclo, el incremento en esta resistencia RL le restó velocidad a cada ciclo para un
fotodiodo dado con una capacitancia dada. Además, conforme aumentó el número de bits a
procesar, más preciso debía de ser la señal por lo que los dB’s aumentaron (menos
negativos) de manera estrepitosa, disminuyendo así también la frecuencia de corte.
Es por esto que la única manera que se encontró para contrarrestar esta disminución
en la frecuencia de conmutación, fue sugiriendo la utilización de fotodiodos con una
capacitancia cada vez menor conforme se incrementaba la sensibilidad, para así mantener la
25
26
misma frecuencia. Si bien es cierto que en revistas científicas15 recientes se mencionan
fotodiodos semiconductores que sobrepasan las capacidades de los chips aún más
(
avanzados con una detectividad específica de hasta 1x1013 Jones cm * Hz
1/ 2
W
)
a
temperatura ambiente y a una longitud de onda óptica de 1,3 µm; aún así es difícil saber lo
que sucederá a futuro, y como ya dijimos antes, y demostraremos a continuación, para
características similares de los componentes, las compuertas electrónicas sobrepasan en
velocidad a las optoelectrónicas. Sin embargo, si los componentes optoelectrónicos a la
larga llegasen a superar a los electrónicos, esta propuesta podría tener importancia Pero
veamos un pequeño ejemplo.
P
− 3dB = 10 * log 0
Pin
P
⇒ 0.5 = 0
Pin
(2.3-2)
Entonces, si por ejemplo, se quiere implementar una compuerta con n1 =8 entradas,
se necesita los siguientes dB’s.
7 .5
− 0,28dB = 10 * log
8
(2.3-3)
Por lo que en este caso, para n1 =8, los dB’s, en lugar de ser -3dB, fueron -0.28dB.
Se sabe que el circuito equivalente de un fotodiodo es el de la figura 2.13(b).
15
Ver referencia 12
26
27
R
1
V1 = 0 V
V2 = u(t) V
2
2
2
I1 = 0 A
I2 = u(t)/R A
V
C
TD =
TR =
TF =
PW =
PER =
1
=
(a)
2
I1
R
TD =
TR =
TF =
PW =
PER =
C
1
1
(b)
Figura 2.13. Circuitos equivalentes entre sí. (b) Circuito equivalente del fotodiodo.
Entonces, se hizo el análisis en el tiempo del circuito equivalente del fotodiodo de la
figura 2.13(b). En efecto, aplicando mallas en la figura 2.13 (b).
u (t ) V
∂V
= +C
R
R
∂t
(2.3-4)
Donde V, es el voltaje en el capacitor. Aplicando la Transformada de Laplace.
u ( s) V ( s)
V ( s)
1
=
+ CsV ( s ) ⇒
= H ( s) =
R
R
u( s)
RCs + 1
(2.3-5)
Luego, como la forma de una onda electromagnética que se extingue es semejante a
una señal coseno, y la función de transferencia de la ecuación (2.3-5), se puede, volviendo
al ejemplo cuando n1 =8 entradas, en la ecuación (2.3-6), tenemos que.
20 * log 1 − 20 * log 1 + R 2 C 2 w 2 = −0,28
⇒ 0,0328 = R 2 C 2 w 2
w
= 7,2 MHz
2 *π
V n
con R = máx 1 = 4kΩ; C = 1 pF .;Vmáx = 5V ;
I máx
⇒ f −0.28 =
(2.3-6)
n1 = 8; I máx = 10mA
27
28
Al seguirse el mismo algoritmo que para el ejemplo anterior se pudo deducir una
forma general para la frecuencia que tendrá este arreglo óptico en función de las constantes
siguientes:
•
La tensión de polarización a la que se encuentra el fotodiodo.
•
La corriente máxima del fotodiodo.
•
La capacitancia del fotodiodo a esa tensión.
Y de la variable:
•
n1 = el número de bits que incluye la compuerta, esto se logra variando la
resistencia de carga para variar así la sensibilidad del circuito detector.
Entonces, para un ‘ n1 ’ variable, y unos ‘Vmáx’, ‘Imáx’, y ‘C’, como en el ejemplo
anterior, tenemos el siguiente desarrollo matemático general.
n − 0.5
x = 10 log 1
n1
(2.3-7)
Nótese que la ecuación (2.3-7) sirve para las compuertas optoelectrónicas basadas
en interferencia no-coherente y además note que la desigualdad (2.3-8), cuyo término de la
izquierda sirve para el caso de compuertas optoelectrónicas con interferencia coherente,
también se cumple.
n12 − 0.5
n1 − 0.5
10 log
>
10
log
2
n
n
1
1
1
1
10 log1 − 2 > 10 log1 −
2n1
2n1
(2.3-8)
28
29
Luego, de la función de transferencia de la ecuación (2.3-5), y los dB’s de la
ecuación (2.3-7), tenemos el siguiente desarrollo matemático.
n − 0.5
20 log1 − 20 log 1 + R 2 C 2 w 2 = dB' s = 10 log 1
n
1
n − 0.5
log 1 + R 2 C 2 w 2 = −0.5 log 1
n1
2
2
2
1 + R C w = 10
w=
f1 =
10
n − 0.5
− 0.5 log 1
n1
n − 0.5
− 0.5 log 1
n1
(2.3-9)
−1
RC
10
n − 0.5
− 0.5 log 1
n1
−1
2πRC
Donde se debió usar la fórmula de la ecuación (2.3-10) para la resistencia de carga.
R=
Vmáx
V n
= máx 1
I máx
I máx
n1
(2.3-10)
De donde, al sustituirse en el resultado anterior se obtuvo la ecuación (2.3-11) que
es la frecuencia a la que se ejecuta cada ciclo para las compuertas optoelectrónicas con
interferencia no-coherente.
n − 0.5
− 0.5 log 1
n1
f1 =
I máx 10
2πVmáx n1C
−1
(2.3-11)
Por otro lado, para compuertas con interferencia coherente, se utiliza el primer
término de las desigualdades (2.3-8), y se consideró que para un número de bits ‘ n1 ’ que
29
30
abarque la compuerta, el rango de voltajes abarca un nivel máximo igual a ‘ n12 ’, de ahí que
dio como resultado la expresión (2.3-12), que considera la velocidad real de cada ciclo,
obteniéndose así la frecuencia que llamamos frecuencia equivalente.
La frecuencia
equivalente no es más que, la frecuencia de principio a fin de cada compuerta,
considerando a la compuerta como una caja negra.
1
− 0.5 log 1− 2
2n
1
f3 =
I máx 10
2πVmáx n12 C
−1
(2.3-12)
Por otro lado para los circuitos electrónicos cuando se desean procesar n1 bits, se
requieren de los n2 ciclos de la ecuación (2.3-13). Y el número máximo de mintérminos
n
para n par 16 , o de
para una sola compuerta optoelectrónica de ‘n’ entradas es
n
/
2
n
n
o lo que es lo mismo de
para ‘n’ impar17, que se ejecutan en n3
(n − 1) / 2
(n + 1) / 2
ciclos según también la ecuación (2.3-13).
16
17
Ver Apéndice C.1 para una demostración
Ver Apéndice C.1 para una demostración
30
31
log(n1 )
2 n2 = n1 ⇒
= n2
log(2)
2 n3
2
n3
n1!
log
2
((n1 / 2)!)
n1
n1!
=
=
⇒
= n3
2
log(2)
n1 / 2 ((n1 / 2)!)
n1
n1!
=
=
⇒
(
n
−
1
)
/
2
((
n
−
1
)
/
2
)!*((
n
+
1
)
/
2
)!
1
1
1
n1!
log
((n1 − 1) / 2)!*((n1 + 1) / 2)! = n
3
log(2)
con n1 par
(2.3-13)
con n1 impar
Donde en el caso del primer término (interferencia coherente) se considera la
posibilidad de conmutar desde un nivel alto máximo hasta la mitad entre el cero, o
viceversa, este resultado se utiliza más adelante.
Entonces, tomando como referencia los siguientes datos de fábrica para un
fotodiodo dado, podemos calcular la frecuencia equivalente para un circuito electrónico
dado, que toma n2 + n3 ciclos para ejecutarse, ejecutándose este circuito electrónico a una
frecuencia de Fmín:
•
C = 1pF.
•
R = 50 Ohms.
•
Vmáx = 5V.
•
Imáx = 10mA.
•
Fmín = 2 GHz.
De donde, la frecuencia equivalente del circuito electrónico si este lo decodificara
en un solo ciclo es la ecuación (2.3-14) (tomando en cuenta las ecuaciones (2.3-13))
31
32
2 *10 9
f2 =
=
n 2 + n3
2 *10 9
n1!
log
((n1 / 2)!) 2
log(n1 )
+
log(2)
log(2)
log(2)
f 2 = 2 *10 9 *
n1!
log(n1 ) + log
2
((n1 / 2)!)
para n1 par , ó
f 2 = 2 *10 9 *
=
(2.3-14)
log(2)
n1!
log(n1 ) + log
((n1 − 1) / 2)!*((n1 + 1) / 2)!
para n1 impar
Las ecuaciones (2.3-11), (2.3-12) y (2.3-14) se grafican en la figura 2.14.
En la figura 2.14 se observa cómo las funciones f 1 , f 2 , y f 3 , son todas decrecientes,
sin embargo, para un mismo número de entradas, las compuertas electrónicas de dos
entradas tradicionales tienen siempre una velocidad real mayor, bajo condiciones similares,
que las compuertas optoelectrónicas que se propusieron en las secciones 2.1 y 2.2, aún
cuando estas compuertas ópticas procesen la información en un solo ciclo. Sin embargo, es
apropiado recordar, que se ha dado el caso en que los fotodetectores superan en velocidad a
la electrónica 18 , y es por ahí donde, en dado caso de que los detectores superen
grandemente a la electrónica, este trabajo puede llegar a ser importante, si se combinara
con la electrónica para casos de decodificación más sencillos.
18
Ver referencia 7
32
33
Figura 2.14. Gráfico de las funciones f 1 , f 2 , y f 3 (ecuaciones (2.3-11), (2.3-14) y (2.312) respectivamente), para el ejemplo con Imax = 10mA, C = 1pF, Vcc = 5V, y n1 de 2
a 171 bits. Aquí se utiliza la función gamma19.
19
Recuérdese que la función gamma tiene como rango los números complejos e incluye a la función factorial.
Ver Anexo 1.1 para ver el código fuente de este gráfico.
33
34
Tabla 2.6. Algunos resultados tabulados de las funciones f 1 , f 2 , y f 3 (ecuaciones (2.311), (2.3-14), y (2.3-12) respectivamente). Note que las frecuencias son las frecuencias
equivalentes para la compuerta de principio a fin y se consideró el peor caso para la
compuerta electrónica. Para estos datos se tomaron los valores Imax = 10mA, C =
1pF, Vcc = 5V, y n1 de 2 a 128 bits de entrada.
n1
f1 (optoelect. No-
f 2 (electrónica)
coherente)
f 3 (optoelec.
Coherente)
2
62,6MHz
2GHz
20,91MHz
4
20,91MHz
400MHz
2,52MHz
8
7,2MHz
166,67MHz
311,76kHz
16
2,52MHz
100MHz
38,89kHz
32
884,42kHz
52,64MHz
4,86kHz
64
311,76kHz
27,78MHz
608Hz
128
110kHz
14,5MHz
76Hz
Finalmente, se observa en la figura 2.14 que, para todo 2 ≤ n1 ≤ 171 , la función
f 2 .es mayor que las funciones f 1 y f 3 .
Entonces bastó con demostrar que, para
todo n1 ≥ 2 , que las siguientes desigualdades de la ecuación (2.3-15) se cumplen20.
f 3 < f1 < f 2
20
(2.3-15)
Ver Apéndice C.2 para la demostración.
34
35
2.4
Fototransistores21
Los fototransistores son dispositivos donde el flujo de corriente de una unión p-n
del detector es internamente amplificada.
Su construcción es básicamente la de un
transistor de unión, con la región base expuesta a la radiación incidente. Normalmente no
tiene conexión externa a la base. Para entender la operación del dispositivo, la corriente de
base es suplida por la corriente foto-generada.
La corriente de colector tiene dos
componentes: (a) la corriente normal reversa de saturación del diodo, y (b) la parte de la
corriente del emisor que logra pasar al colector. Ésta última corriente se escribió como αie ,
donde α es ligeramente menor a 1 (α es conocida como la ‘corriente común de ganancia de
base).
ico + αie = ie − ib
(2.4-1)
De donde,
ic =
ib + ico
α
= (ib + ico )
+ 1 = (ib + ico ) * (h fe + 1)
1−α
1−α
(2.4-2)
Donde h fe = α /(1 − α ) es conocida como ‘corriente de ganancia de colector común’
del transistor.
Valores típicos para h fe en fototransistores son cercanos a 100.
Sin
radiación incidente ib =0 y la corriente que fluye ico (h fe + 1) , es la corriente de oscuridad
del dispositivo.
Ésta es obviamente más grande que para dispositivos de unión p-n
comparables donde la corriente de oscuridad en esta notación es sólo ico .
21
Tomado de la referencia 1
35
36
Cuando sea iluminada habrá una corriente de base de magnitud iλ , donde
I Aeλ0
, y donde ‘η’ es la fracción de la radiación incidente que es absorbida en
iλ = η 0
hc
la región activa, ‘Io’ es la Irradiancia incidente, ‘A’ es el área, ‘e’ es la carga del electrón,
‘ λ0 ’ es la longitud de onda de la radiación incidente, ‘h’ es la constante de Planck, y ‘c’ es
la velocidad de la luz en el vacío.
(iλ + ico ) * (1 + h fe ) donde, si iλ
El flujo externo de corriente externo es ahora
>> ico , es igual a iλ (1 + h fe ) . Por tanto el dispositivo da una
ganancia interna, y tiene una responsitividad entre un fotodiodo p-i-n y un fotodiodo de
avalancha.
Los fototransistores de silicio, como los utilizados en el experimento de la sección
3.1, están disponibles a bajo costo. Estos detectores usualmente sufren de un bajo ancho de
banda, normalmente limitada a unos cientos de kilohertz.
Esto se debe a la alta
capacitancia de la unión base-colector y a los altos tiempos de de tránsito de las cargas a
través de la región de la base. Por otro lado, su amplificación hace que simplifique los
circuitos donde el ancho de banda no importe.
Es posible hacer fototransistores con un ancho de banda mucho mayor.
Las
estructuras n-p-n para fototransistores basadas en heterouniones de InGaAsP/InP. Como en
los fotodiodos p-i-n de InGaAs/InP, la radiación incidente con una longitud de onda mayor
a 0,92 µm pasa sin atenuarse a través de la capa superior de InP y longitudes de onda hasta
la longitud de onda del hueco entre bandas del material base es absorbido en la base.
36
37
Figura 2.15. Conexiones externas hechas a un fototransistor n-p-n. (a) Radiación
absorbida en la región de la base causa que se fluya una corriente del emisor a través
de la resistencia de carga RL y por tanto aparecerá un voltaje de señal en ella. (b) Las
corrientes que se asumen fluyen en el fototransistor22.
22
Tomado de la referencia 1
37
38
Figura 2.16.Estructura n-p-n del fototransistor basado en una heterounión
InGaAsP/InP23.
23
Ver referencia 1
38
39
2.5
Fotorresistencias24
Las fotorresistencias de Sulfuro de Cadmio (CdS) son utilizadas por su bajo costo,
como sensores de radiación visible, por ejemplo en medidores de luz para cámaras. Estos
dispositivos usualmente tiene ganancia fotoconductiva alta (de 1000 a 10 000) pero tiempos
de respuesta pobres (cerca de 50 ms). El tiempo de respuesta depende mucho del nivel de
iluminación, viéndose reducido a niveles altos, lo que refleja la presencia de trampas. Una
capa de polycristalino es depositada en un substrato aislante y los electrodos se forman
evaporando un metal adecuado, como por ejemplo oro, a través de una máscara para darle
la forma de peine.
Esta geometría, que resulta en un área relativamente grande de
superficie sensitiva y un espaciamiento relativamente pequeño entre electrodos, ayuda a
darle una mayor sensitividad al dispositivo.
24
Ver referencia 1
39
40
CAPÍTULO 3: Informes
En este capítulo se presentan dos informes, el de la sección 3.1 trata sobre la
construcción de una dos compuertas AND, la primera fue construida con fotorresistencias y
IRLED’s, entre otros componentes que se explican en la sección 3.1; y la segunda
compuerta AND fue construida con fototransistores en lugar de las fotorresistencias.
Ambas contaron con un LED verde que se encendía cuando la salida estuvo en nivel alto
como corresponde.
Este experimento no estaba dentro de los objetivos iniciales del
proyecto, pero se decidió incluirlo para ejemplificar el tema y como demostración para el
LAFTLA.
En la sección 3.2 se incluyó un informe del diseño de compuertas optoelectrónicas
utilizando interferencia constructiva de ondas no-coherentes.
Asimismo, en la sección 3.3 se incluyó un informe del diseño de compuertas
optoelectrónicas utilizando interferencia constructiva de ondas no-coherentes.
3.1
Informe
de
la
construcción
de
dos
compuertas
AND
optoelectrónicas
Como objetivo extra, se quiso construir dos pequeñas compuertas optoelectrónicas
basadas en diseños encontrados en un folleto de Radio Shack sobre este tema25. Estas
compuertas se construyeron con el objetivo de demostrar el principio de funcionamiento de
una compuerta optoelectrónica AND en general, mediante un pequeño experimento
práctico.
40
41
Los datos de los emisores IRLED’s están en el Anexo 3.
Para la primera compuerta optoelectrónica AND de la figura 3.2, se utilizaron dos
IRLED’s (que quiere decir ‘diodo emisor de luz infrarroja’ por sus siglas en inglés), una
resistencia de 220 Ohms, alimentados por una fuente a 5V; y como detectores se utilizaron
dos fotorresistencias (Parte # 276-1657 de Radio Shack), una resistencia corriente de 47
Ohms, alimentados por una fuente de 5V. La tabla 3.1 muestra la tabla de verdad para el
circuito de la figura 3.2.
El análisis del circuito emisor de la figura 3.1 es el siguiente:
RS =
Vin − VLED 6 − 1,7
=
= 215Ω ≈ 220Ω
I LED
0.02
(3.1-1)
De ahí el valor de la resistencia del circuito emisor de la figura 3.2, y la Figura 3.3.
R4
220 D3
V2
6Vdc
R1
6Vdc
V5 220
D2
Figura 3.1. Circuito emisor con IRLED’s26 para los arreglos de la figura 3.2 y la
Figura 3.3.
25
26
Ver referencia 7
Ver datos del fabricante para estos IRLED’s en Anexo 3
41
42
Las fotos de ambos circuitos, en los distintos valores de la tabla 3.1, están en el
Anexo 2.
R4
R3
220 D3
R2
47
V2
V1
6Vdc
5Vdc
R1
6Vdc
V5 220
D2
R2
D1
Figura 3.2. Circuito emisor IRLED (izquierda), y circuito detector con
fotorresistencias27 y LED (LED genérico visible como indicador de salida).
Tabla 3.1. Tabla de verdad de la compuerta AND con fotorresistencias del circuito de
la figura 3.2, y la Figura 3.3.
D3 (IRLED)
D2 (IRLED)
D1 (LED visible indicador)
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
El circuito de la figura 3.2 fue armado en el ‘LAFTLA’ (Laboratorio de Fotónica y
Tecnología Láser Aplicada) y fue fotografiado en cada uno de los estados de la tabla 3.1, en
las figuras siguientes.
42
43
Por otro lado, el arreglo optoelectrónico de la Figura 3.3 con fototransistores en
lugar en fotorresistencias, cumple la tabla de verdad de la tabla 3.1. Además utiliza el
circuito emisor de la figura 3.1, cuya resistencia fue calculada mediante la ecuación (3.1-1).
R4
R6
Q1
220 D3
220
V2
6Vdc
R1
6Vdc
V5 220
D2
Q2
V4
5Vdc
D6
Figura 3.3. Circuito emisor IRLED (izquierda), y circuito detector con
fototransistores28 y LED (LED verde como indicador de salida).
Los datos de uno de los fototransistores está en el Anexo 3.
El segundo
fototransistor es un fototransistor NPN Infrarrojo de Silicio con número de parte #276-145
de Radio Shack. A continuación se presentan las fotos del arreglo optoelectrónico en los
diferentes estados.
Las fotos de ambos circuitos, en los distintos valores de la tabla 3.1, están en el
Anexo 2.
27
28
Ver datos del fabricante para estas fotorresistencias en Anexo 3
Ver datos del fabricante para estos fototransistores en Anexo 3
43
44
3.2
Informe del diseño de compuertas optoelectrónicas utilizando
interferencia constructiva de ondas no-coherentes.
En la sección 2.1 se expuso la teoría para diseñar compuertas optoelectrónicas con
interferencia constructiva de ondas no-coherentes con dos o más entradas que se pueden
procesar en muchos menos ciclos que las compuertas electrónicas. Para tal efecto se ideó
una especie de convertidor A/D que convirtiera la Irradiancia de las ondas a señales
digitales. Como parte del diseño de demostró que las compuertas pueden ser variables, y su
salida puede ser equivalente a varios mintérminos unidos en la salida de una gran función
lógica, lo que en un principio (antes de iniciar la investigación con más detalle), hacía
pensar que al incluir un número bastante alto de mintérminos se podría compensar el
llamado efecto ‘RC’, que normalmente hace lentos a los convertidores A/D.
En la sección 2.3 se demostró que las compuertas electrónicas tradicionales de dos
entradas y una salida son más rápidas que ambos tipos de compuertas optoelectrónicas
expuestas en este proyecto, esto en términos del tiempo que tarda el sistema en procesar la
información de principio a fin, y para condiciones similares de velocidad de conmutación
de las compuertas electrónicas y del fotodiodo de las compuertas optoelectrónicas de la
sección 2.1, y la sección 2.2.
Sin embargo, lo único que podría hacer este tipo de compuerta optoelectrónica
factible, es que como existen limitaciones teóricas y prácticas para la velocidad máxima de
conmutación de los componentes electrónicos en silicio, y como estos límites han visto
44
45
superados por una técnica de construcción de fotodetectores en investigaciones recientes29,
existe la posibilidad, aunque remota, que aún en el límite máximo de las limitaciones de
estas tecnologías la técnica expuesta en la sección 2.1 pudiese llegar a encontrar una
aplicación, aunque reducida, en el futuro.
29
Ver referencia 12
45
46
3.3
Informe del diseño de compuertas optoelectrónicas utilizando
interferencia constructiva de ondas no-coherentes.
En la sección 2.2 se expuso la teoría para diseñar compuertas optoelectrónicas con
interferencia constructiva de ondas coherentes con dos o más entradas que se pueden
procesar en muchos menos ciclos que las compuertas electrónicas. Además, en la sección
2.3 se demostró que las compuertas electrónicas tradicionales de dos entradas y una salida
son más rápidas que ambos tipos de compuertas optoelectrónicas expuestas en este
proyecto, esto en términos del tiempo que tarda el sistema en procesar la información de
principio a fin, y para condiciones similares de velocidad de conmutación de las
compuertas electrónicas y del fotodiodo de las compuertas optoelectrónicas de la sección
2.1, y la sección 2.2.
Por otro lado, a diferencia de las compuertas expuestas en la sección 2.1, las
compuertas de la sección 2.2, como son más lentas que las de la sección 2.1, no se logró
encontrar aplicación alguna como compuerta optoelectrónica.
46
CAPÍTULO 4: Conclusiones y recomendaciones
•
La fortaleza de las compuertas optoelectrónicas de la sección 2.1 consiste
en que es capaz de procesar en pocos ciclos una señal binaria de dos o
más bits, aprovechando el mayor ancho de banda que presentan algunos
detectores comparado a los circuitos electrónicos30, y fue por esta razón
que inicialmente se pensó en realizar esta investigación.
•
Sin embargo, según fue avanzando la investigación, al calcular la
velocidad de conmutación entre un nivel de máximo y el mínimo, y en
particular su demanda sobre el llamado efecto ‘RC’, aún para el mejor de
los casos, se llegó a la conclusión de que esta velocidad o frecuencia
lograda para procesar más de dos bits fue muy baja considerando los
fotodiodos que existen en este momento.
•
Aunque esto se puede corregir con fotodiodos extremadamente veloces,
me pareció que era más práctico simplemente seguir realizando de
manera tradicional con las compuertas electrónicas.
•
En el dado caso que se desarrollen en el futuro fotodetectores muchísimo
más veloces que la electrónica, sería posible concebir una aplicación
híbrida de estos diseños, en los que para funciones de pocos bits se
utilice la electrónica, pero para funciones más complejas se utilicen
30
Ver referencia 7
47
48
tecnología optoelectrónica como la expuesta en la sección 2.1, siempre
que los detectores superen la velocidad de conmutación en al menos dos
órdenes de magnitud a la electrónica, tomando en cuenta que hasta el
momento algunos estudios sugieren que estos pueden superarla en un
orden de magnitud31.
•
Entre las consideraciones a tomar en cuenta para la implementación de
compuertas optoelectrónicas con fotodiodos están:
o Capacitancia del fotodiodo.
Esta es muy necesaria para
determinar la velocidad máxima de conmutación de un estado a
otro. Entre más pequeña sea, más veloz será la compuerta.
o La resistencia de carga. Esta varía según el número de estados a
decodificar y por ende según la sensibilidad del circuito
optoelectrónico detector. Para un número muy grande de bits de
entrada su valor crece grandemente.
o Si el número de valores o estados a decodificar es muy grande,
debe considerarse dividir la señal óptica en varias partes y
decodificar varios valores por separado. Con esto se evita que se
consuma la preciosa corriente generada por el fotodiodo en las
entradas de los amplificadores operacionales, lo que afecta la
señal eléctrica detectada.
31
Ver referencia 12
48
49
•
El ruido es algo que siempre está presente en los circuitos electrónicos y
optoelectrónicos, y por ende debe ser considerado.
•
Con respecto a las compuertas optoelectrónicas con fototransistores,
estas funcionan bien, pero los basados en silicio son muy lentos, y falta
investigación en para aumentar la velocidad de conmutación de estos
dispositivos.
•
Una de las tecnologías que más promete para la optoelectrónica, y la
electrónica en general, es la nanotecnología.
Entre las ventajas que
ofrece esta tecnología están:
o Mayor desempeño a bajo costo.
o Tamaño muy reducido aún para los estándares actuales de la
electrónica.
•
Entre las desventajas de la nanotecnología están:
o Falta más investigación para su completo desarrollo.
o Falta desarrollar más y mejores técnicas de construcción de
dispositivos basadas en esta tecnología.
o Falta investigar si esta tecnología es amigable con el ambiente o
no, y ¿qué tanto?
•
Por encima de las soluciones presentadas en este trabajo y por encima
aún de la electrónica, se encuentran las soluciones totalmente ópticas (y
49
50
por supuesto las muy publicitadas computadoras cuánticas, que van
mucho más allá de este trabajo). Entre las desventajas de estas están:
o Su alto costo actual.
o Ven limitada su velocidad por canal de transmisión por la interfaz
electrónica, que en la mayoría de los casos es infranqueable.
•
Entre las ventajas de los sistemas totalmente ópticos están:
o Aislamiento al ruido de otras señales.
o Potencialmente más veloz que la electrónica.
o Resistencia a condiciones extremas.
50
BIBLIOGRAFÍA
Libros:
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Prentice Hall, EE. UU., 1998.
2. Arce, C., Castillo, W., González, J. “Algebra Lineal”, 3era edición, Editorial de la
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edición, Editorial Mir, URSS, 1985, traducido al español en 1988.
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1975.
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4ª edición, Prentice Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, NJ, 1998.
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9. Alexander W. Fang, Hyundai Park, Oded Cohen, Richard Jones, Mario J. Paniccia,
y John E. Bowers.
“Electrically pumped hybrid AlGaInAs-silicon evanescent
51
52
laser”,
“Optics
Express”,
USA,
Vol
14,
Issue
20,
pp.
9203-9210
http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?id=114596
10. Brian R. Koch, Alexander W. Fang, Oded Cohen, y John E. Bowers. “Mode-locked
silicon evanescent lasers”, “Optics Express”, USA, Vol 15, Issue 18, pp. 1122511233, 2007. http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?id=140973
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http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?tp=&arnumber=1074814&isnumber=2
3156
12. Hoogland, S., Konstantatos, G., Sargent, Edward H. “Paint-On optoelectronics”.
Revista “Optics and Photonics News”, Optical Society of America (OSA). Vol 17
No. 11 Noviembre 2006, http://www.osa-opn.org
Páginas web:
13. Intel
Corporation.
“Meet
the
world’s
first
45
nm
Processor”,
http://www.intel.com/technology/silicon/45nm_technology.htm
52
APÉNDICE A
A.1
Suma de ondas electromagnéticas coherentes32:
Imagínese que hay dos ondas planas linealmente polarizadas de la misma longitud
de onda dada por las ecuaciones (A.1-1) y (A.1-2) que se traslapan en un punto dado.
E1 (r , t ) = E 01 cos(k1 r − ωt + ε 1 )
(A.1-1)
E 2 (r , t ) = E02 cos(k 2 r − ωt + ε 2 )
(A.1-2)
Donde k1 , k 2 , ω , ε 1 y ε 2 son todas constantes.
Estas ondas pueden surgir, por
ejemplo, de una misma fuente que las separó mediante un beam splitter.
El campo
resultante esta dado por la ecuación (A.1-3).
E = E1 + E 2
(A.1-3)
Pero dado que a frecuencias ópticas los campos oscilan a más de 1014 Hz la
irradiancia se torna en una cantidad de interés práctico, siendo directamente medible.
Despreciando un factor constante, se puede escribir la irradiancia como el promedio en el
tiempo del campo total:
I = E2
(A.1-4)
Donde E 2 = E ⋅ E . Es decir,
E 2 = (E1 + E 2 ) ⋅ (E1 + E 2 ) = E12 + E 22 + 2 E1 ⋅ E 2
(A.1-5)
Tomando el promedio obtenemos la ecuación (A.1-6).
I = I 1 + I 2 + I 12
53
(A.1-7)
54
Donde I 1 = E12 , I 2 = E 22
y I 12 = 2 E1 ⋅ E 2
, siendo el último el término
conocido como término de interferencia. Es por este último término que el ‘I’ difiere de la
simple suma de irradiancias de las ondas componentes, es decir I 1 + I 2 .
El promedio en el tiempo de una función f(t) esta dada por la ecuación (A.1-8)
f (t ) =
1
T
∫
t +T
t
f (t ' )dt '
(A.1-8)
Aquí el intervalo de detección T es mucho mayor que el período de oscilación de las
ondas, τ. Por tanto si se lleva a cabo el cálculo indicado en la ecuación (A.1-8) para las
ondas planas anteriores el término de interferencia sería es de la ecuación (A.1-9).
I 12 = 2 E1 ⋅ E 2 = E 01 ⋅ E02 cos δ
(A.1-9)
Donde la diferencia de fase δ está dada por la ecuación (A.1-10).
δ = (k1 ⋅ r ) − (k 2 ⋅ r ) + ε 1 − ε 2
(A.1-10)
Todo esto significa que cuando uno se mueve de un punto a otro en el espacio, r
varía, como lo hace δ, y por tanto I 12 e I varían ambas también. Lo anterior se conoce
como patrón de interferencia, y se debe las diferencias en las trayectorias de ambos haces
de luz dadas por la contribución a la ecuación (A.1-10) de los términos (k1 ⋅ r ) − (k 2 ⋅ r ) . La
contribución ε 1 − ε 2 se debe a la diferencia de fase en los emisores (o desde el punto de
separación), y si es constante, como hemos asumido, se dice que las fuentes son coherentes.
32
Ver referencia 4.
54
55
A.2
Suma de ondas electromagnéticas no-coherentes
En el apéndice A.1, se asumió que las ondas eran monocromáticas y coherentes.
Esto es una idealización matemática. Hasta la mejor fuente emite un rango finito de
longitudes de ondas, aunque sea una angosta.
En general se puede demostrar que la distribución de la irradiancia es la dada por la
ecuación (A.2-1).
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 Re γ~12 (τ )
(A.2-1)
La ecuación (A.2-1) es muy semejante a la ecuación del Apéndice 1 (A.1-5).
Donde γ~12 (τ ) es el grado complejo de coherencia, cuya magnitud especifica la coherencia
en el punto de unión de las ondas de la siguiente manera:
γ~12 (τ ) = 1
Límite coherente.
(A.2-2)
γ~12 (τ ) = 0
Límite incoherente.
(A.2-3)
0 < γ~12 (τ ) < 1
Coherencia parcial.
(A.2-4)
La variable τ es la diferencia en el tiempo entre las fuentes de los haces de luz y el
punto de unión de los haces. La irradiancia puede ser rescrita en una forma más semejante
a la del apéndice A.1.
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 γ~12 (τ ) cos δ (τ )
(A.2-5)
Nótese que en el apéndice A.1 asumimos que las fuentes eran monocromáticas, lo
que implica el límite coherente γ~12 (τ ) = 1 .
55
56
A.3
Interferencia de ondas electromagnéticas coherentes con desfase de
0° y 180°:
Es fácil mostrar que la suma de ondas electromagnéticas monocromáticas con
desfase ∆θ=0° y ∆θ=180° es lineal. En efecto, sea
E1 ( x, t ) = A1 cos(wt − kx + θ )
(A.3-1)
La ecuación de la onda electromagnética monocromática ‘ E1 ’, donde ‘ E1 ’ es el
valor del campo eléctrico en el punto ‘x’ y en el instante ‘t’, ‘ A1 ’ es la amplitud de la onda,
‘w’ es la frecuencia angular (w=2*π*v), ‘k’ es el número de onda (k=2*π/λ) y ‘θ’ es la
constante de fase. El término (wt − kx + θ ) es la fase de la onda.
Por superposición, la suma de dos ondas de igual frecuencia y propagándose en la
misma dirección está dada por:
(A.3-2)
E = E1 + E 2
E = E1 sen( wt − kx + θ 2 ) + E2 sen( wt − kx + θ 2 )
(A.3-3)
Que puede ser reescrito como
E = (E1 cos θ1 + E 2 cos θ 2 )sen( wt − kx) +
(A.3-4)
(E1senθ1 + E2 senθ 2 )cos(wt − kx)
Esto es idéntico a
E = E0 sen( wt − kx + θ )
(A.3-5)
Con
2
2
E02 = (E1 cos θ1 + E 2 cos θ 2 ) + (E1 senθ1 + E 2 senθ 2 )
(A.3-6)
56
57
Ó
E 02 = E12 + E 22 + 2 E1 E 2 cos(θ 2 − θ1 )
(A.3-7)
E1 senθ1 + E 2 senθ 2
E1 cos θ1 + E 2 cos θ 2
(A.3-8)
Y
tan θ =
A.3.1 Ecuaciones para un desfase de 0°:
Tendremos que las siguientes ecuaciones se cumplen (ver (A.3-7)),
E 02 = E12 + E 22 + 2 E1 E 2 cos(0 )
(A.3.1-1)
E 02 = E12 + E 22 + 2 E1 E 2
(A.3.1-2)
E0 =
(E1 + E2 )2
(A.3.1-3)
E0 = E1 + E 2
(A.3.1-4)
E1 senθ 0 + E 2 senθ 0
E1 cos θ 0 + E 2 cos θ 0
(A.3.1-5)
θ 0 = θ1 = θ 2
(A.3.1-6)
Con fase (ver (A.3-8))
tan θ =
Donde
Entonces,
tan θ =
(E1 + E2 )senθ 0
(E1 + E2 )cosθ 0
tan θ = tan θ 0
(A.3.1-7)
(A.3.1-8)
57
58
⇒ θ = θ 0 = θ1 = θ 2
(A.3.1-9)
A.3.2 Ecuaciones para un desfase de 180°:
De la ecuación (A.3-7):
E 02 = E12 + E 22 + 2 E1 E 2 cos(180° )
(A.3.2-1)
E 02 = E12 + E 22 − 2 E1 E 2
(A.3.2-2)
(E1 − E2 )2
E0 =
(A.3.2-3)
E0 = E1 − E2
(A.3.2-4)
E1 senθ1 + E 2 sen(θ1 + 180° )
E1 cos θ1 + E 2 cos(θ1 + 180°)
(A.3.2-5)
θ 2 = θ1 + 180°
(A.3.2-6)
Con fase (ver (A.3-8))
tan θ =
Donde
Entonces,
tan θ =
E1 senθ1 + E 2 (senθ1 cos180° + cos θ1 sen180°)
E1 cos θ1 + E 2 (cos θ1 cos180° − senθ1 sen180°)
tan θ =
E1 senθ1 + E 2 (− senθ1 + 0 )
E1 cos θ1 + E 2 (− cos θ1 − 0 )
tan θ =
senθ1 (E1 − E 2 )
cos θ1 (E1 − E 2 )
(A.3.2-7)
(A.3.2-8)
(A.3.2-9)
tan θ = tan θ1
(A.3.2-10)
⇒ θ = θ1
(A.3.2-11)
58
APÉNDICE B
B.1 Demostración del algoritmo de la sección 2.1.3
Con lo enunciado en la sección 2.1.3 se definió el sistema matricial (B.1-1):
1 K 0 K 0 0 xn 0
M O M O M M M M
0 K 1 K 0 0 x' 1
* l =
(B.1-1)
M O M O M M M M
0 K 0 K 1 0 x 0
2
0 K 0 K 0 1 x 0
1
Donde se asumió, sin pérdida de generalidad, que existen términos xl' .
Este sistema es de rango ‘n’ porque, tiene ‘n’ ecuaciones linealmente
independientes, esto por ser un sistema matricial de matriz identidad.
Seguidamente, se observó que su solución es una compuerta ‘OR’ lógica. En
efecto, sea la expresión aritmética (B.1-2).
S = x1 + K + xl' + K + x n = 0
(B.1-2)
Se obtuvo como resultado S=0 en el número binario S= 0K 010 K 0 , para S en bajo.
Lo anterior porque todos los números NO NEGADOS se encontraron en 0, y el número
NEGADO esta en 1 que al pasar por el inversor electrónico se convirtió en 0. Por lo tanto,
al sumarse queda una ecuación de la siguiente forma:
S = ∑ xi + ∑ xl' = 0 + 0 = 0
Note que en la ecuación anterior se sustituyó xl' = 0 , porque xl = 1 .
59
(B.1-3)
60
Por otro lado, si alguna xi = 1 (con i ≠ l ), y/ó alguna xl' = 1 , entonces S ≠ 0 . Por
cuanto si xl = 0 ⇒ xl' = 1 . De lo anterior se desprendió la ecuación (B.1-4)
S = ∑ xi + ∑ x l > 0
(B.1-4)
Por lo tanto se dedujo que la salida siempre fue de S>0, excepto para el caso de la
ecuación (B.1-3). Por lo que el arreglo anterior correspondió a la función lógica OR.
B.2 Demostración del algoritmo de la sección 2.1.4
(
)
Se definió una matriz como la matriz (B.2-1) para la función S=0= x n K xl' K x1 ’:
1
M
0
M
0
0
K
O
K
O
K
K
0
M
1
M
0
0
K
O
K
O
K
K
0
M
0
M
1
0
0 xn 1
M M M
0 xl' 0
* = ⇒ S = 0
M M M
0 x 2 1
1 x1 1
(B.2-1)
Este sistema es de rango ‘n’, porque tiene ‘n’ ecuaciones linealmente
independientes, por ser la matriz identidad.
Seguidamente se demostró que su solución es una compuerta “NAND” lógica. En
efecto, se observó la siguiente ecuación,
S = ( x n K xl' K x1 )' = 0
(B.2-2)
Lo anterior, se dio cuando el dato xm =1, que luego pasó por el inversor electrónico,
y entra a la compuerta optoelectrónica como ‘0’. Y el dato xl' =0, que en este caso no pasa
60
61
por un inversor electrónico y por lo tanto es el mismo de la entrada a la compuerta lógica,
por lo que la suma de estas fue S=0.
Interferencia = ∑ x m + ∑ xl = 0 + 0 = 0 ⇒ S = 0
(B.2-3)
El otro caso se dio cuando algún dato x m =0, por lo que al pasar por el inversor
electrónico se invierte para pasar a la entrada de la compuerta lógica como 1; y/ó xl' =1, lo
que implicó.
Inteferemcia = ∑ x m + ∑ xl > 0 ⇒ S = 1
(B.2-4)
Por lo tanto se obtuvo la salida S=1 para todos los casos excepto en el caso de la ecuación
(B.2-3). De lo anterior, se concluyó que esta fue una compuerta NAND.
61
APÉNDICE C
C.1
Demostración del mejor caso para compuertas optoelectrónicas.
Según el análisis combinatorio 33 , la ecuación (C.1-1) define el número de
subconjuntos, formados por ‘r’ elementos, a partir de un conjunto de ‘n’ elementos, sin
repetir todos los términos en desorden en los subconjuntos. En otras palabras, la ecuación
(C.1-1) representa el número de mintérminos de ‘r’ elementos en alto, de un conjunto ‘A’
de ‘n’ elementos, con todos los elementos de ‘A’ de igual magnitud y signo. Y representa
el caso en que las compuertas optoelectrónicas de la sección 2.1 logran procesar la máximo
posible de funciones lógicas en un solo ciclo (es por eso que anteriormente se decía que era
el peor caso para las compuertas electrónicas).
n
n!
=
r r!(n − r )!
(C.1-1)
La función (C.1-1) fue graficada en la Figura C.1, mediante el programa34 MatLab.
33
34
Ver referencia [3] o extracto en el Apéndice B.1.
Ver Anexo 1.2 para ver el código fuente de esta figura en MatLab.
62
63
Figura C.1 Gráfica de la función (C.1-1), para ‘n’=0 a 15.
De la figura C.1 se pudo inferir que la función (C.1-1) tuvo un máximo, para un ‘n’
dado, en ‘r = n/2’, si ‘n’ es par; y en ‘r = n/2 + ½’ ó ‘r = n/2 – ½’, si ‘n’ es impar. Para
demostrar lo anterior, se planteó el siguiente Teorema 1.
1.1.1.1
Teorema 1:
Sean {n, p} enteros, tales que n>p>0.
Para ‘n’ par, la desigualdad (C.1-2) aplica. Y para ‘n’ impar, aplica la desigualdad
(C.1-3) aplica.
Para ‘n’ par:
n!
n!
>
(n / 2)!(n / 2)! (n / 2 + p)!(n / 2 − p)!
(C.1-2)
Para ‘n’ impar:
n!
n!
>
(n / 2 + 1 / 2)!(n / 2 − 1 / 2)! (n / 2 + 1 / 2 + p)!(n / 2 − 1 / 2 − p)!
(C.1-3)
63
64
Demostración:
Para ‘n’ par:
n!
n!
>
(n / 2)!(n / 2)! (n / 2 + p)!(n / 2 − p)!
(n / 2 + p)!
(n / 2)!
>
(n / 2)!
(n / 2 − p)!
(C.1-4)
(C.1-5)
En la desigualdad (C.1-5), el número de términos multiplicandos de la izquierda es,
( n / 2 + p ) − ( n / 2) = p
(C.1-6)
( n / 2) − ( n / 2 − p ) = p
(C.1-7)
Y los de la derecha son,
Donde los ‘p’ números multiplicados de la izquierda son todos mayores a los ‘p’
números de la derecha, por lo tanto quedó demostrada la desigualdad (C.1-2)
Para ‘n’ impar: Análogamente,
n!
n!
>
(n / 2 + 1 / 2)!(n / 2 − 1 / 2)! (n / 2 + 1 / 2 + p)!(n / 2 − 1 / 2 − p)!
(n / 2 + 1 / 2 + p )!
(n / 2 − 1 / 2)!
>
(n / 2 + 1 / 2)!
(n / 2 − 1 / 2 − p)!
(C.1-8)
(C.1-9)
En la desigualdad (C.1-9), en el término de la izquierda, el número de
multiplicandos es,
( n / 2 + 1 / 2 + p ) − ( n / 2 + 1 / 2) = p
(C.1-10)
Y en la derecha es,
64
65
( n / 2 − 1 / 2) − ( n / 2 − 1 / 2 − p ) = p
(C.1-11)
Donde los ‘p’ números multiplicados de la izquierda son todos mayores a los ‘p’
números de la derecha, con lo cual quedó demostrada la desigualdad (C.1-3).
65
66
C.2 Demostración de resultados de la sección 2.3
C.2.1 Demostración de las desigualdades f 1 < f 2 (ecuación (2.3-16))35
Hay que mostrar la siguiente desigualdad:
f1 < f 2
1
1
2 * n1
1−
−1
log(2)
<
n1!
log(n1 ) * log
2
((n1 / 2)!)
n1
(C.2.1-1)
Caso n1 entero par, n1 ≥ 2 :
Si n par, entonces n=2m, con m ≥ 1
La desigualdad a probar es:
1
1
1−
4m
2m
Se tiene que como
−1
<
log(2)
(2m)!
log(2m) * log
2
(m!)
(C.2.1-2)
1
1
< 1 , y dado que
= 1 + x + K + x n + K para |x|<1, entonces:
4m
1− x
1
1
1−
4m
= 1+
1
1
1
+
+K < 1+
2
4m 16m
2m
(C.2.1-3)
De donde,
35
Gracias al Phd. William Alvarado de la Escuela de Matemáticas Puras por esta demostración matemática
66
67
1
1
1−
4m
1/ 2
1
< 1 +
2m
1/ 2
< 1+
1
, si m ≥ 1
4m
(C.2.1-4)
De esta manera tenemos la siguiente acotación para el miembro izquierdo de la desigualdad
(C.2.1-1):
1
1
1−
4m
2m
−1
<
1
si m ≥ 1
2m m
(C.2.1-5)
Por otro lado, usando la ecuación de Stirling k!≈ 2kπ k k e − k ; tenemos que:
f1 < f 2
(2m)!
≈
(m!) 2
=
22m
mπ
2 * 2mπ (2m) 2 m e − 2 m
(
2mπ m m e − m
)
2
=
2 mπ 2 2 m m 2 m e − 2 m
2mπm 2 m e −2 m
(C.2.1-6)
< 2 2m
Y en consecuencia:
(2m)!
< log 2 2 m = 2m log 2
log
2
(m!)
(C.2.1-7)
Ahora:
log 2
(2m)!
log(2m) log
(m!) 2
>
log 2
1
=
log(2m) * 2m * log 2 2m * log(2m)
(C.2.1-8)
Ahora es fácil ver que:
1
2m m
<
1
2m * log(2m)
(C.2.1-9)
67
68
Ó equivalentemente, que:
1
m
<
1
log(2m)
si m ≥ 2
(C.2.1-10)
Ya que esta desigualdad es equivalente (para m ≥ 2 ) a:
(C.2.1-11)
log(2m) < m
Si:
(C.2.1-12)
f ( x) = x − log(2 x)
Con x>0, tenemos que:
f ' ( x) =
f ' ( x) = 0 ⇔
1
2 x
1
2 x
=
−
1
x
(C.2.1-13)
1
1
1
⇔ = x ⇔x=
x
2
4
(C.2.1-14)
f ' ( x) > 0 ⇒ x > 4
(C.2.1-15)
Por lo tanto, f es creciente si x>1/4. Además tenemos que:
f (1 / 4) = 1 / 2 − log(1 / 2) > 0 ⇒ f ( x) > 0 si x > 2
(C.2.1-16)
Así:
1/ 2
1 − 1
1
1−
4m
2m
1/ 2
<
1
2m m
<
1
<
2m log(2m)
log 2
(2m)!
log(2m) log
2
(
m
!
)
si m ≥ 2
(C.2.1-
17)
68
69
Por lo tanto queda demostrado para el caso de ‘n’ entero par.
Caso n1 entero impar, n1 = 2m + 1 , para m ≥ 0 :
La desigualdad a demostrar será la (C.2.1-18):
1/ 2
1
− 1
1
1−
4m + 2
2m + 1
1/ 2
<
log 2
(2m + 1)!
log(2m + 1) log
(m − 1 / 2)!(m + 3 / 2)!
si m ≥ 0
(C.2.1-
18)
La cual se demuestra de forma análoga.
C.2.2 Demostración de la desigualdad f 3 < f 1 :
Por un lado tenemos la siguiente desigualdad de la ecuación (C.2.2-1)
n − 0.5
− 0.5 log 1
n1
I máx 10
2πVmáx n1C
1
1−
1
2 * n1
n1
con
−1
= f1 < f 2 = 2 *10 9
log(2)
n1!
log(n1 ) * log
2
((n1 / 2)!)
−1
<
log(2)
n1!
log(n1 ) * log
2
((n1 / 2)!)
I máx
= 2 * 10 9
2πVmáx C
(C.2.2-1)
para el ejemplo dado
La desigualdad de la ecuación (C.2.2-2), que equivale a la desigualdad de la
ecuación (C.2.2-1), y que se demuestró en el Apéndice C.1 por ser bastante compleja.
69
70
(C.2.2-2)
f1 < f 2
A continuación se demuestra la desigualdad de la ecuación (C.2.2-3) por ser más
sencilla.
(C.2.2-3)
f 3 < f1
Por otro lado, para f 3 , tenemos la desigualdad (C.2.2-4).
1
− 0.5 log 1− 2
2n
1
I máx 10
2πVmáx n12 C
10
1
− 0.5 log 1− 2
2n
1
−1
n1
−1
0.5
− 0.5 log 1−
n1
= f 3 < f1 =
< 10
I máx 10
2πVmáx n1C
0.5
− 0.5 log 1−
n1
−1
(C.2.2-4)
−1
Ó lo que es lo mismo:
1
1
2
− 1 < n1
− 1
1
1− 1
1− 2
2n1
2n1
2
con 1 < n1 ∀n1 > 1 y
1
1
1− 2
2n1
1−
−1 <
1
1
1−
2n1
−1
(C.2.2-5)
1
1
< 1− 2
2n1
2n1
n1 < n12
Por lo tanto queda demostrada la desigualdad (C.2.2-4) para todo n1 ≥ 2 .
De las desigualdades (C.2.2-1) y (C.2.2-4), se sigue que se cumple la desigualdad
(C.2.2-6), que es lo que lastimosamente se tuvo que demostrar.
70
71
f 3 < f1 < f 2
(C.2.2-6)
71
APÉNDICE C
C.1
MUESTRAS Y ORDENACIONES
El siguiente es un extracto de la referencia [3]:
“1.3 MUESTRAS Y ORDENACIONES
Con el concepto de muestra se asocian tanto la propia operación de selección de un
subconjunto del conjunto dado, como también el resultado de la operación citada, es decir,
el subconjunto elegido.
En lo sucesivo se tendrá en cuenta precisamente la segunda
interpretación, siempre que no se diga lo contrario.
Supongamos que de un n-conjunto An se ha obtenido una r-muestra:
(a1 , a2 ,K, a r ) , donde ai ∈ An ; i = 1,2,K, r ; r ≤ n .
(C.3-1)
El número r se llama volumen de la muestra.
Según sean las condiciones del problema, en las muestras puede tomarse en
consideración el orden de sucesión de los elementos en ellas (y en este caso las r-muestras
se llaman r-permutaciones), o bien dicho orden no se toma en consideración (en este último
caso se denomina r-combinaciones). Por ejemplo, dos 5-muestras del conjunto An ( n ≤ 5 ):
(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) y (a5 , a 4 , a3 , a2 , a1 )
(C.3-2)
Representan en sí 5-combinaciones iguales y al mismo tiempo 5-permutaciones
diferentes. En general, dos r-permutaciones
a= (a1 , a2 ,K, a r ) y b= (b1 , b2 ,K, br )
Son iguales:
72
(C.3-3)
73
a=b
(C.3-4)
Únicamente si
ai = bi ; i = 1, 2, …, r
(C.3-5)
En las muestras es posible la aparición reiterada de los elementos, y en tal caso ellas
se denominan r-combinaciones con repetición y r-permutaciones con repetición,
respectivamente. Una r-permutación (con repetición) de elementos del conjunto A se llama
también palabra de longitud r sobre el alfabeto A.
Es evidente que los conceptos de r-permutaciones y r-combinaciones, al igual que
sus combinaciones, abarcan todos los tipos posibles de muestras. Por eso no hay necesidad
de dar el concepto de arreglo (variación), aunque dicho concepto aparece todavía en la
literatura, principalmente en los manuales.
La multiformidad de la solución de los problemas combinatorios observada en las
etapas iniciales del desarrollo de las matemáticas condujo a una cuestión natural: ¿cuántos
son los procedimientos, por medio de los cuales puede realizarse la requerida disposición
combinatoria? En particular, el cálculo del número de r-muestras de un n-conjunto fue
históricamente uno de los primeros problemas de la combinatoria.
Hallemos el número de todas las r-permutaciones posibles (sin repetición) de un nconjunto. Denotemos el número que se busca mediante P(n,r). El problema se reduce a
una aplicación sucesiva de la regla del producto. En efecto, en el n-conjunto se tienen n
posibilidades para elegir el primer elemento de la r-permutación. Una vez realizada tal
elección, quedan n – 1 posibilidades para la elección del segundo elemento, luego quedan n
73
74
– 2 posibilidades para elegir el tercer elemento, etc., para la elección del r-ésimo elemento
tendremos n – r + 1 posibilidades. De acuerdo con la regla del producto,
P(n, r) = n(n – 1) … (n – r + 1)
(C.3-6)
De donde se deduce,
P(n, n) = n!
(C.3-7)
Para que el resultado sea más completo, admitamos
P(n, 0) = 0! = 1.
(C.3-8)
Calculemos ahora el número de r-permutaciones posibles con repetición. En este
caso, después de elegir cualquier elemento de la r-permutación quedan las mismas n
posibilidades para elegir el elemento siguiente.
Por consiguiente, según la regla del
producto, el número e r-permutaciones con repetición del n-conjunto es igual a n r .
Los razonamientos aducidos aquí se ilustran fácilmente con un ejemplo del esquema
de urna, cuyos diferentes tipos se emplean en la teoría de las probabilidades: se tiene una
urna dentro de la cual se encuentran colocadas n bolas iguales y de la cual se sacan por
turno r bolas. En tal caso resultan posibles dos casos: la bola sacada o bien se retorna a la
urna (elección con retorno) o bien no se retorna (elección sin retorno).
Un ejemplo más. ¿Cuántos subconjuntos tiene un n-conjunto S, es decir a qué es
igual |P(S)| 36 ?
La respuesta será |P(S)|= 2 n .
Efectivamente, cualquier r-muestra
R = ( si1 , si 2 ,..., sir ) , donde r = 1, 2, …, n, figura en P(S). A esta r-muestra se le puede poner
en correspondencia una n-muestra, compuesta por elementos de dos tipos: ceros, si el
36
P(S) es el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto S.
74
75
elemento no integra la r-muestra R, y unidades, si el elemento figura en R. De este modo,
las unidades deben disponerse en los lugares correspondientes a i1 , i2 ,K, ir , mientras que
los ceros, en los demás lugares. Pero el número de tales n-muestras (es decir, de npermutaciones con repetición) de 2-conjunto {0,1} es igual a 2 n , lo que constituye
precisamente el resultado buscado…”
n
“…Calculemos ahora el número de r-combinaciones, designándolo con o con
r
C nr . Comencemos por el caso en que todos los elementos en las r-combinaciones son
diferentes. Es fácil ver que el número de r-combinaciones del n-conjunto es r! veces
inferior al número de r-permutaciones de los elementos del mismo conjunto.
Por
consiguiente,
n P(n, r ) n(n − 1)L(n − r + 1)
n!
=
=
=
r!
r!
r!(n − r )!
r
(C.3-9)
De aquí se deduce que
n n − r
=
n r
(C.3-10)
n n
= = 1
n 0
(C.3-11)
En particular,
Observemos que las r-combinaciones del n-conjunto son sus r-subconjuntos….”
75
76
ANEXO 1
1.1
Código fuente en MatLab 6.5 de Figura 2.14
clc;
% Constantes
num_bits_max= 128;
C=1*10^-12;
V=5;
Imax=0.01;
% 2*10^9 = Imax / (V * C)
% Calculo de funciones
for n1=2:num_bits_max,
n3 = ceil(log10(gamma(n1) / (gamma(n1 / 2))^2) / log10(2));
n2 = ceil(log10(n1) / log10(2));
f2(n1) = 2*10^9 / (n2 + n3);
f1(n1) = 2*10^9 * sqrt(10^(-0.5*log10((n1-0.5) / n1)) - 1) / (2 * pi * n1);
f3(n1) = 2*10^9 * sqrt(10^(-0.5 * log10(1 - 1 / (2*n1^2))) - 1) / (2 * pi * n1^2);
end
76
77
% Graficos
subplot(2,1,1), plot(f1,'r');
hold;
plot(f2,'b');
plot(f3,'g');
legend('f1=Optoelec. no-coherente', 'f2=Electronica', 'f3=Optoelec. Coherente');
grid on;
title('Rango de 2 bits a 128 bits');
ylabel('Hz');
xlabel('Numero de Bits de Entrada');
subplot(2,1,2),
plot(f1,'r');
hold;
plot(f3, 'g');
legend('f1=Optoelec. no-coherente', 'f3=Optoelec. Coherente');
grid on;
title('Rango de 2 bits a 128 bits');
ylabel('Hz');
xlabel('Numero de Bits de Entrada');
77
78
1.2
Código en MatLab para Figura C.1
%UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
%ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA
%IE-0502 PROYECTO DE GRADUACION
%ESTUDIANTE: PIERRE VAN DER LAAT ULATE
%CARNET: 943654
%GRAFICA DE LA FUNCION: n!/(r!(n-r)!)
clc;
%Constantes
n_max=16;
%Calculo de la funcion
for n=2:n_max,
r=1;
while (r<n),
f(n,r)=gamma(n)/(gamma(r)*gamma(n-r));
r=r+1;
78
79
end
end
%COMANDOS PARA GRAFICAR EN 3D
surf(f);
xlabel('r');
ylabel('n');
title('Grafico de ecuacion C.1');
79
ANEXO 2
2.1 Fotos de las compuertas de la sección 3.1.
Figura Anexo.2.1.1. Foto del arreglo optoelectrónico con fotorresistencias para el caso
en que ambas entradas están en bajo. LED verde apagado.
80
81
Figura Anexo.2.1.2. Foto del arreglo optoelectrónico con fotorresistencias para el caso
en que la primera de las entradas están en bajo, y la segunda de las entradas están en
bajo. LED verde apagado.
Figura Anexo.2.1.3. Foto del arreglo optoelectrónico con fotorresistencias para el caso
en que la primera de las entradas estaba en alto, y la segunda de las entradas están en
bajo. LED verde apagado.
81
82
Figura Anexo.2.1.4. Foto del arreglo optoelectrónico con fotorresistencias para el caso
en que ambas entradas están en alto, y se observa el LED verde encendido.
Figura Anexo.2.1.5. Foto del arreglo optoelectrónico con fototransistores para el caso
en que ambas entradas están en bajo. LED verde apagado.
82
83
Figura Anexo.2.1.6. Foto del arreglo optoelectrónico con fototransistores para el caso
en que la primera entrada está en bajo y la segunda en alto. LED verde apagado.
Figura Anexo.2.1.7. Foto del arreglo optoelectrónico con fototransistores para el caso
en que la primera entrada está en alto y la segunda está en bajo. LED verde apagado.
83
84
Figura Anexo.2.1.8.
Foto del arreglo optoelectrónico con fototransistores para el
caso en que ambas entradas están en alto, y se observa el LED verde encendido.
84
85
ANEXO 3
3.1 Datos del fabricante para componentes.
A continuación describimos los datos del fabricante para los componentes de las
compuertas AND de la sección 3.1:
•
Resistencias de Radio Shack:
o 220 Ohm. ¼ W, 5%, Carbon Film Resistor. Modelo: 271-1313.
Catálogo #: 271-1313.
o 47 Ohm. ½ W, 5%, Carbon Film Resistor. Modelo: 271-1105.
Catálogo #: 271-1105.
•
Fotorresistencias de Radio Shack:
o Fotorresistencias CdS.
Temp. Min -30°F, temp. Máx. 80°F.
Modelo: 276-1657. Catálogo #:276-1657.
•
Fototransistor de Radio Shack (1 unidad):
o Material Multi. Temp. Mín. -40°F, Temp Máx. 185°F. Rango de
humedad operativa 85F. Modelo: 276-145. Catálogo #: 276-145.
•
Pareja IRLED & Fototransistor:
o Material Multi. Temp. Mín. -40°F, Temp Máx. 176°F. Modelo:
276-142. Catálogo #:276-142.
85
86
Tabla Anexo.3.1.1. Datos del fabricante para uno de los fototransistores de la Figura
3.3. Parte # 276-142 de Radio Shack
Tensión Colector a Emisor Vceo
70 V
Tensión Emisor a Colector Veco
5V
Corriente de Colector Ic
50 mA
Potencia Total disipada
150 mW
Longitud de onda pico detectada
850 nm
Rango de ancho espectral
620-980 nm
Ángulo de sensitividad media
± 20°
Tabla Anexo.3.1.2. Datos de cada IRLED. Parte #276-142 de Radio Shack
Tensión de Reversa
5V
Corriente continua positiva
150 mA
Tensión positiva
1,7 V máx
Excitancia (Potencia óptica)
13-15mW
Longitud de onda pico de emisión
950 nm
86
