"03-exam-ie"

Nombre y Apellidos: _____________________________________________________________________
Problema 1. — Suma de Medidas. Se ha de realizar una suma de temperaturas en el margen de 50 ºC a 700
ºC con un puente de Wheatstone. La disposición de los transductores es la de puente diferencial. Para ello se
dispone de una sonda de platino, y de un termistor NTC. Ambos con resistencia de 100 Ω a 50 ºC y
coeficiente de temperatura de 0,4%/ºC (cada uno con su signo) y coeficiente de disipación térmica de δ de 1
mW/ºC, en las condiciones de medida. Diseñar el puente de continua, alimentado a tensión constante, para
que el error de sensibilidad sea inferior a 5 ºC. Cuál debe ser la tensión de alimentación para que el error
absoluto en temperatura sea sólo de 0,05 ºC. A qué temperaturas T1 y T2 el puente es más sensible.
DISEÑO DE UN PUENTE DE CONTINUA MEDIANTE ESPECIFICACIÓN DEL ERROR DE LINEALIDAD
ABSOLUTO:
e = (T2 + T1 )
(k + 1)α (T2 − T1 ) + α 2T1T2
(k + 1 − αT2 )(k + 1 + αT1 )
EL PEOR CASO ES CUANDO T1 = 50ºC y T2 = 700ºC
(
k + 1)260 × 10 −2 + 56 × 10 −2
e = (750)
(k − 1,8)(k + 1,2)
=5
SIMPLIFICANDO
k 2 − 390,6k − 476,16 = 0
RESOLVIENDO
k1 = 391,81
k2 = NO VALIDO
RESISTENCIAS DE LAS RAMAS
RT = R0 (1 + αT )
T = 50º C , RT = 100Ω, R0 = 83,33 ±
R1 = R3 = kR0 = 32649 ±
DETERMINACIÓN
TEMPERATURA
DE
2
LA
5
(Ω )
103
5
(Ω )
10
TENSIÓN
DE
ALIMENTACIÓN
MEDIANTE
ERROR
ABSOLUTO
DE
2
 V  R4  V  R3


ea = 
− 
 R1 + R4  δ  R2 + R3  δ
DADO QUE
k + 1 − αT2 ≈ k + 1
k + 1 + αT1 ≈ k + 1
CONVOCATORIA ORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. JUNIO DE 2001.
1
Nombre y Apellidos: _____________________________________________________________________
ea ≈
V 2 α (T2 + T1 )
R0δ (k + 1)2
DESPEJANDO
ea R0δ (k + 1)
α (T2 + T1 )
2
V≤
(V)
SUSTITUYENDO
5 × 1.10 −2 × 83,33 × 1.10 −3 × (392'81)
V≤
(V )
4 × 1.10 −3 × (750 )
2
V ≤ 14.63 ±
5
(V )
103
LA SENSIBILIDAD DEL PUENTE SE DEFINE COMO:
S=
kα
(k + 1 − αT2 )(k + 1 + αT1 )
S ALCANZA SU VALOR MÁXIMO CUANDO T2 ES MÁXIMA Y T1 ES MÍNIMA, ES DECIR CUANDO
T2=700ºC Y T1=50ºC.
CONVOCATORIA ORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. JUNIO DE 2001.
2
Nombre y Apellidos: _____________________________________________________________________
Problema 2. — Control de Calidad. Se desea controlar la calidad en la recepción de los envíos del PTR de
medida del problema anterior, en una cadena de fabricación de termómetros digitales basados en puente de
Wheatstone, en el rango de temperaturas de 0 ºC a 700ºC. El error de resolución es un 1% del valor medio de
la resistencia a ambas temperaturas. El error por dígitos significativos es despreciable. Determinar el mínimo
número de muestras de medida de resistencia si se admite hasta un 20% de error en la medida de la
resistencia nominal del PTR, con un 90% de confianza. La desviación estándar es proporcional al valor
medio de la resistencia en margen de 0ºC a 700ºC, y varía con la temperatura según la expresión
donde A=3 y B=1055;
Ae
−
B
T
,
LA DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA QUE SIGUE EL CONTROL DE CALIDAD ES UNA T-STUDENT,
LA EXPRESIÓN GENERAL ES:
t
n
=
ex − R −
σx
5
10 m +1
donde e es el porcentaje de error en el valor medio de x. Para este problema en particular:
t
=
F (T ) =
n
σ (T ) = Ae
−
5
5
x e − r − m+1
m +1
10
10
=
σ (T )
σ (T ) x(T )
ex − r x −
B
T
x(T ) = R0 (1 + αT )
donde:
T es la temperatura,
e es el porcentaje de error en el valor medio de x,
r es el error de resolución relativo al valor medio de x,
σ(T) es la función de desviación relativa al valor medio de x, de la forma
En la distribución estadística t-student el factor t disminuye cuando n (número de muestras) aumenta, dado
un grado de confianza. Para obtener el mínimo número de muestras n se ha de minimizar la función
t
n
.
5 

 e − r − m+1 σ ′(T )
10 
F ′(T ) = − 
σ 2 (T )
B
σ ′(T ) = 2 σ (T )
T
′
x (T ) = R0α
5  B 

 e − r − m+1  2 
10  T 
F ′(T ) = − 
σ (T )
CONVOCATORIA ORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. JUNIO DE 2001.
3
Nombre y Apellidos: _____________________________________________________________________
F ′(T ) = 0;
5 

 e − r − m+1 
10  B

=0
σ (T )
T2
La ecuación anterior tiene el siguiente conjunto de soluciones:
1
= 0; ⇒ T = 0;
σ (T )
1
b) 2 = 0; ⇒ T = ∞;
T
a)
La solución a) es un máximo y la solución b) es un mínimo de la función F(T).
En el margen de temperaturas del problema el mínimo número de muestras se obtiene para T = 700ºC, tal
que:
T = 700º C
B
5
t
= ( e − r − m+1 ) Ae T
10
n
1055
( 2 × 10 −1 − 1 × 10 −2 − 5 × 10 −2 ) 700
5
t
=
( e ) ≈ 0,285 ± 4
3
10
n
n
ν
t
2
4
31
41
1
3
30
40
6,314
2,353
1,697
1,684
t
n
4,46
1,17
0,30
0,26
TOMANDO AL MENOS 41 MUESTRAS DEL PTR SE SATISFACEN LOS REQUERIMIENTOS
CONVOCATORIA ORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. JUNIO DE 2001.
4
Nombre y Apellidos: _____________________________________________________________________
CONVOCATORIA ORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. JUNIO DE 2001.
5
Nombre y Apellidos: _____________________________________________________________________
Problema 3. — Propagación en la incertidumbre. Determinar la temperatura a la cual se obtiene la menor
incertidumbre en el cálculo de la resistencia del PTR de medida del problema anterior. El rango de
temperaturas es de 50 ºC a 700 ºC . Se dispone de un voltímetro y un amperímetro de medida. Ambos
equipos muestran hasta 1 dígito decimal. El error aleatorio y el de resolución son despreciables en ambos
instrumentos.
MEDIDA DE LA RESISTENCIA EN BASE A LA INTENSIDAD Y LA TENSIÓN
R = I ×V
PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE:
 WR

 R
2
2

W  W 
 =  I  +  V 

 I  V 
2
SE SABE QUE:
I≤
V
kR0 + R0 (1 + αT )
V  1
k >> (1 + αT ) ⇒ I ≈  
 k  R0
V
V≤
R 0 (1 + αT )
kR0 + R0 (1 + αT )
V 
k >> (1 + αT ) ⇒ V ≈  (1 + αT )
k
SUSTITUYENDO:
R = R0 (1 + αT ) =
V
;
I
WI = WV = W ;
WR = W
1
1
+ 2;
2
I
V
I
V
SIMPLIFICANDO:
Q1 = WI ;
2
1
Q2 =   ;
I 
WR =
Q1
1
Q2 + 2 ;
V
V
CONVOCATORIA ORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. JUNIO DE 2001.
6
Nombre y Apellidos: _____________________________________________________________________
PARA MINIMIZAR LA INCERTIDUMBRE SE HA DE DETERMINAR LOS EXTREMOS DE LA FUNCION:
1
Q1
Q2 + 2 ;
V
V
∂WR ∂WR ∂V
=
;
∂T
∂V ∂T




∂WR
Q1 
1
 Q + 3 1 ;
=− 2
2
V 
V2
∂V
1 
Q
+


2
V2 

∂V V
= α;
∂T
k




∂WR
1
 V  Q1 
 Q + 3 1 ;
= − α  2
2
V2
∂T
1 
 k V 
+
Q


2
V2 

WR =
LOS EXTREMOS DE LA FUNCION INCERTIDUMBRE SON:
Q1
= 0 ⇒ V = ∞, T = ∞;WR = 0;
V2
∂WR
1
= 0;
= 0 ⇒ V = 0, T = 0;WR = ∞;
∂T
1
Q2 + 2
V
1
Q2 + 3 2 = 0 ⇒ Soluciones impropias;
V
POR TANTO LA INCERTIDUMBRE SE MINIMIZA A LA MAYOR TEMPERATURA, 700ºC.
CONVOCATORIA ORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. JUNIO DE 2001.
7
Nombre y Apellidos: RESOLUCIÓN DEL EXAMEN
Problema 1. — Puente de Wheatstone. Se ha de realizar una medida de temperaturas en el margen de
50ºC a 700ºC con un puente de Wheatstone. Sólo se dispone de un transductor en una de las ramas del
puente. El transductor es un termistor NTC con ecuación de comportamiento
RT = R 0 e
1 1
B  −
 T T0




. La
resistencia Ro es de 100 Ω a To = 50 ºC ,y coeficiente de temperatura B es de 0,4%/ºC. Diseñar el puente de
continua, alimentado a tensión constante, para que la resistencia equivalente del puente tenga una pendiente
negativa de un 1%.
A fin de obtener la ecuación general de la resistencia equivalente total del puente de Wheatstone para este
problema se ha de suponer que el puente no está equilibrado a la temperatura de 50ºC. En otro caso el
problema no tiene solución.
La resistencia equivalente del puente de Wheatstone con transductor en una sola rama es la siguiente:
R = (k1R0 + RT ) (k 2 + 1)R0 ;
La sensibilidad con respecto a la temperatura de la resistencia equivalente es la siguiente:
dR 
k 2 R0 + R0
= 
dT  k1 R0 + k 2 R0 + RT



2
(− B )RT
T2
;
Dado que se exige que tenga pendiente negativa del 1% a T de 50ºC, entonces:

dR
k2 R0 + R0
= 
dT T =T0  k1 R0 + k2 R0 + RT

k2 R0 + R0

 k1 R0 + k2 R0 + RT
 (− B )RT0

= −m;
2
T0

2
2

T 1
 = m 0
= M;
B RT0

El sistema de ecuaciones que se ha de resolver es el siguiente:


k 2 R0 + R0

 = M ;
 k 1 R 0 + k 2 R 0 + RT 
T 0 = 50 º C ;
R 0 = RT0 = 100 Ω ;
 k2 + 1 

 = M ;
 k1 + k 2 + 1 
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. SEPT. BIS DE 2001.
1
Nombre y Apellidos: RESOLUCIÓN DEL EXAMEN
Simplificando:
k 2 + 1 = k3
 k3 

 = M ;
 k1 + k3 
T0 = 50º C;
R0 = RT0 = 100Ω;
M = 10 −2 ×
50 2
× 10 −2 = 10 −3 ;
1
4 × 10 −3
Una solución del sistema se obtiene como sigue:
k1 + k3 = qk3
q=
1
;
M
q = 103 ;
El conjunto de valores que satisface el sistema de ecuaciones es el siguiente:
k1 = (q − 1)k3 ;
k1 =
( 10 − 1)k ;
3
3
De esta forma, para un valor determinado de k3 se obtiene uno de k1.
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. SEPT. BIS DE 2001.
2
Nombre y Apellidos: RESOLUCIÓN DEL EXAMEN
Problema 2. — Control de Calidad. Se desea controlar la calidad en la recepción de los envíos del NTC de
medida del problema anterior, en una cadena de fabricación de termómetros digitales basados en puente de
Wheatstone, en el rango de temperaturas de 0ºC a 700ºC. El error de resolución es un 1% del valor medio de
la resistencia a ambas temperaturas. El error por dígitos significativos es despreciable. Determinar el mínimo
número de muestras de medida de resistencia si se admite hasta un 20% de error en la medida de la
resistencia nominal del NTC, con un 90% de confianza. La desviación estándar es proporcional al valor
medio de la resistencia en margen de 0ºC a 700ºC, y varía con la temperatura según la expresión
donde A=5/4 y B=1055;
Ae
−
B
T
,
LA DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA QUE SIGUE EL CONTROL DE CALIDAD ES UNA T-STUDENT,
LA EXPRESIÓN GENERAL ES:
t
n
=
ex − R −
σx
5
10 m +1
donde e es el porcentaje de error en el valor medio de x. Para este problema en particular:
t
=
F (T ) =
n
σ (T ) = Ae
−
5
5
x e − r − m+1
m +1
10
10
=
σ (T )
σ (T ) x(T )
ex − r x −
B
T
x(T ) = R0 (1 + αT )
donde:
T es la temperatura,
e es el porcentaje de error en el valor medio de x,
r es el error de resolución relativo al valor medio de x,
σ(T) es la función de desviación relativa al valor medio de x, de la forma
En la distribución estadística t-student el factor t disminuye cuando n (número de muestras) aumenta, dado
un grado de confianza. Para obtener el mínimo número de muestras n se ha de minimizar la función
t
n
.
5 

 e − r − m+1 σ ′(T )
10 
F ′(T ) = − 
σ 2 (T )
B
σ ′(T ) = 2 σ (T )
T
′
x (T ) = R0α
5  B 

 e − r − m+1  2 
10  T 
F ′(T ) = − 
σ (T )
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. SEPT. BIS DE 2001.
3
Nombre y Apellidos: RESOLUCIÓN DEL EXAMEN
F ′(T ) = 0;
5 

 e − r − m+1 
10  B

=0
σ (T )
T2
La ecuación anterior tiene el siguiente conjunto de soluciones:
1
= 0; ⇒ T = 0;
σ (T )
1
b) 2 = 0; ⇒ T = ∞;
T
a)
La solución a) es un máximo y la solución b) es un mínimo de la función F(T).
En el margen de temperaturas del problema el mínimo número de muestras se obtiene para T = 700ºC, tal
que:
T = 700º C
B
5
t
= ( e − r − m+1 ) A−1e T
10
n
1055
4
5
t
= ( 2 × 10 −1 − 1 × 10 −2 − 5 × 10 −2 )( e 700 ) ≈ 0,686 ± 4
5
10
n
n
ν
t
2
4
6
7
8
1
3
5
6
7
6,314
2,353
2,015
1,943
1,895
t
n
4,46
1,17
0,82
0,73
0,67
TOMANDO AL MENOS 41 MUESTRAS DEL PTR SE SATISFACEN LOS REQUERIMIENTOS
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. SEPT. BIS DE 2001.
4
Nombre y Apellidos: RESOLUCIÓN DEL EXAMEN
Problema 3. — Propagación en la incertidumbre. Determinar la temperatura a la cual se obtiene la menor
incertidumbre en el cálculo de la resistencia del NTC de medida del problema anterior. El rango de
temperaturas es de 50 ºC a 700 ºC . Se dispone de un voltímetro y un amperímetro de medida. En ambos
instrumentos, el error aleatorio y el de resolución son despreciables.
MEDIDA DE LA RESISTENCIA EN BASE A LA INTENSIDAD Y LA TENSIÓN
R = I ×V
PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE:
 WR

 R
2
2

W  W 
 =  I  +  V 

 I  V 
2
SE SABE QUE:
V
I≤
kR0 + R0 e
1 1 
B  − 
 T T0 
 B  1 − 1  
V  1
T T
k >>  e  0   ⇒ I ≈  


 k  R0


V
V≤
kR0 + R0 e
1 1 
B  − 
 T T0 
R0 e
1 1 
B  − 
 T T0 
 B  1 − 1  
V
T T
k >>  e  0   ⇒ V ≈ 


k


 1 1 
 B  T −T0  
 e




SUSTITUYENDO:
R = R0 e
1 1 
B  − 
 T T0 
=
V
;
I
WI = WV = W ;
WR = W
I
V
1
1
+ 2;
2
I
V
SIMPLIFICANDO:
Q1 = WI ;
2
1
Q2 =   ;
I 
WR =
Q1
1
Q2 + 2 ;
V
V
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. SEPT. BIS DE 2001.
5
Nombre y Apellidos: RESOLUCIÓN DEL EXAMEN
PARA MINIMIZAR LA INCERTIDUMBRE SE HA DE DETERMINAR LOS EXTREMOS DE LA FUNCION:
1
Q1
Q2 + 2 ;
V
V
∂WR ∂WR ∂V
;
=
∂T
∂V ∂T


∂WR
1
Q1 
=− 2
V 
∂V
1
 Q2 + 2
V

∂V V  B 
=  − 2 V ;
∂T
k T 
WR =


 Q + 3 1 ;
 2
V2




∂WR  V B  Q1 
1
=
2 

∂T
1
k T V
 Q2 + 2
V



 Q + 3 1 ;
 2
V2


LOS EXTREMOS DE LA FUNCION INCERTIDUMBRE SON:
1
= 0 ⇒ T = ∞;WR = 0;
T2
Q1
= 0 ⇒ V = ∞, T = ∞;WR = 0;
V
∂WR
1
= 0;
= 0 ⇒ V = 0, T = 0;WR = ∞;
∂T
1
Q2 + 2
V
1
Q2 + 3 2 = 0 ⇒ Soluciones impropias;
V
POR TANTO LA INCERTIDUMBRE SE MINIMIZA A LA MAYOR TEMPERATURA, 700ºC.
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE ISE. CURSO 00/01. SEPT. BIS DE 2001.
6