¿Qué saben de matemáticas los docentes chilenos

¿Qué saben de matemáticas
los docentes chilenos que la enseñan?
Evidencia de los sistemas de evaluación docente en Chile
13 de marzo de 2015
¿Qué saben de matemáticas
los docentes chilenos que la enseñan?
Evidencia de los sistemas de evaluación docente en Chile1
María Beatriz Rodríguez Frías*
Psicóloga, Magister en Psicología Educacional, Mide UC, Universidad Católica de Chile.
[email protected]
Ximena Patricia Carreño Campos
Profesora de Estado en Matemática, Magister © en Educación Matemática. Mide UC, Universidad Católica de Chile.
[email protected]
María Herminia Ochsenius Alarcón
Psicóloga, Magister en Psicología Educacional, Licenciada en Matemática. Magíster en Ciencias Exactas,
mención Matemáticas, Doctora en Ciencias Exactas, mención Matemáticas, Chile.
[email protected]
Carmen Verónica Muñoz Correa
Profesora de Estado en Matemática
[email protected]
PALABRAS CLAVE: Dominio disciplinario, evaluación docente, enseñanza de las matemáticas.
EJE TEMÁTICO: Uso e impacto de los resultados de las evaluaciones de docentes y directivos.
Resumen
Con el fin de aportar información útil para focalizar esfuerzos para el mejoramiento de la educación matemática
en escuelas chilenas, este estudio explora en la evidencia disponible, recogida por el Ministerio de Educación en
dos sistemas de evaluación docente voluntarios: Programas de Asignación de Excelencia Pedagógica y Asignación
Variable de Desempeño Individual. Se analiza en profundidad el dominio disciplinario demostrado por profesores
de matemática en la prueba de conocimientos disciplinarios que rinden para estas evaluaciones entre los años
2007 y 2011. Mediante un exhaustivo análisis de los ítemes que componen este instrumento, se determinó su
dificultad esperada —en función del contenido conceptual y las estrategias necesarias para resolverlos— y se confrontó con la dificultad real que presentaron en su aplicación para el conjunto de docentes. Este análisis permitió
una descripción detallada de fortalezas y debilidades en cada eje del marco curricular, y aun cuando se aprecian
diferencias en los desempeños de docentes de distintos ciclos de enseñanza, para la mayoría de los ejes se observa
un patrón común: como fortalezas, destrezas a nivel de operatoria y resolución de problemas en contextos numéricos sencillos; como debilidades, deficiencias en la comprensión profunda de conceptos básicos, dificultades en
establecer conexiones entre dominios diferentes, en integrar contenidos y en transferir el conocimiento a contextos diferentes.
Los resultados de este estudio sugieren recomendaciones para la formación inicial y continua de los docentes
de matemática, y establecen la necesidad de fortalecer la formación disciplinaria, particularmente la comprensión
conceptual profunda de contenidos elementales de la disciplina.
Este estudio forma parte de uno mayor, financiado por el Fondo de Investigación y Desarrollo en Educación (Fonide), del Centro de Estudios
del Ministerio de Educación de Chile. El estudio completo, denominado “¿Cuánto saben de matemática los docentes que la enseña y cómo se relaciona
este saber con sus prácticas de enseñanza?” fue dividido en dos secciones que, debido a su extensión, se presentan por separado para Colmee 2015.
La parte complementaria se denomina ¿Cómo se enseñan las matemáticas en aulas chilenas?, y se presenta en ficha adjunta.
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2
*Autor principal
INTRODUCCIÓN
La importancia de que los profesores conozcan bien los contenidos que enseñan está establecida. El dominio disciplinario del docente se ha vinculado empíricamente con los resultados de los estudiantes (Monk, 1994; Frome, Lasater y
Cooney, 2005; (Leinhardt y Smith, 1985; Ball y McDiarmid, 1990; Mullens, Murnane, y Willett, 1996; Darling-Hammond
y Young, 2002; Chambliss, Graeber y Clarke, 2003) y es considerado como un componente central en la definición de la
calidad docente, lo que se ve ratificado por el hecho de que esta dimensión está presente en una posición relevante en
los estándares de formación de profesores (Mineduc 2012; Mineduc 2012) y de desempeño docente de distintos países,
(Australian Professional Standards for Teachers; Illinois Professional Educator Standards).
Aun cuando se identifican los beneficios de un dominio profundo de los contenidos, estudios de diversa índole han
establecido que el conocimiento matemático necesario para la enseñanza a nivel escolar, es diferente de aquel requerido
por profesionales de otros ámbitos relacionados con la matemática. (Ball, Hill y Bass, 2005; Ma, 1999; Papick, 2011).
El interés del equipo investigador por centrarse en la enseñanza de las matemáticas, radica principalmente en los
preocupantes resultados que han obtenido los estudiantes chilenos en pruebas internacionales (Mineduc, 2009) y en las
mediciones de futuros profesores. Tanto la evaluación diagnóstica Inicia como los resultados de la evaluación internacional de la formación de profesores básicos en Matemáticas TEDS-M, señalan que el dominio disciplinario en los profesores
en formación, se encuentra lejos del nivel deseado, (Mineduc, 2012; Babcock, 2010).
El presente estudio se propone recabar información respecto del nivel de conocimiento disciplinario de los profesores en ejercicio, identificando fortalezas y debilidades con el fin de identificar aquellos focos donde es necesario invertir
los mayores esfuerzos a nivel de formación inicial y capacitación de profesores.
DESARROLLO
Objetivos del estudio
Describir y analizar el dominio disciplinario de los docentes de Educación Matemática chilenos, evaluados en los programas Asignación de Excelencia Pedagógica y Asignación Variable por Desempeño Individual, identificando fortalezas y
debilidades conceptuales y procedimentales.
Metodología
Para responder esa interrogante, se analizaron los ítemes que componían las Pruebas de Conocimientos Disciplinarios
y los resultados obtenidos en ellas, por los profesores de matemática de Segundo Ciclo (5º a 8º) y Educación Media (9º
a 12º) postulantes a AEP y AVDI, entre los años 2007 y 2011. Este grupo corresponde a una muestra de 4652 docentes.
Instrumentos
Prueba de Conocimientos Disciplinarios AEP (PCD): instrumento diseñado para evaluar el dominio disciplinario de
los profesores postulantes a la Asignación de Excelencia Pedagógica; el formato es de lápiz y papel. La prueba para docentes de matemática, Segundo Ciclo Básico y Enseñanza Media, se compone de tres preguntas de respuesta construida y 40
ítemes cerrados. Se utilizó para este estudio el resultado obtenido en los ítemes cerrados.
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Las tablas 1 y 2 presentan los ejes temáticos que constituyen cada una de las pruebas:
Tabla 1 Ejes y Subejes de la PCD de Matemática, Segundo Ciclo (5º a 8º).
Ejes
Subejes
Números Naturales
Números y Operaciones
Números Enteros
Números Racionales
Proporciones
Números y Aplicaciones
Potencias
Lenguaje Algebraico y Ecuaciones
Tratamiento de la Información
Geometría
Figuras y Cuerpos Geométricos
Perímetros, Áreas y Volúmenes
Tabla 2 Ejes y Subejes de la PCD de Matemática, Educación Media (9º a 12º).
Ejes
Números y Proporcionalidad
Subejes
Números
Proporcionalidad
Lenguaje algebraico
Álgebra y funciones
Funciones
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Probabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística
Transformaciones isométricas
Geometría
Ángulos en la circunferencia y congruencia
Proporcionalidad y semejanza
Áreas, volúmenes y rectas en el espacio
Análisis
Se llevó a cabo el siguiente análisis:
»» Se estableció una codificación de los ítemes en función de dos variables: el tipo de conocimiento (lo que se debe
saber) abordado por el ítem y el tipo de estrategia (lo que se debe hacer) involucrada en su resolución, estableciendo tres niveles. Ver tablas 3 y 4:
»» Se estableció una tipología de ítemes de acuerdo con la clasificación anterior. (Ver tabla 5). Fue necesario introducir
una categoría M+, para establecer algunas distinciones, particularmente, aquellos casos en que la presentación de
ítemes hacía una diferencia, (por ejemplo, contextos numéricos vs no numéricos, ausencia de apoyo gráfico, etc.).
»» Se contrastó, para cada ítem, el nivel de dificultad esperado con el nivel de dificultad empírico, medido por el porcentaje de respuestas correctas obtenido. Esto se hizo, asumiendo que cada tipo de ítem podría asociarse a uno
de los niveles de clasificación utilizados en la construcción de la prueba AEP: dificultad menor, media y alta. Ver
Tabla 6.
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Tabla 3 Categorías del tipo de conocimiento abordado por el ítem
Tipo de conocimiento
Descripción
Elemental
Conceptos centrales establecidos por el marco curricular
Relaciones básicas entre conceptos definidos
Medio
Conceptos avanzados en el marco curricular
Relaciones complejas entre conceptos definidos
Alto
Contenidos que exceden el marco curricular
Tabla 4 Categorías del tipo de estrategia involucrada en el ítem
Tipo de estrategia
Descripción
Elemental
· Reconocimiento de los conceptos basales
· 1 o 2 pasos con cálculos simples, directos, que no requieren toma de decisiones.
· Aplicación directa de definiciones.
· Interpretación de situaciones sencillas.
· 3 o + pasos inducidos por el problema.
· Cálculos numéricos más extensos.
· Estrategia sencilla no inducida.
Media
· Diseño de estrategia, método para abordarlo- reformular- dividirlo en pasos (no hay pistas obvias).
· Varios pasos no inducidos.
· Reinterpretación de datos relacionando con otros saberes
Alta
Tabla 5 Tipología de clasificación de ítemes según tipo de conocimiento y estrategia
Tipo de conocimiento
Tipo de estrategia
Elemental
Medio
Alto
Elemental
T1
T1
T2
Media
T2
T3
T3
Media+
T3
T3
T4
Alta
T4
T4
T4
Tabla 6 Relación entre tipos de ítemes y grado de dificultad esperado del ítem
según porcentaje de respuestas correctas.
Clasificación del ítem
Grado de dificultad esperada del ítem
T1
Sobre 70% de respuestas correctas
Nivel de dificultad
T2
Entre 60% y 70% de respuestas correctas
T3
Entre 40% y 60% de respuestas correctas
Dificultad media
T4
Menos de 40% de respuestas correctas
Dificultad alta
Dificultad menor
A continuación, se presenta el análisis realizado, correspondiente al Eje Números y Operaciones, de Segundo Ciclo:
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La tabla 7 presenta el resumen de la totalidad de ítemes, clasificados por tipo, y de acuerdo al grado de dificultad, promedio de respuestas correctas y distribución según dificultad obtenida.
Como se aprecia en la tabla, este eje resultó difícil para los profesores evaluados con estas pruebas: de los 36 ítemes
que lo componen, solo 4 resultan de dificultad menor, 14 de dificultad media y 17 de alta dificultad. Ningún ítem de tipo 1
resultó con dificultad menor y, contrariamente a lo esperado, estos resultaron más complejos que los de tipo 2.
Tabla 7 Dificultad empírica de los ítemes por Tipo. Eje Número y Operaciones _ Segundo Ciclo
Tipo
Rango de grado de dificultad
Nº de ítemes
por dificultad empírica
Promedio
Nº total ítemes
Menor
Media
Alta
T1
0,14 - 0,56
0,37
0
5
6
11
T2
0,15 - 0,69
0,47
3
3
4
10
T3
0,14 - 0,72
0,39
1
7
7
15
T4
—
—
—
—
—
0
TOTAL
—
—
4
14
17
36
Resultados
Se presentan los resultados del eje Números y Operaciones (5º a 8º):
La tabla 8 muestra en detalle la tarea demandada por los ítemes de los distintos tipos (T1 a T4) y los organiza según su
distribución por grado de dificultad. Las filas corresponden a los respectivos subejes: Números Naturales, Números Enteros y Números Racionales.
Por ejemplo, se puede observar en la primera fila de la tabla (correspondiente al subeje Números Naturales), que
ningún ítem obtuvo sobre el 60% de respuestas correcta.
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Analizando la información de la tabla, es posible distinguir ciertos ámbitos de mayor y menor dominio por parte de los
docentes evaluados:
En el conjunto de números naturales, el conocimiento de conceptos relacionados con divisibilidad se logra en contextos numéricos y algebraicos sencillos, pero no así cuando se trata de comprensión y reconocimiento de los conceptos en
sí mismos o aplicación en la resolución de problemas no canónicos.
En el caso de los números enteros, la operatoria básica y resolución de problemas en contextos numéricos son abordables y su grado de dificultad varía entre menor y mediano. La dificultad es alta si se incluyen conceptos como valor
absoluto, expresiones algebraicas y relaciones de orden.
Respecto de los números racionales, se evidencia como logrado a nivel esperado la operatoria con números decimales
y fracciones y la resolución de problemas. Los evaluados comparan y ordenan con éxito fracciones y decimales positivos,
raíces y cuadrados. Más difícil de lo esperado es el análisis de situaciones que implican relaciones de orden, de fracciones
o decimales, en contextos algebraicos.
Este mismo análisis se realizó con cada uno de los ejes y subejes del marco curricular de cada ciclo, identificando
fortalezas y debilidades en el ámbito disciplinar. Por razones de espacio no es posible incluir toda la información en este
documento, pero una síntesis de resultados es reportada a continuación:
En Segundo Ciclo, en los tres ejes del marco curricular, tanto la destreza operatoria como la resolución de problemas
se logran pero solo a nivel elemental. Operan y resuelven problemas en contextos numéricos simples; en Geometría
resuelven problemas que implican propiedades directas y/o cálculos sencillos de perímetros y áreas; en el subeje Tratamiento de la información, solo pueden realizar cálculos directos, con pocos datos; presentan un grado significativo de
dificultad los problemas relacionados con Proporciones, Porcentajes, Potencias y Raíces (aunque sean sencillos).
La aplicación de estrategias es exitosa en contextos familiares; deficiente en situaciones distintas a las habituales.
Respecto de la integración de contenidos, la mayor dificultad se aprecia cuando intervienen expresiones algebraicas.
Ahora bien, en relación con el dominio conceptual, este se percibe deficiente; se observan dificultades en la comprensión de conceptos asociados a la divisibilidad, a relaciones de orden que involucran fracciones, decimales y números
enteros, a relaciones proporcionales, potencias, interpretación y análisis de información, elementos y propiedades del
triángulos y paralelogramos, conceptos y relaciones asociados a áreas y perímetros.
Es decir, pueden identificar muchos objetos matemáticos de distinta naturaleza, pueden operar correctamente con
ellos, pero enfrentados a establecer distinciones más conceptuales o a reconocer propiedades o características de estos
conceptos básicos, emerge la dificultad.
Respecto de los saberes de los profesores de Enseñanza Media: en los ejes de Álgebra y Geometría se aprecia mayor
comprensión de conceptos y buen manejo de estrategias de resolución de problemas en tópicos que han sido centrales
y clásicos del curriculum: estos incluyen operatoria algebraica, funciones lineales y cuadráticas, propiedades de figuras
y cuerpos geométricos, teoremas de congruencia y proporcionalidad, etc. En los ejes Números y Proporcionalidad y Probabilidades se observan deficiencias a nivel de comprensión conceptual: en Probabilidades; los evaluados solo resuelven
con éxito problemas sencillos que involucran cálculo numérico con pocos datos de medidas de tendencia central, cálculo
de la probabilidad de 1 evento y trabajo con tablas de frecuencia sencillas. Pero problemas que involucran los mismos
contenidos referidos a situaciones ligeramente más complejas presentan altos grados de dificultad. En el eje Números, no
se observa como lograda la comprensión del significado de las relaciones de orden en los números reales, la distinción
conceptual entre números racionales e irracionales ni la operatoria en los números complejos.
En ambos ciclos, preguntas de tipo 1 presentan dificultad mayor a la esperada. Se perciben problemas en la comprensión básica de los conceptos; al parecer, muchos contenidos elementales se conocen como enunciados aprendidos
globalmente y llegan a usarse en forma correcta; pero esta aplicación es mecánica, y tal conocimiento es superficial, en
tanto su significado no ha sido desentrañado.
También hay ejes en los cuales las preguntas de tipo 3 obtienen altos porcentaje de respuestas correctas, correspondiendo así a preguntas fáciles para los profesores. En particular el eje de Geometría en Enseñanza Media tiene esta
característica en relación al tema de la circunferencia. Aquí se puede afirmar que se ha logrado un conocimiento de buen
nivel, con conceptos flexibles que posibilitan estrategias complejas.
Las preguntas de tipo 4, complejas y desafiantes, resultan difíciles en ambos ciclos y en todos los ejes; sin embargo,
en un pequeño porcentaje, son contestadas en forma correcta, lo que permite afirmar que el conocimiento profundo de la
matemática es evidenciado por algún grupo de docentes.
CONCLUSIONES
El análisis de los resultados de las pruebas aplicadas a postulantes AEP y AVDI señalan un dominio disciplinario mayor en
los docentes de Educación Media que en los de Segundo Ciclo, con deficiencias claras en ambos ciclos. El detallado análisis
realizado nos permite sostener que la comprensión de los conceptos matemáticos que son evaluados en las pruebas es
solo parcial y en muchos casos, superficial. Llama la atención que sea posible para los docentes realizar procedimientos
relativos a conceptos sobre los que se demuestra baja comprensión; es posible hipotetizar que esto se vincula con una
práctica docente que promueve la ejercitación mecánica de contenidos, la repetición de algoritmos, la memorización de
fórmulas y procedimientos: es decir, un enfoque procedimental, más que conceptual.
De esa exploración, se han obtenido fundamentos empíricos para sostener que es prioritario capacitar a docentes en
formación y en ejercicio en los conceptos básicos de la matemática. La mayoría de los profesores de matemática saben el
cómo de la matemática elemental; de acuerdo a nuestros hallazgos, posiblemente no sepan el por qué.
Otra sugerencia significativa es la difusión de estos resultados a nivel de las instituciones que dan formación inicial,
para que puedan ser considerados en sus programas. Esto permitiría que las futuras generaciones estén mejor preparadas desde el punto de vista disciplinar.
También se sugiere fortalecer las oportunidades de aprendizaje centradas en las nociones básicas de la disciplina. La
comprensión profunda de la matemática elemental es el sustrato necesario para poder adquirir el conocimiento pedagógico del contenido matemático (Ma, 1999).
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Tabla 8 Distribución de los distintos tipos de ítemes según grado de dificultad.
Eje Números y Operaciones, Segundo Ciclo
Dificultad menor
(Sobre el 60% de
respuestas correctas)
Dificultad media
(Entre 40% y 60% de respuestas
correctas)
Dificultad alta
(Menos de 40% de respuestas correctas)
T1. Identificar divisores de un número
expresado como producto de potencias.
T1. Aplicar propiedad distributiva
descomponiendo números naturales.
T1. Realizar factorizaciones sencillas
en contextos geométricos.
Números
Naturales
T3. Resolver problemas que
involucran comprensión conceptual
de conceptos asociados a
divisibilidad en contextos numéricos
y/o algebraicos sencillos.
T1. Reconocer situaciones que involucran
conceptos relacionados con números
primos y compuestos; múltiplos, factores,
divisibilidad, mínimo común múltiplo
y máximo común divisor y las relaciones
entre ellos.
T2. Resolver problemas que involucren
mínimo común múltiplo y máximo común
divisor en contextos numéricos no canónicos.
T3. Resolver problemas complejos
que involucren mínimo común múltiplo
en forma indirecta.
T1. Interpretar situaciones que permitan
ubicar números enteros en la recta.
Números
Enteros
T3. Interpretar
información que
permita reconocer
signos de sumas y/o
productos de números
enteros en expresiones
con valor absoluto.
T1. Aplicar el concepto de valor
absoluto a una relación numérica
simple.
T3. Resolver problemas que
involucran operatoria con números
enteros.
T1. Identificar una expresión algebraica
positiva dadas ciertas condiciones
sobre los enteros involucrados.
T3. Analizar situaciones que involucren valor
absoluto en contextos algebraicos.
T3. Analizar situaciones que impliquen
relaciones de orden en números enteros con
y sin apoyo de la recta numérica en contextos
algebraicos.
T1. Operar con números decimales
y fracciones.
T2. Operar con números periódicos
y/o semiperiódicos.
T2. Ordenar fracciones
en contextos
numéricos.
Números
Racionales
T2. Resolver problemas
directos que involucran
fracciones en contextos
numéricos simples.
T3. Ordenar y comparar
números decimales periódicos y
semiperiódicos, raíces y cuadrados.
T2. Resolver problemas complejos
con fracciones y/o decimales en
contextos numéricos.
T3. Resolver problemas en contextos
cotidianos que involucran operatoria
más compleja con fracciones
y decimales.
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T1. Expresar en forma fraccionaria un decimal
sesemiperiódico.
T3. Analizar situaciones que impliquen
relaciones de orden en números racionales en
contextos algebraicos.
T3. Resolver problemas con operatoria
que involucra raíces cuadradas.
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Leinhardt, G., y Smith, D. A. (1985). Expertise in mathematics instruction: Subject matter knowledge. Journal of Educational Psychology, 77(3), 247-271.
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Mineduc (2012). Estándares orientadores para egresados de carreras de Pedagogía en Educación Media. Recuperado el
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