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Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Nacional
de Mar del Plata
Área Electrotecnia
Método de representación de cantidades eléctricas en
valores por unidad
Autor:
Ingeniero Gustavo L. Ferro – Profesor Adjunto – Electrotecnia
EDICION 2015
Sitio web: http://www3.fi.mdp.edu.ar/dtoelectrica/catedras_3e3.htm
Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Dpto. de Ingeniería Eléctrica – Área Electrotecnia
El método por unidad
1.
Introducción
El método de representación de cantidades o magnitudes eléctricas en valores
por unidad, no modifica ni agrega ningún concepto nuevo en los métodos de
resolución de circuitos lineales en estado permanente.
Se trata de una herramienta matemática, que permite simplificaciones en los
cálculos, constituyendo una metodología muy útil en la resolución de sistemas
eléctricos y en particular cuando la misma se efectúa a través de una
computadora. Con este método lo que logramos es resolver un sistema eléctrico
en los casos de:
a) Determinación de corrientes y tensiones en todos los elementos del sistema
en estudio.
b) Cálculo de corrientes de cortocircuito, tanto simétricas como asimétricas.
c) Análisis de sobretensiones de origen interno, en los lugares del sistema
donde sea de interés su conocimiento.
Pero el método por unidad es algo mucho más amplio que lo explicitado
anteriormente y se usa siempre que se quiera hacer algo a escala, o sea es una
metodología matemática para hacer algo a escala o para analizar el
comportamiento de un sistema sin necesidad de construir el mismo en su
tamaño natural.
Como ejemplos podemos citar: maquetas de obras civiles, prototipos para su
estudio (turbinas) y en ingeniería eléctrica para la representación de sistemas
electroenergéticos compuestos de generadores, líneas de transmisión y
distribución de energía, transformadores, cargas, etc.
En muchas situaciones de ingeniería, es útil reducir a escala o normalizar
cantidades dimensionales. Esto generalmente se realiza en el análisis de
sistemas de potencia y el método estándar que se utiliza se conoce como el
sistema por unidad (o sistema unitario). Históricamente, esto se llevó a cabo
para simplificar los cálculos que anteriormente se hacían a mano. Aunque esta
ventaja se ha eliminado por el uso de computadoras, permanecen otras
características como:


El método está diseñado de manera que elimina los transformadores ideales
como componentes de circuito. Como el sistema de potencia común contiene
cientos de transformadores, constituye una economía significativa.
Relacionado con la ventaja anterior, la tensión a través del sistema de
potencia es normalmente cercano a la unidad.
No obstante, el sistema por unidad tiene también sus desventajas, entre las que
se encuentran:

El sistema modifica componentes de los circuitos equivalentes, haciéndolos
más abstractos. Algunas veces, los desplazamientos de fase que están
claramente presentes en un circuito que no está a escala desaparecen en el
circuito unitario.
 Algunas ecuaciones del caso que no está a escala se modifican cuando se
gradúan por unidades. Factores tales como 3 y 3 son eliminados o
agregados por medio del método.
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El método por unidad
En el presente trabajo estableceremos los conceptos básicos, definiciones y
demostraciones necesarias para posibilitar la utilización del método en el cálculo
de sistemas de potencia.
2.
Esquema Unifilar
Sabemos que todo sistema trifásico equilibrado se puede resolver como un
circuito monofásico equivalente, formado por una de las tres fases y un
conductor neutro de retorno.
Con frecuencia se hace una simplificación más, se suprime el neutro de retorno y
se indican las partes componentes por medio de símbolos normalizados (ver
figura Nº 1)
A este tipo de representación de un sistema eléctrico se lo denomina “esquema
unifilar”, es decir, todo circuito se representa con una simple línea y símbolos
normalizados para las líneas de transporte y aparatos asociados de un sistema
eléctrico.
El objeto de un esquema unifilar es suministrar de manera concisa los datos más
significativos e importantes de un sistema de potencia, la información contenida
varía según el problema que se esté estudiando. Un ejemplo de esquema unifilar
puede verse en la figura Nº 2.
Figura Nº1 - Símbolos Normalizados
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Figura Nº 1 – Símbolos Normalizados (continuación)
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Figura Nº 1 – Símbolos Normalizados (continuación)
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Figura Nº 1 – Símbolos Normalizados (continuación)
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Figura Nº 2 – Diagrama Unifilar de un sistema eléctrico
En la citada figura se representa el diagrama unifilar de un sistema muy sencillo,
compuesto por dos generadores – uno puesto a tierra a través de una reactancia
de neutro y el otro a través de una resistencia – conectados a una barra y a
través de un transformador elevador a una línea de transmisión. Un tercer
generador, puesto a tierra a través de una reactancia, está conectado a una
barra y por un transformador al otro extremo de la línea de transmisión. A esta
barra está unida una carga. En el diagrama se incluyen datos sobre las cargas,
régimen de los generadores y transformadores y las reactancias de las diversas
partes del circuito.
3.
Diagrama de impedancias y reactancias
Para estudiar el comportamiento de un sistema en condiciones de carga o al
presentarse un cortocircuito, el esquema unifilar tiene que transformarse en un
“diagrama de impedancias”, que muestre el circuito equivalente de cada
componente del sistema.
La figura Nº 3 representa el diagrama detallado de impedancias correspondiente
al sistema eléctrico de la figura Nº 2, en él observamos que cada generador está
representado por la tensión generada en serie con valores adecuados de
resistencia y reactancia.
Cada transformador está representado por un cuadripolo "T" equivalente,
donde se representan las resistencias y reactancias de dispersión y del brazo de
excitación paso para la corriente magnetizante.
Las líneas de transporte se representan por un cuadripolo "" equivalente y en él
se representan la resistencia y reactancia en serie y la capacidad total al neutro.
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Figura Nº 3 – Diagrama de impedancias correspondiente al Diagrama
Unifilar de la figura Nº 2
Si queremos simplificar los cálculos, por ejemplo en la determinación de una
corriente de cortocircuito, se pueden suprimir, sin cometer un error apreciable,
las cargas estáticas, las resistencias y la capacidad de la línea de transporte, con
lo cual el diagrama de impedancias se reduce al denominado “diagrama de
reactancias”, que puede verse en la figura Nº 4.
Figura Nº 4 – Diagrama de reactancias adaptado de la figura Nº 3
Se han suprimido todas las cargas, resistencias y admitancias en paralelo. Las
reactancias están en [] referidas a los lados de alta tensión de los
transformadores. Los valores entre paréntesis son reactancias expresadas en
por unidad, tomando como valores base 30 MVA y 66 kV.
4.
Definiciones y relaciones principales.
Consideremos dos magnitudes eléctricas en estado
permanente representadas fasorialmente. Sean estas la
tensión U y la corriente I. Como es sabido la representación
fasorial admite las expresiones polar, exponencial y
cartesiana compleja de sus magnitudes. Por consiguiente
podemos escribir:
U = U   = U e j  = U cos  + j U sen  = Ux + j Uy [V]
I = I   = I e j  = I cos  + j I sen  = Ix + j Iy [A]
[1]
[2]
Recordamos que U e I representan los valores eficaces. Sin introducir ninguna
modificación conceptual, podemos escribir:
U = UB . Upu e I = IB . Ipu [3]
Donde:
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El método por unidad
UB = valor base de tensión
IB = valor base de corriente
Upu = valor fasorial de tensión en por unidad
Ipu = valor fasorial de corriente en por unidad
El valor en por unidad (pu) de cualquier cantidad se define como la relación de la
cantidad a su base y se expresa como un decimal.
Por ejemplo, si se selecciona una base de voltaje de 120 kV, los voltajes de 108,
120 y 126 kV equivaldrán a 0,90, 1,00 y 1,05 en por unidad.
Para hacer compatibles las ecuaciones [3] bastará con establecer las
definiciones apropiadas, lo que hacemos a continuación.
Diremos que un valor base de una magnitud fasorial, es un número real
arbitrario, elegido atendiendo a las comodidades prácticas del cálculo, y
expresado en las mismas unidades de medida de la magnitud fasorial.
Igualmente, un valor fasorial en por unidad de una magnitud fasorial, es un
fasor de las mismas características físicas de la magnitud fasorial, pero de
módulo distinto y sin unidades de medida.
Admitidas estas convenciones, como ellas no han alterado los conceptos del
método fasorial o simbólico del cálculo de circuitos eléctricos en estado
permanente, podemos intuir que se deberán cumplir todas las leyes que los
rigen.
Por otra parte, como en base a las tensiones y corrientes, se definen las demás
magnitudes de los circuitos eléctricos, en lo que sigue hallaremos las relaciones
correspondientes.
Las ecuaciones [3] pueden escribirse:
U/UB = Upu e I/IB = Ipu
[4]
Las ecuaciones [4] permiten, elegidos los valores base de tensión y corriente,
calcular los fasores de tensión y corriente en valores por unidad. Para cualquiera
de las notaciones dadas en [1] y [2] se tendrá:
U/UB = U  / UB = Upu
[5]
La [5] indica que para obtener el valor por unidad de una tensión bastará con
dividir el módulo o valor eficaz de la tensión por el valor base.
Por ejemplo: si tenemos una tensión compleja de U = 200 30º [KV], adoptando
como valor base UB= 100 [KV] el valor en por unidad será: U/UB = 20030º/100=
2 30º pu.
También es evidente que, conocido el valor base y él por unidad de un fasor,
este se puede obtener, utilizando la [3].
Por ejemplo: UB = 100 [KV] y Upu = 3 + j 1 pu, luego: U = UB. Upu = 200  30º
[KV]. Lo anterior es extensivo a cualquier fasor eléctrico o número complejo.
La definición de la impedancia resulta del cociente de fasores: U/ I = Z [] [6]
siendo Z un número complejo y no un fasor. Sustituyendo los valores de [3] en
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El método por unidad
[6] resulta:
U / I = UB / IB . Upu / Ipu = ZB . Zpu
Comparando [6] y [7] vemos que: Z [] = ZB . Zpu [8] 
ZB = UB / IB es un número real y Zpu = Upu / Ipu
[7]
Zpu = Z [] / ZB
es un número complejo 
Zpu = Z e j / ZB = Z / ZB e j
La potencia compleja está definida por:
S= U I * = U e j  I e j  = U I e j  = U I cos  + j U I sen  = P + jQ [VA] [9]
Dado que  -  =  pues    , en la que P = U I cos  es la potencia activa o
real y Q= U I sen  es la potencia reactiva. Para este caso, la potencia reactiva
es inductiva, por cuanto la corriente atrasa a la tensión en un ángulo relativo .
Si la corriente adelantara a la tensión, es decir si el circuito resultará capacitivo
se tendría:
S= U I * = U e j  I e j  = U I e j  = U I cos  - U I sen  = P – j Q [VA] [10]
Dado que  -  = -  pues  < , lo que indica que para la misma definición de
la potencia compleja, el signo de la potencia reactiva es negativo si la potencia
reactiva es capacitiva.
En base a la ecuación [9] podemos escribir:
S=U I*= UB Upu IB I*pu = UB IB Upu I*pu = SB Upu e j Ipu ej = SB (Ppu+j Qpu) [VA] [12]
Analizando la [12] advertimos:
 La potencia aparente base es el producto de la tensión base por la
corriente base: SB = UB IB
[13]
 La potencia compleja por unidad es el producto del fasor tensión por
unidad por el fasor corriente por unidad: S = Upu I*pu = Ppu+ j Qpu [14]
 El módulo de la potencia compleja por unidad es la potencia aparente
por unidad.
 La parte real de la potencia compleja por unidad es el valor de la
potencia activa o real por unidad y la parte imaginaria, la potencia
reactiva por unidad.
 Se mantiene la convención de signos para la potencia reactiva por
unidad, según los casos presentados en [9], [10] y [11].
Resumiendo, el método por unidad se basa en hacer el cociente entre dos
valores expresados en la misma unidad, es decir a uno se lo denomina “valor
base“ [VB] y al otro “valor medido o esperado” [V], por lo que el valor
denominado por unidad [V pu] es igual a: V (pu) = V / VB [15]
El sistema por unidad es simplemente un método de normalización y en su
aplicación deben respetarse todas las leyes de la teoría de circuitos o sea que
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El método por unidad
valen: la ley de Ohm, las leyes de Kirchhoff, el método de los lazos, el método de
los nodos, el Teorema de Thevenin y de Norton, el método de las componentes
simétricas, etc.
El valor por unidad tiene la ventaja de ser adimensional, las tensiones,
corrientes, potencias e impedancias están relacionadas entre sí de tal forma que
la elección de valores base para dos cualquiera de ellos determina los
valores base de los otros dos.
En el caso de la transmisión y distribución de la energía eléctrica los valores
base elegidos son normalmente:
S [MVA] o [KVA]
U [KV]
"Potencia trifásica aparente"
"Tensión compuesta o de línea"
También pueden utilizarse los valores por fase que denotaremos Sf y Uf
En los casos en que la frecuencia se mantenga constante, como resulta cuando
se estudian los cortocircuitos y los flujos de carga, ésta no se tomará como valor
base, sin embargo en el caso del estudio de las sobretensiones de origen interno
en sistemas de potencia debe elegirse una frecuencia base f b, adoptándose
generalmente la frecuencia nominal del sistema (f n = f b)
El valor base es siempre un número real, mientras que el valor medido o
esperado puede ser un número complejo. Si consideramos un valor complejo
expresado en forma polar, el ángulo del valor "pu" es el mismo que el del valor
real.
5. Preparación de las ecuaciones para su uso práctico
5.1 Circuito monofásico sin transformadores
Si bien, de las relaciones tensión – corriente pueden obtenerse los valores por
unidad que permitan el cálculo de los circuitos eléctricos de los sistemas de
potencia en estado permanente, el uso ha establecido como prácticos, la fijación
o adopción de los valores base de: tensión y de potencia aparente,
deduciéndose de estos los otros valores base.
De este modo, es común establecer, de acuerdo a criterios que se discutirán
posteriormente, los valores base de:
Tensión base = Ub [KV]
Potencia base = Sb [MVA o KVA]
La corriente base se obtendrá: Corriente base = Ib = Sb [KVA] / Ub [KV]
La impedancia base valdrá:
Zb = Ub / Ib = (Ub)2 / Sb = Zb []
Los fasores y/o números complejos en por unidad se obtiene dividiendo los
fasores y/o números complejos del circuito por los valores base.
Supongamos por ejemplo un sistema eléctrico trifásico simétrico y equilibrado en
régimen permanente. Como es sabido se le puede representar por una de sus
fases y el neutro o sea por que llamamos “circuito monofásico equivalente”.
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El método por unidad
En dicho circuito el neutro cumple simplemente el papel de servir de retorno pero
carece de impedancia. Sea su esquema unifilar, el representado en la figura
que sigue:
Figura Nº 5 .- Esquema Unifilar
Su circuito monofásico equivalente, despreciando la impedancia del generador,
será el de la figura que sigue:
Figura Nº 6 .- Circuito monofásico equivalente
Lógicamente, en este circuito, las potencias, tensiones y corrientes son
monofásicas o al neutro.
Supongamos conocidos: UR ; Pc+ j Qc ; - j Qc1 ; R1 + j XL1 ; R2 + j XL2
Se desean calcular: IC ; IC1 ; Ug ; Pg + j Qg
Para mayor claridad, demos valores a los datos y para situarnos físicamente en
el circuito imaginemos que Z1= R1 + jXL1 y Z2 = R2 + jXL2, representan las
impedancias de servicio o al neutro de dos líneas cortas de 33 KV que unen dos
subestaciones A y B.
La subestación A y todo el resto del sistema a su izquierda se ha representado
por un generador cuya impedancia se ha despreciado; la subestación B y todo el
resto del sistema a su derecha, se ha representado por una carga Pc+ jQc
compensada mediante capacitores de potencia – j Qc1. Sean:
UR = 33/3 0º = 19,08 KV ; Pc + j Qc = SC = 2 + j 1,5 MVA; Qc1 = 1 MVARc
R1 + j XL1 = 9,18 + j 11,7 [] y R2 + j XL2 = 8,9 + j 12 []
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El método por unidad
Adoptemos como tensión base: UB = 19,08 KV y como potencia aparente
base SB = 2 MVA.
La impedancia base valdrá: ZB = (19,08)2 / 2 = 182,02  y la corriente base será:
IB = 2000 / 19,08 = 104,82 A , los valores por unidad serán:
UR (pu) = UR / UB = 19,08 / 19,08 = 1  0º pu
SC (pu) = SC / SB = 1 + j 0,75 pu
- j Qc1 (pu) = - j Qc1 / SB = - j 0,5 pu
Z1 (pu) = Z1 / ZB = 0,081  52º pu
Z2 (pu) = Z2 / ZB = 0,082  53º 24´ pu
Si analizamos lo sucedido a los datos al convertirlos a valores por unidad (pu),
vemos que simplemente se ha introducido un cambio de escala, manteniendo
todas las demás características; por consiguiente, podemos establecer un
circuito equivalente de cálculo en pu y aplicarle todas las leyes de circuitos;
tendremos así que las corrientes Ic e Ic1 valdrán:
I*c (pu) = SC (pu) / UR (pu) = 1 + j 0,75 pu
I*c1 (pu) = - j QC1 (pu) / UR (pu) = - j 0,5 pu
La corriente del generador será: IG pu = Ic pu + I c1 pu = 1,031 -14º 2´ pu
La impedancia del paralelo de las líneas, resulta: Zp (pu) = 0,043  52º 42´
La tensión del generador es la suma de la tensión en la carga más la caída en la
línea o sea:
UG (pu) = UR (pu) + IG (pu). Zp (pu) = 1,035  1º 32´ pu
La potencia compleja entregada por el generador será:
SG(pu)= UG(pu) I*G (pu) = 1,03 + j 0,29 pu
Para obtener los resultados en unidades eléctricas y módulos reales, debemos
multiplicar los valores en (pu) por los valores base, luego:
IC = IC (pu) x IB = 131,025  - 36º 52´ [A]
IC1 = IC1 (pu) x IB = 52,410  90º [A]
IG = IG (pu) x IB = 108,07  - 14º 2´ [A]
UG = UG (pu) x UB = 19,75  1º 32´ [A]
PC + j QC = 2,06 + j 0,6 [MVA]
5.2 Circuito monofásico con transformador sin pérdidas
Un transformador monofásico sin pérdidas, es un transformador ideal que tiene
la función exclusiva de modificar los valores de tensión y corriente entre dos
circuitos o redes magnéticamente acopladas.
Su modelo circuital lo constituyen dos bobinas
acopladas, dado que sus arrollamientos no tienen
resistencia ni existe flujo disperso.
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El método por unidad
Si U1 es la tensión del lado de mayor tensión, existen las relaciones:
E1 / E2 = U1 / U2 = N1 / N2 [15] e I1 / I2 = N2 / N1
[16]
En las que N1 y N2 representan el número de espiras de los arrollamientos
primario y secundario o de alta y baja tensión respectivamente.
Denominando a = N1 / N2 a la relación de transformación, resulta:
U1 = a U2
[17]
y
I1 = I2 /a
[18]
Las ecuaciones anteriores permiten referir las corrientes y tensiones a uno
cualquiera de los lados del transformador, y suprimir este. En cuanto a las
potencias e impedancias en tendremos:
S1 = U1 I1 = a U2 I2 /a = U2 I2 = S2
Z1 = U1 / I1 = a2 U2 / I2 = a2 Z2

[19]
Z2 = Z1 /a2
[20]
Estas ecuaciones indican que las potencias pueden referirse a cualquier
lado del transformador sin alterar su valor y que las impedancias se
transfieren multiplicando o dividiéndolas por el cuadrado de la relación de
transformación, según convenga.
Por la teoría de circuitos con transformadores, sabemos que para resolverlos
eliminando el vínculo magnético, es suficiente referir las magnitudes a un
solo lado del transformador, es decir, reducir los circuitos a una sola tensión,
con lo cual pueden suprimirse los transformadores y trabajar en el circuito
reducido.
Si a un circuito reducido, le aplicamos las definiciones de valores por unidad,
tendremos:
U1 = a U2  Ub1 U1 (pu) = a Ub2 U2 (pu) , si hacemos Ub1 / Ub2 = a, resulta:
U1 (pu) = U2 (pu)
Del mismo modo: I1 = I2 / a  I
resulta:
b1 I1
[21]
(pu) = Ib2 I2 (pu)/a, si hacemos Ib1/ Ib2= 1/a
I1 (pu) = I2 (pu)
[22]
Para las potencias e impedancias tendríamos: S1 = S2 = U1 I1* = a U2 I*2/ a 
Ub1 Ub1 (pu) Ib1 Ib1 (pu) = a Ub2 U2 (pu) Ib2 I2 (pu) /a 
Ub1 Ib1 = Ub2 Ib2
[23]
quedando: Ub1 (pu) Ib1 (pu) = Ub2 (pu) Ib2 (pu) 
S1 (pu) = S2 (pu)
[23´]
Z1 = Zb1 Z1 (pu) = a2 Z2 = a2 Zb2 Z2 (pu) 
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El método por unidad
Ub1/Ib1 Z1(pu) = a2 (Ub2/Ib2) Z2 (pu)
 Zb1 /Zb2 = a2
De donde se deduce que:
Z1 (pu) = Z2 (pu)
[24]
Las ecuaciones anteriores nos permiten extraer la siguiente importante
conclusión:
“Si en circuitos con transformadores se toman los valores base de tensión
de modo que su cociente sea igual al de su número de espiras, el circuito
puede calcularse prescindiendo de los vínculos magnéticos, siempre que
además, se tome la potencia aparente base igual para ambos lados del
transformador o la relación de corrientes base como la inversa de la
relación de transformación de los valores base que le correspondan”
La aplicación directa del método por unidad es posible porque, como lo indican
las ecuaciones deducidas, al tomar la relación de tensiones base igual a la
relación de transformación, se están refiriendo las magnitudes a un solo lado del
transformador.
Veamos un ejemplo ilustrativo. Supongamos que al circuito tratado anteriormente
le modificamos los valores de las tensiones de generación y carga, y mediante la
inclusión de dos transformadores ideales, agregándole además una impedancia
de carga.
El esquema unifilar y el circuito equivalente serían los siguientes:
Figura Nº 7.- Esquema Unifilar
Figura Nº 8.- Circuito monofásico equivalente
Sean:
PG + j QG = potencia aparente del generador en MVA
UG = tensión del generador en KV
IG = corriente del generador y del arrollamiento de b.t. del transformador ideal T1
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El método por unidad
T1 = transformador ideal de potencia aparente en MVA
N11 = número de espiras del arrollamiento de alta tensión de T1
N21 = número de espiras del arrollamiento de baja tensión de T2
I = corriente en los arrollamientos de alta tensión de T1 y T2
I1 = corriente en la línea corta de impedancia Z1
I 2 = corriente en la línea corta de impedancia Z2
T2 = transformador ideal de potencia aparente en MVA
N12; N22= número de espiras del arrollamiento de AT y BT, respectivamente, del
transformador ideal T2
UC = tensión en KV de la carga.
IT = corriente total en el arrollamiento de baja tensión de T2
IC1 = corriente de carga capacitiva expresada como potencia reactiva capacitiva
IC = corriente de carga expresada como potencia PC + j QC
Iz = corriente de carga expresada como impedancia ZC
Para reducir el circuito a (pu) tomamos:

Tensión base para la baja tensión de T2: Ub22 = U22

Tensión base para la alta tensión de T2 y T1: Ub12 = N12 /N22 Ub22

Tensión base para la baja tensión de T1: Ub21 = N21/N11 Ub12
Nótese que podríamos haber elegido como base la tensión en el lado de alta y
deducido las otras tensiones base, lo que significa que lo único importante y
definitivo es que, elegida la tensión base en un lado del transformador, las
otras tensiones base deben tomarse de modo que se cumpla la ecuación
[23]

Potencia base = MVA del transformador T2 = S2b
Podrán adoptarse los MVA del transformador T1 o cualquier valor de potencia en
MVA o KVA que se considere apropiado para el cálculo. Las corrientes e
impedancias base quedan entonces:
 Para la baja tensión de T2 :
Ib22 = 103 S2b [KVA] / Ub22 [KV]
Zb22 = U2b22 [KV]2 / S2b [MVA]
 Para la alta tensión de T2 y T1:
Ib21 = 103 S2b [KVA] / Ub12 [KV]
Zb12 = U2b12 [KV]2 / S2b [MVA]
 Para la baja tensión de T1:
Ib21 = 103 S2b [KVA] / Ub21 [KV]
Zb21 = U2b21 [KV]2 / S2b [MVA]
Los valores pu pueden calcularse para cada parte del circuito, obteniéndose:
 Para la baja tensión de T2:
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El método por unidad
ZC(pu)=ZC/Zb22; SC(pu)=PC+ jQC/S2b; SC1(pu)= - jQC1/S2b; UC(pu)= UC / Ub22
 Para la baja tensión de T2:
Z1 (pu) = Z1 / Zb12 Z2 (pu) = Z2 / Zb12
De acuerdo al problema planteado inicialmente, supondremos que los valores
restantes del circuito son a determinar por lo que procederemos a calcularlos.
Supongamos UC = UC  0º (referencia de tensiones):
UC(pu) = UC 0º/Ub22; IZ(pu) = UC(pu)/ZC(pu); IC(pu)=SC(pu)/UC(pu);
IC1(pu) = SC1 (pu)/UC(pu) ; IT (pu) = IZ (pu) + IC1 (pu) + IC(pu) = I (pu) = IG (pu)
La caída de tensión en el paralelo valdrá:
UA (pu) – UB (pu) = I(pu) Zp (pu)= I(pu) [Z1 (pu) x Z 2 (pu) / Z1 (pu) + Z 2 (pu)]
Las corrientes en las líneas serán:
I1 (pu)=I (pu) Zp (pu)/Z1 (pu) ; I2 (pu)=I (pu) Zp (pu)/Z2 (pu)
Las tensiones resultarán:
UB (pu) = UC (pu); UA (pu) = UB (pu) + I(pu) Z(pu)= UG (pu)
La potencia del generador valdrá: SG (pu) = UG (pu) I*G (pu)
Como puede advertirse, el circuito en valores [pu] es tratado como si no
existieran los transformadores.
Para obtener los valores en magnitudes eléctricas, hay que multiplicar los
valores por unidad de cada parte del circuito por sus respectivos valores base,
es decir, los valores por unidad del lado de baja tensión de T2 por los valores
base de dicho lado; los de alta tensión por sus respectivos valores base, etc.
5.3 Circuito monofásico con transformador real
Si, en el estado permanente, se admite el comportamiento del transformador
como un elemento lineal y bilateral, su circuito equivalente puede deducirse por
aplicación del Teorema de Thevenin.
En primera aproximación se desprecian los parámetros transversales, es
decir la corriente de vacío.
Consideremos un transformador alimentado por una fuente de tensión o por un
generador, con una carga conectada a su secundario, representado en la figura
9a). Su equivalente de Thevenin, será el de la figura 9b).
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El método por unidad
Figura Nº 9 a)
Figura Nº 9 b)
Realizando el ensayo de vacío del transformador,
en el cómo es sabido las tensiones primaria y
secundaria son las nominales, además de la
frecuencia, resultaría que la tensión de Thévenin
UTH sería la tensión U2v , cuando se ha retirado la
impedancia de carga ZC, o sea cuando I2 = 0 (ver
figura 10).
UTH = U2v [25]
Figura 10
Si se efectúa el ensayo de cortocircuito del transformador, deberá aplicársele
una tensión reducida hasta que circulen las corrientes
nominales.
Si se aplica esa tensión en el secundario y se
cortocircuita el primario, la relación entre la tensión de
cortocircuito y la corriente nominal secundaria, será la
impedancia de cortocircuito medida en [], que a su
vez será la impedancia desde los bornes de la carga,
o sea la impedancia de Thevenin (ver figura 11). Es
decir: ZTH = U2C/I2 [Ω] [26]
Figura 11
Resumiendo los resultados de las ecuaciones [25] y
[26], el circuito equivalente del transformador es el de la
figura 12. En el que los valores están referidos al
secundario.
Figura 12
Puede introducirse un transformador ideal para asimilar este circuito a lo visto
anteriormente, y obtener los circuitos de las figuras 13 y 14. En esta última los
valores están referidos al primario.
Figura 13
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Figura 14
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El método por unidad
Por otra parte, siendo el transformador un elemento lineal y bilateral, es posible
repetir el procedimiento indicado, suponiendo la alimentación en el secundario y
obtener el equivalente de Thevenin referido al primario. El desarrollo se deja
para el alumno.
Apliquemos ahora el método de valores por unidad “pu” a la ecuación [25]:
U2V = U2 = N2 /N1 U1  U1 = N1/ N2 U 2 resultando igual al de la ecuación [21]
Por lo tanto las tensiones base deberán tomarse de modo que sean
proporcionales a la relación de espiras, es decir: UB1 = N1/N2 UB2
Si, como antes, se adopta la misma potencia aparente base para ambos lados
del transformador, o sea SB1 = SB2 = SB, impedancias base se obtendrán por:
ZB1 = U2B1 / SB
ZB2 = U2B2 / SB
[27]
Haciendo la relación de impedancias base se tendrá:
ZB1 /ZB2 = U2B1 / U2B2 = (N1/ N2)2 U2B2 / U2B2 =(N1 /N2)2  ZB1 = (N1/N2)2 ZB2 [28]
La ecuación [28] es igual a la ecuación [20] lo que va mostrando la generalidad
del método. Si consideramos ahora la impedancia de cortocircuito referida al
primario, tendremos:
ZCC1 = (N1 /N2)2 ZCC2 [] , expresándola en valores pu sería:
ZCC1 (pu) = ZCC1 / ZB1 = (N1 /N2)2 ZCC2/ZB1 reemplazando el valor dado en [28]
ZCC1 (pu) = (N1/N2)2 ZCC2 / (N1/N2)2 ZB2 = ZCC2/ZB2 = ZCC2 (pu)
ZCC1 (pu) = ZCC2 (pu) [29]
La [29] nos lleva a extraer la siguiente conclusión:
“Si se toman los valores base de tensión de ambos lados del
transformador de modo que sean proporcionales a los números de espiras
y una sola potencia base para primario y secundario, la impedancia de
cortocircuito en valores por unidad (p.u.) es la misma para ambos lados del
transformador”
Generalmente, en los datos de chapa de los transformadores, se indica la
tensión de cortocircuito en valor porcentual (uCC%), este valor porcentual, no
es otra cosa que la impedancia de cortocircuito en valor porcentual (ZCC%) y
para obtenerla en valores por unidad habrá que dividirla por cien.
Supongamos que en la chapa de un transformador figura la tensión de
cortocircuito uCC % = A %, donde A es un número cualquiera, siendo S su
potencia aparente y U1 y U2 sus tensiones nominales de vacío.
Sabemos que la tensión de cortocircuito es una tensión reducida que se aplica
en el ensayo del mismo nombre, siendo condición que las corrientes en ambos
bobinados, sean las nominales, por tanto:
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El método por unidad
uCC% = uCC [V]/U1 .100 = uCC [V]/ U2 .100 , es decir puede estar referencia a la
tensión primaria, o la secundaria.
Dividiendo por la corriente nominal respectiva:
uCC % = uCC [V] / I1 [A] . 100 = ZCC1 . 100 = Z CC (pu1) . 100
U1 [V] / I1 [A]
ZB1
ZCC (pu1) = uCC%/100
Igualmente para uCC/U2 resulta: ZCC (pu2) .100 = uCC% 
ZCC (pu2) = uCC% / 100
Lo que prueba nuevamente la igualdad de las impedancias de cortocircuito en
valores por unidad aunque en este caso se han calculado los módulos. Puede
mejorarse el modelo del transformador, incluyendo la impedancia o admitancia
de excitación o transversal, es decir, considerando la corriente de vacío I 0 que
hemos despreciado; pero para los cálculos en estado permanente, se obtiene
suficiente aproximación con el esquema analizado.
6.
El método por unidad aplicado a sistemas trifásicos
Los sistemas trifásicos de potencia funcionando en régimen permanente o
estacionario, cumplen con suficiente aproximación, las condiciones de “simetría
y equilibrio” establecidas para los llamados sistemas “simétricos y
equilibrados”
Independientemente del tipo de conexión de sus fuentes y receptores, un circuito
trifásico “simétrico y equilibrado”, puede representarse por un circuito
monofásico, en el que el neutro o retorno “carece de impedancia”; es decir, es
representable por una de sus fases.
Consecuentemente, un sistema trifásico simétrico y equilibrado, puede
representarse mediante un circuito equivalente en valores por unidad (v.p.u)
Previo, a encarar la representación citada en el párrafo precedentemente,
conviene recordar que se dice que un sistema eléctrico polifásico de fuentes y
receptores es “simétrico” si sus f.e.m. (tensiones, corrientes) son iguales en
magnitud y si cada f.e.m. (tensiones, corrientes) se retrasa en un mismo
ángulo de fase respecto de la precedente, ángulo que para sistemas
polifásicos vale 2/m, siendo m el número de fases, cumpliéndose además la
igualdad de las impedancias complejas de todas sus fases. En caso contrario se
llama asimétrico. Por otra parte se dice que un sistema polifásico es
“equilibrado” si el valor instantáneo de la potencia es constante. Como los
circuitos trifásicos se resuelven como una línea simple con neutro de retorno, las
bases para las magnitudes del diagrama de impedancias son [KVA] por fase y
[KV] de línea a neutro.
Los datos que se suministran para el estudio de los sistemas se dan
generalmente como [KVA] totales o [MVA] y [KV] entre líneas.
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El método por unidad
A causa de esta costumbre de especificar la tensión de línea y los KVA totales
puede originarse una confusión sobre las relaciones existentes entre el valor por
unidad de la tensión de línea y el valor por unidad de la tensión de fase.
Aunque puede especificarse como base una tensión de línea, la tensión en el
circuito monofásico será la tensión con respecto al neutro en por unidad.
La tensión básica, respecto al neutro, es la tensión básica entre líneas dividida
por raíz de tres.
Dado que este es también el valor de la relación entre las tensiones de línea y
respecto al neutro en un sistema trifásico equilibrado, el valor por unidad de una
tensión de línea a neutro, con tensión base de línea a neutro, es igual al p.u. de
la tensión de línea en el mismo punto.
Es decir:
VL = tensión de línea
VLN = tensión de línea a neutro
Por definición:
VLNbase = VLbase /3
Dado que:
VL (pu) = VL /VLbase
Además:
VLN (pu) = VLN / VLNbase y VLN = VL/3
Deducimos que:
VLN
VLN (pu) 

VLNbase
VL
3
VLbase

VL
 VL (pu)
VLbase
3
De igual forma, los KVA trifásicos son tres veces los KVA por fase y los KVA
base trifásicos son tres veces los KVA base por fase.
Por lo tanto, el valor por unidad de los KVA trifásicos con KVA base, es idéntico
al valor por unidad de los KVA por fase con KVA por fase básicos.
Es decir será: STRIFBASE  3 * SMON base
S
MON
Smon
(pu) 

SmonBASE
STRIF  3 * SMON así que:
S TRIF
3
S TRIFbase

S TRIF
 S TRIF (pu)
S TRIFbase
3
A menos que se especifique de otra manera, el valor dado para la tensión
base de un sistema trifásico es la TENSION DE LINEA y el valor de la
potencia aparente base en KVA o MVA es la TOTAL TRIFASICA.
Un ejemplo numérico hará más clara estas relaciones. Por ejemplo, si:
STRIFASICA base = 30.000 kVA y VLL base = 120 kV
Los valores por fase para la potencia aparente y la tensión resultarán:
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El método por unidad
SMONOFASICA base = 30.000 kVA / 3 = 10.000 kVA y
VLN base = 120 kV/ √3 = 69,2 kV
Para en voltaje de línea a línea real de 108 kV en un sistema trifásico
balanceado, el voltaje de línea a neutro es 108/√3 = 62,3 kV, y
Voltaje por unidad = 108 / 120 = 62,3 / 69,2 = 0,90
Para una potencia trifásica de 18.000 kW, la potencia monofásica es 6.000 kW, y
Potencia en por unidad = 18.000/ 30.000 = 6.000/10.000 = 0,6
Las impedancias base y las corrientes base pueden calcularse así:

Impedancia base en "Y"
2
ZYbase =

2
LNbase
V
=
SMON base
V Lbase
2
)
(V Lbase)
3
=
STRIFbase
STRIFbase
3
(
Impedancias base en ""
2
ZDbase

2
(V Lbase )
(V Lbase )
=
=
= 3 ZYbase
STRIFbase
SMONbase
3
Valores de impedancia en por unidad p.u.
ZD [] = 3 ZY []
ZY (pu) = ZY / ZYbase
ZD [pu] = ZD / ZDbase = 3 * ZY / 3 * ZYbase = ZY [pu]
ZD [pu] = ZY [pu]

La corriente de línea será:
I Lbase =
7.
STRIFbase
3 * V Lbase
Fórmula de cambio de base
Cuando un fabricante especifica una resistencia y/o una reactancia de un
aparato (transformadores, generadores, motores, etc.) en por unidad debe
entenderse que se han adoptado para calcular dichos valores como valores base
los nominales de la máquina en cuestión.
Como generalmente estos valores base serán distintos de los por nosotros
adoptados para la resolución del problema, debemos realizar un cambio de base
para hallar los valores en por unidad de los elementos referidos a la base
adoptada.
Es importante recordar que todas las impedancias del sistema tienen que ser
expresadas respecto de la misma impedancia base.
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El método por unidad
Para un elemento cualquiera del sistema la impedancia en por unidad puede
calcularse:
Lo cual muestra que la impedancia en por unidad es directamente proporcional a
los kVA base e inversamente proporcional al cuadrado del voltaje base.
Por lo tanto para cambiar la impedancia en por unidad sobre una base dada a
impedancia en por unidad sobre una nueva base, se aplica la siguiente ecuación:
8.
Componentes simétricas normalizadas en por unidad.
Las ecuaciones fundamentales estudiadas hasta aquí, se basaron en que todas
las variables estaban en unidades del sistema internacional (SI). Es de utilidad
interpretar las mismas ecuaciones en el sistema por unidad. Expresemos las
componentes simétricas de las tensiones de fase:
V012 = [T] – 1 Vabc
Dividiendo por V LN base:
V012
Vabc
 T   1
VLN base
VLN base
[ 1]
O bien:
V012 pu = [T] - 1 Vabc pu
[2]
I012 pu = [T] - 1 Iabc pu
[3]
Similarmente:
Donde la corriente propia de base es IL base. Recordando que:
Z012 = [T] - 1 [Zabc] [T]
[4]
Dividiéndola por ZY base resulta:
1
[ Z012 ] =
ZY base
1
[T] -1 [Zabc] [T]
[5]
ZY base
Z012 pu = [T] –1 [Zabc pu] [T]
[6]
Considerando ahora la potencia:
S3 = 3 V012 I012
[7]
Dividiendo entre S3 base:
S3
S3base
Spu =
=
3 V012 I*012
S3base
3 . V012 . I*012
3 . S1base
[8]
[9]
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El método por unidad
Spu =
V012 . I*012
[10]
VLNbase . ILbase
Spu =
V012 . I*012 [11]
VLNbase
ILbase
S pu = V012 pu
I* 012 pu
[12]
Observe que la normalización de la tensión, corriente e impedancia, mediante las
ecuaciones [2], [3] y [6], da como resultado formas idénticas a las obtenidas
usando unidades del SI.
La ecuación de potencia, sin embargo, es diferente en el sentido de que la
ecuación [12], falta el factor 3, que figuró en la ecuación [7]. Esto es común en el
sistema por unidad, ya que las ecuaciones que son correctas cuando se usan
unidades SI, pueden requerir modificaciones cuando se sustituyen los
valores por unidad.
9.
Selección de la base para los valores por unidad
La selección de los valores base de potencia [KVA] y de tensión [KV] se hace
con el objeto de reducir al mínimo el trabajo exigido por el cálculo.
Para proceder a la resolución de los sistemas eléctricos se procede de la
siguiente manera:
a) Se elige para todo el sistema una POTENCIA BASE en [KVA] o [MVA],
según convenga.
b) Se elige en un punto del sistema una TENSION BASE en [KV].
c) Se pasa a través de la relación de transformación de los transformadores y
se eligen las tensiones base en cada punto del sistema. Es decir:
Ub1 [KV] x (UnT1 II / UnT1 I ) = Ub2 [KV]
Ub2 [KV] x (UnT2 II / UnT2 I ) = Ub3 [KV]
..........................................................................
Ubn-1 [KV] x (UnT n - 1 II / UnT n - 1 I ) = Ubn [KV]
donde:
UnTiII = tensión secundaria transformador (i)
UnTi I = tensión primaria transformador (i)
d) Se pasan todos los valores dados en p.u. de la base dada por el fabricante a
la base correspondiente al lugar de emplazamiento, mediante la fórmula de
cambio de base.
e) En caso de valores dados en unidades, tomando la potencia base única
elegida y la tensión base en cada lugar de emplazamiento se calculan los
valores en p.u. de las impedancias y admitancias dadas.
f) Se realiza el circuito equivalente en valores por unidad p.u.
g) Mediante un método de resolución de circuitos, que pueden ser: el método
de los nodos o de los lazos, se resuelve el circuito equivalente obteniéndose
en cada barra o nodo del mismo las tensiones en p.u. y en cada rama las
corrientes en p.u. En caso de tener que estudiar cortocircuitos o fallas, se
aplica el método de las COMPONENTES SIMETRICAS.
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El método por unidad
10.
Elementos constitutivos de un sistema eléctrico de potencia
En un sistema electroenergético de potencia
podemos encontrar básicamente los siguientes
elementos:
10 a) Generadores sincrónicos o alternadores.
La reactancia X (pu) se denominará, de acuerdo al
estado en que se está estudiando el sistema, de la
siguiente manera:
SIMBOLO
Z (p.u.)
e g (p.u.)
circuito
equivalente
si r<< x z(p.u.)=x(p.u.)
eg = fem inducida
x(p.u.) = reactancia en p.u.
XS (pu) = reactancia sincrónica o permanente;
X´(pu) = reactancia transitoria;
X”(pu) = reactancia subtransitoria, todas ellas son
denominadas de secuencia "1" o secuencia
directa.
Xi(pu) = reactancia inversa. Denominadas de secuencia "2" o secuencia
indirecta.
Xh(pu)=reactancia homopolar. Denominada de secuencia "0" o secuencia
homopolar.
El hecho de que aparezcan Xs , X’ y X‘’ como dato de los generadores, se debe
a que cuando en una red de energía se produce una falla, la corriente que circula
viene determinada por la fem. de las máquinas de la red y sus impedancias y por
las impedancias de la red entre la máquina y el punto de falla.
La corriente que pasa por una máquina sincrónica inmediatamente después del
fallo, la que circula varios ciclos más tarde y la persistente o valor que
corresponde al estado permanente del fallo son completamente distintas a causa
del efecto de la corriente en el rotor sobre el flujo que genera la tensión en la
máquina.
La corriente varía con relativa lentitud desde su valor inicial hasta el
correspondiente al estado permanente. Estos cambios en la tensión interna de la
máquina, se ponen de manifiesto asumiendo que existen tres estados a
considerar: el permanente, el transitorio y el subtransitorio, que dan origen
a las reactancias antes definidas.
La Xi, reactancia de secuencia inversa o de secuencia "2", es la impedancia
que presenta el generador en régimen sincrónico, si se le aplica forzadamente
un sistema inverso de tensiones.
La Xh, reactancia homopolar o de secuencia "0", depende de los flujos de
dispersión y es igual al cociente entre la tensión entre fase
Z0
R
y neutro y de la corriente de fase, en el caso de que la
alimentación sea una fuente de tensión monofásica, si los
S
tres conductores principales dispuestos en paralelo
T
constituyen el camino de ida de la corriente, y existe un
cuarto conductor que actúa como retorno común. Por dicho
retorno común (sistema de puesta a tierra, conductor de
3 I0
U0
neutro, hilo de tierra, cubierta o armadura de un cable
subterráneo, etc.) circula una corriente tres veces mayor
que la homopolar (ver figura 16).
Figura 16
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El método por unidad
De acuerdo a la norma, el fabricante debe dar estos valores por unidad
para su máquina, solo se dan en la chapa o placa de características de la
máquina como valores dimensionales:
Sn = Potencia aparente trifásica nominal.
Un = Tensión nominal compuesta.
fn = frecuencia nominal.
10b) Transformadores de potencia de dos devanados
Por norma el fabricante especifica los siguientes valores
nominales:
UnI = tensión nominal primaria [KV]
UnII = tensión nominal secundaria [KV]
Sn = potencia nominal trifásica [MVA o KVA]
ucc (pu)= tensión de c.c. en p.u.
Pcc (pu)= potencia de c.c. en p.u.
I0 (pu) = corriente de vacío en p.u.
P0(pu)= pot. de pérdidas en vacío en p.u.
simbolo
rcc/2 xcc/2 rcc/2 xcc/2
UI
g0
UII
b0
circuito equivalente
Z [ P.U. ]
 Del ensayo de cortocircuito obtenemos: ucc (pu) y Pcc (pu)
 Del ensayo de vacío obtenemos: I0 (pu) y P0 (pu)
Por definición cada uno de los parámetros especificados se calculan de la
siguiente manera:
uCC ( p u ) 
uCC [k V ]
un [k V ]
; I0 ( p u ) 
PCC [k W ]
P0 [k W ]
I0 [ A ]
; PCC ( p u ) 
; P0 ( p u ) 
In [ A ]
Sn [k V A ]
Sn [k V A ]
Establezcamos como se relacionan estos valores obtenidos de los ensayos con
los valores utilizados para conformar el circuito equivalente que represente al
transformador de dos devanados.
Definimos:
Z CC ( p u )  rCC ( p u )  j x CC ( p u )
y
Y0 ( p u )  g0 ( p u )  j b0 ( p u )
y
Y0 ( p u )  I0 ( p u )
 Admitamos sin demostración que:
Z CC ( p u )  uCC ( p u )
rCC ( p u )  PCC ( p u )
además:
X CC (p u) 
u
g0 ( p u )  P0 ( p u )
y
2
CC
 PCC
2

; b0 
I
0
2
 P0
2

Ejemplo:
Dado un transformador trifásico de 7,5 MVA de potencia y 89,250/4,160 KV,
conexión estrella – estrella, tiene una tensión de cortocircuito de uCC = 6,34 %.
Despreciando la admitancia transversal correspondiente a la corriente de
excitación, hallar el circuito equivalente monofásico:
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El método por unidad
a) Tomando como base la potencia trifásica y la tensión compuesta
b) Tomando como base la potencia monofásica y la tensión al neutro
c) Tomando como base una potencia trifásica de 10 MVA y una tensión
compuesta de 85 KV
d) Tomando como base una potencia monofásica de 10 MVA y una tensión al
neutro de 85/3 KV

Solución:
a) Potencia trifásica base: 7,5 MVA y tensión entre fases primaria base:
89,250 KV
La impedancia en p.u. del transformador vale: X (pu) = u CC / 100 = 0,0634
La tensión base del lado de B.T. vale: UB2 = UB1. (4,160/89,250) = 4,160 [KV]
El circuito monofásico en p.u. resulta:
I pu
U1 pu
U B1 = 89,250 KV
I pu
j 0,0634
U2 pu
U B2 = 4,160 KV
b) De acuerdo a las fórmulas indicadas anteriormente resultan:
La potencia base monofásica será: SBf = SB3f / 3 = 7,5 / 3 = 2,5 MVA
La tensión base monofásica será: UBf1 = UB3f /3 = 89,250/3 = 51,5285 KV
La tensión base monofásica en el lado de baja tensión:
UBf2 = UBf1 N2/N1 = 51,5285 KV x (4,160 / 89,250) = 2,4018 KV
La reactancia del transformador en las nuevas bases:
XCC pu2 = XCC pu1. (UB3f / UBf)2 . (SBf / SB3f) = 0,0634
Como se advierte la reactancia en p.u. no se modifica. El circuito
equivalente es el mismo que el del caso a) pero con las tensiones base
monofásicas respectivas, o sea UBf1 y UBf2
b) Al ser diferentes las bases de potencia y tensión adoptadas, de las
nominales del transformador, se tendrán que efectuar las respectivas
modificaciones, es decir:



Potencia base trifásica adoptada: SB3f = 10 MVA
Tensión base trifásica adoptada: UB3f = 85 KV
Reactancia del transformador en las nuevas bases:
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El método por unidad
XCC pu2 = XCC pu1. (UB3f1/ UB3f2)2 . (SB3f2 / SB3f1) = 0.093

Tensión base en el lado de baja tensión:
UB3f2 = 85. (4,160/89,250) = 3,9619 KV

El circuito equivalente en p.u. es:
I pu
I pu
U1 pu
j 0.093
UB1 = 85 KV
U2 pu
U B2 = 3,9619 KV
d) La base de potencia monofásica del trafo será: SBf = SB3f/3 = 7,5/3= 2,5 MVA
La nueva base de potencia monofásica será: SBfN = 10 MVA
Las bases de tensión monofásica del transformador serán:
UBf1 = UB3f /3 = 89,250/3 = 51,5285 KV
UBf2 = UBf1 (N2/N1) = 51,5285 KV (4,160 / 89,250) = 2,4018 KV
La nueva base de tensión al neutro será:
UBfN1 = 85 /3 KV; UBfN12 = 85/3 (4,160/89,250)= 2,2874 KV
La reactancia del transformador en las nuevas bases será:
XCC pu N = 0,0634. [ (89,250/3) / (85,000/ 3)]2. ( 10/ 2,5) = 0,2796
El circuito equivalente será:
I pu
I pu
U 1 pu
U BN1 = 85/3 KV
j 0.2796
U 2 pu
U BN2 = 2,2874 KV
10c) Líneas
De las líneas generalmente se conocen los valores de
sus parámetros en , es decir, su resistencia,
reactancia de dispersión, conductancia y capacidad.
Para obtener los valores en por unidad aplicamos las
siguientes relaciones:
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El método por unidad
De donde:
Z base =
2
U base U base
I base Sbase
=
; Ybase =
= 2
I base Sbase
U base U base
r(p.u. ) =
r[  ]
x[  ]
; x(p.u. ) =
Z base[  ]
Zbase[  ]
bc (p.u.) =
g0 [Si]
bc [Si]
; g0 (p.u.)=
Ybase[Si]
Ybase[Si]
Luego con: r [], x [], bc [Si] y g0 [Si] como datos obtenemos:
r(p. u. ) = r[  ] *
Sbase[MVA]
2
2
[KV ]
U base
x(p.u.) = x[  ] *
Sbase [MVA]
U 2base [KV]
De la misma manera calculamos bc (pu) y g0 (pu), luego con los valores en por
unidad representamos una línea de energía mediante su circuito equivalente
(cuadripolo tipo ).
g [Si]
bc [Si]
; g0 (p.u. ) = 0
bc (p.u. ) =
Ybase[Si]
Ybase[Si]
10 d) Cargas
Se definen de distintas maneras, según el tipo de parámetro eléctrico que se
conozca, por ejemplo:
P [MW] = potencia activa
Un [K] = tensión de línea
In [A] = corriente nominal
Z [] = impedancia en Ohms
Q [KVAR] = pot. reactiva
Sn [MVA] = potencia aparente
f.p. = factor de potencia
Consideremos el caso de una carga trifásica balanceada, conectada en estrella.
En la figura 17, se da el esquema unifilar de una línea corta que parte de una
subestación alimentando en su extremo una carga, de la que se conoce su
potencia activa P y su factor de potencia.
P, cos 
L
US
UR
Figura 17
Para representar la carga por una impedancia recordemos que: P3f = 3 UL I
cos  con UL e IL tensión y corriente de línea.
L
Como: ZC = Uf / If = (UL /3) / If = (UL /3) / IL, por ser IL = If para la conexión en
estrella, tendremos:
P3f = 3 . 3 ZC . IL2 cos , luego despejando ZC
ZC = P3f / 3 IL2 cos  además: ZC cos = RC y XC = (Z2C – R2C).
Para hallar el circuito equivalente en valores por unidad, adoptamos: la potencia
trifásica de base SB3f y la tensión trifásica de base UB3f , calculamos ZB como:
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El método por unidad
ZB = U2B3f /SB3f
y
IB = SB3f/3UB3f
Con los valores base y los datos del circuito dados en unidades eléctricas,
calculamos los valores por unidad. Tendremos:
US pu = US /UB3f , UR pu = UR / UB3f , ZL pu = ZL/ZB, Ipu = I / IB, ZR pu = ZR / ZB
Con estos valores, el circuito en p.u. está representado en la figura que sigue:
S
R
ZL pu
US pu
UR pu
ZR pu
Recordemos que este es un circuito monofásico.
10e) Motores
Normalmente se especifican por los valores nominales en C.V. y tensión, los
KVA nominales pueden determinarse solamente si se conocen el rendimiento y
el factor de potencia. Si se carece de información sobre estas magnitudes
pueden utilizarse las siguientes relaciones deducidas de valores medios para
cada tipo particular de motor:
 MOTORES SINCRONICOS: con f.p. unidad..... KVA = 0.85 * C.V.
con f.p. 0.8(L) .... KVA = 1.10 * C.V.
 MOTORES DE INDUCCION: KVA = C.V.
11.
Ejemplo de aplicación.
Aplicaremos el método por unidad a un
sistema electroenergético formado por un
generador, transformadores, línea de
transmisión y carga.
Se solicita determinar la impedancia en por
unidad (pu) de la carga, referida a los
distintos sectores del circuito, dibujar el
circuito equivalente y calcular las corrientes
en los distintos sectores, como también la
caída de tensión en la línea de transmisión.

I
k1 II
k2 III
G
G1
T1
L
T2
carga
L : 1.2 Ohms/km ; long.:100 km
G : Un=13.2 KV ; Sn=25 MVA ; Xs=5%
T1 : 13.2/132 KV; ST1=12 MVA ; Xd=8%
T2 : 138/69 KV ; ST2=12 MVA ; Xd=6 %
carga = 300 Ohms
Resolución:
1º) Adoptamos como valores base: SB = 10000 KVA
UB = 13.2 KV
2º) Calculamos las tensiones base en los sectores II y III del circuito:
UB= UbI =13.2 KV
Siendo k1= U1/U2, donde U1 y U2 representan las tensiones primaria y secundaria
del transformador 1, entonces:
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El método por unidad
UbII = 1/k1 * UbI = 13.2 * 10 = 132 KV, para la tensión base en el sector III será:
UbIII = 1/k2 * UbII = 1/k1 * 1/k2 * UbI = 13.2 KV * 10 * 0.5 = 66 KV
Las impedancias base quedan definidas así:
Z baseI =
13.200 2
= 17.42
10000000
Z baseII =
Z base =
U base2
S base
132.000 2
= 1742.4
10000000
Z baseIII =
66000 2
= 435.6
10000000
La impedancia de carga en por unidad valdrá:
Z carga (pu )III =
Z carga
= 0.69
Z baseIII
La carga referida al circuito II será: Zcarga II = 300  x k2
valdrá:
1200
Z carga (pu )II =
1742.4
= 1200  , en pu
2
= 0.69
La carga referida al circuito I será: Zcarga I = Zcarga x (k2 . k1 )2 = 12  , en p.u.
valdrá:
Z carga (pu )I =
12
= 0.69
17.42
CONCLUSION: La impedancia en p.u. de la carga referida a cualquier parte
del sistema será la misma (0.69).
La tensión en por unidad será:
U G (pu) =
UG
= 10
U baseI
Los valores de las reactancias del generador y de los
transformadores están referidas a los valores nominales
de cada uno, por lo tanto habrá que pasarlos a las bases
respectivas:
Z(pu )G = 0.05* (
2
13.2 10.000
= 0.02
)*
13.2 25000
j 0.02
j 0.069
j 0.067
1 / 0º
j 0.055
0.69
2
Z(pu )T2 = 0.06* (
138 10000
= 0.0546
)*
132 12000
Diagrama de impedancias
13.2 2 10000
)*
Z(pu )T 1 = 0.08*(
= 0.067
13.2 12000
Para la línea será:
X L = 1.2 / km* 100km = 120 
X(pu )L =
XL
= 0.0689
Z baseII
La impedancia equivalente será:
Zeq (pu) = 0.69 + j 0.2146 = 0.722 16.93º
I (pu) = U (pu) / Zeq (pu) = 1.39 -16.93º
Las corrientes base en los distintos sectores valdrán:
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El método por unidad
IBI = Sb / 3 UBI = 438 [A] ; IBII = Sb / 3 UBII = 43,8 [A] ; IBIII = Sb /3 UBIII = 87,6 [A]
II = I (pu) * IBI = 608,82 [A]; III = I (pu) * IBII = 60,88 [a]; IIII = I (pu) * IBIII = 121,8 [A]
La caída de tensión valdrá: UL (pu) = I (pu) * XL (pu) = 0,096 73,1º [V]
En valor normal será: UL = Ubase II * UL (pu) = 12,67 73,1 º [KV]
glf/2015
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