1. El efecto fotoeléctrico

Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Ingenieria / Facultad de Fı́sica
IEE1133/FIZ1433 Materiales Eléctricos
Profesor: Roberto Rodriguez
Ayudantı́a 2: Mecánica Cuántica: Ecuación de Schrodinguer
Joaquı́n Arancibia: [email protected]
Fabián Cádiz: [email protected]
1.
El efecto fotoeléctrico
Con la teorı́a de la electrodinámica clásica formulada por Maxwell, la visión ondulatoria
de la luz alcanzó una gran aceptación en la comunidad cientı́fica. La radiación se percibı́a
definitivamente como un campo continuo que se propaga en el espacio y el tiempo a velocidad
finita, igual a la velocidad de la luz. Sin embargo, una manifestación de lo peculiar que puede
resultar la interacción entre la radiación y la materia, (y que finalmente condujo a abandonar
la idea de un campo clásico) fue el efecto fotoeléctrico, descubierto por Hertz en 1887, quien
se encontraba estudiando la producción y recepción de ondas electromagnéticas. Cuando una
superficie metálica cargada con un potencial negativo (y entonces, con exceso de electrones) es
expuesta a radiación electromagnética, bajo ciertas condiciones los electrones en la superficie
metálica escapan, como se muestra en la figura siguiente:
La energı́a cinética con la cual los electrones abandonan la superficie puede medirse a partir de
la diferencia de potencial necesaria para frenarlos dentro de un tubo de rayos catódicos. Esto
fue realizado por Phillipp Von Lenard, en 1902 (Ver Fig. 1).
La expulsión de electrones desde el cátodo genera una corriente en el circuito de la figura.
Mediante un potenciómetro se ajusta el voltaje aplicado a las placas. Para cierta diferencia de
potencial, los electrones que se desprenden de la placa son frenados, y la corriente a través del
circuito se anula. Entonces la energı́a cinética que éstos adquirieron producto de la interacción
con la radiación está dada por:
K = eV0
donde V0 es el potencial de frenado. Las predicciones de la mecánica clásica son las siguientes:
1. La energı́a cinética de los electrones serı́a proporcional a la intensidad de la radiación,
pues éste es el parámetro que caracteriza la energı́a total que transporta la onda electromagnética
Figura 1: Experimento de Von Lenard
2. Según esto último, al aumentar la intensidad de la radiación, mayor es el potencial de
frenado requerido para eliminar la corriente de electrones
3. Para cualquier valor de la frecuencia de la luz incidente, si la intensidad de la luz es
suficientemente alta, entonces se emitirán electrones
4. Si la intensidad de la luz es muy pequeña (comparada por ejemplo con la energı́a que
mantiene a los electrones ligados al material), entonces éstos podı́an adquirir suficiente
energı́a a partir de un determinado tiempo de exposición a la luz, y entonces se observarı́a
el efecto
Sin embargo, los resultados experimentales están en absoluto desacuerdo con la teorı́a clásica.
Estos son:
1. Los electrones de la placa son emitidos únicamente cuando la frecuencia de la radiación
(tı́picamente luz visible) supera cierto valor mı́nimo, o frecuencia umbral. Para cada metal
dado, existe una cierta frecuencia mı́nima, bajo la cual ningún electrón puede ser emitido.
2. Cuando se supera la frecuencia umbral, la energı́a de los electrones expulsados depende
únicamente de la frecuencia (o color) de la luz. En otras palabras, el voltaje de frenado V0
es sólo función de la frecuencia de la luz, y no de su intensidad. Esto resultaba realmente
curioso, pues luz de baja intensidad a determinada frecuencia podrı́a emitir electrones,
pero no una luz con altı́sima intensidad (pero de menor frecuencia).
3. La corriente que se genera es instantánea (demora un tiempo imperceptible en producirse).
Quien explicó exitosamente (y de forma muy simple) el efecto fotoeléctrico fue Albert Einstein , en 19051 . Posteriormente ganarı́a el premio Nobel (en 1921) por este artı́culo. Einstein
postuló que la radiación electromagnética está compuesta por cuantos de luz, llamados fotones. En otras palabras, el campo electromagnético se encuentra cuantizado. Basado en la
teorı́a de Planck sobre la radiación de cuerpo negro, Einstein propuso que la energı́a asociada
a cada fotón es proporcional a la frecuencia de la radiación, es decir
E = hν
donde h es la constante de Planck.
1
On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light
2
1.1.
Explicación del efecto fotoeléctrico
La luz incidente está compuesta de fotones, cada uno con una energı́a determinada por la
frecuencia de la luz. En el proceso de emisión, si cada fotón tiene una energı́a menor que la
energı́a de enlace que mantiene al electrón ligado al metal, entonces la interacción será insuficiente y el electrón no será desprendido del material. A la energı́a de ligazón entre los electrones
y el material se le llama función de trabajo, y se designa con la letra φ. Si la energı́a del
fotón es superior a φ, entonces un electrón absorberá energı́a de este fotón y será emitido, de
acuerdo a:
hν = φ + Ekmax
donde Ekmax es la energı́a cinética máxima con que se emiten los electrones, y
hνmin = φ
Es decir, νmin es la mı́nima frecuencia que debe tener la radiación incidente para desprender
electrones.
Esto explica por qué para frecuencias bajo una frecuencia lı́mite νmin , no se produce el efecto.
En caso de que se desprendan electrones del metal, al aumentar la intensidad de la luz únicamente aumenta el número de fotones emitidos por unidad de tiempo, y entonces también el
número de electrones que escapan del material, pero la energı́a cinética con que éstos se emiten
no aumenta. Esto explica por qué el potencial de frenado no depende de la intensidad, sino de
la frecuencia de la luz (i.e de la energı́a individual de cada fotón).
Figura 2: La figura muestra la cuantización de la luz en fotones. Para una placa de potasio, la
energı́a mı́nima necesaria para extraer electrones es cercana a 2.0 eV
Esta idea de la cuantización de la radiación fue un salto gigantezco, y en la época presentó mucha
resistencia. En primer lugar, parecı́a contradecir la teorı́a ondulatoria de la luz basada en las
ecuaciones de Maxwell, y más generalmente, en ese entonces aún se asumı́a que la energı́a de
todo sistema fı́sico podı́a tomar cualquier valor. Incluso cuando los experimentos mostraban
que las ecuaciones de Einstein para el efecto fotoeléctrico reproducı́an fielmente lo observado,
el rechazo a la idea de los fotones continuó por algún tiempo. Si bien en 1905 se sabı́a que la
energı́a de los electrones aumentaba linealmente con la frecuencia de la luz incidente, no fue
hasta 1915 que Robert Milikan mostró que la predicción de Einstein era correcta.
1.2.
Dualidad onda-partı́cula
El efecto fotoeléctrico fue clave en el desarrollo del concepto dual de la naturaleza de la luz,
la cual posee simultáneamente caracterı́sticas de onda y partı́cula, cada una de éstas verificable
3
en diversas circunstancias. Esto es imposible de comprender en términos de una descripción
ondulatoria clásica de la luz. Estas ideas desarrolladas a principios del siglo 20 terminaron
por derribar la concepción clásica de la luz y la materia, y fueron forjando el camino para
el nacimiento de una nueva teorı́a de la naturaleza, la fı́sica cuántica. Hoy en dı́a el efecto
fotoeléctrico es el principio de funcionamiento de las celdas solares para generar energı́a eléctrica
a partir de la energı́a radiante proveniente del sol . Los fotodiodos, fototransistores y las cámaras
CCD (charged coupled device) utilizan variantes del efecto fotoeléctrico, donde el material que
es expuesto a la radiación es un semi-conductor.
Figura 3: Albert Einstein
2.
2.1.
Postulados de la mecánica cuántica: La función de
Onda
Descripción del estado de una partı́cula
Principio I:
La descripción completa del estado de una partı́cula de masa m en el espacio al instante t
se logra por medio de una función de onda compleja ψ(~x, t). La probabilidad de encontrar la
partı́cula al instante t en un volumen d3 x en torno al punto ~x es:
d3 P (~x) = |ψ(~x, t)|d3 x
Figura 4: La función de onda es una amplitud de probabilidad, |ψ(~x, t)|2 es una densidad que
determina la probabilidad de prescencia de una partı́cula en torno al punto ~x al instante t.
Nota:
1. La función de onda es de cuadrado sumable, y normalizada a uno. Es decir:
ˆ
d3 x |ψ(~x, t)|2 = 1
R3
4
Las funciones de cuadrado sumable forman un espacio vectorial llamado L2 (R3 ).
2. El carácter aleatorio y probabilista no proviene de una falta de conocimiento de las condiciones iniciales (como en teorı́a cinética de los gases, por ejemplo), tampoco viene de
una necesidad práctica (imposibilidad de tratar un sistema con 1023 partı́culas). Aquı́, el
carácter aleatorio forma parte integral del formalismo cuántico.
2.2.
Medición de la posición de la partı́cula
Al efectuar una medida de la posición de una partı́cula al instante t, uno encuentra un cierto
valor bien definido ~x, con una precisión de d3 x. Imaginemos que uno prepara independientemente un gran número N de partı́culas en el mismo estado, es decir, las N partı́culas son
descritas por estrictamente la misma función de onda al momento en que se efectúa una medida
sobre la posición de cada una de ellas. Los N resultados de la medida no serán idénticos, pero
estarán distribuı́dos según la ley de probabilidad |ψ(~x, t)|2 . El valor medio de estos resultados
es:
ˆ
d3 x ~x|ψ(~x)|2
h~xi =
R3
Figura 5: La medida de la posición de N partı́culas preparadas en el mismo estado permite
reconstruı́r la dependencia espacial de la ley de probabilidad |ψ|2 , si la precisión en la posición
lo permite.
Se trata de un conjunto de tres valores, para las tres coordenadas {x, y, z}. La dispersión
de estos resultados será caracterizada por una varianza. Sean ∆x, ∆y, ∆z las varianzas sobre
las 3 coordenadas, por definición:
ˆ
2
2
2
∆x = hx i − hxi =
dx x2 |ψ(~x)|2 − hxi2
R
E igualmente para y y z. Mientras más pequeñas sean estas varianzas, mejor será la localización
de la partı́cula cuando ella está en el estado ψ(~x).
3.
3.1.
Interferencia y principio de superposición
Ondas de de Broglie
La idea más simple para caracterizar una partı́cula libre consiste en suponer que las partı́culas de velocidad ~v y de momentum p~ = m~v bien definidos, libres en el espacio, son descritas
por una función de onda vecina de una onda plana monocromática de la forma:
~
ψ(~x, t) = ψ0 ei(k·~x−wt)
5
Figura 6: La figura muestra el valor medio de la variable aleatoria x, ∆x mide que tan concentrada se encuentra la distribución de probabilidad en torno a hxi.
donde ψ0 es una constante. Para estas ondas, la longitud de onda λ y, de forma equivalente, el
vector de onda ~k staisfacen las relaciones:
~k = p~/~
λ = h/p
como propuso de Broglie, en analogı́a a la relación de Einstein para el momentum de un fotón
de vector de onda ~k, p~ = ~~k. Una experiencia de interferencia o de diffracción en un cristal no
permite calcular la frecuencia de esta onda. En efecto, el factor de fase e−iwt no juega ningún
rol en |ψ|2 . La buena elección de de Broglie consiste en relacionar esta frecuencia a la energı́a
de la partı́cula de la misma forma que para los fotones de Einstein:
~w = E = p2 /2m
Uno obtiene ası́ las ondas de de Broglie:
ψ(~x, t) = ψ0 ei(~p·~x−Et)/~ con E = p2 /2m
3.2.
(1)
Principio de superposición
Toda combinación lineal de funciones de onda es igualmente una función de onda posible. Dicho
de otra forma, si ψ1 (~x, t) y ψ2 (~x, t) describen dos estados posibles , entonces la combinación
lineal:
ψ(~x, t) = α1 ψ1 (~x, t) + α2 ψ2 (~x, t)
donde α1 , α2 son complejos arbitrarios, representa también un estado posible (Se debe escoger
α1 y α2 de manera que |ψ|2 = 1). Se trata del principio fundamental de la teorı́a cuántica,
la aditividad de amplitudes de probabilidad es la base de los fenómenos de interferencia. La
ecuación que gobierna la función de onda ψ debe ser entonces lineal.
3.3.
Ecuación de onda en el vacı́o
Consideremos las ondas de de Broglie (Eq 1). Estas ondas planas describen partı́culas de momentum bien definido p~ y de energı́a E = p2 /2m. Derivando respecto al tiempo por un lado,
y tomando el laplaciano por otro, vemos que las ondas de de Broglie satisfacen la ecuación a
derivadas parciales:
~2 ~ 2
∂
∇ ψ(~x, t)
(2)
i~ ψ(~x, t) = −
∂t
2m
Podemos considerar esta ecuación como un principio que dicta la propagación de partı́culas en
el vacı́o, en ausencia de interacción. Enunciamos entonces el segundo principio de la mecánica
6
cuántica.
Principio II
Si la partı́cula está en el vacio y no sufre ninguna interacción, la función de onda satisface la
ecuación a derivadas parciales:
~2 ~ 2
∂ψ(~x, t)
=−
∇ ψ(~x, t)
∂t
2m
que es la ecuación de Schrodinguer en el vacı́o.
i~
4.
La ecuación de Schrödinguer
∂
~ 2 ψ(~x, t) se deduce a partir de la estructura
La ecuación de onda i~ ∂t
ψ(~x, t) = −~2 /2m∇
de las ondas de de Broglie. La primera gran contribución de Schrödinguer fue incorporar los
efectos de una fuerza cuando una partı́cula se encuentra sumergida en un potencial V (~x).
4.1.
Ecuación de movimiento
Principio IIb: Ecuación de Schrödinguer
Cuando una partı́cula se encuentra bajo la influencia de un potencial V (~x), la evolución en el
tiempo de la función de onda se rige por la ecuación de Schrödinguer:
i~
~2 ~ 2
∂
ψ(~x, t) = −
∇ ψ(~x, t) + V (~x, t)ψ(~x, t)
∂t
2m
Notas:
1. La ecuación de Schrödinguer es lineal, conforme al principio de superposición.
2. Es una ecuación a derivadas parciales de primer orden en el tiempo: ella determina completamente la función de onda a todo instante si se conoce la función de onda a un instante
inicial t0
4.2.
Funciones propias de la energı́a y estados estacionarios
En todo sistema cuántico, la ecuación de Schrödinguer se puede escribir:
∂
ψ(~x, t) = Ĥψ(~x, t)
∂t
~ 2 + V (~x), llamado hamiltoniano del sistema.
donde Ĥ representa el operador lineal −~2 /2m∇
Supongamos un sistema aislado, es decir, el potencial no depende explı́citamente del tiempo.
Consideremos las funciones propias del hamiltoniano, definidas por la ecuación a valores propios:
i~
Ĥψα (~x) = Eα ψ(~x)
(3)
donde Eα son los valores propios, que son reales para un operador hermı́tico. Estas funciones
de onda particulares corresponden a estados del sistema que tienen una energı́a bien definida
Eα . A partir de ellas uno obtiene soluciones de la ecuación de Schrödinguer de la forma:
ψ(~x, t) = ψα (~x)e−iEα t~
que son llamadas estados estacionarios.
Nota
7
(4)
1. La probabilidad de prescencia para un estado estacionario (4) es independiente del tiempo:
|ψ(~x, t)|2 = |ψα (~x)|2
5.
Estados propios de la energı́a y evolución temporal
Explicitando el hamiltoniano, la ecuación a valores propios (3) es:
~2 ~ 2
∇ ψα (~x) + V (~x)ψα (~x) = Eα ψα (~x)
2m
que es llamada ecuación de Schrödinguer independiente del tiempo. Sus soluciones definen un
conjunto {Eα , ψα (~x)} de valores propios y de funciones propias de la energı́a. Los números Eα
son los niveles de energı́a del sistema. Consideremos ahora una función de onda ψ(~x, t) que
en t = 0 es una superposición de estados estacionarios:
X
ψ(~x, 0) =
Cα ψα (~x, t)
(5)
−
α
Dado que la ecuación de Schrödinguer es lineal, la evolución en el tiempo de esta función de
onda se escribe inmediatamente:
X
ψ(~x, t) =
Cα e−iEα t~ ψα (~x)
α
En virtud del teorema espectral de Riesz, se puede demostrar que toda función de onda conocida
en t = 0 se puede desarollar según (5), con:
ˆ
Cα = (ψα , ψ) =
d3 x ψα (~x)∗ ψ(~x, 0)
R3
6.
Estados ligados y estados de difusión
En mecánica clásica, se distinguen dos regı́menes en el movimiento de una partı́cula en
un potencial que posee un limite finito V1 al infinito. Si el valor de la energı́a E, que es una
constante de movimiento, es inferior a V1 , la trayectoria estará confinada en una región finita
del espacio, se llama a esto un estado ligado. En el caso contrario E > V1 , la partı́cula puede
escaparse del campo de fuerzas y alejarse hacia el infinito cuando t → ∞, y se habla entonces
de estado de difusión. La misma distinción existe en mecánica cuántica. En la figura (7) se
muestran trayectorias de una partı́cula clásica para un potencial de la forma V (r) = −A/r,
que tiende a cero en el infinito.
6.1.
Estados ligados
Los estados ligados estacionarios están caracterizados por soluciones de la ecuación (3) para
las cuales la función ψα (~x) es de cuadrado sumable, es decir normalizable:
ˆ
d3 x |ψα (~x)| = 1
R3
Se puede demostrar que esto se produce únicamente para un conjunto discreto de valores de
la energı́a {En }, que son los niveles de energı́a del sistema: es el origen de la cuantificación de
la energı́a. El hecho de que las funciones de onda sean normalizables corresponde a la situación
8
Figura 7: Movimiento clásico en un potencial atractivo de la forma V (r) = −A/r (V1 = 0) con
A > 0. Una partı́cula con E < 0 permanece confinada en una región finita del espacio, mientras
que una energı́a con E > 0 se escapa hacia el infinito.
clásica donde la trayectoria de la partı́cula permanece confinada en el curso del tiempo a una
región finita del espacio. Cada valor de En es inferior al valor V1 del potencial al infinito, y
superior al valor mı́nimo
Vmin < En < V1
6.2.
Estados de difusión
La ecuación de Schrödinguer independiente del tiempo (3) posee igualmente soluciones para un
conjunto continuo de valores de la energı́a E superiores a V1 . Asintóticamente, estas soluciones
son ondas planas ya que el potencial es constante cuando ~x → ∞. Estas corresponden a los
estados de difusión de partı́culas asintóticamente libres, que son desviadas por el potencial
V (~x). Si bien estas autofunciones no son normalizables (y entonces no pueden representar el
estado de una partı́cula), se pueden formar paquetes de onda, que son combinaciones lineales
normalizables de estas ondas de difusión.
Figura 8: Para un potencial que tiende a una constante V1 al infinito y posee un mı́nimo Vmin ,
los valores propios E del hamiltoniano forman: por un lado un conjunto discreto En entre Vmin
y V1 correspondiente a estados ligados, por otro un conjunto continuo de valores superiores
a V1 correspondiente a estados de difusión. Todo estado fı́sicos e puede escribir como una
superposición lineal de las funciones propias correspondientes.
Notas:
Algunos resultados importantes que conciernen los estados ligados son:
1. Un siempre puede buscar funciones propias ψ reales. Esto por que si ψ es solución de
la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ψ ∗ también lo es, y con el mismo
autovalor.
9
2. El teorema de Sturm-Liouville: Se pueden clasificar los niveles por valor creciente de la
energı́a en función del número de nodos (puntos donde el signo de la función de onda
cambia) de la función de onda.
3. En el caso de que el potencial sea simétrico respecto al origen (función par V (x) = V (−x)),
las funciones propias del hamiltoniano son pares o impares. Dado que una función impar
posee un nodo en x = 0, esto significa que necesariamente el estado fundamental es una
función par, el primer estado exitado es impar, el segundo estado exitado es par, etc.
10
7.
Cristalografı́a
El sistema cúbico de cristales es un sistema cristalino donde celda unitaria tiene forma de
cubo. Ésta se repite indefinidamente a lo largo de todo el material. En general, hay 3 variedades
de cristales: Cúbico Simple (SC), Cúbico de cuerpo centrado (BCC) y cúbico de caras centrado
(FCC). En el caso SC cada vértice del cubo posee un átomo, es decir en la celda unitaria hay
ocho octavos de átomo, es decir 1 átomo por cubo.
Figura 9: Sistema cúbico simple
En el caso BCC se puede encontrar átomos en los vértices y uno en el centro, es decir por celda
unitaria hay 2 átomos:
Figura 10: Malla elemental del arreglo BCC
Por último, el caso FCC (Ar, Ag, Al, Au, Co, Cu) tiene átomos en cada vértice y en los centros
de las caras, dando un total de 4 átomos por celda (ocho octavos de los vértices y 6 medios por
las caras).
Figura 11: Estructura cristalina de cara centrada (FCC)
11
8.
Postulados de la mecánica cuántica
Resumen
1. La descripción del estado de una partı́cula en el espacio se logra por una función de onda
ψ(~x, t) donde su módulo cuadrado da la densidad de probabilidad de prescencia en el
punto ~x al instante t.
2. La evolución en el tiempo de la función de onda de una partı́cula colocada en un potencial
V (r) se obtiene a partir de la ecuación de Schrödinguer:
i~
∂
ψ(~x, t) = Ĥψ(~x, t)
∂t
donde el observable energı́a Ĥ, o hamiltoniano del sistema, es:
Ĥ = −
~2 ~ 2
∇ + V (r)
2m
3. Para un sistema aislado en un potencial independiente del tiempo, los estados estacionarios son los estados propios de la energı́a, con una función de onda de la forma:
ψ(~x, t) = ψα (~x)e−iEα t/~
´
donde ψα es una solución normada ( R3 d3 x |ψα |2 = 1) de la ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo:
Ĥψα (~x) = Eα ψα (~x)
La evolución en el tiempo de toda función de onda ψ(~x, t) se escribe inmediatamente una
vez conocidas las soluciones estacionarias:
ˆ
ψ(~x, t) =
X
−iEα t/~
Cα e
ψα (~x), con Cα =
R3
α
12
d3 x ψα∗ (~x)ψ(~x, t = 0)
9.
Constantes y propiedades
Resistividad en ohm-metros, medidos a 1 atm y a 20o C:
Material Resistividad
Material Resistividad
Conductor
Semi-Conductores
−8
Plata 1, 59 × 10
Agua Salada
4, 4 × 10−2
−8
Cobre 1, 68 × 10
Germanio
4, 6 × 10−1
Oro 2, 21 × 10−8
Diamante
2,7
−8
Aluminio 2, 65 × 10
Silicio
2, 5 × 103
Hierro 9, 61 × 10−8
Aislantes
Mercurio 9, 58 × 10−7
Agua pura
2, 5 × 105
Nicromo 1, 00 × 10−6
Madera
108 − 1011
Manganeso 1, 44 × 10−6
Vidrio
1010 − 1014
−5
Grafito
1, 4 × 10
Cuarzo
∼ 1016
Susceptibilidades magnéticas a 1 atm y 20o C:
Material Susceptibilidad
Material Susceptibilidad
Diamagnetico
Paramagnetico
Bismuto
−1, 6 × 10−4
Oxı́geno
1, 9 × 10−6
Oro
−3, 4 × 10−5
Sodio
8, 5 × 10−6
Plata
−2, 4 × 10−5
Aluminio
2, 1 × 10−5
−6
Cobre
−9, 7 × 10
Tungsteno
7, 8 × 10−5
Agua
−9, 0 × 10−6
Platinio
2, 8 × 10−4
CO2
−1, 2 × 10−8 Oxı́geno lı́quido (-200 o C)
3, 9 × 10−3
Hidrógeno
−2, 2 × 10−9
Gadolinio
4, 8 × 10−1
Constantes dieléctricas, a 1 atm y 20 o C:
Material Constante Dieléctrica
Material Constante Dieléctrica
Vacı́o
1
Benceno
2,28
Helio
1,000065
Diamante
5,7
Neon
1,00013
Sal
5,9
Hidrógeno
1,00025
Silicio
11,8
Argón
1,00052
Metanol
33
Aire(seco)
1,00054
Agua
80,1
Nitrógeno
1,00055 Hielo(30o C)
99
o
Vapor de agua (100 C)
1,00587 KT aN bO3
34 000
Algunas unidades y constantes fundamentales:
13
Unidades
Ångstrom
1Å = 10−10 m (∼ tamaño de un átomo)
Fermi
1f m = 10−15 m (∼ tamaño de un núcleo)
ElectronVolt
1eV = 1, 60218 10−19 J
Constantes Fundamentales
Constante de Planck
h = 6, 6261 10−34 Js
Cte. Planck h-barra
~ = h/2π = 1, 054 10−34 Js
Velocidad de la luz
c = 299 792 458 m/s
Permeabilidad del vacı́o
µ0 = 4π 10−7 y 0 µo c2 = 1
Constante de Boltzmann
kB = 1, 38 10−23 JK −1
Número de Avogadro
NA = 6, 0221 1023
Carga del electrón
qe = −1, 602 10−19 C
Masa del electrón
me = 9, 1094 10−31 kg
Masa del protón
mp = 1, 672 10−27 kg
14
9.0.1.
Problema 1
Se envı́a sobre un fotocátodo de potasio una radiación ultravioleta (lı́nea de mercurio) de longitud de onda λ = 253,7 nm, y se constata que la energı́a maxima de los fotoelectrones expulsados
es de 3,14 eV . Si en cambio se utiliza radiación visible de longitud λ = 589 nm (lı́nea amarilla
de sodio), la energı́a maxima es entonces de 0,36 eV .
Encuentre el valor de la constante de Planck.
Calcule la energı́a mı́nima requerida para extraer los electrones de la superficie de potasio.
Calcule la longitud de onda maxima de radiación que puede producir un efecto fotoeléctrico sobre el potasio.
9.0.2.
Solución
a) Si T es la energı́a necesaria para arrancar un electrón del fotocátodo de potasio, la energı́a
cinética máxima que adquieren después de la incidencia de un fotón de energı́a hν está dada
por:
hc
−T
λ
= 3,14 eV , y para λ2 = 589 nm, Emax2 = 0,36 eV , a
Emax = hν − T =
Para λ1 = 253,7 nm se tiene Emax1
partir de estos datos:
Emax1 − Emax2 = 2,78 eV = hc
2,78 eV = h
1
1
−
253,7 589
1
1
−
λ1 λ2
× 3 × 108 × 109 s−1
2,78 eV = h × 2,25 × 10−3 × 3 × 108 × 109 s−1
Se obtiene finalmente:
2,78
eV s = 4,1 × 10−15 eV s
2,25 × 3 × 1014
Recordando que 1 eV = 1,6 × 10−19 J, se obtiene también:
h=
h = 4,1 × 1,6 × 10−34 Js ∼ 6,6 × 10−34 Js
b) La energı́a mı́nima que se puede aplicar para extraer a un electrón corresponde a T .
Podemos calcularla a partir de
Emax1 =
T =
hc
−T
λ1
hc
4,1 × 10−15 × 3 × 101 7
− Emax1 =
− 3,14 eV
λ
253,7
T =
4,1 × 3 × 102
− 3,14 eV = 1,7 eV
253,7
15
c) Se debe tener:
hc
−T ≥0
λ
Es decir:
hc
≥λ
T
La máxima longitud de onda permitida es:
λmax =
hc
4,1 × 10−15 eV s 3 × 108 ms−1
12,3
=
=
× 10−7 m
T
1,7 eV
1,7
λmax = 7,24 × 10−7 m = 0,72 µm
9.0.3.
Problema 2
Calcule la longitud de onda de de Broglie de:
Un electrón de 100 eV .
Un neutrón térmico. Compare con las dimensiones atómicas.
9.0.4.
Solución
a) Un electrón de 100 eV tiene un momentum de magnitud:
√
p=
2mE =
h
λ
h
λ= √
2mE
Considerando que m = 9 × 10−31 kg:
λ= p
6,6 × 10−34
18 × 10−31 × 1,6 × 10−17
6,6 × 10−10
= √
= 1,2 × 10−10 m = 0,12 nm
18 × 1,6
b) Un neutrón térmico posee una energı́a igual a kT = 25 meV a T = 300K. Además,
mn ≈ 2000me :
λ= √
h
6,6 × 10−34
6,6 × 10−9
=p
=√
= 0,17 nm
36 × 25 × 1,6
2mE
36 × 10−28 × 25 × 1,6 × 10−22
Ambas longitudes de onda son comparables con las distancias atómicas y pueden ser utilizadas en experiencias de difracción de átomos y moléculas.
16
Figura 12: Utilización de ondas de de Broglie en un microscopio electrónico. Con longitudes de
onda suficientemente cortas, se pueden ver detalles muchos más finos que con un microscopio
óptico.
9.0.5.
Problema 3
Considere una partı́cula confinada en una región (1 dimensión) donde el potencial es nulo,
las regiones exteriores corresponden a zonas impenetrables por la partı́cula. El potencial
que ve la partı́cula es de la forma:
V (x) = 0 si x ∈ [0, L]
V (x) = ∞ si x ∈
/ [0, L]
Encuentre los niveles de energı́a y la función de onda
Aplicación numérica: En tecnologı́as modernas de microelectrónica, este tipo de potencial tan simple encuentra numerosas aplicaciones (Ver figura 13). Cuando un electrón de
conducción se mueve en un semi-conductor como el GaAs, siente un potencial uniforme
a lo largo de la red cristalina. El valor de este potencial depende de la composición del
semiconductor. En sandwichs de capas delgadas alternadas de semi-conductores (GaAs
y GaAlAs), se crean pozos cuánticos cuyos largos pueden ser del orden del nm. El confinamiento cuántico de los electrones en estos dominios prometen desarrollos sin precedentes
en electrónica y en las componentes de los computadores. También posee aplicaciones en
optoelectrónica: suponga que el pozo es infinito y de ancho 15 nm, y que electrón posee
una masa efectiva de m = 0,067me (esto se explicará más adelante), cuál debe ser la longitud de onda de un fotón para excitar a un electrón desde el estado fundamental hasta
el primer estado excitado?
17
Figura 13: Sandwich de GaAs-GaAlAs-GaAs. El electrón ve un pozo de potencial 1-D en esta
estructura.
Extensión a 3D Considere ahora el modelo de la ((partı́cula en una caja)), que corresponde a la extensión del problema anterior a tres dimensiones. Considere ahora una
partı́cula de masa m confinada en un paralelepipedo rectangular de lados L1 , L2 , L3 . De
esta manera el potencial se puede escribir como:
V (3) (x, y, z) = V (x) + V (y) + V (z)
Donde:
V (xi ) = 0 si xi ∈ [0, Li ]
V (xi ) = 0 si xi ∈
/ [0, Li ]
con:
xi = x, y, z para i = 1, 2, 3
9.0.6.
Solución
En las regiones exteriores al intervalo [0,L] la probabilidad de existencia de la partı́cula es
cero, luego: ψ(x) = 0. Ası́ por continuidad tenemos la siguiente condición sobre ψ:
ψ(0) = 0
ψ(L) = 0
Ahora debemos buscar las funciones propias del Hamiltoniano que satisfagan esto, las funciones
ψ satisfacen:
Ĥψ = Eψ
~ d2
ψ = Eψ
−
2m dx2
2m
ψ 00 +
ψ=0
E
2
Las soluciones de esta ecuación son conocidas, son generalmente senos y cosenos. Como requerimos que la solución sea nula en cero, sólo consideramos la solución dada por el seno:
ψ(x) = A sin(κx)
Reemplazando en la ecuación obtenemos que:
r
κ=
2mE
~2
18
Como además se exige que ψ sea nula en x=L se tendrá que:
κL = nπ
Luego, deducimos de ambas igualdades que:
2mE
n2 π
=
~2
L2
Ası́, encontramos que no cualquier valor de la energı́a es posible, éstos se vuelven discretos
gracias a las condiciones de borde impuestas sobre ψ:
En =
n2 π 2 ~2
2mL2
Aplicación numérica
Tenemos que el ancho del pozo L = 15 nm, la masa efectiva es de 0, 067me . Entonces haciendo:
E2 − E1 = (4 − 1)
~2 π 2
2mef f L2
3 × (1, 054 × 10−34 )2 π 2
E2 − E1 =
2 × 0, 067 × 9 × 10−31 × (15 × 10−9 )2
E2 − E1 = 1, 2 × 10−20 J
E2 − E1 = 74, 9 meV
Por lo tanto, la frecuencia asociada del fotón absorbido será de:
E2 − E1
h
ν = 1, 81 × 1013 Hz
c
λ=
ν
λ = 15, 56 µm
ν=
Comentario: este dispositivo puede ser utilizado para detectar luz infraroja, por ejemplo, parte
de la luz que emite el cuerpo humano a temperatura ambiente.
Ahora para pasar a 3D debemos resolver:
ĤΨ(r) = EΨ(r)
Donde Ĥ será el operador:
~2
Ĥ = −
2m
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
+ V (3) (x, y, z)
Para resolver este problema, utilizamos una técnica conocida como ((Separación de Variables)),
que corresponde a uno de los métodos más útiles para resolver problemas en derivadas parciales,
suponemos que la solución es de la forma:
Ψ(r) = ψ1 (x)ψ2 (y)ψ3 (z)
19
De esta manera,verificamos que Ψ es solución si verifica:
−
~2 00
ψ (xi ) = (Ei − Vi (xi ))ψi (xi )
2m i
y:
E = E1 + E2 + E3
En este punto podemos aplicar lo visto en el punto anterior en 1D ya que hemos llevado el
problema a uno conocido. En el problema anterior los niveles de energı́a dependı́an de un solo
((número cuántico)) n, ahora dependen de 3: n1 , n2 , n3 . La solución será:
√
n2 πy
n3 πz
8
n1 πx
sin
sin
sin
Ψn1 ,n2 ,n3 (r) = √
L1
L2
L3
L1 L2 L3
2
2 2
2
2
~π
n1
n
n
E = En1 ,n2 ,n3 =
+ 22 + 32
2
2m L1 L2 L3
En este caso, podemos introducir el concepto de ((grado de degeneración)). Vemos que para
un mismo valor de la energı́a tenemos varias funciones de onda posibles. Por ejemplo, si L1 = L2
podemos permutar n1 y n2 obteniendo la misma energı́a. En este caso decimos que el grado de
degeneración es igual 3.
9.0.7.
Problema 4
La molécula de amoniaco N H3 tiene una forma piramidal donde el nitrógeno ocupa la cima
y los 3 hidrógenos forman la base. Vamos a estudiar el comportamiento de los 3 átomos de
hidrógeno considerando que la molécula siempre es piramidal y que el nitrógeno está fijo.
(a)
(b)
El potencial que ve este grupo de moléculas se puede aproximar por la figura siguiente:
Ası́ estudiaremos el comportamiento de una ((partı́cula)) de masa 3mH que representa a los
tres átomos de hidrógeno, suponiendo que ellos siguen en el mismo plano.
Demuestre que las soluciones de la ecuación de Schrödinger son funciones pares e impares.
Limitándose al caso E < V0 , las funciones propias del Hamiltoniano son:
ψ(x) = ±λ sin k(b + a/2 + x) Región Izquierda
(
µ cosh Kx Solución par
ψ(x) =
Región Intermedia
µ sinh Kx Solución impar
ψ(x) = λ sin k(b + a/2 − x) Región Derecha
20
G M D
p
√
Donde K = 2m(Vo − E)/~ y k = 2mE/~
Sean ψS y ψA los estados correspondientes a las funciones par e impar , respectivamente,
asociados a las energı́as mas bajas del sistema (ES < EA ). Si consideramos el caso K k y
Ka 1 se tendrá que las energı́as correspondientes tendrán una diferencia de:
EA − ES ≡ 2A
~2 π 2 4e−K∆
2ma2 Ka
∆ = 2b − a El ancho de la barrera
√
Y en esta aproximación supondremos que K ∼ 2mV0 /~
A'
Considere ahora las siguientes combinaciones lineales de estos estados:
√
ψG = (ψS − ψA )/ 2
√
ψD = (ψS + ψA )/ 2
Describa cualitativamente estos estados. Ahora evalúe la evolución de una función de
onda ψ(x, t) que en t=0 es igual a ψD .
Si 2A ∼ 10−4 eV en el caso del amoniaco, encuentre la frecuencia y el periodo del fenómeno
descrito en la pregunta precedente.
Extendamos este modelo a un sólido. Este doble pozo cuántico puede representar dos
átomos separados por una distancia ∆. Un electrón de uno de los átomos verá el potencial
tratado anteriormente. Si el electrón tiene energı́a E0 < 0 deberá atravesar una barrera de
potencial de altura |E0 | de largo ∆. En función de ∆ y de E0 estime el tiempo caracterı́stico
T de paso de un átomo al otro. Puede aproximar A por A ∼ |E0 |e−K∆ . En un sólido se
tiene normalmente: ∆ = 2Å, |E0 | = 4 eV y en un gas ∆ = 30Å y |E0 | = 4 eV
21
9.0.8.
Solución
En la siguiente figura (a la izquierda) se muestran las funciones de onda φS (simétrica) y
φA (antisimétrica). Estas representan los dos estados de menor energı́a posible para la molécula
de amonı́aco (EA < ES ). La función de onda ψD (x) corresponde a una combinación de φS y
φD que concentra la probabilidad de prescencia a la derecha del átomo de N (Análogamente,
ψG (x) es un estado en el cual los átomos de H están a la izquierda de N ). Estos dos estados
representan entonces las dos situaciones que uno observa en mecánica clásica: los átomos de H
están o bien a la derecha (ψD ), o a la izquierda (ψG ) del nitrógeno.
La evolución vendrá dada por:
1
ψ(x, t) = √ ψS (x)e−iES t/~ + ψA (x)e−iEA t/~
2
e−iES t/~
√
ψS (x) + ψA (x)e−iωt
2
Donde hemos introducido la ((frecuencia de Bohr)) ~ω = EA −ES = 2A Ası́ después de un tiempo
t = π/ω = π~/(2A) la función de onda es proporcional (por una fase) a ψG es decir, la partı́cula
se encuentra ((a la izquierda)). Luego en un tiempo t = 2π/ω la función de onda es proporcional
a ψD , es decir, vuelve a la derecha. Es decir, la superposición representa una partı́cula que oscila
de derecha a izquierda con frecuencia ω. Esto es posible gracias al efecto túnel: clásicamente, si
inicialmente la partı́cula se encuentra a la derecha, permanecerá para ahı́ indefinidamente. La
molécula de amoniaco, preparada de esta manera se da vuelta periodicamente con frecuencia
angular ω. Esto es conocido como la inversión de la molécula de amoniaco. La cantidad A
controla la frecuencia de oscilación. En el caso del amoniaco la cantidad A es pequeña: 2A ∼
10−4 eV . En consecuencia:
ψ(x, t) =
ν=
ω
2π
=
2A
= 24GHz
h
T =
1
h
=
' 4, 2 × 10−11 s
ν
2A
Esta frecuencia de oscilación está asociada también a la emisión o la absorción de una onda
electromagnética por parte de la molécula de N H3 . En este caso, la longitud de onda se sitúa en
el dominio centimétrico (λ ∼ 1, 25cm). Gracias a esta oscilación se puede detectar la presencia
de este elemento en el medio interestelar.
Extensión al caso p
de un sólido En el caso de un sólido tenemos que A ∼ |E0 |e−K∆ y
aproximaremos K = 2m|E0 | Para un sólido entonces:
|E0 | = 4 eV
T = 10−15 s
∆ = 2Å
A = 1 eV
22
Comparamos con un gas:
|E0 | = 4 eV
T = 10−3 s
∆ = 30Å
A = 10−12 eV
Vemos que el paso por efecto túnel para los electrones de valencia es importante en el
caso de los sólidos. Estos electrones saltan rápidamente de un sitio a otro y entonces están
completamente deslocalizados en la estructura cristalina. En cambio, en el caso de un gas el
fenómeno es completamente despreciable, debido a que por la agitación térmica dos átomos en
un gas se encuentran a una distancia de 30Å durante un tiempo inferior a 10−10 s, luego el
efecto túnel (perı́odo 10−3 s en este caso) no alcanza a ser apreciable en un tiempo tan pequeño:
la idea de que en un gas cada electrón pertenece a una molécula se justifica perfectamente.
El hecho principal, es que A varı́a exponencialmente, es decir, muy rápidamente con ∆ y
K. Por ejemplo, en el caso macroscópico, donde ∆ y K son grandes, los tiempos T asociados al
efecto túnel son tan increı́blemente largos que se puede decir con seguridad que si una partı́cula
comienza a la derecha en el instante inicial, se queda ahı́ indefinidamente.
23