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CAP. 1.1
Línea Recta
La Geometría plana, que estudia las figuras
geométricas cuyos puntos, están en un mismo plano. Por ejemplo:
Geometría del espacio, que estudia las figuras geométricas cuyos puntos están en más
de un plano. Por ejemplo:
Actualmente la geometría, en sus diversas concepciones, tiene muchas aplicaciones como,
en la ingeniería y arquitectura.
Las construcciones de casas, edificios, puentes,
puertos, etc. se han potenciado enormemente
desde que contamos con la computadora.
Durante estos últimos 30 años han surgido nuevas aplicaciones tecnológicas de la geometría
euclidiana que se ven plasmados en softwares
especializados como son: el Autocad, 3D Studio Max, Arq Cad, etc.
1.1.1. Geometría
Es una ciencia que surge de la necesidad de medir los terrenos y trazar sobre ellas líneas divisoras. La palabra geometría deriva de dos palabras griegas geo, que significa tierra y metron,
que significa medir. Para los egipcios el sistema de medir la tierra era puramente práctico y no
tenía otro interés que el de su utilidad, es decir, desarrollaron una geometría empírica.
Para los griegos los problemas de medición y de trazado, resueltos por los egipcios, sirvieron de
base para transformar la geometría en una verdadera ciencia; ellos reunieron los conocimientos diseminados y empíricos para luego darles el verdadero sentido racional y sistemático.
Entre los primeros geómetras griegos podemos citar a Thales de Mileto (600 años a.C); Pitágoras (570 años a.C.) y Euclides (300 años a.C.); este último es probablemente el escritor de mayor éxito de todos los tiempos pues llega a escribir una obra en 13 tomos titulada «Elementos»
(el de la imagen) el cual es un tratado de geometría y de teoría de los números que, después de
la Biblia, tuvo la mayor difusión en todos los idiomas y por más de 2000 años fue la base del
estudio de la geometría. En esta obra estableció, en forma sistemática, los fundamentos de la
geometría elemental partiendo de definiciones, postulados y axiomas con los cuales demuestra
teoremas, que a su vez le sirven para demostrar otros teoremas.
Hoy en día existen diversas geometrías como la geometría
proyectiva, la geometría descriptiva, la geometría analítica, las geometrías no euclidianas, la geometría axiomática
desarrollada por el gran matemático inglés David Hilbert
(1862 - 1943).
1.1.2. Nociones Básicas
1.1.2A. El punto
El punto o punto geométrico es un concepto abstracto que denota posición en el espacio, que
no posee ni longitud, ni anchura ni espesor.
El punto geométrico es la porción de espacio más pequeña que pueda suponerse. En la práctica se señala
la posición de un punto geométrico por un punto de
escritura ( · ) o por la intersección de dos trazos (×) y
se nombran por letras del alfabeto. El trazo elaborado
para representar al punto se llama punto gráfico que, a
diferencia del punto geométrico, sí tiene tamaño.
Observación.- Si A y B son puntos diferentes se denota A ≠ B. Debe quedar claro que la notación A = B, corresponde al caso en el que los puntos A y B denotan una misma ubicación, es
decir, corresponden a un mismo lugar.
1.1.2B. La línea recta
En primer lugar a la línea la podemos comprender
como un punto, recorriendo el espacio, que no tiene
grueso alguno, pero sí longitud o largo.
Las líneas se nombran generalmente por las letras
correspondientes a dos o más de sus puntos. En la
 , la
figura: la línea que pasa por A y B se
denota AB
línea que pasa por C y D se denota CD .
Para su mejor estudio la geometría se ha dividido en dos
ramas:
La línea recta, o simplemente recta, es la línea cuyos trozos o partes pueden superponerse
exactamente, cualesquiera que sea el tamaño de dichos trozos y con la sola condición de que
coincidan sus extremos.
10
Und. 1 - Introducción a la Geometría
Geometría
11
Asimismo, una recta puede pensarse como un conjunto
infinito de puntos. El concepto geométrico abstracto de
recta puede visualizarse en forma física como un hilo tenso que se extiende infinitamente en ambas direcciones.
La línea curva, o simplemente curva, es toda línea cuyos
trazos o partes no son rectilíneos.
OBJETO
Puntos Colineales
Tres o más puntos se llaman colineales o alineados, si
hay una misma recta que los contiene.
1.1.2C. El plano
Nuestra noción intuitiva de un plano geométrico es la de una superficie llana, lisa, que se extiende infinitamente en todas las direcciones de la superficie.
Un plano es un conjunto de puntos tal que si una recta tiene en común con ella dos de sus puntos, los tiene comunes todos, es decir, la recta estará contenida completamente en el plano.
Un plano se puede representar por medio de la superficie que forma el agua en calma de un
lago, de un espejo llano o una pared lisa, como la parte superior de un pupitre, el piso de la
sala de una casa, una hoja de papel o una lámina de vidrio. Todas sugieren la idea geométrica
abstracta de un plano o, más precisamente, de una porción de plano.
En la figura se muestra un plano Q, denotado por Q, en el
cual se ubican tres puntos: A, B y P.
Estospuntos están contenidos en la recta L, denotada por L , y K es otra recta ubicada en el plano Q. Luego se pueden establecer relaciones
de pertenencia e inclusión entre estos elementos:
 


 


Rayo
Los puntos A, B y C son colineales.

Si A y B son dos puntos de una recta L , se define
el rayo AB, con extremo «A», denotado por
, como
el conjunto de puntos que resulta de la reunión del
segmento AB y de todos los puntos «P», tal que «B»
está comprendido entre «A» y «P».
= AB ∪ { P | B está entre A y P}
Asimismo, si el punto «A» está entre «B» y «C», se dice
que
y
son dos rayos opuestos.
Semi Recta
Una semirrecta es un rayo sin su extremo. La semirrecta AB se denota por
.
=
– {A}
1.1.4. Postulados y Distancia

A ∈ L ; B∈ L ; P ∈ L ; L ∈ Q ; K ∈ Q ; L ⊂ Q ; K ⊂ Q
L y K se llaman rectas coplanares. En base a las nociones fundamentales de: punto, recta y
plano, de las definiciones de espacio y figura geométrica, de un conjunto de postulados y del
lenguaje conjuntista; los geómetras han construido la ciencia de la geometría.
1.1.3. Definiciones Básicas
1.1.4A. Postulado
Los postulados, llamados también axiomas, son proposiciones que expresan propiedades que
satisfacen determinados puntos, rectas o planos, cuya verdad se admite sin pruebas, y que
sirven de base a posteriores razonamientos.
OBJETO
EJEMPLIFICACIÓN
1.1.4B. Postulados de la distancia
1er.- A cada par de puntos diferentes le corresponde un único número positivo, llamado distancia entre los dos puntos.
Espacio Geométrico
El espacio, lo podemos comprender como lo que llena u
ocupa todo el universo.
2do.- Entre el conjunto de los puntos de una recta y el conjunto de números reales, existe una
correspondencia biunívoca, de forma que a cada punto le corresponde un número.
«F» es una figura cerrada
con forma y tamaño, y «P»
es un punto de ella. «G»
es una figura abierta.
3er.- Dados dos puntos A y B de una recta, es posible elegir un sistema de coordenadas de
manera que la coordenada de A coincida con el cero y la de B con un número real positivo.
Es el conjunto formado por todos los puntos.
Figura
Es un subconjunto del espacio formado por líneas o
superficies, abiertas o cerradas, respectivamente, con
forma y posición.
Ejemplo.- Mostremos la distancia entre A
y B mediante una regla graduada en cm.
Segmento de Recta
El segmento de recta se define como el conjunto de
puntos comprendido entre otros dos de una misma
recta y de valor equivalente llamados extremos. Un
segmento con extremos A y B se denota por AB o
bien BA.
12
EJEMPLIFICACIÓN
Geometría

El segmento AB define a la recta AB de un modo único. Asimismo se dice que un punto «P» está «entre» A
y B si P ∈ AB.
Entre A y B hay una distancia, denotada
por AB, que está dada por el valor que
le corresponde a «B» en la regla, de este
modo AB es siempre un número positivo.
Observación.- Según estos axiomas, a todo segmento AB le corresponde un número real positivo AB llamado su longitud o distancia entre los puntos A y B.
Und. 1 - Introducción a la Geometría
13
1.1.5. Definición de Segmento Nulo
Si A = B, el segmento AA se compone de un solo punto, de este modo, un segmento AB es nulo
si se verifica que está compuesto de un solo punto.
Según esta definición se infiere que la longitud de un segmento nulo es cero, lo cual se denota
así:
AA = {A} , AA = 0
1.1.6. Propiedades de la Distancia
Sean A, B, C y D un conjunto de puntos ubicados en un mismo plano, entonces se cumple
que:
1ra.- AB = BA
2da.- Si A ≠ B, se verifica que: AB > 0
3ra.- Un punto C se encuentra en el segmento AB
sí y sólo si:
Por condición: AB + BC + CD = 15
Luego: x + 3 + x = 15 → x = 6
1.1.7. Congruencia Geométrica
1.1.7A. Definición
La congruencia geométrica o congruencia de figuras se define como la relación biyectiva por
medio de la cual se establece que dos o más figuras tienen la misma forma y tamaño.
La congruencia de dos figuras F y G se denota así: F @ G,
que se lee: La figura F es congruente con la figura G.
1.1.7B. Congruencia de segmentos
Dos segmentos AM y MB, se dice que son congruentes, lo cual se denota como: AM @ MB,
cuando sus longitudes tienen igual valor.
Ejemplo.- En la figura se muestra un rectángulo, entonces se puede decir que:
AC + CB = AB
Esta expresión se llama suma de segmentos.
4ta.- Para todo punto D que no se encuentra en el
segmento AB se cumple la desigualdad:
AD + DB > AB
llamada desigualdad triangular.
Ejemplo 1.- En la siguiente figura mostramos un conjunto de segmentos:
Entonces se puede decir que: AB = 5; BC = 3; CD = 5 ; DE = 3
Además: AB + BC = 8 ; CD + DE = 8
También: AB + CD = 10; BC + DE = 6
Asimismo:
AC = CE
Finalmente:
AE = 5 + 3 + 5 + 3 = 16
Ejemplo 2.- Si A, B C y D son puntos colineales y consecutivos de modo que: AB = CD, BC = 3 y
AD = 15, determinamos AB.
Sea AB = x, entonces elaboramos un diagrama indicando los datos para identificar una relación
entre éstos y la incógnita «x»:
14
Geometría
Los lados congruentes son: AB @ CD ∧ AD @ BC
Las diagonales congruentes: AC @ BD
Observación.- En matemática, la congruencia no se reduce a una igualdad de formas y tamaños, es además un tipo de relación binaria, cuya aplicación se proyecta hacia los números,
funciones, matrices, etc.
1.1.7C. Punto medio de un segmento
Un punto «M» se llama punto medio de un segmento AB, si «M» está entre A y B, tal que:
AM @ MB ∧ AM = MB
Ejemplo.- En la figura mostramos un segmento AB y su punto medio «M».
En este ejemplo los segmentos AM y MB son congruentes dado que:
AM = MB = a
Und. 1 - Introducción a la Geometría
15
APÉNDICE 1
Algunos autores prefieren definir los objetos de estudio de la Geometría según el siguiente
orden:
A. Definiciones
1ro. Se llama espacio geométrico, en adelante simplemente espacio, al conjunto formado por
todos los objetos de la geometría.
01.- Anota todas las rectas posibles que determinan los puntos indicados.
2do. Se llama cuerpo geométrico a una porción completamente limitada del espacio.
MN ⊂
3ro. Se llaman superficies a los límites de los cuerpos y también a los límites que separan una
de otra dos partes de un cuerpo.
4to. Se llaman líneas a los límites de las superficies y también los de dos porciones de una
superficie.
5to. Los puntos son los límites de las líneas o de dos porciones de una línea.
P se extiende indefinidamente ( )


MN ∈


MN ⊂


A∈
02.- A partir del siguiente gráfico, escribe el resultado de cada operación conjuntista.
Según este orden de definiciones se procede a afirmar que:
P ....................................... ( )
Q ....................................... ( )
P ....................................... ( )
P ....................................... ( )


P∩
Q = MN .......................... ( )
BC ⊂
P ....................................... ( )

A⊂
P ....................................... ( )
04.- Se tiene la siguiente recta:
a) Un punto que se mueve engendra una línea, ésta, moviéndose, engendra una superficie, y
el movimiento de una porción de superficie engendra un cuerpo geométrico.
b) Un conjunto cualquiera de puntos, de líneas, de superficies o de cuerpos geométricos se
llama figura geométrica.
B. Línea Recta
La línea recta, o simplemente recta, se define como aquella figura que se prolonga indefinidamente en sus dos direcciones y que satisface las siguientes condiciones:
1ra. A toda línea recta se la puede hacer coincidir con cualquier otra línea recta, de modo que
un punto cualquiera de la primera coincide con un punto cualquiera de la segunda.
2da. Por dos puntos, del espacio, puede pasar una recta y solamente una.
Según esta definición, dos rectas diferentes no pueden cortarse más que en un punto. Obsérvese que si tuvieran dos puntos comunes, o más, ya no serían distintas.
C. Líneas No Rectas
c1) Línea quebrada.- Es la que está formada por porciones de líneas rectas distintas.
c2) Línea curva.- Es la que no tiene ninguna porción rectilínea.
c3) Línea mixta.- Es la que se compone de porciones de línea recta y línea curva.
Escribe entre paréntesis (V) o (F), según sean
verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
*
*
*
*
*
 
AB ∩ CD =  
AD ∩ BC =  

DE ∩ AC =  

AB ∩ AC =  
 
AB ∩ AC ∩ DA
 
( )
( )
( )
( )
=
* CE ∩ BE = 03.- Si P y Q son dos planos diferentes, escribe
(V) si es verdadero o (F) si es falso en cada una
de las operaciones.
a. A, B y C ..... ( ) b. A, G y F ..... ( )
c. A, D y C ..... ( ) d. G, B y D ..... ( )
e. D, C y F ..... ( ) f. G, B y A ..... ( )
Adaptado de: Curso de Geometría, Dr. Luciano Olabarrieta,
Editorial El Mensajero del Corazón de Jesús, Bilbao 1944,
3ra Edición.
Geometría
( )
05.- Según el gráfico escribe «C» si los puntos son
colineales y «NC», si son no colineales.
D. Plano
Se llama plano a una superficie que se extiende indefinidamente en todas direcciones y en
el que toda recta que tenga con ella dos puntos comunes, está toda ella contenida en dicha
superficie.
16
( )
g. D, B y G ..... ( ) h. B, D y C ..... ( )
Und. 1 - Introducción a la Geometría
17
06.- Observa, identifica y escribe todos los rayos,
semirectas y segmentos que hay en la gráfica.
Rayos: ________________________
09.- Ubica gráficamente el punto medio de cada
segmento, compruébalo mostrando con tu regla
los segmentos determinados.
Semirectas: ________________________
Segmentos: ________________________
07.- La figura muestra cuatro puntos colineales y
consecutivos A, B, C y D.
Calcula:
10.- Usando la abertura de un compás compara
los segmentos y anota el que es congruente al
segmento dado.
a. AB + CD = _____________
Prob. 01
Prob. 03
En una línea recta se ubican los puntos A, B y C
en el orden indicado, tal que AC + BC = 10. Si
«M» es el punto medio de AB, calcular MC.
Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E de manera que «C» es
punto medio de AE y AC = BD. Si además se
sabe que: AD – DE = 8, calcular AB.
Graficando y ubicando los datos, donde
«M» es el punto medio de AB, entonces:
AM = MB = a, además haciendo MC = x, se
tiene:
Considerando la gráfica adjunta la incógnita es AB = x.
Como «C» es punto medio de AE, entonces:
Por dato: AC + BC = 10
 
a + x + x – a = 10
AC = CE = a
2x = 10 \ x = 5
b. AC + BD = _____________
d. AB · BD = _____________
AB @ ____
BC @ ____
CD @ _____
e. (AB – BC) · (CD – BC) = _____________
DE @ ____
JK @ ____
FG @ _____
f. 2AB + 3BC = _____________
11.- Con respecto al siguiente gráfico:
A, B, C, D y E son puntos colineales y consecutivos de tal manera que B, C y D son puntos
medios de AC, AE y BE respectivamente. Si
CD = 2, calcular AE.
Graficando y haciendo AB = BC = a, entonces: AC = CE = 2a y BD = DE = a + 2.
08.- Para determinar de forma gráfica (con compás)
el punto medio de un segmento se procede así:
II. Se traza una recta por los puntos de intersección de los arcos.
III. El punto medio «M» de
AB está dado por la intersección de la recta CD , llamada mediatriz,
con el segmento dado.
Y en (*): (x + a) – (a – x) = 8
x + a – a + x = 8
\ x = 4
Prob. 04
g. 2AC + 4AD = _____________
I. Haciendo centro en «A» y «B», se trazan dos
arcos de la misma abertura.
También:
AD − DE = 8 . . . (*)
 
AD = x + a y DE = AE – AD = a – x
Prob. 02
c. BD – AC = _____________
Por dato:
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C de modo que BC = 2AB. Si
AC = 24, calcular AB.
Calcula y escribe las longitudes de:
a. FG = _____ b. BC = _____
c. BE = _____ d. AC = _____
Nos piden: AE = 4a . . . (1)
e. CD = _____ f. CG = _____
Del gráfico: 2a = 2 + a + 2 → g. AG = _____ h. BF = _____
Sustituyendo en (1): AE = 4(4)
Elaboramos una gráfico indicando los datos
y condiciones del problema:
a=4
\ AE = 16
18
Geometría
Und. 1 - Introducción a la Geometría
19
Según la gráfica adjunta reconocemos que
la incógnita es AB = x y BC = 2x. Utilizando
la adición de segmentos se tiene:
AB + BC = 24
 
→ x + 2x = 24
3x = 24
\ x = 8
Reemplazando en la condición:
AB ⋅ BD = AC ⋅ CD
   
6(a + x) = (6 + a)x
6x + 6a = 6x + ax
En una recta se eligen los puntos consecutivos A, B, C y D de manera que: CD = 3AB,
AD = 5BC. Calcular BD sabiendo además que
AC = 6.
→ AB = 2a
Luego en el dato: 3 AC − BC = 20
 
Reemplazando: 3(2a + b) – b = 20
6a + 3b – b = 20 → \ x = 6
3a + b = 10 \ x = 10

x
En la recta se eligen los puntos consecutivos A, B, C y D de manera que se cumple:
AB = BC = CD y AD = 60. Calcular AB.
3
2
6a + 2b = 20
Prob. 09
En la recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, C, D y E de tal forma que las medidas
de los segmentos AB, BC, CD y DE están
en progresión aritmética de razón 1. Además
AE = 46, calcular AB.
Graficando según los datos:
Graficando según las condiciones:
Según la gráfica: AB = b y BC = a
Condición: AB = BC = CD
3
2
Luego se establece que: x = a + 3b
Si: CD = a Del gráfico: 5a = b + a + 3b Según el dato AD = 60, luego se tiene que:
→ a = b
Como el segmento AC = 6 → Si: CD = a 6a = ax
Prob. 07
Prob. 05
Condición: AB = 2CD
a=b=3
→ AB = 3a ∧ BC = 2a
3a + 2a + a = 60 → a = 10
AB = x, BC = x + 1, CD = x + 2 y DE = x + 3
Del dato: AE = 46 → 4x + 6 = 46
Prob. 08
Prob. 10
Sobre una recta se ubican 3 puntos consecutivos A, B y C tal que la distancia entre los puntos medios de AB y AC es 36. Calcular BC.
Considerando la gráfica adjunta la incógnita es BC = x. Por dato:
N es punto medio de AC → AN = NC = b
Geometría
x = 72
Prob. 11
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C de modo que AC = 30. Determinar la distancia entre los puntos medios de
AB y BC.
AM = MB = a y BN = NC = b
Del gráfico reconocemos que:
MN = MB + BN



x = a + b
Se observa que: AC = a + a + b + b
 
30 = 2 ( a + b )

→
30 = 2· x \ x = 15
Prob. 12
M es punto medio de AB → AM = MB = a
20
De (2) en (1):
Haciendo además que:
Prob. 06
Considerando la gráfica adjunta, la incógnita es x = 3a + b.
Asimismo: b – a = 36 . . . (2)
Como AB, BC, CD y DE se encuentran en
progresión aritmética de razón 1, entonces:
4x = 40 \ x = 10
Graficando y ubicando los datos, establecemos que: CD = x y BC = a.
→ x = 2(b – a) . . . (1)
Graficamos los puntos medios M y N de AB
y BC respectivamente, donde MN = x.
Además: x = 3a = 3(10) \ x = 30 m
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que: AB = 6. Si:
AB · BD = AC · CD, calcular CD.
x = 2b – 2a Considerando la gráfica adjunta la incógnita es AB = x.
\ x = 12
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que AB = 2CD y además:
3AC – BC = 20. Calcular AD.
Según la gráfica se verifica que:
Und. 1 - Introducción a la Geometría
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C de modo que AC = 10 y BD = 12.
Determinar la distancia entre los puntos medios de AB y CD.
21
Observando el gráfico, establecemos que:
Graficamos los puntos medios M y N de AB
y CD respectivamente, donde MN = x.
FD = x + b → MF = x + b
También: (x + b) + x = a + b
2x = a . . . (1)
Prob. 15
Y al sustituir en la condición dada se tiene:
Prob. 17
Haciendo AB = a y CD = b, elaboramos la
siguiente gráfica:
Sobre una línea recta se ubican los puntos
consecutivos M, N, P, Q, tal que: PQ = 3NP
y 3MN + MQ = 4. Determinar la longitud de
MP.
Por dato: AB = 12

→ 2a = 12
Haciendo además que:
AM = MB = a , BC = c y CN = ND = b
a = 6 . . . (2)
→
Reemplazando (2) en (1): x = 3
Del gráfico reconocemos:
MN = MB + BC + CN




x = a + c + b
Se observa que: 2a + c = 10
2b + c = 12
Prob. 14
Sobre una línea recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, verificándose que:
AC + BD = 5(AB + CD) y AD = 12. Calcular
BC.
2x = 22 \ x = 11
Prob. 13
Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, D y luego se ubican «M»
y «N» que son los puntos medios de AB y BD
respectivamente. Si AB = 12, calcular FN,
siendo «F» el punto medio de MD.
Graficando y ubicando los datos y la incógnita FN = x, se tiene:
En la gráfica elaborada, hemos indicado
que:
BC = x
Además hemos establecido que:
AB = a y CD = b
Por condición: AC + BD = 5( AB + CD )
 
 
(a + x) +(x + b) = 5(a + b)
→ 2x = 4a + 4b → x = 2a + 2b
→ a + b = x . . . (1)
2
Por dato:
M es punto de AB → AM = MB = a
→
a + b = 10 . . . (1)
x + x = 12
2
F es punto medio de MD → MF = FD
\ x = 8
Como PQ = 3NP, hacemos:
NP = a ∧ PQ = 3a
Elaboramos un gráfico en el que MP = x.
También: AB – CD = 2
De (1) ∧ (2): a = 6 ∧ b = 4
Nos piden: AB· CD = (6)(4)
\ AB· CD = 24
Prob. 16
De este gráfico deducimos que:
MN = x – a ∧ MQ = x + 3a
En la condición: 3 MN + MQ = 4
 
3(x – a ) + (x + 3a) = 4

Sobre el rayo OY se ubican los puntos A, B y
C consecutivamente de modo que los puntos
A y B distan del origen «O», «a» y «b» respectivamente. Calcular la longitud de OC, si:
AC + BC = 3
AB
2
Graficando de acuerdo con los datos dados
reconocemos que la incógnita es OC = x.
3x – 3a + x + 3a = 4
→ 4x = 4 \ x = 1
Prob. 18
Sobre una línea recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C; y luego se ubican los
puntos medios M y F de AB y MC respectivamente. Si: AB + FC – AM = 22, calcular AF.
Graficando según los datos la incógnita es:
AF = x
De la figura: a + x + b = 12 . . . (2)
(1) en (2):
Geometría
Del gráfico: (a + 4) + (4 + b) = 18
Por dato: AD = 12

N es punto medio de BD → BN = ND = b
22
En la condición: AC + BD = 18
 
→ a – b = 2 . . . (2)
Sumando las igualdades: 2(a + b + c) = 22
→ ( x − a) + ( x − b ) 3
= \ x = 5b − a
4
b−a
2
En una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: BC = 4,
AC + BD = 18 y AB – CD = 2. Calcular:
AB · CD.
De donde se deduce que:
AC = x – a , BC = x – b y AB = b – a
Und. 1 - Introducción a la Geometría
23
Por dato «M» es punto medio de AB.
→ AM = MB = a
F es punto medio de MO → MF = FC = b
Graficando y ubicando datos la incógnita es
BC = x.
Por operaciones con segmentos: x = a + b
Por datos: AB + FC − AM = 2
  
Sustituyendo: 2a + b – a = 2
→ a + b = 2
\ x = 2
Prob. 19
Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y luego se toman «M» y
«F» puntos medios de AB y CD respectivamente. Si: AC + BD = 50, calcular MF.
Por datos:
M es punto medio de AB → AM = MB = a
Prob. 24
Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C, D tal que: BC = CD y
AC · BC = 20. Determinar: AD2 – AB2.
Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: CD = 2AB; AB = a
y BD = b. Determinar AC.
Graficando y ubicando datos:
Graficando y ubicando los datos, la incógnita es: AC = x.
Como CD = 4AC, luego si:
AC = a → CD = 4a
Por operaciones con segmentos:
BD = x + 4a ∧ AB = a – x
En la condición: BD – 4AB = 20
→
(x + 4a) – 4(a – x) = 20
→ x + 4a – 4a + 4x = 20
\ x = 4
Prob. 21
Elaboramos una gráfica indicando los datos
y la incógnita MF = x.
Prob. 22
Sobre una línea recta se consideran los puntos
A, B, C, de forma que «Q» es punto medio de
AC. Si BC – AB = 6, calcular BQ.
Graficando y ubicando datos la incógnita
es:
BQ = x
Sea: AB = a y BC = b
Como: BC = CD → CD = b
Como: CD = 2AB → Por dato: AC· BC = 20
→
Por operaciones con segmentos:
(a + b)· b = 20 . . . (1)
2
2
Piden: AD – AB → 2
CD = 2a
2
(a + 2b) – a
Luego: 4b( a + b ) . . . (2)



20
\ AD2 – AB2 = 80
Prob. 23
Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C y D tal que se cumple:
AB · BD = AC · CD y AB = 8. Determinar
CD.
x + 2a = a + b \ x = b – a
Prob. 25
Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C, D, E y F tal que:
AC + BD + CE + DF = 91 y BE = 5 AF
8
Calcular AF.
Graficando y ubicando datos:
Graficando y ubicando datos, la incógnita es:
CD = x.
F es punto medio de CD → CF = FD = b
Condición: AC + BD + CE + DF = 91
Sea: BC = c
Según la gráfica: x = a + c + b
\ x = 25
Prob. 20
Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C, D tal que: CD = 4AC y
BD – 4AB = 20. Calcular BC.
24
Geometría
Como «Q» es punto medio de AC.
→ AQ = QC = a
Del gráfico: AB = a – x
Por dato:
BC − AB = 6

(x + a) – (a – x) = 6
x + a – a + x = 6 \ x = 3
Sea: BC = a
Por suma de segmentos: BD = a + x
AC = 8 + 2
Condición:
AB ⋅ BD = AC ⋅ CD
   
Reemplazando: 8(a + x) = (8 + a)x
del gráfico: a + b + b + c + c + d + d + c = 91
a + b + c + d + e + b + c + d = 91
 

Reemplazando:
Sustituyendo:
AF + BE = 91
AF + 5 AF = 91
8
8a + 8x = 8x + ax
→ 13AF = 91· 8
\ x = 8
\ AF = 56
Und. 1 - Introducción a la Geometría
25
Prob. 26
Observamos que el valor máximo de «K» se
A, B, C y D, son puntos colineales y consecutivos con la condición que AB = 2(BC) = 3(CD).
Sean P y Q puntos tales que P ∈ AB ∧ Q ∈ CD,
si AP – CQ = 40 y PB @ QD. Calcular PQ.
En un diagrama ubicamos los puntos dados.
Del dato: 7(PC) = 3(PD) + 4(PB) . . . (*)
Como: PC = PA + AC; PD = PA + AD
Elaboramos el diagrama correspondiente
indicando los datos del problema:
( )
2
obtiene cuando x − a sea mínimo para lo
2
cual x − a , debe ser cero, de donde:
2
x = a l.q.q.d.
2
Prob. 29
y: PB = PA + AB
Reemplazando en (*) se tiene:
7(PA + AC) = 3(PA + AD) + 4(PA + AB)
7PA + 7AC = 3PA + 3AD + 4PA + 4AB
Reduciendo: 7AC = 3AD + 4AB
Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C y D, tal que: AB + CD = 12,
luego se ubican «M» y «N» que son los puntos medios de AC y BD respectivamente. Calcular MN.
→ BC = 3a ∧ CD = 2a
Además hacemos que: PB = QD = b
Luego del gráfico: x = b + 3a + 2a – b
→ x = 5a . . . (1)
Sustituyendo: 7AC = 7 \ AC = 1
Sustituyendo: 6a – b – (2a – b) = 40
Ubicamos los puntos A, M y B en una línea
recta que a continuación representamos
gráficamente.
Como «M» es punto medio de AC, deducimos que:
AM = MC = a
Del mismo modo «N» es punto medio de
BD, luego:
BN = ND = b
Del gráfico se observa: AB = a + x – b
CD = b + x – a
En la condición: AB + CD = 12
Hacemos que: AB = a ∧ AM = x
(a + x – b) + (b – x + a) = 12
\ x = 50
Para demostrar que «M» es el punto medio
de AB bastará demostrar que x = a .
2
Sea: K = AM· MB
→ 2x = 12 \ x = 6
26
Geometría
→
Como AD = a + x ; CD = x – a y AC = 2a
( x + a) + ( x − a) +
Reemplazando (2) en (1): x = 5(10)
En una línea recta se ubican los puntos consecutivos P, A, B, C y D; con la condición que:
7(PC) = 3(PD) + 4(PB) y 3(AD) + 4(AB) = 7.
Calcular AC.
2
(AC )
= 49 . . . (*)
4
Dado el segmento AB y un punto «M» perteneciente a él. Demostrar que el producto AM · MB
es máximo sí y sólo si «M» es el punto medio
de AB.
a = 10 . . . (2)
Prob. 27
AD ⋅ CD +
K = x(a – x) = -(x2 – ax)
( ) − a4  = a4 − ( x − 2a )

→ K = -  x − a
2

2
2
2
2
Prob. 30
2
( 2 a)
= 49
4
2
x − a + 4 a = 49
4
2
4a = 40
→
Graficando y ubicando los datos, la incógnita es MN = x.
Prob. 28
Por condición del problema:
AP – CQ = 40
Por condición del problema:
Sustituyendo en (*):
Pero: 3(AD) + 4(AB) = 7
Consideremos que: AB = 6a
Graficando y considerando AB = BC = a y
BD = x, se tiene:
2
x2 – a2 + a2 = 49
x2 = 49
\ x = 7
Prob. 31
Dados los puntos colineales y consecutivos: P,
Q, R, S, T, U, tal que:
QR RS ST TU
y PR = 9
PQ =
=
=
=
2
3
4
5
Calcular PU.
Graficando y considerando PQ = a, se obtienen:
QR = 2a ; RS = 3a ; ST = 4a y TU = 5a
A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos tal que «B» es el punto medio de AC y
AD ⋅ CD +
2
(AC)
= 49 . Calcular BD.
4
Und. 1 - Introducción a la Geometría
27
Nos piden: PU = a + 2a + 3a + 4a + 5a
→ PU = 15a . . . (*)
Del gráfico: a + 2a = 9 → a = 3
Sustituyendo en (*): PU = 15(3)
Entonces al reemplazar en (*):
Construimos un esquema donde ubicamos
los puntos y los datos correspondientes,
además hacemos PR = b; PQ = a y QS = c.
AD· AC - AC2 - AD· BC + BC· AC = AD· BC
Ubicamos los sumandos convenientemente
y factorizamos AC:
\ PU = 45
2
(AC) = AC(AD + BC) – 2AD· BC
Prob. 32
A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos de modo tal que AB · CD = AD · BC,
AB · BC = x, AD · CD = y. Calcular BD.
Esquematizamos el problema y ubicamos
los datos correspondientes.
Haciendo:
BD = a → BC = a – CD ∧ CD = a – BC
Sustituyendo en la primera condición:
AB(a – BC) = AD(a – CD)
AB· a – AB· BC = AD· a – AD· CD
2
Por condición del problema: b = ac de la
expresión:
7(RS )(PR ) + (PQ )(PR ) − (QS )(RS )
M=
(RS )(PR )
M =7+
PQ ⋅ PR − QS ⋅ RS
RS ⋅ PR
( a − c )b − c( a − b )
Sustituyendo: M = 7 +
( a − b )b
Operando: M = 7 + ab − bc − ac + bc
( a − b )b
ab
−
ac
Reduciendo: M = 7 +
( a − b )b
2
Reemplazando: M = 7 + ab − b 2 = 7 + 1
ab − b
\ M = 8
Reemplazando: AB· a – x = AD· a – y
Prob. 34
Agrupando y factorizando:
En una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C y D que forman una
cuaterna armónica. Si: AB = AD , se cumple
BC CD
2
k
+
1
1
1
=
+
− 2 .
que:
AD ⋅ BC BC AD k + 2
Calcular AC, sabiendo que la medida de AC y
«k» son números primos.
y – x = a(AD – AB)
Pero: AD – AB = a
2
Luego: y – x = a \ a = y − x
Prob. 33
P, Q, R y S son puntos ubicados en una línea
recta en forma consecutiva tal que PR es media proporcional entre PS y QS. Calcular el
valor numérico de la expresión:
7( RS)( PR ) + ( PQ)( PR ) − (QS)( RS)
M=
( RS)( PR )
28
AC − BC = AD
BC
AD − AC
Geometría
Del gráfico se observa que:
AB = AC – BC y CD = AD – AC
Dividiendo ambos miembros por:
AC· BC· AD
Se tendrá:
AC = 1 + 1 − 2
AD ⋅ BC BC AD AC
Comparando esta expresión con el dato:
2k + 1 = 1 + 1 = 2
AD ⋅ BC BC AD k + 2
Se tiene: AC = 2k + 1 = k + 2 → k = 1
\ AC = 3
Prob. 35
En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A1 , A2 , A3 , A4 , A5 y así sucesivamente. Si:
A1 A2 = 5; A2 A3 = 1; A3A 4 = 1 ; A 4 A5 = 1 ;
5
25
...; calcular el límite de la suma de las medidas
de estos segmentos consecutivos.
Graficamos y ubicamos los puntos así como
los valores numéricos correspondientes.
S = 1er término → S = 5
1 − razón
1− 1
5
5
25
S = \ S =
4
4
5
Prob. 36
En una recta se consideran los puntos consecutivos A1 , A2 , A3 , A4 , ....., An de modo que
se determinan (3n – 201) segmentos consecutivos los cuales tienen sus medidas relacionadas por:
A1A 2 = 1 (A 2 A3 )= 1 (A3A 4 )=...= 1 (A n−1A n )
2
3
n −1
si A23 A67 = 9790. Calcular A1 An .
Graficamos y ubicamos los datos respectivamente así como los valores de los segmentos: A1A2 = a , A2A3 = 2a , A3A4 = 3a .....
y An – 1An = (n – 1)a
Nos piden calcular:
A1An = a + 2a + 3a + ... + (n – 1)a
→ A 1A n = a n(n − 1) . . . (1)
2
Por dato: A23A67 = 9 790
A1A67 – A1A23 = 9 790
Luego: a (67 )(66 ) − a ( 23)( 22 ) = 9790
2
2
De donde: a = 5 . . . (2)
Sea: S = A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + .....
Por condición del problema:
3n – 201 = n – 1 → n = 100 . . . (3)
Luego: S = 5 + 1 + 1 + 1 + .....
5 25
Sustituyendo (2) y (3) en (1):
Ya que la suma pedida es una serie de números que forman una progresión geométrica de razón 4/5 luego:
\ A1An = 24 750
Und. 1 - Introducción a la Geometría
A 1A n = 5 ⋅ 100(100 − 1)
2
29
A) m + n mn
m
D) + n m−n
1.1. Línea Recta
01.- Se ubican los puntos A, B , C y D sobre
una línea recta de manera que AC = 5 y BD = 7.
Calcular BC, si: AB + CD = 8.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
08.- Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C y D tal que: AB = 10 y
CD = 20; M y N puntos medios de AC y BD.
Encontrar MN.
02.- Sobre una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B y C de tal manera que:
AC + AB = 12, si «M» es punto medio de BC,
calcular AM.
A) 12
A) 3
A) 10
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
B) 18
C) 20
D) 15
E) 12
09.- Sobre una recta se dan los puntos consecutivos M, A y B. Siendo «O» punto medio de
AB, determinar MO, si MA = 8, AB = 10.
B) 11
C) 12
D) 13
E) 18
03.- Sobre una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B y C, de tal manera que:
AB – BC = 10. Calcular MB, si «M» es punto
medio de CA.
10.- Sobre una línea recta se consideran
los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si:
AB + CE = 16; BE – CD = 14 y AE – DE = 12,
calcular AE.
A) 2
A) 20
B) 3
C) 4
D) 5
E) 10
B) 22
C) 21
D) 23
E) 24
04.- Dado un segmento AB y su punto medio
«O», ¿a qué distancia de «O» se tendrá que
ubicar el punto «P» para que PA – PB = 8?
11.- Sobre una recta se toman 4 puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB · CD = AD · BC.
Calcular AC, si: AB = 4; AD = 6.
A) 1
A) 5
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
B) 4
C) 6
D) 5,4
E) 4,8
05.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si: PQ = 6 y RS = 2,
determinar la longitud del segmento que une
los puntos medios de PR y QS.
12.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, tal que:
AC + BD + CE + DF = 54, si: 5BE = 4AF.
Calcular: AB + EF
A) 1
A) 6
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
06.- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: CD = 3 AB y
AD + 3BC = 60. Calcular AC.
A) 10
B) 12
C) 15
D) 20
E) 30
07.- Sobre una recta se tienen los puntos A,
B, C y D tal que: 4AC = CD. Calcular BC, si:
BD – 4AB = 20.
A) 1
30
B) 2
Geometría
C) 3
D) 4
E) 5
B) 5
C) 9
D) 4
E) 7
13.- En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E, tal que: AC = AD/2;
3DE = AE y 4AB = BC. Calcular BD, si:
CD = 5.
A) 4
B) 5
C) 9
D) 10
E) 6
14.- A, B, C y D son puntos colineales contenidos en una recta tal que: n · AC = m · CD y
m · BD – n · AB = m · n. Determinar BC.
B) mn m+n
E) n
m+n
C) mn
m−n
15.- En una recta tenemos los puntos consecutivos A, B, C y D donde: AD · AB = 3AC · CD
y 1 + 1 = 3 . Calcular AB.
AC CD
A) 1
B) 1/5
C) 1/2
D) 1/4 E) 1/3
16.- Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que:
5AC = 3CD y 3BD – 5AB = 40, calcula BC.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 8
17.- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S tal que «R» es punto medio
de QS. Si: PS2 – QP2 = 16QS, calcular PR.
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 16
18.- Sobre una recta se dan tres puntos
consecutivos M, A y B tal que: AB = 2 y
MA · MB = 24. Calcular la distancia de «M»
al punto medio de AB.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 12
19.- Dada una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que:
AB · BD + AC · CD = AC · BD y AB · CD = 324
Calcular BC.
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 22
20.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, y E: M y N son puntos
medios AD y BE respectivamente. Además
MC = CN, si AB + DE = 32, calcular MC.
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 16
22.- Se tienen los puntos colineales A, B, C y
D tal que: AB + CD = 16; BM – MC = 2. Evaluar CD; siendo «M» punto medio de AD.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 14
23.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos O, A, B, C; cumpliéndose:
1 = 1 + 1
OA OB OC
Expresar OA en términos de AB y AC.
A) AB + AC B) AB + AC
2
D) AB – BC
AB ⋅ AC E) AB ⋅ AC
2
24.- Sobre una recta se tienen los puntos
consecutivos R, A, C, S, O; cumpliéndose:
RS = SO; RA = AS, RC + AS + CO + RO = 72;
1 + 2 = 1 . Calcular: AC
AC RO
A) 15/16
B) 16/15
C) 10/7
C)
D) 7/12
E) 5/18
25.- En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D. Luego se toman M y F
puntos medios de AB y CD respectivamente.
Determinar MF, si: AC = 18, BD = 34.
A) 10
B) 15
C) 26
D) 30
E) 35
26.- En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AC > CD
y se considera el punto medio «M» de AD,
calcular MC, si «C» es punto medio de BD y
AB = a.
A) a/2 B) a
C) 2a
D) a/3 E) a/5
21.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q, R y S tal que «R» es punto
medio de QS; PQ · PS = 40 y QS = 6. Determinar PQ.
27.- Sobre una recta se toman consecutivamente los puntos A, B, C, D, E y F, luego se
toman los puntos medios de AB y EF, M y
N respectivamente, calcular MN, si: AC = 20;
BD = 22; CE = 30; DF = 40.
A) 2
A) 14
B) 4
C) 6
D) 3
E) 5
Und. 1 - Introducción a la Geometría
B) 49
C) 56
D) 28
E) 42
31
28.- Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, M y C, tal que «M» es punto
medio de BC, además: (AM)2 + (BM)2 = 20.
Calcular: (AB)2 + (AC)2.
A) 40
B) 35
C) 30
D) 25
E) 20
29.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C, luego se toman los puntos
medios «M» y «N» de AB y MC respectivamente. Simplificar la siguiente expresión:
AB + NC – AM.
A) AC B) MN C) AN D) NC E) BC
30.- Ubicando consecutivamente los puntos
A, B, C, D y E, tal que:
BD + AC + BE + AD + CE = AE · BD
evaluar «x», si: x = 1 + 1 .
AE BD
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0,5 E) 2,5
31.- Se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que «B» es el punto medio
de AD y AD = 2CD + 9. Calcular BC.
A) 3,5
B) 4,5
C) 5
D) 4
E) 3
32.- Sobre una recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C y D. Si:
2
AB · CD = kBC · AD y 1 + k = k − 1 ,
AB AD
AC
determinar «k».
A) 1
B) 2
C) 1/2
D) 3
E) 4
33.- A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos, si AC es media proporcional entre
AD y BD, determinar k = 2AD AB − 1 .
AC CD
A) 1
B) 2
C) 0,5 D) 3
E) 4
(
35.- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, tal que «D» es el
punto medio de CE. Si AC @ CE y BD @ DF,
calcular el valor numérico de la expresión:
)
2
2
AB + BE
2
2
AC + EF
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
36.- O, A, B y M son puntos colineales y consecutivos tales que: MA + MB = 3 AB . Cal2
cular OM en función de OA y OB.
4(OB) + 2(OA)
3(OB) − 2(OA)
B)
4
4
5(OB) − (OA)
3(OB) − (OA)
C)
D)
4
4
5(OB) + (OA)
E)
4
A)
37.- En una línea recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, siendo «C» punto
medio de BD. Simplificar:
K=
A) 1
B) 2
2
2
2
2
(AB) + (AD)
(AC) + (BC)
C) 3
D) 4
E) 5
38.- A, B, C, D y E son puntos colineales
y consecutivos tales que AB + DE = 24, se
ubican M y N puntos medios de AD y de BE
respectivamente, siendo MC = NC. Calcular
MC.
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
34.- Al dividir un cierto segmento en partes
cuyas medidas son directamente proporcionales a 1/3, 1/4 y 1/2 se obtienen tres segmentos, el segundo de los cuales mide 12 cm. La
suma, en cm, de las medidas del segundo y
tercer segmento es:
39.- Se dan los puntos consecutivos A, B, C y
D sobre una recta de modo que: (AC)2 = AD ·
BD. Calcular el valor de la expresión:
A) 38
A) 4
32
B) 36
Geometría
C) 39
D) 40
E) 37
AB ⋅ AC − BD ⋅ CD
CD ⋅ AC
B) 3
C) 2
D) 1
E) 1/2
40.- Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D se sabe que: 2 AB = 3 BC y
CD
2 − 5 = 1 . Calcular CD. AD
BC AC
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
41.- Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Si: BI = 5 AJ ,
7
CH = 3 (BI) y AD + BE + CF + DG + EH +
4
FI + GJ = 63. Calcular AJ.
A) 20
B) 25
C) 28
D) 30
E) 32
42.- Sobre una línea recta se consideran los
puntos consecutivos A, B, C y D de modo que:
AB · CD = AD · BC. Si: a + b = c + d ,
AC CD BD AB
calcular: a + b + c + d.
A) 6
B) 3
C) 2
D) 5
E) 8
43.- En una línea recta se consideran los puntos
PQ PS
=
consecutivos P, Q, R y S, tal que:
,
QR RS
96
47
y PS =
. Calcular PR.
QR =
PQ
RS
A) 10 B) 9
C) 8
D) 6
E) 7
44.- Sobre una línea recta se consideran
los puntos consecutivos A, B, C y D, si se
sabe que AC = m , AB · AD = BC · CD y
BC2 – AB2 = AB · CD, calcular (CD)2.
2
A) m2 B) m C) m
D) m E) m
2
2
45.- En una línea recta se consideran los puntos consecutivos G, R, C y M. Si:
GR · CM(2b – 1) = GM · RC y
a + 3 + 3b + 11 = c + 4 , calcular: a + 2b + 3c.
GC
GR
GM
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
46.- Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que AB = 2(CD);
(BC)2 = AB · CD y 1 + 1 = 1 .
CD BD
2
Und. 1 - Introducción a la Geometría
Calcular AB.
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
47.- A, C, M y B son puntos colineales y conse1 = 2 − 1
cutivos tal que AC @ CB,
2(MB) AM AC
y AM · AB = 8. Calcular MB.
A) 4
B) 2
C)
2 D) 6
E)
3
48.- Sobre una recta se han tomado los puntos
A, B, O y C consecutivos tal que «O» es el
punto medio de BC. Si: AB · AC + BO2 = 36,
calcular AO.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9
49.- Se tienen los puntos colineales P, A, B, C,
D y E dispuestos de modo que:
5PC = 2PD + 3PB
Calcular AC, si: 2AD + 3AB = 15.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
50.- A, B, C, 
D, E y F son puntos colineales
en una recta L donde: AD + BE + CF = 85,
AF = 9 BE ; CD = BE . Calcular CD.
7
7
A) 7
B) 5
C) 9
D) 17 E) 16
CLAVES
01
B
02
C
03
D
04
D
05
C
06
C
07
D
08
D
09
D
10
C
11
E
12
A
13
C
14
B
15
A
16
D
17
C
18
B
19
D
20
C
21
B
22
C
23
C
24
B
25
C
26
A
27
C
28
A
29
C
30
D
31
B
32
B
33
B
34
B
35
B
36
C
37
B
38
C
39
D
40
C
41
C
42
A
43
E
44
C
45
C
46
D
47
C
48
C
49
C
50
B
33