Números Naturales II - Mosaicos

Explorar
A / Propiedades de la sumatoria.
Son inmediatas las siguientes propiedades de la sumatoria. Si ai y bi son expresiones que dependen de una variable
natural i:
i=n
i=n
∑ ( ai ± bi )
Linealidad:
=
i=0
i=n
i=n
∑ ai ± ∑ bi ;
∑ αai
i=0
i=0
i=0
i=n
Telescópica:
i=n
i=0
i=p
i=n
∑ ai + 1 – ai
= an + 1 – a0 ;
Aditividad:
i=0
∑ ai
= α ∑ a i para α constante.
=
i=0
i=n
∑ ai + ∑
i=0
a i para 0 ≤ p < n.
i = p+1
B / Cálculo de una sumatoria.
i=6
Calcula la siguiente sumatoria:
∑ ( 2 + 3i ) .
i=1
Por definición de sumatoria tienes que:
i=6
∑ ( 2 + 3i ) = (2 + 3×1) + (2 + 3×2) + (2 + 3×3) + (2 + 3×4) + (2 + 3×5) + (2 + 3×6) = 75.
i=1
C / Sumatoria y recurrencia.
i=n
∑i
2
es la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales no nulos.
i=1
i=n
Ejemplo: Probar, por recurrencia, que
∑i
2
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
- .
= ---------------------------------------6
i=1
Solución.
• Base inductiva:
i=1
La propiedad es verdadera para n = 1 porque
∑i
2
2
1 ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 -)
= 1 = 1 y ------------------------------------= 1 .
6
i=1
• Paso inductivo:
Se supone la propiedad verdadera para n (hipótesis de recurrencia) y se la demuestra para n + 1, es decir:
i = n+1
∑
2
( n + 1)(n + 2 )(2( n + 1) + 1 )
- (tesis de recurrencia).
i = ---------------------------------------------------------------------
6
i=1
8
Explorar
i = n+1
Observa que la conclusión es:
∑
2
( n + 1 ) ( 2n + 7n + 6 )
2
( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2n + 3 )
i = ------------------------------------------------------= ----------------------------------------------------- .
6
6
i=1
Demostración:
i = n+1
∑
i=n
2
i =
i=1
∑i
i=1
i = n+1
2
∑
+
i=n
2
i =
i = n+1
∑i
2
2
2
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
- + (n + 1) =
+ ( n + 1 ) = ----------------------------------------
6
i=1
2
2
( n + 1 ) ( 2n + 7n + 6 )
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) + 6 ( n + 1 )
- = ----------------------------------------------------- .
= ----------------------------------------------------------------------
6
6
• Conclusión:
La propiedad se verifica para n = 1, y como ella es «hereditaria» entonces es verdadera para todo natural no nulo.
i=n
Se ha demostrado que para todo n∈N*,
∑i
2
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
- .
= ---------------------------------------6
i=1
4. Desigualdades y recurrencia.
Sea la proposición S(n): 2n > n.
Probaremos que la proposición es verdadera para todo natural mayor que 1.
• Base inductiva:
S(1) dice 21 > 1. La cual es verdadera.
• Paso inductivo:
Supongamos S(n): 2n > n para algún natural n ≥ 1.
S(n) ⇒ S(n+1):
2n + 1 = 2×2n > 2n = n + n ≥ n + 1.
• Conclusión:
Por lo tanto la proposición 2n > n es válida para todo natural mayor que 1.
5. La inducción versus la visualización.
El método de inducción matemática es, sin lugar a dudas, una herramienta muy poderosa para demostrar resultados.
Pero, en muchas ocasiones el método inductivo no nos ayuda a entender la razón por la que ese resultado es cierto.
1. Suma de los primeros n naturales.
n(n + 1)
Hemos demostrado que 1 + 2 + 3 + … + n = -------------------- , n∈N* .
2
Una forma de entender el porqué de este resultado, sería por ejemplo, para calcular la
suma de los 100 primeros naturales, escribir los términos de la suma de la manera
siguiente:
(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) = 101×50.
9
Matemática Gauss 5
Explorar
Veamos ahora, una justificación geométrica o visual de esta propiedad, en la que simplemente debes, observar, asociar las figuras y concluir.
n+1
n
n
n
2
n
n
1 + 2 + 3 + … + n= ----- + --- .
2 2
2(1 + 2 + 3 + … + n)= n(n+1)
2. Suma de los n primeros números impares.
• Los matemáticos griegos de comienzo de nuestra era llamaban «números cuadrados» a la serie de números definida para n ≥ 1 por Cn = n2.
Ellos representaban dichos números con la ayuda de
las figuras siguientes.
Esas representaciones gráficas sirven de soporte para
la justificación de la propiedad:
Para todo natural n ≥ 1:
1 + 3 + 5+ … + (2n – 1) = n2.
C1
C2
C3
• Gauss en 1796 (a los nueve años), lo hubiera demostrado así:
Llamemos Sn a la suma de ellos, que la escribiremos de dos maneras la suma de los n impares:
Sn =
1+
Sn =
Sumemos:
2Sn =
2n +
3+
5+
2n−1 + 2n−3 +
2n−5 +
2n +
2n +
... +
C4
… + 2n−3 + 2n−1
…+
3+
2n +
2n =
1
2n2
Luego: Sn = n2.
3. Suma de los n primeros cuadrados.
1
1+2+3+…+n
2
3
4
2n + 1
C1
C2
C3
C4
3(C1 + C2 + C3 + C4) = (2×4+1)(1+2+3+4)
n(n + 1)
En general, 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (2n + 1)( 1 + 2 + 3 + … + n) = (2n + 1) ⎛ --------------------⎞ .
⎝
2 ⎠
10
Matemática Gauss 5
Explorar
4. Suma de los n primeros cubos.
¿13 + 23 + 33 + … + n3 = …?
11
Ejercicios
Símbolo Σ.
1 . Desarrolla término a término las siguientes expresiones y halla su valor.
5
a)
6
4
1
2
- :d) ∑ ---- ;
∑ 2i ; b) ∑ ( 2i + 3 ) ; c) ∑ ---2
2i
i
i=1
i=2
i=1
7
e)
6
5
∑ ( i – 5 ) ; f) ∑ ( i
i=3
3
3
3
2
n( n + 1)
1 + 2 + … + n = ( 1 + 2 + … + n ) = ⎛⎝ --------------------⎞⎠
2
i=3
5
2
+ 2) ;
g)
i=1
∑ (i
2
6 . Demuestra por recurrencia que para todo natural
n ≥ 1 se tiene:
+ 2i ) .
7 . Demuestra por recurrencia que para todo natural
n ≥ 1 se tiene:
i=1
2 . Simplifica las siguientes expresiones mediante
una sola sumatoria:
20
a)
∑
c)
∑ (i
2
– 1)
Geometría y recurrencia
8 . Prueba que n rectas de un plano, secantes dos a
dos, determinan sobre éste, regiones que pueden colorearse con dos colores, de tal forma que dos regiones vecinas cualesquiera (o sea, regiones cuya
frontera es un segmento común) tengan colores diferentes.
54
( 5i – 6 ) –
∑
i=1
i=1
25
54
∑
(i – 4) +
i = 10
( 5i – 6 )
∑
36
∑
(i – 4) –
i = 26
200
d)
.
i=1
200
∑
1 - + ----------1 - + ----------1 - + … + ------------------------1
n ----------- = ----------1×2 2×3 3×4
n × (n + 1)
n+1
16
2
(i – 1) –
i=1
b)
2
(i – 4)
i = 10
201
∑ ( 3i – 2 ) + ∑
i=0
( 3i – 2 )
i = 201
3 . Expresa mediante el símbolo de sumatoria las siguiente sumas:
a) 2 + 4 + 6 + … + 2n ; b) 4 + 8 + 12 + … ;
1- + … ;
1- + ---c) 1 + 4 + 7 + … + ( 3n – 2 ) ; d) 1--- + ---2
3
2
2
2
e) 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + … ;
f) 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + … ;
g)
P2
P1
P3
P5
1 - + -------------------1 - + -------------------1 -+…
-------------------1×2×3 2×3×4 3×4×5
P4
Símbolo Σ y recurrencia.
Divisibilidad y recurrencia.
4 . Encuentra una fórmula para:
10. Demuestra que n3 – n es múltiplo de 6.
n
a)
9 . Halla una fórmula que permita calcular el número de diagonales de un polígono convexo de n
lados.
∑ ( 2i – 1 )
= 1 + 3 + 5 + … + ( 2n – 1 ) ;
11. Demuestra que n2 (n2– 1) es múltiplo de 12.
1
n
b)
∑ ( 2i – 1 )
2
2
2
2
= 1 + 3 + 5 + … + ( 2n – 1 )
2
.
1
5 . Demuestra por recurrencia sobre n que:
n+1
2
n
1–r 1 + r + r + … + r = -------------------1–r
12
si r ≠ 1.
12. Demuestra que 10n – 3n es múltiplo de 7.
13. Demuestra que 24n – 1 es múltiplo de 15.
14. Demuestra que 33n + 2 + 2n + 4 es divisible entre
5.
Matemática Gauss 5
Ejercicios
15. Demuestra que n(n + 1)(2n + 1) es múltiplo de 6.
2
n –n
n – 2 < -------------12
n
n > 3 ⇒ 2 < n!
16. Demuestra las siguientes propiedades:
n
∑2
=
i=1
∑2
i
3
n
n
= 2 –1
i=0
n
∑ i×2
n
n>9⇒n <2
n–1
i–1
2
n>4⇒n <2
n ( n + 1 ) ( 2n + 7 )
1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + … + n × ( n + 2 ) = ----------------------------------------6
i
= 2 + ( n – 1 )2
23. ¿Múltiplo de 7?
n+1
Se considera para todo n∈N:
un = 32n + 1 + 2n + 2.
a) Calcula u0; u1; u2; u3; u4; u5, verifica que ellos son
todos múltiplos de 7.
b) Sea n∈N. Demuestra que:
un + 1 = 2un + 7×32n + 1.
c) Demuestra, por recurrencia sobre n, que para todo
n∈N, un es divisible entre7.
i=1
n
∑ 2×3
i–1
n
= 3 –1
i=1
n
∑ i × i!
= ( n + 1 )! – 1
i=1
Desigualdades y recurrencia.
17. ¿Para qué valores de n∈N se cumple:
2n > n + 1?
Prueba la fórmula por recurrencia para n ≥ 2.
18. Demuestra por recurrencia que para todo natural
n ≥ 1 se tiene: 1 × 2 × 3 × … × n ≥ 2n – 1 .
24. a) Desarrollar, reducir y ordenar (n + 1)5
b) Deducir, con la ayuda de un razonamiento por recurrencia, que para todo natural n se cumple que: n5 –
n es múltiplo de 5.
25. Números triangulares.
Sean los cuatro primeros números triangulares:
19. Prueba que 2n > n2 es verdadera para todo n ≥ 5.
20. Demuestra que las siguientes desigualdades son
válidas a partir de un cierto natural n.
a) n2 > 2n + 1.
b) 2n + 2 < 3n + 1.
c) n2 > 8n + 5.
d) n3 > 5n2 + 3n + 8.
e) n! > 2n.
21. La desigualdad de Bernoulli.
T1
T2
T4
T5
a) representa T5 y T6.
b) 1) Expresa Tn + 1 en función de Tn.
2) Conjetura el valor de Tn en función de n.
3) Demuestra esa conjetura por recurrencia sobre n.
c) Se considera el número piramidal:
Pn = T1 + T2 + … + Tn.
Demostrar por recurrencia que:
n(n + 1 )( n + 2)
Pn = -------------------------------------- .
6
n
Si x∈R y x > −1, entonces: ( 1 + x ) ≥ 1 + nx
para todo n∈N.
T3
i=n
26. a) Sea
∑ ( 4i – a )
= n ( 2n + 1 ) .
i=1
22. Prueba que para todo n∈N se cumplen las siguientes propiedades:
Determina a∈N para que la igualdad se verifique para
n = 1.
b) Para el valor de a hallado en la parte anterior prueba la validez de la fórmula para todo natural n mayor
que 0.
27. Sobre un eje graduado se consideran los puntos
Matemática Gauss 5
13
Ejercicios
M0 y M1 de abscisas x0 = 0 y x1 = 1 respectivas, M2 es
el punto medio de [M0 M1] y para todo natural n ≥ 3,
se denota con Mn al punto medio del segmento [Mn−1
M1] y con xn a la abscisa del punto Mn.
1) Calcula xn para n = 2, n = 3, … n = 10.
2) Conjetura una expresión para xn en función de n y
luego demuestra dicha conjetura por recurrencia.
x0
x1
M0
M1
• ¿Dónde está el error?
Este ejemplo, de razonamiento incorrecto, es debido a George Polya (13
de diciembre de 1887, Budapest, Hungría - 7 de setiembre 1985, Palo Alto, California, Estados Unidos).
31. Estudia el trabajo realizado por Diego y Paula:
28. Sean:
Pn la proposición: «9 divide a 10n – 1»
y P′n la proposición: «9 divide a 10n + 1».
a) Sea n∈N*. Demuestra que si Pn entonces Pn+1 es
verdadera.
b) Sea n∈N*. Demuestra que si P′n entonces P′n+1 es
verdadera.
c) Prueba que la proposición P1 es verdadera.
d) Deduce que la proposición Pn es verdadera, para
todo n∈N*.
e) Deduce que la proposición P′n es falsa, para todo
n∈N*.
29. Muestra que para todo n∈N:
a) 4n – 1 – 3n es divisible entre 9;
b) 7×35n + 4 es divisible entre 11.
«La suma de los ángulos de un polígono convexo de n
lados está dada por la fórmula: S(n) = (n – 2)×180°, n ≥
3».
De hecho, para n = 3 tenemos que el polígono convexo
correspondiente es un triángulo y sabemos de la geometría
elemental que la suma des sus ángulos es 180°.
Supongamos la afirmación válida para n = k ≥ 3, esto es
que la suma dos ángulos de un polígono convexo con k
lados es S(k) = (k – 2)×180°.
El polígono A0A1...Ak que se obtiene trazando el segmento A0A2 tiene k lados; consecuentemente, la suma de
sus ángulos es S(k) = (k – 2)×180°.
Ahora, la suma de los ángulos del polígono original será
S(k) pero la suma de los ángulos del triángulo A0A1A2,
esto es:
S(k + 1) = S(k) + 180° = (n – 2)×180° + 180°
= (k – 1)×180°.
30. El problema de Polya.
Analiza el siguiente razonamiento que prueba la siguiente proposición:
«Si en un conjunto de niñas hay una niña rubia y de ojos
celestes, entonces todas las niñas del conjunto son rubias y
de ojos celestes».
En efecto, sea A el conjunto de números naturales para los
cuales la proposición es verdadera.
Si n = 1 obviamente la proposición es verdadera ya que en
un conjunto formado por una sola niña rubia y de ojos celestes, todas las niñas del conjunto son rubias y de ojos celestes.
Supongamos ahora que n∈A, y sea B el conjunto formado
por n + 1 niñas: a1; a2; a3; …; an+1, donde por lo menos una
de las niñas, por ejemplo la a1, sin perder generalidad, es
rubia y de ojos celestes. Ahora bien, el conjunto B lo puedo
expresar como la unión de:
{a1; a2; a3; …; an}∪{a1; a3; a4; …; an+1}
dos conjuntos de n elementos en los cuales astutamente dejamos a la niña a1 rubia y de ojos celestes. Y como la proposición es cierta para un conjunto de n niñas, cada uno de
los conjuntos de la unión anterior estará formado exclusivamente por niñas rubias y de ojos celestes. Luego el conjunto B está también formado por niñas rubias y de ojos
14
celestes. Esto prueba que (n + 1)∈A y por lo tanto A es inductivo. En consecuencia A = N* como se quería probar.
Sobre las Torres de Hanoi
• Estudio de la estrategia.
Si Pn es el mínimo número de jugadas para transferir
una pila de n discos, puedes obtener una fórmula de
recurrencia expresando Pn en función de Pn−1.
En efecto, para desplazar n discos es necesario:
• Instalar sobre la aguja central la pila constituida por
los n−1 discos menores (Pn−1 jugadas).
• Desplazar el disco mayor de la aguja de la izquierda
a la de la derecha (una jugada).
• Transferir de la aguja central hacia la aguja de la
derecha la pila de n−1 discos menores (Pn−1 jugadas).
Tienes:
Pn = Pn−1 + 1 + Pn−1 = 2Pn−1 + 1
Como P1 = 1 puedes calcular entonces: P2; P3; P4;
…; Pn
• Verifica que los valores calculados para P2; P3; P4;
…; Pn son los mismos que encontrastes en la primera
parte del problema.
Matemática Gauss 5