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FUNDAMENTOS DE
CORRELACIÓN DE FOTONES
Prof. María L. Calvo
Clase del 26 y 27* de enero de 2011
(Primera hora)*
____________________________________________________________________
Fuentes de fotones
•
a)
b)
•
•
Fuente natural de fotones: El Sol
Frecuencias de emisión:
Visible (electrones que realizan las transiciones cuánticas
son los más externos al átomo)
Rayos X (electrones que realizan las transiciones
próximos al núcleo atómico), energía/fotón superior a 100
eV.
Reacciones de muy alta energía entre partículas
elementales:
Por ejemplo, colisión electrón-positrón, generación de
energías del orden de 109 eV.
Fuentes controladas de fotones:
Por ejemplo, fenómeno inverso del efecto fotovoltáico:
fuentes de luz basadas en semi-conductores (LED’s):
Recombinación electrón-hueco genera un fotón (con
energía de unos eV)
La detección de fotones
• Fundamentos: Absorción de fotones en materiales
adecuados.
• Efecto fotoeléctrico: Los fotones absorbidos crean una
corriente de fotoelectrones medible. Se puede producir con
luz UV o visible dependiendo de la naturaleza del cátodo.
• Fotomultiplicadores: Los electrones emitidos por el cátodo
son acelerados mediante un campo externo.
• Otros detectores:
• En visible, UV e IR: Cámaras CCD
LÍMITE DE LA DESCRIPCIÓN CLÁSICA
•La descripción clásica de la coherencia óptica está ligada a la naturaleza de
las fuentes de radiación y de los instrumentos de medida.
•La naturaleza matemática de Γ12(t) es independiente del proceso de
detección del campo.
•El primer tratamiento para la descripción cuántica de la coherencia
óptica se debe a Glauber (1962).
Se consideran paquetes de ondas de fotones con propiedades
particulares:
1) El fotón posee momento.
2) El fotón tiene asociada una función de onda.
3) : El fotón tiene dos variables dinámicas de momento angular: a)
orbital, b) interno o espín:
4) Los fotones pueden correlacionar.
correlacionar La correlación de fotones tiene
asociado un volumen de coherencia.
R.J. Glauber, “The Quantum theory of optical coherence”, J. Opt. Soc. Am., 130(6), 2529 (1963)
Propiedades particulares
• 1) El fotón posee momento:
(
p ≡ px , p y , pz
)
• 2) El fotón tiene asociada una función de onda
vectorial:
( )
f r, t =
∫ ( 2π )
d3k
3/ 2
( )
f k , t exp ik r 
• El vector: f ( k , t ) es la función de onda del fotón.
Momento angular
• 3) : El fotón tiene dos variables dinámicas
(operadores) de momento angular:
a) orbital (l)
b) interno o espín (polarización) (S):
S = ± =;
p = =k
Comparación entre el spin y el momento
angular orbital del fotón
Correlación de fotones
• Definimos el espacio de las fases: seis variables
de posición (tres) y momento (tres):
( x, y , z ; p , p , p )
x
y
z
• Definimos una celda unidad que caracteriza
fotones « idénticos ».
∆γ = ( ∆x∆y ∆z ) ( ∆px ∆p y ∆pz )
Estos fotones tienen el mismo estado spin.
Se puede definir: ∆γ = h 3
Definición de volumen de coherencia
• De forma aproximada para una fuente plana
emitiendo fotones, se define:
z12 2 λ 3
∆x∆y ∆z =
λ
S ∆λ
• Donde S es el área de la fuente plana.
• Y:
∆λ = h
∆p
p
• Que corresponde a una definición análoga al
volumen de coherencia clásico.
∆x∆y ∆z = Vc = lc ∆A
Parámetro de degeneración: campos que pueden ser tratados
clásicamente (δ >>1)
Longitud de coherencia transversal
d ~ λ/θ
Longitud de coherencia longitudinal
l ~ c / ∆ω
Volumen de coherencia
d2 l
Parámetro de degeneración
δ
δ = número de fotones en el volumen de coherencia
Parámetro de degeneración: δ = número de fotones por modo (cavidad)
δ=
1. Fuente térmica
1
 hν
exp 
 K BT

 −1

2. Radiación de sincrotrón
δ
≈ α N λ/ (cτ F) ≈ 104/F
3. Radiación de Wiggler
δ
≈ 2 MW α N λ/ (cτ F) para KW > 1
4. Láser ~1 mJ emisión en el visible
δ≈ 1015
El Sol
F = número de modos
transversales en
en el área del haz
EXPERIMENTOS DE CORRELACIÓN DE
FOTONES
•La correlación de fotones tiene naturaleza estadística.
•La probabilidad de detección de una corriente de fotoelectrones es
proporcional a la intensidad instantánea asociada al campo de
radiación:
P(t ) ≈ ηI (t )∆t
donde: η es un coeficiente que está ligado a la naturaleza del
detector.
∆ t: tiempo de respuesta
Para un número de medidas N:
P1 (t ) P2 (t ).... PN (t ) = η1η2 ....η N I1 (t ) I 2 (t )... I N (t ) ∆t1∆t2 ... ∆t N
El experimento de Hanbury-Brown y Twiss
Pilot stellar intensity interferometer
Jodrell Bank, England, (1955)
- First measurement of the angular
diameter of a main sequence star (Sirius).
- Stellar Intensity Interferometer,
Narrabi, Australia (1963)
Datos: Cada espejo formado por 252 micro-espejos (mosaicos) hexagonales de 38
cm de ancho, con geométrica próxima a un espejo parabólico. Diámetro total: 6,5 m.
EXPERIENCIA DE HANBURY BROWN Y TWISS
DETECTOR 1
I1
DETECTOR 2
FUENTE
I2
FILTRO
DE BAJA
τ
[
I1 (t ) I 2 (t + τ ) = I1 I 2 1 + γ 12 (τ )
∆I2
MULTIPLICADOR
x
2
]
∆I1
INTEGRADOR
RETARDO
FILTRO
DE BAJA
Fundamentos:
rA1
A
Como en el experimento clásico:
I P 1 =| e
K K
ik ⋅rA1 + iφ A ( t )
I P 2 =| e
K K
ik ⋅ rA 2 + iφ A ( t )
I P1 = 2
+e
rB1
K K
i k ⋅ rB 1 + i φ B ( t ) 2
+e
P1
|
K K
i k ⋅ rB 2 + i φ B ( t ) 2
|
R
rA2
d
rB2
I P2 = 2
B
Si tomamos el producto antes de realizar el promedio temporal:
I P1 I P 2 = 4 + 2 cos[ k (∆r1 − ∆r2 )]
Donde:
∆r1 − ∆r2 = rA1 − rB1 − (rA 2 − rB 2 )
(relacionado con la geometría de la fuente y el detector)
L >> (d & R)
P2
RELACIÓN SEÑAL-RUIDO
( N)
S
RMS
2
TO
TO
= c (d )
= Aα n γ d ( 0 ) ∆f
N (TO )
2
Datos relativos al experimento de Narrabi (1956):
d : distancia entre detectores (base del interferómetro)
A: área del detector = 30 m2
α: eficiencia cuántica del detector = 0.20
λ: longitud de onda = 430 nm
∆f: anchura de banda de la señal analógica = 100 MHz
TO: tiempo de correlación = 1 h
La relación señal/ruido cuando se observa la radiación de una estrella en el zenit:
n: número de fotones/m2sHz = 5.10-5 es:
c(d)/N = 127x 0,2 (en 1 hora), 0.2: coef. de pérdidas
Correlación de segundo orden
Γ(2) (τ)
Se cumple:
Γ(
2)
(τ ) = Γ ( 2 ) ( −τ )
Para una onda electromagnética clásica:
Γ(
2)
(τ ) ≤ Γ ( 2) ( 0 )
Este comportamiento no se cumple para estados cuánticos de luz.
Correlación de segundo orden: Coeficiente
de correlación
Supondremos un campo óptico térmico como proceso
gaussiano. Para N=2, la correlación de intensidades:
I1 ( t ) I 2 ( t + τ )
2

= I 1 I 2 1 + γ 12 (τ ) 


Experimentalmente se obtiene la correlación de las
fluctuaciones de la intensidad: ∆I (t ) = I (t ) − I (t )
∆I1 ( t ) ∆I 2 ( t + τ ) = I 1 I 2 γ 12 (τ )
2
Para τ=0: el coeficiente de correlación es:
C12 =
∆I1∆I 2
(∆I1 )2
(∆I 2 )2
R. Hanbury Brown, The intensity interferometer, Taylor & Francis Ltd., London, 1974
Promedio temporal del producto de intensidades
C=
I1 I 2
I1 I 2
Coeficiente de correlación de segundo
orden
Producto del promedio temporal de cada intensidad
Es importante notar que para el caso de fuentes coherentes
(en este caso <I>=I)
I 1 I 2 = I1 I 2
Y por tanto:
C=1
Valores teóricos :
C12 (τ ) sen (πτ∆ν )
=
πτ∆ν
C12 ( 0 )
C12(d)/C12(0)
y experimentales del coeficiente de correlación C12 como función de
la separación entre fotodetectores (experimento en laboratorio):
Separación entre detectores (mm)
EJEMPLO DE CORRELACIÓN DE INTENSIDADES
Supondremos una fuente con densidad espectral lorentziana. De acuerdo
con el T. de Wiener-Khinchin:
Γzz (τ ) = I exp(iω0τ ) exp( −α τ )
donde Z es una señal analítica compleja. Si:
I1 = I 2 = I
La correlación de intensidades es:
[
]
I (t ) I (t + τ ) = I 2 1 + exp(−2α τ )
La desviación :
σ I2 = I 2
2
Para un láser ideal: σ I → 0
El campo óptico térmico puede tener un
comportamiento caótico. Se pueden
encontrar campos ópticos altamente
fluctuantes
Resumen
• La función de correlación contiene información de la
geometría de la fuente.
• La anchura de correlación se comporta como: 1/(anchura
de la fuente)
• La correlación de intensidades de segunda orden obtenida
en el experimento de Hanbury-Brown y Twiss no es
sensible a las fases aleatorias que podrían destruir el
patrón interferencial
La teoría cuántica del experimento Hanbury-Brown y Twiss
Roy J. Glauber
Experimentos actuales con HBT:
Para bosones:
Para fermiones: