Contribución al estudio vibroacústico de estructuras

Contribución al estudio vibroacústico de estructuras
Jeniffer Victoria Torres Romero
CONTRIBUCIÓN AL
ESTUDIO VIBROACÚSTICO
DE ESTRUCTURAS
Jeniffer Victoria Torres Romero
Tesis Doctoral
Alicante, Septiembre de 2015
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE FÍSICA APLICADA A LAS CIENCIAS Y
LAS TECNOLOGÍAS
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
CONTRIBUCIÓN AL ESTUDIO VIBROACÚSTICO DE
ESTRUCTURAS
JENIFFER VICTORIA TORRES ROMERO
Memoria presentada para aspirar al grado de:
DOCTORA POR LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE
DOCTORADO EN CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS FÍSICAS
Dirigida por:
JAIME RAMIS SORIANO
ENRIQUE GONZALO SEGOVIA EULOGIO
Parte de las actividades investigativas han sido financiadas por la Generalitat Valenciana a
través del proyecto emergente “REDUCCIÓN DE LA TRANSMISIÓN DE RUIDO DE
IMPACTO EN SUELOS FLOTANTES” (expediente GV/2013/019).
Futuro, Future, Zukunft, Avenir
j
AGRADECIMIENTOS
Especialmente a mis padres; Yolanda y Ricardo por su infinito apoyo y por
brindarme tantas oportunidades en la vida.
A mis tutores por sus enseñanzas.
A mis compañeros de laboratorio por ser un apoyo en este camino.
A Pedro y a Max por ayudarme a construir este proyecto.
k
RESUMEN
Este trabajo doctoral aborda problemáticas relacionadas con el área de la
acústica en especial temas relacionado con la acústica de la edificación
enfatizando en el desarrollo experimental; contribuyendo al desarrollo y
validación de procedimientos alternativos para la caracterización del
comportamiento vibroacústico de estructuras y la caracterización de
materiales.
Igualmente,
incluye
discusiones
referentes
al
estudio
fenomenológico de la propagación de ondas sonoras en estructuras de
tamaño reducido y la caracterización de materiales absorbentes por lo general
usados como lámina intermedia en soluciones constructivas de suelos
flotantes.
El desarrollo de la investigación se plantea en seis capítulos. En el primero de
ellos se explica el objeto de estudio y los antecedentes de la investigación. En
segundo lugar, se abordan los conceptos generales que son utilizados en los
siguientes capítulos: sistemas discretos y análisis modal, vibración y radiación
en vigas, y placas, representación en el espacio-k y holografía acústica de
campo cercano-NAH, Método de los Elementos Finitos-MEF y análisis
estadístico de la energía-SEA. En los capítulos siguientes se presentan las
contribuciones principales del trabajo. Concretamente, en el tercero, se
plantea una metodología para el estudio de sistemas tipo viga y se propone
un procedimiento experimental alternativo para estudiar sus formas de
vibración, analizando el campo sonoro radiado por éstas. En este apartado,
también, se discute la validez de los supuestos de SEA, en lo relacionado al
I
estudio de estructuras de tamaño reducido. En el cuarto capítulo, se estudia
una estructura en forma de esquina de tamaño reducido con el propósito de
considerar la validez en la estimación de los indicadores del aislamiento en la
transmisión acústica por vía estructural de la edificación, con énfasis en la
caracterización de soluciones constructivas del tipo suelo flotante. En el
capítulo quinto, se presenta un procedimiento alternativo basado en NAH para
estimar la impedancia de transferencia de materiales absorbentes del tipo
poroso- fibroso y se estudia la eficiencia de radiación de estos cuando son
instalados sobre un piston circular plano encastrado en una pantalla infinita.
En el sexto capítulo se describe un método semianalítico para obtener los
parámetros elásticos de intercapas comúnmente usadas en soluciones de
suelo flotante.
En general, se ha utilizado el MEF como herramienta numérica para la
validación de los procesos experimentales. El empleo de este método
numérico adquiere mayor relevancia en el sexto capítulo, como herramienta
para verificar el método semianalítico propuesto.
En síntesis los procedimientos experimentales realizados son contribuciones
para facilitar la caracterización vibroacústica de estructuras y la determinación
de propiedades elásticas de materiales. Estos procedimientos al ser
comparados con técnicas convencionales de medición ofrecen una alta
relación señal a ruido, ampliación en el rango de análisis en frecuencia y al
emplear secuencias pseudoaleatorias se mantiene la correlación de fase, lo
cual permite estudiar temporal y espacialmente los especímenes bajo estudio
Palabras Clave
Análisis estadístico de energía-SEA, Análisis modal, Eficiencia de radiación,
Espacio-k, Holografía Acústica de Campo Cercano-NAH, Impedancia de
Transferencia, Impedancia Superficial, Índice de reducción vibracional,
Modelos de tamaño reducido, Radiación Sonora, Rigidez Dinámica, Señales
tipo-MLS.
II
SUMMARY
This doctoral work approaches with issues related to the area of acoustics
particularly on building acoustic with focus on experimental development,
contributing to the improvement and validation of alternative procedures to
study the vibroacoustic behavior of structures and materials characterization.
Likewise, it includes discussions related to phenomenological study of
propagation of sound waves in small size structures and characterization of
absorbent materials usually employed as an intermediate layer in floating
floors solutions.
Research is sketched in six chapters. In the first of them, the object of study
and background research are explained. Secondly, the general concepts that
are used in the following chapters are addressed; discrete systems and modal
analysis, vibration and radiation of beams and plates, representation in kspace and acoustic Near-field Acoustic Holography -NAH, method-Finite
Element Method- FEM and Statistical Energy analysis-SEA. In the following
chapters the main contributions of the work are presented. Specifically, in the
third chapter, a methodology for the study of beam type systems it is presented
and an alternative experimental procedure is proposed to study vibration
forms, analyzing the sound field radiated by them. In this section, the validity
of the assumptions of SEA is also discussed, in relation to the study of small
size structures. In the fourth chapter, a small size structure in shape of corner
is studied, in order to consider the validity in the study of the transmission path
in building to estimate acoustic isolation indicators. In addition, to that, part of
III
the analysis is related, when it is put on the base plate of the corner, different
floating floor solutions. The fifth chapter displays, an alternative method based
on NAH to estimate the transfer impedance of absorbent fibrous-porous is
presented. The chapter includes an analysis of the radiation efficiency when
the material is installed on a circular piston embedded in an infinite screen. In
the sixth chapter, a semi-analytical method is described for the elastic
parameters of interlayer solutions commonly used in floating floor.
In general, the FEM is used as numerical tool to validate of the experimental
processes. The use of this numerical method is more relevant in the sixth as a
tool to verify the semi-analytical method proposed.
In summary, the proposed experimental procedures are contributions to
facilitate the vibroacoustic characterization of structures and determination of
elastic properties of materials. These procedures when compared with
conventional measuring techniques provide a high signal to noise ratio, an
expansion in the frequency range analysis and in fact to employ
pseudorandom sequences make it possible to keep a phase correlation,
allowing to study temporally and spatially the specimens under study.
Keywords
Statistical Energy Analysis-SEA, Modal Analysis, Efficiency Radiation, Spacek, Near-field Acoustic Holography-NAH, Transfer Impedance, Superficial
Impedance, Vibrational Reduction Index, Small size structures, Acoustic
Radiation, Dynamic Stiffness, Maximun Length Sequence-MLS.
IV
LISTAS DE SÍMBOLOS
Abreviaciones
3D
:
Three dimensional
Tres dimensiones
CLF
:
Coupling Loss Factor
Factor de perdida de
acoplamiento
FFT
:
Fast Fourier Transform
Transformada rápida de Fourier
FRF
:
Frequency Response
Function
Función de respuesta en
frecuencia
IFFT
:
Inverse Fast Fourier
Transform
Transformada rápida de Fourier
inversa
IR
:
Impulse Response
Respuesta al Impulso
ISO
:
International Organization
for Standardization
Organización internacional de
estandarización
LTI
:
Linear Time Invariant
system
Sistema lineal e invariante en el
tiempo
MEF
:
Finite Element Method
(FEM)
Método de los elementos finitos
MLS
:
Maximum Length Sequence
Secuencia de máxima longitud
NAH
:
Near-field Acoustic
Holography
Holografía acústica de campo
cercano
PET
:
Polyethylene Terephtalate
Polietileno Tereftalato
SEA
:
Statistical Energy Analysis
Análisis estadístico de energía
TLF
:
Total Loss Factor
Factor total de perdidas
V
Símbolos Arábicos
𝐿𝑛
: Aislamiento al ruido de impacto
[𝑑𝐵]
: Aislamiento global al ruido de impacto
[𝑑𝐵]
ℎ
: Alto sección transversal
[𝑚]
𝑤
: Ancho sección transversal
[𝑚]
𝐴
:
𝑋𝐸
: Capacitancia Eléctrica
[𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠]
𝑋𝐸𝑇
: Capacitancia Eléctrica Total
[𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠]
𝑋𝑚𝑒
: Capacitancia mecánica
𝐿𝑛,𝑤
Área de la sección transversal y de la cara
de la losa
[𝑘𝑔]
Centro de masas de una losa (Centro de
gravedad)
𝐺∗
:
𝑂
: Centro inferior de una losa
𝐶𝑖
: Constantes arbitrarias
𝑖 = 𝐼𝑒 𝑗𝜔𝑡
[𝑚2 ]
: Corriente compleja
[𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜]
𝐵
: Densidad Flujo Magnético
[𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎]
𝑛𝑖
: Densidad Modal
[1/𝐻𝑧]
𝑑
: Desplazamiento
[𝑚]
𝑑(𝑥, 𝑡)
: Desplazamiento lateral
[𝑚]
{𝑑∗ }𝑒
: Desplazamientos nodales
[𝑚]
𝐷𝑣𝑖𝑗 ,
Diferencia de niveles de velocidad
: promediados direccionalmente entre los
elementos 𝑖 y 𝑗
[𝑑𝐵]
𝐷𝑣𝑖𝑗
:
Diferencia de velocidad entre el elemento 𝑖
y𝑗
[𝑑𝐵]
𝑑𝑟
:
Distancia entre el plano reconstruido y el
plano del holograma
[𝐻𝑧]
𝐸̅𝑘
: Energía cinética
[𝐽]
𝐸𝑖
: Energía subsistema SEA
[𝐽]
𝑒
: Espesor intercapa
[𝐽]
𝑄
: Factor de calidad
−
𝐾𝐴𝑀𝑐
: Factor de cizallamiento
VI
[𝑁]
Factor de corrección, el cual representa la
: fracción de la sección transversal de la
viga que soporta cizallamiento
−
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠
: Factor de pérdidas
−
𝑟
: Factor de reflexión
−
⟨𝑤⟩𝑡
: Flujo de Potencia
[𝑊]
̅̅̅̅
𝑊𝑖𝑗
:
𝐾
Flujo de potencia medio entre dos
subsistemas
[𝑊]
𝑓
: Frecuencia
[𝐻𝑧]
𝑓𝑐
: Frecuencia critica
[𝐻𝑧]
𝑘𝑐
: Frecuencia de corte espacial
[𝑅𝑎𝑑]
𝑓𝑚
: Frecuencia de muestreo
[𝑘𝐻𝑧]
𝑓0
: Frecuencia natural
[𝐻𝑧]
𝑓𝑅
:
𝑓𝑛
: Frecuencias Naturales
[𝐻𝑧]
𝐹
: Fuerza
[𝑁]
: Fuerza aplicada por unidad de longitud
[𝑁]
𝐹𝜔
: Fuerza armónica de pulsación
[𝑁]
𝐹𝑦
: Fuerza puntual armónica externa
[𝑁]
{𝑓 ∗ }𝑒𝑥𝑡
𝑒
: Fuerzas concentradas
[𝑁]
{𝑓}𝑒𝑀
: Fuerzas de Inercia
[𝑁]
{𝑓 ∗ }𝑒𝐶
: Fuerzas nodales equivalentes
[𝑁]
𝐹𝑧 (𝑥, 𝑡)
Frecuencia Resonancia esqueleto material
absorbente
[𝐻𝑧]
𝐶𝑜𝑠
: Función Coseno
−
𝐶𝑜𝑡
: Función Cotangente
−
𝑐
: Función de Amortiguamiento
−
𝐺
: Función de Green
−
𝐺′
: Función de Green Modificada
−
Función de la auto densidad espectral de
referencia
𝐺𝑟𝑒𝑓
:
𝑆𝑖𝑛
: Función Seno
−
𝑇𝑎𝑛
: Función Tangente
−
: Funciones de Bessel
−
𝐽𝑖
VII
−
Funciones de Bessel modificadas de orden
𝑖 = 0.1
𝐼𝑖
:
𝑍𝐴
: Impedancia Actuador
𝑍
:
Impedancia Acústica de un material
absorbente
−
[𝑜ℎ𝑚]
[𝑁𝑠⁄𝑚3 ]
: Impedancia Acústica específica
[𝑁𝑠⁄𝑚3 ]
𝑍𝑡
: Impedancia de transferencia
[𝑁𝑠⁄𝑚3 ]
𝑍𝑀𝑂𝑉
: Impedancia del movimiento
[𝑁𝑠⁄𝑚]
𝑍𝐸𝑇
: Impedancia Eléctrica de entrada
[𝑜ℎ𝑚]
𝑍𝐸
: Impedancia Eléctrica pura
[𝑜ℎ𝑚]
𝑍𝑀
: Impedancia Mecánica
[𝑁𝑠⁄𝑚]
𝑍𝑀𝑅
: Impedancia Mecánica de Radiación
[𝑁𝑠⁄𝑚]
𝑍𝑀𝐷
: Impedancia Sistema Mecánico
[𝑁𝑠⁄𝑚]
𝑍𝑠
: Impedancia superficial
[𝑁𝑠⁄𝑚3 ]
𝑘𝑖𝑗
: Índice de reducción Vibracional
𝐿𝑒
: Inductancia eléctrica de la bobina
[𝐻𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜]
𝐼
: Intensidad
[𝑊/𝑚2 ]
𝐿
: Longitud
[𝑚]
𝑙
: Longitud de la bobina móvil
[𝑚]
: Longitud de la unión
[𝑚]
𝑍𝐴,𝑒𝑠𝑝
𝑙𝑖𝑗
𝑎𝑖 y 𝑎𝑗
:
[𝑑𝐵]
longitudes de absorción equivalentes de
los elementos 𝑖 y 𝑗 respectivamente
[𝑚]
𝑚𝑠
: Masa modal*
[𝑘𝑔𝑚2 ]
𝑚
: Masa por unidad de longitud de la viga
[
𝑚′
: Masa por unidad de superficie
[
[𝐶]
: Matriz Amortiguamiento*
[𝑁𝑠⁄𝑚]
{𝑐}𝑒
: Matriz de amortiguamiento consistente*
[𝑁𝑠⁄𝑚]
[𝐶𝑘 ]
Matriz de amortiguamiento para algunos
: elementos ejemplo un elemento tipo
muelle*
[𝑁𝑠⁄𝑚]
VIII
𝑘𝑔⁄
𝑚]
𝑘𝑔⁄
𝑚2 ]
[𝑁⁄𝑚2 ]
[𝐷]𝑒
: Matriz de Elasticidad
[𝑀]
: Matriz de Masa*
[𝑘𝑔]
[𝑚]𝑒
: Matriz de Masa de un elemento*
[𝑘𝑔]
𝑘𝑔⁄
𝑠]
[𝑅]
: Matriz de Radiación
[
[𝐾]
: Matriz de Rigidez*
[𝑁⁄𝑚]
[𝑘]𝑒
: Matriz de Rigidez del elemento*
[𝑁⁄𝑚]
[𝑎]
: Matriz modal del sistema*
[𝑚]
∆𝐿𝑛
: Mejora al ruido de impacto
[𝑑𝐵]
𝑀𝐶
: Módulo de cizallamiento
[𝑁⁄𝑚2 ]
𝑀𝐸𝑇
: Módulo de elasticidad transversal
[𝑁⁄𝑚2 ]
𝑀
: Módulo de onda P
[𝑁⁄𝑚2 ]
𝐸
: Módulo de Young
[𝑁⁄𝑚2 ]
𝐼𝑦
: Momento de Inercia respecto al eje 𝑦
[𝑚4 ]
𝐿′𝑛
: Nivel de ruido de impacto normalizado
[𝑑𝐵]
𝐿𝑣
: Nivel de velocidad Promedio
[1/𝑚]
𝑘
: Número de onda
[1/𝑚]
𝑘𝑏
: Número de onda de flexión
[𝑟𝑎𝑑/𝑠]
𝑘0
: Número de onda en el aire
[1/𝑚]
𝑇
: Origen de coordenadas
−
𝑅𝑒
: Parte Real
−
𝑠
: Pendiente del filtro respectivamente
[𝑑𝐵]
𝑅
: Perdida por transmisión
[𝑑𝐵]
𝑊𝑎
:
𝑊𝑒𝑓𝑓
𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑖𝑛
𝑊𝑣
𝑝
Potencia acústica radiada por unidad de
superficie
[𝑊⁄𝑚2 ]
: Potencia efectiva
[𝑊]
: Potencia total de entrada a un sistema
[𝑊]
Potencia vibratoria (o mecánica) de la
estructura
[𝑊]
:
[𝑝𝑎]
: Presión acústica
IX
𝑝̅𝑠
: Presión Compleja
[𝑝𝑎]
𝑎
: Radio
[𝑚]
𝑅𝐴
: Relación de Aspecto
𝐻21
:
Relación de espesores entre el elemento 2
y1
−
𝐻12
:
Relación de espesores entre el elemento 1
y2
−
𝑅𝑒
: Resistencia Eléctrica dela bobina
[𝑜ℎ𝑚]
𝑅𝑀𝑒
: Resistencia mecánica
[𝑜ℎ𝑚]
𝑅𝑀𝑅
: Resistencia Mecánica de radiación
[𝑜ℎ𝑚]
𝑖y𝑗
: Resonadores o subsistemas
−
ℎ(𝑡)
: Respuesta al impulso del sistema
−
−
𝐻𝑣
: Respuesta del Filtro Veronesi
[𝐻𝑧]
𝐻𝑓
: Respuesta en Frecuencia
[𝐻𝑧]
𝐻𝑓
:
Respuesta en frecuencia de las ondas de
Flexión
[𝐻𝑧]
𝐻𝑏
:
Respuesta en frecuencia de las ondas de
Flexión en la parte interior de la estructura.
[𝐻𝑧]
𝐻𝑡
Respuesta en frecuencia de las ondas de
: Flexión en la parte superior de la
estructura
[𝐻𝑧]
Respuesta espectral de la función de
: densidad espectral cruzada entre dos
señales próximas
[𝐻𝑧]
𝐷
: Rigidez a Flexión
[𝑁𝑚]
𝑠’𝑡
: Rigidez dinámica
[𝑀𝑁 ⁄𝑚3 ]
𝑠′
: Rigidez por unidad de superficie
[𝑀𝑁/𝑚3 ]
𝑘𝑠
: Rigidez modal*
𝑏
𝐺1−2
[𝑁⁄𝑚]
𝑛(𝜏)
: Ruido usado en la medida-señal MLS
−
𝑥(𝑡)
: Señal de excitación
−
𝑦(𝑡)
: Señal de respuesta o salida del sistema
−
𝑠(𝑡)
: Señal recibida
−
𝑖
: Subsistema SEA
−
𝑆
: Superficie
[𝑚2 ]
X
𝑣𝑔
𝑒 = 𝐸𝑒 𝑗𝜔
; Tensión de entrada al altavoz
[𝑣𝑜𝑙𝑡]
: Tensión en las terminales de la bobina
[𝑣𝑜𝑙𝑡]
𝑡
: Tiempo
[𝑠]
𝑇𝑠
: Tiempo de reverberación estructural
[𝑠]
: Trabajo Exterior
[𝐽]
: Unidad imaginaria (√−1)
−
𝑇𝑒𝑥𝑡
𝑗
[𝑚2 ]
𝐴0
: Valor de referencia de la absorción total
{𝑦̈ }
: Vector de aceleración
[𝑚/𝑠 2 ]
{𝑦̇ }
: Vector de velocidad
[𝑚/𝑠]
{𝑦}
: Vector desplazamiento
[𝑚]
{𝑓(𝑡)}
: Vector fuerza actuante
[𝑁]
𝑘(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧 )
: Vector número de onda
[1/𝑚]
: Velocidad
[𝑚/𝑠]
: Velocidad de la estructura
[𝑚⁄𝑠]
𝑣
𝑣𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
𝑐𝐵
:
Velocidad de propagación de las ondas de
flexión en las vigas
[𝑚⁄𝑠]
𝑐𝐵
:
Velocidad de propagación de las ondas de
flexión en un solido
[𝑚⁄𝑠]
𝑐0
:
Velocidad de propagación de las ondas en
el aire
[𝑚⁄𝑠]
𝑐𝐿
:
Velocidad de propagación de las ondas
longitudinales en el sólido
[𝑚⁄𝑠]
𝑐𝐿
:
Velocidad de propagación de las ondas
longitudinales en un solido
[𝑚⁄𝑠]
𝑐𝑎𝑖𝑟
:
Velocidad de propagación de las ondas
sonoras en el aire
[𝑚⁄𝑠]
𝑣(𝑥, 𝑡)
𝑉
: Velocidad lateral
[𝑚⁄𝑠]
: Volumen
[𝑚3 ]
XI
Símbolos Griegos
{𝜀0 }𝑒
:
Deformaciones Iniciales
{𝜎0 }𝑒
:
Tensiones Residuales
{𝜀}𝑒
:
Deformaciones unitarias del elemento
{𝜎𝑒 }
:
Tensiones de Contorno
𝛬𝑛
:
Coeficientes de ponderación
−
𝛷𝑥𝑥 (𝑡).
:
Función de auto correlación de la señal de
entrada
−
𝛷𝑥𝑦 (𝑡)
:
Correlación cruzada entre la señal de
entrada y la salida del sistema
−
𝛼∞
:
Tortuosidad
𝜂𝑖
:
Factor de pérdidas del modo 𝑖.
−
𝜂𝑖𝑗
:
Factor de pérdidas entre dos subsistemas
−
𝜆𝑖
:
Frecuencia propia compleja del modo 𝑖.
[𝐻𝑧]
𝜎𝑅
:
Eficiencia de radiación
[𝑑𝐵]
𝜏𝑖𝑗
:
Coeficiente de transmission
[𝑑𝐵]
[𝜓]
:
Matriz modal compleja
𝜔𝑖
:
Frecuencia de resonancia normal (sin
amortiguamiento) del modo 𝑖
[𝛷]
:
Matriz modal compleja normalizada
∆𝑑
:
Variación del espesor de la intercapa
К
:
Módulo de compresibilidad
𝜔𝑛
:
Frecuencias Propias
[𝐻𝑧]
[𝜙]
:
Matriz real ortogonal*
[𝑘𝑔−1/2 ]
𝛥
:
Decremento logarítmico
𝛬′
:
Longitud Termal
𝛬
:
Longitud Viscosa
𝛼
:
Coeficiente de absorción
𝛿{𝑢}𝑒
:
Desplazamiento Virtual de los modos de
un elemento
−
[𝑁⁄𝑚2 ]
−
[𝑁⁄𝑚2 ]
[%]
−
[𝐻𝑧]
−
[𝑚]
[𝑁⁄𝑚2 ]
−
[𝑚]
[𝑚]
XII
−
[𝑚]
𝜂
:
Factor de pérdidas
[−]
𝜂(𝑡)
:
Coordenada modal
−
𝜆
:
Longitud de Onda
[𝑚]
𝜁
:
Amortiguamiento lineal viscoso*
𝜇
:
Coeficiente de Poisson
[−]
𝜉
:
Coeficiente de amortiguamiento
[−]
𝜌
:
Densidad del material
[𝐾𝑔/𝑚3 ]
𝜎
:
Resistividad al Flujo
[𝑁𝑚4 /𝑠]
𝜎𝑅
:
Eficiencia de radiación
𝜙(𝑥)
:
Forma modal estructural
𝜔
:
Frecuencia angular
𝜙
:
Porosidad
[𝑁𝑠⁄𝑚]
[𝑑𝐵]
−
[𝑟𝑎𝑑/𝑠]
[%]
(* Si todos los grados de libertad son traslacionales)
Miscelánea de Símbolos
𝐻
:
Complejo conjugado
𝑇
:
Transpuesto
𝜕
:
Operador de derivadas parciales
XIII
Tabla de contenido
RESUMEN ___________________________________________________ I
Palabras Clave___________________________________________________ II
SUMMARY__________________________________________________ III
Keywords ______________________________________________________ IV
LISTAS DE SÍMBOLOS _______________________________________ V
Abreviaciones ___________________________________________________ V
Símbolos Arábicos ______________________________________________ VI
Símbolos Griegos _______________________________________________ XII
Miscelánea de Símbolos_________________________________________ XIII
CAPÍTULO 1: OBJETO Y ANTECEDENTES _______________________ 1
1.1 Antecedentes_________________________________________________ 3
1.2 Objetivos ____________________________________________________ 8
1.2.1 Objetivo General __________________________________________________ 8
1.2.2 Objetivos Específicos ______________________________________________ 8
1.3 Estructura de la Tesis __________________________________________ 9
CAPÍTULO 2: CONCEPTOS ___________________________________ 13
2.1. Sistemas discretos y Análisis modal. ___________________________ 14
2.2. Vibración y radiación de vigas, placas __________________________ 23
2.2.1 Radiación de ondas de Flexión ______________________________________ 23
2.2.2 Radiación de ondas de flexión ______________________________________ 33
XV
2.3 Holografía Acústica de campo cercano (Near-field Acoustic HolographyNAH) y representación en el espacio-k______________________________ 38
2.4 El Método de los Elementos Finitos (MEF) ________________________ 43
2.5 Análisis Estadístico de la Energía-SEA __________________________ 50
2.5.1 Relaciones básicas en SEA ________________________________________ 50
2.5.2 Respuesta de una estructura sometida a una excitación __________________ 51
2.5.3 Formulación SEA para el caso del estado estacionario ___________________ 52
2.5.4 Formulación SEA para el estado transitorio (proceso reverberante) _________ 54
CAPÍTULO 3: CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS TIPO VIGA_______ 57
3.1 Introducción ________________________________________________ 57
3.2 Base experimental ___________________________________________ 58
3.3 Desarrollo __________________________________________________ 63
3.3.1 Primer procedimiento experimental ___________________________________ 63
3.3.2. Segundo procedimiento experimental ________________________________ 69
3.4 Discusión ___________________________________________________ 80
CAPÍTULO 4: ESTUDIO VIBRATORIO DE ESTRUCTURAS DE TAMAÑO
REDUCIDO ________________________________________________ 83
4.1 Introducción ________________________________________________ 83
4.2 SEA en acústica en la edificación _______________________________ 85
4.3 Configuración Experimental ___________________________________ 92
4.4 Resultados __________________________________________________ 96
4.4.1 Análisis Modal y respuesta en frecuencia ______________________________ 96
4.4.2 Diferencia de nivel de velocidad en la unión entre el elemento excitado 𝒊 y el
elemento receptor 𝒋 𝑫𝒗, 𝒊𝒋 _____________________________________________ 102
4.4.3 Tiempo de Reverberación Estructural, 𝑻𝒔 _____________________________ 104
4.4.4 Índice de reducción vibracional, 𝑘𝑖𝑗 _________________________________ 108
4.4.5 Índice de reducción del sonido de impacto 𝜟𝑳 _________________________ 109
4.5 Discusión __________________________________________________ 110
CAPÍTULO 5: ESTIMACIÓN DE LA IMPEDANCIA DE TRANSFERENCIA
DE MATERIALES FIBROSOS ________________________________ 113
5.1 Introducción _______________________________________________ 113
5.2. Materiales porosos y fibrosos: Modelo de Biot __________________ 115
XVI
5.3 Materiales utilizados ________________________________________ 118
5.3 Montajes Experimentales _____________________________________ 120
5.3.1 Tubo de impedancia: Impedancia superficial __________________________ 120
5.3.2 Montaje experimental con NAH _____________________________________ 122
5.4 Resultados _________________________________________________ 124
5.4.1 Impedancia Acústica del Material Fibroso ____________________________ 124
5.4.2 Estimación de la Eficiencia de Radiación_____________________________ 125
5.5 Discusión __________________________________________________ 128
CAPÍTULO 6: DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS ELÁSTICOS DE
UN MATERIAL A PARTIR DEL ENSAYO NORMALIZADO DE RIGIDEZ
DINÁMICA. _______________________________________________ 129
6.1. Introducción _______________________________________________ 129
6.2 Especímenes bajo estudio ____________________________________ 131
6.3 Supuestos _________________________________________________ 135
6.3.1 Análisis Modal-Analítico __________________________________________ 137
6.3.2 Fundamentos del método. Análisis armónico __________________________ 145
6.4. Discusión _________________________________________________ 152
CONCLUSIONES GENERALES _______________________________ 153
LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN ________________________ 155
REFERENCIAS ____________________________________________ 157
ANEXO I: TRANSDUCTOR Y SEÑAL DE PRUEBA _________________ III
I.1. Transductor Electrodinámico. Parámetros Relevantes __________ III
I.2. Señales de Prueba: Secuencia de Máxima Longitud (Maximum
Length Sequence-MLS) ______________________________________ VIII
ANEXO II. PROCESO PARA LA ELECCIÓN DE LA FUENTE USADA EN
LOS EXPERIMENTOS ________________________________________ XI
XVII
Listado de figuras
Figura 1 El movimiento a flexión de una viga delgada con una sección transversal
rectangular cuando se somete a una fuerza en el plano xy. ________________________ 25
Figura 2 Representación de las formas modales para distintas condiciones de apoyo. Arriba
Viga Simplemente Soportada. Abajo Viga Sujetada en el apoyo. ____________________ 28
Figura 3 Conversión de signos y sistema de coordenadas para una placa rectangular
excitada por una fuerza en un punto. __________________________________________ 30
Figura 4 Seis primeras formas modales de una placa simplemente soportada, figura tomada
de [62] __________________________________________________________________ 31
Figura 5 Forma de los dos primeros modos radiales (Figura tomada de [63] pág. 91) ____ 32
Figura 6 Diagrama esquemático de una superficie de vibración _____________________ 35
Figura 7 Estimación de la potencia radiada cuando se excita una viga de 1.2 m de longitud a
0.35 cm del extremo, considerando y sin considerar los términos de acoplo en la matriz de
radiación ________________________________________________________________ 37
Figura 8 Concepto general de Near-field Acoustic Holography- NAH _________________ 40
Figura 9 Diagrama de procesos de Near-field Acoustic Holography-NAH ______________ 40
Figura 10 Descripción de la base experimental utilizada (Todas las medidas están en metros
(m)) ____________________________________________________________________ 59
Figura 11 Izquierda La perforación a través de la sección transversal para prensar las
varillas roscadas, Derecha. Masilla para sellar la unión. ___________________________ 59
Figura 12 Izquierda. Prensa para llevar a cabo la deformación, Derecha. Detalle de la
aplicación de las galgas extensiométrica _______________________________________ 60
Figura 13 Sensor ultrasónico para determinar la velocidad de propagación de las ondas
longitudinales en los sólidos. ________________________________________________ 61
Figura 14 Condiciones de contorno, de viga simplemente soportada _________________ 61
Figura 15 Emulación de la condición Libre-Libre usando cuerdas para suspender a la
estructura. _______________________________________________________________ 62
Figura 16 Condición de frontera emulando una condición libre-libre usando espuma como si
fuera un muelle.___________________________________________________________ 63
XIX
Figura 17 Configuración correspondiente al primer procedimiento experimental. ________ 64
Figura 18 F.R.F de la Movilidad ______________________________________________ 65
Figura 19 Relación Energética en los especímenes _______________________________ 66
Figura 20 Flujo de potencia de vibración a través de las estructuras __________________ 67
Figura 21 Transmisión de la IR a través del Espécimen 0 y 1 en distintos instantes de tiempo
(Desplazamiento exagerado) ________________________________________________ 68
Figura 22 Esquema de medición del segundo procedimiento experimental. ____________ 70
Figura 23 Vista detallada de las condiciones de montaje. __________________________ 70
Figura 24 Promedio espacial de la respuesta de frecuencia de presión obtenida de esos
puntos de medición cerca de la viga ___________________________________________ 71
Figura 25 Resultados de vibración y en el campo acústico obtenidos para la viga de sección
transversal continua (5to Mode -1100 Hz). Arriba. Parte reala del campo de presión radiado
por la viga en una ventana espacial de 1.2 x 0.6 m. Bajo. Desplazamiento modal _______ 73
Figura 26 Campo Acústico en la malla de medición para el instante de tiempo t =1.6563 ms
________________________________________________________________________ 74
Figura 27 Evolución temporal en un intervalo de tiempo para el 5to modo de resonancia de
la viga continua. __________________________________________________________ 75
Figura 28 Campo de presión sonora a 2 kHz. a. Distribución espacial en la matriz del campo
acústico medido. b. Representación del campo acústico en el espacio-k ______________ 76
Figura 29 Campo de presión sonoro a 4 kHz (radiación sonora de la viga enmascarada por
la radiación del actuador). a. Distribución espacial en la matriz de medida. b.
Representación del espacio-k ________________________________________________ 77
Figura 30 Representación con circunferencias concéntricas de la respuesta en el espacio-k
del filtro Veronesi (s=0,65). _________________________________________________ 78
Figura 31 Campo de presión filtrado para 4 kHz. a. Distribución espacial en la malla de
medición. b. Representación del espacio-k (Incluye la representación del filtro Veronesi
empleado). ______________________________________________________________ 79
Figura 32 Comparación entre la velocidad de propagación de las ondas de flexión de la viga
obtenida experimentalmente y con los modelos de viga de Euler-Bernoulli y Timoshenko. 79
Figura 33 Esquema de la situación real de edificación de los elementos constructivos ___ 85
Figura 34 Esquema del flujo de energía entre dos placas conectadas transversalmente __ 86
Figura 35 Superior. Detalle de la esquina (Todas las dimensiones en centímetros). Inferior
Estructura Real. ___________________________________________________________ 93
Figura 36 Distribución de los puntos de medición ________________________________ 94
Figura 37 Respuesta en frecuencia mediante el proceso experimental de la esquina
desnuda _________________________________________________________________ 97
Figura 38 Respuesta en frecuencia con la solución de suelo flotante. Arriba. Comparación
entre los resultados experimentales y numéricos en la superficie superior de la esquina.
Abajo. Comparación entre los resultados experimentales y numéricos sin la contribución 100
XX
Figura 39 Respuesta en frecuencia para las seis superficies. Arriba La esquina desnuda.
Abajo, La esquina con la solución de suelo flotante, _____________________________ 102
Figura 40 Diferencia Normalizado para tres distintos casos de comparación __________ 103
Figura 41 Curvas de decaimiento para tres distintas frecuencias (𝟖𝟎𝟎𝑯𝒛 − 𝟐𝒌𝑯𝒛 − 𝟒𝒌𝑯𝒛)
_______________________________________________________________________ 105
Figura 42 Tiempo de reverberación estructural para la piedra Bateig ________________ 107
Figura 43 Factor de pérdidas 𝜼 de la piedra Bateig ______________________________ 108
Figura 44 Índice de reducción de las vibraciones, Kij, para distintas configuraciones de
suelo flotante ____________________________________________________________ 109
Figura 45 Comparación de la técnica experimental propuesta y la técnica de la máquina de
impactos para el cálculo del índice de reducción del sonido de impacto ______________ 110
Figura 46 Esquema condiciones de contorno. Derecha, impedancia superficial, izquierda,
impedancia de transferencia ________________________________________________ 117
Figura 47 Muestras del material fibroso utilizado para el estudio ____________________ 119
Figura 48 Esquema del montaje para la medición de impedancia acústica en tubo de
impedancia _____________________________________________________________ 121
Figura 49 Montaje experimental método de la función de transferencia ______________ 122
Figura 50 Montaje experimental. Izquierda: NAH. Derecha: Aceleración _____________ 123
Figura 51 Montaje experimental para la holografía acústica de campo cercano. _______ 123
Figura 52 Parte real e imaginaria de la Impedancias Acústicas 𝒁𝑺 y 𝒁𝑻 _____________ 125
Figura 53 Representación gráfica de la eficiencia de radiación simulada según el modelo de
DOUTRES con las mediciones de 𝒁𝑺(izquierda) y 𝒁𝑻(derecha). Placa rígida(___) y la placa
recubierta de una capa de material fibroso (-----) ________________________________ 126
Figura 54 Eficiencia de Radiación calculada a partir de las mediciones con NAH_______ 127
Figura 55 Configuración de medida según EN 29052-1:1992 (ISO 9052:1989) [2] ______ 129
Figura 56 Proceso de medición de la Rigidez Dinámica __________________________ 133
Figura 57 Representación gráfica de la función de transferencia de la medición de la rigidez
dinámica _______________________________________________________________ 134
Figura 58 Vista en planta (izquierda) y alzado (derecha) de la configuración bajo estudio 135
Figura 59 Izquierda: Giro respecto OY de la cara superior de la intercapa. Derecha: Giro
respecto OZ de la cara superior de la lámina ___________________________________ 140
Figura 60 Componente 𝒖 del modo analítico correspondiente a la ecuación (6.7 a), (77.95
Hz) ____________________________________________________________________ 143
Figura 61 Componente 𝒖 del modo numérico correspondiente a la ecuación (6.7 a), (76,53
Hz) ____________________________________________________________________ 143
Figura 62 Componente 𝒖 del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.50 Hz) ______________________________________________ 143
Figura 63 Componente 𝒖 del modo numérico en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.40 Hz) ______________________________________________ 143
XXI
Figura 64 Componente 𝒖 del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.50 Hz doble) _________________________________________ 143
Figura 65 Componente 𝒖 del modo numérico en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.40 Hz doble) _________________________________________ 143
Figura 66 Componente 𝒖 del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (77.96 Hz) ______________________________________________ 144
Figura 67 Componente u del modo numérico de la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (74.81 Hz) ______________________________________________ 144
Figura 68 Componente 𝒖 del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (77.96 Hz doble) _________________________________________ 144
Figura 69 Componente 𝒖 del modo numérico de la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (74.81 Hz doble) _________________________________________ 144
Figura 70 Componente 𝒗 del modo analítico de la losa correspondiente a la ecuación (6.7
d), (23.50 Hz) ___________________________________________________________ 144
Figura 71 Componente 𝒗 del modo numérico de la losa correspondiente a la ecuación (6.7
d), (23.48 Hz) ___________________________________________________________ 144
Figura 72 Circuito equivalente de un altavoz dinámico. Aproximación en baja frecuencia __ V
Figura 73 Esquema de la medición de la Impedancia eléctrica de los actuadores _______ VII
Figura 74 Espécimen empleado para calibrar el sistema electroacústica _____________ XIII
Figura 75 Esquema de medición del procedimiento experimental alternativo __________ XIV
Figura 76 Ejemplo de la interfaz gráfica para la emisión y adquisición de señales ______ XIV
Figura 77 Primer Test: Impedancia Eléctrica del Actuador 2 (ACT_002) ______________ XV
Figura 78 Segundo Test: Respuesta al Impulso obtenida de la viga usando tres distintos
niveles de amplificación y el Actuador ACT_002 ________________________________ XVI
Figura 79 Comparación de la respuesta en frecuencia entre el experimento usando,
Actuador-MLS, Shaker-MLS y Martillo de Impacto. _____________________________ XVII
XXII
Listado de Tablas
Tabla 1 Relaciones entre diferentes formas de expresar el amortiguamiento. Tabla tomada
de [51] __________________________________________________________________ 19
Tabla 2 Solución para la ecuación diferencial del movimiento de flexión para distintas
condiciones de contorno ____________________________________________________ 27
Tabla 3 Características mecánicas de la viga usada como ejemplo __________________ 37
Tabla 4 Las características físicas y mecánicas de la piedra Bateig __________________ 60
Tabla 5 Propiedades de la señal MLS usada en los experimentos ___________________ 63
Tabla 6 Diez primeros modos de flexión de una viga-libre libre, calculado con la
aproximación de Euler-Bernoulli, obtenido experimentalmente y desviación relativa
(porcentaje). _____________________________________________________________ 71
Tabla 7 Propiedades mecánicas de la miga de neumático reciclado __________________ 93
Tabla 8 Selección y localización de la fuente sobre la malla de medición. _____________ 94
Tabla 9 Propiedades Mecánicas del Mármol ____________________________________ 95
Tabla 10 Propiedades mecánicas de las capas viscoelásticas elegidas para el estudio ___ 95
Tabla 11 Comparación numérica de las formas modales con dos condiciones de contorno.
Izquierda. Condición experimento real. Derecha, En la base condición tipo muelle. ______ 98
Tabla 12 Solución numérica de las formas modales _____________________________ 100
Tabla 13 Características mecánicas de la placa metálica _________________________ 118
Tabla 14 Características mecánicas del material fibroso __________________________ 118
Tabla 15 Modos radiales de la placa metálica encastrada en una pantalla infinita ______ 127
Tabla 16 Muestras de intercapa usadas para la medición de la Rigidez Dinámica ______ 132
Tabla 17 Datos de entrada para el ejemplo en el modelo numérico _________________ 142
Tabla 18 Actuadores Electrodinámicos usados en este estudio _____________________ XII
Tabla 19 Características de los actuadores (Datasheet del fabricante) ________________ XII
Tabla 20 Amplificaciones usadas en el sistema de calibración _____________________ XVI
Tabla 21 Respuesta en frecuencia entre el Martillo, el Excitador Electrodinámico y el
Actuador para la viga de sección rectangular continua, (Hz). _____________________ XVIII
XXIII
CAPÍTULO 1: OBJETO Y ANTECEDENTES
Este documento que se presenta para su evaluación como tesis doctoral en
el programa de doctorado del Instituto Universitario de Física Aplicada a las
Ciencias y las Tecnologías (en adelante IFACT), de la Universidad de Alicante
(UA), se inscribe en la línea de investigación de Acústica de la Edificación
(Building Acoustics), del citado programa.
Parte de las actividades realizadas se han financiado por la Generalitat
Valenciana a través del proyecto emergente “REDUCCIÓN DE LA
TRANSMISIÓN DE RUIDO DE IMPACTO EN SUELOS FLOTANTES”
(expediente GV/2013/019), cuyo Investigador Principal (IP) es D. Enrique G.
Segovia Eulogio, codirector de este trabajo.
Los aportes científicos de la presente tesis doctoral a la acústica de la
edificación, se pueden enmarcar en las siguientes temáticas:
a) la cuantificación de la transmisión energética que se produce al generar
perturbaciones de tipo mecánico en estructuras de tamaño reducido,
de elementos constructivos que se encuentran comúnmente en la
edificación, tales como vigas y placas unidas o conectadas entre sí. La
discusión se centra en encontrar los límites de validez de la
metodología conocida por SEA (Statistical Energy Analysis) [1] para
cuantificar el flujo de energía acústica entre sistemas acoplados. Este
1
estudio se ejecuta desde un punto de vista experimental y se ubica en
el contexto de la problemática del ruido transmitido vía estructural.
b) en la utilización de técnicas y procedimientos alternativos no invasivos
para la caracterización de materiales, empleando métodos de medición
vibroacústicos. Se estudian principalmente materiales visco-poroelásticos y se determinan dos propiedades mecánicas; la primera, hace
referencia a la impedancia de transferencia haciendo uso de la
holografía acústica de campo cercano (NAH-Near Field Acoustic
Holography-) y la segunda, a la obtención de las propiedades elásticas
(Modulo de Young, de Compresibilidad, de elasticidad transversal, de
onda P y el primer parámetro de Láme), de estos materiales usando un
método inverso basado en la medición de la rigidez dinámica [2]. El
método inverso se justifica mediante un riguroso estudio analítico.
En este sentido, las contribuciones de la investigación se han orientado a:

Estudiar el grado de validez de los principios del Análisis Estadístico de
la Energía SEA [1], para la evaluación del flujo de potencia en
estructuras simples de tamaño reducido, como las vigas de sección
transversal rectangular, continuas y con cambio de sección.

Medir el campo de radiación acústico de estructuras simples tipo viga,
para estimar el comportamiento modal de la estructura y calcular la
velocidad de propagación de las ondas de flexión de los sólidos,
aplicando técnicas de procesado en el espacio del número de onda
(espacio-k) [3] .

Obtener la impedancia de transferencia [4], [5] de materiales fibrosos
comparando los resultados con el modelo de Biot [6], [7] usando
Holografía Acústica de Campo Cercano-NAH [3].

Desarrollar un procedimiento alternativo de medición usando sistemas
constructivos en tamaño reducido para determinar el índice de
reducción de las vibraciones, 𝑘𝑖𝑗 , [8] con especial interés en la
observación del comportamiento de distintas configuraciones de suelo
flotante.
2

Determinar parámetros elásticos de un material absorbente a partir de
las medidas obtenidas en el ensayo experimental normalizado para
medir la rigidez dinámica [2]
La verificación de los resultados experimentales se realizó con el método de
elementos finitos (MEF). Los experimentos numéricos resuelven el problema
vibroacústico en el módulo de mecánica de sólidos del software COMSOL
Multiphysics [9] en su versión 4.3. Los materiales empleados en los modelos
son de tipo elástico lineal y en cada uno de los experimentos se realizaron
estudios de frecuencia propia y en el dominio de la frecuencia. En el estudio
de las propiedades mecánicas de los materiales absorbentes se empleó el
software ANSYS (Versión 15.0.7) [10].
Parte de los resultados de este trabajo doctoral, han sido presentados en
distintos congresos de acústica e ingeniería mecánica: EURONOISE 2012
[11], IECM 2012 [12], [13], [14] Tecniacústica 2012 [15], [16] , Tecniacústica
2013 [17]1, [18], Tecniacústica 2014 [19], [20], [21], [22] y en el IX Congreso
Iberoamericano de Acústica –FIA 2014 [23]. También se han llevado a cabo
contribuciones orientadas a la vertiente pedagógica en congresos de
investigación docente, Redes 2014 [24] y Redes 2015 [25]
1.1 Antecedentes
El sonido se transmite de un recinto (emisor) a otro (receptor), a través de dos
caminos: el aéreo y el estructural. Las ondas sonoras en el aire se propagan
de manera longitudinal y con una velocidad de propagación constante,
independiente de la frecuencia. Las ondas que se propagan en los sólidos son
de distintos tipos (transversales, longitudinales, Shear, Rayleigh, superficiales,
entre otras), con diferentes velocidades, que dependen de la frecuencia,
entonces se dice que el medio de propagación es dispersivo [26].
Los inconvenientes de las técnicas de medición y predicción actualmente
estandarizadas [8], [27] y [28], están relacionados con las aproximaciones de
primer orden [29], [30] con las cuales se resuelven los problemas de
1
Comunicación galardonada con el premio Andrés Lara para Jóvenes Acústicos-SEA-2013
3
interacción entre uniones en una edificación ya que, solo se tiene en cuenta
un elemento en la unión y un solo elemento constructivo. Las aproximaciones
están basadas dentro de los supuestos de la teoría estadística (SEA) [1],
donde se acepta que la densidad modal es alta por lo que se puede estudiar
energéticamente el fenómeno. Pero la realidad es que las estructuras tienen
un marcado comportamiento modal a baja frecuencia como se menciona en
los estudios [31], [32] y este comportamiento es altamente dependiente del
material constructivo, por lo que estudios predictivos con técnicas hibridas
como la popular MEF-SEA son una potente herramienta para evaluar el
comportamiento vibroacústico de sistemas constructivos [26].
Con el objeto de predecir el comportamiento de los elementos constructivos,
la norma UN EN ISO 10848 (Medida en el laboratorio de la transmisión por
flancos del ruido aéreo y de impacto entre recintos adyacentes) [28] permite
anticipar el comportamiento de los elementos constructivos en laboratorio.
Este tipo de laboratorio requiere una gran infraestructura, por lo que no
siempre está al alcance de los productores o de los investigadores de
sistemas constructivos.
La incertidumbre asociada entre la predicción, la medida en laboratorio y la
medida insitu del índice de reducción de la vibración (𝑘𝑖𝑗 ), radica en que la
estimación del valor se hace desde una aproximación de primer orden del
modelo analítico como se mencionó anteriormente, además no se tiene en
cuenta, la dependencia en frecuencia que es importante en el comportamiento
estructural, ni la interacción entre elementos constructivos en distintas
uniones, y lo más importante, no se incluye en el modelo de predicción
sistemas multicapas salvo un estudio restringido al uso de materiales
viscoelásticos entre las uniones. Sin embargo, no se incluye la problemática
asociada a la mejora al ruido cuando se instalan distintas intercapas entre el
forjado y el suelo flotante [27]. Adicionalmente, esta normativa no incluye la
descripción del comportamiento estructural (formas de vibrar), por lo que
determinar el rendimiento de la estructura es complejo.
En la industria automovilística y aeronáutica, se estudia el fenómeno de la
transmisión estructural usando
técnicas de medición
4
resonantes y
modelamiento numérico para describir el desempeño vibroacústico de la
maquinaria, por lo que se optimiza el proceso de diseño y producción, así
como el control del ruido y las vibraciones. En [33] y [34] se ha empleado la
técnica llamada en ingles Vibroacoustic Transfer Path Analysis (TPA) –
Análisis vibro acústico de los caminos de transferencia - esta técnica es una
herramienta para evaluar la contribución de las diferentes trayectorias de
propagación de la energía entre una fuente y un receptor, vinculados entre sí
por un número de conexiones. TPA se utiliza típicamente para cuantificar y
clasificar la importancia de estos caminos en una banda de frecuencia dada.
El
método
TPA
pertenece
al
grupo
de
herramientas
numéricas-
experimentales para el análisis y solución de problemas de ruido y vibraciones
en sistemas vibroacústicos lineales e invariantes en el tiempo. Este método
permite la identificación de las principales fuentes de ruido y vibraciones así
como las rutas de transferencia acústicas a través de la estructura. De esta
forma, es posible encontrar el eslabón más débil en la cadena de transmisión
y proponer sistemas de aislamiento más eficaces.
Otra
técnica
comúnmente
usada
para
predecir
el
comportamiento
vibroacústico de las estructuras es el método de Análisis estadístico de la
Energía (SEA)- Statistical Energy Analisys- . En trabajos como [35] y [36] se
utiliza esta técnica para evaluar distintas aproximaciones basadas en la
evaluación del Factor de perdida de Acoplamiento (CLF)- Coupling Loss
Factor - para la resolución del problema de la trasmisión acústica bajo los
supuestos permitidos por SEA y la evaluación de distintas uniones.
Los elementos tipo viga y placa tienen bajas densidades modales, por lo que
hacer análisis bajo los supuestos de SEA (alta densidad modal) suelen dar
como resultado altas desviaciones en las predicciones de los distintos
sistemas constructivos. En trabajos como [37] emplean mediciones
experimentales y simulaciones numéricas usando un método híbrido MEFSEA para evaluar el aumento de la baja transmisibilidad en el aislamiento de
las vibraciones y del ruido de impacto en suelos flotantes.
Sustentando la necesidad del análisis en baja frecuencia, estudios como [31]
se han enfocado a la caracterización experimental de fuentes de ruido en la
edificación (sistemas hidráulicos). Tales máquinas casi siempre se instalan
5
haciendo contacto con paredes estructurales pesadas homogéneas, o
sistemas de pisos flotantes. En [32] también se estudia el sonido transmitido
vía estructural causada por instalaciones, proponiendo un nuevo método para
derivar la fuerza entre una instalación y un elemento de construcción de
manera recíproca vibroacústicamente hablando. Como la mayoría de las
instalaciones tienen una importante contribución de frecuencia más baja, por
debajo de 50 Hz, se ensaya con una fuente de excitación que cubra este rango
de frecuencia con suficiente nivel.
En este sentido, la línea de investigación de Acústica de la Edificación en la
cual se desarrolla ésta investigación ha venido trabajando en proyectos
enfocados a mejorar la forma de predecir el comportamiento de elementos
constructivos. Entre ellos: “Predicción del aislamiento acústico en la
edificación
(BIA2007-68098-C02-01)”,
cuyo
objetivo
fue
dotar
de
herramientas numéricas y/o datos experimentales, con el propósito de
proporcionar resultados más precisos, para mejorar las predicciones del
aislamiento a ruido aéreo y a ruido de impacto de las soluciones constructivas
más utilizadas en la edificación.
Entre los resultados de la línea de investigación de Acústica de la Edificación
más significativos se pueden citar:

Vibration Reduction Index of a T-Junction With a Flexible
Interlayer; Jesus Alba; Eva Escuder; Jaime Ramis; Romina del Rey;
Enrique G. Segovia; Journal of Vibration and Acoustics; Vol. 134 (2),
2012 [38]

Propuesta de fórmula empírica para el factor de pérdidas, R. del
Rey, J. Alba, J. Ramis, E. Julia y J. Segura, Revista Internacional de
Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería; Vol.
28(3),142–147 (2012) [39]

Aplicación del método de los elementos finitos para la simulación
de las transmisiones por flanco en uniones con suelos flotantes,
Romina del Rey, Jesús Alba, Jaime Ramis, Eva Escuder, Información
Tecnológica Vol. 21(6), 67-78 (2010) [40].
6

Aislamiento acústico de trasdosados fabricados con derivados de
la Madera (MDF), Carlos Hervás; Jesús Carbajo; Enrique Segovia;
Jaime Ramis. Acústica e Vibrações, no. 42, 2010. [41].

Characterization of impervious layers by using scale models and
an inverse method; Jesús Alba, Eva Escuder, Jaime Ramis, Romina
Del Rey; Journal of Sound and Vibration, 326, 190-204; 2009. [42]

Prediction models of airborne sound insulation of multilayer
materials with viscoelastic thin sheets; Jesús Alba; Vincent Marant;
Juan Luis Aguilera; Jaime Ramis; Romina del Rey; Journal of Building
Acoustics; 15(4),325–334; 2008. [43].
Dada la complejidad de medir en condiciones reales, los métodos numéricos
como el de los elementos finitos (MEF), se convierten en una solución más
acertada para la resolución del problema de la predicción de la transmisión
vía estructural, como se muestra en el artículo, también producto del trabajo
de investigación del grupo y titulado, Numerical evaluation of the vibration
reduction index for structural joints publicado en Archives of Acoustics Vol.
37, No. 2, 2012 [44] , en el que se aborda el problema del análisis de la
transmisión de vibraciones en estructuras en presencia de uniones o juntas.
Los resultados obtenidos se comparan con resultados analíticos usando el
modelo presentado en la norma UNE EN ISO 12354 para obtener el índice de
reducción de la vibración.
De acuerdo a lo anteriormente descrito, se puede indicar que el propósito
general de la presente investigación es continuar con los aportes en acústica
de la edificación dentro del grupo de investigación, aportando a la
identificación del fenómeno de propagación de ondas sonoras en sólidos, por
medio de procedimientos alternativos de medición, así como aportar en la
caracterización de los materiales absorbentes usados comúnmente como
intercapa en suelo flotante.
7
1.2 Objetivos
1.2.1 Objetivo General
Caracterizar sistemas y propiedades mecánicas de materiales constructivos a
partir del desarrollo de procedimientos vibroacústicos experimentales
alternativos, en los que juega un papel destacado la elección del transductor
excitador y la elección de la señal de test.
1.2.2 Objetivos Específicos
a. Establecer un set-up experimental
para validar la configuración
propuesta, la cual consiste en usar como estímulo señales
pseudoaleatorias del tipo MLS (Maximun Length Sequence) y emplear
distintas fuentes electrodinámicas del tipo actuador como excitación
mecánica para establecer sistemas forzados.
b. Comparar los supuestos de SEA sobre el flujo de potencia en sistemas
simples acoplados con mediciones realizadas bajo la técnica propuesta
y establecer el grado de validez de SEA en sistemas de tamaño
reducido.
c. Estimar la velocidad de propagación de ondas de flexión usando
medidas en el campo próximo radiado de sistemas tipo viga.
d. Diseñar
un
procedimiento
experimental
alternativo
para
la
caracterización de estructuras de tamaño reducido para cuantificar el
índice de reducción de las vibraciones.
e. Estimar la impedancia de transferencia de materiales fibrosos usando
Holografía Acústica de campo Cercano (NAH) y validar la metodología
experimental.
f. Determinar los parámetros elásticos de materiales usados en la
solución constructiva de piso flotante, a partir del ensayo normalizado
de rigidez dinámica.
8
1.3 Estructura de la Tesis
Para desarrollar los objetivos propuestos, el trabajo se ha estructurado en los
siguientes capítulos:
El capítulo 1 describe los antecedentes y los objetivos que determinaron la
presente investigación y se describen los contenidos de cada una de los
apartados del documento de tesis doctoral.
En el capítulo 2 se exponen los conceptos teóricos que fundamentan el
desarrollo metodológico y experimental de la investigación. Inicialmente se
explica lo referente a sistemas discretos y análisis modal de sistemas
mecánicos, así mismo lo referente al amortiguamiento. En segundo lugar, se
desarrollan las ecuaciones que explican la vibración de vigas, placas y
membranas y la radiación acústica de estas estructuras. En tercer lugar, se
exponen los conceptos básicos sobre el procesamiento de datos en el
espacio-k y la holografía acústica de campo cercano NAH. El siguiente
apartado, el cuarto, expone las generalidades sobre el método numérico más
usado en la resolución de problemas en ingeniería: el método de los
elementos Finitos MEF. Finalmente, se explica el flujo de energía en sistemas
acoplados y el factor de pérdidas por acoplamiento, estos dos conceptos se
explican a través de la terminología básica del Análisis estadístico de la
energía (SEA-Statistical Energy Analysis) para sistemas en estado
estacionario y transitorio. Posteriormente, en el capítulo 4 se profundiza en los
conceptos de SEA relacionados con la propagación de energía en uniones en
edificaciones.
El capítulo 3, presenta los experimentos realizados con elementos tipo viga.
En primer lugar, se muestra la base experimental usada y la manera como se
obtuvieron las propiedades mecánicas del material con que fueron fabricados
los especímenes usados para los test. En segundo término, se demuestra la
influencia de las condiciones de contorno en la realización de los
experimentos. Seguido a esto, se exponen los dos procedimientos
experimentales que dan vía a la obtención de los resultados para caracterizar
las estructuras tipo viga. El primer procedimiento, está asociado al estudio de
las vigas de sección transversal no uniforme obteniendo los resultados de
9
movilidad, flujo de potencia y factor de perdida por acoplamiento, según los
preceptos de SEA. El segundo procedimiento explica un sistema de medida
alternativo en el campo acústico con el cual se hacen análisis en frecuencia,
en tiempo y en el espacio-k, permitiendo obtener cualidades de la estructura,
como las formas modales y la velocidad de propagación de las ondas de
flexión. Al comparar los resultados con las técnicas tradicionales y
experimentos en MEF los procedimientos experimentales presentados en este
capítulo registran una desviación menor al 5%.
En el capítulo 4, se explica la validación de un procedimiento experimental
alternativo, para la caracterización de sistemas acoplados en acústica de la
edificación. La técnica se ha aplicado en estructuras de tamaño reducido con
el ánimo de estudiar la fenomenología de la transmisión de las vibraciones. La
discusión de los resultados se hace en torno a la evaluación del
comportamiento modal y el análisis en régimen estacionario y transitorio, lo
cual permite estimar el tiempo de reverberación estructural, la diferencia de
nivel normalizado y el índice de reducción de las vibraciones. Los resultados
se han comparado con técnicas convencionales obteniendo una alta
correlación, con errores relativos de no más del 5%.
El capítulo 5, expone la obtención de la impedancia de transferencia usando
como técnica de medida la holografía acústica de campo cercano NAH. A
partir de NAH se determina la velocidad de vibración de la superficie de una
capa de material absorbente, que a su vez está adherido a una placa metálica
circular que emula un pistón rígido, los resultados son validados con el Modelo
analítico de Biot [6], [7] para el cálculo de la impedancia acústica de materiales
absorbentes mostrando una gran correlación entre los datos. Además, se
calcula la eficiencia de radiación del sistema con y sin material absorbente
usando las ecuaciones de propagación de NAH. Los resultados se comparan
con los obtenidos aplicando el modelo de radiación por impedancia propuesto
en [4] el cual está basada en la hipótesis del desacoplamiento de la parte
vibratoria y la acústica de un sistema placa-poroso para determinar la
eficiencia de radiación.
En el sexto capítulo, se propone un método inverso para evaluar los
parámetros elásticos de un material visco-poro-elástico: Modulo de Young, de
10
Compresibilidad, de elasticidad transversal, de onda P y el primer parámetro
de Láme. Estos parámetros se estiman a partir de las mediciones de
aceleración según el procedimiento experimental para la obtención de la
rigidez dinámica [2]. Este método inverso se justifica mediante un riguroso
estudio analítico. En este capítulo, también, se prueba la validez de la solución
analítica mediante un modelo numérico de elementos finitos en ANSYS®.
Finalmente, se presentan las conclusiones generales del trabajo doctoral y se
proponen futuras líneas de investigación, seguido de un apartado de Anexos
donde se expone la manera de calibración de la fuente y señal usada.
11
CAPÍTULO 2: CONCEPTOS
En este capítulo se resumen los conceptos que serán utilizados en el presente
documento.
En la primera sección, se explican los fundamentos sobre sistemas discretos
y análisis modal que son utilizados en la totalidad del trabajo, especialmente,
en las aportaciones que se realizan en el capítulo 6.
En la segunda sección, se aborda la cuestión de la propagación de las ondas
de flexión y la radiación acústica generada por éstas. Estos contenidos
conectan directamente con parte de las contribuciones del capítulo 3.
En la sección 2.3, se explican los fundamentos de la técnica de la holografía
acústica de campo cercano (NAH) y del procesado en el espacio-k. La técnica
NAH se aplicará en el capítulo 5 de este trabajo de tesis doctoral, para obtener
la Impedancia de transferencia de un material absorbente tipo fibroso (Fibra
de PET reciclado) y estimar la eficiencia de radiación de una sistema pistón
circular plano encastrado en una pantalla infinita. En el capítulo 3, se hace uso
del procesado en el espacio-k con el objeto de facilitar la visualización del
campo radiado por encima de la frecuencia crítica en una viga de sección
transversal rectangular uniforme.
La cuarta sección está dedicada a los fundamentos del método numérico de
los elementos finitos (MEF) aunque sólo se ha utilizado como método de
13
verificación de los experimentos propuestos. Concretamente se han utilizado
dos herramientas computacionales para los modelos numéricos, ANSYS®
(Versión 15.0.7) [10] y COMSOL
Multiphysics® (versión 4.3) [9], ambos
programas especializados en la resolución de problemas de física e ingeniería
usando MEF, que permiten acoplar varios problemas físicos en un solo
modelo. En este caso, se ha usado el módulo de mecánica estructural
(Structural Mechanics).
El método SEA, cuyos conceptos básicos se explican en la sección 2.5, se ha
utilizado en el capítulo 3, al estimar el flujo de potencia entre dos partes de
una viga de distinta sección tranversal, con el objetivo de evaluar el factor de
pérdidas por acoplamiento (CLF) así como en el capítulo 4, donde se estudia
el índice de reducción vibracional en un sistema más complejo en forma de
esquina
2.1. Sistemas discretos y Análisis modal.
Un sistema mecánico continuo puede ser definido como un sistema discreto
en el que cada una de sus partes tiene varias posibilidades de movimiento
denominadas grados de libertad, y dependen de las condiciones de contorno
del sistema. Cada parte queda definida por su masa, su rigidez y su
amortiguamiento. Se ordenan de forma matricial en matrices de masa, rigidez
y amortiguamiento del sistema.
La ecuación diferencial del movimiento para un sistema con múltiples grados
de libertad definido por sus matrices de masa, rigidez y amortiguamiento se
obtiene de la aplicación directa de la segunda ley de Newton:
[𝑀]{𝑦̈ } + [𝐶]{𝑦̇ } + [𝐾]{𝑦} = {𝑓(𝑡)}
(2.1)
donde, [𝑀], [𝐶] y [𝐾] son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del
sistema de dimensiones 𝑛𝑥𝑛, siendo 𝑛 el número de grados de libertad en las
que se discretiza el sistema. Los términos{𝑦̈ }, {𝑦̇ }, {𝑦} y {𝑓(𝑡)} son vectores 𝑛𝑥1
que representan la aceleración, velocidad, desplazamiento y la fuerza
actuante respectivamente.
14
La aproximación al problema vibratorio sin tener en cuenta el amortiguamiento
permite simplificar los cálculos ( C  = 0). Este es un caso muy habitual en
estructuras de edificación donde el amortiguamiento es relativamente
pequeño.
Por lo tanto, el efecto de la amortiguación se desprecia, cuando se determinan
las frecuencias propias y formas modales [45]. Para la determinación de las
frecuencias propias es necesario obtener el movimiento del sistema en
vibración libre con {𝑓(𝑡)} = {0} Así, sin la matriz de amortiguamiento la
ecuación (2.1) queda del siguiente modo:
[𝑀]{𝑦̈ } + [𝐾]{𝑦} = {0}
(2.2)
Esta ecuación tiene soluciones de la forma:
{𝑦(𝑡)} = {𝑎}𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
(2.3)
donde cada componente del vector {𝑎} es la amplitud del movimiento del
grado de libertad correspondiente, 𝜔 es frecuencia angular.
Sustituyendo la ecuación (2.3) en (2.2) se llega a un sistema de ecuaciones
lineales de la siguiente forma:
([𝐾] − 𝜔2 [𝑀]){𝑎} = {0}
(2.4)
Para que este sistema de ecuaciones no presente una solución trivial, el
determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo:
K   ω2 M 
0
(2.5)
Los resultados de la ecuación (2.5) , conocidos como auto-valores, son 𝜔𝑖2 ,
cuyas raíces cuadradas son las frecuencias propias, 𝜔𝑖 , del sistema. Los
correspondientes auto-vectores {𝑎}𝑖 para cada valor de 𝜔𝑖2 , son los llamados
modos normales que -contienen la información de las formas modales. La
ordenación en una matriz de los modos normales constituye la matriz modal
del sistema [𝑎] que es de orden 𝑛𝑥𝑛.
Los modos normales poseen la importante propiedad de ser ortogonales
respecto de las matrices de masa y rigidez del sistema. A partir de esta
propiedad se puede deducir que dado un modo normal cualquiera {𝑎}𝑠 :
15
{𝑎}𝑇𝑠 [𝑀]{𝑎}𝑠 = 𝑚𝑠
(2.6)
{𝑎}𝑇𝑠 [𝐾]{𝑎}𝑠 = 𝑘𝑠
(2.7)
donde 𝑚𝑠 es la masa modal y 𝑘𝑠 es la rigidez modal del modo normal {𝑎}𝑠 . La
frecuencia angular 𝜔𝑠 para el modo normal {𝑎}𝑠 puede obtenerse como si se
tratara del movimiento de un sistema de un solo grado de libertad:
𝑘
𝜔𝑠 = √𝑀𝑠 s 
𝑠
ks
ms
(2.8)
A partir de las ecuaciones (2.6) y (2.7) se pueden obtener las matrices
diagonales de masa y rigidez modales para todo el sistema:
𝑚1
0
[𝑎]𝑇 [𝑀][𝑎] = [𝑚] = (
…
0
𝑘1
0
[𝑎]𝑇 [𝐾][𝑎] = [𝑘] = (
…
0
0
𝑚2
…
0
0
𝑘2
…
0
…
…
…
…
0
0
)
…
𝑚𝑛
… 0
… 0
)
… …
… 𝑘𝑛
(2.9)
(2.10)
Las frecuencias propias del sistema se obtendrán a partir de las matrices de
masa y rigidez modales según:
[𝜔2 ] = [𝑘][𝑚]−1
(2.11)
Gracias a la propiedad de la matriz modal de diagonalizar las matrices de la
ecuación (2.2), es posible desacoplar cada una de las ecuaciones de forma
que un sistema con múltiples grados de libertad, se convierta en otro formado
por una combinación de sistemas de un grado de libertad.
Los vectores {𝑎}𝑖 no son únicos, es decir que la ecuación (2.2) se satisface
para los valores de {𝑎}𝑖 y cada uno de sus múltiplos, esto hace que sea
conveniente normalizarlos. Es frecuente que los modos normales se
normalicen mediante la matriz de masa modal como se expresa en la siguiente
ecuación:
{𝜙}𝑖 =
1
√𝑚𝑖
{𝑎}𝑖
(𝑖 = 1,2 … … … . 𝑛)
16
(2.12)
donde cada vector {𝜙}𝑖 es un modo normal normalizado respecto de la matriz
de masas. La matriz [𝑎] se puede reescribir en función de la ecuación (2.12)
obteniendo la matriz modal normalizada:
[𝜙] = [𝑚]−
1⁄
2 [𝑎]
(2.13)
Con la matriz modal normalizada del sistema y teniendo en cuenta las
propiedades de ortogonalidad se puede llegar a dos nuevas ecuaciones:
[𝜙]𝑇 [𝑀][𝜙] = [𝐼]
(2.14)
[𝜙]𝑇 [𝐾][𝜙] = [𝜔2 ]
(2.15)
La matriz modal normalizada es, a diferencia de la matriz modal, única (salvo
signo) para un sistema de múltiples grados de libertad. Las matrices [𝜙] y [𝜔2 ]
constituyen el modelo modal del sistema que se ha obtenido a partir del
modelo espacial en función de las matrices de masa y rigidez del sistema [𝑀]
y [𝐾].
Antes de introducir el amortiguamiento en las ecuaciones, conviene realizar
unas consideraciones sobre este concepto. En general, el amortiguamiento,
es el mecanismo de disipación de energía que todo sistema mecánico posee,
y que hace que la amplitud de la vibración disminuya con el tiempo. La
cantidad de amortiguamiento depende de muchos factores: del material, de la
velocidad de vibración, de la frecuencia, etc. Cuando se utiliza el término
amortiguamiento no se hace referencia específica a mecanismos internos ni
externos de disipación energética. La teoría del amortiguamiento ha sido
abordada desde diversas áreas (la teoría molecular, la termodinámica, la
mecánica, la teoría de sistemas lineales, entre otras)
Aunque existen distintos modelos teóricos, se puede afirmar que esta área de
investigación no se ha cerrado, puesto que se han realizado importantes
modificaciones a los modelos en base a observaciones experimentales no
deducibles de manera teórica, como ocurre en el caso de la teoría del
amortiguamiento histerético, de la caracterización de materiales viscoelásticos
mediante modelos clásicos [46]. Las configuraciones experimentales
requeridas con el fin de caracterizar en el dominio de la frecuencia el
17
denominado factor de pérdidas de un material son diversas pero la norma
ASTM E-756 [47] es la más utilizada para la caracterización de las
propiedades dinámicas de los materiales.
Existen diversas metodologías alternativas [48] y [49] que, si bien utilizan las
fórmulas planteadas en la norma ASTM E-756, requieren de montajes y
utilizan transductores alternativos a los planteados en el estándar. Se pueden
citar [50].
 Método de Oberst modificado (MOM).
 Método de respuesta sísmica (SRM).
 Método de impedancia central (CIM).
 Método SS-SS (SSM)
Tanto el MOM, el SRM y el CIM, se basan en el estándar ASTM E-756. Estos
ensayos se denominan “metodologías resonantes”, puesto que se basan en
el análisis de las resonancias presentes en las Funciones de Respuesta de
Frecuencia (FRF).
La ecuación (2.16), corresponde a un sistema de un grado de libertad.
𝑚𝑦̈ + 𝑐𝑦̇ + 𝑘𝑦 = 𝑓(𝑡)
(2.16)
En función del amortiguamiento ,𝑐, los sistemas se pueden clasificar:
 Sistemas con amortiguamiento crítico 𝑐 = 𝑐𝑐𝑟 : Es el amortiguamiento
límite, al alcanzarse el movimiento no resulta oscilatorio, la amplitud del
desplazamiento inicial decrece exponencialmente con el tiempo hasta
llegar a cero.
 Sistemas subamortiguados 𝑐 < 𝑐𝑐𝑟 : El amortiguamiento es inferior al
crítico. El movimiento resultante es oscilatorio y la amplitud del
desplazamiento va disminuyendo en cada ciclo hasta llegar a cero.
 Sistemas sobreamortiguados 𝑐 > 𝑐𝑐𝑟 : El amortiguamiento es superior
al crítico. El movimiento no resulta oscilatorio, la amplitud del
desplazamiento decrece exponencialmente hasta llegar a cero aún
más rápidamente que en el caso de amortiguamiento crítico.
18
Los sistemas reales son en general subamortiguados, El coeficiente de
amortiguamiento se define como el cociente entre el amortiguamiento del
sistema y su amortiguamiento crítico correspondiente:
𝜉=
𝑐
𝑐𝑐𝑟
(2.17)
Existen diferentes otras formas de expresar el amortiguamiento, en la Tabla 1
se muestran algunas de ellas y sus relaciones:
Tabla 1 Relaciones entre diferentes formas de expresar el amortiguamiento. Tabla tomada de
[51]
MEDIDA
Coeficiente de
Coeficiente de
Factor de
Decremento
Factor de
amortiguamiento
pérdidas
logarítmico
calidad
𝜉
𝜂
2
∆
2𝜋
1
2𝑄
2𝜉
𝜂
∆
𝜋
1
𝑄
2𝜋 𝜉
𝜋𝜂
𝛥
𝜋
𝑄
1
2𝜉
1
𝜂
𝜋
∆
𝑄
amortiguamiento
Factor de
pérdidas
Decremento
logarítmico
Factor de
calidad
La aproximación más sencilla, para tener en cuenta el amortiguamiento, es
suponer
un
amortiguamiento
proporcional
también
conocido
como
amortiguamiento de Rayleigh. El amortiguamiento proporcional asume que la
matriz de amortiguamiento es una combinación lineal de las matrices de masa
y rigidez del sistema [𝑀] y [𝐾]:
[𝐶] = 𝛼[𝑀] + 𝛽[𝐾]
(2.18)
donde 𝛼 y 𝛽 son constante reales y positivas. La adopción del
amortiguamiento proporcional simplifica el problema al poder diagonalizar la
matriz de amortiguamiento junto con las matrices de masa y rigidez mediante
las propiedades de ortogonalidad de la matriz modal. Así se pueden
desacoplar las ecuaciones del movimiento de igual forma que en el caso del
sistema sin amortiguamiento. Hay que resaltar que la matriz modal para el
caso de un sistema con amortiguamiento proporcional, es idéntica a la del
sistema no amortiguado y, por lo tanto, los modos siguen siendo normales.
19
Sin embargo en la práctica no hay ninguna razón para suponer que el
amortiguamiento de un sistema sea proporcional. En general los sistemas
mecánicos presentan un amortiguamiento no proporcional con unos modos
complejos y no normales [52] y [53]. Los dos principales modelos de
amortiguamiento no proporcional son: el viscoso y el estructural [54]. En el
caso de un amortiguamiento viscoso, la respuesta del sistema estará acotada
alrededor de la resonancia y en un desfase entre la excitación y la respuesta
del sistema
Considerando un amortiguamiento no proporcional de tipo estructural, la
matriz de amortiguamiento puede ser expresada como la parte imaginaria de
una matriz de rigidez compleja:
𝐾𝑐 = [𝐾] + 𝑗[𝐶]
(2.19)
Sustituyendo la expresión (2.19) en la ecuación (2.1), con {𝑓(𝑡)} = {0}, de
movimiento del sistema se obtiene:
[𝑀]{𝑦̈ } + 𝑗[𝐶]{𝑦̇ } + [𝐾]{𝑦} = {0}
(2.20)
La ecuación diferencial (2.20) tiene una solución de la forma:
{𝑦(𝑡)} = {𝜓}𝑒 𝑗𝜆𝑡
(2.21)
Al igual que en el sistema desamortiguado se llega a un problema de autovalores y auto-vectores:
|[𝐾𝑐 ] − 𝜆2 [𝑀]| = 0
(2.22)
Los autovalores resultan complejos:
𝜆2𝑖 = (𝜔𝑖2 1 + 𝑗𝜂𝑖 ) … … . . ( 𝑖 = 1,2, … … . 𝑛)
(2.23)
donde 𝜆𝑖 , 𝜔𝑖 y 𝜂𝑖 son respectivamente, la frecuencia propia compleja, la
frecuencia de resonancia normal (sin amortiguamiento) y el factor de pérdidas
del modo 𝑖.
Por otro lado, los correspondientes auto-vectores para cada valor de 𝜆𝑖 ,
también son complejos. La agrupación de estos vectores para un orden
ascendente de 𝜆𝑖 da lugar a la matriz modal compleja [𝜓].
20
Los modos complejos también poseen las propiedades de ortogonalidad, por
lo que se cumplen las siguientes relaciones, donde la matriz de masa se
considera como compleja con parte imaginaria nula:
{𝜓}𝑇 [𝑀][𝜓] = [𝑚]
(2.24)
{𝜓}𝑇 [𝐾𝑐 ][𝜓] = [𝑘]
(2.25)
[𝜆2 ] = [𝑘][𝑚]−1
(2.26)
Las matrices de masa y rigidez modales obtenidas también resultan
complejas. Por las mismas razones que en el sistema no amortiguado, es
conveniente normalizar la matriz modal compleja respecto de la masa modal:
−1⁄
2 [𝜓]
[𝛷] = [𝑚]
(2.27)
donde [𝛷] es la matriz modal compleja normalizada.
Haciendo uso de nuevo de las propiedades de ortogonalidad con la matriz
modal compleja normalizada se llega a las expresiones:
[𝛷]𝑇 [𝑀][𝛷] = [𝐼]
(2.28)
[𝛷]𝑇 [𝐾][𝛷] = [𝜆2 ]
(2.29)
Pese a que en la práctica los sistemas suelen presentar modos complejos,
bajo determinadas circunstancias puede considerarse que los modos son
normales:
 Cuando el sistema presenta un amortiguamiento muy pequeño.
 Si el mecanismo de amortiguamiento del sistema se distribuye en este
de forma regular, de la misma manera que la inercia o la masa sin
mecanismos de amortiguación concentrados.
 Cuando la densidad modal en un determinado rango de frecuencia es
baja y no se dan modos con frecuencias propias muy próximas.
La obtención de los modos normales a partir de los modos complejos tanto de
forma analítica como experimental es continuo objeto de investigación en el
análisis modal [55] y [56].
21
El análisis modal es el proceso para determinar las características dinámicas
de un sistema en forma de frecuencias propias, formas modales y factores de
amortiguamiento. Una forma modal es un patrón de deformación que la
estructura toma al vibrar en resonancia a una determinada frecuencia propia.
El amortiguamiento está relacionado con la capacidad interna de la estructura
de disipar la energía que recibe de una acción dinámica [57]
El análisis modal puede tener dos aproximaciones:
 Teórica (analítica o numérica), mediante la aplicación de la segunda ley
de Newton a un sistema con n grados de libertad se puede crear un
modelo matemático también conocido como modelo espacial, de su
movimiento vibratorio. Este modelo es función de la geometría, de las
condiciones de contorno y de características como la masa, rigidez y
amortiguamiento del sistema.
 Experimental: mediante las Funciones de Respuesta en Frecuencia, en
adelante FRF. Mediante las FRF obtenidas a partir de la relación entre
la repuesta y excitación dinámica entre dos puntos de un sistema se
llega a lo que se conoce como modelo de respuesta. Con la aplicación
de los métodos de extracción de parámetros modales a un conjunto de
FRF se obtienen las características dinámicas del sistema.
En este trabajo se asumen las siguientes hipótesis para el análisis modal
teórico:
 Linealidad: la respuesta del sistema es siempre proporcional a la
excitación. En general las estructuras presentan un comportamiento
lineal para pequeños movimientos. Este comportamiento se ve
afectado cuando las deformaciones se hacen grandes y aumentan los
efectos de segundo orden.
 Reciprocidad: se cumple el Teorema de la Reciprocidad de MaxwellBetti, ¨El trabajo realizado por un sistema de fuerzas B que sufre un
desplazamiento provocado por un sistema de fuerzas A, es igual al
trabajo realizado por el sistema de fuerzas A cuando el desplazamiento
es provocado por el sistema de fuerzas B¨. Esta hipótesis conlleva la
simetría de las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento.
22
 Invariancia en el tiempo: las características dinámicas del sistema no
cambian con el tiempo.
Además de las anteriores, en un análisis modal experimental:
 Superposición: las FRF medidas en un mismo punto del sistema del
sistema no depende del tipo de excitación.
 Homogeneidad: las FRF medidas en un mismo punto del sistema no
dependen del nivel de excitación.
2.2. Vibración y radiación de vigas, placas
2.2.1 Radiación de ondas de Flexión
Las vigas son estructuras lineales que trabajan a flexión, de uso frecuente en
la ingeniería y la arquitectura. Estas estructuras, cuando son sometidas a
cargas dinámicas generan vibraciones con diferentes formas, en función de
sus modos propios de vibración. Cuando las vibraciones corresponden al
movimiento a flexión, se genera radiación acústica al medio que rodea a la
estructura. La radiación comienza, como se verá a continuación, después de
la llamada frecuencia de crítica, 𝑓𝑐 .
En [58], se comparan cuatro aproximaciones analíticas que describen la
propagación de esta perturbación, denominándolas: Euler-Bernoulli, Rayleigh,
Shear y Timoshenko. Estas aproximaciones permiten resolver la ecuación de
onda del movimiento tranversal de las vigas obteniendo los modos propios de
vibración. Los cuatro modelos consideran las siguientes aproximaciones:
 El material es linealmente elástico
 El efecto de Poisson se desprecia
 El área de la sección transversal es simétrica con respecto al eje de
flexión
 Los planos que son perpendiculares al eje neutro permanecen
perpendicular después de la deformación
 El ángulo de giro es pequeño
 La dimensión en la dirección axial es considerablemente mayor que las
otras dos dimensiones.
23
Para cuantificar la última aproximación comúnmente se calcula el parámetro
denominado relación de aspecto,𝑅𝐴 , definido mediante la ecuación:
𝐴
𝑅𝐴 = 𝐿 √
𝐼𝑦
(2.30)
donde: 𝐿 es la longitud de la viga (𝑚), 𝐴 es el área de la sección transversal
(𝑚2 ), 𝐴 = 𝑤ℎ, e 𝐼𝑦 es el momento de inercia de la sección transversal en el
eje de flexión 𝑦, 𝐼𝑦 =
𝑤ℎ3
12
(𝑚4 ),siendo 𝑤 y ℎ el ancho y el alto de la sección
transversal respectivamente.
Cuando la viga no es esbelta 𝑅𝐴 < 100, la mejor aproximación para describir
este comportamiento vibratorio es el modelo de Timoshenko [58], que es el
modelo más completo [59]. La velocidad de propagación de las ondas de
flexión en las vigas, 𝑐𝐵 , (𝑚⁄𝑠), usando la aproximación de Timoshenko viene
dada por la ecuación 2.31
𝐸𝐼𝑦
𝐼𝑦 2 4
𝐸𝐼𝑦 2
𝐸𝐼𝑦
𝐼𝑦
2(
√(
−
)
𝜔
+
4
𝜔
−
𝜔
+
𝐾𝐴𝑀𝑐
𝐴
𝜌𝐴
𝐾𝐴𝑀𝑐
𝐴)
𝑐𝐵 =
√
(2.31)
𝐼𝑦 𝜌
2 (1 − 𝜔 2 𝐾𝐴𝑀 )
𝑐
donde: 𝐸 es el módulo de Young (𝑁𝑚−2); 𝐾𝐴𝑀𝑐 es el factor de cizallamiento,
que es producto del área de sección tranversal 𝐴, el módulo de cizallamiento
𝑀𝑐 , (𝑁𝑚−2 ) y el factor 𝐾 de corrección, el cual representa la fracción de la
sección transversal de la viga que soporta cizallamiento;
𝐼𝑦
𝐴
es la inercia de
rotación, 𝜔 es la frecuencia angular (𝑟𝑎𝑑⁄𝑠) y 𝜌 es la densidad del material
(𝐾𝑔/𝑚3 ) .
La aproximación de Euler-Bernoulli puede ser aplicada si la relación de
aspecto es mayor que 100, como en el caso de estudio que se propone en el
capítulo 3 de este trabajo.
Este modelo analítico simplifica el cálculo de las frecuencias naturales y
modos de vibración y la expresión para la velocidad de propagación de las
ondas de flexión (ecuación 2.31) queda simplificada (ecuación 2.32), razón
24
por la cual este modelo ha sido elegido para describir el desplazamiento
transversal de la viga.
𝑐𝐵 =
𝜔
𝑘
4
𝐸𝐼𝑦
= √𝜔 √ 𝜌𝐴
(2.32)
La aproximación de Euler-Bernoulli considera una viga continua esbelta
sometida a un movimiento vibratorio en el plano 𝑥𝑦. Este modelo asume que
la sección transversal es plana y perpendicular a la directriz de la deformación
y que la tensión lateral es nula. La Figura 1 describe el movimiento a flexión
de una viga delgada con una sección transversal rectangular cuando está
sometida a una fuerza en el plano 𝑥𝑦:
Figura 1 El movimiento a flexión de una viga delgada con una sección transversal rectangular
cuando se somete a una fuerza en el plano xy.
Mediante el cálculo de las energías cinética y potencial y la adopción del
principio variacional [26] es posible obtener la ecuación de Euler-Bernoulli
para el desplazamiento lateral 𝑑(𝑥, 𝑡) de una viga sometida a una vibración
forzada armónica dependiente del tiempo [60] como:
−𝐹𝑧 (𝑥, 𝑡) = 𝐸𝐼𝑦
𝜕 4 𝑑(𝑥, 𝑡)
𝜕 2 𝑑(𝑥, 𝑡)
+
𝜌𝐴
𝜕𝑥 4
𝜕𝑡 2
(2.33)
donde: 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑡) es la fuerza aplicada por unidad de longitud. La solución
general de la ecuación 2.33 cuando 𝐹(𝑥, 𝑡) es igual a cero es 𝑑(𝑥, 𝑡) =
̌ 𝑒 (𝑘𝑏𝑥) ] 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , donde 𝑘𝑏 es el número de
[𝐴̌ 𝑒 (−𝑗𝑘𝑏 𝑥) + 𝐵̌ 𝑒 (𝑗𝑘𝑏𝑥) + 𝐶̆ 𝑒 (−𝑘𝑏𝑥) + 𝐷
1/4
2
onda de flexión , 𝑘𝑏 = (𝜔 𝑚⁄𝐸𝐼 )
𝑦
, (𝑟𝑎𝑑𝑚−1 ), 𝑚 es la masa por unidad de
25
̆𝐷
̌ son las amplitudes de los diferentes
longitud de la viga (𝐾𝑔𝑚−1 ) y 𝐴̌, 𝐵̌ , 𝐶,
tipos de ondas.
La expresión anterior implica que hay dos tipos diferentes de ondas en la
solución. Los primeros dos términos representan ondas que se propagan en
el eje 𝑥 en direcciones positiva y negativa, y corresponden a la propagación
de la onda de flexión sin atenuación. Los segundos dos términos representan
las ondas de no-propagación, también conocida como ondas evanescentes,
las cuales tienen un decaimiento de la amplitud de manera exponencial con
la distancia y que no transportan energía [26].
Por otro lado, de acuerdo con el enfoque del análisis modal (para vibraciones
libres armónicas), el desplazamiento de una estructura pude ser separado en
el espacio y en el tiempo.
𝑑(𝑥, 𝑡) = 𝜙(𝑥)𝜂(𝑡)
(2.34)
donde 𝜙(𝑥) y 𝜂(𝑡) son la forma modal estructural y la coordenada modal,
respectivamente.
La aplicación de la técnica de separación de variables conduce a un conjunto
de funciones 𝜙𝑛 (𝑥), para las formas modales estructurales y para las
coordenadas modales 𝜂𝑛 (𝑡), las cuales dependen de las condiciones de
contorno e iniciales a la cual es sometida la viga.
Debido a que las formas de los modos son ortogonales entre sí, la respuesta
de desplazamiento de la viga puede ser expresada, en cualquier punto
arbitrario, como una combinación lineal de estas funciones de la forma modal.
∞
𝑑(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝜙𝑛 (𝑥, 𝑦)𝜂𝑛 (𝑡)
(2.35)
𝑛=1
Y la velocidad
𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝜙𝑛 (𝑥, 𝑦)𝜂𝑛̇ (𝑡)
(2.36)
siendo 𝜙𝑛 (𝑥, 𝑦) la nma forma estructural modal y 𝜂𝑛̇ (𝑡) es el nmo modo de la
velocidad
Si el medio es discretizado, la ecuación 2.36 puede ser escrita de forma
matricial, así:
26
𝑣 = [𝜙]𝜂
(2.37)
donde [𝜙] es una matriz real ortogonal, entonces, [𝜙]𝐻 = [𝜙]𝑇 (donde el
superíndice
𝐻
indica el complejo conjugado y
𝑇
transpuesto).
Las formas modales y las coordenadas modales deben verificar las siguientes
ecuaciones:
𝑑 4 𝜙(𝑥) 𝑚𝜔2
−
𝜙(𝑥) = 0
𝑑𝑥 4
𝐸𝐼
(2.38)
𝑑 2 𝜂(𝑡)
+ 𝜔2 𝜂(𝑡) = 0
𝑑𝑡 2
(2.39)
Para resolver completamente la ecuación diferencial es necesario emplear
unas condiciones de contorno para la solución, la Tabla 2 indica tres distintas
condiciones de contorno:
Tabla 2 Solución para la ecuación diferencial del movimiento de flexión para distintas
condiciones de contorno
Condición de contorno
Ecuación
𝜕 2 𝑑(𝑥)
, (𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 𝐿)
𝜕𝑥 2
𝜕𝑑(𝑥)
𝑑(𝑥) = 0 =
, (𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 𝐿)
𝜕𝑥
Simplemente soportada
𝑑(𝑥) = 0 =
Sujetada en los apoyos
Libre-Libre
𝜕 2 𝑑(𝑥)
𝜕 3 𝑑(𝑥)
=
0
=
, (𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 𝐿)
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3
Por ejemplo, para el caso de una viga simplemente soportada en los dos
extremos, las formas modales vienen dadas por la ecuación (2.40)
2
𝑛𝜋
𝜙𝑛 (𝑥) = √
𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥)
𝑚𝐿𝑥
𝐿𝑥
(2.40)
Y las frecuencias propias
𝜔𝑛 = √
𝐸𝐼 2
𝑛𝜋
𝑘𝑛 , 𝑘𝑛 =
𝑚
𝐿𝑥
27
(2.41)
En la Figura 2 se representan gráficamente las primeras 4 formas modales
para el caso de viga simplemente soportada y sujetada en los apoyos:
Figura 2 Representación de las formas modales para distintas condiciones de apoyo. Arriba
Viga Simplemente Soportada. Abajo Viga Sujetada en el apoyo.
Cuando las condiciones de contorno corresponden a libre-libre en la expresión
anterior, las frecuencias naturales de la viga, 𝑓𝑛 , están dadas por la ecuación
2.42
𝑓𝑛 =
𝑑𝑛4 𝐸𝐼𝑦
√
2𝜋𝐿2 𝜌𝐴
(2.42)
donde: 𝑑𝑛 son las raíces de la ecuación: cos(𝑑) cosh(𝑑) − 1 = 0, siendo 𝑑 =
𝑘𝐿, 𝑘 es el número de onda (𝑟𝑎𝑑/𝑚) y 𝑛 es el índice modal. Estas frecuencias
28
indican los modos significativos para el estudio del movimiento del sistema de
tipo viga.
Analíticamente se pueden expresar las pequeñas amplitudes de las ondas de
flexión (Ondas Bending) en una placa plana delgada, ya que están
desacopladas de las ondas longitudinales al plano normal y de las de corte
(shear) fuera de dicho plano, por lo que pueden ser tratadas por separado
[26].
Asumiendo “una teoría clásica de placa” [26], para placas delgadas
(rechazando la inercia de rotación y la deformación de cizallamiento), la
ecuación 2.43 describe el movimiento del desplazamiento transversal de una
placa delgada infinita sujeta a una distribución de la fuerza transversal por
unidad de área.
𝜕 4 𝑑(𝑥, 𝑧)
𝜕 4 𝑑(𝑥, 𝑧) 𝜕 4 d(𝑥, 𝑧)
𝜕 2 𝑑(𝑥, 𝑧, 𝑡)
𝐷(
+
2
+
)
+
𝑚′
= 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑧, 𝑡)
𝜕𝑥 4
𝜕𝑥 2 𝜕𝑧 2
𝜕𝑧 4
𝜕𝑡 2
(2.43)
donde: 𝑑 es el desplazamiento, 𝐷 es la rigidez a flexión por unidad de longitud,
𝐸ℎ3
𝐷 = 12(1−𝑣2 ) , 𝐸 es el módulo de Young, ℎ es la altura y 𝜇 es el coeficiente de
Poisson, 𝑚′ es la masa por unidad de superficie, y 𝐹𝑦 es una fuerza puntual
armónica externa.
El desplazamiento complejo fuera del plano
𝑑̃ (𝑥, 𝑧) generado por una
distribución de la fuerza armónica por unidad de área 𝐹̃𝑦 (𝑥, 𝑧) actuando sobre
la placa puede ser expresado en términos de una suma modal, para los cuales
se asume un amortiguamiento histerético (debida a la deformación del sólido).
Como se indica en la ecuación 2.44.
∞
𝑑 ̃(𝑥, 𝑧) = ∑
𝑟=1
𝜙𝑟 (𝑥, 𝑧)𝐹̃𝑟
𝑀𝑟 [𝜔𝑟2 (1 + 𝑗𝑛 ) − 𝜔 2 ]
(2.44)
donde 𝐹̃𝑟 es la fuerza modal dada por la ecuación 2.45:
𝑙𝑥
𝑙𝑦
𝐹̃𝑟 = ∫ ∫ 𝐹̅𝑦 (𝑥, 𝑧) 𝜙𝑟 (𝑥, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧
0
0
En la Figura 3 se visualizan las variables involucradas:
29
(2.45)
Figura 3 Conversión de signos y sistema de coordenadas para una placa rectangular excitada
por una fuerza en un punto.
La ecuación diferencial en el caso del movimiento libre en placas viene dado
por la ecuación 2.43 cuando 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑧, 𝑡) = 0 , quedando así
𝐷∇4 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑡) + 𝑚𝑠
𝜕 2 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑡)
=0
𝜕𝑡 2
(2.46)
Los desplazamientos se pueden expresar, en este caso en la forma:
∞
𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑡) = ∑ 𝜙𝑚,𝑛 (𝑥, 𝑦)𝜂𝑚𝑛 𝑒 𝑗𝜔𝑡
(2.47)
𝑚,𝑛=0
De formas modales y coordenadas modales
Para obtener las formas modales se aplica la técnica de separación de
variables
mn ( x, y )  X m ( x)Yn ( y )
(2.48)
Las frecuencias naturales y formas modales para una placa rectangular
simplemente soportada teniendo una masa modal igual a 𝑚𝑠 = 𝜌𝑙𝑥 𝑙𝑧 ℎ donde
𝜌 es la densidad del material de la placa, vienen dadas por las ecuaciones
2.49
𝜔𝑟 = √
𝐷 𝑛𝑎 𝜋 2
𝑛𝑏 𝜋 2
[(
) +(
) ]
𝑚
𝑙𝑥
𝑙𝑧
𝑛𝑎 𝜋𝑥
𝑛𝑏 𝜋𝑧
𝜙𝑟 (𝑥, 𝑧) = 2 𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑠𝑒𝑛 (
)
𝑙𝑥
𝑙𝑧
Donde 𝑛𝑎 y 𝑛𝑏 son índices modales de enésimo orden.
30
(2.49)
La Figura 4 muestra 6 distintas formas modales para el caso de una placa
delgada simplemente soportada.
Figura 4 Seis primeras formas modales de una placa simplemente soportada, figura tomada
de [61]
El problema se puede abordar con relativa facilidad cuando las condiciones
de contorno son conocidas y asimilables, como se expuso para el caso de la
viga en el apartado anterior.
Cuando el sistema se hace más complicado por ejemplo múltiples apoyos o
la estructura no es del todo homogénea, la solución analítica se hace
compleja, por lo que existen otros métodos numéricos que permiten estimar
la respuesta del sistema cuando es excitado por una fuerza armónica. El
método más empleado para la resolución de estos problemas de ingeniería
es el de los elementos finitos, el cual es descrito ligeramente en la sección 2.4
de este documento.
Para una placa circular de radio 𝑎 fijada por los extremos, se tienen las
siguientes condiciones de contorno:
𝑤|𝑟𝑜=𝑎 = 0 ,
(2.50)
𝜕𝑤/𝜕𝑟𝑜|𝑟𝑜=𝑎 = 0
(2.51)
La ecuación de valores propios se escribe de la siguiente forma
31
𝐼0 (𝛽𝑎) 𝐽1 (𝛽𝑎) + 𝐽0 (𝛽𝑎) 𝐼1 (𝛽𝑎) = 0
(2.52)
Siendo 𝛽 4 = 𝜔2 𝜌𝑝 ℎ𝑝 /𝐷𝑝 , 𝐽𝑖 y 𝐼𝑖 las funciones de Bessel y funciones de Bessel
modificadas de orden 𝑖 = 0,1. Esta ecuación admite soluciones (𝛽0𝑛 ) con las
cuales se deducen las frecuencias propias
𝑓𝑛 =
2
𝐷𝑝
𝛽0𝑛
.
√
2𝜋 𝜌𝑝 ℎ𝑝
(2.53)
El desplazamiento modal para el modo radial 𝑛 se escribe de la siguiente
forma
𝑑𝑛 (𝑟0 ) = 𝐽0 (𝛽0𝑛 𝑟0 ) −
𝐽0 (𝛽0𝑛 𝑎)
𝐼 (𝛽 𝑟 ).
𝐼0 (𝛽0𝑛 𝑎) 0 𝑜0 0
(2.54)
Figura 5 Forma de los dos primeros modos radiales (Figura tomada de [62] pág. 91)
La estructura se excita en su centro por una fuerza armónica de pulsación 𝐹𝜔 .
La ecuación de movimiento de la placa en flexión excitada por una fuerza se
escribe
∆2 𝑑 − 𝛽 4 𝑑 =
32
𝐹𝜔
𝐷𝑝
(2.55)
Siendo 𝐹𝜔 la fuerza aplicada. En el caso de una fuerza puntual en el centro de
la placa (𝑟𝑠 , 𝜑𝑠 ), se debe de calcular la función de Green tal que
∇4 𝐺 − 𝛽 4 𝐺 =
1
𝛿(𝑟𝑠 )𝛿(𝜑𝑠 )
𝑟
(2.56)
Se elige la función de Green (𝐺) de la forma
𝐺 = ∑ 𝛬𝑛 𝑑𝑛 (𝑟)
(2.57)
𝑛
Con los coeficientes de ponderación 𝛬𝑛 , se puede escribir
𝑑𝑛 (𝑟𝑠 )𝑑(𝑟)
− 𝛽 4 )π𝑎2 Λ 𝑛
(2.58)
Λ 𝑛 = 𝐽02 (𝛽𝑛 𝑎) + 𝐽12 (𝛽𝑛 𝑎)
(2.59)
𝐺=∑
𝑛
(𝛽𝑛4
Con,
Teniendo en cuenta la ecuación 2.55, la respuesta 𝑑𝑛 (𝑟) se escribe
𝑤(𝑟) =
𝐹𝜔
𝑑𝑛 (𝑟𝑠 )𝑑𝑛 (𝑟)
∑ 4
.
𝐷𝑝
(𝛽𝑛 − 𝛽 4 )𝜋𝑎2 Λ 𝑛
(2.60)
𝑛
2.2.2 Radiación de ondas de flexión
El parámetro clave para cuantificar la capacidad de radiación acústica de una
estructura es la denominada eficiencia de radiación, 𝜎𝑅 . Este factor se define
como el cociente entre la potencia acústica radiada por unidad de superficie,
𝑊𝑎 y la potencia vibratoria (o mecánica) de la estructura, 𝑊𝑣 .
𝜎𝑅 =
𝑊𝑎
𝑊𝑣
(2.61)
Donde la potencia vibratoria, se determina a partir de la velocidad cuadrática
media (velocidad RMS) promediada espacialmente en la estructura:
𝑊𝑣 = 𝜌𝑓 𝑐𝑓 ⟨𝑣𝑝2 ⟩
(2.62)
Dicho de otra forma, la eficiencia de radiación es la relación entre la potencia
acústica radiada por la estructura bajo consideración y la radiada por una
33
superficie de la misma área vibrando con una amplitud de velocidad igual al
promedio espacial.
La impedancia acústica específica que es la relación entre la presión acústica
y la velocidad de la partícula, vista desde la superficie radiante [63] viene dada
por la ecuación (2.63)
𝑝
𝜌𝑜 𝑐𝑎𝑖𝑟
𝑍𝐴,𝑒𝑠𝑝 |𝑦=0 = |
=
𝑣 𝑦=0
𝑘2
√1 − 𝑓2
𝑘0
(2.63)
Entonces, la eficiencia de radiación, 𝜎𝑟𝑎𝑑 , queda definida como:
𝜎𝑟𝑎𝑑 =
1
𝑘𝑓2
√1 − 2
𝑘0
(2.64)
Por tanto, sólo cuando la constante de propagación de las ondas de flexión es
mayor que la constante de propagación en aire, el denominador será un
número real.
Esto quiere decir que, las ondas de flexión en los sólidos, a diferencia de las
ondas de sonido en el aire, son dispersivas, lo que significa que la velocidad
de propagación 𝑐𝐵 depende de la frecuencia [60]. La frecuencia para la que la
onda de flexión viaja a la misma velocidad de propagación que las ondas
longitudinales en el aire se conoce como frecuencia crítica, 𝑓𝑐 , y está dada en
la ecuación 2.65:
2
𝑐𝑎𝑖𝑟
𝑓𝑐 = 𝜋
ℎ𝑐𝐿
√3
(2.65)
donde, 𝑐𝑎𝑖𝑟 es la velocidad de propagación de las ondas sonoras en el aire
(343 𝑚/𝑠) y 𝑐𝐿 es la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en
el sólido 𝑐𝐿 = √𝐸 ⁄𝜌 (𝑚⁄𝑠). En vigas, la radiación acústica es más eficiente
alrededor de la frecuencia crítica, mientras que por debajo de esa frecuencia,
la radiación es insignificante [64] .
Para la gama de frecuencias por debajo de la frecuencia crítica, la impedancia
acústica de las ondas es imaginaria y positiva, por lo tanto, la carga de inercia
34
del fluido puede ser considerado como una masa acústica, y en consecuencia
la radiación de sonido es insignificante. Cuando la velocidad de las ondas de
flexión y la velocidad de propagación en el fluido coinciden, la impedancia
tiende a infinito, y la eficiencia de la radiación es máxima. Por último, para
frecuencias por encima de 𝑓𝑐 donde la velocidad de propagación de las ondas
de flexión es mayor que 𝑐𝑎𝑖𝑟 , la impedancia es real y puramente resistiva y se
produce la radiación del sonido.
La anterior discusión explica el hecho de que la radiación acústica por ejemplo
en las vigas sea insignificante por debajo de la frecuencia crítica [64] .
Ahora bien, continuando con la radiación de estructuras la radiación puede
estimarse discretizando la superficie en elementos diferenciales, y usando
coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧) como se muestra en la Figura 6, la presión
acústica puede expresarse en términos de las velocidades, si el sistema
vibrante se encuentra en una pantalla infinita, utilizando la expresión de la
integral de Rayleigh:
𝑜
𝑗𝜔𝜌𝑜
𝑒 −𝑗𝑘|𝑟⃗−𝑟⃗⃗⃗⃗⃗|
𝑝(𝑟) =
∬ 𝑣(𝑟̅𝑜 )
𝑑𝑆
|𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗|
2𝜋 𝑆
𝑟𝑜
(2.66)
donde, 𝑆, es la superficie radiante de la viga:
𝑟⃗ = (𝑥, 0, 𝑧),
𝑟𝑜 = (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 0),
⃗⃗⃗⃗
(2.67)
|𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗|
𝑟𝑜 = √(𝑥 − 𝑥𝑜 )2 + 𝑦𝑜2 + 𝑧 2
Figura 6 Diagrama esquemático de una superficie de vibración
La ecuación (2.66) puede incluirse en (2.67) y se obtiene la ecuación (2.68):
35
∞
𝑝(𝑟̅ ) = ∑
𝑛=1
𝑜
𝑗𝜔𝜌𝑜
𝑒 −𝑗𝑘|𝑟⃗−𝑟⃗⃗⃗⃗⃗|
̇
∬ 𝜙𝑛 (𝑥𝑜 ) 𝜂 (𝑡)
𝑑𝑆
|𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗|
2𝜋 𝑆
𝑟𝑜
(2.68)
La potencia radiada por una estructura (𝑊𝑎 ) puede obtenerse a partir de la
llamada “matriz de radiación” [65], [63] , 𝑅, por medio de la ecuación:
𝑊𝑎 = 𝑣 𝐻 [𝑅]𝑣
(2.69)
El elemento (𝑚, 𝑛) de la matriz [𝑅] es
𝑅𝑚,𝑛 =
𝜔2 𝜌𝑜 (∆𝑆)2 sin(𝑘𝑟𝑚𝑛 )
4𝜋𝑐
𝑘𝑟𝑚𝑛
(2.70)
(∆𝑆) corresponde a cada uno de los elementos de superficie en los que la
superficie radiante fue discretizada.
La matriz [𝑅] es real, simétrica y definida positiva por lo que puede ser
diagonalizada por medio de una transformación ortogonal. Por lo tanto, es
posible reescribir la ecuación (2.69) en la forma:
𝑊𝑎 = 𝜂𝐻 [𝜙 𝑇 ] [𝑅] [𝜙] 𝜂 = [𝜙 𝑇 ] [𝑀] [𝜙] ; [𝑀] = [𝜙 𝑇 ] [𝑅] [𝜙]
(2.71)
A partir de la ecuación (2.71), se puede obtener la potencia radiada por el
modo estructural n-ésimo por medio de la ecuación (2.72):
𝑊𝑎,𝑛 = 𝑀𝑛𝑛 𝜂𝑛2
(2.72)
𝑀𝑛𝑛 es el elemento diagonal n-ésimo de la matríz [𝑀]. Esta expresión explicita
la relación entre la potencia radiada y los modos propios de la estructura bajo
consideración.
En la Figura 7, a manera de ejemplo, se muestra la potencia radiada por una
viga de una sección transversal de A= 0.20 m2 y de 1.2 m de longitud y con
las característica mecánicas enunciadas en la Tabla 3, cuando la estructura
es excitada por una fuerza unitaria en un punto situado a 0.35 m de su extremo
izquierdo
36
Figura 7 Estimación de la potencia radiada cuando se excita una viga de 1.2 m de longitud a
0.35 cm del extremo, considerando y sin considerar los términos de acoplo en la matriz de
radiación
Tabla 3 Características mecánicas de la viga usada como ejemplo
Parámetro
Valor
Velocidad de las ondas longitudinales (𝑚/𝑠)
3700
Módulo de Young (𝐺𝑃𝑎)
32
Coeficiente de Poisson
0.23
Densidad (𝐾𝑔/𝑚3 )
2300
Factor de Pérdidas
0.01
La anterior figura representa la naturaleza modal de la radiación que, por
supuesto, está relacionada con la forma de vibrar la viga, que depende de las
condiciones de contorno a las que está sometida. Por otra parte, si el factor
de pérdidas fuese mayor, el ancho de banda de potencia sería la mitad de
cada modo, entonces sería mayor y no sería fácil distinguir cada modo. En el
capítulo 3 se propone una configuración experimental para visualizar la
radiación sonora generada por una viga continua bajo unas determinadas
condiciones de contorno.
37
2.3 Holografía Acústica de campo cercano (Near-field Acoustic
Holography-NAH) y representación en el espacio-k
La holografía acústica de campo cercano (NAH) es una técnica con la que es
posible reconstruir el campo sonoro y la velocidad de vibración de un objeto o
una fuente sonora a partir de medidas realizadas con una matriz de
micrófonos colocados en un plano paralelo y cercano a la fuente sonora, que
se denomina holograma. Este arreglo de microfónico debe capturar amplitud
y fase de la presión. La técnica de NAH es una alternativa a las medidas de
intensidad estándar, en las que se usa una sonda intensimétrica con dos
micrófonos [66].
La forma exponencial compleja general de una onda armónica simple viajando
en el tiempo 𝑡 en la dirección 𝑥 positiva es:
𝑔+ (𝑥, 𝑡) = 𝑅𝑒 {𝐵̃ 𝑒 𝑗(
𝜔𝑡−𝜔𝑥
)
𝑐
}
(2.73)
donde, 𝐵̃ es un número complejo, que se considera como la amplitud
compleja, 𝑅𝑒{ } es la parte real, 𝑐 velocidad de fase de la onda y 𝜔 representa
el cambio de fase.
El periodo espacial de una onda armónica simple se describe comúnmente
mediante su longitud de onda. Sin embargo, la descripción matemática de una
onda sugiere que las variaciones espaciales sean asociadas a una cantidad
que representa el cambio de fase por unidad de distancia, igual a (𝜔⁄𝑐 ). Esta
cantidad es denominada, número de onda, (𝑘). Una longitud de onda
claramente corresponde a una diferencia de fase de 2𝜋 dependiente de 𝑥.
𝑘=
𝜔 2𝜋
=
𝑐
𝜆
(2.74)
El número de onda k es la magnitud de un vector que indica la dirección de
propagación y la variación de fase espacial. Esta magnitud es de vital
importancia en la representación matemática de campos de onda en dos y
tres dimensiones.
38
Ahora bien, el campo sonoro de una fuente sonora puede descomponerse en
un espectro angular, definido en el espacio del número de onda, como la
superposición de ondas planas viajando en direcciones diferentes.
Se puede demostrar que la potencia sonora radiada por una estructura tipo
viga, placa o membrana, puede expresarse en la forma:
+∞ +∞
1
𝑊(𝜔) = 𝑅𝑒 [ ∫ ∫ 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0). 𝑤 𝐻 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 ]
2
(2.75)
−∞ −∞
𝐻
denota el complejo conjugado y 𝑅𝑒 es la parte real de la magnitud compleja.
Utilizando el teorema de Parseval se puede demostrar que la potencia
también puede obtenerse a partir de:
+∞ +∞
2
|𝑉(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 |
𝜌0 𝜔
𝑊(𝜔) =
[
∫
∫
𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 ]
8𝜋 2
𝑘 2 − 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2
√
−∞ −∞
(2.76)
Nótese que √𝑘 2 − 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2 es real sólo si 𝑘 2 ≥ 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2 y la ecuación anterior
puede reescribirse en la forma:
𝜌0 𝜔
𝑊(𝜔) =
[
8𝜋 2
∬
|𝑉(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 |
2
√𝑘 2 − 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2
2
𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 ]
(2.77)
𝑘 2 ≥𝑘𝑥2 −𝑘𝑦
Por tanto, sólo ondas que satisfagan la condición
𝑘 2 ≥ 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2 radiarán
sonido en campo lejano (ondas supersónicas) y aquellas con un número de
onda menor se asociarán con ondas evanescentes cuya amplitud decae muy
cerca de la fuente de forma exponencial y no contribuyen a la radiación en
campo lejano, pero contiene una alta resolución de detalles acerca de la
fuente [3].
Las medidas del campo sonoro en el plano del holograma permiten reconstruir
el campo de presión complejo en campo lejano (propagación) y también en la
superficie de la fuente sonora (retro-propagación). Además se puede obtener
el vector de intensidad, la velocidad de propagación de la superficie y otros
parámetros característicos de una fuente vibrante [67]. La Figura 8 ilustra la
reconstrucción del campo sonoro en el plano de la fuente y en un plano lejano
a partir del plano de medida.
39
Figura 8 Concepto general de Near-field Acoustic Holography- NAH
La reconstrucción del campo sonoro tridimensional se obtiene considerando
que el campo de medida obedece a la ecuación de onda lineal y usando como
propagador la función de Green. El campo de presión acústico se calcula
usando una transformada de Fourier en dos dimensiones y aplicando la teoría
de propagación de ondas en el dominio del número de onda. La Figura 9
expresa el proceso de reconstrucción del campo sonoro a partir de NAH.
Figura 9 Diagrama de procesos de Near-field Acoustic Holography-NAH
A partir del teorema de Green, se puede derivar una integral que describa la
presión acústica en cualquier lugar del espacio medio entre la fuente y un
plano de medida.
40
La presión compleja en cualquier punto del espacio (𝑥, 𝑦, 𝑧) puede expresarse
como una función de la presión compleja 𝑝̅𝑠 en el plano de la fuente 𝑧𝑠
∞
̅ (𝑥 − 𝑥 ′ , 𝑦 − 𝑦 ′ , 𝑧 − 𝑧𝑠 )𝑑𝑥′𝑑𝑦′
𝑝̅ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∬ 𝑝̅𝑠 (𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧𝑠 ) × 𝐺′
(2.78)
−∞
Siendo 𝐺′ la función de Green modificada.
Aplicando la ecuación anterior al plano de holografía 𝑧ℎ , se obtiene:
∞
̅ (𝑥 − 𝑥 ′ , 𝑦 − 𝑦 ′ , 𝑧ℎ − 𝑧𝑠 )𝑑𝑥′𝑑𝑦′
𝑝̅ℎ (𝑥, 𝑦, 𝑧ℎ ) = ∬ 𝑝̅𝑠 (𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧𝑠 ) × 𝐺′
(2.79)
−∞
Como 𝑧ℎ −𝑧𝑠 es una constante, la ecuación anterior (2.79) describe una
convolución en dos dimensiones entre la presión compleja en el plano 𝑧𝑠 y la
función de Green.
Aplicando la transformada de Fourier en dos dimensiones, esta convolución
se convierte en un producto simple en el espacio del número de onda.
̅ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧ℎ − 𝑧𝑠 )
𝑝̅ℎ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧ℎ ) = 𝑝̅𝑠 (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧𝑠 ) ∗∗ 𝐺′
(2.80)
donde ** denota la convolución 2D. La convolución en el espacio real se
convierte en un producto simple en el espacio del número de onda.
Tomando la transformada de Fourier en ambas caras de la ecuación 2.79 se
obtiene la distribución de presión compleja en un plano arbitrario 𝑧 en el
espacio de número de onda, 𝑘. Se obtiente:
̅ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑑)
𝑝̅ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) = 𝑝̅ℎ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧ℎ ) . 𝐺′
(2.81)
Siendo 𝑑𝑟 = 𝑧 – 𝑧ℎ la distancia entre el plano reconstruido y el plano del
holograma,
dependiendo de si se quiere propagar o retro-propagar, la
distancia 𝑑𝑟 puede ser positiva o negativa y la función de Green se define
entonces como propagador (o retro-propagador) como:
Propagación (𝑑𝑟 > 0)
41
̅̅̅′ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑑𝑟 )
𝐺
𝑒
= {
𝑒
2
𝑗𝑑𝑟 √𝑘 2 −𝑘𝑥2 −𝑘𝑦
2 −𝑘 2
−𝑑𝑟 √𝑘𝑥2 +𝑘𝑦
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 ≤ 𝑘 2 𝑜𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑠
(2.82)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 > 𝑘 2 𝑜𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑣𝑎𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Retro-propagación (𝑑𝑟 < 0)
̅̅̅̅̅̅
𝐺 ′−1 (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑑𝑟 )
𝑒
= {
𝑒
2
𝑗|𝑑𝑟 |√𝑘 2 −𝑘𝑥2 −𝑘𝑦
2 −𝑘 2
+|𝑑𝑟 |√𝑘𝑥2 +𝑘𝑦
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 ≤ 𝑘 2 𝑜𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑠
(2.83)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 > 𝑘 2 𝑜𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑣𝑎𝑛𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
El circulo 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 = 𝑘 2 se llama circulo de radiación, para los puntos (𝑘𝑥, 𝑘𝑦)
̅̅̅′ representa el cambio de fase en la dirección 𝑧 de las ondas
dentro de él, 𝐺
planas, mientras que para los puntos (𝑘𝑥, 𝑘𝑦) fuera del círculo, ̅̅̅
𝐺 ′ representa
el decaimiento exponencial de las ondas evanescentes.
A partir de la presión en el espacio-k, 𝑝̅(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧), se puede determinar el
vector velocidad aplicando la ecuación de Euler.
Para campos acústicos armónicos en el tiempo, la ecuación de Euler se define
como:
𝑣⃗ =
𝑖
⃗∇⃗𝑝
𝜔𝜌
(2.84)
Aplicando la transformada de Fourier inversa a la ecuación anterior se obtiene:
𝑣⃗(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑧) =
1
𝛿
(𝑘𝑥 𝑒𝑥 + 𝑘𝑦 𝑒𝑦 − 𝑗𝑒𝑧 ) 𝑝̅ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑑)
𝜔𝜌
𝛿𝑧
(2.85)
Las tres componentes de la velocidad de partícula compleja vienen dadas por:
𝑣⃗𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
+∞
1
∬
𝑘 𝑝̅ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧ℎ )𝑒 −𝑗𝑘𝑧(𝑧−𝑧ℎ ) 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 𝑥 𝑒 −𝑗𝑘𝑦 𝑦 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦
4𝜋 2 𝜔𝜌0 −∞ 𝑥 ℎ
𝑣⃗𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
+∞
1
∬
𝑘 𝑝̅ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧ℎ )𝑒 −𝑗𝑘𝑧(𝑧−𝑧ℎ ) 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 𝑥 𝑒 −𝑗𝑘𝑦 𝑦 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦
4𝜋 2 𝜔𝜌0 −∞ 𝑦 ℎ
𝑣⃗𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
+∞
1
∬
𝑘 𝑝̅ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧ℎ )𝑒 −𝑗𝑘𝑧(𝑧−𝑧ℎ ) 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 𝑥 𝑒 −𝑗𝑘𝑦 𝑦 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦
4𝜋 2 𝜔𝜌0 −∞ 𝑧 ℎ
42
(2.86)
La transformada inversa de Fourier de la ecuación anterior proporciona el
vector velocidad reconstruido, 𝑣⃗(𝑥, 𝑦, 𝑑𝑟 ). La intensidad activa y reactiva puede
calcularse mediante la siguiente ecuación:
1
𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑑) = [𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑑)𝑣 𝐻 (𝑥, 𝑦, 𝑑)]
2
(2.87)
donde 𝐻 denota complejo conjugado. La parte real de 𝐼 proporciona la
intensidad activa y la parte imaginaria proporciona la intensidad reactiva.
Entonces, el campo radiado por cualquier fuente, puede descomponerse en
un espectro angular en el espacio-k (o espacio del número de onda) como una
superposición de ondas planas viajando en diferentes direcciones. La
periodicidad espacial de cada una de estas ondas armónicas es la longitud de
onda. Sin embargo, las variaciones espaciales se describen
más
rigurosamente con ayuda del vector número de onda, 𝒌(𝒌𝒙 , 𝒌𝒚 , 𝒌𝒛 ), que
representa la variación de fase espacial y, al mismo tiempo, indica la dirección
de propagación de la onda. Esta magnitud es de gran importancia en la
representación matemática de los campos acústicos, como se analizará en el
capítulo 3.
2.4 El Método de los Elementos Finitos (MEF)
El MEF es un método numérico muy generalizado para la resolución de
diversos problemas de física gobernados por ecuaciones diferenciales. El
método se basa en dividir un sistema continuo, en una serie de particiones
denominadas elementos finitos.
Los orígenes del MEF se remontan a la década de 1950 impulsado por los
avances en el análisis estructural de la industria aeronáutica. Durante esta
década se hicieron grandes avances en la formulación matricial de problemas
estructurales, hasta que en 1956 Turner et al, [68] publican el que es
considerado como el primer artículo sobre el Método de los Elementos Finitos.
En la década de 1960 el MEF se generalizó para la solución aproximada de
problemas de análisis de tensión, flujo de fluidos y transferencia de calor. La
evolución del MEF ha ido en paralelo a la de la capacidad computacional de
43
los ordenadores y desde 1970 aparecen los primeros programas comerciales
específicos del MEF.
A continuación se describen de forma breve los pasos de un análisis elástico
genérico con el MEF [69], [70], [71]
1. El primer paso es la discretización del sistema en partes no
intersectantes entre sí, denominadas elementos finitos. En esta fase se
fragmenta la estructura continua del sistema de forma que se
reemplaza un sistema con infinitos grados de libertad, por otro con un
número finito de grados de libertad. El tamaño, la forma, y las
características del elemento elegido determinan en gran medida la
validez de la solución obtenida. Los elementos están conectados entre
sí por los nodos situados en sus contornos. Los desplazamientos de
estos nodos son las incógnitas del problema {𝑢∗ }𝑒 .
2. Cada tipo de elemento está definido por las llamadas funciones de
forma que suelen ser de tipo polinómico y que establecen las relaciones
de deformación dentro del elemento en función de los desplazamientos
nodales {𝑑∗ }𝑒 . Las funciones de forma se ordenan dentro de una matriz
[𝑁]𝑒 que define los desplazamientos {𝑑}𝑒 dentro del elemento finito, en
función de los desplazamientos nodales del elemento{𝑑 ∗ }𝑒
{𝑑}𝑒 = [𝑁]𝑒 {𝑑 ∗ }𝑒
(2.88)
Las deformaciones unitarias del elemento {𝜀}𝑒 vienen dadas en función de los
desplazamientos de los nodos:
{𝜀}𝑒 = [𝐵]𝑒 {𝑑 ∗ }𝑒
(2.89)
donde [𝐵]𝑒 es una matriz que depende de las características del elemento
elegido.
3. El estado tensional del elemento {𝜎𝑒 } se obtiene a partir de las
deformaciones mediante la matriz de elasticidad [𝐷]𝑒 que contiene las
propiedades elásticas del material del elemento. El material puede
estar sujeto a deformaciones iniciales {𝜀0 }𝑒 , como las debidas a
cambios de temperatura o retracciones. Conviene suponer también que
al comienzo del análisis el cuerpo puede estar sometido a un sistema
44
conocido de tensiones residuales {𝜎0 }𝑒 . Admitiendo un comportamiento
elástico lineal la relación entre tensiones y deformaciones es de la
forma:
{𝜎𝑒 } = [𝐷]𝑒 ({𝜀}𝑒 − {𝜀0 }𝑒 ) + {𝜎0 }𝑒
(2.90)
4. Se determina un sistema de fuerzas concentradas {𝑓 ∗ }𝑒𝑥𝑡
𝑒 en los nodos
del elemento, que es estáticamente equivalente a las tensiones en el
contorno {𝜎𝑒 } y a las fuerzas másicas que actúan sobre el elemento
{𝑚𝑒 }. Para determinar la ecuación de equilibrio entre las fuerzas
nodales y las tensiones actuantes en el contorno y las fuerzas másicas,
el procedimiento más sencillo es utilizar el Principio de los Trabajos
Virtuales [72], mediante el que se impone un desplazamiento virtual de
los nodos y se iguala el trabajo exterior de las fuerzas nodales, al
interior efectuado por las tensiones y las fuerzas másicas.
Si 𝛿{𝑢}𝑒 es un desplazamiento virtual de los nodos del elemento, según las
expresiones (2.89) y (2.90) los desplazamientos y deformaciones del
elemento vendrán dadas por:
𝛿{𝑢}𝑒 = [𝑁]𝑒 𝛿{𝑢∗ }𝑒
(2.91)
𝛿{𝜀}𝑒 = [𝐵]𝑒 𝛿{𝑢∗ }𝑒
(2.92)
En función de las expresiones (2.90) y (2.92) el trabajo interior efectuado por
las tensiones y las fuerzas másicas será:
𝑇𝑖𝑛𝑡 = 𝛿{𝜀}𝑇𝑒 {𝜎}𝑒 = {𝑑 ∗ }𝑇𝑒 {𝐵}𝑇𝑒 {𝜎}𝑒
(2.93)
El trabajo exterior de las fuerzas nodales es igual a la suma de los productos
de las componentes de cada una de las fuerzas por sus correspondientes
desplazamientos:
𝑇
𝑇𝑒𝑥𝑡 = 𝛿{𝑑 ∗ }𝑇𝑒 {𝑓 ∗ }𝑒𝑥𝑡
𝑒 + {𝑁}𝑒 {𝑚}
(2.94)
Igualando los trabajos interior y exterior de las expresiones (2.93) y (2.94)
sobre el volumen de un solo elemento, se obtiene:
45
𝛿{𝑑 ∗ }𝑇𝑒 {𝑓 ∗ }𝑒𝑥𝑡
= 𝛿{𝑑∗ }𝑇𝑒 (∫𝑣 {𝐵}𝑇𝑒 {𝜎}𝑒 − ∫𝑣 {𝑁}𝑇𝑒 {𝑚}𝑒 𝑑𝑣)
𝑒
𝑒
𝑒
(2.95)
Puesto que la expresión (2.95) es válida para cualquier desplazamiento
virtual:
{𝑓 ∗ }𝑒𝑥𝑡
= ∫ {𝐵}𝑇𝑒 {𝜎}𝑒 − ∫ {𝑁}𝑇𝑒 {𝑚}𝑒 𝑑𝑣
𝑒
𝑣𝑒
(2.96)
𝑣𝑒
Sustituyendo en (2.96) el valor de la tensión en la expresión (2.90) se llega a:
𝑇
∗
𝑇
{𝑓 ∗ }𝑒𝑥𝑡
𝑒 = ∫ {𝐵}𝑒 [𝐷]𝑒 [𝐵]𝑒 𝑑𝑣{𝑢 }𝑒 − ∫ {𝐵}𝑒 [𝐷]𝑒 {𝜀0 }𝑒 𝑑𝑣
𝑣𝑒
𝑣𝑒
+ ∫
{𝐵}𝑇𝑒 [𝐷]𝑒 {𝜎0 }𝑒 𝑑𝑣
𝑣𝑒
(2.97)
−∫
{𝑁}𝑇𝑒 {𝑚}𝑒 𝑑𝑣
𝑣𝑒
Reordenando los sumandos, se puede escribir como:
[𝑘]𝑒 {𝑑 ∗ }𝑒 = {𝑓 ∗ }𝑒 + {𝑓0∗ }𝑒
(2.98)
donde [𝑘]𝑒 = {𝐵}𝑇𝑒 [𝐷]𝑒 [𝐵]𝑒 𝑑𝑣 es la matriz de rigidez del elemento. En el
término {𝑓0∗ }𝑒 = ∫𝑉 {𝐵}𝑇𝑒 [𝐷]𝑒 {𝜀0 }𝑒 𝑑𝑣 − ∫𝑉 {𝐵}𝑇𝑒 [𝐷]𝑒 {𝜎0 }𝑒 𝑑𝑣
𝑒
𝑒
cada sumando
representa respectivamente las fuerzas debidas a las deformaciones iniciales
𝑇
y a las tensiones iniciales, por último {𝑓 ∗ }𝑒 = {𝑓}𝑒𝑥𝑡
𝑒 + ∫𝑉 {𝑁}𝑒 {𝑚}𝑒 𝑑𝑣 son las
𝑒
fuerzas nodales equivalentes. La ecuación (2.98) constituye la ecuación de
equilibrio estático del elemento.
5. Una vez obtenidos los desplazamientos nodales del elemento {𝑑 ∗ }𝑒
mediante la resolución de la ecuación (2.98), se pueden calcular las
tensiones en cualquier punto del elemento utilizando la ecuación (2.90).
En estos cinco pasos se han planteado las bases del método para un
elemento aislado, sin embargo es posible generalizar el proceso a todo un
sistema continuo discretizado en 𝑛 elementos. La matriz global del sistema se
obtiene ensamblando las matrices de rigidez de todos los elementos en
coordenadas globales:
𝑛
[𝐾] = ∑[𝑘]𝑒
𝑖=1
46
(2.99)
De la misma forma se obtendrían los vectores {𝑓 ∗ } y {𝑓0∗ } para todo el sistema.
De este modo, la ecuación de equilibrio (2.98) para un solo elemento queda
del siguiente modo para todo el sistema:
[𝐾]{𝑑∗ } = {𝑓 ∗ } + {𝑓0∗ }
(2.100)
Una vez calculados los desplazamientos de los nodos del sistema es posible
conocer las deformaciones unitarias y las tensiones en cualquier punto del
sistema.
Cuando los desplazamientos de un cuerpo varían en función del tiempo,
entran en juego la inercia y el amortiguamiento generando fuerzas
adicionales.
Las fuerzas de inercia pueden expresarse en función de la aceleración para
un elemento dado en función del el principio de d´Alambert [69], del siguiente
modo:
{𝑓}𝑒𝑀
𝜕2
= −𝜌 2 {𝑑(𝑡)}𝑒
𝜕𝑡
(2.101)
Las componentes de estas fuerzas tienen las mismas direcciones que las de
los desplazamientos y en general se expresan por unidad de volumen, por lo
que el término ρ es la densidad. La fuerza nodal equivalente viene dada por:
{𝑓 ∗ }
𝑒𝑀
[𝑁]𝑇𝑒 𝜌
= −∫
𝑣𝑒
𝜕2
{𝑑(𝑡)}𝑒 𝑑𝑣
𝜕𝑡 2
(2.102)
Sustituyendo en (2.102) la relación (2.101), la fuerza debida a la inercia en un
elemento queda en función de los desplazamientos nodales:
{𝑓 ∗ }𝑒𝑀 = − ∫ [𝑁]𝑇𝑒 𝜌[𝑁]𝑒
𝑣𝑒
𝜕2
{𝑑(𝑡)∗ }𝑒 𝑑𝑣
2
𝜕𝑡
(2.103)
De esta última expresión se deduce que la matriz de masa para un elemento
viene dada por:
[𝑚]𝑒 = ∫ [𝑁]𝑇𝑒 𝜌[𝑁]𝑒 𝑑𝑣
(2.104)
𝑣𝑒
La matriz de masa del elemento de la ecuación (2.104), se denomina matriz
de masa consistente, y considera la masa como uniformemente distribuida en
el elemento. En este trabajo y dada la naturaleza de los elementos elegidos
47
para discretizar los volúmenes se han utilizado matrices de masa
consistentes.
En los primeros intentos de tratamiento de los problemas dinámicos, la masa
de cada elemento solía considerarse como concentrada en los nodos, lo que
siempre daba lugar a una matriz diagonal, aunque en la realidad la masa no
esté concentrada. Para muchos métodos de cálculo la utilización de matrices
concentradas resulta más conveniente y económica, sobre todo con el empleo
de elementos sencillos.
La matriz de masa consistente global se obtendrá, mediante el ensamblaje de
cada una de las sub-matrices:
𝑛
[𝑀] = ∑[𝑚]𝑒
(2.105)
𝑖=1
Las fuerzas debidas al amortiguamiento, se deben a pérdidas energéticas
relacionadas con el rozamiento durante el movimiento vibratorio. Si se
considera un amortiguamiento lineal viscoso 𝜁, las fuerzas por unidad de
volumen, debidas al amortiguamiento, vendrán dadas según el principio de
d´Alambert por:
{𝑓}𝑒𝐶 = −𝜁
𝜕
{𝑑(𝑡)}𝑒
𝜕𝑡
(2.106)
Las fuerzas nodales equivalentes debidas al amortiguamiento, se obtienen de
la expresión:
{𝑓 ∗ }𝑒𝐶 = − ∫ [𝑁]𝑇𝑒 𝜁
𝑣𝑒
𝜕
{𝑑(𝑡)}𝑒 𝑑𝑣
𝜕𝑡
(2.107)
y teniendo en cuenta la relación (2.91), entre los desplazamientos de los
nodos del elemento con el desplazamiento de los puntos del interior de este:
{𝑓 ∗ }𝑒𝐶 = − ∫ [𝑁]𝑇𝑒 𝜁 [𝑁]𝑒
𝑣𝑒
𝜕
{𝑑(𝑡)∗ }𝑒 𝑑𝑣
𝜕𝑡
(2.108)
De la ecuación (2.108) se obtiene la matriz de amortiguamiento consistente
de un elemento:
{𝑐}𝑒 = ∫ [𝑁]𝑇𝑒 𝜁[𝑁]𝑑𝑣𝑒
𝑣𝑒
48
(2.109)
La matriz de amortiguamiento consistente global se obtiene de la misma forma
que la de la de masa o rigidez:
𝑛
[𝐶] = ∑[𝑐]𝑒
(2.110)
𝑖=1
Es conveniente, describir como los programas comerciales hacen el
tratamiento del amortiguamiento con pequeñas variantes. Se puede afirmar
que, en ellos, se contempla una matriz de amortiguamiento global compuesta
por los siguientes términos [73]:
𝑀
𝑁
𝜉
[𝐶] = 𝛼[𝑀] + 𝛽[𝐾] +
[𝐾] + ∑ 𝛽𝑗 [𝐾𝑗 ] + ∑[𝐶𝑘 ]
𝜋𝑓
𝑗=1
(2.111)
𝑘=1
donde 𝛼 es una constante que multiplica a la matriz de masa, 𝛽 es una
constante que multiplica a la matriz de rigidez, 𝜉 es amortiguamiento a una
determinada frecuencia, 𝛽𝑗 es una constante que multiplica a la matriz de
rigidez por tipo de elemento, [𝐶𝑘 ] es la matriz de amortiguamiento que en
algunos tipos de elementos se puede definir como una característica propia,
por ejemplo en un elemento tipo muelle.
En función de las constantes introducidas, que son compatibles y
acumulables, la matriz de amortiguamiento quedará definida de una forma u
otra. En este trabajo los valores del amortiguamiento utilizados en los modelos
de elementos finitos, se han determinado a partir de los datos experimentales
de amortiguamiento obtenidos mediante un análisis modal previo, o en base
a estudios previos.
Con las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, la ecuación de
movimiento es análoga a (2.1), pero en función de los desplazamientos de los
nodos de los elementos que constituyen las incógnitas del problema.
[𝑀]{𝑑̈∗ } + [𝐶]{𝑑̇∗ } + [𝐾]{𝑑 ∗ } = {𝑓 𝑒𝑥𝑡 (𝑡)}
(2.112)
Con la ecuación anterior, pero considerando el sistema en vibración libre y
fijando unas condiciones de contorno, se determinan las frecuencias propias
y sus respectivas formas modales.
[𝑀]{𝑑̈ ∗ } + [𝐶]{𝑑̇ ∗ } + [𝐾]{𝑑 ∗ } = 0
49
(2.113)
2.5 Análisis Estadístico de la Energía-SEA
Un análisis descriptivo de grandes estructuras o recintos se vuelve inaccesible
y en muchos casos innecesarios debido a las numerosas fuentes de
incertidumbre que presentan los problemas habituales en acústica de la
edificación. No obstante, el método SEA (Statistical Energy Analysis) ha sido
el modelo de cálculo por excelencia para estudiar el fenómeno de transmisión
sonora en estructuras, este método trabaja con promediados energéticos y las
conclusiones que proyectan los resultados han sido de gran interés práctico.
Ahora bien, el método SEA se desarrolló en los años 60 al aplicar estudios
sobre sistemas acoplados a problemas acústicos. Como origen del método
suelen citarse los trabajos de Lyon [74], [75] y [76], así como sobre osciladores
lineales acoplados, Smith [77] y Maidanik [78] .Otras referencias de gran
interés son Fahy [79] donde se discuten las razones para el uso de modelos
energéticos probabilísticos (SEA) para la predicción de la vibración de alta
frecuencia y en [80] donde se emplea las relaciones básicas de SEA para
abordar un problema acústico de transmisión sonora en sistemas acoplados
a pequeña escala.
2.5.1 Relaciones básicas en SEA
Dados dos resonadores, 𝑖 y 𝑗, caracterizados cada uno de ellos por su
frecuencia angular de resonancia 𝜔, su masa 𝑚, su resistencia mecánica, y
conectados por una cierta impedancia de acoplo, que puede ser tipo masa,
tipo rigidez, tipo resistencia, el flujo de potencia [81] medio entre ambos viene
dado por:
2
̅̅̅
𝑚𝑗 ̅̅̅
𝑣𝑗2
𝑚𝑖 𝑣
𝑖
̅̅̅̅
𝑊𝑖𝑗 = 𝛽 (
−
)
2
2
(2.114)
Donde, 𝛽 es un factor que depende de las características de cada oscilador,
se las frecuencias angulares de resonancia y de la impedancia de acoplo. Por
tanto, el flujo de potencia promedio es proporcional a la diferencia de energías
cinéticas medias.
Esta misma idea se suele expresar de otra forma cuando se exponen los
fundamentos de la metodología SEA. En efecto, el flujo de potencia entre dos
50
subsistemas acoplados dependerá de densidad de energía modal de cada
uno, así:
𝑊𝑒𝑓𝑓 = 𝜔𝜂𝑖𝑗 𝑛𝑖 (
𝐸𝑖 𝐸𝑗
− ) = 𝑊𝑖𝑗 − 𝑊𝑗𝑖
𝑛𝑖 𝑛𝑗
(2.115)
Cambiando los índices en esta relación se llega a:
𝜂𝑖𝑗 𝑛𝑖 = 𝜂𝑗𝑖 𝑛𝑗
(2.116)
El factor de pérdidas 𝜂𝑖𝑗 se le llama factor de perdida de acoplamiento
(Coupling Loss Factor ) CLF, por sus siglas en Inglés.
Se define entonces, el factor total de pérdidas, Total Loss Factor (TLF):
𝑛𝑖 = 𝜂𝑖𝑖 + ∑ 𝜂𝑖𝑗
(2.117)
𝑗(𝑗≠𝑖)
Conviene recordar una hipótesis del “acoplo débil” generalmente asumida en
la teoría de los osciladores acoplados, en el que los factores de acoplo, 𝜂𝑖𝑗 ,
son mucho menores que el factor de pérdidas total. Este concepto es muy
importante ya que las normas que hacen referencia al cálculo del índice de
reducción de la vibración (que se explicarán en el capítulo 4) se basan en este
supuesto.
2.5.2 Respuesta de una estructura sometida a una excitación
La velocidad de una estructura finita sometida a una fuerza puede expresarse
como:
∞
𝑣(𝑥) = ∑
𝑛=1
𝛷𝑛 (𝑥)𝐹𝑛
(𝜔
̅𝑛2 − 𝜔 2 )
(2.118)
𝜔
̅𝑛2 = 𝜔𝑛2 (1 − 𝑗𝜂)
donde 𝜂 es el factor de pérdidas, 𝐹𝑛 el parámetro de excitación modal y 𝛷𝑛 las
funciones modales.
Se puede demostrar que, despreciando términos de segundo orden, la
energía cinética media se puede obtener:
51
𝐸̅𝑘 ≈
𝜋|𝐹̅𝑛2 | ∆𝑁
4𝜂𝜔 2 ∆𝜔
(2.119)
Para este caso la fuerza de la fuente se puede expresar en la forma:
𝐹(𝑥) = −𝑗𝜔𝐹0 𝛿(𝑥 − 𝑥0 )
(2.120)
En estas condiciones
𝐹𝑛 = −𝑗𝜔 ∫ 𝐹0 𝛿(𝑥 − 𝑥0 )𝛷𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = −𝑗𝜔𝐹0 𝛷𝑛 (𝑥0 )
(2.121)
𝐹𝑛2 = 𝜔2 𝐹02 𝛷𝑛2 (𝑥0 )
A partir de este resultado, se puede llegar a la ecuación:
|𝐹𝑛2 |
𝜔2 |𝐹02 |
=⋯=
𝑀
(2.122)
Siendo 𝑀 es la masa total del sistema.
Y de los resultados anteriores se llega a que la energía cinética medida es:
𝐸̅𝑘 ≈
𝜋𝐹02 ∆𝑁
4𝜂𝜔 2 𝑀2 ∆𝜔
(2.123)
Por tanto, la velocidad cuadrática media
|𝑣̅𝑘 | ≈
𝜋𝐹02 ∆𝑁
2𝜂𝜔 2 𝑀2 ∆𝜔
(2.124)
Y para una excitación de banda ancha:
|𝑣̅ 2 |
1
𝜋𝐹02
1
2 |𝑑𝜔
=
∫|𝑣
=
∆𝜔
2𝜂𝜔0 𝑀2 ∆𝜔
(2.125)
2.5.3 Formulación SEA para el caso del estado estacionario
En SEA, desde el punto de vista acústico, se manejan flujos de potencia entre
campos reverberantes, sea entre recintos y paredes o entre paredes y juntas.
En este trabajo SEA se aplica a la transmisión vía estructural, describiendo la
transmisión sonora en una construcción (sistema) en estado estacionario
mediante el flujo de potencia entre subsistemas. Un subsistema es cualquier
parte del sistema que oscila relativamente de forma independiente, y está
52
caracterizado por una alta densidad modal en el rango de frecuencias de
interés.
En el estado estacionario, la energía total del subsistema 𝑖 , 𝐸𝑖 , es constante:
𝑑
𝐸 = 0 → 𝐸𝑖 = 𝑐𝑡𝑒
𝑑𝑡 𝑖
(2.126)
Para este subsistema, la ecuación del balance de potencias puede escribirse
de la forma:
𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑖𝑛 = 𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑜𝑢𝑡
(2.127)
𝑊𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 + ∑ 𝑊𝑗𝑖 = 𝑊𝑖,𝑖 + ∑ 𝑊𝑖𝑗
𝑗(𝑗≠𝑖)
𝑗(𝑗≠𝑖)
Las ecuaciones de SEA se simplifican notablemente cuando el acoplo entre
elementos (subsistemas) es grande, esto es, cuando el factor de pérdidas del
material es mucho más pequeño que los factores de acoplo. En efecto, el
balance energético en el caso de dos elementos acoplados:
𝜔(𝜂1 + 𝜂12 )𝑀1 |𝑣12 | − 𝜔𝜂21 𝑀2 |𝑣22 | = 2𝑊𝑖1
(2.128)
−𝜔𝜂12 𝑀1 |𝑣12 | + 𝜔(𝜂2 + 𝜂21 )𝑀2 |𝑣22 | = 2𝑊𝑖2
donde 𝑊𝑖2 es el flujo de potencia que llega a la frontera del subsistema 2. Se
puede encontrar que:
|
𝑣12
𝑀2 𝜂2 + 𝜂21 + 𝜂21 (𝑊𝑖2 ⁄𝑊𝑖1 )
2 | = 𝑀 𝜂 + (𝜂 + 𝜂 )(𝑊 ⁄𝑊 )
𝑣2
1 12
1
12
𝑖2
𝑖1
(2.129)
Para acoplo fuerte, esto es, 𝜂2 mucho menor que 𝜂21 y 𝜂1 mucho menor que
𝜂12
𝑣12
𝑀2 𝜂21 𝑀2 ∆𝑁1
| 2| ≈
=
𝑀1 𝜂12 𝑀2 ∆𝑁2
𝑣2
(2.130)
𝑀1 𝑣12
| |
𝑀2 𝑣22
=
𝐸𝑐.1 ∆𝑁1
≈
𝐸𝑐.2 ∆𝑁2
Las anteriores ecuaciones proporcionan las bases para la determinación
experimental de los factores de acoplo.
53
2.5.4 Formulación SEA para el estado transitorio (proceso reverberante)
En contraste con el estado estacionario, la energía de cada subsistema, 𝐸𝑖 ,
no es constante:
𝑑
𝐸 ≠ 0 → 𝐸𝑖 ≠ 𝑐𝑡𝑒
𝑑𝑡 𝑖
(2.131)
Cuando se interrumpe el suministro energético al subsistema 𝑖, la energía va
disminuyendo. La ecuación que describe este proceso es:
𝑑
𝐸 (𝑡) = ∑ 𝜔𝜂𝑗𝑖 𝐸𝑗 − 𝜔𝜂𝑖 𝐸𝑖 = −𝑊𝐿𝑜𝑠𝑠,𝑖 (𝑡) → 𝐸𝑖 = 𝑐𝑡𝑒
𝑑𝑡 𝑖
(2.132)
𝑗(𝑗≠𝑖)
Si se desprecian los flujos energéticos desde otros subsistemas, entonces el
término que contiene los factores de pérdidas de acoplo en la ecuación (2.132)
desaparece y la solución para 𝐸𝑖 (𝑡) es de tipo exponencial, esto es:
𝑊𝐿𝑜𝑠𝑠,𝑖 (𝑡) = −
𝑑
𝐸 (𝑡) = 𝜔𝜂𝑖 𝐸𝑖 (𝑡) → 𝐸𝑖 (𝑡) = 𝐸0𝑖 (𝑡)𝑒 −𝜔𝜂𝑖 𝑡
𝑑𝑡 𝑖
(2.133)
En este caso, las curvas de caída, serán exponenciales. Sin embargo, en la
mayoría de las ocasiones el flujo energético proveniente de otros subsistemas
cercanos no puede despreciarse. Por ejemplo, en el caso de dos elementos
acoplados, por similitud con el caso de salas acopladas, es de esperar
encontrar las ecuaciones para la velocidad media cuadrática en cada uno de
los elementos, del tipo:
2 −𝜔𝜂1 𝑡
2 −𝜔𝜂2 𝑡
𝑣12 (𝑡) = 𝑣11
𝑒
+ 𝑣12
𝑒
(2.134)
2 −𝜔𝜂1 𝑡
2 −𝜔𝜂2 𝑡
𝑣22 (𝑡) = 𝑣21
𝑒
+ 𝑣22
𝑒
En este caso, las curvas de caída son la combinación de dos exponenciales.
Este aspecto es tratado en el capítulo 4 para estudiar el comportamiento
vibratorio de una estructura.
Para abordar formalmente el problema, un planteamiento es definir un nuevo
factor de pérdidas de forma que:
𝑊𝐿𝑜𝑠𝑠,𝑖 (𝑡) = −
𝑑
𝐸 (𝑡) = 𝜔𝜂𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑖 (𝑡)𝐸𝑖 (𝑡) → 𝐸𝑖 (𝑡)
𝑑𝑡 𝑖
En este caso el balance energético puede escribirse en la forma:
54
(2.135)
−𝜔𝜂𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑖 (𝑡)𝐸𝑖 (𝑡) = ∑ 𝜔𝜂𝑗𝑖 𝐸𝑖 (𝑡)
(2.136)
𝑗(𝑗≠𝑖)
Y la solución:
𝜂𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑖 (𝑡) = 𝜂𝑖 − ∑ 𝜔𝜂𝑗𝑖
𝑗(𝑗≠𝑖)
𝐸𝑗 (𝑡)
𝐸𝑖 (𝑡)
(2.137)
Este factor de pérdidas es el único que puede ser determinado
experimentalmente.
55
CAPÍTULO 3: CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS TIPO VIGA
3.1 Introducción
En este capítulo, se presentan una serie de experimentos vibroacústicos
realizados sobre 5 especímenes de vigas de sección transversal rectangular
uniforme y no uniforme, construidas en piedra Bateig. Este material ha sido
elegido debido a que sus propiedades mecánicas son similares a las del
hormigón, ampliamente utilizado en la industria de la construcción.
Al realizar y describir estos experimentos se pretende un doble objetivo, en
primer lugar, plantear el problema de los límites de validez del concepto de
subsistema en el sentido empleado en la metodología SEA cuando se trata de
estudiar la propagación de perturbaciones en vigas, y en segundo lugar, se
explica la propuesta de una configuración experimental alternativa para el
estudio vibroacústico de estructuras que combina la utilización de actuadores
electrodinámicos combinados con la aplicación de señal de test tipo
pseudoaleatorias (concretamente del tipo MLS) que, como se explica en el
Anexo I.2, facilita la caracterización de los sistemas bajo estudio.
Los contenidos de este capítulo están organizados de la siguiente. En primer
lugar, se muestra la base experimental usada y la manera como se obtuvieron
las propiedades mecánicas del material con que fueron fabricados los
especímenes usados para los test. En segundo término, se demuestra la
57
influencia de las condiciones de contorno en la realización de los
experimentos. Seguido a esto, se exponen los dos procedimientos
experimentales que dan vía a la obtención de los resultados para caracterizar
las estructuras tipo viga. El primer procedimiento, está asociado al estudio de
las vigas de sección transversal no uniforme obteniendo los resultados de
movilidad, flujo de potencia y factor de perdida por acoplamiento, según los
preceptos de SEA. El segundo procedimiento explica un sistema de medida
alternativo en el campo acústico con el cual se hacen análisis en frecuencia,
en tiempo y en el espacio-k, permitiendo obtener cualidades de la estructura,
como las formas modales y la velocidad de propagación de las ondas de
flexión.
3.2 Base experimental
La base experimental consiste en 5 vigas fabricadas en una piedra arenisca
llamada Bateig. Este material además de tener propiedades mecánicas
similares a las del hormigón, permite ser fácilmente tallado, cortado y tratado,
lo que proporcionó crear de manera relativamente sencilla las 4 vigas de
sección tranversal no uniforme y así obtener dos subsistemas acoplados
como muestra la Figura 10.
El espécimen 0, correspondiente a la viga continua, la cual tiene una área de
sección de transversal, 𝐴 = 𝑤ℎ, 0.0024 (𝑚2 ), un momento de masa de Inercia,
𝐼𝑦 de 0.8𝑥10−6 (𝑚4 ) y un la relación de Aspecto, 𝑅𝐴 de 135.1, entonces, la
viga puede ser considerada como esbelta con lo cual, puede ser estudiada
analíticamente bajo los supuestos de la teoría de viga de Euler-Bernoulli,
como se indicó anteriormente.
Los cambios de sección de los especímenes 1 y 3 fueron creados a partir de
tallar una viga continua, mientras que las muestras 2 y 4 fueron cortadas y
pegadas como se muestra en la Figura 11, para crear de esta forma, una
discontinuidad en las propiedades del material, con el propósito de observar
si existe alguna diferencia en la propagación o flujo de energía a través de la
estructura.
58
Espécimen 0- Viga Continua, Viga Base
𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝐴 = 1.17; ℎ𝐴 = 0.03; 𝑤𝐴 = 0.08.
Espécimen 1
𝐿1−𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1.17; 𝐿1−𝐴 = 0.53;𝐿1−𝐵 = 0.64; ℎ1−𝐴 = 0.06;ℎ1−𝐵 = 0.03; 𝑤 =
0.08.
Espécimen 2
𝐿2−𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0.76; 𝐿2−𝐴 = 0.28;𝐿2−𝐵 = 0.48; ℎ2−𝐴 = 0.02;ℎ2−𝐵 = 0.08; 𝑤 =
0.06.
Espécimen 3
𝐿3−𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0.6; 𝐿3−𝐴 = 0.28;𝐿3−𝐵 = 0.48; ℎ3−𝐴 = 0.07;ℎ3−𝐵 = 0.08; 𝑤 = 0.06.
Espécimen 4
𝐿4−𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0.76; 𝐿4−𝐴 = 0.28;𝐿4−𝐵 = 0.48; ℎ4−𝐴 = 0.07;ℎ4−𝐵 = 0.08; 𝑤 =
0.06.
Figura 10 Descripción de la base experimental utilizada (Todas las medidas están en metros (m))
Figura 11 Izquierda La perforación a través de la sección transversal para prensar las varillas
roscadas, Derecha. Masilla para sellar la unión.
59
Las propiedades mecánicas del material (presentada en la Tabla 4 ) se
obtuvieron experimentalmente utilizando dos métodos.
Tabla 4 Las características físicas y mecánicas de la piedra Bateig
Velocidad de propagación longitudinal, 𝒄𝑳
3718.06 (𝒎/𝒔)
Módulo de Young, 𝑬
32. 00 (𝐺𝑃𝑎)
Módulo de Cizallamiento, 𝑴𝑬𝑻
13.00 (𝐺𝑃𝑎)
Coeficiente de Poisson, 𝝁
0.23 (-)
Densidad, 𝝆
2314.81(𝐾𝑔/𝑚3)
El módulo de Young (𝐸).y el coeficiente de Poisson 𝜇 fueron determinados
siguiendo la metodología planteada en la normativa UNE-EN 12390-13 [82].
La velocidad de propagación de las ondas fue obtenida usando un sistema de
ultrasonidos transmisor-receptor [83]. La densidad, 𝜌, se obtuvo midiendo y
pesando la viga correspondiente al espécimen 0 y el módulo de Cizallamiento
(𝐺) fue deducido a partir de módulo de Young
La técnica de medida del primer experimento, se basa en la deformación que
sufre una galga extensiométrica al verse sometida a un esfuerzo. A causa del
esfuerzo se produce una variación en la resistencia eléctrica lo que permite
caracterizar mecánicamente el material. El proceso de medición, se muestra
en la Figura 12.
Figura 12 Izquierda. Prensa para llevar a cabo la deformación, Derecha. Detalle de la aplicación
de las galgas extensiométrica
El segundo método, consiste en el uso de un sistema ultrasónico emisor–
receptor que se ubica en varias posiciones de la pieza prismática, como se
observa en la Figura 13. Con esta técnica se calcula la velocidad de
propagación de las ondas longitudinales y por medio de un cálculo se deduce
el módulo de Young del material.
60
Figura 13 Sensor ultrasónico para determinar la velocidad de propagación de las ondas
longitudinales en los sólidos.
Respecto a las condiciones de contorno, para configurar el experimento, se
han puesto a prueba tres condiciones de apoyo para soportar las vigas. La
primera, consistió en recrear la situación de viga simplemente soportada (ver
Figura 14) y las otras dos condiciones ideales de libe-libre, por medio de
soportes tipo cuerda (ver Figura 15) y muelle (ver Figura 16).
Al realizar las pruebas con la condición de viga simplemente soportada, no se
logró la excitación deseada para los modos de flexión de la viga, los cuales
son fundamentales para el estudio y encargados de la radiación acústica,
razón por la cual se trató de emular la condición libre-libre, dado que facilita el
desarrollo de las formas modales a flexión de la viga.
Figura 14 Condiciones de contorno, de viga simplemente soportada
Es importante hacer una aclaración respecto a la ubicación de la fuerza sobre
la viga. La excitación se ha dispuesto a 2 centímetros (ver Figura 15) de uno
de los extremos de la viga, ya que se empleó el Shaker para el estudio del
flujo de potencia. Esta ubicación está relacionada con limitaciones de espacio
en el laboratorio.
61
Continuando con la emulación de las condiciones de contorno libre-libre existe
una gran dificultad en recrear de manera experimental unas condiciones de
contorno de este tipo. El montaje con cuerdas expuesto en la Figura 15, fue
rechazada dada la inestabilidad que ofrecía cuando se accionaba el excitador
electrodinámico.
Figura 15 Emulación de la condición Libre-Libre usando cuerdas para suspender a la
estructura.
Como segunda opción, se utilizó un polímero reciclado (espuma) en los
bordes de la viga, dado que se comporta como un muelle. En la Figura 16 se
indica cómo fue suspendida la viga de sección rectangular no uniforme.
62
Figura 16 Condición de frontera emulando una condición libre-libre usando espuma como si
fuera un muelle.
3.3 Desarrollo
En esta sección, se describen las dos configuraciones experimentales
utilizadas, seguido, el procedimiento para obtener los registros y los
resultados. En ambos procedimientos, se empleó como señal de prueba la
secuencia de máxima longitud enunciada en la Tabla 5.
Tabla 5 Propiedades de la señal MLS usada en los experimentos
Variable
Valor
Quantization (𝒃𝒊𝒕𝒔)
16
Frecuencia de Muestreo (𝒇𝒎 )(𝒌𝑯𝒛)
96
Número de secuencias (𝑵)
16
Duración de la señal (𝒔)
3
Duración de la señal antes de promediar las muestras
32768
3.3.1 Primer procedimiento experimental
La configuración que se ha empleado como montaje experimental, para
determinar la movilidad de las vigas, se exhibe de manera sistemática en la
Figura 17.
63
Figura 17 Configuración correspondiente al primer procedimiento experimental.
Con ayuda de un shaker se excitan la viga con una fuerza que es medida por
un sensor de fuerza. Se ha colocado un acelerómetro de referencia en el
extremo izquierdo de la estructura. La señal es registrada en puntos de la viga
con una con separación equidistante de 𝛥 = 0.01𝑚 para todas las vigas,
obteniendo, de esta forma, entre 115 y 72 puntos de medición por espécimen
(dependiendo de la longitud de la misma).
Como se puede ver en la Figura 17 se mide con sensores de aceleración
arriba y debajo de la estructura, esta configuración permite incluir sólo
aquellos componentes asociados con ondas de flexión. La respuesta en
frecuencia de las ondas de flexión se obtiene a partir de la ecuación (3.1), tal
como se justifica en [84] , [85] y [86]:
𝐻𝑓 =
𝐻𝑠 −𝐻𝑖
2
(3.1)
donde: 𝐻𝑓 es la respuesta en frecuencia de las ondas de flexión y 𝐻𝑠 y 𝐻𝑖 son
la respuesta en la parte superior e inferior respectivamente.
La realización del análisis modal de cualquier estructura es el primer paso
para establecer a partir de que frecuencia son válidos los supuestos de SEA,
como se explicó en el apartado 2.5; una alta densidad modal es esencial para
aplicar los supuestos de esta teoría. En la Figura 18 se representan la
movilidad, definida mediante la ecuación (3.2), en función de la frecuencia
para los cuatro especímenes de sección transversal no continua bajo test. La
velocidad en cada punto se obtiene integrando la señal de la aceleración.
64
𝑀𝑜𝑣𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 =
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
(3.2)
Figura 18 F.R.F de la Movilidad
El comportamiento modal de las muestras 3 y 4 es similar, excepto por un
ligero desplazamiento espectral de la muestra 4 a la izquierda, tal vez debido
a la discontinuidad (aumento de masa). Al observar estos sistemas, es
evidente que no tienen una alta densidad modal, por tanto, un análisis de
acuerdo con los principios de la SEA, no sería apropiado.
No obstante, de los resultados obtenidos en el análisis modal (ver Figura 18 )
y debido a la naturaleza del sistema de medición en estado estacionario, se
puede contemplar el caso hipotético donde la densidad modal es lo
suficientemente alta, lo cual permitiría calcular el factor de pérdida de
acoplamiento (CLF), este es estimado a partir de la relación de la energía
cinética, 𝐸𝑘 , entre los subsistemas en los que fue dividido cada viga. La
estimación del balance energético es considerada a partir de la igualdad
expresada en (3.3).
𝐸𝑘,2 𝑀2 |𝑣22 | 𝑀2 |𝜂21 | |𝑣22 |
=
=
=
𝐸𝑘,1 𝑀1 |𝑣12 | 𝑀1 |𝜂12 | |𝑣12 |
(3.3)
El balance energético describe el acoplamiento entre los subsistemas la
Figura 19 muestra la relación de energía observada para las 4 muestras.
65
Figura 19 Relación Energética en los especímenes
La baja densidad modal de las estructuras dificulta el estudio energético, ya
que la relación de masas es alterada.
Ahora bien, usando la aproximación de diferencias finitas expresada en [87],
se calcula el flujo de potencia utilizando la ecuación 3.4. Este enfoque es
válido para las mediciones de aceleración y un sensor de fuerza como
referencia, tal como se explicó en el diagrama del setup de medición (Figura
17).
𝐷
(3.4)
[𝑣̇ (4𝑣3 − 𝑣4 ) − 𝑣̇ 1 𝑣3 ]
∆3 2
donde 𝑣𝑛̇ es la derivada de la velocidad de las ondas de flexión asociadas con
⟨𝑤⟩𝑡 ≅
cada sensor, 𝑛 es 1, 2, 3, 4 que está correlacionado con la posición de cada
acelerómetro (Ver Figura 17), 𝐷 = 𝐸𝐼⁄(1 − 𝜇 2 ), es la rigidez a flexión, 𝐸 es la
Modulo de Young (Pa), 𝐼 es el momento de Inercia (𝑚4 ) y 𝜇 es el coeficiente
de Poisson. La Figura 20 muestra los resultados obtenidos:
66
Figura 20 Flujo de potencia de vibración a través de las estructuras
La Figura 20 representa el flujo de energía para los especímenes con cambio
de sección a través de su longitud. En primer lugar, se observa como para los
especímenes 3 y 4, para los cuales el cambio de sección transversal es
mínimo, el flujo de energía a lo largo de la estructura es casi constante.
Mientras que, cuando el cambio de sección es brusco, como en el caso del
espécimen 2, se identifica claramente como el flujo de energía se concentra
en la parte denominada subsistema 1, la cual pertenece al lugar donde se
accionó la fuerza y donde es más gruesa la sección transversal del
espécimen. Para el espécimen 1, se encuentra que el flujo de energía se
concentra en el cambio de sección causado por reflexiones entre los
subsistemas.
Finalmente, una de las tantas ventajas de usar señales pseudoaleatorias
como las señales del tipo MLS, es la posibilidad de estudiar el fenómeno
acústico en el tiempo. En la Figura 21, se muestra a manera de ejemplo, para
distintos instantes de tiempo, la transmisión del pulso a lo largo de 2 de los 5
especímenes estudiados. Se representa el desplazamiento exagerado para
poder observar el fenómeno acústico.
67
Continua: Espécimen 0
Cambio de sección: Espécimen 1
Figura 21 Transmisión de la IR a través del Espécimen 0 y 1 en distintos instantes de tiempo
(Desplazamiento exagerado)
Al analizar la gráfica anterior, se verifica cómo el medio es dispersivo, ya que
se visualizan distintos tipos de onda viajando en el mismo instante de tiempo
con distintas longitudes de onda. Así mismo, se logra identificar la acción de
la condición de contorno tipo muelle en los extremos de las vigas.
68
3.3.2. Segundo procedimiento experimental
El procedimiento experimental presentado en esta sección, está inspirado en
la técnica de medición de Holografía de campo cercano (NAH) [88], [3]. En
este caso, es medida una matriz rectangular al plano normal en el campo
acústico del desplazamiento a flexión de la viga y no en el plano paralelo como
normalmente se realiza en NAH.
La fuente de excitación mecánica fue un transductor dinámico Mini-Pro
modelo Fane-NXT MP 80, que se utiliza generalmente en altavoces planos
del tipo DML (Distributed Modes Loudspeakers) [89]. El transductor se dispuso
en la cara superior de la viga cerca de uno de los extremos, específicamente
a 0.02 𝑚 . La localización a un extremo de la viga, fue con el fin de comparar
las mediciones de vibración (ver apartado 3.3.1 de este documento).
La malla de medición es rectangular y perpendicular al plano del movimiento
de flexión de la viga, el tamaño de la matriz de medición es de 0.6 𝑋 1.2 𝑚
comenzando a medir a 0.02 𝑚 de la superficie superior de la viga, obteniendo
un total de 7200 puntos equidistantes en ambas dirección con una separación
entre cada uno de ellos de Δ=0.01 𝑚.
Las mediciones se realizaron en condiciones anecoícas. Como se muestra en
la Figura 22 y en la Figura 23 en las cuales aparece la configuración
esquemática de la medición y una fotografía que detalla las condiciones de
montaje, respectivamente.
69
Figura 22 Esquema de medición del segundo procedimiento experimental.
Figura 23 Vista detallada de las condiciones de montaje.
Como sistema de amplificación se empleó un amplificador Brüel & Kjær tipo
2732, el micrófono de medición fue un Brüel & Kjær tipo 4951 preamplificado
por un sistema Nexus de Brüel & Kjær tipo 2693—0S4. Un sistema robotizado
automatizado fue empleado para desplazar el micrófono autónomamente,
emitir y capturar la señal, así como almacenamiento de los datos capturados.
70
Para este fin fue usada una plataforma de adquisición de datos de National
Instruments BNC 2110.
En primera lugar, se analizó la respuesta en frecuencia de la presión en un
promedio espacial de los puntos de medición cercanos a la superficie superior
de la viga. El espectro resultante se muestra en la Figura 24, donde la
frecuencia critica es 𝑓𝑐 = 589 𝐻𝑧 , que fue calculada usando la ecuación 2.65
y aparece resaltada en la figura, ya que establece los campo de mayor y
menor radiación de la viga.
Figura 24 Promedio espacial de la respuesta de frecuencia de presión obtenida de esos
puntos de medición cerca de la viga
La Figura 24 también permite identificar los picos de resonancia
correspondientes a los modos de radiación de la viga. A partir de la solución
analítica del modelo de viga en condiciones libre-libre de Euler-Bernoulli fue
posible evaluar la diferencia entre las frecuencias de resonancia medidas y
los diez primeros modos de flexión analíticos (ecuación (2.42)). La Tabla 6,
presenta los resultados obtenidos, donde la diferencia (en %) es la desviación
relativa de los datos experimentales con respecto a la solución analítica.
Tabla 6 Diez primeros modos de flexión de una viga-libre libre, calculado con la aproximación
de Euler-Bernoulli, obtenido experimentalmente y desviación relativa (porcentaje).
Modo
Euler-Bernoulli (Hz)
Experimental (Hz)
Diferencia
(%)
1
2
3
83.68
230.0
449.1
70.35
257.0
539.3
-15.9
11.7
20.0
71
4
5
6
7
8
9
10
738.2
1094.9
1516.3
1999
2539
3133
3778
773.8
1102
1524
1993
2556
3119
3728
4.82
0.65
0.51
-0.30
0.65
-0.47
-1.32
Los resultados indican que existe una alta correlación para las frecuencias por
encima de 𝑓𝑐 (diferencias de menos de 5%). Estas ligeras diferencias entre las
frecuencias de resonancia medidas y calculadas se pueden atribuir a las
condiciones de contorno (que no eran idealmente libre-libre), a la
incertidumbres en la determinación del módulo de Young, necesario para el
cálculo analítico. Aun así, el procedimiento experimental alternativo propuesto
ha demostrado ser una herramienta útil para caracterizar los modos de
resonancia de una estructura.
En segundo lugar, el sistema se estudió en régimen transitorio. Al utilizar
señales MLS se obtiene la IR en cada punto de medición y adicionalmente se
obtiene una referencia de fase entre cada uno de ellos lo que permite
reconstruir temporalmente el campo acústico.
La Figura 25, muestra la forma modal para el 5to modo de la viga de sección
transversal rectangular continua. La parte real del campo de presión radiado
por la viga se muestra en la parte superior de la figura y el desplazamiento
exagerado en la parte inferior, este último fue obtenido usando el
procedimiento experimental expuesto en el apartado 3.3.1 de este documento.
72
Figura 25 Resultados de vibración y en el campo acústico obtenidos para la viga de sección
transversal continua (5to Mode -1100 Hz). Arriba. Parte reala del campo de presión radiado
por la viga en una ventana espacial de 1.2 x 0.6 m. Bajo. Desplazamiento modal
En la anterior figura se puede identificar el ligero desplazamiento de las
terminaciones de la viga, zonas cercanas al soporte elástico, lo que confirma
la orientación de condición libre-libre del sistema muelle. Así mismo, en
consecuencia existe una consistencia clara entre el modo de vibración de la
estructura y el campo radiado por la misma.
Por otro lado, la Figura 26 muestra el campo acústico de presión en el plano
de medición para el instante de tiempo 𝑡 = 1.6563 𝑚𝑠 (en relación con el
comienzo de la excitación). En esta figura, se puede observar la diferencia
existente entre las velocidades de propagación en el sólido y la velocidad de
propagación en el aire, siendo esta última más tardía que en el sólido, tal como
era de esperarse. En la figura se puede observar a la izquierda la propagación
del pulso a una distancia aproximada de 0.5 𝑚, mientras tanto, en la dirección
horizontal asociada a la viga, la propagación del pulso ha viajado dos veces,
claramente se distinguen dos frentes de ondas asociados a la radiación de la
superficie de la viga. Otros fenómenos fácilmente distinguibles son: la
difracción al lado derecho de la viga y la radiación del actuador en el lado
izquierdo de la gráfica.
73
Figura 26 Campo Acústico en la malla de medición para el instante de tiempo t =1.6563 ms
El comportamiento temporal de los modos también puede ser observado
usando un filtro pasa-banda. La secuencia de imágenes en la Figura 27
muestra un periodo completo para el 5to modo de resonancia de la viga
continua.
El máximo (indicado con +) y el mínimo (indicado con -) permiten observar la
oscilación de un periodo en el tiempo para el 5to modo, así como observar que
no existe en esta frecuencia la influencia del actuador en el campo radiado por
la viga.
74
Figura 27 Evolución temporal en un intervalo de tiempo para el 5to modo de resonancia de la
viga continua.
Como se ha mencionado anteriormente, contando con la información de fase
para cada punto de medición y mediante la realización de una transformada
de Fourier, se obtiene la distribución espacial del campo de presión de sonido
en el dominio de la frecuencia, como se muestra en la Figura 28 para el caso
de 2kHz. La Figura 28.a muestra que la radiación de la viga es predominante
en el campo acústico, y por lo tanto, la longitud de onda de la onda de flexión
en el sólido, 𝜆 (𝑚), se puede obtener mediante el cálculo de la distancia
espacial entre máximos o mínimos de la onda acústica radiada en la dirección
75
𝑥 cerca de la superficie superior de la viga. Para el caso de 2kHz, el valor de
𝜆 es aproximadamente 0.30 𝑚 , como se marca en la parte inferior de la Figura
28.a.
a)
b)
Figura 28 Campo de presión sonora a 2 kHz. a. Distribución espacial en la matriz del campo
acústico medido. b. Representación del campo acústico en el espacio-k
El espacio-k del campo acústico a 2kHz es representado en la Figura 28.b.
Esta grafica fue obtenida realizando una transformada de Fourier en 2-D sobre
todos los valores en el espectro de los puntos de medición. La figura
representa las frecuencias espaciales 𝑘𝑥 y 𝑘𝑦 que conforman la frecuencia
especial 𝑘 en el plano de medición. Se observa que la radiación predominante
ocurre en dirección perpendicular a la superficie de radiación de la viga
(frecuencia espacial, 𝑘𝑦 ), soportado en el supuesto que el sonido radiado por
la viga es perpendicular a la superficie superior de la estructura.
A frecuencias, superiores a los 3kHz , la radiación generada por la viga es
enmascarada por la radiación del sonido producido por el actuador. La
ejemplificación de este fenómeno es representada en la Figura 29.a, la cual
ilustra el patrón de radiación esférico del actuador y donde se puede distinguir
que la radiación de la viga esta significativamente enmascarada por la del
actuador, lo que dificulta el análisis de la radiación generada por la viga, así
como se realizó en la Figura 28.
76
a)
b)
Figura 29 Campo de presión sonoro a 4 kHz (radiación sonora de la viga enmascarada por la
radiación del actuador). a. Distribución espacial en la matriz de medida. b. Representación del
espacio-k
En la representación del espacio-k del campo de radiación (Figura 29.b) se
distingue el predominio de las componentes del campo sonoro en dirección
𝑘𝑥 . Como se indicó anteriormente, las componentes de la viga están
asociadas a la componente 𝑘𝑦 las cuales son perpendiculares a la superficie
de radiación.
Con la finalidad de reducir la interferencia causada en el campo sonoro por el
actuador, se empleó un filtrado en el espacio-k, para remover las
componentes espectrales generadas por la radiación relacionada con el
actuador y de esta forma poder estudiar únicamente las componentes
relacionadas con la radiación causada por la viga en el campo acústico. Para
tal fin, fue usado un filtro Veronesi [90], [91], este es un filtro comúnmente
empleado en aplicaciones de NAH. La respuesta de este filtro en el espacio-k
, 𝐻𝑣 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ), puede ser expresado como:
𝐻𝑣 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) = {
1 − 0.5 𝑒
0.5
(
𝑘
−1)⁄𝑠
𝑘𝑐
𝑘
−( −1)⁄𝑠
𝑒 𝑘𝑐
𝑘 ≤ 𝑘𝑐
(3.5)
𝑘 > 𝑘𝑐
donde 𝑘𝑐 y 𝑠 son la frecuencia de corte espacial y la pendiente del filtro
respectivamente. En la Figura 30 se muestra el filtro Veronesi [90] en el
espacio-k usando una representación con circunferencias concéntricas.
77
Figura 30 Representación con circunferencias concéntricas de la respuesta en el espacio-k
del filtro Veronesi (s=0,65).
Una vez fue realizado el procedimiento de filtrado, un transformada rápida de
Fourier inversa fue realizada con el fin de regresar al dominio de la frecuencia.
En la Figura 31.a se representa el campo sonoro resultante después del
filtrado para la frecuencia de 4kHz (En este caso, los parámetros del filtro
fueron 𝑘𝑐 = 45 y 𝑠 = 0.65). El sonido radiado por la viga en el campo acústico,
ahora es predominante y se ha minimizado la radiación causada por el
actuador (Componentes relacionadas con 𝑘𝑥 ). Después de esto fue possible
estimar la longitud de onda de la onda de flexión del sólido, la cual, para el
caso de 4kHz es aproximadamente 0.20 𝑚 .
La Figura 31.b muestra la representación del espacio-k filtrado y se ha
superpuesto el filtro Veronesi usado (representado por circunferencias
concéntricas).
78
a)
b)
Figura 31 Campo de presión filtrado para 4 kHz. a. Distribución espacial en la malla de
medición. b. Representación del espacio-k (Incluye la representación del filtro Veronesi
empleado).
El procedimiento anterior fue empleando para varias frecuencias con el fin de
obtener la longitud de onda, 𝜆, y así calcular la velocidad de propagación de
las ondas de flexión de la viga , 𝑐𝐵 . La Figura 32 representa la comparación
entre la velocidad obtenida y los modelos de viga de Euler-Bernoulli (Ecuación
2.32) y Timoshenko (Ecuación 2.31) para condiciones de contorno libre-libre.
Figura 32 Comparación entre la velocidad de propagación de las ondas de flexión de la viga
obtenida experimentalmente y con los modelos de viga de Euler-Bernoulli y Timoshenko.
La 𝑐𝐵 calculada comparada con el modelo de viga de Timoshenko para
condiciones de contorno libre-libre, tuvo mejor ajuste, que el obtenido con el
modelo de Euler-Bernoulli. Esto sucede porque el modelo de viga de
Timoshenko considera la resistencia a la deformación por cizallamiento
(Shear) y la rotación de la masa por la inercia. Estos efectos tienen relevancia
79
para longitudes de onda comprables con el espesor de la viga. En la Figura
32 se resalta la 𝑓𝑐 alrededor de los 589 𝐻𝑧 (eje x) y la velocidad a la que viaja
esta frecuencia (eje y) la cual es la misma a la que viajan las ondas sonoras
en el aire, aproximadamente 343𝑚/𝑠. El cálculo de los datos experimentales
de la 𝑐𝐵 tiene validez a partir de esta frecuencia, ya que delimita el rango de
interacción del sólido en el aire.
3.4 Discusión
En este capítulo se presentaron dos procedimientos experimentales:
En el primero se abordó la problemática asociada a los límites de validez de
la consideración de subsistema en un sistema, según los supuestos de la
metodología SEA, estudiando vigas de sección no uniforme:

Cuando el cambio de sección es tenue (como en los especímenes 3 y
4), los subsistemas tienden a comportarse como un solo sistema,
cuando estos tienen una discontinuidad (cuando el cambio de sección
se hace cortando y pegando la estructura) hay una ligera modificación
en la respuesta modal. Por otro lado, en los especímenes 1 y 2, donde
las secciones transversales no uniformes son más evidentes y depende
del lugar donde se aplica la fuerza (sección de mayor a menor sección
transversal) la energía se absorbe o reflejada (de menor a la sección
transversal mayor).

Sin embargo, de los experimentos realizados se concluye que es
necesario en investigaciones futuras hacer este tipo de estudios con
materiales con un mayor factor de pérdidas y con estructuras mucho
más largas, con el fin de mejorar los especímenes para el estudio
fenomenológico presentado aquí. Además, si fuese posible, intentar
introducir materiales del tipo amortiguador en el cambio de sección, con
el propósito de identificar el amortiguamiento que estos generan en el
flujo de energía.
80
En segundo lugar, un procedimiento alternativo para el estudio vibroacústico
de estructuras basado en la utilización de señales pseudoaleatorias, que,
combinado con un procesado inspirado en la técnica NAH permitió visualizar
la radiación de la estructura así:

A partir de los registros en el campo acústico se realizó un análisis en
frecuencia en el campo cercano a la viga, logrando obtener los modos
de vibración de la viga bajo estudio, mostrando una alta correlación con
la solución analítica del modelo de viga con condiciones libre-libre de
Euler-Bernoulli para frecuencias por encima de la frecuencia crítica
(diferencias de menores de 5%).

Gracias al uso de señales del tipo MLS se logró observar
temporalmente el campo radiado por la viga, logrando distinguir la
diferencia entre las velocidades de propagación en el sólido y en el aire.
Así como, otros fenómenos vibroacústicos tales como la difracción del
borde de la viga.

Por medio del análisis en frecuencia en el espacio-k, se identificaron
los componentes de frecuencia espacial de la viga y del actuador
utilizado como fuente de excitación, consiguiendo, de esta forma
separarlos. La aplicación del filtro Veronesi minimizó los componentes
𝑘𝑥 que interfierieron en el campo radiado y que pertenecen al actuador,
esta técnica de procesado de la señal, permite mejorar el análisis de la
radiación sonora de la viga.

Se ha expuesto el proceso para determinar la velocidad de las ondas
de flexión en una viga para frecuencias superiores a la crítica,
realizando un análisis en el dominio de la frecuencia, utilizando la
distribución espacial de la presión sonora registrada en la malla de
medición. A partir de estos datos se calcula la longitud de onda de las
ondas de flexión en el sólido para cada frecuencia. Los resultados
experimentales obtenidos para la velocidad de propagación de las
ondas de flexión se compararon con el modelo de Euler-Bernoulli y el
modelo de Timoshenko, mostrando una alta concordancia en la gama
de frecuencias de validez de estas aproximaciones.
81
CAPÍTULO 4: ESTUDIO VIBRATORIO DE ESTRUCTURAS DE
TAMAÑO REDUCIDO
4.1 Introducción
En este capítulo se aborda el estudio del comportamiento vibratorio de una
estructura formada por la unión de tres placas rectangulares unidas
reproduciendo la forma de una esquina cuyas dimensiones están
representadas en la Figura 35 y construida con el mismo material que las vigas
estudiadas en el capítulo anterior (piedra Bateig). Las ventajas de usar esta
piedra, como se mencionó anteriormente, es que sus propiedades mecánicas
son similares a las del hormigón y es un material fácil de manipular.
El objetivo de este estudio es doble. Por una parte, la consolidación de la
configuración experimental propuesta en el capítulo anterior, en la que se
utiliza como excitador un transductor como los usados en los altavoces DML
y como señal de prueba una secuencia pseudoaleatoria del tipo MLS (Anexo
I). Al mismo tiempo se propone un laboratorio a tamaño reducido (Figura 35),
para estudiar la transmisión de vibraciones y el efecto de la intercapa en
suelos flotantes.
La razón para proponer este estudio, radica en el hecho de que las
predicciones en forma de ecuaciones analíticas sobre el aislamiento acústico
al ruido y las vibraciones que se pueden encontrar en [8], [27] y las medidas
realizadas en el laboratorio [28] suelen desviarse de los valores obtenidos en
83
medidas “insitu”. Este problema se asocia, por lo general con las
transmisiones laterales (flancos de transmisión) a través de los elementos que
forman un sistema constructivo. Por ello, es necesario cuantificar estas
desviaciones y disponer de herramientas analíticas y numéricas, así como de
datos experimentales, para que las predicciones se ajusten más a los
resultados de las medidas realizados bajo condiciones de construcciones de
edificaciones reales.
La normativa [8], [27] presenta, sin lugar a dudas, algunas limitaciones, la más
significativa está relacionada con que la predicción analítica esta sesgada,
porque sólo considera elementos constructivos relacionados con estructuras
pesadas, homogéneas e isotrópicas (típicas construcciones en hormigón y
mampostería), esto excluye otro tipo de construcciones como las multicapas
formadas por distintas capas de materiales livianos, no homogéneos y con
propiedades viscoelásticas, actualmente empleadas en la edificación
Por otro lado, el laboratorio de medición propuesto en [28] no simula la
realidad de la construcción bajo condiciones reales, puesto que sólo permite
estudiar un flanco asociado a una única unión rígida entre elementos
constructivos. En las construcciones reales existen al menos tres uniones
distintas entre elementos constructivos asociados a cada eje de coordenada
y no siempre rígidos. Adicionalmente, es un método generalizado el cual no
incluye todos los tipos de unión, (solo incluye uniones rígidas), ni otros
materiales utilizados en la construcción como lo son materiales viscos-poroelásticos, los cuales son empleados ampliamente en el aislamiento acústico y
térmico, los cuales permiten desacoplar mecánicamente los elementos
constructivos, evitando la transmisión por flancos o vía estructural del ruido y
vibraciones, en consecuencia, mejorando el desempeño del elemento
constructivo respecto a su rendimiento frente al aislamiento acústico. La
Figura 33 ejemplariza una instalación constructiva típica de una vivienda
donde se incorpora un sistema de aislamiento acústico del tipo suelo flotante,
también se describen los elementos constructivos verticales.
84
Figura 33 Esquema de la situación real de edificación de los elementos constructivos
Lo anteriormente expuesto justifica la búsqueda de procedimientos
alternativos que ofrezcan mayor precisión en la predicción de la reducción en
el efecto de las transmisiones laterales [92], [93]. En este sentido, la utilización
de configuraciones a escala [80] o de tamaño reducido puede constituir una
alternativa atractiva y fiable para la obtención de predicciones del aislamiento
acústico, con buenos resultados, porque permite recrear sistemas de medida
próximos a la instalación real.
El estándar UNE EN ISO 10848 [28] es el método de laboratorio para estudiar
la medición de transmisión vía estructural o por flancos. A este laboratorio lo
conforman dos salas adyacentes, estas pueden ser verticales u horizontales,
las cuales simplemente comparten una arista (unión). Las mediciones
realizadas en el laboratorio pueden ser "exactas" en un sentido limitado, ya
que es necesario determinar las pérdidas estructurales del laboratorio de
pruebas, además no se tiene en consideración ni el límite modal de los
recintos y ni de los elementos constructivos que lo conforman, tampoco la
absorción del acompañamiento estructural, ni la práctica constructiva real
cuando se edifica [94].
4.2 SEA en acústica en la edificación
En la edificación la mayor parte de los elementos constructivos son placas
(como las paredes o pisos), que se pueden simplificar a elementos de dos
dimensiones, la unión entre estos elementos, por lo general, son en cruz (X),
T o uniones de esquina (L).
85
En la acústica clásica el parámetro que describe la transmisión a través de
una articulación es el coeficiente de transmisión, 𝜏𝑖𝑗 . Este se define como la
relación entre la potencia incidente (𝑖) y la potencia transmitida (𝑗) sobre un
elemento constructivo después de que la energía ha fluido por una serie de
subsistemas interconectados entre sí. Comúnmente se expresa en dB y se
conoce como la pérdida de transmisión, 𝑅.
𝑅𝑖𝑗 = 10𝑙𝑜𝑔
1
𝜏𝑖𝑗
(4.1)
Con lo cual la ecuación 4.1 puede ser escrita como la ecuación 4.2
𝑅𝑖𝑗 = 10𝑙𝑜𝑔
𝑤𝑖
𝑤𝑗
(4.2)
Para cualquier tipo de unión estructural donde existan dos placas o más,
conectadas entre sí, cada onda que incide en alguna articulación generará
ondas en todas las placas conectadas. Para una articulación transversal, si
cada placa se modela como un subsistema independiente y se supone que
sólo admiten ondas de flexión el modelo SEA sería como se muestra en la
Figura 34.
Figura 34 Esquema del flujo de energía entre dos placas conectadas transversalmente
La placa fuente siempre se nombra con 𝑖 o 1 y la placa receptora con 𝑗 o 2.
SEA supone que todas las placas están hechas del mismo material pero
tienen distintos espesores; también supone que la unión entre las placas es
fija. Las placas están libres para rotar en las articulaciones, pero, debido a las
fuerzas de las otras placas, no existen desplazamientos. Esta es una
86
suposición razonable a baja frecuencia y como consecuencia no se generan
ondas longitudinales y solo se generan ondas de flexión en la transmisión
sonora.
Estos supuestos se concluyen matemáticamente en la ecuación 4.3:
5
5 2
−
4
(𝐻12 +𝐻214 )
𝑅12 = 10 𝑙𝑜𝑔
(4.3)
2
Donde 𝐻12 es la relación de espesores entre el elemento 1 y 2 y 𝐻21 es la
relación de espesores entre el elemento 2 y 1.
El nivel de velocidad promedio se define en la ecuación 4.4.
𝐿𝑣 = 10𝑙𝑜𝑔10
𝑣12 + 𝑣22 + ⋯ + 𝑣𝑛2
𝑑𝐵
𝑛 𝑣02
(4.4)
donde 𝑣1, 𝑣2 , 𝑣𝑛 son las velocidades eficaces (cuadráticas medias) en 𝑛
posiciones diferentes sobre el elemento que se está midiendo, en metros por
segundo y 𝑣0 es la velocidad de referencia cuyo valor viene recomendado en
la norma UNE-EN-ISO, 1683:2009 [95] y es 1𝑥10−9 𝑚/𝑠.
Se puede destacar que, la misma fórmula de nivel de velocidad promedio es
aplicable si en vez de velocidades se usan aceleraciones. En este caso el
valor de aceleración de referencia enunciada en [95] es 1𝑥10−6 𝑚/𝑠 .
La diferencia de nivel de velocidad, 𝐷𝑣𝑖𝑗 , se define como la diferencia entre
el nivel de velocidad promedio, de un elemento 𝑖 y el de un elemento 𝑗, cuando
solamente se está excitando el elemento 𝑖 (ecuación 4.5)
𝐷𝑣𝑖𝑗 = 𝐿𝑣𝑖 − 𝐿𝑣𝑗
(4.5)
Siendo, 𝐿𝑣𝑖 el nivel de velocidad en el elemento excitado (𝑖) y 𝐿𝑣𝑗 el nivel de
velocidad en el elemento receptor (𝑗).
La anterior relación implica que la excitación estructural se produce por
aplicación de una fuerza directamente al elemento emisor de las vibraciones.
87
El índice de reducción vibracional, 𝑘𝑖𝑗 , viene dado por la ecuación 4.6, en
decibelios.
𝑘𝑖𝑗 = 𝐷𝑣𝑖𝑗 + 10𝑙𝑜𝑔
𝑙𝑖𝑗
√𝑎𝑖 𝑎𝑗
(4.6)
donde 𝐷𝑣𝑖𝑗 es la diferencia de niveles de velocidad promediados
direccionalmente entre los elementos 𝑖 y 𝑗, en decibelios y viene dado por la
ecuación 4.7; 𝑙𝑖𝑗 es la longitud de la unión, en metros; y 𝑎𝑖 y 𝑎𝑗 , relacionados
en la ecuación 4.8, son las longitudes de absorción equivalentes de los
elementos 𝑖 y 𝑗 respectivamente, en metros.
𝐷𝑣𝑖𝑗 =
1
(𝐷 + 𝐷𝑣,𝑗𝑖 )
2 𝑣,𝑖𝑗
(4.7)
donde 𝐷𝑣,𝑖𝑗 es la diferencia entre el nivel de velocidad promedio de un
elemento 𝑖, excitado, y el elemento receptor 𝑗; y 𝐷𝑣,𝑗𝑖 es la diferencia de
velocidad promedio entre un elemento 𝑗 y un elemento 𝑖, cuando únicamente
el elemento 𝑖 es excitado por una fuerza externa. Estas magnitudes se
expresan en decibelios.
𝑎𝑗 =
2.2𝜋 2 𝑆𝑗
𝑓
𝑇𝑠𝑗 𝑐𝑜 √
𝑓𝑟𝑒𝑓
(4.8)
donde 𝑆𝑗 es la superficie del elemento 𝑗 en metros cuadrados, 𝑇𝑠𝑗 es el tiempo
de reverberación estructural del elemento 𝑗, 𝑐𝑜 velocidad de propagación de
las ondas en el aire, en metros por segundo; 𝑓 frecuencia en Hz y 𝑓𝑟𝑒𝑓 es la
frecuencia de referencia igual 1000𝐻𝑧.
El índice de reducción vibracional, se define en la Norma EN 12354-1 [8] como
una magnitud inalterable para caracterizar una unión entre elementos. Esta
magnitud se basa en una simplificación de la teoría del análisis estadístico de
la energía (SEA - [1])
Las principales hipótesis que hacen posible la utilización de esta magnitud,
son:
88
 El acoplamiento entre los elementos 𝑖 y 𝑗 es débil. Ya que, la
metodología SEA considera que los caminos de transmisión descritos
en el sistema se pueden considerar independientes.
 Los campos de vibración en los elementos son difusos. Es decir, que
en el rango de frecuencia estudiado el número de modos debe ser lo
suficientemente grande en el ancho de banda bajo estudio como para
considerar los campos acústicos y vibratorios en el sistema, como
estadísticos.
Estas hipótesis son las limitaciones más importantes que pueden encontrarse
al momento de obtener mediciones fiables y precisas en un rango de
frecuencias más o menos amplio.
El índice de reducción vibracional, 𝑘𝑖𝑗 , es uno de los indicadores acústicos
más complejos de predecir y medir, ya que como se mencionó, los estándares
actuales solo incluyen en el modelo un único tipo de unión. La derivación
mostrada en [8] está basada en un modelo simplificado de SEA donde sólo
hay un cruce, por lo tanto, se justifica el diseño del laboratorio, no obstante,
para comparar los resultados entre la construcción real, con los resultados
obtenidos en la predicción hecha con [8], [27] y con los datos obtenidos
siguiendo el método descrito en [28] se debería asegurar que la construcción
cumpla con los requisitos de subsistemas acoplados por una sola unión
descritos en SEA [1], lo cual no es factible realizar en condiciones reales.
En el estudio presentado por Schiavi, y Astolfi en [96] fue calculado el 𝑘𝑖𝑗 en
edificaciones reales con uniones rígidas, empleando dos modelos empíricos
basados en la evaluación estadística de las mediciones insitu para estimar el
índice de reducción vibracional de construcciones típicas del sur de Europa.
La fuente empleada fue un martillo de impactos que reproduce una excitación
impulsiva. Los resultados están limitados en frecuencia, por el tipo de fuente
empleada, como se muestra en el Anexo II de este documento.
El grado de validez de los modelos SEA está limitado en baja frecuencia por
el comportamiento modal de la estructura, las normas actuales, indican que el
límite inferior para la validez del estudio es 50 Hz. Teniendo en cuenta que un
edificio es un sistema que consta de placas y vigas acopladas, el
89
comportamiento modal depende de las propiedades mecánicas y las
condiciones de contorno entre ellos, como se explica en el capítulo 2 de este
documento.
Estudios como el presentado por Neves, Sousa y Gibbs, [97] explican que a
frecuencias inferiores de los 200 Hz, a los campos sonoros y de vibraciones
en las viviendas presentan un comportamiento modal alto, por lo tanto, debe
incluir los siguientes factores para el correcto análisis del desempeño en el
aislamiento acústico en la edificación: la ubicación del impacto o fuerza de
excitación, la construcción del piso, las propiedades del material, las
dimensiones y condiciones de contorno, las dimensiones de la sala, la
absorción de la superficie, y la ubicación del receptor. El pico más significativo
en la transmisión del sonido de impacto, por lo general, se produce en la
frecuencia correspondiente al primer modo vertical (normal) de la sala. Sin
embargo, en algunos casos, la transmisión del sonido de impacto puede ser
incluso superior a otras frecuencias, esto ocurre cuando la habitación y el
suelo tienen un alto acoplamiento modal. De este estudio se puede concluir
que, simples métodos de predicción del nivel de ruido de impacto, 𝛥𝐿, a bajas
frecuencias, dependen en gran medida de las propiedades mecánicas del
suelo, que se pueden resumir en la movilidad característica de la placa.
El laboratorio necesario para predecir la transmisión por flancos es complejo
de construir, de esta manera, la posibilidad de utilizar modelos a escala o a
tamaño reducido para estimar el 𝑘𝑖𝑗 es una opción viable. En [98] se propone
un modelo a escala 1:10 y un modelo numérico del laboratorio explicado en
[28], para ambos experimentos la fuente usada fue del tipo armónica. El
alcance del estudio se restringió a validar los resultados numéricos y el de
confirmar la viabilidad del proceso numérico. Los autores proponen utilizar
modelos numéricos para simular las dimensiones reales y calcular el 𝑘𝑖𝑗 .
En [99] se estudia la transmisión de la vibración estructural, el problema fue
abordado desde un punto de vista numérico, utilizando modelos de elementos
finitos. Los resultados numéricos obtenidos se comparan con las fórmulas
empíricas de [8]. Los autores proponen una metodología simple para estimar
la diferencia entre las predicciones numéricas y el estándar, lo que permite el
90
cálculo de un término de adaptación que hace que ambos enfoques se
aproximen. Este estudio concluye que 𝑘𝑖𝑗 es dependiente de la solución
constructiva, y por lo tanto debe ser evaluado para cada estructura.
En documentos científicos como [100] y [101], se utilizaron laboratorios a
pequeña escala para evaluar la diferencia de nivel de velocidad, 𝐷𝑣,𝑖𝑗 , en la
unión entre el elemento excitado 𝑖 y el elemento receptor 𝑗, y el nivel de presión
de ruido de impacto normalizado, 𝐿′𝑛 , en suelos flotantes. Los autores han
encontrado buenos resultados empleando técnicas convencionales de
medición (máquina de impactos) en estructuras a tamaño reducido, en el
rango de frecuencia de estudio que sugiere la normativa. Aunque, estas
técnicas no están directamente relacionadas con la transmisión de las
vibraciones entre uniones, es interesante como se aborda el uso de
laboratorios alternativos para estudiar el fenómeno acústico.
En [102] se propone otro laboratorio para evaluar la transmisión estructural
causada por instalaciones hidráulicas (fuentes con más movilidad que el
receptor), fuertemente relacionadas con transmisión de ruido por flancos y de
impacto. El laboratorio propuesto, consta de tres placas desacopladas entre
ellas y que forman una esquina. La evaluación de los elementos se basa en
[28]. Igualmente, en [102] se describe la metodología para determinar la
propagación de las vibraciones vía estructural de maquinaría de gran peso en
estructuras de construcción homogénea. El banco de pruebas o prototipo
desarrollado, está basado en el concepto de la placa de recepción, y validado
experimentalmente. El sistema de prueba ha sido desarrollado, para
determinar la potencia del sonido transmitido por la estructura de las fuentes
mecánicas en edificios de gran peso. El prototipo se valida a frecuencias
inferiores de 50 Hz, obteniendo buenos resultados, ya que ese tipo de fuentes
transmiten ruido y vibraciones a bajas frecuencias.
Lo anteriormente expuesto permite justificar el uso de modelos a tamaño
reducido para estudiar la fenomenología de la transmisión de ruido y
vibraciones a través de los flancos estructurales de soluciones constructivas,
distintas a las contempladas en los actuales estándares.
91
Como se mencionó en la introducción del presente capítulo se propone un
laboratorio a tamaño reducido (Figura 35), para estudiar la transmisión de las
vibraciones y el efecto que tiene el instalar intercapas fabricadas con
materiales poro-visco-elásticos en soluciones constructivas del tipo suelo
flotante.
4.3 Configuración Experimental
La imagen superior de la Figura 35 muestra esquemáticamente la estructura
de tamaño reducido en forma de esquina, usada para el experimento. Se
construyó con el mismo material de la base experimental presentada en el
capítulo 3, las propiedades mecánicas del material se pueden observar en la
Tabla 4.
92
Figura 35 Superior. Detalle de la esquina (Todas las dimensiones en centímetros). Inferior
Estructura Real.
Debido a que el experimento requiere la medición en la parte inferior de la
muestra; la estructura se levantó con la ayuda de una estructura en forma de
U, como se observa en la parte inferior de la Figura 35. Para separar ambas
estructuras mecánicamente se empleó un material viscoelástico (miga de
neumático reciclado). La Tabla 7 muestra las propiedades mecánicas del
material aislante empleado.
Tabla 7 Propiedades mecánicas de la miga de neumático reciclado
Densidad
Módulo de Young
Coeficiente de
Poisson
𝟔𝟗𝟕. 𝟔𝟑
11.15
0.00
𝒌𝒈/𝒎𝟑
𝑘 𝑃𝑎
-
Como se observa en la Figura 36 y la parte inferior de la Figura 35, por medio
de arandelas, se creó una malla equiespaciada (𝛥 = 0.05𝑚), en las seis
superficies de la estructura, para un total de 576 puntos de medición. La Figura
36 evidencia la distribución de los puntos de medición en las diferentes
superficies.
93
Figura 36 Distribución de los puntos de medición
El actuador (fuente) se encuentra en tres posiciones diferentes en la placa
base (placa horizontal) de la estructura bajo prueba, se eligieron las
posiciones de la fuente tratando de seguir las recomendaciones de la norma
UNE EN ISO 10848-1 [28]. La Tabla 8 muestra la disposición de los puntos
de medición en la superficie de la base.
Tabla 8 Selección y localización de la fuente sobre la malla de medición.
Posición1
Posición 2
Posición 3
F1 (0.36,0.36)
F2 (0.26,0.21)
F3 (0.16,0.26)
** Superficie 1 (Piso), Ejes de coordenadas (x, y)
94
Se decidió medir con la máxima resolución posible, con el propósito de realizar
análisis temporales y espaciales, aprovechando las ventajas del uso de las
señales MLS (ver Anexo I.2) y así poder comparar con mayor precisión con
modelos numéricos. Este experimento se realizó para seis combinaciones
diferentes de piso flotante, las cuales consisten en combinaciones entre tres
placas de mármol (placa flotante) de distintos espesores: 1 𝑐𝑚, 1. 5 𝑐𝑚 𝑦 2 𝑐𝑚
y dos intercapas de diferentes materiales viscoelásticos. La Tabla 9 muestra
las propiedades mecánicas del mármol y la Tabla 10, las propiedades
mecánicas de las intercapas elegidas para el estudio.
Tabla 9 Propiedades Mecánicas del Mármol
Densidad
2655.6
𝑘𝑔/𝑚3
Módulo de Young
80
𝐺𝑃𝑎
Coeficiente de Poisson
0.30
-
Tabla 10 Propiedades mecánicas de las capas viscoelásticas elegidas para el estudio
Muestra 6:
Espesor
𝑒 = 0.03
𝑚
Densidad
𝜌 = 94.83
𝐾𝑔/𝑚3
Frecuencia de resonancia
𝑓𝑟 = 26
𝐻𝑧
Factor de pérdidas
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0,154
-
Rigidez dinámica
𝑠’𝑡 = 5
𝑀𝑁/𝑚3
Módulo de Young
𝐸 = 183330
𝑃𝑎
95
Muestra 9:
Espesor
𝑒 = 0.0125
𝑚
Densidad
𝜌 = 697.63
𝐾𝑔/𝑚3
Frecuencia de resonancia
𝑓𝑟 = 39
𝐻𝑧
Factor de pérdidas
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.205
-
Rigidez dinámica
𝑠’𝑡 = 13
𝑀𝑁/𝑚3
Módulo de Young
𝐸 = 177490
𝑃𝑎
4.4 Resultados
En esta sección se detallan los resultados obtenidos. En primer lugar, se
explica la respuesta del comportamiento modal de la estructura. Seguido del
cálculo de los indicadores que dan vía para obtener el índice de reducción de
las vibraciones, tanto para la esquina desnuda, como cuando se añade a la
base de la esquina una solución de piso flotante.
4.4.1 Análisis Modal y respuesta en frecuencia
Los resultados obtenidos a partir del experimento realizado, se comparan con
un modelo de elementos finitos para evaluar el grado de correlación del
estudio. En la siguiente sección se explica cómo se llevaron a cabo la
modelización numérica y la comparación de los resultados.
Resultados experimentales
La Figura 37 muestra la respuesta en frecuencia obtenida a través del
procedimiento experimental. La curva de la figura corresponde al promedio de
los tres puntos de fuente en los 81 puntos de medición, (243 respuestas
promediadas), sobre la placa de base (superficie horizontal de la esquina).
96
Figura 37 Respuesta en frecuencia mediante el proceso experimental de la esquina desnuda
Al analizar la anterior figura se puede distinguir el alto comportamiento modal
de la estructura hasta los 2 kHz. Esto restringe el estudio para los tercios de
octava donde la normativa indica que se debe presentar los resultados (tercios
de octava de 50 Hz-5kHz.).
Con el fin de representar las formas modales de la estructura se elaboró un
experimento numérico para calcular sus frecuencias propias. En el modelo fue
recreada la geometría real de la esquina de medición. Se realizaron dos
estudios, ambos modelos tridimensionales construidos en el módulo de
mecánica de sólidos en COMSOL Multiphysics®. [9]
Para simplificar el modelo, el primer paso dentro del experimento numérico
consistió en verificar que la respuesta modal obtenida experimentalmente
correspondiera a una condición de contorno libre-libre. Como es sabido, la
baja densidad del material viscoelástico recrea un apoyo tipo muelle. Tal como
se explicó en el apartado 3.2 de este documento.
Un segundo experimento fue hecho sin el soporte en forma de U. La condición
de contorno de la base de la placa horizontal de la estructura fue declarada
como tipo muelle, esto se realizó con el fin de mejorar el coste computacional
del modelo.
El experimento con el soporte tuvo un total de 17354 elementos, mientras que
el segundo modelo un total de 8514 elementos. En ambos experimentos se
97
calcularon las primeras 50 frecuencias modales. En todos los modelos
presentados los materiales fueron declarados como materiales lineales y las
propiedades mecánicas introducidas en el software de modelamiento
numérico corresponden a los registrados en las tablas rotuladas como: Tabla
4, Tabla 7, Tabla 9 y Tabla 10.
Los resultados expuestos en la Tabla 11 comparan los resultados numéricos
para los dos experimentos: cuando la esquina está bajo las condiciones reales
de medición y con una condición de contorno tipo muelle en la parte inferior
de la placa horizontal de la esquina.
Tabla 11 Comparación numérica de las formas modales con dos condiciones de contorno.
Izquierda. Condición experimento real. Derecha, En la base condición tipo muelle.
124.89
124.78
186.97
186.89
218.43
219.13
340.82
340.74
98
Como se observa en la tabla anterior, los resultados son similares para ambos
modelos. El segundo (con condiciones de contorno tipo muelle) fue elegido
por el menor coste computacional. Este modelo fue usado en los siguientes
análisis.
Adicionalmente, al comparar los resultados numéricos, con la respuesta
modal encontrada con el experimento se puede verificar la alta correlación de
los resultados con desviaciones menores al 1%.
Para obtener la respuesta en frecuencia del modelo numérico se construyó un
modelo armónico, como es sabido, para resolver las ecuaciones que
solucionan este modelo es necesario introducir una fuerza externa, con el
propósito de recrear las condiciones reales de medición, la fuerza que ejerce
el actuador fue estimada basada en un enfoque acústico-mecánico, dado que
no es sencillo obtener la fuerza experimentalmente para este tipo de fuentes.
(Ver Anexo 1)
En la Figura 38, se muestra la comparación de los resultados experimentales
y numéricos hallados para la esquina desnuda (gráfica superior) y cuando es
añadido al sistema una solución de piso flotante (gráfica inferior). Los
resultados que se muestran representan el promedio de los tres puntos de
carga para los 81 puntos de medición. Los puntos de medición y de carga
fueron los mismos en ambos experimentos (numérico y experimental).
99
Figura 38 Respuesta en frecuencia con la solución de suelo flotante. Arriba. Comparación
entre los resultados experimentales y numéricos en la superficie superior de la esquina.
Abajo. Comparación entre los resultados experimentales y numéricos sin la contribución
Como se observa, la correlación de los datos es bastante alta. Se han
realizado dos experimentos adicionales como se expone en la gráfica inferior
de la Figura 38. Esto se realiza, dada la asimetría de la esquina porque, el
primer modo de resonancia varía. Se esperaba que el primer modo de los
experimentos coincidiera con la frecuencia de resonancia generada por el
sistema de un grado de libertad que se forma entre la palca base y la solución
de piso flotante, pero en los resultados se ve ligeramente desplazado. La
Tabla 12 explica gráficamente el fenómeno.
Tabla 12 Solución numérica de las formas modales
Esquina con la
solución de suelo
flotante y condiciones
tipo muelle en la base.
31.41 Hz // 32.86 Hz //
40.56 Hz // 59.58Hz
Configuración del piso
flotante sin esquina
solo sobre una placa
base de Bateig y está
soportada
en
una
condición tipo muelle.
26.42Hz// 28.07// 36.71
Hz // 39.05 Hz // 41.86
Hz
100
Solución sobre una
condición de contorno
rígida-Sistema de un
grado de libertad.
31.56 Hz// 31.98 Hz
233.01 Hz
278.58 Hz
276.20
En la anterior tabla comparativa se verifica la influencia de la asimetría de la
esquina, lo que genera un desplazamiento del sistema de un grado de libertad
formado entre la solución de suelo flotante y la placa base de la esquina.
Finalmente, en la Figura 39 se muestran los resultados obtenidos
experimentalmente para todas las superficies de la esquina, cuando esta
desnuda y cuando le es añadida la solución de piso flotante, con el material
viscoelástico rotulado M006 y la losa de mármol de 2 centímetros de espesor.
101
Figura 39 Respuesta en frecuencia para las seis superficies. Arriba La esquina desnuda.
Abajo, La esquina con la solución de suelo flotante,
La Figura 39 muestra la influencia de piso flotante. Aunque el nivel disminuye
al tener la solución, aún se puede determinar el comportamiento modal de las
otras caras de las placas que conforman la esquina.
4.4.2 Diferencia de nivel de velocidad en la unión entre el elemento excitado
𝒊 y el elemento receptor 𝒋 𝑫𝒗,𝒊𝒋
Con el fin de encontrar la eficacia de las soluciones de piso flotante, se calculó
la diferencia de nivel para los siguientes tres casos:

Caso 1: diferencia de nivel entre la superficie del suelo superior (𝑖) e
inferior (𝑗) sin solución de piso flotante y con una solución de piso
flotante.

Caso 2: diferencia de nivel entre la pared de menor espesor (3 𝑐𝑚) (𝑖)
y la superficie exterior del piso (𝑗), sin solución de piso flotante y con
una solución de piso flotante.

Caso 3: diferencia de nivel entre la pared gruesa (6 𝑐𝑚 de espesor) (𝑖)
y la superficie exterior del piso(𝑗), sin solución de piso flotante y con
una solución de piso flotante.
Para cada una de las configuraciones de piso flotante (6 configuraciones), se
evaluó cada caso. En este documento se presentan los casos para el material
9 (M009) y el material 6 (M006) con losa de mármol 2 centímetros de espesor.
102
Los datos son presentados en tercios de octava normalizados de 31.5 Hz a
5kHz.
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Figura 40 Diferencia Normalizado para tres distintos casos de comparación
103
Como se muestra en las ilustraciones relacionadas en la Figura 40, para los
tres casos estudiados, cuando se comparan los elementos sin solución de
suelo flotante, se puede ver cómo el nivel de velocidad en la unión entre el
elemento excitado 𝑖 y el elemento receptor 𝑗, esta alrededor de 0.
Concretamente en el caso 3, se encuentran diferencias entre -10dB y 10dB,
el obtener una diferencia negativa, indica que hay mayor transmisión de
energía. La diferencia entre las soluciones de suelo flotante es mínima, lo que
indica que el desempeño de los materiales estudiados es similar. En todos los
casos, hay una reducción en la diferencia de nivel alrededor de los 500 𝐻𝑧,
esto se debe al hecho de realizar una aproximación por tercio de octavas en
bandas donde la densidad modal de la estructura es baja. Como era de
esperarse, por encima de los 2kHz, para todos los caso el comportamiento de
𝐷𝑣,𝑖𝑗 es prácticamente constante.
4.4.3 Tiempo de Reverberación Estructural, 𝑻𝒔
El tiempo de reverberación estructural, 𝑻𝒔 , al igual que el tiempo de
reverberación en recintos, se calcula a partir de la curva de decaimiento
energético de cualquier punto de medida del elemento bajo estudio. Dicha
curva se puede obtener a partir de la respuesta al impulso IR al usar técnicas
de medida basadas en secuencias pseudoaleatorias (ver Anexo I.2), como la
MLS, usada en este trabajo (ver Tabla 5).
Cuando se emplean ese tipo se señales el 𝑻𝒔 se obtiene a partir de realizar el
método inverso de la respuesta al impulso [103], [104], este proceso
demuestra matemáticamente que la curva de decaimiento se obtiene al
integrar (sumar) todas las contribuciones energéticas asociadas a una única
curva de decaimiento que contiene todas las frecuencias en el tiempo, la suma
se realiza desde un tiempo infinito hasta el instante inicial.
Para obtener el 𝑻𝒔 por tercio de octava desde la curva de decaimiento es
necesario filtrar la señal por banda de frecuencia. Una vez obtenida la curva
de decaimiento se debe estimar el tiempo que transcurre en decaer la energía
60𝑑𝐵, este proceso no se hace por simple inspección, dado que dicha curva
presenta irregularidades, aunque el decaimiento cumple un tendencia
104
asintótica no es del todo una línea recta, por lo que se realiza una
aproximación. El motivo de la aparición de irregularidades es debido a que en
la práctica ningún campo sonoro de medición es perfectamente difuso.
En la Figura 41 se muestran tres distintas curvas de decaimiento obtenidas
para la piedra Bateig. Las curvas son el resultado de aplicar el proceso de la
integral inversa a los 81 puntos de medida sobre la superficie y luego
promediando los decaimientos, así eliminando al máximo, las posibles
irregularidades de las señales, causadas por ruido.
Figura 41 Curvas de decaimiento para tres distintas frecuencias (𝟖𝟎𝟎𝑯𝒛 − 𝟐𝒌𝑯𝒛 − 𝟒𝒌𝑯𝒛)
Como se pude ver en la anterior figura las curvas de decaimiento obtenidas
afirman la hipótesis que el campo sonoro no es totalmente difuso y que la
curva de decaimiento es dependiente de la frecuencia.
Ahora bien, en la próxima figura se presentan los resultados obtenidos al
estimar el tiempo de reverberación 𝑇𝑠10 , 𝑇𝑠20 y 𝑇𝑠30 , en bandas de tercios de
octava desde los 400 𝐻𝑧 hasta los 6.3𝑘𝐻𝑧. No fue estimado el 𝑇𝑠60 , dado que
la señal obtenida no logra decaer 60𝑑𝐵. La Figura 42 muestra los resultados
obtenidos para cada uno de los tiempos de reverberación calculados, al final
de la figura se presentan en una sola grafica los tres tiempos, con el fin de
analizar la diferencia entre cada uno de ellos.
105
106
Figura 42 Tiempo de reverberación estructural para la piedra Bateig
Al observar la última gráfica, de la anterior figura, los tres tiempos son
distintos, lo que confirma la teoría de acoplamiento entre las paredes que
conforman la estructura y la baja difusividad del campo sonoro medido. Se
resalta el tiempo correspondiente a 0.5 segundos, ya que es el tiempo
sugerido en la normativa [8], [27] para hacer las estimaciones cuando el
material de la estructura es del tipo hormigón. Para realizar los cálculos al
estimar el índice de reducción vibracional se usó el 𝑇𝑠30 , considerando que fue
el que más se aproximó a los supuestos de la normativa, para este tipo de
materiales.
Adicionalmente, se estimó el factor de pérdidas, 𝜂, de la piedra Bateig. Los
resultados son presentados en la Figura 43 , este fue estimado usando la
ecuación 4.9, derivada de los supuestos de SEA [39]. Se calculó a partir de
los resultados del 𝑇𝑠30 ,
𝜂=
2.2
𝑓𝑇𝑠
107
(4.9)
Figura 43 Factor de pérdidas 𝜼 de la piedra Bateig
De las Figura 42 y Figura 43 se puede detectar la baja densidad modal, por
debajo de los 2 kHz, demostrando que el 𝑇𝑠 no es constante con la frecuencia
y debería ser medido para cada material. Por encima de 2 kHz, el tiempo de
reverberación se mantiene constante y es ligeramente mayor que los 0.5
segundos sugeridos en la normativa (alrededor de los 0.6 𝑠) Adicionalmente,
donde más baja es la reverberación y mayor es el factor de perdidas es
alrededor de la banda de 500 Hz,
𝑓𝑐 =
𝑐𝑜2
= 560.4 Hz
1.8ℎ𝐶𝐿
(4.10)
Al calcular la frecuencia crítica del Bateig usando la ecuación 4.10 se puede
observar que la 𝑓𝑐 está relacionada con dicha banda de tercio de octava.
4.4.4 Índice de reducción vibracional, 𝑘𝑖𝑗
Finalmente, se presentan los resultados para la evaluación del 𝑘𝑖𝑗 , este
indicador depende del 𝐷𝑣,𝑖𝑗 y del 𝑇𝑠 . En la Figura 44 se presenta la curva de
tendencia obtenida al calcular el índice. Los resultados obtenidos empleando
el procedimiento experimental propuesto, en este capítulo, son similares a los
obtenidos empleando técnicas convencionales de medición del 𝑘𝑖𝑗 .
108
Figura 44 Índice de reducción de las vibraciones, Kij, para distintas configuraciones de suelo
flotante
En la anterior figura, se puede notar que cuando no hay solución constructiva,
no existe reducción de la transmisión (esquina desnuda), mientras, que
cuando la solución es instalada, hay una clara mejora en la reducción de la
transmisión sonora.
Aunque los resultados son presentados desde la banda de los 31.5 Hz, se
puede observar como solo hasta después de los 2kHz, la curva se estabiliza,
con lo cual es erróneo pensar en un único número para describir el
comportamiento real de la solución constructiva, para expresar la reducción
de la vibración que esta genera. También, se puede identificar que no hay una
relevante diferencia entre los distintos espesores de los elementos verticales
que forman la esquina.
4.4.5 Índice de reducción del sonido de impacto 𝜟𝑳
Como análisis adicional, se compararon los resultados con los experimentos
explicados en [101], en este estudio los autores realizaron estimaciones del
índice de reducción al sonido de impacto, usando como fuente una máquina
de impactos, sobre varias estructura de hormigón y ubicando sobre ella la
misma solución constructiva medida en este trabajo doctoral (M006+L003). La
Figura 45 expresa los resultados obtenidos.
109
Figura 45 Comparación de la técnica experimental propuesta y la técnica de la máquina de
impactos para el cálculo del índice de reducción del sonido de impacto
Como se puede observar la correlación entre las medidas es alta con lo cual
el experimento presentado aquí, también permite evaluar el índice de
reducción del sonido de impacto 𝛥𝐿 usado como un proceso alternativo al de
la máquina de impactos. Esta comparación es posible dadas las ventajas del
uso de señales del tipo MLS.
4.5 Discusión
Una vez descrito el proceso y expuestos algunos de los resultados más
significativos se puede concluir:

El setup experimental propuesto, constituye un laboratorio adecuado
para estudiar la transmisión por flancos en la edificación y cuantificar el
efecto de la instalación de suelos flotantes. El uso de sistemas
constructivos de tamaño reducido permite estudiar, de manera
fenomenológica, la validez experimental de supuestos analíticos y
numéricos para la evaluación de la calidad acústica en la edificación.

El uso combinado de transductores excitadores con señales de tipo
MLS, ha demostrado ser una estrategia fiable y ventajosa para el
estudio de este tipo de estructuras. Permite estudiar el comportamiento
estacionario y transitorio de la estructura, facilitando la estimación del
tiempo de reverberación estructural del sistema
110
constructivo,
obteniendo datos en todo el ancho de banda, sugerido para el análisis
en la estructura. A partir de estos datos es posible evaluar el índice de
reducción de las vibraciones para la esquina desnuda y para distintas
configuraciones de suelo flotante, permitiendo diferenciar el efecto de
cada intercapa.

La limitación de la técnica experimental alternativa presentada, en el
rango de baja frecuencia, viene dada por la respuesta del transductor
usado como excitador armónico de la estructura y en alta frecuencia, el
límite está relacionado con el acelerómetro, ya que tiene una
sensibilidad hasta los 8kHz. Restringiendo el análisis en alta frecuencia
donde el sistema constructivo presenta una alta densidad modal y un
mejor desempeño frente a los supuestos de SEA.

Las ventajas comparativas frente a las técnicas tradicionales del
procedimiento aquí propuesto son, la estabilidad de una técnica de
medición estacionaria, con los privilegios del análisis en estado
transitorio, la portabilidad y versatilidad en el procesamiento digital de
señal de los datos registrados.
111
CAPÍTULO
5:
ESTIMACIÓN
DE
LA
IMPEDANCIA
DE
TRANSFERENCIA DE MATERIALES FIBROSOS
5.1 Introducción
Es un hecho bien conocido que las estructuras metálicas vibrantes son
fuentes de ruido altamente eficientes y a menudo producen exposición a
niveles sonoros que implican un riesgo para la salud. El aislamiento acústico
que proporciona una placa metálica está fuertemente determinado por dos
propiedades: su masa y su capacidad de amortiguamiento. En particular, las
estructuras
metálicas
del
tipo
placa
presentan
un
muy
pequeño
amortiguamiento interno. En una primera instancia la más simple vía para
controlar el ruido es incrementando la masa de la estructura. Esto reducirá el
nivel de vibración de la estructura y el sonido que se transmite a través de
esta.
Sin embargo, hay unos límites prácticos en cuanto a incrementar la masa. Por
ejemplo, investigaciones recientes [105] encaminadas a contribuir a mitigar el
cambio climático generado por el automóvil, han mostrado que una
disminución de un 10% de peso conduce a una reducción de entre un 4.5% y
un 6% de consumo de carburante en vehículos. La aplicación de tratamientos
mono o multicapa de amortiguación en la parte vibrante de una estructura es
una técnica conocida para reducción del ruido y las vibraciones. Esta medida
de control pasivo se ha utilizado ampliamente en los componentes de la
industria de maquinaria, aviones, edificios y piezas de automóviles.
113
Dado que los materiales porosos son poco pesados, el tratamiento no
aumenta la masa de la estructura significativamente. El material poroso añade
amortiguamiento y, en consecuencia reduce la amplitud de las vibraciones;
debido a las pérdidas internas en el material, la amplitud de las ondas
acústicas que se propagan en su interior se atenúan, y, por último, este
tratamiento de material absorbente puede aprovecharse para absorber ruido
aéreo, disminuyendo de esta forma el campo reverberante en un recinto
cerrado, como puede ser el interior de un vehículo.
El principal aporte presentado en este capítulo esta direccionado a la
caracterización vibroacústica de materiales absorbentes del tipo fibroso, para
lograr esto, se propone:
 Un procedimiento experimental alternativo al presentado por Doutres
en [4], para la obtención de la impedancia de transferencia, 𝑍𝑡 , usando
la técnica de medida de la holografía acústica de campo cercano (NAH,
Near-field Acoustic Holography) [3], [106] para obtener la velocidad de
vibración sobre la superficie del material poroso, retro propagando el
campo acústico y aplicando la ecuación de Euler, como se explicó en
la sección 2.3, a su vez, con la misma medición se obtuvo la presión
compleja en el campo cercano del material poroso. La velocidad de la
placa rígida (metálica) se obtiene midiendo la parte trasera de la placa,
usando un acelerómetro e integrando, para obtener la velocidad de
vibración de la placa base. También, se emula un piston circular rígido
encastrado en una pantalla infinita (ver Figura 50). El procedimiento
aquí presentado, optimiza los recursos de medición usando una sola
técnica para obtener dos parámetros acústicos, en la misma medición.
 La caracterización de un único tipo de material poroso-fibroso,
conocido como PET (Polietileno Tereftalato), reciclado de botella, de
distintos espesores, con el fin de observar los cambios que esto sugiere
en la estimación del FSI (Frame Stiffness Index).
 Comparar la impedancia superficial medida en tubo de impedancia y la
de transferencia calculada con el procedimiento alternativo basado en
NAH, y a su vez, con el modelo unidimensional de Biot [6], [7] para
estimar la impedancia acústica de materiales absorbente.
114
 Evaluar la eficiencia de radiación de la estructura cuando esta desnuda
y cuando le es añadido el material absorbente-fibroso, usando las
funciones de propagación de NAH. Los resultados se comparan con el
modelo de radiación propuesto por [62] usando como datos de entrada
las medidas experimentales de 𝑍𝑠 y 𝑍𝑡 .
5.2. Materiales porosos y fibrosos: Modelo de Biot
Los materiales fibrosos son materiales absorbentes, que acústicamente
hablando, corresponden a un medio pasivo que ayuda a la atenuación de ruido
y vibraciones disipando la energía acústica en movimiento y/o calor. La
absorción de cada material depende de la frecuencia, a alta frecuencia, la
disipación de energía corresponde a un proceso adiabático y las pérdidas que
ocurren son causadas por la fricción de la onda sonora cuando intenta
atravesar los poros del material, por lo general irregulares, sin embargo, a
bajas frecuencias, la absorción sonora ocurre por el intercambio de calor.
Entonces, por lo general, los materiales poro-elásticos son eficientes a alta
frecuencia [5].
Los materiales porosos-fibrosos están configurados por dos sistemas: el
primer sistema es la fase sólida, la cual es equivalente al esqueleto o cuerpo
de la fibra y la segunda fase corresponde al fluido ligero, compuesto por el
aire confinado dentro de la estructura que puede circular libremente alrededor
del esqueleto, también llamado fluido saturante.
Cuando una onda acústica se propaga a través de dos medios (impedancias)
acústicos diferentes como lo son, la superficie del material, una parte de la
onda se transmite al medio fibroso (entre la fase sólida y el fluido ligero) y la
otra parte de la onda se reflecta sobre la interfaz aire/fibroso (zona de cambio
de impedancia). Esto quiere decir que, el concepto de impedancia acústica
permite estudiar las cantidades energéticas acústicas transmitidas y
reflectadas, cuando una onda acústica choca con un material de este tipo.
Esta es la razón, por la que el parámetro más significativo para describir y
cuantificar el comportamiento acústico de un material fibroso, es la
impedancia acústica (𝑍). La impedancia acústica caracteriza la resistencia del
115
medio fibroso al paso de una onda acústica y se define como el cociente entre
la presión acústica,𝑃, y la velocidad de las partículas en el medio fibroso, 𝑣.
𝑍=
𝑃
𝑣
(5.1)
El modelo de Biot-Allard [6], [7], [107], proporciona un modelo fundamental
para describir el comportamiento dinámico de los materiales fibro-elásticos,
utilizando el formalismo de la mecánica de los medios continuos [107] y
sugiere que el medio fibroso sea visto a nivel macroscópico como la
superposición en tiempo y en espacio de dos medios continuos acoplados y
Allard adaptó esta modelización a los porosos, y en consecuencia el
acoplamiento entre la fase sólida y fluida, es la misma. Este modelo considera
que dos ondas longitudinales (ondas de compresión) y una rotacional (o
shear), pueden ser propagadas a través del medio poroso al mismo tiempo.
En el modelo de Biot-Allard, solo es considerada la transferencia de energía
a incidencia normal, por tanto, la onda rotacional no es excitada y el fenómeno
puede ser descrito en un diagrama unidimensional (ver Figura 46).
La condición de impedancia implica un salto de la componente normal de la
velocidad de la estructura, 𝑣𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 , y la interface del material poroso en contacto
con el aire,𝑣𝑎𝑖𝑟𝑒 , en otras palabras, el material poroso suaviza la condición de
acoplamiento natural entre el fluido (aire) y la placa (estructura), ofreciendo
amortiguamiento en la respuesta de un sistema dinámico, disminuyendo la
eficiencia de radiación respecto a la emisión que entrega el sistema al medio
cercano (aire), cuando no está cubierto por un material absorberte. La
ecuación 5.1 puede ser escrita, ahora, como la relación entre la presión
incidente, 𝑝, y la diferencia de velocidades entre la superficie del material en
contacto con el aire, 𝑣𝑎𝑖𝑟𝑒 y el movimiento de la placa, 𝑣𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
𝑍𝑡 =
𝑝
𝑣𝑎𝑖𝑟𝑒 − 𝑣𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
(5.2)
Cuando la placa es estática 𝑣𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 0, se habla entonces de Impedancia
superficial, 𝑍𝑠 , supuesto en el cual está basado el método normalizado [108].
Este método consiste en ubicar en el extremo del tubo el material absorbente
contra una pared rígida y en el otro extremo un altavoz, el cual genera una
116
onda de presión que choca con la superficie del material poroso. Mientras que
la impedancia de transferencia, 𝑍𝑡 , se relaciona cuando la estructura sobre la
cual se encuentra adherido el material poroso se encuentra en movimiento.
La Figura 46 explica gráficamente la diferencia entre ambas impedancias.
Figura 46 Esquema condiciones de contorno. Derecha, impedancia superficial, izquierda,
impedancia de transferencia
En trabajos como [5], [4] y [109] se discute la ambigüedad en el uso de la 𝑍𝑠 ,
como condición de impedancia, para modelar numéricamente al material
absorbente. En [5] también se propone el uso de un modelo unidimensional
basado en la teoría de Biot [6], [7] con el propósito de tener en cuenta la
propagación de las ondas en el material poro-elástico. Al no existir,
actualmente, una normativa para caracterizar la 𝑍𝑡 experimentalmente, en [4]
se propone una metodología experimental alternativa para caracterizar 𝑍𝑡 ,
usando una configuración de medida conformada por un vibrómetro laser, con
el cual se mide la velocidad de vibración en la superficie del material poroso,
así como también, se caracteriza la velocidad de la superficie de la placa,
usando medidas de aceleración y la presión compleja, es medida usando una
sonda intensimetrica. El anterior experimento se realiza bajo los supuestos
físicos de un piston circular plano encastrado en una pantalla infinita.
Además en [4], se discute acerca de la influencia de la rigidez de la fibra (FSI
Frame Stiffness Influence), con el fin de determinar el rango en frecuencia,
donde no ejerce influencia el esqueleto del material poroso. La influencia de
la parte sólida del poroso se relaciona con la rigidez del esqueleto, esta rigidez
limita la zona de utilidad del material poroso como amortiguador, indicando
que existe una frecuencia para la cual la impedancia de la parte sólida del
material poroso (esqueleto de la fibra) tiende a infinito, por lo cual la eficiencia
de radiación aumenta en lugar de ejercer amortiguamiento (disminución) para
117
el sistema placa-poroso [5], [4]. Esta frecuencia se puede estimar usando la
siguiente aproximación:
(1 − 𝜇)
2
1 √𝐸 (1 + 𝜇)(1 − 2𝜇)
𝑓𝑅 ≃
4𝑙
𝜌1
(5.3)
donde, 𝐸 es el módulo de Young, 𝜇 el Coeficiente de Poisson, 𝜌1 Densidad
del esqueleto y 𝑙 es el espesor de la capa porosa.
5.3 Materiales utilizados
Para emular la condición de piston circular rígido. Se ha elegido como pantalla
infinita una placa de MDF (ver Figura 50). El piston es una placa cuadrada de
aluminio de 35x35cm, la cual posteriormente se dispuso de manera circular y
cuyas características se presentan en la Tabla 13:
Tabla 13 Características mecánicas de la placa metálica
Radio 𝒂, (𝒎)
0.14
Espesor 𝒉𝒑 , (𝒎)
0.55 . 10−3
Módulo de Young 𝑬𝒑 , (𝑷𝒂)
6.9 . 1010
Factor de perdida 𝜼𝒑
0.03
Densidad 𝝆𝒑 , (𝒌𝒈 𝒎−𝟑 )
1859
Coeficiente de Poisson 𝝁
0.33
El material poroso fibroso a estudiar es una fibra de poliéster reciclado de
botella, tipo PET. Las características mecánicas del material se presentan en
la Tabla 14.
Tabla 14 Características mecánicas del material fibroso
Espesor 𝒍, (𝟏𝟎−𝟑 𝒎)
30.00
Radio 𝒂, (𝒎)
0.140
Resistividad al flujo 𝝈, (𝑵𝒔⁄ 𝟒 )
𝒎
2000
Porosidad 𝝓
> 90.00
Tortuosidad 𝜶∞
1.030
Longitud viscosa 𝜦 (𝟏𝟎−𝟔 𝐦)
420.0
118
Longitud termal 𝜦 ′ (𝟏𝟎−𝟔 𝐦)
650.0
𝑲𝒈
⁄ 𝟑)
𝒎
Densidad del Esqueleto 𝝆𝟏 , (
17.00
Módulo de Young 𝑬, (𝒌𝑷𝒂)
13.00
Factor de Perdidas 𝜼
0.230
Coeficiente de Poisson 𝝁
0.000
La fibra se ha dispuesto de 5 diferentes formas, las cuales se pueden ver en
la Figura 47.
Figura 47 Muestras del material fibroso utilizado para el estudio
Los 5 grupos de muestras de material absorbente-fibroso estudiado en este
proyecto están diferenciados por espesores, el primer grupo corresponde a 1
cm (M1X), el segundo a 2 cm (M2X), el tercero a 3 cm (M3X), el cuarto a 4 cm
(M4X) y el último a 5 cm (M5X), de cada uno de ellos se estudiaron 5 muestras,
con el fin de determinar la desviación en el cálculo de la impedancia.
El material que mejor desempeño mostró durante el estudio fue la fibra con el
espesor de 3 cm, por esta razón, la Tabla 14 indica las características para
este espesor, y de ahora en adelante los resultados están relacionado con
esta muestra.
119
5.3 Montajes Experimentales
Se proponen dos montajes experimentales, el primero, recrea la condición de
medida normalizada para obtener la 𝑍𝑆 , el segundo, consiste en recrear un
pistón circular plano encastrado en una pantalla infinita, excitada en su centro
por una fuerza puntual, a la cual se le añade el material poroso tipo PET, para
estimar la 𝑍𝑡 , usando el procedimiento alternativo basado en NAH, descrito
anteriormente.
5.3.1 Tubo de impedancia: Impedancia superficial
La impedancia para materiales absorbentes puede ser obtenida usando el
método experimental UNE-EN ISO 10534-2: 2002 [108], método que usa un
tubo de ondas estacionarias y se basa en la función de transferencia para
estimar la impedancia superficial del material, el estándar asume que la
velocidad de la placa donde se soporta el material es nula. El proceso para
obtener la impedancia acústica del material fibroso consiste en cuantificar el
coeficiente de absorción a incidencia normal del material [15].
Dos micrófonos miden la presión generada dentro del tubo, lo cual es conocido
como el Método de la Función de Transferencia, este método consiste en
relacionar las presiones complejas 𝐻12 entre el micrófono 1 (cercano a la
muestra) y 2 (cercano a la fuente), la medida necesita una calibración de la
respuesta de los micrófonos. Para ello se mide 𝐻21 (función de transferencia
con los micrófonos cruzados) y se corrigen los posibles defectos de fase.
A continuación en la Figura 48 se presenta esquemáticamente el montaje
experimental, para la medición de la impedancia superficial.
120
Figura 48 Esquema del montaje para la medición de impedancia acústica en tubo de
impedancia
El factor de reflexión, 𝑟 se obtiene a partir de la siguiente relación:
𝐻12 − 𝑒 −𝑗.𝑘.𝑙 𝑗.2.𝑘.(𝑙+𝑑)
𝑟 = 𝑗.𝑘.𝑙
.𝑒
𝑒
− 𝐻12
(5.4)
Siendo 𝑙, la distancia entre micrófonos y 𝑑 la distancia del micrófono 2 a la
muestra (ver Figura 48). El coeficiente de absorción en incidencia normal, 𝛼
se obtiene a partir de la siguiente ecuación.
𝛼 = 1 − |𝑟|2
(5.5)
Del mismo modo la impedancia acústica
𝑍=
1+𝑟
1−𝑟
(5.6)
La Figura 49, muestra la disposición del experimento en el laboratorio, según
[108]. En el extremo derecho de la fotografía se encuentra la condición rígida
donde es ubicado el material absorbente y en el extremo izquierdo, está la
fuente acústica.
121
Figura 49 Montaje experimental método de la función de transferencia
5.3.2 Montaje experimental con NAH
El montaje experimental se muestra en la Figura 50. En la fotografía de la
izquierda se puede apreciar la pantalla de madera aglomerada, tipo MDF, a la
que se le realizó un orificio circular, donde se ubicó la placa metálica, a la que
posteriormente le fue adherido el material absorbente. En la parte frontal de
la pantalla se situó el dispositivo que sostuvo al brazo mecánico que ejecutó
los movimientos de posicionamiento del micrófono en la malla virtual, que
hace de superficie del holograma. La imagen de la derecha, corresponde a la
parte trasera de la pantalla, en la cual se distinguen, la placa metálica y el
actuador que ejerce la fuerza, el cual está ubicado en el centro geométrico de
la placa metálica (las características del actuador se pueden observar en el
Anexo II), de igual manera, se puede apreciar la matriz de puntos en los que
se realizaron las mediciones con el acelerómetro para estimar al velocidad de
vibración de la placa.
Las anteriores mediciones fueron realizadas para la placa desnuda y con la
placa recubierta por el material absorbente el cual es añadido en la parte
frontal de la pantalla.
122
Figura 50 Montaje experimental. Izquierda: NAH. Derecha: Aceleración
Las medidas de holografía acústica en campo cercano se realizan con un
micrófono Brüel & Kjær modelo 4951, pre-amplificado con una Nexus Bruel
and Kjaer modelo 2693 - 0s4 y comunicado a un ordenador a través de la
interface análoga-digital de National Instruments BNC 21-10. El micrófono,
como se explica anteriormente, fue adherido a un brazo mecánico, el cual
estuvo controlado por ordenador mediante la misma interface, como se
aprecia en la Figura 51. La emisión y recepción de la señal estuvieron
sincronizadas usando un programa diseñado en LabView®.
Figura 51 Montaje experimental para la holografía acústica de campo cercano.
La medición de la superficie, muy cercana a la fuente, correspondiente al
holograma acústico, consistió en una matriz de medida de 40x40 puntos, con
una resolución espacial de 1 cm, para un total de 1600 puntos. Mientras que
para las mediciones de vibración de la placa metálica y usando el principio de
123
simetría, se midió solo un cuarto de la placa, correspondiente al cuadrante
derecho de la misma con una resolución espacial de 1 centímetro, en una
matriz de 21x21 puntos, para un total de 441 puntos de medida. Tal y como
se aprecia en la parte derecha de la Figura 50, estas mediciones fueron
realizadas punto a punto, de forma manual.
El excitador, que hizo de fuente puntal, fue un actuador Hiwave HIAX25C054 Classic Audio Exciter. La amplificación para la fuente, fue suministrada por
el amplificador Brüel & Kjӕr® modelo 2732 y el acelerómetro miniatura 4517
de Brüel & Kjӕr®, para las medidas de aceleración. La señal utilizada fue del
tipo MLS (ver Tabla 5). Todo el post-procesamiento de datos se realizó usando
MATLAB®.
5.4 Resultados
Los resultados obtenidos, presentados en este apartado, corresponden a la
impedancia superficial y de transferencia del material absorbente fibrosoporoso y la estimación de la eficiencia de radiación, utilizando el método
propuesto por [4].
5.4.1 Impedancia Acústica del Material Fibroso
La impedancia superficial y de transferencia del material fibroso se obtuvo a
partir de las medidas experimentales, y calculadas usando el modelo de Biot.
En la Figura 52, se representa la parte real e imaginaria de 𝑍𝑠 y 𝑍𝑡 . Se puede
observar la influencia de la estructura del esqueleto que corresponde a la
tendencia a −∞ en la medida de 𝑍𝑡 .
124
Figura 52 Parte real e imaginaria de la Impedancias Acústicas 𝒁𝑺 y 𝒁𝑻
Por medio de la ecuación 5.3 se estimó la frecuencia de resonancia, la cual
está alrededor de los 230 𝐻𝑧, correspondiendo con el valor obtenido
experimentalmente.
Sin embargo, se puede indicar que para materiales fabricados con fibras de
poliéster, la parte real e imaginaria de la impedancia de transferencia, es
negativa en casi todo el rango en frecuencia, esto indica que el material
permite un mejor desacoplamiento entre las dos fases (sólida y fluida).
5.4.2 Estimación de la Eficiencia de Radiación
Se recuerda que el método de radiación por impedancia, descrito por Doutres
en [110] , consiste en estudiar la eficiencia de radiación de un sistema “placafibroso” fijado rígidamente en una pantalla infinita reflectante y excitado en el
centro por una fuerza puntual, así como se recreó en el experimento descrito
en este capítulo.
Usando el método de radiación por impedancia del sistema placa-poroso de
Doutres [110], se calculó la eficiencia de radiación usando las impedancias
acústicas 𝑍𝑠 y 𝑍𝑡 obtenidas experimentalmente. La Figura 53 ilustra la
diferencia en el cálculo de la eficiencia de radiación para los dos casos.
125
Figura 53 Representación gráfica de la eficiencia de radiación simulada según el modelo de
DOUTRES con las mediciones de 𝒁𝑺 (izquierda) y 𝒁𝑻 (derecha). Placa rígida(___) y la placa
recubierta de una capa de material fibroso (-----)
Como se muestra en la Figura 53 , al simular la eficiencia de radiación usando
𝑍𝑠 no se aprecia la influencia de la estructura del esqueleto. La frecuencia de
influencia del esqueleto del poroso está entre los 250 Hz y 300 Hz . Coincide
con la frecuencia de resonancia estimada usando la ecuación 5.3. La
frecuencia de resonancia del esqueleto está asociada al límite en baja
frecuencia en la efectividad del material poroso, como sistema de
amortiguación de la energía de radiación, de la placa rígida.
En la gráfica, se distinguen unos valles y crestas los cuales corresponden a
las frecuencias, asociadas a los modos radiales de la membrana que hace de
piston circular, los cuales están relacionados con la interacción fluido
estructura y son los encargados de la radiación acústica. Para el cálculo de
estas frecuencias se realizó un modelo en MEF, en el módulo de mecánica de
sólidos en COMSOL Multyphysics®. Los datos suministrados al programa
corresponden a los enunciados en la Tabla 13. Los resultados, de los tres
primeros modos radiales, son presentados en la Tabla 15
126
Tabla 15 Modos radiales de la placa metálica encastrada en una pantalla infinita
Modo
1
2
3
Frecuencia (Hz)
337
1310
2925
Ahora bien, la Figura 54, presenta la estimación de la eficiencia de radiación
empleando las ecuaciones de propagación de NAH, tanto para el piston sin
material absorbente, como cuando éste, es añadido. Se resaltan las
frecuencias asociadas a la resonancia del actuador, la frecuencia de
resonancia del material poroso y los dos primeros modos radiales de la
membrana.
Figura 54 Eficiencia de Radiación calculada a partir de las mediciones con NAH
La anterior figura presenta mayores interferencias respecto a la Figura 53,
esto es normal, teniendo en cuenta que en la medición real ocurren eventos
no controlados, como el movimiento involuntario de la placa, que hace de
pantalla infinita la cual agrega componentes a la respuesta en frecuencia no
estimados en el modelo numérico, así mismo, el modelo analitico es
unidimensional y solamente tiene en cuenta ondas a incidencia normal. La
Figura 54 permite identificar el efecto de añadir un material poroso a una
membrana radiante. Se observa, que después de la frecuencia de resonancia
del esqueleto del material poroso y del primer modo radial de la membrana,
(después de los 350 Hz), el material fibroso cumple con su función de
127
amortiguamiento, disminuyendo la eficiencia de radiación de la membrana en
alrededor de 20 𝑑𝐵. Comparando los resultados con el modelo numérico la
estimación de la disminución de la eficiencia de radiación es de alrededor de
50 𝑑𝐵, esta diferencia de 30 𝑑𝐵 puede estar atribuida a componentes no
controlados durante el proceso de medición.
5.5 Discusión
En este capítulo:

Se ha planteado una discusión sobre el uso de un procedimiento
experimental alternativo, para obtener la Impedancia de transferencia
de un material poroso fibroso, fabricado en fibras de PET reciclado,
obteniendo resultados similares a los presentados por Doutres en [4],
utilizando la técnica de NAH.

Al hacer la estimación de la eficiencia de radiación empleando las
ecuaciones de propagación de NAH, y al compararlo con el modelo de
radiación por impedancia propuesto por [110], se demuestra que el
montaje experimental agrega componentes no asumidos en la
aproximación numérica, no obstante, la tendencia entre ambos
supuestos, es la misma. El material poroso y el primer modo radial de
la membrana delimitan en baja frecuencia, la eficiencia del material
absorbente como solución pasiva en el control de ruido y vibraciones
para un sistema mecánico.
128
CAPÍTULO 6: DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS
ELÁSTICOS DE UN MATERIAL A PARTIR DEL ENSAYO
NORMALIZADO DE RIGIDEZ DINÁMICA.
6.1. Introducción
El parámetro que determina el funcionamiento de las capas elásticas, usadas
como intercapas en soluciones constructivas, del tipo suelo flotante, es la
Rigidez Dinámica [2]. Esta norma considera al sistema de medida como un
sistema resonante de un grado de libertad. Por lo general, se usan señales
impulsivas (con un martillo de impactos) para obtener la frecuencia de
resonancia 𝑓𝑟 de la vibración vertical, del sistema masa-muelle, donde la masa
corresponde a la placa de carga y el muelle a la muestra del material elástico,
bajo ensayo. La Figura 55 muestra la situación típica de medida.
Figura 55 Configuración de medida según EN 29052-1:1992 (ISO 9052:1989) [2]
129
La rigidez dinámica es uno de los parámetros involucrados en el aislamiento
acústico de suelos en las edificaciones y con él, se puede definir qué
materiales serían más efectivos para su posible uso como intercapas en las
soluciones constructivas de suelos flotantes.
Este parámetro, es la relación entre la fuerza dinámica y el desplazamiento
dinámico, ecuación 6.1. Es decir, la resistencia que un material ofrece al ser
deformado.
𝑠′ =
𝐹 ⁄𝑆
∆𝑑
(6.1)
donde 𝑆 es la superficie de la muestra, 𝐹 es la fuerza dinámica perpendicular
a la muestra, ∆𝑑 es el cambio dinámico resultante en el espesor del material
elástico.
De esta manera, aplicando una fuerza dinámica y perpendicular sobre la
muestra de ensayo, se genera una variación en el desplazamiento. Esta
variación representa el cambio de espesor de la muestra y como resultado, se
obtiene la rigidez dinámica del material viscoelástico.
La frecuencia de oscilación libre de un sistema forzado de un grado de libertad
(Sistema: masa-muelle), 𝑓0 , es la frecuencia natural de un suelo que se apoya
en una material viscoelástico, ecuación 6.2.
𝑓0 =
1 𝑠′
√
2𝜋 𝑚′
(6.2)
donde 𝑠 ′ es la rigidez dinámica por unidad de superficie, del material en
estudio y 𝑚′ es la masa por unidad de superficie del suelo que se apoya en
este mismo material.
La frecuencia de resonancia 𝑓𝑟 es la frecuencia a la que se produce la
resonancia bajo las condiciones de ensayo de la muestra, ecuación 6.3:
𝑓𝑟 =
1 𝑠𝑡′
√
2𝜋 𝑚𝑡′
130
(6.3)
donde 𝑠𝑡′ es la rigidez dinámica aparente por unidad de superficie de la
muestra de ensayo y 𝑚𝑡′ es la masa total por unidad de superficie empleada
durante el ensayo.
A partir de las ecuaciones anteriormente enunciadas, [2] define un método de
determinación de la rigidez dinámica aparente por unidad de superficie del
material viscoelástico bajo ensayo, 𝑠𝑡′ . Este procedimiento se lleva a cabo
mediante la medición de la frecuencia de resonancia, 𝑓𝑟 , ecuación 6.3, la cual
se refiere a la excitación de un sistema masa-muelle, donde la masa es la
placa de carga y el muelle es la muestra de material viscoelástico, utilizada en
el ensayo.
Despejando de la ecuación 6.3, se obtiene la rigidez dinámica aparente por
𝑁
unidad de superficie de la muestra, 𝑠𝑡′ , en Newton por metro cúbico (𝑚3 ).
𝑠𝑡′ = 4𝜋 2 𝑚𝑡′ 𝑓𝑟2
(6.4)
donde 𝑚𝑡′ es la masa total por unidad de superficie empleada en el ensayo,
en kilogramos por metro cuadrado y 𝑓𝑟 es la frecuencia de resonancia en
Hertzios.
En este capítulo, se discute sobre la aparición de otras frecuencias de
resonancia distintas a la fundamental cuando se lleva a cabo este
experimento, lo cual abre la posibilidad de encontrar una manera de
caracterizar con mayor precisión los materiales usados como intercapa, con
la salvedad de que el procedimiento propuesto será válido sólo para
materiales cuya rigidez dinámica no necesite una corrección de la resistencia
al flujo, en el sentido en que se indica en la normativa [2].
6.2 Especímenes bajo estudio
Se midieron 11 intercapas, usadas en soluciones constructivas de suelo
flotante, la Tabla 16 describe las propiedades mecánicas obtenidas para cada
una de ellas.
131
Tabla 16 Muestras de intercapa usadas para la medición de la Rigidez Dinámica
Muestra 1
Muestra 2
Muestra 3
𝑒 = 0.005 𝑚
𝜌 = 202.26 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 85 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.16471
𝑠’𝑡 = 57 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 14526.72 𝑃𝑎
𝑒 = 0.01 𝑚
𝜌 = 192.17 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 74 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.13514
𝑠’𝑡 = 43 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 22020,30 𝑃𝑎
𝑒 = 0.03 𝑚
𝜌 = 14,82 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 38 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0,10526
𝑠’𝑡 = 11 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 17420.01 𝑃𝑎
Muestra 4
Muestra 5
Muestra 6
𝑒 = 0.005 𝑚
𝜌 = 111.00 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 71 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.14085
𝑠’𝑡 = 39 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 10135.53 𝑃𝑎
𝑒 = 0.01 𝑚
𝜌 = 123.26 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 58 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.10345
𝑠’𝑡 = 26 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 13527.45 𝑃𝑎
𝑒 = 0.03 𝑚
𝜌 = 94.83 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 26 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.17692
𝑠’𝑡 = 5 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 8155.07 𝑃𝑎
Muestra 7
Muestra 8
Muestra 9
𝑒 = 0.005 𝑚
𝜌 = 37.25 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 86 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.3256
𝑠’𝑡 = 58 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 14870.54 𝑃𝑎
𝑒 = 0.005 𝑚
𝜌 = 683.40 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 86 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.16279
𝑠’𝑡 = 58 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 14870 𝑃𝑎
𝑒 = 0.0125 𝑚
𝜌 = 697.63 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 42 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.16667
𝑠’𝑡 = 13 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 8866.83 𝑃𝑎
132
Muestra 10
Muestra 11
𝑒 = 0.003 𝑚
𝜌 = 17.92𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 91 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0,18681
𝑠’𝑡 = 65 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 62437.27𝑃𝑎
𝑒 = 0.005 𝑚
𝜌 = 17.05 𝐾𝑔/𝑚3
𝑓𝑟 = 62 𝐻𝑧
𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 0.19355
𝑠’𝑡 = 30 𝑀𝑁/𝑚3
𝐸 = 48305.13𝑃𝑎
Todas las muestras de material absorbente, tiene una superficie de 50 x 50
cm y la placa base 20x20 cm, la Figura 56 presenta el procedimiento de
adquisición de datos.
Figura 56 Proceso de medición de la Rigidez Dinámica
La placa se dividió en 4 cuadrantes, cada uno de 10x10 cm, con el fin de
encontrar el centro geométrico de la placa base (placa de acero). Se realizaron
5 mediciones, basadas en principios de simetría:
133
 Caso 1: Consistió en ubicar el sensor de aceleración en el centro
geométrico de la placa base y el sistema fue excitado con el martillo en
el centro del primer cuadrante.
 Caso 2: Consistió en ubicar el sensor de aceleración en el centro
geométrico de la placa base y el sistema fue excitado con el martillo en
el centro del tercer cuadrante.
 Caso 3: Se ubicó el sensor de aceleración en el centro del cuadrante
dos y se excitó la placa base en el centro geométrico de palca
 Caso 4: Se ubicó el sensor de aceleración en el centro del cuadrante
cuatro y se excitó la placa base en el centro geométrico de palca
 Caso 5: Correspondió a una medida en diagonal, donde el sensor de
aceleración estaba en el cuadrante uno y el martillo en el tres.
Esto permitió determinar la frecuencia de resonancia del sistema de un
grado de libertad y otras frecuencias distintas. La Figura 57 expone los 5
casos.
Figura 57 Representación gráfica de la función de transferencia de la medición de la rigidez
dinámica
Como se puede apreciar en la anterior figura aparecen más frecuencias
además de la fundamental. Una vez detectado esto para los 11 materiales
descritos en la Tabla 16, fueron planteadas las siguientes consideraciones
analíticas.
134
6.3 Supuestos
Técnicamente hablando, el problema consiste en la determinación del
movimiento de una losa cuadrada rígida situada sobre una lámina flexible de
pequeño espesor sin posibilidad de deslizamiento entre ambas. La Figura 58
presenta las variables involucradas en el problema.
𝑋
𝐿𝑜𝑠𝑎
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎
𝑍
𝐺∗
O
𝑌
T
h
e
Figura 58 Vista en planta (izquierda) y alzado (derecha) de la configuración bajo estudio
donde: 𝐺 ∗ es el centro de masas de la losa, 𝑂 es el centro cara inferior de la
losa (o de la cara superior de la intercapa), 𝑇 es el origen del sistema de
coordenadas cartesianas 𝑇𝑋𝑌𝑍 (centro de la cara inferior de la intercapa)
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) son los movimientos de los puntos de la
intercapa (función de las coordenadas cartesianas 𝑥, 𝑦, 𝑧 y del tiempo t); 𝑒 es
el espesor de la intercapa; 𝐴 el área de las caras superior e inferior de la losa
( o de la intercapa); ℎ es el espesor de la losa; ℎ = 𝑚/𝜌𝐴; 𝑚 es la masa de la
losa; 𝜌 es la densidad del material de la losa.
La nomenclatura que se va a utilizar para las propiedades elásticas del
material de la intercapa es: 𝜇 es el coeficiente de Poisson; 𝐸 es el módulo de
elasticidad longitudinal o módulo de Young; К es el módulo de
compresibilidad; 𝑀𝐸𝑇 es el módulo de elasticidad transversal; 𝜆 es el primer
parámetro de Lamé; 𝑀 es el módulo de onda P
Se han encontrado en la bibliografía existente análisis a problemas muy
similares, pero con un enfoque distinto y unas hipótesis de partida también
diferentes (como [111] y [112] suponiendo el material incompresible, ó [113],
[114] y [115] considerando el material compresible). Las soluciones
135
propuestas en estos trabajos son más complejas que la que se describe en
este capítulo.
Las hipótesis de partida en el enfoque propuesto aquí son las siguientes:
 No hay deslizamiento entre la losa y la intercapa ni entre el suelo y la
intercapa.
 La rigidez del material de la losa es mucho mayor que la rigidez del
material de la intercapa, pudiendo la losa ser considerada como un
sólido rígido.
 El espesor 𝑒 de la intercapa es mucho más pequeño que su anchura,
(𝑒 ≪ √𝐴)
 Existe linealidad: a) Del material de la intercapa: es válida la ley de
Hooke (elasticidad lineal); b) Geométrica: es válido el principio de los
pequeños desplazamientos, según el cual, al aplicar las fuerzas sobre
los cuerpos, los desplazamientos que se originan son pequeños en
relación con las dimensiones de los mismos. Por tanto:
o Las variaciones dimensionales no afectan prácticamente a las
distancias implicadas en las ecuaciones de equilibrio dinámico.
o Las funciones 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) son continuas,
así como sus derivadas primeras (deformaciones, componentes
de giros y componentes de la velocidad angular) y todas éstas
(funciones y derivadas) son infinitésimos de primer orden (la
derivada temporal se representará por un punto).
o Entre dos puntos cualesquiera A y B de la losa, se pueden
aplicar las ecuaciones siguientes de un sólido rígido [116]
𝑢̇
𝑢̇
{ 𝑣̇ } = { 𝑣̇ } + 𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
𝑤̇ 𝐵
𝑤̇ 𝐴
(6.5)
𝑢̈
𝑢̈
𝑢̈
̈
̇
̇
̈
{ 𝑣̈ } = { 𝑣̈ } + 𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝜃⃗ × (𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵) ≈ { 𝑣̈ } + 𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
𝑤̈ 𝐵
𝑤̈ 𝐴
𝑤̈ 𝐴
(6.6)
̇
̇
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) es un infinitésimo de segundo orden,
ya que 𝜃⃗ × (𝜃⃗ × 𝐴𝐵
mientras que los otros dos sumandos son infinitésimos de primer
orden.
136
Además, por la misma razón, todos los vectores se pueden
expresar en los ejes 𝑋, 𝑌, 𝑍 correspondientes a las direcciones
de la losa sin deformar, considerando que las direcciones de los
vectores unitarios se mantienen constantes.
 Para los análisis armónicos, se supone además que el
amortiguamiento
de
la
losa
es
despreciable
y
que
el
amortiguamiento de la intercapa puede simularse considerando la
parte imaginaria de los parámetros elásticos. El método propuesto
podría generalizarse considerando amortiguamiento en la losa y
otros tipos de amortiguamiento en la intercapa, pero no se han
considerado por una mayor claridad en la exposición.
6.3.1 Análisis Modal-Analítico
Con este análisis se busca encontrar los modos de “solido rígido de la losa”
que se pueden excitar, con el fin de verificar las frecuencias obtenidas por
medio del estudio experimental. Para ello se aplican las ecuaciones de
conservación del momento lineal y angular para la losa rígida (supuesta sólido
rígido). Las seis ecuaciones son [116]:
𝑀𝑥𝐺 ∗ = 𝐼𝑥𝐺 ∗ 𝜃̈𝑥
𝑀𝑦𝐺 ∗ = 𝐼𝑦𝐺 ∗ 𝜃̈𝑦
𝑀𝑧𝐺 ∗ = 𝐼𝑧𝐺 ∗ 𝜃̈𝑧
(6.7a)
(6.7b)
(6.7c)
𝐹𝑥 = 𝑚𝑢̈ 𝐺 ∗
𝐹𝑦 = 𝑚𝑣̈ 𝐺 ∗
𝐹𝑧 = 𝑚𝑤̈ 𝐺 ∗
(6.7d)
(6.7e)
(6.7f)
Siendo los momentos de inercia centroidales del sólido rígido:
𝐼𝑥𝐺 ∗ = 𝑚
𝐴
𝑚
, 𝐼𝑦𝐺 ∗ = 𝐼𝑧𝐺 ∗ =
(𝐴 + 𝑒 2 )
6
12
(6.8)
Para determinar los desplazamientos lineales y angulares del centro de masas
se utiliza la expresión:
𝑢
𝑢
{ 𝑣 } = { 𝑣 } + 𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 ∗
𝑤 𝐺∗
𝑤 𝑂
(6.9)
Por tratarse de un sólido rígido, las rotaciones son idénticas para 𝑂 que para
𝐺 ∗ . Es necesario, por tanto, determinar los desplazamientos y las rotaciones
del punto 𝑂 perteneciente a la lámina. El siguiente paso es determinar el
137
campo de desplazamiento de la lámina para particularizar al punto 𝑂 a
posteriori. Dado que no existen deslizamientos y 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒:
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0 en la intercapa en 𝑥 = 0 (suelo inmóvil) y 𝑥 = 𝑒 (losa rígida)
= 0 en la intercapa en 𝑥 = 0 (suelo inmóvil) y 𝑥 = 𝑒 (losa rígida)
y como la raíz cuadrada del área, 𝐴, debe ser mucho mayor que el espesor
𝜕𝑣
entonces 𝜕𝑦 = 𝜀𝑦 ⇊ y
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 𝜀𝑧 ⇊, en la mayor parte de la intercapa, entonces
puede suponerse que:
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
(6.10)
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ≅ 𝑣(𝑥, 𝑧, 𝑡)
𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ≅ 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡)
Con el objeto de facilitar el cumplimiento de la condiciones de contorno en 𝑥 =
0:
𝑢(0, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 0
(6.11)
𝑣(0, 𝑧, 𝑡) = 0
𝑤(0, 𝑦, 𝑡) = 0
Se buscan soluciones de la forma:
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑓𝑢 (𝑥)𝑔𝑢 (𝑦, 𝑧)
𝑣(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑓𝑣 (𝑥)𝑔𝑣 (𝑧)
(6.12)
𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑓𝑤 (𝑥)𝑔𝑤 (𝑦)
de manera que se pueda aplicar el método de separación de variables.
Haciendo uso de las ecuaciones de Navier en coordenadas cartesianas
(planteamiento del problema elástico en desplazamientos) [51]
𝜕2 𝑢
𝜕
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑤
)+
𝜕𝑧
𝑀𝐸𝑇 (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑧2 )
𝜕2 𝑣
𝜕
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑤
)+
𝜕𝑧
𝑀𝐸𝑇 (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑧2 )
𝜕2 𝑤
𝜕
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑤
)+
𝜕𝑧
𝑀𝐸𝑇 ( 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 +
𝜌 𝜕𝑡 2 = (𝜆 + 𝑀𝐸𝑇 ) 𝜕𝑥 (𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 +
𝜌 𝜕𝑡 2 = (𝜆 + 𝑀𝐸𝑇 ) 𝜕𝑦 (𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 +
𝜌 𝜕𝑡 2 = (𝜆 + 𝑀𝐸𝑇 ) 𝜕𝑧 (𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 +
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑣
𝜕2 𝑣
𝜕2 𝑣
𝜕2 𝑤
𝜕2 𝑤
𝜕2 𝑤
)
𝜕𝑧 2
Introduciendo 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 de las ecuaciones (6.12) en (6.13) se llega a:
138
(6.13)
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐶5 𝑆𝑖𝑛(𝜔√
𝜌
𝑥)[𝐶1 𝑦𝑧 + 𝐶3 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐶4 ]
𝑀
𝜌
𝐶5 𝑀
𝜌
𝑣(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 [𝐶9 𝑆𝑖𝑛 (𝜔√
𝑥) + √ 𝐶𝑜𝑠 (𝜔√
𝑥)
𝑀𝐸𝑇
𝜔 𝜌
𝑀𝐸𝑇
−
𝐶5 𝑀
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝜔√ 𝑥)] (𝐶1 𝑧 + 𝐶3 )
𝜔 𝜌
𝑀
(6.14)
𝜌
𝐶5 𝑀
𝜌
𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 [𝐶13 𝑆𝑖𝑛 (𝜔√
𝑥) + √ 𝐶𝑜𝑠 (𝜔√
𝑥)
𝑀𝐸𝑇
𝜔 𝜌
𝑀𝐸𝑇
−
𝐶5 𝑀
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝜔√ 𝑥)] (𝐶1 𝑦 + 𝐶2 )
𝜔 𝜌
𝑀
donde 𝐶𝑖 son constantes arbitrarias.
Para determinar el movimiento de la losa hay que tener en cuenta que las
ecuaciones de continuidad en 𝑥 = 𝑒 en la región entre la intercapa y la losa
rígida,
constituyen
las
condiciones
de
movimientos 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
contorno
anteriores
para
(6.14),
los
estas
ecuaciones son:
𝑢(𝑒, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎 = 𝑢(𝑒, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
𝑣(𝑒, 𝑧, 𝑡)𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎 = 𝑣(𝑒, 𝑧, 𝑡)𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
(6.15)
𝑤(𝑒, 𝑦, 𝑡)𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎 = 𝑤(𝑒, 𝑦, 𝑡)𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
Por tanto, en 𝑥 = 𝑒:
𝜕𝑢
𝜕𝑢
=
𝜕𝑦 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎 𝜕𝑦 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
(6.16a)
𝜕𝑣
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎 𝜕𝑧 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
(6.16b)
𝜕𝑢
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎 𝜕𝑧 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
(6.16c)
𝜕𝑤
𝜕𝑤
=
𝜕𝑦 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎 𝜕𝑦 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
(6.16d)
En la losa, suponiendo que es deformable, cuando se trata de pequeños giros
las componentes 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 (Figura 59 izquierda) y 𝜃𝑧 (Figura 59 derecha) del
giro de sólido rígido en un punto cualquiera de la misma son:
𝜃𝑥 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =
1 𝜕𝑤 𝜕𝑣
1 𝜕𝑤 𝜕𝑣
(
− )
= (
− )
2 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎(𝑒𝑛 𝑥=𝑒) 2 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎 (𝑒𝑛 𝑥=𝑒)
𝜃𝑦 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 ≈ −
𝜕𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑢
≈
=
𝜕𝑥 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝜕𝑧 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝜕𝑧 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎(𝑒𝑛 𝑥=𝑒)
139
(6.17)
𝜃𝑧 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 ≈
𝜕𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑢
≈−
=−
𝜕𝑥 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
𝜕𝑦 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
𝜕𝑦 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑎(𝑒𝑛 𝑥=𝑒)
Figura 59 Izquierda: Giro respecto OY de la cara superior de la intercapa. Derecha: Giro
respecto OZ de la cara superior de la lámina
Las componentes del movimiento del centro de gravedad 𝐺 ∗ (𝑢𝐺 ∗ , 𝑣𝐺 ∗ , 𝑤𝐺 ∗ ) y las
de la rotación de la losa
(𝜃𝑥 = 𝜃𝑥 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 , 𝜃𝑦 = 𝜃𝑦
𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
, 𝜃𝑧 = 𝜃𝑧 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 ) se
calculan
introduciendo los movimientos 𝑢, 𝑣, 𝑤 de la ecuación (6.14) en las ecuaciones
(6.9), teniendo en cuenta (6.17) respectivamente, obteniéndose:
𝜌
𝑢𝐺 ∗ (𝑡) = 𝑢𝑂 = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐶4 𝐶5 𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ )
𝑀
ℎ
𝑣𝐺 ∗ (𝑡) = 𝑣𝑂 + 𝜃𝑧
2
𝜌
𝐶3 𝐶5 𝑀
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√
= 𝑒 𝑗𝜔𝑡 [𝐶3 𝐶9 𝑆𝑖𝑛 (𝜔√
𝑒) +
)
𝑀𝐸𝑇
𝜔
𝜌
𝑀𝐸𝑇
−
𝐶3 𝐶5 𝑀
𝜌
1
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ ) − 𝐶3 𝐶5 ℎ 𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ )] ;
𝜔
𝜌
𝑀
2
𝑀
ℎ
𝑤𝐺 ∗ (𝑡) = 𝑤𝑂 − 𝜃𝑦
2
𝜌
𝐶2 𝐶5 𝑀
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√
= 𝑒 𝑗𝜔𝑡 [𝐶2 𝐶13 𝑆𝑖𝑛 (𝜔 √
𝑒) +
)
𝑀𝐸𝑇
𝜔
𝜌
𝑀𝐸𝑇
−
𝐶2 𝐶5 𝑀
𝜌
1
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ ) − 𝐶2 𝐶5 ℎ 𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ )]
𝜔
𝜌
𝑀
2
𝑀
1
𝜌
𝜃𝑥 (𝑡) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐶1 (𝐶13 − 𝐶9 )𝑆𝑖𝑛 (𝜔𝑒 √
)
2
𝑀𝐸𝑇
𝜌
𝜃𝑦 (𝑡) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐶2 𝐶5 𝑆𝑖𝑛 (𝜔𝑒√ )
𝑀
𝜌
𝜃𝑧 (𝑡) = −𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐶3 𝐶5 𝑆𝑖𝑛 (𝜔𝑒√ )
𝑀
140
(6.18)
Las componentes de las fuerzas y los momentos de (6.7) se calculan a partir
de las expresiones de las tensiones internas (en la cara superior de la
intercapa) en función de los movimientos [51].
Ahora se dispone de todas las variables necesarias para poder aplicar las
ecuaciones (6.7) y plantear así las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido
para la losa.
De la ecuación (6.7 a) (𝐹𝑥 = 𝑚𝑢̈ 𝐺∗ ) se llega al modo de vibración
𝜌
correspondiente a traslación pura en el eje x y a la ecuación 𝑇𝑎𝑛 (𝑒𝜔√𝑀) =
𝐴√𝑀𝜌
𝑚𝜔
que nos proporciona la frecuencia natural 𝜔.
En las condiciones habituales de los experimentos para determinar la rigidez
𝜌
dinámica, 𝑒 y 𝜌 suelen ser muy pequeños, entonces 𝑒𝜔√𝑀 ≪ 1 y se tiene:
𝜌
𝜌
𝐴√𝑀𝜌
𝑇𝑎𝑛 (𝑒𝜔√ ) ~ (𝑒𝜔√ ) =
𝑀
𝑀
𝑚𝜔
(6.19)
𝜌
Entonces, si 𝑒𝜔√𝑀 ≪ 1:
𝜔2 =
𝑀𝐴
1 𝐴𝑀
√
⇒𝑓=
𝑒𝑚
2𝜋 𝑒𝑚
La rigidez dinámica 𝑠′𝑡 = 4𝜋 2
𝑚
𝑚
𝑓 2 = 𝜔2 𝐴 =
𝐴
(6.20)
𝑀
𝑒
𝑀
𝜌
Luego 𝑠′𝑡 = e →𝑀 = 𝑠′𝑡 𝑒 esta es la ecuación para hallar 𝑀 si 𝑒𝜔√𝑀 ≪ 1
Hay que hacer constar que la expresión 𝑀= 𝑠′𝑡 𝑒 es válida siempre y cuando
la frecuencia natural sin amortiguar no difiera mucho de la obtenida en el
ensayo experimental para obtener la rigidez dinámica.
Para determinar los otros modos hay que seguir explorando el resto de
ecuaciones (6.7).
En concreto, de las ecuaciones (6.7 b) y (6.7 f) ( 𝐹𝑦 = 𝑚𝑣̈𝐺 ∗ y 𝑀𝑧𝐺∗ = 𝐼𝑧𝐺∗ 𝜃̈𝑧̈ )
se obtiene, después de operar, la ecuación para hallar las frecuencias
naturales asociadas a estos modos de vibración:
141
1 2 2
𝜌
𝑓 𝜋 (6𝐴ℎ𝑚√𝑀𝐸𝑇 𝑀 𝐶𝑜𝑠 2 (2𝑒𝑓𝜋√
)
3
𝑀𝐸𝑇
+ 2𝑚 𝑆𝑖𝑛 (2𝑒𝑓𝜋√
𝜌
𝜌
) (−𝐴2 𝑓𝜋√𝑀𝜌 𝐶𝑜𝑠 (2𝑒𝑓𝜋√ )
𝑀𝐸𝑇
𝑀
𝜌
+ 3𝐴ℎ√𝑀𝐸𝑇 𝑀 𝑆𝑖𝑛 (2𝑒𝑓𝜋 √
)
𝑀𝐸𝑇
(6.21)
𝜌
+ 2 (−3𝐴𝑀𝐸𝑇 ℎ + (𝐴 + 𝑒 2 )𝑓 2 𝑚𝜋 2 )𝑆𝑖𝑛 (2𝑒𝑓𝜋√ ))
𝑀
+ 𝐴𝐶𝑜𝑠 (2𝑒𝑓𝜋√
𝜌
𝜌
) [√𝑀𝐸𝑇 𝑀(−6ℎ𝑚 + 𝐴2 𝜌)𝐶𝑜𝑠 (2𝑒𝑓𝜋√ )
𝑀𝐸𝑇
𝑀
𝜌
− 2𝑓(𝐴 + 𝑒 2 + 3ℎ2 )𝑚𝜋√𝑀𝐸𝑇 𝜌 𝑆𝑖𝑛 (2𝑒𝑓𝜋√ )]) = 0
𝑀
La solución 𝑓 = 0 doble corresponde a los modos de vibración de sólido rígido
libre en la traslación según el eje 𝑌 y la rotación según el eje 𝑍.
Si se analizaran las ecuaciones (6.7c) y (6.7e) se llegaría a otros modos de
vibración que tienen las mismas frecuencias naturales porque la ecuación, por
simetría, es la misma.
Para comprobar la validez de la solución analítica propuesta, se han
comparado las soluciones analítica y la obtenida con un modelo numérico de
elementos finitos realizado con ANSYS® (Versión 15.0.7) [10]. Dicho modelo
consta de 12800 elementos del tipo SOLID186 de alto orden 3D (20 nudos por
elemento) y 58097 nudos con un mallado regular.
Los datos del ejemplo son:
Tabla 17 Datos de entrada para el ejemplo en el modelo numérico
𝐾𝑔
𝑚3
𝑒 = 0.003 𝑚
𝑀 = 143951 𝑃𝑎
𝑚 = 8 𝐾𝑔
ℎ = 0.0255 𝑚
𝐴 = 0. 04 𝑚2
𝜌 = 20
𝑀𝐸𝑇 = 13086.4 𝑃𝑎
Las siguientes figuras (60 a 71) muestran la comparación entre la solución
analítica propuesta y la obtenida en un modelo numérico de elementos finitos.
142
Figura 60 Componente 𝒖 del modo analítico
correspondiente a la ecuación (6.7 a), (77.95
Hz)
Figura 61 Componente 𝒖 del modo numérico
correspondiente a la ecuación (6.7 a), (76,53
Hz)
Figura 62 Componente 𝒖 del modo analítico
en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.50 Hz)
Figura 63 Componente 𝒖 del modo numérico
en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.40 Hz)
Figura 64 Componente 𝒖 del modo analítico
en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.50 Hz doble)
Figura 65 Componente 𝒖 del modo numérico
en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.40 Hz doble)
143
Figura 66 Componente 𝒖 del modo analítico
en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (77.96 Hz)
Figura 67 Componente u del modo numérico
de la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (74.81 Hz)
Figura 68 Componente 𝒖 del modo analítico
en la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (77.96 Hz doble)
Figura 69 Componente 𝒖 del modo numérico
de la losa correspondiente a las ecuaciones
(6.7 b,c) y (6.7 e,f), (74.81 Hz doble)
Figura 70 Componente 𝒗 del modo analítico
de la losa correspondiente a la ecuación (6.7
d), (23.50 Hz)
Figura 71 Componente 𝒗 del modo numérico
de la losa correspondiente a la ecuación (6.7
d), (23.48 Hz)
Como se esperaba, en ambos casos se han obtenido seis modos de vibración
correspondientes a los seis grados de libertad de la losa como sólido rígido,
además, debido a la simetría hay dos frecuencias naturales dobles.
Se observa en las figuras una muy buena aproximación del modelo analítico
propuesto al modelo numérico de elementos finitos.
144
6.3.2 Fundamentos del método. Análisis armónico
Se aplica en un punto 𝑃(𝑒 + ℎ, 𝑦𝐹 , 𝑧𝐹 ) cualquiera de la superficie superior de
la losa una fuerza armónica de valor {𝐹0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 , 0,0} y se calcula la aceleración
(según el eje 𝑋) en un punto 𝑄(𝑒 + ℎ, 𝑦𝑄 , 𝑧𝑄 ) cualquiera de la superficie
superior de la losa. Se intentan reproducir las medidas experimentales que
sirven de base para medir la rigidez dinámica de un material (ver Figura 58 )
El planteamiento es idéntico al seguido en la sección 6.3.1 introduciendo en
las ecuaciones de equilibrio de la dinámica, los efectos de la fuerza armónica
aplicada. Por completitud se citan las hipótesis del planteamiento:
 No hay deslizamiento entre la losa y la intercapa ni entre el suelo y la
intercapa.
 La rigidez del material de la losa es mucho mayor que la rigidez del
material de la intercapa, pudiendo la losa ser considerada como un
sólido rígido.
 El espesor 𝑒 de la intercapa es mucho más pequeño que su anchura,
(𝑒 ≪ √𝐴)
 Existe linealidad: a) Del material de la intercapa: es válida la ley de
Hooke (elasticidad lineal); b) Geométrica: es válido el principio de los
pequeños desplazamientos, según el cual, al aplicar las fuerzas sobre
los cuerpos, los desplazamientos que se originan son pequeños en
relación con las dimensiones de los mismos. Por tanto:
o Las variaciones dimensionales no afectan prácticamente a las
distancias implicadas en las ecuaciones de equilibrio dinámico.
o Las funciones 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) son continuas,
así como sus derivadas primeras (deformaciones, componentes
de giros y componentes de la velocidad angular) y todas éstas
(funciones y derivadas) son infinitésimos de primer orden (la
derivada temporal se representará por un punto).
o Entre dos puntos cualesquiera A y B de la losa, se pueden
aplicar las ecuaciones siguientes de un sólido rígido [116]
145
𝑢̇
𝑢̇
{ 𝑣̇ } = { 𝑣̇ } + 𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
𝑤̇ 𝐵
𝑤̇ 𝐴
(6.22)
𝑢̈
𝑢̈
𝑢̈
̈
̇
̇
̈
{ 𝑣̈ } = { 𝑣̈ } + 𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝜃⃗ × (𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ) ≈ { 𝑣̈ } + 𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
𝑤̈ 𝐵
𝑤̈ 𝐴
𝑤̈ 𝐴
(6.23)
̇
̇
ya que 𝜃⃗ × (𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ) es un infinitésimo de segundo orden,
mientras que los otros dos sumandos son infinitésimos de primer
orden.
Además, por la misma razón, todos los vectores se pueden
expresar en los ejes 𝑋, 𝑌, 𝑍 correspondientes a las direcciones
de la losa sin deformar, considerando que las direcciones de los
vectores unitarios se mantienen constantes.
 Se supone, además, que el amortiguamiento de la losa es
despreciable y que el amortiguamiento de la intercapa puede
simularse considerando la parte imaginaria de los parámetros
elásticos. El método propuesto podría generalizarse considerando
amortiguamiento en la losa y otros tipos de amortiguamiento en la
intercapa, pero no se han considerado por una mayor claridad en la
exposición.
El primer paso es resolver las nuevas ecuaciones de equilibrio dinámico,
determinando los desplazamientos del centro de masas y las rotaciones de la
losa:
𝐹𝑥𝐴𝑟𝑚. = 𝑚𝑢̈ 𝐺 ∗
(6.24a)
𝑀𝑥𝐺 ∗𝐴𝑟𝑚.. = 𝐼𝑥𝐺 ∗ 𝜃̈𝑥
(6.24d)
𝐹𝑦𝐴𝑟𝑚. = 𝑚𝑣̈ 𝐺 ∗
(6.24b)
𝑀𝑦𝐺 ∗ 𝐴𝑟𝑚. = 𝐼𝑦𝐺 ∗ 𝜃̈𝑦
(6.24e)
𝐹𝑧𝐴𝑟𝑚. = 𝑚𝑤̈ 𝐺 ∗
(6.24c)
𝑀𝑧𝐺 ∗ 𝐴𝑟𝑚. = 𝐼𝑧𝐺 ∗ 𝜃̈𝑧
(6.24f)
Donde el subíndice 𝐴𝑟𝑚. indica que están añadidos los efectos de la fuerza
aplicada, que son:
Resultante:
{𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , 0,0}
Momento resultante respecto 𝐺 ∗ :
146
(6.25)
𝑖
𝑗𝜔𝑡
∗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺 𝑃 × {𝐹0 𝑒 , 0,0} = | ℎ/2
𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑗
𝑦𝐹
0
𝑘
𝑧𝐹 | = 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 {0, 𝑧𝐹 , −𝑦𝐹 }
0
(6.26)
Las expresiones de las componentes del movimiento del centro de gravedad
𝐺 ∗ (𝑢𝐺 ∗ , 𝑣𝐺 ∗ , 𝑤𝐺∗ ) y las de la rotación de la losa (𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 , 𝜃𝑧 ) son las mismas que
las de (6.18), sólo que ahora 𝜔 es la de la fuerza de excitación y resolver el
problema consiste en encontrar los valores de las constantes 𝐶𝑖 que satisfacen
las ecuaciones (6.24)
𝜌
𝑢𝐺 ∗ (𝑡) = 𝑢𝑂 = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐶4 𝐶5 𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ )
𝑀
ℎ
𝑣𝐺 ∗ (𝑡) = 𝑣𝑂 + 𝜃𝑧
2
𝜌
𝐶3 𝐶5 𝑀
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ )
= 𝑒 𝑗𝜔𝑡 [𝐶3 𝐶9 𝑆𝑖𝑛 (𝜔√ 𝑒) +
𝐺
𝜔
𝜌
𝐺
−
𝐶3 𝐶5 𝑀
𝜌
1
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ ) − 𝐶3 𝐶5 ℎ 𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ )]
𝜔
𝜌
𝑀
2
𝑀
ℎ
𝑤𝐺 ∗ (𝑡) = 𝑤𝑂 − 𝜃𝑦
2
= 𝑒 𝑗𝜔𝑡
−
(6.27)
𝜌
𝐶2 𝐶5 𝑀
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔 √
[𝐶2 𝐶13 𝑆𝑖𝑛 (𝜔√
𝑒) +
)
𝑀𝐸𝑇
𝜔
𝜌
𝑀𝐸𝑇
𝐶2 𝐶5 𝑀
𝜌
1
𝜌
√ 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ ) − 𝐶2 𝐶5 ℎ 𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ )]
𝜔
𝜌
𝑀
2
𝑀
1
𝜌
𝜃𝑥 (𝑡) = 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝐶1 (𝐶13 − 𝐶9 )𝑆𝑖𝑛 (𝜔𝑒√
)
2
𝑀𝐸𝑇
𝜌
𝜃𝑦 (𝑡) = 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝐶2 𝐶5 𝑆𝑖𝑛 (𝜔𝑒√ )
𝑀
𝜌
𝜃𝑧 (𝑡) = −𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝐶3 𝐶5 𝑆𝑖𝑛 (𝜔𝑒√ )
𝑀
Para calcular la aceleración de 𝑄 se emplea la expresión (6.28), obtenida de
la expresión (6.6):
𝑢̈
𝑢̈
̈
{ 𝑣̈ } = { 𝑣̈ } + 𝜃⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺∗𝑄
𝑤̈ 𝑄
𝑤̈ 𝐺 ∗
(6.28)
De estas ecuaciones (6.28), como sólo se mide la aceleración en dirección 𝑥
, únicamente interesa:
𝑢̈ 𝑄 = 𝑢̈ 𝐺 ∗ + 𝜃̈𝑦 𝑧𝑄 − 𝜃̈𝑧 𝑦𝑄
Así, sólo se calculará 𝑢̈ 𝐺 ∗ , 𝜃̈𝑦 y 𝜃̈𝑧
147
(6.29)
Calculadas las 𝐶𝑖 que satisfacen las ecuaciones (6.24), se obtiene, después
de operar:
𝑢̈ 𝑄 = 𝑢̈ 𝐺 ∗ + 𝜃̈𝑦 𝑧𝑄 − 𝜃̈𝑧 𝑦𝑄
=
−𝜔2 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝜌
𝐴𝜔√𝑀𝜌 𝐶𝑜𝑡 (𝑒𝜔√ ) − 𝑚𝜔 2
𝑀
+ 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 (𝑧𝐹 𝑧𝑄
𝜌
𝜌
+ 𝑦𝐹 𝑦𝑄 ) 𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ ) [12𝜔 [−𝐴√𝐺𝜌𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔 √
)
𝑀
𝑀𝐸𝑇
𝜌
+ 𝑚𝜔𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔 √
)]]
𝑀𝐸𝑇
/ [6𝐴ℎ𝑚√𝑀𝐸𝑇 𝑀𝐶𝑜𝑠 2 (𝑒𝜔√
𝜌
)
𝑀𝐸𝑇
(6.30)
𝜌
𝑀
+ 𝐴√𝑀𝐸𝑇 𝜌𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔 √
) [(−6ℎ𝑚√
𝑀𝐸𝑇
𝜌
𝜌
𝜌
+ 𝐴2 √𝑀𝜌) 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ ) − (𝐴 + 𝑒 2 + 3ℎ2 )𝑚𝜔𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ )]
𝑀
𝑀
+ 𝑚𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√
𝜌
𝜌
) (−𝐴2 𝜔√𝑀𝜌𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ )
𝑀𝐸𝑇
𝑀
+ 6𝐴ℎ√𝑀𝐸𝑇 𝑀𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√
𝜌
)
𝑀𝐸𝑇
𝜌
+ [−12𝐴𝑀𝐸𝑇 ℎ + (𝐴 + 𝑒 2 )𝑚𝜔2 ]𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ ))]
𝑀
Dividiendo la expresión anterior por 𝐹0 𝑒 jωt :
𝜃̈𝑦 𝑧𝑄 − 𝜃̈𝑧 𝑦𝑄
𝑢̈ 𝑄
𝑢̈ 𝐺 ∗
=
+
𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡
(6.31)
Haciendo:
𝑢̈ 𝐺 ∗
=
𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡
−𝜔2
𝜌
𝐴𝜔√𝑀𝜌 𝐶𝑜𝑡 (𝑒𝜔√ ) − 𝑚𝜔 2
𝑀
= 𝐴𝑐𝐺 ∗ (𝜔, 𝑀, 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚)
(6.32)
y:
𝜃̈𝑦 𝑧𝑄 − 𝜃𝑧̈ 𝑦𝑄
= (𝑧𝐹 𝑧𝑄 + 𝑦𝐹 𝑦𝑄 ) 𝑓𝜃 (𝜔, 𝑀, 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚, ℎ, 𝑀𝐸𝑇 )
𝐹0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
donde:
148
(6.33)
𝑓𝜃 (𝜔, 𝑀, 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚, ℎ, 𝑀𝐸𝑇 )
𝜌
𝜌
= 𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ ) [12𝜔 [−𝐴√𝑀𝐸𝑇 𝜌𝐶𝑜𝑠 ((𝑒𝜔√
)
𝑀
𝑀𝐸𝑇
+ 𝑚𝜔𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔 √
𝜌
)]]
𝑀𝐸𝑇
𝜌
/ [6𝐴ℎ𝑚√𝑀𝐸𝑇 𝑀 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑒𝜔 √
)
𝑀𝐸𝑇
+ 𝐴√𝑀𝐸𝑇 𝜌𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√
𝜌
𝑀
) [(−6ℎ𝑚√
𝑀𝐸𝑇
𝜌
(6.34)
𝜌
𝜌
+ 𝐴2 √𝑀𝜌)𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ ) − (𝐴 + 𝑒 2 + 3ℎ2 )𝑚𝜔𝑆𝑖𝑛 ((𝑒𝜔√ )]
𝑀
𝑀
+ 𝑚𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√
𝜌
𝜌
) (−𝐴2 𝜔√𝑀𝜌𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ )
𝑀𝐸𝑇
𝑀
+ 6𝐴ℎ√𝑀𝐸𝑇 𝑀𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√
𝜌
) + [−12𝐴𝑀𝐸𝑇 ℎ + (𝐴
𝑀𝐸𝑇
𝜌
+ 𝑒 2 )𝑚𝜔2 ]𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ ))]
𝑀
Resulta:
𝐴𝑐𝑄(𝜔, 𝑀, 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚, ℎ, 𝑀𝐸𝑇 , 𝑦𝐹 , 𝑧𝐹 , 𝑦𝑄 , 𝑧𝑄 ) =
𝑢̈𝑄
𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡
= 𝐴𝑐𝐺 ∗ (𝜔, 𝑀, 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚) + (𝑧𝐹 𝑧𝑄
(6.35)
+ 𝑦𝐹 𝑦𝑄 )𝑓𝜃 (𝜔, 𝑀, 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚, ℎ, 𝑀𝐸𝑇 )
Metodología Propuesta
Se conocen 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚, ℎ y se desea hallar los parámetros elásticos 𝑀(𝜔) y
𝑀𝐸𝑇 (𝜔) para cada frecuencia 𝜔 = 2𝜋𝑓
Al hacer las medidas, se tienen, para cada frecuencia 𝜔 = 2𝜋𝑓

𝐴𝑐𝑄1 medida en el punto 𝑄1 (𝑒 + ℎ, 𝑦𝑄 1 , 𝑧𝑄 1 ) cuando se aplica la fuerza
en el punto 𝑃1 (𝑒 + ℎ, 𝑦𝐹 1 , 𝑧𝐹 1 ), y

𝐴𝑐𝑄2 medida en el punto 𝑄2 (𝑒 + ℎ, 𝑦𝑄 2 , 𝑧𝑄 2 ) cuando se aplica la fuerza
en el punto 𝑃2 (𝑒 + ℎ, 𝑦𝐹 2 , 𝑧𝐹 2 )
149
Se pueden plantear estas dos ecuaciones:
𝐴𝑐𝑄1 = 𝐴𝑐𝐺 ∗ 𝐸𝑥𝑝 + (𝑧𝐹 1 𝑧𝑄 1 + 𝑦𝐹 1 𝑦𝑄 1 )𝑓𝜃 𝐸𝑥𝑝
(6.36)
𝐴𝑐𝑄2 = 𝐴𝑐𝐺 ∗ 𝐸𝑥𝑝 + (𝑧𝐹 2 𝑧𝑄 2 + 𝑦𝐹 2 𝑦𝑄 2 )𝑓𝜃 𝐸𝑥𝑝
Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 𝐴𝑐𝐺 ∗ 𝐸𝑥𝑝 y
𝑓𝜃 𝐸𝑥𝑝 cuya solución es:
𝐴𝑐𝐺 ∗ 𝐸𝑥𝑝 =
𝐴𝑐𝑄2 𝑦𝐹 1 𝑦𝑄 1 − 𝐴𝑐𝑄1 𝑦𝐹 2 𝑦𝑄 2 + 𝐴𝑐𝑄2 𝑧𝐹 1 𝑧𝑄 1 − 𝐴𝑐𝑄1 𝑧𝐹 2 𝑧𝑄 2
𝑦𝐹 1 𝑦𝑄 1 − 𝑦𝐹 2 𝑦𝑄 2 + 𝑧𝐹 1 𝑧𝑄 1 − 𝑧𝐹 2 𝑧𝑄 2
𝑓𝜃 𝐸𝑥𝑝 =
𝐴𝑐𝑄1 − 𝐴𝑐𝑄2
𝑦𝐹 1 𝑦𝑄 1 − 𝑦𝐹 2 𝑦𝑄 2 + 𝑧𝐹 1 𝑧𝑄 1 − 𝑧𝐹 2 𝑧𝑄 2
(6.37)
La única condición que deben cumplir los puntos 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑄1 y 𝑄2 es que sus
coordenadas verifiquen:
𝑦𝐹 1 𝑦𝑄 1 − 𝑦𝐹 2 𝑦𝑄 2 + 𝑧𝐹 1 𝑧𝑄 1 − 𝑧𝐹 2 𝑧𝑄 2 ≠ 0
(6.38)
para que el sistema anterior sea compatible determinado.
Cálculo de 𝑀:
A partir del valor 𝐴𝑐𝐺 ∗ 𝐸𝑥𝑝 calculado anteriormente (6.37) y recordando que son
conocidos 𝜔,𝜌,𝑒,𝐴,𝑚, el valor de 𝑀 se puede calcular resolviendo la ecuación
no lineal:
−𝜔2
𝐴𝑐𝐺 ∗ 𝐸𝑥𝑝 = 𝐴𝑐𝐺 ∗ (𝜔, 𝑀, 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚) =
(6.39)
𝜌
𝐴𝜔√𝑀𝜌 𝐶𝑜𝑡 (𝑒𝜔√ ) − 𝑚𝜔 2
𝑀
𝜌
Esta ecuación admite una solución aproximada si 𝑒𝜔√𝑀 ≪ 1, en cuyo caso
𝜌
𝑐𝑜𝑡 (𝑒𝜔√ ) =
𝑀
𝐴𝑐𝐺 ∗ 𝐸𝑥𝑝 =
𝐴𝜔√𝑀𝜌
1
𝜌
𝑇𝑎𝑛 (𝑒𝜔√ )
𝑀
−𝜔2
1
≈
1
𝜌
(𝑒𝜔√ )
𝑀
=
𝜌
𝑒𝜔√
𝑀
− 𝑚𝜔 2
150
−𝜔2
𝐴𝑀
− 𝑚𝜔 2
𝑒
(6.40)
(6.41)
Cuya solución se obtiene fácilmente:
𝑀𝐸𝑥𝑝 =
𝑒𝜔2 (𝐴𝑐𝐺 ∗ 𝐸𝑥𝑝 𝑚 − 1)
𝐴 𝐴𝑐𝐺 ∗ 𝐸𝑥𝑝
(6.42)
Este valor se puede tomar como el valor inicial de un algoritmo iterativo para
calcular el valor exacto de 𝑀 que satisface la ecuación no lineal (6.39) hallada
antes.
Cálculo de 𝑴𝑬𝑻 :
A partir del valor 𝑓𝜃 𝐸𝑥𝑝 calculado anteriormente (6.37), recordando que son
conocidos 𝜔, 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚, ℎ y que se ha calculado 𝑀 = 𝑀𝐸𝑥𝑝 , el valor de 𝑀𝐸𝑇 se
puede calcular resolviendo la siguiente ecuación no lineal:
𝑓𝜃 𝐸𝑥𝑝 = 𝑓𝜃 (𝜔, 𝑀, 𝜌, 𝑒, 𝐴, 𝑚, ℎ, 𝑀𝐸𝑇 )
𝜌
𝜌
= 𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ ) [12𝜔 [−𝐴√𝑀𝐸𝑇 𝜌𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√
)
𝑀
𝑀𝐸𝑇
𝜌
+ 𝑚𝜔𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔 √
)]]
𝑀𝐸𝑇
/ [6𝐴ℎ𝑚√𝑀𝐸𝑇 𝑀𝐶𝑜𝑠 2 (𝑒𝜔√
+ 𝐴√𝑀𝐸𝑇 𝜌𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔 √
𝜌
)
𝑀𝐸𝑇
𝜌
𝑀
𝜌
) [(−6ℎ𝑚√ + 𝐴2 √𝑀𝜌) 𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ )
𝑀𝐸𝑇
𝜌
𝑀
𝜌
− (𝐴 + 𝑒 2 + 3ℎ2 )𝑚𝜔𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ )]
𝑀
+ 𝑚𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√
𝜌
𝜌
) (−𝐴2 𝜔√𝑀𝜌𝐶𝑜𝑠 (𝑒𝜔√ )
𝑀𝐸𝑇
𝑀
+ 6𝐴ℎ√𝑀𝐸𝑇 𝑀𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√
𝜌
)
𝑀𝐸𝑇
𝜌
+ [−12𝐴𝑀𝐸𝑇 ℎ + (𝐴 + 𝑒 2 )𝑚𝜔2 ]𝑆𝑖𝑛 (𝑒𝜔√ ))]
𝑀
151
(6.43)
Como valor inicial de 𝑀𝐸𝑇 para el proceso iterativo de resolución de esta
ecuación puede tomarse, dando al coeficiente de Poisson un valor
aproximado de 0.3 por ejemplo:
𝑀𝐸𝑇 =
𝑀(1 − 2𝜇)
2(1 − 𝜇)
(6.44)
Una vez calculados 𝑀 y 𝑀𝐸𝑇 , ya se pueden calcular el resto de parámetros
elásticos:
𝑣=
𝑀 − 2𝑀𝐸𝑇
2(𝑀 − 𝑀𝐸𝑇 )
𝜆 = 𝑀 − 2𝑀𝐸𝑇
4
К = 𝑀 − 𝑀𝐸𝑇
3
𝑀𝐸𝑇 (4𝑀𝐸𝑇 − 3𝑀)
𝐸=
𝑀𝐸𝑇 − 𝑀
(6.45)
6.4. Discusión
En este capítulo se ha descrito un método para determinar los parámetros
elásticos de un material elástico lineal partiendo de medidas de aceleración
como las realizadas en el ensayo experimental para medir la rigidez dinámica
de un material. El punto de partida son las ecuaciones obtenidas para los
desplazamientos lineales y angulares del centro de masas de la losa
obtenidos a partir de las ecuaciones de equilibrio dinámico. Excitando
armónicamente la losa en un rango de frecuencias pueden hallarse los
parámetros elásticos en dicho rango de frecuencias, por lo que el material a
caracterizar puede presentar comportamiento viscoelástico lineal. El material
de la losa ha de ser mucho más rígido que el de la lámina del material a
caracterizar, no ha de haber deslizamiento ni entre losa y lámina ni entre
lámina y suelo. El espesor de la lámina ha de ser mucho menor que su
anchura.
152
CONCLUSIONES GENERALES
Se ha propuesto un procedimiento alternativo para el estudio vibroacústico de
estructuras basado en la utilización de señales pseudoaleatorias, que,
combinado con un procesado inspirado en la técnica NAH, permite visualizar
la radiación de la estructura. Este procedimiento se ha ensayado en vigas de
sección transversal uniforme y no uniforme y con y sin discontinuidades en el
cambio de sección.
Con el mismo setup experimental se ha discutido sobre la problemática
asociada a los límites de validez de la consideración de subsistema en un
sistema. De los experimentos realizados se concluye que es necesario en
investigaciones futuras hacer este tipo de estudios con materiales con un
mayor factor de pérdidas y con estructuras mucho más largas con el fin de
mejorar los especímenes para el estudio fenomenológico presentado aquí.
Además, si fuese posible, intentar introducir materiales del tipo amortiguador
en el cambio de sección, con el propósito de identificar el amortiguamiento
que estos generan en el flujo de energía.
El procedimiento experimental propuesto, se ha aplicado a un modelo de
tamaño reducido en forma de esquina con un doble objetivo: consolidar el
procedimiento y, además, proponer este modelo como laboratorio a escala
adecuado para estudiar la transmisión por flancos en la edificación y
153
cuantificar el efecto de la instalación de suelos flotantes. Ambos objetivos se
han alcanzado con éxito.
El uso combinado de transductores excitadores del tipo actuadores similares
a los utilizados en sistemas DML, con señales de tipo MLS, ha demostrado
ser una estrategia fiable y ventajosa para el estudio de este tipo de
estructuras. Se ha podido estudiar el comportamiento vibratorio tanto en
régimen estacionario como transitorio. El procedimiento aquí propuesto
presenta ventajas frente a las tradicionales, a saber: la estabilidad en el
estudio del proceso estacionario y la facilidad para el estudio de procesos
transitorios.
La limitación de la técnica experimental alternativa presentada, en el rango de
baja frecuencia, viene dada por la respuesta del transductor usado como
excitador armónico de la estructura y en alta frecuencia, el límite está
relacionado con el acelerómetro, ya que tiene una sensibilidad hasta los 8kHz.
Restringiendo el análisis en alta frecuencia donde el sistema constructivo
presenta una alta densidad modal y un mejor desempeño frente a los
supuestos de SEA.
Se ha planteado una discusión sobre el uso de un procedimiento experimental
alternativo, para obtener la Impedancia de transferencia de un material poroso
fibroso, fabricado en fibras de PET reciclado, obteniendo resultados similares
a los presentados por Doutres en [4], utilizando la técnica de NAH.
Por último, se describió un método para determinar los parámetros elásticos
de un material elástico lineal. El punto de partida para el desarrollo del modelo
son las ecuaciones obtenidas para los desplazamientos lineales y angulares
del centro de masas de la losa obtenidos a partir de las ecuaciones de
equilibrio dinámico. El modelo, considera que: el material de la losa debe ser
mucho más rígido que el de la lámina del material a caracterizar, así como no
ha de existir deslizamiento ni entre losa y lámina ni entre lámina y suelo y el
espesor de la lámina se considera mucho menor que su anchura. Además, el
material debe ser tal que no necesite corrección a la resistencia al flujo en el
cálculo de la rigidez dinámica. Este estudio analítico intenta reproducir las
medidas de aceleración realizadas en el ensayo experimental para medir la
154
rigidez dinámica de materiales usados como intercapa en suelos flotantes. El
método planteado permite hallar los parámetros elásticos al excitar
armónicamente una losa en un determinado rango de frecuencias, por lo que
el material a caracterizar puede presentar un comportamiento viscoelástico
lineal.
LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN
Las líneas de investigación futuras se centran en profundizar en cada una de
las contribuciones que se han llevado a cabo.

Estudiar la viabilidad de aplicar el procedimiento experimental
propuesto a otros tipos de estructuras de mayor tamaño.

Proponer otros “laboratorios de tamaño reducido” para estudiar la
transmisión por flancos.

Desarrollar un procedimiento para evaluar en tubo de impedancia tanto
la impedancia de transferencia como la superficial.

Aplicar el método propuesto para la caracterización de materiales,
propuesto en el capítulo 6, evaluando los parámetros elásticos en
función de la frecuencia,
así como considerar otros tipos de
amortiguamiento.
155
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170
ANEXOS
ANEXO I: TRANSDUCTOR Y SEÑAL DE PRUEBA
I.1. Transductor Electrodinámico. Parámetros Relevantes
Un altavoz electrodinámico de radiación directa de bobina móvil utiliza el
acoplo existente entre el movimiento de una superficie vibrante (diafragma) y
la corriente eléctrica que recorre una bobina circular que se encuentra en el
seno de un campo magnético. La fuerza aplicada al cono del altavoz es:
𝐹 = 𝐵𝑙𝑖
(A.1)
donde 𝐵 es la densidad de flujo del campo magnético, 𝑙 es la longitud de la
bobina.
Si se asume una corriente compleja, 𝑖 = 𝐼𝑒 𝑗𝜔𝑡 , la velocidad en el estado
estacionario vendrá dada por
𝑣=
𝐹
𝐵𝑙𝑖
=
𝑍𝑀 𝑍𝑀
(A.2)
donde, 𝑍𝑀 es la impedancia mecánica que depende tanto del sistema
mecánico, 𝑍𝑀𝐷 como de la contribución del medio sobre el que se radia, 𝑍𝑀𝑅 .
𝑍𝑀 = 𝑍𝑀𝐷 + 𝑍𝑀𝑅
(A.3)
Siendo, 𝑒 = 𝐸𝑒 𝑗𝜔 la tensión proporcionada por los terminales de la bobina y
𝑍𝐸 = 𝑅𝐸 + 𝑗𝜔𝐿𝐸 es la impedancia eléctrica, donde 𝑅𝐸 es la resistencia óhmica
y 𝐿𝐸 la autoinducción de la bobina.
III
El movimiento de la bobina en el seno del campo magnético provoca la
aparición de una fuerza contra electromotriz inducida
𝑒𝑚 = 𝐵𝑙𝑣
(A.4)
La corriente en la bobina será:
𝑖=
𝑒 − 𝑒𝑚
𝑍𝐸
(A.5)
Combinando las ecuaciones (A.2) y (A.5) se llega a
𝑖=
𝑒 − 𝑒𝑚
𝑍𝐸 + 𝑍𝑀𝑂𝑉
𝑍𝑀𝑂𝑉
(𝐵𝑙)2
=
𝑍𝑀
(A.6)
𝑍𝑀𝑂𝑉 es la llamada impedancia del movimiento y depende de los parámetros
mecánicos del sistema.
Las anteriores ecuaciones son las básicas para describir el funcionamiento
del transductor en el rango lineal. Es muy usado por su simplicidad y por su
representación en forma de circuito equivalente [117], [118]. Por otra parte, la
problemática del diseño de sistemas radiantes se focaliza en la zona de
baja frecuencia donde los donde los desplazamientos del diafragma son
mayores.
El análisis de sistemas de radiación directa suele realizarse a partir del
circuito equivalente. Para un altavoz montado en pantalla infinita, el circuito
equivalente, que en la zona de baja frecuencia, si se verifica que 𝜔𝐿𝐸 ≪
𝑅𝑔 + 𝑅𝐸 , es el de la Figura 72.
IV
Figura 72 Circuito equivalente de un altavoz dinámico. Aproximación en baja frecuencia
𝑍𝑀𝑅 es la llamada impedancia mecánica de radiación que tiene su origen
en la fuerza de reacción que el medio ejerce al ser sometido por el pistón
a una fuerza. En general, está formada por una parte real, 𝑅𝑀𝑅 y una parte
imaginaria 𝑋𝑀𝑅 que, en baja frecuencia se puede aproximar por la ecuación:
𝑋𝑀𝑅 = 𝑗𝜔𝑀𝑀𝑅
𝑀𝑀𝑅 =
8
𝜌 𝑎3
3 𝑜
(A.7)
Uno de los parámetros de mayor relevancia en este tipo de sistemas es la
frecuencia de resonancia mecánica del conjunto móvil ya que determina el
inicio de la curva de respuesta en frecuencia útil en este tipo de sistemas
radiantes que se produce para:
𝑓𝑠 =
1 𝐶𝑀𝑆
√
2𝜋 𝑀𝑀𝑆
(A.8)
𝑀𝑀𝑆 = 𝑀𝑀𝐷 + 𝑀𝑀𝑅
Otro dato relevante es el desplazamiento máximo del diafragma en función
de la frecuencia que está relacionado con la potencia acústica que está en
condiciones de radiar el sistema.
En el caso de altavoces de radiación directa, la respuesta en frecuencia típica
es del tipo filtro paso banda con una frecuencia de corte inferior que comienza
un poco después de la frecuencia de resonancia mecánica. Las frecuencias
de corte inferior y superior de este filtro paso banda, son función de las
V
características eléctricas y mecánicas del altavoz, en especial de su conjunto
móvil.
De la ecuación (A.6) se desprende que la impedancia eléctrica de entrada,
𝑍𝐸𝑇 de este tipo de altavoces presenta dos contribuciones: una eléctrica
pura, 𝑍𝐸 , y otra que depende de los parámetros mecánicos, 𝑍𝑀𝑂𝑉
Matemáticamente se expresa como:
2
𝑍𝐸𝑇
(𝐵𝑙)
𝑒 − 𝑒𝑚
=
𝑖 = 𝑍𝐸 + 𝑍𝑀𝑂𝑉 = 𝑍𝐸 +
𝑖
𝑍𝑀
(A.9)
Por tanto, 𝑍𝐸𝑇 , presenta un máximo cuando es mínima la impedancia
mecánica, es decir, a la frecuencia de resonancia mecánica. Por esta
razón, para determinar experimentalmente la frecuencia de resonancia
mecánica se recurre a medidas eléctricas.
Para medir la impedancia eléctrica de un transductor electrodinámico es
necesario realizar un circuito eléctrico sencillo. Este experimento consiste en
conectar un generador de baja frecuencia en serie con una resistencia mayor
del valor de la impedancia esperado por el actuador. De esta manera, la
corriente fluye a través del actuador de manera constante, por lo tanto, la
tensión en la carga (actuador) es proporcional a la impedancia [102]. Debido
a que la impedancia del transductor electrodinámico generalmente es baja
(alrededor de los 8 ohm); con una resistencia más alta es posible obtener una
fuente de impedancia constante. La Figura 73 muestra el esquema de la
medición:
VI
Figura 73 Esquema de la medición de la Impedancia eléctrica de los actuadores
Como es sabido, la impedancia eléctrica total de un altavoz tiene dos
contribuciones, una del tipo puramente eléctrico y otra causada por el
movimiento mecánico. Esto descrito matemáticamente corresponde a:
𝑍𝐴 = 𝑍𝐸𝑇 = 𝑍𝐸 + 𝑍𝑀𝑒 = 𝑅𝐸 + 𝑗𝜔𝐿𝑒 + 𝑅𝑀𝑒 + 𝑗𝑋𝑚𝑒
𝑅𝐸𝑇 = 𝑅𝐸 + 𝑅𝑀𝑒
𝑋𝐸𝑇 = 𝑅𝐸 + 𝑅𝑀𝑒
(A.10)
𝑋𝐸 = 𝜔𝐿𝑒
donde, 𝑍𝐴 es la impedancia del actuador, 𝑍𝐸𝑇 es la impedancia eléctrica total,
𝑍𝐸 es la impedancia eléctrica, 𝑍𝑀𝑒 es la impedancia mecánica, 𝑅𝐸 es la
resistencia eléctrica, 𝐿𝐸 es la inductancia electrica, 𝑅𝑀𝑒 es la resistencia
mecánica, 𝑋𝑚𝑒 capacitancia mecánica, 𝑋𝐸𝑇 es la capacitancia eléctrica
total, 𝑋𝐸 es la capacitancia eléctrica, y 𝜔 es la frecuencia angular.
Por lo tanto, la 𝑅𝐸 y la inductancia de la bobina es conocida. De esta manera,
es posible obtener la parte real e imaginaria de la impedancia mecánica:
𝑅𝑚𝑒 = 𝑅𝐸𝑇 − 𝑅𝐸
𝑋𝑚𝑒 = 𝑋𝐸𝑇 − 𝑋𝐸
(A.11)
El circuito representado en la Figura 73 se indica la manera de medir la tensión
esto se realiza para cada frecuencia y la impedancia acústica equivalente a la
impedancia eléctrica total puede calcularse usando la siguiente expresión:
𝑉𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑡𝑜𝑟
𝑉1
𝑉2
|𝑍𝐴 | = |𝑍𝐸𝑇 | = |
| = | | ; |𝐼| = | |
𝐼
𝐼
𝑅
VII
(A.12)
Se supone que la intensidad se mantiene constante y 𝑍𝐸𝑇 es proporcional a la
caída de tensión del altavoz.
Así mismo, empleando las analogías electro-mecánico-acústico, la fuerza del
actuador se puede calcular mediante la siguiente hipótesis:
𝐹=
𝐵𝑙 𝑣𝑔
𝑅𝑒 + 𝑗𝜔𝐿𝑒
(A.13)
Siendo, 𝐵𝑙 la constante electromecánica del actuador, 𝑣𝑔 es el voltaje de
entrada, 𝑅𝑒 es la resistencia eléctrica de la bobina a corriente eléctrica y 𝐿𝑒
es la inductancia eléctrica de la bobina.
I.2. Señales de Prueba: Secuencia de Máxima Longitud
(Maximum Length Sequence-MLS)
Existen una serie de métodos de medidas acústicas en edificios que llevan
años usándose en numerosas aplicaciones [119]. Estos métodos se
encuentran actualmente muy desarrollados y permiten obtener resultados
aceptables en la mayoría de los casos, sin embargo, hay situaciones donde
la relación señal a ruido no es lo suficientemente alta y los resultados que se
obtienen con estas medidas no son igual de fiables. Otra variable de
incertidumbre, usando los métodos de medición clásicos, es la naturaleza
estocástica o aleatoria de las señales de excitación utilizadas.
Por estas razones hace más de 5 décadas se empieza a emplear la Maximum
Length Sequence (MLS) [103], [104] utilizada comúnmente en campos de la
acústica como: el desarrollo y la caracterización de transductores. La MLS es
una secuencia determinista de pulsos (0 y 1), con una longitud total 𝐿 = 2𝑛 −
1, donde 𝑛 es el orden de la secuencia. El espectro en frecuencia de esta
señal se trata como un ruido blanco pseudoaleatorio con una despreciable
componente continua. Siempre quedará un residuo de esta componente
debido a que la secuencia es impar.
La ventaja de utilización de esta técnica radica en, poder obtener la Respuesta
al Impulso (IR) de un sistema a través de una señal de excitación estacionaria,
como si se estuviese utilizando una excitación transitoria.
VIII
Para ello es necesario indicar brevemente como con señales MLS se obtiene
la IR en sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI).
La respuesta de los sistemas LTI, se obtiene a través de la convolución entre
la IR, y la señal de excitación, la ecuación A.14.explica esta relación de
señales en el dominio continuo del tiempo:
∞
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ ℎ(𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
(A.14)
−∞
donde ℎ(𝑡) es la respuesta al impulso del sistema, 𝑥(𝑡) es la señal de
excitación e 𝑦(𝑡) es la señal de respuesta o salida del sistema.
Para obtener la IR a partir de la MLS, se realiza una correlación cruzada entre
la señal de entrada y la de salida, ecuación A.15 La correlación de dos señales
aleatorias y estacionarias 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) indica la relación estadística entre esas
dos señales.
∞
𝛷𝑥𝑦 (𝑡) = 𝛷𝑥𝑥 (𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ ℎ(𝜏)𝛷𝑥𝑥 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
(A.15)
−∞
donde 𝛷𝑥𝑦 (𝑡) es la correlación cruzada entre la señal de entrada y la salida
del sistema, y 𝛷𝑥𝑥 (𝑡) es la función de auto correlación de la señal de entrada.
De esta forma, cuando se aplica la ecuación A.15 en dos señales idénticas la
señal resultante es equivalente a un impulso o una delta de Dirac. Esta ventaja
del procesamiento digital de señales, permite como se indicó anteriormente
obtener la IR usando una señal de medición estacionaria.
Se puede concluir entonces, que las señales MLS, combinan las ventajas de
las técnicas de excitación comunes para caracterizar sistemas LTI, tanto en
régimen transitorio como estacionario. Los beneficios que aporta la utilización
de esta señal son: su precisión, repetitividad, una buena relación señal a ruido
e información de fase para cada uno de los puntos de medición, algo que en
este proyecto permitió ver las formas modales de estructuras a partir de los
datos experimentales y así poder compararlos con los modelos simulados.
Esto último es posible ya que la señal de entrada está continuamente
monitorizada y se excitan las estructuras siempre con la misma fuerza, en
IX
instantes diferentes de tiempo y sobre posiciones diferentes de las
estructuras, asegurando la sincronización del sistema.
Por otro lado, es conveniente tomar algunas medidas para evitar problemas
cuando se usa una MLS. En primer lugar, se debe procurar que la longitud de
la MLS sea mayor que la IR del sistema bajo estudio para evitar aliasing
temporal de una parte de la IR. En segundo lugar, el sistema debe ser
estudiado bajo condiciones donde pueda asegurarse una aproximación lineal
para poder hallar la respuesta del sistema.
En este trabajo y por el tipo de señal usada, se ha empleado el método de la
respuesta impulsiva para obtener el tiempo de reverberación estructural. Este
método se basa en la evaluación de la respuesta al impulso, ya que esta, por
sí sola, no es suficiente para obtener el tiempo de reverberación para cada
uno de los puntos de medida sobre la estructura. La curva de decaimiento
obtenida como resultado después de que la fuente de excitación ha cesado,
debe ser tratada por el método de la respuesta al impulso inversa, también
conocida como la integral inversa de Schroeder [103]. Ver ecuación A.16
0
𝑠(𝑡) = ∫ 𝑛(𝜏) ∙ 𝑟(𝑡 − 𝜏)𝑑𝑟
(A.16)
−∞
donde, 𝑠(𝑡)es la señal recibida, la notación −∞ del límite inferior de la integral
indica que desde que se inició el decaimiento de la señal ha pasado suficiente
tiempo como para tener una señal con un estado continuo. El límite superior
(𝑟 = 0) es el tiempo de inicio del impulso, 𝑛(𝜏) es un ruido, que en el caso de
este proyecto pasa a serla respuesta al impulso (IR) obtenida después de
procesar las señales tipo MLS [119]. Esta operación se puede aplicar para
calcular el tiempo de reverberación estructural tanto en bandas de octava
como en tercios de octava.
X
ANEXO II. PROCESO PARA LA ELECCIÓN DE LA FUENTE
USADA EN LOS EXPERIMENTOS
Las fuentes de excitación comúnmente empleadas para realizar mediciones
de vibración son; el martillo (Hammer) o el excitador modal (Shaker). Cada
una de estas fuentes tienen limitantes, por ejemplo, el martillo es poco
eficiente en la generación de excitación en media y alta frecuencia, por otro
lado, el excitador modal depende de la fijación, la cual requiere espacio y para
espacios reducidos se complejiza su instalación.
En este trabajo, se propone una configuración alternativa para la medición
vibroacústica de estructuras, que combina un sistema electro acústico ligado
a una técnica de procesado de la señal, ya que se busca, un compromiso
entre excitación a baja frecuencia para el análisis modal y un buen desempeño
en altas para observar el régimen estadístico (Análisis SEA).
La fuente alternativa elegida corresponde a un excitador electrodinámico
comúnmente usado en sistemas de audio profesional llamado Distributed
Mode Loudspeakers (DML) [89]. Adicionalmente, es una herramienta de bajo
coste, que puede ser acoplada a la estructura fácilmente. La Tabla 18,
muestra los actuadores usados en este estudio.
XI
Tabla 18 Actuadores Electrodinámicos usados en este estudio
En
ID
Alt_1
Referencia Fabricante
HIAX25C05-4
Alt_2
HIAX25C10-8HS
Alt_3
HIAX32C30-4B
Alt_4
HIAX32C20-8
el mercado
existen
varias
opciones
Foto
para
elegir
un
actuador
electrodinámico. En este estudio se caracterizaron cuatro actuadores (ver
Tabla 18). Todos ellos tienen una frecuencia de resonancia similar, alrededor
de 200 Hz. La Tabla 19 muestra las características electromecánicas de los
actuadores ofrecidas por los fabricantes, donde 𝐵𝑙 es la constante de electromecánico, 𝑅𝑒 es la resistencia eléctrica de la bobina en corriente directa, 𝐿𝑒
es la inductancia eléctrica de la bobina, 𝑓𝑟 La frecuencia de resonancia
eléctrica y 𝑚 la masa del actuador.
Tabla 19 Características de los actuadores (Datasheet del fabricante)
Rótulo
ALT 001
ALT 002
ALT 003
Símbolo
𝐵𝑙
𝑅𝑒
𝐿𝑒
𝑓𝑟
𝑚
𝐵𝑙
𝑅𝑒
𝐿𝑒
𝑓𝑟
𝑚
𝐵𝑙
Dato
2.2
3.7
62
210
60
5.0
7.5
1.0
200
85
3.5
XII
Unidades
Tm
Ohm
μH (@10kHz)
Hz.
gr.
Tm
Ohm
mH (@10kHz)
Hz.
gr.
Tm
ALT 004
𝑅𝑒
𝐿𝑒
𝑓𝑟
𝑚
𝐵𝑙
𝑅𝑒
𝐿𝑒
𝑓𝑟
𝑚
3.4
0.1
260
130
5.0
7.5
1.0
100
150
Ohm
mH (@10kHz)
Hz.
gr.
Tm
Ohm
mH (@10kHz)
Hz.
gr.
Los actuadores presentados en la anterior tabla, fueron sometidos a tres
distintas pruebas, con el fin de seleccionar el que mejor desempeño
presentará. Por conveniencia, las pruebas se llevaron a cabo en la viga de
sección transversal rectangular (ver Figura 74).
Figura 74 Espécimen empleado para calibrar el sistema electroacústica
El sistema de adquisición de datos empleado para todos los procedimientos
experimentales para la medición de vibración, presentados en este
documento, consistió en: tres acelerómetros, un pre-amplificador de cuatro
canales, un amplificador de potencia (al cual va conectado el actuador), un
sistema de conversión Análogo-Digital y un ordenador. En este caso, el
sistema de adquisición de datos permite sincronizar la entrada con la salida,
lo que facilita posteriormente el post-procesado de los datos. La tarjeta va
conectada al ordenador donde hay un programa de LabView® que permite
hacer los registros de las señales (ver ejemplo de la interfaz gráfica en la
Figura 76). La Figura 75 representa de forma esquemática la conexión
anteriormente enunciada.
XIII
Figura 75 Esquema de medición del procedimiento experimental alternativo
Figura 76 Ejemplo de la interfaz gráfica para la emisión y adquisición de señales
Para la adecuada realización del ensayo, se establecen como parámetros de
ajuste el tiempo de captura o adquisición, el tipo de señal a emitir, la amplitud
de la señal de salida y el rango de tensión de entrada (éste último permite
ajustar la resolución de la tarjeta al rango de entrada previsto). Como señal de
excitación, el programa permitirá seleccionar entre tres tipos: ruido blanco,
XIV
ruido rosa y MLS, para todos los ensayos la señal seleccionada fue la MLS,
con las características enunciada en la Tabla 5.
A continuación, se describen las pruebas realizadas, para elegir el actuador
que completa el esquema de medición y el cual hace parte del procedimiento
alternativo propuesto para la caracterización de estructuras en este
documento (capítulos 3, 4 y 5).
Todos los resultados presentados a continuación pertenecen al actuador
rotulado como ACT_002 (ver Tabla 19), ya que fue el que exhibió los mejores
resultados. Los otros actuadores tenían un comportamiento no lineal y un
menor rendimiento en baja frecuencia, razones por lo que fueron descartados.
El primer test consistió en determinar la Impedancia eléctrica total, con el fin
de observar el desplazamiento de la frecuencia de resonancia, cuando el
actuador es acoplado a la estructura, ya que esto afecta directamente el rango
de frecuencia útil del ensayo.
La prueba de impedancia eléctrica, se llevó a cabo de dos maneras: la
primera, con el actuador sin ninguna carga (sólo el aire), y con la fuente
acoplada a la estructura (caso 2) con el objetivo de indagar si en las
condiciones de medición afectan la respuesta del actuador. La Figura 77
muestra los resultados.
Figura 77 Primer Test: Impedancia Eléctrica del Actuador 2 (ACT_002)
Del análisis de la Figura 77 se deduce que cuando el actuador está acoplado
a la estructura, la curva de impedancia eléctrica tiende a ser constante. Este
efecto se produce por el aumento de la masa. La frecuencia de resonancia del
sistema electro acústico se desplaza a baja frecuencia.
XV
La segunda prueba, consistió en obtener la respuesta al impulso utilizando
la técnica de la MLS con 3 voltajes de entrada diferentes hacia el actuador
desde el amplificador. Esta prueba se llevó a cabo porque la técnica MLS
puede mostrar bajo rendimiento cuando se utiliza en sistemas no lineales. La
Tabla 20 informa sobre los pasos de voltaje de entrada al actuador cuando
este fue fijado a la estructura.
Tabla 20 Amplificaciones usadas en el sistema de calibración
AMP 1
124 mV
AMP 2
1.6 V
AMP 3
3.7 V
La Figura 78 muestra la respuesta al impulso obtenida para el actuado ACT_2
para las tres etapas de amplificación.
Figura 78 Segundo Test: Respuesta al Impulso obtenida de la viga usando tres distintos
niveles de amplificación y el Actuador ACT_002
En la anterior figura se identifica de manera sencilla que, el nivel de
amplificación 2 (AMP 2), ofrece el mejor compromiso para obtener una IR
estable, ya que brinda una buena condición de relación señal / ruido. Por tanto,
esta etapa de amplificación fue usada en todos los experimentos realizados
posteriormente usando la misma configuración experimental.
XVI
La última prueba que se realizó consiste en evaluar la respuesta en
frecuencia derivada de la IR obtenida con el ACT_002 con la AMP 2. Esta
respuesta se comparó con pruebas previas bajo las mismas condiciones
hechas sobre la viga usando fuentes convencionales de medición, como los
son: el martillo de impacto y el excitador modal (Shaker). Los resultados
obtenidos se pueden ver en la Figura 79. Todas las respuestas están en el
mismo orden de magnitud. Sin embargo, es necesario señalar que en la
representación se han desplazado las tres respuestas, con el fin de distinguir
cada uno de los resultados obtenidos empleando las distintas fuentes de
excitación, razón por la cual en el eje de ordenadas, que representa
desplazamientos (m) se ha representado sin unidades.
Figura 79 Comparación de la respuesta en frecuencia entre el experimento usando,
Actuador-MLS, Shaker-MLS y Martillo de Impacto.
El análisis de estas curvas permite concluir que, la técnica aquí presentada
permite obtener una gama de frecuencias más amplio que el Martillo y mejor
estabilidad en la instalación que el Shaker, siendo por lo tanto más adecuada
dentro de los propósitos del presente trabajo.
La Tabla 21 muestra una comparación de los 8 primeros modos de resonancia
de la viga continua, obtenidos con el Martillo, el excitador modal y con el
actuador rotulado ACT_002.
XVII
Tabla 21 Respuesta en frecuencia entre el Martillo, el Excitador Electrodinámico y el Actuador
para la viga de sección rectangular continua, (Hz).
Modo
Martillo
Shaker
ACT_002
1
88.00
83.50
87.90
2
225.10
232.9
225.60
2
434.20
440.9
436.60
4
-
745.6
738.0
5
-
1097
1087
6
1615
1513
1493
7
1826
1996
1994
8
-
2521
2441
La Tabla 21, evidencia la correlación entre las técnicas es alta (un error menor
al 1%). Esto significa que el sistema electroacústico presentado en este
documento permite obtener la respuesta de frecuencia de la vibración de una
estructura.
XVIII
CONTRIBUCIÓN AL
ESTUDIO VIBROACÚSTICO
DE ESTRUCTURAS
Jeniffer Victoria Torres Romero
Tesis Doctoral
Alicante, Septiembre de 2015