Aplicaciones de los logaritmos

Aplicaciones de los logaritmos
Una escala logarítmica es una escala de medida que utiliza el logaritmo de una
cantidad física en lugar de la propia cantidad.
La presentación de datos en una escala logarítmica puede ser útil cuando los datos
cubren una amplio intervalo de valores, el logaritmo los reduce a un rango más
manejable. Estudiaremos tres ejemplos:
1. El decibelio
2. El Ph
3. La escala Richter.
1.- El decibelio
Según la ley de Weber-Fechnes, algunos de nuestros sentidos funcionan de manera
logarítmica. Ernst Heinrich Weber estableció su ley de la sensación, en la que
formulaba la relación matemática que existía entre la intensidad de un estímulo y la
sensación producida por éste. Estos y otros descubrimientos llevaron a la convicción
de que era posible explicar mediante principios físico-químicos todos los actos
humanos, lo que permitió considerar a la psicología y más particularmente a la
psicofísica como posibles ciencias.
La ley establece que: el menor cambio discernible en la magnitud de un estímulo es
proporcional a la magnitud del estímulo.
Es fácil de entender con un ejemplo: si estamos sosteniendo en nuestra mano una
masa de 100 gramos, tal vez no lo podamos distinguir de otro de 105 gramos, pero sí
de uno de 110 gramos. En este caso, el umbral para discernir el cambio de masa es de
10 gramos. Pero en el caso de sostener una masa de 1000 gramos, 10 gramos no serán
suficientes para que notemos la diferencia, al ser el umbral proporcional a la
magnitud del estímulo. En su lugar, nos hará falta añadir 100 gramos para notar la
diferencia...
Como veremos (en el caso particular del oído), la relación entre el estímulo y la
percepción corresponde a una escala logarítmica. Esta relación logarítmica nos hace
comprender que si un estímulo crece como una progresión geométrica (es decir
multiplicada por un factor constante), la percepción evolucionará como una progresión
aritmética (es decir con cantidades añadidas).
Cualquier sonido sencillo, como una nota musical, puede describirse en su totalidad
especificando tres características de su percepción: el tono, la intensidad y el
timbre. Estas características corresponden exactamente a tres características
físicas: la frecuencia, la amplitud y la composición armónica o forma de onda.
- Tono: Distingue a un sonido agudo (tono alto) de un sonido grave (tono bajo).
- Intensidad: Distingue un sonido fuerte de uno débil.
- Timbre: Distingue dos sonidos de la misma intensidad y tono, pero producido
por distintas fuentes.
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Vamos a centrarnos en la intensidad. La intensidad del sonido, es el flujo medio de
energía por unidad de área perpendicular a la dirección de propagación.
El oído humano tiene la capacidad de escuchar sonidos a partir de una intensidad de
10-12 W/m². Esta intensidad se conoce como umbral de audición. Cuando la intensidad
supera 1 W/m², la sensación se vuelve dolorosa.
Dado que en el rango de intensidades que el oído humano puede detectar sin dolor,
hay grandes diferencias en el número de cifras empleadas en una escala lineal, es
habitual utilizar una escala logarítmica. Por convención, en dicha escala logarítmica se
emplea como nivel de referencia el umbral de audición. La unidad más empleada en la
escala logarítmica es el decibelio.
I
I dB = 10.log
I0
donde IdB es la intensidad acústica en decibelios, I es la intensidad acústica en la
escala lineal (W/m²) e I0 es el umbral del audición (10-12 W/m²).
CUESTIÓN 1ª. Completar la siguiente tabla:
Fuente de sonido
Intensidad (W/m²) Intensidad (dB)
Umbral de audición
Susurro, respiración normal, pisadas suaves
Rumor de las hojas en el campo al aire libre
Murmullo, oleaje suave en la costa
Biblioteca, habitación en silencio
Tráfico ligero, conversación normal
Oficina grande en horario de trabajo
Griterío, tráfico intenso de ciudad
Timbre, camión pesado moviéndose
Maquinaria de una fábrica trabajando
Banda de música rock
Claxon de un coche, explosión de petardos
Umbral del dolor
Martillo neumático (de aire)
Avión de reacción durante el despegue
Motor de un cohete espacial durante el despegue
0,000000000001
0,00000000001
0,0000000001
0,000000001
0,00000001
0,0000001
0,000001
0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
1000
1000000
Un sonido de 70 dB produce efectos psicológicos negativos en tareas que requieren
concentración y atención, mientras que entre 80 y 90 dB puede producir reacciones
de estrés, cansancio y alteración del sueño.
Los ruidos entre 100 y 110 dB, denominado “umbral tóxico”, pueden llegar a ocasionar
lesiones del oído medio. Los ruidos superiores a los 120 dB entran en el denominado
“umbral del dolor”, es decir, son ruidos insoportables que provocan sensación de dolor
en el oído humano. Son sonidos que superan 1 W/m2 .
CUESTIÓN 2ª. ¿Cuál es la intensidad en decibelios que percibimos al
encontrarnos entre dos coches que estén tocando el claxon?
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La intensidad en la música
Sigamos viendo algunos ejemplos sobre la intensidad del sonido, dejando al margen
propiedades fundamentales del sonido como son la frecuencia y el timbre, con las que
la intensidad está íntimamente relacionada. Por ejemplo, un sonido de 20 Hz de
frecuencia debe tener un nivel de intensidad de 90 dB para que se perciba como si
tuviera la misma intensidad que un sonido de 1.000 Hz a 35 dB. (Ver la gráfica)
Consideremos sonidos de 1.000 Hz. La percepción para un humano de la intensidad
aumenta aproximadamente al doble cada vez que hay un aumento del nivel de
intensidad de 10 dB. O sea: de dos sonidos que difieren en 20 dB decibeles uno es
percibido como si fuera cuatro veces más intenso que el otro; si difieren en 30 dB
uno parece ser ocho veces más intenso que el otro.
Un ejemplo ilustrativo es el siguiente: la potencia acústica de diez violines que tocan
al unísono una nota es diez veces mayor que la de un solo violín al tocar tal nota, y,
por lo tanto, el nivel de intensidad del sonido será 10 dB mayor. De este modo, para
nosotros. y subjetivamente, diez violines sonarán al doble del volumen que uno solo.
CUESTIÓN 3ª. Para obtener una nueva duplicación subjetiva de la intensidad,
es decir para aumentar otros 10 dB , ¿cuántos violines deberemos usar?
CUESTIÓN 4ª. Si la intensidad de un violín es de 40 dB, ¿ Cuántos violines se
necesitarán para obtener una intensidad de 63 dB.
¿Qué podemos decir respecto a la sensibilidad del oído para discriminar dos sonidos
de intensidades distintas. Bajo condiciones muy controladas, misma frecuencia y
timbre, durante intervalos no demasiado corto, gran concentración etc..., una
persona es capaz de percibir diferencias de 1 dB en la intensidad de un tono. Por otra
parte -y esto es de mayor importancia para nuestros propósitos- tonos distintos en
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una secuencia, todos con una dispersión de intensidad de hasta 5 dB, son percibidos
por el oído humano como teniendo la misma intensidad. Lo anterior tiene
consecuencias importantes. En una pieza musical es usual encontrar sonidos que
deben ejecutarse con intensidades diferentes. De hecho, hay varias normas
implícitas que exigen dar diferentes intensidades a las notas en una pieza musical.
Algunas de ellas son la acentuación de la primera nota de un compás, los fraseos
musicales, los ritmos sincopados, la acentuación de la primera nota de un tresillo, etc,
Por otra parte, también es usual que el compositor o el editor anoten en la partitura
las indicaciones dinámicas que deben observarse durante la ejecución de la obra.
Igualmente, los intérpretes y directores son activos participantes en las anotaciones
dinámicas. Algunas polémicas se han generado al respecto, en las cuales se acusa a los
ejecutantes y a los directores de no ser fieles a la voluntad escrita del compositor.
Sin embargo, Verdi dijo un día a Toscanini, en Génova, cuando éste en el piano
ejecutó un pronunciado cedendo no indicado en la partitura de uno de los Quattro
Pezzi Sacri del propio Verdi: “Non possiamo scrivere tutto, dettagliare tutto...”.
Símbolos e indicaciones dinámicas ( o matiz) típicas con que uno se encuentra en una
partitura, son las siguientes junto con su intensidade en decibelios:
CLASIFICACIÓN DE LA INTENSIDAD
DE LOS SONIDOS EN LAS
PARTITURAS MUSICALES
pp – pianissimo (Muy suave)
p – piano (Suave)
mp – mezzopiano (Medio Suave)
mf – mezzoforte (Medio fuerte)
f – forte (Fuerte)
ff – fortissimo (Muy fuerte)
INTENSIDAD DE
SONIDO EN
DECIBELES (dB)
40
50
60
70
80
90 - 100
Pero, ¿ qué signifcan realmente estos símbolos?. ¿ Será posible que un músico pueda
cabalmente respetarlos ?. Para poder responder a esta interrogante se solicitó a
algunos músicos de una orquesta que ejecutaran dos veces con una intensidad lo más
pareja posible, la escala cromática, o sea todas las notas en forma sucesiva, la
primera vez, tocando pianísimo, o sea, con la menor intensidad posible, y una segunda
vez, tocando fortísimo o sea, lo más fuerte posible. Al realizarse este experimento,
otros músicos presentes en la sala que escucharon las escalas cromáticas de sus
colegas coincidieron en señnalar que éstas habían sido ejecutadas uniformemente. Sin
embargo, las mediciones mostraron que la dispersión en la intensidad con que los
músicos realmente ejecutaron las escalas cromáticas es enorme. Para el fagot esta
dispersión es de unos ±4 dB, para la flauta dulce la dispersión es mucho mayor. Esta
dispersión tiene diversos orígenes: imperfecciones del instrumento, fenómenos de
resonancia, imposibilidad del músico para controlar sus músculos con mayor precisión.
A ello se agrega también el que el ejecutante no escucha exactamente lo mismo que
escucha el auditorio. A pesar de la dispersión, lo importante del experimento, para
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la apreciación musical, es que las escalas cromáticas dejaron en los oyentes la
sensación de que habían sido ejecutadas en forma pareja. Es decir, el oído humano no
es capaz de percibir esta irregularidad en la intensidad del sonido, o al menos,al
oyente no le molesta.
Resumiendo: notas distintas, ejecutadas en sucesión y con una dispersión no mayor
que ±5 dB, parecen tener todas la misma intensidad para el oído humano.
Empíricamente se comprueba que sólo cuando se tocan varias notas con una
intensidad lo más pareja posible, y luego otro conjunto de notas con una intensidad
promedio 5 dB mayor, quien escucha notará que ha habido un aumento de la
intensidad.
De lo anterior se concluye que para distinguir un mf de un f, las intensidades de sus
sonidos deberán diferir en al menos 5 dB. Por lo tanto, para que con un instrumento
musical se puedan interpretar todos los matices dinámicos entre el pianísimo y el
fortísimo, cada nota debe poder ejecutarse con una intensidad mínima y una máxima
que difieran por lo menos en 25 dB, Este requerimiento no es fácil de lograr en la
mayoría de los instrumentos musicales, aun cuando ellos sean ejecutados por músicos
profesionales
Los rangos dinámicos típicos que un músico aficionado puede lograr con su
instrumento al tocar una secuencia de notas distintas, se presentan en la siguiente
tabla, mostrándose también la dispersión en la intensidad típica de una escala
cromática ejecutada lo más pareja posible.
Instrumento
Violín
Viola
Violoncelo
Contrabajo
Flauta traversa
Oboe
Fagot
Corno
Trompeta
Tuba
Clarinete
Flauta dulce
Rango dinámico dB
15
17
15
15
10
10
20
20
10
15
10
7
Dispersión dB
2,5
2,5
3,5
4
3
1,5
3
4
1,5
1,5
3
irregular
En la tabla siguiente, se muestra la intensidad típica ( en dB) que un músico
profesional puede lograr ( usando su voz o instrumentos de calidad) para sonidos
individuales correspondientes al registro grave y al registro agudo. Los resultados se
muestran para sonidos pianísimos (pp) y fortísimos (ff).
Es importante hacer notar, sin embargo, que los grandes intérpretes y los músicos
entrenados para generar un rango dinámico lo más amplio posible son capaces de
obtener resultados mejores que los mencionados.
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Fuente de sonido
Voz soprano
Voz alto
Voz tenor
Voz bajo
Violín
Viola
Violoncelo
Contrabajo
Flauta traversa
Clarinete
Oboe
Fagot
Corno
Trompeta
Tromb_on
Tuba
Guitarra
Piano
Reg. grave
Reg. agudo
pp
ff
pp
ff
35
58
42
48
42
42
32
42
45
42
65
52
40
46
42
53
30
50
70
63
72
72
72
72
72
82
72
85
80
78
70
82
82
81
65
85
84
88
70
73
46
46
45
50
75
68
68
62
70
82
74
70
35
45
90
98
92
93
68
68
68
70
85
88
88
85
100
90
106
100
65
80
El famoso violinista Isaac Stern fue capaz, durante la ejecución del concierto para
violín de Beethoven, de hacer sonar su instrumento con un rango dinámico de
alrededor de 50 dB , siendo la energía irradiada por su pianísimo 100.000 veces
menor que la de su fortísimo.
CUESTIÓN 5ª. Comentar el parrafo anterior.
Las variaciones dinámicas en la interpretación de una obra musical son importantes
para el impacto emocional inducido en los oyentes. Las grabaciones de conciertos en
los discos no reproducen, generalmente, el enorme rango dinámico que usualmente
escuchamos en una sala de conciertos. Los ingenieros de sonido frecuentemente
retocan las grabaciones de un concierto, aumentando la intensidad del sonido en los
pasajes pianísimos y disminuyendo, para no saturar los equipos de reproducción, su
intensidad en los fortísimos y, por consiguiente, un aparato reproductor de sonido no
puede otorgar los deleites de un concierto en vivo.
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