4.3 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD de

cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Electrónica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Control Robusto de Motores de Corriente Directa
Utilizando Modos Deslizantes
Presentada por
Francisco Alegría Zamudio
Ing. En Electrónica por el I. T. de Minatitlán
Como requisito para la obtención del grado de:
Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica
Director de tesis:
Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez
Cuernavaca, Morelos, México.
7 de Diciembre de 2007
cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Electrónica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Control Robusto de Motores de Corriente Directa
Utilizando Modos Deslizantes
Presentada por
Francisco Alegría Zamudio
Ing. En Electrónica por el I. T. de Minatitlán
Como requisito para la obtención del grado de:
Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica
Director de tesis:
Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez
Jurado:
Dr. Marco Antonio Oliver Salazar - Presidente
Dr. Carlos Daniel García Beltrán - Secretario
Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez - Vocal
Cuernavaca, Morelos, México.
7 de Diciembre de 2007
Dedicatoria
A Dios porque sin su iluminación quien sabe que sería de mí.
A mis padres por el ejemplo de vida que me han dado y enseñarme que
con fuerza de voluntad y perseverancia todo en está vida es posible como
ejemplo, véanme a mí.
Toña y Alegría
A mis Abuelitos a ellos solo puedo decirles que los llevo en el corazón,
a Mi Abue Minerva le doy las gracias por soportarme y por todo lo que ha
hecho por mi, Mi Abuelo Wili y Mi Abuela Galdina quiero que sepan que
aunque ya no estén físicamente conmigo siempre voy a tener presente el
cariño y apoyo que me dejaron. Por ustedes Abues.
Minerva, Wilehaldo y Galdina
A mis carnales el negro, el enano y monty, por ser una piedra en el
zapato tan a todo dar y por el apoyo que me han brindado sin merecerlo.
Fer, Andrés y Montse
Agradezco
A Dios por haberme permitido terminar satisfactoriamente este trabajo.
A mis padres por su cariño, apoyo y consejos que me han dado a lo
largo de mi corta vida.
A mi abuelita Minerva Rosario Soto, por cuidarme cuando era pequeño
y por soportar mis muchas travesuras.
A mi abuelita Galdina Radilla Bataz, porque me enseño los valores más
puros y nobles que existen en el mundo.
A mi abuelito Wilehaldo Zamudio Garnica, por ser cómplice de mis
tantas travesuras y enseñarme el lado divertido de la vida sin descuidar las
responsabilidades que uno tiene.
A mis hermanos Nando, Andrés y Montse, por ser mis compañeros de
casa, travesuras, juegos y principalmente de vida.
A mi tío Carlos por todo el apoyo y consejos que me ha brindado toda
mi vida.
A mi asesor Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez por el apoyo y los
consejos que me dio durante la realización de la tesis sin los cuales no podría
haber terminado.
A la banda OH’S del Tec de Mina: Coco, Nariz Green, Chancaste,
Niño, Padre Amaro, Mr. Wawis, Ostión, gracias por dejarme ser un miembro
distinguido de la banda más grande y sobre todo un amigo.
A mis cuates y amigos: Princes, Mojo, Toy, Gracia, Chimpa, Cheva,
Aldo, Flor, Benedicto, Chocotorro, Dana, Isaura, Pipo, Nachho, Chupis,
Chaca, Ovando, Jo, Chiquión, gracias por hacerme la estancia más placentera
y gracias a su amistad me motivaron a seguir adelante.
Al CENIDET por permitirme crecer profesionalmente y a todo el
personal que labora en el centro, por todas las atenciones prestadas durante mi
estancia.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por el apoyo brindado
durante el desarrollo de está maestría.
A la Dirección General de Educación Superior Tecnológica por la
ayuda que me brindaron durante la maestría.
Resumen
Gracias a sus buenas características operacionales y a que sus leyes de control son
fácilmente implementadas en sistemas de control digital; el control robusto es cada día más
usado tanto en el sector industrial como el académico; su finalidad es la de hacer al sistema
robusto a perturbaciones desconocidas e insensible a las incertidumbres paramétricas en el
modelo del sistema.
Debido a su construcción física los Motores de Corriente Directa (CD) son
propensos a sufrir variaciones en los parámetros de la máquina aunado a que por lo general
los ambientes en donde están operando y a los procesos donde se les aplican son sensibles a
que se puedan presentar perturbaciones en la carga de la máquina.
Los disturbios e incertidumbres antes mencionadas en los motores de CD pueden
producir desde una demora en el tiempo de manufactura, una reducción en la calidad del
producto, pérdidas económicas considerables, daños en la misma máquina y hasta
desgracias personales, es por eso que surge la necesidad de aplicar técnicas de control
robusto al control de máquinas eléctricas.
En este trabajo se desarrolla la aplicación de la técnica de control robusto llamada
Control por Modos Deslizantes en los motores de CD con el fin de hacer frente a las
variaciones paramétricas inherentes en los devanados de los motores y perturbaciones que
se presenten en la carga de las máquinas.
La existencia del modo deslizante se garantiza a partir de la derivada de la función
candidata de Lyapunov. Las incertidumbres y perturbaciones que se consideran en este
trabajo son señales aditivas que representan incertidumbres en los devanados del motor y
perturbaciones en el par de carga del motor, los resultados se obtuvieron tanto en
simulación como en implementación.
Abstract
Thanks to their good operational characteristic and that their control laws are easily
implemented in systems of digital control; the robust control is every day more used so in
the industrial sector as the academic; it's purpose is the of making to the robust system to
unknown perturbation and insensitive to parametric uncertainties in model system.
Due to their physical construction the Motors of Direct Current (CD) they are prone
to suffer variations in the parameters of the machine, joined to that in general the
atmospheres where are operating and to the processes where are applied they are sensitive
to that perturbation can be presented in the load of the machine.
The disturbances and uncertainties before mentioned in the motors of CD can take
place from a delay in the time of factory, a reduction in the quality of the product,
considerable economic losses, damages in the same machine and until personal
misfortunes, it is for that reason that the necessity arises of applying technical of robust
control to the control of electric machines.
In this work the application of the technique of control robust is developed called
Control Sliding Mode Control in the motors of CD with the purpose of making in front of
the inherent parametric variations in those windings of the motors and perturbation that are
presented in the load of the machines.
The existence of sliding mode is guaranteed starting from to derive of the function
candidate of Lyapunov. The disturbances and uncertainties that were considered in this
work are signs additive that represent uncertainties in those reeled of the motor and
perturbations in torque of load of the motor, the results were obtained so in simulation as in
implementation.
Índice general
LISTAS DE FIGURAS ....................................................................................................... V
LISTA DE TABLAS.......................................................................................................... XI
NOTACIÓN .................................................................................................................... XIII
1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................1
1.1 Antecedentes................................................................................................................. 2
1.2 Ubicación del problema................................................................................................ 3
1.3 Planteamiento del problema ........................................................................................ 4
1.4 Propuesta de solución ................................................................................................... 5
1.5 Objetivos generales y particulares................................................................................ 5
1.5.1 Alcances ................................................................................................................ 5
1.5.2 Limitaciones .......................................................................................................... 6
1.5.3 Aportación ............................................................................................................. 6
1.6 Generalidades del Control por Estructura Variable...................................................... 6
1.6.1 Tipos de VSC ........................................................................................................ 7
1.6.2 Modos Deslizantes................................................................................................ 7
1.7 Metodología.................................................................................................................. 9
1.8 Organización del documento ...................................................................................... 10
2 MOTORES DE CORRIENTE DIRECTA (CD) ..........................................................11
2.1 Introducción a los motores de Corriente Directa (CD) ............................................. 11
2.2 Construcción de las máquinas de CD ......................................................................... 13
2.2.1 Aspectos constructivos de las máquinas de CD .................................................. 14
2.3 Fundamentos del motor de corriente directa .............................................................. 15
2.3.1 Principio de funcionamiento de un motor de CD................................................ 16
2.3.2 Par inducido en la espira rotatoria ....................................................................... 16
2.4 Modelado de la Máquina de CD................................................................................ 19
2.5 Tipos de máquinas de CD.......................................................................................... 21
2.5.1 Máquina de CD de excitación separada. ............................................................. 21
2.5.2 Máquina de CD de imán permanente .................................................................. 24
2.5.3 Máquina de CD en derivación. .......................................................................... 26
2.5.4 Máquina de CD en serie. .................................................................................... 30
2.5.5 Máquina de CD Compuesta Acumulativa. ........................................................ 33
3 MODOS DESLIZANTES ...............................................................................................37
3.1 Estado del arte ............................................................................................................ 37
3.2 Introducción a los modos deslizantes ......................................................................... 40
3.3 Modos deslizantes en sistemas relevadores y de estructura variable ........................ 41
3.4 Descripción del modo deslizante................................................................................ 46
3.5 Superficie deslizante................................................................................................... 47
3.6 Método de control equivalente .................................................................................. 48
3.6.1 Dinámica del modo deslizante ideal.................................................................... 48
3.6.2 Existencia del control equivalente....................................................................... 50
3.6.2.1 Condición necesaria para la existencia del modo deslizante....................... 50
I
II
Índice general
3.6.2.2 Condición necesaria y suficiente para la existencia de un régimen deslizante
.................................................................................................................................. 51
3.7 Perturbaciones en el sistema de modos deslizantes.................................................... 51
3.7.1 Robustez del régimen deslizante ........................................................................ 51
3.7.2 Robustez de la dinámica de modo deslizante ...................................................... 52
4 DISEÑOS DE LOS CONTROLADORES ....................................................................55
4.1 Algoritmo para el diseño de los controladores ........................................................... 55
4.2 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD de Excitación Separada ............... 57
4.2.1 Control de velocidad............................................................................................ 58
4.2.2 Control de posición.............................................................................................. 59
4.3 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD de Imán Permanente ................... 60
4.3.1 Control de velocidad............................................................................................ 61
4.3.2 Control de posición.............................................................................................. 62
4.4 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD en Derivación ............................. 63
4.4.1 Control de velocidad............................................................................................ 64
4.4.2 Control de posición.............................................................................................. 65
4.5 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Serie............................................. 67
4.5.1 Control de velocidad............................................................................................ 67
4.5.2 Control de posición.............................................................................................. 68
4.6 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Compuesto Acumulativo............ 70
4.6.1 Control de velocidad............................................................................................ 71
4.6.2 Control de posición.............................................................................................. 72
4.7 Control PID del Motor de CD en Derivación............................................................. 74
4.7.1 Control de Velocidad........................................................................................... 75
4.7.2 Control de Posición ............................................................................................. 76
5 RESULTADOS DE SIMULACIÓN ..............................................................................77
5.1 Análisis de resultados ................................................................................................. 77
5.2 Control de Velocidad.................................................................................................. 79
5.2.1 Control PID ......................................................................................................... 79
5.2.2. Control por modos deslizantes ........................................................................... 82
5.2.3 Comparación del control PID con el Control por Modos Deslizantes ................ 84
5.3 Control de Posición .................................................................................................... 87
5.3.1 Control PID ......................................................................................................... 87
5.3.2 Control por modos deslizantes ............................................................................ 90
5.3.3 Comparación del control PID contra el control por Modos deslizantes.............. 92
6 IMPLEMENTACIÓN.....................................................................................................97
6.1 Estructura de la implementación ................................................................................ 97
6.2 Motor de CD............................................................................................................... 98
6.3 Acondicionamiento de señales ................................................................................. 101
6.4 Etapa de potencia...................................................................................................... 105
6.5 Tarjeta de adquisición............................................................................................... 106
6.6 Diseño del control..................................................................................................... 107
6.7 Resultados obtenidos en la implementación............................................................. 108
7 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS...........................................................119
7.1 Conclusiones............................................................................................................. 119
7.2 Trabajos futuros........................................................................................................ 121
BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................................................123
Índice general
III
ANEXO A..........................................................................................................................127
A.1. Máquina de CD de excitación separada.................................................................. 127
A.2. Máquina de CD de imán permanente ..................................................................... 129
A.3. Máquina de CD en derivación ................................................................................ 131
A.4 Máquina de CD en serie .......................................................................................... 134
A.5 Máquina de CD compuesta acumulativa ................................................................. 135
ANEXO B ..........................................................................................................................139
B.1. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD de Excitación
Separada.......................................................................................................................... 139
B.2. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD de Imán
Permanente. .................................................................................................................... 142
B.3. Desarrollo de las ecuaciones para el control del motor de CD en derivación. ....... 146
B.4. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Serie................ 150
B.5. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD Compuesto
Acumulativo. .................................................................................................................. 155
Anexo C .............................................................................................................................163
C.1. Resultados del Control del Motor de CD de Excitación Separada ......................... 163
C.1.1 Control de velocidad ......................................................................................... 163
C.1.2 Control de posición........................................................................................... 169
C.2. Resultados del Control del Motor de CD de Imán Permanente.............................. 175
C.2.1. Control de velocidad ........................................................................................ 175
C.2.2. Control de posición .......................................................................................... 181
C.3. Resultados del Control del Motor de CD en Serie.................................................. 187
C.3.1 Control de velocidad ......................................................................................... 187
C.3.2. Control de posición .......................................................................................... 194
C.4 Resultados del Control del Motor CD Compuesto Acumulativo ............................ 200
C.4.1 Control de velocidad ......................................................................................... 200
C.4.2. Control de posición .......................................................................................... 206
ANEXO D..........................................................................................................................213
D.1. Tarjeta Sensoray 626 .............................................................................................. 213
IV
Índice general
Listas de Figuras
Figura 1.1. VSC con cambio de retroalimentación. ............................................................... 7
Figura 1.2. VSC con cambio de excitación ............................................................................ 7
Figura 1.3. Superficie de deslizamiento ................................................................................. 8
Figura 2.1. Diagrama simplificado de la máquina de CD. ................................................... 13
Figura 2.2. Aspectos constructivos de una máquina de CD ................................................. 15
Figura 2.3. Lazo sencillo rotacional entre caras polares curvas; a) Vistas en perspectiva; b)
vista de las líneas de campo; c) Vista superior; d) Vista frontal. ......................................... 16
Figura 2.4. Deducción de una ecuación para el par inducido en la espira............................ 17
Figura 2.5. Circuito equivalente de la máquina de CD ....................................................... 19
Figura 2.6. Circuito equivalente de una máquina de excitación separada............................ 22
Figura 2.7. Respuestas dinámicas del motor de excitación separada en lazo abierto........... 23
Figura 2.8. Respuesta del motor de excitación separada ante variaciones en la carga......... 24
Figura 2.9. Respuesta en lazo abierto del motor de imán permanente ................................. 26
Figura 2.10. Respuesta de la máquina de CD de imán permanente ..................................... 26
Figura 2.11. Circuito equivalente de la máquina de CD en derivación................................ 27
Figura 2.12. Curva característica par-velocidad en estado estacionario del motor de CD... 28
Figura 2.13. Respuestas dinámicas del motor de excitación separada en lazo abierto......... 29
Figura 2.14. Respuesta en lazo abierto del motor en derivación.......................................... 30
Figura 2.15. Circuito equivalente de la máquina de CD en serie ......................................... 30
Figura 2.16. Curva característica par-velocidad del motor de CD serie............................... 32
Figura 2. 17. Respuesta del motor de CD en serie ante un aumento de carga...................... 33
Figura 2.18. Respuesta del motor del motor de CD serie operado sin carga........................ 33
Figura 2.19. Circuito equivalente de la Máquina de CD compuesta.................................... 34
Figura 2.20. Característica par-velocidad de la máquina de CD compuesta acumulativa ... 36
Figura 2.21. Respuesta de la máquina de CD ante cambios en el par de carga.................... 36
Figura 3.1. Aplicaciones del Control por Modos Deslizantes.............................................. 40
Figura 3.2. Control relevador ............................................................................................... 41
Figura 3.3. Plano de estados del sistema relevador de segundo orden................................. 42
Figura 3.4. Problema del chattering ..................................................................................... 42
Figura 3.5. Aproximación continúa de un control discontinuo ............................................ 43
Figura 3.6. Sistema de estructura variable compuesto de dos subsistemas inestables ......... 44
Figura 3.7. Plano de estado del sistema de estructura variable: s = 0, x + cx = 0 ................ 44
Figura 3.8. Dinámica del modo deslizante ideal. Interpretación geométrica del operador F.
.............................................................................................................................................. 49
Figura 3.9. Interpretación geométrica del efecto de una perturbación tangente a S sobre la
dinámica en modo deslizante................................................................................................ 53
Figura 3.10. Interpretación geométrica del efecto de una perturbación colineal a g sobre la
existencia del modo deslizante. ............................................................................................ 54
V
VI
Lista de figuras
Figura 4.1. Control de seguimiento modo deslizante ........................................................... 56
Figura 4.2. Respuesta oscilatoria de velocidad del motor de CD en derivación para la
Ku=45................................................................................................................................... 75
Figura 4.3. Respuesta oscilatoria de posición del motor de CD en derivación para la Ku=2
.............................................................................................................................................. 76
Figura 5.1.Perfiles de velocidad y posición para el seguimiento de trayectoria; a) Señal
seno, b) Onda cuadrada, c) Señal trapezoidal, d) Escalón e) Señal rampa más constante. . 78
Figura 5.2. Respuesta del perfil uno para el control PID ..................................................... 79
Figura 5.3. Respuesta del perfil dos para el control PID...................................................... 80
Figura 5.4. Respuesta del perfil tres para el control PID...................................................... 80
Figura 5.5. Respuesta del perfil cuatro para el control PID ................................................. 81
Figura 5.6. Respuesta del perfil cinco para el control PID................................................... 81
Figura 5.7. Respuesta del perfil uno para el control SMC ................................................... 82
Figura 5.8. Respuesta del perfil dos para el control SMC.................................................... 82
Figura 5.9. Respuesta del perfil tres para el control SMC.................................................... 83
Figura 5.10. Respuesta del perfil cuatro para el control SMC ............................................. 83
Figura 5.11. Respuesta del perfil cinco para el control SMC............................................... 84
Figura 5.12. Respuestas de los controladores PID y SMC para perturbaciones en el par de
carga...................................................................................................................................... 85
Figura 5.13. Respuestas de los controladores PID y SMC para variaciones en LFF. ........... 86
Figura 5.14. Respuesta del perfil uno para el control PID ................................................... 87
Figura 5.15. Respuesta del perfil dos para el control PID.................................................... 88
Figura 5.16. Respuesta del perfil tres para el control PID.................................................... 88
Figura 5.17. Respuesta del perfil cuatro para el control PID ............................................... 89
Figura 5.18. Respuesta del perfil cinco para el control PID................................................. 89
Figura 5.19. Respuesta del perfil uno para el control SMC ................................................. 90
Figura 5.20. Respuesta del perfil dos para el control SMC.................................................. 90
Figura 5.21. Respuesta del perfil tres para el control SMC.................................................. 91
Figura 5.22. Respuesta del perfil cuatro para el control SMC ............................................. 91
Figura 5.23. Respuesta del perfil cinco para el control SMC............................................... 92
Figura 5. 24. Respuestas de los controladores PID y SMC para perturbaciones en el par de
carga...................................................................................................................................... 93
Figura 5. 25. Respuestas de los controladores PID y SMC para variaciones en LFF. .......... 94
Figura 6.1. Diagrama a bloques de la implementación del control por modos deslizantes.. 98
Figura 6.2. Diagrama eléctrico del motor de CD Baldor...................................................... 99
Figura 6.3. Conexión en derivación del motor de CD Baldor.............................................. 99
Figura 6.4. Circuito equivalente de la máquina de CD en derivación.................................. 99
Figura 6.5. Simulación en lazo abierto del motor de CD Baldor conexión en derivación. 101
Figura 6.6. Simulación en lazo abierto del motor de CD Baldor ante perturbaciones de la
carga.................................................................................................................................... 101
Figura 6.7. Fotografía del encoder utilizado para la medición de velocidad...................... 102
Figura 6.8. Diagrama en Simulink para la medición de velocidad..................................... 103
Figura 6.9. Diagrama en Simulink del subsistema tacómetro ............................................ 103
Figura 6.10. Velocidad del motor expresada en voltaje ..................................................... 103
Figura 6.11. Comportamiento de la velocidad en lazo abierto........................................... 104
Figura 6.12. Fotografía de la celda de carga utilizada para la medición del par ................ 104
Lista de figuras
VII
Figura 6.13. Conexión eléctrica de la etapa de potencia del control .................................. 105
Figura 6.14. Fotografía de la etapa de potencia del control ............................................... 106
Figura 6.15. Programa en Matlab-Simulink del control por modos deslizantes ................ 108
Figura 6.16. Fotografía del sistema completo ................................................................... 108
Figura 6.17. Respuesta de la velocidad para el primer perfil. ............................................ 109
Figura 6.18. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil uno................................... 110
Figura 6.19. Respuesta de la velocidad ante el segundo perfil de velocidad. .................... 110
Figura 6.20. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil dos .................................. 111
Figura 6.21. Respuesta de la velocidad ante el tercer perfil de velocidad.......................... 111
Figura 6.22. Error de seguimiento para el tercer perfil de velocidad. ................................ 111
Figura 6.23. Respuesta de la velocidad ante el cuatro perfil de velocidad......................... 112
Figura 6.24. Error de seguimiento para el cuarto perfil de velocidad. ............................... 112
Figura 6.25. Respuesta de la velocidad ante el quinto perfil de velocidad. ....................... 113
Figura 6. 26. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil cinco. .............................. 113
Figura 6.27. Respuesta de la velocidad par una perturbación de 1.2 Nm. ......................... 114
Figura 6.28. Respuesta de la velocidad ante una perturbación en el par de carga de 5.6 Nm.
............................................................................................................................................ 115
Figura 6.29. Respuesta de la velocidad para un aumento de carga de 9.1 Nm. ................. 115
Figura 6.30. Respuesta de la velocidad para un aumento en el par de carga de 54.2 Nm.. 116
Figura 6.31. a) Respuesta de la velocidad del motor en lazo abierto a un voltaje fijo de 20
volts, b) ampliación de la gráfica de la velocidad para ver la variación de la velocidad
medida. ............................................................................................................................... 117
Figura 7.1. Estructura del control por modos deslizantes................................................... 121
Figura A1.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de 200 HP de
excitada separada................................................................................................................ 128
Figura A2.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD de imán
permanente.......................................................................................................................... 130
Figura A3.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD en derivación
de 5HP ................................................................................................................................ 132
Figura A4.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD en serie.... 135
Figura A5.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD compuesta
acumulativa......................................................................................................................... 138
Figura C1.1. Respuesta del sistema para el perfil uno........................................................ 163
Figura C1.2. Respuesta del sistema para el perfil dos ........................................................ 163
Figura C1.3. Respuesta del sistema para el perfil tres........................................................ 164
Figura C1.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................... 164
Figura C1.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco..................................................... 164
Figura C1.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par
de carga............................................................................................................................... 165
Figura C1.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par
de carga............................................................................................................................... 166
VIII
Lista de figuras
Figura C1.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par
de carga............................................................................................................................... 166
Figura C1.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par
de carga............................................................................................................................... 166
Figura C1.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 167
Figura C1.11. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 168
Figura C1.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 168
Figura C1.13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %........................ 168
Figura C1.14. Respuesta del sistema para el perfil uno...................................................... 169
Figura C1.15. Respuesta del sistema para el perfil dos ...................................................... 170
Figura C1.16. Respuesta del sistema para el perfil tres...................................................... 170
Figura C1.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................. 170
Figura C1.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco................................................... 171
Figura C1.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par
de carga............................................................................................................................... 172
Figura C1.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par
de carga............................................................................................................................... 172
Figura C1.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el
par de carga......................................................................................................................... 172
Figura C1.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el
par de carga......................................................................................................................... 173
Figura C1.23. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 174
Figura C1.24. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 174
Figura C1. 25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%........................ 174
Figura C1. 26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %....................... 175
Figura C2.1. Respuesta del sistema para el perfil uno........................................................ 176
Figura C2.2. Respuesta del sistema para el perfil dos ........................................................ 176
Figura C2.3. Respuesta del sistema para el perfil tres........................................................ 176
Figura C2.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................... 177
Figura C2.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco..................................................... 177
Figura C2.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par
de carga............................................................................................................................... 178
Figura C2.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par
de carga............................................................................................................................... 178
Figura C2.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par
de carga............................................................................................................................... 178
Figura C2.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par
de carga............................................................................................................................... 179
Figura C2. 10. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 25%. .......................... 180
Figura C2.11. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 50%. ........................... 180
Figura C2.12. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -25%........................ 180
Figura C2.13. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -50 %....................... 181
Figura C2.14. Respuesta del sistema para el perfil uno...................................................... 182
Figura C2.15. Respuesta del sistema para el perfil dos ...................................................... 182
Figura C2.16. Respuesta del sistema para el perfil tres...................................................... 182
Figura C2.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................. 183
Figura C2.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco................................................... 183
Lista de figuras
IX
Figura C2.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par
de carga............................................................................................................................... 184
Figura C2.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par
de carga............................................................................................................................... 184
Figura C2.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el
par de carga......................................................................................................................... 184
Figura C2.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el
par de carga......................................................................................................................... 185
Figura C2.23. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 25%. ........................... 186
Figura C2.24. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 50%. ........................... 186
Figura C2.25. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -25%........................ 186
Figura C2.26. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -50 %....................... 187
Figura C3.1. Respuesta del sistema para el perfil uno........................................................ 188
Figura C3.2. Respuesta del sistema para el perfil dos ........................................................ 188
Figura C3.3. Respuesta del sistema para el perfil tres........................................................ 188
Figura C3.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................... 189
Figura C3.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco..................................................... 189
Figura C3.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par
de carga............................................................................................................................... 190
Figura C3.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par
de carga............................................................................................................................... 190
Figura C3.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par
de carga............................................................................................................................... 191
Figura C3.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par
de carga............................................................................................................................... 191
Figura C3.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 192
Figura C3.11. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 192
Figura C3.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 193
Figura C3.13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %........................ 193
Figura C3.14. Respuesta del sistema para el perfil uno...................................................... 194
Figura C3.15. Respuesta del sistema para el perfil dos ...................................................... 194
Figura C3.16. Respuesta del sistema para el perfil tres...................................................... 195
Figura C3.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................. 195
Figura C3.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco................................................... 195
Figura C3.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par
de carga............................................................................................................................... 196
Figura C3.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par
de carga............................................................................................................................... 196
Figura C3.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el
par de carga......................................................................................................................... 197
Figura C3.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el
par de carga......................................................................................................................... 197
Figura C3.23. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 198
Figura C3.24. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 198
Figura C3.25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 199
Figura C3.26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %........................ 199
X
Lista de figuras
Figura C4.1. Respuesta del sistema para el perfil uno........................................................ 200
Figura C4.2. Respuesta del sistema para el perfil dos ........................................................ 200
Figura C4.3. Respuesta del sistema para el perfil tres........................................................ 201
Figura C4.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................... 201
Figura C4.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco..................................................... 201
Figura C4.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par
de carga............................................................................................................................... 202
Figura C4.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par
de carga............................................................................................................................... 202
Figura C4.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par
de carga............................................................................................................................... 203
Figura C4.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par
de carga............................................................................................................................... 203
Figura C4.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 204
Figura C4.11. Respuesta del sistema para un aumento en Lff del 50%. ............................ 204
Figura C4.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 205
Figura C4. 13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %....................... 205
Figura C4.14. Respuesta del sistema para el perfil uno...................................................... 206
Figura C4.15. Respuesta del sistema para el perfil dos ...................................................... 206
Figura C4.16. Respuesta del sistema para el perfil tres...................................................... 207
Figura C4.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro.................................................. 207
Figura C4.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco................................................... 207
Figura C4.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par
de carga............................................................................................................................... 208
Figura C4.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par
de carga............................................................................................................................... 209
Figura C4.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el
par de carga......................................................................................................................... 209
Figura C4.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el
par de carga......................................................................................................................... 209
Figura C4.23. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%............................. 210
Figura C4.24. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%............................. 211
Figura C4.25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%......................... 211
Figura C4.26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %........................ 211
Figura D1.1 Menú de la opción Real-Time Windows Target de Simulink........................ 213
Figura D1.2. Ejemplo de como seleccionar el bloque para la adquisición de datos. ......... 213
Figura D1.3. Menú del bloque entrada analógica............................................................... 214
Figura D1.4.Ventana de los parámetros del bloque. .......................................................... 214
Figura D1.5. Ventana de los parámetros del bloque........................................................... 215
Figura D1.6.Ventana del bloque de parámetros. ................................................................ 215
Lista de Tablas
Tabla 4.1. Parámetros del PID según el método de respuesta en frecuencia de ZieglerNichols.................................................................................................................................. 75
Tabla 5.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad ......................... 82
Tabla 5.2. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad ......................... 84
Tabla 5.3. Índices de desempeño para SMC y PID para perturbaciones en el par de carga 85
Tabla 5.4. Índices de desempeño para SMC y PID para variaciones en LFF ....................... 86
Tabla 5. 5. Índices de desempeño del PID para los perfiles de posición.............................. 89
Tabla 5.6. Índices de desempeño del SMC para los perfiles de posición............................. 92
Tabla 5. 7. Índices de desempeño para SMC y PID para perturbaciones en el par de carga93
Tabla 5.8. Índices de desempeño para SMC y PID para variaciones en LFF ........................ 94
Tabla 6. 1. Especificaciones del Motor de CD Baldor ......................................................... 98
Tabla 6.2. Parámetros del motor de CD Baldor ................................................................. 100
Tabla 6.3. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad ....................... 114
Tabla 6.4. Índices de desempeño del controlador ante perturbaciones .............................. 116
Tabla A1.1. Parámetros de simulación de máquina de CD de excitación separada........... 128
Tabla A2.1. Parámetros de simulación de máquina de CD de imán permanente .............. 130
Tabla A3.1. Parámetros de simulación de máquina de CD en derivación ........................ 133
Tabla A4.1. Parámetros de simulación de máquina de CD serie ...................................... 135
Tabla A5.1. Parámetros de simulación de máquina de CD compuesta acumulativa ......... 138
Tabla C1.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad .................... 165
Tabla C1.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 167
Tabla C1.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 169
Tabla C1.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición ...................... 171
Tabla C1.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 173
Tabla C1.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 175
Tabla C2.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad .................... 177
Tabla C2.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 179
Tabla C2. 3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LAA ....................... 181
Tabla C2.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición ...................... 183
Tabla C2.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 185
Tabla C2.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LAA ........................ 187
XI
XII
Lista de tablas
Tabla C3.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad .................... 189
Tabla C3.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 192
Tabla C3.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 194
Tabla C3.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición ...................... 196
Tabla C3.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 198
Tabla C3.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 200
Tabla C4.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad .................... 202
Tabla C4.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 204
Tabla C4.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 206
Tabla C4.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición ...................... 208
Tabla C4.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga ....................... 210
Tabla C4.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF ......................... 212
Notación
Letras mayúsculas
F
B
AP
LFF
LAA
LAF
Nf
Fuerza inducida en una espira rotatoria
Densidad de Flujo Magnético
Área de la sección transversal del núcleo
Autoinductancia de campo
Autoinductancia de armadura
Inductancia mutua entre el devanado de campo y armadura
Número de vueltas del devanado de campo
Na
Número de vueltas del devanado de armadura
Te
J
Bm
Par electromagnético de máquina
Momento de inercia del rotor
Coeficiente de amortiguamiento de parte mecánica de la máquina
TL
If
Par de carga de la máquina
Corriente de campo en estado estable
Ia
Vf
Corriente de armadura en estado estable
Voltaje de campo en estado estable
Va
Voltaje de armadura en estado estable
V fs
Voltaje del devanado de campo en serie en estado estable
Vt
I fs
Voltaje total de entrada en estado estable
Corriente del devanado de campo en serie en estado estable
LFS
Inductancia mutua entre el devanado de campo en derivación y el
devanado de campo en serie
Función candidata de Lyapunov
V ( x)
Letras minúsculas
i
l
r
vf
Corriente que circula por una espira rotatoria
Longitud de la espira rotatoria
Radio de la espira rotatoria
Voltaje de campo
va
Voltaje de armadura
XIII
XIV
Notación
rf
Resistencia de campo
ra
Resistencia de armadura
if
Corriente de campo
ia
p
Corriente de armadura
kv
v fs
Operador derivada
Constante de flujo de campo
Voltaje del devanado de campo en serie
vt
i fs
Voltaje total de entrada
Corriente del devanado de campo en serie
Letras griegas
τ
θ
φ
ωr
θr
ωr*
θ r*
Par electromagnético producido en una espira
Ángulo entre el radio y la fuerza inducida en la espira rotatoria
Flujo total
Velocidad angular del rotor
Φf
Flujo de campo por polo
σ
Función suave
Ley de control equivalente
ueq
s
e
u0
Posición angular del rotor
Velocidad angular de referencia del rotor
Posición angular de referencia del rotor
Superficie deslizante
Error de seguimiento
Ganancia de control
Caracteres especiales
ℜ
Números reales
Reluctancia
Abreviaturas
VSC Control por Estructura Variable
SMC Control por Modo Deslizante
PID Control Proporcional Integral Derivativo
Capítulo 1
Introducción
Desde que el hombre empezó a idear, maquinar y fabricar todo tipo de máquinas,
siempre ha estado en la búsqueda de lograr obtener el mejor desempeño de estás, sin
embargo esto se ve limitado debido a que las máquinas sufren fallas inherentes a ellas
mismas o por causas externas, causando con ello que la calidad del producto se degrade o
produciendo desgracias humanas.
Es por ello que se han avocado infinidad de investigadores a la búsqueda de
estrategias o alternativas para lograr que las máquinas tengan un desempeño lo más cerca
posible a lo ideal aún cuado se presenten fallas en la misma máquina.
Por lo general cuando se plantea cualquier problema de control siempre habrá
discrepancias entre el sistema real y el modelo matemático que se obtiene para diseñar los
controladores. Entre los principales factores que causan los errores en el modelado pueden
destacarse los siguientes [1]:
1. Modificaciones en el punto de trabajo de la planta con respecto al modelo (sistemas
lineales).
2. Dinámica no lineal no considerada
3. Dinámica de alta frecuencia no modelada
4. Retardos de tiempos no contemplados
5. Imprecisiones en los parámetros, debido al método de identificación y/o modelado
empleado.
Estos factores se pueden clasificar en dos grupos: las incertidumbres paramétricas
(1) y (5) e incertidumbres estructurales (2), (3) y (4). Con respecto al conocimiento
disponible sobre las causas de las incertidumbres puede distinguirse entre incertidumbre
estructurada y no estructurada [1,2].
En el caso de incertidumbre no estructurada sólo se conoce que existen
discrepancias entre el modelo y la planta real, y posiblemente puede conocerse también el
tamaño de las desviaciones de determinadas medidas de entrada o salida. Las incertidumbre
estructuradas se refiere a si se conoce de la incertidumbre que en cierta medida se debe a
algunos elementos diferenciados de la planta, en la forma de tolerancias de sus valores.
En una sociedad donde existe la necesidad de cumplir especificaciones de diseño
cada día más exigentes de tal manera que el comportamiento del sistema se mantenga
1
2
Capítulo 1. Introducción
aceptable en un ambiente real, en el que las incertidumbres van estar siempre presentes, ha
motivado al desarrollo de métodos de control más sofisticados, como el control robusto.
El control robusto se refiere al control de plantas con dinámicas y perturbaciones
desconocidas [3], el problema central que abordan los sistemas de control robusto es la
incertidumbre y como el sistema de control puede mitigar este problema.
Una aproximación concreta al diseño de control robusto es la llamada metodología
de Control por Modos Deslizantes, (Sliding Mode Control-SMC) en la cual la mayoría de
las leyes de control robusto se componen de términos que determinan las características de
la respuesta del sistema sin incertidumbres de modelado y de términos adicionales que
compensen las posibles incertidumbres de modelado.
El control por modos deslizantes consiste en el empleo de acciones de control
conmutadas o discontinuas sobre una o varias superficies de conmutación, de está manera
fuerza al sistema a anular su dinámica en lazo abierto y a seguir cierta dinámica definida de
antemano por el diseñador.
El control por modo deslizante es un tipo particular de control por estructura
variable (Variable Structure Control, VSC), el cual se caracteriza por dos o más leyes de
control y una regla de decisión. La regla de decisión se denomina función de conmutación.
Su entrada es alguna medida del comportamiento del sistema en el instante actual y su
salida es la ley de control que debería aplicarse en ese instante de tiempo.
Un sistema de estructura variable se puede entender como una combinación de
subsistemas, donde cada uno tiene una ley fija de control y es válida en determinada región
del comportamiento del sistema. Es más, el sistema se puede diseñar para que tenga nuevas
propiedades que no presenten ninguna de las estructuras componentes por sí solas.
1.1 Antecedentes
Antiguamente los motores eléctricos eran controlados manualmente [6], el control
electrónico comenzó con el surgimiento de los tubos del gas tales como tiratrón e ignitrones
en los años 30’s. La era de control moderno en el control de máquinas eléctricas inicia con
los semiconductores de potencia en los años 50’s. Subsecuentemente el progreso de la
electrónica de potencia y la microelectrónica tuvo una profunda influencia en la operación
y desarrollo en los sistemas de control, en particular de los controles para velocidad.
El control de motores eléctricos es un tema que ha adquirido gran importancia a
partir de la automatización de los procesos industriales y de la incorporación de la
electrónica de potencia en el control de máquinas eléctricas, así como la aparición de
técnicas de control más avanzadas, para aumentar la seguridad de las personas e
incrementar la productividad.
En la actualidad, gracias a los avances en materia de teoría de control, teoría de
máquinas eléctricas y de electrónica de potencia, se ha buscado que las máquinas eléctricas
1.2. Ubicación de problema
3
tengan un mejor desempeño dinámico mediante el diseño de sistemas de control más
sofisticados.
El motor de corriente directa (CD) es una alternativa a considerar en aplicaciones
donde se requiere un alto desempeño dinámico, sin embargo debido a sus restricciones
constructivas normalmente se le utilizan en rangos de potencias bajas.
En los sistemas de control convencionales se presentan algunos efectos no tan
deseables particularmente en la zona de operación del motor a baja velocidad, las causas
más comunes de los estos efectos indeseables son [3]:
Fricción
Histéresis
Zona muerta
Saturación
Por otra parte durante el modelado del motor, suelen hacerse simplificaciones de los
retardos más pequeños, tanto las no linealidades como la dinámica no modelada hacen
sentir sus efectos durante la implementación de los diseños, en los que la estrategia de
control se ha basado en un modelo simplificado [3].
Es conveniente replantear los métodos existentes sobre el estudio de las máquinas
eléctricas, ya que no basta el estudio de las máquinas sólo en régimen permanente para
conocer con precisión el comportamiento de tales, entonces resulta necesario el análisis
dinámico completo (transitorio y estado estacionario) de la máquina, y más cuando se
piensan realizar diseños de accionadores eléctricos capaces de lograr un control preciso de
la posición, velocidad o par de los motores eléctricos.
1.2 Ubicación del problema
Los primeros sistemas de potencia en los Estados Unidos fueron de corriente directa
pero, hacia los años de 1890, los sistemas de potencia de corriente alterna fueron
desplazando a los sistemas de corriente directa. A pesar de este hecho, los motores de
corriente directa continuaron siendo una fracción importante de la maquinaria comprada
cada año hasta los años 60’s, esta fracción disminuyó en los últimos 30 años [4].
Existieron grandes razones para la popularidad prolongada de los motores de
corriente directa, una fue que los sistemas de potencia de corriente directa son comúnmente
utilizados aún en automóviles, aviones, camiones, etc.
Los motores de corriente directa también se aplicaban cuando se requerían amplias
variaciones de velocidad. Antes de la amplia difusión del uso de inversores y rectificadores
de potencia electrónicos, los motores de corriente directa no fueron igualados en
aplicaciones de control de velocidad. Aunque no se tuvieran fuentes de potencia de
corriente directa, los rectificadores de estado sólido y los circuitos recortadores fueron
usados para crear la potencia necesaria; donde los motores de corriente directa se utilizaron
para proveer el control de velocidad deseado. Hoy en día los motores de inducción son
4
Capítulo 1. Introducción
preferidos, con controladores de estado sólido para la mayoría de las aplicaciones de
control de velocidad, sin embargo, hay aplicaciones donde se prefieren los motores de
corriente directa [4].
Los motores de CD son utilizados extensivamente en diversas aplicaciones
industriales, como actuadores en sistemas de control de posición, tales como robots
industriales, máquinas herramientas de control numérico, sistemas de posicionamiento de
radares, antenas, etc[5].
Si se consideran las múltiples aplicaciones que tienen los motores eléctricos, tanto
en el hogar, como en la oficina, se encontrará que los motores de corriente directa se
utilizan con pequeñas potencias, en gran variedad de casos, por ejemplo en: juguetes,
aparatos del hogar (licuadoras, batidoras, cuchillos eléctricos, extractores, etcétera);
equipos de oficina y cómputo (maquinas de escribir, impresoras de carro y láser,
manejadores de disco para computadoras personales, etcétera). Otros usos se tienen en
medicina y equipos dentales.
En aplicaciones de alto rendimiento para el accionamiento de motores, por ejemplo,
en el área de la robótica, máquinas y herramientas, talleres de laminación, se requiere que
los sistemas de accionamiento puedan proporcionar una respuesta dinámica rápida, que el
control sea insensible a los cambios de parámetros y que tenga una rápida recuperación
de la disminución de la velocidad causada por el impacto de la carga. Controladores
lineales convencionales (PI, PID) no pueden alcanzar estos requerimientos
simultáneamente [6]. Por lo que resulta conveniente aplicar las nuevas metodologías de
diseño de controladores a las máquinas eléctricas, en nuestro caso particular al motor de
CD, con la finalidad de poder controlar con precisión el motor ante cualquier condición de
operación.
1.3 Planteamiento del problema
Los motores de corriente directa son dispositivos electromecánicos ampliamente
utilizados en procesos industriales de diferentes manufacturas, al igual que el hogar oficina
y robótica.
Por lo general cuando ocurre un disturbio como por ejemplo un aumento en la carga
que va acoplada al motor, puede provocar que el producto deseado se degrade, que
producción de la planta se detenga o aún peor desgracias humanas, provocado así perdidas
económicas y humanas.
Otro de los disturbios más comunes en los motores de CD es la variación de los
valores de los parámetros del motor, esto provoca que el rendimiento y eficiencia del motor
estén por debajo del valor deseado por los operadores.
Es por ello que se busca que los sistemas de control de los motores de CD presenten
características de robustez ante perturbaciones en la carga y que sean insensibles a las
variaciones paramétricas en los devanados del motor de CD.
1.4. Propuesta de solución
5
El problema que tratará este trabajo es la de hacer frente a las incertidumbres
paramétricas inherentes en los devanados del motor, así como también a las perturbaciones
que pudiesen presentarse en la carga.
1.4 Propuesta de solución
Diseñar un controlador robusto utilizando estrategias de Control por Estructura
Variable (VSC por sus siglas en inglés), en caso particular un Control por Modos
Deslizantes (SMC por sus siglas en ingles).
1.5 Objetivos generales y particulares
El objetivo general de esta investigación es:
El estudio, análisis, diseño e implementación de un esquema de control robusto
utilizando la técnica de modos deslizantes, para hacer frente a las variaciones
paramétricas inherentes en los motores de corriente directa y ante variaciones en el
par de carga.
Como objetivos particulares se tiene los siguientes:
Obtener el modelo matemático de los motores de CD
Analizar los motores de CD en lazo abierto
Estudiar la estrategia de control por modos deslizantes
Diseño de un controlador robusto para lograr el seguimiento de trayectoria
(velocidad del motor y posición)
Hacer pruebas en simulación de sistema completo ante perturbaciones en el
par de carga y variaciones en los devanados de campo.
Implementar un controlador en un motor de CD.
Hacer pruebas con el control implementado ante perturbaciones en el par de
carga.
1.5.1 Alcances
El alcance de este trabajo es el desarrollo de controladores por modos deslizantes de
velocidad y posición para los cinco diferentes tipos de motores de CD que existen en el
mercado, e implementar el control diseñado en un motor de CD.
6
Capítulo 1. Introducción
1.5.2 Limitaciones
El análisis de la robustez del controlador se puede hacer variando los valores de los
devanados de campo y de armadura e introduciendo perturbaciones en el par de carga. En
esté trabajo para el análisis de robustez solo se variaron los valores del devanado de campo
y las perturbaciones en el par de carga, estos disturbios no pueden ocurrir al mismo tiempo.
1.5.3 Aportación
La investigación aporto un algoritmo para la aplicación de los modos deslizantes en
el control de máquinas eléctricas, específicamente en los motores de corriente directa.
Análisis de la robustez del control por modos deslizantes ante variaciones en el
devanado de campo y perturbaciones en el par de carga.
Inicio de una serie de trabajos de investigación para el problema de incertidumbres
en los parámetros de las plantas utilizando modos deslizantes.
1.6 Generalidades del Control por Estructura Variable
La teoría de control de estructura variable y sus modos deslizantes asociados, se
originó en la década de los 50’s, principalmente a partir de los trabajos realizados por
Emelyanov, Barbashin y otros investigadores soviéticos.
La teoría de control por estructura variable se ha desarrollado para el diseño de
sistemas de control de alto desempeño. Estrategias de control basadas en esquemas de
control por estructura variable son robustas ante perturbaciones e incertidumbres
paramétricas.
Los sistemas de control de estructura variable se diseñan para conducir y restringir
el estado del sistema a permanecer en un entorno de la función de conmutación llamada
superficie deslizante. Esta aproximación presenta dos grandes ventajas: la primera es que
los sistemas de control de estructura variable pueden obtener cualquier comportamiento
dinámico que se desee del sistema en lazo cerrado, esto con la elección adecuada de la
función de conmutación, y la segunda ventaja es que el sistema se vuelve insensible a cierto
tipo incertidumbres.
Un sistema de estructura (VSC) se compone de dos o más subsistemas continuos y
una lógica que realiza la conmutación, se determina un subespacio o bien un conjunto de
ellos, comúnmente llamados superficies de conmutación sobre los cuales se produce el
cambio de estructura [7].
Una de las primeras inquietudes que motivaron el desarrollo del control de
estructura variable fue la de obtener mejor desempeño que el logrado mediante estrategias
lineales.
7
1.6.2 Modos Deslizantes
1.6.1 Tipos de VSC
Se pueden distinguir dos tipos de sistemas de estructura variable [7]:
1. Sistemas con cambio de realimentación (conmutación entre dos realimentaciones
posibles). La figura 1.1 Muestra el diagrama de bloques correspondiente a este tipo
de sistema de estructura variable.
2. Sistema con cambio de excitación (conmutación entre dos acciones de control umax,
umin). La figura 1.2 muestra el diagrama a bloques correspondiente a este tipo de
sistema de estructura variable.
.
Figura 1.1. VSC con cambio de retroalimentación.
Figura 1.2. VSC con cambio de excitación
1.6.2 Modos Deslizantes
El control por modos deslizantes es una estrategia de control robusto, ya que fuerza
al sistema a seguir cierta función de conmutación de orden reducido de forma poco sensible
a incertidumbres estructuradas y no estructuradas, abandonando la dinámica compleja del
sistema en lazo abierto.
El Control por Modo Deslizante (siglas en inglés SMC) es un caso especial de
Control por Estructura Variable (siglas en inglés, VSC), desarrollado en la Unión Soviética
en la década de los años 60, [8,9].
En el Control por Modos Deslizantes se diseñan para conducir y restringir el estado
del sistema a permanecer en un entorno de la función de conmutación llamada superficie
deslizante s(t)=0.
Las técnicas de SMC han sido empleadas en diversos sistemas, por las ventajas
desde el punto de vista de robustez que presenta en su aplicación para el control de sistemas
no lineales, variantes en el tiempo y sistemas con incertidumbre.
La metodología de diseño de un controlador por modos deslizantes, implica dividir
el problema en dos subproblemas, de menor dimensión:
Establecer la dinámica de la superficie de deslizamiento, que debe de ser
estable y puede ser lineal, de esta manera se diseña la superficie que es la
encargada de regir el comportamiento del sistema cuando se encuentra en el
modo de deslizamiento.
7
8
Capítulo 1. Introducción
Diseñar una ley de control que garantice que las trayectorias cerca de la
superficie de deslizamiento conduzcan hacia la superficie.
Una vez que el sistema está sobre la superficie, donde la estructura y los parámetros
son establecidos por el diseñador, la dinámica en lazo cerrado viene determinada
completamente por las ecuaciones que la definen, y es independiente de las perturbaciones
en los parámetros del sistema, de esta manera se logra una excelente robustez.
El control por modos deslizantes se caracteriza por dos comportamientos en lazo
cerrado que se denominan modos, véase figura 1.3:
•
Modo de alcance: El sistema se encuentra en este modo cuando se aplica una
ley de control, denominada ley de alcanzabilidad, para forzar el alcance de
la superficie deslizante.
•
Modo de deslizamiento: es el comportamiento en el que la trayectoria del
estado se desliza sobre la superficie y converge a un estado estable incluido
en dicha superficie, véase figura 1.3.
En la Figura 1.3, se presenta la interpretación gráfica del control por modo
deslizante, partiendo de un punto inicial la ley señal de control lo conduce a la superficie de
deslizamiento (modo de alcanzabilidad), una vez allí se desliza atrapado por la superficie
hasta el valor deseado (modo deslizamiento).
Figura 1.3. Superficie de deslizamiento
Este tipo de control presenta dos ventajas principales [8,9]:
1. Se puede obtener el comportamiento dinámico deseado del sistema en lazo
cerrado con la elección de la ley de conmutación.
2. El sistema se vuelve insensible a las perturbaciones, incertidumbres paramétricas,
debido a que la dinámica del sistema queda impuesta por la ley de conmutación y
no por el sistema.
9
1.7. Metodología
Este método posee una restricción importante. El efecto “chattering” provocado por
la conmutación de alta frecuencia de la señal de control puede ser muy perjudicial en
determinadas aplicaciones prácticas.
1.7 Metodología
La metodología que siguió este trabajo de tesis es:
1. Estudio del motor de CD
Construcción de las máquinas de CD
Comprender los principios de funcionamiento de la máquinas de CD
Obtención de los modelos de las máquinas de CD.
Simulación de los diferentes tipos de motores estudiados
Estudio de la técnica de control por modos deslizantes
Estudio de las generalidades del control
Estudio de la síntesis del controlador
2. Diseño del controlador
Diseño de los controladores de velocidad y posición para los
diferentes tipos de motores
Simulación del control
Análisis de robustez
3. Implementación
Estudio de la factibilidad de la implementación práctica del control
Elección del motor en que se implementará el controlador
Estudio de los dispositivos semiconductores para la implementación
Comprensión y caracterización de los dispositivos, sensores y
actuadores requeridos para la implementación.
Implementar el control
Pruebas de seguimiento de trayectorias
Análisis de robustez
10
Capítulo 1. Introducción
1.8 Organización del documento
Este trabajo desarrolla la aplicación del control por modos deslizantes a los motores
de CD que se estudien en el transcurso de la investigación.
El presente trabajo se divide en 6 capítulos mas uno de conclusiones.
El capítulo 2 trata acerca de los Motores de Corriente Directa, desde su definición,
las partes principales de la máquina, características principales de cada tipo de máquina, su
clasificación, el principio de funcionamiento, las leyes físicas que gobiernan la máquina, así
como también el desarrollo de las ecuaciones en estado estable y dinámicas. Se presentan
simulaciones de la máquina con el fin de conocer el comportamiento dinámico de la
máquina ante diferentes condiciones de operación.
En el capítulo 3 se da la teoría de control por modos deslizantes, se presenta la
definición del modo deslizante, cómo lograr el modo deslizante, las características que debe
de tener el sistema.
En el capítulo 4 se presenta el algoritmo de control por modos deslizantes que se
utilizó para desarrollar los controles de velocidad y posición. También se presenta el
desarrollo de los controles de velocidad y posición para los motores de CD estudiados, en
esta sección se dan las condiciones para que el modo deslizante exista, se diseña y sintoniza
un control PID con fin de tener con que comparar el control por modos deslizantes.
El capítulo 5 muestra los resultados obtenidos en simulación para los controles de
velocidad y posición haciendo pruebas de seguimiento de trayectorias, también se analiza la
robustez del control ante perturbaciones desconocidas en la carga y la robustez para la
variación de los parámetros del motor de CD. En está sección se comparan los
comportamientos del controles PID y por modos deslizantes para el motor de CD en
derivación.
El capítulo 6 presenta la implementación práctica del control por modos deslizantes
en una máquina de CD en derivación, en esta sección se describen todas las etapas que
conformaron la implementación, se muestran los resultados experimentales obtenidos para
el seguimiento de trayectoria y se analiza la robustez del control ante perturbaciones en la
carga.
El anexo A proporciona las ecuaciones y los parámetros con que simularon los
motores de CD, ele anexo B presenta el desarrollo de las ecuaciones del controlador y por
ultimo el anexo C muestra los resultados en simulación para los controladores de los
motores de CD en serie, de excitación separada, de imanes permanentes y el compuesto.
Capítulo 2
Motores de Corriente Directa (CD)
El motor de CD es un dispositivo eléctrico que transforma la energía eléctrica en
energía mecánica, los motores de corriente directa son insuperables para aplicaciones en las
que debe ajustarse la velocidad, así como para aplicaciones en las que requiere un par
grande.
En la actualidad se utilizan millones de motores de CD cuya potencia es de una
fracción de caballo en la industria del transporte como: automóviles, trenes y aviones,
donde impulsan ventiladores de diferentes tipos para aparatos de a/c, calentadores y
descongeladores: también mueven los limpiadores de parabrisas y acción de levantamiento
de asiento y ventanas. También son muy útiles para arrancar motores de gasolina y diesel
en autos, camiones, autobuses tractores y lanchas.
En este capítulo se estudia, analizan, modelan y simulan los motores de CD,
partiendo de sus principios de funcionamiento, las partes que conforman al motor de CD,
las ecuaciones que rigen el comportamiento de los motores y los diferentes tipo de motores
de CD que existen en el mercado. Además también se presentan las características más
importantes que presentan los diferentes tipos de motores de CD al igual que el modelo
matemático de cada uno de ellos.
2.1 Introducción a los motores de Corriente Directa (CD)
El motor de CD juega un papel de importancia creciente en la industria moderna
porque puede operar a cualquier velocidad desde cero hasta su máxima de régimen y
mantenerla ahí de forma muy precisa. Por ejemplo, los trenes de laminación de acero que
son de alta velocidad y de varias etapas, no serían posibles sin los motores de CD. Ya que
cada etapa debe mantenerse a una velocidad exacta, que es mayor que la etapa anterior,
para adaptarse a la reducción del grosor del acero en esa etapa.
Los motores de CD son máquinas que transforman la energía eléctrica en mecánica
y se usan en una amplia variedad de aplicaciones industriales en virtud de la facilidad con
la que se puede controlar la velocidad. La característica velocidad-par se puede hacer variar
para casi cualquier forma útil. En tanto que los motores de corriente alterna tienden a
pararse, los motores de corriente directa pueden entregar más de cinco veces el par nominal
si lo permite la alimentación de energía eléctrica. Se puede realizar la operación en reversa
sin conmutar la energía eléctrica.
11
12
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
Los motores de corriente directa, son accionados por una fuente de potencia de
corriente directa. A menos de que se especifique otra cosa, se supone que el voltaje de
entrada es constante, puesto que esta suposición simplifica el análisis de los motores y la
comparación entre los diferentes tipos de ellos.
El motor de CD tiene un estator y un rotor o comúnmente llamado armadura. El
estator contiene uno o más devanados por cada polo, los cuales están diseñados para llevar
intensidades de corriente directas que establecen un campo magnético.
La armadura y su devanado están ubicados en la trayectoria del campo magnético y
cuando el devanado lleva intensidades de corriente, se desarrolla un par-motor que hace
girar el motor. La máquina tiene un conmutador conectado al devanado de la armadura, si
no se utilizara un conmutador, el motor solo podría dar una fracción de vuelta y luego se
detendría.
En general, los motores convierten la potencia eléctrica en mecánica, usando el
principio de inducción magnética, es decir la fuente de alimentación de los motores es
eléctrica y si se aplica una tensión en las terminales del motor esto produce una intensidad
de corriente, cuando la corriente pasa a través de la armadura de un motor de corriente
continua, se genera un par de fuerzas por la reacción magnética, y la armadura gira. El giro
de la armadura induce un voltaje en las bobinas de ésta, este voltaje es opuesto en la
dirección al voltaje exterior que se aplica a la armadura y de ahí que se conozca como
voltaje inducido o fuerza contraelectromotriz.
Cuando el motor gira más rápido, el voltaje inducido aumenta hasta que es casi
igual al aplicado. La corriente entonces es pequeña, y la velocidad del motor permanecerá
constante siempre que el motor no esté bajo carga y tenga que realizar otro trabajo
mecánico que no sea el requerido para mover la armadura. Bajo carga, la armadura gira
más lentamente, reduciendo el voltaje inducido y permitiendo que fluya una corriente
mayor en la armadura.
El par que se produce en un motor de CD es directamente proporcional a la
intensidad de corriente de la armadura y al campo del estator. Por otro lado, la velocidad de
motor la determinará principalmente la tensión de la armadura y el campo del estator.
Los motores de CD se pueden clasificar en 5 tipos de uso general [4]:
Motor de Corriente Directa de Excitación Separada
Motor de Corriente Directa con Excitación en Derivación
Motor de Corriente Directa de Imán Permanente
Motor de Corriente Directa Serie
Motor de Corriente Directa Compuesto
Los motores de excitación independiente tienen como aplicaciones industriales el
torneado y taladrado de materiales, extrusión de materiales plásticos y goma, ventilación de
horno, retroceso rápido en vacío de ganchos de grúas, desenrollado de bobinas y retroceso
de útiles para serrar.
12
2.1 Introducción a los Motores de Corriente Directa (CD)
13
Los motores de corriente directa en derivación son adecuados para aplicaciones en
donde se necesita velocidad constante a cualquier ajuste del control o en los casos en que es
necesario un rango apreciable de velocidades (por medio del control del devanado de
campo). El motor en derivación se utiliza en aplicaciones de velocidad constante, como en
los accionamientos para los generadores de corriente continua en los grupos
motogeneradores de corriente directa.
Los motores de imán permanente se emplean para el movimiento de maquinaria
(tornos) en procesos de fabricación automática, arrastres de cintas de audio y video,
movimiento de cámaras, etc.
El motor devanado en serie se usa en aplicaciones en las que se requiere un alto par
de arranque, como en la tracción eléctrica, grúas, malacates, etcétera. Entre las aplicaciones
del motor serie cabe destacar tracción eléctrica, grúas, bombas hidráulicas de pistón y en
general en aquellos procesos donde lo importante sea vencer un par de arranque grande.
En los motores compuestos, la caída de la característica velocidad-par se puede
ajustar para que se adecue a la carga. El mayor uso del motor compuesto acumulativo es en
estrujadoras, grúas tracción, calandras, ventiladores, prensas, limadores, etcétera. El motor
compuesto diferencial presenta el peligro de embalarse para fuertes cargas, por lo que su
empleo es muy limitado.
2.2 Construcción de las máquinas de CD
La máquina de corriente directa consta básicamente de dos partes principales, una
parte fija llamada estator y una parte móvil llamada rotor [4]. La figura 2.1 muestra un
esquema simplificado de una máquina de CD.
En una máquina de CD hay dos devanados principales: los devanados del inducido
o armadura y los devanados de campo. Los devanados del inducido son aquellos en los
cuales es inducido voltaje y se localizan en el rotor, y los devanados de campo son aquellos
que producen el flujo magnético principal en la máquina y se ubican en el estator.
Figura 2.1. Diagrama simplificado de la máquina de CD.
14
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
2.2.1 Aspectos constructivos de las máquinas de CD
En un motor de CD el estator consta principalmente de las siguientes partes:
Pieza polar: Es la parte del circuito magnético situada entre la culata y el
entrehierro, incluyendo el núcleo y la expansión polar.
Núcleo: Es la parte del circuito magnético rodeada por el devanado inductor.
Devanado inductor: es el conjunto de espiras destinado a producir el flujo
magnético, al ser recorrido por la corriente eléctrica.
Expansión polar: es la parte de la pieza polar próxima al inducido y que bordea al
entrehierro.
Polo auxiliar o de conmutación: Es un polo magnético suplementario, provisto o
no de devanados y destinado a mejorar la conmutación. Suelen emplearse en las máquinas
de mediana y gran potencia.
Culata: Es una pieza de sustancia ferromagnética, no rodeada por devanados, y
destinada a unir los polos de la máquina.
El rotor de una máquina de CD consta principalmente de las siguientes partes:
Devanado inducido: es el devanado conectado al circuito exterior de la máquina y
en el que tiene lugar la conversión principal de la energía.
Colector: es el conjunto de láminas conductoras (delgas), aisladas unas de otras,
pero conectadas a las secciones de corriente continua del devanado y sobre las cuales frotan
las escobillas.
Núcleo del inducido: Es una pieza cilíndrica montada sobre el cuerpo (o estrella)
fijado al eje, formada por núcleo de chapas magnéticas. Las chapas disponen de unas
ranuras para alojar el devanado inducido.
Escobillas: Son piezas conductoras destinadas a asegurar, por contacto deslizante,
la conexión eléctrica de un órgano móvil con un órgano fijo.
Entrehierro: Es el espacio comprendido entre las expansiones polares y el
inducido; suele ser normalmente de 1 a 3 mm, lo imprescindible para evitar el rozamiento
entre la parte fija y la móvil.
Cojinetes: Son las piezas que sirven de apoyo y fijación del eje del inducido.
La figura 2.2 muestra un dibujo esquemático que ilustra todas las partes
constructivas que conforman a un motor de CD.
15
2.3. Fundamentos del motor de corriente directa
1. Culata
2. Núcleo polar
3. Pieza polar
4. Núcleo de polo auxiliar
5. Pieza polar de polo auxiliar
6. Inducido
7. Arrollado del inducido
8. Arrollado de excitación
9. Arrollado de conmutación
10. Colector
11. Escobillas positivas
12. Escobillas negativas
Figura 2.2. Aspectos constructivos de una máquina de CD
De la parte 1 a la 5 forman el inductor. En conjunto las partes 2 y 3 es el polo
inductor. La parte 6 constituye el inducido, al que va arrollado un conductor de cobre
formando el arrollamiento del inducido. Alrededor de los núcleos polares, va arrollando, en
forma de hélice, el arrollamiento de excitación (8). Análogamente cada núcleo de los polos
de conmutación lleva un arrollamiento de conmutación (9). La parte 10 representa el
conmutador o colector, que está constituido por varias láminas aisladas entre sí, formando
un cuerpo cilíndrico.
El arrollamiento del inducido está unido por conductores con las láminas del
colector; inducido y colector giran conjuntamente. Sobre la superficie del colector rozan
unos contactos a presión mediante unos muelles. Dichas piezas de contacto se llaman
escobillas. El espacio libre entre las piezas polares y el inducido se llama entrehierro.
2.3 Fundamentos del motor de corriente directa
La máquina rotatoria CD más sencilla posible se muestra en la figura 2.3. Consiste
en una sola espira de alambre que rota alrededor de un eje fijo. La parte giratoria de la
máquina se le llama rotor; la parte estacionaria se le denomina estator. El campo
magnético de la máquina es suministrado por los polos norte y sur magnéticos mostrados
sobre el estator en la figura 2.3.
16
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
a)
b)
c)
d)
Figura 2.3. Lazo sencillo rotacional entre caras polares curvas; a) Vistas en perspectiva; b) vista de las líneas
de campo; c) Vista superior; d) Vista frontal.
Nótese que la espira del rotor yace en una ranura labrada en un núcleo
ferromagnético. El hierro del rotor, junto con la forma curva de las caras polares, provee la
anchura de entrehierro constante entre el rotor y el estator. La reluctancia del aire es mucho
mayor que la reluctancia del hierro en la máquina; para minimizar la reluctancia del camino
del flujo a través de la máquina.
Puesto que el flujo magnético debe tomar el camino más corto posible a través del
aire entre la cara polar y la superficie del motor y el camino más corto a través del aire es el
que está perpendicular a la superficie del rotor en todos los puntos situados bajo las caras
polares.
2.3.1 Principio de funcionamiento de un motor de CD
Si se hace circular una intensidad por una bobina inmersa en un campo magnético,
está sufre un par motor que tiende a alinear ambos campos magnéticos, el propio de la
bobina y el externo.
2.3.2 Par inducido en la espira rotatoria
Si conectamos una batería a la máquina de la figura 2.3, la configuración resultante
se muestra en la figura 2.4. El método que debe emplearse para determinar el par sobre la
espira consiste en tener por separado cada segmento de está y luego sumar los efectos de
los segmentos individuales.
17
2.3.2 Par inducido en la espira rotatoria
a)
b)
Figura 2.4. Deducción de una ecuación para el par inducido en la espira.
La fuerza inducida sobre un segmento de la espira está dada por [4, 29, 30]:
F=i ( l × B )
(2.1)
Y el par sobre el segmento está dado por
τ = rF sin θ
Donde θ es el ángulo entre r y F. El par es cero en todos los puntos en que la espira
está situada fuera de las caras polares.
Mientras la espira está bajo las caras polares el par es [4, 30]:
1. Segmento ab. En el segmento ab la corriente de la batería está dirigida hacia
fuera de la página. El campo magnético bajo la cara polar apunta radialmente
hacia fuera del rotor; por tanto la fuerza inducida sobre el alambre está dada por
Fab = i ( l × B )
= ilB tangente a la dirección del movimiento
(2.2)
El par sobre el rotor, causado por está fuerza es
τ ab = rF sin θ
= r ( ilB ) sin 90°
= rilB en sentido contrario de las manecillas del reloj
(2.3)
Segmento bc. En el segmento bc la corriente de la batería fluye desde la parte
superior izquierda hacia le inferior derecha del dibujo. La fuerza inducida en el alambre
está dada por
Fbc = i ( l × B )
= 0 puesto que l es paralelo a B
(2.4)
18
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
Entonces
τ bc = 0
(2.5)
2. Segmento cd. En el segmento cd la corriente de la batería está dirigida hacia
dentro de la página. El campo magnético bajo la cara polar apunta radialmente
hacia dentro del rotor; por lo tanto la fuerza sobre el alambre está dada por
Fcd = i ( l × B )
= ilB tangente a la dirección del movimiento
(2.6)
El par sobre el rotor, causado por está fuerza es
τ cd = rF sin θ
= r ( ilB ) sin 90°
= rilB en sentido contrario de las manecillas del reloj
(2.7)
3. Segmento da. En el segmento da la corriente de la batería fluye desde el
extremo superior izquierdo hacia el inferior derecho en el dibujo. La fuerza
inducida sobre el alambre está dada por
Fda = i ( l × B )
= 0 puesto que l es paralelo a B
(2.8)
Entonces
τ da = 0
(2.9)
El par inducido resultante en la espira está dado por
τ ind = τ ab + τ bc + τ cd + τ da
2rilB
0
τ ind = 
bajo las caras polares
por fuera de las caras polares
(2.10)
Dado que AP = π rl y φ = AP B , la expresión de par se puede reducir a
2
 φi
τ = π
0
bajo las caras polares
por fuera de las caras polares
(2.11)
Entonces el par producido en la máquina es el producto del flujo y la corriente en
ella multiplicada por una cantidad que representa la construcción mecánica de la máquina.
En general el par de cualquier máquina real dependerá de los mismos tres factores [4]:
19
2.4. Modelado de la Máquina de CD
1. El flujo en la máquina
2. La corriente en la máquina
3. Una constante que representa la construcción de la máquina.
2.4 Modelado de la Máquina de CD
En una máquina de CD las bobinas de la armadura giran en un campo magnético
establecido mediante una corriente en el devanado de campo. Se tiene establecido que el
voltaje es inducido en está bobina en relación de está rotación y de la interacción del flujo
magnético [31].
Sin embargo, la acción del conmutador causa que la bobina de la armadura se vea
como un devanado estacionario, la cual es el eje magnético ortogonal al eje magnético del
devanado de campo. Consecuentemente, los voltajes no son inducidos en un devanado
debido a la taza de cambio de la corriente que fluye en el otro (acción transformador).
La figura 2.5 muestra el equivalente eléctrico de una máquina de CD de excitación
separada, a partir de este equivalente y tomando en cuenta las condiciones mencionadas
anteriormente se pueden escribir las ecuaciones de estado (2.12) que modelan a la máquina
de CD, teniendo así las ecuaciones de voltaje en forma matricial como 2.12 [4, 32, 33]:
Figura 2.5. Circuito equivalente de la máquina de CD
v f   rf + pLFF
v  =  ω L
 a   r AF
0
 i f 
ra + pLAA   ia 
(2.12)
donde LFF y LAA son las autoinductancias del devanado de campo y armadura
respectivamente, y p es la notación abreviada para el operador d dt . La velocidad del rotor
es expresada como ωr , y LAF es la inductancia mutua entre el campo y la bobina de la
armadura que gira.
El voltaje inducido en el circuito de la armadura, ωr L AFi f , es comúnmente referido
como fuerza contraelectromotriz y también representa el circuito abierto del voltaje de
armadura.
Hay otras formas en las cuales las ecuaciones del campo y la armadura pueden
expresarse. Por ejemplo, LAF puede también escribirse como [31]:
20
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
LAF =
Na N f
ℜ
(2.13)
donde N a y N r son las vueltas equivalentes de los devanados de armadura y
campo, respectivamente y ℜ es la reluctancia. Así,
LAF i f = N a
Si ahora reemplazamos
N f if
ℜ
(2.14)
N f if
por Φ f , el flujo de campo por polo, entonces N a Φ f
ℜ
puede substituirse por LAF i f en la ecuación del voltaje de armadura.
Otra variable sustituible a menudo también utilizada es:
kv = LAF i f
(2.15)
Se encuentra que sustituir esta variable es particularmente conveniente y
frecuentemente es utilizada. Inclusive si tenemos una máquina de CD de imanes
permanentes que no tiene circuito de campo, la constante de flujo de campo producida por
el imán permanente es análoga a la máquina de CD la cual es la constante kv .
El par electromagnético para la máquina de CD puede ser escrito como [31,32]:
Te = LAF i f ia
(2.16)
La variable kv es a menudo sustituida por LAF i f . En algunos casos kv es
multiplicado por un factor menor que la unidad, cuando es sustituido en la ecuación 2.16
para aproximar los efectos de las pérdidas rotacionales.
El par y la velocidad del rotor están relacionados mediante [31,32, 33];
Te = J
d ωr
+ Bmωr + TL
dt
(2.17)
Donde J es la inercia del rotor y en algunos casos, la carga mecánica conectada.
Las unidades de la inercia son kg i m2 o J i s 2 . Un par electromagnético positivo actúa
para girar el rotor en la dirección del incremento de θ r . El par de carga TL es positivo para
un par, en el eje del rotor, el cual se opone al par electromagnético positivo Te . La
constante Bm es el coeficiente de amortiguamiento asociado con el sistema mecánico
rotacional y tiene las unidades de N i m i s .
21
2.4 Tipos de Máquinas de CD
2.5 Tipos de máquinas de CD
Las máquinas de CD se clasifican de acuerdo con la forma en que se provee el flujo
de campo; el campo magnético de la máquina de CD se puede producir de dos formas, la
primera con imanes permanentes y la segunda con electroimanes (bobinas alimentadas con
corriente directa).
Dependiendo de la fuente de alimentación de los devanados se tiene dos tipos de
excitación:
Excitación independiente o separada: la corriente que alimenta al devanado
inductor procede de una fuente externa.
Autoexcitados: La corriente que alimenta al devanado inductor procede de la
propia máquina.
Según la forma de obtener está corriente existen tres tipos diferentes de máquinas de
CD.
Excitación serie: El devanado de campo está conectado en serie con
el devanado de armadura.
Excitación en derivación: El devanado de campo está conectado
directamente con las escobillas, por lo tanto, está conectado en
paralelo con el devanado de armadura.
Excitación compuesta: Una bobina conectada en serie con el
devanado de armadura y otra conectada en paralelo.
En resumen los motores de CD se clasifican como se muestra en el siguiente cuadro
sinóptico:
Excitación Independiente o separada
Excitación serie
Motores de CD
Autoexcitados
Imán permanente
Electromagnético
Excitación en derivación
Acumulativo
Compuesto
Diferencial
2.5.1 Máquina de CD de excitación separada.
Cuando el devanado de campo y el de armadura son alimentados desde fuentes de
voltajes separadas, el dispositivo puede operar como motor o como generador, es un motor
si está acoplado un par de carga y un generador si está siendo operado mediante algún tipo
de sistema que le imprima movimiento.
22
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
El circuito equivalente de este tipo de máquina es mostrado en la figura 2.6, la
diferencia con el de la figura 2.5, está en la resistencia externa rfx , la cual está conectada en
serie con el devanado de campo. Está resistencia, la cual se refiere a menudo como el
reóstato de campo, es usada para ajustar la corriente de campo, si el voltaje de campo es
suministrado de una fuente constante.
+
rfx
L AA
rf
+
ia
if
+
L FF
vf
ra
L AFωr i f
−
va
−
−
Figura 2.6. Circuito equivalente de una máquina de excitación separada.
Las ecuaciones de voltaje que describen el desempeño en estado estable de este
dispositivo pueden ser escritas directamente de la ecuación 2.12, mediante la colocación del
operador p a cero p = d dt , como consecuencia de esto tenemos que;
Vf = Rf I f
(2.18)
Va = Ra I a + ωr LAF I f
(2.19)
Donde R f = rfx + rf y las letras mayúsculas son utilizadas para denotar las
corrientes y voltajes de estado estable. Conocemos, de la relación del par dada por la
ecuación 2.16 que durante la operación en estado estable Te = TL , si Bm se supone como
cero. El análisis del funcionamiento en estado estable es directo.
Las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de la máquina de CD de
excitación separada se modelan a partir del circuito eléctrico equivalente mostrado en la
figura 2.6 y se tiene:
v f = i f R f + LFF
va = ia Ra + LAA
di f
dt
(2.20)
dia
+ LAF ωr i f
dt
(2.21)
La relación entre el par del motor y la velocidad está dada por la ecuación 2.16
resolviendo para dωr / dt y el par está dado por Te = LAF i f ia ; tenemos
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAF i f ia − TL )
dt
J
(2.22)
Estas ecuaciones se implementaron en Matlab-Simulink con el fin de conocer el
comportamiento en estado estable y dinámico del motor de CD, para ver la implementación
23
2.5.1. Máquina de CD de excitación separada
de las ecuaciones y los parámetros del motor de CD que se utilizó para la simulación véase
anexo A.1.
La figura 2.7 muestra la simulación correspondiente a un motor de excitación
separada de 200 hp sin protección en el arranque. Se observa que el motor presenta un pico
de corriente muy alto en el devanado de armadura, esto es debido a que cuando el motor
está parado, es decir su velocidad es cero, y hace pasar una corriente a través de la
armadura de un motor de CD, se genera un par de fuerzas por la reacción magnética, que
hacen que la armadura gire, lo único que limita en ese tiempo la corriente es la resistencia
de armadura, una vez que el motor acelere hasta llegar a su velocidad nominal la corriente
disminuye y la velocidad del motor permanecerá constante, sin embargo este pico de
corriente es perjudicial para la máquina de CD ya que puede llegar a dañar el circuito de
armadura.
corriente de campo if
if(Amp)
40
If
20
Te(N m)
0
5
10
15
20
corriente de armadura ia
25
30
10000
0
Ia
X: 17.55
Y: 617.5
5000
wr(rad/s)
ia(Amp)
0
X: 17.29
Y: 20.83
0
5
10
15
20
velocidad angular wr
25
30
200
Wr
0
-200
X: 17.55
Y: 64.72
0
5
10
15
20
Par electromagnetico Te
10000
X: 18.06
Y: 2305
5000
0
25
0
5
10
15
time (sec)
20
30
Te
25
30
Figura 2.7. Respuestas dinámicas del motor de excitación separada en lazo abierto.
En la gráfica de la máquina de CD de excitación separada, cuando inicia la
simulación se observa que la máquina presenta una velocidad negativa esto es debido a que
la ecuación (2.22) que fue la que se implementó para la simulación del comportamiento de
la máquina depende del par inercial, el par de carga y el par electromagnético de la
máquina y a su vez estos términos dependen de la velocidad del rotor, las corrientes de
campo y armadura de la máquina. Entonces al arranque de la simulación las condiciones
iniciales de estos términos son cero exceptuando el par de carga y como se ve en la
ecuación este se resta provocando que se vea como si el motor girara al revés, esto se
corrige cuando la corriente de armadura es lo suficientemente grande para generar un par de
fuerzas por la reacción magnética y así lograr que el rotor gire. Esto físicamente representa
que la flecha del motor permanecerá estacionaria hasta producir la fuerza necesaria para
hacer girar la flecha.
Para proteger al motor de CD contra el pico de corriente se puede insertar una
resistencia de arranque en serie con la resistencia de armadura y variarla de forma manual o
automática conforme el motor acelere hasta llegar a un voltaje inducido adecuado para la
máquina de CD.
24
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
Una vez que el motor se encuentre en estado estable la corriente de armadura
diminuye y la velocidad de la flecha del motor permanecerá constante, siempre y cuando el
motor no esté bajo carga y tenga que realizar otro trabajo mecánico que no sea el requerido
para mover la armadura.
Cuando se aplica un par de carga la flecha del motor gira más lentamente,
reduciendo el voltaje inducido y permitiendo que fluya una corriente mayor en la armadura
esto se puede observar en la figura 2.8, en está se observa un escalón del 50% en el par de
carga, y al momento del perturbación la velocidad del rotor disminuye hasta llegar a su
nueva condición de operación de estado estable con la perturbación en la carga y por
consiguiente la corriente de armadura aumenta.
La velocidad del motor en estado estable es de 64.78 rad/seg y al momento de
aplicar la nueva condición de carga la velocidad desciende a 63.71 rad/seg, mientras tanto
la corriente de armadura en estado estable es de 615.6 Amp y al modificar la condición de
carga su nuevo valor es 960.1 Amp; es decir ante una cambio de 50% en el par de carga la
velocidad se modifica solo el 1.6%, sin embargo la corriente de armadura sufre una
modificación del 55%. El motor puede así recibir más potencia eléctrica de la fuente,
suministrándola y haciendo más trabajo mecánico.
corriente de campo if
if(Amp)
22
If
20
Te(N m)
85
90
95
100
105
corriente de armadura ia
1500
X: 98.3
Y: 615.6
1000
500
80
wr(rad/s)
ia(Amp)
18
80
X: 100.1
Y: 20.83
85
90
110
115
X: 101.5
Y: 960.1
95
100
105
velocidad angular wr
Ia
110
115
X: 98.81
Y: 64.78
70
85
90
120
Wr
65
60
80
120
X: 102.1
Y: 105
63.71
95
100
Par electromagnetico Te
110
115
120
6000
2000
80
Te
X: 98.56
Y: 2445
4000
85
90
95
100
time (sec)
X: 102.3
Y:105
3609
110
115
120
Figura 2.8. Respuesta del motor de excitación separada ante variaciones en la carga
2.5.2 Máquina de CD de imán permanente
Una máquina de CD de imán permanente entra dentro del tipo de máquinas de CD
de excitación separada. Como se ha mencionado el flujo de campo es establecido en este
dispositivo por un imán permanente. La ecuación del voltaje para el devanado de campo es
eliminada y LAF I f es sustituida por una constante kv , la cual puede ser medida si no se da
por el fabricante.
La ecuación de voltaje que describe el desempeño en estado estable de este
dispositivo puede ser escrita directamente de la ecuación 2.12, mediante la sustitución de
LAF I f por la constante kv .
25
2.5.2. Máquina de CD de Imán Permanente
Va = Ra I a + ωr kv
(2.23)
La relación del par dada por la ecuación 2.16 que durante la operación en estado
estable es
(2.24)
Te = kv I a
En operación en estado estable y considerando Bm igual a cero se tiene que Te = TL .
Las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de la máquina de CD de
imán permanente se obtienen a partir de 2.23 y 2.24 únicamente teniendo en cuenta la
condición de eliminar la inductancia mutua entre el devanado de campo y armadura y la
corriente de campo, debido a que el flujo de campo lo proporciona un imán permanente.
va = ia Ra + LAA
dia
+ k vω r
dt
(2.25)
La relación entre el par del motor y la velocidad está dado por la ecuación 2.16
resolviendo para dωr / dt y con el par dado por (2.24); se tiene
d ωr 1
= ( − Bmωr + kv ia − TL )
dt
J
(2.26)
Las ecuaciones 2.24, 2.25 y 2.26 se implementaron en Matlab-Simulink, para
conocer el comportamiento del sistema en estado estable y dinámico, la implementación de
las ecuaciones y los parámetros del motor de CD que se utilizó para la simulación se
pueden ver en el anexo A.2.
La figura 2.9, muestra la simulación de la máquina de CD de imán permanente de
3.14 W, con objeto de ser mas ilustrativo la simulación se realizó con un par de carga
diferente de cero, se observa que la máquina de imán permanente durante el arranque
presenta un pico de aproximadamente el doble de su corriente de armadura en estado
estable, al igual de un pico de casi el doble en el par electromagnético del que presenta en
estado estacionario, la respuesta de la velocidad alcanza su valor de estado estable de
manera rápida y sin ningún sobrepico, para ver el análisis dinámico, la implementación de
las ecuaciones y los parámetros utilizados para la simulación véase anexo A.2.
26
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
corriente de armadura ia
1
ia(Amp)
Ia
X: 5.048
Y: 0.3565
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
Velocidad angular Wr
7
8
9
10
wr(rad/s)
400
200
X: 4.97
Y: 248.5
Wr
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Par electromagnetico Te
Te(N m)
0.01
Te
0.005
0
X: 5.048
Y: 0.005026
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura 2.9. Respuesta en lazo abierto del motor de imán permanente
En figura 2.10, se muestra el comportamiento de la máquina de CD de imán
permanente para un decremento de 50% del valor del par de carga, la corriente de armadura
disminuye un 29% de su valor y la velocidad del rotor también se ve afectada ante el
cambio del par de carga, pero está aumentando su valor en un 20%, por lo que se nota que
ante cambios en el par de carga en el motor de imán permanente, la velocidad del rotor
cambia en menor proporción que el cambio en la carga.
ia(Amp)
corriente de armadura ia
X: 7.992
Y: 0.357
0.4
Ia
X: 12.02
Y: 0.2536
0.3
0.2
6
7
8
9
10
11
12
13
14
wr(rad/s)
400
200
0
X: 12.02
Y: 299.5
X: 7.992
Y: 248.4
wr
6
7
8
-3
Te(N m)
6
10
12
13
14
7
Te
X: 12.02
Y: 0.003575
X: 7.992
Y: 0.005034
6
11
Par electromagnetico Te
x 10
4
2
9
8
9
10
time (sec)
11
12
13
14
Figura 2.10. Respuesta de la máquina de CD de imán permanente
2.5.3 Máquina de CD en derivación.
El devanado de campo y el de armadura se conectan como se muestra en la figura
2.11, con está conexión la máquina puede operar como motor o como generador. El
devanado de campo está conectado entre las terminales del circuito de armadura, Va = V f .
Este arreglo de las bobinas es comúnmente llamado máquina de CD en derivación o
simplemente máquina en derivación.
27
2.5.3. Máquina de CD en Derivación
L AA
it
ra
ia
rfx
+
+
if
rf
LAF ωr I f
−
+
va
vf
L FF
−
−
Figura 2.11. Circuito equivalente de la máquina de CD en derivación.
Durante la operación en estado estable, la ecuación de voltaje del circuito de
armadura es la ecuación 2.19 y para el circuito de campo es
Va = V f = R f I f
(2.27)
It = I f + I a
(2.28)
La corriente total I t es:
Resolviendo la ecuación 2.19 para I a y la ecuación 2.27 para I f
va = ra I a + ωr LAF I f
⇒
Va = R f I f
⇒
va ωr LAF I f
−
ra
ra
V
If = a
Rf
Ia =
(2.29)
(2.30)
y sustituyendo los resultados en la ecuación 2.21
Te = LAF I f I a
 V   v ωr LAF I f   LAFVa   va ωr LAF I f 
= LAF  a   a −
  −
 = 

R  r
ra
ra
  R f   ra

 f  a
2
2
2
2
2
L v
L vω v  L v
L vω 
=  AF a − AF a r a  =  AF a − AF 2 a r 
 R r
R f ra R f   R f ra
R f ra 
 f a
LAF va2  LAF 
=
ωr 
1 −

R f ra 
Rf

Tenemos la siguiente expresión para el par electromagnético en estado estable,
positivo para la acción motor, para la máquina de CD en derivación es:
Te =
LAFVa2  LAF 
ωr 
1 −

ra R f 
Rf

(2.31)
28
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
Las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de la máquina de CD en
derivación se modelan a partir del equivalente eléctrico mostrado en la figura 2.11, con lo
que se obtiene
La ecuación diferencial para el circuito de campo se modela:
v f = Rf i f +
di f
dt
LFF
(2.32)
La dinámica de la malla de la armadura está dada por la ecuación:
va = ra ia + LAA
(2.33)
dia
+ ωr LAF I f
dt
El par electromagnético está dado por el término:
(2.34)
Te = LAF i f ia
La ecuación que describe el comportamiento de la relación del par con la velocidad
del motor está dada por:
Te = J
d ωr
+ Bmωr + TL
dt
(2.35)
Una de las particularidades más importantes de la máquina de CD en derivación es
la curva característica par-velocidad ya que según su formula la velocidad varía ligeramente
conforme aumenta el par de manera que el motor se adapta a los trabajos que requieran
velocidad constante; la figura 2.12 muestra las característica par-velocidad en estado
estable de una máquina de CD en derivación de 3.9 KW la relación que se observa es casi
lineal y la velocidad varía ligeramente conforme la carga se está variando.
curva caracteristica par-velocidad del motor de CD en derivación
30
Te
29
par Te(Nm)
28
27
26
25
24
23
127.5
128
128.5
129
129.5
velocodad Wr(rad/sec)
Velocidad Wr(rad/sec)
130
130.5
131
Figura 2.12. Curva característica par-velocidad en estado estacionario del motor de CD.
29
2.5.3. Máquina de CD en Derivación
Si se aplica una carga en el motor, éste tiende inmediatamente disminuye su marcha.
En el motor en derivación, el flujo inductor permanece prácticamente constante y la
reducción de velocidad disminuye la fuerza contraelectromotriz.
Si la fuerza contraelectromotriz decrece, fluye más corriente al inducido hasta que
su aumento produce un par suficiente para equilibrar la demanda correspondiente al
aumento de carga. Por lo tanto, el motor en derivación está siempre en condiciones de
equilibrio estable, puesto que ante las variaciones de la carga reacciona siempre adoptando
la potencia absorbida a dichas variaciones.
Cuando el motor se encuentra parado ωr=0, la corriente de armadura en estado
estacionario es limitada solo por la resistencia de armadura ra , en el caso de un motor de
imán permanente pequeño, la resistencia de armadura es lo bastantemente grande de modo
que la corriente de armadura durante el arranque, que resulta cuando se le aplica el voltaje
generalmente no es perjudicial [31].
Sin embargo las máquinas de grandes caballos de fuerza son diseñadas con
resistencias de armadura pequeñas, por lo tanto, un pico muy grande de corriente de
armadura puede ocurrir durante el arranque de la máquina si el voltaje de alimentación es
aplicado en las terminales de la armadura.
El pico de corriente se puede prevenir insertando una resistencia dentro del circuito
de armadura cuando esté parado e ir decreciéndola manualmente o automáticamente a cero
conforme la máquina acelere para alcanzar su velocidad de operación normal [35].
La figura 2.13 ilustra el comportamiento de una máquina de CD de excitación
separada de 200 HP, en está gráfica se puede apreciar el problema del sobrepico en la
corriente de armadura, por lo que es necesario resolverlo para no causar daños en la
máquina. Para ver los parámetros y las ecuaciones dinámicas de está máquina refiérase a
anexo A.1.
corriente de campo if
if(Amp)
40
If
20
Te(N m)
X: 15.07
Y: 20.83
0
5
10
15
20
corriente de armadura ia
25
30
10000
0
Ia
X: 15.33
Y: 642.1
5000
wr(rad/s)
ia(Amp)
0
0
5
10
15
20
velocidad angular wr
25
30
200
Wr
0
-200
X: 15.07
Y: 64.53
0
5
10
15
20
Par electromagnetico Te
10000
X: 14.81
Y: 2398
5000
0
25
0
5
10
15
time (sec)
30
Te
20
25
30
Figura 2.13. Respuestas dinámicas del motor de excitación separada en lazo abierto.
30
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
La figura 2.14 muestra la respuesta de la máquina en derivación de 5 HP cuando se
le aplica un escalón de 50 % en el par de carga, inicialmente la máquina se opera
estacionariamente con un par de carga de 29.2 Nm aplicado a la flecha del rotor. El par de
carga sufre un escalón del 50 % del su valor, con lo que la velocidad del motor aumenta y
restablece la operación en estado estable en la condición de carga reducida. Debido a que la
corriente de campo es constante, el par electromagnético Te es idéntico a la corriente de
armadura, difiriendo solo por una constante multiplicadora.
Es importante notar que ante un cambio del 50 % en el par de carga, la velocidad del
rotor solo cambió un poco. Esto es aproximadamente un 2 % en la velocidad del rotor por
un 50% de cambio en el par de carga. Las ecuaciones dinámicas y los parámetros de está
maquina que se utilizaron para simulación refiérase a anexo A.3.
corriente de campo if
if(Amp)
1
If
1
Te(N m)
wr(rad/s)
ia(Amp)
1
35
X: 50.03
Y: 1
40
45
50
55
corriente de armadura ia
20
10
0
35
40
45
Ia
50
55
velocidad angular wr
60
X: 45.37
Y: 127.9
130
40
45
50
55
Par electromagnetico Te
40
45
60
X: 54.09
Y: 14.6
X: 45.37
Y: 29.2
20
50
time (sec)
65
Wr
X: 54.09
Y: 130.6
30
10
35
65
X: 45.37
Y: 16.22
135
125
35
60
X: 54.09
Y: 8.111
55
65
Te
60
65
Figura 2.14. Respuesta en lazo abierto del motor en derivación
2.5.4 Máquina de CD en serie.
Cuando el devanado de campo es conectado en serie con el circuito de armadura
como se muestra en la figura 2.15, a está configuración se le conoce como máquina de CD
en serie.
Figura 2.15. Circuito equivalente de la máquina de CD en serie
De la máquina de CD serie se tiene que
31
2.5.4. Máquina de CD en Serie
Vt = V fs + Va
(2.36)
I a = I fs
(2.37)
Donde v fs y i fs denotan el voltaje y la corriente asociados con el devanado de
campo en serie.
Si las ecuaciones 2.36 y 2.37 son sustituidas en la ecuación del voltaje de armadura,
el funcionamiento en estado estable de la máquina de CD en serie se puede expresar como
(2.38)
Vt = ( Ra + R fs + LAFsωr ) I a
De la ecuación 2.16, se tiene que
(2.39)
Te = LAFs I a2
Donde I a se despeja de 2.38 y se tiene
Ia =
Vt
( Ra + R fs + LAFsωr )
(2.40)
Sustituyendo en 2.40 se obtiene
Te = LAFs I a2 =
LAFsVt 2
(R
a
+ R fs + LAFsωr )
2
(2.41)
Las ecuaciones de voltaje que describen el comportamiento dinámico del motor de
CD en serie se modelan a partir del circuito eléctrico equivalente mostrado en la figura
2.15, por lo que se tiene el siguiente modelo
vt = ia R fs + L ff
dia
di
+ ia Ra + Laa a + LAFsωr ia
dt
dt
(2.42)
Como el par electromagnético está dado por Te = LAFs ia2 , la ecuación dinámica que
relaciona par con velocidad es
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAFs ia2 − TL )
dt
J
(2.43)
En el motor de CD en serie el par es proporcional al cuadrado de la intensidad de la
corriente en la armadura, es decir, al duplicarse la intensidad de la corriente en la armadura,
el par se cuadruplica.
32
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
Está característica del motor de CD en serie hace su empleo muy conveniente
cuando se requiere un gran aumento del par para un aumento moderado de la intensidad de
la corriente. En la práctica, la saturación y la reacción del inducido tienden a oponerse a que
el par aumente con la misma rapidez que el cuadrado de la intensidad de la corriente.
La curva característica de la relación par-velocidad se muestra en la figura 2.16, y
nos da a entender que con el aumento de carga, la velocidad del rotor cae a medida que
aumenta la carga. Si la carga en un motor de CD en serie se hace pequeña, la velocidad del
rotor aumenta considerablemente, de modo que un motor de este tipo siempre debe
conectarse a la carga a través de un engranaje reductor y no directamente.
Curva característica par-velocidad del motor de CD serie
par
120
Te (Mm)
100
80
60
40
20
60
80
100
120
140
160
180
200
Velocidad
Wr (rad/sec)
Figura 2.16. Curva característica par-velocidad del motor de CD serie
El comportamiento de un motor de CD en serie cuando se le aplica una perturbación
en el par de carga se muestra en la figura 2.17, se aprecia que la velocidad varía
prácticamente en sentido inverso al de la intensidad de la corriente, es decir, a intensidades
de corriente elevadas, la velocidad es pequeña y para intensidades pequeñas la velocidad es
grande. Por lo que las características nominales en un motor de CD en serie no pueden
determinarse para intensidades pequeñas en la corriente, por que las velocidades se harán
peligrosamente grandes.
En la figura 2.17 se muestra la respuesta de la máquina de CD en serie ante un
aumento del 50% en el par de carga, si se aumenta el par de carga la velocidad del rotor
disminuye un 29.5% aproximadamente, es decir de 296 rad/sec a 209.3 rad/sec, mientras
tanto la corriente de armadura ante ese aumentó del 50% del par de carga aumenta en un
35.5%, es decir pasa de una corriente de 10.4 amp a 14.09 amp, para ver los parámetros y la
implementación de las ecuaciones de la simulación de éste motor véase anexo A.4.
33
2.5.5. Máquina de CD Compuesta Acumulativa
ia(Amp)
corriente de armadura ia
15
X: 55.95
Y: 10.35
X: 94.51
Y: 14.14
10
Ia
5
40
50
60
70
80
90
100
velocidad angular wr
wr(rad/s)
300
Wr
X: 55.83
Y: 296.9
250
200
40
50
X: 89.98
Y: 209.2
60
70
80
90
100
Par electromagnetico Te
Te(N m)
15
X: 90.54
Y: 13.53
X: 55.13
Y: 7.303
10
Te
5
40
50
60
70
time (sec)
80
90
100
Figura 2. 17. Respuesta del motor de CD en serie ante un aumento de carga
La figura 2.18, muestra la respuesta del motor de CD serie de la figura 2.17 para un
par de carga igual a cero, se observa que la velocidad del rotor rebasa al valor de velocidad
nominal del motor, esto se debe a que teóricamente es la velocidad de un motor de CD en
serie en vació es infinita, las ecuaciones dinámicas de la máquina así como los parámetros
que se utilizaron para la simulación están en el anexo A.4.
corriente de armadura ia
60
ia(Amp)
Ia
40
X: 136.6
Y: 5.249
20
0
0
50
100
150
200
250
300
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1000
Wr
500
0
X: 261.6
Y: 652.5
0
50
100
150
200
250
300
Te(N m)
Par electromagnetico Te
Te
200
X: 166.9
Y: 1.793
100
0
0
50
100
150
time (sec)
200
250
300
Figura 2.18. Respuesta del motor del motor de CD serie operado sin carga
Debido al alto par que presentan al arranque los motores de CD en serie se utilizan
para los casos en que se exige un gran par de arranque, como en los tranvías, locomotoras y
grúas. Además del gran par de arranque, tienen otras características que los hacen
especialmente adecuados para la tracción.
2.5.5 Máquina de CD Compuesta Acumulativa.
Una máquina de DC compuesta, está equipada con ambos devanados de campo uno
en derivación y uno en serie, se muestra en la figura 2.19. En la mayoría de las máquinas
compuestas, el devanado de campo en derivación determina las características de operación
34
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
mientras el devanado de campo en serie, el cual consiste en algunas vueltas de alambre de
baja resistencia, tiene una influencia secundaria.
Si la máquina de CD compuesto es usada como generador, el devanado de campo
serie es conectado para ayudar al devanado de campo en derivación (compuesto
acumulativo). En caso de un motor de CD compuesto, el devanado de campo en serie es
conectado a menudo para oponerse al flujo producido por el devanado de campo en
derivación (compuesto diferencial).
Figura 2.19. Circuito equivalente de la Máquina de CD compuesta
La ecuación de voltaje para la máquina de CD compuesto se puede escribir como
v f   R f + pLFF
 v  = ω L ± pL
FS
 t   r AF
± pLFS
±ωr LAFs + rfs + pLFFs
i f 
0
 
i
ra + pLAA   fs 
 ia 
(2.44)
Donde LFS es la inductancia mutua entre el devanado de campo en derivación y el
devanado de campo en serie. El signo más y el signo menos son usados para describir la
conexión acumulativa o la conexión diferencial respectivamente
Para el análisis en estado estable se tiene:
vt = v f = v fs + va
(2.45)
it = i f + i fs
(2.46)
i fs = ia
(2.47)
Donde
El funcionamiento en estado estable de una máquina de CD compuesto conexión
larga puede ser descrito por la siguiente ecuación:
 E + R fs ± LAFsωr 
Vt =  a
 Ia
 1 − ( LAF R f ) ωr 
(2.48)
35
2.5.5. Máquina de CD Compuesta Acumulativa
El par para la conexión en derivación se obtiene mediante el empleo de la ecuación
2.17 para cada devanado de campo. En particular
Te = LAF I f I a ± LAFs I fs I a
LAFVt 2 1 − ( LAF R f ) ωr  LAFsVt 2 1 − ( LAF R f ) ωr 
=
±
2
R f ( Ra + rfs ± LAF ωr )
( Ra + rfs ± LAFsωr )
2
(2.49)
Las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de la máquina de CD
compuesto acumulativa se modelan a partir del equivalente eléctrico mostrado en la figura
2.19, tomando en cuenta el signo más ya que se trata de la maquina acumulativa, por lo que
las ecuaciones quedan
La ecuación dinámica que modela el circuito de campo está dada por
v f = R f i f + LFF
di f
dt
+ LFS
di fs
dt
(2.50)
La dinámica del devanado de armadura está dada por la ecuación
va = Ra ia + LAA
dia
+ LAF ωr i f + LAFS ωr i fs
dt
(2.51)
El devanado del circuito de campo en serie se modela
v fs = R fs i fs + LFFS
di fs
dt
+ LFS
di f
dt
(2.52)
En un motor de CD compuesto acumulativo al aumentar la carga y la corriente de
armadura, el flujo producido por la excitación serie también aumenta en tanto que la fuerza
contraelectromotriz disminuye, es decir al aumentar el par de carga la velocidad del motor
disminuirá conforme se aumente el par, esto se aprecia en la característica par-velocidad
que se muestra en la figura 2.20.
36
Capítulo 2. Motores de Corriente Directa (CD)
curva caracteristica par-velocidad del motor de CD compuesto acumulativo
19
Te
18
17
par Te(Nm)
16
15
14
13
12
11
10
9
60
65
70
75
80
85
90
velocodad Wr(rad/sec)
95
100
105
110
Figura 2.20. Característica par-velocidad de la máquina de CD compuesta acumulativa
El comportamiento que presenta un motor de CD compuesto acumulativo cuando se
le aumenta la carga en un 50 % se muestra en la figura 2.21, en está gráfica corresponde a
la simulación de una motor compuesto acumulativo de 100 W, en está se observa que al
aumentar el par de carga en un 50%, la velocidad del rotor disminuye en un 26.6 %,
mientras que la corriente de armadura aumenta su valor en un 35.9%
Las ecuaciones que rigen el comportamiento dinámico del motor de CD compuesto
diferencial y los parámetros que se utilizaron para la simulación están en el anexo A.5.
corriente de campo if
if(Amp)
0.502
If
0.5
wr(rad/s)
ia(Amp)
0.498
50
70
80
90
100 110 120
corriente de armadura ia
130
140
150
160
90
100 110 120
velocidad angular wr
130
140
150
160
90
100 110 120
Par electromagnetico Te
130
X: 150
140
Y:
77.24150
160
25
Ia
20
15
50
60
70
100
80
50
Te(N m)
60
X: 149.7
Y: 0.5003
X: 90.41
Y: 0.4997
Wr
60
15
70
X: 89.67
Y: 16.36
80
X: 149.7
Y: 22.31
X: 90.17
Y: 105.7
80
X: 89.94
Y: 10.01
Te
X: 148.7
Y: 14.97
10
5
50
60
70
80
90
100 110
time (sec)
120
130
140
150
160
Figura 2.21. Respuesta de la máquina de CD ante cambios en el par de carga
Capitulo 3
Modos Deslizantes
El control por modos deslizantes es una aproximación importante al control robusto,
para la clase de sistemas a los cuales se aplican, el diseño de los controladores por modos
deslizantes proporciona una aproximación sistemática al problema de mantener la
estabilidad y de mantener un desempeño aceptable ante impresiciones en el modelo.
Los sistemas con un control como una función de estado discontinuo, se les conoce
como modos deslizantes. Esté tipo de sistemas han probado ser una herramienta eficiente
para el control de plantas de alto orden con dinámicas no lineales complejas operadas bajo
cierto umbral de incertidumbre lo cual es un problema común en muchos de los procesos de
la tecnología moderna. Esté capítulo se extrajo en su mayoría de las referencias [2, 7, 39].
3.1 Estado del arte
Los sistemas de Control por Estructura Variable son sistemas no lineales que
presentan una parte discontinua en la ley de control. La estrategia consiste en conmutar
entre varios sistemas de control con dinámicas diferentes en lazo cerrado. Incluso aún
cuando estás dinámicas sean inestables, el alternar convenientemente entre ellas puede
producir un comportamiento estable en lazo cerrado.
Las primeras leyes elementales de VSC se obtuvieron en la Unión Soviética al final
de los años 50 y fueron publicadas en inglés a partir de los 70 por Itkis, Utkin y Slotine
[10]. El Control por Modo Deslizante, (Sliding Mode Control - SMC) es un tipo particular
de control por Estructura Variable (Variable Structure Control – VSC). Los sistemas VSC
se desarrollaron a partir de los estudios de Emelyanov y Barbashin (Rusia 1957-1970) [11,
12, 13].
Los sistemas de VSC son una clase de sistemas en los que la ley de control se
cambia durante el control de proceso según unas reglas definidas que dependen del estado
del sistema. Cuando la regla que conmuta de una estructura de control a otra se establece
mediante una función de conmutación denominada superficie de deslizamiento s(t) y la ley
de control se diseña para obtener una comportamiento en lazo cerrado descrito por dicha
superficie, al Control por Estructura Variable se denomina Control por Modo Deslizante.
En la etapa inicial de SMC hasta 1962, los sistemas estudiados fueron de segundo orden y
lineales, en el espacio de estados canónico (estado y sus derivadas) con estructuras de
control proporcional y conmutación por signo de una función lineal de los estados. La ley
de control SMC en una etapa inicial es discontinua según el signo de la superficie
deslizante, resultando un control robusto ante perturbaciones, incertidumbres paramétricas
37
38
Capítulo 3. Modos Deslizantes
y errores de modelado, y proporciona el desempeño dinámico correspondiente a un control
proporcional o constante.
En los estudios del control por modos deslizantes hasta mediados de los años 60 se
establecía que la superficie deslizante y las estructuras de la ley de control se escogen de
forma que se satisface la condición de alcanzabilidad denominada aproximación de función
de conmutación directa.
Utkin presenta en 1972 el concepto de ley de control equivalente [14, 15], basado en
los desarrollos de Filippov y Drazenovic que presenta la señal de control nominal cuando
s(t)= 0 [16, 17]. A partir de 1962 se consideraron sistemas variables en el tiempo de
cualquier orden y de 1970 a 1983 se estudio el SMC en espacios de estados más generales y
sistemas no lineales con superficies no lineales [14].
En las décadas de los 80’s y 90’s se dieron grandes pasos para la difusión y
aplicación del SMC. Utkin publica un trabajo acerca de la visión de conjunto sobre VSC en
1984 [18]. En 1983 Slotine y Sastry [19, 20, 21] transformaron los esquemas de la teoría
clásica de SMC para un gran número de sistemas no lineales y variables en el tiempo. La
metodología que desarrolló establecía un compromiso entre el seguimiento preciso y la
robustez ante dinámicas no modeladas de alta frecuencia (incertidumbres no estructuradas).
Se introduce el concepto de modo quasideslizante o pseudodeslizante en una banda entorno
a la superficie, de forma que al suavizar la discontinuidad de la ley de control, la dinámica
del estado dentro de dicha banda es sólo una aproximación de la dinámica ideal deseada
que anula la superficie (modo de deslizamiento).
En 1985 Redl y Sokal presentan controladores por modos deslizantes de corriente
basados en las técnicas de realimentación de tensión y corriente que son sencillos de
implementar y ofrecen una regulación con respuesta transitoria cercana a la óptima pero
que, como contrapartida, poseen parámetros dependientes del punto de trabajo del
convertidor [22]. En 1988 DeCarlo y otros autores presentaron un compendio de las
aplicaciones de SMC a los sistemas multivariables [23].
En el contexto de las fuentes de CD conmutadas, el control en modo deslizante se
ha aplicado históricamente por primera vez en la regulación de tensión DC/DC. En 1987
Sira- Ramirez presenta superficies de deslizamiento lineales sobre convertidores
elementales estudiándose la existencia de régimen deslizante en el plano de fase [22]. En
1989 Sira-Ramírez describe la equivalencia existente entre el régimen deslizante y la
respuesta obtenida con un control PWM en sistemas de dinámica no lineal. Para lograr este
objetivo el estudio debe presuponer una frecuencia de conmutación infinita [22].
En 1992 Utkin presenta una nueva aproximación al control basado en modos
deslizantes en tiempos discretos [15]. Gao y Hung propusieron en 1993 un nuevo diseño de
SMC basado en la aproximación de la ley de alcanzabilidad (Reaching Law Approah) [24,
25, 26].
En 1994 Utkin desarrolló métodos de diseño basados en modos deslizantes para el
control de robots manipuladores y móviles operados en el espacio de trabajo con
3.1 Estado del arte
39
obstáculos. La idea central del diseño del control descansa en al utilización de un subvector de estados como un control intermedio [25].
En 1994 Sira-Ramírez y Rios-Bolivar presentan un método de síntesis de controles
por modos deslizante para convertidores de potencia conmutados DC/DC. 1995 Nicolas,
Fadel y Chéron desarrollan una ley de control de estructura variable basada en la Función
de Lyapunov en un convertidor reductor con filtro de entrada [22].
En el 2001 Zhou presenta un esquema de control hibrido, combinando estrategias
del Control Predictivo basado en Modelo (MPC) [27]; este mismo año Utkin presenta una
nueva aproximación en lazo cerrado para estimar la velocidad de la máquina de inducción y
la constante de tiempo del rotor a partir de las mediciones del voltaje en terminales y
corrientes para el control de velocidad/par, para dicho propósito, se definió un nuevo
estimador de estado, el cual elimina la información del flujo de la máquina, se definió una
función de Lyapunov y fue derivada para determinar la velocidad y resistencia del rotor.
También Garcia Gabín y E. F. Camacho han presentado trabajos con Control Predictivo
Generalizado (GPC) utilizando modos deslizantes para sistemas de fase no mínima [9].
En el 2002 Utkin inicia el control de máquinas eléctricas para cuando no es posible
medir todas las variables de estado para la implementación del controlador. Un observador
basado en modos deslizantes es usado para estimar las variables de estado y así usarlas en
la ley de control.
En cuanto a desarrollos que emplean representaciones externas de sistemas
mediante funciones de transferencia y modelos simplificados de primer orden mas tiempo
muerto (POMTM), O. Camacho y otros han presentado en el 2003 un controlador hibrido
en tiempo continuo empleando el control por modelo interno (IM-SMC) [10].
El control por modos deslizantes también se ha trasladado a la utilización en el
control de procesos químicos, donde Garcia-Gabín y E. F. Camacho han presentado en el
2005 un control predictivo por modos deslizantes aplicado a procesos químicos con
retardos de tiempos [27].
Otras publicaciones sobre desarrollos para sistemas no lineales son las de SiraRamírez y Young y Rao con incertidumbres y retardos [10]. De igual manera se
desarrollaron observadores basados en modos deslizantes [28], así como diseños mediante
redes neuronales y sistemas difusos utilizando modos deslizantes [10]. En los últimos años
se han sintetizado controladores para seguimiento de trayectoria de barcos y vehículos.
El campo de aplicaciones del control por modos deslizantes está aumentando,
investigadores están trabajando para demostrar la eficacia de este control en los sistemas
eléctricos y mecánicos. Algunos de los campos principales de investigación en el asunto se
muestran en la fiigura 3.1.
40
Capítulo 3. Modos Deslizantes
Accionadores de Motores
(Cucej 95), (Wang 00),
(Rong 01), (Chen 01),
(Vaez 02) y (Barambones
03)
Rectificadores
AC/CD (Marino
95), (Lopez 00),
(Tsang 02)
Aplicaciones en
Robotica (Chao 94),
(Istefanopus 02) y
(Sanchez 03)
Procesos químicos
(Camacho 95, 05)
SMC
Reactores
Nucleares
(Shtessel 98) y
(Huang 04)
Soldadura con
arco (Drakunov 96)
Sistemas de energía
Eolica (De Battista 00)
Accionadores de
disco duro (Zhou 01)
Aplicaciones en vehículos
aeroespaciales y de motor
(Sira-Ramirez 94), (Terui 98),
(Jafarov 02), (Hess 02),
(Kawasaki 02)
Figura 3.1. Aplicaciones del Control por Modos Deslizantes
3.2 Introducción a los modos deslizantes
El termino modo deslizante aparece primero en el contexto de sistemas relevadores.
El control puede aparecer como una función de conmutación a alta frecuencia de los
estados del sistema; esto es llamado modo deslizante. Puede ser aplicado en el más simple
sistema relevador de primer orden con el estado variable x ( t ) .
(3.1)
x = f ( x ) + u
Con la función f ( x ) acotada, f ( x ) < f 0 = constante y el control como una función
relevadora del error de seguimiento e = r ( t ) − x véase figura 3.2; donde r ( t ) es la entrada
de referencia y u está dada por
 u si e > 0
u= 0
o u = u0 sign ( e )
−u0 si e > 0
u0 = constante
(3.2)
41
3.3. Modos Deslizantes en Sistemas Relevadores y de Estructura Variable
u0
u
e
e
−u 0
Figura 3.2. Control relevador
Los valores de e y de
= e = r − f ( x ) − u0 sign ( e ) tienen diferentes signos si
dt
u0 > f 0 + r . Esto significa que la magnitud del error de seguimiento decrece a una taza
finita y el error es igual a cero después de un intervalo de tiempo finito T. El argumento de
la función de control e, es igual a cero.
Para cualquier implementación en la vida real, debido a las imperfecciones en los
dispositivos de conmutación se debe obtener la media de los interruptores de control a alta
frecuencia o tomar valores intermedios para aproximaciones continuas de la función de
conmutación. Formalmente, el modo deslizante puede aparecer no solo en sistemas de
control discontinuos sino en cualquier sistema dinámico con discontinuidades en la
ecuación dinámica.
3.3 Modos deslizantes en sistemas relevadores y de estructura
variable
Un ejemplo convencional para demostrar el modo deslizante en términos del
método espacio estado es un sistema relevador invariante en el tiempo de segundo orden
como se muestra en 3.3.
x + a2 x + a1 x = u + f ( t )
u = Msign ( s ) ,
s = x + cx
(3.3)
Donde M, a1, a2, c son parámetros constantes y f ( t ) es un disturbio acotado.
El comportamiento del sistema puede ser analizado en el plano de estados ( x, x ). El
plano de estado se muestra en la figura 3.3 para a2 = a1 = 0 . La ley de control u
experimenta discontinuidades en la superficie de conmutación S = 0 y las trayectoria de los
estados son constituidas por dos familias; la primera familia corresponde para S > 0 y
u = -M (semiplano superior); y la segunda familia corresponde a S < 0 y u = M (semiplano
inferior).
41
42
Capítulo 3. Modos Deslizantes
Figura 3.3. Plano de estados del sistema relevador de segundo orden
Dentro del sector m-n en la superficie de conmutación la trayectoria de los estados
son orientadas hacia la superficie. Habiendo alcanzado el sector en algún tiempo t1, el
estado queda confinado a la superficie deslizante. Esto significa que la trayectoria de los
estados permanecerá en la superficie de conmutación para t > t1. La dinámica de la
trayectoria de los estados del sistema en la superficie de conmutación es llamada modo
deslizante. Cuando se está en el modo deslizante, la trayectoria de los estados coincide con
la superficie de conmutación S=0, esta ecuación puede ser interpretada como:
x + cx = 0
(3.4)
Es importante que la solución del sistema x ( t ) = x ( t1 ) e − c( t −t1 ) no dependa de los
parámetros de la planta ni de las perturbaciones. A esto se le conoce como propiedad de
invariancia, la cual se ve prometedora para el diseño de controladores retroalimentados para
plantas dinámicas que operan bajo condiciones inciertas.
En la implementación real, las trayectorias son confinadas a alguna vecindad de la
superficie deslizante. La desviación del modelo ideal puede ser causada por imperfecciones
en los dispositivos de conmutación tales como pequeños retardos, zona muerta e histéresis,
las cuales pueden provocar oscilaciones a alta frecuencia como se muestra en la figura 3.4.
Este fenómeno también puede aparecer debido a pequeñas constantes de tiempo de sensores
y actuadores que no fueron tomadas en cuenta en el modelo ideal. Este fenómeno es
comúnmente llamado chattering, esto ha sido un obstáculo para el uso de los modos
deslizantes en sistemas de control.
Figura 3.4. Problema del chattering
3.3. Modos Deslizantes en Sistemas Relevadores y de Estructura Variable
43
Las trayectorias de los estados son confinadas a la misma vecindad de la superficie
deslizante para aproximaciones continuas de una función relevadora discontinua como se
muestra en la figura 3.5. En una vecindad δ de la superficie S=0, el control es una función
de estado lineal con una alta ganancia k y los valores propios de el sistema lineal están
cerca de –k y –c. Esto significa que la dinámica en la vecindad consiste de la componente
rápida decayendo rápidamente y de la componente lenta coincidiendo con la solución de la
ecuación del modo deslizante ideal (3.4).
v
M
v = k ( x + cx )
−δ
δ
s
−M
Figura 3.5. Aproximación continúa de un control discontinuo
Los modos deslizantes llegan a ser un modo operacional principal en sistemas de
estructura variable o sistemas constituidos de un juego de subsistemas continuos con
interruptores lógicos propios.
Por ejemplo, un sistema de segundo orden
x − ax = u
( a > 0)
u = − k x sign ( s )
s = cx + x
( k > 0,
c > 0)
Que consiste en dos estructuras lineales inestables, véase figura 3.6.
44
Capítulo 3. Modos Deslizantes
Figura 3.6. Sistema de estructura variable compuesto de dos subsistemas inestables
Mediante la variación de la estructura del sistema a lo largo de las superficies de
conmutación s=0 y x=0 y forzando el modo deslizante, el sistema llega ser asintoticamente
estable véase figura 3.7. La superficie deslizante es alcanzada por cualquier condición
inicial. Si la pendiente de la superficie de conmutación es inferior a la pendiente de la
asintota de la estructura I ( c < c0 ) , entonces las trayectorias de los estados son orientadas
hacia la superficie y el modo deslizante puede iniciar en cualquier punto de S=0. Similar al
sistema relevador, este sistema es controlado por una ecuación de primer orden 3.4 con la
solución x ( t ) = x ( t1 ) e − c( t −t1 ) . Una vez más, la solución no depende de los parámetros de la
planta ni de perturbaciones que se puedan presentar en la planta.
Figura 3.7. Plano de estado del sistema de estructura variable:
s = 0, x + cx = 0
Los ejemplos de sistemas relevadores y de sistemas de estructura variable han
demostrado la reducción del orden del sistema e invariancia con respecto a las
incertidumbres de las plantas de los sistemas con modos deslizantes. Usar estás propiedades
es la idea central de la teoría de estructura variable, en la primera fase cuando solo sistemas
de una entrada-una salida con ecuaciones de movimiento en espacio canónico fueron
estudiadas por Emelyanov en 1970. Un control variable x=x1 y su derivada de tiempo
x(i-1)=xi, (i=1,...,n) son componentes de un vector estático en el espacio canónico.
3.3. Modos Deslizantes en Sistemas Relevadores y de Estructura Variable
( i = 1,… , n − 1)
x = xi +1
n
xn = −∑ ai ( t ) xi + f ( t ) + b ( t ) u
45
(3.5)
i =1
Donde ai(t) y bi(t) son parámetros desconocidos y f(t) es una perturbación
desconocida.
El control experimenta discontinuidades en algún plano s(x)=0 en el espacio estado.
u + ( x, t ) si s ( x ) > 0
u= −
u ( x, t ) si s ( x ) < 0
(3.6)
Donde u+(x, t) y u-(x,t) son funciones de estado continuas, u+ (x, t) ≠ u- (x, t), s(x)
n
= ∑ i =1 ci xi , cn = 1 y c1 , . . . . , cn-1 son coeficientes constantes.
El control discontinuo fue seleccionado tal que las trayectorias de los estados estén
orientadas hacia el plano de conmutación s=0. Una vez que el modo deslizante ha iniciado,
las trayectorias del sistema 3.3 están en la superficie de conmutación,
n −1
xn = −∑ ai ci
(3.7)
i =1
Sustituyendo en la ecuación (n-1) produce la ecuación de modo deslizante
xi = xi + 1
( i = 1,…, n − 2 )
n −1
xn −1 = −∑ ci xi
o x
( n −1)
+ cn −1 x
(3.8)
( n−2)
+ … + c1 = 0
i =1
La ecuación de dinámica es de orden reducido y no depende de ningún parámetro de
la planta ni de las perturbaciones. Las dinámicas deseadas del modo deslizante pueden ser
asignadas mediante una elección propia de los parámetros del plano de conmutación ci.
Aunque la propiedad invariancia es muy útil, esto ha creado la ilusión de que
cualquier problema de control puede ser resuelto fácilmente mediante el forzamiento del
modo deslizante en el sistema. El problema principal es que el espacio de las derivadas de
estado es una idealización matemática y los diferenciadores ideales difícilmente son
implementados. Como resultado, el otro extremo aparece reflejando un cierto pesimismo
sobre la posibilidad de implementación de sistemas de estructura variable con modos
deslizantes. Pero la negativa para usar modos deslizantes en sistemas de control probados
para ser tan irrazonable como bueno.
En los procesos tecnológicos modernos es común que el control y la salida del
sistema pueden ser vectores de valores y solo algunos componentes del vector son
46
Capítulo 3. Modos Deslizantes.
accesibles para medir. El espacio canónico aproximado no muestra como puede ser
diseñado el control en tales situaciones. La segunda fase de los estudios del sistema de
estructura variable esta dedicada al desarrollo de métodos de diseño para sistemas con
ecuaciones de movimiento en un espacio-estado arbitrario con vector de acción de control y
variables del vector para ser controlado dado por Utkin en 1983.
3.4 Descripción del modo deslizante
Considérese el sistema no lineal afín en el control
x = f ( x ) + g ( x ) u
(3.9)
Donde x ∈ X ⊂ n es el vector de estados, u : n → es la acción de control y f y
g son campos vectoriales locales suaves definidos en X, con g ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ X .
Si se define σ como una función suave σ : X → , cuyo gradiente ∇S es no nulo en X,
entonces el conjunto [15, 28, 36]:
S = { x ∈ X : σ ( x ) = 0}
(3.10)
Define un subespacio regular en X de dimensión n-1, llamado subespacio de
deslizamiento o superficie de conmutación.
Se puede plantear una ley de control de estructura variable imponiendo que la
acción de control u tome un valor de entre dos valores posibles, dependiendo del signo de
σ ( x ) [28, 36]:
u ( x ) +
u ( x) = 
−
u ( x )
si σ ( x ) > 0
si σ ( x ) < 0
u+ ( x) ≠ u− ( x)
(3.11)
Los valores superiores e inferiores de u (u+(x) y u-(x) respectivamente) son
funciones suaves de x y, sin pérdida de generalidad, se puede aceptar que satisfacen
u + ( x ) > u − ( x ) localmente en X. Si u(x)+ > u(x)- para algún x, lo será siempre porque son
funciones suaves y nunca se igualan.
Supóngase que como resultado de la ley de control 3.11, la función de conmutación
cumple con las siguientes desigualdades localmente en el entorno de S [7]:
σ ( x ) < 0 si σ > 0
σ ( x ) > 0 si σ < 0
(3.12.a)
(3.12.b)
El sistema alcanza el subespacio de deslizamiento S y de ahí en adelante queda
confinado en el entorno de S. Se dice entonces que existe un régimen deslizante sobre S.
47
3.5. Superficie Deslizante
Empleando la derivada de Lie, σ ( x ) = L f + guσ = L f σ + Lgσ u , las desigualdades 3.12.a y
3.12.b se puede escribirse como:
lim L f + gu + u < 0
σ →+0
lim L f + gu − u > 0
σ →−0
(3.13.a)
(3.13.b)
Las desigualdades 3.13.a y 3.13.b implican que la variación de la función escalar
σ ( x ) , siempre se opone al signo de σ ( x ) , garantizando el cruce de S a ambos lados de la
superficie. Debido a las propiedades de linealidad de la derivada de Lie, la ecuación 3.12 se
puede expresar de manera equivalente como:
 L f σ + Lgσ u + < 0 si σ > 0
−
 L f σ + Lgσ u > 0 si σ < 0
σ ( x ) = 
(3.14)
3.5 Superficie deslizante
El propósito de la conmutación de la ley de control es llevar las trayectorias de los
estados del sistema a una superficie predefinida en el espacio de estados y mantener a los
estados en dicha superficie; está superficie es llamada superficie de conmutación o
superficie de deslizamiento. Cuando las trayectorias de los estados del sistema se
encuentran sobre la superficie deslizante la ley de control va tener una ganancia y cuando
las trayectorias de los estados del sistema se encuentren debajo de la superficie de
conmutación la ley de control va tener otra ganancia, por lo que la superficie de
conmutación va a definir la regla para la correcta conmutación de la ganancia de control.
Idealmente una vez que los estados del sistema alcancen la superficie deslizante, la
ley de control mantiene a las trayectorias de los estados del sistema en la superficie
deslizante el tiempo subsiguiente, por lo que las trayectorias de los estados se deslizarán a
lo largo de la superficie.
La superficie de deslizamiento S es la que determina la dinámica del sistema en
modo deslizante, por lo cual, se ha de diseñar de acuerdo con el comportamiento deseado.
Con el objeto de simplificar el diseño de la superficie de deslizamiento, puede llevarse el
sistema a su realización canónica regular.
La tarea más importante del diseño del control conmutado es que los estados del
sistema alcancen la superficie y se mantengan en ella. Esta tarea se puede lograr utilizado el
método de Lyapunov que es equivalente a las desigualdades 3.13.
El método de Lyapunov normalmente usa determinadas propiedades de un punto de
equilibrio sin resolver la ecuación de estado. Definimos la función candidata de Lyapunov
V(x) como una función escalar continuamente diferenciable definida en un dominio S que
contiene al origen [15,36].
48
Capítulo 3. Modos Deslizantes.
Una función V(x) se dice que es definida positiva si V(0)=0 y V(x)>0 para todo x y
se dice que definida negativa si V(0)=0 y V(x)<0 para todo x. El método de Lyapunov se
usa para asegurar que la función sea definida positiva cuando la superficie sea negativa y la
función es definida negativa si la superficie es positiva.
Una función de Lyapunov caracteriza la dinámica de las trayectorias de los estados
hacia la superficie deslizante, por lo que la función de Lyapunov es definida en términos de
la superficie de deslizamiento [2, 15].
V ( x) =
1 T
s s>0
2
(3.15)
Para cada estructura del control se escoge una ganancia tal que la derivada de está
función de Lyapunov se definida negativa (3.16). Después de diseñar correctamente la
superficie deslizante, la conmutación del controlador se hace para que el vector tangente de
las trayectorias de los estados se dirija a la superficie de deslizamiento. Tales controladores
resultan en sistemas de lazo cerrado discontinuos.
(3.16)
<0
V ( x ) = ss
3.6 Método de control equivalente
Una forma de definir un modo deslizante ideal, es recurriendo al método de control
equivalente. En este método, el control equivalente se describe empleando las condiciones
de invariancia del subespacio S:

σ ( x) = 0

σ ( x ) = L f σ + Lgσ ueq = 0
(3.17)
Donde ueq(x) es una ley de control suave para la cual S es un subespacio invariante
local del sistema 3.9. La función de control equivalente ueq(x) puede ser despejada a partir
de la ecuación 3.17, quedando:
ueq ( x ) = −
Lf σ
(3.18)
Lg σ
3.6.1 Dinámica del modo deslizante ideal
Reemplazando u por ueq en el sistema 3.9, se obtiene el sistema:
x = f ( x ) + g ( x ) ueq = f ( x ) −
Lf σ
Lg σ
g ( x)
Sustituyendo la derivada de Lie y operando en 3.19, se obtiene:
(3.19)
49
3.6.1 Dinámica del modo deslizante ideal
−1

∂σ 
 ∂σ 
x =  I − g 
g
 f ( x) = F ( x) f ( x)
∂x 
 ∂x 

que describe la dinámica deslizante ideal.
(3.20)
Por definición, ueq es la acción que hace que los estados del sistema evolucionen
sobre la superficie de deslizamiento S, según esto, F ⋅ f = F + gueq será tangente a S, es
decir normal al gradiente de S ⋅∇S . Matemáticamente esto se expresa como:
F ( x ) f ( x ) ∈ ker (δ S )
(3.21)
Por lo que, se puede considerar a F(x) como un operador de proyección que se
aplica al vector f(x) y lo proyecta sobre el plano tangente a la superficie S en el punto x.
Por otro lado, considérese un vector V colineal con g (V ∈ span(g)) de amplitud
arbitraria posiblemente función de x.
V = g µ ( x ) con µ ( x ) : n → (3.22)
La aplicación a este vector del operador F proyecta a V sobre el origen. En efecto,
−1

 ∂σ 
F ( x )V ( x ) =  I − g 
g
 ∂x 

∂σ 
 g ( x) µ ( x) = 0
∂x 
(3.23)
El hecho que la expresión 3.23 se anule, se puede interpretar como el vector F(x)
proyecta cualquier vector en la dirección de g(x). Por lo tanto, F(x) proyecta cualquier
vector sobre el subespacio tangente de S en el punto x a lo largo del span (g). En la figura
3.8 se aprecia este hecho, se observa que F ⋅ g es la proyección de f sobre S en la dirección
de g. Y que, por lo tanto, el valor de ueq es tal que F ⋅ g es tangente a S.
f + gu −
gu −
∇S
g
f
F ⋅ f = f + gueq*
f + gu +
gueq*
S
gu +
Figura 3.8. Dinámica del modo deslizante ideal. Interpretación geométrica del operador F.
50
Capítulo 3. Modos Deslizantes.
3.6.2 Existencia del control equivalente
Se dice que el control equivalente está bien definido si ueq existe y queda
unívocamente determinado a partir de las condiciones de invariancia dada a partir de la
expresión 3.17.
Lema 1
Es condición necesaria y suficiente para que el control equivalente esté bien
definido, que la condición de transversalidad:
Lgσ =
∂σ
g≠0
∂x
(3.24)
se satisfaga localmente en S.
Geométricamente, este lema establece que el vector campo g no puede ser
tangencial al subespacio de deslizamiento S : g ∉ ker (δ S ) .
3.6.2.1 Condición necesaria para la existencia del modo deslizante
En base a la condición de de transversalidad se puede establecer una condición
necesaria para la existencia de un régimen deslizante.
Lema 2
Una condición necesaria para la existencia de modo deslizante local en S, es que la
acción de control equivalente ueq(x) esté bien definido.
En efecto, si ueq(x) no está bien definido, es decir si Lgσ = 0 , las condiciones de
existencia del modo deslizante 3.16 no pueden satisfacerse simultáneamente.
Lema 3
Suponiendo, sin pérdida de generalidad que u + ( x ) > u − ( x ) , es condición necesaria
para la existencia de un régimen deslizante sobre S que
Lgσ =
∂σ
g<0
∂x
(3.25)
en S.
Nótese que el signo de la condición de transversalidad es dependiente de la
orientación de S.
3.6.2.2 Condición necesaria y suficiente para la existencia de un régimen deslizante
51
3.6.2.2 Condición necesaria y suficiente para la existencia de un régimen
deslizante
Una condición necesaria y suficiente para la existencia local de modo deslizante en
S, es que para x∈ S, se cumpla:
u − ( x ) < ueq − ( x ) < u + ( x )
(3.26)
Entonces el control equivalente ueq(x) se puede, interpretar como una acción de
control promedio entre las acciones de control máxima y mínima del sistema.
3.7 Perturbaciones en el sistema de modos deslizantes
Supóngase que al sistema de la ecuación 3.9, se incluyen perturbaciones tales que:
x = f ( x ) + g ( x ) u + d
(3.27)
donde d ∈ n es un vector de perturbaciones que pueden ser paramétricas o
perturbaciones no estructuradas externas. En caso más general, el vector de perturbaciones
puede ser descompuesto unívocamente en dos vectores:
d = g ( x) µ ( x) +η ( x)
(3.28)
donde µ ( x ) : n → es una función escalar suave y por tanto la componente
g(x)µ(x) es colineal a g(x); y la componente η(x) es un vector perteneciente al subespacio
tangente a la superficie S. Esta descomposición se puede llevar a cabo en el caso más
general, ya que g(x) no pertenece al subespacio tangente a la superficie, de acuerdo con la
condición de transversalidad de modo deslizante dada por 3.24.
3.7.1 Robustez del régimen deslizante
Planteando el control equivalente a partir de las condiciones de invariancia de
S (σ ( x ) = 0, σ ( x ) = 0 ) , resulta:
σ ( x ) = L f σ + Lgσ ueq + Ld σ = L f σ + Lgσ ueq + Lg µ +ησ = 0
(3.29)
Aplicando las propiedades de la derivada direccional a la expresión 3.29:
σ ( x ) = L f σ + Lgσ ueq + Lησ + Lgσµ = 0
Como η
(3.30)
por definición es tangente a la superficie S, Lησ = 0 , es decir, la
componente η de la perturbación no va afectar a la existencia del modo deslizante, y por lo
tanto, la acción de control equivalente quedará como:
52
Capítulo 3. Modos Deslizantes.
ueq ( x ) = −
L f + g µσ
Lg σ
=
Lf σ
Lg σ
−µ
(3.31)
*
Llamando ueq
a la acción de control equivalente del sistema sin perturbación, se
*
puede escribir la ecuación 3.31 en función ueq
como:
*
ueq ( x ) = ueq
−µ
(3.32)
A partir de la acción de control equivalente y según la ecuación 3.26, la condición
necesaria y suficiente para la existencia del modo deslizante queda como:
*
u − < ueq
− µ < u+
(3.33)
*
< u+ + µ
u − − µ < ueq
(3.34)
Como conclusión, se puede afirmar que la componente de la perturbación µg afecta
directamente a la existencia del modo deslizante.
3.7.2 Robustez de la dinámica de modo deslizante
Para poder estudiar los efectos de la perturbación en la dinámica del sistema en el
modo deslizante, se sustituye la acción de control equivalente en la ecuación de estado del
sistema perturbado 3.27:
x = f ( x ) + g ( x ) ueq ( x ) + g ( x ) µ ( x ) + η ( x )
(3.35)
Aplicando el resultado de la ecuación (22):
x = f ( x ) + g ( x ) ( ueq ( x ) − µ ( x ) ) + g ( x ) µ ( x ) + η ( x )
(3.36)
Desarrollando se tiene
x = f ( x ) + g ( x ) ueq ( x ) + η ( x )
= F ( x) f ( x) +η ( x)
Propiedad de invariancia fuerte del modo deslizante
Se dice que el modo deslizante presenta una propiedad de invariancia fuerte a la
perturbación d, siempre que la dinámica deslizante ideal sea independiente de la
perturbación. Esto se cumple en los casos en que la perturbación es de la forma:
d = g ( x) µ ( x)
(3.37)
53
3.7.2. Robustez de la Dinámica de Modo Deslizantes
Es decir, la perturbación sólo presenta componente colineal a g(x). Está condición se
reconoce como condición vinculante.
Propiedad de invariancia débil del modo deslizante
Se dice que el modo deslizante presenta una propiedad de invariancia débil a la
perturbación d, cuando no cumple la condición vinculante 3.37.
En resumen se observa que:
 NO afecta la dinámica del modo deslizante
SI afecta a la existencia del modo deslizante
µg 
SI afecta la dinámica del modo deslizante
 NO afecta a la existencia del modo deslizante
η
Interpretación geométrica del efecto de la perturbación
En la figura 3.9 se muestra el sistema afectado por una perturbación η tangente a la
superficie S. Se observa que el valor de ueq no varía respecto de aquel obtenido sin
perturbación, con lo que la condición de existencia no varía. Sin embargo la dinámica del
modo deslizante sí se ve afectada (vector F ⋅ ( f + η ) diferente de F ⋅ f ).
f + gu −
gu −
∇S
f + η + gu −
gu −
η
f
g
η
f + gueq*
gueq
gueq
f + η + gueq
gu +
S
gu +
f + gu +
f + η + gu +
Figura 3.9. Interpretación geométrica del efecto de una perturbación tangente a S sobre la dinámica en modo
deslizante.
En la figura 3.10 se muestra el sistema afectado por una perturbación d colineal al
vector g, y se aprecia el efecto sobre el valor de ueq, lo cual modifica la condición de
existencia respecto del sistema no perturbado. Sin embargo, el valor de la proyección
F ⋅ ( f + d ) coincide con la de F ⋅ f , lo que indica la invariancia de la dinámica del
régimen deslizante.
54
Capítulo 3. Modos Deslizantes.
f + gu −
f + d + gu
−
gu −
gu −
∇S
f
f + gueq*
∇S
d
f + d + gueq
gueq*
f + gu +
gueq
S
gu +
f + d + gu +
gu +
Figura 3.10. Interpretación geométrica del efecto de una perturbación colineal a g sobre la existencia del
modo deslizante.
Capítulo 4
Diseños de los controladores
En este capítulo se presenta el diseño de los controladores por modos deslizantes de
velocidad y posición de los diferentes tipos de motores de CD que se estudiaron en el
capítulo 2. Para garantizar la existencia del modo deslizante se utilizan las condiciones de
invariancia y la función candidata de Lyapunov, de manera que si se satisfacen estás
condiciones se puede garantizar la existencia del modo deslizante.
Se presenta el diseño de un controlador PID con el fin de comparar los desempeños
de ambos controladores.
4.1 Algoritmo para el diseño de los controladores
Superficies deslizantes
Considere un sistema dinámico de la forma, [2, 25, 37]
x( n ) = f ( x ) + b ( x ) u
(4.1)
donde el escalar x es la salida de interés, el escalar u es la entrada de control y
T
x =  x x … x( n −1)  es el vector de estados. En la ecuación (4.1) la función f(x) es conocida
con exactitud, pero la magnitud de la imprecisión en f(x) es acotada superiormente por una
función continua conocida de x; de manera similar la ganancia de control b(x) se desconoce
con exactitud.
El problema de control radica en hacer que el estado x siga un estado variante en el
T
tiempo x d =  xd xd … xd( n −1)  [2, 37] en presencia de las imprecisiones del modelo en f(x) y
b(x).
Para que la tarea de seguimiento se logre se debe usar una u de control finita [37], el
estado inicial deseado x d ( 0 ) debe ser tal que;
xd ( 0) = x ( 0 )
55
(4.2)
56
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
Una simplificación notacional
Definiendo x = x − xd como el error de seguimiento en la variable x, y haciendo, [2,
37, 38]
x = x - x d =  x
T
x … x ( n −1) 
(4.3)
el vector de error de seguimiento. Además definimos una superficie variante en el
tiempo S ( t ) en el espacio de estados R ( n ) mediante la ecuación escalar s ( x, t ) = 0 [2, 37,
39], donde
d

s ( x, t ) =  + c 
 dt

n −1
x
(4.4)
Donde c es una constante estrictamente positiva. Por ejemplo si n=2,
s = x + cx
Ley de control
La ley de control la podemos expresar como [7, 38, 40]
u +
u =  0−
u0
si S ( x ) > 0
si S ( x ) < 0
u+ ( x) ≠ u− ( x)
o
(4.5)
u = u0 sign ( S ( x ) )
El valor de x y de x = xd − f ( x ) − u0 sign ( S ( x ) ) tienen diferentes signos si
u0 > f 0 + x , esto significa que la magnitud del error de seguimiento decae a una velocidad
finita y el error es igual a cero después de un intervalo de tiempo finito T véase figura 4.1
[38].
Figura 4.1. Control de seguimiento modo deslizante
57
4.2. Control por Modos Deslizantes del Motor de Excitación Separada
La ley de control u experimenta discontinuidades en la línea de conmutación s=0 y
las trayectorias de los estados son constituidas por dos familias: la primera familia
corresponde a t > 0 y u = -u0 (semiplano superior); la segunda familia corresponde a s < 0
y u = u0 (semiplano inferior).
Existencia del control
Se dice que el control está bien definido si u existe y queda unívocamente
determinado a partir de las condiciones de invariancia dada por la ecuación 4.6, [7, 38].
 S ( x ) = 0

 S ( x ) = 0
(4.6)
La condición para que el control por modos deslizantes exista en la superficie
deslizante s = 0 está dada por la ecuación:
lim Si < 0
Si → 0+
y
lim Si > 0
Si → 0−
(4.7)
Lo cual es equivalente a tener la condición dada por la derivada de la función
candidata de Lyapunov [38,39]
1 T
S S >0
2
(4.8)
V = s ( x ) s ( x ) < 0
(4.9)
V=
Por lo cual la condición que se debe cumplir para que el modo deslizante exista en
la vecindad de Si ( x ) = 0 , cuando todas las trayectorias converjan a la superficie de
conmutación [2, 38, 39].
4.2 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD de
Excitación Separada
El modelo de la máquina de CD de excitación separada se obtiene a partir del
equivalente eléctrico de la figura 2.6 y de las ecuaciones 2.12 y su desarrollo se presenta en
el anexo A.1.
di f
dt
=
1
( −Rf i f + v f )
LFF
58
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
dia
1
=
( −raia − LAF i f ωr + va )
dt LAA
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAF i f ia − TL )
dt
J
4.2.1 Control de velocidad
Se define el error de seguimiento de velocidad como e = ωr* − ωr , donde ωr* es la
velocidad de referencia.
La ecuación dinámica en términos del error se definen como x1 = e y x2 = e .
Entonces la ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados x1 y x2 está
dada por la ecuación 4.10, el desarrollo de este sistema se presenta en B.1.
x1 = x2
x2 = −a1 x1 − a2 x2 + f ( t ) − bva
(4.10)
 ra Bm L2AF i 2f
donde a1 = 
+
 JL
 AA JLAA

L i
 ra
B 
+ m  , b = AF f , va es el voltaje de
 , a2 = 
JLAA
 LAA J 

r
T
armadura y la perturbación está dada por f ( t ) = ω* + a2ω * + a1ω * + a TL + L , que
JLAA
J
depende de la velocidad deseada, las perturbaciones del par de carga y la corriente de
campo.
Como el sistema 4.10 es de segundo orden la superficie de conmutación es diseñada
a partir de la ecuación 4.4 y queda:
S = cx1 + x2
(4.11)
Con c siendo una constante positiva. La ley de control es definida como:
u = u0 s ign ( S )
(4.12)
donde u0 es el voltaje de línea. De acuerdo a está ecuación el error de seguimiento
de velocidad x1 decae exponencialmente después de que ocurre el modo deslizante en la
superficie S = 0 , i.e
S = cx1 + x2 = 0
donde la constante c determina la velocidad de convergencia.
(4.13)
59
4.2.2. Control de Posición
La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los
parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t) por lo que el sistema es insensible al cambio en los
parámetros eléctricos y mecánicos de la máquina.
La ganancia de control u0 debe ser seleccionada tal que la derivada de la función
candidata de Lyapunov SS < 0 se satisfaga, para que el modo deslizante exista. Por lo que
u0 debe cumplir con la condición 4.14;
u0 >
1
cx2 − a1 x1 − a2 x2 + f ( t )
b
(4.14)
donde u0 = va
Después de un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema alcanzará el la
superficie deslizante 4.13. Después de esto, la respuesta del sistema solo depende del
parámetro de diseño c, el valor de este parámetro debe ser positivo y para la simulación se
tomó el valor de 15, ya que con dicho valor presentó un buen desempeño dinámico.
4.2.2 Control de posición
Agregamos al modelo del motor de CD de excitación separada la variable de estado
posición por lo que se tiene:
dθ r
= ωr
dt
Se define el error de seguimiento de posición como e = θ r* − θ r , donde θ r* es la
posición de referencia. Las variables de estado quedan definidas como x1 = e , x2 = e y
x3 = e . La ecuación del motor de CD de excitación separada con respecto a los estados x1 ,
x2 y x3 está dada por 4.15 su desarrollo se presenta en B.1.
x1 = x2
x2 = x3
(4.15)
x3 = −a1 x2 − a2 x3 + f ( t ) − bva
 ra Bm L2AF i 2f
donde a1 = 
+
 JL
 AA JLAA

L i
 ra
B 
+ m  , b = AF f , va es el voltaje de
 , a2 = 
JLAA
 LAA J 

r
T
armadura y la perturbación es f ( t ) = θ* + a2θ* + a1θ* + a TL + L , la función de la
JLAA
J
perturbación depende de la posición deseada, las perturbaciones del par de carga y la
corriente de campo.
60
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
El sistema 4.15 es de tercer orden, entonces la función de conmutación es diseñada a
partir de la ecuación 4.4,
S = c1 x1 + c2 x1 + x1
(4.16)
Con c1 y c2 siendo constantes positivas. La ley de control es definida como:
u = u0 s ign ( S )
(4.17)
donde u0 es el voltaje de línea.
De acuerdo a la ecuación (4.17), cuando se alcanza el modo deslizante en la
superficie S = 0 (4.6), el error de seguimiento de posición x1 decae exponencialmente.
S = c1 x1 + c2 x2 + x3 = 0
(6.18)
Las constantes c1 y c2 determinan la velocidad de convergencia y la dinámica del
sistema. Una vez que el sistema alcance el modo de deslizamiento, la dinámica del sistema
es independiente de los parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t).
Para garantizar que el modo deslizante exista se debe seleccionar la ganancia de
control u0 de tal manera que la derivada de la función candidata de Lyapunov SS < 0 se
cumpla, por lo que u0 debe satisfacer la siguiente condición.
u0 >
1
c1 x2 + c2 x3 − a1 x2 − a2 x3 + f ( t )
b
(6.19)
donde u0 = va
Pasando un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema alcanzara la superficie
deslizante 4.18. Una vez ocurrido esto, la respuesta del sistema solo depende de los
parámetros de diseño c1 y c2 . La ganancia de control c1 es seleccionada como c1 = 30 y la
ganancia c2 es seleccionada como c2 = 10 ; ambas ganancias deben de ser positivas y se
escogieron los valores con los que se obtuvo el mejor desempeño dinámico en la
simulación del sistema.
4.3 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD de Imán
Permanente
El modelo del motor de CD de imanes permanentes se obtuvo en el capitulo 2 en la
sección 2.4.2 a partir de estas se obtienen las siguientes ecuaciones, para ver el desarrollo
de las ecuaciones refiérase al anexo A.2.
61
4.3. Control por Modos Deslizantes del Motor de Imán Permanente
dia
1
=
( va − ia Ra − ωr kv )
dt LAA
d ωr 1
= ( − Bmωr + kv ia − TL )
dt
J
4.3.1 Control de velocidad
Se define el error de seguimiento de velocidad como e = ωr* − ωr , donde ωr* es la
velocidad de referencia.
Ahora se definen las variables de estados como: x1 = e y x2 = e . La dinámica del
motor de CD de imanes permanentes con respecto a los estados x1 y x2 está dada por el
sistema 4.20, y su desarrollo se muestra en B.2.
x1 = x2
x2 = −a1 x1 − a2 x2 + f ( t ) − bva
(4.20)
rB
 r
k2 
B
donde a1 =  a m + v  , a2 =  a + m
 JLAA JLAA 
 LAA J

kv
, va es el voltaje de
, b =
JLAA

r
T
armadura y la perturbación está dada por f ( t ) = ω* + a2ω * + a1ω * + a TL + L , que
JLAA
J
depende de la velocidad deseada y las perturbaciones del par de carga.
El sistema 4.20 es de segundo orden, por lo que la función de conmutación es
diseñada a partir de 4.4 y se tiene
S = cx1 + x1
donde c debe de ser una constante positiva.
(4.21)
La ley de control es definida como:
u = u0 s ign ( S )
(4.22)
donde u0 es el voltaje de línea.
De acuerdo a la ecuación 4.22 una vez que los estados alcancen el modo deslizante
en la superficie S = 0 dada por la condición de invariancia 4.6, el error de seguimiento de
velocidad x1 decae exponencialmente,
S = cx1 + x2 = 0
donde la constante c determina la velocidad de convergencia.
(4.23)
62
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los
parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t). La ganancia de control u0 debe ser seleccionada
tal que la derivada de la función candidata de Lyapunov SS < 0 se satisfaga, para que el
modo deslizante exista, por lo que u0 debe satisfacer la siguiente condición.
u0 >
1
cx2 − a1 x1 − a2 x2 + f ( t )
b
(4.24)
donde u0 = va
El control llevará a los estados sistema en un intervalo de tiempo finito a la
superficie deslizante 4.23. Después de esto, la respuesta del sistema solo depende del
parámetro de diseño c. La ganancia de control c es seleccionada como c = 250 y este valor
se escogió debido a que fue con el que mejor desempeño presentó durante la simulación.
4.3.2 Control de posición
Para realizar el control de posición agregamos al modelo del motor de CD de
imanes permanentes la variable de estado posición
dθ r
= ωr
dt
Se define el error de seguimiento de posición como e = θ r* − θ r , donde θ r* es la
posición de referencia.
Asignamos las variables de estado de la siguiente de la siguiente manera: x1 = e ,
x2 = e y x3 = e ; por lo que la ecuación dinámica del motor de CD de imán permanente con
respecto a los estados x1 , x2 y x3 estará dada por 4.25 y su desarrollo se muestra en B.2.
x1 = x2
x2 = x3
x3 = −a1 x2 − a2 x3 + f ( t ) − bva
(4.25)
 ra Bm
 ra
kv2 
B 
k
donde a1 = 
+
+ m  , b = v , va es el voltaje de
 , a2 = 
JLAA
 JLAA JLAA 
 LAA J 
r
T
armadura y la perturbación está dada por f ( t ) = θ* + a2θ* + a1θ* + a TL + L que
JLAA
J
depende de la posición deseada, las perturbaciones del par de carga.
4.4. Control por Modos Deslizantes del Motor de CD en Derivación
63
La superficie de conmutación es diseñada a partir de la ecuación 4.4, para el sistema
de tercer orden 4.25, por lo que se tiene
S = c1 x1 + c2 x1 + x1
(6.26)
Con c1 y c2 siendo constantes positivas.
Entonces, la ley de control es definida como:
u = u0 s ign ( S )
(4.27)
donde u0 es el voltaje de línea.
La ecuación 4.27 nos dice que el error de seguimiento de posición x1 decae
exponencialmente después de que se alcanza el modo deslizante en la superficie S = 0
(4.6),
S = c1 x1 + c2 x2 + x3 = 0
(4.28)
Las constantes c1 y c2 determinan la velocidad de convergencia y la dinámica del
sistema. La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los
parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t).
Para garantizar que el modo deslizante exista, la ganancia de control u0 debe ser
seleccionada tal que la derivada de la función candidata de Lyapunov SS < 0 se cumpla,
por lo que u0 debe satisfacer la siguiente condición.
u0 >
1
c1 x2 + c2 x3 − a1 x2 − a2 x3 + f ( t )
b
(4.29)
donde u0 = va
El estado del sistema alcanzará la superficie deslizante dada por la ecuación 4.28,
después de un tiempo finito. Una vez ocurrido lo anterior la respuesta del sistema solo
depende de los parámetros de diseño c1 y c2 . La ganancia de control c1 es seleccionada
como c1 = 3000 y la ganancia c2 es seleccionada como c2 = 100 , las constantes deben de
ser positivas y los valores que se eligieron son con los que el sistema presenta un mejor
desempeño
4.4 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD en
Derivación
El modelo de la máquina de CD en derivación se obtuvo en el capítulo dos en la
sección 2.4.3, el desarrollo de estas ecuaciones se presenta en el anexo A.3.
64
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
di f
1
( −Rf i f + v f )
dt LFF
dia
1
=
( −raia − LAF i f ωr + va )
dt LAA
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAF i f ia − TL )
dt
J
=
4.4.1 Control de velocidad
Se define el error de seguimiento de velocidad como e = ωr* − ωr , donde ωr* es la
velocidad de referencia.
Las variables de estado las definimos como x1 = e y x2 = e . Entonces la ecuación
dinámica del motor de CD con respecto a los estados x1 y x2 está dada por 4.30, el
desarrollo de este sistema se presenta en el anexo B.3.
x1 = x2
x2 = −a1 x1 − a2 x2 + f ( t ) − bva
rB
L2 i 2
donde a1 =  a m + AF f
 JL
 AA JLAA
(4.30)

 ra
B
+ m
 , a2 = 
 LAA J

LAF i f

, va es el voltaje de
, b =
JLAA

r
T
armadura y la perturbación está dada por f ( t ) = ω* + a2ω * + a1ω * + a TL + L que
JLAA
J
depende de la velocidad deseada, las perturbaciones del par de carga y la corriente de
campo. Como el sistema 4.30 es de segundo orden la superficie de conmutación es diseñada
a partir 4.4:
S = cx1 + x2
donde c es una constante positiva.
(4.31)
La ley de control es definida como:
u = u0 s ign ( S )
(4.32)
donde u0 es el voltaje de línea.
La ecuación 4.32 nos indica que el error de seguimiento de velocidad x1 decae
exponencialmente después de que ocurre el modo deslizante en la superficie S = 0 (4.6),
S = cx1 + x2 = 0
donde la constante c determina la velocidad de convergencia.
(4.33)
65
4.4.2. Control de Posición
La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los
parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t) por lo que el sistema es insensible al cambio en los
parámetros eléctricos y mecánicos de la máquina.
La ganancia de control u0 debe ser seleccionada tal que la derivada de la función
candidata de Lyapunov SS < 0 se satisfaga esto para garantizar que el modo deslizante
exista.
Por lo que u0 debe cumplir con la condición 4.34
u0 >
1
cx2 − a1 x1 − a2 x2 + f ( t )
b
(4.34)
donde u0 = va
El sistema alcanzará la superficie deslizante impuesta por 4.33 después de un
intervalo de tiempo finito, después de esto la respuesta del sistema solo depende del
parámetro de diseño c. La ganancia de control c es seleccionada como c = 100 dicho valor
debe ser positivo y el valor que se escogió fue el que presentó mejor desempeño en la
simulación
4.4.2 Control de posición
Para diseñar el control de posición agregamos al modelo del motor de CD en
derivación la variable de estado posición como se muestra a continuación:
dθ r
= ωr
dt
Se define el error de seguimiento de posición como e = θ r* − θ r , donde θ r* es la
posición de referencia.
Las variables de estado se definen como x1 = e , x2 = e y x3 = e . Por lo que la
dinámica del motor de CD en derivación con respecto a los estados x1 , x2 y x3 queda dada
por el sistema 4.35 y su desarrollo se presenta en el anexo B.3.
x1 = x2
x2 = x3
x3 = −a1 x2 − a2 x3 + f ( t ) − bva
(4.35)
66
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
 ra Bm L2AF i 2f
donde a1 = 
+
 JL
 AA JLAA

L i
 ra
B 
+ m  , b = AF f , va es el voltaje de
 , a2 = 
JLAA
 LAA J 

r
T
armadura y la perturbación es f ( t ) = θ* + a2θ* + a1θ* + a TL + L que depende de la
JLAA
J
posición deseada, las perturbaciones del par de carga y la corriente de campo.
Como el sistema 4.35 es de tercer orden la función de conmutación es diseñada a
partir de la ecuación 4.4 resultando:
S = c1 x1 + c2 x1 + x1
(4.36)
Con c1 y c2 siendo constantes positivas.
La ley de control es definida como:
u = u0 s ign ( S )
(4.37)
donde u0 es el voltaje de línea.
De acuerdo a la ecuación 4.37 cuando se alcanza el modo deslizante en la superficie
S = 0 (4.6), el error de seguimiento de posición x1 decae exponencialmente.
S = c1 x1 + c2 x2 + x3 = 0
(4.38)
Las constantes c1 y c2 determinan la velocidad de convergencia y la dinámica del
sistema. Una vez que el sistema alcance el modo de deslizamiento, la dinámica del sistema
es independiente de los parámetros a1, a2, b y el disturbio en f(t), por lo que el controlador
es robusto ante cambios en los parámetros de la máquina.
Para garantizar que el modo deslizante exista se debe seleccionar la ganancia de
control u0 de tal manera que la derivada de la función candidata de Lyapunov SS < 0 se
satisfaga, por lo que u0 debe cumplir la condición 4.39.
u0 >
1
c1 x2 + c2 x3 − a1 x2 − a2 x3 + f ( t )
b
(4.39)
donde u0 = va
El control hace que después de un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema
alcance la superficie deslizante dada por 4.38; una vez ocurrido esto la respuesta del
sistema solo depende de los parámetros de diseño c1 y c2 la ganancia de control c1 es
seleccionada como c1 = 1000 y la ganancia c2 es seleccionada como c2 = 100 ; ambas
ganancias deben de ser positivas y los valores escogidos son los que se obtuvieron mejores
respuestas dinámicas.
67
4.5. Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Serie
4.5 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Serie
El modelo del motor de CD en serie se obtuvo en el capítulo 2 sección 2.4.4, el
desarrollo de estás ecuaciones se muestran en el anexo A.4.
dia
1
=
vt − ia ( R fs + Ra + LAFsωr )
dt Laa + L ff
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAFs I a2 − TL )
dt
J
(
)
4.5.1 Control de velocidad
Definimos el error de seguimiento de velocidad como e = ωr* − ωr , donde ωr* es la
velocidad de referencia, una vez definido el error definimos las variables de estado como:
x1 = e
x2 = e
x3 = e
(4.40)
Por lo que la dinámica del motor de CD en serie quedaría dada por el sistema 4.41 y
se desarrollan en B.4.
x1 = x2
x2 = x3
x3 = −a1 x2 − a2 x3 + a3 x1 x2 + a4 x1 x3 + f ( t ) − bu
(4.41)


 R fs
R fs Bm
Ra Bm
Ra
B 
,
a1 = 
+
a2 = 
+
+ m ,
L +L
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 
Laa + L ff
J 
ff
 aa


LAFs
LAFs Bm
2 LAFs
a3 =
, a4 =
, b=
y la perturbación queda expresada
Laa + L ff
J ( Laa + L ff )
J ( Laa + L ff )
donde
por:
* + a2ω* + a1ω * + a4ω *ω* + a3ω *ω * − a4ω * x3 − a3ω * x2 − a4ω* x1 − a3ω * x1 + a5TL +
f (t ) = ω
TL
J
,


R fs
Ra
 , se observa que la perturbación está afectada por
donde a5 = 
+
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 


la velocidad de referencia, perturbaciones en el par de carga, así como de los estados del
sistema. Cabe hacer mención que a diferencia de los sistemas obtenidos para los otros
motores que es de orden dos, para el motor en serie es de tres debido a que es el número de
veces que debemos derivar para lograr tener disponible en el sistema la entrada.
68
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
La superficie de conmutación se diseña para un sistema de orden tres, dado que el
sistema resultante 4.41 es del mismo orden, por lo que la superficie queda como:
S = c1 x1 + c2 x1 + x1
(4.42)
donde c1 y c2 son constantes positiva.
Se define la ley de control como:
u = u0 s ign ( S )
(4.43)
donde u0 es el voltaje de línea.
De acuerdo a la ecuación 4.43, una vez que se alcanza el modo de deslizamiento
sobre la superficie S = 0 (4.6), el error de seguimiento de velocidad x1 decae
exponencialmente.
S = c1 x1 + c2 x2 + x3 = 0
(4.44)
La constante c1 y c2 determinan la velocidad de convergencia y la dinámica del
sistema. En el modo de deslizamiento, la dinámica del sistema es independiente de los
parámetros a1, a2, a3, a4, b y el disturbio en f(t).
Para que exista el modo deslizante la ganancia de control u0 debe ser seleccionada
tal que la derivada de la función candidata de Lyapunov SS < 0 se satisfaga, por lo que u0
debe satisfacer la siguiente condición.
u0 >
1
c1 x2 + c2 x3 − a1 x2 − a2 x3 + a3 x1 x2 + a4 x1 x3 + f ( t )
b
(4.45)
donde u0 = va
El estado del sistema alcanza la superficie deslizante dada por la ecuación 4.44
después de un intervalo de tiempo finito. Una vez dentro de la superficie, la respuesta del
sistema solo depende de los parámetros de diseño c1 y c2 . La ganancia de control c1 es
seleccionada como c1 = 1000000 y la ganancia c2 es seleccionada como c2 = 100000 , las
constantes deben de ser positivas y los valores se escogieron de acuerdo a los mejores
resultados obtenidos en la simulación.
4.5.2 Control de posición
Para diseñar el control de posición, se necesita tomar en cuenta en el modelo del
motor la variable de estado posición, la cual está definida como:
dθ r
= ωr
dt
69
4.5.2. Control de Posición
Ahora, definimos el error de seguimiento de posición como; e = θ r* − θ r , donde θ r*
es la posición de referencia, una vez definido el error se definen las variables de estado
como:
x1 = e
x2 = e
(4.46)
x3 = e
x4 = e
Por lo que la ecuación dinámica del motor de CD quedaría dada por el sistema 4.47
y se desarrollan en B.4.
x1 = x2
x2 = x3
(4.47)
x3 = x4
x4 = − a1 x3 − a2 x4 + a3 x2 x3 + a4 x1 x3 + f ( t ) − bu


 R fs
R fs Bm
Ra Bm
Ra
B 
,
a1 = 
+
a2 = 
+
+ m ,
L +L
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 
Laa + L ff
J 
ff
 aa


LAFs
LAFs Bm
2 LAFs
a3 =
, a4 =
, b=
y la perturbación queda expresada
Laa + L ff
J ( Laa + L ff )
J ( Laa + L ff )
donde
por:
f ( t ) = θ * + a2θ* + a1θ* + a3θ*θ* + a4θ*θ* − a3θ* x4 − a3θ* x2 − a4θ* x3 − a4θ* x2 − a6 x2TL + T
− a6 x2TL + a6θ*TL + a5TL + L ,
J
a6 =
donde


R fs
Ra
,
a5 = 
+
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 


LAFs
, la perturbación está afectada por la posición de referencia,
J ( Laa + L ff )
perturbaciones en el par de carga, así como de los estados del sistema.
Dado que el sistema 4.47 es de cuarto orden, la superficie de conmutación se diseña
de la siguiente manera a partir de la ecuación 4.4
S = c1 x1 + c2 x1 + c3 x1 + x1
(4.48)
donde c1, c2 y c3 son constantes positiva.
La ley de control se define:
u = u0 s ign ( S )
donde u0 es el voltaje de línea.
(4.49)
70
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
De acuerdo a la ecuación 4.49 el error de seguimiento de posición x1 decae
exponencialmente después de que se alcanza el modo de deslizamiento sobre la superficie
S = 0 (4.6),
(4.50)
S = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + x4 = 0
Las constantes c1 , c2 y c3 determinan la velocidad de convergencia y la dinámica
del sistema. La dinámica del sistema en el modo de deslizamiento es independiente de los
parámetros a1, a2, a3, a4, b y el disturbio en f(t).
La ganancia de control u0 debe ser seleccionada tal que la derivada de la función
candidata de Lyapunov SS < 0 se satisfaga para que el modo deslizante exista, por lo que
u0 debe satisfacer la siguiente condición.
u0 >
1
c1 x2 + c2 x3 + c3 x4 − a1 x3 − a2 x4 + a3 x2 x4 + a4 x2 x3 + f ( t )
b
(4.51)
donde u0 = va
Después de un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema alcanza la superficie
deslizante (4.50). Una vez dentro de la superficie, la respuesta del sistema solo depende de
los parámetros de diseño c1 , c2 y c3 . La ganancia de control c1 es seleccionada como
c1 = 150000 , la ganancia c2 es seleccionada como c2 = 50000 y la ganancia c3 como
c3 = 5000 ; las cuales deben de ser positivas y los valores que se escogieron son los que
presentaron mejor resultado durante la simulación.
4.6 Control por Modos Deslizantes del Motor de CD Compuesto
Acumulativo
El modelo de la máquina de CD compuesta se obtiene en el capítulo dos en la
sección 2.4.5, el desarrollo de estás ecuaciones se presenta en anexo A.5 y es:
  LFS 
dia
1
=
 vt 1 −
 − ia ( Ra + LAFS ωr + R fs ) − i f
2
dt 
LFS    LFF 
 LAA + LFFS −

L
FF


d ωr 1
= ( LAF i f ia + LAFs i fs ia − β mωr − TL )
dt
J
R f LFS

 LAF ωr −
LFF




71
4.6.1. Control de Velocidad
4.6.1 Control de velocidad
Se define el error de seguimiento de velocidad como e = ωr* − ωr , donde ωr* es la
velocidad de referencia.
Las variables de estado las definimos como x1 = e y x2 = e . Entonces la dinámica
del motor de CD compuesto con respecto a los estados x1 y x2 está dada por 4.52, el
desarrollo de este sistema se presenta en B.5.
x1 = x2
(4.52)
2
x2 = − a1 x1 − a2 x2 + a3 x1 x2 + a4 ( x1 ) + f ( t ) − bu


 β m ( Ra + R fs ) + ( LAF i f + LAFs i fs ) i f LAF
a1 = 

L2FS 

J  LAA + LFFS −



L
FF



donde
a3 =
el
LAFS

L2FS
 LAA + LFFS −
LFF

voltaje
de



β m LAFS
, a4 =

L2FS
 LAA + LFFS −
LFF

línea
y
la






,



, b=
*
r
*
r
*
r
*
r
*
r 2
*
r 1
( LFF − LFS ) ( LAF i f


β 
+ m ,
 J 




+ LAFs i fs )

L2FS 
LFF  LAA + LFFS −


LFF 

perturbación
está
dada
f ( t ) = ω + a2ω + a1ω + a3ω ω − a3ω x − a3ω x + a4 (ω
*
r


( Ra + R fs )

a2 = 
2
  L + L − LFS
FFS
  AA
LFF

* 2
r
)
*
r 1
, u es
por
*
r
− 2a4ω x + a5TL + a6TLω +
TL
+ a7 que depende de la velocidad deseada, las perturbaciones del par de carga y
J
( Ra + R fs )
LAFS
la corriente de campo con a5 =
, a6 =
y
2


LFS 
L2FS 
J  LAA + LFFS −
J  LAA + LFFS −




LFF 
LFF 


LAF i f + LAFs i fs ( R f LFS i f )
a7 =
.

L2FS 
J  LAA + LFFS −
 LFF

LFF 

a6TL x1 +
Como el sistema 4.52, es de segundo orden la superficie de conmutación es
diseñada a partir 4.4 se tiene,
S = cx1 + x2
donde c es una constante positiva.
La ley de control es definida como:
(4.53)
72
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
u = u0 s ign ( S )
(4.54)
donde u0 es el voltaje de línea.
La ecuación 4.53 nos indica que el error de seguimiento de velocidad x1 decae
exponencialmente después de que ocurre el modo deslizante en la superficie S = 0 (4.6), i.e
S = cx1 + x2 = 0
4.55
La constante c determina la velocidad de convergencia. La dinámica del sistema en
el modo de deslizamiento es independiente de los parámetros a1, a2, a3, a4, b y el disturbio
en f(t) por lo que el sistema es insensible al cambio en los parámetros eléctricos y
mecánicos de la máquina.
La ganancia de control u0 debe ser seleccionada tal que la derivada de la función
candidata de Lyapunov SS < 0 se satisfaga esto para garantizar que el modo deslizante
exista.
Por lo que u0 debe cumplir con la condición 4.56
u0 >
1
cx2 − a1 x1 − a2 x2 + f ( t )
b
(4.56)
donde u0 = va
Una vez transcurrido un intervalo de tiempo finito el estado del sistema alcanza la
superficie deslizante dada por (4.55); después de esto la respuesta del sistema solo depende
del parámetro de diseño c. La ganancia de control c es seleccionada como c = 100, dicho
valor debe ser positivo y el valor que se escogió fue el que presentó mejor desempeño en la
simulación.
4.6.2 Control de posición
Para diseñar el control de posición agregamos al modelo del motor de CD
compuesto la variable de estado posición como se muestra a continuación:
dθ r
= ωr
dt
Se define el error de seguimiento de posición como e = θ r* − θ r , donde θ r* es la
posición de referencia. Las variables de estado en términos del error se definen como
x1 = e , x2 = e y x3 = e . Por lo que la dinámica del motor de CD en derivación con respecto
a los estados x1 , x2 y x3 queda dada por 4.57, y su desarrollo se presenta en B.5.
73
4.6.2. Control de Posición
x1 = x2
x2 = x3
(4.57)
x3 = − a2 x3 − a1 x2 + a3 x2 x3 + a4 x22 + f ( t ) − bu
donde




 Bm ( Ra + R fs ) + ( LAF i f + LAFs i fs )( i f LAF ) 
a1 = 
,
2


L
FS


J  LAA + LFFS −




L
FF 



LAFS
Bm LAFS


L 
L
J  LAA + LFFS − FS
 LAA + LFFS − FS 

LFF 
LFF


el voltaje de armadura y la perturbación es
2
2



, b=
( LFF − LFS ) ( LAF i f


B 
+ m ,
 J 




+ LAFs i fs )
, u es

L2FS 
JLFF  LAA + LFFS −


LFF 

f ( t ) = θr* + a2θr* + a1θr* + a3θr*θr* − a3θr* x3
2
T
− a3θr* x2 + a4 θr* − 2a4θr* x2 + a5TL + a6θr*TL + a6 x2TL + L + a7 que depende de la posición
J
deseada, las perturbaciones del par de carga
y
la corriente de campo con
LAF i f + LAFs i fs ( R f LFS i f )
( Ra + R fs )
LAFS
, a6 =
, a7 =
a5 =
.
2
2



LFS 
L2FS 
LFS 
J  LAA + LFFS −
J  LAA + LFFS −
J  LAA + LFFS −


 LFF



LFF 
LFF 
LFF 



a3 =
, a4 =


( Ra + R fs )

a2 = 
2
  L + L − LFS
FFS
  AA
LFF

( )
Como el sistema 4.57 es de tercer orden, la función de conmutación es diseñada a
partir de la ecuación 4.4 resultando:
S = c1 x1 + c2 x1 + x1
(4.58)
Con c1 y c2 siendo constantes positivas.
La ley de control es definida como:
u = u0 s ign ( S )
(4.59)
donde u0 es el voltaje de línea.
De acuerdo a la ecuación 4.59 cuando se alcanza el modo deslizante en la superficie
S = 0 (4.6), el error de seguimiento de posición x1 decae exponencialmente.
S = c1 x1 + c2 x2 + x3 = 0
(4.60)
Las constantes c1 y c2 determinan la velocidad de convergencia y la dinámica del
sistema. Una vez que el sistema alcance el modo de deslizamiento, la dinámica del sistema
74
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
es independiente de los parámetros a1, a2, a3, a4 b y el disturbio en f(t), por lo que el
controlador es robusto ante cambios en los parámetros de la máquina.
Para garantizar que el modo deslizante exista se debe seleccionar la ganancia de
control u0 de tal manera que la derivada de la función candidata de Lyapunov SS < 0 se
satisfaga, por lo que u0 debe cumplir la condición 4.61.
u0 >
1
c1 x2 + c2 x3 − a1 x2 − a2 x3 + f ( t )
b
(4.61)
donde u0 = va
El control hace que después de un intervalo de tiempo finito, el estado del sistema
alcance la superficie deslizante (4.60); una vez ocurrido esto la respuesta del sistema solo
depende de los parámetros de diseño c1 y c2 a ganancia de control c1 es seleccionada como
c1 = 60 y la ganancia c2 es seleccionada como c2 = 25 ; ambas ganancias deben de ser
positivas y los valores escogidos son los que se obtuvieron mejores respuestas dinámicas.
4.7 Control PID del Motor de CD en Derivación
Partiendo del modelo que se presenta en el capítulo 2 y se desarrolla en el anexo A.3
y que es el siguiente.
di f
1
( −Rf i f + v f )
dt LFF
dia
1
=
( −raia − LAF i f ωr + va )
dt LAA
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAF i f ia − TL )
dt
J
=
El control PID es una estructura de control en que la ley de control del sistema es
expresada en función del error, el cual expresamos de la siguiente manera:
e ( t ) = yref ( t ) − y ( t )
(4.62)
La ley de control del PID esta dada por:
t

de ( t ) 
u ( t ) = K p  e ( t ) + ∫ K i e ( t ) dt + K d

dt 
0

(4.63)
Donde Kp, Ki y Kd corresponden a las constantes proporcional, integral y derivativa
del controlador respectivamente.
75
4.7.1. Control de Velocidad
Para sintonizar el control PID se uso el segundo método de Ziegler-Nichols o
método de respuesta en frecuencia, el cual se puede describirse como sigue:
1. Se ajustan las ganancias integral y derivativa a cero, es decir, Ki = 0 y Kd = 0.
2. Partiendo de un valor bajo de la ganancia proporcional, Kp, se aumenta
gradualmente esta ganancia hasta conseguir que la respuesta del sistema sea
oscilatoria sostenida en amplitud y frecuencia, a la ganancia que logra esto la
llamaremos ganancia ultima, Ku.
3. Ahora medimos la distancia que hay entre dos crestas de la respuesta oscilatoria del
sistema, esta distancia es el periodo de oscilación del sistema para la ganancia
última, la cual llamaremos Tu.
4. Una vez teniendo los parámetros Ku y Tu, con ayuda de la tabla 4.1 calculamos los
parámetros correspondientes del controlador PID.
Controlador
Kp
Ki
Kd
P
0.5 ⋅ K u
0
0
0.45 ⋅ K u
1.2
Tu
2
Tu
0
PI
0.6 ⋅ K u
PID
0.125 ⋅ Tu
Tabla 4.1. Parámetros del PID según el método de respuesta en frecuencia de Ziegler-Nichols
4.7.1 Control de Velocidad
Definimos el error a partir de 4.62, como e = ωr* − ωr , donde ωr* es la velocidad de
referencia y ωr es la velocidad medida del motor.
Ahora sintonizamos el controlador con el segundo método de Ziegler-Nichols, con
lo cual obtenemos que la ganancia ultima Ku = 45.
4
3
x 10
Velocidad Angular wr
0.04
wr
2
wr(rad/s)
1
0
-1
-2
-3
150
150.01 150.02 150.03 150.04 150.05 150.06 150.07 150.08 150.09 150.1
time (sec)
Figura 4.2. Respuesta oscilatoria de velocidad del motor de CD en derivación para la Ku=45
76
Capítulo 4. Diseño de los Controladores
De acuerdo con la figura 4.1 el Tu = 0.04, por lo que los parámetros del controlador
PID para el motor de CD en derivación son:
K p = 27; K i = 50; K d = 5e−3
Por lo que la ley de control quedaría expresada de la siguiente manera:
t

de ( t ) 
u ( t ) = 27  e ( t ) + ∫ 50e ( t ) dt + 5e −3

dt 
0

(4.64)
4.7.2 Control de Posición
Definimos el error a partir de 4.62, como e = θ r* − θ r , donde θ r* es la velocidad de
referencia y θ r es la velocidad medida del motor.
Ahora sintonizamos el controlador con el segundo método de Ziegler-Nichols, con
lo cual obtenemos que la ganancia ultima Ku = 2.
Posición angular Theta
300
Theta
5
Theta(rad)
250
200
150
150
152
154
156
158
160
162
time (sec)
164
166
168
170
Figura 4.3. Respuesta oscilatoria de posición del motor de CD en derivación para la Ku=2
De acuerdo con la figura 4.2 el Tu = 5, por lo que los parámetros del controlador
PID para el motor de CD en derivación son:
K p = 1.2; K i = 0.4; K d = 0.625
Por lo que la ley de control quedaría expresada de la siguiente manera:
t

de ( t ) 
u ( t ) = 1.2  e ( t ) + ∫ 0.4e ( t ) dt + 0.625

dt 
0

(4.64)
Capítulo 5
Resultados de Simulación
En este capítulo se presenta la simulación de los controles de velocidad y posición
PID y por modos deslizantes diseñados en el capítulo 4 al Motor de CD en Derivación para
el modelo obtenido en el capítulo 2, se obtienen los índices de desempeños de los
controladores con el fin de ver que tan “bondadosos” son los controles diseñados .
Se simularon perturbaciones en la carga de la máquina con el fin de verificar la
robustez de los controladores, de la misma manera se realizaron variaciones en los
parámetros de los devanados del motor para probar los controles contra incertidumbres
paramétricas; a ambas pruebas se les obtuvo los índices de desempeño.
Primeramente en este capítulo se muestran los controles diseñados actuando sobre
los motores en condiciones normales de operación, es decir sin introducir perturbaciones en
la carga ni incertidumbre en los parámetros, y como parte final del capítulo se muestra una
comparación de los controladores PID y control por Modos deslizantes pero ahora si
haciendo las variaciones en el par de carga y en los parámetros de la máquina.
La simulación de los controladores por modos deslizantes diseñados en el capítulo 4
para los motores de CD restantes se muestran en el anexo C.
5.1 Análisis de resultados
La tarea principal del control por modos deslizantes de velocidad y posición
diseñados es que realice un adecuado control de seguimiento de trayectorias de los estados
velocidad y posición; para verificar que el control diseñado cumpla dicha tarea se idearon
cinco perfiles de velocidad y posición para que el sistema siguiera a los estados deseados y
así poder ver el comportamiento del controlador para dicha tarea, los perfiles de velocidad
y posición propuestos se muestran en la figura 5.1.
Perfil cinco
Perfil cuatro
80
80
70
75
90
80
velocidad de referenc ia
50
40
30
v eloc idad de referenc ia
70
60
velocidad de referenc ia
Perfil dos
100
65
60
55
70
60
50
40
30
50
20
20
10
45
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
a) Perfil uno
35
40
45
50
40
10
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
b) Perfil dos
40
45
50
0
0
5
10
15
20
25
time (sec)
30
c) Perfil tres
35
40
45
78
Capítulo 5. Resultados de Simulación
Perfil uno
100
90
90
80
80
70
70
v eloc idad de referenc ia
v eloc idad de referenc ia
Perfil tres
100
60
50
40
30
50
40
30
20
20
10
10
0
60
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
d) Perfil cuatro
0
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
e) Perfil cinco
Figura 5.1.Perfiles de velocidad y posición para el seguimiento de trayectoria; a) Señal seno, b) Onda
cuadrada, c) Señal trapezoidal, d) Escalón e) Señal rampa más constante.
Una de la propiedades más importantes en los controles por modos deslizantes es la
robustez que presenta ante perturbaciones desconocidas, por lo que se hicieron pruebas para
validar la robustez del control por modos deslizantes diseñado las cuales consistieron en
introducir una perturbación en el par de carga del motor, la perturbación se simuló
introduciendo un escalón escalar en el par de carga del motor, esto se hizo una vez que el
sistema alcanzase el estado estable y convergiera a la referencia. Las perturbaciones que se
introdujeron para dicha validación fueron del ±25% y ±50% del valor de par de carga de la
máquina de CD.
El control por modos deslizantes diseñado debe de tener la particularidad de ser
insensible a la variación de los parámetros del motor de CD, es por ello que se realizaron
pruebas para validar la robustez del controlador ante variaciones en los parámetros del
motor de CD. Como se mencionó dentro del los alcances de la tesis la variación de los
parámetros se realizará en el devanado de campo del motor de CD. Se sumo una función
escalar en el parámetro de inductancia del devanado de campo LFF esto una vez que el
sistema se encuentre en estado estable y sobre la referencia, con el fin de simular una
incertidumbre en los parámetros de la máquina de CD. Las incertidumbres paramétricas
que se manejaron en la prueba son del ± 25% y ± 50% del valor de la inductancia del
devanado de campo.
Como los sistemas de control son dinámicos, se puede evaluar su comportamiento
en función de términos de respuesta transitoria ante determinadas entradas, tales como
escalón, rampa y otras; o se pueden dar especificaciones en términos de un índice de
desempeño o comportamiento.
Los índices de desempeño tratan de comparar la calidad de la regulación del
controlador y el esfuerzo de control necesario para alcanzarla, en otras palabras , un índice
de desempeño es un número que indica el grado de beneficio del sistema, es decir, es una
medida cuantitativa del desempeño que señala la desviación respecto al comportamiento
ideal.
La evaluación de un sistema se puede considerar aceptable si los valores de los
índices de desempeño son un mínimo o un máximo, según el caso. Algunos índices son:
Integral del valor absoluto del error
t2
IAE = ∫ e ( t ) dt
t1
79
5.2. Control de Velocidad
Integral del error cuadrático
t2
2
ISE = ∫ ( e ( t ) ) dt
t1
Integral del valor absoluto del error multiplicado por el tiempo
t2
ITAE = ∫ t e ( t ) dt
t1
Integral del error cuadrático multiplicada por el tiempo
t2
2
ITSE = ∫ t ( e ( t ) ) dt
t1
5.2 Control de Velocidad
5.2.1 Control PID
A continuación se muestran las pruebas que se le realizaron al control PID aplicado
al motor de CD en derivación. La figura 5.2 corresponde a la respuesta de la velocidad para
el perfil uno; en está se puede apreciar que el control PID no logra hacer que el sistema
converja a la referencia de manera adecuada.
Velocidad Angular wr
1.5
wr
ref
1
0.5
0
wr(rad/s)
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura 5.2. Respuesta del perfil uno para el control PID
La respuesta del sistema para el perfil de velocidad dos se muestra en la gráfica 5.3;
obsérvese que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 2.1 segundos con un
sobrepico de 0.6 rad/seg, y para cuando se hacen los cambios de referencia la velocidad del
motor converge de manera más rápida y con un sobrepico menor.
Velocidad Angular wr
X: 0.8388
Y: 1.6
2
wr
ref
1.5
1
X: 2.161
Y: 0.9891
0.5
X: 4.988
Y: 0
wr(rad/s)
0
X: 3.966
Y: -0.2176
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura 5.3. Respuesta del perfil dos para el control PID
La gráfica que ilustra la velocidad del motor para el perfil tres se muestra en la
figura 5.4; en está se aprecia que el sistema tiene un transitorio antes de alcanzar la
referencia y esto lo logra en aproximadamente 1.76 segundos, una vez que alcanza la
referencia permanece en ella de manera adecuada el resto de la prueba.
Velocidad Angular wr
1.5
wr
ref
1
0.5
X: 1.769
Y: 0.7076
0
wr(rad/s)
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura 5.4. Respuesta del perfil tres para el control PID
En la figura 5.5 se muestra la velocidad del motor para el perfil cuatro; en está se
observa que el control PID hace converger al sistema en 1.67 segundos con un sobrepico de
aproximadamente 3.4 rad/seg y para el cambio de referencia la velocidad converge a está
en 1.3 segundos con un sobrepico de 0.25 rad/seg.
80
81
5.2.1 Control PID
Velocidad Angular wr
1.5
1
0.5
X: 3.808
Y: 1
X: 1.676
Y: 0
0
wr(rad/s)
-0.5
wr
ref
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura 5.5. Respuesta del perfil cuatro para el control PID
Se puede apreciar en la figura 5.6; que la velocidad del motor presenta un transitorio
y después alcanza a la referencia en 1.7 segundos, después de esto permanece en la
referencia de manera adecuada.
Velocidad Angular wr
1.5
wr
ref
1
0.5
X: 1.712
Y: 0.6847
0
wr(rad/s)
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura 5.6. Respuesta del perfil cinco para el control PID
En las pruebas mostradas en las gráficas anteriores para el seguimiento de
trayectoria de velocidad, se pudo verificar que el control PID diseñado para el motor de CD
cumplió con la tarea de seguimiento de trayectoria, ya que para la mayoría de los perfiles
de velocidad el sistema convergió a la referencia y siguió a está de manera adecuada.
En la tabla 5.1 se presentan los índices de desempeño del control PID diseñado, para
los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está tabla se logra apreciar que los índices de
desempeño son bajos por lo cual la desviación del comportamiento del controlador con
respecto al comportamiento ideal es pequeña, por lo que el control diseñado presenta un
desempeño adecuado con respecto a los índices.
82
Capítulo 5. Resultados de Simulación
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
2.709
3.917
6.548
1.927
Perfil dos
2.093
4.001
3.115
1.792
Perfil tres
1.605
3.46
0.7584
0.9532
Perfil cuatro
1.769
3.477
1.224
1.116
Perfil cinco
1.594
3.46
0.9666
0.9525
Tabla 5.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad
5.2.2. Control por modos deslizantes
Las siguientes gráficas muestran los resultados del control por modos deslizantes, la
figura 5.7 corresponde a la respuesta del sistema para el perfil uno; en está figura se puede
apreciar que el control SMC hace converger al sistema en 0.076 segundos y sigue a la
referencia de manera suave y rápida.
Velocidad Angular wr
1
wr
ref
0.8
0.6
X: 0.07627
Y: 0.2268
0.4
wr(rad/s)
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura 5.7. Respuesta del perfil uno para el control SMC
La figura 5.8 ilustra la velocidad del motor para el perfil dos; se observa que el
control hace converger al sistema de manera suave y sin sobretiros a la referencia en 0.28
segundos y para los cambios referencia el sistema los sigue sin ningún sobretiro y de
manera rápida.
Velocidad Angular wr
1
X: 0.2882
Y: 0.9997
wr
ref
wr(rad/s)
0.5
X: 3.675
Y: 0
0
-0.5
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura 5.8. Respuesta del perfil dos para el control SMC
83
5.2.2 Control por Modos Deslizantes
Se observa en figura 5.9; que el controlador SMC hace converger al sistema en la
referencia en 0.08 segundos y la sigue el resto de la prueba de manera rápida y suave sin
sobrepicos, está gráfica corresponde al la respuesta del motor para el perfil tres.
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
wr(rad/s)
0.5
0
-0.5
X: 0.08461
Y: 0.03384
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura 5.9. Respuesta del perfil tres para el control SMC
La respuesta del motor para el perfil de velocidad cuatro se muestra en la figura
5.10; obsérvese que el control hace converger al sistema a la referencia en 0.15 segundos y
para el cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 0.08 segundos sin
ningún sobrepico.
Velocidad Angular wr
1
X: 2.586
Y: 1
wr
ref
wr(rad/s)
0.5
X: 0.1555
Y: -0.0001913
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura 5.10. Respuesta del perfil cuatro para el control SMC
Por ultimo se muestra la figura 5.11 que corresponde al perfil de velocidad cinco; en
está se observa que el sistema alcanza la referencia en 0.08 segundos y permanece en ella
de manera suave el resto de la prueba.
84
Capítulo 5. Resultados de Simulación
Velocidad Angular wr
1
wr
ref
wr(rad/s)
0.5
0
-0.5
X: 0.08193
Y: 0.03277
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura 5.11. Respuesta del perfil cinco para el control SMC
Las gráficas anteriores permiten perfilar que el control por modos deslizantes
diseñado para el motor de CD cumplió satisfactoriamente con la tarea de seguimiento de
trayectoria, ya que para todos los perfiles de velocidad propuestos el sistema convergió a la
referencia de manera rápida y sin sobrepicos y siguió a la referencia de manera suave el
resto de las pruebas.
La tabla 5.2 muestra los índices de desempeño del control por modos deslizantes
diseñado, para los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está tabla se logra apreciar
que los índices de desempeño son pequeños por lo el comportamiento del controlador con
diseñado presenta un buen desempeño con respecto a los índices.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.02297
0.00871
0.009608
0.0002483
Perfil dos
0.1113
0.1148
0.1763
0.1126
Perfil tres
0.01859
0.006229
0.004436
0.000167
Perfil cuatro
0.03401
0.01678
0.04325
0.002327
Perfil cinco
0.01825
0.006229
0.002327
0.0001667
Tabla 5.2. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad
5.2.3 Comparación del control PID con el Control por Modos
Deslizantes
Ahora se analizará la robustez del control para perturbaciones desconocidas en el
par de carga, se introdujeron perturbaciones en el segundo 2.5 de 25%, -25%, 50% y -50%
del valor del par de carga de la máquina;
La figura 5.12 muestra las respuestas del sistema para las perturbaciones
mencionadas anteriormente, se puede apreciar que para el control por modos deslizantes la
perturbación no afecta la respuesta del sistema ya que está última no se modifica ante dicha
condición de operación, para el control PID el efecto de la perturbación si se hace sentir ya
que al aparecer la perturbación la velocidad disminuye si el par de carga aumenta y la
velocidad aumenta si el par de carga disminuye, sin embargo para ambos casos el control
rechaza la perturbación haciendo converger al sistema nuevamente a la referencia.
85
5.2.3 Comparación del Control PID con el SMC
SMC vs PID
2
1.5
1
0.5
wr(rad/s)
0
SMC 50%
PID 50%
SMC -25%
PID -25%
SMC -50%
PID -50%
SMC 25%
PID 25%
REF
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura 5.12. Respuestas de los controladores PID y SMC para perturbaciones en el par de carga
En la tabla 5.3 se presentan los índices de desempeño de los controladores PID y
SMC diseñados para cuando se presentan perturbaciones el par de carga de la máquina, la
cual nos dice que los índices del SMC son más pequeños que los del PID, por lo que de
acuerdo a los índices el control SMC presenta mejor comportamiento ante dichas
condiciones de operación que el control PID.
IAE
ISE
ITAE
ITSE
+25% Tl
PID
SMC
1.823 0.07981
3.878 0.09431
1.223 0.005983
1.048 0.002624
+50% Tl
PID
SMC
1.969 0.08011
3.979 0.09431
1.563 0.006837
1.307 0.002629
-25% Tl
PID
SMC
1.851
0.0792
3.889 0.09431
1.23 0.003595
1.058 0.002623
-50% Tl
PID
SMC
2.05
0.07937
4.063 0.09431
1.964 0.004099
1.55 0.002625
Tabla 5.3. Índices de desempeño para SMC y PID para perturbaciones en el par de carga
En resumen se puede decir en base a la gráfica mostrada en la figura 5.13 y a los
índices de desempeño, el control SMC es más robusto a perturbaciones en el par de carga
que el control PID ya que el SMC presenta mejor desempeño ante está condición de
operación que el control PID.
A continuación se presentan las pruebas realizadas para verificar la robustez de los
controladores ante variaciones en los parámetros del motor, como se mencionó
anteriormente el parámetro modificado es LFF (Inductancia de campo), LFF se varió 25%,
50%, -25% y -50% del valor de la inductancia. La variación paramétrica ocurre en el
segundo 4.
86
Capítulo 5. Resultados de Simulación
La figura 5.13 ilustra las respuestas del sistema para la diferentes variaciones
paramétricas que se realizaron, para el control PID se observa que cuando se varió LFF en
los porcentajes antes mencionados la respuesta del controlador no se ve afectada; para el
control por modos deslizantes de igual manera al modificar el parámetro del motor la
respuesta del sistema no se corrompe, por lo que ambos controladores son insensibles a la
variación paramétrica en LFF.
PID vs SMC (Lff)
X: 0.8779
Y: 1.609
2
1.5
X: 2.219
Y: 1
1
X: 0.1175
Y: 1
Theta(rad)
0.5
PID 25%
PID 50%
PID -25%
PID -50%
SMC 25%
SMC 50%
SMC -25%
SMC -50%
REF
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
0
1
2
3
time (sec)
4
5
6
Figura 5.13. Respuestas de los controladores PID y SMC para variaciones en LFF.
Ahora la tabla 5.4 muestra los índices de desempeño que presentaron los controles
PID y SMC para cuando el motor sufre variaciones paramétricas. En está tabla se aprecia
que el control SMC posee índices de desempeño más pequeños que el control PID, por lo
tanto el control SMC presenta un mejor comportamiento dinámico que el control PID.
+25% LFF
PID
SMC
1.656
0.0795
IAE
3.84
0.09431
ISE
ITAE 0.6539 40.09e-4
ITSE 0.9231 26.23e-4
+50% LFF
PID
SMC
1.656
0.0795
3.84
0.09431
0.6539 50.02e-4
0.9231 26.23e-4
-25% LFF
PID
SMC
1.656 0.07951
3.84
0.09431
0.6538 50.37e-4
0.9231 26.23e-4
-50% LFF
PID
SMC
1.656 0.07951
3.84
0.09431
0.6538 50.72e-4
0.9231 26.23e-4
Tabla 5.4. Índices de desempeño para SMC y PID para variaciones en LFF
De acuerdo a las pruebas mostradas para la variación paramétrica ambos
controladores resultaron robustos para la variación de la inductancia de campo LFF, más sin
embargo el control por modos deslizantes presenta mejor respuesta dinámica y posee los
índices de desempeños más pequeños que el control PID.
87
5.3 Control de Posición
Resumiendo tenemos que el control por modos deslizante presenta mejor
desempeño y prestaciones que el control PID, ya que presenta una respuesta dinámica
rápida y sin sobrepicos, es robusto a perturbaciones desconocidas y es insensible a los
cambios en los parámetros de la planta.
5.3 Control de Posición
5.3.1 Control PID
A continuación se mostrarán los resultados obtenidos de los controles de posición
para el esquema PID, la figura 5.14 muestra la respuesta del controlador de posición para
una referencia dada por el perfil uno, en ella se puede notar que el PID nunca logra
converger de la manera adecuada a la referencia.
Posición
1.5
PID
REF
1
Theta(rad)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura 5.14. Respuesta del perfil uno para el control PID
La respuesta del motor para el perfil de posición dos se ilustra en la figura 5.15; en
está se observa que el control PID hace converger al sistema a la referencia en 3.2 segundos
con un sobrepico de aproximadamente 0.1 rad; para los siguientes cambios de referencias el
sistema converge aproximadamente en el mismo tiempo pero con un sobretiro de 0.2 rad.
88
Capítulo 5. Resultados de Simulación
Posición
1.4
1.2
X: 3.203
Y: 1
PID
REF
X: 11.8
Y: 1
1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
X: 7.202
Y: 0
-0.2
X: 16.18
Y: 0
-0.4
-0.6
0
2
4
6
8
10
time (sec)
12
14
16
18
Figura 5.15. Respuesta del perfil dos para el control PID
La figura 5.16 ilustra la respuesta de la posición para el control PID para la
referencia dada por el perfil tres; en está se puede apreciar que el PID hace que la posición
converja a la referencia en 3.118 segundos y permanezca sobre ella el resto de la prueba.
Posición
1.5
PID
REF
1
X: 3.18
Y: 1
Theta(rad)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura 5.16. Respuesta del perfil tres para el control PID
La respuesta de la posición del motor para el perfil cuatro se muestra en la figura
5.17; en está se observa que el control PID hace converger al sistema en la referencia en 3.3
segundos y para el cambio de referencia posterior el sistema alcanza la referencia en
aproximadamente 3.8 segundos con un sobrepico de 0.2 rad.
89
5.3.1 Control PID
Posición
1.5
PID
REF
1
X: 7.961
Y: 1
Theta(rad)
0.5
X: 3.353
Y: 0
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura 5.17. Respuesta del perfil cuatro para el control PID
La figura 5.18 ilustra la respuesta de la posición para cuando se utiliza la referencia
dada por el perfil cinco; en está se puede notar que el PID hace converger al sistema en la
referencia en 3.15 segundos y se mantiene en ella durante el resto de la prueba.
Posición
1.5
PID
REF
1
X: 3.151
Y: 1
Theta(rad)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura 5.18. Respuesta del perfil cinco para el control PID
En la tabla 5.5 se muestran los índices de desempeño que presenta el controlador
PID para los perfiles de posición, en está se puede apreciar que los índices del controlador
son bajos por lo que nos dice que su comportamiento con respecto al error es adecuado.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
2.126
0.9023
8.228
1.808
Perfil dos
2.565
1.709
18.17
8.11
Perfil tres
0.8642
0.7176
0.6514
0.3614
Perfil cuatro
1.116
0.8349
2.358
0.9965
Perfil cinco
0.8489
0.7174
0.5668
0.3601
Tabla 5. 5. Índices de desempeño del PID para los perfiles de posición
De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.18 y los
índices de desempeño mostrados en las tabla 5.5 se puede decir que el control PID cumple
90
Capítulo 5. Resultados de Simulación
la tarea de seguimiento de trayectorias para cuatro de los cinco perfiles, ya que para el
perfil uno el control no pudo seguir la referencia de manera adecuada.
5.3.2 Control por modos deslizantes
A continuación se mostrarán los resultados del control por modos deslizantes de
posición para los cinco perfiles propuestos; la figura 5.19 corresponde a la posición del
motor para el perfil uno; en está se observa que el control hace que el sistema alcance la
referencia en 0.15 segundos y la sigue suavemente durante el resto de la prueba.
Posición
1
SMC
REF
0.8
X: 0.1592
Y: 0.4597
0.6
Theta(rad)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura 5.19. Respuesta del perfil uno para el control SMC
La respuesta del sistema para el perfil dos se ilustra en la figura 5.20; en está se
aprecia que el control SMC hace converger al sistema sin sobrepicos en 0.71 segundos,
para los demás cambios de referencia, el control convergió a la nueva referencia de manera
rápida y sin sobrepicos para todos los cambios de la referencia.
Posición
1.2
1
X: 0.7143
Y: 1
X: 9.562
Y: 1
Theta(rad)
0.8
SMC
REF
0.6
0.4
0.2
X: 5.046
Y: 0
X: 14.12
Y: 0
0
-0.2
0
2
4
6
8
10
time (sec)
12
14
16
18
Figura 5.20. Respuesta del perfil dos para el control SMC
91
5.3.2 Control por Modos Deslizantes
El comportamiento de la posición del motor para el perfil tres está dado por la figura
5.21; en está se observa que el control hace converger al sistema en 0.13 segundos y este
hace que siga a la referencia de manera suave el resto de la prueba.
Posición
1.2
SMC
REF
1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 0.1384
Y: 0.05537
0
-0.2
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura 5.21. Respuesta del perfil tres para el control SMC
La respuesta para el perfil cuatro se ilustra en la figura 5.22; en está se puede
observar que el sistema alcanza la referencia en 0.14 segundos y para el cambio de
referencia el control hace converger al sistema a la referencia sin sobrepicos en 0.54
segundos.
Posición
1.2
1
0.8
Theta(rad)
X: 5.541
Y: 1
SMC
REF
0.6
0.4
0.2
X: 0.1498
Y: 0
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura 5.22. Respuesta del perfil cuatro para el control SMC
La figura 5.23; muestra la posición del motor para el perfil cinco; en está se aprecia
que el sistema alcanza la referencia en 0.2 segundos y logra hacer que el sistema
permanezca sobre ella el tiempo subsiguiente.
92
Capítulo 5. Resultados de Simulación
Posición
1.2
1
SMC
REF
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
X: 0.2019
Y: 0.08077
0.2
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura 5.23. Respuesta del perfil cinco para el control SMC
A continuación se muestran en la tabla 5.6, los índices de desempeño que presenta
el control SMC para perfiles de posición, en está se puede apreciar que los índices que
presenta el controlador SMC son pequeños, lo cual nos indica que el control SMC posee un
buen comportamiento dinámico.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.372
0.005491
0.006287
0.0005931
Perfil dos
0.6356
0.4089
5.023
2.951
Perfil tres
0.005879
0.000112
0.004161
0.0000161
Perfil cuatro
0.1125
0.06527
0.05631
0.3294
Perfil cinco
0.05439
0.0001111
0.001878
0.0000117
Tabla 5.6. Índices de desempeño del SMC para los perfiles de posición
De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras 5.19, 5.20, 5.21, 5.22, 5.23 y los
índices de desempeño mostrados en las tabla 5.5 se puede decir que el control SMC cumple
de manera satisfactoria con la tarea de seguimiento de trayectoria ya hace converger al
sistema a todas la referencias con una respuesta dinámica rápida, sin sobrepicos y
permanece en ella el resto de las pruebas.
5.3.3 Comparación del control PID contra el control por Modos
deslizantes
Ahora se muestran las pruebas que se realizaron para verificar la robustez ante
perturbaciones en el par de carga de los controladores de posición PID y SMC. Las
perturbaciones que se utilizaron son de 25%, 50%, -25% y -50% del valor del par de carga
de la máquina.
La figura 5.24 muestra las respuestas de la posición del motor para el PID y SMC,
para las perturbaciones antes mencionadas; se observa que el control SMC es robusto ante
perturbaciones en el par de carga ya que la posición del motor no se corrompe cuando
ocurren dichas perturbaciones; para el PID se puede ver que cuando la perturbación aparece
la posición del motor se corrompe para perturbaciones positivas la posición cae y para
93
5.3.3 Comparación del control PID con el SMC
perturbaciones negativas la posición aumenta, sin embargo para los dos casos el control
PID rechaza la perturbación haciendo converger al sistema a la referencia de manera rápida.
PID vs SMC (Tl)
X: 4.475
Y: 1.33
1.5
X: 4.417
Y: 1.148
Theta(rad)
1
X: 4.395
Y: 0.7485
X: 4.395
Y: 0.8673
0.5
PID 25%
PID 50%
PID -25%
PID -50%
SMC 25%
SMC 50%
SMC -25%
SMC -50%
REF
0
-0.5
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
8
Figura 5. 24. Respuestas de los controladores PID y SMC para perturbaciones en el par de carga.
La tabla 5.7 presenta los índices de desempeño de los controladores PID y SMC
diseñados para cuando se presentan perturbaciones el par de carga de la máquina, está
muestra que los índices del control SMC son más pequeños que los del PID, por lo tanto, el
control SMC presenta un mejor comportamiento dinámico que el control PID.
IAE
ISE
ITAE
ITSE
+25% Tl
PID
SMC
1.104
0.1951
1.028
0.1491
1.017 0.02371
0.3786 0.01217
+50% Tl
PID
SMC
1.194
0.1951
1.05
0.1491
1.436
0.0242
0.4817 0.01217
-25% Tl
PID
SMC
1.114
0.1951
1.03
0.1491
1.064 0.02368
0.3898 0.01217
-50% Tl
PID
SMC
1.245
0.1951
1.075
0.1491
1.67
0.02348
0.5942 0.01217
Tabla 5. 7. Índices de desempeño para SMC y PID para perturbaciones en el par de carga
Se puede decir en base a la gráfica mostrada en la figura 5.24 y a los índices de
desempeño, que el control SMC es más robusto a perturbaciones en el par de carga que el
control PID ya que el SMC presenta mejor desempeño ante dicha condición de operación
que el control PID.
Ahora se presentan las pruebas realizadas para verificar la robustez de los
controladores ante variaciones en los parámetros del motor, como se mencionó
anteriormente el parámetro modificado es LFF (Inductancia de campo), LFF se varió 25%,
50%, -25% y -50% del valor de la inductancia.
94
Capítulo 5. Resultados de Simulación
La figura 5.25 ilustra las respuestas del sistema para la diferentes variaciones
paramétricas que se realizaron, para el control PID se observa que al variar LFF en los
porcentajes antes mencionados la respuesta del controlador no se ve afectada; para el
control por modos deslizantes de igual manera al modificar el parámetro la respuesta del
sistema no se corrompe, por lo que ambos controladores son insensibles a la variación
paramétricas en LFF.
PID vs SMC (Lff)
X: 0.8779
Y: 1.609
2
1.5
X: 2.219
Y: 1
1
X: 0.1175
Y: 1
Theta(rad)
0.5
PID 25%
PID 50%
PID -25%
PID -50%
SMC 25%
SMC 50%
SMC -25%
SMC -50%
REF
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
0
1
2
3
time (sec)
4
5
6
Figura 5. 25. Respuestas de los controladores PID y SMC para variaciones en LFF.
Ahora la tabla 5.8 muestra los índices de desempeño que presentaron los controles
PID y SMC para cuando el motor sufre variaciones paramétricas. En está tabla se aprecia
que el control SMC posee índices de desempeño más pequeños que el control PID, por lo
tanto el control SMC presenta un mejor comportamiento dinámico que el control PID.
+25% LFF
PID
SMC
1.005
0.1952
IAE
1.019
0.1491
ISE
ITAE 0.5558 0.02367
ITSE 0.3384 0.01218
+50% LFF
PID
SMC
1.005
0.1952
1.019
0.1491
0.5558 0.02367
0.3384 0.01218
-25% LFF
PID
SMC
1.005
0.1952
1.019
0.1491
0.5558 0.02368
0.3384 0.01218
-50% LFF
PID
SMC
1.005
0.1952
1.019
0.1491
0.5558 0.02368
0.3384 0.01218
Tabla 5.8. Índices de desempeño para SMC y PID para variaciones en LFF
De acuerdo a las pruebas mostradas para la variación paramétrica ambos
controladores resultaron robustos para la variación de la inductancia de campo LFF, más sin
embargo el control por modos deslizantes presenta mejor respuesta dinámica y posee los
índices de desempeños más pequeños que el control PID.
5.3.3 Comparación del control PID con el SMC
95
Resumiendo tenemos que el control por modos deslizante presenta mejor
desempeño y prestaciones que el control PID, ya que presenta una respuesta dinámica
rápida y sin sobrepicos, es robusto a perturbaciones desconocidas y es insensible a los
cambios en los parámetros de la planta.
96
Capítulo 5. Resultados de Simulación
Capítulo 6
Implementación
Este capítulo presenta la implementación real del control por modos deslizante a la
máquina de CD Baldor que se encuentra en el laboratorio de máquinas eléctricas del
CENIDET, el diseño del control implementado se obtuvo a partir del algoritmo presentado
en 4.1.
Se estudian, describen y explican cada una de las partes que se requieren para
implementar el control por modos deslizantes y cual es su tarea dentro del esquema práctico
que se utilizó para la implementación del control.
Para validar el control se hicieron pruebas de seguimiento de trayectorias, para esto
se idearon cinco perfiles de velocidad diferentes, y el control debe hacer que el motor siga a
dichos perfiles. Para analizar la robustez del control se realizaron pruebas variando el par
de carga mediante un freno magnético DL10300A del fabricante DeLorenzo con el fin de
conocer el comportamiento del sistema ante dichas perturbaciones.
El problema del chattering no se abordó para la realización de esta tesis, por lo que
los resultados obtenidos presentan una chattering de aproximadamente 2 rad/seg.
6.1 Estructura de la implementación
Para implementar el control por modos deslizantes del motor de CD, primero se
debe de tener en cuenta todas las partes que conforman el control, así como también
entender el funcionamiento de cada una de ellas, en la figura 6.1 se muestra un diagrama a
bloques de las partes que conforman el controlador; como se observa está formado por una
etapa de adquisición y envío de datos, acondicionamiento de señales, etapa de potencia, el
control y el motor de CD.
97
98
Capítulo 6. Implementación
Tarjeta de
adquisición de
datos sensoray
626
Control del
motor
Etapa de potencia
Acondicionamiento
de señales
Figura 6.1. Diagrama a bloques de la implementación del control por modos deslizantes
El fin del control diseñado es el de hacer que la velocidad siga a una referencia
variante en el tiempo, por lo que se van hacer pruebas con el controlador para determinados
perfiles de velocidad, así como pruebas con perturbaciones en el par de carga para ver el
comportamiento del controlador ante dichas condiciones de operación.
La adquisición de datos se efectuó con la tarjeta Sensoray 626, el tiempo que se
utilizó para muestrear los datos fue de 1x10-3 segundos. El software que se utilizó para
implementar el control fue Matlab-Simulink, en la opción Real-Time Windows Target 2.5
(RTWT) el cual es utilizado para crear sistemas de control en tiempo real.
6.2 Motor de CD
El control por modos deslizantes se implementó en el motor Baldor, que se
encuentra dentro del laboratorio de máquinas eléctricas del CENIDET; la tabla de datos del
motor Baldor se muestra en la tabla 6.1:
HP
Velocidad máxima
Armadura
Campo
3/4
1750 rpm
90 VCD
50/100 VCD
7.8 Amp
0.6/1.2 Amp
Tabla 6. 1. Especificaciones del Motor de CD Baldor
El diagrama eléctrico del motor Baldor se muestra en la figura 6.2, se observa que
está máquina puede interconectarse de acuerdo a los diferentes tipos de configuración que
existen para las máquinas de CD autoexcitadas como son:
Conexión en serie
Conexión en derivación
Conexión compuesta
También puede ser utilizada como una máquina de excitación separada si se conectan
sus devanados de campo y armadura con fuentes independientes.
99
6.2. Motor de CD
Figura 6.2. Diagrama eléctrico del motor de CD Baldor
Para la implementación del control por modos deslizantes se decidió utilizar la
configuración en derivación, para tener una conexión en derivación o paralelo en el motor
de CD Baldor se conectan F2 y F3, F1 y A1, F4 y A2, esto se muestra en la figura 6.3, de
esta forma tenemos el motor de CD conectado en derivación o paralelo. El voltaje de línea
se escoge como 40 VCD.
Figura 6.3. Conexión en derivación del motor de CD Baldor
Antes de diseñar el control es importante obtener el modelo del mismo para poder
simularlo y así conocer el funcionamiento dinámico del motor en lazo abierto, la figura 6.4,
muestra el equivalente eléctrico de un motor de CD en derivación, de acuerdo a este
equivalente se obtienen las ecuaciones de estado que modelan al motor de CD en
derivación dadas por 6.1.
L AA
ia
+
LAF ωr I f
−
it
ra
rfx
rf
if
+
vf
+
va
L FF
−
−
Figura 6.4. Circuito equivalente de la máquina de CD en derivación.
100
Capítulo 6. Implementación
v f = Rf i f +
va = ra ia + LAA
Te = J
di f
LFF
dt
dia
+ ωr LAF I f
dt
(6.1)
d ωr
+ Bmωr + TL
dt
Una vez obtenidas las ecuaciones que rigen el comportamiento de la máquina de CD
es necesario conocer los parámetros del motor CD Baldor con el fin de simularlo y conocer
su dinámica en lazo abierto y sin controlador,
Los parámetros del motor de CD Baldor se tomaron de la caracterización del motor
que realizó el alumno de maestría Roberto II Ovando en la elaboración de la tesis
“Emulador de turbina eólica para el banco de pruebas de generación eoloeléctrica” [41],
mediante el empleo de la norma IEEE113 [42], estos parámetros se presentan en la tabla
6.2.
Parámetros
Resistencia de armadura
[R a ]
Conexión en Bajo Voltaje
1.276 Ω
Conexión en Alto Voltaje
1.276 Ω
Inductancia de armadura
[ La ]
23.62 mH
23.62 mH
Resistencia de campo
[R f ]
39.94 Ω
163.39 Ω
Inductancia de campo
[ Lf ]
5.6 H
23.13 H
Auto inductancia
[ Laf ]
411.4 mH
821.6 mH
Momento de Inercia
[J]
31.717 kg ⋅ m 2
17.487042 kg ⋅ m 2
3.543186677
5555
---0
1
×
5555
---0
1
×
Coeficiente de Fricción
[ B]
2.1327
Tabla 6.2. Parámetros del motor de CD Baldor
Una vez conociendo los parámetros y el modelo de la máquina se procede a simular
el modelo, véase figura 6.5, la simulación se realizó con los parámetros de la conexión a
bajo voltaje ya que esta es la configuración que se utilizará.
Como se observa se presenta un pico muy elevado en la corriente en la armadura, la
configuración de la máquina produce que el par electromagnético al arranque sea elevado,
el sistema tarda aproximadamente 900 segundos en llegar a su estado estacionario.
101
6.2. Motor de CD
corriente de campo if
if(Amp)
2
If
1
0
0
200
400
600
800 1000 1200 1400
corriente de armadura ia
ia(Amp)
40
0
1600
1800
X: 1003
Y: 9.172
20
0
200
400
600
2000
Ia
800 1000 1200
velocidad angular wr
1400
1600
1800
2000
100
-100
Wr
X: 1037
Y: 74.38
0
Te(N m)
wr(rad/s)
X: 1003
Y: 1.252
0
200
400
600
800 1000 1200 1400
Par electromagnetico Te
1600
1800
2000
40
0
Te
X: 1003
Y: 4.724
20
0
200
400
600
800
1000 1200
time (sec)
1400
1600
1800
2000
Figura 6.5. Simulación en lazo abierto del motor de CD Baldor conexión en derivación.
La figura 6.6; muestra el comportamiento en simulación del motor Baldor cuando se
le aplica un escalón en el par de carga del 50 % de su valor, se observa que la velocidad del
motor disminuye y restablece la operación en estado estable en la condición de carga
reducida en aproximadamente 600 segundos.
En el motor Baldor un cambio en el par de carga del 50% repercute en la velocidad
en un 14 % aproximadamente. La corriente de armadura y el par electromagnético sufrieron
aproximadamente la misma modificación en su valor.
corriente de campo if
if(Amp)
1.2519
1.2519
Te(N m)
wr(rad/s)
ia(Amp)
1.2519
1000
X: 1847
Y: 1.252
1500
X: 2035
Y: 1.252
If
2000
2500
corriente de armadura ia
3000
3500
15
10
5
1000
X: 1927
1500 Y: 9.131 2000
X: 2810
Y: 13.67
2500
velocidad angular wr
Ia
3000
3500
80
70
60
1000
X: 2573
Y: 63.41
X: 1847
Y: 74.46
1500
2000
2500
Par electromagnetico Te
Wr
3000
3500
8
6
4
1000
X: 1847
Y: 4.703
1500
Te
X: 2652
Y: 7.022
2000
2500
time (sec)
3000
3500
Figura 6.6. Simulación en lazo abierto del motor de CD Baldor ante perturbaciones de la carga.
6.3 Acondicionamiento de señales
Para la implementación del control es necesario sensar la variable a controlar y la
variable que se modificará para utilizarla como perturbación; estas son la velocidad angular
y el par mecánico de la carga.
102
Capítulo 6. Implementación
La velocidad del motor se censó mediante un transductor óptico llamado encoder
(véase figura 6.7), un encoder óptico es un sensor que permite detectar el movimiento de
rotación de un eje. El encoder estará operando en relación al eje del elemento cuya posición
deseamos determinar. Y su fundamento viene dado por la obtención de la medida en base a
la luz que traspasa una serie de discos superpuestos que codificarán la salida digital.
Motor
Encoder
Discos
concéntricos
Figura 6.7. Fotografía del encoder utilizado para la medición de velocidad
El módulo DL10055 tiene una relación de que por cada revolución por minuto el
módulo envía 1 mili volt es decir una resolución de 1/0.1 rpm/mV.
El principio de operación de un encoder se basa en los llamados fotoacopladores.
Éstos son pequeños integrados que consisten en un diodo en forma de fotoemisor y un
transistor que realiza las tareas de fotorreceptor. Este elemento se encarga de detectar la
presencia/ausencia de la luz a través de los discos concéntricos al eje, los cuales están
fabricados con unas ranuras que dejan pasar la luz en función de una codificación utilizada
para obtener la medida final.
La salida del encoder es enviada al módulo de medida digital de la potencia
mecánica DL10055 del fabricante DeLorenzo, este modulo se encarga de convertir estos
pulsos a un voltaje analógico proporcional a la velocidad angular, este voltaje es compatible
con los niveles de tensión admisibles para la tarjeta de adquisición de datos Sensoray 626.
El programa en Simulink, para la adquisición de velocidad se muestra en la figura
6.8, como se puede observar, se tiene la entrada de la tarjeta de adquisición la cual lee un
voltaje proporcional a la velocidad, está se manda al subsistema tacómetro y este último
convierte el voltaje a una velocidad proporcional en rpm y en rad/seg.
103
6.3. Acondicionamiento de Señales
t
Clock
0
ti me
v
0
wm
v1
0
vel _med
Analog
Input
rad/s
U0
rads
U1
vel 1
rpm
wm
Saturati on
Anal og Input
vel 2
tacometro
Sensoray
Model 626 [1h]
0
rpm
Figura 6.8. Diagrama en Simulink para la medición de velocidad
En la figura 6.9 se muestra el subsistema tacómetro, en el cual se observa que ese
voltaje se multiplica con una ganancia y así se obtiene la velocidad en rpm, enseguida la
velocidad en rpm se convierte en rad/seg.
-C1
Constant
wm
1
-KAdd
Product
Gain
U0
0
2
U1
Constant1
Figura 6.9. Diagrama en Simulink del subsistema tacómetro
El tiempo de muestreo que se utilizó para realizar las graficas siguientes es de
0.0005 seg en ellas se muestra la velocidad cuando a la alimentación del motor de CD se
varía de 0 a 40 volts véase figura 6.10. Nótese que en el instante de muestreo 520 se apaga
la fuente de alimentación volviéndola a encender en el instante 560, para ver la respuesta
del motor para un escalón como entrada.
1.4
velocidad medida
1.2
1
volts
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
100
200
300
400
500
600
muestras
700
800
900
1000
Figura 6.10. Velocidad del motor expresada en voltaje
La figura 6.11 muestra la respuesta de la velocidad ante el arranque del motor a 40
volts en el instante de muestreo 222, antes de ese instante el motor se encuentra apagado
104
Capítulo 6. Implementación
por lo que los datos antes del la muestra 29, son datos que se encuentran en el buffer de la
tarjeta.
200
Velocidad medidad
180
160
140
rad/seg
120
100
80
60
40
20
0
0
100
200
300
400
500
600
700
INSTANTES DE MUESTREO
800
900
1000
Figura 6.11. Comportamiento de la velocidad en lazo abierto
El par de carga se mide a través de una celda de carga (véase figura 6.12), la cual se
encarga de medirle esfuerzo mecánico presente en la flecha del motor.
La salida de la celda se envía al modulo de medida digital de la potencia mecánica
DL10055 del fabricante DeLorenzo, este acondiciona la señal a un voltaje analógico
proporcional al par mecánico de la flecha del motor y compatible con los niveles de tensión
de la tarjeta Sensoray 626.
Freno
magnético
Celda de
carga
Acoplamiento
mecánico
Figura 6.12. Fotografía de la celda de carga utilizada para la medición del par
6.4. Etapa de Potencia
105
6.4 Etapa de potencia
La tarjeta Sensoray 626 manda señales de 0-10 volts de CD, dicha tensión no podría
excitar al motor de CD para poder efectuar el control. Por lo se tendrá que buscar como
acondicionar la señal de control a niveles de tensión adecuadas para excitar el motor.
En muchas aplicaciones industriales, es necesario convertir una fuente de CD de
voltaje fijo a una fuente de voltaje variable. Un circuito troceador convierte directamente de
CD a CD, por lo que también se conoce como convertidor de CD A CD. Los troceadores se
utilizan ampliamente en el control de los motores de tracción de automóviles eléctricos,
tranvías eléctricos, grúas marinas, montacargas y elevadores de minas. Ya que
proporcionan control en aceleraciones continuas, una alta eficiencia y una respuesta
dinámica rápida.
Este tipo de dispositivos no van a ser necesario emplearlos ya que el controlador por
modos deslizantes nos proporciona una señal de control de voltaje de CD variable, sin
embargo la tarjeta sensoray 626 no proporciona los niveles de tensión y corrientes
adecuados para el funcionamiento optimo del motor de CD en derivación, por lo que va ser
necesario encontrar una alternativa para la implementación de la ley de control.
Entonces es necesario emplear un dispositivo que reproduzca la señal de control en
sus tiempos de encendidos y tiempos de apagado, pero con los niveles de tensión y
corrientes pertinentes para el funcionamiento del motor de CD en derivación.
Los dispositivos de estado sólido de potencia fueron la alternativa buscada para la
implementación de la ley de control, siendo un transistor tipo Mosfet el idóneo para dicha
tarea, ya que son dispositivos semiconductores de tres terminales cuyas corrientes se
controlan mediante un campo eléctrico creado por una tensión aplicada entre dos de sus
terminales, es decir son dispositivos controlados por tensión.
El Mosfet se empleó como un interruptor controlado por los niveles de voltajes de la
señal de control. La señal de control que proporciona la tarjeta sensoray 626 a través del
controlador, se envía al driver mic4451BN, con el fin de garantizar el disparo del mosfet.
La figura 6.13, muestra la conexión eléctrica de las partes que integran la etapa de potencia
para el control del motor de CD en derivación, en está se observa en que forma se conectó
la salida de la tarjeta, el driver, el mosfet con el motor y la fuente.
Figura 6.13. Conexión eléctrica de la etapa de potencia del control
106
Capítulo 6. Implementación
La figura 6.14 muestra la fotografía de las tarjetas que se realizaron para la
implementación práctica del control, está indica a que va conectada cada terminal.
Conexión de
la Fuente de
0-40 VCD
Mosfet
A la tarjeta
De la tarjeta
Al driver
Al Mosfet
Al Motor
Driver
Figura 6.14. Fotografía de la etapa de potencia del control
6.5 Tarjeta de adquisición
El muestreo de las variables se realizó con la tarjeta de adquisición de datos
Sensoray 626 a 1ms, la tarjeta Sensoray 626 es compatible con los software de Windows:
98, NT4, ME, 2000 y XP.
Los programas de aplicación pueden ser desarrollados en cualquier entorno
compatible con Windows, incluyendo Visual C++, Visual Basic, Delphi, etc.
La tarjeta de Sensoray 626 cuenta con entradas y salidas analógicas, digitales,
contadores de entrada y salida, y entrada y salidas para encoders y cuenta con 8 puertos
para cada salida y entrada. Para la realización de la tesis solo se ocuparon entradas y salidas
analógicas, los rangos de voltajes para dichos puertos son de ±10 volts.
Una de las ventajas que presenta la tarjeta Sensoray 626 y por la cual se decidió a
utilizarla es su compatibilidad con el software de diseño Matlab-Simulink, ya que dentro de
las librerías de Simulink viene cargada la tarjeta. En el anexo D se muestra como se carga
para poderla utilizar la tarjeta Sensoray 626 en Simulink,
107
6.6. Diseño del Control
6.6 Diseño del control
Para diseñar el controlador se parte del modelo 6.1. Se define el error de
seguimiento e dado por 6.2 como la diferencia entre la velocidad angular medida ωr y la
velocidad angular deseada ωr* , obteniendo.
(6.2)
e = ωr* − ωr
Se definen las variables de estado como:
x1 = e
x2 = e
(6.3)
La dinámica del sistema con respecto a los nuevos estados está dada por:
x1 = x2
x2 = − a1 x1 − a2 x2 + f ( t ) − bvl
 r
B 
a2 =  a + m  ,
 LAA J 
r
T
f ( t ) = ωr* + a2ω r* + a1ωr* + a TL + L ,
JLAA
J
donde
,
b=
LAF i f
JLAA
(6.4)
, vl es el voltaje de línea
y
Teniendo definidos los estados y la dinámica del sistema, definimos la superficie
deslizante para el sistema resultante de segundo orden como:
S = cx1 + x2
con c siendo una constante positiva.
(6.5)
La ley de control la definimos de la siguiente forma:
u = u0 s ign ( S )
(6.6)
donde u0 es el voltaje de línea.
El programa que se realizó en Matlab-Simulink para implementar el control por
modos deslizantes quedó como se ilustra en la figura 6.15.
108
Capítulo 6. Implementación
t
Clock
0
time
0
rad/s
v
0
Analog Input
x1
wm
U1
S
Analog
Output
S
Analog Output
x2
butter
SMC
Add1
Sensoray
Model 626 [1h]
s
vel2
seno
pulsos
U
U-
-K-
Add
rpm
tacometro
Sensoray
Model 626 [1h]
5
c
U0
Saturation
volts
x1
vel1
vel_med
Analog
Input
u
rads
wm
v1
x2
Analog
Filter Design
rpm
trapecio
c1
escalon
Analog
Input
Wref
rampa+cte
Subsystem3
Manual Switch
rads1
Analog Input1
vel6
Sensoray
Model 626 [1h]
0
-KSaturation1
TL
tl
TL_med1
wrf1
Figura 6.15. Programa en Matlab-Simulink del control por modos deslizantes
La figura 6.16 muestra una fotografía de todas las partes que integran el sistema de
control por modos deslizantes.
Tarjeta De
adquisición
PC
Modulo
DL10055
Freno
magnético
Encoder
Motor
Etapa de potencia
Figura 6.16. Fotografía del sistema completo
6.7 Resultados obtenidos en la implementación
Para validar el comportamiento del control por modos deslizantes diseñado e
implementado se realizaron primero pruebas para el seguimiento de trayectorias para esto
se idearon 5 perfiles de velocidad diferentes, para ser utilizados como la velocidad de
109
6.7. Resultados Obtenidos en la Implementación
referencia con el fin de que el control diseñado e implementado siga sin problemas a la
velocidad de referencia.
Para obtener mejores resultados, el control se conmutó sobre una banda de
deslizamiento y no sobre la superficie de deslizamiento s = 0, con el propósito de suavizar
la señal de control durante el tiempo que el control se encuentre sobre la banda de
deslizamiento esto con el fin de disminuir el chattering, el tiempo de muestreo para la
implementación fue de 0.001 seg. Los cinco perfiles de velocidad son los que se muestran a
continuación.
Perfil dos
Perfil tres
100
90
90
80
80
80
70
70
70
60
50
40
30
60
50
40
30
20
20
10
10
0
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
veloc idad de referencia
100
90
veloc idad de referencia
v eloc idad de referenc ia
Perfil uno
100
0
50
60
50
40
30
20
10
0
5
10
Primer perfil
15
20
25
time (sec)
30
35
40
0
45
0
5
10
15
Segundo perfil
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Tercer perfil
Perfil cuatro
Perfil cinco
80
80
75
70
60
velocidad de referenc ia
velocidad de referencia
70
65
60
55
40
30
50
20
45
40
50
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
10
0
5
10
Cuarto perfil
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Quinto perfil
La respuesta de la velocidad para el primer perfil de velocidad se muestra en la
figura 6.17, se observa que el control hace que el sistema converja a la referencia en 3.87
segundos.
Velocidad Angular wr
110
vel. medidad
referencia
100
90
80
wr(rad/s)
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Figura 6.17. Respuesta de la velocidad para el primer perfil.
110
Capítulo 6. Implementación
El error de seguimiento para la referencia dada por el perfil uno se muestra en la
figura 6.18, el pico que se observa en la grafica del error y de la respuesta del motor se debe
que es el tiempo en que tarda la tarjeta en leer datos de forma adecuada.
Estado x1 (error se segumiento)
50
x1(rad/s)
0
-50
-100
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Figura 6.18. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil uno
La figura 6.19 muestra la respuesta del motor de CD para el perfil de velocidad dos,
se observa que el control hace converger al sistema en aproximadamente 0.3 segundos se
nota en la zona de operación a baja velocidad el ruido causado por el chattering es mayor
que en la zona de velocidades mas alta.
Velocidad Angular wr
120
vel. medidad
referencia
100
wr(rad/s)
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
time (sec)
30
35
40
45
Figura 6.19. Respuesta de la velocidad ante el segundo perfil de velocidad.
El error de seguimiento para la referencia dada por el perfil dos se muestra en la
figura 6.20.
111
6.7. Resultados Obtenidos en la Implementación
Estado x1 (error se segumiento)
10
5
x1(rad/s)
0
-5
-10
-15
0
5
10
15
20
25
time (sec)
30
35
40
45
Figura 6.20. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil dos
La respuesta de la velocidad para el tercer perfil de velocidad se muestra en la figura
6.21, el control hace converger al sistema en aproximadamente 1.09 segundos.
Velocidad Angular wr
120
vel. medidad
referencia
100
wr(rad/s)
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Figura 6.21. Respuesta de la velocidad ante el tercer perfil de velocidad.
La figura 6.22, ilustra el error de seguimiento de trayectoria para el perfil tres, los picos que
se observan en la figura se producen en los cambios de referencia y se aprecia que después
del cambio el control hace que el error converja a cero de nuevo.
Estado x1 (error se segumiento)
100
80
60
40
x1(rad/s)
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Figura 6.22. Error de seguimiento para el tercer perfil de velocidad.
112
Capítulo 6. Implementación
La respuesta de la velocidad para el cuarto perfil se muestra en la figura 6.23, el
control hace converger al sistema en aproximadamente 1.06 segundos.
Velocidad Angular wr
120
vel. medidad
referencia
100
wr(rad/s)
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Figura 6.23. Respuesta de la velocidad ante el cuatro perfil de velocidad.
La figura 6.24 muestra el error de seguimiento de trayectorias del sistema, los picos
que se aprecian en la gráfica se deben en que en esos instantes ocurren los cambios de
referencia, se observa que después del cambio de referencia el control hace que de nuevo el
error converja a cero.
Estado x1 (error se segumiento)
100
80
60
40
x1(rad/s)
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Figura 6.24. Error de seguimiento para el cuarto perfil de velocidad.
La respuesta de la velocidad para el quinto perfil se muestra en la figura 6.25, se
observa que el control hace que el sistema converja en 2.9 segundos.
113
6.7. Resultados Obtenidos en la Implementación
Velocidad Angular wr
140
120
wr(rad/s)
100
80
60
40
20
0
vel. medidad
referencia
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Figura 6.25. Respuesta de la velocidad ante el quinto perfil de velocidad.
La gráfica del error de seguimiento de trayectorias para el perfil cinco se muestra en
la figura 6.26.
Estado x1 (error se segumiento)
40
30
x1(rad/s)
20
10
0
-10
-20
-30
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Figura 6. 26. Error de seguimiento de trayectoria para el perfil cinco.
Se aprecia en las pruebas anteriores que el control por modos deslizantes cumple de
manera satisfactoria la tarea de seguimiento de trayectoria ya que los errores de
seguimiento no son mayores de 10 rad/seg salvo cuando se hacen cambios de referencia.
A continuación en la tabla 6.3 se muestra los índices de desempeño del controlador
por modos deslizantes implementado para los perfiles de velocidad propuestos para su
validación. Como se puede observar en dicha tabla los índices de desempeño que presenta
el controlador implementado para los perfiles uno, dos y cuatro son pequeños por lo que el
control tiene un buen desempeño dinámico, sin embargo para los perfiles tres y cinco
algunos índices resultan ser algo grandes por lo que para este tipo de referencias el
comportamiento del control se desvía un poco más del comportamiento deseado o ideal.
114
Capítulo 6. Implementación
Índice
Perfil uno
Perfil dos
Perfil tres
Perfil cuatro
Perfil cinco
IAE
0.1315
0.006667
1.211
0.284
1.05
ISE
0.01728
4.44e-5
1.466
0.08065
1.113
ITAE
6.573
0.3
60.54
14.2
52.75
ITSE
0.8641
0.002
73.3
4.033
55.65
Tabla 6.3. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad
Una de las principales características del control por modos deslizantes es la
robustez que presenta ante perturbaciones desconocidas, por lo que las siguientes pruebas
que se le realizaron al control diseñado fueron las de introducir una perturbación en el par
de carga una vez que el control se encontrase sobre la referencia, esto con el fin de observar
la respuesta del controlador ante perturbaciones que se puedan presentar en el motor.
La perturbación en el par de carga se introdujo por medio del freno magnético
DL10300A del fabricante DeLorenzo, el cual produce un par de carga dependiendo del
voltaje que se le suministre.
La figura 6.27 muestra la respuesta de la velocidad para un aumento del par de carga
de 1.28 Nm en el segundo 30 aproximadamente, se observa que el control hace que el
sistema rechace la perturbación de está magnitud ya que la magnitud de la velocidad no se
corrompe por la perturbación.
Velocidad Angular wr
150
wr(rad/s)
vel. medidad
referencia
X: 29.32
Y: 100
X: 31.74
Y: 100
100
50
Perturbación
0
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
Par de carga Tl
35
40
45
50
40
45
50
15
Te(N m)
par de carga
10
Perturbación
X: 33.01
Y: 5.432
5
0
X: 29.67
Y: 4.12
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
Figura 6.27. Respuesta de la velocidad par una perturbación de 1.2 Nm.
La figura 6.28 muestra la respuesta de la velocidad ante una perturbación en el par
de carga de 5.6 Nm en el segundo 31 aproximadamente, se ve que ante una perturbación de
dicha magnitud el controlador implementado sigue rechazando la perturbación ya que la
respuesta de la velocidad no se corrompe.
115
6.7. Resultados Obtenidos en la Implementación
Velocidad Angular wr
150
wr(rad/s)
vel. medidad
referencia
X: 28.74
Y: 100
X: 33.47
Y: 100
100
50
Perturbación
0
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
Par de carga Tl
35
40
45
50
45
50
15
Te(N m)
par de carga
10
Perturbación
X: 34.33
Y: 10.07
5
0
X: 29.21
Y: 4.242
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
Figura 6.28. Respuesta de la velocidad ante una perturbación en el par de carga de 5.6 Nm.
La figura 6.29 muestra la respuesta de la velocidad ante una perturbación en el par
de carga de 9.22 Nm en el segundo 36 aproximadamente, se observa que ante una
perturbación de está magnitud el sistema sigue rechazando la perturbación.
Velocidad Angular wr
150
wr(rad/s)
vel. medidad
referencia
X: 34.04
Y: 100
X: 37.62
Y: 100
100
50
0
Perturbación
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
Par de carga Tl
35
40
45
50
15
Te(N m)
par de carga
X: 39.4
Y: 13.4
Perturbación
10
5
0
X: 34.04
Y: 4.333
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
45
50
Figura 6.29. Respuesta de la velocidad para un aumento de carga de 9.1 Nm.
La figura 6.30 muestra la respuesta de la velocidad ante una perturbación en el par
de carga de 54.2 Nm en el segundo 30 aproximadamente, se observa que aunque la
perturbación es muy grande el control todavía rechaza la perturbación.
116
Capítulo 6. Implementación
Velocidad Angular wr
X: 28.24
Y: 82.52
100
wr(rad/s)
vel. medidad
referencia
X: 32.78
Y: 80
50
Perturbación
0
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
Par de carga Tl
35
80
40
45
50
45
50
X: 35.19
Y: 59.54
par de carga
Te(N m)
60
Perturbación
40
X: 28.78
Y: 4.669
20
0
0
5
10
15
20
25
30
time (sec)
35
40
Figura 6.30. Respuesta de la velocidad para un aumento en el par de carga de 54.2 Nm.
Al realizar las pruebas con las perturbaciones en el par de carga se logró comprobar
la robustez del control por modos deslizantes diseñado e implementado, ya que aunque se
varió la perturbación la respuesta del controlador ante dichas perturbaciones no se modifico
o se corrompió muy poco, por lo que se concluye que este controlador es robusto ante
variaciones en el par de carga.
En la tabla 6.4 se muestran los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes para las pruebas que se realizaron cuando al motor se le introdujeron
perturbaciones en el par de carga. En dicha tabla se puede apreciar que los índices de
desempeño que presenta el controlador para dichas perturbaciones son pequeños por lo que
el control implementado tiene un buen comportamiento dinámico ante perturbaciones en el
par de carga.
Índice
Magnitud de la perturbación en el par de carga de la
máquina de CD
1.2 Nm
5.6 Nm
9.1 Nm
54.2 Nm
IAE
0.94
0.1137
0.19
0.01894
ISE
0.0674
0.1129
0.614
0.006058
ITAE
0.00896
0.1784
0.009088
0.008826
ITSE
0.000184
0.9553
0.0001652
0.0001625
Tabla 6.4. Índices de desempeño del controlador ante perturbaciones
El control por modos deslizantes de igual manera cumplió satisfactoriamente para la
tarea de seguimiento de trayectorias, ya que con los cinco diferentes perfiles de velocidad
se observó que para todos estos la velocidad convergió de manera rápida y permaneció
sobre la referencia solo con un chattering de 2 rad/seg.
El error del chattering que se observa en las gráficas de las respuestas del sistema se
debe a que la dinámica del sensor de velocidad (encoder) no se modeló ni se tomó en
cuenta durante el diseño del controlador, por lo que los efectos de esta dinámica no
117
6.7. Resultados Obtenidos en la Implementación
considerada se hicieron presentes durante la implementación del controlador. Otra razón
por la que el chattering apareció durante la implementación del control es que se diseñó un
control discontinuo para un modelo del sistema en tiempo continuo y esto puede causar
vibraciones [38] cuado se implementa debido a que por lo general se utiliza una razón de
muestreo finita sin modificaciones en tiempo discreto.
Las vibraciones por discretización son debidas, a que la frecuencia de conmutación
está limitada a la frecuencia de muestreo, pero una correcta implementación de los modos
deslizantes requiere de una frecuencia de conmutación infinita. Entonces las razones de
muestreo que son posibles implementar con la tarjeta de adquisición Sensoray 626 no
permiten conmutar la señal de control a una frecuencia adecuada para la implementación
del control por modos deslizantes.
Debido a que el sensor de velocidad (encoder) tiene una muy baja resolución, esto
provoca que variara la velocidad sensada en un rango considerable, para mejor aclaración
véase figura 6.31, esta muestra, la respuesta de la velocidad en lazo abierto para un voltaje
fijo de 20 Volts y la ampliación de esta.
Velocidad Angular wr en lazo abierto
Velocidad Angular wr en lazo abierto
60
51
50
50
49
vel. medidad
wr(rad/s)
wr(rad/s)
40
30
48
47
20
46
10
45
vel. medidad
0
44
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
time (sec)
8.5
9
9.5
10
a)
b)
Figura 6.31. a) Respuesta de la velocidad del motor en lazo abierto a un voltaje fijo de 20 volts, b) ampliación
de la gráfica de la velocidad para ver la variación de la velocidad medida.
Para mejorar la respuesta del sistema se suavizó la señal de control mediante la
adición de un filtro pasa bajas, de esta manera podremos atenuar el chattering. El filtro se
diseñó a partir de la transformada rápida de Fourier (FFT) de la señal de control.
118
Capítulo 6. Implementación
Capítulo 7
7 Conclusiones y trabajos futuros
Cómo parte final de este trabajo se presentan las conclusiones obtenidas al finalizar
el trabajo, de acuerdo al diseño, síntesis, aplicación, simulación e implementación del
control por modos deslizantes desarrollado para los motores de CD.
Aparte se dan algunos comentarios de trabajos futuros que pueden ser desarrollados
relacionados con este trabajo.
7.1 Conclusiones
La realización de esta tesis nos permite perfilar las principales razones del porque la
aplicación de modos deslizantes es un método prometedor para control de sistemas con
dinámicas no lineales de alto orden que operan bajo condiciones inciertas.
Este trabajo presentó la aplicación de los controles por modos deslizantes de
velocidad y posición a cinco tipos de motores de CD, con el fin de lograr un control
adecuado de los estados velocidad y posición aún cuando se presenten incertidumbres en el
modelo de las máquinas, y se revisó la robustez de los controladores para perturbaciones
desconocidas en la carga. Para esto se utilizaron herramientas de control de sistemas no
lineales.
El control por modos deslizantes se diseñó con la idea de que sea insensible a la
variación de la inductancia de campo y que sea robusto a perturbaciones en el par de carga
de la máquina. Se presentó la condición que se debe de satisfacer para que el modo
deslizante exista, esto se logro a partir de la derivada de la función candidata de Lyapunov.
La superficie deslizante para los diferentes controladores se diseñó a partir de la
función propuesta por Slotine [2], está función va ser que para cuando el sistema tenga un
grado relativo igual a dos la superficie de conmutación o deslizamiento va estar dada por
una función PD, solo para este caso en particular.
119
120
Capítulo 7. Conclusiones y Trabajos Futuros
Los controladores por modos deslizantes fueron diseñados sobre la base de modelos
no lineales de los motores de CD, estos modelos describen la evolución de la velocidad de
la flecha, las corrientes en los devanados y el par electromagnético generado.
Las perturbaciones en la carga de las máquinas son funciones escalares aditivas o
sustractivas que se introducen al par de carga, esto para simular un aumento o disminución
del valor de la carga de la máquina
En la simulación de la máquina de CD de excitación separada, cuando inicia la
simulación se observa que la máquina presenta una velocidad negativa esto es debido a que
la ecuación (A1.5) que fue la que se implementó para la simulación del comportamiento de
la máquina depende del par inercial, el par de carga y el par electromagnético de la
máquina y a su vez estos términos dependen de la velocidad del rotor, las corrientes de
campo y armadura de la máquina, entonces al arranque de la simulación las condiciones
iniciales de estos términos son cero exceptuando el par de carga y como se ve en la
ecuación este se resta provocando que se vea como si el motor girara al revés, esto se
corrige cuando la corriente de armadura es lo suficientemente grande para generar un par de
fuerzas por la reacción magnética y así lograr que el rotor gire. Esto físicamente representa
que la flecha del motor permanecerá estacionaria hasta producir la fuerza necesaria para
hacer girar la flecha.
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAF i f ia − TL )
dt
J
La estructura de la ley de control escogida tiene la particularidad de que el control
de corriente del motor es logrado de manera implícita debido a la aceleración del control, es
decir gracias a la conmutación a muy alta frecuencia. A demás de que presento una
respuesta dinámica rápida, y una alta robustez con respecto a perturbaciones en los
subsistemas eléctricos y mecánicos de los motores de CD.
El control por modos deslizantes permite una reducción del orden del sistema de los
motores y las propiedades de la invariancia son fácilmente alcanzables en sistemas de
segundo-orden con ecuaciones dinámicas. La dinámica del modo deslizante depende de las
ecuaciones de la superficie de conmutación y no depende del control.
En está tesis se trataron principalmente sistemas descritos por ecuaciones
diferenciales no lineales de dimensión n en espacio de estados, con m acciones de control
como se muestra en la figura 6.1
121
7.2. Trabajos futuros
Figura 7.1. Estructura del control por modos deslizantes
En la implementación práctica del control por modos deslizantes en el motor de CD
en derivación, se realizó una implementación analógica de una ley de control discontinua
mediante un dispositivo de rápida conmutación, en este caso un Mosfet; este método de
implementación fue factible ya que solo se tiene un voltaje de alimentación permitiendo de
esta manera el uso de dispositivos semiconductores de potencia.
Debido al método de implementación del control por modos deslizantes realizado,
se presentaron vibraciones en sistema de control debido a la implementación a una razón de
tiempo finita sin modificaciones en tiempo discreto, es decir no se discretizo ni el modelo
ni el control.
El problema del chattering aparece durante la implementación debido a que al
momento de diseñar e implementar el controlador no se tomó en cuenta la dinámica del
sensor de velocidad (encoder), entonces debido a que su dinámica es más lenta que las del
Mosfet y la tarjeta de adquisición, esto nos produce un error.
7.2 Trabajos futuros
Al concluir este trabajo todavía existen diferentes aspectos que se pueden seguir
investigando los cuales son:
Implementación del control por modos deslizantes al motor de CD Baldor que se
encuentra en el laboratorio del Cenidet mediante la implementación discreta de los modos
deslizantes pudiéndose utilizar sistemas o dispositivos más rapidos; para poder tener una
aproximación mas adecuada a la implementación de los modos deslizantes y poder ver si se
puede reducir o eliminar el problema del chattering.
La extensión del control por Modos Deslizantes a sistemas multivariables, por
ejemplo la aplicación del control a un motor de inducción pudiéndose estimar las corrientes
de estator con un observador por modos deslizantes y así poderlas retroalimentar para
hacer un control de estados por modos deslizantes o cualquiera que se desee.
122
Capítulo 7. Conclusiones y Trabajos Futuros
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Anexo A
A.1. Máquina de CD de excitación separada
Las ecuaciones diferenciales de la máquina de excitación separada están dadas por
la ecuación 2.12, de la que tenemos
v f = i f R f + LFF
va = ia Ra + LAA
(A1.1)
di f
dt
(A1.2)
dia
+ LAF ωr i f
dt
Resolviendo la ecuación de voltaje de campo para di f / dt tenemos
di f
dt
=
1
(v f − if Rf
LFF
)
(A1.3)
Ahora, resolviendo para la ecuación del voltaje de armadura para dia / dt tenemos
dia
1
=
( va − ia Ra − LAF ωr i f
dt LAA
)
(A1.4)
La relación entre el par del motor y la velocidad está dado por la ecuación 2.17
resolviendo para dωr / dt y el par está dado por Te = LAF i f ia ; tenemos
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAF i f ia − TL )
dt
J
(A1.5)
Implementación de las ecuaciones de la máquina de DC de excitación separada
Una vez obtenidas las ecuaciones de estado (A1.3, A1.4, A1.5) de la máquina de
excitación separada fueron programadas en la S-Function Excitación_separada_Machine.m,
este programa se manda a llamar y se ejecuta dentro de el programa
excitación_separada.mdl. La figura A1.1 muestra el programa excitación_separada.mdl.
127
128
Anexo A
Corriente De Campo
Out1
Corriente De Armadura
Excitacion_separada_Machine
In1
Velocidad
Vf1
Par Electromágnetico
Corriente De Campo " If "
Corriente De Armadura " Ia "
Velocidad Angular " wm "
Par Electromágnetico " Te "
In1
DC Motor
In2
TL
In3
t
Clock
In4
Subsystem1
To Workspace4
Figura A1.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de 200 HP de excitada separada
Los parámetros utilizados para la simulación del modelo de la máquina de CD de
excitación separada fueron obtenidos [31], que corresponde a una máquina de 200 hp
cuyos valores se muestran en la tabla A1.1.
Parámetro
R f Resistencia de campo
Valor
12
Unidades
Ω
LFF Inductancia de campo
9
H
0.012
ra
Resistencia de armadura
LAA Inductancia de armadura
0.0035
Ω
H
LAF Inductancia mutua
J
Momento de inercia
Bm Coeficiente de fricción viscosa
0.18
H
30
0
Kg m2
Nms
va Voltaje de armadura
250
V
vf
Voltaje de campo
250
V
TL
Par de carga
2375
Nm
Tabla A1.1. Parámetros de simulación de máquina de CD de excitación separada
Según las ecuaciones representativas de la máquina de CD de excitación separada
los valores de los estados en estado estable son los siguientes.
Tomamos el valor de ωr = 64.6
v f = Rf i f
⇒
if =
vf
Rf
=
rad
s
de Krause et al.
250 V
= 20.833 A
12 Ω
como
(v
a
= ra I a + ωr LAF I f ) × ( − LAF I f
LAF I f ra I a = LAF I f va − ( LAF I f
LAF I f I a = β mωr + TL
⇒
LAF I f I a ra = raTL + β mωr ra
)
)
2
(L
⇒
− LAF I f ra I a − ( LAF I f
)
2
ωr = − LAF I f va
ωr
AF
I f I a − β mωr = TL ) × ( ra )
⇒ LAF I f I a ra − β mωr ra = raTL
129
A.1. Máquina de CD de Excitación Separada
Entonces
2
raTL + β mωr ra = LAF I f va − ( LAF I f ) ωr ⇒ β mωr ra + ( LAF I f
ωr =
)
2
ωr = LAF I f va − raTL
LAF I f va − raTL
β m ra + ( LAF I f )
2
Entonces calculamos el valor de la velocidad angular en estado estable
L I v −rT
0.18 H ⋅ 20.833 A ⋅ 250 V − 0.012 Ω ⋅ 2375 N.m
ωr = AF f a2 a L =
= 64.585886
2
0.18
H
⋅
20.833
A
+
0
⋅
0.012
Ω
(
)
+
L
I
r
β
( AF f ) m a
Ia =
va ωr LAF I f
250 V 64.585886
−
=
−
ra
ra
0.012 Ω
rad
20.833 A
⋅ 0.18 H ⋅ 20.833 A
= 650.5666 A
0.012 Ω
 0.18 H
⋅ 1 −
64.585886
12 Ω

rad
s
rad
s

 = 2438.4148 N ⋅ m

Ia
Te
650.5666 A
2438.4148 N ⋅ m
ωr
64.585886
s
s
2
LAF Va2  LAF  0.18 H ⋅ ( 250 V )
Te =
ωr  =
1 −

ra R f 
Rf
0.012 Ω ⋅ 12 Ω

If
rad
A.2. Máquina de CD de imán permanente
Para el análisis del motor de imán permanente el circuito de campo se cambia por
un imán con campo magnético constante. La ecuación del voltaje para el devanado de
campo es eliminada y LAF I f es sustituida por una constante kv , por lo que la dinámica del
motor está dada,
va = ia Ra + LAA
dia
+ ωr kv
dt
(A2.1)
Resolviendo para la ecuación del voltaje de armadura para dia / dt tenemos
dia
1
=
( va − ia Ra − ωr kv )
dt LAA
(A2.2)
El par del motor está dado por
Te = kv I a
La relación entre el par del motor y la velocidad está dado por
(A2.3)
130
Anexo A
d ωr 1
= ( − Bmωr + kv ia − TL )
dt
J
(A2.4)
Implementación de las ecuaciones de la maquina de CD de imán permanente
Teniendo las ecuaciones (A2.2, A2.3, A2.4) correspondientes a una máquina de
imán permanente de 5 Hp, estas se programaron en una S-Function llamada
iman_permanente_Machine.m, este último se manda a llamar y ejecutar dentro del
programa Iman_permanente.mdl, la figura A2.1 muestra el programa realizado en simulink.
6
Corriente De Armadura
Corriente De Armadura " Ia "
Va
iman_permanente_Machine
In1
Velocidad
Par Electromágnetico
Velocidad Angular " wm "
Par Electromágnetico " Te "
Step
In1
t
DC Motor
In2
Clock
To Workspace3
In3
Subsystem1
Figura A2.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD de imán permanente
Los valores de los parámetros utilizados para la simulación de la máquina de CD de
imán permanente fueron obtenidos de [31], y se muestran en la tabla A2.1.
Parámetro
ra Resistencia de armadura
Valor
7
LAA Inductancia de armadura
J
Momento de inercia
0.12
Bm Coeficiente de fricción viscosa
va Voltaje de armadura
kv Constante de carga
TL Par de carga
Unidades
Ω
H
-6
1.06x10
6.04x10-6
Kg m2
Nms
6
V
1.41e-2
3.53e-3
Nm/A
Nm
Tabla A2.1. Parámetros de simulación de máquina de CD de imán permanente
De acuerdo a las ecuaciones que describen el comportamiento de la máquina de CD
de imán permanente, los valores de los estados en estado estable son los siguientes.
( va = ia Ra + ωr kv ) kv
( kvia = Bmωr + TL ) Ra
⇒ va kv = ia kv Ra + kv2 vωr ⇒ kv Ra ia = va kv − kv2ωr
⇒ kv Ra ia = Bm Raωr + RaTL
Entonces
131
A.3. Máquina de CD en Derivación
Bm Raωr + RaTL = va kv − kv2ωr ⇒ Bm Raωr + kv2ωr = va kv − RaTL
ωr =
va kv2 − RaTL
Bm Ra + kv
Entonces calculamos el valor de la velocidad angular en estado estable
ωr =
Ia =
LAF I f va − raTL
( LAF I f
)
2
+ β m ra
=
0.18 H ⋅ 20.833 A ⋅ 250 V − 0.012 Ω ⋅ 2375 N.m
2
( 0.18 H
va kv
250 V 64.585886
− =
−
ra ra 0.012 Ω
rad
⋅ 20.833 A ) + 0 ⋅ 0.012 Ω
20.833 A
s
⋅ 0.18 H ⋅ 20.833 A
= 650.5666 A
0.012 Ω
 0.18 H
⋅ 1 −
64.585886
12 Ω

rad
s
rad
s

 = 2438.4148 N ⋅ m

Ia
Te
650.5666 A
2438.4148 N ⋅ m
ωr
64.585886
rad
s
2
LAF Va2  LAF  0.18 H ⋅ ( 250 V )
Te =
ωr  =
1 −

ra R f 
Rf
0.012 Ω ⋅ 12 Ω

If
= 64.585886
A.3. Máquina de CD en derivación
La ecuación diferencial para el voltaje de campo se obtiene a partir del circuito
eléctrico equivalente mostrado en la figura 2.11 y se tiene
v f = Rf i f +
di f
dt
LFF
(A3.1)
la ecuación diferencial para el voltaje de armadura está dada por la ecuación 3.13
va = ra ia + LAA
dia
+ ωr LAF I f
dt
(A3.2)
Para la ecuación del par electromagnético tenemos la ecuación 2.34
Te = LAF i f ia
(A3.3)
Y la relación del par con la velocidad del motor la ecuación 2.35
Te = J
d ωr
+ Bmωr + TL
dt
(A3.4)
132
Anexo A
Tendiendo las ecuaciones diferenciales del sistema podemos obtener su dinámica,
primero resolviendo las ecuaciones de voltaje de campo de la ecuación A3.1, para di f dt
tenemos:
di f
dt
=
1
( −Rf i f + v f
LFF
)
(A3.5)
Ahora resolviendo la ecuación del voltaje de la armadura A3.2 para
dia
1
=
( −raia − LAF i f ωr + va )
dt LAA
Resolviendo la ecuación A3.4 para
dω r
dt
dia
dt
tenemos:
(A3.6)
con Te = LAF i f ia , tenemos:
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAF i f ia − TL )
dt
J
(A3.7)
Implementación de las ecuaciones de la maquina de DC en derivación
Una vez obtenidas las ecuaciones de estado (A3.5, A3.6, A3.7) de la máquina de
CD en derivación fueron programadas en la S-Function Shunt_Machine.m, este programa
se manda a llamar y se ejecuta dentro del programa Shunt_3.mdl. La figura A3.1 muestra el
programa Shunt_3.mdl.
Scope1
DC Motor
Out1
Corriente De Campo
Corriente De Armadura
Vf1
Shunt_Machi ne
In1
Velocidad
Par Electromágnetico
Corriente De Campo " If "
Corriente De Armadura " Ia "
Velocidad Angular " wm "
Par Electromágnetico " Te "
TL
In1
In2
t
Clock
250
To Workspace
In3
In4
to worksapace
Vf
Figura A3.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD en derivación de 5HP
Los valores utilizados para la simulación de este modelo de la máquina de CD en
paralelo fueron obtenidos de [31] y corresponde a un motor de CD en derivación de 5 hp, y
cuyos parámetros son los siguientes:
133
A.3. Máquina de CD en Derivación
Parámetro
R f Resistencia de campo
Valor
240
Unidades
Ω
LFF Inductancia de campo
120
H
0.6
Resistencia de armadura
ra
LAA Inductancia de armadura
0.012
Ω
H
LAF Inductancia mutua
J
Momento de inercia
Bm Coeficiente de fricción viscosa
1.8
H
1
0
Kg m2
Nms
va Voltaje de armadura
240
V
vf
Voltaje de campo
240
V
TL
Par de carga
29.2
Nm
Tabla A3.1. Parámetros de simulación de máquina de CD en derivación
Según las ecuaciones representativas de la máquina de CD de excitación
paralelo los valores de los estados en estado estable son los siguientes.
Tomamos el valor de ωr = 127.7
⇒ if =
vf = Rf if
vf
Rf
=
rad
s
de Krause et al.
240 V
=1 A
240 Ω
como
⇒ ωr =
Va = Ra I a + ωr LAF I f
Va − Ra I a
LAF I f
Ahora, sustituimos ωr en la siguiente ecuación
 V − Ra I a
⇒ Te = β m  a
 L I
 AF f
Te = β mωr + TL

 + TL

Con Te = LAF I f I a ; obtenemos
LAF I f I a =
β mVa
LAF I f
−

β R
I a  LAF I f + m a

LAF I f

Ia
(( L
Ia =
AF
If
)
2
β m Ra I a
LAF I f
+ TL
 β V
 = m a + TL
 LAF I f
⇒ LAF I f I a +
β m Ra I a
LAF I f
=
β mVa
LAF I f
 ( L I )2 + β R
AF f
m a
⇒ Ia 

LAF I f

+ TL

 = β mVa + T
L
 LAF I f

)
+ β m Ra = β mVa + LAF I f TL
β mVa + LAF I f TL
(L
AF
If
)
2
+ β m Ra
Entonces calculamos el valor de la corriente de armadura en estado estable
en
134
Ia =
ωr =
Anexo A
β mVa + LAF I f TL
(L
AF
If
)
2
+ β m Ra
=
0 ⋅ 240 V + 1.8 H ⋅ 1 A ⋅ 29.2 N.m
(1.8 H
2
⋅ 1 A ) + 0 ⋅ 0.6 Ω
= 16.2222 Amp
Va − Ra I a 240 V - 0.6 Ω ⋅16.222 Amp
=
= 127.925 Rad/seg
LAF I f
1.8 H ⋅ 1 Amp
2
LAF Va2  LAF  1.8 H ⋅ ( 240 V )
Te =
ωr  =
1 −

Ra R f 
Rf
0.6 Ω ⋅ 240 Ω

If
 1.8 H
⋅ 1 −
127.925
 240 Ω
127.925
rad
s
s

 = 29.205 N ⋅ m

Ia
Te
16.2222 A
29.205 N ⋅ m
ωr
1A
rad
A.4 Máquina de CD en serie
Analizando el circuito de la figura 3.8 se tiene
vt = v fs + va
(A4.1)
ia = i fs
(A4.2)
Donde se tiene que
vt = ia R fs + L ff
dia
di
+ ia Ra + Laa a + LAFsωr ia
dt
dt
Resolviendo la ecuación A4.3 para
dia
dt
(A4.3)
tenemos
dia
1
=
vt − ia ( R fs + Ra + LAFsωr )
dt Laa + L ff
(
)
(A4.4)
El par electromagnético está dado por
Te = LAFs I a2
(A4.5)
Resolviendo la ecuación 3.18 para Te = LAFs I a2 , tenemos
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAFs I a2 − TL )
dt
J
Implementación de las ecuaciones de la maquina de CD en serie
(A4.6)
135
A.5. Máquina de CD Compuesta Acumulativa
Las ecuaciones (A4.4, A4.5, A4.6) de máquina de excitación separada fueron
desarrolladas en la S-Function Serie_Machine.m y se simuló en Simulink con el programa
Serie.mdl de la siguiente manera.
110
Corriente De Armadura
Corriente De Armadura " Ia "
Vf
Seri e_Machi ne
In1
Velocidad
Par Electromágnetico
Velocidad Angular " wm "
Par Electromágnetico " Te "
TL
DC Motor
Figura A4.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD en serie
Los valores utilizados para la simulación se tomaron de [43] son los siguientes:
Parámetro
R f Resistencia de campo
Valor
0.7
Unidades
Ω
LFF Inductancia de campo
0.03
H
1.5
ra
Resistencia de armadura
LAA Inductancia de armadura
0.03
Ω
H
LAF Inductancia mutua
J
Momento de inercia
Bm Coeficiente de fricción viscosa
0.0675
H
0.5
0.0025
Kg m2
Nms
vf
Voltaje de campo
230
V
TL
Par de carga
5
Nm
Tabla A4.1. Parámetros de simulación de máquina de CD serie
A.5 Máquina de CD compuesta acumulativa
Analizando el circuido de la figura 2.19, tenemos que
vt = v f
y
vt = v fs + va
(A5.1)
La ecuación de voltaje del circuito de campo está dada por
v f = R f i f + LFF
di f
dt
+ LFS
di fs
dt
La ecuación de voltaje del circuito de armadura está dada por
(A5.2)
136
Anexo A
va = Ra ia + LAA
dia
+ LAF ωr i f + LAFS ωr i fs
dt
(A5.3)
La ecuación de voltaje del circuito del devanado de campo en serie está dada por
v fs = R fs i fs + LFFS
di fs
dt
Ahora resolviendo la ecuación (A5.2) para
di f
dt
=
+ LFS
di f
dt
di f
(A5.4)
dt
, tenemos
di fs 
1 
 v f − R f i f − LFS

LFF 
dt 
(A5.5)
di fs 

 vt − R f i f − LFS

dt 

(A5.6)
como v f = vt tenemos
di f
dt
=
1
LFF
Sustituyendo la ecuación A5.3 y A5.4 en A5.1 tenemos
vt = Ra ia + LAA
di
di
dia
+ LAF ωr i f + LAFS ωr i fs + R fs i fs + LFFS fs + LFS f
dt
dt
dt
(A5.7)
Como ia = i fs , la ecuación (A5.7) queda
vt = Ra ia + LAA
di
dia
di
+ LAF ωr i f + LAFS ωr ia + R fs ia + LFFS a + LFS f
dt
dt
dt
Ahora resolviendo la ecuación (A5.8) para
dia
dt
(A5.8)
, tenemos
di f 

dia 
1
=
 vt − ia ( Ra − LAFsωr + R fs ) − LAF ωr i f − LFS

dt  LAA + LFFS  
dt 
(A5.9)
Sustituyendo A5.6 en A5.8, con ia = i fs y agrupando; tenemos

L2FS 
 LAA + LFFS −
 + if
LFF 

Resolviendo la ecuación A5.10 para dia dt obtenemos
L
di
vt − FS vt = ia ( Ra + LAFS ωr + R fs ) + a
LFF
dt
R f LFS 

 LAF ωr −

LFF 

(A5.10)
137
A.5. Máquina de CD Compuesta Acumulativa
dia
1
=
dt 
L2FS
L
L
+
−
 AA
FFS
LFF

  LFS 
R f LFS  

 vt 1 −
 − ia ( Ra + LAFS ωr + R fs ) − i f  LAF ωr −
 B
LFF  
   LFF 



….(A5.11)
Ahora sustituyendo la ecuación A5.9 en A5.2, con vt = v f y ia = i fs , tenemos

 LFS LAF  
 R f − 
 ωr  −
 LAA + LFFS  

L2FS
di f 

 LFF −
 ( Ra − LAFsωr + R fs ) +
dt 
LAA + LFFS

 LFS vt 
vt = vt 
 + if
 LAA + LFFS 

LFS
ia 
 LAA + LFFS
Resolviendo la ecuación A5.12 para


di f 
1
=
dt

L2FS
 L −
  FF LAA + LFFS

di f
dt



(A5.12)
, tenemos
 




LFS
LFS LAF
ωr  + ...
 vt  1 −
 − if  Rf −
LAA + LFFS 
   LAA + LFFS 








LFS

ω
R
−
L
+
R
  ... + ia 
( a
AFs r
fs )



L
+
L
AA
FFS


 
(A5.13)
El par está dado por
Te = LAF i f ia + LAFs i fs ia
(A5.14)
Por lo que la relación entre el par y la velocidad queda
d ωr 1
= ( LAF i f ia + LAFs i fs ia − β mωr − TL )
dt
J
(A5.15)
Implementación de las ecuaciones de la maquina de DC compuesta acumulativa
Las ecuaciones (A5.11, A5.13, A5.14, A5.15) de máquina de excitación separada fueron
desarrolladas en la S-FunctionCompound_cumulative_Machine.m y se simuló en Simulink
con el programa Compound_cumulative.mdl de la siguiente manera.
138
Anexo A
100
Corriente De Campo
Vt
Corriente De Armadura
Compound_cumulative_Machine
In1
Velocidad
Par Electromágnetico
Corriente De Campo " If "
Corriente De Armadura " Ia "
Velocidad Angular " wm "
Par Electromágnetico " Te "
TL
In1
DC Motor
In2
In3
In4
to worksapace
Figura A5.1. Diagrama Simulink de la implementación de la máquina de CD compuesta acumulativa
Los valores utilizados para la simulación de este modelo de la máquina de CD compuesta
acumulativa son:
Parámetro
R f Resistencia de campo
Valor
200
Unidades
Ω
R fs Resistencia de campo serie
0.66
Ω
LFF Inductancia de campo
1.5
H
LFFs Inductancia de campo serie
0.098
H
0.09
Ω
H
ra
Resistencia de armadura
LAA Inductancia de armadura
1
LAF Inductancia mutua
0.9
H
-3
LAFs Inductancia mutua serie
9.90x10
H
LFs Inductancia entre el devanado en derivación
y serie
J
Momento de inercia
Bm Coeficiente de fricción viscosa
0.01
H
2
0
Kg m2
Nms
vf
Voltaje de campo
100
V
TL
Par de carga
10
Nm
Tabla A5.1. Parámetros de simulación de máquina de CD compuesta acumulativa
Anexo B
B.1. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor
de CD de Excitación Separada.
El modelo que se tiene la máquina de CD de excitación separada es, para ver de
donde se obtuvo véase anexo A.1:
di f
1
( −Rf i f + v f )
dt LFF
dia
1
=
( −raia − LAF i f ωr + va )
dt LAA
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAF i f ia − TL )
dt
J
=
B1.1
B1.2
B1.3
a) Desarrollo para el control de velocidad
El error de seguimiento de velocidad es e = ω * − ω , donde ω * es la velocidad de
referencia.
Las variables de estado las definimos como:
x1 = e = ωr* − ωr
x2 = e = ω r* − ω r
La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados x1 y x2 está dada
por
x1 = e = ω r* − ω r = x2
x2 = e = ωr* − ωr = ωr* −
1
( − Bmω r + LAF i f ia − TL )
J
Sustituyendo B1.2 en x2 tenemos
x2 = ωr* +
L i  1
 T
Bm
ω r − AF f 
− ra ia − LAF i f ωr + va )  + L
(
J
J  LAA
 J
despejando ωr y ω r de (B1.3) y sustituyéndolo en (B1.4), obtenemos
139
B1.4
140
Anexo B
ω r = ω r* − x2
ωr = ωr* − x1
x2 = ωr* +
L i
L i
L i
Bm *
T
ω r − x2 ) + AF f raia + AF f LAF i f (ωr* − x1 ) − AF f va + L
(
J
JLAA
JLAA
JLAA
J
B1.5
despejando ia de (B1.3) y sustituyéndola en (B1.5), tenemos
ia =
1
LAF i f
( J (ω
*
r
− x2 ) + Bm (ωr* − x1 ) + TL
)
 1
L i
Bm *
ω r − x2 ) + AF f ra 
J (ω r* − x2 ) + Bm (ωr* − x1 ) + TL
(

J
JLAA  LAF i f
L i
L i
T
+ AF f LAF i f (ωr* − x1 ) − AF f va + L
JLAA
JLAA
J
(
x2 = ωr* +

) 

Agrupando términos tenemos
2
2
 ra Bm L2AF i 2f 
 ra
 ra
Bm 
Bm  *  ra Bm LAF i f
*
x2 = − 
+
+
+
+
 x1 − 
 x2 + ωr + 
 ω r + 
 JL
JL
L
J
L
J
JL
JLAA
AA
AA

AA


AA

AA



r
T L i
+ a TL + L − AF f va
JLAA
J JLAA
 *
 ωr

Ahora definimos los siguientes términos
 ra Bm L2AF i 2f
a1 = 
+
 JL
 AA JLAA
 r
B 
a2 =  a + m 
 LAA J 
b=



LAF i f
JLAA
f ( t ) = ωr* + a2ω r* + a1ωr* +
ra
T
TL + L
JLAA
J
Con lo que se obtiene el sistema siguiente
x1 = x2
x2 = − a1 x1 − a2 x2 + f ( t ) − bva
(B1.6)
141
B.1. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD de Estación
Separada
b) Desarrollo para el control de posición
El error de seguimiento de posición es e = θ * − θ , donde θ * es la posición de
referencia.
Las variables de estado las definimos como:
x1 = e = θ r* − θ r
x = e = θ* − θ
2
r
(B1.7)
r
x3 = e = θr* − θr
La ecuación del motor de CD con respecto a los estados x1 , x2 y x3 está dada por
x1 = e = θr* − θr = θr* − ( va − ra ia − LAAia )
LAF i f ia
1
LAF i f
= x2
B
1
TL + m θr = x3
J
J
J
L i
B
1
x3 = e = θr* − θr = θr* − AF f ia + TL + m θr
J
J
J
sustituyendo ia en la ecuacion en x3
x2 = e = θr* − θr = θr* −
x3 = e = θr* − θr = θr* −
con ia =
1
LAF i f
+
LAF i f  1
 1
B
− ra ia − LAF i f θr + va  + TL + m θr

J  LAA
J
 J
(
)
( Jθ + B θ + T ) , tenenemos
r
m r
L
 1
L i  1 
x3 = e = θr* − θr = θr* − AF f 
Jθr + Bmθr + TL
 − ra 
 LAF i f
J  LAA 




 − LAF i f θr + va   + 


B
1
+ TL + m θr
J
J
Despejando θ r , θ r , θ r de B1.7 y sustituyéndolo en x3 , obtenemos
(
θr = θr* − x3
θr = θr* − x2
θ r = θ r* − x1
Por lo tanto x3 queda
)
142
Anexo B
 1
LAF i f  1 

J θr* − x3 + Bm θr* − x2 + TL
 − ra 



J
L
 LAF i f
 AA 
B
1
+ TL + m θr* − x3
J
J
( (
x3 = θr* −
(
)
(
)
)


*

−
L
i
θ
−
x
+
v

 AF f r
2
a



(
)
)
Agrupando tenemos
rB
L2 i 2
x3 = −  a m + AF f
 JL
 AA JLAA
2
2

 ra
 ra
Bm 
Bm  *  ra Bm LAF i f  *
*
x
−
+
x
+
θ
+
+
θ
+
+
 2 
 θ r +  3 r 
 r 
L
J
L
J
JL
JL
 AA

 AA

AA 

 AA
r
T L i
+ a TL + L − AF f va
JLAA
J JLAA
Ahora definimos los siguientes términos como
rB
L2AF i 2f
a1 =  a m +
 JL
 AA JLAA
 r
B 
a2 =  a + m 
 LAA J 



r
T
f ( t ) = θr* + a2θr* + a1θr* + a TL + L
JLAA
J
L i
b = AF f
JLAA
Por lo que se tiene el sistema
x1 = x2
x2 = x3
(B1.8)
x3 = − a1 x2 − a2 x3 + f ( t ) − bva
B.2. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de
CD de Imán Permanente.
El modelo del motor de imán permanente, se desarrolló en el capítulo dos y en el
anexo A.2 y es:
dia
1
=
( va − ia Ra − ωr kv )
dt LAA
d ωr 1
= ( − Bmωr + kv ia − TL )
dt
J
(B2.1)
(B2.2)
B.2. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD de Imán
Permanente
143
a) Desarrollo para el control de velocidad
El error de seguimiento de velocidad es e = ωr* − ωr , donde ωr* es la velocidad de
referencia, las variables de estado las definimos como:
x1 = e = ωr* − ωr
(B2.3)
x2 = e = ω r* − ω r
La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados x1 y x2 está dada
por
x1 = e = ω r* − ω r = x2
x2 = e = ωr* − ωr = ωr* −
1
( − Bmω r + kvia − TL )
J
Sustituyendo (B2.1) en x2 , tenemos
x2 = ωr* +
 T
Bm
k  1
ω r − v 
( −ra ia − kvωr + va )  + L
J
J  LAA
 J
(B2.4)
despejando ωr y ω r de (B2.3) y sustituyéndolo en (B2.4), obtenemos
ω r = ω r* − x2
ωr = ωr* − x1
x2 = ωr* +
Bm *
kv
kv2
k
T
ω
−
x
+
r
i
+
ωr* − x1 ) − v va + L
(
(
r
2)
a a
J
JLAA
JLAA
JLAA
J
(B2.5)
despejando ia de (B2.2) y sustituyéndola en (B2.5), tenemos
ia =
1
LAF i f
( J (ω
*
r
− x2 ) + Bm (ωr* − x1 ) + TL
)
1

Bm *
k
ω r − x2 ) + v ra 
J (ω r* − x2 ) + Bm (ωr* − x1 ) + TL 
(
J
JLAA  kv

2
k
k
T
+ v (ωr* − x1 ) − v va + L
JLAA
JLAA
J
x2 = ωr* +
(
Agrupando términos semejantes, obtenemos
)
144
Anexo B
rB
 r
 r
rB
k2 
B 
B 
k2 
x2 = −  a m + v  x1 −  a + m  x2 + ωr* +  a + m  ω r* +  a m + v  ωr*
 JLAA JLAA 
 LAA J 
 LAA J 
 JLAA JLAA 
r
k
T
+ a TL + L − v va
JLAA
J JLAA
Ahora definimos los siguientes términos como
 ra Bm
kv2 
+
a1 = 

 JLAA JLAA 
 r
B 
a2 =  a + m 
 LAA J 
k
b= v
JLAA
f ( t ) = ωr* + a2ω r* + a1ωr* +
ra
T
TL + L
JLAA
J
Por lo que el sistema resultante es
x1 = x2
B2.6
x2 = − a1 x1 − a2 x2 + f ( t ) − bva
b) Desarrollo para el control de posición
El modelo del sistema ahora lo expresamos en términos del estado posición
dia
1
=
va − ia Ra − θr kv
dt LAA
dθ r
1
=
kv ia − Jθr − TL
dt
Bm
(
)
(B2.7)
(
)
(B2.8)
El error de seguimiento de posición es e = θ r* − θ r , donde θ r* es la posición de
referencia, las variables de estado las definimos como:
x1 = e = θ r* − θ r
x = e = θ* − θ
2
r
r
(B2.9)
x3 = e = θr* − θr
La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados x1 , x2 y x3 está
dada por
B.2. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD de Imán
Permanente
145
x1 = e = θr* − θr = x2
x = e = θ* − θ = x
2
r
3
r
k
B
1
x3 = e = θr* − θr = θr* − v ia + TL + m θr
J
J
J
sustituyendo (B2.7) en x3 , se tiene
x3 = θr* −
kv
J
 1
 1
B
− ra ia − kvθr + va  + TL + m θr

J
 LAA
 J
(
)
(B2.10)
despejando ia de (B2.8) y sustituyéndola en B2.10,obtenemos
ia =
1 Jθ r + Bmθr + TL
kv
(
x3 = θr* −
kv
J
)
 1 

 1 + T  − k θ + v   + 1 T + Bm θ
−
r
J
θ
+
B
θ



r
m r
L
v r
a
L
r
 a k


J
 v

 J
 LAA 
(
)
despejando θ r , θr y θr de (B2.9) y sustituyéndolo en la ecuación anterior, tenemos
θr = θr* − x3
θr = θr* − x2
θ r = θ r* − x1
 1 

1
* − x + B θ* − x + T  − k θ* − x + v  
−
r
J
θ



r
3
m
r
2
L
v
r
2
a
 LAA  a  kv





B
1
+ TL + m θr* − x3
J
J
x3 = θr* −
kv
J
( (
(
)
(
)
)
(
)
)
Agrupando los términos semejante, se obtiene
rB
 r
 r
rB
k2 
B 
B 
k2 
x3 = −  a m + v  x2 −  a + m  x3 + θr* +  a + m  θr* +  a m + v  θr*
 JLAA JLAA 
 LAA J 
 LAA J 
 JLAA JLAA 
r
k
T
+ a TL + L − v va
JLAA
J JLAA
Ahora definimos los términos como
rB
k2 
a1 =  a m + v 
 JLAA JLAA 
146
Anexo B
 r
B 
a2 =  a + m 
 LAA J 
r
T
f ( t ) = θr* + a2θr* + a1θr* + a TL + L
JLAA
J
k
b= v
JLAA
Entonces el sistema resultante es
x1 = x2
x2 = x3
(B2.11)
x3 = − a1 x2 − a2 x3 + f ( t ) − bva
B.3. Desarrollo de las ecuaciones para el control del motor de
CD en derivación.
El modelo que se tiene para la máquina de CD en paralelo, se desarrolló en el capítulo dos
y es:
di f
1
( −Rf i f + v f )
dt LFF
dia
1
=
( −raia − LAF i f ωr + va )
dt LAA
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAF i f ia − TL )
dt
J
=
(B3.1)
(B3.2)
(B3.3)
a) Desarrollo para el control de velocidad
El error de seguimiento de velocidad es e = ωr* − ωr , donde ωr* es la velocidad de
referencia, entonces las variables de estado las definimos como:
x1 = e = ωr* − ωr
(B3.4)
x2 = e = ω r* − ω r
Las ecuaciones dinámicas del motor de CD con respecto a los estados x1 y x2 está
dada por
x1 = e = ω r* − ω r = x2
x2 = e = ωr* − ωr = ωr* −
1
( − Bmω r + LAF i f ia − TL )
J
B.3. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Derivación
147
Sustituyendo B3.2 en x2 , tenemos
x2 = ω*r +
L i  1
 T
Bm
ω r − AF f 
− ra ia − LAF i f ωr + va )  + L
(
J
J  LAA
 J
despejando ωr y ω r de B3.4 y sustituyéndolo en x2 , obtenemos
ω r = ω *r − x2
(B3.5)
ωr = ωr* − x1
x2 = ωr* +
L i
L i
L i
Bm *
T
ω r − x2 ) + AF f raia + AF f LAF i f (ωr* − x1 ) − AF f va + L
(
J
JLAA
JLAA
JLAA
J
(B3.6)
despejando ia de B3.3 con B3.5, tenemos
ia =
1
LAF i f
( J (ω
*
r
− x2 ) + Bm (ωr* − x1 ) + TL
)
Ahora sustituimos ia en (B3.6), obtenemos
 1
L i
Bm *
ω r − x2 ) + AF f ra 
J (ω r* − x2 ) + Bm (ωr* − x1 ) + TL
(

J
JLAA  LAF i f
L i
L i
T
+ AF f LAF i f (ωr* − x1 ) − AF f va + L
JLAA
JLAA
J
(
x2 = ωr* +

) 

Agrupando términos semejantes, obtenemos
2
2
 ra Bm L2AF i 2f 
 ra
 ra
Bm 
Bm  *  ra Bm LAF i f
*
x2 = − 
+
+
+
+
 x1 − 
 x2 + ωr + 
 ω r + 
 JL
 LAA J 
 LAA J 
 AA JLAA 
 JLAA JLAA
r
T L i
+ a TL + L − AF f va
JLAA
J JLAA
Ahora definimos los términos como
 ra Bm L2AF i 2f
a1 = 
+
 JL
 AA JLAA
 r
B 
a2 =  a + m 
 LAA J 



 *
 ωr

148
b=
Anexo B
LAF i f
JLAA
f ( t ) = ωr* + a2ω r* + a1ωr* +
ra
T
TL + L
JLAA
J
Por lo que obtenemos el siguiente sistema
x1 = x2
(B3.7)
x2 = − a1 x1 − a2 x2 + f ( t ) − bva
b) Desarrollo para el control de posición
El modelo del sistema ahora lo expresamos en términos del estado posición
dia
1
=
− ra ia − LAF i f θr + va
dt LAA
dθ r
1
=
LAF i f ia − Jθr − TL
dt
Bm
(
)
(B3.8)
(
)
(B3.9)
El error de seguimiento de posición es e = θ r* − θ r , donde θ r* es la posición de
referencia, las variables de estado las definimos como:
x1 = e = θ r* − θ r
x = e = θ* − θ
2
r
(B3.10)
r
x3 = e = θ − θr
*
r
La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados x1 , x2 y x3 está
dada por
x1 = e = θr* − θr = x2
x = e = θ* − θ = x
2
r
r
3
LAF i f
B
1
x3 = e = θr* − θr = θr* −
ia + TL + m θr
J
J
J
Sustituyendo B3.8 en x3 , tenemos
x3 = θr* −
LAF i f  1
 1
B
− ra ia − LAF i f θr + va  + TL + m θr

J  LAA
J
 J
(
)
despejando ia de B3.9, se obtiene
(B3.11)
B.3. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Derivación
ia =
1
LAF i f
149
( Jθ + B θ + T )
m r
L
sustituyendo ia en B3.11, tenemos
x3 = θr* −
 1
LAF i f  1 

Jθr + Bmθr + TL
 − ra 
L i
J  LAA 
 AF f

(

)  − L

 1
B
i θr + va   + TL + m θr
 J
J

AF f
Despejando θ r , θr , θr de B3.10 y sustituyéndolo en la ecuación anterior,
obtenemos
θr = θr* − x3
θr = θr* − x2
θ r = θ r* − x1
 1
LAF i f  1 

J θr* − x3 + Bm θr* − x2 + TL
 − ra 



J
L
 LAF i f
 AA 
B
1
+ TL + m θr* − x3
J
J
( (
x3 = θr* −
(
)
(
)
)


*
 − LAF i f θr − x2 + va  



(
)
)
Agrupando tenemos
rB
rB
L2 i 2 
L2 i 2
 r
 r
B 
B 
x3 = −  a m + AF f  x2 −  a + m  x3 + θr* +  a + m  θr* +  a m + AF f
 JL

 JL
 LAA J 
 LAA J 
 AA JLAA 
 AA JLAA
r
T L i
+ a TL + L − AF f va
JLAA
J JLAA
Ahora definimos los siguientes términos como
 ra Bm L2AF i 2f
a1 = 
+
 JL
 AA JLAA
 r
B 
a2 =  a + m 
 LAA J 



r
T
f ( t ) = θ* + a2θr* + a1θr* + a TL + L
JLAA
J
L i
b = AF f
JLAA
Por lo que el sistema resultante es
 *
 θr

150
Anexo B
x1 = x2
x2 = x3
(B3.12)
x3 = − a1 x2 − a2 x3 + f ( t ) − bva
B.4. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de
CD en Serie.
El modelo para el motor de CD serie se desarrolló en el anexo A.4 y es:
dia
1
vt − ia ( R fs + Ra + LAFsωr )
=
dt Laa + L ff
d ωr 1
= ( − Bmωr + LAFs ia2 − TL )
dt
J
(
)
(B4.1)
(B4.2)
a) Desarrollo para el control de velocidad
El error de seguimiento de velocidad es e = ωr* − ωr , donde ωr* es la velocidad de
referencia, las variables de estado las definimos como:
x1 = e = ωr* − ωr
x2 = e = ω r* − ω r
(B4.3)
x3 = e = ωr* − ωr
La ecuación dinámica del motor de CD en serie con respecto a los estados x1 , x2 y
x3 está dada por
Bm
L
T
ωr − AFs ia2 + L = x2
J
J
J
B
2L
T
x2 = e = ωr* − ωr = ωr* + m ω r − AFs ia + L = x3
J
J
J
B
2L
T
r* − ω
r = ω
r* + m ωr − AFs ia + L
x3 = e =ω
J
J
J
x1 = e = ω r* − ω r = ω r* +
Sustituimos (B4.1) en x3
r* +
x3 = ω
Bm
2L
ωr − AFs
J
J

1
vt − ia ( R fs + Ra + LAFsωr )

L
+
L
aa
ff

(

)  + TJ

L
(B4.4)
151
B.4. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Serie
como ωr = −
Bm
2L
T
ω r + AFs ia − L , entonces despejamos ia y la sustituimos en
J
J
J
B4.4, tenemos
ia =
1
( J ωr + Bmω r + TL )
2 LAFs
r* +
x3 = ω

Bm
2 LAFs
ωr −
 vt
J
J ( Laa + L ff ) 
 T
 1

−
J ωr + Bmω r + TL )  ( R fs + Ra + LAFsωr )  + L
(
 2 LAFs

 J
despejamos ωr , ω r y ωr de B4.3 y los sustituimos en x3
ωr = ωr* − x3
ω r = ω r* − x2
ωr = ωr* − x1

1
r* + 
x3 = ω
J (ωr* − x3 ) + Bm (ω r* − x2 ) + TL
 J ( Laa + L ff )

2 LAFs
T B
+ L + m (ωr* − x3 ) −
vt
J
J
J ( Laa + L ff )
(

)  ( R

fs
+ Ra + LAFs (ωr* − x1 )
)
Agrupando términos iguales tenemos


 R fs
R fs Bm
Ra Bm
Ra
B 
LAFs Bm
 x2 − 
x3 = − 
+
+
+ m  x3 +
x1 x2




J 
J ( Laa + L ff )
 Laa + L ff Laa + L ff
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 


 R fs
R fs Bm
LAFs
Ra
B 
Ra Bm
r* + 
 ω r*
+
+ m  ωr* + 
+
x1 x3 + ω
 Laa + L ff Laa + L ff
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 
Laa + L ff
J 



LAFs
LAFs Bm
LAFs
LAFs Bm
LAFs
+
ωr*ωr* +
ωr*ω r* −
ωr* x3 −
ωr* x2 −
ωr* x1
Laa + L ff
Laa + L ff
Laa + L ff
J ( Laa + L ff )
J ( Laa + L ff )
+
−
LAFs Bm
2 LAFs
T
ω r* x1 + a5TL + L −
u
J J ( Laa + L ff )
J ( Laa + L ff )
definimos los siguientes términos como


R fs Bm
Ra Bm

a1 = 
+
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 


 R fs
Ra
B 
a2 = 
+
+ m
L +L
Laa + L ff
J 
ff
 aa
152
Anexo B
a3 =
LAFs Bm
J ( Laa + L ff
a4 =
LAFs
Laa + L ff
)


R fs
Ra

a5 = 
+
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 


2 LAFs
b=
J ( Laa + L ff )
T
r* + a2ωr* + a1ω r* + a4ωr*ωr* + a3ωr*ω r* − a4ωr* x3 − a3ωr* x2 − a4ωr* x1 − a3ω r* x1 + a5TL + L
f (t ) = ω
J
Por lo que el sistema resultante es
x1 = x2
x2 = x3
x3 = − a1 x2 − a2 x3 + a3 x1 x2 + a4 x1 x3 + f ( t ) − bu
(B4.5)
b) Desarrollo para el control de posición
El modelo del sistema ahora lo expresamos en términos del estado posición
dia
1
vt − ia R fs + Ra + LAFsθr
=
dt Laa + L ff
dθ r
1
=
− Jθr + LAFs I a2 − TL
dt
Bm
(
(
(
)
))
(B4.6)
(B4.7)
El error de seguimiento de posición es e = θ r* − θ r , donde θ r* es la posición de
referencia, las variables de estado las definimos como:
x1 = e = θ r* − θ r
x = e = θ* − θ
2
r
(B4.8)
r
x3 = e = θr* − θr
x = e = θ* − θ
4
r
r
La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados x1 , x2 , x3 y x4
está dada por
153
B.4. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de CD en Serie
L
1
J x1 = e = θr* − θr = θr* − AFs ia2 +
TL +
θ r = x2
Bm
Bm
Bm
L
B
1
x2 = e = θr* − θr = θr* − AFs ia2 + m θr + TL = x3
J
J
J
2L
B
1
x3 = e = θr* − θr = θr* − AFs ia + m θr + TL = x4
J
J
J
2L
B
1
θr * − θr = θr * − AFs ia + m θr + TL
x4 = e = J
J
J
Sustituyendo B4.6 en la ecuación de x4 , tenemos
x4 = θr * −
2 LAFs 
1
vt − ia R fs + Ra + LAFsθr

J  Laa + L ff
(
(

) )  + BJ
m

1
J
θr + TL
(B4.9)
B
2L
T
como θr = − m θr + AFs I a − L , entonces despejamos ia y la sustituimos en B4.9
J
J
J
ia =
1
Jθr + Bmθr + TL
2 LAFs
(

2 LAFs
θr * − 
x4 =  J ( Laa + L ff

Bm 1 θ r + TL
J
J
)

 1

Jθr + Bmθr + TL  R fs + Ra + LAFsθr
 vt − 
)   2 LAFs

(
)(

)   +

Despejando θ r , θr , θr y θr de B4.8 y la sustituimos en la ecuación anterior
θr = θr* − x4
θr = θr* − x3
θr = θr* − x2
θ r = θ r* − x1

1
x4 = θr * + 
J θr* − x4 + Bm θr* − x3 + TL
 J ( Laa + L ff )

Bm *
2 LAFs
1
vt
θ r − x4 + TL −
J
J
J ( Laa + L ff )
( (
(
)
(
)
Agrupando términos iguales, se tiene
)

)  ( R

fs
(
+ Ra + LAFs θr* − x2
)) +
154
Anexo B


 R fs
R fs Bm
Ra Bm
Ra
B 
LAFs
 x3 − 
x4 = − 
+
+
+ m  x4 +
x2 x3
L +L

 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 
L
+
L
J
L
+
L
ff
aa
ff
aa
ff
 aa





 R fs
R fs Bm
LAFs Bm
Ra
B 
Ra Bm
 θr*
x1 x3 + θr * + 
+
+ m  θr* + 
+

 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 
J 
J ( Laa + L ff )
 Laa + L ff Laa + L ff


LAFs **
LAFs Bm
LAFs *
LAFs *
LAFs Bm
+
θr θr +
θr*θr* −
θ r x4 −
θ r x2 −
θr* x3
Laa + L ff
Laa + L ff
Laa + L ff
J ( Laa + L ff )
J ( Laa + L ff )
+
−
LAFs Bm
LAFs
LAFs
LAFs
x2TL −
x2TL +
θr* x2 −
θr*TL
J ( Laa + L ff )
J ( Laa + L ff )
J ( Laa + L ff )
J ( Laa + L ff )

R fs
Ra
+
+
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff


2 LAFs
T
 TL + L −
u
)  J J ( Laa + L ff )
Ahora definimos los siguientes términos como


R fs Bm
Ra Bm

a1 = 
+
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 


 R fs
Ra
B 
a2 = 
+
+ m
L +L
Laa + L ff
J 
ff
 aa
LAFs
a3 =
Laa + L ff
LAFs Bm
a4 =
J ( Laa + L ff )
b=
2 LAFs
J ( Laa + L ff
)


R fs
Ra

a5 = 
+
 J ( Laa + L ff ) J ( Laa + L ff ) 


LAFs
a6 =
J ( Laa + L ff )
f (t ) = θr * + a2θr* + a1θr* + a3θr*θr* + a4θr*θr* − a3θr* x4 − a3θr* x2 − a4θr* x3 − a4θr* x2 − x2TL − a6 x2TL + a6θr*TL
T
+ a5TL + L
J
Entonces sistema resultante es
155
B.5. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD
Compuesto Acumulativo
x1 = x2
x2 = x3
(B4.10)
x3 = x4
x4 = − a1 x3 − a2 x4 + a3 x2 x3 + a4 x1 x3 + f ( t ) − bu
B.5. Desarrollo de las ecuaciones para el Control del Motor de
CD Compuesto Acumulativo.
El modelo para el motor de CD compuesto acumulativo se desarrolló en el anexo
A.5 y es:
dia
1
=
dt 
L2FS
L
+
L
−
 AA
FFS
LFF

  LFS
 vt 1 −
   LFF



 − ia ( Ra + LAFS ωr + R fs ) − i f

R f LFS  

 LAF ωr −

LFF  

…(B5.1)
d ωr 1
= ( LAF i f ia + LAFs i fs ia − β mωr − TL )
dt
J
(B5.2)
a) Desarrollo para el control de velocidad
El error de seguimiento de velocidad es e = ωr* − ωr , donde ωr* es la velocidad de
referencia, las variables de estado las definimos como:
x1 = e = ωr* − ωr
(B5.3)
x2 = e = ω r* − ω r
La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados x1 y x2 está dada
por
LAF i f
LAFs i fs
1
J
J
J
J
L i  β
L i
1
x2 = e = ωr* − ωr = ωr* − ia  AF f + AFs fs  + m ω r + TL
J  J
J
 J
x1 = e = ω r* − ω r = ω r* −
ia −
Sustituimos B5.1 en x2
ia +
βm
ωr + TL = x2
156
Anexo B
  LFS 

vt 1 −
 − ia ( Ra + LAFS ωr + R fs ) − 
1
  LFF 
  LAF i f + LAFs i fs
x2 = ωr* −

2


J

LFS  
R f LFS 
 J


 LAA + LFFS −
 i f  LAF ωr −

LFF   
LFF 



+

+
βm
J
1
J
ω r + TL
como ω r =
LAF i f
J
ia +
LAFs i fs
J
ia −
βm
J
1
J
ωr − TL , entonces despejamos ia y la
sustituimos en x2

J
ia = 
L i +L i
AFs fs
 AF f

β
1 
  ω r + m ωr + TL 
J
J 

  LFS 

vt 1 −


  LFF 


 L i
 J ω r + β mωr + TL 
L i

1
*


x2 = ωr −
−
Ra + LAFS ωr + R fs )  AF f + AFs fs

(
2
 LAF i f + LAFs i fs 
 J
J

L 



 LAA + LFFS − FS  
LFF  

R f LFS 


 − i f  LAF ωr −


LFF 



β
1
+ m ω r + TL
J
J
despejamos ωr , ω r y ωr de (22) y los sustituimos en x2
ω r = ω r* − x2
ωr = ωr* − x1
  LFS 
 vt 1 −

  LFF 

 J (ω r* − x2 ) + β m (ωr* − x1 ) + TL
LAF i f + LAFs i fs ) 
(
*
x2 = ωr −
−

LAF i f + LAFs i fs

L2FS  


J  LAA + LFFS −


LFF  
R L 


 − i f  LAF (ωr* − x1 ) − f FS 
LFF 


β
1
+ m (ω r* − x2 ) + TL
J
J
Agrupando términos iguales tenemos




(




*
Ra + LAFS (ωr − x1 ) + R fs 





)

+

157
B.5. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD
Compuesto Acumulativo


( LFF − LFS ) ( LAF i f + LAFsi fs )  ( Ra + R fs )
*
x2 = ωr −
uo + 


L2FS 
L2FS

JLFF  LAA + LFFS −

 L + LFFS −

  AA
LFF 
LFF






( Ra + R fs )
β 

+ m  ω r* − 
 J 

L2FS


 L + LFFS −

  AA
LFF





β 
+ m  x2
 J 












 β m ( Ra + R fs ) + ( LAF i f + LAFs i fs ) i f LAF  *  β m ( Ra + R fs ) + ( LAF i f + LAFs i fs ) i f LAF 
+
 ωr − 
 x1
2
2




L
L




J  LAA + LFFS − FS 
J  LAA + LFFS − FS 








LFF 
LFF 






2
LAFS
β m LAFS
2
+
ωr*ω r* − ωr* x2 − ω r* x1 + x1 x2 ) +
ωr* ) − 2ωr* x1 + ( x1 )
(
(
2
2


L 
L 
 LAA + LFFS − FS 
 LAA + LFFS − FS 
LFF 
LFF 


(
+
(R
a
+ R fs )
TL +
LAFS


L 
L
J  LAA + LFFS − FS 
J  LAA + LFFS − FS


LFF 
LFF


LAF i f + LAFs i fs R f LFS
−
if

L2FS  LFF
 LAA + LFFS −

LFF 

2
2
definimos los siguientes términos como


 β m ( Ra + R fs ) + ( LAF i f + LAFs i fs ) i f LAF
a1 = 

L2FS 

J  LAA + LFFS −



LFF 






( Ra + R fs ) + β m 

a2 = 
2
J 
  L + L − LFS 

FFS

  AA

L
FF 


LAFS
a3 =

L2FS 
L
+
L
−
 AA

FFS
LFF 











TLωr* −
LAFS

L
J  LAA + LFFS − FS

LFF

2



TL x1 +
1 TL
J
)
158
a4 =
a5 =
Anexo B
β m LAFS

L2FS
 LAA + LFFS −
LFF

( Ra + R fs )




L2FS 
J  LAA + LFFS −


L
FF


LAFS
a6 =

L2FS 
J  LAA + LFFS −


L
FF


( LFF − LFS ) ( LAF i f + LAFsi fs )
b=

L2 
LFF  LAA + LFFS − FS 

LFF 

a7 =
LAF i f + LAFs i fs ( R f LFS i f

L
J  LAA + LFFS − FS

LFF

2
)

 LFF

2
f ( t ) = ωr* + a2ω r* + a1ωr* + a3ωr*ω r* − a3ωr* x2 − a3ω r* x1 + a4 (ωr* ) − 2a4ωr* x1 + a5TL
+ a6TLωr* + a6TL x1 +
TL
+ a7
J
Por lo que el sistema resultante es
x1 = x2
(B5.4)
2
x2 = − a1 x1 − a2 x2 + a3 x1 x2 + a4 ( x1 ) + f ( t ) − bu
b) Desarrollo para el control de posición
El modelo del sistema ahora lo expresamos en términos del estado posición
dia
1
=
dt 
L2FS
 LAA + LFFS −
LFF

  LFS 
R f LFS

vt  1 −
 − ia Ra + LAFSθr + R fs − i f  LAF ωr −
LFF
   LFF 



(
)

 …

…(B5.5)
dθ r
1
=
L i i + LAFs i fs ia − J θr − TL
dt
β m AF f a
(
)
(B5.6)
159
B.5. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD
Compuesto Acumulativo
El error de seguimiento de posición es e = θ r* − θ r , donde θ r* es la posición de
referencia, las variables de estado las definimos como:
x1 = e = θ r* − θ r
x = e = θ* − θ
2
r
(B5.7)
r
x3 = e = θ − θr
*
r
La ecuación dinámica del motor de CD con respecto a los estados x1 , x2 y x3 está
dada por
 LAF i f + LAFs i fs 
J 1
x1 = e = θr* − θr = θr* − 
θ r + TL = x2
 ia +
βm
βm
βm


 LAF i f + LAFs i fs 
Bm 1
x2 = e = θr* − θr = θr* − 
θ r + TL = x3
 ia +
J
J
J


 LAF i f + LAFs i fs
x3 = e = θr* − θr = θr* − 
J


Bm 1 θ r + TL
 ia +
J
J

Sustituyendo B5.5 en la ecuación de x3 , tenemos
  LFS 

vt 1 −

 −
  LFF 

L
i
+
L
i


1
AF
f
AFs
fs

*
*
x3 = e = θr − θr = θr − 
ia Ra + LAFSθr + R fs − 

2

J
L 



 LAA + LFFS − FS   
R f LFS 
L


θ
i
L
−
FF

 f  AF r

 

LFF 
(
)
+
como
 LAF i f + LAFs i fs
J

θr = 
sustituimos en x3
ia =
( Jθ + B θ + T )
r
m r
L
LAF i f + LAFs i fs
Bm 1 θ r + TL
J
J

Bm 1
θ r − TL , entonces despejamos
 ia −
J
J

ia
y la
160
Anexo B
  LFS 
vt 1 −
 −
L

FF


 Jθ + B θ + T
 LAF i f + LAFsi fs 
1
r
m r
L

x3 = e = θr* − θr = θr* − 

2

J
L  LAF i f + LAFs i fs


 LAA + LFFS − FS  
LFF   
R f LFS

i f  LAFθr −
LFF
 
(
)
(R
a
+ LAFSθr + R fs



+
)




− 





Bm 1 θ r + TL
J
J
Despejando θ r , θr , θr y de B5.7 y la sustituimos en la ecuación anterior
θr = θr* − x3
θr = θr* − x2
θ r = θ r* − x1
  LFS 
vt  1 −
 −
  LFF 

*
*
 LAF i f + LAFs i fs 
1
 J θ r − x3 + Bm θ r − x2 + TL
*
x3 = θ r − 

J
LAF i f + LAFs i fs
L2FS  


L
+
L
−
 AA
 
FFS
LFF   
R L 

i f  LAF θr* − x2 − f FS 
LFF 
 

B
1
+ m θr* − x3 + TL
J
J
( (
)
(
(
(
)
)
(R
a
)
)
Agrupando términos iguales, se tiene


LFF − LFS ) ( LAF i f + LAFs i fs )
(
( Ra + R fs )

*
x3 = θr −
v
+
t

2

L2 
  L + L − LFS
JLFF  LAA + LFFS − FS 
FFS

  AA
LFF 
LFF




( Ra + R fs )

−
2
  L + L − LFS
FFS
  AA
LFF

(
)
+ LAFS θr* − x2 + R fs


B 
+ m  θr*
 J 










B 
 Bm ( Ra + R fs ) + ( LAF i f + LAFs i fs )( i f LAF )  *
+ m  x3 + 
θ r
2
 J 


L


J  LAA + LFFS − FS 






L
FF 





)





− 





B.5. Desarrollo de las ecuaciones para el control del Motor de CD
Compuesto Acumulativo
161




LAFS
 Bm ( Ra + R fs ) + ( LAF i f + LAFs i fs )( i f LAF ) 
−
x2 +
θr*θr* − θr* x3 − θr* x2 + x2 x3

2
2


L 
L 


J  LAA + LFFS − FS 
LAA + LFFS − FS 





LFF 
LFF 




Bm LAFS
LAFS
LAFS
* 2 − 2θ* x + x 2 +
+
θ
θr*TL −
x2TL
r
r 2
2
2
2



LFS 
LFS 
L2FS 
J  LAA + LFFS −
J  LAA + LFFS −
J  LAA + LFFS −






L
L
LFF 
FF
FF





( Ra + R fs ) T + 1 T − LAF i f + LAFsi fs i R f LFS
+
L
L
f
J
LFF


L2FS 
L2FS 
J  LAA + LFFS −
J  LAA + LFFS −




LFF 
LFF 


(
((
)
)
Ahora definimos los siguientes términos




 Bm ( Ra + R fs ) + ( LAF i f + LAFs i fs )( i f LAF ) 
a1 = 


L2FS 


J  LAA + LFFS −




L
FF 







( Ra + R fs ) + Bm 

a2 = 
2
J 
  L + L − LFS 

FFS

  AA

L
FF 


LAFS
a3 =

L2FS 
 LAA + LFFS −

LFF 

a4 =
Bm LAFS

L2FS
J  LAA + LFFS −

LFF

( Ra + R fs )




L2FS
J  LAA + LFFS −

LFF

LAFS
a6 =

L2FS
J  LAA + LFFS −

LFF




a5 =



)
162
Anexo B
a7 =
b=
LAF i f + LAFs i fs ( R f LFS i f
)

L 
J  LAA + LFFS − FS  LFF

LFF 

( LFF − LFS ) ( LAF i f + LAFsi fs )
2

L2 
JLFF  LAA + LFFS − FS 

LFF 

f ( t ) = θr* + a2θr* + a1θr* + a3θr*θr* − a3θr* x3 − a3θr* x2 + a4 θr*
( )
2
− 2a4θr* x2 + a5TL + a6θr*TL
+ a6 x2TL +
TL
+ a7
J
Entonces sistema resultante es
x1 = x2
x2 = x3
x3 = − a2 x3 − a1 x2 + a3 x2 x3 + a4 x22 + f ( t ) − bu
(B5.8)
Anexo C
C.1. Resultados del Control del Motor de CD de Excitación
Separada
C.1.1 Control de velocidad
En las siguientes gráficas se muestran las respuestas del motor de CD de excitación
separada controlado por modos deslizantes, para las referencias dadas por los perfiles de
velocidad propuestos para verificar la tarea de seguimiento de trayectorias. Se puede
observar en la figura C1.1, que el sistema alcanza a la referencia en 0.6148 segundos y
permanece en ella durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil de velocidad
uno.
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
X: 0.5243
Y: 1
0.8
0.6
wr(rad/s)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.1. Respuesta del sistema para el perfil uno
La respuesta del sistema cuando se utiliza como referencia el perfil dos, se muestra
en la figura C1.2; obsérvese que el sistema converge a la referencia en aproximadamente
0.5818 segundos y para cuando ocurren los cambios de referencia la velocidad del motor
converge suave y rápidamente.
Velocidad Angular wr
1.2
X: 0.5818
Y: 1
wr
ref
X: 2.84
Y: 1
1
0.8
wr(rad/s)
0.6
0.4
0.2
0
X: 1.596
Y: 0
-0.2
X: 4.153
Y: 0
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.2. Respuesta del sistema para el perfil dos
El comportamiento de la velocidad del motor para cuando se utiliza como entrada el
perfil tres se plasma en la figura C1.3; se puede apreciar que el sistema alcanza la
referencia en 0.4902 segundos y logra seguirla de manera adecuada el resto de la prueba.
163
164
Anexo C
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
0.8
wr(rad/s)
0.6
0.4
0.2
X: 0.4902
Y: 0.1961
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura C1.3. Respuesta del sistema para el perfil tres
La respuesta de la velocidad del motor de CD para la referencia dada por el perfil
de velocidad cuatro se muestra en la figura C1.4; en está se observa que el sistema
converge a la referencia aproximadamente en 0.5588 segundos y al realizar el cambio de
referencia la velocidad del motor converge a la nueva referencia en 0.374 segundos.
Velocidad Angular wr
1
X: 2.874
Y: 1
0.8
wr
ref
wr(rad/s)
0.6
0.4
0.2
X: 0.5588
Y: 0
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro
La figura C1.5 ilustra la respuesta del motor de CD para la referencia mostrada en el
perfil cinco, en la gráfica se aprecia que el sistema alcanza la referencia en 0.5045 segundos
y permanece de manera adecuada siguiendo la referencia durante el resto de la prueba.
Velocidad Angular wr
1
0.8
wr(rad/s)
0.6
wr
ref
0.4
0.2
X: 0.5045
Y: 0.2018
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco
En las pruebas mostradas en las gráficas anteriores para el seguimiento de
trayectoria de velocidad, se pudo verificar que el control por modos deslizantes diseñado
165
C.1.1. Control de Velocidad
para el motor de CD de excitación separada cumplió satisfactoriamente con la tarea de
seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de velocidad el sistema convergió
de manera rápida y siguió de manera adecuada la referencia.
A continuación en la tabla C1.1 se presentan los índices de desempeño del control
por modos deslizantes diseñados, para los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está
tabla se logra apreciar que los índices de desempeño son bajos por lo cual la desviación del
comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña, por lo
que el control diseñado presenta un buen desempeño con respecto a los índices.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.7048
2.332
0.08695
0.2311
Perfil dos
1.052
3.383
0.6197
0.5739
Perfil tres
0.6647
2.087
0.08494
0.204
Perfil cuatro
0.7251
2.084
0.2533
0.2867
Perfil cinco
0.664
2.087
0.08085
0.204
Tabla C1.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad
Ahora se analizara la robustez del control para perturbaciones desconocida en el par
de carga, cabe hacer mención que la potencia del motor de excitación separada es de 200
HP por lo que las magnitudes del par de carga pueden ser grandes; la figura C1.6 muestra el
comportamiento del motor cuando sufre una perturbación del 25% en el par de carga; en
esta figura se puede apreciar como la perturbación hace que la respuesta se desvíe de la
referencia 0.022 rad/seg; sin embargo el control rechaza la perturbación ya que la respuesta
converge de nuevo a la referencia en 0.349 segundos.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.454
Y: 1
wr
ref
X: 2.849
Y: 1
1
0.95
0.5
X: 2.502
Y: 0.978
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
3000
2800
perturbación
2600
2400
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga
La figura C1.7 corresponde a la respuesta de velocidad del motor cuando se presenta
una perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %, obsérvese que cuando se
produce la perturbación la velocidad del motor cae 0.095 rad/seg, sin embargo gracias a la
acción del controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en
aproximadamente 0.3560 segundos y permanece en la referencia el resto de la prueba.
166
Anexo C
velocidad angular wr
wr
ref
wr(rad/s)
1.1
X: 2.475
Y: 1
X: 2.856
Y: 0.9989
1
X: 2.505
Y: 0.9045
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
3500
3000
perturbación
2500
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga
Ahora se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema para
perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C1.8 muestra el
comportamiento del motor cuando se produce una perturbación de -25% en el par de carga,
se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad aumente 0.022 rad/seg,
más sin embargo debido al controlador el sistema converge de nuevo a la referencia en 0.37
segundos y permanece sobre ella el tiempo restante.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.502
Y: 1.022
wr
ref
X: 2.737
Y: 1
1
X: 2.494
Y: 1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
2400
perturbación
2200
2000
1800
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga
La figura C1.9 ilustra el comportamiento del sistema cuando se presenta una
perturbación de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que la perturbación hace
que la respuesta de la velocidad del motor aumente 0.088 rad/seg; pero gracias a la acción
del controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en 0.329 segundos
y permanece en ella el resto de la prueba.
velocidad angular wr
1.1
wr(rad/s)
1.05
X: 2.517
Y: 1
wr
ref
X: 2.504
Y: 1.088
1
X: 2.829
Y: 1.001
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
2500
Te(N m)
perturbación
2000
1500
1000
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga
167
C.1.1. Control de Velocidad
En resumen se puede decir debido las pruebas mostradas en la figuras anteriores, el
control por modos deslizantes de velocidad para el motor de CD de excitación separada es
robusto para perturbaciones en el par de carga de la máquina ya que como se aprecia en las
gráficas la velocidad del motor si se corrompe cuando aparece la perturbación pero sin
embargo el control hace que el sistema converja de nuevo a la referencia de manera rápida
y permaneciendo en ella en lo subsiguiente, rechazando de esta manera la perturbación.
La tabla C1.2 muestran los índices de desempeños del controlador por modos
deslizantes diseñado para cuando el motor sufre de perturbaciones en el par de carga de la
máquina. Como se puede apreciar en la tabla, los índices de desempeños siguen siendo
pequeños aún cuando en el sistema se presente una perturbación, por lo que el control sigue
presentando un buen desempeño ante estas condiciones desde el punto de vista de la
desviación del error.
Perturbación
+ 50 %
- 25 %
0.7331
0.7269
Índice
IAE
+ 25 %
0.7273
- 50 %
0.7313
ISE
2.085
2.085
2.085
2.085
ITAE
0.1575
0.1734
0.1564
0.1673
ITSE
0.2357
0.2365
0.2357
0.2363
Tabla C1.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga
A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios
en los parámetros del motor de CD, en estas pruebas el parámetro que se modificara será la
inductancia de campo LFF. La figura C1.10 corresponde a la respuesta de la velocidad del
motor cuando se presenta un aumento del 25% en LFF, se aprecia que el sistema es
insensible a la variación de los parámetros de la máquina CD gracias a la acción del
controlador, esto debido a que la velocidad no se corrompe ante la presencia de esta
variación.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
wr
ref
X: 2.517
Y: 0.9999
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
11.5
Lff(H)
11
10.5
Incertidumbre paramétrica
10
9.5
9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%.
En la figura C1.11 se presenta la velocidad del motor cuando se presenta un
aumento del 50% en LFF, en dicha figura se observa como el control es robusto ante
incertidumbres en los parámetros de la máquina CD ya que la respuesta del sistema no
sufre ningún cambio cuando aparece dicha incertidumbre.
168
Anexo C
velocidad angular wr
1.05
wr
ref
wr(rad/s)
X: 2.529
Y: 1
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
14
Lff(H)
13
12
Incertidumbre paramétrica
11
10
9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.11. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%.
Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la
inductancia de campo LFF. La figura C1.12 muestra la velocidad del motor cuando varía LFF
un -25%, se puede apreciar que el control es insensible a la variación de los parámetros de
la máquina ya que la respuesta del sistema no se corrompe cuando se presenta esta
variación paramétrica.
velocidad angular wr
1.05
wr
ref
wr(rad/s)
X: 2.494
Y: 0.9999
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
Lff(H)
9
Incertidumbre paramétrica
8
7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%.
En la figura C1.13 se ilustra el comportamiento de la velocidad existe un
decremento de -50% en LFF, se aprecia que ante dicha variación la velocidad del motor de
CD no se ve modificada, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros
de la máquina.
velocidad angular wr
1.05
wr
ref
wr(rad/s)
X: 2.494
Y: 0.9999
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
10
Lff(H)
8
Incertidumbre paramétrica
6
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %.
169
C.1.2. Control de posición
Recapitulando podemos establecer en base a las gráficas mostradas en las figura
anteriores que el control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación de el
parámetros LFF del motor de CD de excitación separada, ya que la respuesta del sistema no
se ve afectada cuando se presentan las variaciones en dicho parámetro.
En la tabla C1.3 se presentan los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes de velocidad, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia
de campo LFF. Se observa que dichos índices permanecen pequeños aún cuando se presente
la variación paramétrica por lo que su desempeño ante dicha condición de operación es
bueno desde el punto de vista de los índices de despeño.
Variación paramétrica en LFF
+ 25 %
+ 50 %
- 25 %
- 50 %
0.7273
0.7253
0.7253
0.7253
2.085
2.085
2.085
2.085
0.1575
0.1518
0.1519
0.152
0.2357
0.2356
0.2356
0.2356
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Tabla C1.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF
C.1.2 Control de posición
Es el turno de presentar el comportamiento del motor de CD de excitación separada
cuando se le aplica un control de posición por modos deslizantes, para la tarea de
seguimiento de trayectoria se aplicaron los cinco perfiles de posición propuestos como
referencias; en la figura C1.14 muestra la posición de la flecha del motor para la referencia
dada por el perfil uno, nótese que el motor alcanza la referencia en 1.039 segundos y la
sigue suavemente el resto de la prueba.
Posición angular Theta
Theta
ref
1
0.8
0.6
Theta(rad)
0.4
X: 1.039
Y: 0.02414
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.14. Respuesta del sistema para el perfil uno
El comportamiento de la posición para la referencia impuesta por el perfil dos se
muestra en la figura C1.15, se observa que el sistema converge a la referencia en
aproximadamente 1.44 segundos y además para cuando ocurren los cambios de referencia
la posición converge a la nueva referencia de manera rápida.
170
Anexo C
Posición angular Theta
1.2
1
X: 1.44
Y: 1
0.8
X: 7.247
Y: 1
Theta(rad)
0.6
0.4
0.2
X: 4.113
Y: 0
0
-0.2
Theta
ref
-0.4
-0.6
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura C1.15. Respuesta del sistema para el perfil dos
La figura C1.16 muestra el comportamiento de la posición para la referencia dada
por el perfil tres, se aprecia que el sistema llega a la referencia en 1.094 segundos, se
observa que cuando ocurren los cambios de referencia el sistema tiene un transitorio y
converge a la nueva referencia de manera rápida.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
X: 3.24
Y: 1
0.8
X: 5.495
Y: 0.8019
Theta(rad)
0.6
0.4
X: 1.094
Y: 0.4377
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura C1.16. Respuesta del sistema para el perfil tres
La respuesta de la posición del motor para el perfil cuatro se muestra en la figura
C1.17, en la cual el sistema alcanza la referencia en 1.008 segundos y al hacer el cambio de
referencia el sistema converge a la nueva referencia en 0.524 segundos.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
X: 3.508
Y: 1
0.8
Theta(rad)
0.6
0.4
0.2
X: 1.238
Y: 0
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro
La figura C1.18 ilustra la respuesta de la posición para la referencia impuesta por el
perfil cinco, se observa que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 1.087
171
C.1.2. Control de posición
segundos, nótese que cuando ocurre el cambio de referencia aparece un transitorio y
después converge a la nueva referencia en 0.718 segundos.
Posición angular Theta
1.2
1
X: 3.218
Y: 1.005
0.8
Theta(rad)
0.6
0.4
Theta
ref
X: 1.087
Y: 0.4349
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco
Con base a las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de posición, se
pudo verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea
de seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de posición el sistema
convergió y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba y de manera adecuada.
En la tabla C1.4 se presentan los índices de desempeño de los controladores por
modos deslizantes para los cinco perfiles de posición propuestos. Como los índices de
desempeño son pequeño nos indica la desviación del comportamiento del control con
respecto al comportamiento ideal es pequeño por lo que el control tiene un buen
desempeño.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.5228
0.3963
0.1998
0.1246
Perfil dos
1.748
1.457
6.512
4.23
Perfil tres
0.3403
0.1441
0.2294
0.04776
Perfil cuatro
0.6173
0.3342
1.028
0.6165
Perfil cinco
0.3269
0.1438
0.1582
0.04636
Tabla C1.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición
Ahora se harán pruebas para verificar la robustez de control de posición por modos
deslizantes ante perturbaciones que se pudieran presentar en el par de carga, la figura C1.19
corresponde a la respuesta de la posición cuando se presenta una perturbación del 25% en
el par de carga; en esta figura se puede apreciar como la perturbación hace que la posición
se desvíe de la referencia 0.0018 rad, sin embargo el control rechaza la perturbación ya que
la posición converge de nuevo a la referencia en aproximadamente 0.635 segundos.
172
Anexo C
Posición angular Theta
Theta
ref
Theta(rad)
1.02
X: 3.185
Y: 0.9982
1
X: 2.966
Y: 1
X: 3.635
Y: 0.9994
0.98
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de Carga Tl
3.5
4
4.5
5
2
3.5
4
4.5
5
3000
Te(N m)
2800
perturbación
2600
2400
0
0.5
1
1.5
2.5
3
time (sec)
Figura C1.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga
La figura C1.20 muestra la posición de la flecha del motor cuando sufre una
perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %, cuando ocurre la perturbación la
posición cae 0.007 rad; sin embargo gracias a la acción del controlador la respuesta del
sistema vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.804 segundos.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.05
Theta
ref
X: 2.942
Y: 1
1
X: 3.191
Y: 0.993
0.95
0
0.5
1
1.5
2
X: 3.804
Y: 0.9991
2.5
3
time (sec)
Par de Carga Tl
3.5
4
4.5
5
2
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
3500
perturbación
3000
2500
0
0.5
1
1.5
2.5
3
time (sec)
Figura C1.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga
A continuación se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema
para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C1.21 ilustra la
respuesta de la posición cuando el motor sufre una perturbación de -25% en el par de carga,
se aprecia que la perturbación hace que la posición aumente 0.001 rad; sin embargo debido
al controlador el sistema converge de nuevo a la referencia en aproximadamente 0.728
segundos y permanece en ella durante el resto de la prueba.
Posición angular Theta
Theta
ref
Theta(rad)
1.02
X: 3.219
Y: 1.001
1
X: 2.932
Y: 1
X: 3.728
Y: 1
0.98
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de Carga Tl
3.5
4
4.5
5
2400
perturbación
Te(N m)
2200
2000
1800
1600
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C1.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga
173
C.1.2. Control de posición
La figura C1.22 muestra el comportamiento de la posición de la flecha del motor
cuando se presenta una perturbación de -50% del par de carga de la máquina; se aprecia que
la perturbación hace que la respuesta de la posición aumente 0.006 rad pero gracias a la
acción del controlador la posición de la flecha del motor vuelve a alcanzar la referencia en
aproximadamente 0.992 segundos.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.05
Theta
ref
X: 3.218
Y: 1.006
1
X: 3
Y: 1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
X: 3.992
Y: 1
2.5
3
time (sec)
Par de Carga Tl
3.5
4
4.5
5
2
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
2500
2000
perturbación
1500
1000
0
0.5
1
1.5
2.5
3
time (sec)
Figura C1.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga
De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras anteriores se puede establecer que
el control de posición por modos deslizantes para el motor de CD de excitación separada es
robusto a perturbaciones en el par de carga de la máquina, ya que cuando se produce la
perturbación la respuesta del sistema se corrompe, más sin embargo el control hace que la
posición de la flecha converja a la referencia rápidamente rechazando de esta manera dicha
perturbación.
La tabla C1.5 muestran los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de
carga de la máquina. Se observan que para cuando el motor es operado ante dicha
condición el control diseñado sigue presentando índices de desempeño pequeños por lo que
se concluye que sigue teniendo un buen comportamiento.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
+ 25 %
0.6184
0.341
0.5276
0.2961
Perturbación
+ 50 %
- 25 %
0.6209
0.6181
0.341
0.341
0.5359
0.5263
0.2961
0.2961
- 50 %
0.6203
0.341
0.5338
0.2961
Tabla C1.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga
Las siguientes gráficas ilustran el comportamiento de la posición de la flecha del
motor, para cuando el motor sufre cambios en sus parámetros; en estas pruebas el
parámetro que se modificara será la inductancia de campo LFF. La figura C1.23 corresponde
a la respuesta de la posición cuando el motor presenta un aumento del 25% en LFF, se
puede apreciar que el control es insensible a la variación de dicho parámetro ya que la
posición del motor no se corrompe cuando aparece esta incertidumbre.
174
Anexo C
Posición angular Theta
1.05
wr
ref
Theta(rad)
X: 3.001
Y: 1
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
4
4.5
5
11.5
Lff(H)
11
10.5
Incertidumbre paramétrica
10
9.5
9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C1.23. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%.
En la figura C1.24 se presenta la respuesta del motor cuando se produce un aumento
del 50% en LFF, en dicha figura se observa como el control es robusto ante incertidumbres
en los parámetros de la máquina de CD, ya que la respuesta del sistema no se corrompe
cuando se produce dicha variación.
Posición angular Theta
1.05
wr
ref
Theta(rad)
X: 3.035
Y: 1
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
4
4.5
5
14
Lff(H)
13
12
Incertidumbre paramétrica
11
10
9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C1.24. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%.
Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la
LFF de la máquina de CD. La figura C1.25 muestra la respuesta del motor cuando se varía el
-25% de LFF, se aprecia que el control es insensible a la variación del parámetro LFF del
motor de CD ya que la respuesta del sistema no se corrompe ante la presencia de esta
variación paramétrica.
Posición angular Theta
1.05
wr
ref
Theta(rad)
X: 3.013
Y: 1
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
4
4.5
5
Lff(H)
9
8
Incertidumbre paramétrica
7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C1. 25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%.
175
C.2. Resultados del Control del Motor de Imanes Permanentes
En la figura C1.26 se muestra la respuesta del sistema cuando existe un decremento
del -50% en LFF; se aprecia que al variar el parámetro LFF la posición del motor de CD no
se corrompe, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros de la
máquina.
Posición angular Theta
1.05
wr
ref
Theta(rad)
X: 3.013
Y: 1
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
4
4.5
5
10
Lff(H)
8
Incertidumbre paramétrica
6
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C1. 26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %.
Con base a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede decir que el
control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación del parámetro LFF del
motor de CD de excitación separada, ya que la posición del rotor del motor no se modifica
al presentarse dichas incertidumbres.
En la tabla C1.6 se presentan los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes de posición, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia
de campo LFF. Estos índices nos indican que el control presenta un buen comportamiento
aún cuando se presenten variaciones en el parámetro LFF de la máquina, esto debido a que
los valores de los índices son pequeños.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Variación paramétrica en LFF
+ 25 %
+ 50 %
- 25 %
- 50 %
0.6175
0.6175
0.6175
0.6175
0.341
0.341
0.341
0.341
0.5245
0.5246
0.5245
0.5245
0.2961
0.2961
0.2961
0.2961
Tabla C1.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF
C.2. Resultados del Control del Motor de CD de Imán
Permanente
C.2.1. Control de velocidad
En las siguientes gráficas se muestran las respuestas del motor de CD de imán
permanente para las referencias dadas por los perfiles de velocidad propuestos; estas se
obtuvieron cuando el motor es controlado por un controlador por modos deslizantes. Se
puede observar en la figura C2.1, que el sistema alcanza a la referencia en 0.02746
segundos y permanece en ella durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil
de velocidad uno.
176
Anexo C
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
0.8
0.6
wr(rad/s)
0.4
X: 0.02746
Y: 0.08229
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.1. Respuesta del sistema para el perfil uno
La respuesta del sistema para el perfil dos se muestra en la figura C2.2; se observa
que el sistema converge en aproximadamente 0.063 segundos y para los demás cambios de
referencia el sistema converge de manera rápida.
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
X: 0.06336
Y: 1
0.8
X: 2.506
Y: 1
wr(rad/s)
0.6
0.4
0.2
X: 1.273
Y: 0
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.2. Respuesta del sistema para el perfil dos
La respuesta para el perfil tres se plasma en la figura C2.3, se aprecia que el sistema
llega a la referencia en aproximadamente 0.063 segundos y la sigue suavemente durante
toda la prueba.
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
0.8
wr(rad/s)
0.6
0.4
0.2
X: 0.06315
Y: 0.02526
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura C2.3. Respuesta del sistema para el perfil tres
La respuesta de la velocidad del motor para el perfil de velocidad cuatro se muestra
en la figura C2.4, en la cual el sistema alcanza la referencia en 0.0518 segundos y al hacer
el cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 0.017 segundos.
177
C.2.1. Control de Velocidad
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
X: 2.517
Y: 1
0.8
wr(rad/s)
0.6
0.4
0.2
X: 0.05184
Y: 0
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro
Por último la figura C2.5, ilustra la respuesta del perfil cinco; en este el sistema
converge a la referencia en 0.02647 segundos y sigue a la referencia durante toda la prueba
de manera adecuada.
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
0.8
wr(rad/s)
0.6
0.4
0.2
X: 0.02647
Y: 0.01059
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco
En las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de velocidad, se pudo
verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de
seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de velocidad el sistema convergió
y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba.
A continuación en la tabla C2.1 se presentan los índices de desempeño de los
controladores por modos deslizantes para los cinco perfiles de velocidad propuestos. Los
índices de desempeños mostrados en la tabla son pequeños, lo cual nos indica que la
desviación que presenta el comportamiento del control con respecto al comportamiento
ideal es pequeña, lo cual nos indica que el control presenta un comportamiento bueno.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.1175
0.5549
0.07877
0.003951
Perfil dos
0.1432
0.7199
0.1116
0.02372
Perfil tres
0.1335
0.5526
0.1786
0.004572
Perfil cuatro
0.1213
0.5543
0.0899
0.009499
Perfil cinco
0.1177
0.5525
0.08051
0.003954
Tabla C2.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad
La figura C2.6 corresponde a una perturbación del 25% en el par de carga, en esta
figura se puede apreciar como la perturbación hace que la respuesta se desvíe de la
178
Anexo C
referencia 0.7381 rad/seg, sin embargo el control rechaza la perturbación ya que la
respuesta converge de nuevo a la referencia en aproximadamente 0.029 segundos.
velocidad angular wr
1.5
wr(rad/s)
X: 2.46
Y: 1.007
X: 2.531
Y: 1.004
wr
ref
1
X: 2.502
Y: 0.2689
0.5
0
0
0.5
1
1.5
-3
Te(N m)
x 10
4
3.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
2
3.5
4
4.5
5
perturbación
0
0.5
1
1.5
2.5
3
time (sec)
Figura C2.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga
La figura C2.7 corresponde a la respuesta del sistema cuando se le aplica una
perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %; cuando se aplica la perturbación la
velocidad cae aproximadamente 3.072 rad/seg, sin embargo gracias a la acción del
controlador la respuesta del sistema vuelve a converger a la referencia en 0.098 segundos.
velocidad angular wr
1
X: 2.402
Y: 1.007
wr(rad/s)
0
X: 2.598
Y: 1.003
wr
ref
-1
X: 2.504
Y: -2.065
-2
0
0.5
1
1.5
-3
5.5
x 10
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
perturbación
Te(N m)
5
4.5
4
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga
A continuación se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema
para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C2.8 corresponde
a la respuesta del sistema para una perturbación de -25% en el par de carga, se aprecia que
la perturbación hace que la respuesta de la velocidad aumente 2.505 rad/seg, más sin
embargo debido al controlador el sistema converge a la referencia en 0.096 segundos.
velocidad angular wr
wr
ref
wr(rad/s)
3
X: 2.505
Y: 2.902
2
X: 2.427
Y: 1.006
1
X: 2.596
0
0.5
1
1.5
-3
x 10
2.5 Y: 1.004
3
time (sec)
Par de carga Tl
2
3.5
4.5
5
perturbación
3.5
Te(N m)
4
3
2.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga
179
C.2.1. Control de Velocidad
La figura C2.9 ilustra el comportamiento del sistema cuando se le aplica una
perturbación de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que la perturbación hace
que la respuesta de la velocidad aumente 7.97 rad/seg, pero gracias a la acción del
controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en 0.035 segundos.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
8
wr
ref
X: 2.511
Y: 8.97
6
4
X: 2.471
Y: 1.006
2
0
0.5
1
1.5
-3
4
x 10
X: 2.535
Y: 1.093
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4.5
5
perturbación
3.5
Te(N m)
4
3
2.5
2
1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga
De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras 5.33, 4.34, 5.35 y 5.36 se puede
establecer que el control de velocidad por modos deslizantes es robusto a perturbaciones
presentes en el par de carga de la máquina de CD de imán permanente, ya que cuando se
produce la perturbación la respuesta del sistema sí se logra corromper más sin embargo el
control hace que la velocidad del motor converja a la referencia rápidamente rechazando de
esta manera dicha perturbación.
La tabla C2.2 muestran los índices de desempeños del controlador por modos
deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de
carga de la máquina. Se aprecia que los índices de desempeño que presenta el controlador
ante dichas condición de operación son pequeños, lo cual nos indica que el control presenta
un buen comportamiento dinámico.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
+ 25 %
0.1218
0.556
0.07998
0.01048
Perturbación
+ 50 %
- 25 %
0.1358
0.1327
0.6024
0.5755
0.1083
0.1054
0.1266
0.05942
- 50 %
0.2588
1.375
0.4316
2.068
Tabla C2.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga
A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios
en los parámetros del motor de CD; se varió el devanado de armadura LAA; ya que este tipo
de motores de CD no cuentan con devanados de campo ya que el flujo de campo lo
establece un imán permanente.
La figura C2.10 corresponde a la respuesta del sistema cuando se presenta un
aumento del 25% en LAA, se puede apreciar que la velocidad del motor de CD disminuye a
1.005 rad/seg y permanece en este valor durante el resto de la prueba. La variación que
sufrió la velocidad fue de 0.002 rad/seg.
180
Anexo C
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.1
wr
ref
X: 2.411
Y: 1.007
1
X: 2.589
Y: 1.005
0.9
0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de armadura Laa
4
4.5
5
4
4.5
5
0.15
Lff(H)
0.14
Incertidumbre paramétrica
0.13
0.12
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C2. 10. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 25%.
En la figura C2.11 se presenta la respuesta del sistema cuando se produce un
aumento del 50% en LAA; en dicha figura se observa como la velocidad del motor cae a
1.004 rad/seg y permanece en este valor durante toda la prueba; nótese que la variación solo
correspondió a 0.003 rad/seg.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.2
wr
ref
X: 2.411
Y: 1.007
1
X: 2.613
Y: 1.004
0.8
0.6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de armadura Laa
4
4.5
5
4
4.5
5
Lff(H)
0.18
0.16
Incertidumbre paramétrica
0.14
0.12
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C2.11. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 50%.
Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en LAA
de la máquina de CD. La figura C2.12 corresponde a la respuesta del sistema cuando se
varía el -25% del valor de LAA, se puede apreciar que la velocidad del motor de CD
aumenta a 1.009 rad/seg y permanece en este valor durante toda la prueba, por lo que la
velocidad varió solo 0.003 red/seg.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.1
wr
ref
X: 2.642
Y: 1.009
X: 2.31
Y: 1.006
1
0.9
0.8
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de armadura Laa
Lff(H)
0.12
4
4.5
5
Incertidumbre paramétrica
0.11
0.1
0.09
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.12. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -25%.
181
C.2.2. Control de Posición
En la figura C2.13; se muestra la respuesta del sistema cuando existe un decremento del 50% en LAA, se observa que al variar el parámetro LAA la velocidad del motor de CD
aumenta a 1.013 rad/seg y se establece en este valor durante toda la prueba, por lo que la
velocidad varió 0.007 rad/seg.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.2
X: 2.368
Y: 1.007
wr
ref
X: 2.633
Y: 1.013
1
0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de armadura Laa
4
4.5
5
4
4.5
5
Lff(H)
0.12
0.1
Incertidumbre paramétrica
0.08
0.06
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C2.13. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -50 %.
Resumiendo de acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras anteriores se observa
que el control por modos deslizantes de velocidad diseñado es insensible a la variación del
parámetro LAA que pudiera presentarse en la máquina de CD de imanes permanentes, ya
que la velocidad se desvía de la referencia pero debido a la acción del controlador la
velocidad regrese a la referencia rápidamente y permanece en ella el resto de las pruebas.
En la tabla C2.3 se presentan los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes de velocidad, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia
de armadura LAA. Los índices de desempeño del control ante dicha condición de operación
son pequeños, por lo tanto la desviación del comportamiento del controlador con respecto
al comportamiento ideal es pequeña, entonces el control presenta un comportamiento
dinámico adecuado.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Variación paramétrica en LAA
+ 25 %
+ 50 %
- 25 %
- 50 %
0.1187
0.1165
0.1273
0.1379
0.5542
0.5542
0.5543
0.5546
0.07309 0.06491
0.1053
0.1453
0.006031 0.005954 0.006477 0.007337
Tabla C2. 3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LAA
C.2.2. Control de posición
A continuación se presentan la respuesta del sistema para el control de posición por
modos deslizantes para los cinco tipos de perfiles propuestos. Se puede observar en la
figura C2.14; que el sistema alcanza a la referencia en aproximadamente 0.0549 segundos y
permanece en ella durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil de velocidad
uno.
182
Anexo C
Posición angular Theta
1
Theta
ref
0.8
0.6
Theta(rad)
0.4
0.2
X: 0.05497
Y: 0.1642
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.14. Respuesta del sistema para el perfil uno
La respuesta del sistema para el perfil dos se muestra en la figura C2.15; se observa
que el sistema converge en 0.1325 segundos y sigue de manera adecuada la referencia;
véase que para los demás cambios de referencia el sistema converge de manera rápida.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
X: 0.1325
Y: 1
X: 2.656
Y: 1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 1.342
Y: 0
X: 3.888
Y: 0
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.15. Respuesta del sistema para el perfil dos
La respuesta para el perfil tres se plasma en la figura C2.16, en esta se aprecia que el
sistema llega a la referencia en 0.1147 segundos y sigue a la referencia suavemente durante
el resto de la prueba.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
X: 0.1147
Y: 0.04589
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura C2.16. Respuesta del sistema para el perfil tres
La respuesta de la posición del motor para el perfil cuatro se muestra en la
figura C2.17, en la cual el sistema alcanza la referencia en 0.1095 segundos y al
hacer el cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 0.121
segundos.
183
C.2.2. Control de Posición
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
X: 2.621
Y: 1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 0.1095
Y: 0
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro
La figura C2.18 ilustra la respuesta del perfil cinco; el sistema converge a la
referencia en aproximadamente 0.09455 segundos y permanece sobre la referencia el resto
de la prueba.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
X: 0.09455
Y: 0.03782
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco
En las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de posición, se pudo
verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de
seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de posición el sistema convergió
y siguió a la referencia de manera rápida y adecuada.
A continuación en la tabla C2.4 se presentan los índices de desempeño de los
controladores por modos deslizantes para los cinco perfiles de posición propuestos. En está
tabla se observa que los índices de desempeño que presenta el control diseñado son
pequeños, por lo que el desempeño del controlador es bueno.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.01064
0.0006376
0.01059
2.735e-5
Perfil dos
0.1584
0.1095
0.2785
0.1801
Perfil tres
0.0103
0.0003567
0.0212
2.657e-5
Perfil cuatro
0.04456
0.02501
0.101
0.06215
Perfil cinco
0.008376
0.0003551
0.009167
1.706e-5
Tabla C2.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición
La figura C2.19; corresponde a una perturbación del 25% en el par de carga, en esta
figura se puede apreciar como la perturbación hace que la respuesta se desvíe de la
referencia aproximadamente 0.0059 rad; sin embargo el control rechaza la perturbación ya
que la respuesta converge de nuevo a la referencia en aproximadamente 0.155 segundos.
184
Anexo C
Posición angular Theta
Theta
ref
Theta(rad)
1.02
X: 2.494
Y: 0.9993
X: 2.655
Y: 0.9991
1
X: 2.511
Y: 0.9941
0.98
0
0.5
1
1.5
-3
x 10
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
perturbación
4
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga
La figura C2.20 corresponde a la respuesta del sistema cuando se le aplica una
perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %, cuando se aplica la perturbación la
posición cae 0.0276 rad; sin embargo gracias a la acción del controlador la respuesta del
sistema vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.19 segundos.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.05
X: 2.437
Y: 0.9993
Theta
ref
X: 2.69
Y: 0.9987
1
0.95
0
0.5
1
1.5
-3
5.5
x 10
X: 2.528
Y: 0.9717
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
5
perturbación
4.5
4
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga
A continuación se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema
para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C2.21
corresponde a la respuesta del sistema para una perturbación de -25% en el par de carga, se
aprecia que la perturbación hace que la posición aumente 0.0027 rad; sin embargo debido a
la acción del controlador el sistema vuelve a converger a la referencia en aproximadamente
0.144 segundos.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.02
Theta
ref
X: 2.518
Y: 1.002
1.01
1
X: 2.471
Y: 0.9993
0.99
0.98
0
0.5
1
1.5
-3
x 10
X: 2.644
Y: 0.9993
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
Te(N m)
3.5
4
4.5
5
perturbación
3
2.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga
185
C.2.2. Control de Posición
La figura C2.22 ilustra el comportamiento del sistema cuando se le aplica una perturbación
de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que la perturbación hace que la
respuesta de la posición se corrompa 0.0135 rad, pero gracias a la acción del controlador la
velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.1620
segundos.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.04
Theta
ref
X: 2.515
Y: 1.013
1.02
1
X: 2.5
Y: 0.9995
0.98
0.96
0
0.5
1
1.5
-3
x 10
X: 2.662
Y: 0.9991
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4.5
5
perturbación
3.5
Te(N m)
4
3
2.5
2
1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga
De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras 5.46, 5.47, 5.48 y 5.49 se puede
establecer que el control de posición por modos deslizantes es robusto a perturbaciones en
el par de carga de la máquina, ya que cuando se produce la perturbación, la respuesta del
sistema se corrompe; sin embargo el control hace que la velocidad del motor converja a la
referencia rápidamente rechazando de esta manera dicha perturbación.
La tabla C2.5 muestran los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de
carga de la máquina. Los índices de desempeño mostrados en la tabla son pequeños, lo cual
nos indica que el desempeño que presenta el controlador ante dichas condiciones de
operación es bueno.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
+ 25 %
0.04531
0.02504
0.04889
0.02514
Perturbación
+ 50 %
- 25 %
0.04743 0.04454
0.02507 0.02504
0.05551
0.0463
0.02523 0.02514
- 50 %
0.04554
0.02505
0.04952
0.02515
Tabla C2.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga
A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios
en los parámetros del motor de CD, en estas pruebas el parámetro que se modificará será la
inductancia de armadura LAA ya que este tipo de motores no cuentan con devanados de
campo.
La figura C2.23 corresponde a la respuesta del sistema cuando se presenta un
aumento del 25% en LAA, se puede apreciar que la respuesta de la posición solo varía
0.0001 rad por lo que se puede establecer que el control es insensible a la variación de los
parámetros de la máquina de CD.
186
Anexo C
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.05
X: 2.414
Y: 0.9993
X: 2.667
Y: 0.9994
wr
ref
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de armadura Laa
4
4.5
5
Laa(H)
0.15
0.14
Incertidumbre paramétrica
0.13
0.12
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.23. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 25%.
En la figura C2.24 se presenta la respuesta del sistema cuando se produce un
aumento del 50% en LAA, en dicha figura se observa como la posición se modifica solo
0.0002 rad por lo que se establece que el control es robusto ante incertidumbres en los
parámetros de la máquina.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.05
X: 2.372
Y: 0.9993
wr
ref
X: 2.579
Y: 0.9995
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de armadura Laa
4
4.5
5
Laa(H)
0.18
0.16
Incertidumbre paramétrica
0.14
0.12
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.24. Respuesta del sistema para un aumento en LAA del 50%.
Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en LAA
de la máquina de CD. La figura C2.25 corresponde a la respuesta del sistema cuando se
varía el -25% de LAA, se puede apreciar que el control es insensible a la variación de los
parámetros de la máquina de CD ya que la respuesta del sistema solo se corrompe 0.0003
rad ante la presencia de esta variación paramétrica.
Posición angular Theta
wr
ref
Theta(rad)
1.02
X: 2.379
Y: 0.9993
X: 2.598
Y: 0.999
1
0.98
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de armadura Laa
4
4.5
5
4
4.5
5
Laa(H)
0.12
0.11
Incertidumbre paramétrica
0.1
0.09
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C2.25. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -25%.
187
C.3.Resultados del Control del Motor de CD Serie
En la figura C2.26 se muestra la respuesta del sistema cuando se existe un
decremento del -50% en LAA, se aprecia que al variar el parámetro LAA la posición del
motor de CD varía muy poco, por lo que el control es insensible a la variación de los
parámetros de la máquina.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.05
wr
ref
X: 2.392
Y: 0.9993
1
0.95
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de armadura Laa
4
4.5
5
Laa(H)
0.12
0.1
Incertidumbre paramétrica
0.08
X: 2.5
Y: 0.06
0.06
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C2.26. Respuesta del sistema para una variación en LAA del -50 %.
De las gráficas mostradas en las figuras 5.50, 5.51, 5.52 y 5.53 se puede concluir el
control por modos deslizantes de posición diseñado es insensible a las variaciones del
parámetro LAA que pudieran presentarse en la máquina de CD, esto debido a que en las
respuestas que se muestran en dichas gráficas la posición si logra ser corrompida pero en un
rango aceptable por lo que se puede decir que el control si es robusto.
En la tabla C2.6 se presentan los índices de desempeños del controlador por modos
deslizantes de posición, para cuando existen variaciones paramétricas en la inductancia de
armadura LAA. Como los índices de desempeño del controlador diseñado son pequeños,
esto nos indica que la desviación del comportamiento del control con respecto al
comportamiento ideal es pequeña por lo que el control tiene un comportamiento adecuado.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Variación paramétrica en LAA
+ 25 %
+ 50 %
- 25 %
- 50 %
0.04423 0.04399 0.04518 0.04637
0.02504 0.02504 0.02504 0.02504
0.04515 0.04426 0.04875 0.05322
0.02513 0.02513 0.02514 0.02515
Tabla C2.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LAA
C.3. Resultados del Control del Motor de CD en Serie
C.3.1 Control de velocidad
En las siguientes gráficas se muestran las respuestas del motor de CD en serie, las
referencias dadas por los perfiles de velocidad propuestos cuando el motor se encuentra
controlado por el control por modos deslizantes diseñado. Se puede observar en la figura
C3.1; que el sistema alcanza a la referencia en 0.3212 segundos y permanece en ella
durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil de velocidad uno.
188
Anexo C
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
0.8
X: 0.3212
Y: 0.8212
0.6
wr(rad/s)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.1. Respuesta del sistema para el perfil uno
La respuesta del sistema para el perfil dos se muestra en la figura C3.2; se observa
que el sistema converge aproximadamente en 0.6279 segundos y para cuando realiza los
cambios de referencia la velocidad converge a la nueva referencia de manera rápida y
siguiendo adecuadamente la referencia.
Velocidad Angular wr
1.2
wr
ref
X: 0.6279
Y: 1
1
X: 3.139
Y: 1
wr(rad/s)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 1.964
Y: 0
0
X: 4.453
Y: 0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.2. Respuesta del sistema para el perfil dos
El comportamiento de la velocidad del motor para la referencia establecida por el
perfil tres se muestra en la figura 5.56; se puede apreciar que el sistema alcanza la
referencia en 0.3289 segundos y la sigue suavemente durante el resto de la prueba.
Velocidad Angular wr
1.2
wr
ref
1
wr(rad/s)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 0.3289
Y: 0.1316
0
-0.2
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura C3.3. Respuesta del sistema para el perfil tres
La respuesta de la velocidad del motor para la referencia dada por el perfil de
velocidad cuatro se muestra en la figura C3.4; en esta se observa que el sistema converge a
189
C.3.1 Control de Velocidad
la referencia aproximadamente en 0.4205 segundos y cuando ocurre el cambio de
referencia la velocidad del motor converge a la nueva referencia en 0.57 segundos
Velocidad Angular wr
1.2
1
X: 3.07
Y: 1
0.8
wr(rad/s)
wr
ref
0.6
0.4
0.2
X: 0.4205
Y: 0
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro
La figura C3.5 ilustra la velocidad del motor para la referencia establecida por el
perfil cinco, en esta figura se puede apreciar que la velocidad del motor logra alcanzar
referencia en aproximadamente 0.3474 segundos y permanece en ella de manera adecuada
el resto de la prueba.
Velocidad Angular wr
1.2
1
0.8
wr(rad/s)
wr
ref
0.6
0.4
0.2
X: 0.3474
Y: 0.139
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco
En las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de velocidad, se pudo
verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de
seguimiento de trayectoria ya que para todos los perfiles de velocidad el sistema convergió
de manera rápida y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba.
A continuación en la tabla C3.1 se presentan los índices de desempeño del control
por modos deslizantes para los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está tabla se
logra apreciar que los índices de desempeño del controlador son bajos, por lo cual la
desviación del comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es
pequeña, por lo que el control presenta un buen desempeño con respecto a los índices.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.02435
0.002087
0.0117
0.0001245
Perfil dos
0.4323
0.2336
0.8023
0.3932
Perfil tres
0.023
0.001558
0.02337
0.0001035
Perfil cuatro
0.1221
0.05262
0.274
0.1305
Perfil cinco
0.02161
0.001557
0.01157
9.46e-5
Tabla C3.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad
190
Anexo C
La figura C3.6 corresponde a la respuesta del la velocidad del motor cuando sufre
una perturbación del 25% en el par de carga, en esta figura se puede apreciar como la
perturbación hace que la velocidad del motor se desvié de la referencia 0.0042 rad/seg; sin
embargo el control rechaza la perturbación ya que la velocidad vuelve de nuevo a la
referencia en aproximadamente 0.408 segundos y permaneciendo en ella el resto de la
prueba
velocidad angular wr
wr
ref
1.02
wr(rad/s)
X: 2.455
Y: 0.9992
X: 2.908
Y: 0.999
1
X: 2.501
Y: 0.9958
0.98
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
16
15
perturbación
14
13
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga
La figura C3.7 corresponde a la respuesta del motor cuando se presenta una
perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %, cuando se produce la perturbación
la velocidad cae 0.016 rad/seg; sin embargo gracias a la acción del controlador la respuesta
del sistema vuelve a converger a la referencia en 0.294 segundos y permanece en ella el
resto del tiempo.
velocidad angular wr
1.05
wr(rad/s)
X: 2.485
Y: 0.9992
wr
ref
X: 2.794
Y: 0.998
1
X: 2.507
Y: 0.984
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
20
perturbación
Te(N m)
18
16
14
12
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga
A continuación se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema
para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C3.8; corresponde
a la velocidad del motor cuando se produce una perturbación de -25% en el par de carga;
se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad aumente 0.02 rad/seg;
pero la velocidad vuelve al converger a la referencia en 0.236 segundos esto debido a la
acción del controlador.
191
C.3.1 Control de Velocidad
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.02
wr
ref
X: 2.511
Y: 1.002
1
X: 2.736
Y: 0.9997
X: 2.355
Y: 0.9992
0.98
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
13
Te(N m)
perturbación
12
11
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga
La figura C3.9 ilustra el comportamiento de la velocidad del motor cuando se
presenta una perturbación de -50% del par de carga de la máquina; se aprecia que la
perturbación hace que la respuesta de la velocidad aumente 0.013 rad/seg; pero gracias a la
acción del controlador la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en 0.409
segundos y logra que siga en ella el resto de la prueba.
velocidad angular wr
1.05
wr
ref
wr(rad/s)
X: 2.507
Y: 1.013
1
X: 2.449
Y: 0.9992
0.95
0
0.5
1
1.5
X: 2.909
Y: 0.9999
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
14
perturbación
Te(N m)
12
10
8
6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga
Resumiendo se puede decir que en base a las pruebas mostradas en la figuras
anteriores, el control por modos deslizantes de velocidad diseñado para el motor de CD en
serie es robusto ante perturbaciones en el par de carga de la máquina ya que como se
aprecia en las gráficas la respuesta se corrompe cuando se presenta la perturbación sin
embargo el control hace que el sistema converja de nuevo a lar referencia de manera rápida
y permaneciendo en ella de manera adecuada, es así como el control rechaza la
perturbación.
La tabla C3.2 muestran los índices de desempeños del controlador por modos
deslizantes diseñado para cuando el motor sufre perturbaciones en el par de carga de la
máquina. . Se observan que para cuando el motor es operado ante dicha condición el
control diseñado sigue presentando índices de desempeño pequeños, por lo que el control
diseñado presenta un buen desempeño dinámico aún cuando existan perturbaciones en la
carga del motor.
192
Anexo C
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perturbación
+ 50 %
- 25 %
0.1247
0.1217
0.05266 0.05264
0.1304
0.1208
0.05386 0.05381
+ 25 %
0.1231
0.05264
0.1255
0.05382
- 50 %
0.1223
0.05265
0.1217
0.05383
Tabla C3.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga
A continuación se presentan las respuestas de la velocidad del motor cuando se
producen cambios en los parámetros del motor de CD, en estas pruebas el parámetro que se
modificará será la inductancia de campo LFF.
La figura C3.10 muestra la velocidad del motor cuando se presenta un aumento del
25% en LFF; se puede apreciar que el control es insensible a la variación del parámetro LFF
de la máquina, ya que la respuesta del sistema no se ve modificada ante la presencia de esta
variación.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.391
Y: 0.9992
wr
ref
X: 2.69
Y: 0.9993
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
0.038
Lff(H)
0.036
0.034
Incertidumbre paramétrica
0.032
0.03
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%.
En la figura C3.11 se presenta la respuesta de velocidad del motor cuando se
produce un aumento del 50% en LFF; en dicha figura se observa como el control es robusto
ante incertidumbres en este parámetro de la máquina ya que la respuesta del sistema no se
corrompe cuando aparece dicha variación.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.39
Y: 0.9992
wr
ref
X: 2.645
Y: 0.9993
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
Lff(H)
0.045
0.04
Incertidumbre paramétrica
0.035
0.03
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.11. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%.
193
C.3.1. Control de Velocidad
Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la
inductancia de campo LFF de la máquina de CD. La figura C3.12 corresponde a la respuesta
de velocidad de motor cuando hay una variación del -25% de la inductancia del devanado
de campo LFF; se aprecia que el control es insensible a la variación de LFF de la máquina de
CD ya que la velocidad del motor no logra ser modificada cuando se presenta dicha
variación.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.402
Y: 0.9992
wr
ref
X: 2.701
Y: 0.9992
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
0.03
4
4.5
5
Incertidumbre paramétrica
Lff(H)
0.028
0.026
0.024
0.022
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%.
En la figura C3.13 se muestra el comportamiento de la velocidad del motor cuando
se produce un decremento del -50% en LFF; se logra apreciar que ante dicho decremento de
LFF la velocidad del motor de CD no se corrompe por lo que el control es insensible a la
variación de LFF de la máquina.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.425
Y: 0.9992
wr
ref
X: 2.622
Y: 0.9992
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
Lff(H)
0.03
0.025
Incertidumbre paramétrica
0.02
0.015
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %.
Con base a las gráficas mostradas en la figuras anteriores, se puede establecer que el
control por modos deslizantes diseñado para el motor de CD en serie es insensible a la
variación de la inductancia de el devanado de campo LFF, ya que se aprecia en todas las
gráficas que la velocidad del motor no se ve alteran cuando se presentan variaciones en
dicho parámetro.
En la tabla C3.3 se presentan los índices de desempeños del controlador por modos
deslizantes de velocidad, para cuando existen variaciones paramétricas en la inductancia de
campo LFF. Se aprecia que los índices de desempeño que presenta el controlador cuando se
presentan variaciones paramétricas en el motor son pequeños, por lo tanto, el desempeño
del controlador ante dichas condiciones de operación sigue siendo bueno.
194
Anexo C
Variación paramétrica en LFF
+ 25 %
+ 50 %
- 25 %
- 50 %
0.1221
0.122
0.1223
0.1224
0.05264
0.05264 0.05264 0.05264
0.1223
0.122
0.123
0.1234
0.05381
0.05381 0.05381 0.05381
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Tabla C3.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF
C.3.2. Control de posición
Las respuestas del motor de CD en serie para cuando se le aplica el control de
posición por modos deslizantes utilizando como referencias los cinco perfiles de posición
propuestos se presentan a continuación. La figura C3.14 muestra la posición de la flecha del
motor cuando se utiliza como referencia el perfil de posición uno, se logra apreciar que la
posición converge a la referencia en aproximadamente 0.7666 segundos y sigue a la
referencia de manera adecuada.
Posición angular Theta
1
Theta
ref
X: 0.7666
Y: 0.7458
0.8
0.6
Theta(rad)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.14. Respuesta del sistema para el perfil uno
La respuesta del sistema para el perfil dos se muestra en la figura C3.15; se observa
que el sistema converge en 1.134 segundos y para los demás cambio de referencia el
sistema converge de manera rápida.
Posición angular Theta
Theta
ref
1
X: 1.134
Y: 1
X: 6.074
Y: 1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 3.633
Y: 0.008128
0
-0.2
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura C3.15. Respuesta del sistema para el perfil dos
La respuesta de la posición del motor para el perfil tres se muestra en la figura
C3.16; se aprecia que el sistema llega a la referencia en 0.5946 segundos véase que cuando
195
C.3.2. Control de Posición
ocurren los cambios de referencia el sistema tiene un transitorio y después converge de
nuevo a la referencia de manera rápida.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
X: 3.465
Y: 1
X: 5.575
Y: 0.77
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 0.5946
Y: 0.2379
0
-0.2
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura C3.16. Respuesta del sistema para el perfil tres
La figura C3.17 ilustra la respuesta de la posición del motor para la referencia dada
por el perfil cuatro, en esta el sistema alcanza la referencia en 0.5357 segundos y al hacer el
cambio de referencia el sistema converge a la nueva referencia en 1.192 segundos.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
X: 3.692
Y: 1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 0.5357
Y: 0
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro
En la figura C3.18 se ilustra la respuesta de la posición cuando se ocupa la
referencia establecida por el perfil cinco, se observa que el sistema converge a la referencia
en aproximadamente 0.5978 segundos nótese que cuando ocurre el cambio de referencia
aparece un transitorio y converge a la nueva referencia en 0.927 segundos.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
X: 3.427
Y: 1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 0.5978
Y: 0.2391
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco
En las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de posición se pudo
verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea de
196
Anexo C
seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de posición el sistema convergió
rápidamente y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba.
En la tabla C3.4 se presentan los índices de desempeño del control por modos
deslizantes para los cinco perfiles de posición propuestos. En la tabla se observa que los
índices de desempeño que presenta el controlador son bajos, por lo cual, la desviación del
comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña, por lo
tanto, el control diseñado presenta un buen desempeño dinámico.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.1359
0.0205
0.1026
0.005732
Perfil dos
1.064
0.6954
2.895
1.802
Perfil tres
0.08044
0.001587
0.2676
0.00442
Perfil cuatro
0.3513
0.2154
0.9518
0.571
Perfil cinco
0.05318
0.001084
0.1098
0.00169
Tabla C3.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición
La figura C3.19 corresponde a la respuesta de la posición cuando ocurre una
perturbación del 25% en el par de carga, en esta figura se puede apreciar que al aparecer la
perturbación la posición de la máquina no se corrompe, sin embargo existe un error en
estado estable de 0.006 rad.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.275
Y: 1.006
Theta
ref
X: 2.944
Y: 1.006
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
4.5
5
Te(N m)
16
15
perturbación
14
13
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
Figura C3.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga
La figura C3.20 muestra la respuesta del motor cuando aparece una perturbación en
el par de carga de la máquina del 50 %; cuando se aplica la perturbación la posición del
rotor no se modifica, sin embargo el error en estado estable es 0.006 rad.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.275
Y: 1.006
Theta
ref
X: 2.944
Y: 1.006
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
4.5
5
Te(N m)
16
15
perturbación
14
13
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
Figura C3.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga
197
C.3.2. Control de Posición
A continuación se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema
para perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C3.21
corresponde a la respuesta de la posición para una perturbación de -25% en el par de carga,
se aprecia que la perturbación hace que la posición aumente 0.002 rad; sin embargo debido
al controlador el sistema vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 0.88
segundos.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.414
Y: 1.006
X: 2.644
Y: 1.008
Theta
ref
X: 3.382
Y: 1.004
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
13
perturbación
Te(N m)
12
11
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga
En la figura C3.22 se ilustra el comportamiento del sistema cuando se le aplica una
perturbación de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que la perturbación hace
que la respuesta de la posición aumente 0.011 rad; pero gracias a la acción del controlador
la velocidad del motor vuelve a converger a la referencia en aproximadamente 1.02
segundos.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.672
Y: 1.017
X: 2.351
Y: 1.006
Theta
ref
X: 3.523
Y: 1.003
1
0.95
0.9
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
14
perturbación
Te(N m)
12
10
8
6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga
De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede establecer
que el control de posición por modos deslizantes es robusto a perturbaciones en el par de
carga de la máquina, ya que cuando ocurre la perturbación, la respuesta de la posición del
rotor se corrompe sin embargo el control hace que la respuesta del sistema converja a la
referencia rápidamente rechazando de esta manera dicha perturbación.
La tabla C3.5 muestran los índices de desempeños del controlador por modos
deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de
carga de la máquina. Se observa que dichos índices permanecen pequeños aún cuando se
presenten perturbaciones en la carga, por lo que su desempeño ante dicha condición de
operación es bueno desde el punto de vista de los índices.
198
Anexo C
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perturbación
+ 50 %
- 25 %
0.3562
0.3497
0.2156
0.2155
0.4849
0.4578
0.2484
0.2481
+ 25 %
0.354
0.2156
0.4756
0.2483
- 50 %
0.3512
0.2156
0.4591
0.2482
Tabla C3.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga
A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios
en los parámetros del motor de CD, en estas pruebas el parámetro que se modificará será la
inductancia de campo LFF.
La figura C3.23 corresponde a la respuesta del sistema cuando se presenta un
aumento del 25% en campo LFF, se puede apreciar que el control es insensible a la
variación de los parámetros de la máquina ya que la respuesta del sistema no se corrompe
ante la presencia de esta variación.
Theta(rad)
Posición angular Theta
1.1
X: 2.361
Y: 1.006
wr
ref
X: 2.838
Y: 1.006
1
0.9
0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
0.038
Lff(H)
0.036
Incertidumbre paramétrica
0.034
0.032
0.03
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.23. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%.
En la figura C3.24 se presenta la respuesta del sistema cuando se produce un
aumento del 50% en LFF; en dicha figura se observa como el control es robusto ante
incertidumbres en los parámetros de la máquina ya que la respuesta del sistema no se
corrompe cuando aparece dicha incertidumbre.
Theta(rad)
Posición angular Theta
1.1
X: 2.425
Y: 1.006
wr
ref
X: 2.667
Y: 1.006
1
0.9
0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
Lff(H)
0.045
0.04
Incertidumbre paramétrica
0.035
0.03
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.24. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%.
Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la
inductancia de campo LFF de la máquina de CD. La figura C3.25 corresponde a la respuesta
199
C.3.2. Control de Posición
del sistema cuando se varía un -25% en LFF; se puede apreciar que el control es insensible a
la variación de los parámetros de la máquina de CD ya que la respuesta del sistema no se
corrompe ante la presencia de esta variación paramétrica.
Theta(rad)
Posición angular Theta
1.1
X: 2.379
Y: 1.006
wr
ref
X: 2.759
Y: 1.006
1
0.9
0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
0.03
Lff(H)
0.028
Incertidumbre paramétrica
0.026
0.024
0.022
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%.
En la figura 5.79 se muestra la respuesta del sistema cuando se existe un decremento
del -50% en LFF, se aprecia que al variar el parámetro LFF la posición del motor de CD no
se corrompe, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros de la
máquina.
Theta(rad)
Posición angular Theta
1.1
X: 2.379
Y: 1.006
1
0.9
0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
0.03
Lff(H)
wr
ref
X: 2.702
Y: 1.006
4
4.5
5
Incertidumbre paramétrica
0.025
0.02
0.015
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C3.26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %.
Con base a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede decir que el
control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación de los parámetros de
motor de CD, esto debido a que en las respuestas que se muestran en dichas gráficas no se
corrompen cuando se varia la inductancia en el devanado de campo de motor de CD en
serie.
En la tabla C3.6 se presentan los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes de posición, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia
de campo LFF. Se aprecia que los índices de desempeño que presenta el controlador cuando
existen variaciones en los parámetros del motor son pequeños, lo cual nos indica que el
controlador tiene un desempeño adecuado ante dichas condiciones de operación.
200
Anexo C
Variación paramétrica en LFF
+ 25 %
+ 50 %
- 25 %
- 50 %
0.3508
0.3503
0.352
0.3527
0.2155
0.2155
0.2155
0.2156
0.4632
0.4612
0.4679
0.4706
0.2482
0.2481
0.2482
0.2482
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Tabla C3.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF
C.4 Resultados del Control del Motor CD Compuesto
Acumulativo
C.4.1 Control de velocidad
En las siguientes gráficas se muestran las respuestas del motor de CD compuesto
acumulativo controlado por modos deslizantes, para las referencias dadas por los perfiles de
velocidad propuestos para verificar la tarea de seguimiento de trayectorias. Se puede
observar en la figura C4.1; que el sistema alcanza a la referencia en 0.6069 segundos y
permanece en ella durante toda la prueba, esta respuesta corresponde al perfil de velocidad
uno.
Velocidad Angular wr
X: 0.6069
Y: 0.9689
wr
ref
1
0.8
0.6
wr(rad/s)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.1. Respuesta del sistema para el perfil uno
La respuesta del sistema cuando se utiliza como referencia el perfil dos, se muestra
en la figura C4.2; obsérvese que el sistema converge a la referencia en aproximadamente
0.6509 segundos y para cuando ocurren los cambios de referencia la velocidad converge a
la nueva referencia de manera rápida.
Velocidad Angular wr
X: 0.6509
Y: 1
wr
ref
1
X: 2.725
Y: 1
0.8
wr(rad/s)
0.6
0.4
0.2
X: 1.665
Y: 0
X: 4.165
Y: 0
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.2. Respuesta del sistema para el perfil dos
C.4. Resultados del Control del Motor de CD Compuesto Acumulativo
201
El comportamiento de la velocidad del motor para cuando se utiliza como entrada el
perfil tres se plasma en la figura C4.3; se puede apreciar que el sistema alcanza la
referencia en 0.4799 segundos y logra seguirla de manera adecuada el resto de la prueba.
Velocidad Angular wr
1.2
wr
ref
1
0.8
wr(rad/s)
0.6
0.4
0.2
X: 0.4799
Y: 0.192
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura C4.3. Respuesta del sistema para el perfil tres
La velocidad del motor de CD para la referencia dada por el perfil de velocidad
cuatro se muestra en la figura C4.4; en esta se observa que el sistema converge a la
referencia aproximadamente en 0.4551 segundos y al realizar el cambio de referencia la
velocidad del motor converge a la nueva referencia en 0.225 segundos.
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
X: 2.725
Y: 1
0.8
0.6
wr(rad/s)
0.4
0.2
0
X: 0.4551
Y: 0
-0.2
-0.4
-0.6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.4. Respuesta del sistema para el perfil cuatro
La figura C4.5 ilustra la respuesta del motor de CD para la referencia mostrada en el
perfil cinco, en la gráfica se aprecia que el sistema alcanzó a la referencia en 0.5096
segundos y permanece de manera adecuada siguiendo la referencia durante el resto de la
prueba.
Velocidad Angular wr
wr
ref
1
wr(rad/s)
0.5
X: 0.5096
Y: 0.2038
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.5. Respuesta del sistema para el perfil cinco
202
Anexo C
En las pruebas mostradas en las gráficas anteriores para el seguimiento de
trayectoria de velocidad, se pudo verificar que el control por modos deslizantes diseñado
para el motor de CD compuesto acumulativo cumplió satisfactoriamente con la tarea de
seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de velocidad el sistema convergió
de manera rápida y siguió de manera adecuada la referencia.
A continuación en la tabla C4.1 se presentan los índices de desempeño del control
por modos deslizantes diseñados, para los cinco perfiles de velocidad propuestos. Los
índices de desempeño mostrados en la tabla son pequeños, esto nos indica que el
comportamiento dinámico que tiene el controlador es bueno.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.5072
0.5094
0.1579
0.1538
Perfil dos
1.028
1.097
1.043
0.7051
Perfil tres
0.2093
0.1069
0.05754
0.02552
Perfil cuatro
0.2888
0.1616
0.3571
0.2433
Perfil cinco
0.2085
0.1069
0.05261
0.02552
Tabla C4.1. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de velocidad
Ahora se analizara la robustez del control para perturbaciones desconocidas en el
par de carga; la figura C4.6 muestra el comportamiento del motor cuando sufre una
perturbación del 25% en el par de carga, en esta figura se puede apreciar como la
perturbación hace que la respuesta se modifique 0.0002 rad/seg.
velocidad angular wr
1.05
wr(rad/s)
X: 2.31
Y: 0.9998
wr
ref
X: 2.807
Y: 0.9996
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
12
perturbación
11
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.6. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga
La figura C4.7 corresponde a la respuesta de velocidad del motor cuando se presenta
una perturbación en el par de carga de la máquina del 50 %; obsérvese que cuando se
produce la perturbación la velocidad del motor cae 0.0004 rad/seg.
velocidad angular wr
1.05
wr
ref
wr(rad/s)
X: 2.402
Y: 0.9998
1
X: 2.679
Y: 0.9994
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
14
perturbación
12
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.7. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga
203
C.4.1. Control de Velocidad
Ahora se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema para
perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C4.8 muestra el
comportamiento del motor cuando se produce una perturbación de -25% en el par de carga;
se aprecia que la perturbación hace que la respuesta de la velocidad disminuya 0.0002
rad/seg; más sin embargo debido al controlador el sistema converge de nuevo a la
referencia en 0.618 segundos y permanece sobre ella el tiempo restante.
velocidad angular wr
1.01
wr(rad/s)
1.005
X: 2.367
Y: 0.9998
wr
ref
X: 3.118
Y: 0.9998
1
X: 2.784
Y: 0.9996
0.995
0.99
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
Te(N m)
10
4.5
5
perturbación
9
8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.8. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga
La figura C4.9 ilustra el comportamiento del sistema cuando se presenta una
perturbación de -50% del par de carga de la máquina, el efecto de la perturbación sobre la
respuesta del motor no se ve reflejada ya que la velocidad del motor solo se modifico
0.0001 rad/seg.
velocidad angular wr
1.05
wr(rad/s)
X: 2.372
Y: 0.9998
wr
ref
X: 2.683
Y: 0.9997
1
0.95
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
Te(N m)
10
4
4.5
5
perturbación
8
6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.9. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga
En resumen se puede decir, gracias a las gráficas mostradas en las figuras anteriores,
el control por modos deslizantes de velocidad para el motor de CD compuesto acumulativo
es robusto para perturbaciones en el par de carga de la máquina ya que como se aprecia en
las gráficas la velocidad del motor se corrompe cuando aparece la perturbación, sin
embargo el control hace que el sistema converja de nuevo a la referencia de manera rápida
y permaneciendo en ella en lo subsiguiente, rechazando de esta manera la perturbación.
La tabla C4.2 muestran los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes diseñado para cuando el motor sufre perturbaciones en el par de carga de la
máquina. Los índices mostrados en la tabla nos indica que el comportamiento que presento
el controlador es adecuado ya que la desviación del comportamiento del controlador con
respecto al comportamiento ideal es pequeña.
204
Anexo C
Índice
IAE
+ 25 %
0.2887
Perturbación
+ 50 %
- 25 %
0.2892
0.2882
ISE
0.1611
0.1611
0.1611
0.1611
ITAE
0.173
0.175
0.1711
0.1718
ITSE
0.1096
0.1096
0.1096
0.1096
- 50 %
0.2883
Tabla C4.2. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga
A continuación se presentan las respuestas del sistema cuando se producen cambios
n los parámetros del motor de CD, en estás pruebas el parámetro que se modificará será la
inductancia de campo LFF. La figura C4.10 corresponde a la respuesta de la velocidad del
motor cuando se presenta un aumento del 25% en LFF; se aprecia que el sistema es
insensible a la variación de los parámetros de la máquina CD gracias a la acción del
controlador, esto debido a que la velocidad no se corrompe ante la presencia de esta
variación.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.321
Y: 0.9998
wr
ref
X: 2.701
Y: 0.9998
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
Lff(H)
0.12
0.115
Incertidumbre paramétrica
0.11
0.105
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.10. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%.
En la figura C4.11 se presenta la velocidad del motor cuando hay un aumento del
50% en LFF; en dicha figura se observa que el control es robusto ante incertidumbres en los
parámetros de la máquina CD ya que la respuesta del sistema no sufre ningún cambio
cuando aparece dicha incertidumbre.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.402
Y: 0.9998
wr
ref
X: 2.702
Y: 0.9999
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
Lff(H)
0.14
0.13
Incertidumbre paramétrica
0.12
0.11
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.11. Respuesta del sistema para un aumento en Lff del 50%.
205
C.4.1. Control de Velocidad
Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la
inductancia de campo LFF. La figura C4.12 muestra la velocidad del motor cuando varía LFF
un -25%, se puede apreciar que el control es insensible a la variación de los parámetros de
la máquina ya que la respuesta del sistema no se corrompe cuando se presenta esta
variación paramétrica.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.345
Y: 0.9998
wr
ref
X: 2.701
Y: 0.9998
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
0.1
Incertidumbre paramétrica
Lff(H)
0.09
0.08
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.12. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%.
En la figura C4.13 se ilustra el comportamiento de la velocidad cuando existe un
decremento de -50% en LFF; se aprecia que ante dicha variación la velocidad del motor de
CD no se modifica, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros de la
máquina.
velocidad angular wr
wr(rad/s)
1.05
X: 2.368
Y: 0.9998
wr
ref
X: 2.69
Y: 0.9997
1
0.95
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
Lff(H)
0.1
0.08
Incertidumbre paramétrica
0.06
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4. 13. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %.
Recapitulando podemos establecer en base a las gráficas mostradas en las figuras
anteriores, el control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación del
parámetro LFF del motor de CD, ya que la respuesta del sistema no se afecta cuando se
presentan las variaciones en dicho parámetro.
En la tabla C4.3 se presentan los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes de velocidad, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia
de campo LFF. Los índices mostrados en la tabla nos dicen que el desempeño del
controlador es bueno ante variaciones en los parámetros de la máquina, ya que dichos
índices son pequeños.
206
Anexo C
Variación paramétrica en LFF
+ 25 %
+ 50 %
- 25 %
- 50 %
0.2881
0.288
0.2883
0.2885
0.1611
0.1611
0.1611
0.1611
0.1709
0.1707
0.1716
0.1723
0.1096
0.1096
0.1096
0.1096
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Tabla C4.3. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF
C.4.2. Control de posición
Es el turno de presentar el comportamiento del motor de CD cuando se le aplica un
control de posición por modos deslizantes, para la tarea de seguimiento de trayectoria se
aplicaron los cinco perfiles de posición propuestos como referencias, en la figura C4.14 se
muestra la posición de la flecha del motor para la referencia dada por el perfil uno, nótese
que el motor alcanza la referencia en 1.595 segundos y la sigue suavemente el resto de la
prueba.
Posición angular Theta
Theta
ref
1
X: 1.595
Y: 0.9832
0.8
0.6
Theta(rad)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura C4.14. Respuesta del sistema para el perfil uno
El comportamiento de la posición para la referencia impuesta por el perfil dos se
muestra en la figura C4.15; se observa que el sistema converge a la referencia en
aproximadamente 1.509 segundos y además para cuando ocurren los cambios de referencia
la posición converge a la nueva referencia de manera rápida y suave.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
X: 1.509
Y: 1
X: 7.915
Y: 1
Theta(rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
X: 5.012
Y: 0
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
time (sec)
7
8
9
10
Figura C4.15. Respuesta del sistema para el perfil dos
207
C.4.2. Control de Posición
La figura C4.16 muestra el comportamiento de la posición para la referencia dada
por el perfil tres, se aprecia que el sistema llega a la referencia en 1.625 segundos, se
observa que cuando ocurren los cambios de referencia el sistema tiene un transitorio y
converge a la nueva referencia de manera rápida.
Posición angular Theta
1.2
Theta
ref
1
X: 3.309
Y: 1
0.8
Theta(rad)
X: 5.489
Y: 0.8045
0.6
X: 1.625
Y: 0.6502
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4
time (sec)
5
6
7
Figura C4.16. Respuesta del sistema para el perfil tres
La respuesta de la posición del motor para el perfil cuatro se muestra en la figura
C4.17; en la cual el sistema alcanza la referencia en 1.54 segundos y al hacer el cambio de
referencia el sistema converge a la nueva referencia en 2.121 segundos.
Posición angular Theta
1.2
1
X: 5.121
Y: 1
Theta(rad)
0.8
Theta
ref
0.6
0.4
0.2
X: 1.54
Y: 0
0
-0.2
0
1
2
3
time (sec)
4
5
6
Figura C4.17. Respuesta del sistema para el perfil cuatro
La figura C4.18 ilustra la respuesta de la posición para la referencia impuesta por el
perfil cinco, se observa que el sistema converge a la referencia en aproximadamente 1.822
segundos nótese que cuando ocurre el cambio de referencia aparece un transitorio y
después converge a la nueva referencia en 0.672 segundos.
Posición angular Theta
1.2
1
X: 3.172
Y: 1.007
Theta(rad)
0.8
X: 1.822
Y: 0.7289
0.6
Theta
ref
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.18. Respuesta del sistema para el perfil cinco
C.4.2. Control de Posición
208
Con base a las pruebas realizadas para el seguimiento de trayectoria de posición, se
pudo verificar que el control por modos deslizantes cumplió satisfactoriamente con la tarea
de seguimiento de trayectoria, ya que para todos los perfiles de posición el sistema
convergió y permaneció sobre la referencia durante toda la prueba y de manera adecuada.
En la tabla C4.4 se presentan los índices de desempeño de los controladores
por modos deslizantes para los cinco perfiles de velocidad propuestos. En está tabla se
logra apreciar que los índices de desempeño son bajos por lo cual la desviación del
comportamiento del controlador con respecto al comportamiento ideal es pequeña, por lo
que el control diseñado presenta un buen desempeño con respecto a los índices.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perfil uno
0.4883
0.2471
0.3259
0.1421
Perfil dos
2.708
2.209
11.13
8.05
Perfil tres
0.289
0.0607
0.2965
0.03606
Perfil cuatro
0.6495
0.3871
1.901
1.221
Perfil cinco
0.2743
0.06046
0.2169
0.03476
Tabla C4.4. Índices de desempeño para los diferentes perfiles de posición
Ahora se harán pruebas para verificar la robustez de control de posición por modos
deslizantes ante perturbaciones que se pudieran presentar en el par de carga, la figura C4.19
corresponde a la respuesta de la posición cuando se presenta una perturbación del 25% en
el par de carga, en la figura se puede apreciar como la perturbación no afecta la posición del
rotor del motor.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.874
Y: 0.9999
X: 3.151
Y: 0.9999
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
Theta
ref
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
4
4.5
5
Te(N m)
12
perturbación
11
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.19. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 25% en el par de carga
La figura C4.20 muestra la posición de la flecha del motor cuando sufre una perturbación en el par
de carga de la máquina del 50 %; se observa que al ocurrir la perturbación la posición no se ve
afectada por está, por lo que el control es robusto a perturbaciones en la carga.
209
C.4.2. Control de Posición
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.909
Y: 0.9999
Theta
ref
X: 3.071
Y: 0.9999
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
4
4.5
5
Te(N m)
14
perturbación
12
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.20. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del 50% en el par de carga
A continuación se mostrarán las gráficas que ilustran el comportamiento del sistema
ante perturbaciones negativas en el par de carga de la máquina. La figura C4.21 ilustra la
respuesta de la posición cuando el motor sufre una perturbación de -25% en el par de carga,
se aprecia que cuando ocurre la perturbación la posición del rotor no se modifica por está.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
Theta
ref
1.05
1
X: 2.944
Y: 1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
X: 3.139
Y: 1
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
Te(N m)
10
4
4.5
5
perturbación
9
8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.21. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -25% en el par de carga
La figura C4.22 muestra el comportamiento de la posición de la flecha del motor
cuando se presenta una perturbación de -50% del par de carga de la máquina, se aprecia que
la perturbación no tiene ningún efecto sobre la posición de la flecha del motor.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.932
Y: 1
Theta
ref
X: 3.117
Y: 1
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
Par de carga Tl
3.5
Te(N m)
10
4
4.5
5
perturbación
8
6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
4
4.5
5
Figura C4.22. Respuesta del sistema cuando se le aplica una perturbación del -50% en el par de carga
210
Anexo C
De acuerdo a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede establecer
que el control de posición por modos deslizantes para el motor de CD compuesta
acumulativa es robusto a perturbaciones en el par de carga de la máquina, ya que cuando se
produce la perturbación la respuesta del sistema se corrompe, más sin embargo el control
hace que la posición de la flecha converja a la referencia rápidamente rechazando de está
manera dicha perturbación.
La tabla C4.5 muestran los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes diseñado para cuando al motor se le introducen perturbaciones en el par de
carga de la máquina. Se aprecia que los índices de desempeño que presenta el controlador
cuando se presentan perturbaciones en la carga son pequeños, por lo tanto, el controlador
tiene un desempeño dinámico adecuado.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Perturbación
+ 50 %
- 25 %
1.023
1.023
0.988
0.988
0.5059
0.5059
0.4275
0.4275
+ 25 %
1.023
0.988
0.505
0.4275
- 50 %
1.023
0.988
0.5059
0.4275
Tabla C4.5. Índices de desempeño para perturbaciones en el par de carga
La siguientes gráficas ilustran el comportamiento de la posición de la flecha para
cuando el motor sufre cambios en sus parámetros, en estas pruebas el parámetro que se
modificará será la inductancia de campo LFF. La figura C4.23 corresponde a la respuesta de
la posición cuando el motor presenta un aumento del 25% en LFF; se puede apreciar que el
control es insensible a la variación de dicho parámetro ya que la posición del motor no se
corrompe cuando aparece está incertidumbre.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.944
Y: 1
1
0.95
0.9
0
0.5
0.12
Lff(H)
wr
ref
X: 3.139
Y: 1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
4
4.5
5
Incertidumbre paramétrica
0.11
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C4.23. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 25%.
En la figura C4.24 se presenta la respuesta del motor cuando se produce un aumento
del 50% en LFF; en dicha figura se observa como el control es robusto ante incertidumbres
en los parámetros de la máquina de CD, ya que la respuesta del sistema no se corrompe
cuando se produce dicha variación.
211
C.4.2. Control de Posición
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.932
Y: 1
wr
ref
X: 3.128
Y: 1
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
4
4.5
5
Lff(H)
0.14
Incertidumbre paramétrica
0.13
0.12
0.11
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C4.24. Respuesta del sistema para un aumento en LFF del 50%.
Ahora se muestran las respuestas del sistema ante las variaciones negativas en la
inductancia de campo LFF de la máquina de CD. La figura C4.25 corresponde a la respuesta
del sistema cuando se varía un -25% de LFF; se puede apreciar que el control es insensible a
la variación de los parámetros de la máquina de CD ya que la respuesta del sistema no se
corrompe ante la presencia de esta variación paramétrica.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.828
Y: 1
wr
ref
X: 3.093
Y: 1
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
4
4.5
5
Lff(H)
0.1
Incertidumbre paramétrica
0.09
0.08
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C4.25. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -25%.
En la figura C4.26 se muestra la respuesta del sistema cuando se existe un
decremento del -50% en LFF; se aprecia que al variar el parámetro LFF la posición del motor
de CD no se corrompe, por lo que el control es insensible a la variación de los parámetros
de la máquina.
Posición angular Theta
Theta(rad)
1.1
1.05
X: 2.874
Y: 1
wr
ref
X: 3.185
Y: 1
1
0.95
0.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
time (sec)
Inductancia de campo Lff
4
4.5
5
4
4.5
5
Lff(H)
0.1
0.08
Incertidumbre paramétrica
0.06
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
time (sec)
3.5
Figura C4.26. Respuesta del sistema para una variación en LFF del -50 %.
212
Anexo C
Con base a las gráficas mostradas en las figuras anteriores, se puede decir que el
control por modos deslizantes diseñado es insensible a la variación del parámetro LFF del
motor de CD, ya que la respuesta del sistema no se corrompe para las diferentes variaciones
que se le realizaron a la inductancia de campo.
En la tabla C4.6 se presentan los índices de desempeño del controlador por modos
deslizantes de posición, para cuando existen variaciones en paramétricas en la inductancia
de campo LFF. Los índices de desempeño mostrados en la tabla nos indican que el
comportamiento dinámico del controlador es adecuado, esto debido a que sus índices son
pequeños.
Índice
IAE
ISE
ITAE
ITSE
Variación paramétrica en LFF
+ 25 %
+ 50 %
- 25 %
- 50 %
1.023
1.023
1.023
1.023
0.988
0.988
0.988
0.988
0.5045
0.5044
0.505
0.5058
0.4275
0.4275
0.4275
0.4275
Tabla C4.6. Índices de desempeño para variaciones paramétricas en LFF
Anexo D
D.1. Tarjeta Sensoray 626
Para cargar la tarjeta Sensoray 626 lo único que el usuario debe hacer es seleccionar
Real-Time Windows Target dentro de la librería de Simulink como se muestra en la figura
D1.1.
Figura D1.1 Menú de la opción Real-Time Windows Target de Simulink
Una vez que se despliegue el menú de Real-Time Windows Target al lado derecho
de la ventana se selecciona el tipo de entada y salida que se desea entonces se arrastra al
programa en Simulink que se esté desarrollando; véase figura D1.2, por ejemplo escogemos
una entrada analógica
Figura D1.2. Ejemplo de como seleccionar el bloque para la adquisición de datos.
213
214
Anexo D
Una vez que el bloque de la entrada analógica este dentro de la ventana del
programa, se posiciona el cursor en el bloque y se le da clic derecho para abrir un menú
véase figura D1.3.
Figura D1.3. Menú del bloque entrada analógica.
Una vez abierto el menú se da clic en la opción abrir el bloque entones se abre una
nueva ventana que son los parámetros del bloque figura D1.4.
Figura D1.4.Ventana de los parámetros del bloque.
Una vez abierta la ventana de parámetros del bloque se da clic en instalar tarjeta
nueva, entonces Simulink cargará las tarjetas con las que es compatible, desplegando un
menú con los nombres de los fabricantes de los cuales Simulink es compatible, entonces se
215
D.1 Tarjeta Sensoray 626
selecciona el nombre del fabricante de la tarjeta y Simulink te despliega un menú en el que
se encuentran las tarjetas del fabricante seleccionada con las que Simulink es compatible,
véase figura D1.5. En este caso el fabricante es Sensoray por lo que se escoge Sensoray, la
tarjeta es 626 en este caso es la única de este fabricante que es compatible con Matlab
entonces se escoge esta.
Figura D1.5. Ventana de los parámetros del bloque.
Entonces se instala la tarjeta Sensoray 626 y se escoge el puerto, el tiempo de
muestreo y el rango de voltaje de la entrada (véase figura D1.6) y de esa manera se
configura la tarjeta de adquisición.
Figura D1.6.Ventana del bloque de parámetros.