Cap. 6_Ecuaciones en forma diferencial

Capítulo 5
Forma diferencial de las leyes
básicas
Contenido
5.1 Introducción .................................................................................. 90
5.2 Conservación de la masa ............................................................. 90
5.3 Cantidad de movimiento ............................................................... 92
5.3.1 Ecuación de Euler ............................................................... 96
5.3.2 Ecuación de Bernoulli ....................................................... 100
5.3.2.1 Presiones estática, dinámica y de estancamiento ............... 102
5.3.2.2 Limitaciones en el uso de la ecuación de Bernoulli .............. 104
5.3.2.3 Línea de gradiente hidráulico (LGH) y línea de energía (LE) . 104
5.4 Relación entre la primera ley de la termodinámica y la ecuación de
Bernoulli ...................................................................................... 105
Capítulo 5
5.1 Introducción
En el capítulo anterior se desarrollaron las ecuaciones básicas en forma integral para
un volumen de control. Las ecuaciones integrales son particularmente útiles cuando
se tiene interés únicamente en el comportamiento global del campo de flujo y su
efecto sobre diversos dispositivos. Sin embargo, este método no proporciona un
conocimiento detallado, punto por punto, del campo de flujo.
Para obtener este conocimiento en detalle, se deben aplicar las ecuaciones del
movimiento del fluido en forma diferencial. En este capítulo se desarrollarán las
ecuaciones diferenciales para la conservación de la masa y para la segunda Ley de
Newton. Ya que el interés principal de este capítulo es la formulación de ecuaciones
diferenciales, el análisis será en términos de sistemas y volúmenes de control
infinitesimales.
5.2 Conservación de la masa
La consideración de medio continuo; esto es, la suposición de que el fluido se puede
tratar como una distribución continua de materia, conduce directamente a una
representación de campo de las propiedades del fluido. Las propiedades de campo se
definen mediante funciones continuas de las coordenadas espaciales y del tiempo.
Para obtener la ecuación diferencial de la conservación de la masa en coordenadas
rectangulares, se realiza un balance de masa en el volumen de control diferencial (dx,
dy, dz) que se muestra en la Figura 5.1. En esta figura se emplea por simplicidad un
volumen de control bidimensional, los resultados en dos dimensiones pueden
extenderse para un volumen de control tridimensional. De esta forma, a partir de la ley
de conservación de la masa para un volumen de control la cual establece que:
La tasa de acumulación de materia dentro del volumen de control debe ser igual a la
tasa a la cual la materia fluye dentro del volumen de control menos la tasa a la que
ésta deja el volumen de control.

(m)  m x  m x  dx  m y  m y  dy  m z  m z  dz
t
donde
m   dxdydz
m x  u dydz; m y  v dxdz; m z  w dxdy
y empleando una expansión en series de Taylor alrededor de (x,y,z), despreciando los
términos de segundo orden y superiores, se puede determinar que:
90
Forma diferencial de las leyes básicas

 (u ) 
m x  dx   u 
dx dydz
x



 (u ) 
m y  dy   v 
dy dxdz
y



 ( w ) 
m z  dz   w 
dz dxdy
z


.
my+dy
.
mx
y
.
dy
m
mx+dx
dx
x
z
.
my
Figura 5.1 Volumen de control infinitesimal.
Al sustituir estas expresiones en la ecuación de conservación de la masa se tiene que

 (u ) 

(  dxdydz )  u dydz   u 
dx dydz
t
x



 (v ) 
v dxdz   v 
dy dxdz

y



 ( w ) 
w dxdy   w 
dz dxdy
z


Reduciendo términos en esta expresión se tiene finalmente que la ecuación de
continuidad en coordenadas cartesianas es
  (u )  (v )  ( w )



0
t
x
y
z
(5.1)
.
91
Capítulo 5
Al desarrollar esta expresión, se tiene que

u
v
w



u
v
w



0
t
x
y
z
x
y
z
la cual puede expresarse en notación vectorial como
 

D
   V  0
Dt
(5.2)
donde
( )
( )
( )
D ( )

u
v
w
;
Dt
t
x
y
z



 kˆ
  iˆ
 ˆj
y
z
x
En el caso particular en donde se tiene un flujo incompresible, la ecuación de
continuidad se expresa simplemente como

 V  0
u v  w


0
x y z
o
Coordenadas cilíndricas:
 1  (ru r  ) 1  (v  )  ( w )

0


z
t r r
r 
(5.3)
5.3 Cantidad de movimiento
Para obtener la ecuación de cantidad de movimiento (momentum) en forma
diferencial, es necesario recordar que la ley de conservación de cantidad de
movimiento para un volumen de control, establece que la sumatoria de las fuerzas
ejercidas sobre el volumen de control es igual a la tasa a la cual se acumula cantidad
de movimiento dentro del volumen de control más la tasa a la cual sale cantidad de
movimiento del volumen de control menos la tasa a la cual entra cantidad de
movimiento al volumen de control, así
Fuerza neta sobre el
volumen de control
(VC) en la dirección
considerada.
92
Tasa de incremento en la
cantidad de movimiento del
fluido en la dirección
considerada dentro del VC.
=
Tasa de cantidad de
movimiento saliendo del VC
en la dirección considerada.
–
Tasa de cantidad de
movimiento entrando en el
VC
en
la
dirección
considerada.
+
Forma diferencial de las leyes básicas
Empleando un volumen de control infinitesimal (Figura 5.2) para mostrar las fuerzas
de superficie que actúan sobre el volumen de control, se deriva una expresión para el
lado izquierdo de la expresión anterior. En este caso se hace la sumatoria de fuerzas
en la dirección x, esto es
F
x
  yx 







  xx  xx dx dydz   yx 
dy dxdz   zx  zx dz dxdy
x
z
y






 xx dydz   yx dxdz   zx dxdy
Al reducir términos, la ecuación anterior se puede presentar como
F
x
  yx   zx
 

  xx 
z
y
 x
[yy+yy/ y]dxdz
xxdydz
xydydz

dxdydz

[yx+yx/ y]dxdz
[xx+xx/ x]dydz
dy
[xy+xy/ x]dydz
y
dx
x
z
yxdxdz
yydxdz
Figura 5.2 Fuerzas de superficie actuando en volumen de control infinitesimal.
Por otra parte, la tasa de cantidad de movimiento acumulado dentro del volumen de
control infinitesimal queda expresada por

(u dxdydz )
t
93
Capítulo 5
Mientras que en la Figura 5.3 se muestra que la cantidad de movimiento en la
dirección x entrando y saliendo al volumen de control, por cada una de las caras del
elemento diferencial es, respectivamente
u udydz  v udxdz  w udxdy



 ( u) 
 ( u) 
 ( u) 
u   u 
dx dydz  v  u 
dy dxdz  w  u 
dz dxdy
z
y
x






De esta forma, la ecuación de cantidad de movimiento para la dirección x es
 ( u)
 ( u)
 ( u)
 (  u )   xx   yx   zx
u
v
w



  gx
t
x
y
z
x
y
z

 ( u) 
v  u 
dy dxdz
y


w udxdy
u udydz
y
dy
dz
x
z
dx

 ( u) 
w  u 
dz  dxdy
z



 ( u) 
u   u 
dx  dydz
x


v udxdz
Figura 5.3 Cantidad de movimiento en x entrando y saliendo del volumen de
control a través de las superficies del sistema.
Finalmente, al considerar un fluido newtoniano, es posible obtener una relación entre
los esfuerzos cortantes y el campo de velocidades, figura 5.4

u
v
2
;  yy   P    V  2 
;
x
y
3

2
w
  P    V  2
z
3

2
3
 xx   P    V  2 
 zz
 v
u 
 w
v 
 u
w 
  ;  zx   xz    
 xy   yx      ;  yz   zy   


x

y

y
z 
 z x 



94
Forma diferencial de las leyes básicas
Figura 5.4 Esfuerzos normales y cortantes, en la dirección x.
Al sustituir estas expresiones en la ecuación de cantidad de movimiento y reducir
términos, considerando propiedades del fluido constantes se tiene que la ecuación de
cantidad de movimiento en x es:
 2 u 2 u 2 u 
u
u
u
u
1 P
  gx
u
v
w

 υ 2 

2
2 
t
x
y
z
 x

x

y
z



Al seguir un procedimiento similar se pueden obtener las ecuaciones de cantidad de
movimiento para las direcciones y y z, respectivamente como
 2 v 2 v 2 v 
v
v
v
v
1 P
  gy
u
v
w

 υ 2 

t
x
y
z
 y
 y 2  z 2 
x
 2 w 2 w 2 w 
w
w
w
w
1 P
  gz
u
v
w

 υ


2
t
x
y
z
 z
 y 2  z 2 
x
Estas expresiones en conjunto con la ecuación de continuidad forman las ecuaciones
de Navier – Stokes:
u v  w


0
x y z
95
Capítulo 5
 2 u 2 u 2 u 
u
u
u
u
1 P
  gx
u
v
w

 υ 2 

 x
z
t
x
y
 y 2  z 2 
x
 2 v 2 v 2 v 
v
v
v
v
1 P
  g y (5.3)
u
v
w

 υ 2 

x
y
z
t
 y
 y 2  z 2 
x
 2w 2w 2w 
w
1 P
w
w
w
  gz
u
v
w

 υ 2 

 z x
x
y
z
t
 y 2  z 2 
Este conjunto de ecuaciones se puede expresar en forma vectorial como

 V  0



 
V
1
 (V  ) V   P   2 V  g
t

donde el operador Laplaciano en coordenadas cilíndricas se expresa como:
Para aplicar las ecuaciones de Navier Stokes y obtener una solución analítica, se
pueden seguir los siguientes pasos.
96
Forma diferencial de las leyes básicas
5.3.1 Ecuación de Euler
Todos los fluidos reales poseen viscosidad; sin embargo, con frecuencia su
comportamiento es como si no la tuvieran. Por lo tanto, es de utilidad investigar la
dinámica de un fluido ideal; esto es, un fluido incompresible con viscosidad igual a
cero. El análisis del movimiento de fluidos ideales es más simple que el de flujos
viscosos debido a que no existen esfuerzos cortantes y únicamente se tienen que
considerar los esfuerzos normales. Para un fluido no viscoso en movimiento, el
esfuerzo normal en un punto es el mismo en todas direcciones y es igual al negativo
de la presión termodinámica. Las ecuaciones de movimiento para un flujo sin fricción,
conocidas como las ecuaciones de Euler, se obtienen de la forma general de las
ecuaciones de movimiento, Ecs.(5.3). Ya que en un flujo sin fricción no hay esfuerzos
cortantes y el esfuerzo normal es igual al negativo de la presión termodinámica, las
ecuaciones de movimiento para un flujo sin fricción son:
u
u
u
u
1 P
u
v
w

 gx
 x
t
x
y
z
v
v
v
v
1 P
 gy

w
v
u
 y
z
y
x
t
w
1 P
w
w
w
v
w

 gz
u
 z
t
x
y
z
(5.4)
Ecuación de Euler para una línea de corriente
Como la velocidad y la aceleración de un fluido en coordenadas de línea de corriente
se expresan de una manera muy simple, las ecuaciones de movimiento tienen una
forma correspondiente también simple. Para desarrollar estas ecuaciones,
considérese la Figura 5.4, la cual muestra una partícula rectangular de fluido en un
punto particular sobre una línea de corriente.
Las ecuaciones de movimiento se escribirán ahora en términos de la coordenada s,
distancia a lo largo de una línea de corriente y la coordenada n, normal a la línea de
corriente. Ya que el vector velocidad deberá ser tangente a la línea de corriente,
entonces el campo de velocidad está dado por V = V(s,t). La presión en el centro del
elemento de fluido es P. Si se aplica la segunda ley de Newton en la dirección s (a lo
largo de la línea de corriente) al elemento de fluido de volumen dsdndx, despreciando
las fuerzas viscosas, se tiene:
P ds 
P ds 


P 
dndx   P 
dndx  gsendndxds  dsdndxa s
s 2 
s 2 


donde  es el ángulo entre la tangente a la línea de corriente y la horizontal y as es la
aceleración de la partícula de fluido a lo largo de la línea de corriente.
97
Capítulo 5
Simplificando la ecuación anterior se obtiene,
P
 gsen   a s
s

ya que sen β=∂z/∂s, se tiene que,

1 P
z
g
 as
 s
s
p dn 

P 
dsdx
n 2 

p ds 

P 
dndx
s 2 

z
g
n
p ds 

P 
dndx
s 2 

s
β
β
dn
ds
p dn 

P 
dsdx
n 2 

R
y
Figura 5.4 Partícula de fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente.
A lo largo de cualquier línea de corriente Vs = Vs(s, t) y la aceleración total de una
partícula de fluido en la dirección de la línea de corriente está dada por;
as 
V
DVs Vs

 Vs s
t
Dt
s
Ya que la velocidad es tangente a la línea de corriente, el subíndice s se puede omitir.
La ecuación de Euler en la dirección de la corriente, con el eje z dirigido
verticalmente, es entonces

98
1 
z V
V
g

V
 s
s t
s
Forma diferencial de las leyes básicas
Para flujo permanente y despreciando las fuerzas de cuerpo, la ecuación de Euler en
la dirección de la corriente se reduce a
1 P
V
 V
 s
s
lo cual indica que una disminución en la velocidad está acompañada por un
incremento en la presión y viceversa.
Para obtener la ecuación de Euler en la dirección de la normal a las líneas de
corriente, se aplica la segunda ley de Newton al elemento de fluido en la dirección de
n. Nuevamente, despreciando las fuerzas viscosas, se obtiene,
P dn 
P dn 


dsdx  g cos  dndxds   a n dndxds
dsdx   P 
P 
n 2 
n 2 


donde  es el ángulo entre la dirección n y la vertical, y an es la aceleración de la
partícula de fluido en la dirección de n. Simplificando la ecuación se obtiene,

P
 g cos    a n
n
Ya que cos β =∂z/∂n, se tiene

1 P
z
g
 an
n
 n
La aceleración normal del elemento de fluido está dirigida hacia el centro de curvatura
de la línea de corriente, en la dirección negativa de n; por lo tanto, en el sistema
coordenado de la Figura 5.4, la aceleración centrípeta se escribe como,
an 
V 2
R
para flujo permanente, donde R es el radio de curvatura de la línea de corriente.
Entonces, la ecuación de Euler normal a la línea de corriente para un flujo permanente
es,
1 P
z V 2
g

 n
R
n
99
Capítulo 5
Si el flujo no fuera permanente, el patrón de la línea de corriente variaría con el tiempo
y en tal caso
an  
Vs2 Vn

R
t
Finalmente, para flujo permanente en un plano horizontal, la ecuación de Euler normal
a la línea de corriente se reduce a,
1 P V 2

 n
R
lo cual indica que la presión se incrementa en una dirección hacia fuera del centro de
curvatura de las líneas de corriente. En regiones donde las líneas de corriente son
rectas, el radio de curvatura, R, de las líneas de corriente es infinito y no hay variación
de la presión en la dirección normal de las líneas de corriente.
5.3.2 Ecuación de Bernoulli
La ecuación de Euler para flujo permanente a lo largo de una línea de corriente está
dada por

1 P
z
V
g
V
s
 s
s
Si una partícula de fluido se mueve una distancia ds a lo largo de una línea de
corriente, entonces
P
ds  dp
s
(el cambio en la presión a lo largo de s)
z
ds  dz
s
(el cambio en la altura a lo largo de s)
V
ds  dV
s
(el cambio en la velocidad a lo largo de s)
Así, al multiplicar la ecuación de Euler por ds se obtiene,

dP
 gdz  VdV
(a lo largo de s)
 gdz  VdV  0
(a lo largo de s)

o
dP

100
Forma diferencial de las leyes básicas
La integración de esta ecuación resulta en,

dP
V2
 gz 
 constante (a lo largo de s)
2

Antes de usar la ecuación anterior se debe conocer la relación entre la presión, P, y la
densidad, . Para el caso especial de flujo incompresible,  = constante, y la ecuación
anterior se convierte en la ecuación de Bernoulli,
P

 gz 
V2
 constante
2
Para emplear la ecuación anterior se deberán observar las siguientes restricciones:
(1) Flujo permanente, (2) Flujo incompresible, (3) Flujo sin fricción y (4) Flujo a lo largo
de una línea de corriente.
La ecuación de Bernoulli es una ecuación poderosa y útil ya que relaciona los cambios
de presión con los cambios de velocidad y elevación a lo largo de una línea de
corriente. Sin embargo, ésta da resultados correctos únicamente cuando se aplica a
un flujo donde son razonables las cuatro restricciones anteriores.
La ecuación de Bernoulli se puede aplicar entre cualquier par de puntos sobre una
línea de corriente, siempre que las otras tres restricciones se satisfagan. El resultado
es,
P1


V12
P V2
 gz1  2  2  gz 2
2
2

(5.5)
donde los subíndices 1 y 2 representan dos puntos cualesquiera sobre una línea de
corriente.
En algunos problemas, el flujo es transitorio con respecto a un marco de referencia,
pero permanente respecto a otro que se mueve en el flujo. Ya que la ecuación de
Bernoulli se derivó mediante la integración de la segunda ley de Newton para una
partícula de fluido, ésta se puede aplicar en cualquier marco de referencia inercial.
La ecuación de Bernoulli fue enunciada por primera vez en palabras por el matemático
suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), en un texto escrito en 1738. Después fue deducida
en forma de ecuación por su asociado Leonhard Euler, en 1775. El término V2/2 se
conoce como la energía cinética, gz como la energía potencial y P/ como la energía
de flujo, todo por unidad de masa. Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli se puede
escribir como una expresión del balance de energía mecánica y se puede enunciar del
modo siguiente:
La suma de las energías cinética, potencial y de flujo de una partícula de fluido es
constante a lo largo de una línea de corriente en el transcurso del flujo
permanente, cuando los efectos de la compresibilidad y de la fricción son
despreciables.
101
Capítulo 5
Las energías cinética, potencial y de flujo son las formas mecánicas de la energía y la
ecuación de Bernoulli puede concebirse como el “principio de conservación de la
energía mecánica”. Esto equivale al principio general de conservación de la energía
para los sistemas que no se relacionan con la conversión de la energía mecánica y
térmica entre sí y, en consecuencia, la energía mecánica y la térmica se conservan
por separado. La ecuación de Bernoulli expresa que, en el transcurso del flujo
permanente e incompresible, con fricción despreciable, las diversas formas de la
energía mecánica se transforman entre sí, pero su suma permanece constante. En
otras palabras, no se tiene disipación de energía mecánica en el curso de ese tipo de
flujos, puesto que no existe fricción que convierta esa energía mecánica en energía
térmica sensible (interna).
Debe recordarse que la energía se transfiere a un sistema como trabajo cuando se
aplica una fuerza a este sistema a lo largo de una distancia. Si se toma en cuanta la
segunda ley de Newton del movimiento, la ecuación de Bernoulli también puede
concebirse como: el trabajo realizado por las fuerzas de presión y de gravedad sobre
la partícula de fluido es igual al aumento en la energía cinética de esa partícula.
Pese a las aproximaciones intensamente restrictivas que se usaron en su deducción,
la ecuación de Bernoulli es de uso común en la práctica, ya que diversos problemas
prácticos de flujo de fluidos pueden analizarse con ella, con exactitud razonable. Esto
se debe a que numerosos flujos de interés práctico en la ingeniería son permanentes
(o, por lo menos, permanentes en sus valores medios), los efectos de la
compresibilidad son relativamente pequeños y las fuerzas netas de fricción son
despreciables en las regiones de interés en el flujo.
5.3.2.1 Presiones estática, dinámica y de estancamiento
La ecuación de Bernoulli determina que la suma de las energías de flujo, cinética y
potencial de una partícula de fluido a lo largo de una línea de corriente es constante.
Por lo tanto, la energía cinética y la potencial del fluido pueden convertirse a energía
de flujo (y viceversa) en el curso del flujo, lo cual hace que cambie la presión. Este
fenómeno puede hacerse más visible cuando se multiplica la ecuación de Bernoulli
por la densidad :
P
1
 V 2   g z  constante (a lo largo de una línea de corriente)
2
(5.6)
Cada término de esta ecuación tiene unidades de presión y, por tanto, cada uno
representa alguna clase de presión:

P es la presión estática (no incorpora efectos dinámicos); representa la presión
termodinámica real del fluido. Ésta es la misma que la presión usada en la
termodinámica y las tablas de propiedades.

V2/2 es la presión dinámica, representa el aumento en la presión cuando el
fluido en movimiento se detiene de manera isentrópica.
102
Forma diferencial de las leyes básicas

 g z es la presión hidrostática, la cual no es presión en un sentido real, porque
su valor depende del nivel de referencia seleccionado; explica los efectos del
aumento, es decir, del peso del fluido sobre la presión.
La suma de la presión estática, la dinámica y la hidrostática se llama presión total.
Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli expresa que la presión total a lo largo de una
línea de corriente es constante.
La suma de la presión estática y la dinámica se llama presión de estancamiento y se
expresa como:
Po  P 
1
V 2
2
(5.7)
La presión de estancamiento representa la presión en un punto en donde el fluido se
detiene totalmente de manera isentrópica. En la Figura 5.5 se muestran las presiones
estática, dinámica y de estancamiento. Cuando la presión estática y de estancamiento
se miden en un lugar especificado, la velocidad del fluido se puede calcular en ese
lugar a partir de la Ec.(5.7); esto es,
V 
2( Po  P)

(5.8)
Figura 5.5 Presiones estática, dinámica y de estancamiento.
La Ec.(5.8) es útil en la medición de la velocidad del flujo cuando se usa una
combinación de una toma de presión estática y un tubo de Pitot, figura 5.6.
103
Capítulo 5
Figura 5.6 Tubo de pitot.
5.3.2.2 Limitaciones en el uso de la ecuación de Bernoulli
Aún cuando la ecuación de Bernoulli tiene una amplia aplicación dentro de la
mecánica de fluidos, es necesario establecer sus limitantes que son:
1. Se aplica únicamente en condiciones de flujo permanente.
2. No se considera la fricción del flujo.
3. No existe trabajo de flecha.
4. Se aplica para flujo incompresible.
5. No existe transferencia de calor.
6. Se considera el flujo a lo largo de juna línea de corriente.
5.3.2.3 Línea de gradiente hidráulico (LGH) y línea de energía (LE)
Frecuentemente es recomendable representar el nivel de energía mecánica en un
flujo gráficamente, usando alturas, con la finalidad de facilitar la visualización de los
diversos términos de la ecuación de Bernoulli. Esto se logra cuando se divide cada
término de la Ec.(5.5) entre g, obteniendo,
p V2

 z  h  constante (a lo largo de una línea de corriente)
g 2 g
(5.9)
Cada término en la Ec.(5.9) tiene dimensiones de longitud y representa algún tipo de
“carga” del fluido que fluye. Los términos individuales son:

104
P/ g es la carga de presión: representa la altura de una columna de fluido que
produce la presión estática P.
Forma diferencial de las leyes básicas

V2/2g es la carga de velocidad: representa la elevación necesaria para que un
fluido alcance la velocidad V durante una caída libre sin fricción.

z es la carga de elevación: representa la energía potencial del fluido.
Así mismo, h es la carga total para el flujo. Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli se
puede expresar en términos de carga como: la suma de las cargas de presión, de
velocidad y de elevación a lo largo de una línea de corriente que es constante en el
transcurso del flujo permanente, cuando los efectos de la compresibilidad y de la
fricción son despreciables.
5.4 Relación entre la primera ley de la termodinámica y
la ecuación de Bernoulli
Considere un volumen de control en un campo de flujo limitado por líneas de corriente
a lo largo de su periferia. Dicho volumen de control, mostrado en la Figura 5.7, se
conoce comúnmente como tubo de corriente.
Flujo
1
VC
2
Líneas de corriente
Figura 5.7 Flujo a través de un tubo de corriente.
La primera ley de la termodinámica establecida para este volumen de control, y sujeta
a las siguientes restricciones:
W e  0 , W c  0 , W o  0 , flujo permanente y propiedades uniformes.
Se reduce a,




V2
V2
Q   u1  P1v1  1  gz1  1V1 A1   u 2  P2 v 2  2  gz 2  2V2 A2 
2
2




mientras que la ecuación de continuidad, conduce a,
m  1V1 A1   2V2 A2
Por otro lado,
105
Capítulo 5
Q Q dm Q
Q 


m
dt dm dt dm
Con esto de la ecuación de la energía,


 
V2
V2
Q  

0   P2 v 2  2  gz 2    P1v1  1  gz1  m   u 2  u1 
m
dm 
2
2



 
o
V12
V22
Q 

P1v1 
 gz1  P2 v 2 
 gz 2   u 2  u1 

2
2
dm 

Si se aplican las restricciones adicionales,
1. Flujo incompresible, v1 = v2 = 1/ ρ = constante
2. (u2 – u1 - Q / dm) = 0
Entonces la ecuación de la energía se reduce a,
P1


V12
P V2
 gz1  2  2  gz 2
2

2
o
P
V2

 gz  constante
 2
(5.8)
La Ec.(5.8) es idéntica en forma a la ecuación de Bernoulli. Ambas ecuaciones se
obtuvieron por caminos diferentes, la ecuación de Bernoulli se derivó de la segunda
ley de Newton y es válida para un flujo permanente incompresible sin fricción a lo
largo de una línea de corriente, mientras que la Ec.(5.8) se obtuvo aplicando la
primera ley de la termodinámica a un volumen de control en un tubo de corriente y
sujeta a las restricciones mencionadas anteriormente.
Es importante observar que la restricción (u2 – u1 – Q / dm) = 0 fue necesaria para
obtener la ecuación de Bernoulli a partir de la primera ley de la termodinámica. Esta
restricción se puede satisfacer si Q / dm = 0 (no hay transferencia de calor hacia el
fluido) y u2 – u1 = 0 (no hay cambios en la energía interna del fluido. La restricción se
satisface también si los valores de u2 – u1 y Q / dm son iguales (diferentes de cero).
Esto se cumple para un flujo incompresible sin fricción, como se demuestra a
continuación.
En general la energía interna u, se puede expresar como u = u(T). De esta manera el
estado termodinámico del fluido se determina únicamente para la propiedad
106
Forma diferencial de las leyes básicas
termodinámica T. El cambio en la energía interna para cualquier proceso, u2 – u1,
depende únicamente de la temperatura en los estados finales.
De la ecuación de Gibbs, Tds = du + pdv, válida para una sustancia pura sufriendo
cualquier proceso, se obtiene,
Tds  du
para un flujo incompresible, ya que dv = 0. Debido a que el cambio en la energía
interna, du, entre estados extremos especificados, es independiente del proceso, si se
considera un proceso reversible para el cual Tds = d(Q / dm) du, se tiene,
u 2  u1 
Q
dm
Para el caso considerado en esta sección es cierto que la primera ley de la
termodinámica se reduce a la ecuación de Bernoulli. Sin embargo, en general, la
primera ley de la termodinámica y la segunda ley de Newton son ecuaciones
independientes que se deberán satisfacer por separado.
107