2 i

Modelo de Regresión Lineal
Múltiple.
Heterocedasticidad.
Dr. Víctor Aguirre
Propósito
„
Estudiar el caso en que la varianza
condicional de Y dado X no sea
constante. Veremos
¿Porqué sucede?
„ Consecuencias sobre el EMC
„ Detección. Prueba de White.
„ Incorporación a la estimación de β
„
Guión 16. Dr. V. Aguirre
2
¿Porqué Sucede?
Ejemplo: Y=Gasto, X= Ingreso.
„ A mayor ingreso mayor gasto. Esta
es una afirmación sobre E(Y|X).
„ Se ha observado que también a
mayor ingreso mayor rango de
elección para gastar. Esta es una
afirmación sobre Var(Y|X).
„
Guión 16. Dr. V. Aguirre
3
¿Porqué Sucede?
E( Y | X )
Y = Gasto
Var( Y | X )
β0
X = Ingreso
Guión 16. Dr. V. Aguirre
4
¿Porqué Sucede?
E( Y | X )
Y = Habilidad Verbal
Var( Y | X )
β0
X = Edad Infante
Guión 16. Dr. V. Aguirre
5
Notación. S2 no se cumple.
„
Homocedasticidad y no correlación.
σ 2 0

0 σ2

Cov( Y | X ) =
 ...

0
 0
„
0

... 0 
= σ 2I
... ... 

... σ 2 
...
Heterocedasticidad y no correlación.
σ 12 0

2
0
σ
2
Cov( Y | X ) = V = 
 ...

0
 0
... 0 

... 0 
≠ σ 2 I ; σ i2 ≠ σ 2j algún i ≠ j
... ... 
2
... σ n 
Guión 16. Dr. V. Aguirre
6
Consecuencias sobre el EMC
„
Proposición 17
Considere β̂ el EMC del modelo de Regresión
Lineal Múltiple. Bajo S1, S3, S4 y S5.
Entonces:
Cov( βˆ | X ' s ) = ( X T X )−1 X T VX ( X T X )−1
Demostración:
[(
Cov( βˆ | X ) = Cov X T X
( )
= (X X )
T
−1
T
−1
= X X
)
−1
XT Y | X
]
T
[(
T
X Cov( Y | X ) X X X
(
X T (V )X X T X
Guión 16. Dr. V. Aguirre
)
)
]
−1 T
−1
7
Modelado de la Varianza
Condicional (White).
„
Tenemos que:
Yi = β 0 + β 1 X i 1 + β 2 X i 2 + ...β 2 X i 2 + ε i
E( Yi | X ) = β 0 + β 1 X i 1 + β 2 X i 2 + ...β 2 X i 2
„
„
Por lo tanto E( ε i | X ) = 0, de donde:
Var( ε i | X ) = E( ε i2 | X ) = σ i2
Entonces White supone un modelo de la
forma (r=2)
E( ε i2 | X ) = γ 0 + γ 1 X i 1 + γ 2 X i 2 + γ 3 X i 1 X i 2
+ γ 4 X i21 + γ 5 X i22
Guión 16. Dr. V. Aguirre
8
Detección. Prueba de
White.
2
ε
„ Pero i es no observable, por lo que se
estima la regresión auxiliar:
ˆε i2 = γ 0 + γ 1 X i 1 + γ 2 X i 2 + γ 3 X i 1 X i 2 + γ 4 X i21 + γ 5 X i22 + ei
„ Para detectar heterocedasticidad se
prueba la hipótesis:
H 1 : algún γ j ≠ 0.
„
Se puede usar la prueba F de significancia
ε i tiene densidad
global, aunque como
2
ε
normal entonces i tiene una densidad
tipo ji-cuadrada.
Guión 16. Dr. V. Aguirre
9
Detección. Prueba de
White.
„
White desarrolló un estadístico que no
depende tanto de la normalidad como el
estadístico F.
W = nRεˆ22
Rεˆ22 = R 2 regresión auxiliar
„
Se rechaza homocedasticidad si:
W > χ α2 ( gl )
gl = número de variables explicativas regresión auxiliar
Valor P = P( χ α2 ( gl ) > W )
Guión 16. Dr. V. Aguirre
10
Ejemplo. Y=Precio de Venta
de Bienes Raíces.
propiedad
1
2
3
4
5
PRECIO
300000
370000
191000
195000
373000
AVALUO
349100
351500
217700
231800
319100
RECAMARAS
4
3
3
3
4
AREA
6126
9903
5200
4600
6095
CONSTRUCC COLONIAL
2438
1
2076
1
1374
0
1448
1
2514
1
Dependent Variable: PRECIO
Method: Least Squares
Date: 11/06/06 Time: 18:58
Sample: 1 88
Included observations: 88
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
AREA
CONSTRUCC
RECAMARAS
COLONIAL
-24126.53
2.075832
124.2375
11004.29
13715.54
29603.45
0.642651
13.33826
9515.260
14637.27
-0.814990
3.230108
9.314370
1.156489
0.937029
0.4174
0.0018
0.0000
0.2508
0.3515
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.675792
0.660167
59876.97
2.98E+11
-1090.297
2.116524
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
293546.0
102713.4
24.89311
25.03387
43.25210
0.000000
Guión 16. Dr. V. Aguirre
11
Variable Explicativa
Indicadora.
„
„
„
La variable COLONIAL indica la presencia (1)
o ausencia (0) de un atributo de la
residencia.
Se le llama también variable muda (inglés:
dummy variable).
Su efecto es cambiar el valor de intercepto al
origen. Si Y=Precio:
„ E( Y | Area ,COL = 1 ) = β 0 + β 1 Area + β 2 = β 0 + β 2 + β 1 Area
„ E( Y | Area ,COL = 0 ) = β 0 + β 1 Area + β 2 ( 0 ) = β 0 + β 1 Area
Guión 16. Dr. V. Aguirre
12
Variable Explicativa
Indicadora.
Y = Pr ecio
E( Y | Area ,COL = 1 )
β0 + β 2
E( Y | Area ,COL = 0 )
β0
X = Area
Guión 16. Dr. V. Aguirre
13
Prueba de White. Precio de
Venta de Bienes Raíces.
Prueba de White, con Eviews, sin términos cruzados.
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic
Obs*R-squared
3.784349
21.89078
Probability
Probability
0.001353
0.002653
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 11/06/06 Time: 19:04
Sample: 1 88
Included observations: 88
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
AREA
AREA^2
CONSTRUCC
CONSTRUCC^2
RECAMARAS
RECAMARAS^2
COLONIAL
-3.17E+09
643384.3
-5.044871
-13941255
2885.194
8.30E+09
-8.18E+08
-2.19E+09
1.17E+10
260630.1
2.844358
8583859.
1790.014
5.04E+09
6.11E+08
1.70E+09
-0.270411
2.468573
-1.773641
-1.624124
1.611828
1.645180
-1.338074
-1.285266
0.7875
0.0157
0.0799
0.1083
0.1109
0.1039
0.1847
0.2024
R-squared
0.248759
Mean dependent var
gl=7
3.38E+09
Guión 16. Dr. V. Aguirre
14
Ejemplo. Y=Precio de Venta
de Bienes Raíces.
5.E+10
4.E+10
ε̂ i2
3.E+10
2
DI
S
E
R
2.E+10
1.E+10
Ŷ
0.E+00
i
100000 200000 300000 400000 500000 60000
PRECIOF
Guión 16. Dr. V. Aguirre
15
Incorporación a la
estimación.
White propone estimar V con
εˆ 12 0

2
ˆ
0
ε
2
V̂ = 
 ...

 0 0
... 0 

... 0 
... ... 
2
ˆ
... ε n 
para después estimar
−1
T
ˆ
Cov̂( β | X ) = X X X T V̂X X T X
(
)
(
)
−1
→ Cov( βˆ | X )
nótese que βˆ sigue siendo el EMC.
Guión 16. Dr. V. Aguirre
16
Ejemplo. Y=Precio de Venta
de Bienes Raíces.
Dependent Variable: PRECIO
Method: Least Squares
Date: 11/06/06 Time: 19:15
Sample: 1 88
Included observations: 88
White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
AREA
CONSTRUCC
RECAMARAS
COLONIAL
-24126.53
2.075832
124.2375
11004.29
13715.54
37777.60
1.292263
17.83555
9258.737
16429.75
-0.638646
1.606354
6.965723
1.188531
0.834799
0.5248
0.1120
0.0000
0.2380
0.4062
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.675792
0.660167
59876.97
2.98E+11
-1090.297
2.116524
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Estimación sin tomar
en cuenta heterocedasticidad.
Estimación tomando
en cuenta heterocedasticidad.
293546.0
102713.4
24.89311
25.03387
43.25210
0.000000
Dependent Variable: PRECIO
Method: Least Squares
Date: 11/06/06 Time: 18:58
Sample: 1 88
Included observations: 88
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
AREA
CONSTRUCC
RECAMARAS
COLONIAL
-24126.53
2.075832
124.2375
11004.29
13715.54
29603.45
0.642651
13.33826
9515.260
14637.27
-0.814990
3.230108
9.314370
1.156489
0.937029
0.4174
0.0018
0.0000
0.2508
0.3515
Guión 16. Dr. V. Aguirre
17