Valores Esperados Matriciales.

Valores Esperados
Matriciales.
Dr. Víctor Aguirre
Propósito
„
Generalizar las propiedades de
valores esperados, varianzas y
covarianzas de la notación escalar a
la notación matricial.
Guión 8. Dr. V. Aguirre
2
Valor Esperado Vectorial.
 EV1 
 V1 

 

1. Si V =  ...  entonces E( V ) =  ... 
 EV 
V 
 p
 p
 a1 
 
T
T
2. Si a =  ...  = vector de constantes, entonces E( a V ) = a E( V )
a 
 p
Guión 8. Dr. V. Aguirre
3
Ejemplo 1.
 V1 
 5 
 
 
Sea V = V2  con E( V ) =  − 3  y Z = V1 + 10V2 + 20V3
V 
 2 
3
 
 
1
 
T
deseo E( Z ) . Si a =  10  entonces Z = a V
 20 
 
 5 
 
T
∴ E( a V ) = (1 10 20 ) − 3  = 15
 2 
 
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4
Valor Esperado Vectorial.
La propiedad 2 generaliza
E( aX ) = aE( X ) = aEX a = constante y
E( X + Y ) = EX + EY
3. Si A = matriz de constantes, entonces E( AV ) = AE( V )
4. Si B = matriz de constantes, entonces E( V B ) = E( V )B
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5
Ejemplo 2.
 V1 
 5 
 
 
− 1
1 0
Si V = V2  con E( V ) =  − 3  y A = 

−
1
2
1


V 
 2 
 3
 
 V1 − V3 
 Z1 
 entonces
Z =   = AV = 
 Z2 
V1 − 2V2 + V3 
 5 
− 1   3   EZ 1 
1 0

E( Z ) = 
 − 3  =   = 

1 − 2 1  2   13   EZ 2 
 
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Matriz de Varianza
Covarianza.
5. Sea V un vector aleatorio p dimensional, se define
Cov( V1 ,V2 )
 Var( V1 )
 Cov( V ,V )
Var( V2 )
2
1

Cov( V ) =

...
...

Cov( V p ,V1 ) Cov( V p ,V2 )
... Cov( V1 ,V p )
... Cov( V2 ,V p )

...
...

... Var( V p ) 
Si det{Cov( V )} ≠ 0 entonces debe ser positiva definida
(⇔ todos los p menores principales son positivos).
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Ejemplo 3.
 V1 
 5 
1 1 1 
 
 
Si V = V2  con E( V ) =  − 3  y Cov( V ) = 1 3 2 
V 
 2 
1 2 4 
 3
 
primer menor principal = 1 = det [1]
1 1
segundo menor principal = 2 = det 

1
3


1 1 1 
tercer menor principal = 5 = det 1 3 2 
1 2 4 
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8
Varianza de una
Combinación Lineal.
 a1 
 
6. Si a =  ...  = vector de constantes, entonces
a 
 p
T
T
Var( a V ) = a Cov( V )a
Esta propiedad generaliza
Var( aX + bY ) = a 2Var( X ) + b 2Var( Y ) + 2 abCov( X ,Y )
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Ejemplo 4.
1
 
T
Si Z = V1 + 10V2 + 20V3 = a V con a =  10 
 20 
 
entonces
1 1 1 1 
 
T


Var( a V ) = (1 10 20 ) 1 3 2  10  =
1 2 4  20 
 31 


= (1 10 20 ) 71  = 2761
 101


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Matriz de Covarianza de
una Transformación Lineal.
7. Si A = matriz de constantes, dim{ A } = m × p entonces
Cov( AV ) = ACov( V ) AT
dim{ Cov( AV )} = m × m
Si A es de rango completo de renglones, entonces la matriz
resultante debe ser positiva definida también.
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Ejemplo 5.
− 1
 V1 − V3 
 Z1 
1 0

Z =   = AV = 
Si A = 

1 − 2 1 
 Z2 
V1 − 2V2 + V3 
entonces
1
Cov( Z ) = 
1
1
=
1
1 
1 1 1 1
0
− 1 
 0

1
3
2
2
−


− 2 1  
1 2 4  − 1 1 
0 
0
0
− 1 
 3 − 1

− 1 − 3 = 



1
7
−2 1 
−

− 3 1  
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