Un enfoque basado en la descomposición en valores singulares

Ingeniería Industrial. Actualidad y Nuevas Tendencias Año 3, Vol. II, N° 4 ISSN: 1856‐8327 65
Un enfoque basado en la descomposición en valores singulares generalizada para el biplot de coeficientes de regresión An Approach Based on the Generalized Singular Value Decomposition for the Biplot of Regression Coefficients Willin Álvarez Irausquín, Olesia Cárdenas Cárdenas Palabras Clave: Biplots de coeficientes de regresión, Descomposición en valores singulares generalizada, Biplot generalizado Key Words: Biplot of the regression coefficients matrix, Singular value escomposition generalized, Biplot generalized RESUMEN ABSTRACT
En este ensayo se discuten las propiedades del biplot de la matriz de coeficientes de regresión utilizando la descomposición en valores singulares generalizada. Además, se muestra la conexión de las teorías del análisis de correlación canónica y el análisis de redundancia con esta técnica de representación multivariante. En particular, se consideró al GH Biplot y su interpretación con una matriz de pesos específica. Se demuestra que se puede utilizar un plano para representar conjuntamente a las variables independientes ponderadas y la estructura de correlaciones de las variables dependientes; este plano visualiza aproximadamente los valores de los coeficientes de regresión por medio de producto interior. Esta metodología puede ser incorporada a los estudios de la ingeniería industrial aplicada a ergonomía, calidad, logística e industria de alimentos, tal y como se ha hecho con otras técnicas de análisis de datos basadas en los biplot. The properties of biplot of the regression coefficients matrix using the generalized decomposition in singular value are discussed in this paper. Furthermore, it is shown the link between canonical correlation analysis and the redundancy analysis with the biplot of the regression coefficients matrix. In particular, the GH Biplot and the interpretation with specific weight matrix are studied. It is demonstrated that a joint plot of the weights of independent variables and structure correlations of dependent variables can be used to represent the independent variables and the structure of de dependent ones: this plot displays the approximate values of the regression coefficients by a scalar innerproducts. This methodology can be incorporated into of industrial engineering studies applied to ergonomics, quality, logistics and food industry, as has been done with other data analysis techniques based on the biplot. Álvarez & Cárdenas. Un enfoque para el Biplot de Coeficientes de Regresión, p.65‐74
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posible interpretar sobre la representación gráfica las relaciones entre las variables, Estadísticamente el análisis así como a sus estadísticos t asociados. multivariante de datos puede llevarse a cabo según la corriente inferencial clásica a PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA través del ajuste de modelos, o bien, siguiendo la corriente exploratoria Una representación biplot desde la descriptiva por medio de la aproximación perspectiva del análisis asimétrico gráfica en baja dimensión. considera la relación entre dos conjuntos En la corriente exploratoria descriptiva, de variables por medio de una Regresión las técnicas de análisis multivariante Multivariante de Y sobre X usando el tienen como objetivo hallar un espacio modelo descrito por Ter Braak (1990): óptimo de dimensión reducida, Y = X + E (1) generalmente bidimensional, tal que se puedan visualizar sobre un gráfico la Con X de orden (nxp) y Y de orden matrices que contienen naturaleza de las relaciones entre y dentro (nxq) de conjuntos de individuos y variables. observaciones de n unidades para p Los métodos biplot son muy utilizados variables independientes y q variables como técnicas multivariantes descriptivas, dependientes, respectivamente,  la ya que permiten visualizar gráficamente matriz de orden (pxq) de coeficientes de con alta confiabilidad, las relaciones de regresión y E la matriz de orden (nxq) de conjuntos de datos. Clásicamente, los errores aleatorios. biplot realizan la aproximación de la La representación gráfica se realiza a matriz de datos por medio de su partir de la factorización biplot (Gabriel, descomposición en valores singulares, 1971) de las estimaciones de mínimos considerando un papel simétrico entre las cuadrados ordinarios de los coeficientes variables, o sea, sin establecer de regresión del modelo (1), como: diferenciación entre dependientes e Θ̂ = AB´ (2) independientes. Las representaciones biplot desde la donde A y B son matrices de de ordenes perspectiva del Análisis No Simétrico (pxr) y (qxr), respectivamente. Si se toma (Lauro, 2004) pueden enriquecerse si se adecuadamente r = 2 con el fin realizar obtienen a través de aproximaciones representaciones biplot, a partir de (2), las mínimo cuadráticas como en los modelos propiedades del plano generado permiten de regresión lineal multivariante, en cuyo realizar las siguientes interpretaciones: el entre los marcadores caso se pueden adaptar las ideas expuestas ángulo a las variables por Ter Braak en 1990 al proponer una correspondientes independientes y las variables representación biplot de la matriz de coeficientes de regresión, con la cual es dependientes, indican el signo del Álvarez & Cárdenas. Un enfoque para el Biplot de Coeficientes de Regresión, p.65‐74
Ingeniería Industrial. Actualidad y Nuevas Tendencias coeficiente de regresión respectivo, la distancia euclidea entre dos variables dependientes coincide con la distancia euclidea entre dos marcadores columnas, si las variables están estandarizadas, la longitud de un vector para una variable dependiente es igual a su correlación múltiple y el coseno del ángulo entre dos marcadores columna aproxima la correlación entre las variables dependientes (ver Álvarez, 2009). La exposición anterior muestra al biplot de la matriz que contiene a las estimaciones de los coeficientes de regresión, llamados aquí Biplot de Coeficientes de Regresión (BCR), como una metodología idónea para realizar representaciones gráficas bajo el enfoque asimétrico. Sin embargo, en la bibliografía que trata a estos biplot no se demuestran o verifican las propiedades que se mencionaron anteriormente. Aunque, en la teoría tratada originalmente por Ter Brak en 1990 se parte de la imposición de matrices de pesos sobre la función de pérdida, en atención a esto, se presume que al igual que los biplot generalizados la teoría de los biplot de los coeficientes de regresión puede enfocarse mediante la descomposición en valores singulares generalizada, en cuyo caso estos últimos son un caso particular de los primeros. Otros enfoques del análisis biplot han sido utilizados dentro de la industria de alimentos y agronomía (Demey 2008 y Chavanne 2007), pudiendo entonces adaptar a los BCR a los problemas de ingeniería industrial. Año 3, Vol. II, N° 4 ISSN: 1856‐8327 67
Biplot de coeficientes de Regresión Cuando las relación entre los dos conjuntos de variables es asimétrica, se parte de una regresión multivariante de Y sobre X usando el modelo (1), pero considerando a ´ (la transpuesta de la matriz de coeficientes de regresión) se tiene que: Θ̂ ´ =[(X´X )‐1X´Y ]´ = [Rxx‐1Ryx]´ (3) Θ̂ ´ = Ryx Rxx‐1 (4) Una forma de caracterizar a Θ̂ ´ es mediante un plano, aprovechando así las herramientas del Análisis de Datos Multivariante a través de un biplot, en tal sentido, la matriz Θ̂ ´ puede factorizarse en la forma A0B0´, siendo A0 y B0 matrices de orden q x r y p x r, respectivamente (Ter Braak, 1990). Para realizar la aproximación gráfica, se utiliza una aproximación por mínimos cuadrados ponderados usando como matriz de pesos a la inversa de la matriz de covarianza estimada de Θ̂ ´ (esto permite considerar, además de los errores estándar, a las estimaciones de su covarianza). El estimado de la i‐ésima fila y la j‐ésima columna de la matriz de covarianza de Θ̂ ´ es (n‐p‐1)‐1 sij Rxx‐1 (Anderson, 1984, p.291), donde sij es el (i,j) elemento de la suma de cuadrados dada a continuación: Se=Ryy ‐ Ryx Rxx‐1Rxy (5) De allí que la función de pérdida está dada por: Álvarez & Cárdenas. Un enfoque para el Biplot de Coeficientes de Regresión, p.65‐74
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Se ‐1/2 ( Θ̂ ´ ‐ A0 B0´) Rxx1/22= señaladas (Ter Braak y Looman, 1991; Álvarez, 2009). Segundo, el análisis  Se ‐1/2 Ryx Rxx‐1/2 – (Se ‐1/2 A0 ) ( Rxx1/2 B0 )´  (6) efectuado se ejecuta sobre Θ̂ ´ , es decir, se ~
El mínimo se obtiene de la DVS, busca el mínimo de Θ ´=Se ‐1/2 Θ̂ ´ Rxx1/2, como: ~
donde Θ es la matriz de los coeficientes de Se ‐1/2 Θ̂ ´ Rxx1/2 = UD V´ (7) regresión generalizada. Esta última donde U y V son matrices ortogonales de orden q x t y p x t que contienen a los vectores singulares, y D una matriz diagonal con los valores singulares ordenados en forma decreciente sobre la diagonal (1  2…... t  0). El mínimo de (6) es por lo tanto 1+ 2+….+ t , el cual se consigue ajustando el miembro de la izquierda en (7) por medio de la DVS. expresión puede escribirse, transponiendo y sustituyendo a la matriz de pesos Se ‐1/2 por la matriz , además en algunos problemas el interés del investigador puede basarse en análisis de datos centrados (o datos brutos) en cuyo caso se puede sustituir Rxx1/2 por (X´X) 1/2; por consiguiente, para ejecutar aproximaciones biplot en forma más general, se busca el mínimo de la expresión: ~
Biplot de coeficientes de Regresión bajo Θ
= (X´X)1/2 Θ̂  (8) la perspectiva de los biplot Antes de continuar con la formalización de generalizados. los biplot de coeficientes de regresión Esta teoría puede enriquecerse si se como biplot generalizados, se hace introducen algunos elementos adicionales referencia a la descomposición en valores de los biplot generalizados, lo cual singulares generalizada (DVSG). permitiría entre otras cosas determinar las propiedades de los BCR. En tal sentido, La Descomposición en Valores Singulares deben destacarse algunos aspectos de lo Generalizada que se ha tratado hasta el momento. Primero, cuando se introduce a Se como matriz de pesos en (6), debe quedar claro que es posible introducir otras matrices con tales fines, además ésta debe ser elegida convenientemente para aportar las mejores propiedades posibles al biplot que se utilice, respondiendo a tal consideración se puede tomar una matriz genérica  con las características antes Para una matriz Q de orden (mxn), la generalización de la descomposición en valores singulares, considera el uso de dos matrices definidas positivas, M de orden (mxm) y N de orden (nxn), respectivamente. Estas dos matrices expresan restricciones impuestas sobre sobre las filas y columnas de Q. Formalmente, M es la matriz de restricciones para las filas de Q y N es la Álvarez & Cárdenas. Un enfoque para el Biplot de Coeficientes de Regresión, p.65‐74
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~
~
matriz de restricciones para las columnas V  N V = V´ N ‐1/2 N N ‐1/2 V= V´V = I (15) de Q. Biplot Generalizado de Θ̂ La matriz Q se descompone como: Como se señaló anteriormente la ~D
~ V~´
U
(9) Q=
formalización del biplot de coeficientes de ~
~
~
~
regresión como un biplot generalizado, se donde U´MU  V´NV  I ejecuta por medio de la DVSG, por tal En otras palabras, los vectores motivo (8) puede minimizarse usando los singulares generalizados son ortogonales mismos pasos a partir de (9), y así: bajo las restricciones impuestas por M y N. ~
Θ
=(X´X)1/2 Θ̂ =UDV´ (16) Esta descomposición es obtenida  1 ~ 1
2
como el resultado de la descomposición en De donde: ( X´X ) ΘΓ  Θˆ por lo que valores singulares estándar. (X´X )  1 2 UDV´ Γ 1  Θˆ
. Primeramente, se define como: 1
~
2
= M 1/2 Q N 1/2, y por lo tanto En consecuencia: U  ( X´X ) U y Q= M ‐1/2 N ‐1/2 (10) V~  Γ 1V (17) Se calcula la DVS estándar de Por lo tanto las matrices que definen = UDV´ (11) las métricas son M = X´ X y N = = 2, ya que se cumple, lo siguiente: donde: U´U= V´V=I U~ ´M U~ = Las matrices de autovectores generalizados se obtienen como: U~ = M ‐1/2U y V~ = N ‐1/2 V (12) (U)´(X´X)‐1/2(X´X)(X´X)‐1/2U=I (18) ~
~
y, V ´N V =V´‐12‐1V=I (19) La matriz diagonal de valores Luego, la factorización Biplot de la singulares D de es igual a la matriz de matriz estimada de coeficientes de ~
valores singulares de Q, esto es: D = D. regresión, está dada por: ~~ ~
En efecto: Q = UDV´ , usando a Θ̂ =( X´ X )‐1/2(UDV´) ‐1= (10) y sustituyendo a por (11) [(X´X)‐1/2UDc][‐1VD1‐c]´=AB´ (20) Q= M‐1/2 N‐1/2 = M‐1/2UDV´ N‐1/2 donde: ~
~
= U D V (13) A=(X´X)‐1/2UDc y B=‐1VD1‐c (21) Además se tiene que: A partir de la factorización ~
~
U  M U = U´ M ‐1/2 M M ‐1/2 U = encontrada en (21), se pueden definir los biplot clásicos de Gabriel (1971), para los U´U = I (14) Álvarez & Cárdenas. Un enfoque para el Biplot de Coeficientes de Regresión, p.65‐74
Año 3, Vol. II, N° 4 ISSN: 1856‐8327 Ingeniería Industrial. Actualidad y Nuevas Tendencias BCR, escogiendo el valor de c en la factorización de la siguiente manera: 70
Propiedades: 1. El producto escalar de las columnas de Θ̂ bajo la métrica M coincide con el Si c=1, entonces se referirá al biplot de coeficientes de regresión para el caso JK‐
Biplot. producto escalar de los marcadores columna: A=(X´X)‐1/2UD y B=‐1V (22) Prueba: Θ̂ ´ M Θ̂ = (AB´)´ M (AB´) = Si c=0, entonces se referirá al biplot de BA´MAB´=BB´ de donde coeficientes de regresión para el caso GH‐
θj´ M θk = bj´ bk Biplot. Esta prueba también se puede realizar A=(X´X)‐1/2U y B=‐1VD (23) considerando a Ŷ=X Θ̂ = XAB´, como se Si c=1/2, entonces se referirá al biplot muestra: de coeficientes de regresión para el caso Prueba: Ŷ ´Ŷ = (XA B´)´(XA B´) = SQRT‐Biplot. BA´X´ XA B´= BA´MA B´= BB´ de donde A=(X´X)‐1/2UD1/2 y B=‐1VD1/2 (24) ŷj´ŷ k= bj´ bk Un enfoque similar se puede conseguir Estas dos pruebas evidencian además que el en una análisis simétrico utilizando el producto escalar de las columnas de Ŷ coincide biplot de correlación canónica (Cárdenas, con el producto escalar de las columnas de Θ̂
2000 y Cárdenas y Galindo, 2004). bajo la métrica M. Propiedades del Biplot de Coeficientes de Por otro lado, Si se parte del Regresión. principio de que las variables están Las propiedades de los marcadores filas centradas se tiene que: y columnas de la factorización dada en (23) para la matriz de los coeficientes estimados de regresión cuando c = 0, es decir, en el caso del GH‐Biplot, se verifican como sigue. Marcadores Columnas del Biplot de Θ̂ 2. Cuando las variables están centradas estamos en presencia del Biplot de Componentes Principales, por lo tanto, la longitud al cuadrado de los marcadores columnas aproxima la varianza las variables dependientes: Los marcadores columnas de Θ̂ , para el GH‐Biplot están dadas por B  Γ 1VD , bajo la métrica U~ ´M U~ =I y Prueba: En efecto: S = Ŷ ´Ŷ/(n‐1) ~
M= X´X, es decir, U =(X´X)‐1/2 U=A, luego entonces S = BB´/(n‐1). la métrica se puede expresar como A´MA=I. Álvarez & Cárdenas. Un enfoque para el Biplot de Coeficientes de Regresión, p.65‐74
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Ahora bien se tiene que: S = [Ŷ ´/ (n‐1)½] Prueba: Como Ŷ= UDV´ S = Ŷ ´Ŷ/(n‐1)= VD2 V´/(n‐1), de manera que, [Ŷ/ (n‐1)½]  sjk = [yj / (n‐1)½]´ [yk / (n‐1)½] Luego; sjk = bj´ bk /(n‐1) tr(Ŷ ´Ŷ)= tr(VD 2 V´)= tr(D 2 V´V) De lo anterior se deriva que: sjj = bj´ bj /(n‐1)= ║bj║2/(n‐1)= ║yj║2/(n‐1) q

i
= tr(D 2 ) = i 1
 [(n‐1)sjj) ] = ║bj║=║yj║=sj ½
r
luego; CRC =
3. El coseno del ángulo entre dos marcadores columna aproxima la correlación entre las variables dependientes: 
i
i 1
q

*100 . i
i 1
6. Si las variables están estandarizadas la longitud de un marcador columna aproxima al coeficiente de correlación múltiple. Prueba: cos(α)=<bj , bk > / (║bj║║bk║)= bj´ bk / (║bj║║bk║) = sjk/ sj sk= rjk Prueba: Sea y(j) = X + e(j) = + e(j), por 4. La distancia euclidea entre dos vectores columnas coincide con la distancia definición el coeficiente de determinación ŷ ŷ
euclidea entre dos marcadores múltiple está dado por = (j) ´ (j)
,
columnas. / y(j)´ y(j) y como las variables están estandarizadas entonces: y(j)´ y(j)=1. Prueba: d2(bj , bk)= (bj ‐ bk)´ (bj ‐ bk)= =║bj║2 +║bk║2‐ 2< bj , bk > =║yj║2 +║yk║2‐ 2< yj , yk >= d2(yj , yk) 5. La Calidad de representación de las columnas se mide por: CRC=
r

i 1
q

i 1
Así *100
,
ŷ (j) ŷ (j)
´ =║
Por lo tanto: ,
ŷ (j)
║2 =║
ŷ (j)
║ = ║bj║ donde: i
= ,
,
es el coeficiente de correlación múltiple. i
. Marcadores Filas del Biplot de Θ̂ Propiedad: Álvarez & Cárdenas. Un enfoque para el Biplot de Coeficientes de Regresión, p.65‐74
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Este resultado indica que la El producto escalar de las filas de Θ̂ bajo la métrica M coincide con el producto escalar de introducción de la métrica M en el espacio los marcadores filas. columnas de la matriz Θ̂ , induce automáticamente un producto interno con La prueba de esta propiedad, necesita ‐1 primeramente, atender algunas premisas la métrica ( Θ̂ ´M Θ̂ ) en el espacio de las filas. En forma matricial: Θ̂ ( Θ̂ ´M Θ̂ )‐1 Premisa 1: Sea L una matriz de orden n Θ̂ ´= AA´. con autovalores 1, 2,……,n. Si L es una El GH‐Biplot de Coeficientes de matriz no singular, entonces L‐1 tiene Regresión y la matriz de peso . autovalores iguales a 1/1, 1/2,…,1/n y si Una vez que se han determinado las además es simétrica: L‐1= CD ‐1C´, donde C propiedades del GH‐Biplot, se deben es una matriz cuyas columnas son los interpretar a sus marcadores filas y autovectores ortonormalizados de L y D ‐1 columnas cuando se introduce a la matriz es una matriz diagonal que contiene a 1/1, de peso . Así se tiene que: 1/2, …,1/n (Rencher, 2002, p.36) . 1. Si  = I entonces: B = VD y A= Rxx ‐
1/2
U, estamos en presencia del Premisa 2: La matriz B es de rango análisis de redundancia, y el biplot completo por columnas, es decir, rango(B) de Θ̂ , se puede interpretar como un = r. En consecuencia, la DVS de B está GH‐Biplot Clásico, o sea sus filas dada por: B= UDV´, y entonces, la DVS de aproximan como pesos canónicos B B´=UDV´VDU´=UD 2U´. de las variables independientes (Ter Braak, 1990, p.522), y sus columnas reproducen las relaciones entre las Premisa 3: De las premisas 1 y 2, se variables originales Y (Ter Braak, tiene que (BB´)‐1 = U(D 2)‐1 U´= UD ‐2U´; 1990, p.522 y Gittins, p. 18) entonces: B´(BB´)‐1B = VDU´UD ‐2U´ del álgebra lineal. UDV´=Ir Prueba: Como se sabe las filas de la matriz Θ̂ pertenecen al espacio generado por las columnas de la matriz B. Es decir: i = Bai (i = 1,2,.., n), y así: i´( Θ̂ ´M Θ̂ )‐1s = ai´ B´( BB´ )‐1 Bas = ai´ 2. Si  = Ryy ‐1/2 entonces: B = Ryy1/2VD y A= Rxx ‐1/2U. De manera que, A contiene los pesos canónicos de las variables independientes, y B contiene las correlaciones interset de las variables dependientes (Ter Braak, 1990, p.522 y Gittins, p. 18). as . Álvarez & Cárdenas. Un enfoque para el Biplot de Coeficientes de Regresión, p.65‐74
Ingeniería Industrial. Actualidad y Nuevas Tendencias CONCLUSIONES
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La estructura y propiedades de los biplot de coeficientes de regresión se determinan insertando matrices de pesos en sus filas o columnas, usando para ello las bondades de la descomposición en valores singulares generalizada. En particular, al considerar las propiedades del GH biplot y su interpretación con una matriz de pesos específica, se determinó que si se usa como matriz de pesos a la identidad, es posible interpretar a los coeficientes de regresión por medio de un análisis de redundancia, y en tal sentido en el GH‐
Biplot de coeficientes de regresión las filas representan los pesos canónicos de las variables independientes y sus columnas reproducen a las columnas de las variables dependientes. Por otro lado, al escoger REFERENCIAS Año 3, Vol. II, N° 4 ISSN: 1856‐8327 como matriz de pesos la inversa de la matriz de correlaciones de las variables dependientes, los marcadores filas contienen a los pesos canónicos de las variables independientes, mientras que, los marcadores columnas determinan las correlaciones interset de las variables dependientes. Este biplot permite explicar las interrelaciones de las variables dependientes y determinar la importancia de las independientes en la predicción de los modelos de regresión. Esta metodología puede ser utilizada como herramienta para la interpretación de datos en el campo de la ingeniería industrial tal y como se ha realizado para otros enfoques de los biplots.
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Investigador en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad Central de Venezuela, Caracas, Venezuela. E‐mail: [email protected] Recibido: 16/03/2010 Aceptado: 29/05/2010 Álvarez & Cárdenas. Un enfoque para el Biplot de Coeficientes de Regresión, p.65‐74