H18

MATEMATICAS. 1er Curso de QUIMICA.
HOJA de ejercicios H18: Modelos en forma de EDs.
6/ 4/ 2011
Se trata ahora
de aplicar a varios ejemplos las ideas generales estudiadas: en primer
%------------------------------------------------------------------X 14 lugar,
ABR formular las ED
que en cada caso describan el fenómeno; tratar entonces de ver la estructura de las soluciones, ayudándose
?? 19.1 de
> ideas
Se trata
ahora deLineal
formular
modelosseenpueda,
forma encontrar
de ecuaciones
diferenciales.
de sus simetrı́as,
de Algebra
. . . Cuando
fórmulas
para sus soluciones.
En
cada
ejemplo,
el
objetivo
esencial
es
llegar
a
la
ED
y
entender
qué
estructura
tiene.estos dı́as.
A estos 7 ejemplos, vistos el Curso pasado, añadimos alguno más, para ilustrar ideas expuestas
Sólo en segundo plano, el de explicitar sus soluciones, si nuestros métodos lo permiten.
(1) Los átomos de un isótopo radioactivo pueden en cualquier momento transformarse en
otro tipo de átomo; por ejemplo, el Uranio-238 emite una partı́cula α y se convierte en
Torio-234; la frecuencia con la que eso le ocurre a algún átomo de una muestra dada, es
proporcional, con una cierta constante p , al número de átomos de 238 U aún presentes.
a) Si x(t) es la masa restante de 238 U en el instante t , deducir una ED para x(t) .
b) En consecuencia, expresar x(t) en relación con la masa inicial x(0) , y hallar la relación
que hay entre p y la vida-media H de ese isótopo: el tiempo en el que x(H) = x(0)/2 .
(2) Supongamos dos sustancias que, mezcladas en una probeta, van formando un compuesto
C en una reacción irreversible (es decir, tal que la velocidad de la reacción inversa es
despreciable). La masa x del compuesto utiliza masas ax, bx de los dos reactivos, con
a + b = 1 , y la reacción responde a la ley de acción de masas: la velocidad de formación
del compuesto es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
a) Deducir una ED para la masa x(t) del compuesto, suponiendo masas A0 a, B0 b de los
reactivos al comienzo, cuando x = 0 (todas esas constantes son parámetros de la ED).
b) Observar qué va a ser distinto si se cumple o si no se cumple la igualdad A0 = B0 .
(3) En el ejemplo (1), lo que suele haber es transformaciones sucesivas: por ejemplo el 234 Th
puede emitir a su vez una partı́cula β y convertirse en Protactinio-234.
a) Si es q constante de proporcionalidad que da el ritmo de desaparición del 234 Th , dar
para la masa restante y(t) de este isótopo una ED que tenga en cuenta el ritmo al que
se destruye el 234 Th y el ritmo al que se crea, controlado por la x(t) del ejemplo (1).
b) Buscar para esa ED una solución particular que sea de la forma y(t) = cx(t) , con c
constante, y observar la relación que hay entre c y las constantes p, q .
(4) Sea p(x) la presión atmosférica a altura x sobre cierto punto de la Tierra en este instante.
Supongamos (esto es ya una simplificación) que cada p(x) es la presión producida por el
peso de la “columna de aire” que soporta. Formular dos modelos de ED para p(x) :
a) Si la densidad del aire en cada altura x fuese proporcional a p (es decir pV = cte).
b) Si para temperaturas T (x) dadas, fuese pV = RT : densidad proporcional a p/T .
(5) La ED del oscilador armónico es la siguiente: x�� (t) = −ω 2 x(t) .
a) Deducir que la función E(t) = ω 2 x(t)2 + v(t)2 , donde v(t) = x� (t) es la velocidad, se
mantiene constante (salvo un factor constante, E es la energı́a total, que se conserva).
b) Utilizar la igualdad E = c para deducir que x(t) cumple una cierta ED de orden 1,
en la que la constante c es un parámetro.
(6) a) Hallar la ED que cumplirı́a la distancia r(t) al centro de la Tierra de un proyectil
que sale verticalmente de su superficie, si sólo estuviese sujeto a la atracción terrestre,
proporcional a 1/r2 (llamar g a la constante gravitatoria, R al radio de la Tierra).
b) Deducir que se conserva la E = −gR2 /r + v 2 /2 , y hallar la “velocidad de escape”
ve : la que deberá tener el proyectil al despegar para que tenga v ↓ 0 cuando r ↑ ∞ .
(7) La ED x�� (t) = − sen(x) es1 la del ángulo que forma un péndulo con la vertical.
a) Deducir una fórmula E para su energı́a total conservada.
b) Usarla para deducir una ED de orden 1 para x(t) , con E = c como parámetro.
1 Deberı́a
llevar además algún factor constante, pero éste puede suprimirse usando la unidad de tiempo adecuada.
(8) Considerar un proceso quı́mico como el descrito en 7.3.7 del libro de Cockett/ Doggett: una reaccción
A ←→ B → C , pero en la que esta vez el paso A → B es reversible; las constantes (rates) son:
k12 para A → B ,
k21 para B → A ,
k23 para B → C .
(9) Y esta vez un circuito cerrado con una resistencia R, un condensador C y una inductancia L en serie.
La función cuya ED buscamos es la carga q(t) del condensador.