Estudio de probabilidades de caída en conos y cilindros

ESTUDIO DE PROBABILIDADES DE CAIDA
EN CONOS Y CILINDROS
Bachillerato Internacional - Gaztelueta
Monografía de matemáticas
MIKEL PÉREZ CERRATO
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ESTUDIO DE PROBABILIDADES DE CAIDA
EN CONOS Y CILINDROS
A. Objetivo de la investigación:
B. Estudio de la probabilidad de los casos generales:
1. Cono
- Casos en los límites
2. Cilindro
- Caso de h=2r
- Caso en los límites
C. Estudio de caso real, conclusión:
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A. Objetivo de la investigación:
El objetivo de este trabajo de investigación es contrastar hechos de la vida real
mediante estudios matemáticos y cálculos de probabilidades. Para ello, he elegido
investigar cuál es la probabilidad de que cuando se cae un bote de pastillas de forma
cilíndrica al suelo, estas caigan de canto. Me parece un estudio interesante debido a que,
a primera vista, parece un suceso inviable o muy fortuito, pero que puede ser mucho
más común de lo que se cree.
En un primer lugar, he decidido calcular qué probabilidad existe de que, al
lanzar ciertas figuras geométricas, estas caigan de una manera concreta. De este modo
hallaríamos una serie de conceptos generalizados que podremos aplicar más adelante
para explicar el caso real de la investigación. En concreto, estas figuras son el cono y el
cilindro. Para ello es necesario definir unos datos para cada figura que expongo a
continuación:
-
Cono: se trata de un cono circular recto y homogéneo de radio r y de altura h. el
trabajo consistiría en calcular qué probabilidades hay de que al lanzarlo sobre un
plano horizontal este caiga sobre su base circular.
h
r
-
Cilindro: nos encontraríamos ante un cilindro circular recto homogéneo de radio
r y altura h lanzado sobre un plano horizontal. Se trataría en este caso de hallar
la posibilidad de que el cilindro caiga sobre su cara lateral. Entonces se
aplicarían estas relaciones para un caso concreto como: para qué valores de r y h
las posibilidades de que el cilindro caiga sobre las bases o sobre la cara lateral
son las mismas.
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h
r
Por último, como añadido a ambas situaciones, se buscaría hallar las
probabilidades cuando el radio se va haciendo cada vez más pequeño (r tiende a 0) y,
por otro lado, cuando la altura disminuye (h tiende a 0). Estos resultados se deberían
corresponder con los casos de la aguja, si el radio tiende a cero, y de la moneda, si la
altura tiende a cero, por lo tanto todos estos datos deben corresponderse con la realidad.
B. Estudio de la probabilidad de los casos generales:
1. El cono:
Antes de comenzar con los cálculos es necesario añadir que el centro de masas
de un cono homogéneo se encuentra siempre situado, partiendo del centro de la base, a
un cuarto de la altura. Este dato es sumamente importante ya que todos los cálculos y
razonamientos posteriores se realizarán partiendo de este dato.
Lo primero es calcular el ángulo que forma el centro de masas, el punto de
contacto entre cono y plano, y el propio plano horizontal. Este ángulo será α (alfa no
será un ángulo constante ya que en cada lanzamiento el ángulo será distinto). Pero para
calcular alfa necesitamos conocer el ángulo que forman el centro de masas, un punto
exterior de la circunferencia de la base y el centro del círculo. Este ángulo será β. Beta
depende tanto del radio como de la altura pero no del lanzamiento.
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Calculamos entonces este ángulo mediante trigonometría. Al formarse un
triángulo rectángulo nos queda lo siguiente:
Senβ = cateto opuesto (h/4) entre hipotenusa
Y por otro lado:
Cosβ = cateto contiguo (r) entre hipotenusa
Dividiendo ambas ecuaciones entre sí nos queda finalmente que:
Finalmente hallamos la arcotangente de esa expresión para encontrar el ángulo
beta:
Una vez calculado el ángulo interior de este cono es necesario estudiar para qué
valores de alfa el cono caerá hacia su base. Aquí tenemos que tener de nuevo en cuenta
dónde se encuentra el centro de gravedad del cono. Como se ha mencionado
anteriormente en la introducción al ejercicio, el centro de masas de un cono se encuentra
a un cuarto de la altura de este, comenzando a contar desde el centro de la base. Esto
significa que, independientemente de la masa de dicho cono, podemos estudiar sus
posiciones como si la masa se concentrase únicamente en ese centro de gravedad.
Podemos concluir esto porque se trata de una figura homogénea, en la que la masa
queda repartida por igual.
Por esta razón alfa debe ser un número comprendido entre cero y noventa
grados, o entre cero y pi medios, para que el cono caiga de modo irremediable sobre la
base. Si el ángulo alfa, que es la suma de beta y del ángulo de caída, es mayor de
noventa grados, este caerá sobre el plano horizontal con su superficie lateral.
Por su parte, aunque alfa tenga que estar comprendido entre cero y noventa, el
ángulo puede tomar cualquier valor entre cero y trescientos sesenta. Pero, para algunos
valores de alfa se producen situaciones idénticas, por lo que el problema se simplifica y
podemos concluir diciendo que alfa toma valores entre cero y ciento ochenta grados:
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En principio:
0º < α < 360º
ó
0 < α < 2π
Pero tras observar los distintos casos posibles concluimos diciendo que:
0º < α < 180º
ó
0<α<π
Una vez establecidos todos estos parámetros, podemos decir que para que el
cono caiga con su base, el ángulo alfa debe estar comprendido en el intervalo:
Finalmente, utilizamos la fórmula del cálculo de probabilidades, esto es, número
de casos favorables (el cono cae sobre la base) entre número de casos posibles (que el
cono caiga sobre la base o la cara lateral). Por tanto la probabilidad quedará de esta
manera (expresada en grados):
Gracias a esta fórmula también podemos calcular la probabilidad de que el cono
no caiga sobre la base:
a.) ¿Hacia qué valores tiende la ecuación cuando el radio tiende a cero?
Antes de realizar las operaciones podemos pensar en una aguja. Esto equivaldría
al caso que vamos a analizar, ya que una aguja se trata de un cono cuyo radio de la base
es casi cero. Por tanto podemos concluir que la probabilidad, cuando r tiende a cero, es
0.
Luego este hecho queda demostrado.
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b.) ¿Hacia qué valores tiende la ecuación cuando la altura tiende a cero?
Este sería el caso que hemos mencionado antes de la moneda. Cuando la altura
tiende a cero el cono pasa a parecerse cada vez más a una moneda y, por tanto, la
probabilidad de que caiga sobre la cara tiende a acercarse al 50%.
Luego queda demostrado.
2. El cilindro:
A diferencia del cono en el que el centro de gravedad se encuentra a un cuarto de
la altura, en el caso del cilindro este centro de masas se encuentra la mitad de la altura.
Como al estudiarlo lo hacemos siempre como si se tratase del caso de una figura plana,
en este caso, el cilindro se asemeja a un cuadrilátero.
Para estudiarlo es necesario volver a realizar el cálculo de los ángulos.
Comenzaremos como en el anterior caso calculando el ángulo α. Este ángulo es el
mismo que en el caso anterior. Por otro lado, el ángulo β (formado por el centro de
masas, un punto exterior de la base y la propia base de la figura. Este ángulo como en el
anterior caso, no varía y se puede calcular fácilmente mediante trigonometría.
Una vez calculado este nuevo
ángulo beta tenemos que deducir el
valor del ángulo alfa a partir de beta. Técnicamente alfa puede tomar cualquier valor
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comprendido entre 0 y 360 grados, ya que es un ángulo que varía con cada tirada. Sin
embargo podemos calcular qué valores debe tomar alfa para que el cilindro caiga sobre
la cara lateral. Para ello alfa debe estar comprendido entre dos valores. Uno sería el
valor del ángulo para que caiga sobre una de las bases y el otro, el ángulo para que caiga
sobre la otra base.
La primera condición es la siguiente:
La segunda es algo más complicada de deducir pero se puede observar que el
ángulo complementario del primero es 180 –
siguiente:
+
. Por tanto de aquí sacamos lo
Teniendo en cuenta ambas condiciones obtenemos que:
Por este motivo la amplitud de este suceso es dos veces beta. La amplitud es
entonces el número de casos favorables.
Como ya tenemos los valores de los ángulos no hay más que aplicar de nuevo la
fórmula, número de casos probables entre número de casos posibles. La probabilidad
(p´) quedará de la siguiente manera:
A partir de esta expresión también podemos calcular la probabilidad de que el
cilindro no caiga sobre la superficie lateral, es decir sobre la base..
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Demostrado el caso más general, pasamos a resolver por apartados el resto de
casos concretos.
a.) ¿Cuál es esta posibilidad cuando la altura es igual al diámetro?
En este caso h = 2r, por lo que, si observamos el cilindro desde un lateral,
veríamos un cuadrado ya que todos los lados serían iguales. Para este caso la fórmula
nos quedaría:
Podemos añadir que este resultado es el esperado, porque las probabilidades son
las mismas si pensamos en el caso de un cuadrado.
b.) Casos de la moneda y la aguja:
Por no repetir lo mismo de manera extensa basta con decir que vamos a calcular
la situación cuando la altura tiende a cero y cuando el radio tiende a cero. La
probabilidad en el primer caso debería ser cero y, en el segundo, uno.
C. Estudio de caso real, conclusión:
Para finalizar este trabajo realizaremos el estudio de la píldora. Se trata de una
pequeña pastilla cilíndrica de un radio de 3mm y una altura de 2mm. Durante las
pruebas se tiró el contenido de un bote de 100 sobre una mesa y se contó el número de
“cilindros” que cayeron de canto. Este experimento se realizó en varias ocasiones y los
resultados coincidieron en varios casos siendo la media de estos 3. Resultó que la
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probabilidad real era de aproximadamente del 3%. Sustituyendo los datos en la ecuación
anteriormente obtenida calcularemos la probabilidad matemáticamente.
Sorprendentemente, el resultado apunta a que la probabilidad debería rondar el
20%. Este resultado plantea en estos momentos una nueva pregunta: ¿Cuál es la razón
de que exista tanta diferencia entre los cálculos matemáticos y la experiencia real?
La razón más probable es que no se hayan tenido en cuenta todos los factores.
Por ejemplo, en la realidad las pastillas rebotaban cuando golpeaban la mesa, por lo que
habría que haberse fijado en cuántas caían de lado antes de rebotar por primera vez. Ya
que si al caer de canto rebotan, habría que aplicar de nuevo la fórmula, y el 20% de un
20% es un 4%, un resultado mucho más parecido al obtenido inicialmente. Otro factor
que ha podido influir es que las pastillas al caer pueden haber rodado por la mesa de
canto antes de caer.
Podemos concluir este estudio diciendo que, aunque las probabilidades de que
un cilindro de estas características caiga de canto es relativamente alta, en la realidad
actúan muchos otros factores que pueden alterar los resultados de formas tan grandes
como la que acabamos de analizar.