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MODELO GRAVITATORIO EN TRANSPORTE
DEDUCCION POR MAXIMIZACION DE LA ENTROPIA
I INTRODUCCION
El problema clásico de transporte, fue formulado por Mongue (1781) e investigado
posteriormente por Kantorovich (1939), Hitchcock (1941), Koopmans (1951), y Koopmans
y Reiter (1951). Kantorovich (1976) atribuye la formulación moderna a Tolstoy (1930) sin
acotar la referencia. Comparaciones entre el problema clásico de transporte y el modelo
gravitatorio se han realizado por McDonald y Blunden (1968), Evans (1971), Evans
(1973), Nijkamp (1975), y Black y Blunden (1977).
El problema de mínimos cuadrados en una forma especial se resolvió por Gauss en 1795
y se dió en su forma actual por Pearson (1900). Trabajos sobre tablas de contingencia y
modelos log-lineales se hicieron por Deming y Stephan (1940), Smith (1947), Ireland y
Kullback (1968), Haberman (1977), y Bishop et al. (1975).
Carey (1858) fue probablemente el primero en establecer la idea subyacente al modelo
gravitatorio, es decir que el número de viajes es proporcional a las fuerzas atractivas e
inversamente proporcional a la distancia. Ideas semejantes fueron usadas por Ravenstein
(1885) en su estudio de migración. Carey y Ravenstein presentaron sus argumentos en
prosa, sin el uso de fórmula alguna. La analogía directa con la fórmula clásica de la
gravedad de Newton, requiere que el exponente de la distancia en el denominador sea
dos. Esta fue la forma obtenida en el trabajo pionero de Lill (1891) sobre viajes en
ferrocarril. La misma forma se usó por Young (1924) en su estudio sobre el movimiento
de la población de granjeros y por Reilli( (1931) en un estudio más detallado. Stewart
(1942,1947 y 1950) y Zipf (1946, 1949), usaron la unidad como exponente de la distancia.
Voorhees(1955) reportó con base en soporte experimental, que la elección del exponente
debe ser , 1, 2, o 3 dependiendo del tipo de viajes considerado.
La forma de la función distancia (disuasiva) ha sido objeto de muchas investigaciones
además de las ya mencionadas. Tanner (1961) sugirió una forma combinada
potencia-exponencial. Bouchard y Piers(1965) usaron una fórmula deducida
experimentalmente. El mismo acercamiento fue hecho por la oficina de carreteras
públicas de los Estados unidos(1965), Murchland(1966) y Wilson (1967, 1970) dieron
argumentos teóricos para la forma exponencial.
Algunos autores (Dieter 1962; Sylvén 1965) encontraron que los factores de
normalización que tienen que introducirse para satisfacer las restricciones marginales
cuando se usa una fórmula de tipo Newton, varían de manera sistemática, siendo
menores en el área central de una población e incrementándose hacia las orillas.
Kirby(1970) y Wilson(1970) han dado interpretaciones cercanas a los primeros intentos
usando los factores de normalización como medida de accesibilidad.
Gorman (1963) dedujo la fórmula de Kruithof a partir de una formulación lagrangiana de
un problema de optimización y probó la convergencia del método de balanceo de Kruithof
(1937). Murchland (1966) obtuvo de manera similar el modelo gravitatorio con la distancia
como función exponencial. Utilizando estadística mecánica, Spurkland (1966), Tomlin
(1967) y Wilson (1967) dedujeron la misma fórmula. Más tarde Wilson(1970), desarrolló
una familia completa de modelos a partir de su principio de máxima entropía. Otros
autores en este campo fueron Loubal(1968) y Sasaki (1968). La formulación de entropía
restringida de mínimo costo es debida a Erlander (1977, 1980).
II DEFINICIONES Y TEOREMAS BASICOS USADOS.
DEFINICIONES
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Suponga que una función tiene un extremo en un punto
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en la superficie
y
sea una curva con ecuación vectorial
que se encuentra sobre y
pasa por . Si es el valor del parámetro correspondiente al punto , entonces
. La función compuesta
representa los valores que
toma sobre la curva . Como tiene un valor extremo en , por tanto
. Pero si
es diferenciable, se puede usar la regla de la cadena para escribir:
El operador nabla
y evidentemente:
se define como sigue:
,
y
, son las derivadas parciales respecto de , , y
respectivamente.
es ortogonal al vector
El resultado anterior, muestra que el vector gradiente
tangente
para cada una de estas curvas
Sea
una función que
corresponde a otra curva que pasa por . Entonces el gradiente de expresado como
también es ortogonal a
lo cual significa que los vectores gradientes
y
deben ser oaralelos, por lo que si
entonces
debe existir un número real tal que
ese número se llama
. El procedimiento basado en la última
ecuación es como sigue:
METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
sujetos a la restricción
Hallar los valores máximo y mínimo de
(suponiendo que existen tales valores extremos):
(a) Encuentre todos los valores de
y
tales que
(b) Evaluar en todos los valores
hallados en (a). El valor más grande, es el valor
máximo de y el valor más pequeño es el valor mínimo de
Si escribimos la ecuación vectorial
en términos de sus componentes, entonces
las ecuaciones del paso (a) se convierten en:
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Este es un sistema de cuatro ecuaciones simultáneas con cuatro incógnitas
CONJUNTO CONVEXO
y
se llama
si para cada par de puntos e de y cada
Un conjunto S de
número real que satisfaga
, se verifica que
De esta definición se desprende que:
a) Cada intervalo n-dimensional es convexo
b) El interior de un conjunto convexo es convexo
c) La clausura de un conjunto convexo es convexa
RECUBRIMIENTO
Una colección de conjuntos F se denomina
de un conjunto dado , si
Se dice también que la colección F recubre a . Además, si F es una colección
de conjuntos abiertos, entonces F se denomina recubrimiento abierto de .
Ejemplos:
,
es un
1. La colección de todos los intervalos de la forma
recubrimiento abierto del intervalo
. Además es un ejemplo de recubrimiento
numerable.
.
2. La recta real está recubierta por la colección de todos los intervalos abiertos
Este recubrimiento es no numerable. Sin embargo, contiene un recubrimiento numerable
donde recorre los valores
de , a saber, todos los intervalos de la forma
enteros.
CONJUNTO COMPACTO
se llama
si, y solo si, todo recubrimiento abierto de S
Un conjunto S de
contiene un subrecubrimiento finito; es decir una subcolección finita que también recubra
aS
TEOREMAS
1. TEOREMAS DE KUHN-TUCKER
Considerar el problema de minimización:
sujeto a
donde y tienen ambas primeras derivadas parciales continuas.
TEOREMA 1.1. Sea
un punto mínimo relativo para el problema
sujeto a
entonces hay un multiplicador
tal que
Enseguida considere un programa convexo ordinario
donde es un conjunto convexo no vacío en
,
, es una función finita, convexa,
diferenciable sobre un conjunto abierto que contiene a para
y
es una
función finita sobre para
.
TEOREMA 1.2
Suponiendo que el valor óptimo en el problema
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no es
, y que existe en el interior de tal que
para toda restricción no lineal.
Entonces
es una solución óptima si y solo si existen multiplicadores de Lagrange
que junto con
satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker:
y
para
El tercer teorema de Kuhn-Tucker es una especialización del anterior para el caso de
una función
restricciones lineales, y con igual a un ortante no negativo. Sea
convexa diferenciable sobre un conjunto abierto conteniendo al ortante no negativo de
y sea una matriz de
.
TEOREMA 1.3
Suponiendo que el valor óptimo en el problema
no es
, entonces
es una solución óptima si y solo si existen multiplicadores de
satisfagan las condiciones de Kuhn-Tucker:
Lagrange tales que junto con
donde está en el -ésimo renglón de la matriz
2. TEOREMA DE TAYLOR
Sea
en una vecindad
de
. Entonces para todo
tal que
,
donde
3. TEOREMAS DE LAGRANGE
Considerar el problema de minimización
donde
es un poliedro convexo no vacío, y
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son funciones convexas finitas sobre
Definición: es un coeficiente Kuhn-Tucker para
igual al óptimo en
PROPOSICION 3.1
si
y si
no es
y que existe
Suponiendo que el valor óptimo en
entonces existe un coeficiente de Kuhn-Tucker para
TEOREMA 3.1
es finito e
tal que
El conjunto de todas las soluciones
Sea un coeficiente de Kuhn-Tucker para
óptimas de
es el conjunto de todos los puntos que realizan:
III ENFOQUE DEL PROBLEMA
El problema trata con determinar una matriz no negativa
satisfaciendo las restricciones marginales
,
así
como otras determinadas condiciones. El elemento representa el número relativo de
viajes desde la zona origen a la zona destino . Los índices corresponden a un
conjunto de índices y los elementos que no son forzados a cero por las restricciones
marginales tienen índices que corresponden a un conjunto .
Nos enfocaremos al modelo gravitatorio con masas interzonales dadas:
y al modelo doblemente restringido con función exponencial disuasiva:
En ambos casos,
es el conjunto formado por todos aquellos índices
correspondientes a elementos que no son forzados a cero por las restricciones
marginales.
Se mostrará que el modelo gravitatorio doblemente restringido es la única solución óptima
al problema:
sujeto a
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donde
y
es la función de entropía:
la función costo promedio
La solución óptima
depende del parámetro
entre la función entropía
y la función costo
la cual mide el elemento compensatorio
Entre otras cosas se demuestra que
Centramos nuestra atención en los microestados que satisfacen las restricciones
. Se supone que
marginales mencionadas anteriormente y la restricción de costo
todos los microestados que satisfacen tales restricciones son igualmente probables. El
número de microestados que dan el macroestado correspondiente a la matriz
resulta
ser:
donde representa el número total de viajeros y
representa el número de viajes
realizados de la zona a la zona . Para encontrar el macroestado más probable,
maximizamos esta fórmula combinatoria, con aproximación de los factoriales mediante la
fórmula de Stirling, transformándolo en el problema equivalente:
Veremos que la única solución óptima la constituye al modelo gravitatorio doblemente
puede reemplazarse por
restringido dado anteriormente. Nótese que
debido a la naturaleza matemática intrínseca del problema.
1. UN PROBLEMA DE MINIMIZACION CONVEXA
1.1 EL PROBLEMA
En esta sección estableceremos algunos resultados preliminares relativos al problema de
minimización convexa:
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donde \ es un cierto poliedro compacto con
y
es un
se define como ). La función es supuesta
conjunto de índices, no vacío. (Aquí,
como convexa y tiene una derivada continua en algún conjunto abierto, conteniendo el
ortante no negativo.
Casos especiales del problema de minimización definido por (1.1) pueden ser familiares
al lector, y alguno de ellos será estudiado en detalle en secciones subsecuentes. Se
incluye el caso en que
, en el cual (1.1) da el modelo gravitacional ordinario para la
demanda entre los pares origen-destino indexados por
1.2 FORMA DE LA SOLUCION
Sea
un elemento de un -espacio Euclideano y supongamos que es un
. Sea un elemento de
elemento del mismo espacio Euclideano. Sea
algún espacio Euclideano (normalmente diferente), sea una matriz rectangular real con
tantas columnas como elementos tengan y juntos, y sea un vector real dado con
tantos componentes como filas tenga
si y solo si
y
si
De modo que un vector
es viable si satisface desigualdades restrictivas dadas, si es
es cero para cada componente donde
es cero. En muchas
no negativo y si
aplicaciones, las restricciones lineales dadas serán de hecho igualdades restrictivas, pero
bajo las proposiciones pueden ser aplicadas escribiendo cada igualdad restrictiva como
dos desigualdades restrictivas.
Puede ser que ciertos componentes de sean forzados a cero si
, aunque esos
componentes estén en \. Introducimos una notación especial para los componentes en lo
que esto no ocurra:
De modo que,
es el conjunto de índices correspondientes a los elementos de que no
son automáticamente forzados a cero por las restricciones definidas en \. La notación
intenta sugerir "positivo", o mejor aún "posiblemente positivo".
Ejemplo.
tal que no entra en el problema, y suponga
Sea
restricciones lineales
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con las
La viabilidad de implica que
de la primera y notando que
De modo que
, como puede verse sustrayendo la última restricción
. Esto muestra que
PROPOSICION 1
Si
es no vacío, entonces existe
Demostración
tal que
Para cada
con
hay un vector
para toda
en
. La media aritmética de esta
colección de vectores satisface las condiciones dadas en la conclusión.
Ahora estableceremos la forma general de la solución de (1.1). La única dificultad es que
la derivada de la función objetivo no exista en
PROPOSICION 2
, es
Considerese el problema de minimización convexa definido por (1.1), donde
convexa y \ es compacto y no vacío. Existe una solución óptima, única en , de la forma
donde
es un vector
y
Aquí,
es un vector con tantas
como
representan la -ésima y
componentes como filas tenga y tanto
-ésima columnas de respectivamente. Recíprocamente, cualquier solución de esta
forma, es una solución óptima de (1.1).
Demostración.
La demostración, se basa en una versión de teorema 1.2 de Kuhn-Tucker dado en la
sección I.
Existe
tal que
para toda
. Esto es trivial cuando
, puesto
que \ es no vacío y se sigue de la proposición 1 cuando
. (El superíndice intenta
sugerir "positivo", pero nada sabemos acerca de que los componentes de sean positivos
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o cero.) También entonces, la función objetivo es convexa (estríctamente convexa en ), y
\ es compacto, se sigue que existe una solución óptima
única en . Si
satisface
para todo
, entonces puesto que las restricciones son lineales, las condiciones
necesarias de Kuhn-Tucker implican que
satisface las condiciones dadas en la
conclusión del teorema.
Supóngase, por otra parte, que
sobre algún conjunto no vacío B, B
En este caso, llegaremos a una contradicción. Para este caso, =
es una dirección viable:
para
Se define
entonces
donde
existe
para toda
Del teorema de Taylor dado en la sección I,
tal que el valor absoluto de los últimos dos términos está sujeto a
, para
suficientemente pequeño, puesto que
en la vecindad de
pueden escribirse
de manera que en en total tenemos
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Los otros términos
puesto que
para
esto puede hacerse siempre negativo para
suficientemente pequeño, lo cual contradice la optimicidad de
El recíproco del teorema se deduce de las condiciones suficientes de Kuhn-Tucker.
1.3 CONVEXIDAD COMO FUNCION DE VARIABLES SUBYACENTES
Si es una función estríctamente convexa de , entonces la solución de (1.1) también es
única en . Considérese ahora la posibilidad de que las variables o o ambas, sean
funciones lineales de algunas variables subyacentes . Entonces, la función objetivo se
mantiene convexa, pero no necesariamente estríctamente convexa. Esto se sigue de
hacer
y
ó
y
, en la siguiente proposición
PROPOSICION 3
Sea cualesquiera de las dos, función covexa o estríctamente convexa de y suponer
es una función lineal de . Entonces
es una función convexa
que
pero no necesariamente estrictamente convexa de .
DEMOSTRACIÓN.
Suponer que
entonces
La desigualdad se sigue de la convexidad de ; no puede ser reemplazada por una
puesto que
desigualdad estricta cuando es estríctamente convexa y
puede ser igual a
aun si
2 EL PROBLEMA DE DISTRIBUCION
2.1 Antecedentes
En este ensayo, estaremos interesados en el problema de determinar una matriz no
negativa
satisfaciendo ciertas restricciones marginales y otras condiciones. La
representación de las es que representan el número relativo de viajes de la zona origen
a la zona destino .
Los tipos de restricciones marginales en los que estaremos primeramente interesados
son de las formas
y
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donde
y
son constantes positivas dadas que representan la proporción de viajes
iniciandose en y la proporción de viajes terminando en
respectivamente. Los modelos que involucran esos tipos de restricciones marginales
serán referidos como modelos de distribución doblemente restringidos y frecuentemente
se ilustrarán de la manera siguiente
Generalmente habrá un gran número de matrices factibles para un conjunto dado de
, puesto que hay elementos matriciales e
restricciones. Podrá hacerse una
elección entre las matrices factibles, de acuerdo con algún criterio adicional. Por
ejemplo si se da una matriz de coeficientes de costo , podemos elegir tal que se
minimice
y
; este es el clásico problema de transportación.
Alternativamente, dado un conjunto de masas interzonales
podemos requerir que
satisfaga
para algunas constantes ,
y ,
. Este es el
clásico modelo gravitatorio.
2.2 MEDIDAS DE ACCESIBILIDAD, INTERACTIVIDAD Y EFICIENCIA
El problema de distribución trata con el número de viajes de zonas de origen a zonas de
destino dadas. Las nociones de accesibilidad e interactividad están estrechamente
relacionadas con este problema.
El número relativo de oportunidades, es decir oportunidades de trabajo que puede ser
logrado desde una zona dada puede usarse como medida de accesibilidad para esa
zona. Tal vez las más comunes, son las medidas de accesibilidad del tipo Hansen
donde es el número de viajes que terminan en la zona , y donde se introduce la
función disuasiva para tomar en cuenta que la accesibilidad a una oportunidad
disminuye al aumentar el costo del viaje o la distancia. La suma anterior es una medida
de la accesibilidad a oportunidades en todas las zonas para un viajero que parte de la
zona . Una medida de accesibilidad global para el área bajo estudio puede obtenerse
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multiplicando por el número relativo
las zonas origen
de viajes que salen de la zona y sumando todas
Esta medida está relacionada con las oportunidades ofrecidas a los viajeros. No se
relaciona directamente con el número de viajes que actualmente se hacen, aunque tal
información se usa generalmente en la calibración de la función disuasiva .
Ahora discutiremos una medida que depende del número de viajes, concfretamente la
entropía de la matriz de viajes:
Esta medida está relacionada con la noción de accesibilidad, pero puesto que depende
del número actual de viajes la llamaremos una medida de interactividad.
Tanto la medida de accesibilidad de hansen como la de interactividad descritas, pueden
usarse para evaluar los méritos de posibles sistemas de transportación futuros, pero
requieren diferente información para su empleo: La medida de Hansen trata solamente
con las oportunidades que se ofrecen y requiere de conocer
y
mientras que la
medida de interactividad trata con las oportunidades tomadas y requiere del conocimiento
de . Por otra parte, ambas medidas son similares si se asume que las están
distribuidas de acuerdo con el modelo gravitatorio
donde
suponiendo además que
puede demostrarse que es una función de
monótonamente decreciente. Por supuesto que lo mismo es cierto para la medida tipo
Hansen.
La función de entropía tanto aquí como en otra parte del presente ensayo, se escribe de
un modo conveniente para la deducción de varios modelos. Tendremos siempre que
y entonces, nuestra función de entropía queda como
que es la forma normalmente usada para la entropía.
El valor de la función entropía es cero si todos los viajes parten de una zona de origen a
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una zona de destino. A condición de que
valor alacanza su máximo
no sea específicado a priori como cero, el
cuando
es decir los viajes están distribuidos de una manera proporcional. Para
cualquier elección de y este máximo es menor o igual que
y el máximo en
y
. Puede
efecto alcanza ese valor en el caso
verse que la entropía puede depender del número de pares origen-destino. Puede usarse
para definir una medida normalizada
la cual toma valores en el intervalo
tales valores son fijados,
independientemente de los valores de
y
o si
Otra cantidad que puede emplearse para comparar el nivel de interactividad en diferentes
situaciones es
que puede verse representando el número de celdas (pares origen-destino) necesarios
para producir la entropía si es supuesta una distribución completamente uniforme. La
argumentación es como sigue: Si hay celdas y la distribución es completamente
por lo tanto
uniforme, entonces la proporción de viajes en cada celda es
y
Si los viajes están dispersos sobre todas las zonas, entonces hay una gran cantidad de
interacciones entre ellas y el valor de la función entropía es grande. Por otro lado, si hay
pequeña variación presente en la matriz de viaje, es decir la mayoría de los viajes se
concentran en un número limitado de pares origen-destino, entonces la interacción es
pequeña y el valor de la función entropía también es pequeño. De este modo un gran
valor de la función de entropía indica un alto grado de interactividad entre las zonas.
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Accesibilidad e interactividad como se discuten aquí, son ambas medidas que tratan de
relacionarse con los conceptos básicos inherentes a la libre elección del viajero. Como se
ha dejado establecido, la medida de accesibilidad da información sobre el número de
oportunidades (ponderadas de acuerdo con su costo) que se ofrecen al viajero, no se
considera la elección actual del viajero. (Sin embargo, en general, la función disuasiva
será calibrada a partir de las elecciones actuales en la forma de una matriz de viajes
observada. Por lo tanto aparecen indirectamente las elecciones actuales.) Las medidas
de accesibilidad de tipo Hansen tratan en principio con la situación previa a que al viajero
haga su elección.
La entropía usada como medida de la interactividad, por otro lado, mide una propiedad
de la matriz de viajes, es decir, después de que los viajeros han hecho sus elecciones. No
mide las oportunidades ofrecidas, pero está relacionada con la libertad de elección de los
viajeros. Un alto nivel de interactividad significa que los viajes están dispersos sobre
muchas zonas. Un bajo nivel de interactividad, significa que los viajes están más
concentrados.
Es necesario hacer un comentario adicional sobre la entropía como medida de
interactividad. la función de entropía se calcula por medio de las proporciones de
viajes. Por lo tanto no depende del número total de viajes o la longitud de los mismos.
Depende solamente de la distribución de los viajes sobre las celdas de la matriz de viajes.
Por lo que querer incrementar el nivel de interactividad en el sistema de transporte no es
lo mismo que incrementar el número de viajes.
La accesibilidad y la interactividad son metas a largo plazo que la sociedad podría desear
promover a través del sistema de transporte. Otra meta es la eficiencia. La más simple y
común medida de la eficiencia es el costo promedio. Si el costo de un viaje de la zona a
la zona es ( puede denotar si se quiere la distancia, el tiempo del viaje o el costo
generalizado) entonces el costo promedio está definido por
Es claro que una alta eficiencia corresponde a un bajo costo promedio. Por lo tanto, el
costo promedio es una muy simple medida de la eficiencia.
3 DEFINICIONES BASICAS Y ESTRUCTURA
3.1 INTRODUCCION
Es conveniente ahora ver la matriz de elementos como un vector de dimensión
con componentes obtenidas al concatenar las columnas de la matriz.
Sea
,
, y sea dado \,
, donde
,
es la
proporción de viajes comenzando en la zona , , es la proporción de viajes que terminan
en la zona , y
es el conjunto de pares origen-destino para los cuales se restringe a
priori a ser 0 (así mismo es el conjunto sobre el cual puede ser positivo). Se dice que
es viable para el problema de distribución
, si es viable en el sentido de la
sección (1.2). Aquí
tal que no está involucrada, hace el papel de y la matriz
representa las restricciones de transportación:
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y
Definición: es viable, es decir,
Aquí el conjunto
Definición:
si y solo si satisface
y
está definido por:
Ilustrando el caso de dos orígenes y dos destinos, la restricción lineal
tiene la forma:
El ejemplo de la sección 1.2 corresponde exactamente a este ejemplo, en el caso
es decir
está restringida a priori a ser cero. Tal ejemplo puede
presentarse en el formato introducido en la sección 2.1:
Puede recuperarse de la sección 1.2 que la viabilidad puede forzar ciertas componentes
adicionales del vector solución a ser cero. En el presente ejemplo, la viabilidad de
implica que
. Se introdujo la notación
para el subconjunto de \ que corresponde
a los componentes no forzados a cero: aquí,
Es una cuestión diferente dar las condiciones bajo las cuales
será menor que \, es
decir las condiciones bajo las cuales ciertos elementos de \ se forzarán a cero por las
restricciones (3.1). Más adelante regresaremos a esta cuestión. No se presenta tal
dificultad en el caso del modelo gravitatorio debido a que el método iterativo usual
(Kruithof) produce una sucesión que tiene como límite a cero, para
Sin
embargo la razón de convergencia en este caso puede ser muy pequeña.
Puede notarse que teniendo
De la proposición 1 en la sección 1.2 si
,
,
, existe
si y solo si
existe un
tal que
para todo
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.
3.2 MODELO GRAVITACIONAL DOBLEMENTE RESTRINGIDO CON MASAS
INTERZONALES DADAS
La primera formulación se presentó suponiendo que esta disponible un conjunto de
masas interzonales para los pares origen-destino en \. Esas masas interzonales se han
denotado por y se suponen normalizadas de manera que
. Veremos que tales
condiciones dan lugar a varias interpretaciones diferentes (impedancias interzonales,
masas a priori, etc.), pero ahora las veremos simplemente como constantes dadas.
Definición. Dada
es una solución del modelo gravitatorio doblemente
restringido con masas interzonales dadas si y solo si
Nótese que en primer lugar, la exclusión de
conduce a la no pérdida de
generalidad, puesto que podría implicar
a priori, lo cual puede ser efectuado por la
exclusión de
de \. Por otro lado, nótese que (3.3a) se mantiene solamente sobre .
Considérese otra vez el ejemplo de la sección 1.2, en la notación empleada cuando el
, entonces
no tiene la
ejemplo se discutió en la sección 3.1. Si
forma (3.3a). Tampoco hay pérdida de generalidad al suponer
multiplicativa de (3.3a).
PROPOSICION 1
Considérese el problema de minimización convexa
, en vista de la forma
Si
entonces existe una solución óptima única para (3.4) de la forma
Además, cualquier
de la forma (3.3) es la única solución óptima de (3.4).
DEMOSTRACION
La demostración se sigue de la proposición 2 de la sección 1.2, puesto que para el
problema especial considerado en esta sección, \ es compacto. la condición (1.2a) de la
proposición 2 de la sección 1.2 (condición necesaria de Kuhn-Tucker) aplicada a (3.4) da
en nuestro caso especial, y el resultado está establecido con
Aquí, y son los multiplicadores de lagrange correspondientes a las igualdades de
restricciones en
PROPOSICION 2
Sea
,
Si
entonces existe una solución única del modelo
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gravitacional doblemente restringido con masas interzonales dadas, es decir, una
solución única que satisface (3.3).
La proposición 2, es un corolario inmediato de la proposición 1. Los resultados se
establecen por separado en virtud de que la proposición 1 será invocada más adelante.
Fue necesario asumir
solo para
en la proposición 2, pero puesto que
no se conoce sino hasta que el problema de minimización se ha resuelto, en la práctica
será positivo para todo
3.3 MODELO GRAVITATORIO DOBLEMENTE RESTRINGIDO CON FUNCION
DISUASIVA EXPONENCIAL
Quizá el modelo de distribución más ampliamente usado es el obtenido por especificación
de las masas interzonales en términos de un parámetro
y constantes .
Asumiremos
en la definición, porque las constantes
tienen una interpretación
natural como costos o tiempos de viajes interzonales. Sin embargo las deducciones
matemáticas que siguen se efectuarán sin asumir la no negatividad.
y
,
es una solución del modelo gravitatorio
Definición: Dada
doblemente restringido con función disuasiva exponencial
si y solo si
,
y
Podemos ver este modelo como uno que introduce un parámetro redundante en la
especificación de las masas interzonales. El modelo es equivalente al que se presentó en
la sección 3.2, y una solución de un modelo puede usarse para obtener una solución del
otro. Algo de lo más interesante de la teoría relativa al modelo gravitatorio involucra el
comportamiento de ciertas funciones de , concretamente las funciones de interactividad y
de costo promedio discutidas en la sección 2.2, cuando las masas interzonales se
se mantiene fija.
cambian en la muy especial forma al variar mientras
Establezcamos el análogo de la proposición 1 de la sección 3.2.
PRPOPOISICION 1'
Considérese el problema de minimización convexa
Si
entonces existe una solución óptima única para (3.6), la cual tiene la forma
de la forma (3.5) es la única solución óptima de (3.6).
(3.5). Además, cualquier
DEMOSTRACION
La demostración es idéntica a la de la sección 3.2, excepto que ahora
en lugar
de juega el papel de
PROPOSICION 2'
Sea
y
. Si
, existe una solución única del modelo gravitatorio
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doblemente restringido con función disuasiva exponencial
, es decir, una
solución única que satisface (3.5). No requiere demostración pues se trata de un corolario
de la proposición 1'.
Note que las condiciones
y
, corresponden exactamente a la
, puesto que
condición
3.4. FORMA ALTERNATIVA PARA LA FORMULACION CON FUNCION EXPONENCIAL
DISUASIVA
En la sección 2.2 se introdujo la función de entropía
y la función costo promedio
.
En esta sección daremos una formulación alternativa a la presentada en la sección 3.3 (el
modelo gravitatorio doblemente restringido con función exponencial disuasiva) usando la
entropía como función objetivo mientras que la función costo promedio es restringida, y
viceversa. El parámetro aparece como un coeficiente Kuhn-Tucker (o su inverso
respectivamente). La forma particular de la teoría de Lagrange que usaremos, se ha
y
se
presentado en la sección II. También discutiremos cómo las funciones
relacionan entre sí en los puntos solución.
Comenzamos redefiniendo la función de entropía
Definición.
La función de entropía se define como
Dada
y la función costo
.
La función costo (promedio) se define como
Con esta notación el problema de minimización Lagrangiana (3.6) se escribe
y como se demostró en la sección 3.3 la única solución óptima para este problema es de
la forma (3.5):
Estableceremos aquí la equivalencia entre el problema de minimización Lagrangiana y un
problema de máxima entropía.
y valores
Para un valor dado de en (3.6) obtenemos una cierta solución óptima
correspondientes de las funciones de entropía y costo,
y
respectivamente.
Comenzamos mostrando que tales funciones varían de un modo estríctamente monótono
con . (Nótese que cuando se prueba la hipótesis de la siguiente proposición en un caso
particular, uno debe considerar valores negativos de y ).
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PROPOSICION 3
, entonces
y
son funciones estríctamente monótonas
Si
decrecientes de , para
con tal de que los costos no tengan la forma trivial
para
.
Comentario. Nuestro interés se centra en el caso
. Sin embargo de la demostración
de esta proposición se desprende que en el caso en el cual
es estríctamente
monótona creciente, mientras que
es estríctamente monótona decreciente.
DEMOSTRACION
Sea
Entonces
y
sumando ambas ecuaciones se obtiene
lo cual implica que
. Análogamente, multiplicando la primera
desigualdad por
y la segunda por
y sumando, obtenemos
lo cual implica que
Debido a la convexidad estricta de
,
todas las antreriores
desigualdades pueden reemplazarse por desigualdades estrictas a menos que
Pero esta última condición podría implicar:
o
lo cual contradice nuestra hipótesis de la naturaleza no trivial de
Puesto que \ es compacto, y están acotadas por arriba y por abajo. Una ilustración
aproximada del caso más general, dado lo establecido hasta aquí, se muestra en la figura
3.1
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En efecto, sin embargo puede decirse mucho más acerca de las relaciones entre y
cuando varía ; demostraremos más adelante en esta subsección, que es una función
diferenciable de
con
(Fig. 3.2)
Pero los resultados ya establecidos son suficientes para justificar las siguientes
definiciones.
Definición.
Es posible, en circunstancias triviales tener
si y solo si
para
y
para algunos
Tendremos
,
Si
entonces
y
deben ser constantes como funciones de
Y hemos visto en
la demostración previa que
constante implica que
es independiente de , y
para
Recíprocamente para costos de esta forma trivial, para
cualquier
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En lo que sigue, restringiremos nuestra atención al caso en el cual
:
variación en
que
lo cual garantizará que
con
y hay alguna
puesto que ello implica
, y (3.7) puede reemplazarse por
de la convexidad estricta de
Considérese ahora el problema de optimización restringida
donde
.
,
,y
, es la solución del problema de maxima
Dados \,
entropía si es la solución óptima de (3.8).
en (3.8) por la compacidad de
, y la
Justificamos escribir "
continuidad de
también justificamos escribir "la" solución óptima en la definición,
es estríctamente cóncava.
porque
PROPOSICION 4
La única solución de (3.8) es
DEMOSTRACION
existe
Puesto que
para algún
tal que
y
.
. La proposición 3.1 de la sección II
garantiza que existe un coeficiente de Kuhn-Tucker para
sujeto a
.
este coeficiente. El teorema 1.3 de la sección II nos dice que el conjunto de
Sea
todas las soluciones únicas de (3.8) es el conjunto que contiene el punto particular
que minimiza
sobre , y
si
. Si
entonces de la estricta monotonicidad de
, se desprende que
, no
puede ser cero, y
. Si
la monotonicidad solo garantiza que
, pero puesto que
cualesquiera que sea el valor de , tenemos
, y debe ser cero por la monotonicidad estricta de
.
COROLARIO
Cualquier
de la forma (3.5) tal que
es la única solución de un problema
de máxima entropía.
DEMOSTRACION
Sea
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definamos
,
y
por
Entonces
es claramente la única solución del problema de máxima entropía que tiene
el miembro derecho dado por , y
Que como sabemos es el modelo gravitacional doblemente restringido con función
exponencial disuasiva.
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