La Rueda de Maxwell

INFORME DE LA
PRÁCTICA
nº 2:
LA RUEDA
DE
MAXWELL
Fernando Hueso González.
Carlos Huertas Barra.
(1º Fís.), L1, 21-XI-07
-0-
RESUMEN
La práctica de la rueda de Maxwell consiste en medir el tiempo que tarda en
descender una rueda por cuyo radio pasa una barra delgada. A ésta están unidos dos
hilos en sus extremos, que harán que se desenrolle totalmente y vuelve a enrollarse
como un yo-yo. Se puede calcular la aceleración, el momento de inercia, la energía
potencial y la cinética a partir de la medida del tiempo que tarda en descender distintas
distancias, pues hay una dependencia lineal entre el tiempo al cuadrado y la distancia de
caída. Al representar los datos en una gráfica se puede comprobar el principio de la
conservación de la energía mecánica, objetivo de este experimento.
ACELERACIÓN Y MOMENTO DE INERCIA
Establecemos previamente el punto “final” de la caída, z0, donde pararemos el
cronómetro con el que mediremos el tiempo de caída desde distintas alturas. Vamos
midiendo la caída desde cada vez más altura en intervalos uniformes de 4 cm. Además,
para los cálculos es necesario medir:
-la masa de la rueda, que aparece inscrita en la misma, por lo que tomaremos en un
“error de sensibilidad” que coincida con la última cifra significativa; (suponemos que el
valor está pesado con la báscula electrónica del laboratorio) y
-el diámetro de la barra delgada con el pie de rey y su respectivo error (la sensibilidad).
La aceleración de la gravedad se nos da como un valor constante con error despreciable.
2
g (cm/s )
M (g)
d (cm)
r (cm)
Z0 (cm)
Valor
980.36
529.1
0.5
0.25
20
Error abs.
0.1
0.005
0.0025
0.5
El valor del radio y su error serán la mitad del diámetro y de su error.
El valor z0 lo establecemos en 20cm, algo antes de que la rueda se desenrolle
completamente, para que no sea difícil medir el tiempo por si rebotase. El error de esta
medida es algo difícil de establecer. Por una parte, la precisión de la regla es de 1mm,
pero el error de la medida es mayor al verlo desde mucha distancia. Una pequeña
variación del ángulo de visión hace que varíe hasta 1 cm. Por tanto, le asignamos un
error de ± 0.5cm.
El error del tiempo que midamos, pese a la precisión de centésimas del
cronómetro, lo establecemos en 0,2s, porque es lo que oscila al intentar medir un mismo
intervalo varias veces, debido al fallo del experimentador.
z (cm)
24.0
28.0
32.0
36.0
40.0
44.0
48.0
52.0
56.0
60.0
t (s)
1,77
2,47
3,06
3,58
4.00
4,34
4,59
5,11
5,22
5,61
El error del tiempo es 0.2s.
El error de z es 0.5cm.
En la siguiente tabla, que será la
utilizada para realizar la gráfica, se
calculan las restas z-zo y el tiempo al
cuadrado.
-1-
2
z-z0 (cm)
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
2
t (s )
3,1
6.1
9.4
12.8
16.0
18.9
21
26
27
31
2
2
El error de la resta z-z0:
δ(t ) [s ]
0,7
1.0
1.2
1.4
1.6
1.7
2
2
2
2
δ ( z − z 0 ) = 0.5 2 + 0.5 2 = 0.7 cm
para todas las medidas.
El error del tiempo al cuadrado es:
δ (t 2 ) = 2tδ (t ) [s2]
dependiendo de cada medida.
La representación gráfica de z- z0 frente a t2, ajustando los puntos a una recta por
el método de mínimos cuadrados es la siguiente:
Conservación de la energía mecánica. Medida del período para distintas caídas.
Rueda de Maxwell
Período al cuadrado (s2)
35
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
Distancia recorrida (cm)
Datos del ajuste por mínimos cuadrados (Kyplot):
T2 = (z-z0)·A + B [s2]
A=0.779±0.017 [s2/cm]
B=0.1±0.4 [s2]
r= 0,998156921 [coeficiente de correlación]
Tanto visualmente como por los cálculos y el coeficiente de correlación lineal,
se puede concluir que las medidas se ajustan a una recta.
-2-
La ecuación para obtener la aceleración a partir de la pendiente de la recta es la
siguiente:
2
2
t 2 = ( z − zo) , donde la pendiente A de la recta ajustada sería .
a
a
2
Por tanto, = a cms −2 = 2.6cms −2 , que es la aceleración de la caída de la rueda.
A
El error de a es:
[

2
]

2
δ (a) = − 2 δ ( A) = 0.2 cms −2
 A

a = 2 .6 ± 0 .2
cm
s2
El momento de inercia de la rueda se puede deducir a partir de la aceleración y
teniendo en cuenta la conservación de la energía mecánica:
a=
g 
I =  − 1mr 2 = 12436 gcm 2
a 
g
I
mr 2
El error del momento de inercia se obtiene mediante la propagación de errores:
1+
2
2
2
 

g

  g 
g 
δ ( I ) = − mr 2 2 δ (a) + r 2  − 1δ (m) + 2mr  − 1δ (r ) = 991gcm 2
a

  a 
a 
 

2
2
I = (125 ± 10) × 10 gcm
ENERGÍA POTENCIAL Y CINÉTICA
Una vez conocida la aceleración se puede comprobar la conservación de la energía
mecánica hallando el valor de la diferencia de las energías entre dos alturas y constatar
la transformación total de la potencial en cinética (despreciando el rozamiento). La
diferencia de energía debería ser 0, oscilando algo debido al error por arriba y por abajo.
Ep= mg(z-zo) (J)
δ (E p ) =
Ec=
[g ( z − z 0 )δ (m)]2 + [mgδ ( z − z0 )]2
[J]
1
2
mgat (J)
2
2
2
1
 1
 1

δ ( Ec ) =  mga2tδ (t ) +  mgt 2δ (a) +  gat 2δ (m)
2
 2
 2

∆E =Ep-Ec (J)
δ (∆E ) = δ ( E p ) 2 + δ ( Ec) 2
[J]
-3-
2
[J]
La tabla de cálculos de las energías y sus errores es:
1
Ep=
2
z-z0 (cm)
δ(Ep) [J]
mgat (J) δ(Ec) [J]
mg(z-zo) (J)
2
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
0,21
0,42
0,62
0,83
1,04
1,25
1,45
1,66
1,87
2,08
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0,21
0,41
0,63
0,86
1,08
1,27
1,42
1,76
1,8
2,1
0,05
0,07
0,10
0,12
0,14
0,15
0,17
0,19
0,2
0,2
Energía potencial y cinética.
Rueda de Maxwell.
δ(∆E) [J]
-0,00
0,00
-0,01
-0,03
-0,04
-0,03
0,03
-0,1
0,0
-0,0
0.06
0,08
0,10
0,12
0,14
0.16
0,17
0,2
0,2
0,2
Se puede comprobar
visualmente que la
energía potencial antes
de la caída y la cinética
al final de ésta son
iguales, es decir, la
potencial se transforma
en la cinética: a medida
que la rueda pierde
altura, gana velocidad.
2,5
Energía potencial/cinética (J)
∆E (J)
=Ep-Ec
2
1,5
1
0,5
0
0
10
20
30
40
Distancia recorrida (cm)
CONCLUSIÓN
Ep-Ec (J)
Por tanto, la energía se conserva, y en cada punto la suma de energía potencial y
cinética es constante, es decir, la diferencia entre ambas es cero, como se puede
Conservación de la energía mecánica. Ep-Ec
observar en el siguiente gráfico:
Los puntos no están exactamente en
0,04
cero, al tener toda medida un margen
0,02
de error. Sin embargo, se puede
0
concluir que el experimento coincide
-0,02
con la teoría, o sea, que la diferencia de
-0,04
energías es cero, porque las medidas
-0,06
están distribuidas en la misma medida
-0,08
sobre la línea del 0 y bajo ella, el error
-0,1
relativo es enorme, y sus barras de
-0,12
error pasan todas ellas a la altura del
0
10
20
30
40
Posición z-z (cm)
cero.
En resumen, considerando que hemos despreciado el rozamiento, que no hemos
tenido en cuenta el leve giro lateral de la rueda al soltarlo desde puntos altos y que hay
un fallo del experimentador en la medida del tiempo, se puede concluir a partir de
nuestros datos y su correspondiente incertidumbre que la energía mecánica se conserva
y que el campo (central) gravitatorio es conservativo.
o
-4-