Funciones Económicas

CAPÍTULO 4
Funciones Económicas
Introducción
La actividad económica surge de la necesidad de utilizar recursos para producir los bienes
materiales que satisfacen los deseos del hombre, ya sean básicos o no.
Hay un conjunto de necesidades y una comparativa escasez de los medios disponibles para
cumplirlos. Estos medios se dividen en recursos y tecnología.
Los recursos representan los componentes que entran en los procesos de producción y se
clasifican en mano de obra y capital. Mientras, que por tecnología se entiende el nivel de
desarrollo de las fuerzas productivas, los instrumentos que se utilizan, el nivel de
conocimiento y los medios de que dispone una sociedad para convertir los recursos en bienes
y servicios para satisfacer sus necesidades.
Se puede asumir que el nivel de satisfacción de las necesidades que una sociedad puede
alcanzar, depende de la cantidad, de la calidad de los recursos disponibles y el nivel de su
tecnología.
Podría decirse que la meta económica de una sociedad sería alcanzar el más alto nivel de vida
que sus recursos le permitan.
Dentro de lo expuesto se plantean una serie de preguntas relativas al uso óptimo de los
recursos, estabilidad y justicia, cuyas respuestas pueden darse total o parcialmente con ayuda
de modelos matemáticos. La presencia de estos modelos ayuda a clarificar la consistencia,
calidad y factibilidad de las preguntas formuladas.
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La Demanda
La conducta de los compradores en el mercado para un bien o
servicio específico se resume en el término de demanda.
La demanda de un bien X representa las distintas cantidades de X, por unidad de tiempo, que
retirarán del mercado los consumidores a todos los precios alternativos posibles
si se
mantienen iguales o constantes otras cosas.
La cantidad que retirarán los consumidores será afectada por algunas circunstancias, tales
como:
 El precio del bien
 Los gustos y preferencias de los consumidores
 El número de consumidores
 Los precios de otros bienes relacionados
 La variedad de bienes a disposición de los consumidores
 Las expectativas de los consumidores referentes a los precios futuros del
producto
La función de demanda se puede expresar simbólicamente como:
f : ] 0, a ] → IR +
x
 f ( x) = p
Donde x es el número de unidades demandadas del bien X y p el precio por unidad.
Supondremos, además, que la función de demanda es continua y decreciente.
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La ley de demanda indica que se adquirirá más cantidad de un producto a precios bajos que a
precios más altos. Por lo tanto, un cambio en el precio causará un cambio en la cantidad
demandada.
La curva de demanda de un bien requerido por el consumidor se obtiene variando el precio del
bien, pero manteniendo constantes sus gustos y preferencias, su ingreso y los precios de otros
bienes.
De manera general su curva
sería de la forma
Demanda
Ejemplo 1
Para cierto producto se sabe que se demandan 30 unidades si el precio de cada una es de $8;
mientras que la cantidad demandada será 40 cuando el precio es de $6. Halle la expresión de
la función de demanda si se supone que la relación es lineal.
Solución
Tomando la cantidad como variable independiente nuestra tarea será encontrar la ecuación de
la recta determinada por los puntos (30,8) y (40,6).
Aplicando la forma punto-pendiente tenemos:
p− 8=
6− 8
( x − 30) ⇒ p = − 1 x + 14
40 − 30
5
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La Oferta
Las cantidades de un bien o servicio que los vendedores están
dispuestos a ofrecer en el mercado determina el concepto de oferta.
La oferta de un bien X representa las distintas cantidades de X, por unidad de tiempo, que los
vendedores llevarán al mercado a todos los precios alternativos posibles permaneciendo los
demás factores constantes.
Los principales factores que se mantienen constantes son:
 Los precios de los recursos
 La variedad de las técnicas de producción
 Las expectativas de los productores
La función de oferta se puede expresar simbólicamente como:
h : ] 0, b ] → IR +
x  h( x ) = p
Donde x es el número de unidades demandadas del bien X y p el precio por unidad.
Supondremos, además, que la función de oferta es continua y creciente.
La ley de la oferta muestra que a precios más altos resulta más atractivo para los vendedores
colocar bienes en el mercado que mantenerlos en inventario.
De forma general su gráfica
se presenta así
Oferta
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Equilibrio de Mercado
Las curvas de demanda y oferta de un cierto bien X pueden graficarse en un mismo sistema de
ejes coordenados para observar el peso de ambas en el mercado.
El punto en que se cortan ambas curvas (las de oferta y demanda)
determina el punto de equilibrio del mercado.
El punto de equilibrio determina en su ordenada el precio de equilibrio y en su abscisa la
cantidad de equilibrio. El precio y la cantidad de equilibrio se determinan matemáticamente
al resolver simultáneamente las ecuaciones de demanda y oferta.
Oferta
Pe
Demanda
xe
Ejemplo 2
Si para el producto del ejemplo 1 se tiene la ecuación de oferta O ( p) = 3 p − 18 determine el
precio y la cantidad de equilibrio de forma analítica.
Solución
Considere el sistema formado por las ecuaciones de demanda y oferta de un bien X
1

 D : p = − x + 14
5

 O : x = 3 p − 18
Vamos a reescribirlo para resolver por eliminación para p
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1
 x + 5 p = 70
 x + p = 14 × 5
⇒ 
5
 x − 3 p = − 18 × − 1  − x + 3 p = 18
⇒ 8 p = 88 ⇒ p = 11
Podemos hallar x de la misma manera
1
 3
 x + p = 14 × 3  x + 3 p = 42
⇒  5
5
 x − 3 p = − 18
 x − 3 p = − 18
⇒
8
x = 24 ⇒ x = 15
5
Con lo cual el punto de equilibrio corresponde con el par (15,11). Significa que a un precio de
11 unidades monetarias los productores ofrecerán 15 unidades que corresponde con la
cantidad que demandarán los consumidores.
Un precio superior al de equilibrio determina un excedente e induce a los vendedores a
competir entre sí, disminuyendo el precio hasta el nivel de equilibrio.
Un precio menor al nivel de equilibrio provoca escasez, que hace que los consumidores, por
oferta impulsen el precio de nuevo al equilibrio.
Costo Total de Producción
Generalmente se consideran los costos de producción de una empresa como las obligaciones
en dinero incurridas en la producción, es decir, todo lo que la empresa debe pagar por los
recursos que utiliza en producción.
La función de Costo Total está determinada por los costos fijos que son conocidos, como por
ejemplo alquiler de edificios, pago de energía eléctrica, etc.; y costos variables suponiendo
que las condiciones de su oferta son conocidas.
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Costo Total = Costos Fijos + Costos Variables
C T = C F + CV con CV = px
En donde x es el número de unidades producidas, y p el precio por unidad de los recursos.
Simbólicamente
CT : IR + → IR + , CT ( x) = C F + CV
En condiciones normales, x y C(x) son no negativas. Si cero está en el dominio de C, C ( 0)
representa los gastos generales de la producción. Supondremos además que C ( x ) es continua
y creciente.
Ejemplo 3
Una empresa tiene costos fijos de $3500 y la producción de cada artículo cuesta $50.
a) Determine la función de costo total.
b) ¿Cuánto cuesta producir 1200 artículos?
Solución
a) Con base en la definición tenemos C ( x ) = 3500 + 50 x .
b) Se quiere saber C (1200) , utilizando el resultado anterior obtenemos
C (1200) = 3500 + 50(1200) = 63500
Por lo tanto, a la empresa le cuesta $63500 producir 1200 artículos.
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Costo Medio Total (Costo Unitario)
El costo medio (promedio) de producción de cada unidad de un bien x se obtiene de dividir el
costo total entre el número de unidades producidas.
C Me : ] 0, + ∞
[ → ] 0, +
∞ [ , C Me =
CT ( x)
x
Donde x es el número de unidades producidas.
Las curvas de costo medio se usan en el análisis del precio y de la producción. De la misma
manera se pueden analizar los costos fijos medios y costos variables medios.
La curva de costo medio total decrece hasta llegar a su punto mínimo y luego comienza a
crecer, pero lentamente.
Ingreso Total
Representa el ingreso monetario total que los productores obtienen de sus ventas, o lo que es
lo mismo: el gasto total en dinero de los consumidores (que componen la demanda) por
llevarse la cantidad x del bien X.
I T : [ 0, c] → IR + , IT ( x) = x p( x)
Donde c > 0 , p(x) es la función de demanda y x las unidades vendidas.
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Ejemplo 4
Una fábrica de lámparas rústicas tiene costos fijos de $12000 y cada lámpara le significa un
costo de $35. Si la empresa vende cada lámpara en $80 determine:
a) La función de costo total y la función de ingreso total en términos de las unidades que
produce y vende.
b) ¿Cuál es el costo total y el ingreso si el nivel de producción es de 10000 lámparas?
Solución
a) Si x representa el número de unidades que se producen y venden tenemos:
C ( x ) = 12000 + 35 x
I ( x ) = 80 x
b) Al evaluar con 10000tenemos:
C (10000) = 12000 + 350000 = 362000
I (10000) = 800000
Así que con producir 10000 lámparas se tiene un costo total de $362000 y un ingreso de
$800000.
Utilidad Total
En el análisis económico utilidad es la diferencia existente entre los ingresos totales de una
empresa y sus costos totales.
U T : [ 0, d ] → IR, U T ( x) = IT ( x) − CT ( x)
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Ejemplo 5
Una fábrica de espejos para automóvil tiene costos fijos de $13700 y le cuesta $57.50 producir
un espejo. Si la fábrica vende un espejo en $103.50 determine:
a) La función de utilidad en término de los espejos producidos y vendidos.
b) ¿Cuántos espejos debe vender para que sea un negocio rentable?
Solución
a) Usando x para representar las unidades producidas y vendidas además de las
definiciones de costos totales e ingresos totales tenemos
I ( x ) = 103.50 x
C ( x ) = 13700 + 57.50 x
De donde U ( x ) = 103.50 x − (13700 + 57.50 x ) = 46 x − 13700
b) Para que el negocio sea rentable debe cumplirse U ( x ) > 0 , al resolver la inecuación
46 x − 13700 > 0 ⇒ x > 13700
42
≈ 297.83 . Dado que x representa las unidades
producidas y vendidas debemos concluir que para lograr un negocio rentable deben
producirse y venderse al menos 298 espejos.
EJERCICIOS
1) Una panadería que vende su pan sin conservadores recogerá toda la mercadería que los
comerciantes no vendan dentro de 4 días. El costo de producción es de $0.70 la pieza. La
compañía distribuye 500 piezas a la semana y le devuelven alrededor del 8%. ¿Qué precio
debe tener cada pieza si la utilidad de la compañía es del 45% del costo?
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2) Un restaurante adquirió 400 litros de leche a $0.30 cada uno. Su utilidad es alrededor del
1
65% del costo total. Si el 7 2 % de la leche se echara a perder antes de poder venderla,
¿qué precio por litro dará la utilidad deseada?
3) Cada semana una compañía vende q unidades de un producto a un precio de p dólares
cada uno, en donde p = 600 − 5q . Si le cuesta a la compañía ( 8000 + 75q ) dólares producir
q unidades, determine:
a. ¿Cuántas unidades debería vender la compañía a la semana si desea generar un
ingreso de $17500?
b. ¿Qué precio por unidad debería fijar la compañía con el propósito de obtener
ingresos semanales por $18000?
c. ¿Cuántas unidades deberían producir y vender cada semana para obtener utilidades
semanales de $5500?
d. ¿A qué precio por unidad generaría la compañía una utilidad semanal de $5750?
4) Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada uno. El costo C
(en dólares) de producir q unidades cada semana está dado por C = 3000 + 20q − 0.1q 2 .
¿Cuántas unidades deberán producir y vender a la semana para obtener alguna utilidad?
5) Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos
de materiales y mano de obra son de $8 por unidad, y además, existen costos fijos de
$4000 por semana.
¿Cuántas unidades deberá producir y vender si desea obtener
utilidades semanales de al menos $3000?
6) Se han vendido 1000 televisores a la semana a un precio de $450 cada uno. Un estudio de
mercado revela que por cada $10 de descuento ofrecido al comprador, el número de
aparatos vendidos aumentará en 10 por semana.
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a. Determine la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal.
b. Si su función de costo es C (q ) = 68000 + 150q , ¿cuál es la mayor utilidad que
puede esperar?
7) Un fabricante vende su artículo a los comerciantes por $20 la pieza si el pedido es menos
de 50. Si el pedido es de 50 piezas o más (hasta 600) el precio se reduce en 2 centavos por
el número pedido. ¿Cuántos artículos puede comprar con $4200?
8) A un precio de $50 por unidad, la demanda de cierto artículo es de 4500 unidades mientras
que la oferta es de 3800 unidades. Si el precio se incrementa en $10 por unidad, la
demanda y la oferta serán de 4400 y 4200 unidades respectivamente.
a. Determine la ecuación de la demanda para el artículo, suponiendo que es lineal.
b. Determine la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal.
c. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.
d. ¿En cuánto debe gravarse al proveedor con un impuesto por unidad vendida para
que el precio de equilibrio se incremente en $9?
9) Una empresa puede vender 200 unidades de cierto artículo al día a ¢3000 por unidad y
250 unidades a ¢2700 por unidad. La ecuación de oferta para tal artículo es de 6q = p + 48
.
a. Determine la ecuación de la demanda para el artículo suponiendo que es lineal.
b. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.
c. ¿De cuánto debe ser un subsidio para que la cantidad de equilibrio se incremente
en dos unidades?
10) Una empresa tiene dos tipos de alternativas de equipo en la fabricación de un nuevo
producto. Un equipo automatizado cuesta $200000 y produce artículos a un costo de $4
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por unidad. Otro equipo semi-automatizado cuesta $125000 y produce artículos a un costo
de $5.25 por unidad.
a. ¿Qué volumen de producción hace que ambos equipos cuesten lo mismo?
b. Si hay que producir 80000 unidades, ¿con cuál equipo sale más barato?
11) Halle la cantidad de equilibrio de una empresa dados costos fijos totales de $1200, costos
(
)
variables por unidad de $2, ingresos por la venta de q unidades 100 q dólares. Además
grafique ambas curvas en un mismo plano.
12) Encuentre el punto de equilibrio para una compañía que vende todo lo que produce, si el
costo variable por unidad es de $2, los costos fijos de $105 y el ingreso total esta dado por
(50 q ) dólares, donde q es el número de unidades vendidas.
13) El propietario de un edificio de departamentos puede rentar las 50 habitaciones si la renta
es de $150 al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad de la
renta, un departamento quedará vacante sin posibilidad de rentarlo. ¿Qué renta deberá
fijar para obtener un ingreso mensual de $8000?
14) El dueño de un pequeño hotel ha calculado que cada habitación ocupada le significa un
gasto en arreglo y limpieza de $15 diarios. Además tiene costos fijos de $200 diarios. Si
cobra $40 por día por habitación, ¿cuántas habitaciones debe tener ocupadas para cubrir
sus costos?
15) La función de costos totales de una empresa está dada por C ( x ) = 7 x + 20 , mientras que
su función de utilidad es U ( x ) = 3 x − 20 . Determine.
a. La función de ingreso
b. El punto de equilibrio de la empresa.
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c. ¿Para qué valores de x es rentable la empresa?
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