Ejercicio resuelto monopolio

6. En un mercado hay dos consumidores con las siguientes funciones de utilidad:
U 1 ( x1 , y1 ) = 2 ln( x1 + 1) + y1
U 2 ( x 2 , y 2 ) = a ln( x 2 + 1) + y 2 con a > 2,
donde x i , i =1, 2, es la cantidad del bien x consumida por el individuo i, yi es la
cantidad de renta que le queda al consumidor i para comprar otros bienes y mi es la
dotación inicial de renta de cada individuo. El bien x es producido por un monopolista
cuyos costes de producción son C(x) = x, siendo x = x1 + x2 .
(i) Defina las nociones de disposición total (o máxima) a pagar y disposición marginal a
pagar por el bien x. Muestre que el consumidor 2 tiene una disposición total a pagar y
una disposición marginal a pagar por el bien x mayor que el consumidor 1 para todo x.
Disposición máxima a pagar del consumidor i (i = 1,2), Ri ( xi ) : lo máximo que
estaría dispuesto a pagar el consumidor por xi unidades del bien. Estará pagando lo
máximo si justo queda indiferente entre consumir xi unidades pagando Ri ( xi ) y no
consumir el bien, dedicando su dotación de renta, mi , al consumo del resto de los
bienes. Es decir: U i ( xi , mi − Ri ( xi )) = U i (0, mi ) . El consumidor i (i = 1,2) debe quedar
indiferente y, por tanto, se debe cumplir con igualdad la anterior condición. Si por el
i ( x )) > U (0, m ) entonces el consumidor estaría dispuesto a
contrario U i ( xi , mi − R
i
i
i
i ( x ) y si U ( x , m − R
i ( x )) < U (0, m ) entonces
pagar una cantidad mayor que R
i
i
i
i
i
i
i
i ( x ) sería mayor que su disposición máxima a pagar. Con utilidad cuasi-lineal:
R
i
U i ( xi , m − Ri ( xi )) = U i (0, mi )
ui ( xi ) + mi − Ri ( xi ) = ui (0) + mi
Ri ( xi ) = ui ( xi )
Por tanto, cuando la función de utilidad es cuasi-lineal:
ui ( xi ) → Disposición máxima a pagar del consumidor i por xi
u1 ( x1 ) = 2 ln( x1 + 1)
u2 ( x2 ) = a ln( x2 + 1)
1
Disposición marginal a pagar del consumidor i (i = 1,2): es el cambio en la
disposición máxima a pagar ante una variación infinitesimal en la cantidad consumida.
ui' ( xi ) → Disposición marginal a pagar del consumidor i por xi
u1' ( x1 ) =
2
x1 + 1
u2' ( x2 ) =
a
x2 + 1
Muestre que el consumidor 2 tiene una disposición total a pagar y una disposición
marginal a pagar por el bien x mayor que el consumidor 1 para todo x.
u2 ( x) = a ln( x + 1) > 2 ln( x + 1) = u1 ( x) ∀x
u2' ( x) =
a
2
>
= u1' ( x) ∀x
( x + 1) ( x + 1)
*
*
*
*
(ii) Obtenga las combinaciones precio-cantidad (r1 , x1 ) y (r2 , x2 ) que maximizan los
beneficios del monopolista y el valor de estos cuando puede practicar la discriminación
*
*
de precios de primer grado o discriminación perfecta. Muestre que x1 y x 2 son
socialmente eficientes.
Definición
Bajo discriminación de precios de primer grado el vendedor cobra un precio diferente
por cada unidad del bien igual a la disposición máxima a pagar por esa unidad.
Contexto
Requiere información plena sobre las preferencias de los consumidores y no existencia
de ningún tipo de arbitraje. En particular, el monopolista es capaz de identificar al
consumidor cuando va a comprar el bien.
El monopolista deseará ofrecer al consumidor i, i = 1, 2, una combinación (lote)
precio-producción (ri* , xi* ) que le reporte los mayores beneficios. El monopolista le
(ri* , xi* )
planteará al consumidor i, i = 1, 2, una elección “todo o nada”:
. El
(0, 0)
consumidor i, i = 1, 2, o paga ri* por xi* unidades o se queda sin el bien.
2
Problema de maximización de beneficios, restricciones y resolución
El problema de maximización del monopolista es:
max r1 + r2 − c.( x1 + x2 )
r1 , x1 , r2 , x2
s.a
u1 ( x1 ) - r1 ≥ 0
u2 ( x2 ) - r2 ≥ 0
Las restricciones de participación nos dicen que el consumidor i (i = 1,2) obtiene un
excedente no negativo si adquiere el bien (es decir, está deseando participar).
Maximización de beneficios ⇒
r1 = u1 ( x1 )
r2 = u2 ( x2 )
Por tanto, el problema nos queda:
max u1 ( x1 ) + u2 ( x2 ) − c.( x1 + x2 )
x1 , x2
∂Π

= u1' ( x1 ) − c = 0 
∂x1

'
*
'
*
 → u1 ( x1 ) = u2 ( x2 ) = c

∂Π
= u2' ( x2 ) − c = 0 
∂x2

(Nótese
que
se
cumplen
las
condiciones
de
segundo
orden
dado
que
∂ 2Π
= ui'' ( xi ) < 0, i = 1, 2. )
2
∂xi
Es decir,
u1' ( x1* ) =
2
= 1 = c → x1* = 1
x +1
u2' ( x2* ) =
a
= 1 = c → x2* = a − 1
x +1
*
1
*
2
Dados estos niveles de producción las tarifas serán:
r1* = u1 ( x1* ) = 2 ln( x1* + 1) = 2 ln 2
r2* = u2 ( x2* ) = a ln( x2* + 1) = a ln a
y los beneficios
π * = u1 ( x1* ) + u2 ( x2* ) − c( x1* + x2* ) = 2 ln 2 + a ln a − a
3
*
*
Muestre que x1 y x 2 son socialmente eficientes.
Consideramos el problema de obtener una asignación eficiente en el sentido de Pareto
cuando en la economía hay dos consumidores que tienen funciones de utilidad cuasilineal, ui ( xi ) + yi , y una dotación de renta de mi , i = 1, 2. Vamos a maximizar la
utilidad de un agente (por ejemplo el consumidor 1) manteniendo constante la utilidad
del otro (por ejemplo, el 2), dada una restricción de recursos (suponemos que el coste
marginal es constante e igual a c).
max u1 ( x1 ) + y1
x1 , y1 , x2 , y2
s.a u2 ( x2 ) + y2 = u 2
y1 + y2 = m1 + m2 − c.( x1 + x2 )
Despejando y2 de la segunda restricción y sustituyendo en la primera, despejando
entonces y1 y sustituyendo en la función objetivo, el problema queda:
max u1 ( x1 ) + u2 ( x2 ) − c.( x1 + x2 ) + m1 + m2 − u 2
x1 , x2
Desde las condiciones de primer orden obtenemos:
u1' ( x1e ) − c = 0 

'
e
'
e
 → u1 ( x1 ) = u2 ( x2 ) = c → Condición de eficiencia
u2 ' ( x2e ) − c = 0 
Por tanto, el monopolista ofrece las cantidades eficientes: x1* = x1e y x2* = x2e .
(iii) Obtenga las combinaciones precio-cantidad ( r˜1 , x˜1 ) y ( r˜2 , x˜ 2 ) correspondientes
a la discriminación de precios de segundo grado.
(Nota: explique detalladamente cada tipo de discriminación de precios. Es decir,
contexto en el que se desarrolla cada tipo de discriminación, la información que tiene el
monopolista, el problema de maximización, las restricciones, demostración de cuáles
son efectivas…..).
Definición
Bajo discriminación de precios de segundo grado los precios difieren dependiendo del
número de unidades del bien que se compren (o de la calidad del producto) pero no de
unos consumidores a otros.
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Contexto
Nos situamos en un contexto en el que el monopolista conoce las preferencias (conoce
la distribución de preferencias) de los consumidores, pero no es capaz de identificar al
consumidor cuando va a comprar el bien. Se ve obligado a establecer una única lista
de precios y dejar que sean los consumidores los que se auto-clasifiquen o autoseleccionen. En este sentido se dice que es un tipo de discriminación indirecta. Los
consumidores se enfrentan a la misma lista de precios pero éstos dependen de las
cantidades (o de la calidad del producto) que se compren.
Restricciones de participación y de autoselección. Interpretación
El objetivo será diseñar de manera óptima la lista de precios de modo que cada
consumidor elija la combinación precio-cantidad diseñada para él.
(r1 , x1 )
Consumidor 1
(r2 , x2 )
(0, 0)
Consumidor 2
Restricciones del monopolista
- Restricciones de participación (o racionalidad individual)
u1 ( x1 ) − r1 ≥ 0 (1)
u2 ( x2 ) − r2 ≥ 0 (2)
Estas restricciones garantizan que cada consumidor desea comprar el bien. Cada
consumidor obtiene al menos tanta utilidad consumiendo el bien como no
consumiendo. O dicho de otro modo, cada consumidor obtiene un excedente no
negativo comprando el bien.
- Restricciones de autoselección (o compatibilidad de incentivos)
u1 ( x1 ) − r1 ≥ u1 ( x2 ) − r2 (3)
u2 ( x2 ) − r2 ≥ u2 ( x1 ) − r1 (4)
Estas restricciones garantizan que cada consumidor prefiere la combinación preciocantidad diseñada para él a la combinación precio-cantidad diseñada para el otro
consumidor. Dicho de otra forma, estas restricciones previenen el arbitraje personal:
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cada consumidor obtiene un excedente por lo menos tan alto eligiendo el lote diseñado
para él como eligiendo el lote diseñado para el otro consumidor.
Demostración de qué restricciones se cumplen con igualdad
Vamos a agrupar las restricciones de acuerdo con el consumidor.
r ≤ u ( x )
(1) y (3) →  1 1 1
r1 ≤ u1 ( x1 ) − u1 ( x2 ) + r2
(1)'
(2)'
r ≤ u2 ( x2 )
(2) y (4) →  2
 r2 ≤ u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) + r1
(3)'
(4)'
El monopolista desea maximizar beneficios y, por tanto, desea elegir r1 y r2 lo más
alto que se pueda. Por tanto, sólo una de las dos primeras desigualdades y sólo una de
las dos segundas serán efectivas (se cumplirán con igualdad). El supuesto de que el
consumidor 2 es el consumidor de demanda alta y el consumidor 1 el consumidor de
demanda baja (es decir, se cumple: u2 ( x) > u1 ( x) ∀x y u2' ( x) > u1' ( x) ∀x ) es suficiente
para determinar las restricciones que son efectivas.
1) Demostración de que (4)’ se cumple con igualdad y (3)’ con desigualdad
estricta
Supongamos por el contrario que (3)’ se cumple con igualdad y por tanto que
r2 = u2 ( x2 ). Entonces (4)' → r2 ≤ r2 − u2 ( x1 ) + r1 → r1 ≥ u2 ( x1 ). Como el consumidor 2
es el de demanda alta u2 ( x) > u1 ( x) ∀x entonces r1 ≥ u2 ( x1 ) > u1 ( x1 ). Es decir,
r1 > u1 ( x1 ) y por tanto no se cumpliría la restricción (1)’ lo que supone una
contradicción. (No es compatible que se cumpla con igualdad la restricción de
participación del consumidor de demanda alta con que el consumidor de demanda baja
compre el bien). En conclusión, (3)’ no es efectiva y (4)’ si lo es:
r2 = u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) + r1 (5)
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2) Demostración de que (1)’ se cumple con igualdad y (2)’ con desigualdad
estricta
Supongamos por el contrario que (2)’ se cumple con igualdad y por tanto que
r1 = u1 ( x1 ) − u1 ( x2 ) + r2 . Sustituyendo r2 desde la condición (5) obtenemos:
r1 = u1 ( x1 ) − u1 ( x2 ) + u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) + r1
= r2
Esto implica
u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) = u1 ( x2 ) − u1 ( x1 )
∫
x2
∫
x2
x1
x1
x2
u2' (t )dt = ∫ u1' (t )dt
x1
[u2' (t ) − u1' (t )]dt = 0
Pero esto viola el supuesto de que el consumidor 2 es el consumidor de demanda
alta, u2' ( x) > u1' ( x) ∀x. Por tanto, (2)’ no es efectiva y si lo es (1)’:
r1 = u1 ( x1 ) (6)
Interpretación
Al consumidor de demanda baja, ya que no tiene incentivos a realizar arbitraje, se le
cobrará su disposición máxima a pagar. Al consumidor de demanda alta, que tiene
incentivos a realizar arbitraje personal (y hacerse pasar por un consumidor de demanda
baja), se le cobrará el precio máximo que le induzca a elegir el lote destinado a él
(justo la cantidad de dinero tal que el consumidor de demanda alta queda indiferente
entre su lote y el destinado al consumidor de demanda baja).
Demostración intuitiva
Vamos a ver de otra forma por qué al consumidor de demanda alta hay que dejarle con
algo de excedente. Consideremos la restricción de autoselección del consumidor de
demanda alta:
u2 ( x2 ) − r2 ≥ u2 ( x1 ) − r1 (4)
Hay que notar que, compatible con que el consumidor de demanda baja compre el
bien, el lado derecho de esta restricción es positivo. Es decir, si eligiéramos el valor
máximo para r1 la condición (4) nos quedaría:
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u2 ( x2 ) − r2 ≥ u2 ( x1 ) − u1 ( x1 ) > 0
ya que el consumidor 2 es el consumidor de demanda alta. (Lo que implica que la
restricción de participación del consumidor 2 no se puede satisfacer con igualdad).
Pero dado que le tiene que dejar con excedente positivo al consumidor de demanda
alta, le dejará con el mínimo excedente posible, dejando al consumidor 2 indiferente
entre elegir el lote diseñado para él y el lote diseñado para el consumidor 1. Es decir,
(reordenando la restricción (5)):
u2 ( x2 ) − r2 = u2 ( x1 ) − u1 ( x1 ) > 0
ya que como el consumidor de demanda baja no tiene incentivos a realizar arbitraje
(obtendría un excedente negativo) el monopolista le cobra su disposición máxima a
pagar r1 = u1 ( x1 ).
(iv) Planteamiento y resolución del problema de maximización de beneficios
max r1 + r2 − c.( x1 + x2 )
max r1 + r2 − c.( x1 + x2 )
r1 , x1 , r2 , x2
s.a
u1 ( x1 ) - r1 ≥ 0 (1)
u2 ( x2 ) - r2 ≥ 0 (2)
r1 , x1 , r2 , x2
⇒ s.a
r1 = u1 ( x1 ) (6)
r2 = u2 ( x2 ) − [u2 ( x1 ) − r1 ] (5)
u1 ( x1 ) - r1 ≥ u1 ( x2 ) - r2 (3)
u2 ( x2 ) - r2 ≥ u2 ( x1 ) - r1 (4)
El problema quedaría:
Π ( x1 , x2 )
max u1 ( x1 ) + u2 ( x2 ) − [u2 ( x1 ) − u1 ( x1 )] − c.( x1 + x2 )
x1 , x2
∂Π
= u1' ( xɶ1 ) − c − [u2' ( xɶ1 ) − u1' ( xɶ1 )] = 0
∂x1
→
2
a
2
−1 − [
−
] = 0 → 2 − xɶ1 − 1 − a + 2 = 0 → xɶ1 = 3 − a (7)
xɶ1 + 1
xɶ1 + 1 xɶ1 + 1
∂Π
a
= u2' ( xɶ2 ) − c = 0 → u2' ( xɶ2 ) =
= 1 = c → xɶ2 = x2* = a − 1 (8)
∂x2
xɶ2 + 1
Las tarifas vendrán dadas por:
rɶ1 = u1 ( xɶ1 ) = 2 ln( xɶ1 + 1) = 2 ln(4 − a )
rɶ2 = u2 ( xɶ2 ) − [u2 ( xɶ1 ) − u1 ( xɶ1 )] = a ln a − [a ln(4 − a ) − 2 ln(4 − a )]
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¿Para qué valores de a decide el monopolista servir el bien a ambos consumidores?
El monopolista decidirá ofrecer el bien a ambos consumidores siempre que obtenga
mayores beneficios que ofreciendo el bien exclusivamente al consumidor de demanda
alta. Es decir, ofrecerá el bien a ambos consumidores si se cumple:
Π (0, x2* ) ≤ Π ( xɶ1 , xɶ2 )
u2 ( x2* ) − cx2* ≤ u1 ( xɶ1 ) − cxɶ1 + u2 ( x2* ) − [u2 ( xɶ1 ) − u1 ( xɶ1 )] − cx2*
rɶ1
rɶ2
[u2 ( xɶ1 ) − u1 ( xɶ1 )] ≤ u1 ( xɶ1 ) − cxɶ1
Si esta condición no se cumple el monopolista decidiría ofrecer el bien exclusivamente
al consumidor de demanda alta. Otra forma de verlo consiste en considerar el
beneficio marginal de x1. Si fuera negativo para todo nivel de x1
∂Π ( x1 )
= u1' ( x1 ) − c − [u2' ( x1 ) − u1' ( x1 )] < 0 ∀x1
∂x1
>0
>0
entonces el monopolista decidiría no ofrecer nada al consumidor de demanda baja, ya
que para todo nivel de x1 reducir la cantidad ofrecida al consumidor de demanda baja
elevaría el beneficio.
∂Π
= u1' ( x1 ) − c − [u2' ( x1 ) − u1' ( x1 )] =
∂x1
=
3 − a − x1
a
2
2
4−a
−1 − [
−
−1 =
]=
x1 + 1
x1 + 1 x1 + 1 x1 + 1
x1 + 1
Si a ≥ 3 entonces
∂Π
< 0 ∀x1 y el monopolista decidiría no ofrecer el bien al
∂x1
consumidor de demanda baja. Cuando a < 3 al monopolista le interesaría ofrecer al
consumidor de demanda baja la primera unidad infinitesimal ya que:
∂Π
( x1 = 0) = 3 − a > 0
∂x1
En este caso la cantidad ofrecida al consumidor de demanda baja es tal que el beneficio
marginal del monopolista se hace 0 (solución interior) y de la CPO obtenemos:
xɶ1 = 3 − a que será estrictamente positiva siempre que a < 3 .
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