IR - profemunar
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Universidad de Ciencias de la Informática.
Escuela de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Informática.
Algebra II
Miguel Angel Muñoz Jara.
Universidad de Ciencias de la Informática.
Escuela de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Contenidos
1
2
3
4
Matrices.
1.1 Definiciones.
1
1.2 Matrices Especiales.
3
1.3 Operaciones entre Matrices.
4
1.4 Matrices Complejas.
9
1.5 Matrices Invertibles.
19
1.6 Sistemas de Ecuaciones.
25
Determinantes.
2.1 Definiciones.
39
2.2 Calculo de Inversas vía Determinantes.
42
Espacios Vectoriales.
3.1 Definiciones Básicas.
50
3.2 Independencia Lineal y Bases.
52
3.3 Matriz Cambio de Base.
59
3.4 Vectores en el Espacio.
62
Transformaciones Lineales.
4.1 Definiciones Básicas
73
4.2 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal.
76
4.3 Matriz Asociada a una Transformación Lineal.
78
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Curso: Algebra II.
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Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
5
Material de Apoyo.
5.1 Solemnes y Pautas Año 2001.
5.2 Solemnes Segundo Semestre Año 2000.
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88
115
Curso: Algebra II.
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Escuelas de Ingeniería.
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1. Matrices
1.1. Definiciones.
Definición 01: una matriz sobre el cuerpo de los números reales es un
ordenamiento rectangular de números denotado por:
a11
a
21
.
A= .
.
a m1
donde a ij ∈ IR, i = 1,2,..., m
a12
a 22
.
.
.
a1 n
.
.
.
................ amn
................
................
am 2
j = 1,2,...., n .
La i - esima fila de A es (a i1
j - esima columna de A es:
a i2
............ ain ) con 1 ≤ i ≤ m . Mientras que la
a1 j
a2 j
.
.
.
a
mj
con 1 ≤ j ≤ n .
si una matriz A posee m filas y n columnas, diremos que A es una matriz de
orden m por n ( m × n) . Si m = n , se dice que la matriz A es una matriz cuadrada
de orden n y que los elementos a11 , a22 ,.....a nn forman la diagonal principal de A .
Y nos referimos a los elementos a ij como las entrada (i , j ) de la matriz A con lo
cual podemos escribir:
A = Am ×n = ( aij ) .
El conjunto M m× n (K ) denota el conjunto de todas las matrices de orden m × n sobre
el cuerpo K( = IR o C) . si m = n M n (K ) denota el conjunto de las matrices
cuadradas de orden n sobre el cuerpo K .
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-1 -
Curso: Algebra II.
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Definición 02: dos matrices Am× n Y B p ×q son iguales si y solamente si m = p, n = q
y a ij = bij , ∀ i = 1, 2,..., m; ∀ j = 1,2,..., n .
Ejemplo 01: observe que en cada caso los pares de matrices dados son
diferentes:
3
1
1 3
a) 2 − 1 ≠
, ya que los ordenes son diferentes, mientras la primera
2 − 1
0
0
matriz posee orden 3x2 la segunda matriz posee orden 2x2.
1 − 1 0 0 − 1 0
b) A =
≠
= B , ya que los elementos
3 4 2
3 4
2
diferentes.
a11
Y b11 son
Ejemplo 02: determine a , b, c y d si existen de manera que en cada caso las
igualdades sean validas.
a 2 + 2a − 1 − 3 − 1
a)
, en M 2 ( IR) .
=
2
b
2 1 + a
c 2 − c + 1 d 3 2c
b)
, en M 2 ( IR) .
=
1
c + 2d 1 6
a 2 + 2a + b − 1 a 2 + 1 2c
c)
=
, en M 2 ( IR) .
2
b 2d
a+b+c
Solución:
a 2 + 2a
a)
b
− 1 − 3 − 1
=
2
2 1 + a
a2 + 2a
−1
⇒
b
2
=
−3
=
−1
(1) a 2 + 2 a =
−3
⇒
.
= 1+ a
( 2)
b = 1+ a
=
2
De la ecuación (1) vemos que una solución es a = −1 + i 2 , con lo cual a, b ∈ C
así la igualdad no es posible en M 2 ( IR) .
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-2 -
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(1) c 2 − c + 1 = 3
c − c + 1 d 3 2c
b) si
⇒ ( 2)
d = 2c
=
1
c + 2d 1 6
(3)
c + 2d =
1
2
5
, pero este valor no satisface la ecuación (1).
6
Con lo cual deducimos que no existen a , b, c y d números reales para que la
igualdad sea valida.
de (2) y (3) obtenemos que c =
(1) a + 2 a + b
( 2)
a +b + c
⇒
( 3)
−1
(4)
2
2
a + 2a + b − 1 a + 1 2c
c)
=
2
b 2d
a+b+c
2
2
= a +1
=
b
=
2c
=
d
2
1
2
b=
0
1
⇒ c= − .
2
d=
2
a=
1.2. Matrices Especiales.
Definición 03: definimos la matriz nula o matriz cero por la matriz que posee todas
sus entradas cero, la cual denotamos por 0 m ×n = 0 .
Ejemplo 03:
0 0
a)
= 0 2 .
0 0
0 0 0 0
B) 0 0 0 0 = 0 3× 4 .
0 0 0 0
Definición 04:(Matriz Diagonal) sea A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) diremos que A es una
matriz diagonal si y solo si a ij = 0 para i ≠ j .
Ejemplo 04:
1 0 0
a) A = 0 0 0
0 0 1
0 0
b) B =
0 0
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-3 -
1
0
c) C =
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
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Definición 05: llamamos matriz identidad
diagonal de orden n definida por
o unitaria de orden n a la matriz
1 0 ...... 0
1 ...... 0
. .
I = In =
. .
. .
0 0 ...... 1
Definición 06: (Matriz Triangular Superior e Inferior) Una matriz
A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) se denomina matriz Triangular Superior si a ij = 0, ∀i > j ,
analogamente diremos que A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) es una matriz Triangular Inferior si
a ij = 0, ∀i < j .
Ejemplo 05:
1 2 3
a) 0 0 0 matriz triangular superior.
0 0 3
1
0
b)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
matriz triangular inferior.
0
0
1.3. Operaciones entre Matrices.
Las operaciones entre matrices producen nuevas matrices a partir de las matrices
dadas.
Definición 07:(Adición) sean A = ( aij ), B = (bij ) ∈ M n× m ( IR ) definimos la suma
entre A y B por:
A + B = ( aij ) + (bij ) = (c ij ) = (aij + bij ) .
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Observe que la suma de matrices solo esta definida entre matrices de mismo
orden.
1 2 3
Ejemplo 06: sean A =
, B =
0 − 1 2
1 21 − 3
entonces
− 2 − 1
4
1 2 3 1 21 − 3 2 23 0
A+ B =
=
.
+
4 − 2 − 2 6
0 − 1 2 − 2 − 1
Teorema 01: (M n ×m (IR ) + ) es un grupo abeliano, es decir la suma es asociativa,
conmutativa, existe elemento neutro y existe elemento inverso.
Definicion 08: sean A = ( aij ) ∈ M n ×m ( IR) y k ∈ IR definimos el producto de un
escalar k por la matriz A por:
kA = k (a ij ) = ( kaij ) .
1 2 3 − 2 − 4 − 6
Ejemplo 07: ( −2)
.
=
2 − 4
0 − 1 2 0
Definición 09:(Multiplicación de Matrices) sean
B = (bij ) ∈ M n × p ( IR ) definimos el producto de A y B por:
A = (a ij ) ∈ M m ×n (IR )
AB = (aij )m × n (bij )n × p = (cij )m × p
donde
n
c ij = ∑ aik bkj i = 1,2,..., m. j = 1, 2,..., p .
k =1
5
− 2
1 2 − 1
Ejemplo 08: sean A =
, B = 4 − 3 entonces
3 1 4
2
1
5
− 2
1 2 − 1
4 − 2
AB =
⋅ 4 − 3 =
.
6 16
3 1 4 2
1
Observación: el producto de matrices no es conmutativo.
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y
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1 0 0
0 0 0
Ejemplo 09: consideremos A = 1 0 0 , B = 1 0 0 entonces
0 0 0
0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
AB = 1 0 0 1 0 0 = 0 0 0 ≠ BA = 1 0 0 1 0 0 = 1 0 0 .
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Definición 10: si A es una matriz cuadrada de orden n y k ∈ IN, definimos las
potencias de la matriz A por
A0 = I n
Ak = AAk −1
1 0
Ejemplo 10: sea A =
determine A3
1 0
1 0 1 0 1 0
A2 =
=
1 1 1 1 2 1
1 0 1 0 1 0
A3 = AA2
=
1 1 2 1 3 1
Definición 11: sea A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) diremos que A es Idempotente si A2 = A .
Definición 12: sea A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) diremos que A es Nilpotente si existe
k ∈ IN , tal que Ak = 0 .
Definición 13: sea A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) diremos que A es Involutiva si A2 = I n .
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0 − 1 0
1 0
1 − 1
Ejemplo 11: sean A =
, B = 0
0 0 , C =
observe que:
0
1
0 0
0
1 0
1 0
a) A =
es Idempotente.
0 0
0 − 1 0
b) B = 0 0 0 es Nilpotente de orden dos ya que A2 = 0 .
0
1 0
1 − 1
c) C =
es Involutiva.
1
0
Definición 14:(Matriz Traspuesta) Sea A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) , definimos la traspuesta
de A por At = (bij ) ∈ M n ×m (IR ) donde
bij = a ji .
Es decir la traspuesta de una matriz A se obtiene a partir de A intercambiando
las filas por las columnas de A .
Ejemplo 12:
1 − 5
1 3 − 4
t
A=
⇒ A = 3
6
− 5 6 10
− 4 10
1 0 − 5
1 − 3 2
t
B = − 3 15 − 7 ⇒ A = 0 15 1
2 1 10
− 5 − 7 10
Teorema 01: sean A, B ∈ M m× n (IR ) y k ∈ IR entonces
a)
(A )
= A.
b)
(kA)t
= kAt .
c)
( A + B )t
d)
( AB )t
t t
= At + B t
= B t At
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Definición 15:(Traza ) sea A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) definimos la traza de A por
n
Tr ( A) = ∑ a ii .
i =1
Teorema 02: sean A, B ∈ M n (IR ) y k ∈ IR entonces
a) Tr (kA) = kTr( A) .
b) Tr ( A + B) = Tr ( A) + Tr ( B) .
c) Tr ( AB) = Tr ( BA) .
Definición 16:(Matriz Simétrica ) sea A ∈ M n ( IR ) diremos que A es Simétrica si
A = At .
Definición 17:(Matriz Antisimétrica) sea
A ∈ M n ( IR ) diremos que
A es
Antisimétrica si At = − A .
Proposición 01: dada A ∈ M n ( IR ) existe una descomposición única de A como
la suma de una matriz simétrica con una matriz antisimétrica, tal descomposición
es:
simetrica
ica
6
78 antisimetr
678
t
A+ A
A − At
A=
+
2
2
.
Ejemplo 13:
2 3
2 3
1
1
t
A = 2 − 6 6 ⇒ A = 2 − 6 6 = A , entonces A es simétrica.
3
3
6 33
6 33
2 3
0
0 − 2 − 3
t
A = − 2
0 6 ⇒ A = 2
0 − 6 = − A , entonces A es antisimétrica.
− 3 − 6 0
3
6
0
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Observación: note que si una matriz es antisimétrica los elementos de su
diagonal están obligados a ser ceros.
Definición 18: sea A ∈ M n ( IR ) diremos que A es ortogonal si AAt = At A = I .
1
9
4
Ejemplo 14: sea A =
9
8
9
8
9
4
−
9
1
9
4
−
9
7
− es ortogonal.
9
4
9
Definición 19: sea A ∈ M n ( IR ) , diremos que A es Normal si AAt = At A .
Observación: note que si A ∈ M n ( IR ) es simétrica, antisimétrica u ortogonal
entonces obviamente es normal. Sin embargo no todas las matrices normales son
de los tipos de matrices ya mencionados.
6 − 3
Ejemplo 20: A =
es normal.
6
3
Teorema 03: sea A ∈ M 2 ( IR ) una matriz normal entonces a es simétrica o bien la
suma de una matriz escalar y otra antisimétrica.
1.4. Matrices Complejas.
Denotaremos por M n ×m ( C ) al conjunto de matrices de orden n × m sobre el cuerpo
de los complejos.
Definición 20: sea A = ( aij ) ∈ M n× m ( C) definimos la conjugada de la matriz A por:
( )
A = ( aij ) = a ij .
Definición 21: sea
A = ( aij ) ∈ M n× m ( C) definimos la traspuesta conjugada de A
por:
A H = (a ij ) t
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2 + 3i 1 + i
2 − 3i − 6i
Ejemplo 21: sea A =
entonces A H =
.
6i 1 − i
1 − i 1 + i
Definición 22: diremos que una matriz A∈ M n ( C) es:
a. Hermitica si y solo si A H = A .
b. Antihermitica si y solo si A H = − A .
Observe que si A es Hermitica entonces todos los elementos de su diagonal
deben ser reales. De forma similar si A es Antihermitica entonces los elementos
de su diagonal deben ser complejos puros.
Proposición 02: dada A∈ M n ( C ) existe una descomposición única de A como
la suma de una matriz Hermitica con una Antihermitica, tal descomposición es:
hermitica
ica
6
4
74
8 antihermit
6
474
8
H
A+A
A − AH
A=
+
2
2
Definición 23: diremos que una matriz A∈ M n ( C) es Unitaria si AAH = I .
Ejemplo 22:determine en cada caso si la afirmacion dada es valida.
− i − 1 + i
1
1
a) A = i
1
1 + i es Unitaria .
2
1 + i − 1 + i
0
3 1 − 2i 4 + 7i
b) B = 1 + 2i − 4i
− 2i es Hermitica.
4 − 7i
2i
2
Solución: a) solo basta ver que AAH = I .
− i − 1 + i
1 −i
1 − i 1 0 0
1
1
AA = i
1
1 + i
i
1 − 1 − i = 0 1 0
4
1 + i − 1 + i
0 − 1 − i 1 − i
0 0 0 1
H
b) falso ya que el elemento b22 ∉ IR , por lo cual B no puede ser hermitica.
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Ejercicios.
1. Dadas las siguientes matrices:
4
2 − 2
C = 5 − 6
7
2
1 − 3
2 1 − 2
A=
4
− 3 0
0 1
B = − 3 2
8 1
2 1
D =
3 4
2 − 2 1
E = 3
5 6
− 5
1 4
calcular si es posible:
E + C , CB + D, AB, BA, AB + D 2 , At D, ABD , A(C + E ), AC + AE, (C + E )t
2. Resolver la ecuación matricial para X ∈ M 2 ( IR ) ; 2 X + At = A + B 2 , donde:
2 1
3 1
A=
;
B
=
1 2 .
1 0
3. Determine la forma general de las matrices cuadradas de orden 2, que
− 2 1
conmutan, respecto al producto, con la matriz A =
.
− 3 1
2 1 1
4. Si A = 0 2 2 y B =
2 1 0
−1
− 2
−1
[
1 1
2 0 , determine la matriz X ∈ M 3 (IR ) en la
0 1
t
siguiente ecuación matricial: AX
]
t
− B = At + X .
5. Encuentre la matriz X, de orden 3, tal que ( X −1 + A) −1 = B , si se sabe que
1 1 1
−1 −1 0
A = − 1 0 − 1 y B = 1 1 0 .
1 0 0
0 −1 0
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1 1
6. Si A = 1 2 , demuestre que I 3 − A( A t A) −1 At es idempotente y encuentre su
1 1
rango.
7. Resuelva la siguiente ecuación matricial, de acuerdo a los diversos valores de
la constante a:
a 1 a 1
X ⋅
=
1 a a a
(donde X es una matriz cuadrada de orden 2).
8. Se define la matriz A = ( aij ) ∈ M 4 ( IR ) , donde
4
4
j =1
j =1
0
a ij =
1
si
si
i= j
. Sea
i≠ j
A 2 = (bij ) y ci = ∑ aij + ∑ bij . Calcule 3c2 − 4c3 .
9. Sea A = ( aij ) 4 × 4 , tal que aij = 1, ∀i , j . Encuentre el único valor del número real
x, que cumple con la igualdad: ( I4 − A)− 1 = I 4 + xA .
10. Suponga que
0
A = (aij ) 3×3 , donde aij = 1
b
i + j −2
, si i > j
, si i = j , y
, si i < j
N = A − I3 .
Demuestre que N 3 = 0 y que A ⋅ ( I 3 − N + N 2 ) = I 3 .
1 , si i ≠ j
11. Si B = (bij ) 3× 3 , donde bij =
. Determine todos los valores
0 , si i = j
reales de p y de q, sabiendo que A = pI3 + qB y A 2 = I 3 .
1 0 0
12. Si A = 1 0 1 , demuestre que A2 n = nA2 − ( n − 1) I 3 ; ∀ n ∈ IN . Calcule A30 .
0 1 0
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13. Utilice el principio de inducción matemática
n
cos x sen x
cos( nx ) sen( nx )
=
; ∀ n ∈ IN .
− sen x cos x
− sen( nx) cos( nx )
para
demostrar
que:
14. En cada caso, encuentre matrices particulares que cumplan la condición dada
(justifique la no - existencia cuando corresponda):
a) A 2 + I 2 = 0
b) AB − BA = I2
c) A 2 + I3 = 0
15. Demuestre que, en general, para dos matrices A, B cuadradas del mismo
orden, se tiene que: ( A − B )( A + B ) ≠ A2 − B 2 .
16. Demuestre que ( A + B ) 4 = A + B + 14 AB , si A y B son matrices cuadradas de
orden n, idempotentes y que conmutan.
17. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, tales que
AB = O . Demuestre que A y B son idempotentes.
A + B = In
y
18. Suponga que A y B son dos matrices cuadradas de orden n, invertibles y tales
que A + B también es invertible. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
matriciales, con X e Y son matrices cuadradas de orden n:
AX + BX + AYB − A2 − B 2 − I = O
3AX + 3BX − 2 AYB − 3I + 2 A2 + 2 B2 = O
19. Si A, B y C son matrices tales que
( AB ± BA)C = C ( AB ± BA) .
AC = CA y BC = CB , demuestre que
1 1 1
20. Dada la matriz A = 1 1 1 deduzca una formula para An .
1 1 1
1 0
3 −1 3
2 − 4 5
1 2 3
3 − 2
21. Si A =
; B = 2 1 ; C = 4 1 5; D =
; E = 0 1 4
2 1 4
2 5
3 2
2 1 3
3 2 1
a. Calcular si es posible: C+E; AB; 2C-3E; CB+D; AB+DD.
b. Si es posible calcular: ABD; A(C+E); CB+D+E; 23A+2A.
c.
Calcule : B t A t ; (C+E) t ; C t +E t .
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[ ]
22. Si A = a ij
3×3
[ ]
y B = bij
3×3
tal que:
i + j si i < j
a ij =
2i − j si i ≥ j
si (i − j ) es par
2
bij =
3 − i si (i − j ) es impar
Determine: A-B; A+B; AB-2A.
x y
23. Determinar x, y , z , w ∈ IR tales que 3
=
z w
6
4
x
− 1 2 w + z + w
x + y
.
3
24. Demostrar que AAt y At A están definidas para cualquier matriz A .
25. Demostrar las siguientes afirmaciones suponiendo que AB esta definida.
a. Si A posee una fila nula, entonces AB también.
b. Si B posee una columna nula, entonces AB también.
1 2
26. Sea A =
determinar una matriz B de orden 2 × 3 con entradas distintas
3 6
tales que AB = 0 .
2
1
3
27. Sea A =
determine f ( A) donde f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 .
4
−
3
3
1
28. Sea A =
. Determinar una matriz de orden 2 × 1 no nula, B , tal que
4 − 3
AB = 3B .
1 2 − 3
29. Sea A = 2 5 − 1 , determinar todas las matrices columnas u tales que
5 12 − 5
Au = 0 .
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- 14 -
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x
30. Determinar todas las matrices de orden dos M =
z
1 1
0 1 .
y
que conmutan con
t
31. Determine si existe una matriz triangular superior A de orden tres tal que
6 45
33
3
A = 13 − 26 33 .
2
20 − 6
32. ¿ Existen matrices que sean a la vez triangular superior y triangular inferior?
33. Determinar x, y, s, t ∈ ℜ , si existen, de tal modo que
x
2
A=
3
s
2
3
1
3
s
2
3
y sea
t
ortogonal.
a b
2
2
34. Demuestre que si A =
es ortogonal entonces a + b = 1 .
c
d
35. Demostrar por inducción que:
p
n
A = 0
0
36. Si tgα =
1
p
0
n
n
0
p
1 = 0
0
p
np n −1
pn
0
n(n − 1) n − 2
p
2
.
np n −1
pn
a
, n ∈ IN , demuestre:
n
n
n
a
a 2 2 cos(nα) sen (nα)
1 n
a
= 1 + n = − sen (nα) cos(nα) .
−
1
n
37. Calcular:
1 0
S n = A + A 2 + .... + An , donde A =
.
− 1 1
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1 − 1
38. Determinar todas las matrices de orden dos que conmuten con
.
2
0
39. Determine A, B ∈ M 2 (IR ) distintas tales que AB = 0 .
40. Considere A = kI n + λ B , donde B ∈ M n ( IR ) es tal que todos sus elementos son
1 salvo los elementos de su diagonal los cuales son nulos.
a. Determine k , λ de manera que A2 = I n .
b. Determine todas las matrices de orden tres que satisfacen a.
41. Resolver el sistema matricial para X , Y ∈ M 2 ( IR )
A4 X − 2Y t = BA n
X t + ( At ) Y = B t
n
n ∈ IN
2
3
0 1
donde A =
,
B
=
− 1 0 .
− 3 − 2
42. Sea A ∈ M n ( IR ) una matriz antisimétrica. Probar que si A es no singular,
entonces n debe ser par.
43. Sean A, B ∈ M n [IR ] y c ∈ IR demuestre que:
a. Tr(cA)=cTr(A).
b. Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B).
c. Tr(AB)=Tr(BA).
44. Demuestre que no existen dos matrices de orden dos tales que AB – BA = I 2 .
45. Encuentre tres matrices de orden dos tales que AB = AC con B ≠ C y A ≠ 0.
46. Sea A una matriz de orden n x m y c ∈ IR demuestre que si cA=0 entonces
c = 0 o A=0.
47. Sean A, B, C ∈ M n [IR ] demuestre que A (B + C) = AB+ BC .
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48. Sea A ∈ M n [IR ] . Diremos que A es Idempotente si y solo si A 2 = A. Diremos
que A es Nilpotente si y solo si existe p ∈ N tal que A p = 0. Muestre que:
2 − 2 − 4
3
4 es Idempotente.
a. A = − 1
1 − 2 − 3
1
3
1
2
6 es Nilpotente.
b. B = 5
− 2 − 1 − 3
49. Sea A∈ M n [IR ] Nilpotente de orden 2 demuestre que para todo p ∈ IN se tiene
que A( I n ± A) p = A .
50. Sean A, B ∈ M n [IR ] demuestre que si AB=A y BA=B entonces las matrices A y B
son idempotentes.
51. Demuestre que si A, B ∈ M n [IR ] son triangulares superiores(inferiores)
entonces AB es triangular superior(inferior).
52. Deducir una formula para hallar el producto BA de una matriz B de orden n × m
por una matriz A de orden m diagonal.
1 3
2
53. Si A= 1 − 1 2 demuestre que A3 − 2 A 2 − 9 A = 0 pero que A3 − 2 A − 9 I ≠ 0 .
1 2 1
54. Demuestre por inducción que para todo n natural se tiene que
x n nx n −1
x 1
0 x =
xn
0
n
55. Demuestre que si A ∈ M n [IR ] es simétrica entonces: A t A; AA t y A 2 son
simétricas.
56. Demuestre que si AB = A y BA = B entonces se verifica que:
a. B t A t =A t y A t B t =B t .
b. A t y B t son idempotentes.
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57. Diremos que una matriz A de orden n es Involutiva si A 2 = I. Demuestre que
si A es Involutiva entonces las matrices ½ ( I + A ) y ½ ( I – A ) son idempotentes
y que:
( I + A )( I – A )=0.
58. Sea A ∈ M m×n ( IR ) , demuestre que los elementos de la diagonal de At A son
elementos positivos.
59. Pruebe que lo elementos de la diagonal de una matriz Hermitiana son reales,
mientras que de una matriz Antihermitiana son imaginarios puros.
60. Pruebe que si A es simétrica, entonces P t AP es simétrica para toda elección
compatible de P.
61. ¿Qué puede concluir si una matriz es triangular y simétrica?
62. Si
A ∈ M n ( K ) es triangular estricta pruebe que es nilpotente, esto es que
∃ k ∈ IN tal que Ak = 0
63. Pruebe que para cada A ∈ M n ( K ) se tiene que: A = T1 + D + Tm , en forma
única, donde T1 es triangular inferior estricta, D es diagonal, y Tm es triangular
superior estricta.
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1.5. Matrices Invertibles.
Definición 24: sea A ∈ M n ( IR ) , diremos que A es invertible si ∃B ∈ M n (IR ) tal
que AB = BA = I n y diremos que B es la inversa de A y denotaremos B = A −1 .
Propiedades: sean A, B ∈ M n (IR ) matrices invertibles entonces:
( )
a) A−1
−1
b)
( AB )−1
c)
(A )
t −1
= A.
= B −1 A −1 .
( )
= A −1
t
a b
Observación: sea A ∈ M 2 ( IR ) una matriz invertible, tal que A =
entonces
c d
es fácil comprobar que A es invertible si y solo si ad − bc ≠ 0 y su inversa es:
A −1 =
1
ad − bc
d − b
− c a .
Observación: si una matriz A es invertible, esta es llamada habitualmente matriz
Regular o No Singular.
En lo que sigue de esta sección trataremos de proporcionar las herramientas
necesarias para poder determinar cuando una matriz es invertible y si lo es poder
determinar su inversa, ya que para matrices de orden n > 2 no es tan fácil deducir
una formula para la inversa.
Definición 25: sea A ∈ M n ( IR ) . Llamaremos operaciones elementales por filas
sobre A a cada una de las siguientes operaciones con filas de la matriz A .
a) Denotamos por Fij al intercambio de la fila i con la fila j.
b) Denotamos por Fi (r ) al reemplazo de la fila i por r veces la fila i, r ≠ 0 .
c) Denotamos por Fij (r ) al reemplazo de la fila i por la suma de la fila i mas r
veces la fila j, i ≠ j .
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Análogamente podemos definir las operaciones elementales por columnas.
d) Denotamos por Cij al intercambio de la columna i con la columna j.
e) Denotamos por Ci (r ) al reemplazo de la columna i por r veces la columna i,
r ≠0.
f) Denotamos por Cij (r ) al reemplazo de la columna i por la suma de la columna
i mas r veces la columna j, i ≠ j .
Notación: si A, B ∈ M n (IR ) y B se obtiene a partir de A efectuando sobre esta la
operación elemental E ,entonces denotaremos
E
A→ B .
− 1 − 2 − 1 2
Ejemplo 23: sea A = 0
4
3 7 entonces vemos que:
2
5
0 − 1
1 − 2 − 1 2
A → − 6
4
3 7;
2
5
0 − 1
C13 ( −2 )
2
1 − 2 −1
A → − 6
4
3
7
0
9
2 − 5
F31 ( −2 )
observe que a partir de la matriz identidad podemos formar las siguientes
matrices.
1
0
0
0
0 0 0
1
1 0 0 C13 ( −2) 0
→
− 2
0 1 0
0 0 1
0
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0 0 0
1 0 0
= E '13 (−2)
0 1 0
0 0 1
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1 0 0 F ( −2) 1 0 0
0 1 0 31→ 0 1 0 = E (−2)
31
0 0 1
− 2 0 1
Definición 26: Una matriz elemental de orden n es la matriz identidad de orden n
luego de efectuarle una operación elemental y la denotaremos por:
F ij
F ij ( r )
I n → E ij ,
In →
Fi ( r )
E
ij
( r ),
In →
Ei(r )
.
C
C
ij
I n → E ' ij ,
ij
(r )
In →
C
E ' ij ( r ),
i
(r)
In →
E 'i ( r )
Proposición 03: Sean A, B ∈ M m× n (IR ) tales que podemos obtener la matriz B vía
operaciones elementales sobre al matriz A , ya sean operaciones filas o columnas.
Si enumeramos las operaciones por orden de ejecución y distinguimos las
operaciones filas de las operaciones columnas, entonces existen matrices
elementales filas E1 , E2 ,......, Et de orden n y existen matrices elementales
columnas E '1 , E ' 2 ,......, E' s de orden m tal que
Et ⋅ Et −1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ E2 ⋅ E1 ⋅ A ⋅ Es ⋅ E s −1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ E '2 ⋅E '1 = B
Proposición 04: toda matriz elemental es regular, es decir es invertible. Además:
a)
(E )
b)
( E i ( r ) ) −1
c)
(E
ij
−1
= Eij .
= E i ( r −1 ) .
( k ) ) = Eij ( −k ) .
−1
ij
Definición 27: sean A, B ∈ M m× n (IR ) entonces:
a) Diremos que A es Equivalente por Filas a B si y solo si B se obtiene por un
numero finito de operaciones elementales filas sobre A . En tal caso
F
anotaremos A → B .
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b) Diremos que A es Equivalente por Columnas a B si y solo si B se obtiene
por un numero finito de operaciones elementales columnas sobre A . En tal
C
caso anotaremos A → B .
c) Diremos que A es Equivalente a B si y solo si B se obtiene por un número
finito de operaciones elementales sobre A . En tal caso anotaremos A→ B .
Observación: A es equivalente por filas a B implica que existe una matriz regular
P tal que PA = B .
Análogamente A es equivalente por columnas a B implica que existe una matriz
regular C tal que AC = B .
Por ultimo si A es equivalente a B implica que existen una matrices regulares P ,
Q tal que PAQ = B .
Teorema 01: sea A ∈ M n ( IR ) entonces:
a) Si A es equivalente por filas a la matriz identidad, entonces A es producto de
matrices elementales.
b) Si A es equivalente por columnas a la matriz identidad, entonces A es
producto de matrices elementales.
c) Si A es producto de matrices elementales entonces A es regular.
d) Si A es regular entonces A es producto de matrices elementales.
Proposición 05: sean A, B ∈ M n (IR ) entonces se tiene que:
F
a) Si A es singular y A → B , entonces B es singular.
C
b) Si A es singular y A → B , entonces B es singular.
c) Si A es singular y A→ B , entonces B es singular.
Proposición 06: si A ∈ M n ( IR ) posee una fila o columna nula entonces A es
singular.
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Ejemplo 24: las siguientes matrices son singulares.
1 0 0
a) 0 0 0 .
0 0 0
1 2 0
b) 2 − 1 0 .
1 9 0
Ejemplo 25: usando operaciones elementales determine la inversa, si existe, de la
1 2 6
matriz A = 1 0 1 .
0 1 2
Solución: consideremos la siguiente matriz
1 2 6 1 0 0
( A | I 3 ) = 1 0 1 0 1 0
0 1 2 0 0 1
y realicemos operaciones elementales tratando de obtener en el lado izquierdo la
matriz identidad vía operaciones elementales por filas.
0
1 2 6 1 0 0
1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
F12
F31 ( −1)
( A | I 3 ) = 1 0 1 0 1 0 → 0 1 2 0 0 1
→ 0 1 2 0 0
1
F
F (−2)
0 1 2 0 0 1 23
1 2 6 1 0 0 32
0 0 1 1 − 1 − 2
2
1 0 0 − 1 2
F23 (−2)
→ 0 1 0 − 2
2
5
F13 (−1)
0 0 1
1 − 1 − 2
Así vemos que A es regular y que su inversa es
2
−1 2
A = − 2 2
5 .
1 − 1 − 2
−1
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- 23 -
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Definición 28: sea E ∈ M m× n (IR ) diremos que
reducida por filas si y solo si:
E es una matriz escalonada
a) El primer elemento no nulo de cada fila no nula es igual a 1 y la columna en
que aparece es columna de la matriz identidad I m (los demás elementos de la
columna son ceros..
b) Las filas nulas si las hay están bajo las filas no nulas.
c) Si los unos, con que comienza cada fila no nula están en las posiciones
(1, c1 ), ( 2, c2 ),....., ( r , cr ) entonces c1 < c2 < ...... < cr
Ejemplo 26: las siguientes matrices son escalonadas por filas.
1 2 0
a) A = 0 0 1 en este caso tenemos c1 = 1 < c 2 = 3 .
0 0 0
0 1 0 0
b) A = 0 0 1 0 es este caso tenemos c1 = 2 < c 2 = 3 .
0 0 0 0
0
0 1 0
c) A = 0 0 1
1 es este caso A no es escalonada.
0 0 0 − 1
Teorema 02: si A ∈ M m×n ( IR ) entonces existe una única matriz escalonada
reducida por filas E ∈ M m× n (IR ) tal que A → E . Denotaremos E = E ( A) .
F
Definición 29: si A ∈ M m×n ( IR ) definimos el rango de A por el numero de filas no
nulas de la matriz E ( A) , que denotaremos por ρ( A) .
Teorema 03: sea A ∈ M n ( IR ) entonces A es regular si y solo si ρ( A) = n .
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- 24 -
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1.6. sistemas de ecuaciones.
En esta sección resolveremos sistemas de ecuaciones con las herramientas
expuestas en las secciones anteriores.
Consideremos el siguiente sistema:
a11 x1 + a12 x 2 + ........ + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ........ + a 2 n x n = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
a m 1 x1 + am 2 x2 + ........ + a mn x n = bm
(1)
observe que (1) es equivalente al sistema matricial
AX = b
(2)
x1
b1
.
.
.
.
donde A = ( aij ) ∈ M m× n (IR ) , X = ∈ M n ×1 ( IR ) y b = ∈ M m ×1 ( IR ) .
.
.
xn
bm
La matriz A = ( aij ) ∈ M m× n (IR ) se denomina matriz asociada al sistema.
t1
.
.
Definición 30: diremos que X 1 = ∈ M n ×1 ( IR ) es solución del sistema (2),
.
t n
equivalentemente del sistema (1), si AX 1 = b
Es importante mencionar que los sistemas de ecuaciones se dividen en dos tipos,
Sistemas Homogéneos y No Homogéneos.
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Definición 31:(Sistemas Homogéneos) El sistema de ecuaciones (1) se dice
0
.
Homogéneo si b = . ∈ M m×1 (IR ) , es decir el sistema (1) se transforma en:
.
0
a11 x1 + a12 x 2 + ........ + a1 n xn = 0
a 21 x1 + a 22 x 2 + ........ + a 2 n x n = 0
.
.
.
.
.
.
.
.
a m 1 x1 + a m 2 x2 + ........ + a mn x n = 0
(3)
Observación: un sistema Homogéneo siempre posee solución, ya que siempre
podemos elegir la solución trivial x1 = x 2 = ...... = xn = 0 .
De la observación anterior vemos que es importante determinar cuando un
sistema Homogéneo posee una solución distinta a la trivial.
Proposición 07: si X 1 , X 2 ∈ M n×1 ( IR ) son soluciones del sistema homogéneo (3)
entonces pata todo α, β ∈ IR , αX 1 + βX 2 ∈ M n ×1 (IR ) es solución del sistema
Homogéneo (3).
Observación: por la Proposición 07 vemos que si un sistema de ecuaciones
homogéneo posee una solución distinta de la trivial entonces este posee infinitas
soluciones.
Teorema 04: Dado el sistema homogéneo
a11 x1 + a12 x 2 + ........ + a1 n xn = 0
a 21 x1 + a 22 x 2 + ........ + a 2 n x n = 0
.
.
.
.
.
.
.
.
a m 1 x1 + a m 2 x2 + ........ + a mn x n = 0
entonces:
a) El sistema posee solución única si y solo si
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- 26 -
ρ ( E ( A )) = n
.
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b) El sistema posee infinitas soluciones si y solo si ρ( E( A)) < n . En tal caso el
grado de libertad del sistema es L = n − ρ( E ( A)) , es decir existen L variables
independientes.
Ejemplo 27: determine las soluciones del sistema
2x + 3y + z + w = 0
3 y − 3w = 0
2 x + 6 y + z − 2w = 0
Solución: consideremos el sistema matricial asociado.
x
1 0
2 3 1
0 3 0 − 3 y = 0
z
2 6 1 − 2 0
w
(*)
Si realizamos operaciones elementales a la matriz asociada al sistema
obtenemos:
1
1
1
1
2 3 1
2 3 1
2 3 1
2 3 1
1
A = 0 3 0 − 3 F31 ( −1) 0 3 0 − 3 F32 (−1) 0 3 0 − 3 F2 0 1 0 − 1
3
2 6 1 − 2
0 3 0 − 3
0 0 0
0 0 0
0
0
vemos que ρ( A) = 2 entonces L = 4 − ρ( A) = 2 , es decir el sistema posee grado
de libertad dos. Por lo cual posee infinitas soluciones.
Por otro lado vemos que el sistema (*) es equivalente al sistema.
2x + 3y + z + w = 0
y= w
⇒
y−w =0
z = −2 x − 4 w
Así podemos observar que el conjunto de soluciones esta dado por
S = {( x, y , z, w) / y = w ∧ z = −2 x − 4 w}
S = {( x, w, −2 x − 4w, w) / x , w ∈ IR}
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- 27 -
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Definición 32:(Sistemas No Homogéneos) El sistema de ecuaciones (1) se dice
No Homogéneo si este no es Homogéneo.
Definición 33: dado el sistema No Homogéneo
a11 x1 + a12 x 2 + ........ + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ........ + a 2 n x n = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
a m 1 x1 + am 2 x2 + ........ + a mn x n = bm
definimos la matriz ampliada asociada al sistema
(*)
por la matriz
[A b ]
donde
b1
.
A = ( aij ) ∈ M m× n (IR ) b = . ∈ M m ×1 ( IR ) .
b
m
Teorema 05: Dado el sistema No Homogéneo
a11 x1 + a12 x 2 + ........ + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ........ + a 2 n x n = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
a m 1 x1 + am 2 x2 + ........ + a mn x n = bm
entonces:
a) El sistema posee solución única si y solo si ρ(E ([ A b ])) = ρ( A) = n .
b) El sistema posee infinitas soluciones si y solo si ρ(E ([ A b ])) = ρ( A) < n . En tal
caso el grado de libertad del sistema es L = n − ρ( E ( A)) , es decir existen L
variables independientes.
c) El sistema no posee solución si ρ(E ([A b])) ≠ ρ( A) .
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- 28 -
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Ejemplo 28: determine si el siguiente sistema posee solución
2x + 3y + z + w = 1
3 y − 3w = 3
2 x + 6 y + z − 2w = 6
determinemos el rango de la matriz ampliada
2 3 1
2 3 1
2 3 1
1 1
1 1
1 1
[A b] = 0 3 0 − 3 3 F31 (−1) 0 3 0 − 3 3 F32 (−1)0 3 0 − 3 3
2 6 1 − 2 6
0 3 0 − 3 5
0 0 0
0 2
con lo cual podemos deducir que el sistema no posee solución ya que
ρ( A) = 2 ≠ ρ([A b ]) = 3 .
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Ejercicios.
1. Si A ∈ M n [IR ] es invertible, demuestre que (A t ) −1 = (A −1 ) t .
2. Si A, B ∈ M n [IR ] y A es invertible. Demuestre que
(A +B ) A −1 ( A - B ) =( A – B ) A −1 (A +B ).
1 2 3 − 4
3 . Encuentre las matrices que se obtienen aplicando a
3. Sea A = 0 − 1 2
− 2
5 1
0
la matriz A cada una de las siguientes operaciones elementales.
a. − F12
b. − F3 ( −2)
c. − C23
d . − F13 ( −1)
4. Hallar A ∈ M 3 ( IR) de modo que A= [F12 ][F23 ( −4)][F3 ( −5) ] .
1 0 1
5. Si
A
= − 1 3 3 hallar
una
4 6 5
B= [F12 ][F31 (−2) ][F2 ( −1) ]A[C 21 (−3)]
6. Obtener A
−1
matriz
B
de
modo
que:
1 0 2
si A= 2 − 1 3 .
4
1 8
7. Dadas las matrices A y B con A regular determine condiciones para que la
matriz A t BA sea simétrica.
8. Encuentre las inversas de :
1 3 3
A = 1 3 4
1 4 5
,
2
1
B=
−1
2
1 −1
2
3
2 − 3
2 1 − 1
−3 1
4
y
2
3
C=
2
4
4 3
2
6 5
2
5 2 − 3
5 14 14
9. Demuestre que si A es cuadranda y B es ta lque AB = I, entonces B = A −1 .
(Ayuda: Use traspuestas)
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10. Demuestre que si A es no-singular y simétrica, entonces A− 1 también es
simétrica.
11. Encuentre una matriz P no-singular tal que PA = B, donde:
2 3 4
A = 4 3 1
1 2 4
y
2 − 1
1
B = − 1 1
2
2 − 1 1
12. Demuestre que la traspuesta de una matriz elemental es otra matriz elemental.
13. Encuentre la inversa de:
1
1
T=
2
1
0
2
1
2
0
0
3
1
0
0
0
4
14. Demuestre que si T es triangular inferior y no-singular, entonces T −1 es
también triangular inferior.
15. Demuestre que si ( A | B )
(I | C ) , entonces
C = A −1 B . Esta es una forma muy
F
eficiente de calcular A ; úsela para calcular:
−1
1 2
a)
3 4
−1
1 0 0
5
2
3 − 2 b) 3 1 0
1 0 1
−1
1
1 0
4 1 4
0 1 0 c ) 2 1 − 1
4 4
1
2 0 3
8 12 − 1
1
0
0
0
−1
3
1
0
0
0
3
1
0
0
0
4
1
0
0
0
3
1
2 6
4
1
2
4 1
16. Si A =
, encuentre P no singular tal que PA esté en la forma
0 − 1 − 2 1
6 12 0
0
escalonada ¿Es P única?
17. Exprese las matrices siguientes como productos de matrices elementales:
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2 1
A=
1 2
1 0 1
B = 3 1 0
1 0 0
,
1
− 3
C=
4
2
,
0
2
1
3
0
0
3
5
0
0
0
4
18. Si A, B, C son matrices cuadradas tales que A, es no-singular y A = BC,
demuestre que B y C también son no-singulares.
1
19. Para las matrices A = 2
− 1
2
0
1
y
1
B=
2
−1
1
2
0
Calcule ( AB )t , B t At , A t B t , A t A, BB t
20. A y B son matrices no singulares tales que
(A B)
t
−1
(
− B t A −1
)
−1
(
+ B −1 A t
)
t
=I
Despeje A en términos de B.
21. Demuestre que: A y B conmuta ssi A t y B t conmutan.
22. Si A, B ∈ M n (K ) ¿En que caso se cumple A2 − B 2 = ( A + B ) ( A − B ) ?
− 3
23. Para A = − 1
1
(A )
t −1
(
y At A
5
)
2
−1
6
2
−1
verifique que
0
A = − 1
1
−1
1
3
−2
2
0 . Encuentre
1
−1
24. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique su
respuesta.
a. Si la matriz A es antisimétrica entonces A + A t =0.
b. Si A y B son invertibles entonces A + B es invertible.
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- 32 -
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c. Si A ≡ I n entonces existen P y Q matrices invertibles tal que A
−1
= QP.
d. El producto de matrices triangulares es triangular.
e. Si A, B, C ∈ M n (IR ) , B regular y AB = C, entonces A = B −1 C.
f. Toda matriz diagonal es invertible.
25. Sea A ∈ M n (IR ) invertible y U ∈ M n (IR ) tal que U t AU = A.
a. Demuestre que U es invertible.
b. ¿Es U t invertible?
c. Si U t es invertible determine (U t ) .
−1
1 0 2
26. Sean A = 1 2 0;
0 0 1
3 0 − 1
B = 1 0 − 1 ;
0 1
1
x
X = y , resuelva la ecuación:
z
1
3AX-I 3 X=A BX+ 0
1
t
1 − 4 0
27. Sea A= 1
2 1 . Encuentre la inversa
5 − 3 3
problema:
u − 4v
u + 2v + w
5u − 3v + 3w
de A si existe y resuelva el siguiente
= 0
= 0
= 0
28. Sea A ∈ M 2 ( IR) tal que A2 + I 2 − A = 0 , demuestre que A es invertible y calcule
su inversa.
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2 3 4
29. Sean A = 4 3 1
1 2 4
1 2 −1
y B = −1 1 2
2 −1 1
a. Encuentre una matriz P ∈ M 3 ( IR) tal que PA = B.
b. ¿Son A y B regulares?
c. Determine la inversa de P.
1 −1 1
30. Sea A = −2
1 1 , usando operaciones elementales,
1 −1 2
a. Determinar A −1 .
b. Exprese A −1 como producto de matrices elementales.
31. Encuentre
la
matriz
E A (matriz
escalonada
por
filas)
de
la
matriz
si
son
1 2 0 0
A= 1 1 −1 1 . Cual es el rango de la matriz A.
2 −1 2 1
5
6
2 −1
− 3
2 − 8 − 1
32. Sean
A=
− 1 3 − 5 − 1
7
5
2
6
equivalentes por filas.
6
5
4 − 1
yC=
3
2
1
1
4
9
4
1
3
2
determine
1
1
33. De un ejemplo en cada caso si es posible de:
a. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que no posea
solución.
b. Un sistema de dos ecuaciones que sea inconsistente.
c. un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas que posea solución
única.
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6
34. Si A = 4
−1
AX = 3 X y
−4
−2
0
AX
0
0 determine todas las soluciones de los siguientes sistemas:
3
= 2X .
35. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.
2x + y − z
x − 2y − z + 2w
3 y − 2z + 5w
x + 2z − w
x − y− z = 1
a. 2 x + y + 3z = 2
− y + 5z = 1
b.
2x − y − z = 1
d . 3 x + 4 y − 2 z = 11
3 x − 2 y + 4 z = 11
y − 3z + 3w
x − 2 z + 3w
e.
3x + 2 y − 5w
4 x + 3 y − 5z
−y − z + u
x + 2y + z
g.
3 x + z + 3u
4x − y − z + u
=
=
=
=
5
−3
c.
1
0
=
5
= −4
= 12
=
5
=
5
x+ y + z+ w
= 9
x + 2z − 3w
h.
= −5
−x + 2 y + z − w
= 7
x + y− 4
x − 3y + z
x + 2 y − 3z
− x + y + 3z
2x − y + z
x+ y−z
2x + y − 2z
f.
x+ y+z
x + 2 y − 3z
= −2
=
0
=
3
=
1
=
=
=
=
−1
1
3
1
= 2
= −1
=
3
=
z
36. Analizar según los valores de a, b, c, d la existencia y los valores de las
soluciones de los siguientes sistemas lineales
a.
ax + y + z = 0
x + ay + z = 0
x + y + az = a
2 x − y − 3z
3x + y − 5z
c
4x + y + z
x + 3 y − 13z
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b.
dx − y + z = a
x + y − 2z = b
x − y+ z = c
= 3
ax − 3 y + 3z = 4
= 0
d.
x − ay + 3z = 2
= a
9 x − 7 y + 8az = 0
= b
- 35 -
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37. Determine los valores de a de modo que el siguiente sistema posea infinitas
soluciones:
x − y + 2z =
1
ax + y − z = 0
2 x + y − 3z = −1
mx + y − z = 0
38. Determine el valor de m para que el sistema 2 x + my + z = 0
y + mz = 0
a. Sea inconsistente.
b. Tenga solución única, y determínela.
c. Tenga infinitas soluciones y determínelas.
x − y + (4 a 2 + 1) z =
b
39. Dado el sistema
y + (3 − a) z =
0 con a , b ∈ IR , determine condiciones
2 x − y + (7 − a) z = −2
para a y b de manera que el sistema:
a. Tenga solución única.
b. No tenga solución.
c. Tenga infinitas soluciones. Determínelas todas en función de a y b.
1 2 −1
40. Determine t de manera que A = 0
3 1 sea singular ¿Tiene solución el
2 −2
t
t
sistema AX = 1 .
1 − t
41. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a. El número de variables independientes de un sistema AX = b con
A ∈ M n× m (IR ) es n − ρ( A) .
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- 36 -
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b. Si el sistema AX = C
ρ( A) = 2 entonces s=0.
es consistente, A ∈ M 3 x 4 ( IR) , C = (1,2, s ) t
y
c. Si el sistema AX = C es consistente, A ∈ M 3 x 4 ( IR) , C=(8,−7, s) t
ρ( A) = 3 entonces s ≠ 0 .
y
d. Si A ∈ M nxm (IR ) y ρ( A) < n entonces el sistema AX = 0 tiene solución
no trivial.
e. Si A ∈ M 3 ( IR) entonces el sistema AX = 0 tiene solución no trivial si A
es singular.
f. Si A ∈ M 3 ( IR) y | A | = 0, el sistema AX = B con B ≠ 0 no tiene solución.
42. Determine a , b, c ∈ IR tal que el sistema
ax + 3by + 4cz = 5
x + 3cy + 4bz = 6 tenga como
x + y + 5cz = 7
solución a C= (1,2,3) t
43. Resuelva el sistema:
x + 2 y + 3z = b1
2 x + 4 y + 5z = b2
3 x + 5 y + 6 z = b3
donde
a)
b)
c)
b1 = b2 = b3 = 1
b1 = 1, b2 = −3, b3 = 5
b1 = 0, b2 = 2, b3 = −2
44. Encuentre la matriz escalonada reducida por filas para:
1 2
0
A = −1
3 0
1 − 2 1
y
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3 − 1 2 1 0 0
B = 2
1 1 0 1 0
1 − 3 0 0 0 1
- 37 -
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F
45. Demuestre que si A → B entonces AX =0 y BX = 0 son sistemas equivalentes,
pero el recíproco no es cierto.
46. Resuelve los tres sistemas siguientes, simultáneamente, reduciendo por filas la
matriz ( A | B1 | B2 | B3 ) :
1
a) AX = B1 = 1
1
1
1
b) AX = B2 = − 3 c) AX = B3 = 2
2
− 2
1 2 3
donde A = 2 4 5
3 5 6
1 3 3
47. Sea A = 1 3 4 Resuelva simultáneamente los res sistemas:
1 4 3
1,
AX = 0
0
,
0
AY = 1
0
,
0
AZ = 0 , usando la técnica sugerida
1
en el problema 46. Si B = [ X Y Z ] calcule AB y BA
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- 38 -
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2. Determinantes
2.1. Definiciones.
La idea intuitiva de determinante de una matriz A ∈ M n (IR ) es la siguiente. El
determinante de A denotado por det( A) o por A , es un numero que pertenece al
cuerpo de los números reales.
Para matrices de orden dos y tres es fácil calcular su determinante ya que este
esta dado por:
a b
a. Si A =
∈ M 2 ( IR) ⇒ det( A) = A = ad − bc .
c d
a11
b. Si A = a 21
a 31
a12
a22
a32
a13
a 23 ∈ M 2 ( IR) . Entonces
a 33
det( A) = A = a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a21 a 32 − a 31 a22 a13 − a32 a 23 a11 − a 33 a 21 a12 .
La expresión obtenida para calcular el determinante de una matriz de orden tres
es fácil recordarla por el siguiente algoritmo.
Ley de Sarrus
1. Se escriben las dos primeras columnas a continuación de la matriz.
2. Se desarrollan los productos triples según los signos de las flechas del
siguiente diagrama.
a11
a
21
a 31
a12
a22
a32
a13 a11
a 23 a 21
a33 a31
-
-
a12
a22
a32
+
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- 39 -
+
+
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Para un desarrollo mas general, primero definamos para A ∈ M n (IR ) la submatriz
M ij , como la matriz de orden ( n − 1) × (n − 1) que se obtiene de la matriz A al
eliminar la fila i y la columna j.
0
1 3
Ejemplo 01: sea A = 2 1 − 1 entonces observamos que
4 2
1
1 − 1
1 3
M 11 =
; M 23 =
; etc.
1
2
4 2
Observación: note que si
A ∈ M n (IR ) entonces podemos formar n 2 submatrices
de la forma M ij .
Estamos en condiciones de definir recursivamente el determinante de una matriz.
Definición 01: sea A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) entonces
a11
si A = [a11 ]
det( A) =
n
i+ j
∑ (−1) aij det( M ij ) para n > 1
j =1
1 2 0
Ejemplo 02: si A = 1 3 4 entonces si escogemos j = 1 obtenemos que:
2 1 3
3
det( A) = ∑ (−1) i + j aij det( M ij ) = a11
j =1
=
a 22
a32
a 23
a
− a 21 12
a33
a 32
a13
a
+ a31 12
a 33
a13
a 22
a 23
3 4 2 0
2 0
−
+2
= 9 − 4 − 6 + 16 = 15
1 3 1 3
3 4
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- 40 -
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Proposición 01: sean A, B ∈ M n ( IR) y c ∈ IR entonces
a) det( A) = det( A t ) .
b) Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A por un intercambio de filas(o
columnas) entonces
det( B) = − det( A)
c) Si A tiene dos filas (columnas) iguales entonces det( A) = 0 .
d) Si A tiene una fila(columna) nula entonces det( A) = 0 .
e) Si B se obtiene a partir de la matriz A al multiplicar una fila(columna) por un
escalar c entonces det( B) = c det( A) .
f) Si B se obtiene a partir de la matriz A al intercambiar la fila(columna) i por la
suma de la fila(columna) i mas c veces la fila(columna) j (i ≠ j ) entonces
det( A) = det( B) .
g) Si A es triangular superior(inferior) entonces el determinante de A es el
producto de los elementos de s diagonal, es decir det( A) = a11 a 22 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅a nn .
h) A es regular si y solo si det( A) ≠ 0 .
i)
det( AB) = det( A) det( B) .
1
Ejemplo 03: sea A = 1
2
1
obtenemos la matriz B = 1
2
2 0
3 4 si aplicamos la operación elemental
1 3
3 4
2 0 así det( B) = − det( A) = −15 .
1 3
Proposición 02: si A ∈ M n (IR ) es no singular entonces det( A−1 ) =
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- 41 -
1
.
det( A)
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F12
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2.2. Calculo de Inversas vía Determinantes.
Definición 02:(Cofactor) sea A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) el cofactor Aij de a ij se define
por:
Aij = ( −1) i + j M ij , donde M ij es la submatriz ij de la matriz A .
3 − 1 2
Ejemplo 04: sea A = 4
5 6 entonces vemos que
7
1 2
4 6
= 34.
7 2
A12 = ( −1)1+ 2 M 12 = −1
.
A23 = ( −1) 2 + 3 M 23 = −1
3 −1
= −10
7
1
Definición 03:(Adjunta) sea A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) la matriz adjunta de A denotada
por Adj ( A) esta definida por
A11
A
12
Adj ( A) =
A
1n
A21
A22
A2 n
An1
An 2
.
Ann
1
3 − 2
Ejemplo 05: sea A = 5
6
2 entonces podemos calcular la matriz adjunta.
1
0 − 3
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- 42 -
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A11 = (−1) 2
6
2
= −18
0 −3
A21 = (−1) 3
−2
1
= −6
0 −3
A22 = ( −1) 4
3
1
= −10
1 −3
A31 = ( −1) 4
−2 1
= −10
6 2
A32 = ( −1) 5
3 1
= −1
5 2
A12 = ( −1) 3
5
2
= 17
1 −3
A13 = (−1) 4
5 6
= −6
1 0
A23 = ( −1) 5
A33 = ( −1) 6
3 −2
= −2
1
0
3 −2
= 28
5
6
− 18 − 6 − 10
− 1 .
así la matriz adjunta es Adj ( A) = 17 − 10
− 6 − 2
28
Teorema 01: si A = ( aij ) ∈ M n ( IR ) es una matriz regular entonces A−1 =
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- 43 -
Adj ( A)
.
A
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Ejercicios
1. Calcular los siguientes determinantes:
−1 4
3
5
6 −7
6 −7
a.
1 2
2
4
−1 −2
5 2
d.
sen x
cos x
cos x − sen x
g.
cos( x + y ) sen( x + y ) 1
sen( x + y ) cos( x + y ) 1
sen( x − y ) cos( x + y ) 1
b.
1
0
1
0
1
2
0
1
0
2
1
1
0
1
2
2
1
0
1
1
1
1
0
2
1
e.
x+y
x−y
h.
a −b − c
2a
2a
2b
b −c−a
2b
2c
2c
c − a −b
x−y
x+y
c.
3
4
0
0
4
2
0
0
f.
x −1
1
x3 x2 + x +1
i.
1
1
1
1
1
2
3
0
0
0
1
0
1
3
1
3
2. Pruebe que A ( Adj(A)) = 0 cuando A es una matriz singular.
3. Para dos matrices cuadradas particulares A y B, compruebe la propiedad:
adj ( AB) = adj ( B) ⋅ adj ( A) . Demuestre que ésta propiedad es válida en general.
4. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, tales que A es invertible,
demuestre que ( A + B ) A−1 ( A − B ) = ( A − B ) A−1 ( A + B) .
5. Sean A y B dos matrices de orden 2 × 1 . Demuestre que I 2 − ABt es invertible y
1 t
que su inversa es I 2 +
AB ; donde la matriz At B , de orden 1 × 1 , se
1 − At B
considera como un número real. Generalice el resultado para matrices de
orden n × 1 .
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- 44 -
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0
0
0
1
1
4
0
0
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6. Determine los valores de la constante a, de modo que el determinante de la
a −1 a
1
matriz A = − 2a 1
− a , sea cero.
1
− 1 2 a − 1
7. Encuentre los valores de las constantes “a” y “b” , de modo que la siguiente
a b − a
matriz sea invertible: A = 1 a 0 .
b a − b
6 − 2 2
8. Si A = − 2 5 0 , resuelva la ecuación det( A − xI 3 ) = 0 , donde x es una
2
0 7
variable real.
9. Sea A = ( aij ) 3 × 3 , donde aij = c ; ∀i , ∀j . Demuestre que det( A + bI 3 ) = b 2 ( b + 3c) .
a + b + 2c
a
b
10. Demuestre que
c
b + c + 2a
b
= 2 (a + b + c ) 3 .
c
a
a + c + 2b
11. Exprese el determinante de la matriz
a2
2
b
A= 2
c
2
d
1 a bcd
1 b acd
, en forma
1 c abd
1 d abc
factorizada.
a+2
3
4
5
2
a+3
4
5
12. Demuestre que
= a 3 ( a + 14) .
2
3
a+4
5
2
3
4
a+5
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1 1 a 1
1 a 1 1
13. Sea A =
, donde a y b son números reales. Exprese el
a 1 1 1
a − a 0 b
determinante de A en forma totalmente factorizada y a partir de esto calcule el
rango de la matriz A, dependiendo de los valores de las constantes a y b.
14. Si
A = ( aij ) 4 × 4
,
donde
1
aij =
b
si i ≠ j
si i = j
;
demuestre
que
det( A) = (b − 1) 3 (b + 3) , usando propiedades de determinantes. Encuentre el
rango de la matriz, de acuerdo a los valores del parámetro b y determine las
condiciones bajo las cuales existe A−1 .
15. Si A es una matriz cuadrada de orden 4, cuyo determinante es igual a -3;
encuentre el determinante de cada una de las siguientes matrices: 2A, At , A−1 ,
A2 , P −1 AP .
16. Encuentre la forma general de las matrices cuadradas de orden 2, tales que
2 1
det( A + B) = det( A) + det( B ) , donde A =
.
1 1
1
sen x sen y
3π
17. Demuestre que si x + y + z =
(radianes), entonces sen x
1
sen z = 0 .
2
sen y sen z
1
x y 1
18. Demuestre que x1 y1 1 = 0 , representa la ecuación de la recta que pasa por
x2 y2 1
los puntos del plano cartesiano ( x1 , y1 ) y ( x2 , y 2 ) .
19. Demuestre que el área del triángulo de vértices ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) y ( x3 , y 3 ) es el
x
1 1
valor absoluto de x2
2
x3
y1 1
y2 1 .
y3 1
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20. Si A es una matriz cuadrada de orden n y simétrica, demuestre que
A = ( −1) n A . Deduzca que si n es impar, entonces A = 0 .
21. Si A es una matriz cuadrada de orden n, demuestre que adj ( A) = A
n− 1
.
1 − 1
1 1
1 −1 1
1
22. Sea A =
. Demuestre que At A = AAt = 4 I4 y a partir de ésta
1 1 −1 1
1 − 1 − 1 − 1
relación deduzca la inversa de la matriz A.
23. Sean A y B matrices cuadradas de orden n, tales que A, B y A + B son
invertibles.
Demuestre
que
A −1 + B −1
también
lo
es
y
que
−1
−1 −1
−1
−1
( A + B ) = A( A + B) B = B ( A + B ) A .
24. Calcule A− 1 + A− 2 + A −3 + ⋅ ⋅⋅ ⋅ + A− n , en función del número natural n, si
1 0
A=
.
− 1 1
25. Suponga que A y B son matrices de orden
det( I n + AB t ) = 1 + B t A .
n × 1 . Demuestre que
a
26. Encuentre el rango de la matriz A = 1
2a
valores de las constantes reales a y b.
0
− b , de acuerdo a los
1
− ab 1
− b 2a
0
b
27. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
a. El cofactor a 32
0 2
3
2
−1 3 4 −2
es 60 o 342.
para la matriz A=
5 −6 0
5
1 −1 9
2
b. Si A ∈ M n (IR ) entonces − A = − A .
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c. Si A t A = I n entonces A = ±1 , donde A ∈ M n (IR ) .
d. Si A, B ∈ M n ( IR) entonces AB = A B .
e. Si A ∈ M n (IR ) es regular, entonces |Adj(A)| = |A| n −1 .
28. Calcule los siguientes determinantes, usando propiedades
1
2 −2 0
2
3 −4 1
,
−1 − 2
0 2
0
2
5 3
2 −1 0
0
−1
2 −1 0
0 −2
2 −1
0
0 −1 2
29. Usando solo propiedades de determinantes demuestre que:
1 x x x
1 y y y
= ( y − x)( z − x)( w − x )( z − y )( w − y )( w − z )
1 z z z
1 w w w
0 1 1 1
1 0 1 1
. Determinar los determinantes
30. Calcular el determinante de A4 =
1 1 0 1
1 1 1 0
de las matrices A2 , A3 , con ceros en la diagonal y unos en las demás
posiciones.¿ puede determinar el valor de An ?
31. Demuestre que si
regulares.
A, B ∈ M n ( IR) y AB = I n entonces ambas matrices son
32. Sean A, B ∈ M n ( IR) tales que | A | = 5 y | 4AB | = | B −1 | calcule | B |.
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33. Demuestre que
a−b−c
2a
2a
a. −
2b
a −b −c
2b
= (a + b + c )3
2c
2c
a−b−c
1+ a
1
1
1
1 1+ b
1
1
1 1 1 1
b. −
= abcd + + + + 1
1
1 1+ c
1
a b c d
1
1
1 1+ d
1 0 3
34. Dada la matriz A = 2 1 0 determine los valores de k tal que A − kI = 0 .
1 0 1
35. Determine sin son validas las siguientes igualdades
1 −1
a) − 1
1
−1 0
1
1 −1 = 0
1
1
b)
3
1 2 −3 = 0
0 1
0
x
c) y
z
x2
y2
z2
x3
y3 = 0
z3
x 1
1
x2 1
1
1
d) y 1 − 1 = xy 1 − 1
x
z 1
1
xz 1
1
36. Resuelva las siguientes ecuaciones
0 x x
a) x 0 x = 0
x x 0
a a x
b) m m m = 0
b x b
x 1 x2 − 1
c) 2 0
1=2
3 2
−1
37. Mediante un ejemplo demuestre que en general A + B ≠ A + B .
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3. Espacios Vectoriales.
3.1. Definiciones Básicas.
Definición 01: sea IK un cuerpo, V un conjunto no vacío y las operaciones ⊕ y
∗ llamadas suma y producto por escalar respectivamente donde:
⊕ :V ×V → V
∗ : IK ∗ V → V
(u, v ) → u ⊕ v
(c, u ) → c ∗ u
diremos que (V ,⊕,∗) es un espacio vectorial sobre el cuerpo IK si solo si se
satisfacen las siguientes propiedades:
Suma.
(S1) u ⊕ v ∈ V para todo u, v ∈ V . Clausura.
(S 2) u ⊕ v = v ⊕ u para todo u, v ∈ V . Conmutatividad.
(S 3) u ⊕ (v ⊕ w ) = (u ⊕ v ) ⊕ w para todo u, v, w ∈ V . Asociatividad.
(S 4) existe un único elemento 0 ∈ V , llamado vector cero tal que para todo u ∈ V
u⊕0 =u.
(S 5) para todo u ∈ V existe un único elemento − u ∈ V , llamado inverso aditivo tal
que
u ⊕ −u = 0 .
Multiplicación por escalar.
(M1) a ∗ u ∈ V para todo u ∈ V y para todo a ∈ IK .
(M2) a ∗ (u ⊕ v ) = a ∗ u ⊕ a ∗ v para todo u, v ∈ V y para todo a ∈ IK .
(M3) (a + b )u = a ∗ u ⊕ a ∗ u para todo u ∈ V y para todo a , b ∈ IK .
(M4) a ∗ (b ∗ u ) = (ab) ∗ u para todo u ∈ V y para todo a , b ∈ IK .
(M5) 1 ∗ u = u para todo u ∈ V .
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Observación: Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores.
Además es importante tener en cuenta que en la definición de despacio vectorial
no se especifican ni los vectores ni las operaciones.
(
)(
)
Ejemplo 01: ( IR,+,⋅), IR 2 ,+,⋅ , IR 3 , +,⋅ son espacios vectoriales sobre el cuerpo de
los números reales con la suma y producto por escalar usual.
Ejemplo 02: (M m ×n ( IR ),+,⋅) es un espacio vectorial real con la suma y producto por
escalar usual.
Ejemplo 03: El conjunto de los polinomios de coeficientes reales con la suma y
producto por escalar usual, ( P(IR ), +,⋅) , es un espacio vectorial real.
Ejemplo 04: El conjunto de todas las funciones reales con dominio real con la
suma y producto por escalar usual, ( F ( IR ), +,⋅) es un espacio vectorial real.
Ejemplo 05: ( IR,⊕,∗) donde u ⊕ v = u − 2v y c ∗ u = cu no es un espacio vectorial
ya que la propiedad (S2) no se satisface.
Definición 02: Sea W ⊆ V donde V es un espacio vectorial entonces diremos
que W es un subespacio vectorial de V , lo cual denotaremos por W ≤ V , si y solo
si W es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto definidas en V .
Teorema 01: Si W ⊆ V entonces W ≤ V si y solo si
a ∗ u ⊕ b ∗ v ∈ W ∀a, b ∈ IK , ∀u ∈ W .
Corolario 01: Si W ≤ V entonces 0 ∈ W .
Ejemplo 06: Observe que todo espacio vectorial V posee dos subespacios
triviales, los cuales son {0} y V.
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Ejemplo 07: Toda recta que pasa por el origen en IR 2 es un subespacio de IR 2 ,
es decir si W = (x , y ) ∈ IR 2 / y = ax entonces W ≤ IR 2 . En efecto sean
( x, y ), (c, d ) ∈W y t, k ∈ IR entonces es fácil comprobar que:
{
}
t ( x, y ) + k (c, d ) ∈ W
Ejemplo 08: El conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n , Pn ( IR ) , es
un subespacio vectorial de ( P(IR ), +,⋅) .
Ejemplo 09: Sea V = (Q,+,*), es un Q espacio vectorial.
Observación: Algunas propiedades elementales en un espacio vectorial
(V , K, +, • ) son:
a. 0 k • v = 0 v
,
∀v ∈ V
b. α • 0 v = 0 v
,
∀α ∈ K
c.
(− α) • v = α(− v ) = −(αv ), ∀α ∈ K , ∀v ∈ V
d. α • v = 0 v ==> α = 0 K ∨ v = 0 v
e.
(− α) • (− v ) = α • v
f.
α • u = α • v y α ≠ 0K ⇒ u = v
∀α ∈ K , ∀v ∈ V
3.2. Independencia Lineal y Bases.
Notación: Ve.v denotara la expresión: V espacio vectorial.
Definición 03: Sean {v1 , v 2 ,....., vk , v} ⊆ Ve .v diremos que v es una combinación
lineal de {v1 , v 2 ,....., vk } si existen a1 , a 2 ,....., ak ∈ IK tales que:
v = a1 ∗ v1 ⊕ a 2 ∗ v 2 ⊕ .......... ⊕ ak ∗ v k .
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Ejemplo 10: Sean {p = 1 + x + x 3 , q = − x − x 2 − x 3 , r = −1 + x 2 }∈ P3 (IR ) determine si
r es combinación lineal de p y q .
Solución: Para resolver el problema planteado solo basta ver si podemos
encontrar escalares a , b ∈ IR tal que:
(
) (
r = −1 + x 2 = a 1 + x + x 3 + b − x − x 2 − x 3
)
igualando los coeficientes de los polinomios vemos que solo basta ver si el
sistema
a −b
−b
a −b
a
=
0
=
1
=
0
= −1
posee solución. Por otro lado es fácil ver que la solución del sistema es a = −1,
por lo cual podemos afirmar que r es combinación lineal de p y q .
Definición 04: Sean {v1 , v2 ,....., v k } ⊆ Ve.v definimos el conjunto generador de
{v1 , v 2 ,....., vk } por el conjunto de todas las combinaciones lineales de {v1 , v 2 ,....., vk } .
Denotaremos el generador de {v1 , v 2 ,....., vk } por:
{v1 , v 2 ,....., v k } = {v ∈V / v = a1 ∗ v1 ⊕ v2 ∗ a 2 ⊕ ..... ⊕ a k ∗ v k } .
Ejemplo 11: Demuestre que 1, x, x 2 , x 3 = P3 ( IR ) .
Solución: Sabemos que cualquier elemento de p ∈ P3 ( IR ) es de la forma:
p = a + bx + cx 2 + dx 3
{
}
así claramente p es una combinación lineal de 1, x, x 2 , x 3 .
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Definición 05: Si
S = {v1 , v 2 ,....., vk } ⊆ Ve .v , diremos que S es un conjunto
Linealmente Dependiente si existen escalares a1 , a 2 ,....., ak ∈ IK no todos nulos
tales que
a1 ∗ v1 ⊕ a 2 ∗ v 2 ⊕ .......... ⊕ ak ∗ v k = 0 .
En caso contrario diremos que el conjunto S es Linealmente Independiente.
Ejemplo 12: el conjunto {2 − x + x 2 , 2 x + x 2 , 4 − 4 x + x 2 } es Linealmente Dependiente
en P3 ( IR) , ya que:
(
) (
) (
)
2 2 − x + x 2 − 2 2x + x2 − 4 − 4x + x 2 = 0 .
1 − 1 1
0 0 − 1
Ejemplo 13: el conjunto
;
;
es Linealmente Dependiente
0 0 − 2 2
2
2
en M 2 ( IR ) , en efecto observe que:
1 − 1
−
2
0
0
1
0 − 2 −
{
0 − 1 0 0
=
.
2
2 0 0
}
Ejemplo 14: el conjunto 1, x, x 2 , ....., x n es un conjunto Linealmente Independiente
en Pn ( IR ) , en efecto:
a 0 + a1 x + a2 x 2 + ........ + a n x n = 0 para todo x ∈ IR
entonces a 0 = a1 = a2 = .... = an = 0 .
{
}
Ejemplo 15: demuestre que el conjunto x 2 ,1 + x, − 1 + x
Linealmente Independiente en Pn ( IR ) , en efecto:
es un conjunto
Supongamos que ax 2 + b( 1 + x ) + c ( − 1 + x ) = 0 , entonces a = 0, b − c = 0, b + c = 0 , de
donde podemos deducir que a = b = c = 0 .
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Observación: El ejemplo 15 puede ser resuelto de la siguiente manera; mas
adelante podremos mostrar que Pn ( IR ) puede ser identificado con IR n de una
manera muy natural. En efecto a todo polinomio a 0 + a1 x + a 2 x 2 + .... + a n x n le
podemos asignar el vector (a 0 , a1 , a 2 ,..., a n ) , observe que la asignación es única.
Por lo tanto para mostrar que S ⊆ Pn ( IR ) es linealmente independiente basta
~
mostrar que su conjunto asociado S ⊆ IR n lo es.
El estudiante puede pensar que no hemos avanzado mucho pero ver que el
~
conjunto S es linealmente independiente en IR 3 es mucho mas manejable
computacionalmente, en efecto:
~
~
Podemos mostrar que S es linealmente independiente si y solo si ρ( A) =# S
~
donde A es la matriz cuyas filas son los vectores de S .
Así Volviendo al Ejemplo 15, para mostrar que S = {x 2 ,1 + x, − 1 + x} ⊆ P3 ( IR ) es
linealmente independiente solo basta ver que S = {(0,0,1); (1,1,0 ); (− 1,1,0 )} ⊆ IR 3 lo es.
~
En este caso vemos que la matriz asociada es:
0 0 1
A = 1 1 0
− 1 1 0
y
ρ( A) = 3 .
Proposición 01: sea S ⊆ Ve.v entonces:
a. Si 0 ∈ S entonces S es linealmente dependiente.
b. Si S ⊆ W donde W ⊆ Ve. v es linealmente independiente, entonces S es
linealmente independiente.
c. Si S posee dos o mas vectores iguales entonces S es linealmente
dependiente.
Definición 06: diremos que B ⊆ Ve .v es una base de V si y solo si:
a. B es un conjunto linealmente independiente.
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b. B genera a V , es decir si v ∈ V entonces existen escalares a1 , a 2 ,...., ak
tales que v = a1 v1 + a2 v 2 + ...... + a k v k donde {v1 , v2 ,......, v k } ⊆ B .
Definición 07: Diremos que V es un espacio de dimensión finita si y solo si V
posee una base finita. Denotaremos la dimensión de V por dim (V ) .
Observación: Si V es un espacio de dimensión finita, la dimensión de V no
depende de la base.
Proposición 02: si W ≤ Ve. v donde V es un espacio de dimensión finita entonces
dim (W ) ≤ dim (V ) .
Observación: si Ve, v es de dimensión finita n entonces toso subconjunto S con
cardinalidad mayor que n es un conjunto linealmente dependiente.
Definición 08: sea
por:
S = {v1 , v 2 ,....., vk } ⊆ Ve .v definimos el conjunto generado por S
S = {v ∈ V / v es una combinación lineal de v1 , v2 ,....., v k }
claramente S ≤ V .
Ejemplo 16: Muestre que B = {e1 , e 2 ,...., e n } es una base de IR n . Donde B se
denomina la base canónica y ei = (0,0,0,....0,1,0,....,0 ) . Con lo cual podemos deducir
uno solo en la posición i
n
que la dimensión de IR es n .
Ejemplo 17: ¿ Es el conjunto S = {(1,0,0 ); (2,1,0 )} una base de IR 3 ?
Ejemplo 18: ¿ Es el conjunto S = {(1,0,0 ); (2,1,0)(1,0,1); (1,−1,5 )} una base de IR 3 ?
Proposición 03: sean U , W ≤ Ve .v entonces:
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a. U ∩ W ≤ V .
b. U + W = {u + w / u ∈ U ∧ w ∈ W } ≤ V .
Definición 09: sean U , W ≤ Ve .v diremos que V es suma directa de U y W si y
solo si:
a. U ∩ W = {0} .
b. U + W = V
lo cual denotamos por V = U ⊗ W .
Ejemplo 18: determine una base y la dimensión del espacio generado por
S = {(1,1,0); (− 1,0,2 ); (0,3,6 ); (1,1,1)} .
Solución: Claramente el conjunto S es linealmente dependiente, así para
determinar una base de S basta determinar la matriz escalonada de la matriz A
asociada al conjunto S , cuyas filas son los vectores de S .
1
− 1
A=
0
1
1
0
3
1
0
1
0
2
→
0
6
1
1
1
1
3
1
0
1
0
2
→
0
6
1
0
1
1
3
0
0
1
0
2
→
0
6
1
0
1
1
0
0
0
1
0
2
→
0
0
1
0
1
1
0
0
0
2
1
0
con lo cual podemos garantizar que una base para el espacio generado por S es:
BS = {(1,1,0 ); (0,1,2); (0,0,1)}
en este caso vemos que dim ( S ) = 3 ⇒ S = IR 3 .
Ejemplo 19: Dados los subespacios:
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{
}
U = (x , y , z ) ∈ IR 3 / x + y = 0
W =
{(1,0,1); (1,−1,0 )}
a. Determine si U es subespacio vectorial de IR 3 .
b. Determine una base y la dimensión de U y W .
c. Determine si IR 3 = U ⊗ W .
Solución:
a. observe que (0,0, 0) ∈ U .
Sean (a, b, c ); ( x, y, z ) ∈ U y β ∈ IR verifiquemos si β (a, b, c ) + ( x, y, z ) ∈ U , en
efecto sabemos que:
(a, b, c ) ∈ U
⇒ a + b = 0∧ x + y = 0
( x, y, z ) ∈U
y que
β (a, b, c ) + ( x, y, z ) = ( β a + x , β b + y, β c + z )
observe que: ( β a + x ) + ( β b + y ) = β (a + b ) + ( x + y ) = 0 ⇒ β (a, b, c ) + ( x, y, z ) ∈ U
por lo tanto U ≤ IR 3 .
b. Para determinar una base de U basta resolver el sistema:
x + y = 0 . (*)
Observe que el sistema (*) posee infinitas soluciones por lo tanto podemos
reescribir U de la siguiente manera:
{
}
U = {(x , y , z ) ∈ ℜ / x = − y}
U = {(− y , y , z ) ∈ ℜ / y , z ∈ ℜ}
U = {(− y , y ,0) + (0,0, z ) ∈ ℜ / y , z ∈ ℜ}
U = (x , y , z ) ∈ ℜ 3 / x + y = 0
3
3
3
U =
{(− 1,1,0); (0,0,1)}
con este procedimiento podemos garantizar que una base de U es:
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B = {(− 1,1,0 ); (0,0,1)}
por lo tanto la dimensión de U es dos.
Observe que en el caso de W es mas fácil determinar una base ya que basta
escalonar la matriz asociada al conjunto generador, es decir escalonar la
matriz
1
1 0 1 1 0
A=
→
1 − 1 0 0 − 1 − 1
con lo cual podemos concluir que una base de W es B1 = {(1,0,1); (0,−1, −4 )} y
por lo tanto la dimensión de W es dos.
c. Ejercicio.
d. Ejercicio.
3.3 Matriz Cambio de Base.
Sean B1 = {v1 , v 2 ,....., v n }, B2 = {w1 , w2 ,......, wn } ⊆ Ve.v bases y V espacio vectorial de
dimensión finita. Es claro que todo vector de B2 puede ser expresado como una
combinación lineal, única, de los elementos de B1 es decir:
w1 = a11 v1 + a 21v 2 + ..... + a n1 v n
w2 = a12 v1 + a22 v2 + ..... + a n 2 v n
wi = a1i v1 + a 2 i v 2 + ..... + ani v n
donde a ij ∈ K son unicos
wn = a1 n v1 + a 2 n v2 + ..... + a nn v n
observe que podemos formar la matriz:
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a11
a
21
a n 1
a1 n
a 2 n
a nn
a12
a22
a n2
la matriz que hemos formado se denomina matriz cambio de base y la
denotaremos por:
B
I
B2
1
.
Observaciones: Algunas propiedades importantes de la matriz cambio de base
son:
2
B1
I
a.
B
es invertible, y su inversa es
b. Dado v ∈ V se tiene que
1
B2 .
I
B
[v]B = [I ]BB [v]B
2
2
2
1
donde
[v ]B
i
son las
coordenadas del vector v en la base Bi .
Ejemplo 20: Consideremos B1 = {e1 , e2 } la base canónica de IR 2 y la base
B2 = {(1,1) , (− 1,1)} . Determine la matriz cambio de base
2
B1
I
B
y compruebe las
afirmaciones anteriores.
Solución:
a. Para calcular la matriz cambio de base debemos resolver los siguientes
sistemas:
(1,0) = a(1,1) + b (− 1,1)
(0,1) = c (1,1) + d (− 1,1)
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podemos comprobar fácilmente que:
a=
1
1
1
1
,b = − ,c = ,d =
2
2
2
2
por lo tanto la matriz cambio de base es:
1
B
= 2
B 1
−
2
I
2
1
1
2 .
1
2
b. Análogamente observamos que
I
B1
B2
1
=
1
− 1
=
1
I
B2
B1
−1
c. Dado el vector v = (4,−2 ) vemos que
[v ]B
1
Por
1
4
B
= de donde deducimos que [I ]B12 [v ]B 1 = 2
1
− 2
−
2
otro
lado
es
fácil
comprobar que
[v]B = [I ]BB [v]B .
[v ]B
2
1
2 4 = 1 .
1 − 2 − 3
2
4
= .
− 2
Por
lo
tanto
2
2
2
1
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3.4 Vectores en el Espacio.
(
)
En esta sección consideraremos como espacio de trabajo IR n ,+, ⋅ , donde la
suma y el producto por escalar son los usuales. Trataremos de escribir el
comportamiento geométrico de los vectores, es decir al final de esta sección
podremos calcular sumas, restas, longitudes vectores normales direcciones y
ángulos formados por vectores en IR n ,+, ⋅ .
(
)
Definición 10: sean u = ( x1 , x2 ,...., xn ) , v = ( y1 , y 2 ,...., y n )∈ IR n definimos el producto
punto o producto interior entre u y v por:
u • v = u, v = x1 y1 + x 2 y 2 + ...... + x n y n .
Proposición 04: Sean u, v, w ∈ IR n , c ∈ IR entonces son validas las siguientes
propiedades:
a.
u , v = v, u simetría.
b.
u , v + w = u, v + u , w Linealidad.
c. c u, v = cu, v = u, cv homogeneidad.
d.
u , u ≥ 0 además u , u = 0 ⇔ u = 0 definición positiva.
Definición 11: dos vectores u, v ∈ IR n se dicen ortogonales si y solo si u , v = 0 .
Definición 12: definimos la norma, también se denomina longitud o magnitud, de
un vector u ∈ IR n por:
u =
u, u .
Tomando en cuenta la definición de norma podemos definir la distancia euclidiana
entre dos vectores u, v ∈ IR n de la siguiente manera:
d (u, v ) = u − v .
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Definición 13: un vector u ∈ IR n se dice unitario si y solo si u = 1 .
Ejemplo 21: dados los vectores u = (1,−1,0 ), v = (− 1,0,0 ) determinar:
u, v , d (u, v ) ,
u , v y si u, v son vectores unitarios.
Solución:
a.
u , v = (1, −1,0) , (− 1,0,0 ) = −1 .
b. d (u, v ) = u − v = (2,−1,0 ) = 5 .
c.
u = (1,−1,0 ) = 2 y v = (− 1,0,0) = 1 .
d. Gracias a c. podemos deducir que u es un vector normal.
Definición 14: sea u = ( x1 , x2 ,...., xn )∈ IR n un vector distinto de cero, definimos el
vector unitario en la dirección u por
v=
u x1 x2
x
= , ,..., n .
u u u
u
Proposición 05: dados u, v ∈ IR n se tiene que:
a.
u, v ≤ u ⋅ v , la igualdad solo se satisface si u y v son múltiplos escalares
entre si. Esta desigualdad se denomina desigualdad de Cauchy – Schwarz.
b.
u + v ≤ u + v . Esta desigualdad se denomina desigualdad triangular.
Observación: observe que gracias a la desigualdad de Cauchy – Schwarz se
tiene que para vectores no nulos:
−1≤
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u,v
u ⋅v
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≤1.
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Definición 15: definimos el ángulo formado por dos vectores u, v ∈ IR n no nulos
por:
cos (α) =
u, v
u⋅v
.
Motivación: dados los vectores u, v ∈ IR n no nulos deseamos determinar dos
vectores u pr , u c tales que:
uc
u = u pr + u c
u pr
v
donde u pr es un múltiplo escalar de v y u c es ortogonal a u pr . Como vemos en la
figura esta descomposición siempre es posible y además es única. El vector v se
denomina proyección ortogonal de u sobre v y el vector u c se denomina
componente vectorial de u ortogonal a v .
Observe que:
u , v = u pr + u c , v = u pr , v + u c , v = cv, v + 0 ⇒ c =
u, v
v, v
=
u, v
v
.
Por lo tanto:
u pr =
u,v
v
2
y uc = u −
u, v
v
2
v.
Definición 16: sean u = (a , b, c ), v = ( x, y , z ) ∈ IR 3 . Definimos el producto cruz, u × v
como el vector de componentes:
u × v = (bz − cy , cx − az , xy − bx ) .
La relación anterior puede ser expresada en notación de determinantes:
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i
j k
b c
a c
a b
b c a c a b
u ×v = a b c =
i−
j+
k =
,−
,
k .
y z
x z
x y
y
z
x
z
x
y
x y z
Proposición 06: sean u = (a , b, c ), v = ( x, y , z ), w = (r , s, t ) ∈ IR 3 y c ∈ IR , entonces:
a. u × v = −v × u .
b. u × (v + w) = (u × v ) + (u × w) .
c.
(v + w ) × u = (v × u ) + (w × u ) .
d. c (u × v ) = (cu ) × v = u × (cv ) .
e. u × 0 = 0 .
f.
g.
u × (v × w) = u, w v − u, v w .
a b c
u, v × w = x y z .
r s t
Teorema 01: las siguientes identidades son validas:
a.
u ×v
b.
u × v = u ⋅ v sen θ donde θ es el ángulo formado por los vectores u y v .
2
= u
2
v − u ,v
2
2
identidad de Lagrange.
Proposición 07: dos vectores u , v ∈ IR 3 no nulos son paralelos si y solo si
u ×v = 0 .
Teorema 02: El volumen del paralelepipedo formado por los vectores u , v, w ∈ ℜ 3
es:
V = u,v × w .
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Ejercicios
1. Mostrar que IR es un espacio vectorial real con la adición y multiplicación
usuales y también que IR es un espacio vectorial sobre Q., pero Q no es un
espacio vectorial sobre IR .
2. Determine en cada caso si (V ,⊕,⊗) es un IR - espacio vectorial:
a. V = IR 2
( x, y) ⊕ ( a, b ) = ( x + a, b)
α ⊗ ( x , y ) = (αx,αy )
b. V = IR 3
( x, y, z ) ⊕ (a , b, c) = (a + x, b + y , c + z )
x y a b a + x b + y
z w ⊕ c d = c + d d + x
c. V = M 2 ( IR )
{
α ⊗ ( x, y, z = (0, αy, αz )
x y x y
α⊗
=
z w 0 α
}
3. Probar que V = a + b 2 / a, b ∈ Q es un espacio vectorial sobre Q.
{
}
4. Sean IR [ a , b ] = { f : [a, b] → IR / f es función } y T [a , b ] = f ∈ IR [a , b ] / f es continua .
Determinar cuál de los siguientes conjuntos de funciones es un espacio
vectorial real, con las operaciones de IR [a ,b ] .
i)
V = { f ∈ C[a, b] / f (a ) = f (b )} .
ii)
V = { f ∈ C[a, b] / f (a + x ) = f (b − x )} .
iii)
V = { f ∈ C[a, b] / f ( x ) = 0, pra cada x en un subinterva lo de [a, b]} .
iv)
V = { f ∈ C[a, b] / f ( x ) = f (− x )} .
v)
V = { f ∈ C[a, b ] / f ( x ) = − f (− x )} .
5. Sea V = {( x, y ) / x, y ∈ IR} . Se definen:
(a, b ) ⊗ (c , d ) = (a + c,0 )
α • (a, b) = (αa,αb )
¿Es V un espacio vectorial real? ¿Por qué?.
6. Sea V = {( x, y ) / x, y ∈ IR} . Si se consideran:
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(a, b ) ⊗ (c , d ) = (a + c , b + d )
y α • (a, b ) = (αa, b )
¿Es (V , ⊗ , • ) un espacio vectorial?
7. En IR n se definen las leyes de composición:
( x1 , x 2 ,......, x n ) ⊗ ( y1 , y 2 ,...., y n ) = ( x1 − y1 , x 2 − y 2 ,....., x n − y n )
α • ( x1 , x 2 ,......, x n ) = (− αx1 ,−αx2 ,.....,−αx n ), ∀α ∈ IR
(
)
¿Qué axiomas de espacio vectorial se cumplen para IR n , ⊗ , • ?
8. Sea IR 2 con las leyes de composición definidas por:
(a, b ) ⊗ (c , d ) = a + c , b + d
2
2
α • (a, b ) = (αa, αb), ∀α ∈ IR
9. Probar que en un espacio vectorial V(K) se tiene:
i) α ⋅ v = β ⋅ v ⇔ v = 0
α = β, ∀v ∈ V , ∀α, β ∈ K
o
ii) u + v = 0 ⇒ v = −u
∧
u+v= u⇒ v= 0
10. Determinar α sabiendo que v ≠ 0 , en V(K), y que:
(1 − α)u + α(u − v ) = u − v
,
∀u , v ∈ V (K ) y
α∈ K
11. Sea IR ∞ el conjunto que consiste de todas las sucesiones infinitas:
x = ( x1 , x 2 ,......)
de números reales, Si y = ( y1 , y 2 ,......) es otra de tales sucesiones, se definen:
x + y = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,.......); y
α ⋅ x = (αx1 ,αx 2 ......), ∀α ∈ IR
Demostrar que IR ∞ es un espacio vectorial real.
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12. Determine en cada caso si el conjunto dado es subespacio vectorial del
espacio dado, demostrando o refutando según corresponda.
a. A = {( x, y, z ) ∈ IR 3 / 5 x − y − z + 1 = 0}
V = IR 3 .
b. B = {( x, y, z , w) ∈ IR 4 / x − 3w = 0 ∧ z + y − 3w = 0}
a b
c. C =
∈ M 2 ( IR ) / 2a + 3c − d = 0
c d
a
d. D = d
g
b
e
h
V = M 2 ( IR).
c
2
2
f ∈ M 3 ( IR) /( a + b) ≥ ( a − b)
i
e. E = { f ∈ F ( IR, IR) / f ( x ) ≤ 0}
V = IR 4 .
V = M 3 ( IR).
V = F ( IR , IR ).
13. ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de M 2 ( IR) son subespacios? El conjunto
de las matrices:
a. Simétricas.
b. Singulares.
c. Regulares.
d. Triangulares.
14. Demostrar que:
a. Una recta L que pasa por el origen del plano es un subespacio del plano.
b. Una recta L que pasa por un punto distinto del origen del plano no es un
subespacio del plano.
15. En cada caso determine el conjunto generador de:
a. A = {( x, y) ∈ IR 2 / 8 x − 3 y = 0}.
a b
b. B =
∈ M 2 ( IR ) / 3a − b = 0 ∧ c − 5b + d = 0 .
c d
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c. C = {ax 2 + bx + c ∈ P2 ( IR) / a − 3b = c ∧ c + a = 2c}.
16. Sean A, B, C ⊆ V V un K - espacio vectorial. Demuestre que:
a. Si A ⊆ B entonces A ⊆ B .
b.
A = A si y solo si A ≤ V .
c.
A∩ B ⊆ A ∩ B .
17. Determine si los siguientes conjuntos son Ld o Li:
a. A = {(1,1,1), ( 0,1,0), (0,0,1)}.
b. B = {1 + x,1 − x, x 2 ,1}.
− 5 7 0 0 1 1 − 4 8
c. C =
,
,
,
.
0 1 − 1 1 0 − 2 − 1 1
d. D = {x 3 − 2 x 2 + x + 1, x 2 + 7,2 x − 5}.
e. E = {exp( e), exp( e 2 )}.
f.
π
F = cos x , sen x, sen x + .
3
g. G = {sen x , sen( 2 x ), sen( 3x )}.
18. Determine en cada caso el valor de α ∈ IR , para que los siguientes conjuntos
sean Li.
a. A={( α,3),(1, α)}.
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b. B={(2 α,1,3),(1,2,- α),(1,0,1- α)}.
c. C={ (α + 1) x 2 , α( x + 1),α − 2 }.
α 0 1 1 1 0
d. D=
, α 3. , α 1 .
1
0
19. ¿ Si u , v, w = u , v , entonces {u, v, w} es L.d ?
20. Determine [u ]B si:
a. u = (1,1,1)
y B = {(1,0,1) , (2,1,1), (0,0,1)} .
1 0 0 0 0 4 0 − 2
1 2
b. u =
y
B
=
.
,
,
,
1
1 1
0 0 0 1 0 0 1
c. u = x 2 + 3x + 1 y B = {( x − 2 )(x − 1), x − 1, 3} .
21. Determine la matriz cambio de base
a. B = {(1,6), (2,5)}
[I ]BB
1
si:
B1 = {(1,1), (0,1)} .
0 1 3 1 0 0 0 0
3 2 3 0 0 0 3 0
b. B =
,
,
,
B1 =
,
,
,
.
0 0 0 0 2 2 1 0
2 1 0 0 1 2 1 2
{
}
c. B = 3x 2 + 1, x − 1, 3
22. Sean
{
}
B1 = x 2 + 1, 2 x + 3, 4 .
Ve.v sobre un cuerpo K y B = {v1 , v 2 , v3 } una base, demuestre que
B1 = {3v3 − v1 , v 2 − v3 , v1 − 5v 2 } es una base de Ve.v . Determine
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[I ]BB
1
.
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23. Sean B, B1 = {(2,0,1), (1,1,1), (0,0,1)} ⊂ IR bases , tales que
3
[I ]
B1
B
=
1 − 1 0
1
1 1
2
0 1
=
1 − 1 0
1
1 1
2
0 1
determine B .
{
}
24. Sean B, B1 = x − 8, 2 x − 3, 9 ⊂ P2 [IR ] bases, tales que
2
[I ]
B1
B
determine B .
25. Determine u ∈ P2 [IR] si
{
[u ]B = [5
4 1] t
}
y
B, B1 = x 2 − 8x − 2, 3 x + 2,89 ⊂ P2 [IR ] son bases.
[I ]
B1
B
=
1 − 1 0
1
1 1 donde
2
0 1
26. Determine la dirección y la magnitud de los siguientes vectores:
→
a. v = (4,4 ) .
→
b. v =
(
)
3, −1 .
→
c. v = (− 5,8 ) .
→
→
→
→
→ →
→ →
27. En cada uno de los siguientes casos determine 2 a + b ; 3 a − 4 b ; a , b ; d a , b
→
y
a
→
:
a
→
→
a. a = (2, 3); b = (− 5, 4 ) .
→
→
→
→
b. a = (2,5,−4); b = (1,−2,−3) .
c. a = i + j + k ; b = j − k .
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→
→
→
28. Un vector v posee dirección opuesta al vector u , si la dirección de v es la
→
→
→
dirección de u mas π . u , v en el plano.
→
Determine en cada caso un vector unitario v que tenga la dirección opuesta a
→
la dirección del vector dado u :
→
a. u = (1,1) .
→
b. u = (2,−3) .
→
c. u = (− 3, 4) .
29. Determine el ángulo formado por los vectores:
→
→
a. u = (1,1); v = (1,−1) .
→
→
b. u = (1,1,1); v = (0,1, −1) .
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4. Transformaciones Lineales
En este capitulo estudiaremos funciones definidas entre espacios vectoriales de
dimensión finita que satisfacen ciertas condiciones, las cuales se denominan
transformaciones lineales.
4.1. Definiciones Básicas
Definición 01: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y
consideremos T : V → W función. Diremos que T es una transformación lineal si y
solo si ∀u , v ∈ V , ∀s ∈ IK se tiene que:
(1)
T (u + v ) = T (u ) + T (v )
( 2)
T (su ) = sT (u )
Observación: las condiciones mencionadas en la definición pueden ser reducidas
solo por:
T ( su + v ) = sT (u ) + T (v )
(3)
es decir una función T es una transformación lineal si y solo si satisface (3).
Ejemplo 01: consideremos T : IR 3 → IR 3 tal que
determinemos si T es una transformación lineal.
T ( x, y, z ) = ( x, 2 x − y, z + x ) ,
Solución: sean ( x, y, z ) , (a, b, c ) ∈ IR ∧ t ∈ IR entonces
T (t ( x, y, z ) + (a, b, c )) = T (tx + a, ty + b, tz + c ) = (tx + a, 2(tx + a ) − (ty + b ), tz + c + tx + a )
= (tx, 2tx − ty, tz + tx ) + (a,2a − b, c + a )
= t ( x, 2 x − y, z + x ) + (a,2a − b, c + a )
= tT ( x, y, z ) + T (a, b, c )
por lo tanto T es una transformación lineal.
Ejemplo 02: sea T : IR 3 → IR tal que T ( x, y, z ) = 2 x − 3 y + z , entonces T es una
transformación lineal.
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Ejemplo 03: sea T : M 2 (IR ) → IP2 ( IR ) definida por
a b
T
= ax 2 + (b − c )x + a ,
c
d
entonces T es una transformación lineal.
Ejemplo 04: consideremos T : M n (IR ) → IPn (IR ) definida por T ( X ) = AX donde
X ∈ M n (IR ) es una matriz fija, entonces T es una transformación lineal.
Proposición 01: Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y
consideremos T : V → W una transformación lineal entonces:
a. T (0V ) = 0 W .
b. T (− u ) = −T (u )
∀u ∈ V .
Proposición 02: Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK ,
T : V → W una transformación lineal y B = {v1 , v 2 ,...., v n } una base de V entonces:
∀u ∈ V T (u ) ∈ {T (v1 ), T (v 2 ),...., T (vn )} .
Ejemplo 05: sea T : IR 3 → IR 3 una transformación lineal que satisface
T (2,0,1) = (− 1,2 ), T (1,1,1) = (0,0), T (5,0,2) = (2,1) determine T ( x, y, z ), ∀( x, y, z ) ∈ IR 3 .
Solución: no es difícil mostrar que S = {(2,0,1), (1,1,1), (5,0,2)} es una base de IR 3 por
lo cual se tiene que:
∃a, b, c ∈ IR / ( x, y , z ) = a(2,0,1) + b(1,1,1) + (5,0, 2)
observe que para determinar a , b, c basta resolver un sistema el cual tiene
asociada la matriz ampliada:
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2 1 5
0 1 0
1 1 2
x 0 − 1 1 x − 2 z 0 0 1 x − 2 z + y
y → 0
1 0
y → 0 1 0
y
z 1
1 2
z 1 0 2
z − y
x − 2z + y a
0 0 1
0 1 0
y ⇒ b
1 0 0 − 2 x − 3 y + 5 z c
= −2 x − 3 y + 5 z
=y
= x − 2z + y
por lo tanto
T ( x, y, z ) = (− 2 x − 3 y + 5 z )T (2,0,1) + yT (1,1,1) + ( x − 2 z + y )T (5,0,2)
= (− 2 x − 3 y + 5z )(− 1,2 ) + y (0,0) + ( x − 2 z + y )(2,1)
= (4 x + 5 y − 9 z , − 3 x − 5 y + 8 z )
Ejemplo 06: sea T : IR 3 → IR 3 una transformación lineal que satisface
T (2,0,1) = (− 1, 2), T (1,1,1) = (2,0 ), T (3,1, 2) = (1,2 ) determine T ( x, y, z ), ∀( x, y, z ) ∈ IR 3 si es
posible.
Definición 02: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y
consideremos T y H transformaciones lineales de V → W , entonces T + H es
una transformación lineal de V → W definida por (T + H )(u ) = T (u ) + H (u ) .
Definición 03: el conjunto de todas las transformaciones lineales definidas de
V → W , donde V y W son espacios vectoriales sobre un cuerpo IK , será
denotado por:
Hom(V , W ) .
Observación: ( Hom(V ,W ),+. ⋅) es un grupo conmutativo sobre el cuerpo IK con la
suma y ponderación por escalar usual.
Ejemplo 07: dadas las transformaciones lineales Ti : IR 2 → IR 2 definidas por:
T1 ( x, y ) = ( x + y, x − y )
T2 ( x, y ) = (x , x + y )
T3 (x , y ) = (0,− x )
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calcule: T1 + T2 + T3 , T1 o T2 , T3 o T1 , T1 o T2 o T3 .
4.2. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal.
Definición 04: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T una
transformación lineal, definimos el núcleo de T o Ker( T ) al conjunto:
Ker (T ) = {u ∈ V / T (u ) = 0W }.
Observación: Es fácil mostrar que Ker (T ) ≤ V .
Ejemplo 08: sea T : IR 4 → IR 4 definida por
T ( x, y, z , w) = ( x + 2 y − w, y − 2 z + w, x + 3 y − 2 z, − x + 2 y + 4 w)
determine base y dimensión de Ker (T ) .
Solución:
x + 2y − w
y − 2z + w
Ker (T ) = ( x, y, z , w)
x + 3y − 2z
− x + 2 y + 4w
= 0
= 0
= 0
= 0
si resolvemos el sistema:
1
0
1
− 1
2
0 − 1
1
0
1 −2
1
→
0
3 −2
0
2
0
4
0
2
0 − 1
1
0
1 −2
1
→
0
1 −2
1
4
0
3
0
0
4 − 3 1
1 −2
1 0
→
0
0
0 0
0
8 − 1 0
0 20
1
6
0
0
0 −8
0
0
⇒
0
1
x = 20 z
y = − 6 z ⇒ ( x, y, z , w) ∈ Ker (T ) ⇔ ( x, y, z , w) = z (20,−6,1,8)
w=
8z
por lo tanto Ker (t ) =
{(20,−6,1,8)}
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.
- 76 -
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Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Observe que para determinar el núcleo de una transformación lineal basta resolver
un sistema homogéneo.
Proposición 03: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T una
transformación lineal, entonces T es inyectiva si y solo si Ker (T ) = {0W }
Definición 05: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T una
transformación lineal, definimos la imagen de T por el conjunto:
Im (T ) = {w ∈ W / ∃v ∈ V : T (v ) = w} .
Observación: Es fácil mostrar que Im (T ) ≤ W
Teorema 01: sea T : V → W una transformación lineal dada entonces:
Dim (V ) = Dim ( Ker (T )) + Dim (Im(T )) .
Proposición 04: sea T : V → W una transformación lineal entonces:
1. T es inyectiva si y solo si Ker (T ) = {0 V } .
2. T es epiyectiva si y solo si Im (T ) = W .
Definición 06: sea T : V → W una transformación lineal entonces diremos que:
a. T es monomorfismo si y solo si T es inyectiva.
b. T es epimorfismo si y solo si T es epiyectiva.
c. T es isomorfismo si y solo si T es biyectiva.
Definición 07: sea T : V → W una transformación lineal entonces diremos que
T es invertible o no singular si y solo si existe T −1 : W → V transformación lineal tal
que T −1 o T = I V y T o T −1 = I W .
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Proposición 05: sea T : V → W una transformación lineal entonces:
a. T es invertiste si y solo si T es biyectiva.
( )
b. T −1 es una transformación lineal única tal que T −1
−1
=T.
Ejemplo 09: T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y, z ) = ( x + 2 y − z ,2 x − y, − x + z ) es una
transformación invertible.
Observación: T : V → W es una transformación lineal inyectiva si y solo si la
imagen de todo conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.
4.3. Matriz Asociada a una Transformación.
Consideremos T : V → W una transformación lineal donde los espacios vectoriales
son de dimensión finita n y m respectivamente.
Sean
S1 = {v1 , v 2 ,......, v n } y S 2 = {w1 , w2 ,......, wn }
bases
de
V
yW
respectivamente. Así para todo vector α ∈ V existen a1 ,....., a n ∈ IR tales que:
α = a1 v1 + ........ + a n v n ⇔ [α]S1
a1
=
an
análogamente se tiene que existen b1 ,....., bn ∈ IR tales que:
T (α) = b1 w1 + ........ + bn wn ⇔ [T (α)]S 2
b1
=
bn
así obtenemos que:
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b1 a11
=
bn a m 1
a1 n a1
a mn an
a12
a m2
donde:
T (v1 ) = a11 w1 + a 21 w2 + ..... + a m1 wm
T (v 2 ) = a12 w1 + a 22 w2 + ..... + a m 2 wm
T (v1 ) = a1 n w1 + a2 n w2 + ..... + amn wm
la matriz:
a11
A=
a m1
a1n
a mn
a12
a m2
se denomina la matriz de la transformación en las bases S1 y
denotaremos por:
[T ]SS
2
1
S
[
T
]
Observación:
S [u ]S
2
1
1
S 2 la cual
.
= [T (u )]S 2
Proposición 06: sea T : IR n → IR m
T (u ) = Au, A ∈ M m×n ( IR ) , entonces:
una
transformación
lineal
tal
que
a. La imagen de T es el espacio columna de A .
b. T es inyectiva si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.
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- 79 -
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c. El sistema Au = b posee solución si y solo si b es combinación lineal de las
columnas de A .
Proposición 07: Sea T : V → W una transformación lineal donde dim (V ) = n y
dim (W ) = m , consideremos S1 = {u1 , u 2 ,...., u n } y S 2 = {a1 , a 2 ,...., an } bases de V con
matriz
cambio
de
base
de
S2
en
S1
dada
por
P =
[I ]SS
1
2
;
sean
S 3 = {w1 , w2 ,...., wn } y S 4 = {b1 , b2 ,...., bn } bases de W con matriz cambio de base de
S 4 en S 3 dada por Q =
[T ]
S4
S2
[I ]SS
3
4
entonces:
= Q A P = [T ] [T ] [T ]
−1
S4
S3
S3
S1
S1
S2 .
Ejemplo 10: Sea T : IR 3 → IR 2 una transformación lineal
− 1 2 1
[T ]BA =
, donde A = {(1,0, −1); (0,1,2); (1,0,0)} y B = {(1,1); (− 5,−1)}
0 1 3
tal
que
a. Determine T(2,1,-3).
b. Determine la matriz de cambio de base, de la base canónica de IR 3 a la
base A.
Solución:
a.
5
− 1 2 1
− 1 2 1 − 6
[T (2,1,−3)]B =
[(2,1,−3)]B = 0 1 3 1 = − 8
0 1 3
− 3
∴ T (2,1, −3) = −6(1,1) − 8(− 5,−1) = (34, 2)
b.
(1,0,0) = 0(1,0,−1) + 0(0,1, 2) + (1,0,0)
(0,1,0) = 2(1,0,−1) + 0(0,1,2) − 2(1,0,0 ) ⇒ [I ]CA
(0,0,1) = −(1,0,−1) + (0,1,2) + (1,0,0 )
3
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- 80 -
2 − 1
0
= 0
1 0
1 − 2
1
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Ejemplo
[T ]
C3
C3
11:
7
= − 5
3
T : IR 3 → IR 3
Sea
transformación
lineal
tal
que
− 4
4 donde C3 es la base canónica de IR 3 . Resuelva los
− 1
6
−4
3
siguientes problemas:
a. Determine T ( x, y, z ) .
b. Determine base y dimensión para Ker (T ) .
c. Determine base y dimensión para Im (T ) .
d. Determine si T es un isomorfismo. Si su respuesta es afirmativa determine
T −1 .
e. Considere β = {(1, −1,0), (2, − 1, 1), (− 2, 2, − 1)} base de IR 3 , determine [T
utilizando
[T ]
C
C
3
3
]ββ
.
Solución:
a.
[T (x , y , z )]C
3
7
= − 5
3
6
− 4
3
− 4
4
− 1
x 7 x + 6 y − 4z
y = − 5 x − 4 y + 4 z
z 3 x + 3 y + z
⇒ T ( x , y , z ) = (7 x + 6 y − 4 z , − 5 x − 4 y + 4 z , 3 x + 3 y + z )
b.
7 x + 6 y − 4z = 0
3
Ker (T ) = ( x, y, z ) ∈ IR / − 5x − 4 y + 4 z = 0
3x + 3 y + z = 0
consideremos la matriz asociada al sistema
6 − 4 1 0 − 7 1 0 − 7 1 0 − 7
7
4 → 1 2
7 → 0 2 14 → 0 − 1 − 8
−5 − 4
3
3
1 3 3
1 0 3 22 0
0 − 2
⇒ ∃solución unica
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- 81 -
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,
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por lo tanto se tiene que Ker (T ) = {(0,0,0 )}
c. Considerando el resultado anterior se tiene por el teorema de la
dimensión que dim (Im (T )) = 3 por lo tanto Im (T ) = IR 3 .
d. T es un isomorfismo ya que T es inyectiva, por la parte b, y es
epiyectiva, por la parte c.
Además
4
3 − 4
7
−1
C
5
T −1 C33 = [T ]CC33 = −
−
4 ⇒
2
2
3
3
− 1
2
2
(
[ ]
)
− 7x − 5 y + 8z 3x + 3y − 2z
T −1 ( x, y, z ) = 4 x + 3 y − 4 z ,
,
2
2
e.
[T ]BB = [I ]BC [T ]CC [I ]CB
3
3
3
3
6 − 4 1 2 − 2 1 0
0
1 0 − 2 7
= 1 1
0 − 5 − 4
4 − 1 − 1
2 = 0 2
0
1 1 − 1 3
3 − 1 0
1 − 1 0 0 − 1
ya que:
(1,0,0) = a (1, −1,0) + b (2,−1,1)c(− 2,2,−1) ⇒ a = 1, b = 1, c = 1
(0,1,0) = a (1, −1,0) + b (2,−1,1)c(− 2,2,−1) ⇒ a = 0, b = 1, c = 1
(0,0,1) = a (1, −1,0) + b (2,−1,1)c(− 2,2,−1) ⇒ a = −2, b = 0, c = −1
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- 82 -
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Ejercicios.
1. Sea A ∈ M n×m ( IR ) demuestre que T : IR m → IR n definida por T (u ) = Au es una
transformación lineal.
2. Sea T : IR 2 → IR 3 definida por T ( x, y ) = ( x + y , y , x ) demuestre que es
3. Sea T : M n (IR ) → M n ( IR ) definida por T (V ) = AM + MA donde M ∈ M n ( IR ) es
fija. Demuestre que T es una transformación lineal.
4. Sean T1 : V1 → W1 , T2 : V2 → W 2 transformaciones lineales, demuestre que
T : V1 × V2 → W 2 × W2 definida por T (u, v ) = (T (u ), T (v )) es una transformación
lineal.
5. Determinar cuales de las siguientes funciones determinan una transformación
lineal:
a. T : IR 2 → IR; T ( x, y ) = 2 x − y.
b. T : IR 2 → IR 2 ; T ( x, y, z , w) = (x + y, z − w − y ).
c. T : IR 2 → IR 3 ; T ( x, y ) = ( x, y , xy).
6. Considere V el espacio de todas las funciones reales continuas sobre el
intervalo [0,1] y sea W el subespacio que consta de todas las funciones reales
con primera derivada continua sobre [0,1] , demuestre que T : W → V definida
por T (u ) = u ' es una transformación lineal: determine si es posible definir T en
V.
7. Sea T : V → W una transformación lineal y suponga que las imágenes de
u1 , u 2 ,...., u k , T (u1 ), T (u 2 ), ....., T (u k ) , son linealmente independientes. Demuestre
que u1 , u 2 ,...., u k forma un conjunto linealmente independiente.
8. Sean S y T transformaciones lineales definidas de IR 2 en
S ( x, y ) = (0, x ) y T ( x, y ) = ( x,0 ) demostrar que T o S ≠ S o T .
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- 83 -
IR 2 tales que
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9. Sea F , G : IPn (IR ) → IPn (IR ) definidas por F ( p ( x )) = p ' ( x ) y G( p (x )) = xp' ( x ) ,
demuestre que S y G son transformaciones lineales.
10. Sea T : V → W una transformación lineal. Si {v1 , v 2 ,......, vk } genera al espacio V
demuestre que la imagen de T esta generada por T {(v1 ), T (vT 2 ),......, T (v k )} .
11. Sea A ∈ M n ( IR ) fija demuestre que T : M n → M n definida por T ( X ) = AX − XA
es una transformación lineal.
− 3 1
12. Dada A =
determine el núcleo y la imagen de T : M 2 ( IR ) → M 2 ( IR )
− 2 2
donde T ( X ) = AX − XA .
13. Dada
la
transformación
lineal
T : IR 3 → IR 3
definida
por
T ( x, y, z ) = (x + 2 y, y − z , x + 2 z ) determine una base para el núcleo y la imagen
de T .
1 − 1
14. Sea de T : M 2 ( IR ) → M 2 ( IR ) definida por T ( X ) = XA donde M =
,
2
− 2
determine base y dimensión para los subespacios núcleo e imagen de T .
15. Sea T : IR 3 → IR 2 una transformación lineal definida por:
T (0,0,3) = (1,2 )
T (0,2,0) = (2,1)
T (1,1,0 ) = (0,0 )
a. Determine explícitamente T ( x, y, z ) .
b. Determine base y dimensión del Ker (T ) .
16. Dados los vectores u = (1,−2,3,5), v = (3,5,7,3) determinar un sistema homogéneo
tal que el conjunto solución de dicho sistema este generado por u y v .
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17. Determine si T : IR 3 → IR 3
definida por T ( x, y, z ) = (x + y + z , y + z, z )
invertible, si su respuesta es afirmativa determine su inversa.
18. Determine si la transformación lineal
T : IR 3 → IR 3
T ( x, y, z ) = (x + 2 y + 3 z , x + 3 y + 3 z ,−2 y + z ) es invertible.
19. Sea T : IR 3 → IR 3
una transformación lineal tal que
T (0,1,0 ) = (2,−1,0) y T (0.0.1) = (3,1,3) .
definida
es
por
T (1,0,0) = (1,2,3) ,
a. Determine T ( x, y, z ) .
b. Determine una base para el Núcleo de T .
c. Determine base y dimensión de la imagen de T .
20. Sean T : V → W , S : W → U transformaciones lineales, demuestre que:
a. Im (S o T ) ⊂ Im( S ) .
b. Ker (T ) ⊂ Ker (S o T ) .
(
)
21. Sea T : IP2 ( IR ) → IP4 (IR ) definida por T ( p (t )) = t 2 + t + 1 p(t ) demuestre que T
es una transformación lineal y determine la imagen de T .
22. En cada caso determine una transformación lineal T : IR 3 → IR 3 que cumpla la
propiedad dada.
a.
{(1,−1, 2), (3,1,−1)} sea una base para Im(T ) .
b.
{(1,1,1), (1,0,−2)}
sea una base para Ker (T ) .
23. Sea T : IP2 ( IR ) → IP3 ( IR ) una transformación lineal tal que: T (1) = x 2 − 2 ,
( )
T ( x ) = x 3 + x y T x 2 = x 3 + 2 x 2 + 1 , determine cual de los siguientes polinomios
pertenecen a la imagen de T .
a. x 2 − x + 3 .
b. x 2 − x + 1 .
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- 85 -
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c. 4 x 3 − 3x + 5 .
24. Sea T : IR 3 → IR 3 definida por T (u ) = u × v donde v es un vector fijo no nulo del
espacio:
a. Determine si T es una transformación lineal.
b. Determine el núcleo de la transformación.
c. Determine la matriz asociada a la transformación en las bases canónicas.
25. Considere S , T : IR 4 → IR 2 transformaciones lineales definidas por:
S ( x, y, z , w) = ( x + y + z, w)
T ( x, y, z , w) = ( x − z , w − y )
a. determine la matriz asociada a S + T en las bases canónicas.
b. Determine una base para el núcleo de S + T .
26. Considere la transformación lineal T : IR 3 → IR 3 definida por:
T ( x, y, z ) = ( y + 3 z ,4 x + z , x + y )
a. Determine la matriz asociada a la transformación en la base canónica de
IR 3 .
b. Determinar [T ]WB donde B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0 )} y W = {(2,3,−1), (3,1,0 ), (2, −2,1)} .
2 − 1 3
27. Sea T : IR 3 → IR 2 una transformación lineal tal que [T ]WB =
donde
1 0
3
B = {(1,0,−1), (0,2,0), (1, 2,3)} y W = {(1, −1), (2,0)} son bases de
IR 3 y IR 2
respectivamente.
a. Determine la matriz asociada en las bases canónicas.
b. Determine el núcleo y la imagen de la transformación y sus respectivas
dimensiones.
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- 86 -
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28. Sea V un espacio vectorial de dimensión dos sobre el cuerpo de los números
reales considere T : V → V una transformación lineal tal que:
T (u1 ) = u1 + 2u 2
T (u 2 ) = u1 + u 2
donde {u1 ,u 2 } es una base de V .
a. En cada caso determinar la matriz asociada en la base indicada.
i.
{u1 ,u 2 } .
ii.
{u1 + 2u 2 , u1 + u 2 }
b. Determinar la matriz que representa T −1 en la base {u1 ,u 2 } .
c. Determinar T (au1 + bu 2 ) en términos de la base {u1 ,u 2 } .
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- 87 -
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5. Material de Apoyo.
Solemnes Segundo Semestre del 2001
Primera Solemne
Alumno
:
Nota
Asignatura
:
Profesor
: Rossy Rivero – Miguel Muñoz J.
Carrera
:
Tipo de Prueba
:
Duración
: 80 minutos(una hora 20 minutos).
Sección:
Ingeniería de Ejecución
Teórico
Jornada:
Teórico Practico
Indique el numero de pregunta que NO responderá:
Diurna
Fecha 09/10/01
(la cual NO será corregida)
a 2 2
3 3
2 1
1. Sea A =
b determine a , b, c,∈ IR si se sabe que A es una matriz
3 3
1
c b
3
Ortogonal.(15 puntos)
2. Dado el sistema:
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + az = a 2
determine los valores de a ∈ IR , si existen, de tal modo que:
a. El sistema tenga infinitas soluciones. (5 puntos)
b. El sistema sea inconsistente. (5 puntos)
c. El sistema tenga solución única, y determine dicha solución. (5 puntos)
3. Determine usando operaciones elementales la inversa de:
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 88 -
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Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
2
1 − 3 −1
1 0 − 1
0
A=
.(15 puntos)
1 −2
0
1
−
1
2
1
−
2
4. Resuelva los siguientes problemas:
a. Demuestre que si A ∈ M n ( IR ) es una matriz regular tal que AB = 0 , donde
B ∈ M n ( IR ) entonces B = 0 .(06 puntos)
x y z
b. Si 1 2 3 = 1 calcule:
1 1 1
x −1 1
2
y − 1 2 2 .(09 puntos)
z −1 3 2
5. Demuestre por Inducción que:
p
n
A = 0
0
1
p
0
n
n
0
p
1 = 0
0
p
np n −1
pn
0
n(n − 1) n − 2
p
2
(15 puntos)
np n −1
pn
Observaciones:
1. Solo debe responder cuatro preguntas.
2. No se permite el uso de apuntes, calculadora ni formularios.
3. Justifique sus respuestas.
4. Nota final =
Puntaje obtenido + 10
10
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Pauta.
1.
8
2
a +9
2
2 2
AAt = a + + b
9 3
3
ac + 2 b + 2
3
9
a2 +
2
2 2
a+ + b
3
9 3
5
+ b2
9
2
2
c+ b
3
3
8
=1
9
c 2 + b2 +
2
2
b+
3
9
2
2
c+ b
3
3
1
2
2
c + b +
9
ac +
5
+ b2 = 1
9
1
=1
9
2
2 2
a+ + b=0
3
9 3
2
2
ac + b + = 0
3
9
2
2
c+ b = 0
3
3
1
2
2
de donde obtenemos que a = ± , b = ± , c = ± .
3
3
3
2.
ax + y + z = 1 a 1
x + ay + z = a ≡ 1 a
x + y + az = a 2 1 1
1 x 1
1 y = a
a z a 2
consideremos la siguiente matriz asociada al sistema:
1 1
1 a
a 1
a a2 1
1
a
1 a ~ 0 a − 1 1− a
1 1 0 1 − a 1 − a 2
a2 1
1
a
a2
2
2
a − a ~ 0 a −1
1− a
a−a
,
3
2
2
3
1− a 0
0
2 − a − a 1+ a − a − a
por lo tanto el sistema posee solución única si y solamente si:
(a − 1)(2 − a − a 2 ) = (1 − a )(a 2 + a − 2 ) ≠ 0 ⇔ a ≠ 1 ∧ a ≠ −2 .
Si a = 1 se tiene:
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- 90 -
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1
1
a
1− a
0 a −1
0
0
2 − a − a2
1 1 1 1
a2
a − a2
= 0 0 0 0 .
1 + a − a 2 − a 3 0 0 0 0
Por lo tanto se tiene que el sistema posee infinitas soluciones.
Si a = −2 entonces:
1
1
a
0 a −1
1− a
0
0
2 − a − a2
1 1 − 2 4
a2
2
a−a
= 0 −3 3 −6.
1 + a − a 2 − a 3 0 0
0
3
Por lo tanto el sistema no posee solución.
3.
2
1 − 3 −1
0
1 0 −1
( A | I ) =
1 −2
0
1
2
1 −2
−1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
~
0
1
1 − 3 −1 2 1
1 0 −1 0
0
0
1
1 −1 −1
0 1
0 −1 0
0
1
0
0
0
0
1
0
1 − 3 −1 2 1 0
1 0 −1 0
1
0
0
0
1 0 −1 −1
0
0 −1 1
1
0
0
0
1
0
0 1 − 3 −1 2 1 0
0 0
1 0
0 −1 0
~
0 0
0
1 0 −1 −1
1 0
0
0 −1 1
1
0
0
0 − 1
~
1 0
0
1
2
1 − 3 −1 0 3
1 0
0 −1 0
0
0
0
1 0 −1 −1
0
0 −1 1
1
0
0
2 1 − 3 0
0 2
1
0 − 1 0
1 0
0 −1 0
~
1 0 0
0 1 0 −1 −1
0
1 0
0 0 −1 1
1
1 2
0 − 1
~
1 0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
−1
1
−1 0
−1 −1
−1 −1
1 − 1
1
−1
0 − 1
−1 0
−1
⇒
A
=
−1 −1
1 0
−1 −1
0 − 1
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 91 -
0
0
0
1
1 − 1
0 − 1
1 0
0 − 1
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
4.
a. si A es regular entonces existe A− 1 por lo tanto se tiene que:
A−1 AB = 0 ⇒ B = 0
b.
x − 1 1 2 x −1 y −1 z −1
x −1 y −1 z −1
x y z
y −1 2 2 = 1
2
3 =2 1
2
3 = 21 2 3 = 2
z −1 3 2
2
2
2
1
1
1
1 1 1
5.
i)
Claramente la igualdad es valida para n = 1 .
ii)
Hipótesis de inducción. Suponemos que para n = k se tiene que:
p
0
0
iii)
1
p
0
k
k
0
p
1 = 0
0
p
kpk −1
pk
0
k (k − 1) k − 2
p
2
kpk −1
pk
por demostrar que para n = k + 1 .
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 92 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
p
0
0
1
p
0
0
1
p
k +1
p
= 0
0
1
p
0
k +1
p
= 0
0
k +1
p
= 0
0
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
0
1
p
pk
0
0
p k + kpk
p k +1
0
(k + 1) p k
p k +1
0
- 93 -
k (k − 1) k − 2
p
2
kp k −1
pk
kp k −1
pk
0
k (k − 1) k −1
p
2
p k + kp k
p k +1
kp k −1 +
k (k + 1) k −1
p
2
(k + 1) p k
p k +1
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Segunda Solemne
Alumno
:
Nota
Asignatura
:
Profesor
: Rossy Rivero – Miguel Muñoz J.
Carrera
:
Tipo de Prueba
:
Duración
: 80 minutos(una hora 20 minutos).
Sección:
Ingeniería de Ejecución
Teórico
Jornada:
Teórico Practico
Diurna
Fecha 06/11/01
Indique el numero de pregunta que NO responderá(la cual NO será corregida):
Pregunta 3:
Pregunta 5:
1. Considere el espacio de las matrices cuadradas de orden n , con las
operaciones usuales, (M n ( IR ),+. *) . Determine si:
W = {A ∈ M n (IR ) / AT = TA}
es un subespacio de (M n ( IR ),+. *) , donde T ∈ M n (IR ) es fija.(12 Puntos)
2. Sea B = {u, v, w} ⊂ V una base del espacio vectorial real V . Determine si el
conjunto S = {3v + 2w, w − 4u, u + v} es una base de V .(12 Puntos)
3. Considere como espacio vectorial el conjunto de los polinomios de grado
menor o igual a tres, IP3 (IR ) , con las operaciones usuales. Dados
U = { p( x ) ∈ IP3 ( IR ) / p (1) = p (− 1) ∧ p (1) = 0}
W = {1 − x + x 2 + x 3 , − 2 + x 2 , − 2 x + 3x 2 + 2 x 3 }
a. Determine base y dimensión de U ∩ W .(4 Puntos)
b. Determine base y dimensión de U + W .(4 Puntos)
c. ¿ Es IP3 (IR ) = U ⊕ W ? Justifique su respuesta. (4 Puntos)
4. Determine si p ( x ) = x 2 + 2 x − 4 ∈ {x 2 + x − 1, 3x 2 + 2 x − 5, 3x − 7, 1 − x 2 } .
5. Considere los siguientes subespacios de IR 4 :
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- 94 -
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Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
{(1,1,0,−1), (1,2,3,0 ), (2,3,3,−1)}
= {(1,2,2,−2), (2,3,2,−3), (1,3,4,−3)}
U =
W
a. Determine U ∩ W .(4 Puntos)
b. Determine una base y la dimensión de U + W .(4 Puntos)
c. ¿ Es IR 4 = U ⊕ W ?. Justifique. (4 Puntos)
6. Determine una base ortogonal del subespacio de IR 4 generado por el conjunto
de vectores {(1, ,1,1,1), (1,1, 2, 4), (1,2,−4, −7 )} .(12 Puntos)
Pauta
1.
a.
0∈W ⇒ W ≠ ∅ .
b.
Sean A, B ∈ W ∧ α ∈ IR de donde se tiene que:
(α A + B )T = α A T + B T = αT A + T B
= T (α A + B )⇒ (α A + B )∈ W
ya que A, B ∈ W
Por lo tanto de a y b se tiene que W ≤ M n ( IR ) .
2. consideremos la combinación lineal:
a (3v + 2w) + b( w − 4u ) + c (u + v ) = 0V ⇒ 0V = (3a + c )v + (c − 4b)u + (2a + b )w
ya que {u, v, w} es una base de V entonces se tiene que:
3a + c = 0
c − 4b = 0 ⇒ a = b = c = 0, por lo tanto {u, v, w} es L I.
2 a + b = 0
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- 95 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Por lo tanto, ya que S = {3v + 2w, w − 4u, u + v} es un conjunto linealmente
independiente con cardinalidad tres, igual a la dimensión del espacio se tiene que
S = {3v + 2w, w − 4u, u + v} es una base de V .
3.
{
= {− c − dx + cx + dx
= {x − 1, x − 1}
}
U = a + bx + cx 2 + dx 3 / b + d = 0 ∧ a + b + c + d = 0
2
2
3
}
/ c , d ∈ IR
3
Sea a + bx + cx 2 + dx 3 ∈ W por lo tanto se tiene que:
(
) (
) (
a + bx + cx 2 + dx 3 = p 1 − x + x 2 + x 3 + q − 2 + x 2 + r − 2 x + 3x 2 + 2 x 3
)
de donde se deduce que:
p − 2q = a
− p − 2r = b
2
3
⇒ W = a + bx + cx + dx / b + d = 0 ∧ a + 3b + 2c = 0
p + q + 3r = c
p + 2r = d
{
}
{
}
a. U ∩ W = a + bx + cx 2 + dx 3 / b + d = 0 ∧ a + 3b + 2c = 0 ∧ a + b + c + d = 0
determinar U ∩ W basta resolver el sistema
así para
b + d = 0
a + b + 2c = 0
a + b + c + d = 0
así considerando la matriz asociada al sistema y realizando operaciones
elementales obtenemos:
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
1 → 0 1 0
1
1 3 2 0 → 0 1 0
0 1 0 1 0 2 1 − 1 0 0 1 − 3
de donde se puede deducir que:
U ∩ W = {− 3d − dx + 3dx 2 + dx 3 / d ∈ IR} = {− 3 − x + 3 x 2 + x 3 }
{
}
por lo tanto una base de U ∩ W es − 3 − x + 3 x 2 + x 3 y su dimensión es uno.
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- 96 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
b. U + W = {x 2 − 1, x 3 − 1, 1 − x + x 2 + x 3 , − 2 + x 2 , − 2 x + 3x 2 + 2 x 3 }
consideremos la siguiente identificación:
→ (− 1,0,1,0 )
0
1 0 −1
3
x −1
→ (− 1,0,0,1)
0 − 1
1 0
1 − x + x 2 + x 3 → (1,−1,1,1) si consideram os la matriz A = 1 − 1
1
1
2
0 −1
0
− 2 + x2
→ (− 2,0,1,0)
0
2 − 3 − 2
− 2 x + 3x 2 + 2 x 3 → (0,−2,3, 2)
x 2 −1
si realizamos operaciones elementales a la matriz A obtenemos:
0 1 0 − 1
0 1 0 −1 0 1 0 −1 0
1 0 −1
0
1 − 1 0 − 1
2
1 0 − 1 2
1 0 − 1 2
1
0
A → 0 −1
2
1 → 0
0
1
0 → 0
0
1 0 → 0
0
1 0
0
1
0 0
0
1 − 1 0
0
0 − 1 0
0
0 − 1
0
0
2 − 3 − 2 0
2 − 3 − 2 0
0
1 0 0
0
0
0
de donde se deduce que:
{
U + W = 1 − x 2 ,− x + 2 x 2 + x 3 , x 2 , x 3
Dim (U + W ) = 4
}
{
una base de U + W es 1 − x 2 ,− x + 2 x 2 + x 3 , x 2 , x 3
}
c. IP3 (IR ) ≠ U ⊕ W ya que U ∩ W ≠ {0} .
4. Para
determinar
si
p ( x ) = x 2 + 2 x − 4 ∈ {x 2 + x − 1, 3x 2 + 2 x − 5, 3x − 7, 1 − x 2 }
basta determinar si existen a , b, c, d ∈ IR tales que:
(
) (
)
(
)
x 2 + 2x − 4 = a x 2 + x − 1 + b 3x2 + 2x − 5 + c( 3x − 7) + d 1 − x 2 ⇔
x + 2 x − 4 = (− a − 5b − 7c + d ) + x (a + 2b + 3c ) + x (a + 3b − d ) ⇔
2
2
− a − 5b − 7c + d = −4
1 − 4
−1 − 5 − 7
a + 2b + 3c = 2
2
3 0
2
⇒ la matriz asociada al sistema es 1
1
a + 3b − d = 1
3
0 −1
1
si realizamos operaciones elementales se tiene que:
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 97 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
1 − 4 −1 − 5 − 7 1 − 4 −1 − 5 − 7 1 − 4
−1 − 5 − 7
2
3 0
2 → 0 − 3 − 4 1 − 2 → 0 −1
3 1
1 →
1
1
3
0 −1
1 0 − 2 − 7 0 − 3 0 − 2 − 7 0 − 3
1 − 4
−1 − 5 − 7
3
1
1 ⇒ que el sistema posee infinitas soluciones
0 −1
0
0 − 13 − 2 − 5
por lo tanto p ( x ) = x 2 + 2 x − 4 ∈ {x 2 + x − 1, 3x 2 + 2 x − 5, 3x − 7, 1 − x 2 } .
5. U =
{(1,1,0,1), (1,2,3,0), (2,3,3,−1)} = {( x, y, z , w) / z + 3 x − 3 y = 0 ∧ w + 2 x − y = 0}
por
otro lado se tiene que:
W =
{(1,0, −2,0 ), (0,1,2,−1)} = {( x, y, z , w) / w + y = 0 ∧ z + 2 x − 2 y = 0}
por lo tanto:
a. U ∩ W = {z + 3 x − 3 y = 0 ∧ w + 2 x − y = 0 ∧ w + y = 0 ∧ z + 2 x − 2 y = 0} = {(0,0,0,0)}
b. U +W =
{(1,1,0,1), (0,1,3,1), (1,0,−2,0 ), (0.1.2. − 1)}
por lo tanto una base de U + W es
dimensión de U + W es 3
=
{(1,1,0,−1), (0,1,3,1), (0,1,2,−1)}
{(1,1,0,−1), (0,1,3,1), (0,1,2,−1)},
con lo cual la
c. IR 4 ≠ U + W ya que U + W ≠ IR 4 .
w1 = (1,1,1,1)
(1,1, 2, 4), (1,1,1,1)
(1,1,1,1) = (− 1,−1,0, 2)
(1,1,1,1) 2
(1, 2, −4,−7 ), (− 1, −1,0,2)
(1,2,−4, −7 ), (1,1,1,1)
= (1,2,−4,−7 ) −
(− 1,−1,0, 2) −
(1,1,1,1)
2
(− 1, −1,0,2)
(1,1,1,1) 2
w2 = (1,1,2,4 ) −
6.
w3
4
1 7
= , , − 2,
6
6 6
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 98 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Tercera Solemne
Alumno
:
Nota
Asignatura
:
Algebra II
Profesores
:
Rossy Riveros. – Miguel Muñoz J.
Carrera
:
Tipo de Prueba
:
Duración
:
Sección:
Ingeniería de Ejecución en Computación
Teórico
Teórico Practico
Jornada:
X
Diurna
Fecha
90 minutos(una hora treinta minutos ).
1. Sean F , G, H T : IR 3 → IR 3 transformaciones lineales definidas por:
F ( x, y, z ) = ( x + 2 y − 4 z , 2 x + 3 y , y + z )
G( x, y, z ) = ( x − y + z, x + 3 z , x − 5 z )
H (x , y , z ) = (x − y + 3z , x + y + z, 3z − y )
Determine:
a. 3F + G − 5 H .(04 Puntos)
b. H o F .(03 Puntos)
c. F 2 .(03 Puntos)
2. Determine T : IR 3 → IR 3 transformación
( 1, 1, − 1) ∈ Im(T ) (10 Puntos)
lineal tal que T (1, − 1, 0) = (0,0,0 ) y
3. Sea T : IR 3 → IR 3 transformación lineal tal que
[T ]
C3
C3
7
= − 5
3
6
−4
3
− 4
4
− 1
donde C3 es la base canónica de IR 3 . Resuelva los siguientes problemas:
a. Determine T ( x, y, z ) .(05 Puntos)
b. Determine base y dimensión para Ker (T ) .(05 Puntos)
c. Determine base y dimensión para Im (T ) .(05 Puntos)
d. Determine si T es un isomorfismo. Si su respuesta es afirmativa determine
T −1 .(10 Puntos)
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 99 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
e. Considere β = {(1, −1,0), (2, − 1, 1), (− 2, 2, − 1)} base de IR 3 , determine [T
utilizando
[T ]
C
C
3
3
]ββ
.(15 Puntos)
Pauta
1. Si
F ( x, y, z ) = ( x + 2 y − 4 z , 2 x + 3 y , y + z )
G( x, y, z ) = ( x − y + z, x + 3 z , x − 5 z )
H (x , y , z ) = (x − y + 3z , x + y + z, 3z − y )
se tiene que:
a.
(3F + G − 5H )(x , y , z ) = (− x + 10 y − 26 z , 2 x + 7 y − 2 z , x + 8 y − 17 z ) .(05 Puntos)
b.
( H o F )( x, y, z ) = (− x + 2 y − z , 3 x + 6 y − 3 z , 2 x + 4 y + z ) .(05 Puntos)
c. F 2 ( x, y , z ) = (5 x + 8 y − 12 z , 8x + 13 y − 8z , 2 x + 4 y + z ) (05 Puntos)
2. consideremos la base {(1, − 1, 0 ), (0,1, 0 ), (0, 0,1)} y definamos
T (1,−1, 0 ) = (0, 0, 0 )
T (0,1, 0 ) = (1, 1,−1)
T (0, 0, 1 ) = (0, 0, 1 )
por otro lado se tiene que para todo ( x, y, z ) ∈ IR 3 se tiene que:
( x, y, z ) = a(1, − 1, 0 ) + b (0,1, 0) + c (0, 0,1) = (a, − a + b, c )
⇒ a = x, b = x + y , c = z
por lo tanto
T ( x, y, z ) = T (a(1, − 1, 0 ) + b (0,1, 0) + c (0, 0,1)) = aT (1, − 1, 0 ) + bT (0,1, 0 ) + cT (0, 0, 1)
= a (0,0,0 ) + b (1,1, −1) + c(0,0,1) = (b, b,−b + c ) = ( y + x , y + x,− x − y + z )
3.
a.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 100 -
Curso: Algebra II.
,
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
[T (x , y , z )]C
3
7
= − 5
3
6
− 4
3
− 4
4
− 1
x 7 x + 6 y − 4z
y = − 5 x − 4 y + 4 z
z 3 x + 3 y + z
⇒ T ( x , y , z ) = (7 x + 6 y − 4 z , − 5 x − 4 y + 4 z , 3 x + 3 y + z )
b.
7 x + 6 y − 4z = 0
3
Ker (T ) = ( x, y, z ) ∈ IR / − 5x − 4 y + 4 z = 0
3x + 3 y + z = 0
consideremos la matriz asociada al sistema
6 − 4 1 0 − 7 1 0 − 7 1 0 − 7
7
4 → 1 2
7 → 0 2 14 → 0 − 1 − 8
−5 − 4
3
3
1 3 3
1 0 3 22 0
0 − 2
⇒ ∃solución unica
por lo tanto se tiene que Ker (T ) = {(0,0,0 )}
c. Considerando el resultado anterior se tiene por el teorema de la
dimensión que dim (Im (T )) = 3 por lo tanto Im (T ) = IR 3 .
d. T es un isomorfismo ya que T es inyectiva, por la parte b, y es
epiyectiva, por la parte c.
Además
4
3 − 4
7
−1
C
5
T −1 C33 = [T ]CC33 = −
−
4 ⇒
2
2
3
3
− 1
2
2
− 7x − 5 y + 8z 3x + 3y − 2z
T −1 ( x, y, z ) = 4 x + 3 y − 4 z ,
,
2
2
[ ]
(
)
e.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 101 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
[T ]BB = [I ]BC [T ]CC [I ]CB
3
3
3
3
6 − 4 1 2 − 2 1 0
0
1 0 − 2 7
= 1 1
0 − 5 − 4
4 − 1 − 1
2 = 0 2
0
1 1 − 1 3
3 − 1 0
1 − 1 0 0 − 1
ya que:
(1,0,0) = a (1, −1,0) + b (2,−1,1)c(− 2,2,−1) ⇒ a = 1, b = 1, c = 1
(0,1,0) = a (1, −1,0) + b (2,−1,1)c(− 2,2,−1) ⇒ a = 0, b = 1, c = 1
(0,0,1) = a (1, −1,0) + b (2,−1,1)c(− 2,2,−1) ⇒ a = −2, b = 0, c = −1
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 102 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Solemnes Primer Semestre del 2001
Primera Solemne
Alumno
:
Nota
Asignatura
:
Profesor
:
Carrera
:
Tipo de Prueba
:
Duración
: 80 minutos(una h ora 20 minutos).
Sección:
Ingeniería de Ejecución
Teórico
Jornada:
Teórico Practico
Vespertina
Fecha 14/05/01
6. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:
a. Para numero natural n se tiene que:
x n nx n −1
x 1
=
0 x
xn
0
n
(0. 7 Puntos)
1 4 3
b. La matriz A = 0 1 1 es invertible. (0.7 Puntos)
1 1 1
c. Si A, B ∈ M n (ℜ) son matrices
idempotentes que conmutan entonces
( A + B ) 4 = A + B + 14 AB .(0. 7 Puntos)
7. ¿Existen números reales x, y, z, tales que
1 2
2
A=
, B=
− 1 4
1
respuesta .(1.5 Puntos)
2
− 2 3
, C=
3
4 0
y
xA + yB + zC = D , donde
1 0
D=
?. Fundamente su
0 1
8. Determine los valores de m ∈ ℜ , si existe, para que el sistema
mx + y = 0
2 x + my + z = 0
y + mz = 0
a. Sea inconsistente. (0.5 Puntos)
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 103 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
b. Tenga solución única, y determínela. (0.5 Puntos)
c. Tenga infinitas soluciones y determínelas. (0.5 Puntos)
9. Demuestre solo usando propiedades de determinantes, sin calcularlo, que:
x−y−z
2y
2z
2x
2x
y−z−x
2y
= ( x + y + z ) (0.9 Puntos)
2z
z−x− y
3
Pauta Primera solemne Algebra II
1.
a. La afirmación es valida; en efecto lo demostraremos por inducción:
I. Claramente la igualdad se verifica para n = 1 .
II. Supondremos valida la igualdad para n = k , es decir:
x k kx k −1
x 1
=
0 x
xk
0
k
III. mostraremos que si n = k + 1 entonces es valida la igualdad es decir:
x 1
0 x
k +1
xk
=
0
(k + 1)x k
x k +1
en efecto:
x 1
0 x
k +1
x 1
=
0 x
x 1
x 1 x k kx k −1
=
0 x = 0 x 0
xk
k
x k +1
0
(k + 1)x k
x k +1
con lo cual demostramos nuestra afirmación:
b. La afirmación es verdadera, en efecto:
1 4 3 1 4
3
1
1
A=0 1 1=0 1
1 =
= −2 + 3 = 1 ≠ 0
−3 − 2
1 1 1 0 −3 −2
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 104 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
c. La afirmación es valida, en efecto: sabemos que A2 = I , B 2 = I , AB = BA
por lo tanto obtenemos que:
( A + B) 4 = ( A + B )2 ( A + B )2 = ( A2 + AB + BA + B 2 )(A 2 + AB + BA + B 2 )
= ( A + 2 AB + B )2 = ( A + B) 2 + 2( A + B )2 AB + (2 AB )2
= A2 + AB + BA + B 2 + 4 A2 B + 4 BAB + 4 ABAB
= A + 2 AB + B + 4 AB + 4 AB 2 + 4 A 2 B 2
= A + B + 14 AB
2. Para resolver la interrogante resolvamos el sistema:
1 2
x
+
−1 4
2 2 − 2 3 1 0
y
+ z
=
1 3 4 0 0 1
que es equivalente al sistema
x + 2 y − 2z
2x + 2 y + 3z
− x + y + 4z
4x + 3y
= 1
= 0
⇒
= 0
= 1
1
1
F (2 )
0 23 0
→
0
−1
1
4
2 − 2 1
1 2 −2
1 2 − 2 1
1 2 −2
F ( 4 )
F (1)
3
4 11 0 43 0 4 11 0 31 0 4 11
2 2
→
→
−1 1
4
1
4 0
−1 1
4 0
0 3
2
0
3
0 1
4 3
0 7 16 1
0 7 16
1
1
1 47
1 2 −2
1 2 −2
1 2 −2
F (− 3 )
F ( −7 )
F −
9 − 1 32 0 1
9 − 1 42 0 1
9
− 1 43 25
0 1
→
→
→
0 3
2
1
0 0 − 25
4
0 0 − 25
4
0
7
16
1
0
7
16
1
0
0
−
47
−
27
1
1 2 −2
9
− 1
0 1
0 0 − 25
4 ⇒ el sistema no posee solucion
863
0 0
0 −
25
1
0 F23 ( −1)
→
1
1
3.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 105 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
a. El sistema nunca es inconsistente ya que es homogéneo por lo cual
siempre admite la solución trivial (0,0,0 ) .
b. Para que el sistema tenga solución única basta ver que la matriz asociada
al sistema sea invertible.
m 1 0 2 m 1 2 m 1
2 m 1 → 0 1 m → 0 1 m →
0 1 m m 1 0 2m 2 0
m
1 2 m
1
2
1
m → 0 1
m
0
0 2 − m2 − m 0 0 − m + m m2 − 2
(
)
∴ el sistema posee solucion si y solo si
(
)
(
)
{
}
− m + m m2 − 2 ≠ 0 ⇔ m m2 − 2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 ∧ m ≠ 3 ∧ m ≠ − 3
por lo tanto si m ∈ IR − 0,− 3 , 3 entonces el sistema posee solución única.
Claramente dicha solución es la trivial.
{
c. Claramente el sistema posee soluciones infinitas si m ∈ 0,− 3 , 3
}
4.
x− y − z
2y
2z
2x
2x
x+ y + z
y−z− x
2y
=
2y
2z
z−x− y
2z
x+ y + z
y−z−x
2z
1
(x + y + z) 2 y
2z
1
y− z−x
2z
1
1
2y
= (x + y + z ) 2 y
z−x− y
2z
1
(x + y + z) 0
0
1
− y−z−x
0
1
0
= ( x + y + z )3
−z−x− y
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 106 -
x+ y + z
2y
=
z−x− y
1
1
y−z− x
2y
=
2z
z−x− y
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Segunda Solemne
Nota
Alumno
:
Asignatura
:
Profesor
: Carlos Figueroa – Miguel Muñoz Jara
Carrera
:
Tipo de Prueba
:
Duración
: 80 minutos(una hora 20 minutos).
Sección:
Ingeniería de Ejecución
Teórico
Jornada:
Teórico Practico
X
Vespertina
Fecha 13/06/01
1. En el conjunto V = IR + × IR + , se definen las operaciones que se detallan a
continuación:
( a , b) ⊕ ( c, d ) = ( ac, bd )
α ∗ ( a, b) = ( aα , bα ) , α ∈IR .
Determine si (V , ⊕, ∗) es un espacio vectorial real.(1.6 Puntos)
2. Considere V = IR 3 como espacio vectorial real con las operaciones usuales y
los conjuntos:
x − y + z = 0
H = ( x, y, z ) ∈ ℜ3 /
.
x + 2 y − z = 0
W =
{(1, −1,1); (2,−2,0 )}
.
a. Demuestre que H ≤ IR 3 .(0.4 Puntos)
b. Determine la dimensión de H ∩ W .(0.4 Puntos)
c. Determine una base y la dimensión de H + W .(0.4 Puntos)
d. ¿ Es IR 3 = H ⊕ W ?. Justifique su respuesta. (0.4 Puntos)
3. Resuelva los siguientes problemas:
1 0 2 1 1
S =
,
,
0 1 1 2 1
linealmente independiente. (0.7 Puntos)
a. Determine
si
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 107 -
1
⊆ M 2 ( IR )
1
es
un
conjunto
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
b. Sean (V , +, ∗) un espacio vectorial sobre un cuerpo K y {v1 , v2 , v3 } una base
de V , determine si B = {v1 − v 3 , v 2 − v1 , v3 − 2v1 − 3v 2 } es una base de
(V , +, ∗) .(0.7 Puntos)
4. Sean A = { (2 ,1,−2 ), (5,−2,1} y B = { ( 4,−7,8),(1,5,−7 ),( −1,1,−1)} subconjuntos de
IR3 . Demuestre que A = B .(1.4 Puntos)
Pauta Segunda Solemne Algebra II
1.
a.
[(a, b) + (c , d )] + (e, f ) = (ac, bd ) + (e, f ) = (ace, bdf ) = (a, b) + [(c, d ) + (e, f )] .
b.
(a, b ) + (c, d ) = (ac, bd ) = (c, d ) + (a, b ) .(0.2 Ptos)
c.
(a, b ) + (1,1) = (a, b ) .(0.2 Ptos)
d.
(a, b ) + 1 , 1 = (1,1) ⇒ 1 , 1 Inverso de (a , b ) .(0.2 Ptos)
e.
( p + q )(a, b ) = (a p+ q , b p+ q ) = (a p
a b
a b
) (
) (
)
a q , b p b q = a p , b p + a q , b q = p(a, b ) + q(a , b ) .
(0.2 Ptos)
(
)
f.
p [(a, b ) + (c, d )] = p(ac, bd ) = a p c p , b p d p = p(a, b ) + p(c, d ) .(0.2 Ptos)
g.
( pq )(a, b ) = (a pq , b pq ) = p (q(a, b)) .(0.2 Ptos)
h. 1(a , b ) = (a, b ) .(0.2 Ptos)
2.
a. H ≤ IR 3 (0.4 Ptos)
b. W = {( x, y, z ) / x + y = 0} por lo tanto
H ∩ W = {(x , y , z ) / x − y − z = 0 ∧ x + 2 y − z = 0 ∧ x + y = 0} = {(0,0,0 )}
(0.4 Ptos)
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 108 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
c. H +W =
{(1, −2,−3); (1, −1,1); (2,−2,0)}
para
determinar
una
base
de
escalonamos la matriz
1 − 2 − 3
1 − 2 − 3
1 − 2 − 3
1 − 2 − 3
As = 1 − 1
1 → 0 − 3 − 2 → 0 − 1
4 → 0 − 1
4
2 − 2
0
0
0
0
2
6
2
6
0 14
claramente el rango de As es tres así el conjunto
{(1,−2,−3); (1,−1,1); (2,−2,0)}
es
linealmente independiente por lo cual es una base de H + W = IR 3 . (0.4 Ptos)
d. por b. Y c. IR 3 = W ⊕ H .(0.4 Ptos).
3.
a.
1 0 2 1 1 1 0 0
a
+ b
+ c
=
⇒
0 1 1 2 1 1 0 0
a + 2b + c
b+c
b+c
a + 2b + c
= 0
= 0 a + 2b + c = 0
⇒
⇒ b = −c ∧ a = c
= 0 b + c
= 0
= 0
Por lo tanto el sistema posee infinitas soluciones, por lo cual el conjunto en
cuestión es Linealmente Dependiente. (0.7 Ptos)
b. consideremos la siguiente combinación lineal
a (v1 − v 3 ) + b(v2 − v1 ) + c(− 2v1 − 3v 2 + v3 ) = 0 v ⇒
(a − b − 2c )v1 + (b − 3c )v 2 + (c − a )v 3 = 0 v ⇒
a=c
b = 3c
⇒ a =b =c =0
a − b − 2c = 0
por lo tanto S = {(v1 − v 3 ); (v 2 − v1 ); (− 2v1 − 3v2 + v 3 )} es un conjunto linealmente
independiente de dimensión tres en un espacio de dimensión tres por lo cual es
base. (0.7 Ptos)
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 109 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
4.
a.
A = ? sea ( x, y, z ) ∈ A ⇒
5 x 1 − 2 y 1 − 2
y 1 − 2
2
5 x → 0
9 x − 2y → 0
0
1 − 2 y → 2
− 2
1 z − 2
1 z 0 −3 2y + z 0 −3
y
x + 4 y + 3z
2 y + z
por lo tanto A = {( x, y, z ) / x + 4 y + 3z = 0} (0.7 Ptos)
b.
B =?
1 − 1 x 4
1 −1
4
5
1 y → −7
5
1
− 7
8 − 7 −1 z 1 − 2
0 z+
0 0 x + 4 y + 3z
0
8y + 7z
0 − 9 1
1 −2 0
z + y
x 0
9 −1 x − 4 y − 4z
y → 0 −9
1
8 y + 7z →
y 1 − 2
0
z + y
B = {( x, y, z ) / x + 4 y + 3z = 0} (0.7 Ptos)
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 110 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Tercera Solemne
Alumno
:
Asignatura
:
Profesor
:
Carrera
:
Tipo de Prueba
:
Duración
:
Nota
Sección:
Ingeniería de Ejecución
Teórico
Teórico Practico
Jornada:
Vespertina
Fecha
80 minutos(una hora 20 minutos).
→
→
→
1. Sean a = (1,1,1) , b = (1,1,−1) y c = (− 1,0,1) vectores :
→
→
→
→
→
→
→
→
a. Determine a − b, b − c , b − c , a − b . (6 Ptos)
→
→
→
→
b. Determine un vector unitario ortogonal a los vectores a − b y b − c .
Ptos)
2. Determine T : ℜ 4 → ℜ 4 transformación lineal tal que Ker (T ) = Im(T ) .(9 Ptos)
1 −1
3
3
3. Sea T : ℜ → ℜ transformación lineal tal que 1 0
− 1
1
base canónica, determine si T es un Isomorfismo,
T −1 ( x, y , z ). (15 Ptos)
C
1 3
1 donde C3 es la
1 C
3
si lo es determine
−1 2
4. Sea T : M 2 ( IR ) → M 2 ( IR ) tal que T ( A) = AB − BA , donde B =
.
0 2
a. Demuestre que T es una transformación lineal. (4 Ptos)
b. Determine una base para el subespacio imagen de T .(4 Ptos)
c. ¿ Es T un isomorfismo? Justifique. (4 Ptos)
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 111 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
− 1 2 1
5. Sea T : IR 3 → IR 2 una transformación lineal tal que [T ]BA =
, donde
0 1 3
A = {(1,0, −1); (0,1,2); (1,0,0)} y B = {(1,1); (− 5,−1)}
a. Determine T(2,1,-3). (0.3 Ptos)
b. Determine la matriz de cambio de base, de la base canónica de IR 3 a la
base A. (0.5 Ptos)
c. ¿Cuál es la Nulidad de T? (0.4 Ptos)
Pauta Tercera Solemne Algebra II
1.
a.
→
→
→
→
a − b = (0,0,2)
b − c = (2,1,−2 )
→
→
→
→
i
j
a− b = 2
b− c = 3
k
→
(− 2,4,0) − 2 4
b. 0 0
2 = (− 2,4,0) ⇒ Considerem os w =
=
,
,0
(− 2,4,0) 20 20
2 1 −2
2. consideremos la base canónica de IR 4 y una transformación lineal tal que:
T (1,0,0,0) = (0,0,0,0)
T (0,1,0,0) = (0,0,0,0)
⇒ T ( x, y , z, w) = ( z , w,0,0 )
T (0,0,1,0) = (1,0,0,0 )
T (0,0,0,1) = (0,1,0,0 )
3. T ( x, y, z ) = ( x − y + z , x + z ,− x + y + z )
a.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 112 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
x − y + z = 0
3
Ker (T ) = ( x, y, z ) ∈ IR /
x + z = 0
− x + y + z = 0
= {(0,0,0 )}
por lo tanto T es inyectiva. Por el teorema de la dimensión tenemos que
Dim (IM (T )) = 3 , por lo cual IM (T ) = IR 3 .
Con lo cual podemos concluir que T es un Isomorfismo.
Para determinar la inversa de T basta determinar la inversa de la matriz
[ T ] CC 33
0 1
0
1 − 1 1 1 0 0 1 − 1 1 1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 → 0
1 0 − 1 1 0 → 0 1 0 − 1 1
0 →
− 1
1 1 0 0 1 0
0 2
1 0 1 0 0 1 1 / 2 0 1 / 2
1 0 0 − 1 / 2 1 − 1 / 2
0 1 0
−1 1
0
1/ 2 0
1 / 2
0 0 1
x
z
x z
por lo tanto T −1 ( x, y, z ) = − + y − ,− x + y , + .
2
2 2
2
x y x y − 1 2 − 1 2 x y − 2 z 2 x + 3 y − 2w
4. T
=
−
=
2z
z w z w 0 2 0 2 z w − 3 z
x y a b x + ra y + rb − 1 2 − 1 2 x + ra y + rb
T
+ r
=
−
z
w
c
d
z
+
rc
w
+
rd
0
2
0
2
z
+
rc
w
+
rd
a.
− 2 z − 2rc 2 x + 2ra + 3 y + 3rb − 2 w − 2rd
x y
a b
=
= T
+ rT
2 z + 2rc
− 3 z − 3rc
z w
c d
por lo tanto T es lineal.
0 1 − 2 0
b. IM (T ) =
, − 3 2
0
c. T no es Isomorfismo ya que T no es sobreyectiva.
5.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 113 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
5
− 1 2 1
− 1 2 1
[T (2,1,−3)]B =
[(2,1,−3)]B = 0 1 3 1 =
a.
0
1
3
− 3
∴ T (2,1, −3) = −6(1,1) − 8(− 5,−1) = (34, 2)
− 6
− 8
b.
(1,0,0) = 0(1,0,−1) + 0(0,1, 2) + (1,0,0)
(0,1,0) = 2(1,0,−1) + 0(0,1,2) − 2(1,0,0 ) ⇒ [I ]CA
(0,0,1) = −(1,0,−1) + (0,1,2) + (1,0,0 )
3
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 114 -
2 − 1
0
= 0
1 0
1 − 2
1
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Solemnes Segundo semestre 2000
Segunda Solemne
Alumno
:
Asignatura
:
Profesor
:
Carrera
:
Tipo de Prueba
:
Duración
:
Nota
Sección:
Miguel Angel Muñoz Jara
Ingeniería de Ejecución
Teórico
Teórico Practico
Jornada:
Vespertina
Fecha
80 minutos(una hora 20 minutos).
1. Sea V= ℜ 3 y sean los subconjuntos:
H1
= {( x, y, z ) ∈ ℜ 3 / x + 2 y = 0}
H2
x − y + z = 0
= ( x, y , z ) ∈ ℜ3 /
x + 2 y − z = 0
a. Demuestre que H 2 es un subespacio de ℜ 3 .
b. Encuentre una base para H1 ∩ H 2 y determine su dimensión.
c. Encuentre una base para H1 + H 2 y determine su dimensión.
d. ¿ Es ℜ 3 = H1 ⊕ H 2 . Justifique?
{
2. Sea V= f ( x ) / f ( x) = e x
f (x ) + f ( y ) = e x + y
}
, x ∈ ℜ , se definen en V las siguientes operaciones:
αf ( x) = e αx
α∈ℜ
Demuestre que V es un espacio vectorial sobre ℜ .
3. Dados u=(1,0,-1,2), v=(-1,2,3,-1) y w=(0,-1,1,-1), determine si (1,2,5,2) y
(1,1,8,4) pueden ser escritos como combinación lineal de u,v y w.
4. Si W = {(1,1,1,1); (1,0,1,0); ( 0,1,0,1); (1,0,0, −1)} determine W por comprensión y su
dimensión.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 115 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Tercera Solemne
Alumno
:
Asignatura
:
Profesor
:
Carrera
:
Tipo de Prueba
:
Duración
:
Nota
Sección:
Miguel Angel Muñoz Jara
Ingeniería de Ejecución
Teórico
Jornada:
Teórico Practico
Vespertina
Fecha
80 minutos(una hora 20 minutos).
1. Determine T : ℜ 4 → ℜ 3
T(1,1,1,1) = (1,1,1) .
transformación
lineal
tal
que
Dim ( Ker (T ) = 2 y
2. Sea T : ℜ 4 → ℜ 3 lineal tal que T(x, y, z)=(x + y, w - y, y - x)
a. Determine una base y la dimensión para Ker(T).
b. Determine una base y la dimensión para Im(T).
1 − 1 1 3
3. Sea T : ℜ 3 → ℜ3 transformación lineal tal que 1
1 1 donde C3 es la
− 1
1 1 C
3
base canónica, determine si T es un Isomorfismo, si lo es determine
T −1 ( x, y , z ).
C
4. Demuestre que si T : V → W es un isomorfismo y B = {v1 , v 2 ,......, v k } es
linealmente independiente entonces W = {T ( v1 ), T (v 2 ),....., T ( vk )} es Linealmente
Independiente.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 116 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Solemne Recuperativa
Nota
Alumno
:
Asignatura
:
Profesor
:
Miguel Angel Muñoz Jara
Carrera
:
Ingeniería de Ejecución
Tipo de Prueba
:
Duración
:
Sección:
Teórico
Jornada:
Teórico Practico
Vespertina
Fecha
80 minutos(una hora 20 minutos).
1. Si A, B ∈ M n [ℜ] y A es invertible. Demuestre que
(A +B ) A −1 ( A - B ) =( A – B ) A
−1
(A +B ).(5 Puntos)
2. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique su
respuesta.
a. Si A M 2 k +1 ( ℜ) es antisimétrica entonces |A t | =0.(5 Puntos)
b. Si A y B son invertibles entonces A + B es invertible. (5 Puntos)
c. Si A ≡ I n por filas entonces existe P invertible tal que A
Puntos)
d. Si A, B, C ∈ M n (ℜ) , B regular y AB = C, entonces A = B
−1
−1
= PA. (5
C. (5 Puntos)
e. Sea A ∈ M n (ℜ) invertible y U ∈ M n (ℜ) tal que U t AU = A, entonces que
U es invertible. (5 Puntos)
3. Sea V= ℜ 3 y sean los subconjuntos:
{(1,−1,1); (0,1,−2); ( 2,−1,0)}
H1
=
H2
x − y + z = 0
= ( x, y , z ) ∈ ℜ3 /
x + 2 y − z = 0
a. Demuestre que H 2 es un subespacio de ℜ 3 .(5 Puntos)
b. Encuentre una base para H1 ∩ H 2 y determine su dimensión. (5 Puntos)
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
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Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
c. Encuentre una base para H1 + H 2 y determine su dimensión. (5 Puntos)
d. ¿ Es ℜ 3 = H1 ⊕ H 2 . Justifique? (5 Puntos)
β
4. Sea
T : ℜ 3 → ℜ3
transformación
lineal
tal
que
1 − 1 1
1
1 1
− 1
1 1 β
donde
β ={(1,1,1);(0,1,0);(0,0,-1)} es base ℜ 3 , determine si T es un Isomorfismo, si lo
es determine T −1 ( x, y , z ). (10 Puntos)
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
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Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Examen Final
Nota
Alumno
:
Asignatura
:
Profesor
:
Miguel Angel Muñoz Jara
Carrera
:
Ingeniería de Ejecución
Tipo de Prueba
:
Duración
:
Sección:
Teórico
Jornada:
Teórico Practico
Nocturna
Fecha
80 minutos(una hora 20 minutos).
mx + y − z = 0
1. Determine el valor de m para que el sistema 2 x + my + z = 0
y + mz = 0
a. Sea inconsistente.
b. Tenga solución única, y determínela.
c. Tenga infinitas soluciones y determínelas.
2. Determine si V= ℜ 3 con las siguientes operaciones es un espacio vectorial:
( x, y , z ) ⊕ ( a, b, c ) = ( x + a, y + b, z + c)
k ⊗ ( a, b , c ) = ( e k a, e k b, e k c )
k∈ℜ
3. Sea V= ℜ 3 y sean los subconjuntos:
{(1,−1,1); (0,1,−2); ( 2,−1,0)}
H1
=
H2
x − y + z = 0
= ( x, y , z ) ∈ ℜ3 /
x + 2 y − z = 0
a. Demuestre que H 2 es un subespacio de ℜ 3 .
b. Encuentre una base para H1 ∩ H 2 y determine su dimensión.
c. Encuentre una base para H1 + H 2 y determine su dimensión.
d. ¿ Es ℜ 3 = H1 ⊕ H 2 . Justifique?
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 119 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
β
4. Sea
T : ℜ 3 → ℜ3
transformación
lineal
tal
que
1 − 1 1
1
1 1
1 1 β
− 1
donde
β ={(1,1,1);(0,1,0);(0,0,-1)} es base ℜ 3 , determine si T es un Isomorfismo, si lo
es determine T −1 ( x, y , z ).
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 120 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
Examen Recuperativo
Nota
Alumno
:
Asignatura
:
Profesor
:
Miguel Angel Muñoz Jara
Carrera
:
Ingeniería de Ejecución
Tipo de Prueba
:
Duración
:
Sección:
Teórico
Jornada:
Teórico Practico
Vespertina
Fecha
80 minutos(una hora 20 minutos).
mx + y − z = 1
1. Determine el valor de m para que el sistema 2 x + my + z = 0
y + mz = 1
a. Sea inconsistente.
b. Tenga solución única, y determínela.
c. Tenga infinitas soluciones y determínelas.
2. Determine T : ℜ 4 → ℜ 3 transformación lineal tal que Dim ( Ker (T ) = 1 y T(1,1,1,1)
= (1,1,1), T(0,0,0,1)=(0,0,0,1).
3. Sea V= ℜ 3 y sean los subconjuntos:
H1
= {( x, y, z ) ∈ ℜ 3 / 2 x + 2 y = 0}
H2
2 x − y + z = 0
= ( x, y , z ) ∈ ℜ3 /
x + 2 y − z = 0
a. Demuestre que H 2 es un subespacio de ℜ 3 .
b. Encuentre una base para H1 ∩ H 2 y determine su dimensión.
c. Encuentre una base para H1 + H 2 y determine su dimensión.
d. ¿ Es ℜ 3 = H1 ⊕ H 2 . Justifique?
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 121 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
β
4. Sea
T : ℜ 3 → ℜ3
transformación
lineal
tal
que
1 − 1 1
1
1 1
1 1 β
− 1
donde
β ={(1,0,0);(0,1,0);(0,1,-1)} es base ℜ 3 , determine si T es un Isomorfismo, si lo
es determine T −1 ( x, y , z ).
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 122 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
NOMBRE ALUMNO :
ASIGNATURA
PROFESOR
CARRERA
TIPO DE
PRUEBA:
TIPO DE
EVALUACION:
:
:
:
Algebra II
Daniel Munar, Miguel Muñoz
Ing. Ejecución en Informática
TEORICO X
TEORICO PRACTICO
SOLEMNE
EXAMEN ORD.
X
4
SECCION
1y2
JORNADA
FECHA
D
08
NOTA
11
00
EXAMEN REP.
TIEMPO MAX. PARA RESPONDER
80
Min.
NUMERO DE PREGUNTAS DE LA
PRUEBA
Instrucciones
1. Conteste cada pregunta en una página, Hoja 1, pregunta 1 y 2, Hoja 2, pregunta 3 y
4.
2. No Puede usar calculadora, apuntes ni libros.
3. No se permiten consultas.
4. Cada pregunta tiene puntuación de 1 punto.
Solemne 2
1. Determine si D pertenece al espacio generado por { A , B , C }
1 − 2
4 − 2
− 2 1
− 2 1
A=
; B=
; C=
;D=
3 0
6 1
0 3
6 8
2. Determine si el conjunto
linealmente independiente.
A
=
{x
4
+ 3x 3 + x + 7, 3x 2 + 2 x + 9,
}
x+4
3. En el conjunto IR2 se definen las siguientes operaciones
(a , b ) + ( c , d) = ( a + c , b + d )
α(a , b) = (α ⋅ a,0 )
Determine si IR² con estas operaciones es un espacio vectorial sobre IR
4. Dados los siguientes subconjuntos de IR 3 :
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 123 -
Curso: Algebra II.
es
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
H = { ( x , y , z ) ∈ R3 / y − z = 0}
W = { ( 2, -3,-3) ; ( 0 ,0 ,1) ; ( 2 , -3 , -2) }
Demuestre que H es un subespacio de IR 3 , determine una base y su
dimensión.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 124 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
NOMBRE ALUMNO :
ASIGNATURA
PROFESOR
CARRERA
TIPO DE
PRUEBA:
TIPO DE
EVALUACION:
:
:
:
Algebra II
Miguel Muñoz
Ing. Ejecución en Informática
TEORICO X
TEORICO PRACTICO
SOLEMNE
EXAMEN ORD.
X
4
SECCION
1
JORNADA
V
13
FECHA
NOTA
11
00
EXAMEN REP.
TIEMPO MAX. PARA RESPONDER
80
Min.
NUMERO DE PREGUNTAS DE LA
PRUEBA
Instrucciones
5.
6.
7.
No Puede usar calculadora, apuntes ni libros.
No se permiten consultas.
Cada pregunta tiene puntuación de 1,5 punto.
Solemne 2
1. Sea V = IR 3 y sean los subconjuntos:
{
{
}
H1 = (x , y , z ) ∈ IR 3 / x + 2 y = 0
H 2 = ( x, y, z ) ∈ IR 3 / x − y + z = 0 ∧ x + 2 y − z = 0
}
a)
Demuestre que H 2 es un subespacio de IR 3 .
b)
Encuentre una base para H1 ∩ H 2 y determine su dimensión
c)
Encuentre una base para H1 + H 2 y determine su dimensión.
d)
¿ Es IR 3 = H 1 ⊕ H 2 ?, justifique su respuesta.
{
2. Sea V = f ( x ) / f ( x ) = e x , x ∈ IR
}
se definen en V las siguientes operaciones:
f (x ) + f ( y ) = e x + y
∧
α⋅ f ( x) = eαx
α ∈ IR
demuestre que V es un espacio vectorial sobre IR.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 125 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
3. Dados
u = (1,0,−1, 2) , v = (− 1, ,2,3,−1) y w = (0,−1,1,−1)
determine
si
(1,2,5,2 ) y (1,1,8,4 ) pueden ser escritos como combinación lineal de de u, v
y w.
4. Si
W =
{(1,1,1,1) ; (1,0,1,0 ) ; (0,1,0,1) ; (1,0,0,−1)}
determine W por comprensión,
una base y su dimensión.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 126 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
NOMBRE ALUMNO :
ASIGNATURA
PROFESOR
CARRERA
TIPO DE
PRUEBA:
TIPO DE
EVALUACION:
:
:
:
Algebra II
SECCION
NOTA
1, 2
Daniel Munar, Miguel Muñoz
Ing. Ejecución en Informática
TEORICO PRACTICO
X
JORNADA
TEORICO
SOLEMNE
EXAMEN ORD.
X
4
FECHA
D
29
1
1
00
EXAMEN REP.
TIEMPO MAX.
80 Min.
NUMERO DE PREGUNTAS DE LA
PRUEBA
Instrucciones
5. No Puede usar calculadora, apuntes ni libros.
6. No se permiten consultas.
7. Cada pregunta tiene puntuación de 1,5 puntos.
Solemne 3
H = ( x, y, z ) ∈ IR / x + y + z = 0 ∧ x + 2 z = 0
{
}
3
1. Sean:
W = {(1,1,1) ; (1,0,−1) ; ( 4,2,0) ; (−1,2,1)}
a. Demuestre que H < R 3 .
b. Determine una base y la dimensión de H ∩ W .
c. Determine una caracterización para el espacio W
2. Determine T : IR 3 → IR 3 tal que Dim ( Ker (T )) = 1 , y
T(0,1,-1) = (1,1,1) y T(1,1,1) = (1,1,0)
3. Sea T : IR 4 → IR 3 lineal tal que T(x, y, z, w) = (x + 2y, w - y, y - 2x)
c. Determine una base y la dimensión para Ker(T).
d. Determine una base y la dimensión para Im(T).
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 127 -
Curso: Algebra II.
Universidad de Ciencias de la Informatica.
Escuelas de Ingeniería.
Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.
− 1 − 1 0 3
4. Sea T : IR 3 → IR 3 tal que 0
1 − 1 donde C3 es la base canónica,
1
1 C
1
3
determine si T es un Isomorfismo.
C
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara.
- 128 -
Curso: Algebra II.
