Serway-repaso-matematicas

APÉNDICE B • Repaso de matemáticas
El propósito de estos apéndices de matemáticas es repasar operaciones y métodos
en forma breve. Al principio de este curso usted debió estar totalmente familiarizado
con las técnicas algebraicas básicas, la geometría analítica y la trigonometría. Los
apéndices sobre cálculo diferencial e integral son más detallados y se dirigen a aquellos estudiantes que tienen dificultades al aplicar los conceptos de cálculo en situaciones físicas.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Muchas cantidades con las que trabajan los científicos a menudo tienen valores o
muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, la rapidez de la luz es aproximadamente
de 300 000 000 m/s, y la tinta que se usó para hacer el punto sobre una i en este libro de texto tiene una masa de casi 0.000 000 001 kg. Como es evidente, es muy
problemático leer, escribir y recordar números como éstos. Este problema se evita
usando un método relacionado con potencias del número 10:
10° =1
101 = 10
102 = 10 x 10 = 100
103 = 10 x 10 x 10 = 1 000
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000
105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000
v así sucesivamente. El número de ceros corresponde a la potencia a la cual se eleva
el 10, llamado exponente de 10. Por ejemplo, la rapidez de la luz, 300 000 000 m/s,
puede expresarse como 3 x 108 m/s.
En este método algunos números representativos más pequeños que la unidad
son
10"1 = — = 0.1
10
io-2 =
io-4 =
io-5 =
= 0.01
10x10
1
= 0.001
10x10x10
1
= 0.0001
10x10x10x10
1
= 0.000 01
I Q x l O x l O x l O x 10
A.15
A.16
APÉNDICE
B
En estos casos el número de lugares que el punto decimal está a la izquierda
dígito 1 es igual al valor del exponente (negativo). Los números expresados :
alguna potencia de 10 multiplicados por otro número entre 1 y 10 se dice que
en notación científica. Por ejemplo, la notación científica para 5 943 000 <»"
5.943 x 109, y la correspondiente a 0.000 083 2 es 8.32 x 10'5.
Cuando los números expresados en notación científica se multiplican, '.i
guíente regla general es muy útil:
10" x 10m= lQH+m
donde njm pueden ser cualesquiera números (no necesariamente enteros). Pa
ejemplo, 102 X 105 = 107. La regla se aplica también si uno de los exponentes e> :
gativo: 103 x 10'8 = 10'5.
Advierta que cuando se dividen números expresados en notación científica..
10"
= 10" xlO"" = 10"""1
10*"
!E2
EJERCICIOS
Con la ayuda de las reglas anteriores verifique las siguientes respuestas:
1. 86 400 = 8.64 x 104
2. 9 816 762.5 = 9.816 762 5 x 106
3. 0.000 000 039 8 = 3.98 X 10'8
4. (4 x 108) (9 x 109) = 3.6 x 1018
5. (3 x 107) (6 x 10-12) = 1.8 x 10-4
6.
7.
5 x 10'3
=1.5xlO-
(3xlQ 6 )(8xlQ- 2 )
= 2 x 10-18
(2xl0 1 7 )(6xl0 5 )
ALGEBRA
Algunas reglas básicas
Cuando se efectúan operaciones algebraicas se aplican las leyes de la aritménc
Símbolos como x, y y z se utilizan por lo común para representar cantidades que i
están especificadas, las cuales se denominan incógnitas.
Comience por considerar la ecuación
Si desea resolver para x, puede dividir (o multiplicar) cada lado de la ecuación pe
el mismo factor sin afectar la igualdad. En este caso, si se dividen ambos lados enn
8, se tiene
8x
32
x = 4
B.2 Álgebra
A continuación considere la ecuación
En expresiones de este tipo puede sumar o restar la misma cantidad de cada lado.
Si se sustrae 2 de cada lado, se obtiene
x+2-2=8-2
x=6
En general, si x + a = b, entonces x = b - a.
Considere ahora la ecuación
Si se multiplica cada lado por 5, nos quedamos sólo con x a la izquierda y 45 a la
derecha:
'x
-
(5) = 9 x 5
En todos los casos cualquier operación que se realice en el lado izquierdo de la igualdad debe
efectuarse también en el lado derecho.
Las siguientes reglas para multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones deben
recordarse, donde a, b y c son tres números:
Regla
Ejemplo
ac
í-lí-1 ~ ~bd
Multiplicando
UJUJ
(a/b)
(c/d)
Dividiendo
a+c
b d
Sumando
UJUJ
í-lí1]
2/3
4/5
ad
be
ad± be
bd
2
3
4
5
8
15
(2) (5)
(4) (3)
10
12
(2) (5) -(4) (3)
(3) (5)
2
15
EJERCICIOS
En los siguientes ejercicios resuelva para x:
Respuestas
l +x
a
2. ?>x - 5 = 13
x =6
3. ax — 5 = bx + 2
x =
4.
5
3
2x + 6
4x +
7
a —b
1 1
Potencias
Cuando se multiplican potencias de una cantidad dada x, se aplican las siguientes
reglas:
x"xm=xn + m
(B.3)
A.17
APÉNDICE
A.18
B
Por ejemplo x2x4 = x2 +4 = xñ.
Cuando se dividen las potencias de una cantidad dada, la regla es
= x
Por ejemplo, xs/x2 = xs 2 = x&.
Una potencia que es una fracción, como ¿, corresponde a una raíz de 1;
ra siguiente:
TABLA B.1
E:
Reglas de los exponentes
x° = 1
"xm = x"
xm = xn
Por ejemplo, 41/s = V4 = 1.5874. (En estos cálculos es muy útil una
científica.)
Por último, cualquier cantidad xn elevada a la potencia m-ésima es
(xn)'"= xnm
=. i
La tabla B.l resume las reglas de los exponentes.
EJERCICIOS
Verifique lo siguiente:
1. 32 X 3a = 243
o
v5v-8
¿,. A A
_
v-3
— A
3 x10/xr3 = x15
4. 51/3 = 1.709 975
(Utilice su calculadora.)
5. 601/4 = 2.783 158
(Utilice su calculadora.)
Factorización
Algunas fórmulas útiles para factorizar una ecuación son:
ax + ay + az = a(x + y + z)
factor común
a2 + 2ab + b2 = (a+ b)z
cuadrado perfecto
a 2 - ¿2 = (a + b) (a - b)
diferencia de cuadrados
Ecuaciones cuadráticas
La forma general de una ecuación cuadrática es
ax2 + bx + c = O
IB?
donde x es la cantidad desconocida, y a, b y c son factores numéricos conocidos ce —•;
coeficientes de la ecuación. Esta ecuación tiene dos raíces, dadas por
x—
Si b2 S 4ac, las raíces son reales.
-b ±
- 4ac
2a
E E
B.2
Álgebra
A.19
EJEMPLO 1
La ecuación x2 + 5x+ 4 = O tiene las siguientes raíces que corresponden a los dos signos
del término de la raíz cuadrada:
-5 ± T 5 2 - (4) (1) (4) -5 ± ^9
2(1)
2
-5-3
-5 + 3
-
-5 ± 3
2
donde x+ se refiere a la raíz que corresponde al signo positivo y x_ se refiere a la raíz que
corresponde al signo negativo.
EJERCICIOS
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:
Respuestas
x+=l+
3. 2x2 - 4x - 9 = O
*_ = 1 - V22/2
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal tiene la forma general
(B.9)
y = mx + b
donde m y b son constantes. Esta ecuación se denomina lineal debido a que la gráfica de y versus x es una línea recta, como se muestra en la figura B.l. La constante
b, conocida como ordenada al origen, representa el valor de y al cual la línea recta
cruza al eje y. La constante m es igual a la pendiente de la línea recta y también es
igual a la tangente del ángulo que la línea forma con el eje x. Si dos puntos cualesquiera en la línea recta se especifican por las coordenadas (x1; y-¡) y (xz, y%), como
en la figura B.l, entonces la pendiente de una línea recta puede expresarse como
Vo — Ali
A"V
Pendiente = ——— = — = tan 0
Figura B.l
(B.10)
1) ,m>0
b<0
Advierta que m y b pueden tener valores positivos o negativos. Si m > O, la línea
recta tiene una pendiente positiva, como en la figura B.l. Si m < O, la línea recta
tiene una pendiente negativa. En la figura B.l, tanto m como b son positivas. Otras
tres situaciones posibles se presentan en la figura B.2.
2) m< O
3)
m< O
EJERCICIOS
1. Dibuje gráficas de las siguientes líneas rectas:
2. Encuentre las pendientes de las líneas rectas descritas en el ejercicio 1.
Respuestas
a) 5
b) -2
c) -3
Figura B.2
A.20
APÉNDICE
B
3. Encuentre las pendientes de las líneas rectas que pasan por los siguiente?
juntos de puntos:
a) (O, -4) y (4, 2), b) (O, 0) y (2, -5), y c) (-5, 2) y (4, -2)
Respuestas a) 3/2
b) -5/2
c) -4/9
Resolución de ecuaciones lineales simultáneas
Considere la ecuación 3x+ 5y = 15, la cual tiene dos incógnitas, xy y. Esta ecuacio»
no tiene una solución única. Por ejemplo, advierta que (x = O, y = 3), (x = 5, T = 9
y (x = 2, y = 9/5), son todas soluciones de esta ecuación.
Si un problema tiene dos incógnitas, una solución única es posible sólo si se
tienen dos ecuaciones. En general, si un problema tiene n incógnitas, su solución requiere n ecuaciones. Con el propósito de resolver dos ecuaciones simultáneas que
involucran dos incógnitas, xy y, resuelva una de las ecuaciones respecto de xen función de y y sustituya esta expresión en la otra ecuación.
EJEMPLO 2-.••••••
Resuelva las siguientes dos ecuaciones simultáneas:
Solución alternativa Multiplique cada término en (1) pe»
el factor 2 y sume el resultado a (2) :
(1) 5x + y = -8
(2) 2x - 2y = 4
Solución De (2), x = y + 2. La sustitución de esto en (1) produce
12* = -12
5(y + 2) +y = -8
x=-l
6y = -18
y = X - 2 = -3
j = -3
X =y +2 =
-1
Dos ecuaciones lineales que contienen dos incógnitas pueden resolverse también mediante un método gráfico. Si las líneas rectas correspondientes a las dos
ecuaciones se granean en un sistema de coordenadas convencional, la intersección
de las dos líneas representa la solución. Por ejemplo, considere las dos ecuaciones
x-y=2
Éstas se granean en la figura B.3. La intersección de las dos líneas tiene las coordenadas x = 5, y = 3. Esto representa la solución a las ecuaciones. Usted debe comprobar esta solución por medio de la técnica analítica estudiada con antelación.
EJERCICIOS
Resuelva los siguientes pares de ecuaciones simultáneas que involucran dos incógnitas:
Respuestas
1. x+y =
x=5, 3) =3
B.3 Geometría
9 8 - 7 = 10a
T-49 = 5a
6x + 2y = 6
T= 65, a =3.27
x = 2, 31 = -3
Logaritmos
Suponga que la cantidad x se expresa como una potencia de alguna cantidad de a:
El número a se conoce como base. El logaritmo de x respecto de la base a es igual
al exponente al cual debe elevarse la base con el fin de satisfacer la expresión x = a?:
y = logax
(B.12)
Por el contrario, el antilogaritmo de y es el número x:
x = antilog0 ;y
(B.13)
En la práctica las dos bases que se usan con mayor frecuencia son la base 10, denominada base logarítmica común, y base e= 2.718..., que recibe el nombre de constante de Euler o base logarítmica natural. Cuando se usan logaritmos comunes,
y = loglox
(o* =100
(B-14)
Cuando se usan logaritmos naturales,
Por ejemplo, Iog10 52 = 1.716, por lo que antilog10 1.716 = 101716 = 52. De igual modo,
In, 52 = 3.951, de modo que antiln, 3.951 = e3951 = 52.
En general, observe que usted puede convertir entre la base 10 y la base e con
la igualdad
In, * = (2-302 585) log]0 x
Por último, algunas propiedades útiles de los logaritmos son
log(ab) = log a+ log b
log(a/b) = log a — log b
log(an) = n log a
In e= 1
In ea = a
In — = —In a
GEOMETRÍA
La distancia d entre dos puntos que tienen coordenadas (xl} y-¡) y (x2 j)2) es
d =
(B.16)
A. 21
APÉNDICE
A.22
B
Medida de radianes: La longitud de arco s de un arco circular (Fig. B.4
porcional al radio r para un valor fijo de 6 (en radianes):
i = r8
Figura B.4
La tabla B.2 proporciona las áreas y volúmenes de varias formas geométrica*
lizadas a lo largo de este texto:
TABLA B.2 información útil de geometría
Forma
Área o volumen
Forma
Área <
Área de la superficie =
Área = (w
Volumen ="=?Esfera
Rectángulo
Área de la superficie
lateral = 2nrt
Volumen =;rr 2 í
Área =
(Circunferencia = Z
Cilindro
Círculo
Área =
m = pendiente = tan Q
Volumen = fwh
€
I
1
¿X"*'*J^
Caja rectangular
Triángulo
b
\"
*
La ecuación de una línea recta (Fig. B.5) es
Figura B.5
31= mx+ b
(B.19
donde b es la ordenada al origen y w es la pendiente de la recta.
La ecuación de un círculo de radio R centrado en el origen es
*2 + / = R2
(B.20I
La ecuación de una elipse que tiene el origen en su centro (Fig. B.6) es
1
Figura B.6
b2
(B.21
donde a es la longitud del eje semimayor (el más largo) y b es la longitud del
semimenor (el más corto).
B.4
Trigonometría
A.23
La ecuación de una parábola cuyo vértice se encuentra en y = b (Fig. B.7) es
y = ax¿ + b
(B.22)
La ecuación de una hipérbola rectangular (Fig. B.8) es
xy = constante
(B.23)
TRIGONOMETRÍA
La parte de las matemáticas que tiene su fundamento en las propiedades especiales
del triángulo recto recibe el nombre de trigonometría. Por definición, un triángulo
recto es uno que incluye un ángulo de 90°. Considere el triángulo recto que se muestra en la figura B.9, donde el lado a es opuesto al ángulo O, el lado b es adyacente
al ángulo 9y el lado ees la hipotenusa del triángulo. Las tres funciones trigonométricas básicas definidas para dicho triángulo son las funciones seno (sen), coseno (eos)
:_ingente (tan). En términos del ángulo O estas funciones se definen por medio de
lado opuesto 6 a
sen O = -—,—*= hipotenusa
c
Figura B.7
(B.24)
eos 9 =
lado adyacente a B b
= hipotenusa
c
(B.25)
tan 9 =
lado opuesto 0
a
= lado adyacente a 9 b
(B.26)
El teorema de Pitágoras brinda la siguiente relación entre los lados de un triángulo recto:
c2 = a2 + b2
(B.27)
A partir de las definiciones anteriores y del teorema de Pitágoras se deduce que
Figura B.8
sen2 9 + eos2 9 = 1
sen 6
eos, 9
Las funciones cosecante, secante y cotangente están definidas por
CSC tí =
sen 0
secf? =
1
eos 6
cotfl =
tan 9
Las relaciones siguientes surgen directamente del triángulo recto mostrado en la
figura B.9:
sen 6 = eos (90° - 9)
a = lado opuesto
b = lado adyacente
c = hipotenusa
eos 9 = sen (90° - 9)
cot 9 = tan (90° - 9)
Algunas propiedades de las funciones trigonométricas son:
sen (-9) - -sen 9
eos (-9) = eos 9
tan (-9) - -tan 6
Las siguientes relaciones se aplican a cualquier triángulo, como se muestra en la
figura B. 10:
a + (3 + y = 180°
Figura B.9
A.24
APÉNDICE
B
a¿ = ¿>2 + c¿ - '¿be eos a
Lev de los cosenos
tí2 = a 2 + c2 - 2ac eos /3
c1 = a2 + ¿>2 - 2«fr eos -y
Ley de los senos
sen
La tabla B.3 registra varias identidades trigonométricas útiles.
TABLA B.3 Algunas identidades trigonométricas
Figura B.10
sen2 6 + eos2 0=1
ese2 8= I + cot20
sec2 0 = 1 + tan2 6
sen2 — = •!• (1 -
sen 20 = 2 sen 0 eos 0
1 - eos 0 = 2 sen2 •
eos 20 = eos2 0 - sen2 6
tan 20=
2tan0
r—
1 - tan2 0
sen(A ± B) = sen A eos B ± eos A sen B
cos(A ± B) - eos A eos B + sen A sen B
sen A ± sen 5= 2 sen [|(A ± B)] eos [|(A ? 5)]
eos A + eos B = 2 eos [|(A + B)] eos [|(A - B)]
eos A - eos B = 2 sen [|(A + B)] sen [|(5- A)]
EJEMPLO 3
Considere el triángulo recto en la figura B.ll, en el cual a =
2, b = 5 y c se desconoce. A partir del teorema de Pitágoras se
tiene
=
,
donde tan l (0.400) es la notación para "ángulo cuva
gente es 0.400", escrito algunas veces como arctan •'. Jiflll
22 + 52 = 4 + 25 = 29
= 5.39
Para encontrar el ángulo 0, advierta que
tan 6 = - = - = 0.400
b
5
Figura B.ll
De una tabla de funciones o de una calculadora se tiene
0=tan-' (0.400) = 21.8°
EJERCICIOS
1. En la figura B.12 identifique a) el lado opuesto a 6 y b) el lado adyacen
luego c) eos 6, d) sen 4> Y e) tan $•
Respuestas a) 3, b) 3, c) \ d) \ e) |
2. En cierto triángulo recto los dos lados que son perpendiculares entre sí
y 7 m de largo. ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
Figura B.12
Respuesta 8.60 m
B.6 Cálculo diferencial
I. Un triángulo recto tiene una hipotenusa de 3 m de longitud y uno de sus ángulos es de 30°. ¿Cuál es la longitud de a) el lado opuesto al ángulo de 30° y b) el
lado adyacente al ángulo de 30o?
Respuestas
a) 1.5 m, b) 2.60 m
DESARROLLOS DE SERIES
(a
2!
x)n =
— -2!
ex = 1 + x + — + — + •••
2!
3!
sen x = x
--- 1 --- •
3!
5!
eos x — 1 --- 1 --- •
2!
4!
•x en radianes
tan x = x H --- 1 --- 1 ---- \ ~ H/2
3
15
Para x « 1 pueden usarse las siguientes aproximaciones:1
(1 + x)n ~ 1 + nx
sen x = x
e* = 1 + x
eos x ~ 1
In (1 ± x) ~ ±x
tan x = x
CALCULO DIFERENCIAL
En diversas ramas de la ciencia en ocasiones es necesario usar las herramientas básicas del cálculo, inventadas por Newton, para describir los fenómenos físicos. El uso
del cálculo es fundamental en el tratamiento de distintos problemas en la mecánica
newtoniana, la electricidad y el magnetismo. En esta sección sólo se establecen algunas propiedades básicas y reglas prácticas que le conviene al estudiante repasar.
Primero debe especificarse una función que relacione una variable con otra
(por ejemplo, una coordenada como función del tiempo). Suponga que una de las
variables se denomina y (la variable dependiente) y la otra x (la variable independiente) . Podría tener una relación de función como
y(x) =
+ bx- + cx+ d
Si a, b, c y d son constantes especificadas, entonces y puede calcularse para cualquier
valor de x. Por lo común se trata con funciones continuas, es decir, aquellas para las
cuales y varía "uniformemente" con x
'Las aproximaciones para las funciones sen x, eos x y tan * son para x < 0.1 rad.
A.25
APÉNDICE
A.26
B
La derivada de y respecto de x se define como el límite, conforme Ax tiei
cero, de las pendientes de las cuerdas dibujadas entre dos puntos en la curva
sus x. Matemáticamente, esta definición se escribe como
- y(x)
. = Km 1. = Km
dx A^° A* A'^°
Ax
i E :••
donde Ají y A a: se definen como A A: — x% - xl y A;y = yz - yt (Fig. B.13). Es impor
advertir que dy/'dx no significa dy dividida entre dx, sólo que es una notación del UP».
ceso del límite de la derivada según la define la ecuación B.28.
Una expresión útil que debe recordarse cuando y(x) = axn, donde a es una •-vitante y n es cualquier número positivo o negativo (entero o fraccionario), es
xl
Figura B.13
dy
dx
= nax
16 2'r
Si y(x) es una función polinomial o algebraica de x, aplique la ecuación B.iV
cada término en el polinomio y tome ¿[constante]/dx = 0. En los ejemplos del 4
7 se evalúan las derivadas de varias funciones.
EJEMPLO 4
Suponga que y(x) (es decir, y como una función de x) está
por lo que
Ají = y(x + A*) - y(x) = a(3x2
(x) = axs+bx+c
+b£^x
Sustituyendo esto en la ecuación B.28 se obtiene
donde a y b son constantes. Así, se concluye que
y(x+ Aje) = a(x+ A*)3
+ b(x + AJÍ) + c
+ b(x + AJÍ) + c
EJEMPLO 5
y(x) = 8x5 + 4x!>
dx
Solución Al aplicar la ecuación B.29 a cada término independientemente, y recordando que d/ dx (constante) = O, se
tiene
dx
O
Propiedades especiales de la derivada
A. Derivada del producto de dos funciones Si una función f ( x ) está dada por d
producto de dos funciones, por ejemplo, g(x) y h(x), entonces la derivada de
se define como
7dx
dx
dx
dx
(B.:
B.7 Cálculo integral
A.27
E. Derivada de la suma de dos funciones Si una función f ( x ) es igual a la suma de
dos funciones, entonces la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas:
dx
-
(B.31)
^ +-
dx
dx
dx
C Regla de la cadena del cálculo diferencial Si y=f(x) y x = g ( z ) , entonces dy/dx
puede escribirse como el producto de dos derivadas:
dy
dy dx
dz
dx dz
(B.32)
D. La segunda derivada La segunda derivada de y respecto de x se define como la
derivada de la función dy/dx (la derivada de la derivada). Suele escribirse
d | dy
(B.33)
dx \
dx1
EJEMPLO é?
Encuentre la derivada de y (x) = xí/(x + I) 2 respecto de x.
Solución Puede reescribir esta función como y(x) = xs(x +
1)~2 y aplicar la ecuación B.30:
—
dx
dx
d
dx
(x + I)2
(x + I)3
—
dx
EJEMPLO 7
Una fórmula útil que se desprende de la ecuación B.30 es la
derivada del cociente de dos funciones. Demuestre que
dg
"
dx
dh
dx
q dh
dx
, dg
dx
= -gh-2 - + /T1 -2-
dx\_h(x)
Solución Puede escribir el cociente como gh~l y después
aplicar las ecuaciones B.29 y B.30:
_
, dg
dh
h—-g —
dx
Algunas de las derivadas de funciones que se usan más comúnmente se listan en
tabla B.4.
CALCULO INTEGRAL
La integración se considera como la inversa de la diferenciación. Como ejemplo, sea
la expresión
f(x) =
-=
dx
que fue el resultado de diferenciar la función
y(x) = ax3 + bx+ c
dx
1,2
(B.34)
Tdx
A.28
APÉNDICE
TABLA S,4
Derivadas para diversas
funciones
B
en el ejemplo 4. Puede escribir la ecuación B.34 corno dy = f(x)dx = (Sowc2 + bt
obtener y(x) "sumando" sobre todos los valores de x. Matemáticamente, esta op
ción inversa se escribe
y(x) = I f(x) dx
-(«) = o
Para la función/(x) dada por la ecuación B.34 se tiene
— (axn) = naxn~l
dx
y(x)
=
I (3a*2 + b)dx — ax3 + bx + c
J
— (eax) = ae"
dx
— (sen ax) = a eos ax
dx
dx
donde c es una constante de la integración. Este tipo de integral se conoce comí:
tegral indefinida debido a que su valor depende de la elección de c.
Una integral indefinida general I(x) se define como
(eos ax) = —a sen ax
x) =
f(x)dx
— (tan ax) = a sec2 ax
dx
— (cot ax) = -a ese2 ax
dx
— (sec x) = tan x sec x
dx
dx
(cscx) = —cotxcscx
— (In ax) = —
dx
x
donde f(x) recibe el nombre de integrando y f ( x ) —
(B 25
dl(x)
dx
Para una función continua generalf(x) la integral puede describirse como el área
bajo la curva acotada por f ( x ) y el eje x, entre dos valores especificados de x,
ejemplo, xl y x<¿, corno en la figura B.14.
El área del elemento azul es aproximadamente /(x¡)Ax(. Si se suman todos
tos elementos de área de x} y x2 y se toma el límite de esta suma a medida que
—> O, se obtiene el área real bajo la curva acotada por f ( x ) y x, entre los límites x
Área = ™ I/(*,.)Ax,- =
Nota: Las letras a y n son constantes.
(E
Las integrales del tipo definidas por la ecuación B.36 se conocen como integ
definidas.
/(*)
„•"
^
/(*,•>
*
3£2
<— Ax¿
Figura B.14
Una integral común que surge en situaciones prácticas tiene la forma
xn dx =
(B.3>
n +l
Este resultado es evidente, pues la diferenciación del lado derecho respecto de x produce directamente f ( x ) = xn. Si se conocen los límites de integración, esta integral
se vuelve una integral definida y se escribe
xn dx =
.
n +l
(n ^ -1)
(B.38;
B.7 Cálculo integral
EJEMPLOS
1.
*5/2
2
5
5/2
X
3.
52 -3 2
2
Integración parcial
Algunas veces es útil aplicar el método de integración pardal (llamado también "integración por partes") para evaluar ciertas integrales. Este método aprovecha la
propiedad de que
i
u dv = uv - I v du
(B.39)
donde u y v se eligen con sumo cuidado de manera que se reduzca una integral compleja a una más simple. En muchos casos es necesario efectuar varias reducciones.
Considere la función
I(x) = I x'2e* dx
Esta puede evaluarse integrando por partes dos veces. Primero, si elige u = x-, v =
e", se obtiene
dx = \xz d(ex) = x2ex - 2l e"x dx
Ahora, en el segundo término escoja u = x, v= ex, lo que produce
r
ex dx = xzex - 2xe" + 21 ex dx + cl
x2e* dx = xzex — 2xex + 2e" + c9
La diferencial perfecta
Otro método útil que se debe recordar es el empleo de la diferencial perfecta, en la
cual se busca un cambio de variable de modo que la diferencial de la función sea la
diferencial de la variable independiente que aparece en el integrando. Por ejemplo,
considere la integral
.
I(x) = eos2 x sen x dx
Ésta se vuelve más fácil de evaluar si reescribe la diferencial como ¿(eos x) = -sen x
dx. La integral se vuelve entonces
rI eos x sen x dx = - Ir eos x d(cos x)
2
2
Si después de esto se cambian las variables, dejando y = eos x, se obtiene
C
a
I
y1
eos2 x sen x dx = -\2 dy = --—\- c =
}}
y
3
ÍJ
COS %
3
\- c
A.29
APÉNDICE
A.30
B
La tabla B.5 lista algunas integrales indefinidas útiles. La tabla B.6 proporción
la integral de probabilidades de Gauss y otras integrales definidas. Una lista rná
completa puede encontrarse en varios manuales, como The Handbook ofChemistry an
Physics, CRC Press.
TABLA B.5 Algunas integrales indefinidas (se debe añadir una constante arbitraria a cada una de estas integrales)
x" dx =
r dx _ f
J x =-J x
í
(siempre que n ^ —1)
n+ 1
In ax dx — (x\n ax) — x
xeax dx =
dx = In x
dx
x
—
a + becx
a
—J— = - j - l n ( a + bx)
a + bx
b
x dx
x
=
a + bx
b
a
5-ln(a + bx)
b
dx
(a + bx)2
eos ax dx = — sen ax
a
1
b(a + bx)
tan ax dx = — ln(cos ax) = — ln(sec ax)
a
a
dx
TT = — tan ' —
a9 +i x 2
a
dx
1
a+ x
—
a 2—9xz~ = Ti2a 'n a — x
í
dx
x2 - a2
x dx
1
x —a
In
2a
cot ax dx = — In(senax)
a
(a 2 - x2 > 0)
1
1
/ ax 77
sec ax dx = — Inísec ax + tan ax) = — In tañí
1
I
(x 2 - a 2 > 0)
1
1 /
ax
ese ax dx = — Inícsc ax — cot ax) = — In tan
dx
r—
= sen — = - eos
Va 2 - x2
a
V7T7
a
x
sen 2 ax
1
2
4a
dx
5
=
sen ax
1
cot ax
a
dx
1
5
= — tan ax
eos' ax
a
x dx
Va 2 - x2
Ja 9 — x 9 dxi = J1 I x"Va 9 — x9 + a'sen
/
9
/ 9
I x va
— x9 axT — — 1 (a
— x 9)\ S / 2
sen 2 ax
4a
eos ax ax =
a
xdx
a
x
ax ax =
2
9
= ln(x + A/x2 ± a 2 )
a
a
9
sen¿
= ±|ln(a2±x2
dx
I
in (a T" 06 )
ac
1
eos ax
a
sen ax dx =
1
x+ a
In
a
x
dx
=
x(x + a)
r (ax - 1)
tan2 ax dx = — (tan ax) — x
cot2 ax dx =
a
(cot ax) — x
sen * ax dx = x(sen J ax) +
r
~JXZ ± a2 ¿x=l rWx 2 ± a 2 ± a 2 ln(x + V*2 ± a 2 )]
eos
1
ax dx = x(cos
1
ax) —
J
dx
+ a2)3/2
:dx
= — eax
a
í-
x dx
+ a 2 ) 3/2
x
1
\_
\
\
B.7 Cálculo integral
TABLA B.6
o
Integral de probabilidad de Gauss y otras integrales
definidas
j
x n e - «dx
—
f"
/o = I e
Jo
-
"
ax~
nl
d
I
Í~7T
dx = — "VI—
2 " a
aa
(Integral de probabilidad de Gauss)
4
8
Xa
a
A.31
Conversiones"
Longitud
Fuerza
1 N = 0.224 8 Ib
1 Ib = 4.448 N
1 pulgada (pulg) = 2.54 cm (exacto)
1 m = 39.37 pulg = 3.281 pie
1 pie = 0.304 8 m
12 pulg = 1 pie
3 pie = 1 yarda
1 yarda = 0.914 4 m
1 km = 0.621 milla
1 milla = 1.609 km
1 milla = 5 280 pie
1 Á = 10-10m
1 ¿un = 1 n = 10-6 m = 103 nm
1 año luz = 9.461 x 1015 m
Velocidad
1 milla/h = 1.47 pie/s = 0.447 m/s = 1.61 km/h
1 m/s = 100 cm/s = 3.281 pie/s
1 milla/min = 60 milla/h = 88 pie/s
Aceleración
1 m/s2 = 3.28 pie/s2 = 100 cm/s2
1 pie/s2 = 0.304 8 m/s2 = 30.48 cm/s2
Presión
1
1
1
1
Área
1 m2 = 104 cm2 = 10.76 pie2
1 pie2 = 0.092 9 m2 = 144 pulg2
1 pulg2 = 6.452 cm2
bar = 105 N/m 2 = 14.50 lb/pulg2
atm = 760 mm Hg = 76.0 cm Hg
atm = 14.7 lb/pulg2 = 1.013 x-105 N/m 2
Pa = 1 N/m 2 = 1.45 x 10~4 lb/pulg2
Tiempo
1 año = 365 días = 3.16 x 10' s
1 día = 24 h = 1.44 x 103 min = 8.64 x 104 s
Volumen
1
1
1
1
1
m3 = 106 cm3 = 6.102 x 104 pulg3
pie3 = 1 728 pulg3 = 2.83 x 10~2 m3
L = 1 000 cm3 = 1.057 6 qt (cuartos) = 0.035 3 pie3
pie 3 = 7.481 galón (gal) = 28.32 L = 2.832 x lO'2 m3
gal = 3.786 L = 231 pulg3
Masa
Energía
1J = 0.738 pie-Ib
1 cal = 4.186 J
1 Btu = 252 cal = 1.054 x 103J
1 eV = 1.6 x 10-19J
1 kWh = 3.60x 106J
Potencia
1 000 kg = 1 t (tonelada métrica)
1 slug = 14.59 kg
1 u = 1.66 x 10"27 kg = 931.5 MeV/c2
1 hp = 550 pie-lb/s = 0.746 kW
1 W = 1 J/s = 0.738 pie • Ib/s
1 Btu/h = 0.293 W
Algunas aproximaciones útiles para problemas de estimación
1 m
1 m/s « 2 millas/h
1 yarda
I k g = 2 Ib
1 año « n x 107 s
60 millas/h = 100 pies/s
1 N *\b
1 L'
1 Véase
1 km = 5 milla
i gal
la tabla A.l del apéndice A para una lista más completa.
El alfabeto griego
Alfa
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
A
B
r
A
E
Z
H
e
a
P
y
s
Iota
Kapa
Lambda
e
c
Mu
Nú
Xi
17
e
Omicron
Pi
p
I
L
Rho
P
K
A
M
N
K
Sigma
2
A
Tau
M
Upsilon
T
Y
$
X
X*
^
n
*
ta
B
0
n
eo
Fi
Chi
Psi
77
Omega
V
a
T
V
Algunas constantes fundamental
Cantidad
Símbolo
Unidad de masa atómica
u
Número de Avogadro
NA
1.660 540 2(10) x 10"27 kg
931.49432(28) MeV/c2
6.022 136 7(36) x 1023 partículas/mol
Magnetón de Bohr
(h>=~—
9.274015 4(31) x 10-24J/T
Radio de Bohr
0.529 177 249 (24) x 1Q-'0 m
Constante de Boltzmann
1.380658 (12) xlO- 2 5 J/K
Longitud de onda Compton
2.426 310 58(2 2) x 10'12 m
Constante de Coulomb
k, =
4tre0
Masa del deuterón
8.987 551 787 x 109 X • m- .'C2 (exacto)
3.343 586 0(20) x 10"" kg
2.013 553 214 (24) u
9.109 389 7(54) x 1Q-31 kg
5.485 79903(1 3) x 10^ u
0.51099906(1 5) MeV 1.602 177 33(49) x 1Q-19J
1.602 177 33(4 9) x lO'1* C
8.314510 (70) J/K-mol
6.672 59(8 5) x 10"11 X-rrr kg2
Masa del electrón
Electrón-volt
Carga elemental
Constante de los gases
Constante gravitacional
eV
e
R
G
Energía del estado base
del hidrógeno
EI=-
Proporción frecuencia-voltaje
de Josephson
2e/h
4.835 976 7(14) x 10H Hz/V
Cuanto de flujo magnético
$0 = —
2.06783461(6 1) x 10-15 T-m 2
Masa del neutrón
mn
1.674 928 6(10) x 10~27 kg
1.008 664 904 (14) u
939.565 63(2 8) MeV/r 2
Magnetón nuclear
At n = -^—
2mp
5.0507866(17) x 10-27J/T
Permeabilidad del espacio libre
Permitividad del espacio libre
/u0
€0 = l/At 0 f 2
Constante de Planck
h
47T x 10~7 T-m/A (exacto)
8.854 187 817 x 10^12
C 2 /N-m 2 (exacto)
6.626075(40) x lQ- 34 J-s
Masa del protón
Constante de Rydberg
Rapidez de la luz en el vacío
2a0
-13.605 698 (40) eV
1.054572 66(63) x 10~ 34 J-s
1.672 623 (10) x 10~27 kg
1.007 276470 (12) u
938.272 3(28) MeV/c2
1.097373 1534(13) x 107 nr1
2.997 924 58 x 108 m/s (exacta)
Estas constantes son los valores recomendados en 1986 por la CODATA, están basados en un ajuste de
mínimos cuadrados de datos de distintas mediciones. Para una lista más completa véase E. R. Cohén y B.
X. Tavlor, Rev. Mari. Plns. 59:1121., 1987.
b Los números entre paréntesis para los valores en esta columna representan las incertidumbres de los últimos dos dígitos.
a
Datos del Sistema Solar
Cuerpo
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Plutón
Luna
Sol
Masa (kg)
3.18 x
4.88 x
5.98 x
6.42 x
1.90 x
5.68 x
8.68 x
1.03 x
«1.4 x
7.36 x
1.991 x
1023
1024
1024
1023
1027
1026
1025
1026
1022
1022
1030
Radio medio
(m)
Periodo (s)
2.43 x 106
6.06 x 106
6.37 x 106
3.37 x 106
6.99 x 107
5.85 x 107
2.33 x 107
2.21 x 107
« 1.5 x 106
1.74 x 106
6.96 x 108
7.60
1.94
3.156
5.94
3.74
9.35
2.64
5.22
7.82
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Distancia desde
el Sol (m)
106
107
107
107
108
108
109
109
109
—
—
5.79 x
1.08 x
1.496 x
2.28 x
7.78 x
1.43 x
2.87 x
4.50 x
5.91 x
—
—
1010
10"
10"
1011
1011
1012
1012
1012
1012
Datos físicos usados con frecuencia3
3.84 x 108 m
1.496x 10" m
6.37 x 106 m
1.29 kg/m3
1.00 x 103 kg/m3
9.80 m/s2
5.98 x 1024 kg
7.36 x 1022 kg
1.99x 1030kg
1.013 x 105 Pa
Distancia promedio Tierra-Luna
Distancia promedio Tierra-Sol
Radio promedio de la Tierra
Densidad del aire (0°C y 1 atm)
Densidad del agua (20°C y 1 atm)
Aceleración de caída libre
Masa de la Tierra
Masa de la Luna
Masa del Sol
Presión atmosférica estándar
aEstos
son los valores de las constantes como se usan en el texto.
Algunos prefijos para las potencias de diez
Potencia
1Q-24
io-21
10-18
io-15
io-12
io-9
io-6
io-3
io-2
lo-1
Prefijo
yocto
zepto
ato
femto
pico
nano
micro
mili
centi
deci
Abreviatura
Potencia
Prefijo
Abreviatura
y
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zeta
yota
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
z
a
f
P
n
M
m
c
d