- Cinvestav

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
del
Instituto Politécnico Nacional
DEPARTAMENTO DE FISICA
Modelo de dominancia de mesones para decaimientos
semileptónicos de sabores pesados
Tesis que presenta
Alain Flores Tlalpa
para obtener el Grado de
Doctor en Ciencias
en la Especialidad de
Física
Director de tesis: Dr. Gabriel López Castro
México, Distrito Federal
Enero, 2008
Dedicatoria
A mis padres Cecilia Tlalpa Juárez y Getulio Flores Tezmol
A mi esposa Areli Montes Pérez
Agradecimientos
A los que hicieron posible este trabajo de tesis doctoral. Al Dr. Gabriel López Castro
por proponer los temas de esta tesis, por su esfuerzo, tiempo y dedicación para llevarla
a cabo, y sobre todo por su enorme paciencia. Al pueblo de México que por medio
de instituciones como Conacyt y Cinvestav me brindaron el apoyo económico que
me permitió realizar mis estudios de doctorado. El Conacyt por medio de una beca
y el Cinvestav por medio de apoyos terminales. Al Dr. Genaro Toledo Sánchez por
su valiosa colaboración, también al M. C. Francisco Flores Báez. Y a todos los que
directamente e indirectamente contribuyeron a mi formación y a la realización de este
trabajo.
Modelo de dominancia de mesones para
decaimientos semileptónicos de sabores
pesados
Alain Flores Tlalpa
31 de enero de 2008
Resumen
En general, las interacciones y propiedades de los hadrones a energı́as bajas e
intermedias no pueden ser descritas cuantitativamente a partir de los primeros principios de la Cromodinámica Cuántica (QCD). Por esta razón es necesario recurrir a
modelos fenomenológicos construidos con base en las simetrı́as de QCD y que incluyen
la interacción fuerte de forma efectiva para modelar la dinámica subyacente.
La tesis de este trabajo es que un Modelo de Dominancia de Mesones (MDM) generalizado, describe muy bien la interacción débil de mesones a energı́as intermedias
(transferencias de momento del orden de 1 a 2 GeV). Para ello se estudian diversos procesos débiles donde estas corrientes intervienen como son los decaimientos
semileptónicos de sabores pesados. Más especı́ficamente, en esta tesis se estudia la
producción de un par pion-pion, del correspondiente modo radiativo, y de la producción de un par vector-pseudoescalar en decaimientos del leptón tau. Adicionalmente,
se analizan algunos de los decaimientos semileptónicos dominantes del mesón D. Se
discute la importancia que estos procesos tienen para probar la teorı́a actual de interacciones fundamentales (Modelo Estándar) o para extraer algunos de sus parámetros
importantes.
En los casos en que existen predicciones de otros modelos o datos experimentales
disponibles, se hace una comparación detallada con los mismos. El éxito de esta
descripción fenomenológica nos permite concluir que el MDM modela razonablemente
bien las interacciones débiles de hadrones a energı́as intermedias.
2
Summary
In general, the interactions and properties of hadrons at low and intermediate
energies can not be described quantitatively from the first principles of the Quantum
Cromodynamics (QCD). For this reason, in order to model the underlying dynamics,
the use of phenomenological models which are based on the symmetries of QCD and
include the strong interactions in an effective way are fully necessary.
The thesis of this work is that a generalizaded Meson Dominance Model (MDM)
describes very well the weak interaction of mesons at low and intermediate energies
(momentum transfers of the order of 1 to 2 GeV). In order to test this hypothesis,
we have studied several weak decay processes where these currents are involved, particularly the semileptonic decays of heavy flavors. More precisely, in this thesis we
have studied the production of a pair of pions, the corresponding radiative mode, and
the production of a vector-pseudoscalar pair in tau lepton decays. In addition, we
have also considered some dominant semileptonic decays of the D meson. We discuss
the importance that these processes have to test the current theory of fundamental
interactions (Standard Model) and to extract some of their important parameters.
We compare our results with predictions of other models or with experimental data
in cases where they are available. The success of this phenomenological description
allows us to conclude that the MDM is a good model to describe the weak interaction
of hadrons at intermediate energies.
3
Índice general
1. Introducción
8
2. El decaimiento τ − → ντ π − π 0
11
2.1. La amplitud del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2. Los factores de forma en el MDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3. El decaimiento τ2π en la CHPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4. Correcciones radiativas al decaimiento τ2π
. . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4.1. Correcciones radiativas de distancias cortas . . . . . . . . . . .
24
3. Correcciones radiativas al decaimiento τ − → ντ π − π 0 : parte independiente de modelo
29
3.1. Teorema de Low y de Burnett-Kroll . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2. Correcciones radiativas electromagnéticas virtuales . . . . . . . . . .
35
3.3. Correcciones electromagnéticas debidas a fotones reales . . . . . . . .
39
4. El decaimiento radiativo τ − → ντ π − π 0 γ
51
4.1. Forma general de la amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2. Amplitud de decaimiento en el MDM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.3. Determinación de los factores de forma en el MDM . . . . . . . . . .
63
4.4. Fijando las constantes de acoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.4.1. Acoplamientos de la contribución independiente de modelo . .
67
4.4.2. Acoplamientos de la contribución dependiente de mo- delo . .
67
4.5. Observables del proceso τ2πγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.5.1. La fracción de decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.5.2. El espectro de la energı́a del fotón . . . . . . . . . . . . . . . .
72
− 0
4.5.3. La distribución del invariante de masa del sistema π π . . . .
74
4.5.4. Una observable sensible a β(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4
5. Correcciones radiativas al decaimiento τ − → ντ π − π 0 : parte dependiente de modelo
80
5.1. La corrección electromagnética dependiente de modelo . . . . . . . .
82
5.2. Correcciones a la razón de decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.3. Contribución al momento magnético anómalo del muon . . . . . . . .
91
6. Los decaimientos τ − → ντ (ω, φ)P −
95
6.1. Cálculo de la función espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
6.2. Los factores de forma en el MDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3. Los decaimientos que conservan la extrañeza . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.1. Fijando las constantes de acoplamiento . . . . . . . . . . . . . 105
6.3.2. El decaimiento τωπ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3.3. El decaimiento τφπ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.4. Los decaimientos que cambian la extrañeza . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.1. Fijando las constantes de acoplamiento . . . . . . . . . . . . . 112
6.4.2. El decaimiento τωK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4.3. El decaimiento τφK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
∗0
7. El decaimiento D+ → K l+ νl
125
7.1. La simetrı́a de quarks pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.1. El decaimiento H → H ∗ W ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.2. El decaimiento H ∗ → HW ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1.3. La función de Isgur-Wise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2. La amplitud del proceso Dl3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2.1. Un cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.3. El decaimiento Dl3 en el modelo de dominancia polar . . . . . . . . . 138
7.4. El decaimiento Dl3 en la teorı́a efectiva de quarks pesados . . . . . . 140
8. El decaimiento D+ → K − π + l+ νl
143
8.1. La amplitud del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.2. Los factores de forma en el MDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3. El modelo de dominancia polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.4. La teorı́a efectiva de quarks pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9. Conclusiones
156
5
A. Convenciones e Identidades
158
A.1. La métrica y el tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.2. Las matrices de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.3. Algunas funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
B. Reglas de Feynman
162
B.1. Lı́neas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B.2. Lı́neas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
B.3. Vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
C. Cinemática
167
C.1. La razón diferencial de decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
C.2. Decaimientos a tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.3. Decaimientos a cuatros cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
D. La simetrı́a SU (3) de sabor y los acoplamientos de la interacción
fuerte
177
D.1. El acoplamiento Vi Vf P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
D.1.1. El acoplamiento V ′ V P en SU (3) . . . . . . . . . . . . . . . . 179
D.2. El acoplamiento V P1 P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
D.3. El acoplamiento AV P
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
E. Determinación de las constantes de acoplamiento
+ −
E.1. Decaimiento V → l l
185
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
E.1.1. Los acoplamientos γρ , γω y γφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
E.2. Decaimiento Vi → Vf P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
E.2.1. Los acoplamientos Gφωπ y Gφρπ . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
E.3. Decaimiento V → P γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
E.3.1. Los acoplamientos Gρπγ , Gωπγ , Gφπγ y GK ∗ Kγ . . . . . . . . . 190
E.4. Decaimiento V → P1 P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
E.4.1. Los acoplamientos Gρππ y GφKK . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
E.5. Decaimiento A → V P
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
E.5.1. Los acoplamientos GK1 ωK y GK1′ ωK . . . . . . . . . . . . . . . 194
E.5.2. Los acoplamientos GK1 ρK , GK1 K ∗ π , GK1′ ρK y GK1′ K ∗ π . . . . . . 194
E.6. Decaimiento τ → ντ V
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
E.6.1. Los acoplamientos Gρ , GK ∗ y GK ′∗ . . . . . . . . . . . . . . . 197
6
E.7. Decaimiento τ → ντ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
E.7.1. Los acoplamientos GK1 y GK1′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
E.8. Decaimiento τ → ντ P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
E.8.1. El acoplamiento GK
E.9. Decaimiento P + → l+ νl
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
E.9.1. El acoplamiento GK
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
∗
E.10.El decaimiento K → Kγ en el MDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
E.11.Decaimiento φ → π + π − π 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7
Capı́tulo 1
Introducción
El Modelo Estándar (ME) es la teorı́a que describe las interacciones fuertes, débiles
y electromagnéticas de los quarks y leptones. El ME está compuesto por la teorı́a
electrodébil y la cromodinámica cuántica (QCD). La teorı́a electrodébil describe de
manera unificada las interacciones electromagnéticas y débiles de quarks y leptones,
mientras que la QCD describe la interacción fuerte entre los quarks. De estas interacciones fundamentales, la interacción fuerte es la que menos se comprende debido
en buena parte a que, a bajas energı́as, los quarks están confinados al interior de los
estados fı́sicos denominados hadrones. La variedad de hadrones que han sido observados es muy grande [1], y se clasifican en mesones y bariones. La descripción de
los fenómenos que involucran a los hadrones es de gran importancia para la fı́sica de
partı́culas, tanto para entender la dinámica de las interacciones fuertes como para
lograr extraer algunos parámetros fundamentales del ME a partir de los datos experimentales. Por entender la dinámica de las interacciones fuertes a bajas energı́as
queremos decir, describir de forma cuantitativa tanto el espectro de los hadrones como
las interacciones fundamentales de éstos en los diferentes procesos en que participan.
En la actualidad existe una gran cantidad de información experimental [1] sobre
decaimientos que involucran la interacción fuerte. De éstos, aquellos que incluyen simultáneamente leptones y hadrones (los decaimientos semileptónicos) constituyen los
escenarios más limpios para estudiar la interacción fuerte. La descripción teórica de
los decaimientos semileptónicos es relativamente sencilla, por lo que estos decaimientos se vuelven mucho más atractivos para la prueba de los diferentes modelos de las
interacciones fuertes de los hadrones (Teorı́a de Perturbaciones Quirales (CHPT),
Teorı́a Efectiva de Quarks Pesados (HQET), Modelos de Quarks Relativistas y No
8
Relativistas, Dinámica en el Cono de Luz, Reglas de Suma de QCD, etcétera).
El τ es el único leptón que decae en hadrones, debido a que su masa es lo suficientemente grande (mτ = 1.777 GeV). Los decaimientos semileptónicos constituyen los
modos de decaimiento dominantes de este leptón (aproximadamente un 65 %). Consecuentemente, el τ ofrece un escenario único donde el ME, particularmente la QCD,
puede ser estudiada de manera precisa. Esto es posible gracias a que las funciones
espectrales de los decaimientos semileptónicos del τ , las cuales se han medido experimentalmente, son un excelente laboratorio para probar las predicciones de QCD
y sus modelos a energı́as intermedias (1∼2 GeV). Los decaimientos semileptónicos
del mesón D son también muy interesantes ya que, siendo análogos a los decaimientos semileptónicos del leptón τ vı́a la simetrı́a de cruce, proveen información complementaria de forma igualmente sencilla. Como ya se mencionó anteriormente, los
decaimientos del leptón τ y del mesón D involucran transferencias de momento de
energı́as intermedias y, por lo tanto, sus elementos de matriz hadrónicos pertenecen
al régimen no perturbativo de QCD donde, en ausencia de predicciones precisas de
Lattice QCD, los modelos fenomenológicos son la mejor herramienta disponible. Para
estudiar estos decaimientos es necesario recurrir a un modelo efectivo de bajas energı́as para describir los elementos de matriz hadrónicos.
Es por ello que en esta tesis recurriremos a una versión generalizada del Modelo
de Dominancia Vectorial (propuesto originalmente por J. J. Sakurai a principios de
los años 60 como un modelo para el factor de forma electromagnético del pion), el
cual hemos denominado Modelo de Dominancia de Mesones (MDM), para describir
los elementos de matriz hadrónicos de la corriente débil. La idea principal de este
modelo es que los factores de forma que describen esta corriente hadrónica pueden ser
descritos mediante la saturación con las resonancias más ligeras (vectoriales, axiales
y/o pseudoescalares, según el caso) que poseen los números cuánticos apropiados para
acoplarse a la corriente débil.
Experimentalmente se ha encontrado que tanto los decaimientos semileptónicos
del τ como los del mesón D son dominados por la producción de resonancias hadrónicas
intermedias [1], las cuales pueden estar sobre su capa de masa. Ası́ pues, el MDM
resulta de un atractivo inmediato para describir tales decaimientos. En este modelo, los decaimientos se originan por medio de la producción y posterior decaimiento
de mesones como estados intermedios virtuales. En algunos casos interesantes de
decaimientos del leptón τ , nuestros resultados pueden ser comparados con las predic9
ciones de la Teorı́a de Perturbaciones Quirales (CHPT). En el caso de decaimientos de
mesones D, nuestros resultados pueden compararse con las predicciones de la Teorı́a
Efectiva de Quarks Pesados (HQET).
Como ya mencionamos, en este trabajo los decaimientos semileptónicos del leptón
τ y del mesón D son estudiados en el marco del MDM. La organización de esta tesis es
la siguiente: En el capı́tulo 2 se estudia el decaimiento semileptónico τ − → ντ π − π 0 ; los
efectos del rompimiento de la simetrı́a de isoespin y de las correcciones electrodébiles
son considerados. En el capı́tulo 3 se discuten las correcciones radiativas electromagnéticas independientes de modelo, con el objetivo de verificar la cancelación de las
divergencias infrarrojas entre las correcciones reales y virtuales. El decaimiento radiativo τ − → ντ π − π 0 γ es estudiado en el capı́tulo 4, y algunos de los resultados para las
observables calculadas son comparados con las predicciones de la CHPT. Usando los
resultados obtenidos para τ − → ντ π − π 0 γ, en el capı́tulo 5 se determinan completamente las correcciones electromagnéticas de orden α al decaimiento τ − → ντ π − π 0 . En
este capı́tulo también se determina el efecto del rompimiento de isoespin originado
por estas correcciones radiativas en la predicción del momento magnético anómalo
del muon aµ , basada en datos espectrales del leptón τ . En el capı́tulo 6 mostramos
nuestro análisis de los decaimientos τ − → ντ ωπ − , τ − → ντ φπ − , τ − → ντ ωK − y
τ − → ντ φK − . En los capı́tulos 7 y 8 mostramos el estudio preliminar de los de∗0
caimientos semileptónicos D+ → K l+ νl y D+ → K − π + l+ νl ; nuestro objetivo es
reproducir las distribuciones angulares del decaimiento D+ → K − π + l+ νl que se han
medido experimentalmente. En el capı́tulo 9 damos las conclusiones más importantes
de este trabajo. Finalmente, en los apéndices A-E se dan todos los elementos necesarios para poder llevar a cabo este trabajo.
10
Capı́tulo 2
El decaimiento τ − → ντ π −π 0
En este capı́tulo analizamos el decaimiento semileptónico τ − → ντ π − π 0 en el contexto
del modelo de dominancia de mesones. El análisis se realiza primero en el lı́mite de
isoespin e incluyendo únicamente la contribución de la resonancia ρ(770). Posteriormente se determinan los efectos del rompimiento de la simetrı́a de isoespin, debidos
a mπ− 6= mπ0 , y la importancia de la contribución de una segunda resonancia, la
ρ(1450). También comparamos las predicciones del modelo de dominancia de mesones
y de la teorı́a de perturbaciones quirales. Finalmente discutimos las correcciones radiativas electrodébiles.
El decaimiento semileptónico τ − → ντ π − π 0 (τ2π ) es el modo dominante de los
decaimientos del leptón τ − . En la actualidad el valor promedio de la fracción de
decaimiento experimental es Bτexp (π − π 0 ) = (25.50±0.10) % [1]. La precisión alcanzada
en la medición de esta observable es del 0.4 %. De manera similar la función espectral
v− (t), la cual se extrae directamente de la distribución del cuadrado del invariante de
masa del estado hadrónico final π − π 0 , se ha medido con una gran precisión.
Es bien conocido que, en lı́mite de la simetrı́a de isoespin, la hipótesis de la corriente vectorial conservada (CVC) relaciona las funciones espectrales del decaimiento
τ2π y de la aniquilación e+ e− → π + π − , esta última se obtiene a partir de los datos
para la sección eficaz. De esta manera, las mediciones del decaimiento τ2π y de la
aniquilación e+ e− → π + π − ofrecen la oportunidad de probar la hipótesis de CVC con
gran precisión. Estrechamente relacionado con este punto, los datos del decaimiento
τ2π se pueden emplear para calcular (vı́a la hipótesis de CVC) la contribución de
la polarización del vacı́o hadrónico al momento magnético anómalo del muon aµ .
La enorme precisión de las mediciones experimentales de aµ [2] y de sus respectivas
11
predicciones teóricas han hecho posible una de las pruebas más precisas del modelo
estándar (ME) que existe en la actualidad. La contribución de la polarización del vacı́o
hadrónico a aµ es la principal fuente de incertidumbre de las predicciones teóricas, de
esta contribución aproximadamente el 73 % se debe al estado final de dos piones. Por
lo tanto, un estudio a fondo del modo a dos piones del τ es necesario para reducir las
incertidumbres teóricas en la predicción de aµ , y para realizar una prueba precisa de
la hipótesis de CVC.
Nuestro estudio sobre el decaimiento τ2π fue motivado principalmente por estas
razones. Sin embargo, el interés en el decaimiento τ2π es más amplio, pues como hemos
comentado en el capı́tulo anterior, los decaimientos semileptónicos del τ brindan la
oportunidad de estudiar las interacciones fuertes en una región de energı́as menores a
1.8 GeV, que es dominada por resonancias hadrónicas. Esto abre la posibilidad de que
algunas propiedades importantes de estas resonancias hadrónicas sean determinadas.
Además, ha sido demostrado que QCD perturbativa puede ser aplicada a escalas de
energı́a tan bajas como 1−2 GeV [3]. De esta manera, los decaimientos semileptónicos
del τ proporcionan un escenario único donde las predicciones de QCD perturbativa,
las predicciones de modelos de bajas energı́as para las interacciones fuertes y las
mediciones experimentales pueden ser confrontadas y analizadas (ver por ejemplo,
los resultados para las funciones espectrales en la referencia [4]).
Las mediciones actuales de las observables del decaimiento τ2π se han realizado
con muestras de alrededor de 105 − 106 eventos, provenientes principalmente de los
experimentos CLEO y ALEPH. Los experimentos recientes en las fábricas de mesones
B (BABAR y BELLE) han alcanzado una enorme estadı́stica en eventos del τ , alrededor de 109 pares τ + τ − [5]. Por esta razón, mejoras significativas en las mediciones del
decaimiento τ2π son esperadas, ya que los errores estadı́sticos se reducirán de manera
considerable. En este escenario las correcciones radiativas, por lo menos a O(α), se
vuelven indispensables.
2.1.
La amplitud del proceso
A nivel de quarks el decaimiento τ2π se produce por la hadronización del decaimiento τ − → ντ dū. Este decaimiento tiene su origen en la interacción débil semileptónica
y se puede estudiar por medio del hamiltoniano efectivo
∆S=0
Heff
=
GF Vud ¯
√ [dγα (1 − γ5 )u][ν̄τ γ α (1 − γ5 )τ ] .
2
12
(2.1)
La amplitud invariante del decaimiento τ2π se puede calcular como el elemento de
∆S=0
matriz del hamiltoniano efectivo Heff
entre el estado inicial τ − y el estado final
ντ π − π 0 ,
− 0
− 0
∆S=0 −
M(0)
|τ i =
τ (π π ) = hντ π π |Heff
GF Vud α
√ l hα ,
2
(2.2)
lα denota la corriente leptónica,
lα = hντ |ν̄τ γ α (1 − γ5 )τ |τ − i = ū(pν , sν )γ α (1 − γ5 )u(pτ , sτ ) ,
(2.3)
y hα la corriente hadrónica,
¯ α (1 − γ5 )u|0i .
hα = hπ − π 0 |dγ
(2.4)
El superı́ndice (0) en la amplitud (2.2) indica que se trata de la amplitud al orden
más bajo en la teorı́a de perturbaciones. A este orden las interacciones involucradas
en el decaimiento τ2π son la débil y la fuerte.
La corriente hadrónica hα , definida como el elemento de matriz de la corriente
¯ α (1 − γ5 )u entre el vacı́o y el estado hadrónico final π − π 0 , es la
cargada izquierda dγ
cantidad más interesante pues en ella se encuentra toda la información de los hadrones
y sus interacciones. Esta cantidad no puede ser calculada a partir de primeros principios, sin embargo se puede parametrizar usando las simetrı́as del ME. De acuerdo
con la G-paridad, el decaimiento τ2π sólo puede ocurrir a través de la parte vectorial
de la corriente hadrónica hα , es decir
¯ α γ5 u|0i = 0 .
hπ − π 0 |dγ
(2.5)
La covariancia de Lorentz establece que la parte vectorial de la corriente hadrónica
hα se puede parametrizar como
¯ α u|0i = f+ (t)(pπ− − pπ0 )α + f− (t)(pπ− + pπ0 )α ,
hα = hπ − π 0 |dγ
(2.6)
donde f+ (t) y f− (t) son factores de forma que dependen del cuadrado del momento
transferido t = (pπ− + pπ0 )2 . Sus expresiones van a depender del modelo particular
que se utilice para describir el decaimiento τ2π . Si la simetrı́a de isoespin es exacta
el factor de forma f− (t) es cero, y en este caso la corriente hadrónica hα toma una
forma muy simple ya que sólo depende del factor de forma f+ (t), el cual es conocido
comúnmente como el factor de forma débil del pion.
La probabilidad de decaimiento no polarizada tiene la siguiente estructura
1X
(0)
− 0 2
2
2 αβ
|Mτ (π − π 0 )|2 =
|M(0)
(2.7)
τ (π π )| = 2GF |Vud | L Hαβ ,
2 s ,s
τ
ν
13
donde Lαβ y Hαβ son los tensores leptónico y hadrónico, respectivamente, definidos
por
Lαβ =
1 X α β∗
l l ,
8 s ,s
τ
(2.8)
ν
Hαβ = hα h∗β .
(2.9)
(0)
Cinemáticamente |Mτ (π − π 0 )|2 está completamente caracterizado por dos variables,
las cuales podemos elegir como el cuadrado del invariante de masa del sistema de los
piones (t) y el cuadrado del invariante de masa del sistema ντ − π 0 (u = (pν + pπ0 )2 ),
n
(0)
2
2
−
0
2
|Mτ (π π )| = 2GF |Vud | |f+ (t)|2 D+ (t, u) + |f− (t)|2 D− (t)
h
i
o
+Re f+ (t)f−∗ (t) D+− (t, u) ,
(2.10)
con las siguientes definiciones
D+ (t, u) = 2u2 − 2(m2τ + m2π− + m2π0 − t)u +
m2τ 2
(mτ − t) ,
2
D+− (t, u) = m2τ (m2τ + 2m2π0 − t − 2u) .
m2τ 2
(mτ − t) + 2m2π− m2π0 , (2.11)
2
D− (t) =
(2.12)
(2.13)
La elección de la variable t es inmediata ya que los factores de forma dependen de esta
variable, en cambio la elección de la segunda variable cinemática no es tan directa.
Se elige la variable u debido a que está relacionada directamente con la energı́a del
pion cargado, u = (pτ − pπ− )2 .
En el sistema de reposo del τ − la razón diferencial de decaimiento toma la siguiente
forma
G2F |Vud |2 αβ
L Hαβ du dt ;
(2.14)
2(4π)3 m3τ
el dominio de las variables cinemáticas t y u se puede escribir convenientemente como
− 0
dΓ(0)
τ (π π ) =
sigue
n
o
RIII = (mπ− + mπ0 )2 ≤ t ≤ m2τ , u− (t) ≤ u ≤ u+ (t) ,
las funciones u± (t) están dadas por las relaciones
1h
2(m2τ + m2π0 − t)t − (m2τ − t)(t + m2π− − m2π0 )
u− (t) =
2t
i
−(m2τ − t)λ1/2 (t, m2π− , m2π0 ) ,
1h
u+ (t) =
2(m2τ + m2π0 − t)t − (m2τ − t)(t + m2π− − m2π0 )
2t
i
+(m2τ − t)λ1/2 (t, m2π− , m2π0 ) .
14
(2.15)
(2.16)
(2.17)
u @GeV2D
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t @GeV2D
Figura 2.1. Espacio fase del decaimiento a tres cuerpos τ − → ντ π − π 0 . Esta gráfica muestra la
región permitida para las variables cinemáticas t y u.
En la figura 2.1 se muestra gráficamente la región cinemática fı́sicamente accesible,
para las variables t y u, en el decaimiento a tres cuerpos τ2π .
El invariante Lαβ Hαβ es un polinomio de segundo grado en u y por lo tanto la
integración sobre esta variable es trivial. Después de realizar dicha integración se
obtiene la distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema π − π 0 ,
(0)
3∆2π− π0
dΓτ (π − π 0 )
2t 2
t 2
G2F |Vud |2 m3τ
2
1 + 2 βπ− π0 +
|f+ (t)|
=
βπ− π0 1 − 2
dt
12(4π)3
mτ
mτ
t2
h
i∆ − 0 π π
,
(2.18)
+3|f− (t)|2 + 6Re f+ (t)f−∗ (t)
t
con
∆π− π0 = m2π− − m2π0 ,
λ1/2 (t, m2π− , m2π0 )
.
βπ− π0 =
t
(2.19)
(2.20)
Las funciones espectrales juegan un papel determinante en el estudio de la dinámica de las interacciones fuertes debido a que proporcionan la conección entre la estructura hadrónica observada a bajas energı́as y el comportamiento de quarks en el
régimen de altas energı́as. Por lo tanto, a través de las funciones espectrales es posible
15
estudiar el régimen perturbativo y no perturbativo de QCD. Resulta entonces interesante calcular la función espectral para el decaimiento τ2π . Siguiendo la definición de
la referencia [4] se obtiene
3∆2π− π0
2t 2
2t −1
1
2
|f+ (t)|
1 + 2 βπ− π0 +
+ 3|f− (t)|2
βπ− π0 1 + 2
v− (t) =
24
mτ
mτ
t2
h
i∆ − 0 π π
∗
+6Re f+ (t)f− (t)
.
(2.21)
t
Si la simetrı́a de isoespin es exacta entonces f− (t) = 0 y mπ− = mπ0 ≡ mπ . De la
última relación se sigue que
4m2π 1/2
.
∆π− π0 = 0 y βπ− π0 = 1 −
t
(2.22)
En este lı́mite las expresiones para la probabilidad de decaimiento no polarizada, la
distribución del invariante t y la función espectral v− (t) se simplifican considerablemente ya que sólo dependen del factor de forma f+ (t). Además la probabilidad de
decaimiento no polarizada es proporcional a la función D+ (t, u), en la cual se incluye
toda la dependencia de la variable u. Como se demostrará al final de la sección 2.2, los
efectos del rompimiento de la simetrı́a de isoespin son muy pequeños, despreciables
incluso comparados con las correcciones radiativas electrodébiles.
Es importante comentar que los experimentos proporcionan medidas del factor
de forma vectorial f+ (t), lo cual es posible hacer bajo la hipótesis de que f− (t) es
insignificante.
2.2.
Los factores de forma en el MDM
En el contexto del MDM el decaimiento τ2π , de acuerdo con la G-paridad, se produce por medio de resonancias hadrónicas vectoriales Vj− (J P = 1− ). Estas resonancias se crean como estados intermedios (virtuales) y posteriormente decaen al estado
hadrónico final π − π 0 , ver figura 2.2. Las resonancias vectoriales que contribuyen al
decaimiento τ2π son ρ− (770), ρ− (1450), ρ− (1700), . . . . Es bien conocido que este decaimiento es fuertemente dominado por la producción del mesón vectorial ρ− (770),
entonces es razonable considerar como buena aproximación sólo la contribución de
este mesón.
El dominio del cuadrado del momento transferido incluye el punto t = m2ρ . En este
punto el propagador del mesón ρ− (770), al orden más bajo en la teorı́a de perturbaciones, diverge. Para eliminar esta divergencia se incluyen las correcciones absortivas
16
Figura 2.2. Diagramas de Feynman para el decaimiento τ2π en el MDM. Los estados intermedios
Vj− denotan resonancias hadrónicas cargadas con J P = 1− .
a un loop [6], las cuales surgen principalmente de loops con mesones π − π 0 . Estas correcciones al propagador del mesón ρ− (770) se pueden incluir fácilmente en el cálculo
de la corriente hadrónica, hα , si separamos al estado hadrónico |ρ− (770)i en su parte
transversal y longitudinal; en este caso la corriente hadrónica queda determinada por
X hπ − π 0 |ρ− iT T hρ− |dγ
¯ α u|0i hπ − π 0 |ρ− iL L hρ− |dγ
¯ α u|0i hα =
+
+ · · · , (2.23)
t − m2ρ + iImΠT (t)
m2ρ − iImΠL (t)
s
ρ
donde ImΠT (t) y ImΠL (t) son, respectivamente, la pieza transversal y longitudinal
de la parte absortiva de la corrección a la autoenergı́a a un loop [6],
ImΠT (t) =
√
tΓρ (t) =
G2ρππ 3
tβ − 0 θ(t − [mπ− + mπ0 ]2 ) ,
48π π π
(2.24)
G2ρππ ∆2π− π0
(2.25)
βπ− π0 θ(t − [mπ− + mπ0 ]2 ) .
16π
t
¯ α u|0i se parametrizan de acuerLos elementos de matriz hπ − π 0 |ρ− iT /L y T /L hρ− |dγ
ImΠL (t) = −
do con la covariancia de Lorentz. Estas parametrizaciones definen las constantes de
acoplamiento de las interacciones ρ− π − π 0 y W − ρ− ,
hπ − π 0 |ρ− iT /L = Gρ− π− π0 (pπ− − pπ0 ) · ǫT /L (pρ , sρ ) ,
T /L hρ
−
¯ α u|0i = Gρ− [ǫT /L (pρ , sρ )]∗ .
|dγ
α
(2.26)
(2.27)
Las fases de los vectores de estado, |π − π 0 i y |ρ− iT /L , se escogen de manera que
los acoplamientos Gρ− π− π0 y Gρ− sean reales y positivos. La componente transversal ǫT (pρ , sρ ) y longitudinal ǫL (pρ , sρ ) del vector de polarización del mesón vectorial
ρ− (770) satisfacen las siguientes relaciones
X
sρ
[ǫTα (pρ , sρ )]∗ ǫTβ (pρ , sρ ) = −gαβ +
17
(pρ )α (pρ )β
≡ −Tαβ (pρ ) ,
p2ρ
(2.28)
X
[ǫLα (pρ , sρ )]∗ ǫLβ (pρ , sρ ) =
sρ
(pρ )α (pρ )β
≡ Lαβ (pρ ) .
p2ρ
(2.29)
Los tensores Tαβ (pρ ) y Lαβ (pρ ) son los llamados proyectores transversal y longitudinal,
respectivamente, tales que Tαβ (pρ ) + Lαβ (pρ ) = gαβ .
Para calcular los factores de forma f+ (t) y f− (t) se desarrollan los términos de la
derecha de la ecuación (2.23) y el resultado se compara con la ecuación (2.6),
G ρ− G ρ− π − π 0
,
m2ρ − t − iImΠT (t)
G ρ − G ρ − π − π 0 ∆π − π 0
G ρ− G ρ− π − π 0
−
.
f− (t) = − 2
mρ − t − iImΠT (t) m2ρ − iImΠL (t)
t
f+ (t) =
(2.30)
(2.31)
A partir de la expresión para f− (t) es inmediato que en el lı́mite de la simetrı́a de
isoespin este factor de forma se anula.
Las expresiones anteriores de los factores de forma también se pueden obtener
aplicando reglas de Feynman (dadas en el apéndice B) al diagrama de la figura 2.2.
En este caso, de acuerdo con la referencia [6], el propagador del mesón vectorial
ρ− (770) que se tiene que emplear es
Dαβ (pρ ) = −
iTαβ (pρ )
iLαβ (pρ )
+ 2
.
2
T
t − mρ + iImΠ (t) mρ − iImΠL (t)
(2.32)
Para simplificar el análisis vamos a tomar el lı́mite de la simetrı́a de isoespin.
Nuevamente hacemos hincapié en que los efectos que induce el rompimiento de la
simetrı́a de isoespin son despreciables. En este caso el factor de forma que gobierna
el decaimiento τ2π se puede escribir como
√
2m2ρ
√
.
(2.33)
f+ (t) = 2
mρ − t − i tΓρ (t)
√
Hemos empleado la relación Gρ− Gρ− π− π0 = 2m2ρ , establecida por la simetrı́a de
√
isoespin. Para t = 0 se satisface la condición de normalización f+ (0) = 2. La
distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema hadrónico final y la
función espectral toman una forma sencilla
(0)
dΓτ (π − π 0 )
t 2 2t 3
G2F |Vud |2 m3τ (2.34)
1− 2
1 + 2 βπ− π0 |f+ (t)|2 ,
=
3
dt
12(4π)
mτ
mτ
1 3
v− (t) =
(2.35)
βπ− π0 |f+ (t)|2 .
24
Con el objetivo de describir adecuadamente el decaimiento τ2π con una sola resonancia, vamos a tomar la masa mρ y el acoplamiento Gρ− π− π0 (= Gρππ ) como parámetros
libres, los cuales fijaremos a partir de los datos experimentales.
18
Figura 2.3. (A) La función espectral v− (s) para el decaimiento τ2π , los puntos corresponden a los
datos de la colaboración ALEPH [7] y la curva al mejor ajuste del MDM. (B) El factor de forma
débil del pion Fπ (s), los puntos son los datos experimentales [7] y la curva el mejor ajuste del MDM.
En ambos casos, para nuestro ajuste, sólo se considera la contribución del mesón vectorial ρ− (770).
El decaimiento τ2π ha sido medido por diferentes experimentos con una excelente
precisión. Para fijar los parámetros libres de nuestro modelo vamos a tomar los datos
obtenidos por la colaboración ALEPH [7] para el cuadrado del módulo del factor de
forma |Fπ (t)|2 y la función espectral v− (t). Las definiciones de los factores de forma
√
√
Fπ (t) y f+ (t) difieren en un factor 2, especı́ficamente f+ (t) = 2Fπ (t). El mejor
ajuste de los datos experimentales se obtiene con los siguientes valores centrales de
los parámetros libres,
mρ = 776.66 MeV ,
Gρππ = 5.488 .
(2.36)
La constante de acoplamiento Gρππ también se puede fijar a partir del modo de
decaimiento ρ− → π − π 0 , el valor que se obtiene (Gρππ = 5.953 ± 0.020) es ligeramente
diferente del que obtuvimos por medio del ajuste a los datos experimentales. En la
figura 2.3 se muestran los resultados del ajuste para v− (t) y |Fπ (t)|2 . Observemos
que nuestro modelo con una sola resonancia da una buena descripción de los datos
para t ≤ 0.8 GeV2 . Tomando los valores que hemos obtenido para la masa mρ y el
acoplamiento Gρππ , ecuación (2.36), calculamos la fracción de decaimiento
0.072
Bτ (π − π 0 ) = (20.277 +
− 0.071 ) % ,
19
(2.37)
el resultado difiere del valor experimental Bτexp (π − π 0 ) = 25.50 ± 0.10 % [1] de manera
significativa. La discrepancia se debe principalmente a que las contribuciones de los
mesones vectoriales ρ− (1450) y ρ− (1700) se han despreciado.
Consideremos ahora la contribución del mesón vectorial ρ− (1450) al decaimiento
τ2π . El factor de forma f+ (t) se puede calcular aplicando reglas de Feynman a los
diagramas de la figura 2.2. En el lı́mite de isoespin el propagador de los mesones
vectoriales tiene la siguiente expresión [6]
p p
ΓV (t)
gαβ − V α 2V β 1 + i √
mV
t
√
Dαβ (pV ) = −i
,
2
t − mV + i tΓV (t)
V = ρ− (770), ρ− (1450) .
(2.38)
Sin embargo, preferimos calcular el factor de forma f+ (t) como se hizo anteriormente;
en este caso la corriente hadrónica hα está dada por
X hπ − π 0 |ρ− iT T hρ− |dγ
¯ α u|0i ¯ α u|0i hπ − π 0 |ρ− iL L hρ− |dγ
√
(2.39)
hα =
+
2
2 + i tΓ (t)
m
t
−
m
ρ
ρ
ρ
sρ
X hπ − π 0 |ρ′− iT T hρ′− |dγ
¯ α u|0i hπ − π 0 |ρ′− iL L hρ′− |dγ
¯ α u|0i √
+
+ ··· ,
+
2
2
m
′ (t)
′
t
−
m
tΓ
′ + i
ρ
ρ
ρ
s ′
ρ
para simplificar la escritura vamos a seguir la notación ρ(1450) ≡ ρ′ . Por medio de
relaciones análogas a las ecuaciones (2.26) y (2.27) se parametrizan los nuevos ele-
mentos de matriz, definiéndose ası́ las constantes de acoplamiento de las interacciones
ρ− (1450)π − π 0 y W − ρ− (1450). Nuevamente desarrollamos la expresión de la corriente
hadrónica hα para obtener el factor de forma débil del pion,
G ρ− G ρ− π − π 0
Gρ′− Gρ′− π− π0
√
√
+ 2
;
(2.40)
− t − i tΓρ (t) mρ′ − t − i sΓρ′ (t)
√
si se impone la condición de normalización f+ (0) = 2 se sigue que Gρ− Gρ− π− π0 =
√ 2
2mρ /(1 + σ), con la siguiente definición σ = (m2ρ Gρ′− Gρ′− π− π0 )/(m2ρ′ Gρ− Gρ− π− π0 ).
f+ (t) =
m2ρ
De esta manera el factor de forma se puede escribir como sigue
√ h
i
m2ρ′
m2ρ
2
√
,
+
σ
f+ (t) =
1 + σ m2ρ − t − i tΓρ (t)
m2ρ′ − t − imρ′ Γρ′
(2.41)
donde hemos despreciado la dependencia en la energı́a del ancho de decaimiento del
√
mesón ρ− (1450), es decir, se toma tΓρ′ (t) = mρ′ Γρ′ . Esta última expresión para el
factor de forma débil del pion coincide con la reportada en la referencia [8].
Para dar una estimación del parámetro σ necesitamos calcular los acoplamientos
GV − y GV − π− π0 . La constante de acoplamiento GV − la fijaremos por medio de la
20
relación que establece la simetrı́a de isoespin [9]
√ 2
2mV
.
(2.42)
GV − =
γV
Para determinar el acoplamiento γV emplearemos los datos experimentales de los
modos de decaimiento V 0 → e+ e− . Debido a que la masa del electrón me es muy
pequeña en comparación con la masa de los mesones vectoriales ρ(770) y ρ(1450),
podemos considerar a los electrones como no masivos, es decir me = 0. En esta aproximación la constante de acoplamiento γV se puede escribir de una manera
p
+ −
muy simple, |γV | = [8πα2 mV ]/[6Γexp
V (e e )], los detalles se pueden consultar en el
apéndice E.1. El acoplamiento GV − π− π0 se fijará a partir del modo de decaimiento
V − → π − π 0 , en el lı́mite de la simetrı́a de isoespin, de acuerdo con los resultados del
apéndice E.4, la constante de acoplamiento GV − π− π0 está determinada por la relación
p
2
− 0
2 3/2 . Por lo tanto, el parámetro σ que
|GV − π− π0 | = [48πm2V Γexp
V (π π )]/(mV − 4mπ )
mide la intensidad relativa de las contribuciones de los mesones vectoriales ρ− (770) y
ρ− (1450) al decaimiento τ2π está dado por
s
exp
+ −
− 0
2
2 3/2
mρ′ Γexp
ρ′ (e e )Γρ′ (π π )(mρ − 4mπ )
|σ| =
exp
2
2 3/2
+ −
− 0
mρ Γexp
ρ (e e )Γρ (π π )(mρ′ − 4mπ )
= 0.0960 ± 0.0013 .
(2.43)
Para obtener este valor de σ se fijaron todos los parámetros de los mesones ρ− (770)
y ρ− (1450) a los valores del PDG [1], excepto las razones de decaimiento del mesón
ρ− (1450) las cuales se estimaron a partir de la información relevante dada en la misma
exp
+ −
− 0
referencia [1], Γexp
ρ′ (e e ) = 1.48 keV y Γρ′ (π π ) = 26.9 MeV. El valor experimental
del parámetro σ reportado en la referencia [7], |σ exp | = 0.120 ± 0.008, es cercano al
valor que hemos obtenido.
Para ilustrar la importancia de la contribución del mesón vectorial ρ− (1450) al
decaimiento τ2π calcularemos la fracción de decaimiento, como en el caso anterior. La
masa mρ y el acoplamiento Gρππ se toman como parámetros libres los cuales se fijan
por medio de un ajuste a los datos experimentales, mρ = 775.8 MeV y Gρππ = 5.867,
y para σ se toma el valor σ = −0.120 ± 0.008, mientras que el resto de los parámetros
se fijan a los valores del PDG [1]. La fracción de decaimiento que resulta,
Bτ (π − π 0 ) = (23.54 ± 0.64) % ,
(2.44)
está más cerca del valor experimental. Si se toma σ > 0 la fracción de decaimiento
que resulta está por de bajo del valor experimental ∼ 14 %, ası́ pues se favorece que
el parámetro σ sea negativo.
21
Finalmente determinaremos los efectos del rompimiento de la simetrı́a de isoespin
(debidos a mπ− 6= mπ0 ) sobre la fracción de decaimiento Bτ (π − π 0 ), calculada con una
sola resonancia. Para esto emplearemos la expresión más general de la distribución
del invariante t, ecuación (2.18). Los factores de forma f+ (t) y f− (t) están dados
por las ecuaciones (2.30) y (2.31), respectivamente, en estas expresiones usaremos la
relación entre los acoplamientos Gρ− y Gρ− π− π0 que establece la simetrı́a de isoes√
pin, Gρ− Gρ− π− π0 = 2m2ρ . Para comparar de manera adecuada, con el resultado
obtenido en el lı́mite de la simetrı́a de isoespin, se tienen que utilizar los valores de la
ecuación (2.36) para la masa mρ y el acoplamiento Gρππ . De esta manera, la fracción
de decaimiento que incluye los efectos del rompimiento de la simetrı́a de isoespin es
0.072
Bτ (π − π 0 ) = (20.280 +
− 0.071 ) % .
(2.45)
Como señalamos anticipadamente, los efectos del rompimiento de la simetrı́a de isoespin son insignificantes. Estos apenas hacen una diferencia de aproximadamente el
0.015 % con respecto al resultado obtenido en el lı́mite de isoespin. Por lo tanto
concluimos que el lı́mite de la simetrı́a de isoespin es una excelente aproximación
para describir el decaimiento τ2π .
2.3.
El decaimiento τ2π en la CHPT
Con la idea de comparar los resultados del MDM y de la teorı́a de perturbaciones
quirales (CHPT), vamos a describir de manera breve el decaimiento τ2π en el contexto
de la CHPT, y en el lı́mite de la simetrı́a de isoespin. Al inicio de este capı́tulo
describimos de manera general el decaimiento τ2π , determinando la distribución del
cuadrado del invariante de masa del sistema π − π 0 y la región cinemática fı́sicamente
accesible RIII . Para concluir el análisis se require de un modelo especı́fico que permita
calcular el factor de forma f+ (t). Toda la información del modelo está contenida en
el factor de forma.
Mostrar los detalles del cálculo de esta cantidad en la CHPT sale del objetivo de
este trabajo de tesis, pero es suficiente para nosotros conocer su expresión
√ 2
h
i
2mρ
e π− π0 (t) + H
e K − K 0 (t) ,
f+C (t) = 2
exp
2
H
mρ − t − imρ ΓC
ρ (t)
(2.46)
la cual ha sido calculada por los autores de la referencia [10]. El factor de forma f+ (t) se
obtuvo uniendo la predicción de la CHPT a orden O(p4 ) con la contribución del mesón
22
vectorial ρ− (770), para describir la región de resonancia. El ancho de decaimiento que
depende de la energı́a, ΓC
ρ (t), tiene la forma
i
1 3
mρ t h 3
2
2
θ(t
−
4m
)
+
β
θ(t
−
4m
)
,
β
ΓC
(t)
=
−
0
−
0
π
K
ρ
96πFπ2 π π
2 K K
(2.47)
donde
4m2K 1/2
βK − K 0 = 1 −
,
(2.48)
t
e P − P 0 (P = π, K) tiene la siguiente estructura
mientras que la función de loops H
h m2 i
h 1 + β − 0 i
1 2
1
P P
P
e
−
0
1
−
ln
Re
−
β
ln
tβ
HP − P 0 =
−
0
P P
6(4π)2 Fπ2
2 P P
µ2
1 − βP − P 0
h m2 i 1
P
2
2
−2mP ln
+ (t − 6mP ) .
(2.49)
µ2
3
Observemos que en el presente caso las amplitudes incluyen loops de piones π − π 0 y
de kaones K − K 0 .
La constante de decaimiento del pion Fπ se toma igual a 92.4 MeV [10], y el resto
de los parámetros se fijan a los valores del PDG [1]. Con estos elementos podemos
calcular, en el marco de la CHPT, la fracción de decaimiento para el modo τ2π ,
Bτ (π − π 0 ) = (20.714 ± 0.073) % .
(2.50)
Este valor está por de bajo del resultado experimental y es apenas 2.16 % más grande
que la predicción del MDM, ecuación (2.37).
Resulta interesante e ilustrativo comparar las predicciones de ambos modelos para
el factor de forma f+ (t) y la función espectral v− (t). En la figura 2.4 se muestran estas
comparaciones. En la figura 2.4(A) se muestran las gráficas para la función espectral,
v− (t), donde la predicción del MDM es la curva continua y la predicción de la CHPT
es la curva entrecortada. Observemos que existen diferencias importantes en la región
t . 0.35 GeV2 , en la vecindad de la resonancia (0.54 GeV2 . t . 0.65 GeV2 ) y en
la región 0.7 GeV2 . t . 1.7 GeV2 . Las gráficas para el cuadrado del módulo del
factor de forma, |f+ (t)|2 , se muestran en la figura 2.4(B) donde la curva continua
corresponde al MDM y la curva entrecortada a la CHPT. Las discrepancias entre las
predicciones de ambos modelos se encuentran nuevamente en las mismas regiones.
La conclusión importante de esta sección es que tanto el MDM como la CHPT
subestiman el valor de la fracción de decaimiento para el modo τ2π cuando se considera únicamente la contribución de la resonancia ρ− (770). La adición de una segunda
resonancia, la ρ(1450), provee una estimación en mejor acuerdo con los datos experimentales.
23
Figura 2.4. Gráficas para la función espectral v− (t), (A), y el módulo al cuadrado del factor de
forma f+ (t), (B), en ambos casos la curva continua es la predicción del MDM y la curva entrecortada
la predicción de la CHPT.
2.4.
Correcciones radiativas al decaimiento τ2π
Hasta aquı́ hemos analizado el decaimiento τ2π al orden más bajo en la teorı́a de
perturbaciones. Un análisis más preciso de este modo de decaimiento requiere que las
correcciones radiativas sean calculadas por lo menos a orden α.
Debido a su naturaleza las correcciones radiativas se separan en dos tipos: las
correcciones radiativas electrodébiles, también denominadas de distancias cortas, y las
correcciones radiativas electromagnéticas, o de distancias largas. Las futuras mejoras
en las mediciones experimentales de las observables del decaimiento τ2π demandan que
las correcciones radiativas sean incluidas en nuestro análisis. En seguida se discutirán
de manera breve las correcciones radiativas electrodébiles al decaimiento τ2π . Debido a
que las correcciones radiativas electromagnéticas constituyen uno de los ejes centrales
de este trabajo de tesis su análisis se deja para el siguiente capı́tulo.
2.4.1.
Correcciones radiativas de distancias cortas
Las correcciones radiativas electrodébiles al decaimiento τ2π (en general para cualquier decaimiento semileptónico) se deben a la emisión y reabsorción de los bosones
de norma débiles y del bosón de Higgs. El intercambio del fotón contribuye sólo si la
24
Figura 2.5. Un ejemplo de los diagramas de Feynman que producen las correcciones radiativas
electrodébiles del decaimiento τ2π .
lı́nea interna del bosón débil cargado interviene1 . En la figura 2.5 se muestran algunos ejemplos de los diagramas que producen estas correcciones. Los bosones débiles
y el Higgs son partı́culas pesadas (sus masas son [1]: MW = 80.403 ± 0.029 GeV,
MZ = 91.1876 ± 0.0021 GeV y MH > 79.3 GeV), por consiguiente interactúan con la
estructura de altas energı́as, o de distancias cortas, del estado hadrónico final. Por esta
razón las correcciones radiativas electrodébiles se conocen también como correcciones
radiativas de distancias cortas.
Para calcular las correcciones radiativas electrodébiles a los decaimientos semileptónicos del τ − se emplea su estructura a nivel de quarks, τ − → ντ ūd(s). Las
contribuciones dominantes fueron calculadas hace varios años por los autores de las
referencias [12, 13]
SEW
3α
MZ2
=1+
(1 + 2Q) ln 2 = 1.01878 ,
4π
mτ
(2.51)
donde la constante de acoplamiento electromagnético α se evalúa en el esquema de
renormalización MS a la escala de la masa del τ − , α = α(mτ ) = 1/133.50(2) [14]. La
hipercarga Q del doblete débil en el estado final, ūd(s), es Q = (Qu + Qd )/2 = 1/6;
para el caso de los decaimientos leptónicos Q = −1/2, por tanto no hay un término
proporcional al logaritmo ln(MZ2 /m2τ ).
1
Recordemos que el decaimiento τ2π se produce por medio del intercambio del bosón débil cargado
W − (ver figura 2.2). En todo el análisis anterior se aproximó el propagador del bosón W − para ser
2
2
igual a igαβ /MW
, esta aproximación es razonable ya que MW
≫ t.
25
Las correcciones radiativas electrodébiles subdominantes de orden α se calcularon
en la referencia [15],
α(mτ ) 85 π 2 −
,
π
24
2
α(mτ ) 25 π 2 = 1+
−
,
π
8
2
sub,had
SEW
= 1+
sub,lep
SEW
(2.52)
(2.53)
para obtener estos resultados se despreciaron las masas de los fermiones del estado
final.
A las escalas de energı́a que se producen las interacciones responsables de las correcciones radiativas electrodébiles los efectos de QCD son importantes. Entonces, es
necesario incluir los efectos de QCD de distancias cortas en las correcciones radiativas
electrodébiles [16]. Después de incluir estos efectos el factor de corrección SEW toma
la siguiente forma
SEW
3α MZ2 h
αs i
=1+
ln 2 (1 + 2Q) − 2Q
.
4π
mτ
π
(2.54)
Observemos que existen dos términos proporcionales al logaritmo ln(MZ2 /m2τ ), uno
también es proporcional a α y el otro a ααs . Por medio de las ecuaciones del grupo
de renormalización (RGE) es posible incluir la contribución de todos los términos de
la forma αn lnn (MZ2 /m2τ ) [13] y α αsn lnn (MZ2 /m2τ ) [14], el resultado que se obtiene de
este procedimiento,
9 (1−ητ ) 9η 9 (1−ηb )
α(mb ) 19
αs (mb ) 19 τ α(MW ) 20
S(mτ , MZ ) =
α(mτ )
αs (mτ )
α(mb )
36
209 ηb 17
36 η
(1−ηW ) α(MZ )
αs (MZ ) 17 W
αs (MW )
×
αs (mb )
α(MW )
αs (MW )
= 1.01907 ± 0.00001 ,
(2.55)
reemplaza el término de la derecha de la ecuación (2.54). En la expresión de S(mτ , MZ )
se definieron
ητ
ηb
ηW
−1
αs (mτ )
75 αs (mτ )
=
1+
,
4π
76 α(mτ )
−1
69 αs (mb )
αs (mb )
1+
,
=
4π
80 α(mb )
−1
αs (MW )
75 αs (MW )
=
1+
.
4π
17 α(MW )
26
(2.56)
(2.57)
(2.58)
Finalmente concluimos que las correcciones radiativas electrodébiles, que incluyen
contribuciones subdominantes, efectos de QCD de distancias cortas, resumación2 de
los logaritmos grandes y resumación de los efectos de QCD, se pueden escribir como
[14]
sub,had
SEW = S(mτ , MZ )SEW
= 1.0201 ± 0.0003 .
(2.59)
En virtud de la universalidad de las interacciones débiles, las correcciones radiativas de distancias cortas son iguales para los decaimientos semileptónicos que conservan extrañeza (∆S = 0) y para los que cambian extrañeza (∆S = −1). Para un
decaimiento semileptónico especı́fico existen contribuciones adicionales de O(α) de-
bido a loops (adicionales) en el régimen de bajas energı́as (< mτ ) [13]. En general estas
contribuciones dependen de la estructura hadrónica del estado final. Para calcular las
contribuciones de los loops de baja energı́a se requiere un modelo para la estructura
hadrónica, el resultado no será proporcional a logaritmos grandes, y por lo tanto se
puede asignar un error de ±0.5 % [13] al factor SEW por el desconocimiento de dichas
contribuciones. De esta manera, el factor de corrección que resume adecuadamente
las correcciones radiativas de distancias cortas para decaimientos semileptónicos del
τ − especı́ficos es
SEW = 1.0201 ± 0.0003 ± 0.0010estruc−had .
(2.60)
Para incluir los efectos de las correcciones radiativas de distancias cortas, en el
decaimiento τ2π , a la distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema
π − π 0 se introduce el factor de corrección SEW ,
dΓτ (π − π 0 )
t 2 2t 3
G2 |Vud |2 m3τ SEW 1
−
1
+
β − 0 |f+ (t)|2 .
= F
dt
12(4π)3
m2τ
m2τ π π
(2.61)
La fracción de decaimiento aumenta aproximadamente un 2 %, para la predicción del
MDM con una sola resonancia
0.072
+ 0.076
Bτ (π − π 0 ) = (20.277 +
− 0.071 ) % −→ (20.685 − 0.075 ) % ,
(2.62)
y para la predicción de la CHPT
Bτ (π − π 0 ) = (20.714 ± 0.073) % −→ (21.130 ± 0.078) % .
2
(2.63)
La palabra resumación se emplea para denotar el proceso de sumar todas las contribuciones de
ordenes superiores, por medio de las RGE, de los logaritmos dominantes. Estas contribuciones son de
la forma αn lnn (MZ2 /m2τ ), mientras que para los efectos de QCD tienen la forma α αsn lnn (MZ2 /m2τ ).
27
Notemos que las correcciones radiativas electrodébiles son más importantes que los
efectos del rompimiento de la simetrı́a de isoespin. Vale la pena actualizar el valor de
la fracción de decaimiento que obtuvimos en el MDM con dos resonancias, ρ− (770) y
ρ− (1450),
Bτ (π − π 0 ) = (23.54 ± 0.64) % −→ (24.01 ± 0.65) % ,
(2.64)
este resultado es consistente con el valor experimental Bτexp (π − π 0 ) = 25.50±0.10 % [1]
en 2.3 desviaciones estándar. Cabe hacer notar que una discrepancia similar con los
datos experimentales se observa también en otros modelos. En particular la predicción
de CVC [4]
BτCVC (π − π 0 ) = (24.52 ± 0.31) % ,
(2.65)
la cual usa datos experimentales del factor de forma electromagnético del pion (f+ (t) =
√
2Fπ (t)), exhibe una discrepancia de 3.0 σ’s. El origen de este desacuerdo aún no se
entiende bien.
28
Capı́tulo 3
Correcciones radiativas al
decaimiento τ − → ντ π −π 0: parte
independiente de modelo
En este capı́tulo discutimos las correcciones radiativas electromagnéticas de O(α) al decaimiento τ − → ντ π − π 0 . El principal objetivo es comprobar que las divergencias infrarrojas, provenientes de las contribuciones virtuales y reales, se cancelan exactamente,
como lo establece el teorema de Bloch-Nordsieck. También analizamos la contribución
independiente de modelo de la función de corrección electromagnética Glow
EM (t), la cual
corrige el espectro de los piones del decaimiento τ − → ντ π − π 0 .
Las correcciones radiativas electromagnéticas al decaimiento τ2π , y en general para
cualquier proceso, tienen contribuciones virtuales y reales. Las contribuciones virtuales
se deben a la emisión y reabsorción de fotones virtuales, excluyendo aquellas en las
que interviene la lı́nea interna del bosón débil W − , mientras que las contribuciones
reales se deben a la emisión de fotones reales. A estas correcciones se les denomina
comúnmente correcciones radiativas de distancias largas, debido a que la interacción
electromagnética del estado hadrónico final se lleva a cabo con su estructura de bajas energı́as (distancias largas). En otras palabras, los fotones interactúan con las
propiedades electromagnéticas de los hadrones, y no con su estructura interna. En
el presente trabajo nos enfocamos únicamente en las correcciones radiativas electromagnéticas de orden α, las cuales resultan suficientes para la precisión actual de los
datos experimentales.
29
Las correcciones radiativas electromagnéticas virtuales surgen al considerar el decaimiento τ2π al siguiente orden en la teorı́a de perturbaciones. Por su parte, las
correcciones radiativas electromagnéticas reales se requieren debido a que los experimentos actuales no son capaces de distinguir entre el decaimiento τ2π y el decaimiento
radiativo τ − → ντ π − π 0 γ (τ2πγ ), es decir, los experimentos actuales observan el de-
caimiento inclusivo τ2π(γ) ≡ τ2π + τ2πγ . Ası́, por ejemplo, la fracción de decaimiento
que se mide experimentalmente es
Bτexp (π − π 0 ) = Bτ (π − π 0 ) + Bτ (π − π 0 γ) .
(3.1)
Los decaimientos τ2π y τ2πγ son, en principio, procesos diferentes. Cinemáticamente
el primero es un decaimiento a tres cuerpos y el segundo a cuatro cuerpos, ambos
son decaimientos semileptónicos pero en el modo τ2πγ se emite un fotón; sin embargo,
como se discutirá en los siguientes párrafos, estos decaimientos no se pueden separar
de manera consistente.
Al orden más bajo en la teorı́a de perturbaciones las observables del proceso
semileptónico τ2π son finitas. Por el contrario, si las correcciones electromagnéticas
virtuales de O(α) son incluidas dichas observables divergen. En efecto, la contribución
de las correcciones virtuales se puede factorizar como el producto de la contribución
al orden más bajo y un término que surge de los loops de fotones. Si ω es la energı́a
del fotón, entonces el término de los loops de fotones diverge para ω → ∞, diver-
gencia ultravioleta (UV), y para ω → 0, divergencia infrarroja (IR). Las observables
del proceso radiativo τ2πγ al orden más bajo en la teorı́a de perturbaciones no son
finitas. De acuerdo con los teoremas de Low [17] y Burnett-Kroll [18], las observables
del proceso radiativo pueden ser factorizadas como el producto de las correspondientes observables del proceso no radiativo al orden más bajo y un término debido a la
emisión del fotón. Este término diverge en el lı́mite infrarrojo ω → 0, es decir, para
la emisión de fotones de baja energı́a (fotones suaves). Resumiendo, las correcciones
electromagnéticas virtuales (de orden α) del proceso no radiativo τ2π y las observables
(al orden más bajo) del proceso radiativo τ2πγ no son finitas. Este hecho aparentemente contradice la renormalizabilidad del modelo estándar de las interacciones electrodébiles y fuertes, según la cual las correcciones radiativas de los procesos fı́sicos
ası́ como las observables de cualquier proceso fı́sico deben ser finitas y calculables.
El decaimiento τ2π a un loop, es decir, tomando en cuenta las correcciones electromagnéticas virtuales de O(α), posee dos tipos de singularidades: las ultravioletas
y las infrarrojas; mientras que el decaimiento τ2πγ , al orden más bajo en la teorı́a
30
de perturbaciones, únicamente diverge en el lı́mite infrarrojo. En el trabajo de tesis
presente no se calculan las correcciones radiativas electromagnéticas virtuales, en consecuencia no es necesario describir como se resuelve el problema de las divergencias
UV, basta comentar que éstas se aislan por medio de la regularización dimensional
[19]-[21] y posteriormente se eliminan mediante un proceso de renormalización. Las
divergencias IR se originan debido a que los fotones no son masivos. La eliminación
de las divergencias IR se realiza asignando una masa ficticia al fotón Mγ , posteriormente para recuperar el caso fı́sico de la QED se debe tomar el lı́mite Mγ → 0. El
teorema de Bloch-Nordsieck [22] garantiza que los términos singulares IR se cancelen
exactamente en la suma de correcciones reales y virtuales.
Para ilustrar la cancelación de las divergencias IR en el decaimiento inclusivo τ2π(γ) , describiremos esquemáticamente el cálculo de la fracción de decaimiento
Bτ (π − π 0 [γ]). Después de eliminar las divergencias UV presentes en las correcciones
electromagnéticas virtuales de O(α) por medio del proceso de renormalización, la
fracción de decaimiento del modo τ2π se puede escribir como
Bτ (π − π 0 ) = Bτ0 (π − π 0 )[1 + αV (Mγ )] ,
(3.2)
Bτ0 (π − π 0 ) denota la fracción de decaimiento al orden más bajo en la teorı́a de pertur-
baciones. El término V (Mγ ) es singular en Mγ = 0, especı́ficamente V (Mγ ) → −∞
conforme Mγ → 0. La fracción de decaimiento del modo radiativo τ2πγ , al orden más
bajo en la teorı́a de perturbaciones, está dada por
Bτ (π − π 0 γ) = Bτ0 (π − π 0 )αR(Mγ ) ,
(3.3)
R(Mγ ) es singular en Mγ = 0, en este caso R(Mγ ) → +∞ conforme Mγ → 0. Ası́ pues,
la expresión para la fracción de decaimiento del modo inclusivo τ2π(γ) es inmediata,
n
o
− 0
0
− 0
Bτ (π π [γ]) = Bτ (π π ) 1 + α[V (Mγ ) + R(Mγ )] .
(3.4)
Los términos singulares IR de las correcciones electromagnéticas virtuales V (Mγ ) y
reales R(Mγ ) se cancelan exactamente (teorema de Bloch-Nordsieck), de manera que
en el lı́mite fı́sico Mγ → 0 la suma V (Mγ ) + R(Mγ ) permanece finita y está bien
definida. Por lo tanto, la fracción de decaimiento Bτ (π − π 0 [γ]) es finita. En virtud
de las divergencias IR no es posible tratar por separado y de manera consistente los
decaimientos τ2π y τ2πγ .
Si se incluyen las correcciones radiativas electromagnéticas de órdenes superiores al decaimiento τ2π , el teorema de Bloch-Nordsieck [22] garantiza que las diver31
gencias IR se cancelen exactamente a todos los órdenes de la teorı́a de perturbaciones, orden por orden. En este caso el decaimiento inclusivo correcto es τ2π(γγ...) ≡
τ2π + τ2πγ + τ2πγγ + · · ·. Es importante señalar que los experimentos actuales han
medido únicamente el proceso inclusivo τ2π(γγ...) . Entonces, podemos concluir que las
observables del decaimiento a dos piones del τ − (τ2π(γγ...) ) son finitas a todos los
órdenes de la teorı́a de perturbaciones, en acuerdo con la renormalizabilidad del ME;
esta conclusión se puede generalizar para todos los decaimientos semileptónicos del
τ −.
Ahora, posiblemente en el futuro los experimentos sean capaces de distinguir los
modos radiativos τ2πγ , τ2πγγ , . . . del modo no radiativo τ2π ; en este escenario el problema de las divergencias IR aparentemente está de regreso. Sin embargo, fı́sicamente
es imposible que los experimentos tengan una resolución infinita en la energı́a del
fotón1 ; los experimentos sólo podrán detectar fotones con energı́as (ω) mayores a
cierto umbral ∆ω (cuyo valor especı́fico depende del experimento en particular). Por
lo tanto, se medirá el modo semileptónico τ2π junto con los modos radiativos en los
cuales la energı́a de los fotones sea menor que ∆ω, es decir, se medirá el decaimiento
inclusivo
τ2π(γγ...) |ω<∆ω = τ2π + τ2πγ |ω<∆ω + τ2πγγ |ω<∆ω + · · · .
(3.5)
Las singularidades IR ocurren en los modos radiativos en los cuales ω < ∆ω y no
en aquellos en los que ω > ∆ω, por consiguiente, la cancelación de las divergencias
IR a todos los órdenes de la teorı́a de perturbaciones en el modo inclusivo (3.5)
está asegurada. De esta manera, las observables de dicho proceso inclusivo permanecen
finitas y están bien definidas.
A partir de la discusión del párrafo anterior se puede intuir un resultado mucho más general: cualquier decaimiento con partı́culas cargadas, inicial y/o finales,
está acompañado por la emisión de fotones de muy baja energı́a, o en su defecto, por
fotones de todas las energı́as posibles. Este resultado de la electrodinámica cuántica,
que puede ser demostrado [23]-[28], tiene su correspondencia clásica, ya que según
la electrodinámica clásica una partı́cula cargada acelerada debe radiar. En particular, los decaimientos semileptónicos puros del τ − no existen, todos los decaimientos
semileptónicos observados del τ − están acompañados por la emisión de radiación.
1
Debido a que no se pueden detectar fotones de energı́a cero, o equivalentemente, fotones en
reposo.
32
Finalmente, el decaimiento radiativo τ2πγ es un proceso fı́sico, y por lo tanto
sus observables deben de ser finitas y calculables dentro del ME, como lo exige la
renormalizabilidad de esta teorı́a cuántica de campo. En principio, el proceso τ2πγ
incluye fotones de todas las energı́as posibles, 0 ≤ ω ≤ ωmáx ; esto inevitablemente nos
conduce a tener singularidades IR en las observables de dicho proceso. Sin embargo,
en realidad el proceso fı́sico es
τ2πγ |ω>∆ω ;
(3.6)
en otras palabras, los eventos del proceso τ2πγ que se pueden observar son aquellos
en los cuales la energı́a del fotón ω es mayor que la resolución ∆ω del dispositivo
experimental. Esta es acaso la única forma consistente de definir el modo radiativo
τ2πγ .
3.1.
Teorema de Low y de Burnett-Kroll
Para calcular las correcciones radiativas electromagnéticas de O(α) al decaimiento
τ2π es necesario determinar el decaimiento radiativo τ2πγ . El estudio adecuado de este
proceso radiativo se realiza con base en dos teoremas fundamentales (para los procesos
radiativos i → f +γ): el teorema de Low [17] y el teorema de Burnett-Kroll [18]. Dada
su importancia es conveniente describirlos de manera más precisa.
El teorema de Low [17] se puede enunciar de la siguiente manera: para cualquier
proceso radiativo i → f + γ la amplitud se puede expandir en potencias de la energı́a
del fotón ω, siendo el primer término de la expansión de orden ω −1 , el segundo de
orden ω 0 y ası́ sucesivamente. Los dos primeros términos de esta expansión están
determinados de manera exacta por la amplitud del proceso no radiativo i → f .
Especı́ficamente, la expansión en potencias de la energı́a del fotón es
M(i → f + γ) =
α−1
+ α0 ω 0 + α1 ω 1 + α2 ω 2 + · · · .
ω
(3.7)
Los valores de los términos α−1 y α0 , son únicos una vez que se conoce la amplitud
del proceso no radiativo y se exige que se cumpla la invariancia de norma electromagnética. En este sentido se dice que los términos α−1 y α0 son independientes del
modelo que describe el proceso radiativo. Las contribuciones de orden ω −1 y ω 0 se
deben exclusivamente a la emisión del fotón desde las partı́culas externas cargadas.
Estas contribuciones definen la llamada amplitud de Low,
MLow =
α−1
+ α0 ω 0 .
ω
33
(3.8)
Los términos de órdenes superiores a ω 0 tienen su origen en la emisión del fotón
desde los estados intermedios, y por lo tanto dependen del modelo que se emplea para
describir el proceso radiativo.
Claramente la amplitud diverge en ω = 0; para fotones de baja energı́a (fotones
suaves) el término de O(ω −1 ) es el dominante, mientras que la contribución de los
términos de órdenes superiores a ω 0 es muy pequeña. La situación se invierte para
fotones de altas energı́as (fotones duros), en este caso la contribución de los términos
de orden ω, ω 2 , . . . puede dominar sobre la contribución de Low.
El teorema de Burnett-Kroll [18] es la extensión inmediata del teorema de Low,
y establece que para cualquier proceso radiativo i → f + γ la probabilidad de de-
caimiento parcialmente2 polarizada se puede escribir en potencias de la energı́a del
fotón como
X
spin i,f
|M(i → f + γ)|2 =
β−2
+ β0 ω 0 + β1 ω + β2 ω 2 + · · · .
ω2
(3.9)
Observemos que la expansión no contiene un término de orden ω −1 , el cual resultarı́a
de la interferencia de los términos de orden ω −1 y ω 0 de la amplitud (3.7), este resultado fue demostrado explı́citamente por los autores de la referencia [29]. El coeficiente
β−2 , que surge del cuadrado del término de O(ω −1 ) en la amplitud (3.7), se puede
determinar exactamente a partir de la probabilidad de decaimiento no polarizada del
proceso no radiativo i → f , es decir, el término de orden ω −2 de la expansión de
Burnett-Kroll es independiente de modelo. El coeficiente β0 contiene la contribución
del término de orden ω 0 de la amplitud (3.7), y también la contribución de la interferencia entre los términos de orden ω −1 y ω. Obviamente, este coeficiente tiene una
parte que es independiente de modelo y otra que es dependiente de modelo.
En general, los términos de órdenes superiores (ω, ω 2 , . . . ) en la expansión de
Burnett-Kroll son dependientes de modelo. Para fotones suaves la contribución del
término de orden ω −2 es la dominante, mientras que para fotones duros la contribución
dominante viene de los términos de órdenes superiores a ω 0 . Finalmente, debido a que
el término singular IR en la probabilidad de decaimiento parcialmente polarizada,
ecuación (3.9), es de orden ω −2 se sigue que la divergencia IR de la razón diferencial
de decaimiento debe de ser logarı́tmica e independiente de modelo.
2
En este caso, se suma sobre los estados de espin de las partı́culas inicial y finales, excepto sobre
la polarización del fotón.
34
3.2.
Correcciones radiativas electromagnéticas virtuales
Hasta ahora hemos expuesto de manera muy general las propiedades de las correcciones radiativas electromagnéticas virtuales de orden α al decaimiento τ2π . En esta
sección el tema se discute de manera más amplia.
Los diagramas que producen las correcciones virtuales de O(α) al decaimiento
τ2π , en el MDM, se muestran de manera esquemática en la figura 3.1. El cı́rculo
simboliza la estructura del vértice hadrónico π − π 0 . El cálculo de estas correcciones
es sumamente complicado y largo, y no se realizó en este trabajo de tesis. Nuestra
discusión se basa en los resultados que actualmente existen en la literatura [10], los
cuales fueron obtenidos en el contexto de la CHPT.
Tomando en cuenta las correcciones electromagnéticas virtuales de orden α la
amplitud del decaimiento τ2π se puede escribir como
− 0
(1)
− 0
Mτ (π − π 0 ) = M(0)
τ (π π ) + Mτ (π π ) ,
(3.10)
donde (en el lı́mite de la simetrı́a de isoespin):
− 0
M(0)
τ (π π ) =
GF Vud
√ f+ (s)(pπ− − pπ0 )α lα
2
(3.11)
(1)
es la amplitud al orden más bajo en la teorı́a de perturbaciones y Mτ (π − π 0 ) es la
amplitud de los diagramas que contribuyen a las correcciones virtuales. El cálculo de
las correcciones radiativas se llevó a cabo en las referencias [10, 11] usando la aproximación de interacción débil local (corriente×corriente). El vértice electromagnético
del π − fue tomado como puntual de acuerdo con la electrodinámica escalar. Después
de efectuar el proceso de remoción de las divergencias UV, la amplitud (3.10) queda
determinada por la siguiente expresión [10]
Mτ (π − π 0 ) =
h
i
GF Vud
elm
√ (pπ− − pπ0 ) · l f+ (t) 1 + floop
(u, Mγ ) .
2
(3.12)
Aquı́, el factor de forma se ha redefinido de la siguiente manera:
elm
f+ (t) −→ f+ (t) + flocal
.
(3.13)
Las correcciones electromagnéticas de orden α, finitas en el UV pero divergentes en el
elm
IR, están contenidas en la función floop
(u, Mγ ), donde Mγ (la masa ficticia del fotón)
35
Figura 3.1. Diagramas de Feynman que contribuyen a las correcciones electromagnéticas virtuales
de O(α) para el decaimiento τ2π .
elm
es el regulador de la divergencia IR. El hecho de que floop
(u, Mγ ) no dependa del
invariante t se debe a que el cálculo de la referencia [10] se realizó en el lı́mite t → 0.
Claramente, esta es una aproximación que amerita una evaluación independiente.
La razón diferencial de decaimiento para el modo τ2π , incluyendo las correcciones
electromagnéticas virtuales de O(α), es inmediata
h
i
G2 |Vud |2 SEW
d2 Γτ (π − π 0 )
2 +
elm
|f
(t)|
D
(t,
u)
1
+
2f
(u,
M
)
,
= F
+
γ
loop
du dt
2(4π)3 m3τ
(3.14)
elm
donde se ha despreciado el término proporcional a [floop
(u, Mγ )]2 ya que es de orden
α2 .
Para tomar en cuenta los efectos de las correcciones radiativas de distancias cortas
hemos incluido el factor SEW . Por supuesto, las contribuciones de loops electrodébiles
de bajas energı́as se han despreciado ya que estas son subdominantes3 . El cálculo de la
elm
elm
función de los loops floop
(u, Mγ ) y de la amplitud local flocal
en el contexto del MDM
es deseable, aunque no es indispensable para nuestros propósitos. Es conveniente
3
Ver la sección 2.4.1 sobre las correcciones radiativas de distancias cortas.
36
recordar que la razón diferencial de decaimiento, para el modo τ2π , al orden más bajo
de la teorı́a de perturbaciones está dada por
(0)
d2 Γτ (π − π 0 )
G2 |Vud |2
= F 3 3 |f+ (t)|2 D+ (t, u) .
du dt
2(4π) mτ
De acuerdo con el cálculo de la referencia [10], basado en la CHPT, la amplitud
local es
elm
flocal
m2
m2
3 1 m2τ
− ln 2 − ln 2π + 2 ln τ2
2 2
µ
µ
mρ
h
2
1 er i
r
2
−(4π) − 2K12 (µ) + X1 + X6 (µ)
,
3
2
α
=
4π
−
(3.15)
aquı́ µ es la escala de renormalización de QED, y se escoge para estar en el régimen
r
e6r son constantes de
de energı́as del decaimiento τ2π (µ = mρ ). Además, K12
, X1 y X
baja energı́a que aparecen en el lagrangiano efectivo de la CHPT. Para la constante
r
K12
existe una regla de suma [30], a partir de la cual se obtiene [10] el siguiente valor
r
K12
(mρ ) = −(3 ± 1) × 10−3 ;
e6r no han sido calculadas, o estimadas, y sólo se
por su parte, las constantes X1 y X
conocen las cotas que sugiere el análisis dimensional [10],
1
,
(4π)2
5
e6r (mρ )| ≤
.
|X
(4π)2
|X1 | ≤
elm
De manera ingenua, podemos separar la amplitud local flocal
en dos partes, una que no
elm
depende del modelo que se emplea para calcularla, flocal
(m.i.), y otra que depende de
elm
dicho modelo, flocal
(m.d.). La parte dependiente de modelo la constituyen los términos
con las constantes de baja energı́a de la expansión quiral, ver ecuación (3.15), mientras
que el resto corresponde a la parte independiente de modelo. Ambas contribuciones
e6r (mρ ) = 5/(4π)2 se
son muy pequeñas, de hecho si asumimos que X1 = 1/(4π)2 y X
obtienen los valores
elm
flocal
(m.i.)
α
m2π
m2τ
3 1 m2τ
=
− − ln 2 − ln 2 + 2 ln 2
4π
2 2
µ
µ
mρ
≃ 2.56 × 10−3 ,
h
α
2
1 er i
elm
r
2
flocal (m.d.) =
− (4π) − 2K12 (µ) + X1 + X6 (µ)
4π
3
2
−3
≃ −2.39 × 10 ,
elm
flocal
≃ 1.7 × 10−4 .
(3.16)
(3.17)
(3.18)
37
Se espera que los resultados de un cálculo independiente, en el MDM, no difieran sigelm
elm
nificativamente para flocal
(m.i.), no ası́ para flocal
(m.d.), el cual debe ser diferente. No
elm
obstante, es razonable suponer que en ambos modelos la contribución de flocal
(m.d.)
elm
es numéricamente similar. En el MDM la expresión para flocal
(m.d.) dependerá de
parámetros propios del modelo, tales como la constante de acoplamiento Gρππ y el
momento dipolar magnético del mesón vectorial ρ− (770).
elm
elm
A diferencia de la corrección local flocal
la función floop
(u, Mγ ) no depende del
modelo que se emplea para el cálculo. Ası́ lo garantizan los teoremas de Low [17],
Burnett-Kroll y Bloch-Nordsieck [22]. En efecto, de acuerdo con los teoremas de Low
y Burnett-Kroll el término singular en k = 0 de la razón diferencial de decaimiento del
modo radiativo τ2πγ , d2 Γτ (π − π 0 γ)/dudt, es proporcional a la razón diferencial de decaimiento del modo no radiativo τ2π al orden más bajo en la teorı́a de perturbaciones,
(0)
d2 Γτ (π − π 0 )/dudt, especı́ficamente
(0)
d2 Γτ (π − π 0 γ) −2
d2 Γτ (π − π 0 )
[k ] =
× T (e, k, ǫ∗ , pτ , pπ− )[k −2 ] .
du dt
du dt
(3.19)
El término T es de orden α y sólo depende de la carga eléctrica (e), del momento (k) y
vector de polarización (ǫ) del fotón, y de los momentos del τ − (pτ ) y del pion cargado
(pπ− ). En consecuencia, el término T es independiente del modelo que se emplea
para describir los modos radiativo τ2πγ y no radiativo τ2π ; por supuesto, el factor de
forma f+ (t) depende del modelo que se esté empleando, sin embargo a este nivel la
forma explı́cita de f+ (t) no es relevante. El teorema de Bloch-Nordsieck establece que
elm
(u, Mγ ) se deben
las divergencias IR de los términos T (e, k, ǫ∗ , pτ , pπ− )[k −2 ] y 2floop
cancelar exactamente. Dado que el término T (e, k, ǫ∗ , pτ , pπ− )[k −2 ] es independiente
elm
de modelo, se sigue que la función floop
(u, Mγ ) también debe ser independiente de
modelo. Entonces, podemos concluir que la función de los loops de fotones que se
determinó en la CHPT [10] es válida para cualquier modelo. Dicha función está dada
por
elm
floop
(u, Mγ )
α
(u − m2π )A(u) + (u − m2τ − m2π )B(u)
=
4π
mτ mπ
2
2
+2(mτ + mπ − u)C(u, Mγ ) + 2 ln
.
Mγ2
Las funciones A(u), B(u) y C(u, Mγ ) tienen las siguientes expresiones
(2 − yτ )xτ
1
1
− ln(rτ ) + √
A(u) =
ln(xτ ) ,
u
2
rτ (1 − x2τ )
38
(3.20)
(3.21)
(2rτ − yτ )xτ
1 1
ln(rτ ) + √
B(u) =
ln(xτ ) ,
(3.22)
u 2
rτ (1 − x2τ )
1 2
π2
xτ
2
−
ln
(x
)
+
2
ln(x
)
ln(1
−
x
)
−
C(u, Mγ ) =
τ
τ
τ
mτ mπ (1 − x2τ )
2
6
√
1
xτ
+ ln2 (rτ ) + Li2 (x2τ ) + Li2 1 − √
+ Li2 (1 − xτ rτ )
8
rτ
Mγ2
− ln(xτ ) ln
,
(3.23)
mτ mπ
donde
rτ =
m2τ
,
m2π
u
y τ = 1 + rτ − 2 ,
mπ
p
yτ − yτ2 − 4rτ
xτ =
;
√
2 rτ
(3.24)
(3.25)
(3.26)
la definición de la función dilogaritmo Li2 (z) se da en el apéndice A.3. Notemos que los
elm
términos singulares de la función de los loops, floop
(u, Mγ ), divergen logarı́tmicamente
conforme Mγ → 0.
3.3.
Correcciones electromagnéticas debidas a fotones reales
En esta sección analizaremos las correcciones electromagnéticas reales de O(α) al
decaimiento τ2π , las cuales se deben a la inclusión de los eventos radiativos τ2πγ en
las observables del modo no radiativo τ2π (como se discutió al inicio de este capı́tulo).
Nuestro principal objetivo es comprobar que en el modo inclusivo τ2π(γ) la cancelación
de las divergencias IR es exacta, de manera que sus observables están bien definidas
y permanecen finitas. Por tanto, nos enfocaremos en la emisión de fotones suaves, es
decir, en la contribución de O(ω −1 ) de la amplitud, pues es en el régimen de bajas
energı́as para los fotones donde las divergencias IR ocurren. Este análisis se basa
en los resultados que fueron obtenidos por los autores de las referencias [10, 11]; el
análisis completo del modo radiativo τ2πγ se deja para el siguiente capı́tulo.
En el MDM los diagramas que contribuyen al decaimiento radiativo τ2πγ se muestran de manera simbólica en la figura 3.2. El cı́rculo representa la estructura hadrónica
39
Figura 3.2. Diagramas de Feynman para el decaimiento radiativo τ2πγ . En el MDM los diagramas
(a), (b) y (c) constituyen la contribución denominada Bremsstrahlung.
intermedia. Los primeros dos diagramas, 3.2(a) y 3.2(b), corresponden a la emisión
del fotón desde las partı́culas externas cargadas y contienen los términos singulares
en ω = 0, mientras que el tercero, 3.2(c), llamado diagrama de contacto, surge de
reemplazar el momento del pion cargado por pµπ− − ieAµ .
El punto de partida de nuestro análisis será la amplitud del modo radiativo τ2πγ .
En este caso sólo estamos interesados en el primer término de la expansión de Low,
− 0
Mτ (π π γ) =
− 0
eM(0)
τ (π π )
ǫ∗ · p π −
ǫ∗ · p τ
−
k · pπ −
k · pτ
+ O(k 0 ) ,
(3.27)
(0)
la definición de Mτ (π − π 0 ) se da en la ecuación (3.11). Se debe tener presente lo
(0)
siguiente: Mτ (π − π 0 ) denota la amplitud del modo no radiativo τ2π al orden más
bajo en la teorı́a de perturbaciones, sin embargo no es exactamente ésta, ya que la
cinemática es diferente. Por ejemplo, la conservación del momento-energı́a en el caso
radiativo está dada por la relación pτ = pν + pπ− + pπ0 + k, mientras que para el caso
no radiativo la relación toma la forma pτ = pν + pπ− + pπ0 . Notemos que el término
de orden ω −1 de la amplitud Mτ (π − π 0 γ) es explı́citamente invariante de norma.
Para tratar el término singular en k = 0 se asigna una masa ficticia Mγ al fotón.
40
Si se recalcula la amplitud de decaimiento teniendo en cuenta que k 2 = Mγ2 se obtiene
− 0
Mτ (π π γ) =
− 0
eM(0)
τ (π π )
ǫ∗ · p π −
ǫ∗ · p τ
−
k · pπ− + 12 Mγ2 k · pτ − 21 Mγ2
+ O(k 0 ) .
(3.28)
La probabilidad de decaimiento no polarizada se puede calcular fácilmente
|Mτ (π − π 0 γ)|2 =
1 X
(0)
(3.29)
|Mτ (π − π 0 γ)|2 = e2 |Mτ (π − π 0 )|2
2 s ,s ,s
τ ν γ
2
∗
∗
X −
ǫ
·
p
ǫ
·
p
τ
π
−1
×
−
k · p − + 1 M 2 k · p − 1 M 2 + O(k ) ,
τ
π
γ
γ
2
2
s
γ
el primer término de la última igualdad, además de los términos de orden k −2 , contiene
términos de orden k −1 y k 0 , debido a que4
(0)
|Mτ (π − π 0 )|2
=
2G2F |Vud |2 |f+ (t)|2
h
i
D (t, u) + O(k) .
+
(3.30)
Los términos de orden k −1 con este origen se cancelan con los términos del mismo
orden representados por O(k −1 ) en la ecuación (3.29), como lo exige el teorema de
Burnett-Kroll.
En el sistema de reposo del τ − la razón diferencial de decaimiento para el proceso
radiativo τ2πγ está dada por
2αG2F |Vud |2 SEW
2pτ · pπ−
2
d Γτ (π π γ) =
|f
(t)|
D(t,
u)
+
1
(2π)7 mτ
(k · pτ − 2 Mγ2 )(k · pπ− + 12 Mγ2 )
m2π
m2τ
d5 Φ + O(k 0 ) ,
(3.31)
−
−
(k · pτ − 21 Mγ2 )2 (k · pπ− + 21 Mγ2 )2
5
− 0
hemos redefinido D+ (t, u) ≡ D(t, u), y el elemento diferencial de espacio fase d5 Φ se
definió como
d5 Φ = δ 4 (pτ − pν − pπ− − pπ0 − k)
d3 p ν d3 p π − d3 p π 0 d3 k
.
2Eν 2Eπ− 2Eπ0 2ω
(3.32)
Para obtener la expresión de la razón diferencial de decaimiento se han despreciado
términos que se anulan en el lı́mite fı́sico Mγ → 0. En lo sucesivo se despreciarán
todos estos tipos de términos. Como en el caso de las correcciones electromagnéticas
virtuales, se ha incluido el factor SEW para tomar en cuenta los efectos de las correcciones radiativas de distancias cortas.
4
(0)
Para el modo no radiativo τ2π se tiene que |Mτ (π − π 0 )|2 = 2G2F |Vud |2 |f+ (t)|2 D+ (t, u).
41
Es importante señalar que la ecuación (3.31), obtenida por los autores de las
referencias [10, 11], resulta de sumar únicamente sobre los estados de polarización
transversales del fotón, esto significa que se usa la relación
X
sγ
ǫ∗α ǫβ = −gαβ .
(3.33)
Como es sabido una consecuencia de tener fotones masivos es que éstos se pueden
polarizar tanto transversalmente como longitudinalmente. Por lo tanto, en la norma
de Coester [31] (ǫ0 = 0), la relación correcta que satisfacen los vectores de polarización
del fotón (cuando se suma sobre las polarizaciones) es
X
sγ
(ǫ∗ · a)(ǫ · b) = ~a · ~b −
(~k · ~a)(~k · ~b)
,
ω2
(3.34)
a = (a0 , ~a) y b = (b0 , ~b) denotan dos cuadrivectores arbitrarios. La energı́a del fotón
satisface la relación: ω 2 = |~k|2 + M 2 . Evidentemente, una desventaja de esta relación
γ
es que no conserva explı́citamente la invariancia de Lorentz. Ası́ que, el cálculo se debe
realizar en un sistema de referencia especı́fico y con una representación particular de
los vectores de polarización del fotón; esto por lo general resulta ser complicado. Sin
embargo, vale la pena investigar cuales serán las correcciones debidas a la inclusión
del estado de polarización longitudinal del fotón, es decir, las correcciones por el uso
de (3.34) en lugar de (3.33). Esto se deja para un futuro trabajo.
La razón diferencial de decaimiento para el proceso τ2πγ se puede escribir en
términos de cinco variables cinemáticas independientes, sin embargo, para el término
singular IR hemos encontrado conveniente conservar la forma general del elemento
diferencial de espacio fase d5 Φ, de esta forma su integración se simplificará considerablemente. Es útil conocer la expresión del elemento de volumen d5 Φ para un conjunto
particular de variables cinemáticas, el conjunto más apropiado es el formado por los
invariantes t, u ≡ (pτ − pπ− )2 y x ≡ (k + pν )2 , y los ángulos azimutal del neutrino
θν y polar del pion cargado φπ− , ambos definidos en el sistema de reposo del τ − . En
términos de estas variables la expresión del elemento diferencial de espacio fase es
d5 Φ =
π2
dφπ− d cos θν dx du dt .
25 m2τ
(3.35)
Observemos que la invariancia de Lorentz es explı́cita en la expresión general, ecuación
(3.32), no ası́ en esta expresión particular.
42
Integrando la razón diferencial de decaimiento sobre los momentos del neutrino y
del fotón se obtiene
h
αG2F |Vud |2 SEW
2
|f+ (t)| D(t, u) 2pτ · pπ− I11 (t, u, x)
d Γτ (π π γ) =
8(2π)4 m3τ
i
−m2τ I20 (t, u, x) − m2π I02 (t, u, x) dx du dt + O(k 0 ) , (3.36)
3
− 0
se ha definido
1
Imn (t, u, x) =
2π
Z
d3 pν d3 k δ 4 (pτ − pν − pπ− − pπ0 − k)
.
2Eν 2ω (k · pτ − 21 Mγ2 )m (k · pπ− + 12 Mγ2 )n
(3.37)
Además, para obtener la expresión (3.36) se empleó la siguiente relación
π2
d3 p π − d3 p π 0
dx du dt ,
=
2Eπ− 2Eπ0
4m2τ
(3.38)
la cual se puede demostrar fácilmente eligiendo los ejes coordenados de manera apropiada en el sistema de reposo del τ − .
Para la integración adecuada sobre las variables t, u y x es indispensable describir
de manera precisa la región cinemática fı́sicamente accesible. Sea DIV la región cine-
mática fı́sica para las variables t, u y x; esta región se puede dividir en dos regiones
DIII y DIV\III , de tal manera que DIII ∪ DIV\III = DIV . La proyección de DIII sobre
el plano t − u corresponde a la región cinemática RIII accesible en el decaimiento
no radiativo τ2π , la cual ha sido definida en el capı́tulo anterior, mientras que la
proyección de DIV\III sobre el plano t−u define una región que se denotará por RIV\III ,
y que sólo es accesible en el decaimiento radiativo τ2πγ . Obviamente se satisface que
RIII ∪ RIV\III = RIV , donde RIV es la proyección de DIV sobre el plano t-u. La región
cinemática en el decaimiento τ2πγ (para las variables t, u y x) está definida por medio
del dominio
DIV = {mı́n[t] ≤ t ≤ máx[t], mı́n[u](t) ≤ u ≤ máx[u](t),
mı́n[x](t, u) ≤ x ≤ máx[x](t, u)} ,
(3.39)
los mı́nimos y máximos de las variables son
mı́n[t] = 4m2π ,
(3.40)
máx[t] = m2τ ,
(3.41)
mı́n[u](t) = u− (t)
∀
4m2π ≤ t ≤ m2τ ,
(
(mτ − mπ )2
∀
4m2π ≤ t ≤ t∗ ,
máx[u](t) =
u+ (t)
∀
t∗ ≤ t ≤ m2τ ,
43
(3.42)
(3.43)
u @GeV2D
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t @GeV2D
Figura 3.3. Gráfica del dominio cinemático RIV del decaimiento τ2πγ . La región clara representa
el dominio RIII que también es accesible para el decaimiento no radiativo τ2π , y la región oscura
representa el dominio RIV\III que sólo es accesible en el decaimiento radiativo τ2πγ .
mı́n[x](t, u) =
(
Mγ2
∀
x− (t, u)
máx[x](t, u) = x+ (t, u)
∀
∀
(t, u) ∈ RIII ,
(t, u) ∈ RIV\III ,
(t, u) ∈ RIV .
(3.44)
(3.45)
Las expresiones para las funciones u± (t) se dieron en el capı́tulo anterior, t∗ =
m2τ mπ /(mτ − mπ ) es el valor que maximiza a u+ (t), y las funciones x± (t, u) están
dadas por
x± (t, u) =
o
1 n 2 2
2
2
1/2
2
2
−
0
2m
(m
+
t)
−
t(m
+
m
−
u)
±
tβ
λ
(u,
m
,
m
)
. (3.46)
π π
π
τ
τ
π
τ
π
2m2π
Las regiones DIII y DIV\III también se pueden escribir como dominios
DIII = {4m2π ≤ t ≤ m2τ , u− (t) ≤ u ≤ u+ (t), Mγ2 ≤ x ≤ x+ (t, u)} ,
DIV\III = {4m2π ≤ t ≤ t∗ , u+ (t) < u ≤ (mτ − mπ )2 , x− (t, u) ≤ x ≤ x+ (t, u)} ,
sus correspondientes proyecciones sobre el plano t-u, RIII y RIV\III , se muestran en
la figura 3.3. En la región DIV\III la función x− (t, u) es estrictamente mayor que cero,
44
x− (t, u) > 0, en consecuencia esta región fı́sica está libre de divergencias IR. Las
divergencias IR surgen en la región DIII cuando se toma el lı́mite fı́sico Mγ → 0.
Para integrar sobre la variable x separamos el término principal de la expansión
de Burnett-Kroll, de la razón diferencial de decaimiento, en dos partes, una en la cual
las variables (t, u, x) ∈ DIII y otra en la cual (t, u, x) ∈ DIV\III ,
d Γτ (π π γ) = d Γτ (π π γ)[k ]
3
− 0
3
− 0
−2
+ d Γτ (π π γ)[k ]
3
DIII
− 0
−2
DIV\III
+ O(k 0 ) . (3.47)
Realizando la integración sobre x, el cuadrado del invariante de masa del sistema
ντ − γ, los términos principales de la expansión de Burnett-Kroll toman la forma
d Γτ (π π γ)[k ]
2
− 0
−2
d Γτ (π π γ)[k ]
2
− 0
RIII
−2
RIV\III
αG2F |Vud |2 SEW
2
|f+ (t)| D(t, u) J11 (t, u, Mγ )
=
8(2π)4 m3τ
+J20 (t, u, Mγ ) + J02 (t, u, Mγ ) du dt ,
(3.48)
αG2F |Vud |2 SEW
2
=
|f+ (t)| D(t, u) K11 (t, u)
8(2π)4 m3τ
+K20 (t, u) + K02 (t, u) du dt .
(3.49)
Las funciones Jmn (t, u, Mγ ) y Kmn (t, u) están dadas por
Jmn (t, u, Mγ ) =
Z
x+ (t,u)
dx cmn Imn (t, u, x) ,
(3.50)
dx cmn Imn (t, u, x) ,
(3.51)
Mγ2
Kmn (t, u) =
Z
x+ (t,u)
x− (t,u)
donde
cmn



 2pτ · pπ− para m = n = 1 ,
=
−m2τ
para m = 2, n = 0 ,


 −m2
para m = 0, n = 2 .
π
(3.52)
Debido a que la razón diferencial de decaimiento se está calculando en el sistema de
reposo de la partı́cula inicial, τ − , es natural desear calcular las funciones Jmn y Kmn en
este sistema de referencia; sin embargo, el cálculo resulta sumamente complicado. Para
resolver este incoveniente observemos que las funciones Jmn y Kmn son invariantes
de Lorentz, ya que las funciones Imn también lo son, por lo tanto se pueden calcular
en cualquier otro sistema de referencia. El más adecuado es el sistema de reposo del
neutrino-fotón. En este sistema de referencia el cálculo no es demasiado complicado;
45
para la región cinemática RIII se obtienen las funciones
2x+ (t, u)γ̄ 1
1 + β̄
J11 (t, u, Mγ ) = ln
ln
Mγ
β̄
1 − β̄
1
−1
−1
1
2
2
− Li2 (Y1 ) + ln
− ln
, (3.53)
+ Li2
Y2
4Y2
4Y1
β̄
Mγ (m2τ − t)
J20 (t, u, Mγ ) = ln
,
(3.54)
mτ x+ (t, u)
Mγ (m2τ + m2π − t − u)
,
(3.55)
J02 (t, u, Mγ ) = ln
mπ x+ (t, u)
mientras que para la región RIV\III se obtienen
1 + β̄
x+ (t, u) 1
ln
K11 (t, u) = ln
x (t, u) β̄
1 − β̄
− −1
−1
1
1
2
2
− Li2 (Y1 ) + ln
− ln
,
+ Li2
Y2
4Y2
4Y1
β̄
x− (t, u)
K20 (t, u) = K02 (t, u) = ln
.
x+ (t, u)
Se han definido
Y1,2 =
h
i1/2
1 − 2ᾱ ± (1 − 2ᾱ) − (1 − β̄ )
2
1 + β̄
(3.56)
(3.57)
2
,
(m2τ − t)(m2τ + m2π − t − u)λ(m2τ , m2π , u)
,
2δ̄(m2τ + m2π − u)
λ1/2 (m2 , m2 , u)
,
β̄ = − 2 τ 2 π
mτ + mπ − u
1/2
1 λ(m2τ , m2π , u)
,
γ̄ =
2
δ̄
δ̄ = t[u − u− (t)][u+ (t) − u] .
ᾱ =
(3.58)
(3.59)
(3.60)
(3.61)
(3.62)
Los términos singulares en el lı́mite infrarrojo Mγ → 0 se encuentran en las funciones
Jmn , dichos términos divergen logarı́tmicamente. Por su parte las funciones Kmn son
finitas y están bien definidas en todo el dominio cinemático RIV\III .
Para llevar a cabo las correcciones radiativas electromagnéticas reales al decaimien-
to τ2π se escribe la razón diferencial de decaimiento para el modo radiativo τ2πγ de la
siguiente manera
h
i
d2 Γτ (π − π 0 γ)
G2 |Vud |2 SEW
2
|f
(t)|
D(t,
u)
g
(t,
u,
M
)
+
g
(t,
u)
, (3.63)
= F
+
brems
γ
rest
du dt
2(4π)3 m3τ
46
donde
gbrems (t, u, Mγ ) =
i
αh
J11 (t, u, Mγ ) + J20 (t, u, Mγ ) + J02 (t, u, Mγ ) .
π
(3.64)
La función grest (t, u) contiene la contribución de todos los términos de la expansión de Burnett-Kroll excepto la del término singular infrarrojo, gbrems (t, u, Mγ ). En
todo el cálculo de la función gbrems (t, u, Mγ ) no fue necesario utilizar un modelo
particular para describir el decaimiento radiativo τ2πγ , consecuentemente la función
gbrems (t, u, Mγ ) es independiente de modelo. Los diagramas que contribuyen a esta función son aquellos en los que el fotón se emite desde las partı́culas externas cargadas,
diagramas 3.2(a) y 3.2(b). El cálculo de la función grest (t, u) es mucho más complicado, pues este requiere una descripción precisa del modo radiativo τ2πγ , lo cual sólo es
posible en un modelo de bajas energı́as (< mτ ) para las interacciones electrodébiles
y fuertes que están presentes en dicho modo de decaimiento. Por supuesto, la función
grest (t, u) va a depender del modelo que se utilice para describir el decaimiento τ2πγ ,
los diagramas que contribuyen a esta función se representan de manera simbólica por
el diagrama 3.2(d); en este caso no es posible obtener una expresión analı́tica y la
función grest (t, u) se tiene que evaluar numéricamente. El cálculo explı́cito se deja para
los siguientes dos capı́tulos.
Finalmente, podemos determinar la razón diferencial de decaimiento para el modo
inclusivo τ2π(γ) , sumando la contribución del modo τ2π (que incluye las correcciones
electromagnéticas virtuales de orden α) y la contribución del modo radiativo τ2πγ :
d2 Γτ (π − π 0 [γ])
G2F |Vud |2 SEW
|f+ (t)|2 D(t, u)
(3.65)
=
3
3
du dt
2(4π) mτ
h
i
elm
× 1 + 2floop
(u, Mγ ) + gbrems (t, u, Mγ ) + grest (t, u) .
Es fácil comprobar que los términos singulares IR de las correcciones electromagnéticas virtuales y reales (de orden α) se cancelan exactamente, ya que
2
4x+ (t, u)γ̄ 2
α 1
elm
(3.66)
2floop (u, Mγ ) + gbrems (t, u, Mγ ) =
ln(xτ ) ln
π β̄
mτ mπ
x2+ (t, u)
− ln
(m2 − t)(m2π yτ − t)
2
τ xτ
1
1
2 2
− Li2 (Y1 ) − ln
ln(xτ Y2 )
+ Li2
Y2
16
β̄
1
1 2
1
2
+ (u − mπ )A(u) − mπ yτ B(u) − C(u) ,
2
2
β̄
47
elm
como lo exige el teorema de Bloch-Nordsieck. De esta manera, la suma 2floop
(u, Mγ )+
gbrems (t, u, Mγ ) es finita y está bien definida en el lı́mite fı́sico Mγ → 0. En la expresión
(3.66) se definió
π2 1 2
1
+ ln (rτ )
C(u) = − ln2 (xτ ) + 2 ln(xτ ) ln(1 − x2τ ) −
2
6
8
√
x
τ
+Li2 (x2τ ) + Li2 1 − √
+ Li2 (1 − xτ rτ ) .
rτ
(3.67)
Siguiendo la notación de la referencia [10], definimos la función
elm
∆(t, u) = 1 + 2floop
(u, Mγ ) + gbrems (t, u, Mγ ) + grest (t, u) ,
(3.68)
esta función no depende de la masa ficticia del fotón Mγ y por lo tanto está libre
de divergencias IR. Integrando la razón diferencial de decaimiento (3.65) sobre la
variable u se obtiene la distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema
de los piones, si se multiplica y divide por
Z u+ (t)
2t m6 t 2 1 + 2 βπ3− π0 ,
du D(t, u) = τ 1 − 2
6
mτ
mτ
u− (t)
(3.69)
dicha distribución se puede escribir como sigue
t 2 2t 3
G2 |Vud |2 m3τ SEW dΓτ (π − π 0 [γ])
1
−
1
+
β − 0 |f+ (t)|2 GEM (t) . (3.70)
= F
dt
12(4π)3
m2τ
m2τ π π
La función GEM (t), la cual resume las correcciones radiativas electromagnéticas virtuales y reales de O(α), queda definida por la relación
R
IV du D(t, u)∆(t, u)
GEM (t) = R R u+ (t)
.
du
D(t,
u)
u− (t)
(3.71)
Para realizar un análisis detallado de la función de corrección GEM (t) es conve-
niente dividirla en dos partes
rest
GEM (t) = Glow
EM (t) + GEM (t) ,
(3.72)
con
Glow
EM (t) =
Grest
EM (t) =
R u+ (t)
u− (t)
R
h
i
elm
du D(t, u) 1 + 2floop
(u, Mγ ) + gbrems (t, u, Mγ )
,
R u+ (t)
du
D(t,
u)
u− (t)
du D(t, u)grest (t, u)
.
R u+ (t)
du
D(t,
u)
u− (t)
RIV
48
(3.73)
(3.74)
1.02
1.01
GEMHtL
1
0.99
0.98
0.97
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2
t @GeV D
Figura 3.4 Gráfica para la contribución independiente de modelo de la función de corrección electromagnética, Glow
EM (t).
La función Glow
EM (t) contiene únicamente los términos necesarios para la cancelación de
las divergencias IR, es decir la suma de las correcciones virtuales y el término singular
elm
de las correcciones reales. Las funciones floop
(u, Mγ ) y gbrems (t, u, Mγ ) no dependen del
modelo que se emplea para describir el decaimiento inclusivo τ2π(γ) , además D(t, u)
es una función exclusiva de la cinemática, en consecuencia la función Glow
EM (t) es independiente de modelo. En la figura 3.4 se muestra la gráfica de esta contribución a la
función de corrección electromagnética. Los puntos cercanos al mı́nimo y máximo de
la variable t se han omitido, debido a que el denominador de la función de corrección
GEM (t) se anula en estos puntos (t = 4m2π y t = m2τ ). Estas aparentes singularidades
no son reales, pues hemos multiplicado y dividido por la expresión del denominador,
ecuación (3.69), para poder definir la función de corrección GEM (t). Como puede
verse de la figura 3.4, las contribuciones independientes de modelo a las correcciones
radiativas del proceso τ2π(γ) son pequeñas y negativas. Esto significa que tanto el
espectro de dos piones como la fracción de decaimiento de τ2π(γ) se verán disminuidas
con respecto al orden cero de la teorı́a de perturbaciones.
La totalidad de las contribuciones regulares de las correcciones electromagnéticas
reales se incluyen en la función Grest
EM (t). La contribución de las funciones Kmn (las
cuales surgen de integrar el término de orden ω −2 de la expansión de Burnett-Kroll
49
sobre el dominio DIV\III ) también está incluida. Una consecuencia inmediata de la
dependencia de modelo de grest (t, u) es que la función Grest
EM (t) también depende del
modelo, por lo que el cálculo de esta contribución a las correcciones radiativas electromagnéticas de O(α) se realizará en el capı́tulo 5 en el contexto del MDM.
50
Capı́tulo 4
El decaimiento radiativo
τ − → ντ π −π 0γ
En este capı́tulo se estudia el modo radiativo del decaimiento a dos piones del leptón
τ − en el contexto del modelo de dominancia de mesones. Se consideran las contribuciones independientes de modelo ası́ como las dependientes de modelo. Las observables
del proceso que se determinan son: la fracción de decaimiento, y los espectros del fotón
y de los piones. Nuestros resultados difieren de las predicciones basadas en la teorı́a de
perturbaciones quirales de manera importante, estas diferencias se deben a la contribución del mesón vectorial ω(782). También se analiza la sensibilidad de las observables
al momento dipolar magnético del mesón vectorial ρ(770).
El decaimiento radiativo τ2πγ es importante por razones experimentales y teóricas.
Los experimentos actuales no pueden distinguir el decaimiento radiativo τ2πγ del no
radiativo τ2π , y por lo tanto las observables del modo no radiativo incluyen eventos
radiativos con fotones de todas las energı́as posibles. Para la precisión actual en
la medición de las observables del modo τ2π [1] es deseable conocer el tamaño de la
contribución del modo radiativo τ2πγ (correcciones radiativas electromagnéticas reales
de orden α). En el futuro se espera que las incertidumbres experimentales se reduzcan
un poco más, debido a la enorme estadı́stica en eventos del τ alcanzada en las fábricas
de mesones B [5], por lo que conocer la contribución del modo radiativo será necesario.
El decaimiento radiativo τ2πγ es por sı́ sólo un proceso muy interesante, ya que
este decaimiento involucra las tres interacciones fundamentales del modelo estándar
al orden más bajo en la teorı́a de perturbaciones. Este es un escenario único para
estudiar simultáneamente las interacciones electromagnética, débil y fuerte a energı́as
51
menores que la masa del leptón τ , y probar los modelos que las describen. En años
recientes el decaimiento τ2πγ fue estudiado de forma parcial en el contexto del MDM
[6] y de forma “completa” en la CHPT [11]. Es bien conocido que en los decaimientos
del τ el momento transferido q puede llegar a estar lejos del lı́mite quiral (q 2 ≤ m2τ ),
por lo tanto un nuevo análisis del decaimiento radiativo τ2πγ es indispensable. Nuestro
análisis se basará en el MDM, pero a diferencia del cálculo previo realizado en este
contexto [6], tomaremos en cuenta las contribuciones dependientes de modelo, además
de las contribuciones independientes de modelo1 , y realizaremos el cálculo en el lı́mite
de isoespin, en lugar del lı́mite quiral. Debido a que los efectos del rompimiento de la
simetrı́a de isoespin en el decaimiento no radiativo τ2π son sumamente pequeños (ver
sección 2.2), es razonable suponer que lo mismo ocurrirá en el decaimiento radiativo
τ2πγ ; la ventaja de trabajar en el lı́mite de isoespin (mπ− = mπ0 = mπ ) es que los
cálculos del proceso τ2πγ se simplifican considerablemente.
4.1.
Forma general de la amplitud
La amplitud invariante del decaimiento radiativo τ2πγ tiene la siguiente estructura
general [11]:
Mτ (π − π 0 γ) =
eGF Vud n
6 pτ − 6 k + mτ
√
ū(pν , sν )γ α (1 − γ5 )
6 ǫ∗ u(pτ , sτ ) hα
(pτ − k)2 − m2τ
2
o
+lα (Vα − Aα ) ,
(4.1)
las corrientes leptónica lα y hadrónica hα se han definido en la sección 2.1. La invariancia de norma de los procesos radiativos y la covariancia de Lorentz establecen las
siguientes parametrizaciones para Vα y Aα [33]:
ǫ∗ · p −
ǫ∗ · p −
ǫ∗ · p π 0 ǫ∗ · p π 0 π
π
pπ− α + V2
pπ 0 α
−
−
Vα = V1
k · pπ −
k · pπ 0
k · pπ −
k · pπ 0
ǫ∗ · p −
ǫ∗ · p 0
π
π
∗
∗
+V3
kα − ǫα + V4
kα − ǫα
k · pπ −
k · pπ 0
ǫ∗ · p π −
+
f+ (t)(pπ− − pπ0 )α ,
k · pπ −
Aα = ia1 εαβµν ǫ∗β k µ pνπ− + ia2 εαβµν ǫ∗β k µ pνπ0 + ia3 kα εβµνρ ǫ∗β k µ pνπ− pρπ0
+ia4 pπ− α εβµνρ ǫ∗β k µ pνπ− pρπ0 + ia5 pπ0 α εβµνρ ǫ∗β k µ pνπ− pρπ0 .
1
(4.2)
(4.3)
Las contribuciones dependientes de modelo se refieren a las contribuciones de las resonancias ω
y a1 , mientras que las contribuciones independientes de modelo se refieren a la contribución de la
resonancia ρ− (770).
52
La componente axial de la amplitud (Aα ) se puede simplificar por medio de la
indentidad
kα εβµνρ + kβ εµνρα + kµ ενραβ + kν εραβµ + kρ εαβµν = 0 ,
(4.4)
de manera que si redefinimos los factores de forma axiales esta componente queda
expresada en términos de sólo cuatro factores de forma,
Aα = iA1 εαβµν ǫ∗β k µ pνπ− + iA2 εαβµν ǫ∗β k µ pνπ0
+iA3 pπ− α εβµνρ ǫ∗β k µ pνπ− pρπ0 + iA4 pπ0 α εβµνρ ǫ∗β k µ pνπ− pρπ0 .
(4.5)
Ası́ pues, la amplitud del decaimiento τ2πγ está completamente caracterizada por cuatro factores de forma vectoriales (Vi ) y cuatro axiales (Ai ), además del factor de forma
f+ (t) que gobierna el decaimiento no radiativo τ2π en el lı́mite de isoespin. Recordemos
que en el lı́mite de isoespin la corriente hadrónica es hα = f+ (t)(pπ− − pπ0 )α .
De acuerdo con nuestra experiencia en el cálculo, la forma más conveniente de
escribir la amplitud invariante es
eGF Vud ǫ∗ · pπ−
ǫ∗ · p τ √
Mτ (π π γ) =
f+ (t)(pπ− − pπ0 )α
−
k · pπ −
k · pτ
2
e
+Fα + Vα − Aα lα ,
− 0
donde
∗
e α = Vα − ǫ · pπ− f+ (t)(pπ− − pπ0 )α ,
V
k · pπ −
ǫ∗ · p 0
ǫ∗ · p −
f+ (t)
π
π
Fα = −
kα − ǫ∗α − k · pπ0
kα − ǫ∗α
k · pπ −
2k · pτ
k · pπ −
k · pπ 0
+iεαβµν ǫ∗β k µ pνπ− − iεαβµν ǫ∗β k µ pνπ0 .
(4.6)
(4.7)
(4.8)
La expresión de Fα se obtuvo al reducir el primer término de la amplitud (4.1) usando
la identidad
γ α γ β γ δ = g αβ γ δ − g αδ γ β + g βδ γ α + iεαβδρ γρ γ5 .
(4.9)
Observemos que Fα es de orden k 0 y está caracterizado por un sólo factor de forma, el
cual depende del cuadrado del invariante de masa del sistema π − π 0 . La contribución
e α contiene términos de orden k 0 y de órdenes superiores, esta contribución
vectorial V
se parametriza por medio de cuatro factores de forma, los factores de forma V1 y V2
son de orden mı́nimo2 k, mientras que los factores de forma restantes (V3 y V4 ) son de
2
Si f (x) = axn + bxn+1 + cxn+2 + . . ., se dice que la función f (x) es de orden mı́nimo n.
53
orden mı́nimo k 0 . Por su parte, la contribución axial Aα contiene términos de orden
k y de órdenes superiores, esta contribución también está parametrizada por medio
de cuatro factores de forma, en este caso todos los factores de forma Ai (i = 1, . . . , 4)
son de orden mı́nimo k 0 . El término singular IR de la amplitud es proporcional a
(0)
Mτ (π − π 0 ).
En las expresiones de la amplitud del proceso radiativo τ2πγ , ecuaciones (4.1) y
(4.6), la invariancia de norma es explı́cita, Mτ (π − π 0 γ)[ǫ∗ → k] = 0. Excluyendo el
término de orden k −1 de la amplitud, el cual es invariante de norma, todos los demás
términos son proporcionales a ocho cantidades invariantes de norma, de estas cuatro
son vectoriales y cuatro son axiales. Cualquier otro vector o axial invariante de norma,
que se pueda formar con los momentos k, pπ− , pπ0 y el vector de polarización del fotón
ǫ∗ , se puede expresar en términos de estas cantidades.
La expresión de la probabilidad de decaimiento no polarizada para el proceso
radiativo τ2πγ ,
|Mτ (π − π 0 γ)|2 =
1 X
|Mτ (π − π 0 γ)|2 ,
2 s ,s ,s
τ
ν
(4.10)
γ
es muy larga y conocer su forma explı́cita no es relevante. Como en cualquier decaimiento a cuatro cuerpos, |Mτ (π − π 0 γ)|2 está completamente caracterizada por cinco variables cinemáticas. El conjunto más apropiado de estas variables es el formado
por:
• t = (pπ− + pπ0 )2 , el cuadrado del invariante de masa del sistema de los piones,
• x = (pν +k)2 , el cuadrado del invariante de masa del sistema del neutrino-fotón,
• ω, la energı́a del fotón definida en el sistema de reposo del τ − ,
• θπ− y φπ− , los ángulos de las coordenadas esféricas del trimomento del pion
cargado en el sistema de reposo del τ − .
Según la conservación del momento-energı́a, en el decaimiento radiativo τ2πγ la
energı́a del fotón puede adquirir cualquier valor que esté dentro del intervalo cerrado
[0, (m2τ − 4m2π )/(2mτ )]. Para ω = 0 la probabilidad de decaimiento no polarizada
diverge, debido a la existencia del término de orden ω −2 . Esto aparentemente con-
tradice la renormalizabilidad del ME, la cual establace que las observables de todos
los procesos fı́sicos deben ser finitas y calculables. Sin embargo, como se discutió en
el capı́tulo anterior, los dispositivos experimentales no pueden tener una resolución
54
infinita en la energı́a del fotón, es decir, no es posible detectar fotones de todas las
energı́as permitidas. Si ∆ω es la resolución del dispositivo experimental en la energı́a
del fotón, entonces los fotones con energı́as mayores a ∆ω serán detectados, y los
fotones con energı́as menores a este umbral no serán detectados. Por lo tanto, en
consistencia con este hecho experimental y con la renormalizabilidad del ME, el decaimiento radiativo τ2πγ observado (o el proceso fı́sico τ2πγ ) se define como aquel en
el que la energı́a del fotón satisface la desigualdad ∆ω ≤ ω ≤ (m2τ − 4m2π )/(2mτ ). De
está manera, las observables del proceso fı́sico τ2πγ son finitas y están bien definidas.
En el capı́tulo anterior este decaimiento se denotó por τ2πγ |ω>∆ω , para simplificar la
escritura en lo que sigue se denotará simplemente por τ2πγ .
En términos de las variables cinemáticas t, x, ω, θπ− y φπ− la razón diferencial de
decaimiento tiene la siguiente expresión
d5 Γτ (π − π 0 γ) =
SEW βπ− π0
|Mτ (π − π 0 γ)|2 dt dx dω d cos θπ− dφπ− .
2(4π)6 m2τ
(4.11)
El factor de corrección SEW se ha incluido para tomar en cuenta los efectos de las
correcciones radiativas de distancias cortas sobre las observables del decaimiento τ2πγ .
La región cinemática fı́sicamente accesible se puede escribir como el dominio
D = {mı́n[t] ≤ t ≤ máx[t], mı́n[x] ≤ x ≤ máx[x], mı́n[ω] ≤ ω ≤ máx[ω],
−1 ≤ cos θπ− ≤ +1, 0 ≤ φπ− ≤ 2π} .
(4.12)
Para determinar el dominio de las variables t, x y ω se debe tener en cuenta la
conservación del momento-energı́a y resolver la desigualdad
i
1 h1 2
−1 ≤
(m + x − t) − 2mτ ω ≤ +1 ,
X 2 τ
(4.13)
con
λ1/2 (m2τ , t, x)
.
(4.14)
2
X está estrechamente relacionada con la magnitud del trimomento de los sistemas
π − π 0 y ντ γ, de hecho en el sistema de reposo del τ − están dados por |~pν + ~k| =
X=
|~pπ− + p~π0 | = X/mτ .
Existen seis maneras de definir el dominio de las variables t, x y ω dependiendo
del orden de integración. Si se integra sucesivamente sobre ω, t y x el dominio es
m2τ + x − t + 2X
m2τ + x − t − 2X
≤ω≤
,
4mτ
4mτ
√
4m2π ≤ t ≤ (mτ − x)2 ,
2
ωmı́n
≤ x ≤ (mτ − 2mπ )2 ;
55
(4.15)
(4.16)
(4.17)
intercambiando el orden de integración de las variables t y x se obtiene
2
ωmı́n
≤ x ≤ (mτ −
4m2π
√ 2
t) ,
≤ t ≤ (mτ − ωmı́n )2 .
(4.18)
(4.19)
Ahora, si la integración se realiza sucesivamente sobre las variables t, x y ω el dominio
queda definido por
(mτ − 2ω)(2mτ ω − x)
,
2ω
2ω(m2τ − 4m2π − 2mτ ω)
0 ≤x≤
,
mτ − 2ω
m2τ − 4m2π
;
ωmı́n ≤ ω ≤
2mτ
4m2π
≤t≤
(4.20)
(4.21)
(4.22)
al intercambiar el orden de integración de x y ω el dominio se modifica de la siguiente
manera
m2τ − 4m2π + x − λ1/2 (m2τ , 4m2π , x)
m2τ − 4m2π + x + λ1/2 (m2τ , 4m2π , x)
≤ω≤
,
4mτ
4mτ
2
ωmı́n
≤ x ≤ (mτ − 2mπ )2 .
(4.23)
Otra posibilidad es integrar sucesivamente sobre x, t y ω, en este caso el dominio se
define como
2ω(m2τ − 2mτ ω − t)
,
mτ − 2ω
≤ t ≤ mτ (mτ − 2ω) ,
m2τ − 4m2π
≤ω≤
;
2mτ
0 ≤x≤
4m2π
ωmı́n
(4.24)
(4.25)
(4.26)
si el orden de integración de las variables t y ω se intercambia, entonces
m2τ − t
,
2mτ
≤ t ≤ mτ (mτ − 2ωmı́n ) .
ωmı́n ≤ ω ≤
(4.27)
4m2π
(4.28)
En estas definiciones del dominio de integración de las variables t, x y ω el corte
en la energı́a del fotón, denotado por ωmı́n , equivale a la resolución del dispositivo experimental ∆ω. Todas las definiciones de este dominio son equivalentes, y se pueden
entender como diferentes parametrizaciones de la región cinemática fı́sicamente accesible. En el sistema de coordenadas t-x-ω esta región está completamente contenida
56
en el paralepı́pedo rectangular definido por las desigualdades
4m2π
≤ t ≤ m2τ ,
0 ≤ x ≤ (mτ − 2mπ )2 ,
m2τ − 4m2π
ωmı́n ≤ ω ≤
.
2mτ
(4.29)
(4.30)
(4.31)
La probabilidad de decaimiento no polarizada del proceso τ2πγ es una función muy
complicada de las variables cinemáticas. Por este motivo la integración de la razón
diferencial es extremadamente complicada, de hecho no es posible realizarla de manera
analı́tica. Ası́ que tenemos que recurrir a la integración numérica, para esto emplearemos la rutina de Fortran llamada VEGAS [34].
4.2.
Amplitud de decaimiento en el MDM
Para calcular las observables del decaimiento radiativo τ2πγ necesitamos determinar las expresiones de los factores de forma vectoriales (Vi ) y axiales (Ai ). Esto sólo
es posible en el contexto de un modelo para las interacciones del ME en el régimen
de bajas energı́as (< mτ ). Sabemos que el modo no radiativo τ2π es fuertemente dominado por la producción del mesón vectorial ρ− (770) como estado intermedio, por
lo tanto es razonable suponer que la contribución más importante en el decaimiento radiativo τ2πγ viene de la resonancia ρ− (770). Las contribuciones de los mesones
vectoriales ρ− (1450) y ρ− (1700) son subdominantes, y en lo que sigue se despreciarán.
En este escenario y en el contexto del MDM los diagramas de Feynman que contribuyen al decaimiento radiativo τ2πγ son once (ver la figura 4.1). En los diagramas
(a)-(d) el estado hadrónico final se produce únicamente por medio de la resonancia
vectorial ρ− (770), consecuentemente la amplitud de cada uno de estos diagramas se
puede escribir en términos del factor de forma f+ (t). La expresión de dicho factor de
forma está fija una vez que se conoce la amplitud del decaimiento no radiativo τ2π ,
en este sentido se dice que la contribución de los diagramas (a)-(d) es independiente
del modelo.
Los diagramas (e)-(k), en cambio, reciben contribuciones adicionales de los mesones
vectorial ω(782), axial a1 (1260) y pseudoescalar π, y en este sentido se dice que estas contribuciones son dependientes del modelo. La forma más simple de determinar
las expresiones de los factores de forma es usando reglas de Feynman, primero se
construyen las amplitudes para cada uno de los diagramas con las reglas de Feynman
57
ντ
I
@
@
@
γ
@
I
ρ−
@⌢⌣⌢
-⌣⌢⌣
−
@
τ
π 0
@
τ −
π
@
R
−
γ
(6
ντ
I
@
)
@
(
@
@
ρ− ) ρ−
(
@⌢⌣⌢⌢⌣⌢@
π 0
@
τ−
π
@
R
−
ντ
π0
I
@
@
@
γ
@
ρ−
@⌢⌣⌢
-⌣⌢⌣
@
π−
@
π− @
τ−
R
(a)
(b)
(c)
ντ
π0
I
@
@
@
@
γ
ρ−
@⌢⌣⌢
-⌣⌢⌣⌢⌣⌢⌣⌢
@
ντ
I
π 0
@
@
@
@
ρ−
a01
@⌢⌣⌢⌢⌣⌢ γ
−
R
?π
τ−
π0
ντ
I
@
6
@
γ
@
@
a−
ρ−
1 @⌢⌣⌢
⌣⌢⌢@
(e)
(f)
@
τ−
π −@
R
(d)
ντ
I
π 0
@
@
@
@
ρ−
ω
@⌢⌣⌢⌢⌣⌢ γ
π−
−
R
?
τ
ντ
I
@
@
@
@
@
τ−
π 0
π−
ρo
- ⌢⌣⌢ γ
π−
R
?
@
τ−
ντ
I
@
@
@
@
@
π
@
R
−
π0
6
π−
-
γ
ρ− ⌢⌣⌢
@
@
τ−
π
@
R
−
(i)
(g)
(h)
ντ
I
π 0
@
@
@
@
a−
ρ0
1
@⌢⌣⌢⌢⌣⌢ γ
−
R
?π
τ−
π0
ντ
I
@
6
@
γ
@
−
−
@
ρ a1
@⌢⌣⌢
⌣⌢⌢@
(j)
(k)
@
τ−
π
@
R
−
Figura 4.1. Diagramas de Feynman que contribuyen al decaimiento radiativo τ2πγ . En el MDM con
una resonancia, la contribución de los diagramas (a)-(d) es independiente de modelo, mientras que
la contribución de los diagramas (e)-(k) es dependiente de modelo.
definidas en el apéndice B, después se suman las once contribuciones para obtener
la amplitud total, y finalmente se compara el resultado con la parametrización de la
ecuación (4.6) para ası́ obtener las expresiones buscadas de los factores de forma.
En el decaimiento no radiativo τ2π (ver sección 2.2) fue necesario incluir las correcciones absortivas a un loop del propagador de la resonancia vectorial ρ− (770);
de acuerdo con el boson loop-scheme [6], para asegurar la invariancia de norma en el
decaimiento radiativo τ2πγ se tienen que incluir las partes absortivas de las correcciones
58
a un loop (inducidas por el par π − π 0 ) tanto en el propagador de la resonancia vectorial
ρ− (770) como en el vértice electromagnético ρ− ρ− γ. Ası́, en el lı́mite de isoespin el
propagador del mesón vectorial ρ− (770) está dado por la ecuación (2.38), y el vértice
electromagnético ρ−α (p)ρ−β (p′ )γ δ (k) se escribe de la siguiente manera [6]
ieΓαβδ = ie(Γαβδ
+ Γαβδ
0
1 ) .
(4.32)
A nivel árbol el vértice electromagnético está dado por
Γαβδ
= (p + p′ )α g βδ + (k β g αδ − k δ g αβ )β(0) − pβ g αδ − p′δ g αβ ,
0
(4.33)
donde β(0) es el momento dipolar magnético del mesón vectorial ρ− (770) en unidades
de e/2mρ ; el valor canónico o normal del momento dipolar magnético de ρ− (770) es
β(0) = 2, mientras que las predicciones de modelos de quarks caen en el intervalo
1.8 ≤ β(0) ≤ 3.0 [35].
La parte absortiva de las correcciones a un loop del vértice electromagnético
ρ−α (p)ρ−β (p′ )γ δ (k) (en el lı́mite de isoespin) se puede escribir como [6]
Γαβδ
=
1
donde
n
iG2ρππ
A(p2 )pα T βδ (p) − A(p′2 )p′α T βδ (p′ ) + B(p2 )F αβ (p)k δ
2
′2
16π(p − p )
h
ih
i
′2
αδ ′ β
2
2
αβ
ηδ
αδ
ηβ
+B(p )F (p )k + A(p ) + B(p ) F (p)F (p) + F (p)F (p) pη
h
ih
i o
(4.34)
− A(p′2 ) + B(p′2 ) F αβ (p′ )F ηδ (p′ ) + F αδ (p′ )F ηβ (p′ ) p′η ,
2
B(q ) =
A(q 2 ) =
F µν (q) =
T µν (q) =
2
q + (q 4 − 4m2π q 2 )1/2 − (q 4 − 4m2π q 2 )1/2 ,
ln 2
q − (q 4 − 4m2π q 2 )1/2 2(q 4 − 4m2π q 2 )3/2
,
3q 4
qµkν
,
g µν −
k·q
qµqν
g µν − 2 .
q
2m2π
(4.35)
(4.36)
(4.37)
(4.38)
Se puede comprobar sin dificultad, que el propagador y el vértice electromagnético
satisfacen la identidad de Ward [6]
kα Γαβδ = [iDβδ (p)]−1 − [iDβδ (p′ )]−1 ,
(4.39)
de esta forma, la amplitud de cualquier proceso radiativo que involucre este vértice y
propagador es automáticamente invariante de norma.
59
Para los mesones vectorial ω(782) y axial a1 (1260) los propagadores se toman
como sigue [6]
µν
DM
(p)
−i
=
1 + iγM
g µν −
p2 −
pµ pν
m2M − imM ΓM
m2M + imM ΓM
,
(M = ω, a1 )
(4.40)
con
γM =
ΓM
,
mM
(4.41)
ya que para estas contribuciones la dependencia en el momento de los anchos de
decaimiento es irrelevante. La expresión (4.40) de los propagadores se puede obtener
a partir de una relación análoga a la ecuación (2.38), para los mesones vectorial ω(782)
y axial a1 (1260), tomando el lı́mite quiral y después haciendo
mM −→ √
mM
.
1 + γM
(4.42)
El resto de las reglas de Feynman necesarias para construir las amplitudes de los
diagramas que contribuyen al decaimiento radiativo τ2πγ se dan en el apéndice B.
Las amplitudes de los diagramas (a)-(d), que constituyen la parte independiente de
modelo de la amplitud total, están dadas por
(pπ− − pπ0 )β Dραβ (pπ− + pπ0 )
eGF Vud
√
Gρ Gρππ
(pτ − k)2 − m2τ
2
×ū(pν , sν )γα (1 − γ5 )(6 pτ − 6 k + mτ ) 6 ǫ∗ u(pτ , sτ ) ,
eGF Vud
√
=
Gρ Gρππ (pπ− − pπ0 )ν Dρµν (pπ− + pπ0 )Γκηµ
2
δη
×Dρ (pτ − pν )ǫ∗κ lδ ,
eGF Vud
ǫ∗ · (k + 2pπ− )
= −i √
Gρ Gρππ
(k + pπ− )2 − m2π
2
×(k + pπ− − pπ0 )η Dρδη (pτ − pν )lδ ,
eGF Vud
= i √
Gρ Gρππ ǫ∗η Dρδη (pτ − pν )lδ .
2
Ma = −i
Mb
Mc
Md
(4.43)
(4.44)
(4.45)
(4.46)
La parte dependiente de modelo de la amplitud total surge de los diagramas (e)-(k),
las amplitudes para estos diagramas son
Me
i
eGF Vud Gρ Gρa1 π Gγa1 π h
∗
∗
√
k · pπ0 ǫλ − ǫ · pπ0 kλ Daκλ1 (k + pπ0 )
(4.47)
=
e
2
i
h
× (k + pπ0 ) · (pτ − pν )gηκ − (k + pπ0 )η (pτ − pν )κ Dρδη (pτ − pν )lδ ,
60
Mf =
Mg =
i
eGF Vud Gρ Gρa1 π Gγa1 π h
√
k · pπ− ǫ∗λ − ǫ∗ · pπ− kλ Daκλ1 (k + pπ− )
(4.48)
e
2
h
i
× (k + pπ− ) · (pτ − pν )gηκ − (k + pπ− )η (pτ − pν )κ Dρδη (pτ − pν )lδ ,
eGF Vud Gρ Gρwπ Gwγπ
′
′
√
ελ′ λµ′ µ pλπ0 k µ ǫ∗µ Dωκλ (k + pπ0 )
e
2
′
Mh
Mi
Mj
′
×εη′ ηκ′ κ pηπ− (k + pπ0 )κ Dρδη (pτ − pν )lδ ,
eGF Vud Gπ Gρππ Gργπ
η ′ κ′ ∗κ
′ ηκ′ κ p 0 k ǫ
√
ε
=
η
π
2 e[(pτ − pν )2 − m2π ]
×Dρδη (k + pπ0 )(pτ + pπ− − pν )δ (pτ − pν )β lβ ,
′
eGF Vud Gπ Gρππ Gργπ
′
√
εη′ ηκ′ κ pηπ− k κ ǫ∗κ
=
2
2
2 e[(pτ − pν ) − mπ ]
δη
×Dρ (k + pπ− )(pτ + pπ0 − pν )δ (pτ − pν )β lβ ,
eGF Vud Ga1 Gρa1 π Gργπ
′
′
= i √
ελ′ λµ′ µ pλπ0 k µ ǫ∗µ Dρκλ (k + pπ0 )
e
2
h
i
× (k + pπ0 ) · (pτ − pν )gηκ − (k + pπ0 )η (pτ − pν )κ Daδη1 (pτ − pν )lδ
(4.49)
(4.50)
(4.51)
(4.52)
,
eGF Vud Ga1 Gρa1 π Gργπ
′
′
√
ελ′ λµ′ µ pλπ− k µ ǫ∗µ Dρκλ (k + pπ− )
(4.53)
e
2
h
i
× (k + pπ− ) · (pτ − pν )gηκ − (k + pπ− )η (pτ − pν )κ Daδη1 (pτ − pν )lδ .
Mk = i
Antes de calcular las expresiones de los factores de forma vamos a analizar las
amplitudes de los diagramas más interesantes. Las amplitudes Ma y Mc se deben a
la emisión del fotón desde las partı́culas externas cargadas, τ − y π − , respectivamente;
estas amplitudes contienen los términos de orden k −1 , y por tanto son singulares
infrarrojos, en acuerdo con el teorema de Low. La correspondencia de la amplitud
Ma con el primer término de la derecha de la ecuación (4.1), para la amplitud total,
es evidente, a partir de esta correspondencia se puede determinar la expresión del
factor de forma f+ (t),
√ 2
2mρ
Gρ Gρππ
√
√
f+ (t) = 2
= 2
;
mρ − t − i tΓρ (t)
mρ − t − i tΓρ (t)
sin embargo, esto resulta redundante ya que el valor del factor de forma f+ (t) es único
una vez que se conoce la amplitud del proceso no radiativo τ2π . En la parametrización
de la parte vectorial del elemento de matriz electrodébil hadrónico Vα , la expresión del
término de orden k −1 no fue obvia. Para comprobar que dicha expresión es correcta
se desarrolla la amplitud Mc y se escribe de la siguiente forma
eGF Vud ǫ∗ · pπ−
ǫ∗ · p π −
√
Mc =
f+ (t)(pπ− − pπ0 )α +
[f+ (r) − f+ (t)](pπ− − pπ0 )α
k · pπ −
k · pπ −
2
61
Γρ (r)
2k · pπ−
ǫ∗ · p π −
1+i √
f+ (r) kα −
(k + pπ− + pπ0 )α lα , (4.54)
+
2
k · pπ −
mρ
r
donde para simplificar la escritura se definió r = (pτ − pν )2 . Observemos que el primer
término entre las llaves corresponde al término de orden k −1 de la parametrización
de Vα , ecuación (4.2). El término proporcional a [f+ (r) − f+ (t)] es aparentemente de
orden k −1 , pero en realidad es de orden mı́nimo k, ya que r = t + 2k · (pπ− + pπ0 ),
de esta manera [f+ (r) − f+ (t)] → 0 conforme k → 0. Si el factor de forma f+ (r) se
expande en serie de Taylor alrededor de t,
f+ (r) = f+ (t) + [2k · (pπ− + pπ0 )]
df+ (t)
+ ... ,
dt
la situación es más clara.
El diagrama 4.1(b), en el cual el fotón se emite desde el estado intermedio ρ− (770),
contiene la información de su momento dipolar magnetico β(0). El término proporcional al momento dipolar magnético β(0) es invariante de norma por sı́ mismo, como
se puede ver a partir de la expresión del vértice electromagnético ρ− ρ− γ, ecuación
(4.33). Debido a la complejidad del vértice electromagnético Γκηµ la expresión de la
amplitud Mb no es sencilla, sin embargo vale la pena mostrar el término proporcional
al momento dipolar magnético del mesón vectorial ρ− (770),
h
i
eGF Vud
f+ (t)
∗
α
∗α
√
√
Mb =
β(0) ǫ · (pπ− − pπ0 )k − k · (pπ− − pπ0 )ǫ
2 r − m2ρ + i rΓρ (r)
i
Γρ (r) h ∗
2β(0)
∗
√
−
−
0
0
1
+
i
−
k
·
p
−
ǫ
·
p
k
·
p
ǫ
·
p
(k + pπ− + pπ0 )α
π
π
π
π
m2ρ
r
+ · · · lα ,
(4.55)
los puntos suspensivos denotan el resto de los términos de la amplitud. Notemos que
la contribución del momento dipolar magnético β(0) es de orden k y k 2 , obviamente
la expresión de dicha contribución se puede escribir en términos de los cuatro vectores
invariantes de norma con los que se parametrizó Vα . Las amplitudes de los diagramas (a)-(d) no son invariantes de norma individualmente, sin embargo, no es difı́cil
comprobar que la suma Ma + Mb + Mc + Md es invariante de norma, en virtud de
la indentidad de Ward (4.39). Las amplitudes Mb , Mc y Md contribuyen a la parte
vectorial de la amplitud total, mientras que la amplitud Ma origina el término Fα .
Hemos visto que sólo los diagramas (a) y (c) contribuyen al término de orden
k
−1
de la amplitud total. Por su parte, el respectivo término de orden k 0 recibe
62
contribuciones de los cuatro diagramas (a)-(d), éstos dos términos definen la amplitud
de Low, la cual se puede expresar como
∗
eGF Vud
ǫ · pπ −
ǫ∗ · p τ
√
MLow =
f+ (t)
(pπ− − pπ0 )α lα
−
k · pπ −
k · pτ
2
f+ (t)
+
ū(pν , sν )(6 pπ− − 6 pπ0 ) 6 k 6 ǫ∗ (1 − γ5 )u(pτ , sτ )
2k · pτ
∗
ǫ · pπ − α
∗α
lα
k −ǫ
+f+ (t)
k · pπ −
ǫ∗ · p π 0
df+ (t) ǫ∗ · pπ−
α
−
(pπ− − pπ0 ) lα .
+2k · pπ0
dt
k · pπ −
k · pπ 0
(4.56)
Es sencillo comprobar que esta expresión coincide con la que obtuvieron los autores
de la referencia [11]. Para obtener dicha expresión fue necesario emplear la expansión
en serie de Taylor del factor de forma f+ (r).
Las amplitudes de los diagramas (e)-(k) son invariantes de norma individualmente,
es decir Mn (ǫ∗ → k) = 0 para n = e, . . . , k. La caracterı́stica distintiva de estas am-
plitudes es que involucran propagadores de dos mesones diferentes. Como veremos
más adelante la amplitud Mg , que involucra simultáneamente los propagadores de
los mesones vectoriales ρ− (770) y ω(782), es de suma importancia, ya que su contribución a las observables del decaimiento radiativo τ2πγ resulta ser más grande de
lo esperado. También es importante mencionar que esta contribución no es considerada en el cálculo de la referencia [11] debido a que en la CHPT no se incluyen los
vértices del tipo vector-vector-pseudoescalar. En el contexto del MDM el diagrama (g)
está perfectamente permitido, y por lo tanto no es posible excluir su contribución. Los
diagramas (e), (f) y (g) contribuyen a la parte vectorial de la amplitud total, mientras que los diagramas (h)-(k) contribuyen a la parte axial. Mediante la inspección
de las amplitudes Me -Mk podemos observar inmediatamente que su contribución es
de orden k y de órdenes superiores, como lo exige el teorema de Low.
4.3.
Determinación de los factores de forma en el
MDM
Para determinar los factores de forma (en el MDM) construimos la amplitud del
proceso radiativo τ2πγ sumando las contribuciones de la figura 4.1,
− 0
Mτ (π π γ) =
63
k
X
n=a
Mn ,
(4.57)
la expresión resultante es demasiado larga y mostrar su forma explı́cita resultarı́a
redundante. Basta decir que después de descomponer dicha amplitud en términos
de los invariantes de norma vectoriales y axiales independientes, y comparar con la
parametrización (4.6) de la amplitud, se encuentran las expresiones deseadas de los
factores de forma. Para los factores de forma vectoriales:
iG2ρππ C(r, t)
2 − β(0)
2f+ (t)k · pπ− k · pπ0
Γρ (r)
√
+
V1 =
1+i √
m2ρ
r − m2ρ + i rΓρ (r) 32π[k · (pπ− + pπ0 )]2
r
k · pπ0 [f+ (r) − f+ (t)]
iΓρ (r)
(4.58)
+
+√
k · (pπ− + pπ0 )
rk · (pπ− + pπ0 )
Gρ Gρa1 π Ga1 πγ k · pπ− k · pπ0
,
+√
√
2e(1 + iγa1 )[(k + pπ− )2 − m2a1 + ima1 Γa1 ][r − m2ρ + i rΓρ (r)]
V2
V3
V4
iG2ρππ C(r, t)
Γρ (r)
2f+ (t)k · pπ− k · pπ0
2 − β(0)
√
1+i √
=
+
m2ρ
r − m2ρ + i rΓρ (r) 32π[k · (pπ− + pπ0 )]2
r
k · pπ0 [f+ (r) − f+ (t)]
iΓρ (r)
(4.59)
−
+√
k · (pπ− + pπ0 )
rk · (pπ− + pπ0 )
Gρ k · p π − k · p π 0
Gρa1 π Ga1 πγ
−√
√
2e[r − m2ρ + i rΓρ (r)] (1 + iγa1 )[(k + pπ0 )2 − m2a1 + ima1 Γa1 ]
Gρωπ Gωπγ
+
,
(1 + iγω )[(k + pπ0 )2 − m2ω + imω Γω ]
iG2ρππ
f+ (t)k · pπ−
C(r, t)
√
=
2 −
2
k · (pπ− + pπ0 )
r − mρ + i rΓρ (r) 32π[k · (pπ− + pπ0 )]
×[s(3k · pπ0 − k · pπ− ) + 2k · pπ0 k · (pπ− + pπ0 )]
2iΓρ (r)k · pπ0
+A(r)k · (pπ− − pπ0 ) + 2A(t)k · pπ0 + √
rk · (pπ− + pπ0 )
2[2 − β(0)]
Γρ (r)
k · pπ0 + β(0) + f+ (r)
(4.60)
+
1+i √
2
mρ
r
2k · pπ− + 21 t
Gρ Gρa1 π Ga1 πγ k · pπ−
−√
√
2e(1 + iγa1 )[r − m2ρ + i rΓρ (r)] (k + pπ− )2 − m2a1 + ima1 Γa1
k · pπ 0
+
(k + pπ0 )2 − m2a1 + ima1 Γa1
Gρ Gρωπ Gωπγ k · pπ− [m2π + k · pπ0 ]
+√
,
√
2e(1 + iγω )[(k + pπ0 )2 − m2ω + imω Γω ][r − m2ρ + i rΓρ (r)]
iG2ρππ
f+ (t)k · pπ0
C(r, t)
√
=
2
2
r − mρ + i rΓρ (r) 32π[k · (pπ− + pπ0 )] k · (pπ− + pπ0 )
64
×[s(3k · pπ− − k · pπ0 ) + 2k · pπ− k · (pπ− + pπ0 )]
2iΓρ (r)k · pπ−
−A(r)k · (pπ− − pπ0 ) − 2A(t)k · pπ− − √
rk · (pπ− + pπ0 )
Γρ (r)
2[2 − β(0)]
1+i √
(4.61)
k · pπ− − β(0)
−
2
mρ
r
2k · pπ0 + 12 t
Gρ Gρa1 π Ga1 πγ k · pπ0
−√
√
2e(1 + iγa1 )[r − m2ρ + i rΓρ (r)] (k + pπ0 )2 − m2a1 + ima1 Γa1
k · pπ −
+
(k + pπ− )2 − m2a1 + ima1 Γa1
Gρ Gρωπ Gωπγ k · pπ0 pπ− · pπ0
,
−√
√
2e(1 + iγω )[(k + pπ0 )2 − m2ω + imω Γω ][r − m2ρ + i rΓρ (r)]
se definió
C(r, t) = A(r) + B(r) − A(t) − B(t) .
(4.62)
Y para los factores de forma axiales:
A1
A2
√
2Gπ Gρππ Gρπγ k · pπ0
1
p
=
2
2
2
e(r − mπ )
mρ − (k + pπ0 ) − i (k + pπ0 )2 Γρ ([k + pπ0 ]2 )
1
p
−
m2ρ − (k + pπ− )2 − i (k + pπ− )2 Γρ ([k + pπ− ]2 )
Ga1 Gρa1 π Gρπγ
(4.63)
−√
2e(1 + iγa1 )(r − m2a1 + ima1 Γa1 )
k·p 0
p π
×
m2ρ − (k + pπ0 )2 − i (k + pπ0 )2 Γρ ([k + pπ0 ]2 )
2k · pπ− + 12 t
p
+
,
m2ρ − (k + pπ− )2 − i (k + pπ− )2 Γρ ([k + pπ− ]2 )
√
2Gπ Gρππ Gρπγ k · pπ−
1
p
=
2
2
2
e(r − mπ )
mρ − (k + pπ− ) − i (k + pπ− )2 Γρ ([k + pπ− ]2 )
1
p
−
m2ρ − (k + pπ0 )2 − i (k + pπ0 )2 Γρ ([k + pπ0 ]2 )
Ga1 Gρa1 π Gρπγ
(4.64)
−√
2e(1 + iγa1 )(r − m2a1 + ima1 Γa1 )
k·p −
p π
×
m2ρ − (k + pπ− )2 − i (k + pπ− )2 Γρ ([k + pπ− ]2 )
2k · pπ0 + 21 t
p
,
+
m2ρ − (k + pπ0 )2 − i (k + pπ0 )2 Γρ ([k + pπ0 ]2 )
65
A3
A4
√
2Gπ Gρππ Gρπγ
1
p
=
2
e(r − mπ )
m2ρ − (k + pπ− )2 − i (k + pπ− )2 Γρ ([k + pπ− ]2 )
1
p
−
m2ρ − (k + pπ0 )2 − i (k + pπ0 )2 Γρ ([k + pπ0 ]2 )
Ga1 Gρa1 π Gρπγ
(4.65)
−√
2e(1 + iγa1 )(r − m2a1 + ima1 Γa1 )
1
p
,
×
m2ρ − (k + pπ− )2 − i (k + pπ− )2 Γρ ([k + pπ− ]2 )
√
2Gπ Gρππ Gρπγ
1
p
=
2
2
2
e(r − mπ )
mρ − (k + pπ− ) − i (k + pπ− )2 Γρ ([k + pπ− ]2 )
1
p
−
m2ρ − (k + pπ0 )2 − i (k + pπ0 )2 Γρ ([k + pπ0 ]2 )
Ga1 Gρa1 π Gρπγ
(4.66)
+√
2e(1 + iγa1 )(r − m2a1 + ima1 Γa1 )
1
p
×
.
m2ρ − (k + pπ0 )2 − i (k + pπ0 )2 Γρ ([k + pπ0 ]2 )
En comparación con los resultados de la referencia [11] (los cuales están basados
en la CHPT) para los factores de forma, las diferencias más notables con respecto
a nuestros resultados se encuentran en los factores de forma axiales. A nivel de la
estructura de Aα , no es complicado comprobar que la expresión empleada en esta
referencia corresponde al caso particular A3 = A4 de la expresión (4.5). Las formas
explı́citas de los factores de forma axiales de [11], que surgen de términos anómalos
para los acoplamientos axiales de la corriente débil [36], no dan una descripción realista de la contribución axial para todas las energı́as disponibles (como fue reconocido
en la misma referencia).
4.4.
Fijando las constantes de acoplamiento
La amplitud del decaimiento radiativo τ2πγ depende de un conjunto grande de
parámetros, entre los que se encuentran constantes de acoplamiento, masas y anchos
de decaimiento de los mesones. Para calcular las observables del decaimiento τ2πγ se
tienen que fijar los valores de estos parámetros. Los cálculos de algunas constantes de
acoplamiento se muestran detalladamente en el apéndice E.
66
4.4.1.
Acoplamientos de la contribución independiente de
modelo
La parte independiente de modelo de la amplitud depende principalmente de la
masa y el momento dipolar magnético del mesón vectorial ρ− (770), y de las constantes
de acoplamiento Gρππ y Gρ .
Con el fin de que la determinación de las observables del decaimiento radiativo
τ2πγ sea lo más precisa posible, tanto la masa del mesón vectorial ρ− (770) como la
constante de acoplamiento Gρππ se fijan por medio de un ajuste a los datos experimentales del modo no radiativo τ2π (ver capı́tulo 2). Los valores que resultan de dicho
ajuste se dan en la ecuación (2.36).
La dependencia en el acoplamiento débil del mesón vectorial ρ− (770) se elimina
por medio de la relación [9]
Gρ Gρππ =
√
2m2ρ ,
(4.67)
la cual se deduce usando la simetrı́a de isoespin. Este acoplamiento se puede determinar de manera independiente a partir del modo de decaimiento τ − → ντ ρ− (770),
si se asume que Bτ (ρ− ) ∼ Bτ (π − π 0 ) se obtiene el siguiente resultado
Gρ = (0.1626 ± 0.0011) × 106 MeV2 .
(4.68)
Es interesante estudiar los efectos del momento dipolar magnético β(0) sobre
las observables del proceso radiativo τ2πγ ya que esto podrı́a permitir la medición
(indirecta) de β(0). Para este propósito se puede dejar el momento dipolar magnético
β(0) como un parámetro libre.
4.4.2.
Acoplamientos de la contribución dependiente de modelo
La parte dependiente de modelo de la amplitud del proceso radiativo τ2πγ depende
de un número más grande de parámetros. Además de los parámetros mρ , Gρππ y Gρ ,
esta contribución depende de las masas y los anchos de decaimiento de los mesones
vectorial ω(782) y axial a1 (1260), los cuales se fijan siguiendo la referencia [1]. También
entran constantes de acoplamiento relacionadas con estos mesones. Estas se fijan por
medio de los datos experimentales para las razones de decaimiento de algunos procesos
especı́ficos, recolectados en el PDG [1], excepto el acoplamiento débil del mesón axial
67
a1 (1260), el cual se fija usando la regla de suma de Weinberg [9]:
Ga1 = Gρ .
(4.69)
El acoplamiento débil Gπ
Los decaimientos semileptónicos τ − → ντ π − , π − → ν̄e e− y π − → ν̄µ µ− permiten
determinar la constante de acoplamiento débil Gπ , el cálculo más preciso de este
acoplamiento se ha realizado con el modo de decaimiento π − → ν̄µ µ− [1], e incluye
correcciones radiativas electromagnéticas de O(α):
Gπ = 130.7 ± 0.37 MeV .
(4.70)
Este valor es muy cercano al obtenido mediante el modo semileptónico τ − → ντ π −
(Gπ = 131.75 ± 0.48 MeV), sin embargo este último se obtiene a nivel árbol, y por lo
tanto es preferible trabajar con el valor (4.70).
Los acoplamientos GV πγ
La constante de acoplamiento Gρπγ se determina a partir de los modos de decaimiento ρ± → π ± γ y ρ0 → π 0 γ. Los resultados obtenidos difieren muy poco entre
sı́, por lo que es más apropiado utilizar el promedio de estos
Gρπγ = (2.35 ± 0.26) × 10−4 MeV−1 .
(4.71)
De manera análoga, el acoplamiento Gωπγ se fija por medio de los datos experimentales del decaimiento ω → π 0 γ, en este caso
0.114
−4
Gωπγ = (7.214 +
MeV−1 .
− 0.099 ) × 10
(4.72)
El modo de decaimiento a1 → πγ permite calcular la constante de acoplamiento
Ga1 πγ . Tomando Γ(a1 → πγ) = 640 ± 246 keV [1] se obtiene el siguiente valor
Ga1 πγ = (3.28 ± 0.65) × 10−4 MeV−1 .
(4.73)
El acoplamiento fuerte Gρωπ
La constante de acoplamiento Gρωπ se puede obtener de manera indirecta a partir
de los decaimientos ρ± → π ± γ, ρ0 → π 0 γ y ω → π 0 γ, esto es posible gracias a las
68
relaciones [37]
e
,
γω
e
,
= Gρ0 ωπ0
γω
e
= Gρ0 ωπ0
,
γρ
Gρ± π± γ = Gρ± ωπ±
G ρ0 π 0 γ
Gωπ0 γ
(4.74)
(4.75)
(4.76)
que provee el MDM. Por su parte, los acoplamientos electromagnéticos γρ y γω se fijan,
respectivamente, mediante los datos experimentales de los decaimientos ρ0 → l+ l− y
ω → l+ l− (l = e, µ); para cada uno de los casos los valores que utilizaremos serán los
promedios de los modos e+ e− y µ+ µ− ,
γρ = 5.004 ± 0.098 ,
(4.77)
γω = 16.0 ± 1.8 .
(4.78)
Si la simetrı́a de isoespin es exacta entonces se cumple que Gρ± ωπ± = Gρ0 ωπ0 , por lo
que es conveniente trabajar con el promedio de los tres resultados que se obtienen de
las relaciones (4.74)-(4.76), de esta manera el valor para la constante de acoplamiento
Gρωπ está dado por
Gρωπ = (12.2 ± 1.2) × 10−3 MeV−1 .
(4.79)
El acoplamiento fuerte Gρa1 π
Finalmente, por medio del decaimiento a1 → ρπ se puede calcular la constante de
acoplamiento Gρa1 π , para esto vamos a tomar Ba1 (ρπ) ∼ 68.11 % [1], el resultado que
se encuentra es
Gρa1 π = (4.00 ± 0.21) × 10−3 MeV−1 .
(4.80)
Cabe mencionar que este valor se obtuvo con Γa1 = 450 MeV, para ser consistentes se
utilizará este ancho de decaimiento del mesón axial a1 (1260) en todo el análisis que
sigue.
4.5.
Observables del proceso τ2πγ
Antes de empezar el cálculo de las observables del decaimiento radiativo τ2πγ , es
necesario realizar algunas precisiones, con el objetivo de facilitar la comparación de
nuestros resultados, obtenidos en el contexto del MDM, con los resultados de la referencia [11], basados en la CHPT. En la referencia [11] se distingue la contribución
69
completa de la llamada de bremsstrahlung. En nuestra notación esta última corresponde a la contribución independiente de modelo, es decir, la contribución de los
diagramas 4.1(a)-(d) a las observables del decaimiento τ2πγ .
4.5.1.
La fracción de decaimiento
La primera observable del decaimiento radiativo τ2πγ que calcularemos será la
fracción de decaimiento. Como hemos discutido en varias ocasiones, para evitar las
singularidades IR en las observables de este proceso se realiza un corte inferior en la
energı́a del fotón (ωmı́n ). Las predicciones del MDM para la fracción de decaimiento se
muestran en la figura 4.2, como función de ωmı́n . Se muestran los resultados completos
de la referencia [11] (puntos en ωmı́n = 100, 300 y 500 MeV), con el objetivo de
compararlos con los resultados de nuestro modelo. Las fracciones de decaimiento que
predice el MDM se obtienen para diferentes casos, incluyendo la contribución de todos
los diagramas (lı́nea continua), e incluyendo únicamente la contribución independiente
de modelo (lı́nea entrecortada). También es interesante realizar el cálculo cuando se
cuando se excluye la contribución del mesón ω(782) (lı́nea punteada).
A partir de la figura 4.2 podemos observar que los resultados obtenidos con las
correspondientes contribuciones completas del MDM y de la CHPT difieren significativamente para cualquier energı́a de corte del fotón. De hecho, para ωmı́n = 300 y 500
MeV la predicción del MDM es por lo menos dos veces más grande que la predicción de la CHPT; por lo tanto, la medición de la fracción de decaimiento del proceso
radiativo τ2πγ puede ayudar a discriminar entre los dos modelos. Si excluimos la contribución del mesón vectorial ω(782) encontramos que la predicción del MDM está en
buen acuerdo con la predicción de la CHPT [11]. Sin embargo, como hemos discutido
previamente, en el MDM la contribución del mesón ω(782) está perfectamente permitida, por lo que no es posible excluirla. Esta contribución es la más importante de
las dependientes de modelo, debido a un accidente cinemático que sucede principalmente por dos razones: el sistema ρ(770) − ω(782) es casi degenerado (mρ = 776.66
MeV y mω = 782.65 ± 0.12 MeV), y el ancho de decaimiento del mesón ω(782) es
muy pequeño (Γω = 8.49 ± 0.08 MeV). Esto ocasiona dos efectos de resonancia que
ocurren prácticamente en la misma región cinemática, ocasionando a su vez el realce
de la contribución del diagrama 4.1(g).
Dada la relevancia de este resultado es necesario comprobar la explicación que he70
3
−3
Branching Ratio ( 10 )
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
100
200
300
min
Eγ
400
500
(MeV)
Figura 4.2. La fracción de decaimiento del proceso radiativo τ2πγ como función de la energı́a de
corte Eγmı́n ≡ ωmı́n . La lı́nea continua es la predicción del MDM que incluye todos los diagramas permitidos, mientras que la lı́nea entrecortada se obtiene tomando en cuenta únicamente la contribución
independiente de modelo. Si se excluye la contribución del mesón vectorial ω(782), diagrama 4.1(g),
se obtiene la lı́nea punteada. Todas estas predicciones se realizan con β(0) = 2. La predicción completa de la CHPT [11] está representa por los puntos en ωmı́n = 100, 300 y 500 MeV.
mos proporcionado. Para esto incrementamos la diferencia entre las masas de los
mesones ρ(770) y ω(782), y/o el ancho de decaimiento del mesón ω(782); como consecuencia, la contribución del diagrama 4.1(g) disminuye drásticamente, de tal manera
que el resultado casi se traslapa con el que se obtiene excluyendo esta contribución.
Finalmente, observemos que la predicción de la fracción de decaimiento (en el MDM)
que se obtiene con la contribución independiente de modelo es apenas diferente de la
predicción en la que no se incluye la contribución del mesón vectorial ω(782).
Para investigar los efectos del momento dipolar magnético del mesón vectorial
ρ− (770) sobre la fracción de decaimiento del proceso radiativo τ2πγ , vamos a variar
β(0), de manera razonable, para obtener la predicción de dicha observable. Entonces,
71
−3
Branching Ratio ( 10 )
1.5
1
0.5
0
50
150
250
min
Eγ
350
450
(MeV)
Figura 4.3. La fracción de decaimiento del proceso radiativo τ2πγ para diferentes valores del momento dipolar magnético del mesón vectorial ρ− (770), en función de la energı́a de corte del fotón
(Eγmı́n ≡ ωmı́n ). La lı́nea entrecortada corresponde a la predicción con β(0) = 1, la lı́nea continua
con β(0) = 2 y la lı́nea punteada con β(0) = 3. Únicamente se ha considerado la amplitud completa.
calculamos la fracción de decaimiento para β(0) = 1, 2 y 3 incluyendo la contribución
de todos los diagramas. En la figura 4.3 se muestran los resultados obtenidos en
función de la energı́a de corte ωmı́n . Observemos que la predicción con β(0) = 1 (lı́nea
entrecortada) prácticamente no se distingue de la predicción con β(0) = 2 (lı́nea
continua), mientras que para β(0) = 3 (lı́nea punteada) la predicción se diferencia
mı́nimamente de las otras. En conclusión, la fracción de decaimiento no es sensible
a variaciones razonables del momento dipolar magnético β(0), y por lo tanto no es
posible discriminar alguno de los valores de β(0) por medio de esta observable.
4.5.2.
El espectro de la energı́a del fotón
Ahora, vamos a calcular el espectro de la energı́a del fotón en el decaimiento radiativo τ2πγ . Para esto integramos la razón diferencial de decaimiento, ecuación (4.11),
72
sobre todas las variables excepto sobre la energı́a del fotón ω. De acuerdo con la descripción del dominio cinemático (ver sección 4.1) existen dos formas de realizar dicha
integración, y ambas son equivalentes. Las predicciones del MDM para el espectro de
la energı́a del fotón se muestran en la figura 4.4. Los resultados se obtuvieron con el
valor β(0) = 2 y se normalizaron a la razón de decaimiento del proceso no radiativo
Γτ (π − π 0 ). La lı́nea punteada corresponde a la predicción realizada con la contribución
de todos los diagramas, la lı́nea continua únicamente con la contribución independiente de modelo, y la lı́nea entrecortada excluyendo la contribución del mesón vectorial
ω(782). Observemos que las curvas obtenidas excluyendo la contribución del diagrama
4.1(g) y la debida a la contribución independiente de modelo, se traslapan en toda la
región de ω, en cambio, si se incluyen todas las contribuciones la predicción difiere de
2
−5
−1
dΓ/ΓnrdEγ (10 MeV )
1.5
1
0.5
0
100
200
300
400
500
600
700
Eγ (MeV)
Figura 4.4. Espectro de la energı́a del fotón (Eγ ≡ ω) en el decaimiento radiativo τ2πγ . La lı́nea
punteada corresponde a la contribución completa, mientras que la lı́nea continua a la contribución
independiente de modelo; la lı́nea entrecortada (que se traslapa con la lı́nea continua) se obtiene
excluyendo la contribución del mesón ω(782). Estos resultados se obtienen con β(0) = 2, y se han
normalizado con respecto a la razón de decaimiento no radiativa Γτ (π − π 0 ).
73
las otras significativamente para ω > 180 MeV. De esta manera, se confirma que la
contribución del mesón vectorial ω(782) es la más importante de las dependientes
de modelo. Para investigar si el espectro dΓτ (π − π 0 γ)/dω es sensible a variaciones
(razonables) del momento dipolar magnético β(0), se calculó esta observable para
β(0) = 1, 2 y 3; al igual que en el caso de la fracción de decaimiento, se encuentra
que el espectro de la energı́a del fotón no es sensible a estas variaciones del momento
dipolar magnético del mesón vectorial ρ− (770).
4.5.3.
La distribución del invariante de masa del sistema π − π 0
La distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema de los piones
(variable t) es una de las observables más importantes del decaimiento radiativo
τ2πγ , ya que ésta determina las correcciones radiativas electromagnéticas reales de
O(α) a la correspondiente distribución del proceso no radiativo τ2π , la cual ha sido
medida experimentalmente con una buena precisión [7]. Motivados por este hecho, en
la sección 3.3 se analizó en detalle el término principal de la expansión de BurnettKroll de la distribución dΓτ (π − π 0 γ)/dt; en esta sección se calcula ı́ntegramente dicha
distribución.
La forma más conveniente de calcular la distribución dΓτ (π − π 0 γ)/dt es integrar
la razón diferencial de decaimiento (4.11) sobre todas las variables excepto sobre la
energı́a del fotón ω y el invariante t, para finalmente integrar sobre la energı́a del
fotón. En este caso el dominio de integración para las variables x, ω y t está dado por
las ecuaciones (4.24), (4.27) y (4.28). Es interesante mostrar la gráfica del espectro
doble d2 Γτ (π − π 0 γ)/dωdt para un valor fijo de la energı́a del fotón (diferente de cero
para evitar las divergencias IR), y siguiendo la sugerencia de la referencia [11] usamos
ω = 300 MeV.
En la figura 4.5 se muestran los resultados obtenidos para β(0) = 2. La curva
punteada se obtiene con la contribución de todos los diagramas, mientras que la curva
entrecortada se obtiene con la contribución independiente de modelo, y para obtener
la curva continua se excluye de la contribución del diagrama 4.1(g). Observemos que la
pieza dependiente de modelo de la amplitud total, sin incluir la amplitud del diagrama
4.1(g), prácticamente no contribuye, sin embargo, como en el caso de la fracción de
decaimiento y del espectro de la energı́a del fotón, la contribución del mesón vectorial
74
0.20
For Eγ=300 MeV
dΓ/ΓnrdEγdt (10
−10
−3
MeV )
0.15
0.10
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2
t (GeV )
Figura 4.5. Distribución de la energı́a del fotón (Eγ ≡ ω) y del cuadrado del invariante de masa
del sistema π − π 0 , para ω = 300 MeV en el decaimiento radiativo τ2πγ . La curva punteada se obtiene
con la amplitud completa, la curva entrecortada con la amplitud independiente de modelo, y la curva
sólida con la amplitud total sin incluir la contribución del mesón ω(782). Todas estas predicciones,
basadas en el MDM, se realizan con el valor canónico del momento dipolar magnético del mesón
vectorial ρ− (770) (β(0) = 2) y se normalizan a la razón de decaimiento del modo no radiativo τ2π .
ω(782) modifica de manera importante la predicción en toda la región del cuadrado
del invariante de masa del sistema de los piones. La posición de los picos asociados
con la emisión del fotón desde las partı́culas externas cargadas no cambia: el pico
dominante se debe casi exclusivamente a la emisión del fotón desde el pion cargado
π − , y el pico secundario a la emisión del fotón desde el leptón τ − .
Para obtener la distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema de los
piones integramos el espectro d2 Γτ (π − π 0 γ)/dωdt sobre la energı́a del fotón, tomando
la energı́a de corte ωmı́n = 300 MeV, es decir, integramos para energı́as del fotón
mayores a 300 MeV. Los resultados se muestran en la figura 4.6. Al igual que para las
observables anteriores, estos se obtuvieron para los tres casos más interesantes: inclu75
5
4
−2
dΓ/Γnrdt (10 GeV )
Eγ >300 MeV
−3
3
2
1
0
0
0.4
0.8
2
1.2
1.6
t (GeV )
Figura 4.6. Distribución del invariante t, el cuadrado de la masa del sistema de los piones, en
el decaimiento radiativo τ2πγ para energı́as del fotón (Eγ ≡ ω) mayores a 300 MeV. Las curvas
punteada, entrecortada y continua corresponden, respectivamente, a las predicciones del MDM con
la amplitud total, la amplitud independiente de modelo, y la amplitud total sin la contribución del
mesón vectorial ω(782). Estos resultados, que se han normalizado a la razón de decaimiento no
radiativa Γτ (π − π 0 ), se obtuvieron para β(0) = 2.
yendo la contribución completa (curva punteada), incluyendo únicamente la contribución independiente de modelo (curva entrecortada) y excluyendo el diagrama
4.1(g) de la contribución completa (curva continua). Hemos normalizado los resultados, obtenidos con β(0) = 2, a la razón de decaimiento del proceso no radiativo
τ2π .
Nuevamente, la contribución del diagrama 4.1(g) realza considerablemente la
predicción del MDM a lo largo de todo el intervalo de t. De hecho, en comparación con las predicciones realizadas excluyendo la contribución de este diagrama y
con la contribución independiente de modelo, las cuales entre sı́ difieren mı́nimamente, la predicción realizada con la contribución completa es aproximadamente dos
veces más grande. Elegimos la energı́a de corte ωmı́n = 300 MeV para poder com76
parar nuestros resultados con los de la referencia [11], sin embargo, estos últimos se
muestran en unidades arbitrarias y por lo tanto una comparación cuantitativa no
es posible. No obstante, de manera cualitativa podemos concluir que el resultado
para la contribución independiente de modelo debe de ser prácticamente el mismo
en ambos modelos (el MDM y la CHPT); además, el resultado para la contribución
completa de la referencia [11] no debe diferir considerablemente de nuestro resultado
que no incluye la contribución del mesón ω(782). Si la contribución de ω(782) se incluye, nuestra predicción debe ser completamente diferente a la de la referencia [11]
(para la contribución completa). Estas conclusiones cualitativas, para la distribución
dΓτ (π − π 0 γ)/dt, se pueden comprobar por medio de los resultados para la fracción de
decaimiento obtenidos con ωmı́n = 300 MeV en el MDM y la CHPT (ver figura 4.2),
ya que estas fracciones de decaimiento se obtienen integrando sobre t la distribución
de la figura 4.6. Nótese que la situación en cuanto a la comparación de los resultados
del MDM y de la CHPT es similar para la fracción de decaimiento.
En general, podemos concluir que la contribución del mesón vectorial ω(782) en el
decaimiento radiativo τ2πγ provoca que las predicciones de las observables basadas en
el MDM difieran considerablemente de aquellas que se obtienen en el contexto de la
CHPT. Por supuesto, la medición de estas observables en futuros experimentos puede
ayudar a discriminar entre los dos modelos en cuestión.
El espectro doble d2 Γτ (π − π 0 γ)/dωdt y la distribución del invariante t, no muestran
cambios significativos cuando se varı́a razonablemente el valor del momento dipolar
magnético del mesón vectorial ρ− (770). Hasta ahora no hemos encontrado una observable del decaimiento τ2πγ que sea sensible a las variaciones de β(0). Debido a que
las consecuencias serı́an muy interesantes en caso de encontrarla, la siguiente sección
se dedica a la búsqueda de una observable que sea sensible a β(0).
4.5.4.
Una observable sensible a β(0)
Los autores de la referencia [38] han mostrado que en los decaimientos radiativos
de mesones vectoriales cargados, V ± → X ± + γ, ciertas distribuciones angulares y en
la energı́a del fotón son sensibles al momento dipolar magnético de dichos mesones,
principalmente cuando los fotones se emiten en ángulos pequeños. Resulta entonces
interesante calcular la correspondiente distribución para el decaimiento radiativo τ2πγ .
77
Si θ es el ángulo entre el fotón y el pion cargado en el sistema de reposo del τ − ,
~k · p~π−
,
|~k||~pπ− |
cos θ =
(4.81)
entonces la distribución apropiada es d2 Γτ (π − π 0 γ)/d cos θ dω. Para determinar este
espectro doble es conveniente trabajar con el conjunto de variables cinemáticas {t, x,
ω, cos θπ− , cos θ}.
Podemos proceder de dos maneras diferentes, aunque ambas conducen al mismo resultado. Escribimos la probabilidad de decaimiento no polarizada y la razón
diferencial de decaimiento en términos de las variables {t, x, ω, cos θπ− , cos θ}, des-
pués integramos sobre todas las variables cinemáticas excepto sobre la energı́a del
fotón y el ángulo θ. De manera equivalente, podemos hallar la transformación cos θ =
f (t, x, ω, cos θπ− , φπ− ), tal que
f
{t, x, ω, cos θπ− , φπ− } −→ {t, x, ω, cos θπ− , cos θ} ,
(4.82)
luego calculamos el Jacobiano
∂(t, x, ω, cos θπ− , φπ− )
∂(t, x, ω, cos θπ− , cos θ)
(4.83)
para determinar la razón diferencial de decaimiento en el nuevo conjunto de variables
cinemáticas, y finalmente integramos para obtener el espectro deseado. En este caso
el dominio cinemático está definido por las siguientes desigualdades
−Y cos θ −
p
p
(1 − Y 2 )(1 − cos2 θ) ≤ cos θπ− ≤ −Y cos θ + (1 − Y 2 )(1 − cos2 θ) ,
−1 ≤ cos θ ≤ +1 .
(4.84)
Para las variables t, x y ω las desigualdades son las mismas que se muestran en las
ecuaciones (4.20), (4.21) y (4.22), respectivamente; para simplificar la escritura se
definió
2mτ ω m2τ + x − t
−
.
(4.85)
X
2X
Con la finalidad de resaltar los efectos del momento dipolar magnético β(0) sobre
Y =
la distribución d2 Γτ (π − π 0 γ)/d cos θ dω se sustraen los términos de orden k −2 de la
probabilidad de decaimiento no polarizada. En consecuencia, la distribución angular
y de la energı́a del fotón es regular IR, y no es necesario introducir una energı́a de
corte ωmı́n .
78
3
θ=20
0
θ=10
0
−6
−1
dΓ/ΓnrdcosθdEγ(10 MeV )
2
1
0
−1
3
2
1
0
−1
0
200
400
600
800
Eγ (MeV)
Figura 4.7. Distribución angular y de la energı́a del fotón (Eγ ≡ ω) reducida en el decaimiento
radiativo τ2πγ . Las predicciones, basadas en el MDM, se obtienen con β(0) = 1, 2, y 3 (respectivamente, curva entrecortada, continua y punteada) y para dos diferentes valores del ángulo entre el
fotón y el pion cargado, 10◦ y 20◦ . Se ha restado la contribución de orden k −2 de la probabilidad de
decaimiento no polarizada, además se han normalizado los resultados a la razón de decaimiento del
proceso no radiativo τ2π .
Para obtener las predicciones del MDM vamos a fijar el ángulo entre el fotón y
el pion cargado a 10◦ y 20◦ , y para el momento dipolar magnético del mesón vectorial ρ− (770) tomaremos los valores β(0) = 1, 2 y 3, los resultados se muestran en
la figura 4.7. La curva entrecortada, continua y punteada corresponden, respectivamente, a β(0) = 1, 2 y 3. Observemos que existen algunas regiones cinemáticas en
donde se pueden distinguir más claramente los efectos del momento dipolar magnético
β(0). Eventualmente esto podrı́a ayudar a medir esta propiedad del mesón vectorial
ρ− (770). Sin embargo, las correspondientes observables de los decaimientos radiativos
ρ− (770) → X − + γ parecen ser más sensibles al efecto de β(0) [38].
79
Capı́tulo 5
Correcciones radiativas al
decaimiento τ − → ντ π −π 0: parte
dependiente de modelo
En este capı́tulo concluimos el estudio (que iniciamos en el capı́tulo 3) de las correcciones radiativas electromagnéticas de O(α) al decaimiento τ − → ντ π − π 0 . La contribución dependiente de modelo de estas correcciones es calculada usando el modelo
de dominancia de mesones. Nuestros resultados de las correcciones al espectro de los
piones y a la razón de decaimiento difieren de manera importante de aquellos que se
obtuvieron en el contexto de la teorı́a de perturbaciones quirales. La corrección a la
razón de decaimiento (−0.15 %) es pequeña en comparación con el error experimental
actual (0.4 %). El efecto de las correcciones radiativas electromagnéticas sobre la contribución de la polarización del vacı́o hadrónico en dos piones al momento magnético
LO
−10
anómalo del muon es ∆aππ,
, el cual es más grande que el resultado
µ(MDM) = −3.7×10
LO
−10
basado en la teorı́a de perturbaciones quirales (∆aππ,
).
µ(CHPT) = −1.0 × 10
Las correcciones radiativas electromagnéticas (o de distancias largas) al decaimiento τ2π se empezaron a estudiar en el capı́tulo 3 con especial énfasis en la cancelación
de las divergencias IR. En resumen, se describieron las correcciones electromagnéticas
virtuales y la parte divergente (en el lı́mite ω → 0) de las correcciones reales. Para
comprobar que la cancelación de las divergencias IR es exacta fue necesario con-
siderar sus expresiones analı́ticas. También se introdujo la función de corrección
electromagnética GEM (t) la cual engloba la totalidad de las correcciones electromagnéticas virtuales y reales de O(α). La función de corrección se dividió en dos
80
rest
partes, GEM (t) = Glow
EM (t) + GEM (t), la primera contiene la suma de las correcciones
virtuales y la pieza de las correcciones reales necesaria para la cancelación de las
singularidades IR, mientras que la segunda contiene el resto de las correcciones electromagnéticas reales, las cuales están libres de singularidades.
Sabemos que las correcciones electromagnéticas reales al decaimiento τ2π se deben
a la inclusión de eventos radiativos τ2πγ en las observables de este decaimiento, ası́ pues
la determinación de la función GEM (t) involucra el estudio del modo τ2πγ . Como una
consecuencia de los teoremas de Low y de Burnett-Kroll, el término Glow
EM (t), que
domina en la emisión de fotones suaves, es independiente de modelo, mientras que
el término Grest
EM (t), el cual es importante cuando se emiten fotones duros, depende
del modelo que se utiliza para describir el decaimiento radiativo τ2πγ . Basándose en
la CHPT [39, 40] los autores de las referencias [10, 11] analizaron el decaimiento
radiativo τ2πγ y calcularon la función de corrección electromagnética GEM (t). En el
capı́tulo anterior el decaimiento radiativo τ2πγ fue estudiado detalladamente en el
contexto del MDM, e importantes discrepancias fueron encontradas con respecto a
las predicciones basadas en la CHPT [11]. Consecuentemente, para la función de
corrección electromagnética GEM (t) debemos esperar diferencias significativas entre
las predicciones de ambos modelos. Este hecho motiva el cálculo de la función de
corrección GEM (t) en el MDM.
Pruebas a la hipótesis de la corriente vectorial conservada y el cálculo de la contribución de la polarización del vacı́o hadrónico en dos piones al momento magnético
anómalo del muon, constituyen las dos aplicaciones más interesantes de las correcciones radiativas electromagnéticas al decaimiento τ2π . La hipótesis de CVC relaciona
los factores de forma electromagnético (Fπ0 (t)) y débil (Fπ− (t)) del pion. El factor de
forma electromagnético se obtiene de la aniquilación e+ e− → π + π − , mientras que el
factor de forma débil a partir del decaimiento τ − → ντ π − π 0 . Las mediciones actuales
de estos factores de forma indican un desacuerdo con la hipótesis de CVC, el cual se
mantiene aún cuando se toman en cuenta los efectos del rompimiento de la simetrı́a
de isoespin [41]. Debido a que la hipótesis de CVC ha sido verificada con una precisión
muy buena, a nivel de 10−4 , en decaimientos superpermitidos de Fermi [42], vale la
pena investigar si las correcciones radiativas electromagnéticas al decaimiento τ2π ,
calculadas en el contexto del MDM, pueden ayudar a entender las desviaciones de la
hipótesis de CVC que presentan entre sı́ los datos experimentales de Fπ0 (t) y Fπ− (t).
El momento magnético anómalo del muon aµ ha sido medido con una enorme
81
precisión [2], lo cual ha hecho posible una de las pruebas más precisas del modelo
estándar que existe en la actualidad. Por medio de la hipótesis de CVC se puede
calcular la contribución de la polarización del vacı́o hadrónico al momento magnético
anómalo del muon basándose en datos de Fπ− (t). Esta misma contribución se puede
calcular directamente de la aniquilación e+ e− , los resultados más recientes muestran una discrepancia por más de tres desviaciones estándar entre ambas predicciones [41]. La predicción del ME para aµ basada en datos de la aniquilación e+ e−
(aµ (e+ e− ) = (11659180.5 ± 5.6) × 10−10 ) no es consistente con el resultado experimen-
−10
tal (aexp
), por el contrario la predicción que se basa en
µ = (11659208.0 ± 6.3) × 10
datos del τ (aµ (τ ) = (11659195.6 ± 6.8) × 10−10 ) sı́ lo es. De esta manera, el momento
magnético anómalo del muon no sólo permite probar experimentalmente el ME con
una precisión muy alta, sino que además brinda la posibilidad de realizar una prueba de consistencia entre dos de sus predicciones. Dada la precisión de estas pruebas
resulta imprescindible tomar en cuenta las correcciones radiativas electromagnéticas
de O(α) en los datos de los decaimientos del τ , de particular importancia son las
correcciones electromagnéticas al decaimiento τ2π , ya que este modo es el dominante
en los decaimientos del τ .
Finalmente, la precisión actual en la determinación de la fracción de decaimiento
del modo τ2π es de aproximadamente el 0.4 % [1]. Futuras mejoras en la precisión son
esperadas debido a la enorme estadı́stica acumulada por las fábricas de mesones B
(BABAR y BELLE [5]) en eventos del τ ; por lo tanto, la actual y futura precisión
en la medición de la fracción de decaimiento Bτ (π − π 0 ) demanda que se incluyan las
correcciones radiativas electromagnéticas de O(α) para una adecuada comparación
del experimento y la teorı́a.
5.1.
La corrección electromagnética dependiente
de modelo
En esta sección se calcula la pieza dependiente de modelo de la función de corrección electromagnética, Grest
EM (t). Debido a la complejidad de las expresiones el cálculo
se realizará numéricamente. La contribución independiente de modelo, Glow
EM (t), fue
discutida en la sección 3.3, sin embargo, con la finalidad de evitar ambigüedades iniciaremos el estudio de la función de corrección electromagnética GEM (t) a partir de
su definición.
82
La distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema de los piones en
el decaimiento inclusivo τ2π(γ) está dado por
dΓτ (π − π 0 [γ])
dΓ0τ (π − π 0 ) dΓ1τ (π − π 0 ) dΓτ (π − π 0 γ)
=
+
+
,
dt
dt
dt
dt
(5.1)
donde el primer y segundo término de la derecha corresponden, respectivamente, a
la contribución al orden más bajo y a las correcciones electromagnéticas virtuales de
O(α) del decaimiento τ2π .
Para definir la función de corrección electromagnética se factoriza la contribución
al orden más bajo, de esta manera
dΓ0τ (π − π 0 )
dΓτ (π − π 0 [γ])
=
GEM (t) ,
dt
dt
donde
dΓ1τ (π − π 0 ) dΓτ (π − π 0 γ)
+
GEM (t) = 1 +
dt
dt
dΓ0τ (π − π 0 )
dt
(5.2)
−1
.
(5.3)
Es importante tener presente que la distribución del modo radiativo se obtiene de integrar parcialmente sobre el dominio de un decaimiento a cuatro cuerpos, a diferencia
de la distribución del modo no radiativo.
La forma en la cual describiremos cinemáticamente el decaimiento radiativo τ2πγ
será diferente de como se hizo en el capı́tulo anterior, ya que en este caso es más
apropiado trabajar con el conjunto de variables {t, u, x, θν , φπ− } (las definiciones de
estas variables como su respectivo dominio fueron dados en la sección 3.3). Para la
distribución del invariante t en el decaimiento radiativo τ2πγ , es conveniente separar
las contribuciones que se originan por el término de orden k −2 de la probabilidad de
decaimiento no polarizada, de esta manera dicha distribución se puede escribir como
sigue
− 0
− 0
− 0
dΓτ (π − π 0 γ)
dΓlow
dΓlow
dΓrest
τ (π π γ) τ (π π γ) τ (π π γ) =
+
+
IV . (5.4)
dt
dt
dt
dt
RIII
RIV\III
R
A partir de lo discutido en la sección 3.3 las expresiones de los dos primeros términos
de la derecha son inmediatas,
Z u+ (t)
− 0
dΓlow
G2F |Vud |2
τ (π π γ) 2
du D(t, u)gbrems (t, u, Mγ ) ,
III = 2(4π)3 m3 |f+ (t)|
dt
u− (t)
τ
R
Z (mτ −mπ )2
− 0
dΓlow
G2F |Vud |2
τ (π π γ) 2
du D(t, u)g̃brems (t, u) ,
IV\III = 2(4π)3 m3 |f+ (t)|
dt
u+ (t)
τ
R
83
(5.5)
(5.6)
se ha definido
g̃brems (t, u) =
i
αh
K11 (t, u) + 2K20 (t, u) .
π
(5.7)
Tanto la distribución (5.5) como la (5.6) se deben a la emisión del fotón desde las
partı́culas externas cargadas, τ − y π − . De acuerdo con el teorema de Burnett-Kroll
podemos escribir esquemáticamente la probabilidad de decaimiento no polarizada de
la siguiente forma
|Mτ (π − π 0 γ)|2 = |Mτ (π − π 0 γ)|2 [k −2 ] + |Mτ (π − π 0 γ)|2 [k 0 ]
+|Mτ (π − π 0 γ)|2 [k 1 ] + |Mτ (π − π 0 γ)|2 [k 2 ] + · · · ,
(5.8)
ası́ pues, la contribución de los términos de orden k 0 , k 1 , k 2 , . . . a la distribución del
cuadrado del invariante de masa del sistema de los piones se puede escribir como
Z u+ (t) Z x+ (t,u) Z +1
Z 2π
− 0
1
dΓrest
τ (π π γ) d cos θν
dφπ−
dx
du
IV = 4(4π)6 m3
dt
−1
0
0
u− (t)
τ
R
−2
−
0
2
−
0
2
× |Mτ (π π γ)| − |Mτ (π π γ)| [k ]
Z 2π
Z x+ (t,u) Z +1
Z (mτ −mπ )2
d cos θν
dφπ−
dx
du
+
−1
0
x− (t,u)
u+ (t)
−2
−
0
2
−
0
2
(5.9)
× |Mτ (π π γ)| − |Mτ (π π γ)| [k ] .
Esta pieza de la distribución contiene el resto de las contribuciones independientes de
modelo, entre otras la del momento dipolar magnético del mesón vectorial ρ− (770),
ası́ como todas las contribuciones dependientes de modelo, incluyendo la del mesón
vectorial ω(782). Además, está bien definida en todo el dominio cinemático y permanece finita en el lı́mite IR.
La contribución de las correcciones electromagnéticas virtuales de O(α) a la dis-
tribución del invariante t en el decaimiento no radiativo τ2π tiene la siguiente estructura
dΓ1τ (π − π 0 )
G2 |Vud |2
= F 3 3 |f+ (t)|2
dt
2(4π) mτ
Z
u+ (t)
u− (t)
elm
du D(t, u)2floop
(u, Mγ ) ,
(5.10)
elm
la expresión de la función floop
(u, Mγ ) fue dada en la sección 3.2. Como se comprobó en
el capı́tulo 3, los términos singulares presentes en esta función se cancelan exactamente
con los respectivos términos de la función gbrems (t, u, Mγ ), eliminando ası́ el problema
de las divergencias IR en la función de corrección electromagnética GEM (t).
84
En términos de las distribuciones en t, las partes independiente y dependiente de
modelo de la función de corrección electromagnética están dadas por
Glow
EM (t)
Grest
EM (t)
0 − 0 −1
− 0
dΓτ (π π )
dΓ1τ (π − π 0 ) dΓlow
τ (π π γ) +
=1+
,
dt
dt
dt
RIII
0 − 0 −1
− 0
− 0
dΓlow
dΓτ (π π )
dΓrest
τ (π π γ) τ (π π γ) =
.
+
dt
dt
dt
RIV\III
RIV
(5.11)
(5.12)
Basándonos en los resultados de la referencia [11], en la sección 3.3 se analizó la contribución independiente de modelo Glow
EM (t). La expresión (5.11) de esta contribución
se puede llevar trivialmente a la forma (3.73), teniendo en cuenta que
dΓ0τ (π − π 0 )
t 2 2t 3
G2 |Vud |2 m3τ 1
−
1
+
β − 0 |f+ (t)|2 .
= F
dt
12(4π)3
m2τ
m2τ π π
La contribución dependiente de modelo de la función de corrección electromagrest
− 0
nética Grest
EM (t) es dominada por dΓτ (π π γ)/dt. La parte de la probabilidad de de-
caimiento no polarizada del proceso radiativo τ2πγ que se debe integrar, ver ecuación
(5.9), para obtener esta distribución es muy complicada, por este motivo dicha integración se tiene que realizar numéricamente. Empleando los resultados que hemos
obtenido en el contexto del MDM para el decaimiento radiativo τ2πγ , calculamos la
función de corrección electromagnética GEM (t), los resultados se muestran en la figura 5.1. Si se incluye la contribución completa del decaimiento τ2πγ la predicción del
MDM está dada por la curva continua. Para comparar nuestros resultados con los
obtenidos en el marco de la CHPT [11] se muestra la predicción completa de este
modelo en la misma figura (curva entrecortada de lı́neas largas); por completez, se
incluye la gráfica de la función Glow
EM (t), curva entrecortada de lı́neas cortas.
Observemos que las predicciones, para la función de corrección electromagnética
GEM (t), del MDM y de la CHPT difieren de manera significativa en prácticamente
todo el intervalo del cuadrado del invariante de masa del sistema de los piones; obviamente, las diferencias entre ambas predicciones surgen a partir de la componente
dependiente de modelo Grest
EM (t). En la región de valores pequeños e intermedios de t
las diferencias se hacen más notables: para la región t < 0.7 GeV2 nuestros resultados
son más grandes que los obtenidos en la referencia [11], la situación se invierte en
el intervalo 0.7 GeV2 < t < 2.5 GeV2 , en donde la corrección basada en la CHPT
es más grande que la del MDM. De hecho, en la vecindad de t = 1.5 GeV2 nuestra
predicción es incluso más pequeña que la contribución independiente de modelo. En
85
1.04
1.03
1.02
GEM(t)
1.01
1
0.99
0.98
0.97
0.96
0
0.5
1
1.5
2
2
2.5
3
t [Gev ]
Figura 5.1. Función de corrección electromagnética GEM (t). La curva continua corresponde a la
predicción del MDM que incluye todas las contribuciones, mientras que la curva entrecortada de
lı́neas largas corresponde a la predicción completa de la CHPT [11]. La contribución independiente
de modelo, Glow
EM (s), está dada por la curva entrecortada de lı́neas cortas.
ambos modelos las correcciones radiativas electromagnéticas son positivas para valores
menores a t ≃ 0.5 GeV2 , y para valores mayores a este punto se vuelven negativas.
Es importante aclarar que el rápido incremento de la función GEM (t) conforme nos
acercamos a los lı́mites t = 4m2π y t = m2τ (principalmente al lı́mite inferior) se debe
a la presencia de la distribución del invariante t al orden más bajo en el denominador
de esta función, que como sabemos es cero en los puntos mencionados. Ası́ pues, estas
aparentes singularidades no son reales, y para evitarlas se debe tomar la definición
de la función de corrección electromagnética directamente de la relación (5.2).
Para entender el origen de las discrepancias entre las predicciones del MDM y de
la CHPT, discutiremos las caracterı́sticas más importantes del proceso τ2πγ en cada
uno de estos modelos. En el contexto del MDM el decaimiento radiativo τ2πγ ocurre
por medio de la producción y el decaimiento de los mesones ligeros ρ(770), ω(782)
y a1 (1260). Debido a que el momento transferido es grande en este decaimiento, se
deben tomar en cuenta todas las contribuciones de estas resonancias. Evidentemente
86
nuestro modelo introduce una cantidad considerable de parámetros libres (constantes
de acoplamiento), sin embargo todos estos se pueden determinar a partir de los datos
experimentales de procesos independientes de bajas energı́as, recolectados en la referencia [1]. Los autores de la referencia [11] han estudiado el decaimiento radiativo
τ2πγ en el marco de la teorı́a de perturbaciones quirales [39, 40]. En este análisis se
consideró el intercambio de las resonancias vectorial ρ(770) [43] y axial a1 (1260) [44].
También se incluyeron términos axiales [36] en la amplitud (Aµ ), los cuales se deben
a la anomalı́a quiral, es decir, se tomaron en cuenta los acoplamientos axiales a la
corriente débil. En esta misma referencia se reconoce que no debe esperarse que estas
contribuciones axiales anómalas produzcan una amplitud axial realista para todas
las energı́as disponibles en el decaimiento radiativo τ2πγ . A nivel de la amplitud la
diferencia más significativa entre ambos modelos se encuentra en la componente axial
Aµ (obviamente, las expresiones de los factores de forma no se están tomando en
cuenta). Es fácil comprobar que en nuestro modelo la expresión de Aµ es más general
que en la CHPT. Sin embargo, en cada uno de estos modelos la contribución de esta
componente de la amplitud a las observables del decaimiento τ2πγ es despreciable.
La caracterı́stica más importante de la descripción del decaimiento radiativo τ2πγ en
el MDM es sin duda la contribución del mesón vectorial ω(782), diagrama 4.1(g).
Esta contribución no fue considerada en el análisis de la referencia [11], basado en la
CHPT, y como se comprobó en el capı́tulo anterior juega un papel determinante en
la evaluación numérica de las observables del decaimiento τ2πγ .
La contribución del mesón vectorial ω(782), diagrama 4.1(g), a la función de corrección electromagnética GEM (t) es numéricamente la más importante de todas las
contribuciones dependientes de modelo. De hecho, las diferencias entre las predicciones
del MDM y de la CHPT se deben prácticamente en su totalidad a esta contribución.
Para comprobar esta afirmación, se calcula la función de corrección electromagnética
excluyendo el diagrama 4.1(g), y en la figura 5.2 se muestran los resultados. La curva entrecortada de lı́neas largas es la predicción completa de la CHPT, y la curva
punteada corresponde a la predicción del MDM sin incluir la contribución del mesón
vectorial ω(782). Observemos que en este caso los resultados de ambos modelos apenas se diferencian en todo el dominio del cuadrado del momento transferido (t). En
cada uno de los modelos en cuestión los acoplamientos axiales a la corriente débil
tienen un origen completamente diferente, y como se discutió con anterioridad las
expresiones de la parte axial de la amplitud del proceso radiativo τ2πγ que producen
87
1.04
1.03
1.02
GEM(t)
1.01
1
0.99
0.98
0.97
0.96
0
0.5
1
1.5
2
2
2.5
3
t [GeV ]
Figura 5.2 Predicción del MDM para la función de corrección electromagnética cuando se excluye
la contribución del mesón vectorial ω(782), curva punteada. La curva entrecortada de lı́neas largas
corresponde a la predicción completa del modelo de la referencia [11], basado en la CHPT.
son distintas; entonces, resulta interesante determinar la magnitud de la contribución
de Aµ a la función de corrección electromagnética GEM (t) en el MDM. Para esto calculamos GEM (t) excluyendo la contribución de los diagramas 4.1(h)-(k), el resultado
(no mostrado) casi no se distingue de la predicción completa. En conclusión, tanto en
el MDM como en la CHPT [11] la contribución de la parte axial de la amplitud del
proceso radiativo τ2πγ a la función de corrección electromagnética es despreciable.
Para aplicaciones prácticas de la función de corrección GEM (t) es deseable parametrizar de una manera sencilla los resultados obtenidos en el MDM, ya que para
calcular exactamente esta función es necesario implementar una subrutina en Fortran
lo cual no siempre resulta conveniente. La función de corrección electromagnética se
puede parametrizar por medio de la función
2
3
4
5
Gaprox
EM (t) = 1.107 − 1.326x + 5.667x − 10.95x + 9.735x − 3.278x ,
(5.13)
donde x = t/m2τ . Esta función polinomial da una buena descripción de los resultados
del MDM en el intervalo 0.18 GeV2 ≤ t ≤ 2.93 GeV2 , numéricamente Gaprox
EM (t) difiere
del resultado exacto, en este intervalo, a lo más en un 0.3 %.
88
Para tomar en cuenta las correcciones radiativas electrodébiles a la distribución del
invariante t en el decaimiento inclusivo τ2π(γ) , recordemos que el factor de corrección
electrodébil SEW se debe incluir en el decaimiento no radiativo τ2π ası́ como en el
radiativo τ2πγ , ya que estos son procesos fı́sicos diferentes, y además es una buena
aproximación considerar que el factor SEW no depende del decaimiento semileptónico
especı́fico del τ . Por lo tanto, incluyendo las correcciones radiativas de distancias
cortas y largas, la distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema de los
piones en el decaimiento τ2π(γ) se puede escribir como
dΓτ (π − π 0 [γ])
dΓ0τ (π − π 0 )
=
SEW GEM (t) .
dt
dt
(5.14)
Finalmente, es importante comentar que para obtener la función de corrección
electromagnética se ha integrado implı́citamente, la razón diferencial del decaimiento
radiativo τ2πγ , sobre todas las posibles energı́as del fotón. Por lo tanto, la función de
corrección GEM (t) se debe aplicar únicamente a mediciones del proceso completamente
inclusivo τ2π(γ) .
5.2.
Correcciones a la razón de decaimiento
Es posible que en futuros experimentos se pueda distinguir el decaimiento radiativo
τ2πγ del no radiativo τ2π . Si ∆ω es la resolución del experimento en la energı́a del fotón,
entonces los eventos radiativos con ω > ∆ω serán identificados como tales, mientras
que aquellos eventos con ω < ∆ω se contarán como no radiativos. Ante este posible
escenario resulta interesante calcular la razón de decaimiento del proceso inclusivo
τ2π(γ) |ω<∆ω , es decir, incluyendo la emisión de fotones cuyas energı́as sean menores
que la resolución del dispositivo experimental.
La razón de decaimiento se puede obtener integrando directamente la ecuación
(5.14). Sin embargo, una vez que se han cancelado los términos singulares IR, es más
conveniente separar las contribuciones de los procesos no radiativo τ2π y radiativo
τ2πγ |ω<∆ω , y entonces integrar separadamente dichas contribuciones; obviamente, para
obtener la contribución del proceso τ2πγ |ω<∆ω debemos trabajar con el conjunto de
variables cinemáticas {t, x, ω, θπ− , φπ− }, e integrar sobre la energı́a del fotón ω al final.
La razón de decaimiento se puede escribir como
89
∆ω (MeV) δLD ( %) en el MDM
300
δLD ( %) en la CHPT [11]
−0.31
400
–
−0.27
500
–
−0.23
600
–
−0.19
700
–
−0.16
800
–
−0.15
ωmáx
–
−0.15
−0.38
Tabla 5.1. Correcciones radiativas de distancias largas a la razón de decaimiento del proceso inclusivo τ2π(γ) |ω<∆ω , los resultados se obtienen para diferentes valores de la resolución experimental y
se dan en tanto por ciento.
Γτ (π π [γ])
− 0
ω<∆ω
=
Γ0τ (π − π 0 )
+
Γ1τ (π − π 0 )
− 0
= Γτ (π π )(1 + δLD ) ,
+ Γτ (π π γ)
− 0
ω<∆ω
(5.15)
Γτ (π − π 0 ) es la razón de decaimiento que se obtiene integrando la ecuación (5.14)
con GEM (t) = 1. Las correcciones radiativas de distancias largas están contenidas en
δLD . En la tabla 5.1 se muestra esta cantidad para diferentes valores de la resolución
experimental ∆ω.
Para el decaimiento inclusivo τ2π(γ) (≡ τ2π(γ) |ω<ωmáx ) las correcciones radiativas
electromagnéticas a la razón de decaimiento se muestran en el último renglón de la
tabla 5.1. Observemos que nuestra predicción (−0.15 %) está por debajo del error experimental actual (±0.4 %), en tanto que la predicción de la referencia [11] (−0.38 %)
es comparable a este. En efecto, la predicción basada en la CHPT es por lo menos
dos veces más grande que la predicción del MDM. La contribución más importante
de δLD viene de los términos independientes de modelo (Glow
EM (t) − 1) con −0.32 %.
Por su parte, en el MDM los términos dependientes de modelo (Grest
EM (t)) contribuyen
en +0.17 %. A partir de la segunda columna de la tabla 5.1, podemos ver que la
corrección a la razón de decaimiento debido a la emisión de fotones con energı́as
mayores a 300 MeV es de aproximadamente el 0.16 %. Este valor es menor al estimado
(ingenuamente) por los autores de la referencia [45],
α mτ − mρ
ln
≃ 0.8 % .
π
∆ω
90
Vale la pena comentar que las correcciones radiativas electrodébiles a la razón de
decaimiento del proceso inclusivo τ2π(γ) (aproximadamente del 2 %) son numéricamente más importantes que las correcciones electromagnéticas. Futuras mejoras en
las mediciones experimentales pueden reducir de manera significativa la incertidumbre. En este escenario es posible que las correcciones radiativas electromagnéticas se
vuelvan relevantes.
5.3.
Contribución al momento magnético anómalo
del muon
La hipótesis de CVC permite calcular la contribución de la polarización del vacı́o
hadrónico al momento magnético anómalo del muon (aµhad,LO ) empleando datos de
los decaimientos del τ [46]. Aproximadamente el 73 % de aµhad,LO es debido al estado
final π + π − . Esta contribución se denota comúnmente por aππ,LO
; para una correcµ
ta predicción de aππ,LO
basada en datos del decaimiento τ2π es necesario tomar en
µ
cuenta los efectos del rompimiento de la simetrı́a de isoespin, ası́ como las correcciones radiativas electromagnéticas y electrodébiles. En particular, nosotros estamos
interesados en determinar el impacto de las correcciones radiativas electromagnéticas
sobre la parte dominante de la contribución de la polarización del vacı́o hadrónico al
momento magnético anómalo del muon, empleando los resultados del MDM.
Los autores de la referencia [11] han llevado a cabo este análisis, sin embargo,
las discrepancias encontradas entre las predicciones de ambos modelos nos motivan
a repetir el cálculo. Debemos enfatizar que estas correcciones se deben aplicar únicamente cuando se utilizan datos del modo inclusivo τ2π(γ) para calcular aππ,LO
.
µ
Es ilustrativo mostrar como se obtiene la expresión de la contribución dominante
aππ,LO
en términos de la distribución del cuadrado del momento transferido del deµ
caimiento a dos piones del τ . Para esto, recordemos que la contribución de la polarización del vacı́o hadrónico al momento magnético anómalo del muon se puede
calcular a partir de los datos experimentales de la aniquilación e+ e− a hadrones, por
medio de la integral de dispersión [47]
aµhad,LO
1
= 3
4π
Z
∞
4m2π
(0)
dt K(t)σe+ e− →hadrones (t) ,
(5.16)
donde el superı́ndice en la sección eficaz indica que se trata de la contribución al orden
91
más bajo en la teorı́a de perturbaciones. La función K(t) es el kernel de QED,
x2
1
x2
2
2
ln(1 + x) − x +
+ (1 + x) 1 + 2
K(t) = x 1 −
2
x
2
1
+
x
+x2
ln(x) ,
(5.17)
1−x
con
x=
1 − (1 − 4m2µ /t)1/2
.
1 + (1 − 4m2µ /t)1/2
La función K(t) decrece monótonamente conforme se incrementa t, por esta razón
la parte de bajas energı́as de la integral de dispersión (5.16) da numéricamente la
contribución más importante. De hecho cerca del 91 % de la contribución total a
√
aµhad,LO se concentra a energı́as del centro de masa t menores que 1.8 GeV. A partir
de la ecuación (5.16) la contribución debida a la aniquilación en dos piones, e+ e− →
π + π − , es inmediata
aππ,LO
µ
1
= 3
4π
Z
m2τ
4m2π
(0)
dt K(t)σe+ e− →π+ π− (t) ,
(5.18)
(0)
para nuestro propósito es conveniente expresar la sección eficaz σe+ e− →π+ π− (t) en
términos de la función espectral v0 (t),
(0)
σe+ e− →π+ π− (t) =
4πα2
v0 (t) ;
s
(5.19)
la función espectral v0 (t) está directamente relacionada con el factor de forma electromagnético del pión Fπ0 (t) mediante la siguiente relación
v0 (t) =
βπ3+ π− 0 2
|Fπ (t)| ,
12
(5.20)
donde βπ+ π− = λ1/2 (t, mπ+ , mπ− )/t.
Si la simetrı́a de isoespin es exacta la corriente vectorial se conserva (CVC), en
este caso se satisface la igualdad v0 (t) = v− (t), aquı́ v− (t) es la función espectral para
el modo de decaimiento τ2π y en términos del factor de forma débil del pion Fπ− (t)
está dada por
βπ3− π0 − 2
v− (t) =
|Fπ (t)| .
(5.21)
12
El factor de forma, f+ (t), que hemos utilizado para describir los decaimientos no
radiativo τ2π y radiativo τ2πγ difiere por una constante multiplicativa de Fπ− (t), con√
cretamente f+ (t) = 2Fπ− (t). La distribución del cuadrado del momento transferido
92
del modo a dos piones del τ − que se mide experimentalmente es
− 0
dΓexp
dΓτ (π − π 0 [γ])
τ (π π )
=
(5.22)
dt
dt
2 2t
t
G2F |Vud |2 m3τ SEW
1 + 2 v− (t) GEM (t) ,
1− 2
=
32π 3
mτ
mτ
por supuesto, se han despreciado las contribuciones de los modos τ2πγγ , τ2πγγγ , . . . .
A partir de esta relación la función espectral v− (t) se puede expresar en términos de
− 0
la distribución dΓexp
τ (π π )/dt, entonces, por medio de la relación que proporciona la
hipótesis de CVC, la sección eficaz de la aniquilación e+ e− → π + π − se puede escribir
de la siguiente manera
(0)
σe+ e− →π+ π− (t)
− 0
Kσ (t) dΓexp
1
τ (π π )
=
,
KΓ (t)
dt
SEW GEM (t)
(5.23)
se han definido las siguientes funciones
πα2
,
3t
2 t
2t
G2F |Vud |2 m3τ
1− 2
1+ 2 .
KΓ (t) =
384π 3
mτ
mτ
Kσ (t) =
(5.24)
(5.25)
Finalmente, la expresión deseada (en términos de los datos experimentales del modo
τ2π ) para la parte dominante de la contribución de la polarización del vacı́o hadrónico
al momento magnético anómalo del muon se obtiene con la sección eficaz (5.23),
Z m2τ
− 0
1
1
Kσ (t) dΓexp
τ (π π )
ππ,LO
aµ
= 3
dt K(t)
.
(5.26)
4π 4m2π
KΓ (t)
dt
SEW GEM (t)
Para determinar el impacto de las correcciones radiativas de distancias largas
sobre aππ,LO
evaluaremos, siguiendo la referencia [11], la diferencia entre la expresión
µ
dada por (5.26) y la que se obtiene tomando SEW = 1 y GEM (t) = 1,
Z m2τ
− 0
Kσ (t) dΓexp
1
1
τ (π π )
ππ, LO
dt K(t)
−1 .
∆aµ
= 3
4π 4m2π
KΓ (t)
dt
SEW GEM (t)
(5.27)
La parametrización de Gounaris-Sakurai del factor de forma débil del pion, Fπ− (t),
brinda una excelente descripción de los datos experimentales [4], por lo que es una
buena aproximación tomar esta parametrización para determinar la distribución ex− 0
ππ, LO
perimental dΓexp
de la función de corrección elecτ (π π )/dt. El impacto sobre aµ
tromagnética GEM (t), calculada en el contexto del MDM, se estima evaluando (5.27)
con SEW = 1,
LO
−10
∆aππ,
.
µ(MDM) = −3.7 × 10
93
(5.28)
Este valor es cası́ cuatro veces más grande que el reportado por los autores de la
LO
−10
referencia [11] (∆aππ,
). De acuerdo con los resultados obtenidos
µ(CHPT) = −1.0 × 10
para la función de corrección electromagnética GEM (t), es claro que si se excluye
LO
la contribución del mesón vectorial ω(782) se obtiene para ∆aππ,
µ(MDM) un valor casi
idéntico al de la referencia [11]. Una vez más la contribución del mesón vectorial
LO
ω(782) induce la discrepancia entre las predicciones, para ∆aππ,
, del MDM y de la
µ
CHPT.
Debido a que la discrepancia entre las predicciones del MDM y de la CHPT para
LO
∆aππ,
es importante, resulta interesante estimar el efecto de nuestro resultado sobre
µ
el momento magnético anómalo del muon. El valor experimental [48] y las predicciones
del ME, basadas en datos de la aniquilación e+ e− [41] y en datos de los decaimientos
del τ [49], para aµ son las siguientes:
aexp
= (11659208.0 ± 6.3) × 10−10 ,
µ
+ −
−10
aSM
,
µ (e e ) = (11659180.5 ± 4.4had ± 3.5LBL ± 0.2QED+EW ) × 10
−10
aSM
.
µ (τ ) = (11659195.6 ± 5.8had ± 3.5LBL ± 0.2QED+EW ) × 10
Las diferencias entre el valor medido y los valores calculados son [50]:
SM + −
−10
aexp
,
µ − aµ (e e ) = (27.5 ± 8.4) × 10
SM
−10
aexp
.
µ − aµ (τ ) = (7.4 ± 9.2) × 10
(3.3σ)
(0.8σ)
(5.29)
(5.30)
Si se toma en cuenta nuestro resultado se obtiene:
SM
−10
aexp
.
µ − aµ (τ, MDM) = (10.1 ± 9.2) × 10
(1.1σ)
(5.31)
Ası́ que, nuestro resultado aumenta ligeramente la discrepancia entre el valor experimental de aµ y su predicción basada en datos de los decaimientos del τ . La diferencia
de las dos predicciones teóricas de aµ da una prueba muy precisa de la hipótesis de
CVC; teóricamente esta diferencia debe ser cero. Con los datos actuales se tiene que:
aµ (τ, [51]) − aµ (e+ e− ) = (20.1 ± 7.3) × 10−10 ,
(2.8σ)
(5.32)
utilizando la predicción del MDM se obtiene:
aµ (τ, MDM) − aµ (e+ e− ) = (17.9 ± 7.3) × 10−10 .
(2.4σ)
(5.33)
En este caso, nuestro resultado reduce ligeramente la discrepancia entre estas dos
predicciones teóricas.
94
Capı́tulo 6
Los decaimientos τ − → ντ (ω, φ)P −
En este capı́tulo se estudian los decaimientos del leptón τ − a un mesón vectorial
isoescalar (ω o φ) y a un mesón pseudoescalar (π − o K − ), en el contexto del modelo
de dominancia de mesones. Para determinar algunas de las constantes de acoplamiento de la interacción fuerte que introduce nuestro modelo, si los datos experimentales
adecuados no existen, recurrimos a la simetrı́a SU (3) de sabor. También empleamos
un modelo de quarks fenomenológico para reducir la incertidumbre en nuestras predicciones. Todos nuestros resultados están en buen acuerdo con las mediciones experimentales, en particular, nuestras predicciones para la fracción de decaimiento de los modos
τ − → ντ φπ − y τ − → ντ φK − con los resultados que han reportado recientemente las
colaboraciones BABAR y BELLE.
Los modos de decaimiento τ − → ντ V P − (τV P ), donde V representa un isoescalar
fı́sico del nonete 1 3 S1 y P − alguno de los mesones cargados π − o K − , son cuatro:
τ − −→ ντ ωπ − ,
τ − −→ ντ φπ − ,
τ − −→ ντ ωK − ,
τ − −→ ντ φK − .
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
El estudio de estos decaimientos fue motivado principalmente por las recientes mediciones de los modos τφπ y τφK , realizadas por las colaboraciones BELLE [52] y BABAR
[53]. Además, estos decaimientos brindan un excelente escenario donde se puede comprobar la efectividad del MDM para describir los decaimientos semileptónicos del
τ −.
95
Modo
Fracción de decaimiento
Referencia
τωπ
(1.95 ± 0.08) × 10−2
[54, 55, 56]
τφπ
τωK
τφK
(6.05 ± 0.71) × 10−5
[52]
−5
(3.42 ± 0.55 ± 0.25) × 10
[53]
(4.1 ± 0.9) × 10−4
[57]
(3.39 ± 0.20 ± 0.28) × 10−5
[53]
(4.05 ± 0.25 ± 0.26) × 10−5
[52]
Tabla 6.1. Valores experimentales de las fracciones de decaimiento de los modos semileptónicos
τV P .
La fracción de decaimiento y la función espectral del modo τωπ fueron medidas con
una buena precisión desde hace ya varios años [54, 55, 56], debido a que este modo
es el más favorecido de los decaimientos τV P , el resto de estos decaimientos han sido
medidos sólo en años recientes [52, 53, 57]. Anteriormente para los decaimientos que
involucran el mesón vectorial φ sólo se conocı́an los lı́mites superiores reportados en la
referencia [58], Bτ (φπ − ) ≤ (1.2 ∼ 2.0) × 10−4 y Bτ (φK − ) ≤ (5.4 ∼ 6.7) × 10−4 , con un
nivel de confianza del 90 %. En la tabla 6.1 se resumen los resultados experimentales
actuales para las fracciones de decaimiento de los cuatro modos τV P . A partir de estos
resultados podemos notar que los efectos de la estructura de resonancias hadrónicas
de los estados intermedios son importantes, ya que por consideraciones del espacio
fase y de los elementos de la matriz CKM (Vud y Vus ) ingenuamente esperarı́amos
que los decaimientos que involucran el pion cargado (∆S = 0) dominen sobre los que
involucran el kaon cargado (∆S = −1). Por lo tanto, resulta sumamente interesante
realizar un estudio detallado de la estructura de los estados intermedios en estos
decaimientos.
Con respecto a los cálculos teóricos de los decaimientos τV P , únicamente han sido
considerados en detalle los modos que no cambian extrañeza [59, 60], también se
han estimado de manera aproximada los modos τφπ y τφK en las referencias [61] y
[52], respectivamente. Los primeros en tratar el modo τφπ fueron los autores de la
referencia [61], por medio de la hipótesis de CVC y empleando la cota que existı́a
para la sección eficaz de la aniquilación e+ e− → φ π 0 , establecieron una cota para
la fracción de decaimiento del modo τφπ , Bτ (φπ − ) ≤ 9.0 × 10−4 , con un 90 % de
nivel de confianza. En las referencias [59, 60] el decaimiento τωπ fue estudiado en
el contexto del MDM, asumiendo que este modo es dominado por dos resonancias
96
vectoriales se calculó la fracción de decaimiento, el autor de [59] obtuvo1 Bτ (ωπ − ) =
1.75 % mientras que los autores de [60] obtuvieron Bτ (ωπ − ) = (1.22 ± 0.56) %. En
ambos casos la predicción para la fracción de decaimiento está por debajo de su valor
experimental actual, ver la tabla 6.1. Suponiendo que la simetrı́a de nonete es exacta,
para los multipletes de mesones vectoriales 1 3 S1 y 2 3 S1 , en [60] se obtuvo el valor
Bτ (φπ − ) = (1.20 ± 0.48) × 10−5 , esta observable es claramente subestimada. Para
el decaimiento τφK sólo existe una estimación muy burda [52], la cual se basa en
consideraciones del espacio fase y del elemento Vus de la matriz CKM.
Ası́ como las recientes mediciones experimentales de los decaimientos τV P , la falta de un cálculo teórico que describa satisfactoriamente estos decaimientos también
motivó el trabajo que se presenta en este capı́tulo. Dicho cálculo, como ya hemos
discutido anteriormente, sólo es posible en el marco de un modelo efectivo de bajas
energı́as (< mτ ) para las interacciones fuertes de los estados hadrónicos que intervienen en los decaimientos τV P , tal y como el MDM.
Los decaimientos τV P son también interesantes por otras razones. Un mejor entendimiento de la dinámica de los decaimientos del τ a tres y cuatro mesones pseudoescales (τ3P y τ4P , respectivamente) es posible sólo con la adecuada descripción
de los modos de decaimiento τV P , ya que como es bien conocido [1] los decaimientos
τ3P y τ4P son dominados por la producción de resonancias hadrónicas en los estados intermedios, entre los que se encuentran los mesones vectoriales ρ(770), ρ(1450),
K ∗ (892), . . . . Además, por medio del análisis de los decaimientos τV P se puede tener
acceso directo al elemento de matriz hadrónico hV P − |Jα |0i en el régimen de energı́as
menores a la masa del τ , lo cual puede ayudarnos a obtener una prueba más de los
modelos de quarks relativistas [62] y no relativistas [63], gracias a que la simetrı́a
de cruce relaciona los decaimientos τV P y (B, D) → V lν. Como hemos discutido en
varias ocasiones, en el lı́mite de la simetrı́a de isoespin la hipótesis de CVC relaciona
los decaimientos τωπ y τφπ con las aniquilaciones e+ e− → ωπ 0 y e+ e− → φπ 0 , res-
pectivamente, por lo que la medición de las observables de estos procesos ofrece la
oportunidad de probar una vez más dicha hipótesis.
Como fue señalado en la referencia [60], los decaimientos τωπ y τφπ son también
interesantes por ofrecer información acerca del ángulo de la mezcla ω − φ (θV ) y de
la naturaleza de las violaciones a la regla de OKubo-Zweig-Iizuka (OZI) [64]. Con la
ayuda de un modelo para la interacción de dos mesones vectoriales y un mesón pseu1
Únicamente mostramos el valor máximo de la fracción de decaimiento obtenido en esta referencia.
97
doescalar, motivado por la simetrı́a SU (3), los autores de dicha referencia demostraron
que la razón de los decaimientos τωπ y τφπ , Bτ (ωπ − )/Bτ (φπ − ), es sensible a las varia-
ciones del ángulo de la mezcla ω − φ, por lo que la medición de esta observable puede
ser útil para una determinación precisa del parámetro θV . Estrechamente relacionado
con el punto anterior, también fue demostrado que la medición simultánea de los decaimientos que no cambian extrañeza puede proporcionar información clara sobre la
naturaleza de las violaciones a la regla de OZI. Ya que como el mesón vetorial φ es casi
un estado puro ss̄, de acuerdo con la regla de OZI, esperarı́amos que el decaimiento
τφπ estuviera muy suprimido con respecto al decaimiento τωπ .
Finalmente, es importante hacer el siguiente comentario. Debido a la relevancia de
las predicciones (principalmente para las observables del decaimiento radiativo τ2πγ ,
para la función de corrección electromagnética GEM (s) del modo a dos piones del τ −
y para la parte dominante de la contribución de la polarización del vacı́o hadrónico
al momento magnético anómalo del muon aππ,LO
) que hemos discutido anteriormente
µ
en el contexto del MDM, y a las notables discrepancias que se encontraron con las
correspondientes predicciones de la teorı́a de perturbaciones quirales (CHPT), es deseable comprobar la validez de nuestro modelo en la descripción de los decaimientos
semileptónicos del leptón τ . Como ya hemos comentado, los decaimientos τV P ofrecen
un excelente escenario para este propósito.
En las siguientes secciones llevaremos a cabo el estudio detallado de los decaimientos τV P en el contexto del MDM. En todos los casos se presentarán los resultados para
la fracción de decaimiento, la componente de la función espectral y la correspondiente distribución del invariante de masa del sistema hadrónico final (V P − ), pues estas
observables son útiles para la comparación con el experimento.
6.1.
Cálculo de la función espectral
Nuestro punto de partida serán los hamiltonianos efectivos que describen las interacciones débiles semileptónicas,
∆S=0
=
Heff
GF Vud ¯ α
√ [dγ (1 − γ5 )u][ν̄τ γα (1 − γ5 )τ ]
2
(6.5)
para las interacciones que no cambian extrañeza, y
∆S=−1
Heff
=
GF Vus α
√ [s̄γ (1 − γ5 )u][ν̄τ γα (1 − γ5 )τ ]
2
98
(6.6)
para las interacciones que cambian extrañeza. A nivel de quarks los hamiltonianos
efectivos (6.5) y (6.6) describen, respectivamente, los procesos semileptónicos τ − →
ντ dū y τ − → ντ sū. Los decaimientos sin extrañeza τV π se producen por la hadronización del proceso τ − → ντ dū, mientras que los decaimientos con extrañeza τV K
por la hadronización del proceso τ − → ντ sū. La amplitud invariante del decaimiento
τV P , al orden más bajo en la teorı́a de perturbaciones, está dada por el elemento de
∆S=−1
VP
∆S=0
matriz del hamiltoniano efectivo Heff
(≡ Heff
, Heff
) entre el estado inicial τ − y
el estado final ντ V P − ,
VP −
Mτ (V P − ) = hντ V P − |Heff
|τ i =
GF VuQ α
√ lα h ,
2
(6.7)
donde Q = d ó s, lα es la corriente leptónica2 y hα la corriente hadrónica; en este caso
la corriente hadrónica es definida como
hα = hV P − |Qγ α (1 − γ5 )u|0i .
(6.8)
El término más interesante de la amplitud es sin duda la corriente hadrónica,
pues contiene la información de la dinámica del estado hadrónico final. Al mismo
tiempo es el más complicado de calcular, de hecho a partir de primeros principios
no es posible determinar este término. Por esta razón se recurre a modelos efectivos
de bajas energı́as (< mτ ) para describir las interacciones de los hadrones del estado
final. Nosotros emplearemos el MDM para calcular la corriente hadrónica hα , pero los
resultados de esta sección se expresan en términos de factores de forma y son válidos
para cualquier otro modelo. La covariancia de Lorentz establece la forma más general
de parametrizar el elemento de matriz hadrónico [65, 66, 67],
hα = igεαβµν ǫ∗V β (pV + pP )µ (pV − pP )ν + f ǫαV ∗
+[a+ (pV + pP )α + a− (pV − pP )α ]ǫ∗V · (pV + pP ) ,
(6.9)
aquı́ ǫV es el vector de polarización del mesón vectorial V . Además, g es el factor
de forma vectorial, mientras que f , a+ y a− son los factores de forma axiales, y
todos dependen únicamente del cuadrado del momento transferido s = (pτ − pν )2 =
(pV + pP )2 .
La probabilidad de decaimiento no polarizada se puede calcular fácilmente,
1 X
|Mτ (V P − )|2 =
|Mτ (V P − )|2 = 2G2F |VuQ |2 Lαβ H αβ .
(6.10)
2 s ,s ,s
τ
2
ν
V
La cual ha sido definida en la ecuación (2.3).
99
El tensor leptónico Lαβ se definió en la ecuación (2.8) y el tensor hadrónico (para el
decaimiento τV P ) está dado por
X
H αβ =
hα hβ∗
sV
= −αg αβ + β++ (pV + pP )α (pV + pP )β + β+− (pV + pP )α (pV − pP )β
+β−+ (pV − pP )α (pV + pP )β + β−− (pV − pP )α (pV − pP )β
−iγεαβγδ (pV + pP )γ (pV − pP )δ ,
(6.11)
donde
h
i
2
2
|f |2
2
2
2
2 λ(s, mV , mP )
+
|g|
s
−
2(m
+
m
)
+
|a
|
+
V
P
4m2V
4m2V
2
2
∗ s − 3mV − mP
,
+Re[f a+ ]
2m2V
2
2
|f |2
2
2
2
∗ ∗ s + mV − mP
= (β−+ )∗ =
+
(m
−
m
)|g|
+
(f
a
)
V
P
+
4m2V
4m2V
2
2
s − 3m2V − m2P
∗ λ(s, mV , mP )
+
(a
a
)
,
+(f a∗− )
+
−
4m2V
4m2V
2
2
2
2
|f |2
2
2 λ(s, mV , mP )
∗ s + mV − mP
−
|g|
s
+
|a
|
+
Re[f
a
]
,
β−− =
−
−
4m2V
4m2V
2m2V
α = |f |2 + |g|2 λ(s, m2V , m2P ) ,
β++ =
β+−
γ = 2Re[gf ∗ ] .
Una caracterı́stica importante de los factores de forma del tensor hadrónico H αβ (α,
β++ , β+− , β−+ , β−− y γ) es que también dependen únicamente del cuadrado del
momento transferido s.
Para describir cinemáticamente el decaimiento τV P escogemos las siguientes variables: s el cuadrado del invariante de masa del sistema V P − , y u = (pV + pν )2 =
(pτ − pP )2 el cuadrado del invariante de masa del sistema V ντ . En términos de estas
variables cinemáticas la razón diferencial de decaimiento se puede escribir como un
polinomio en u (de segundo grado),
d2 Γτ (V P − )
1
=
|Mτ (V P − )|2
(6.12)
du ds
4(4π)3 m3τ
1
G2F |VuQ |2 n
α(m2τ − s) + β++ m2τ (m2τ − s) − Re[β+− ]m2τ (m2τ + 2m2V
=
3
3
2(4π) mτ
2
i
h
−s − 2u) + γ m2τ (m2V − m2P ) + (m2τ + m2V + m2P − s)s − 2su
h
io
1
2
2
2
2
2
2
2
2
+ β−− 4mV mP + mτ (mτ − s) − 4(mτ + mV + mP − s)u + 4u
,
2
100
por lo que su integración sobre esta variable es trivial.
La región cinemática fı́sicamente accesible en el decaimiento τV P está definida por
el dominio
n
o
(mV + mP )2 ≤ s ≤ m2τ , u− (s) ≤ u ≤ u+ (s) ,
(6.13)
donde las funciones u± (s) tienen las siguientes expresiones:
u± (s) = m2τ + m2V − s +
1
1
(m2τ − s)(m2V − m2P − s) ± (m2τ − s)βV P .
2s
2
(6.14)
Para simplificar la escritura hemos definido
βV P =
λ1/2 (s, m2V , m2P )
.
s
(6.15)
Esta función está relacionada directamente con la velocidad de los mesones finales, de
hecho en el marco de referencia en el que el sistema V P − está en reposo, la magnitud
de la velocidad de V (ó P − ) es precisamente βV P /2.
La distribución del cuadrado del invariante de masa del estado hadrónico final se
obtiene por medio de la integración de (6.12) sobre la variable u,
1
G2F |VuQ |2 m3τ
m2V − m2P
dΓτ (V P − )
s 2 α
+
=
β
β
+
Re[β+− ]
1
−
VP
++
ds
2(4π)3
m2τ
m2τ
2
s
h m2 − m2 2 1 1
2s 2 i
V
P
.
(6.16)
+ β−−
+
1 + 2 βV P
2
s
3
mτ
Notemos que el término proporcional al factor de forma γ, del tensor hadrónico H αβ ,
contribuye a la doble distribución en u y s, ecuación (6.12), pero no a la distribución
en s, ecuación (6.16).
Debido a la importancia de la función espectral v1 (s), tanto teórica como experimental, es indispensable definirla. En este caso, para facilitar la comparación con los
resultados experimentales, vamos a tomar la definición de la referencia [55],
2s i−1
m2τ Bτ (V P − ) h
1
s 2 dΓτ (V P − )
1
+
v1 (s) =
1
−
, (6.17)
6π|VuQ |2 Bτ (e− ν̄e )
m2τ
m2τ
Γτ (V P − )
ds
donde Bτ (e− ν̄e ) y Bτ (V P − ) son las fracciones de decaimiento de los modos τ − →
ντ e− ν̄e y τ − → ντ V P − , respectivamente, y Γτ (V P − ) es la correspondiente razón de
decaimiento del modo semileptónico. Sustituyendo la expresión que hemos hallado
para la distribución del invariante s obtenemos que:
βV P 1
m2V − m2P
2s −1 α
v1 (s) =
+
β
+
Re[β+− ]
1+ 2
++
4π
mτ
m2τ
2
s
h m2 − m2 2 1 1
2s 2 i
V
P
.
+ β−−
+
1 + 2 βV P
2
s
3
mτ
101
(6.18)
La fracción de decaimiento leptónica Bτ (e− ν̄e ) se toma al orden más bajo y en el
lı́mite del electrón sin masa, es decir
Bτ (e− ν̄e ) =
G2F m5τ
.
3(4π)3 Γτ
La definición (6.17) de la función espectral difiere en un factor π −1 con respecto a la
definición, tomada de la referencia [4], que hemos empleado en los capı́tulos previos.
6.2.
Los factores de forma en el MDM
Hasta aquı́ hemos analizado el decaimiento τV P de manera general. Para determinar las observables de este decaimiento es necesario calcular los factores de forma,
lo cual sólo es posible en el contexto de un modelo efectivo de bajas energı́as para
las interacciones de los hadrones del estado final. En el MDM el decaimiento τV P
se produce por medio de resonancias hadrónicas Ri (Ri = Vi , Ai , Pi ), las cuales
primero surgen como estados intermedios virtuales e inmediatamente después decaen
al estado hadrónico final V P − , ver la figura 6.1. Las resonancias hadrónicas Ri deben
tener los números cuánticos adecuados, en este caso pueden ser mesones vectoriales Vj
(J P = 1− ), mesones axiales Ak (J P = 1+ ) y mesones pseudoescalares Pl (J P = 0− ).
De esta manera, en el MDM el elemento de matriz hadrónico se puede escribir
como:
hα = hV P − |Qγ α u|0i − hV P − |Qγ α γ5 u|0i
X X hV P − |Vj ihVj |Qγ α u|0i X X hV P − |Ak ihAk |Qγ α γ5 u|0i
=
−
s − m2Vj + imVj ΓVj
s − m2Ak + imAk ΓAk
j s
k s
Vj
−
Ak
X hV P − |Pl ihPl |Qγ α γ5 u|0i
l
s − m2Pl + imPl ΓPl
,
(6.19)
donde mRi y ΓRi son, respectivamente, la masa y el ancho de la resonancia Ri . Para
simplificar nuestro análisis hemos despreciado la dependencia en la energı́a del ancho de decaimiento de la resonancia Ri , ΓRi (s) = ΓRi , las correcciones a nuestros
resultados por esta aproximación son muy pequeñas. Los nuevos elementos de matriz
hadrónicos definen las interacciones W − Ri y Ri V P − , y se parametrizan de acuerdo
con la covariancia de Lorentz,
hVj |Qγ α u|0i = GVj ǫαVj∗ ,
hAk |Qγ α γ5 u|0i = −GAk ǫαAk∗ ,
102
(6.20)
(6.21)
Figura 6.1. Diagramas de Feynman que contribuyen al decaimiento τV P en el MDM. El primer
término de la derecha corresponde a la contribución de resonancias vectoriales, el segundo a la
contribución de resonancias axiales y el tercero a la contribución de resonancias pseudoescalares.
hPl |Qγ α γ5 u|0i = −GPl pαPl ,
hV P − |Vj i = iGVj V P εµνρσ pµVj ǫνVj pρV ǫσV ∗ ,
hV P − |Ak i = GAk V P (pAk · pV gµν − pV µ pAk ν )ǫµAk ǫνV ∗ ,
hV P − |Pl i = GPl V P (pPl + pP )µ ǫµV ∗ ,
(6.22)
(6.23)
(6.24)
(6.25)
donde ǫVj y ǫAk son los vectores de polarización de los mesones vectorial Vj y axial
Ak , respectivamente. Además, GRi denota el acoplamiento débil de la resonancia
hadrónica Ri y GRi V P su acoplamiento fuerte al estado final V P − . Sustituyendo las
relaciones (6.20)-(6.25) en (6.19) y sumando sobre los estados de polarización de los
mesones virtuales, vectoriales y axiales, se llega a la expresión deseada del elemento
de matriz hadrónico,
GVj GVj V P
iX
εαβµν ǫ∗V β (pV + pP )µ (pV − pP )ν
hα =
2
2 j s − mVj + imVj ΓVj
X
G Ak G Ak V P
1
ǫαV ∗
− (s + m2V − m2P )
2
2
s
−
m
+
im
Γ
A
A
k
k
Ak
k
X
X
1
G Ak G A k V P
G Pl G Pl V P
+
+2
2 k s − m2Ak + imAk ΓAk
s − m2Pl + imPl ΓPl
l
103
×(pV + pP ) · ǫ∗V (pV + pP )α
G Pl G Pl V P
1X
(pV + pP ) · ǫ∗V (pV − pP )α ,
+
2 l s − m2Pl + imPl ΓPl
(6.26)
la relación pVj = pAk = pPl = pV + pP que establece la conservación del momentoenergı́a ha sido útil.
Finalmente, comparando las ecuaciones (6.9) y (6.26) se deducen las expresiones
generales de los factores de forma que parametrizan la corriente hadrónica (hα ) en el
MDM,
GVj GVj V P
1X
,
2 j s − m2Vj + imVj ΓVj
X
G A k G Ak V P
1
,
f = − (s + m2V − m2P )
2
s − m2Ak + imAk ΓAk
k
X
G Ak G Ak V P
1X
G Pl G Pl V P
a+ =
+2
,
2
2
2 k s − mAk + imAk ΓAk
s
−
m
+
im
Γ
P
P
l
l
P
l
l
G Pl G Pl V P
1X
.
a− =
2 l s − m2Pl + imPl ΓPl
g =
(6.27)
(6.28)
(6.29)
(6.30)
Estas expresiones de los factores de forma también se pueden obtener si aplicamos
las reglas de Feynman, definidas en el apéndice B, a los diagramas de la figura 6.1.
6.3.
Los decaimientos que conservan la extrañeza
Para los decaimientos que no cambian la extrañeza (∆S = 0), las propiedades de
transformación de la corriente débil y del sistema hadrónico V π − bajo la G-paridad,
establecen f = a+ = a− = 0, es decir
¯ α γ5 u|0i = 0 .
hV π − |dγ
(6.31)
Ası́ pues, en el contexto del MDM los decaimientos τωπ y τφπ se producen por medio
del intercambio de los mesones vectoriales ρ(770), ρ(1450), ρ(1700), . . . . Como en
los trabajos previos [59, 60], asumiremos que estos decaimientos son dominados por
la contribución de dos resonancias vectoriales, en principio ρ(770) y ρ(1450). Sin
embargo, un análisis cuidadoso muestra que para reproducir los datos experimentales
del modo τωπ es necesario reemplazar el estado ρ(1450), mρ′ = 1459 ± 11 MeV y
Γρ′ = 147 ± 40 MeV [1], por el estado ρ(1523), mρ′ = 1523 ± 10 MeV y Γρ′ = 400 ± 35
104
MeV [56]. En este caso, el factor de forma vectorial está dado por
s − m2ρ + imρ Γρ
Gρ GρV π
1
1 + αV π
,
g=
2 s − m2ρ + imρ Γρ
s − m2ρ′ + imρ′ Γρ′
donde
G ρ′ G ρ′ V π
,
Gρ GρV P
αV π =
para simplificar la escritura hemos empleado la notación ρ = ρ(770) y ρ′ = ρ(1523).
Debido a que los factores de forma axiales son nulos en los decaimientos τV π , las
expresiones para la distribución de s, el cuadrado del invariante de masa del sistema
V π − , y para la función espectral se simplifican considerablemente:
2s 3
s 2 G2 |Vud |2 m3τ
dΓτ (V π − )
2
1
+
β
1
−
= F
s|g|
ds
6(4π)3
m2τ
m2τ V π
(6.32)
y
sβV3 π 2
|g| .
(6.33)
12π
Si redefinimos el factor de forma vectorial como g = −FV π (s)/2, nuestros resultados
v1 (s) =
coinciden con los que se reportan en las referencias [59, 60].
6.3.1.
Fijando las constantes de acoplamiento
En este escenario, para describir los decaimientos que conservan la extrañeza, el
MDM introduce seis parámetros libres: dos acoplamientos débiles (Gρ y Gρ′ ) y cuatro
acoplamientos fuertes (Gρωπ , Gρ′ ωπ , Gρφπ y Gρ′ φπ ). Estas constantes de acoplamiento
se deben fijar a partir de procesos independientes de bajas energı́as, y cuando los datos
experimentales no sean suficientes recurriremos a la simetrı́a SU (3) de sabor. Si se
introduce la intensidad relativa de la contribución de los mesones ρ(770) y ρ(1523),
αωπ para el modo τωπ y αφπ para el modo τφπ , entonces el número de parámetros
libres se reduce a cinco.
El acoplamiento débil Gρ
La forma más apropiada de calcular el acoplamiento entre el bosón débil cargado
W − y el mesón vectorial ρ(770) la ofrece la simetrı́a de isoespin, a través de la siguiente
relación [9]
Gρ =
√
2 m2ρ
= (0.1700 ± 0.0034) × 106 MeV2 .
γρ
105
(6.34)
Para el acoplamiento electromagnético del mesón vectorial neutro ρ(770) utilizamos el
valor γρ = 5.002 ± 0.099, el cual resulta de promediar los valores de este acoplamiento
que se obtienen de los decaimientos ρ0 → e+ e− y ρ0 → µ+ µ− (los detalles del cálculo
se muestran en el apéndice E.1). De manera alternativa, el acoplamiento débil Gρ se
puede fijar por medio del decaimiento semileptónico τ − → ντ ρ− (770). Asumiendo que
Bτ (ρ− ) ∼ Bτexp (π − π 0 ) − Bτexp (π − π 0 non-ρ(770))
se obtiene Gρ = (0.1623 ± 0.0011) × 106 MeV2 , ver el apéndice E.6. Observemos
que estos resultados, para la constante de acoplamiento Gρ , no son consistentes entre
sı́. Nuestro análisis del decaimiento τ2π , realizado en el capı́tulo 2, mostró que la
contribución de las resonancias ρ(1450) (ó ρ(1523)) y ρ(1700) es significativa, por
lo tanto si se desprecia su contribución se introduce una incertidumbre de tamaño
considerable. Por esta razón es preferible trabajar con el valor del acoplamiento débil
Gρ que se obtiene vı́a la simetrı́a de isoespin (ecuación (6.34)).
El acoplamiento fuerte Gρφπ
El decaimiento a tres piones del mesón vectorial φ (φ → π + π − π 0 ) permite fijar la
constante de acoplamiento fuerte Gρφπ (ver el apéndice E.11). El valor que se obtiene
es
Gρφπ = −(1.568 ± 0.030) × 10−3 MeV−1 .
(6.35)
Con respecto a este valor, es importante señalar que el error es una estimación, y que
el signo se toma negativo pues se ha encontrado conveniente3 . Para determinar este
acoplamiento se empleó la aproximación:
Bφexp (π + π − π 0 ) = B(φ → ρπ → π + π − π 0 ) + B(φ → X → π + π − π 0 )
≃ B(φ → ρπ → π + π − π 0 ) ,
aquı́ X denota cualquier estado hadrónico diferente a ρπ. Tomando en cuenta que
B(φ → X → π + π − π 0 ) < 6 × 10−4 [68] con un nivel de confianza del 90 % y
B(φ → X → π + π − π 0 ) ≃ 8.7 × 10−3 [69], y que el valor experimental de la fracción de
decaimiento es Bφexp (π + π − π 0 ) = (15.3 ± 0.4) %, esta aproximación resulta razonable.
Si la constante de acoplamiento Gρφπ se calcula utilizando la aproximación, más ingenua, Bφexp (π + π − π 0 ) ∼ Bφ (ρπ) se obtiene Gρφπ = −(1.230 ± 0.018) × 10−3 MeV−1 .
3
De hecho, si se emplea el valor experimental de la fracción de decaimiento del modo K ∗ → Kγ,
el MDM y la simetrı́a SU (3), para calcular las constantes de acoplamiento, se llega a que Gρφπ < 0.
106
Debido a que el factor de forma del modo τφπ es proporcional al cuadrado de Gρφπ ,
es recomendable utilizar el valor que se obtiene del modo a tres piones del mesón φ,
ya que este es más preciso.
El acoplamiento fuerte Gρωπ
Debido a que el decaimiento ω → ρπ está prohibido por la cinemática, y a que
el análisis del decaimiento ω → π + π − π 0 es más complicado que el de φ → π + π − π 0 ,
resulta más factible calcular el acoplamiento fuerte Gρωπ de manera indirecta. Los
decaimientos radiativos ρ± → π ± γ, ρ0 → π 0 γ y ω → π 0 γ, en el marco del MDM,
brindan la oportunidad de determinar dicha constante de acoplamiento. En efecto, el
MDM establece las relaciones [70]
e
e
Gρ± ωπ± + Gρ± φπ± = Gρ± π± γ = (2.19 ± 0.12) × 10−4 MeV−1 ,
γω
γφ
e
e
Gρ0 ωπ0 + Gρ0 φπ0 = Gρ0 π0 γ = (2.52 ± 0.17) × 10−4 MeV−1 ,
γω
γφ
e
e
0.114
−4
Gρ0 ωπ0 + Gφωπ0 = Gωπ0 γ = (7.214 −
MeV−1 ,
+ 0.099 ) × 10
γρ
γφ
(6.36)
(6.37)
(6.38)
los valores de la derecha se obtienen (ver el apéndice E.3) de los resultados experimentales para las fracciones de decaimiento de los modos radiativos V → P γ. Los
acoplamientos electromagnéticos γω y γφ se fijan, respectivamente, de los decaimien-
tos ω → l+ l− y φ → l+ l− (con l = e, µ), como en el caso del acoplamiento γρ ,
se toman los promedios de los valores que se obtienen de los modos e+ e− y µ+ µ−
(ver el apéndice E.1). Por su parte, el acoplamiento fuerte Gφωπ se fija a partir del
0.51
−5
decaimiento φ → ωπ 0 , Gφωπ = (4.07 +
MeV−1 (en el apéndice E.2 se mues− 0.43 ) × 10
tran más detalles). Con estos elementos podemos extraer el valor de la constante de
acoplamiento Gρωπ ,
Gρ± ωπ± = (13.4 ± 1.6) × 10−3 MeV−1 ,
Gρ0 ωπ0 = (15.2 ± 1.9) × 10−3 MeV−1 ,
−3
.30
Gρ0 ωπ0 = (11.90+0
MeV−1 .
−0.29 ) × 10
(para ρ± → π ± γ)
(para ρ0 → π 0 γ)
(para ω → π 0 γ)
(6.39)
(6.40)
(6.41)
Si la simetrı́a de isoespin es exacta entonces
Gρ+ ωπ+ = Gρ− ωπ− = Gρ0 ωπ0 ≡ Gρωπ ,
(6.42)
por lo que vale la pena calcular el promedio, Gρωπ = (12.3 ± 1.2) × 10−3 MeV−1 . Sin
embargo, hemos encontrado oportuno trabajar con el valor que se obtiene del modo
107
neutro4 ρ0 → π 0 γ:
6.3.2.
Gρωπ = (15.2 ± 1.9) × 10−3 MeV−1 .
(6.43)
El decaimiento τωπ
Una vez que se han fijado los acoplamientos débil Gρ y fuerte Gρωπ , en nuestro
modelo para el decaimiento τωπ , la intensidad relativa αωπ es el único parámetro libre.
Dado que la función espectral del modo τωπ ha sido medida por la colaboración CLEO
[55] con buena precisión, el parámetro αωπ se fijará por medio del ajuste a estos datos
experimentales. El mejor ajuste se obtiene con
αωπ = −0.57 ± 0.11 .
(6.44)
En la figura 6.2 se muestran la curva de este ajuste y los datos de CLEO [55] para
la función espectral v1 (s), ecuación (6.33). Con los parámetros de nuestro modelo
fijos, podemos calcular la fracción de decaimiento integrando directamente la ecuación
(6.32),
Bτ (ωπ − ) = (1.95 ± 0.60) % .
(6.45)
Observemos que el acuerdo entre nuestra predicción y el valor experimental es notable,
ver la tabla 6.1. La incertidumbre en nuestro resultado proviene principalmente de la
incertidumbre en el valor de αωπ .
En la referencia [54] la colaboración ALEPH reporta sus mediciones para la dis√
tribución del invariante de masa del sistema hadrónico final, s, en el decaimiento
τωπ . Comparar estos datos experimentales con la correspondiente predicción de nuestro modelo es indispensable, y en la figura 6.3 se muestran los resultados de dicha
comparación. Los datos de las colaboraciones ND [71], DM2 [72] y CLEO [55] también
han sido incluidos; nótese que el acuerdo es bueno.
De manera alternativa, la intensidad relativa αωπ se puede fijar a partir de la
ecuación5 Bτ (ωπ − ) = Bτexp (ωπ − ), la cual resulta ser cuadrática en αωπ . Como es de
esperarse, si resolvemos esta ecuación se obtienen dos soluciones, αωπ = −0.57 ± 0.11
y αωπ = 0.98 ± 0.21. La solución fı́sica se determina graficando la función espectral
(o la distribución del invariante de masa del sistema ωπ − ), para los valores obtenidos
4
Ya que este valor hace posible la reproducción simultánea de los datos experimentales, para la
función espectral y la fracción de decaimiento, del modo τωπ .
5
El término del lado izquierdo es la predicción teórica, que en este caso depende únicamente del
parámetro αωπ .
108
0.05
0.04
v1HsL
0.03
0.02
0.01
0
1
1.2
1.4
!!!
s @GeVD
1.6
Figura 6.2. La función espectral para el decaimiento τωπ . La curva es nuestro mejor ajuste y los
puntos con sus respectivas barras de error son los datos de la colaboración CLEO [55].
de αωπ , y comparando con los resultados experimentales. De esta forma, la solución
positiva queda completamente excluida. Por su parte, la solución negativa coincide con
el valor que se obtuvo del ajuste a los datos de la función espectral de la colaboración
CLEO.
Finalmente, es importante comentar que nuestro análisis del decaimiento τωπ
mostró que para poder reproducir los datos de la función espectral, reportados por
la colaboración CLEO [55], y el valor experimental de la fracción de decaimiento, ver
la tabla 6.1, es necesario que el acoplamiento fuerte Gρωπ tenga un valor de aproximadamente 15 × 10−3 MeV−1 . Por esta razón, para este acoplamiento se tomó el valor
que resulta del modo neutro ρ0 → π 0 γ. Este hecho también nos motivó a tomar el
acoplamiento Gρφπ negativo, ya que de esta manera se obtiene el valor deseado de
Gρωπ , en el marco del MDM. Como se ha señalado anteriormente, el signo negativo en
el valor de Gρφπ se puede justificar con la ayuda del decaimiento K ∗ → Kγ, emplean-
do el MDM y la simetrı́a SU (3) de sabor, para obtener los acoplamientos relevantes;
el análisis detallado se puede consultar en el apéndice E.10.
109
3
1 dG
€€€€€ €€€€€€€€!!!
€€€€€€€€€ @GeV-1D
G d s
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
1.2
1.4
!!!
s @GeVD
1.6
Figura 6.3. Distribución del invariante de masa del sistema hadrónico ωπ − en el decaimiento
τωπ , normalizada a la razón de decaimiento Γτ (ωπ − ). La curva corresponde a nuestra predicción y
los cuadrados con sus barras de error a los datos de la colaboración ALEPH [54]. Los datos de las
colaboraciones ND [71], DM2 [72] y CLEO [55] se representan por medio de los diamantes, triángulos
y estrellas, respectivamente.
6.3.3.
El decaimiento τφπ
En la literatura no se reportan los resultados de la función espectral, o de la
distribución del invariante de masa del sistema hadrónico final, para el decaimiento τφπ . Consecuentemente, para poder predecir las observables de este decaimiento,
fijaremos el parámetro libre αφπ a través de la simetrı́a SU (3) de sabor. Utilizando
las expresiones que predice SU (3) para los acoplamientos de la interacción VectorVector-Pseudoescalar de mesones, obtenidas en el apéndice D.1, podemos escribir las
razones Gρωπ /Gρφπ y Gρ′ ωπ /Gρ′ φπ de la siguiente manera:
√
Gρωπ
tan θV + 2r
√
,
=
Gρφπ
1 − 2r tan θV
110
(6.46)
√
Gρ′ ωπ
tan θV + 2r′
√
.
=
Gρ′ φπ
1 − 2r′ tan θV
(6.47)
En estas expresiones, θV es el ángulo de la mezcla ω − φ, r = G0V V P /G8V V P es la razón
de los acoplamientos de dos singletes y dos octetes de 1 3 S1 a un octete de 1 1 S0 , y
r′ = G0V ′ V P /G8V ′ V P es la razón de los acoplamientos del singlete y octete de 1 3 S1 a
los octetes de 2 3 S1 y 1 1 S0 . Si asumimos que el rompimiento de la simetrı́a de nonete
en las interacciones 1 3 S1 − 1 3 S1 − 1 1 S0 es del mismo tamaño que en las interacciones
1 3 S1 − 2 3 S1 − 1 1 S0 , entonces se satisface que r = r′ . De esta manera, a partir de las
relaciones (6.46) y (6.47) es claro que
Gρωπ
Gρ′ ωπ
=
Gρφπ
Gρ′ φπ
=⇒
Gρ Gρωπ
Gρ′ Gρ′ ωπ
=
,
Gρ Gρφπ
Gρ′ Gρ′ φπ
y por lo tanto
αφπ = αωπ = −0.57 ± 0.11 .
(6.48)
La fracción de decaimiento para el modo τφπ se calcula mediante la integración
de la ecuación (6.32). Utilizando el valor (6.48) para la intensidad relativa αφπ se
obtiene:
Bτ (φπ − ) = (3.64 ± 0.93) × 10−5 .
(6.49)
Notemos que la predicción de nuestro modelo está en acuerdo con el resultado de
la colaboración BABAR [53], y difiere significativamente del valor preliminar que
reporta BELLE [52] (ver la tabla 6.1). Si para el acoplamiento fuerte de ρ(770) al
estado final φπ − hubiésemos usado el valor Gρφπ = −(1.230 ± 0.018) × 10−3 MeV−1
(el cual se obtiene del modo φ → ρπ), en lugar del valor (6.35) (que se obtiene del
modo φ → π + π − π 0 ), nuestra predicción para la fracción de decaimiento, Bτ − (φπ − ) =
(2.24 ± 0.57) × 10−5 , estarı́a claramente subestimando los valores experimentales.
Finalmente, es interesante mostrar las predicciones de nuestro modelo para la
función espectral y la distribución del invariante de masa del sistema φπ − , ver la figura
6.4, ya que eventualmente, esto nos permitirá comparar los resultados experimentales
de estas observables del decaimiento τφπ con nuestras predicciones, basadas en el
MDM.
6.4.
Los decaimientos que cambian la extrañeza
En el caso de los decaimientos que cambian la extrañeza (∆S = −1), la G-paridad
establece que tanto la parte vectorial como la parte axial de la corriente débil con111
tribuyen a la amplitud de decaimiento. Consecuentemente, todos los factores de forma
que parametrizan el elemento de matriz hadrónico hα son diferentes de cero. En el
contexto del MDM los decaimientos τV K se originan por la producción de resonancias
vectoriales (K ∗ (892), K ∗ (1410), K ∗ (1680), . . . ), axiales (K1 (1270), K1 (1400), . . . )
y pseudoescalares (K, . . . ) como estados intermedios virtuales. Para simplificar el
análisis vamos a suponer que los factores de forma son dominados por el intercambio
de los mesones K ∗ (892), K ∗ (1410), K1 (1270), K1 (1400) y K, ası́ pues
h
s − m2K ∗ + imK ∗ ΓK ∗ i
1
GK ∗ GK ∗ V K
,
1
+
α
VK
2 s − m2K ∗ + imK ∗ ΓK ∗
s − m2K ′∗ + imK ′∗ ΓK ′∗
1
GK1 GK1 V K
f = − (s + m2V − m2K )
2
s − m2K1 + imK1 ΓK1
h
s − m2K1 + imK1 ΓK1 i
,
× 1 + δV K
s − m2K ′ + imK1′ ΓK1′
1
h
s − m2K1 + imK1 ΓK1 i
GK1 GK1 V K
1
1
+
δ
a+ =
VK
2 s − m2K1 + imK1 ΓK1
s − m2K ′ + imK1′ ΓK1′
g =
(6.50)
(6.51)
1
a−
GK GKV K
,
+2
s − m2K + imK ΓK
1
GK GKV K
=
,
2 s − m2K + imK ΓK
(6.52)
(6.53)
donde
GK ′∗ GK ′∗ V K
,
GK ∗ GK ∗ V K
GK1′ GK1′ V K
.
=
GK1 GK1 V K
αV K =
δV K
Hemos utilizado la notación K ∗ = K ∗ (892), K ′∗ = K ∗ (1410), K1 = K1 (1270) y
K1′ = K1 (1400), para facilitar la escritura de los factores de forma. La distribución
del invariante s, el cuadrado de la masa del sistema V K − , y la función espectral, para
los decaimientos que no cambian la extrañeza, tienen las expresiones generales que se
obtuvieron en la sección 6.1.
6.4.1.
Fijando las constantes de acoplamiento
De acuerdo con lo expuesto previamente, en nuestro modelo los decaimientos que
cambian la extrañeza (τωK y τφK ) están parametrizados por quince parámetros libres:
cinco acoplamientos débiles y diez acoplamientos fuertes. En consecuencia, el estudio
de estos decaimientos es mucho más complicado que el estudio de los decaimientos
112
que no cambian la extrañeza. Introduciendo las intensidades relativas de las contribuciones de los mesones vectoriales K ∗ (892) y K ∗ (1410), αωK y αφK , el número de
parámetros libres se reduce a trece. Los cuales fijaremos por medio de procesos independientes débiles (semileptónicos) y fuertes. En algunos casos, cuando la situación
de los datos experimentales no sea la adecuada para determinar los acoplamientos
fuertes, asumiremos que SU (3) es una buena simetrı́a para describir las interacciones
fuertes.
Los acoplamientos débiles
Los acoplamientos débiles de los mesones vectoriales (K ∗ (892) y K ∗ (1410)) y axiales (K1 (1270) y K1 (1400)) con extrañeza, que describen su interacción con el bosón
de norma débil cargado, se pueden calcular a partir de los valores experimentales para
las fracciones de decaimiento de los modos semileptónicos τ − → ντ K ∗− (892), τ − →
ντ K ∗− (1410), τ − → ντ K1− (1270) y τ − → ντ K1− (1400). En los apéndices E.6 y E.7
se realiza el cálculo de estas constantes de acoplamiento, los resultados se resumen a
continuación:
GK ∗ = 0.1889 ± 0.0041 GeV2 ,
2
+ 0.080
GK ′ ∗ = 0.170 −
0.057 GeV ,
(6.54)
GK1 = 0.215 ± 0.025 GeV2 ,
(6.56)
GK1′ = 0.17 ± 0.13 GeV2 .
(6.55)
(6.57)
Nótese que la incertidumbre en el acoplamiento débil del mesón axial K1 (1400) es
muy grande. Esta se origina casi en su totalidad por el error en el valor experimental de la fracción de decaimiento del modo τ − → ντ K1− (1400), Bτexp (K1− (1400)) =
(1.7 ± 2.6) × 10−3 [1].
El análisis de los decaimientos que cambian la extrañeza (τV K ) muestra el siguiente
patrón. En el decaimiento τωK la contribución del mesón axial K1 (1270) domina sobre
la contribución de K1 (1400); por el contrario, en el decaimiento τφK la contribución del
mesón axial K1 (1400) domina sobre la contribución de K1 (1270). Por lo tanto, para
reducir la incertidumbre de nuestras predicciones, es necesaria una determinación más
precisa del acoplamiento débil GK1′ . El modelo covariante de quarks de la referencia
[73] brinda la oportunidad de calcular, de manera fenomenológica, este acoplamiento.
Los parámetros de dicho modelo se fijan usando el valor de GK1 que se obtuvo del
modo τ − → ντ K1− (1270), ecuación (6.56), si además se asume que el valor del ángulo
113
de la mezcla6 K1A − K1B es de 45◦ , entonces se obtiene que
GK1′ = 0.242 ± 0.025 GeV2 .
(6.58)
Observemos que en este caso el error es mucho más pequeño en comparación con
el error del resultado que se obtuvo a partir del modo τ − → ντ K1− (1400), ecuación
(6.57); claramente los valores centrales de GK1′ , obtenidos mediante estos dos métodos,
difieren entre sı́.
El valor del acoplamiento débil del mesón pseudoescalar K ha sido determinado
con buena precisión [1],
GK = 159.8 ± 1.4 ± 0.44 MeV .
(6.59)
Este valor se obtiene del decaimiento K → µνµ e incluye los efectos de las correcciones
radiativas electromagnéticas de O(α). Esta constante de acoplamiento también se
puede fijar a partir de los decaimientos τ − → ντ K − (GK = 154.1 ± 3.0 MeV) y
K → eνe (GK = 152.2 ± 3.7 MeV); los detalles se pueden consultar, respectivamente,
en los apéndices E.8 y E.9. Debido a que el cálculo de los decaimientos τ − → ντ K −
y K → eνe se realizó al orden más bajo en la teorı́a de perturbaciones, es preferible
trabajar con el valor (6.59) del acoplamiento GK .
Los acoplamientos fuertes GKV K
Por medio del decaimiento fuerte φ → K + K − podemos extraer la constante de
acoplamiento GKφK ; usando el valor experimental de su fracción de decaimiento [1]
obtenemos (ver el apéndice E.4)
GKφK = 4.482 ± 0.038 .
(6.60)
Con la ayuda de la simetrı́a SU (3) es posible calcular el acoplamiento fuerte GKωK .
De acuerdo con los resultados del apéndice D.2, esta simetrı́a establece las siguientes
relaciones para los acoplamientos KωK y KφK:
√
3 8
GKωK =
GV P P sin θV ,
√2
3 8
G
cos θV ,
GKφK =
2 V PP
6
(6.61)
(6.62)
La definición formal de este ángulo de mezcla se da en el apéndice D.3, ası́ como una discusión
más amplia con respecto a su valor.
114
donde G8V P P es el acoplamiento del octete de 1 3 S1 con dos octetes de 1 1 S0 . Es bien
conocido [1] que el ángulo de la mezcla ω − φ tiene un valor muy próximo a 35.3◦
√
(tan θV = 1/ 2), el cual es comúnmente denominado como su valor ideal, ya que para
este caso el mesón φ resulta ser un estado ss̄ puro; en todo nuestro análisis siguiente
vamos a emplear dicho valor. A partir de las relaciones anteriores es fácil comprobar
que
1
GKωK = √ GKφK = 3.169 ± 0.027 .
(6.63)
2
El MDM ofrece una manera alternativa de calcular los acoplamientos KV K; en
este modelo los factores de forma electromagnéticos de los mesones K + y K 0 , a
momento transferido cero, están dados por
GK + ρ0 K + GK + ωK + GK + φK +
+
+
=1,
γρ
γω
γφ
GK 0 ρ0 K 0 GK 0 ωK 0 GK 0 φK 0
FK 0 (0) =
+
+
=0.
γρ
γω
γφ
FK + (0) =
(6.64)
(6.65)
Los valores de los acoplamientos electromagnéticos γρ , γω y γφ se han discutido en la
sección 6.3.1. Sustituyendo las expresiones que predice SU (3) para las constantes de
acoplamiento fuertes (halladas en el apéndice D.2),
1
GK + ρ0 K + = −GK 0 ρ0 K 0 = G8V P P ,
√2
3 8
GK + ωK + = GK 0 ωK 0 =
GV P P sin θV ,
√2
3 8
GK + φK + = GK 0 φK 0 =
G
cos θV ,
2 V PP
y resolviendo el sistema de ecuaciones lineales para G8V P P , tomando el valor ideal del
ángulo de mezcla θV , se obtienen los siguientes resultados
γω γφ
√
= 2.99 ± 0.13 ,
2(γφ + 2γω )
γω γφ
√
= √
= 4.24 ± 0.19 .
2(γφ + 2γω )
GK + ωK + =
(6.66)
GK + φK +
(6.67)
El acuerdo entre estos resultados y los que se obtuvieron a partir del modo de decaimiento φ → K + K − es satisfactorio.
Los acoplamientos fuertes GK ∗ V K
La simetrı́a SU (3) de sabor proporciona las siguientes relaciones, para las constantes de acoplamiento de las interacciones fuertes del tipo Vector-Vector-Pseudoescalar
115
(consultar el apéndice D.1),
i
h
√
1
GK ∗ ωK = − √ G8V V P sin θV − 2 2r cos θV ,
2 3
i
h
√
1
GK ∗ φK = − √ G8V V P cos θV + 2 2r sin θV ,
2 3
i
√
1 8 h
Gρωπ = √ GV V P sin θV + 2r cos θV ,
3
i
√
1 8 h
Gρφπ = √ GV V P cos θV − 2r sin θV .
3
(6.68)
(6.69)
(6.70)
(6.71)
Utilizando las expresiones (6.70) y (6.71), el valor ideal del ángulo de la mezcla ω − φ,
y los valores de los acoplamientos Gρωπ y Gρφπ que se obtuvieron en la sección 6.3.1
(Gρωπ = (15.2±1.9)×10−3 MeV−1 y Gρφπ = −(1.568±0.030)×10−3 MeV−1 ), podemos
establecer la ecuación
1 + 2r
Gρωπ
= −9.7 ± 1.2 .
=√
Gρφπ
2(1 − r)
(6.72)
Esta ecuación es lineal en r, y resolviéndola se obtiene el valor de dicho parámetro,
r = 1.256 ± 0.038 .
(6.73)
Ahora, es fácil comprobar que los acoplamientos fuertes GK ∗ V K se pueden determinar a partir de las razones de la ecuaciones (6.68)-(6.71), tomando el valor ideal del
ángulo de mezcla θV ,
4r − 1
4r − 1
GK ∗ ωK =
Gρωπ = √
Gρφπ
4r + 2
2 2(1 − r)
= (8.71 ± 0.95) × 10−3 MeV−1 ,
1 + 2r
1
Gρφπ
GK ∗ φK = − √ Gρωπ = −
2(1 − r)
2
= −(10.7 ± 1.3) × 10−3 MeV−1 .
(6.74)
(6.75)
Los acoplamientos fuertes GK1 V K y GK1′ V K
Los decaimientos fuertes K1 (1270) → ωK y K1 (1400) → ωK permiten calcular
las constantes de acoplamiento GK1 ωK y GK1′ ωK , respectivamente; el cálculo en detalle
se realiza en el apéndice E.5. Usando los valores experimentales de las fracciones de
decaimiento [1] se obtienen los siguientes resultados
GK1 ωK = −(3.17 ± 0.46) × 10−3 MeV−1 ,
GK1′ ωK = (4.8 ± 2.4) × 10−4 MeV−1 .
116
(6.76)
(6.77)
Para obtener el acoplamiento fuerte GK1 ωK se tomó el valor máximo de la masa
del mesón K1 (1270) que sugiere la referencia [1], mK1 = 1279 MeV. Con respecto a
estos valores de los acoplamientos GK1 ωK y GK1′ ωK tenemos que señalar dos puntos
importantes. El primero es que el espacio fase en el modo K1 (1270) → ωK está muy
suprimido, de tal manera que si tomamos el valor que sugiere el PDG para la masa
del mesón axial (mK1 = 1272 ± 7 MeV), la cinemática prohibe este decaimiento. Y
el segundo es que la precisión del valor experimental de la fracción de decaimiento
para el modo K1 (1400) → ωK es mala, BK1′ (ωK) = (1.0 ± 1.0) %. Estos hechos
nos motivan a buscar formas alternativas de calcular las constantes de acoplamiento
GK1 ωK y GK1′ ωK . En el caso de los acoplamientos GK1 φK y GK1′ φK , no es posible fijar
su valor a partir de los modos de decaimiento K1 (1270) → φK y K1 (1400) → φK
debido a que la cinemática los prohibe.
Una vez más recurriremos a la simetrı́a SU (3) de sabor, para determinar los
acoplamientos GK1 V K y GK1′ V K . Con este fin, en el apéndice D.3 proponemos un
lagrangiano para la interacción Axial-Vector-Pseudoescalar invariante bajo SU (3).
Este lagrangiano describe la interacción del octete y singlete de 1 3 S1 con los octetes
de 1 1 P1 y 1 1 S0 , y la interacción de los octetes de 1 3 P1 , 1 3 S1 y 1 1 S0 . Cabe mencionar
que los estados fı́sicos K1 (1270) y K1 (1400) resultan de la mezcla de los estados de
isoespin
1
2
de los multipletes 1 3 P1 (K1A ) y 1 1 P1 (K1B ); esta mezcla está parametrizada
por el ángulo α. Por simplicidad vamos a asumir una simetrı́a de nonete para los
acoplamientos del multiplete 1 3 S1 , es decir, que la intensidad de las interacciones del
octete y singlete de 1 3 S1 con los octetes de 1 1 P1 y 1 1 S0 son iguales (G8BV P = G0BV P ).
Si además para el ángulo de la mezcla K1A − K1B tomamos α = 45◦ (ver el apéndice
D.3), y para el ángulo de la mezcla ω − φ su valor ideal θV = 35.3◦ , entonces nuestro
lagrangiano para la interacción Axial-Vector-Pseudoescalar predice las relaciones:
1
GK1+ ωK − = GK 0 ωK 0 = −GK1− ωK + = −GK 0 ωK 0 = √ Σ+ ,
(6.78)
1
1
2 2
1
GK ′ + ωK − = GK ′ 0 ωK 0 = −GK ′ − ωK + = −GK ′ 0 ωK 0 = − √ Σ− ,
(6.79)
1
1
1
1
2 2
1
GK1+ φK − = GK 0 φK 0 = −GK1− φK + = −GK 0 φK 0 = Σ− ,
(6.80)
1
1
2
1
(6.81)
GK ′ + φK − = GK ′ 0 φK 0 = −GK ′ − φK + = −GK ′ 0 φK 0 = − Σ+ ,
1
1
1
1
2
1
GK1+ ρ0 K − = GK 0 ρ0 K 0 = −GK1− ρ0 K + = −GK 0 ρ0 K 0 = √ Σ+ ,
1
1
2 2
1
GK + ρ− K 0 = GK10 ρ+ K − = −GK1− ρ+ K 0 = −GK 0 ρ− K + = Σ+ ,
1
1
2
117
(6.82)
(6.83)
1
GK ′ + ρ0 K − = GK ′ 0 ρ0 K 0 = −GK ′ − ρ0 K + = −GK ′ 0 ρ0 K 0 = − √ Σ− ,
1
1
1
1
2 2
1
GK ′ + ρ− K 0 = GK ′ 0 ρ+ K − = −GK ′ − ρ+ K 0 = −GK ′ 0 ρ− K + = − Σ− ,
1
1
1
1
2
1
GK1+ K ∗− π0 = GK 0 K ∗0 π0 = −GK1− K ∗+ π0 = −GK 0 K ∗0 π0 = − √ Σ− ,
1
1
2 2
1
GK + K ∗0 π− = GK10 K ∗− π+ = −GK1− K ∗0 π+ = −GK 0 K ∗+ π− = − Σ− ,
1
1
2
(6.84)
(6.85)
(6.86)
(6.87)
1
GK ′ + K ∗− π0 = GK ′ 0 K ∗0 π0 = −GK ′ − K ∗+ π0 = −GK ′ 0 K ∗0 π0 = √ Σ+ , (6.88)
1
1
1
1
2 2
1
GK ′ + K ∗0 π− = GK ′ 0 K ∗− π+ = −GK ′ − K ∗0 π+ = −GK ′ 0 K ∗+ π− = Σ+ ,
(6.89)
1
1
1
1
2
donde hemos definido Σ± = G8AV P ± G8BV P . G8AV P (G8BV P ) denota el acoplamiento
de los octetes de 1 3 P1 (1 1 P1 ), 1 3 S1 y 1 1 S0 . Notemos que en este escenario todos los
acoplamientos de las ecuaciones (6.78)-(6.89) dependen únicamente de dos parámetros, Σ+ y Σ− , o equivalentemente de los acoplamientos G8AV P y G8BV P .
De acuerdo con los resultados anteriores, basados en la simetrı́a SU (3) de sabor,
el valor de Σ+ se puede extraer de los decaimientos K1 (1270) → ωK, K1 (1270) →
ρK y K1 (1400) → K ∗ π, mientras que el valor de Σ− a partir de los decaimientos
K1 (1400) → ωK, K1 (1400) → ρK y K1 (1270) → K ∗ π. Los resultados se resumen
en la tabla 6.2; para obtener el parámetro Σ+ de los modos K1 (1270) → ωK y
K1 (1270) → ρK hemos tomado mK1 = 1279 MeV, para el resto de las cantidades
involucradas, y en todos los demás casos, se toman los valores promedios que reporta
el PDG [1]. Debido a que el espacio fase en los decaimientos K1 (1270) → ωK y
K1 (1270) → ρK está muy suprimido, los resultados que se obtienen de estos deben
ser tomados con mucha cautela, ası́ pues, es más apropiado trabajar con el valor
de Σ+ que se obtiene del modo K1 (1400) → K ∗ π. En el caso del parámetro Σ−
hay que destacar que los resultados, obtenidos de diferentes modos de decaimiento,
son todos consistentes entre sı́. Este hecho nos brinda confianza en las predicciones
de nuestro modelo para la interacción Axial-Vector-Pseudoescalar. Para reducir las
incertidumbres debidas al rompimiento de la simetrı́a SU (3), en lo que sigue usaremos
el valor de Σ− que se obtiene del modo K1 (1400) → ωK.
Finalmente, si sustituimos los valores Σ+ = (5.50 ± 0.27) × 10−3 MeV−1 y Σ− =
(1.36±0.68)×10−3 MeV−1 en las ecuaciones (6.78)-(6.81), obtenemos los acoplamientos que nos interesan,
GK1− ωK − = −(1.944 ± 0.095) × 10−3 MeV−1 ,
118
(6.90)
Decaimiento
Frac. de dec. [ %]
Σ+ [×10−3 MeV−1 ]
Σ− [×10−3 MeV−1 ]
K1 (1270) → ρK
42 ± 6
8.0 ± 1.1
−
16 ± 5
−
K1 (1400) → ρK
3.0 ± 3.0
∗
K1 (1270) → K π
∗
K1 (1400) → K π
K1 (1270) → ωK
−
1.36 ± 0.68
94 ± 6
5.50 ± 0.27
−
1.0 ± 1.0
−
11.0 ± 2.0
K1 (1400) → ωK
9.0 ± 1.3
1.94 ± 0.37
−
1.36 ± 0.68
Tabla 6.2. Resultados para los valores de los parámetros Σ+ y Σ− .
GK ′ − ωK − = (4.8 ± 2.4) × 10−4 MeV−1 ,
1
GK1− φK − = −(6.8 ± 3.4) × 10−4 MeV−1 ,
GK ′ − φK − = (2.75 ± 0.14) × 10−3 MeV−1 .
1
6.4.2.
(6.91)
(6.92)
(6.93)
El decaimiento τωK
En la sección anterior fijamos las constantes de acoplamiento que caracterizan los
decaimientos que cambian la extrañeza τV K en nuestro modelo, excepto los acoplamientos fuertes GK ′ ∗ ωK y GK ′ ∗ φK . Lo anterior, debido principalmente a la carencia de información experimental [1] sobre los decaimientos fuertes del mesón vectorial K ∗ (1410),
a partir de los cuales podrı́amos extraer los valores de los mencionados acoplamientos,
ya sea de manera directa o indirecta (vı́a la simetrı́a SU (3) de sabor). Por lo tanto,
para el decaimiento τωK se tiene un sólo parámetro libre, GK ′ ∗ ωK o equivalentemente
αωK , la intensidad relativa de la contribución de los mesones K ∗ (892) y K ∗ (1410). La
medición de la fracción de decaimiento del modo τωK fue realizada por la colaboración
CLEO [57], desafortunadamente esta colaboración no reporta datos para la función espectral y/o la distribución del invariante de masa del sistema hadrónico final. Ası́ que
no es posible fijar el parámetro libre αωK por medio de alguna de estas observables,
como se hizo en el caso de los decaimientos que conservan la extrañeza. Para fijar el
parámetro αωK utilizaremos el valor experimental de la fracción de decaimiento del
modo τωK . Establecemos entonces la ecuación
−
Bτ − (ωK − ) = Bτexp
− (ωK ) ,
la cual es cuadrática en αωK y por tanto tiene dos soluciones:
119
(6.94)
αωK =
(
0.54 ± 0.38 ,
−0.77 ± 0.40 .
(6.95)
Estos resultados se obtuvieron con el valor del acoplamiento débil GK1′ que se extrajo
del decaimiento τ − → ντ K1− (1400), GK1′ = 0.17 ± 0.13 GeV2 .
Como hemos discutido anteriormente, en los decaimientos τV K la constante de
acoplamiento con la incertidumbre más grande es el acoplamiento débil del mesón
axial K1 (1400). Para reducir la incertidumbre en las predicciones de nuestro modelo,
resolveremos la ecuación (6.94), pero en lugar del valor anterior para GK1′ vamos a
utilizar el que se obtiene del modelo de quarks fenomenológico de la referencia [73],
GK1′ = 0.242 ± 0.025 GeV2 . En este caso las soluciones a la ecuación (6.94) son
αωK =
(
0.55 ± 0.38 ,
−0.78 ± 0.39 .
(6.96)
Observemos que las diferencias entre las soluciones (6.95) y (6.96) son mı́nimas, tanto
en los valores centrales como en los correspondientes errores. Esto es una consecuencia
del hecho de que la contribución del mesón axial K1 (1400) es subdominante en el
decaimiento τωK . Sin embargo, como veremos en la próxima sección la contribución
de este mesón es de suma importancia en el modo τφK .
Para eliminar la ambigüedad en el valor fı́sico del parámetro αωK es indispensable
conocer experimentalmente la función espectral y/o la distribución del invariante de
masa del sistema ωK − , por lo que en la actualidad no es posible excluir alguna de las
dos soluciones a la ecuación (6.94) por medio de la comparación de nuestros resultados
con datos experimentales. No obstante, es interesante mostrar las predicciones de
nuestro modelo para la distribución del invariante de masa del sistema hadrónico final
y la función espectral en el decaimiento τωK , ya que eventualmente las colaboraciones
experimentales pueden reportar las mediciones de estas observables. Debido a que los
valores de αωK dados por la ecuación (6.96) son los más precisos (por muy poco), sólo
mostramos nuestras predicciones para estos valores, ver la figura 6.5. Nótese que la
distribución del invariante de masa del sistema ωK − no es lo suficientemente sensible
al parámetro αωK como para poder ayudarnos a determinar su valor fı́sico. Por el
contrario, la función espectral v1 (s), en la región m ≥ 1.5 GeV, podrı́a ser útil para
discriminar alguno de los valores de la intensidad relativa αωK .
120
Figura 6.5. Gráficas de (A) la distribución del invariante de masa del sistema ωK − y (B) la función
espectral en el decaimiento τωK , obtenidas con GK1′ = 0.242 ± 0.025 GeV2 .
6.4.3.
El decaimiento τφK
En nuestro modelo la intensidad relativa αφK es el único parámetro libre en el
decaimiento τφK ; en lugar de αφK podemos elegir el acoplamiento fuerte GK ′ ∗ φK como parámetro libre sin que esto afecte nuestros resultados. En la referencia [53] se
muestran los resultados experimentales, obtenidos por la colaboración BABAR, para
la distribución del invariante de masa del sistema hadrónico final en el decaimiento
τφK ; lamentablemente estos resultados aún poseen efectos propios del detector y contienen ruido de fondo. Ası́ que, no es posible extraer información confiable sobre el
parámetro αφK a partir de los datos de [53]. Para poder predecir las observables del
decaimiento τφK vamos a recurrir una vez más a la simetrı́a SU (3) de sabor. De acuerdo con los resultados del apéndice D.1, basados en SU (3), las razones GK ∗ ωK /GK ∗ φK
y GK ′∗ ωK /GK ′∗ φK pueden expresarse como:
GK ∗ ωK
GK ∗ φK
GK ′∗ ωK
GK ′∗ φK
√
tan θV − 2 2r
√
,
=
1 + 2 2r tan θV
√
tan θV − 2 2r′
√
.
=
1 + 2 2r′ tan θV
(6.97)
(6.98)
Si asumimos que r = r′ , es decir, que el rompimiento de la simetrı́a de nonete7 en
el acoplamiento de dos multipletes 1 3 S1 (octete y singlete) y un octete de 1 1 S0 es
7
Pues recordemos que r 6= 1, de hecho si θV = 35.3◦ entonces r = 1.256 ± 0.038.
121
del mismo tamaño que en el acoplamiento del multiplete 1 3 S1 (octete y singlete) con
octetes de 2 3 S1 y 1 1 S0 , entonces es claro que se satisface la siguiente igualdad:
GK ∗ ωK
GK ′∗ ωK
=
GK ∗ φK
GK ′∗ φK
=⇒
GK ∗ GK ∗ ωK
GK ′∗ GK ′∗ ωK
=
,
GK ∗ GK ∗ φK
GK ′∗ GK ′∗ φK
y por lo tanto αφK = αωK .
De esta manera, si para el acoplamiento débil del mesón axial K1 (1400) usamos
el valor que se obtiene del decaimiento τ − → ντ K1− (1400), GK1′ = 0.17 ± 0.13 GeV2 ,
entonces los valores del parámetro αφK están dados por
(
0.54 ± 0.38 ,
αφK =
−0.77 ± 0.40 .
(6.99)
Ahora, por medio de la integración de la ecuación (6.16) se obtiene la fracción de
decaimiento del modo τφK ,
(
(2.2 ± 2.6) × 10−5 ,
Bτ (φK − ) =
(1.6 ± 2.5) × 10−5 ,
para αφK = 0.54 ± 0.38 ,
para αφK = −0.77 ± 0.40 ,
(6.100)
Notemos que los valores centrales de nuestras predicciones para la fracción de decaimiento están por debajo de los valores centrales que reportan BELLE [52] y
BABAR [53]. Sin embargo, nuestras predicciones son consistentes con el experimento,
ya que los errores en Bτ (φK − ), ecuación (6.100), son muy grandes. Tales errores son
fuertemente dominados por el error en el acoplamiento débil del mesón K1 (1400).
Lo anterior muestra la relevancia de la contribución de K1 (1400) en el decaimiento
τφK , a diferencia de lo que ocurre en el decaimiento τωK (donde esta contribución es
subdominante).
La mala calidad de los resultados (6.100), para la fracción de decaimiento del
modo τφK , motivó originalmente la búsqueda de otra forma de calcular la constante
de acoplamiento GK1′ . El modelo de quarks de la referencia [73] permite calcular este
acoplamiento; tomando GK1 = 0.215 ± 0.025 GeV2 y α = 45◦ se obtiene el valor
GK1′ = 0.242 ± 0.025 GeV2 . En este caso, la intensidad relativa de la contribución de
K ∗ (892) y K ∗ (1410), al decaimiento τφK , toma los valores:
(
0.55 ± 0.38 ,
αφK =
−0.78 ± 0.39 .
(6.101)
Para determinar la fracción de decaimiento del modo τφK sustituimos (6.101) en (6.16)
e integramos esta última ecuación sobre s (el cuadrado del invariante de masa del sis122
Figura 6.6. Predicciones del MDM para la distribución del invariante de masa del sistema hadrónico
φK − (A) y la función espectral (B) en el decaimiento τφK ; estos resultados corresponden al valor
GK1′ = 0.242 ± 0.025 GeV2 .
tema φK − ). Los resultados se muestran en seguida:
Bτ (φK − ) =
(
(4.0 ± 1.2) × 10−5 ,
−5
(3.3 ± 1.0) × 10
,
para αφK = 0.55 ± 0.38 ,
para αφK = −0.78 ± 0.39 .
(6.102)
El acuerdo de estos resultados con las mediciones de las colaboraciones BELLE [52]
y BABAR [53] es bastante bueno. Como es de esperarse la incertidumbre de nuestras
predicciones se reduce considerablemente, un poco más de la mitad con respecto a las
del caso anterior.
En la figura 6.6 mostramos las predicciones de nuestro modelo para la distribución
del invariante de masa del sistema φK − y la función espectral v1 (s), las cuales se
obtienen con los valores (6.101) de αφK . Las gráficas de estas observables para los
valores (6.99) del parámetro αφK difieren significativamente de las mostradas en la
figura 6.6, principalmente para la función espectral, pero no son mostradas porque
en este caso el acuerdo entre nuestra predicción y los resultados experimentales, para
√
la fracción de decaimiento Bτ (φK − ), no es muy bueno. En la región s ≥ 1.55 GeV
la función espectral podrı́a ser útil para resolver la ambigüedad en el valor fı́sico de
la intensidad relativa αφK . En la figura 6.7 comparamos nuestros resultados con los
datos de la colaboración BABAR [53] para la distribución del invariante de masa del
sistema hadrónico final en el decaimiento τφK . Es importante volver a señalar que los
datos de BABAR son preliminares y contienen defectos propios del detector (las pre123
100
1 dG
€€€€€ €€€€€€€€!!!
€€€€€€€€€ H´10 GeVL
G d s
80
60
40
20
0
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
!!!
s @GeVD
1.75
1.8
1.85
Figura 6.7. Distribución del invariante de masa del sistema hadrónico final en el decaimiento τφK ,
los puntos con sus barras de error corresponden a los datos obtenidos por BABAR [53], mientras
que la curva sólida (entrecortada) corresponde a la predicción de nuestro modelo para α = 0.55
(α = −0.78).
dicciones de nuestro modelo se han multiplicado por 10 GeV, ya que los resultados
experimentales se presentan en unidades arbitrarias [53]).
124
Capı́tulo 7
∗0
El decaimiento D+ → K l+νl
∗0
En el presente capı́tulo, estudiamos el proceso D+ → K (892)l+ νl en los marcos del
modelo de dominancia de mesones y de la teorı́a efectiva de quarks pesados. En el contexto del modelo de dominancia de mesones determinamos el valor del factor de forma
axial A1 (0), el cual es el único parámetro libre para describir la razón de decaimiento. En el marco de la teorı́a efectiva de quarks pesados determinamos el parámetro ρ
(el cual describe la pendiente de la función de Isgur-Wise ξ(w)) y comparamos estos
resultados con los obtenidos usando decaimientos semileptónicos de mesones B. Dicha
comparación muestra que la simetrı́a de quarks pesados quizás no es tan buena en
decaimientos de mesones D.
∗0
El decaimiento semileptónico D+ → K (892) l+ νl (Dl3 ) ha sido estudiado ex-
haustivamente en la literatura, utilizando modelos de quarks relativistas [62, 74] y no
relativistas [63, 66], reglas de suma de QCD [75], la teorı́a efectiva de quarks pesados
(HQET) [76]-[79], y un modelo que combina la HQET y la CHPT [80]. Para este proceso, experimentalmente se han determinado con buena precisión [1] la fracción de
decaimiento y las razones de decaimiento para los diferentes estados de polarización
del mesón vectorial K ∗ (892). Además, utilizando un modelo de dominancia polar para
los factores de forma, que describen el decaimiento Dl3 , se han medido [1] cocientes
de los mismos en el lı́mite de momento transferido cero (q 2 = 0). El amplio interés en
el decaimiento semileptónico Dl3 se debe principalmente a la relativa simplicidad de
su descripción teórica y a la buena calidad de sus datos experimentales.
Nuestro estudio del decaimiento Dl3 está enfocado en determinar el tamaño del
factor de forma A1 (0), el cual se definirá con exactitud más adelante. También estamos
interesados en fijar el parámetro ρ de la función de Isgur-Wise, la cual aparece cuando
125
se describe este decaimiento en el contexto de la HQET. Comparando el valor que
obtengamos para ρ, a partir del decaimiento Dl3 , con el valor que se obtiene de los
decaimientos semileptónicos del mesón B [79], tendremos una idea clara sobre la
aplicabilidad de la simetrı́a de quarks pesados a los decaimientos semileptónicos de
los mesones con encanto. Una vez que hayamos fijado A1 (0) y ρ, entonces podremos
llevar a cabo el estudio de los decaimientos D+ → K − π + l+ νl , dicho estudio se muestra
en el capı́tulo siguiente.
Aún cuando el objetivo de nuestro análisis del decaimiento semileptónico Dl3 es
muy particular, vale la pena comentar brevemente los puntos más atractivos de este
decaimiento. Como sabemos, la amplitud de los decaimientos semileptónicos está dada, hasta un factor constante, por el producto de dos corrientes V −A, una leptónica y
otra hadrónica. La corriente hadrónica, o elemento de matriz hadrónico, resume todas
las complicaciones de los hadrones y sus interacciones, y no es posible calcularla de
primeros principios. Sin embargo, existen varios modelos efectivos (como los modelos
de quarks relativistas y no relativistas, la HQET, etc.) que permiten calcular de manera perturbativa el elemento de matriz hadrónico. Desde luego, la comparación de
las predicciones teóricas con los resultados experimentales del decaimiento Dl3 , ofrece
una excelente oportunidad para probar los diferentes modelos efectivos que aspiran
describir los decaimientos semileptónicos de los mesones pesados (D y B).
La determinación de los parámetros fundamentales del ME es uno de los temas
más importantes de la fı́sica de partı́culas elementales. Los elementos de la matriz
CKM constituyen una parte de este importante conjunto de parámetros, y por lo
tanto su cálculo es de gran relevancia. A partir de los datos experimentales de los
decaimientos semileptónicos del mesón D se pueden extraer las magnitudes de los
elementos Vcd y Vcs , si los factores de forma que describen dichos decaimientos son
conocidos teóricamente. Comúnmente |Vcd | se extrae del modo D → πlνl y |Vcs | del
modo D → Klνl , usando los resultados de LQCD para los factores de forma de estos
decaimientos [81]: |Vcd | = 0.213 ± 0.008 ± 0.021 y |Vcs | = 0.957 ± 0.017 ± 0.093 [1, 82].
Debido a la importancia de estos resultados, es indispensable contar con un cálculo
independiente que verifique estos valores. El decaimiento Dl3 (D → ρlνl ) es la opción
natural para calcular de manera independiente la magnitud de Vcs (Vcd ). Ası́ pues, el
estudio del decaimiento semileptónico Dl3 tiene un papel especial en la determinación
convincente de uno de los parámetros fundamentales del ME (Vcs ).
El decaimiento semileptónico Dl3 proporciona un escenario único donde, además
126
de las predicciones obtenidas por medio de métodos perturbativos, también las predicciones de métodos no perturbativos, como LQCD [81, 83, 84], se pueden comparar con
los resultados experimentales. Esto puede dar una prueba muy precisa de los cálculos
de LQCD y por tanto validar completamente sus técnicas computacionales para los
decaimientos de los mesones con encanto. De esta manera, si la medición de algunas
observables de los decaimientos de los mesones D son difı́ciles de realizar (como es el
caso de los factores de forma del decaimiento semileptónico Dl3 ), entonces las simulaciones de LQCD podrı́an suplir esta falta de información experimental. La desventaja
de estos cálculos es que en general son muy complicados, principalmente para q 2
pequeños, ya que las simulaciones computacionales que se requieren son sumamente
pesadas. Ası́ pues, la limitante más importante de los cálculos de LQCD la constituyen
los recursos computacionales y su capacidad de procesamiento de información. Por
lo que vale la pena mejorar los cálculos perturbativos de los decaimientos del mesón
D (usando alguno de los modelos efectivos que hemos mencionado), incluyendo por
supuesto el cálculo del decaimiento semileptónico Dl3 . Eventualmente esto podrı́a
ayudarnos a realizar predicciones, con precisión aceptable, para los decaimientos del
mesón D que aún no se han estudiado teóricamente.
7.1.
La simetrı́a de quarks pesados
En esta sección describimos brevemente la HQET, e implementando su formalismo
∗0
calculamos el elemento de matriz hadrónico del decaimiento D+ → K W ∗+ (W ∗+ es
un bosón de norma cargado virtual). Las masas observadas de los quarks sugiere la
siguiente jerarquı́a entre sus escalas [1, 85]:
mu < md < ms < ΛQCD < mc < mb < mt .
(7.1)
ΛQCD es la escala a la cual QCD está fuertemente acoplada y por lo tanto la teorı́a
de perturbaciones falla, pues los efectos no perturbativos se vuelven importantes. Los
quarks (ligeros) u, d y s tienen masas mq (q = u, d, s) que son pequeñas en comparación con la escala de la dinámica fuerte no perturbativa ΛQCD , mientras que los
quarks (pesados) c, b y t tienen masas mQ (Q = c, b, t) que en comparación con ΛQCD
son grandes. Consecuentemente, para los quarks ligeros es una buena aproximación
tomar el lı́mite mq → 0 de QCD, y para los quarks pesados el lı́mite mQ → ∞ de
QCD [67].
127
Consideremos un mesón que contiene un quark pesado con masa mQ y un quark
ligero con masa mq , el cual llamaremos mesón pesado. Este estado es un singlete
de color y está ligado por la dinámica no perturbativa de los gluones. En el lı́mite
mQ → ∞ la velocidad v del quark pesado no cambia por los efectos de la interacción
fuerte que ocurren al interior del mesón pesado, ya que ∆v = ∆p/mQ . Por estos
mismos efectos, el momento p del quark pesado cambia en una cantidad del orden de
ΛQCD . Ası́ pues, en este lı́mite es conveniente utilizar la velocidad v del quark pesado
como la cantidad cinemática básica, en lugar del momento p.
En el lı́mite de masa mQ infinita QCD exhibe simetrı́as adicionales de espin y de
sabor [86, 87]. Estas simetrı́as tienen implicaciones importantes para las propiedades
de los mesones que contienen un sólo quark pesado. La simetrı́a de sabor de quarks
pesados establece [67] que la dinámica dentro de los mesones no cambia ante el intercambio del sabor del quark pesado. En otras palabras, en el lı́mite mQ → ∞ la
masa del quark pesado es completamente irrelevante, ası́ que todos los quarks pesados
interactúan con el quark ligero de la misma manera. Ahora, la simetrı́a de espin de
quarks pesados establece [67] que la dinámica al interior de los mesones es invariante
bajo transformaciones arbitrarias del espin del quark pesado. Esto ocurre porque en
el lı́mite mQ → ∞ el espin del quark pesado se desacopla del campo del gluón [88], y
como sabemos, la interacción entre los quarks (pesado y ligero) dentro del mesón se
debe principalmente al intercambio de gluones.
La discusión de los dos párrafos anteriores se puede generalizar, sin problema
alguno, al caso de los bariones pesados, los cuales están constituidos por un quark
pesado y dos quarks ligeros [67, 89].
Las simetrı́as de espin y sabor de quarks pesados no es manifiesta en el lagrangiano
de QCD conforme mQ → ∞. Por lo que es conveniente formular una teorı́a de campo
efectiva para QCD, en la cual la simetrı́a de quarks pesados sı́ sea manifiesta en este
lı́mite. Esta teorı́a de campo efectiva se obtiene a partir de QCD por medio de una
expansión en potencias de 1/mQ , y se conoce como teorı́a efectiva de quarks pesados
(HQET); en dicha expansión el término principal corresponde al lı́mite de masa mQ
infinita. La HQET describe la dinámica de los hadrones que contienen un sólo quark
pesado, y permite tener acceso a las correcciones de masa finita de manera sistemática.
7.1.1.
El decaimiento H → H ∗ W ∗
Sea H un mesón pseudoescalar pesado con velocidad v y contenido de quarks Qq̄
128
(Qq), y H ∗ un mesón vectorial pesado con velocidad v ′ , espin s′ y contenido de quarks
′
Q′ q̄ (Q q). Si p y p′ denotan los momentos de H y H ∗ , respectivamente, entonces
p = mH v y p′ = mH ∗ v ′ . A nivel de quarks, el decaimiento débil H → H ∗ W ∗ es
producido por una corriente cargada izquierda,
′
Jα = Q γα (1 − γ5 )Q .
(7.2)
Para simplificar la escritura es conveniente definir
′
Vα = Q γα Q ,
′
Aα = Q γα γ5 Q .
(7.3)
(7.4)
El decaimiento H → H ∗ W ∗ está descrito por el elemento de matriz de la corriente
Jα entre el estado hadrónico inicial y el final,
hH ∗ (v ′ , s′ )|Jα |H(v)i = hH ∗ (v ′ , s′ )|Vα |H(v)i − hH ∗ (v ′ , s′ )|Aα |H(v)i .
(7.5)
Es importante destacar que en la HQET los estados hadrónicos se caracterizan por
velocidades y no por momentos, como regularmente se hace. Las definiciones de los
estados hadrónicos que dependen de momentos y de velocidades difieren por un factor
constante [67],
h
i
mH |H(v)i + O(1/mQ ) ,
h
i
√
mH ∗ |H ∗ (v ′ , s′ )i + O(1/mQ′ ) .
|H ∗ (p′ , s′ )i =
|H(p)i =
√
(7.6)
(7.7)
En ambas ecuaciones el segundo término de la derecha representa las correcciones de
masa finita; por supuesto, en el lı́mite de masa infinita son cero. La ventaja de trabajar
con velocidades en lugar de momentos es que se evita la dependencia de la masa de
los quarks pesados, lo cual resulta muy apropiado ya que estamos trabajando en el
lı́mite de masa infinita. De acuerdo con la covariancia de Lorentz, la parametrización
más general del elemento de matriz hadrónico, en términos de factores de forma que
dependen de las velocidades, está dada por [79, 90]
i
ξV (w)εαβγδ ǫβ∗ (v + v ′ )γ (v − v ′ )δ
2
= iξV (w)εαβγδ ǫβ∗ v ′γ v δ ,
hH ∗ (v ′ , s′ )|Vα |H(v)i =
(7.8)
hH ∗ (v ′ , s′ )|Aα |H(v)i = ξA1 (w)(w + 1)ǫ∗α − ξA2 (w)ǫ∗ · (v − v ′ )vα
−ξA3 (w)ǫ∗ · (v − v ′ )vα′
(7.9)
= ξA1 (w)(w + 1)ǫ∗α − ξA2 (w)ǫ∗ · vvα − ξA3 (w)ǫ∗ · vvα′ ,
129
aquı́ ǫ∗ es el vector de polarización del mesón vectorial H ∗ y satisface la relación
ǫ∗ · v ′ = 0. Los factores de forma dependen de la variable cinemática w, definida como
w = v · v′ =
m2H + m2H ∗ − q 2
,
2mH mH ∗
(7.10)
q = p − p′ es el momento transferido.
En el formalismo de la HQET (en el lı́mite de masa infinita), si Γ es una combi-
nación arbitraria de matrices de Dirac, se tiene que [67, 79, 91]
(Q′ )
′
Q ΓQ = −ξ(w)Tr[Hv′ ΓHv(Q) ] ,
(7.11)
(Q)
donde ξ(w) es la llamada función de Isgur-Wise. Además, Hv
(Q′ )
y Hv′
son las repre′
sentaciones covariantes de los campos de los mesones pesados Qq̄ (Qq) y Q′ q̄ (Q q)
del estado base. Sus definiciones se toman siguiendo la referencia [92],
i
1+ 6 v h ∗(Q) α
Pvα γ − Pv(Q) γ5 ,
Hv(Q) =
2
i
1+ 6 v ′ h ∗(Q′ ) α
(Q′ )
(Q′ )
Pv′ α γ − Pv′ γ5 .
Hv′
=
2
(7.12)
(7.13)
Para mayor claridad los campos de los mesones se etiquetan con su correspondiente
∗(Q)
contenido de quark pesado y velocidad. Pv α
es un operador que aniquila un mesón
vectorial pesado Qq̄ (Qq) de velocidad v,
∗(Q)
Pvα
|H ∗ (v, s)i = ǫα |0i ,
(Q)
y Pv
(7.14)
es un operador que aniquila un mesón pseudoescalar pesado Qq̄ (Qq) de
velocidad v,
Pv(Q) |H(v)i = |0i .
∗(Q′ )
Los operadores de aniquilación Pv′ α
(Q′ )
y Pv′
(7.15)
son definidos de manera análoga. La
(Q′ )
definición del conjugado del campo Hv′ es la siguiente
h
i
′
′
′
(Q′ )
(Q′ )† 1+ 6 v
α ∗(Q )†
0 (Q )† 0
Hv′ = γ Hv′ γ = γ Pv′ α + γ5 Pv′
.
2
(7.16)
′
Calculando el elemento de matriz de Q ΓQ se obtiene:
(Q′ )
′
hH ∗ (v ′ , s′ )|Q ΓQ|H(v)i = −ξ(w)hH ∗ (v ′ , s′ )|Tr[Hv′ ΓHv(Q) ]|H(v)i
1
= − ξ(w)ǫ∗α Tr[(1+ 6 v ′ )Γ(1+ 6 v)γ α γ 5 ] .
4
(7.17)
′
Si Γ = γα entonces Q ΓQ = Vα y
hH ∗ (v ′ , s′ )|Vα |H(v)i = −iξ(w)εαβγδ ǫβ∗ v ′γ v δ ,
130
(7.18)
′
y si Γ = γα γ5 entonces Q ΓQ = Aα y
hH ∗ (v ′ , s′ )|Aα |H(v)i = ξ(w)[(w + 1)ǫ∗α − ǫ∗ · vvα′ ] .
(7.19)
Es fácil ver que la comparación de las ecuaciones (7.8) y (7.9) con las ecuaciones
(7.18) y (7.19), respectivamente, nos conduce a las siguientes relaciones, válidas en el
lı́mite de masa infinita,
ξA1 (w) = ξA3 (w) = −ξV (w) = ξ(w) ,
(7.20)
ξA2 (w) = 0 .
(7.21)
Finalmente, es conveniente escribir las ecuaciones (7.18) y (7.19) en términos de
los momentos de los mesones. Despreciando las correcciones de masa finita se obtienen
las relaciones:
ξ(w)
hH ∗ (p′ , s′ )|Vα |H(p)i = −i √
εαβγδ ǫβ∗ p′γ pδ ,
mH ∗ mH
√
hH ∗ (p′ , s′ )|Aα |H(p)i =
mH ∗ mH ξ(w)(w + 1)ǫ∗α
ξ(w)
−√
ǫ∗ · pp′α .
mH ∗ mH
7.1.2.
(7.22)
(7.23)
El decaimiento H ∗ → HW ∗
La notación que vamos emplear en esta sección es diferente a la que hemos empleado en la sección anterior. Sea H ∗ un mesón vectorial pesado con velocidad v, espin
s y contenido de quarks Qq̄ (Qq), y H un mesón pseudoescalar pesado con velocidad
′
v ′ y contenido de quarks Q′ q̄ (Q q). Los momentos de H ∗ y H están dados, respectivamente, por p = mH ∗ v y p′ = mH v. El decaimiento H ∗ → HW ∗ es producido por
′
′
la corriente débil cargada Jα = Vα − Aα , donde Vα = Q γα Q y Aα = Q γα γ5 Q. Este
decaimiento está descrito por el elemento de matriz de la corriente Jα ,
hH(v ′ )|Jα |H ∗ (v, s)i = hH(v ′ )|Vα |H ∗ (v, s)i − hH(v ′ )|Aα |H ∗ (v, s)i .
(7.24)
Los factores de forma más generales que dependen de las velocidades se definen por
medio de las parametrizaciones de los elementos de matriz. Estas parametrizaciones
deben ser consistentes con la covariancia de Lorentz,
i ′ ′
ξ (w )εαβγδ ǫβ (v + v ′ )γ (v − v ′ )δ
2 V
= iξV′ (w′ )εαβγδ ǫβ v ′γ v δ ,
hH(v ′ )|Vα |H ∗ (v, s)i =
131
(7.25)
hH(v ′ )|Aα |H ∗ (v, s)i = ξA′ 1 (w′ )(w′ + 1)ǫα − ξA′ 2 (w′ )ǫ · (v − v ′ )vα
−ξA′ 3 (w′ )ǫ · (v − v ′ )vα′
(7.26)
= ξA′ 1 (w′ )(w′ + 1)ǫα + ξA′ 2 (w′ )ǫ · v ′ vα + ξA′ 3 (w′ )ǫ · v ′ vα′ ,
El vector de polarización del mesón H ∗ es denotado por ǫ, y satisface la condición
ǫ · v = 0; la variable w′ se ha definido como
m2H ∗ + m2H − q 2
,
w =v·v =
2mH ∗ mH
′
′
(7.27)
donde q = p − p′ es el momento transferido.
En el formalismo de la HQET, despreciando las correcciones de masa finita, se
tiene que
(Q′ )
′
hH(v ′ )|Q ΓQ|H ∗ (v, s)i = −ξ(w′ )hH(v ′ )|Tr[Hv′ ΓHv(Q) ]|H ∗ (v, s)i
1
= − ξ(w′ )ǫα Tr[(1+ 6 v ′ )Γ(1+ 6 v)γ α γ 5 ] ,
4
(7.28)
de esta manera:
hH(v ′ )|Vα |H ∗ (v, s)i = −iξ(w′ )εαβγδ ǫβ v ′γ v δ ,
hH(v ′ )|Aα |H ∗ (v, s)i = ξ(w′ )[(w′ + 1)ǫα − ǫ · v ′ vα ] .
(7.29)
(7.30)
Si comparamos las ecuaciones (7.25) y (7.26) con las ecuaciones (7.29) y (7.30), respectivamente, obtenemos las siguientes relaciones:
ξV′ (w′ ) = −ξA′ 1 (w′ ) = ξA′ 2 (w′ ) = −ξ(w′ ) ,
(7.31)
ξA′ 3 (w′ ) = 0 ,
(7.32)
las cuales conectan los factores de forma generales que dependen de las velocidades
con la función universal de Isgur-Wise.
En el lı́mite de masa infinita, las ecuaciones (7.29) y (7.30) se pueden escribir en
términos de los momentos de los mesones pesados,
ξ(w′ )
εαβγδ ǫβ p′γ pδ ,
hH(p′ )|Vα |H ∗ (p, s)i = −i √
mH ∗ mH
√
hH(p′ )|Aα |H ∗ (p, s)i =
mH ∗ mH ξ(w′ )(w′ + 1)ǫα
ξ(w′ )
−√
ǫ · p′ pα .
mH ∗ mH
132
(7.33)
(7.34)
7.1.3.
La función de Isgur-Wise
En el lı́mite de masa infinita, las simetrı́as de espin y sabor de los quarks pesados
establecen que el elemento de matriz hadrónico del decaimiento H → H ∗ W ∗ está des-
crito por una función universal ξ(w). Esta función es independiente de la masa de los
quarks pesados y satisface las condiciones
ξ(1) = 1 ,
dξ(w) = −ρ2 .
dw w=1
(7.35)
(7.36)
Es común parametrizar la función de Isgur-Wise como una función n−polar [79]
ξ(w) = h
1
in ,
1 + (ρ2 /n)(w − 1)
(7.37)
o como una función exponencial [79]
h
i
ξ(w) = exp − ρ2 (w − 1) .
(7.38)
En estas parametrizaciones ρ es un parámetro libre y se tiene que fijar a partir de
datos experimentales. Nótese que para w ≈ 1, ambas parametrizaciones se reducen a
ξ(w) = 1 − ρ2 (w − 1) + · · · .
7.2.
(7.39)
La amplitud del proceso Dl3
A continuación describiremos el decaimiento Dl3 de forma general. Nuestro punto
de partida será el hamiltoniano efectivo que describe, al orden más bajo en la teorı́a
de perturbaciones, el decaimiento débil semileptónico c → sl+ νl ,
∆C=∆S=1
Heff
=
GF Vcs
√ [ν̄l γ α (1 − γ5 )l][s̄γα (1 − γ5 )c] .
2
(7.40)
Por medio de la hadronización del decaimiento c → sl+ νl se produce el decaimiento
Dl3 . La amplitud del proceso está determinada por el elemento de matriz del hamil∗0
∆C=∆S=1
toniano efectivo Heff
entre el estado inicial D+ y el estado final K (892)l+ νl ,
∗0
∗0
∆C=∆S=1
|D+ i =
MD (K l+ νl ) = hK l+ νl |Heff
GF Vcs α
√ l hα .
2
(7.41)
En este caso, las corrientes leptónica lα y hadrónica hα son definidas como
lα = hl+ νl |ν̄l γ α (1 − γ5 )l|0i = ū(pν , sν )γ α (1 − γ5 )v(pl , sl ) ,
∗0
hα = hK |s̄γα (1 − γ5 )c|D+ i .
133
(7.42)
(7.43)
De la misma manera que en el capı́tulo anterior, la parametrización del elemento
de matriz hadrónico se toma siguiendo las referencias [65, 66, 67],
hα = igεαµγδ ǫµ∗ (pD + pK ∗ )γ (pD − pK ∗ )δ + f ǫ∗α
+[a+ (pD + pK ∗ )α + a− (pD − pK ∗ )α ]ǫ∗ · (pD − pK ∗ ) .
(7.44)
∗0
ǫ es el vector de polarización del mesón vectorial K (892) y satisface ǫ · pK ∗ = 0.
Los factores de forma g, f , a+ y a− dependen del cuadrado del momento transferido
slν = (pD −pK ∗ )2 = (pl +pν )2 . A diferencia del caso de los decaimientos semileptónicos
τV P , en el actual caso los factores de forma se toman para ser reales. Esta condición se
puede obtener exigiendo la invariancia bajo transformaciones de inversión temporal.
El procedimiento para calcular la probabilidad de decaimiento no polarizada es
estándar,
∗0
|MD (K l+ νl )|2 =
X
∗0
sK ∗ ,sl ,sν
|MD (K l+ νl )|2 = 4G2F |Vcs |2 Lαβ Hαβ .
(7.45)
Las definiciones de los tensores leptónico Lαβ y hadrónico Hαβ son similares a las
utilizadas en los capı́tulos anteriores,
1 X α β∗
l l ,
8 s ,s
l ν
X
hα h∗β .
=
Lαβ =
(7.46)
Hαβ
(7.47)
sK ∗
La forma explı́cita del tensor hadrónico Hαβ es semejante a la hallada en los decaimientos τV P ,
Hαβ = −αgαβ + β++ (pD + pK ∗ )α (pD + pK ∗ )β + β+− (pD + pK ∗ )α (pD − pK ∗ )β
+β−+ (pD − pK ∗ )α (pD + pK ∗ )β + β−− (pD − pK ∗ )α (pD − pK ∗ )β
−iγεαβµν (pD + pK ∗ )µ (pD − pK ∗ )ν .
En este caso los factores de forma del tensor hadrónico, los cuales son reales y dependen únicamente del cuadrado del momento transferido slν , están dados por
β++ =
2
m2D − mK
λ(m2D , m2K ∗ , slν )
∗ − slν
f2
2
2
−
g
s
+
f
a
+
a
,
lν
+
+
2
2
4m2K ∗
2mK
4mK
∗
∗
β+− = β−+ = −
m2D − m2K ∗ − slν
m2D + 3m2K ∗ − slν
f2
+
f
a
−
f
a
−
+
2
4mK
4m2K ∗
4m2K ∗
∗
134
+(m2D − m2K ∗ )g 2 + a+ a−
β−− =
2
λ(m2D , mK
∗ , slν )
2
4mK
∗
,
2
λ(m2D , mK
∗ , slν )
f2
2
2
2
2
∗ ) − slν ] + a
−
g
[2(m
+
m
−
D
2
2
K
4mK ∗
4mK ∗
−f a−
2
m2D + 3mK
∗ − slν
2
2mK
∗
,
α = f 2 + g 2 λ(m2D , mK ∗ , slν ) ,
γ = 2f g .
Para describir cinemáticamente el decaimiento Dl3 elegimos las siguientes variables: slν = (pl + pν )2 , el cuadrado del invariante de masa del sistema l+ ν (o cuadrado
del momento transferido), y tl = (pK ∗ +pν )2 = (pD −pl )2 , el cuadrado del invariante de
∗0
masa del sistema K ν. En términos de estas variables cinemáticas la razón diferencial
de decaimiento tiene la forma
∗0
G2F |Vcs |2 αβ
d2 ΓD (K l+ νl )
L Hαβ
(7.48)
=
dtl dslν
(4π)3 m3D
G2F |Vcs |2 n
αslν βlν − γ[slν βlν (m2D − slν ) + m2K ∗ (slν + m2l ) − 2slν tl ]
=
3
3
(4π) mD
1
2
2
∗ + m slν βlν ]
+ β++ [4(m2D + m2K ∗ − slν βlν − tl )tl − 4m2D mK
l
2
o
1
2
∗ )] +
β−− m2l slν βlν ,
+β+− m2l [slν βlν + 2(tl − mK
2
donde
m2l
.
(7.49)
slν
La región cinemática fı́sicamente accesible en este decaimiento se puede escribir como
βlν = 1 −
el dominio:
n
o
+
m2l ≤ slν ≤ (mD − mK ∗ )2 , t−
(s
)
≤
t
≤
t
(s
)
,
lν
l
lν
l
l
(7.50)
las funciones t±
l (slν ) están definidas como sigue:
i
1 h
2
2
1/2
2
2
2
∗ slν + m
∗ , slν )
s
β
(m
−
s
)
+
m
t±
(s
)
=
±
s
β
λ
(m
,
m
.
lν
lν
lν
lν
lν
lν
D
D
l
l
K
K
2slν
Es fácil ver que la integración de la razón diferencial de decaimiento (7.48) sobre
la variable tl es sencilla. Dicha integración nos da la distribución del cuadrado del
invariante de masa del sistema leptónico final (l+ νl ),
∗0
G2F |Vcs |2 2 1/2 2
dΓD (K l+ νl )
2
2
∗ )β+−
β λ (mD , mK ∗ , slν ) αslν + m2l (m2D − mK
=
dslν
(4π)3 m3D lν
135
h1
i
m2l
m2l 2
2
2
2
2
+β++
λ(mD , mK ∗ , slν ) +
(m − mK ∗ )
1+
3
2s
2slν D
lν
1
(7.51)
+ m2l β−− slν .
2
En cambio, la integración de la distribución (7.51) sobre la variable slν no es trivial y tiene que realizarse de manera numérica. Los resultados de esta sección, para
el decaimiento Dl3 , están relacionados con los resultados de la sección 6.1, para el
decaimiento τV P , por medio de la simetrı́a de cruce.
7.2.1.
Un cambio de variables
Con la finalidad de comparar nuestros resultados del decaimiento Dl3 con los
resultados de las referencias [63, 66], realizaremos un cambio de variables. Las nuevas
variables se escogen para ser adimensionales y son: la razón de la energı́a del leptón
l+ a la masa del mesón D+ , x = El /mD , y la razón del cuadrado del invariante de
masa del sistema l+ ν a el cuadrado de la masa del mesón D+ , y = slν /m2D . En el
sistema de reposo del mesón D+ se tiene la siguiente relación:
tl = m2D (1 − 2x) + m2l .
(7.52)
Los elementos diferenciales del espacio fase en cada conjunto de variables cinemáticas
se relacionan entre sı́ por medio del Jacobiano de la transformación,
∂(tl , slν ) dx dy = 2m4D dx dy .
dtl dslν = ∂(x, y) (7.53)
En términos del nuevo conjunto de variables cinemáticas, la razón diferencial de
decaimiento se puede expresar de la siguiente manera:
∗0
h
G2F |Vcs |2 m5D α
d2 ΓD (K l+ νl )
(y
−
r
)
+
2β
4x(xm − x) − y(1 − 2x)
=
l
++
dx dy
32π 3
m2D
i
rl
+ (8x − 3y + 4rK ∗ − rl ) + β+− rl [y + 4(xm − x) + rl ]
4
h 1 1 i
1
,
+ β−− rl (y − rl ) + 2γ y xm − 2x + y + rl xm + y
2
2
2
(7.54)
donde
rl =
m2l
,
m2D
136
(7.55)
xm
2
mK
∗
,
m2D
1
(1 − rK ∗ ) .
=
2
rK ∗ =
(7.56)
(7.57)
Si despreciamos la masa del leptón (ml → 0) la expresión de la razón diferencial de
decaimiento se simplifica considerablemente,
∗0
G2F |Vcs |2 m5D αy
d2 ΓD (K l+ νl )
=
+ 2β++ [4x(xm − x) − y(1 − 2x)]
dx dy
32π 3
m2D
1 ,
(7.58)
+2γy xm − 2x + y
2
y coincide con la que se reporta en las referencias [63, 66]. En este caso los factores
de forma del tensor hadrónico están dados por
1 − y
pK ∗ |2
f2
1
2 |~
2 2
f
a
−
1
+
a
,
−
m
g
y
+
+
+
D
4m2K ∗
2
rK ∗
rK ∗
1 − y
1 − y
1
f2
1
= − 2 + f a−
− 1 − f a+
+3
4mK ∗ 4
rK ∗
4
rK ∗
β++ =
β+− = β−+
+m2D (1 − rK ∗ )g 2 + a+ a−
β−−
|~pK ∗ |2
,
rK ∗
1 − y
pK ∗ |2 1
f2
2 2
2 |~
∗
− mD g (2 + 2rK − y) + a−
=
− f a−
+3 ,
4m2K ∗
rK ∗
2
rK ∗
α = f 2 + 4m2D g 2 |~pK ∗ |2 ,
γ = 2f g ,
donde
2
|~pK | =
∗
2 2
[m2D (1 − y) + mK
∗]
4m2D
2
∗ .
− mK
(7.59)
Integrando la razón diferencial de decaimiento (7.54) sobre la variable x se obtiene
la distribución:
∗0
pK ∗ |
α
G2F |Vcs |2 m5D
rl β−− 2rl xm β+−
dΓD (K l+ νl )
2 |~
=
+
+
(y
−
r
)
l
2
dy
32π 3
mD mD y
2y
y2
h
i
|~p ∗ |2
2β++ 1
.
(7.60)
(2y + rl ) K2 + rl x2m
+ 3
y
3
mD
Finalmente, vale la pena redefinir la región cinemática fı́sicamente accesible en el
decaimiento Dl3 ,
n
o
√
rl ≤ y ≤ (1 − rK ∗ )2 , x− (y) ≤ x ≤ x+ (y) ,
137
(7.61)
las funciones que definen el mı́nimo y el máximo de la variable x tienen las siguientes
expresiones:
x± (y) =
7.3.
|~p ∗ | i
1h
.
(y + rl )(y + 2xm ) ± 2(y − rl ) K
2y
mD
(7.62)
El decaimiento Dl3 en el modelo de dominancia polar
Los análisis experimentales del decaimiento Dl3 son tradicionalmente realizados
utilizando un modelo de dominancia polar espectroscópico (ver las referencias [93][99]) y con la siguiente parametrización del elemento de matriz hadrónico [62, 79]
hα =
2iV (slν )
εαβγδ ǫβ∗ pγK ∗ pδD − (mD + mK̄ ∗ )A1 (slν )ǫ∗α
(7.63)
mD + mK ∗
A3 (slν ) ∗
A2 (slν ) ∗
+
ǫ · pD (pD + pK ∗ )α +
ǫ · pD (pD − pK ∗ )α .
mD + mK ∗
mD + mK ∗
Esta parametrización es diferente a la que nosotros hemos empleado, sin embargo, las
relaciones entre los factores de forma de ambas parametrizaciones son inmediatas si
comparamos las ecuaciones (7.44) y (7.63),
V (slν )
,
mD + mK ∗
f = −(mD + mK ∗ )A1 (slν ) ,
A2 (slν )
a+ =
,
mD + mK ∗
A3 (slν )
.
a− =
mD + mK ∗
g =
(7.64)
(7.65)
(7.66)
(7.67)
El factor de forma vectorial V (slν ) y los axiales Ai (slν ) (i = 1, 2, 3) se parametrizan
por medio de formas polares [97]:
V (0)
,
1 − slν /m2V
Ai (0)
Ai (slν ) =
,
1 − slν /m2A
V (slν ) =
(7.68)
(7.69)
donde mV y mA son las masas de los estados cs̄ de masa más baja y con números
cuánticos J P = 1− y J P = 1+ , respectivamente. De acuerdo con la referencia [1]
mV = 2.1120 ± 0.0006 GeV y mA = 2.4589 ± 0.0009 GeV, sin embargo es conveniente
usar los valores que se utilizan en los análisis experimentales, mV = 2.1 GeV y mA =
138
2.5 GeV. Las razones de los factores de forma rV = V (0)/A1 (0), r2 = A2 (0)/A1 (0)
y r3 = A3 (0)/A1 (0) han sido medidas en varios experimentos [93]-[99], los promedios
actuales son [1]
rV
= 1.62 ± 0.08 ,
(7.70)
r2 = 0.83 ± 0.05 ,
(7.71)
r3 = 0.0 ± 0.4 .
(7.72)
Los factores de forma de la parametrización (7.44), del elemento de matriz hadrónico,
se pueden expresar en términos de las razones rV , r2 y r3 ,
A1 (0)
rV
,
mD + mK ∗ 1 − slν /m2V
mD + mK ∗
f = −
A1 (0) ,
1 − slν /m2A
r2
A1 (0)
,
a+ =
mD + mK ∗ 1 − slν /m2A
A1 (0)
r3
a− =
.
mD + mK ∗ 1 − slν /m2A
g =
(7.73)
(7.74)
(7.75)
(7.76)
En este escenario, el decaimiento Dl3 está descrito por las razones (7.73)-(7.76) de los
factores de forma, definidos a slν = 0, y por el factor de forma A1 (0), el cual da la
escala en este decaimiento.
Para fijar el factor de forma A1 (0), a partir del valor experimental de la fracción de
∗0
∗0
exp
(K l+ νl ).
decaimiento del proceso Dl3 , establecemos la ecuación BD (K l+ νl ) = BD
∗0
Como BD (K l+ νl ) se obtiene integrando la ecuación (7.51) sobre la variable slν , es
evidente que el resultado va a ser proporcional al cuadrado de A1 (0), de tal manera
que:
v
u exp ∗0
u B (K l+ νl )
|A1 (0)| = t D
.
∗0
BeD (K l+ νl )
(7.77)
∗0
En esta ecuación BeD (K l+ νl ) es nuestra predicción para la fracción de decaimiento
habiendo removido el término |A1 (0)|2 . En la tabla 7.1 se resumen los resultados
preliminares que hemos obtenido, también mostramos el resultado1 de la referencia
[62], el cual se obtiene usando un modelo de quarks relativista (MQR). Notemos que
nuestros resultados son ∼ 30 % más pequeños que el resultado de [62].
1
Únicamente mostramos el valor más cercano al nuestro.
139
Fuente
∗0 +
D + → K e νe
∗0 +
D + → K µ νµ
MQR
|A1 (0)|
0.62
0.63
0.88
Tabla 7.1 Valores para |A1 (0)|. MQR es la predicción del modelo de quarks relativista [62].
7.4.
El decaimiento Dl3 en la teorı́a efectiva de
quarks pesados
Teóricamente la simetrı́a de quarks pesados es válida únicamente en los decaimientos semileptónicos de hadrones que contengan un quark cuya masa sea mucho más
grande que la escala de la dinámica fuerte no perturbativa ΛQCD . En este caso, las
correcciones de masa finita son de orden ΛQCD /mQ ≪ 1, y por lo tanto sus efectos se
pueden despreciar sin comprometer demasiado la precisión de las predicciones. Como
ha sido señalado en [79, 90], para los decaimientos semileptónicos de los mesones con
encanto no se debe esperar que la simetrı́a de quarks pesados sea una muy buena
aproximación. Ya que los posibles estados hadrónicos finales no contienen un quark
pesado, en este caso ΛQCD /mq & 1. Sin embargo, la aplicación de la HQET como un
enfoque aproximado a estos decaimientos ha tenido interés en la literatura [79, 100].
En la referencia [79] se argumenta lo siguiente: si el quark extraño s es considerado
como un constituyente de los hadrones, entonces posee una masa efectiva de aproximadamente 0.5 GeV, la cual es lo suficientemente grande (en comparación con la
escala ΛQCD ) para que la HQET pueda ser aplicada a los decaimientos semileptónicos
de los mesones con encanto. En este trabajo tomaremos este punto de vista.
De acuerdo con los resultados de la sección 7.1.1, ecuaciones (7.22) y (7.23), la
simetrı́a de quarks pesados establece que el elemento de matriz hadrónico del decaimiento Dl3 está dado por
iξ(w)
√
εαβγδ ǫβ∗ pγK ∗ pδD − mD mK ∗ ξ(w)(w + 1)ǫ∗α
mD mK ∗
ξ(w)
+√
ǫ∗ · p D p K ∗ α ,
∗
mD mK
hα = − √
donde
w = vD · vK ∗ =
m2D + m2K ∗ − slν
2mD mK ∗
140
.
(7.78)
(7.79)
Por supuesto, se han despreciado las correcciones de masa finita, las cuales serı́an de
orden ΛQCD /mK . 1. Para describir el decaimiento semileptónico Dl3 , en la sección
7.2, el elemento de matriz hadrónico hα se parametrizó por medio de los factores
de forma g, f , a+ y a− . Comparando las ecuaciones (7.44) y (7.78) se obtienen las
relaciones:
ξ(w)
g = −a+ = a− = − √
,
2 mD mK ∗
√
f = − mD mK ∗ ξ(w)(w + 1) .
(7.80)
(7.81)
Es decir, la simetrı́a de quarks pesados predice expresiones de los factores de forma g,
f , a+ y a− en términos de una función universal; sin embargo no es capaz de predecir
la forma explı́cita de dicha función. En este escenario, las expresiones de los factores
de forma del tensor hadrónico Hαβ se simplifican considerablemente,
α = 2mD mK ∗ ξ 2 (w)(1 + w)w ,
(mD − mK ∗ )2
2
β++ = ξ (w) w −
,
4mD mK ∗
m2D − m2K ∗ 2
ξ (w) ,
β+− =
4mD mK ∗
(mD + mK ∗ )2
2
β−− = −ξ (w) w +
,
4mD mK ∗
γ = ξ 2 (w)(1 + w) .
(7.82)
(7.83)
(7.84)
(7.85)
(7.86)
La parametrización de la función de Isgur-Wise introduce un parámetro libre (ρ),
ası́ que la distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema l+ νl va a
depender, además de la variable slν , de este parámetro:
∗0
dΓD (K l+ νl )
= F (slν , ρ) .
dslν
(7.87)
Utilizando los resultados experimentales del decaimiento Dl3 podemos establecer las
siguientes ecuaciones:
∗0
+
dΓexp
D (K l νl )
= F (slν , ρ) ,
dslν
Z (mD −m ∗ )2
K
∗0 +
exp
dslν F (slν , ρ) ,
BD (K l νl )ΓD =
(7.88)
(7.89)
m2l
ΓD es el ancho total de decaimiento del mesón D+ . Para fijar el parámetro libre ρ
usaremos la ecuación integral (7.89), debido a que no es posible integrar analı́ticamente la función F (slν , ρ) sobre la variable slν , resolveremos dicha ecuación de manera
numérica. Los resultados (preliminares) que hemos obtenido se muestran en la tabla
141
Decaimiento
∗0 +
D + → K e νe
+
∗0 +
D → K µ νµ
B → Deνe [79]
B → D∗ eνe [79]
Forma monopolar
Forma dipolar
ec. (7.37), n = 1
ec. (7.37), n = 2
∼ 1.751
∼ 1.660
∼ 1.706
0.22
1.02 +
− 0.19
0.97 ± 0.21
∼ 1.623
∼ 1.170
∼ 1.118
Forma exponencial
∼ 1.575
∼ 1.545
–
0.93 ± 0.16
–
0.91 ± 0.17
Actualizaciones
(ver texto)
+
∗0
+
∗0 +
B → D e+ νe
B → D µ νµ
∼ 1.164
∼ 1.068
∼ 1.113
∼ 1.064
Tabla 7.2. Valores del parámetro ρ, obtenidos a partir de las fracciones de decaimiento experimentales de los procesos que se indican. Se han empleado diferentes parametrizaciones para la función
de Isgur-Wise ξ(w).
7.2. También se han incluido los resultados de la referencia [79], los cuales se obtienen
a partir de los decaimientos semileptónicos del mesón B por este mismo método.
Observemos que nuestras estimaciones son entre 65 % y 80 % más grandes que los
resultados de la referencia [79].
En los últimos años las mediciones de las fracciones de decaimiento de los modos semileptónicos del mesón B han mejorado, por lo que vale la pena estimar como
se modifican los resultados que se obtienen a partir de estos modos de decaimiento.
Dichas estimaciones también se muestran en la tabla 7.2. En este caso los resultados
extraı́dos de los decaimientos Dl3 son (tentativamente) entre 45 % y 50 % más grandes
∗0
que los resultados extraı́dos de los decaimientos B + → D lνl . Las discrepancias se
reducen de manera importante, pero no lo suficiente para validar la simetrı́a de quarks
pesados en los decaimientos semileptónicos de los mesones con encanto.
142
Capı́tulo 8
El decaimiento D+ → K −π +l+νl
En este capı́tulo presentamos nuestro estudio preliminar del decaimiento semileptónico
D+ → K − π + l+ νl . Primero determinamos la forma general de la razón diferencial de
decaimiento. Posteriormente calculamos los factores de forma en el marco del modelo
de dominancia de mesones; para realizar predicciones es necesario además emplear el
modelo de dominancia polar espectroscópico o la teorı́a efectiva de quarks pesados.
Los decaimientos semileptónicos D+ → K − π + l+ νl (Dl4 ) son un escenario apropia-
do para estudiar las propiedades del sistema hadrónico Kπ. Es bien conocido que en
estos decaimientos el estado final Kπ es fuertemente dominado por la producción del
mesón vectorial K ∗ (892) como estado intermedio virtual [95, 101]. Consecuentemente,
los decaimientos Dl4 brindan una excelente oportunidad para determinar experimentalmente la masa y el ancho de K ∗ (892) [102, 103]. El espacio fase disponible en los
decaimientos Dl4 permite investigar la contribución de otras estructuras hadrónicas,
como las resonancias K ∗ (1410), K0∗ (1430) y K ∗ (1680), y el hipotético escalar κ. También se puede analizar la contribución no resonante que observó la colaboración FOCUS [103, 102], con el objeto de elucidar la posible contribución de un mesón escalar
ligero κ. Nuestro interés en el decaimiento Dl4 está enfocado en dicha contribución
no resonante, propuesta para explicar las asimetrı́as observadas en los datos experimentales de ciertas distribuciones angulares (ver la figura 8.1).
Originalmente esta parte del trabajo de tesis fue motivada por la posible contribución del escalar κ al decaimiento Dl4 . La evidencia de la existencia de esta partı́cula
(κ), en los decaimientos de los mesones con encanto, se debe al análisis cinemático
del modo hadrónico D+ → K − π + π + realizado por la colaboración E791 [104]. No
obstante, la existencia del escalar κ es muy controversial, debido a la carencia de una
143
Figura 8.1. Resultados de la colaboración FOCUS [102] para la distribución del cos θV (θV es el
ángulo entre π + y la dirección de D+ en el sistema de reposo de K − π + ) en el decaimiento Dµ4 .
Los puntos con su barra de error son los resultados experimentales y el histograma continuo es una
simulación de Monte Carlo.
observación clara de este estado en experimentos de dispersión y a las dificultades de
su descripción teórica. En la referencia [105] se sugirió que si κ tuviese una componente
q q̄ importante en su función de onda, entonces podrı́a explicar más del 10 % de la
fracción de decaimiento del modo Dµ4 . Pero una simulación de Monte Carlo que usa
la parametrización de LASS [106], para la contribución no resonante, es suficiente
para reproducir los datos de Dµ4 [103]. Y el modelo que introduce la contribución del
escalar κ no es consistente con los datos [103]. Por lo tanto, la posible contribución de
κ en los decaimientos Dl4 ha quedado casi completamente excluida. La distribución
del invariante de masa del sistema hadrónico final (mKπ ) pesada por el cos θV es la
observable que excluye dicha contribución, ver la figura 8.2.
Actualmente no existen cálculos de LQCD para los decaimientos Dl4 , por lo que
resulta interesante calcular estos decaimientos en el contexto del MDM. La idea es
reproducir los datos experimentales del modo Dµ4 , reportados por la colaboración
FOCUS [103, 102], por medio de un mecanismo convencional que no haya sido considerado. Este decaimiento ya fue estudiado teóricamente en la literatura, ver por
ejemplo las referencias [107] y [108], sin embargo nuestro enfoque es completamente
diferente. El énfasis que ponemos es en la contribución de un mesón adicional (la
D∗ (2007)) que contribuye a la distribución no resonante del sistema K − π + y que no
ha sido considerada anteriormente.
144
2
RS-WS events × cos(θV) / 10 MeV/c
200
100
0
-100
Data
NR Model
-200
κ Model
-300
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
mKπ
0.96
0.98
1
2
GeV/c
Figura 8.2. Resultados obtenidos por la colaboración FOCUS [103] para la distribución de mKπ
pesada por el cos θV en el decaimiento Dµ4 . Los datos (cuadrados con su barra de error) muestran un
buen acuerdo con la parametrización de LASS de la contribución no resonante (histograma continuo),
no ası́ con el modelo del escalar κ (histograma entrecortado).
8.1.
La amplitud del proceso
La amplitud invariante del decaimiento semileptónico Dl4 , al orden más bajo en
la teorı́a de perturbaciones, está dada por
∆C=∆S=1
MD (K − π + l+ νl ) = hK − π + l+ νl |Heff
|D+ i =
GF Vcs α
√ l Hα ,
2
(8.1)
en este caso la corriente hadrónica se define como
Hα = hK − π + |s̄γα (1 − γ5 )c|D+ i .
(8.2)
La forma más general de parametrizar el elemento de matriz hadrónico, de acuerdo
con la covariancia de Lorentz, es la siguiente [108, 107]:
Hα = ihεαγδζ (pD − pK − pπ )γ (pK + pπ )δ (pK − pπ )ζ
+r(pD − pK − pπ )α + w+ (pK + pπ )α + w− (pK − pπ )α .
145
(8.3)
Figura 8.3. Representación gráfica de las definiciones de las variables cinemáticas angulares empleadas en el decaimiento Dl4 [102].
En esta parametrización h es el factor de forma vectorial, mientras que r, w+ y w−
son los factores de forma axiales. La forma explı́cita de estos factores de forma se
discutirá más adelante.
La probabilidad de decaimiento no polarizada se puede escribir en términos del
tensor leptónico Lαβ , definido en la ecuación (7.46),
|MD (K − π + l+ νl )|2 =
X
sl ,sν
|MD (K − π + l+ νl )|2 = 4G2F |Vcs |2 Lαβ Hα Hβ∗ .
(8.4)
Es bien conocido que los decaimientos a cuatro cuerpos son descritos cinemáticamente
por cinco variables independientes. Para describir el decaimiento Dl4 elegimos las
variables cinemáticas que se utilizan en los análisis experimentales, estas son:
• mKπ =
p
(pK + pπ )2 , el invariante de masa del sistema hadrónico K − π + ,
• slν = (pl + pν )2 , el cuadrado del invariante de masa del sistema leptónico l+ ν,
• θV , el ángulo entre el trimomento del pion π + y la dirección del mesón D+ en
el sistema de reposo de K − π + ,
• θl , el ángulo entre el trimomento del leptón l+ y la dirección del mesón D+ en
el sistema de reposo de l+ ν,
• χ, el ángulo de acoplanaridad entre los planos definidos por los pares K − π + y
l+ ν en el sistema de reposo de D+ .
146
En la figura 8.3 se muestran gráficamente las variables angulares que se han definido.
La razón diferencial de decaimiento, en el sistema de reposo del mesón D+ , tiene
la siguiente estructura:
d5 ΓD (K − π + l+ νl ) =
2G2F |Vcs |2
XβKπ βlν Lαβ Hα Hβ∗
3
6
(4π) mD
×mKπ dmKπ dslν d cos θV d cos θl dχ ,
(8.5)
donde
i1/2
1h 2
2
2
2
X =
(mD − mKπ − slν ) − 4mKπ slν
,
2
h
i
1/2
1
2
2
2 2
2
2
(m
−
m
−
m
)
−
4m
m
.
βKπ =
Kπ
K
π
K π
m2Kπ
(8.6)
(8.7)
Una ventaja notable del conjunto de variables que hemos elegido es que la región
cinemática fı́sicamente accesible queda descrita de una manera muy sencilla:
n
mK + mπ ≤ mKπ ≤ mD − ml , m2l ≤ slν ≤ (mD − mKπ )2 ,
o
0 ≤ θV ≤ π, 0 ≤ θl ≤ π, −π ≤ χ ≤ π .
(8.8)
Debido a la relativa simplicidad del elemento de matriz del decaimiento Dl4 , vale la
pena calcular la forma explı́cita de la razón diferencial de decaimiento. Para simplificar
este cálculo es conveniente definir las combinaciones de momentos:
P = pK + pπ ,
(8.9)
Q = pK − pπ ,
(8.10)
L = pl + pν ,
(8.11)
N = pl − pν .
(8.12)
Obviamente, los posibles invariantes formados con P , Q, L y N se pueden escribir
en términos de las variables cinemáticas mKπ , slν , θV , θl y χ como se muestra a
continuación:
Q2 = 2(m2K + m2π ) − m2Kπ ,
N 2 = 2m2l − slν ,
P · Q = m2K − m2π ,
L · N = m2l ,
1 2
P ·L =
(m − m2Kπ − slν ) ,
2 D
147
m2l
P ·L ,
slν
m2K − m2π
P ·L ,
L · Q = XβKπ cos θV +
m2Kπ
m2K − m2π m2l
m2K − m2π
m2l
Q·N =
P
·
L
+
XβKπ cos θV
Xβ
cos
θ
+
lν
l
m2Kπ slν
m2Kπ
slν
h
i
√
+βKπ βlν P · L cos θV cos θl − slν mKπ sin θV sin θl cos χ ,
√
εγδζη P γ Lδ Qζ N η = − slν mKπ βKπ βlν X sin θV sin θl sin χ .
P · N = Xβlν cos θl +
Estas expresiones coinciden con las que se reportan en la referencia [107] en el lı́mite
de leptones no masivos ml = 0, y tomando m2Kπ = sKπ .
En términos de las combinaciones de momentos que hemos definido, ecuaciones
(8.9)-(8.12), los factores de forma del elemento de matriz hadrónico Hα sólo pueden
depender de los productos escalares de P , Q y L. En consecuencia, dichos factores de
forma dependerán únicamente de las variables cinemáticas mKπ , slν y θV , es decir
r = r(mKπ , slν , θV ) ,
(8.13)
w+ = w+ (mKπ , slν , θV ) ,
(8.14)
w− = w− (mKπ , slν , θV ) ,
(8.15)
h = h(mKπ , slν , θV ) .
(8.16)
Siguiendo la notación de las referencias [107, 109] definimos
Lαβ Hα Hβ∗ = I(mKπ , slν , θV , θl , χ) .
(8.17)
Para escribir la función I(mKπ , slν , θV , θl , χ) de una manera compacta es conveniente
introducir las siguientes combinaciones de factores cinemáticos y factores de forma:
m2 − m2 F1 = w+ X + w− βKπ P · L cos θV + K 2 π X ,
(8.18)
mKπ
√
(8.19)
F2 = w− slν mKπ βKπ βlν ,
√
F3 = h slν mKπ XβKπ βlν ,
(8.20)
m2 − m2
(8.21)
F4 = rslν + w+ P · L + w− XβKπ cos θV + K 2 π P · L .
mKπ
Calculando la función I(mKπ , slν , θV , θl , χ) encontramos que puede ser escrita como
sigue:
I(sKπ , slν , θV , θl , χ) = I1 + I2 cos 2θl + I3 sin2 θl cos 2χ + I4 sin 2θl cos χ
+I5 sin θl cos χ + I6 cos θl + I7 sin θl sin χ
+I8 sin 2θ sin χ + I9 sin2 θl sin 2χ ,
148
(8.22)
donde
I1 =
I2 =
I3 =
I4 =
I5 =
I6 =
I7 =
I8 =
I9 =
1
1 h
1
1 2
−
1 − βlν βlν |F1 | +
(|F2 |2 + |F3 |2 ) sin2 θV
2
2
βlν
4
i
2
m
+ l βlν |F4 |2 ,
slν
i
1h 2
1
− βlν |F1 |2 − (|F2 |2 + |F3 |2 ) sin2 θV ,
4
2
1
− (|F2 |2 − |F3 |2 ) sin2 θV ,
4
1
βlν Re[F1 F2∗ ] sin θV ,
2
m2
Re[F1 F3∗ ] + l Re[F2 F4∗ ] sin θV ,
slν
2
sin θV
m2
Re[F2 F3∗ ] − l βlν Re[F1 F4∗ ] ,
βlν
slν
2
m
Im[F1 F2∗ ] − l Im[F3 F4∗ ] sin θV ,
slν
1
βlν Im[F1 F3∗ ] sin θV ,
2
1
− Im[F2 F3∗ ] sin2 θV .
2
(8.23)
(8.24)
(8.25)
(8.26)
(8.27)
(8.28)
(8.29)
(8.30)
(8.31)
Las funciones I1 , . . . , I9 dependen de las variables cinemáticas mKπ , slν y θV . Nuestros resultados que se muestran en las ecuaciones (8.22)-(8.31) coinciden con los que
obtuvieron los autores de la referencia [107], en el lı́mite ml → 0.
Es claro que la integración de la razón diferencial de decaimiento, ecuación (8.5),
sobre las variables angulares χ y θl se puede realizar analı́ticamente. En efecto, integrando sobre χ obtenemos
d4 ΓD (K − π + l+ νl ) =
G2F |Vcs |2
XβKπ βlν [I1 + I2 cos 2θl + I6 cos θl ]
(4π)5 m3D
×mKπ dmKπ dslν d cos θV d cos θl .
(8.32)
Si ahora integramos sobre θl el resultado es
d3 ΓD (K − π + l+ νl ) =
1 2G2F |Vcs |2
Xβ
β
I
−
I2 mKπ dmKπ dslν d cos θV .
Kπ
lν
1
(4π)5 m3D
3
(8.33)
La integración sobre el resto de las variables cinemáticas no es trivial, y se tiene que
realizar numéricamente.
149
8.2.
Los factores de forma en el MDM
En el MDM el decaimiento semileptónico Dl4 se produce por medio de resonancias hadrónicas. A diferencia de los decaimientos semileptónicos del τ (algunos de los
cuales han sido estudiados en la primera parte de este trabajo de tesis), en los decaimientos semileptónicos de los mesones con encanto el mecanismo de producción y
decaimiento de tales resonancias es un poco más complicado. En este caso, las resonancias hadrónicas se pueden crear y decaer, virtualmente, tanto por la interacción débil
como por la fuerte. Por supuesto, estas resonancias deben tener los números cuánticos adecuados. Algunos estados intermedios permitidos son los mesones vectoriales
K ∗ (892), K ∗ (1410), K ∗ (1680) y el mesón escalar K0∗ (1430), los cuales posteriormente
decaen al sistema K − π + , ası́ como el mesón vectorial D∗ (2007).
Como ya hemos mencionado, los análisis experimentales muestran que en el decaimiento Dl4 el mesón vectorial K ∗ (892) da la contribución dominante [95, 101].
También se ha encontrado que las contribuciones de los mesones K ∗ (1410), K ∗ (1680)
y K0∗ (1430) son sumamente pequeñas [95, 101, 103]. Por esta razón, en nuestro análisis vamos a despreciar la contribución de estos mesones, ası́ como la contribución
de todos los posibles estados intermedios excepto la del mesón vectorial D∗ (2007).
Es decir, vamos a considerar únicamente la contribución de los mesones vectoriales
K ∗ (892) y D∗ (2007); en la figura 8.4 se muestran los correspondientes diagramas de
Feynman.
En este escenario, el elemento de matriz hadrónico está determinado por
Hα =
X hK − π + |K ∗0 ihK ∗0 |s̄γα (1 − γ5 )c|D+ i
sK ∗
+
m2Kπ − m2K ∗ + imK ∗ ΓK ∗
X hK − |s̄γα (1 − γ5 )c|D∗0 ihD∗0 π + |D+ i
sD ∗
(pD − pπ )2 − m2D∗
,
(8.34)
∗0
aquı́ mK∗ y mD∗ denotan las masas de los mesones vectoriales K (892) y D∗0 (2007),
∗0
respectivamente, y ΓK ∗ denota el ancho total de decaimiento del mesón K (892).
En el segundo término de la derecha de la ecuación (8.34), especı́ficamente en el
denominador, no hemos incluido el regulador1 imD∗ ΓD∗ (ΓD∗ es el ancho total de
decaimiento del mesón D∗0 (2007)) ya que en nuestro caso siempre se satisface la
desigualdad (pD − pπ )2 < m2D∗ . Los nuevos elementos de matriz definidos en (8.34) se
1
Recordemos que este tipo de términos se introducen para evitar la singularidad del propagador
de la partı́cula virtual en p2 = m2 (p es el momento y m la masa de esta partı́cula).
150
l+
I
@
@
@
@
(
) +
(6W
)
(
-
D+
νl
∗0
K (892)
π+
K−
6
6
K−
D+
+
@
-
l+
-⌣⌢⌣⌢⌣⌢
-⌣⌢⌣
⌢⌣⌢
D∗0 (2007)
@
W+
@
R π+
@
@
@
@
@
R ν
l
Figura 8.4. Diagramas de Feynman que contribuyen al decaimiento semileptónico Dl4 en el MDM,
se ha despreciado el resto de las posibles contribuciones.
parametrizan de acuerdo con la covariancia de Lorentz,
∗0
hK − π + |K i = GK ∗ Kπ ǫ · (pK − pπ ) ,
∗0
hD∗0 π + |D+ i = GD∗ Dπ η ∗ · (pD + pπ ) ,
(8.35)
(8.36)
hK |s̄γα (1 − γ5 )c|D+ i = igεαβγδ ǫβ∗ (pD + pK ∗ )γ (pD − pK ∗ )δ + f ǫ∗α
(8.37)
hK − |s̄γα (1 − γ5 )c|D∗0 i = ig ′ εαβγδ η β (pD∗ + pK )γ (pD∗ − pK )δ + f ′ ηα
(8.38)
+[a+ (pD + pK ∗ )α + a− (pD − pK ∗ )α ]ǫ∗ · (pD − pK̄ ∗ ) ,
+[a′+ (pD∗ + pK )α + a′− (pD∗ − pK )α ]η · (pD∗ − pK ) ,
donde ǫ y η son, respectivamente, los vectores de polarización de los mesones vectoria∗0
les K (892) y D∗0 (2007). Las fases de los vectores de estado se escogen de tal forma
que los acoplamientos fuertes GK ∗ Kπ y GD∗ Dπ sean reales y positivos. Estas constantes
de acoplamiento se pueden fijar a partir de procesos independientes, especı́ficamente
de los decaimientos fuertes K ∗ → Kπ y D∗ → Dπ. Hemos comentado ya que si exigi-
mos la invariancia ante transformaciones de inversión temporal, entonces los factores
de forma que parametrizan los elementos de matriz (8.37) y (8.38) resultan ser reales.
Estos factores de forma dependen del cuadrado del correspondiente momento transferido. La conservación del momento-energı́a establece que el momento transferido
en el decaimiento débil virtual (8.37) es pD − pK ∗ = L, y en el decaimiento débil
virtual (8.38) es pD∗ − pK = L. Ası́ pues, todos los factores de forma van a depender
únicamente de la variable cinemática slν .
Sustituyendo las ecuaciones (8.35)-(8.38) en la ecuación (8.34) y sumando sobre
los estados de polarización de los mesones vectoriales virtuales, se obtiene la expresión
del elemento de matriz hadrónico en nuestro modelo,
G ∗
GD∗ Dπ ′ Hα = 2i K Kπ g −
g εαγδζ P γ Qδ Lζ
SK ∗
SD ∗
151
(8.39)
nG ∗ 1
∆2Dπ ′ io
∆2Kπ GD∗ Dπ h
′
K Kπ
−
L · P2 a+ +
3 − 2 f Pα
2L · P1 a+ − 2 f +
SK ∗
mK ∗
SD ∗
2
mD ∗
h
io
nG ∗
2
1
∆
GD∗ Dπ
K Kπ
L · P2 a′+ −
f ′ Qα
−
1 + Dπ
f+
2
∗
∗
SK
SD
2
mD ∗
h
nG ∗
∆2Dπ ′ io
GD∗ Dπ
′
′
K Kπ
L · P2 (a+ + a− ) + 1 − 2 f Lα .
L · P1 (a+ + a− ) +
−
SK ∗
SD ∗
mD ∗
Para simplificar la escritura hemos definido
∆2Kπ = m2K − m2π ,
∆2Dπ = m2D − m2π ,
2
∗ + im ∗ Γ ∗ ,
SK ∗ = m2Kπ − mK
K
K
SD∗ = (pD − pπ )2 − m2D∗ ,
∆2
P ,
P1 = Q − Kπ
m2K ∗
P2 = pD + pπ −
∆2Dπ
(pD − pπ ) .
m2D∗
(8.40)
(8.41)
(8.42)
(8.43)
(8.44)
(8.45)
Las expresiones de los factores de forma del elemento de matriz hadrónico Hα se
obtienen comparando las ecuaciones (8.3) y (8.39),
G ∗
GD∗ Dπ ′ g ,
h = 2 K Kπ g −
SK ∗
SD ∗
GD∗ Dπ h
∆2 ′ i
r = −
L · P2 (a′+ + a′− ) + 1 − Dπ
f
SD ∗
m2D∗
G ∗
− K Kπ L · P1 (a+ + a− ) ,
SK ∗
1
∆2 ′ i
GD∗ Dπ h
L · P2 a′+ +
f
3 − Dπ
w+ = −
SD ∗
2
m2D∗
GK ∗ Kπ ∆2Kπ −
2L · P1 a+ − 2 f ,
SK ∗
mK ∗
h
GD∗ Dπ
1
∆2Dπ ′ i GK ∗ Kπ
′
w− = −
L · P2 a+ −
1+ 2 f −
f .
SD ∗
2
mD ∗
SK ∗
(8.46)
(8.47)
(8.48)
(8.49)
Vale la pena mostrar la forma explı́cita de los productos escalares L · P1 y L · P2 ,
L · P1
L · P2
2
2
∆2Kπ mK ∗ − mKπ
P ·L ,
= XβKπ cos θV + 2
mK ∗
m2Kπ
∆2Dπ 1
∆2Dπ = 1 − 2 slν −
1 + 2 XβKπ cos θV
mD ∗
2
mD ∗
h
2 2 i
2
∆Kπ
∆
∆
1
P ·L ,
− 1 + Dπ
+ 3 − Dπ
2
2
2
mD ∗
mD∗ m2Kπ
152
(8.50)
(8.51)
(8.52)
y del denominador SD∗ ,
∆2 P ·L .
SD∗ = m2D + m2K − m2D∗ − m2Kπ + XβKπ cos θV − 1 − Kπ
m2Kπ
(8.53)
Para determinar completamente el elemento de matriz hadrónico Hα es necesario
calcular los factores de forma g, f , a+ , a− , g ′ , f ′ , a′+ y a′− en algún modelo efectivo
como la HQET. Esto nos permitirá realizar predicciones para las observables del
decaimiento semileptónico Dl4 .
8.3.
El modelo de dominancia polar
∗0
Experimentalmente, la contribución del mesón vectorial K (892) al decaimien∗0
to Dl4 se trata con la parametrización (7.63) del elemento de matriz hK |s̄γα (1 −
γ5 )c|D+ i [103, 102], la cual también es utilizada en los análisis experimentales2 del
decaimiento Dl3 [99]. En ambos decaimientos los factores de forma V (slν ) y Ai (slν )
son parametrizados de la misma manera. Consecuentemente, las relaciones (7.73)(7.76), entre los factores de forma que utilizamos y los que se utilizan en los análisis
experimentales, también son válidas para el decaimiento semileptónico Dl4 .
Debido a que la contribución del mesón vectorial D∗0 (2007) al decaimiento Dl4
se produce por un mecanismo poco convencional, ésta no ha sido considerada en los
análisis experimentales. En el estudio teórico de los decaimientos semileptónicos del
mesón D de la referencia [107] se incluyó dicha contribución, pero con un enfoque completamente distinto. Un mecanismo análogo ha sido considerado en algunos cálculos
teóricos de los decaimientos semileptónicos del mesón B [110, 89]. En nuestro análisis,
para la contribución del mesón D∗0 (2007) vamos a emplear una parametrización, del
elemento de matriz débil, similar a la de la ecuación (7.63),
hK − |s̄γα (1 − γ5 )c|D∗0 i =
2
2iV ′ (slν )
εαβγδ η β pγK pδD∗ − (mD∗ + mK )A′1 (slν )ηα
mD ∗ + mK
A′2 (slν )
η · pK (pD∗ + pK )α
−
mD ∗ + mK
A′3 (slν )
η · pK (pD∗ − pK )α .
(8.54)
−
mD ∗ + mK
En realidad, el decaimiento Dl3 es analizado utilizando las muestras del decaimiento semi-
leptónico Dl4 que son coleccionadas por los experimentos, restringiéndose al punto cinemático
mKπ = m2K ∗ .
153
Las relaciones entre los factores de forma de las parametrizaciones (8.38) y (8.54) se
obtienen fácilmente por medio de la comparación,
V ′ (slν )
,
mD ∗ + mK
= −(mD∗ + mK )A′1 (slν ) ,
A′2 (slν )
,
=
mD ∗ + mK
A′3 (slν )
=
.
mD ∗ + mK
g′ =
(8.55)
f′
(8.56)
a′+
a′−
(8.57)
(8.58)
Al igual que los factores de forma V (slν ) y Ai (slν ), los factores de forma V ′ (slν ) y
A′i (slν ) se parametrizan por medio de formas polares,
V ′ (0)
,
1 − slν /m2V
A′i (0)
A′i (slν ) =
.
1 − slν /m2A
V ′ (slν ) =
(8.59)
(8.60)
Por supuesto, los valores de estos factores de forma a momento transferido cero (slν =
0) son diferentes a los valores de V (0) y Ai (0), y no existe información experimental
para tales valores. Si definimos las razones
rV′ =
V ′ (0)
A′1 (0)
,
r2′ =
A′2 (0)
A′1 (0)
y
r3′ =
A′3 (0)
,
A′1 (0)
(8.61)
entonces los factores de forma de la parametrización (8.38) se pueden escribir como
sigue:
g
′
=
f′ =
a′+ =
a′− =
A′1 (0)
rV′
,
mD∗ + mK 1 − slν /m2V
mD ∗ + mK ′
−
A (0) ,
1 − slν /m2A 1
r2′
A′1 (0)
,
mD∗ + mK 1 − slν /m2A
A′1 (0)
r3′
.
mD∗ + mK 1 − slν /m2A
(8.62)
(8.63)
(8.64)
(8.65)
En este escenario, nuestra descripción del decaimiento semileptónico Dl4 tiene
cuatro parámetros libres: las tres razones de los factores de forma a slν = 0, rV′ , r2′ y
r3′ , y el factor de forma A′1 (0).
154
8.4.
La teorı́a efectiva de quarks pesados
Despreciando las correcciones de masa finita, la HQET establece que el elemento
∗0
de matriz hK |s̄γα (1 − γ5 )c|D+ i está dado por la ecuación (7.78). Si comparamos
este resultado con la parametrización de dicho elemento de matriz, ecuación (8.37),
obtenemos que las expresiones de los factores de forma g, f , a+ y a− están dadas por
las ecuaciones (7.80) y (7.81). En el caso del elemento de matriz hK − |s̄γα (1−γ5 )c|D∗0 i,
la HQET predice la siguiente expresión:
√
iξ(w′ )
hK |s̄γα (1 − γ5 )c|D i = − √
εαβγδ η β pγK pδD∗ − mD∗ mK (w′ + 1)ξ(w′ )ηα
mD ∗ mK
ξ(w′ )
+√
η · pK pD ∗ α ,
(8.66)
mD ∗ mK
−
∗0
donde
w ′ = vD ∗ · vK =
m2D∗ + m2K − slν
.
2mD∗ mK
(8.67)
Comparando las ecuaciones (8.38) y (8.66) se obtienen las expresiones de los factores
de forma que gobiernan la contribución del mesón D∗0 (2007) al decaimiento Dl4 ,
ξ(w′ )
,
g ′ = a′+ = a′− = − √
2 mD ∗ mK
√
f ′ = − mD∗ mK (w′ + 1)ξ(w′ ) .
(8.68)
(8.69)
Es claro que en el marco de la HQET el decaimiento Dl4 está caracterizado únicamente por un parámetro, el parámetro ρ de la función de Isgur-Wise, el cual se puede
fijar del decaimiento Dl3 o de los decaimientos semileptónicos del mesón B. Por lo tanto, en este escenario las predicciones de las observables del decaimiento Dl4 se pueden
realizar sin problema alguno, ya que no se tienen parámetros libres. La desventaja es
que las incertidumbres que se introducen en estas predicciones, por la violación de
la simetrı́a de quarks pesados en los decaimientos semileptónicos de los mesones con
encanto, pueden ser demasiado grandes.
155
Capı́tulo 9
Conclusiones
En la presente tesis hemos usado el modelo de dominancia de mesones (MDM)
para describir algunos de los más importantes decaimientos semileptónicos del leptón
τ y del mesón D. Es bien conocido que los modelos efectivos, como el MDM, son la
mejor opción para describir estos decaimientos. Debido a que ocurren en el régimen
no perturbativo de las interacciones fuertes (QCD), y a la ausencia de predicciones
precisas de Lattice QCD. El MDM introduce una cantidad considerable de parámetros
libres, los cuales fijamos a partir de resultados experimentales de procesos independientes o basándonos en las simetrı́as (aproximadas) del Modelo Estándar. Nuestra
descripción fenomenólogica de los decaimientos semileptónicos del τ y del D consistió en determinar sus observables más importantes, las cuales comparamos con
resultados experimentales y/o predicciones de otros modelos efectivos, conforme a la
disponibilidad de estos últimos. Además nos fue posible reanalizar la determinación
de un parámetro importante de la teorı́a de las interacciones fundamentales (ME), el
momento magnético anómalo del muon.
En general, a partir de la comparación de nuestros resultados con los datos experimentales, podemos concluir que el MDM describe razonablemente bien los decaimientos semileptónicos en el régimen de energı́as intermedias (1 ∼ 2 GeV).
En particular, las conclusiones más relevantes de esta tesis se dan a continuación.
En el decaimiento radiativo τ − → ντ π − π 0 γ, las predicciones (de las observables)
del MDM difieren de manera significativa de las predicciones basadas en la teorı́a de
perturbaciones quirales (CHPT) [11]. Nuestro análisis mostró que estas discrepancias
se deben a la contribución del mesón vectorial ω(782). Esto ocurre porque el sistema
ρ(770)−ω(782) es casi degenerado y porque el ancho de decaimiento del mesón ω(782)
156
es muy pequeño. Las observables de este decaimiento son poco sensibles al momento
dipolar magnético del mesón vectorial ρ(770).
Para el decaimiento τ − → ντ π − π 0 , debido a la discrepancia de las predicciones del
MDM y de la CHPT para las observables el decaimiento τ − → ντ π − π 0 γ, las correc-
ciones radiativas electromagnéticas de O(α) también difieren en ambos modelos. Otra
vez, la contribución del mesón vectorial ω(782) es la que causa las discrepancias entre
las predicciones de ambos modelos. Las correcciones radiativas electromagnéticas a la
razón de decaimiento que predice el MDM (−0.15 %) son más pequeñas que las que
predice la CHPT (−0.38 %).
El efecto más notable de nuestras resultados para las correcciones radiativas electromagnéticas al decaimiento τ → ντ π − π 0 se produce en el momento magnético
anómalo del muon. Debido a que la predicción del MDM para la función de correc-
ción electromagnética GEM (t), la cual corrige el espectro de los piones, difiere de la
predicción basada en la CHPT. El impacto de GEM (t) sobre aππ,LO
es más grande (por
µ
casi un factor 4) cuando se utilizan los resultados del MDM en lugar de los resultados
de la CHPT. Nuestros resultados aumentan en 0.3σ’s la discrepancia entre el valor
experimental de aµ y su predicción basada en datos espectrales del τ , y reducen en
0.4σ’s la discrepancia entre las predicciones de aµ basadas en datos de la aniquilación
e+ e− y en datos de los decaimientos del τ .
En los decaimientos semileptónicos τ − → ντ V P − , para poder reproducir los datos
de la función espectral del decaimiento τ − → ντ ωπ − con dos resonancias, es necesario
reemplazar la ρ(1450) por la ρ(1523). Las predicciones del MDM para las fracciones de
decaimiento de los procesos τ − → ντ V P − están en buen acuerdo con los resultados
experimentales, en particular, la de los modos τ − → ντ φπ − y τ − → ντ φK − con
las mediciones que recientemente han reportado las colaboraciones BELLE [52] Y
BABAR [53].
157
Apéndice A
Convenciones e Identidades
En este apéndice damos las convenciones que hemos usado en el presente trabajo
de tesis, también mostramos algunas relaciones que han sido de gran utilidad en los
cálculos.
A.1.
La métrica y el tensor de Levi-Civita
El tensor métrico está dado por
g
µν
= gµν

1
0
0
0

 0 −1 0
0
=
 0 0 −1 0

0 0
0 −1



 ,


(A.1)
como es bien conocido este tensor es de segundo rango y simétrico. Otro tensor importante es el llamado tensor de Levi-Civita, el cual es completamente antisimétrico
y se definió como
εµνρσ



 +1, para permutaciones pares de 0123,
=
−1, para permutaciones impares de 0123,


 0,
para cualquier otro caso.
(A.2)
La relación entre el tensor de Levi-Civita contravariante y covariante es
εµνρσ = −εµνρσ .
(A.3)
El producto de dos tensores de Levi-Civita se puede expresar por medio de un
158
determinante,
εαβγδ εµνρσ
= − g αµ g αν g αρ g ασ g βµ g βν g βρ g βσ .
g γµ g γν g γρ g γσ g δµ g δν g δρ g δσ (A.4)
Si este producto es multiplicado por gαµ , entonces obtenemos
εαβγδ εανρσ = −g βν (g γρ g δσ − g γσ g δρ ) + g βρ (g γν g δσ − g γσ g δν )
−g βσ (g γν g δρ − g γρ g δν ) .
(A.5)
De manera similar se obtienen las siguientes relaciones,
εαβγδ εαβ ρσ = −2(g γρ g δσ − g γσ g δρ ) ,
εαβγδ εαβγ σ = −6g δσ ,
(A.6)
εαβγδ εαβγδ = −24 .
A.2.
Las matrices de Dirac
Las matrices de Dirac satisfacen las relaciones de anticonmutación
{γµ , γν } = 2gµν ,
(A.7)
{γµ , γ5 } = 0 ,
(A.8)
la matriz γ5 está definida por
γ 5 = γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 .
(A.9)
Los términos de varias matrices de Dirac se pueden reducir usando la identidad
γ α γ β γ µ = g αβ γ µ − g αµ γ β + g βµ γ α + iεαβµν γν γ5 .
(A.10)
Si A, B, C y D son cuadrivectores, entonces se cumplen las siguientes relaciones
de contracción
γµ 6 Aγ µ = −2 6 A ,
γµ 6 A 6 Bγ µ = 4A · B ,
γµ 6 A 6 B 6 Cγ µ = −2 6 C 6 B 6 A ,
γµ 6 A 6 B 6 C 6 Dγ µ = 2(6 D 6 A 6 B 6 C+ 6 C 6 B 6 A 6 D) .
159
(A.11)
(A.12)
(A.13)
(A.14)
Las matrices de Dirac son matrices 4 × 4 con traza nula,
Tr(γ µ ) = 0 ,
(A.15)
Tr(γ 5 ) = 0 .
(A.16)
La traza del producto de n matrices de Dirac es igual a cero si n es impar,
Tr(γ α1 γ α2 . . . γ αn ) = 0 ,
(A.17)
en el caso de que n sea par la siguiente fórmula de reducción es de gran utilidad
Tr(γ α1 γ α2 . . . γ αn ) = g α1 α2 Tr(γ α3 γ α4 . . . γ αn ) − g α1 α3 Tr(γ α2 γ α4 . . . γ αn )
+ . . . + g α1 αn Tr(γ α2 γ α3 . . . γ αn−1 ) .
(A.18)
Para n = 2 y n = 4 se tiene que
Tr(γ µ γ ν ) = 4g µν ,
Tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 4(g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ ) .
(A.19)
(A.20)
Las trazas del producto de matrices de Dirac que involucran la matriz γ 5 se pueden
resumir de la siguiente manera:
Tr(γ 5 γ µ γ ν ) = 0 ,
(A.21)
Tr(γ 5 γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = −i4εµνρσ ,
(A.22)
Tr(γ 5 γ α1 γ α2 . . . γ αn ) = 0 ,
(A.23)
si n es impar
y si n es par
i
Tr(γ 5 γ α1 γ α2 . . . γ αn ) = − εµνρσ Tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ γ α1 γ α2 . . . γ αn ) .
4!
(A.24)
En esta última relación sólo empleamos el hecho de que la matriz γ 5 se puede escribir
(de acuerdo con su definición y con la definición del tensor de Levi-Civita) como
i
γ 5 = − εµνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ .
4!
(A.25)
Los conjugados hermı́ticos de las matrices de Dirac son:
γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 ,
(A.26)
γ 5† = γ 5 .
(A.27)
160
A.3.
Algunas funciones
A lo largo de toda la tesis hemos usado la función λ(x, y, z), cuya definición es
λ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2(xy + xz + yz) .
La función dilogaritmo Li2 (z) es definida como
Z 1
ln(1 − zy)
dy .
Li2 (z) = −
y
0
161
(A.28)
(A.29)
Apéndice B
Reglas de Feynman
Las amplitudes de los decaimientos que hemos estudiado, a excepción la del decaimiento radiativo τ2πγ , se calcularon a partir de un hamiltoniano efectivo. Como
mencionamos en repetidas ocasiones, estas amplitudes también se pueden calcular
aplicando reglas de Feynman a los diagramas de cada proceso. En este apéndice
damos las reglas de Feynman necesarias para calcular las amplitudes de todos los
procesos que hemos estudiado.
B.1.
Lı́neas externas
Para partı́culas en los estados inicial o final las reglas de Feynman son:
• para leptones
r
-
r = u(p, s)
-
= ū(p, s)
-
r = v̄(p, s)
-
= v(p, s)
• para antileptones
r
• para partı́culas de espin 1
162
-⌣⌢⌣r = ǫµ (p, λ)
⌢⌣⌢
r ⌣⌢
⌢
⌣⌢⌣ = ǫµ∗ (p, λ)
• para partı́culas de espin 0
r
-
r = 1
-
= 1
Los espinores de Dirac satisfacen las siguientes relaciones
X
s
X
s
u(p, s)ū(p, s) = 6 p + m ,
(B.1)
v(p, s)v̄(p, s) = 6 p − m .
(B.2)
Mientras que los vectores de polarización satisfacen
X
λ
ǫµ (p, λ)ǫ∗ν (p, λ) = −gµν +
pµ pν
m2
(B.3)
si la partı́cula de espin 1 es masiva, y
X
λ
ǫµ (p, λ)ǫ∗ν (p, λ) = −gµν
(B.4)
si es no masiva, en ambos casos se cumple la condición de transversalidad
p · ǫ(p, λ) = 0 .
B.2.
(B.5)
Lı́neas internas
Los propagadores para los estados intermedios virtuales se muestran a continuación:
• para leptones
r
-
r = i(6 q + m)
q 2 − m2
• para antileptones
163
-
r
r = i(6 q − m)
q 2 − m2
• para el bosón de norma W ±
µν
r ⌣⌢
-⌣⌢⌣r = ig
⌢
2
MW
µ
ν
• para partı́culas masivas de espin 1
qµqν −i g µν −
m2
r ⌣⌢
-⌣⌢⌣r =
⌢
2
2
q − m + imΓ
µ
ν
• para partı́culas sin masa de espin 1
µν
r ⌣⌢
-⌣⌢⌣r = −ig
⌢
2
q
µ
ν
• para partı́culas de espin 0
r
-
r =
i
q 2 − m2 + imΓ
El propagador del bosón débil cargado W ± se tomó en la norma de Feynman-’t Hooft
y se despreció el cuadrado del momento transferido con respecto al cuadrado de la
masa de este bosón, ya que para los decaimientos que estudiamos en este trabajo
2
siempre se cumple que MW
≫ q2.
B.3.
Vértices
En seguida damos las reglas de Feynman para los vértices involucrados en los
decaimientos que hemos estudiado. La forma explı́cita del vértice electromagnético
Γαβδ se puede consultar en el capı́tulo 4. La notación que usamos es la siguiente: P ,
V y A denotan partı́culas con números cuánticos J P = 0− , 1− y 1+ , respectivamente.
Cuando es conveniente, el contenido de quarks se indica entre paréntesis.
164
l
γ
)
µ(
)
(
@
@
@
l
W
)
µ(
)
ig
(
= − √W γµ (1 − γ5 )
2 2
@
@
@
νl
= iQl γµ
l
V (q q¯′ )
A(q q¯′ )
)
ν (
)
(s
)
µ(
)
(
)
ν (
)
(s
)
µ(
)
(
g V ′
= W√qq gµν GV
2 2
W
P (q q¯′ )
p
ig V ′
= W√ qq gµν GA
2 2
s
=
)
p ( µ
)
(
W
V
)
µ(
)
(s
@
W
= iGV P P ′ (p − p′ )µ
@
P ′ (p′ )
P (p)
igW√Vqq′
pµ GP
2 2
P
V (µ)
)
(
)
(s
)@
(
) @
(
P′
γ (ν)
= ieGV P P ′ gµν
γ
γ (k)
)
α(
)
(s
@
)
α(
)
(s = −iQρ Γαβδ
β δ
ρ (p)
ρ (p′ )
P (p)
165
= −iQP (p − p′ )µ
@
P (p′ )
P
P
s
= iGV AP p · p′ gµν − p′µ pν
µ
ν
V (p)
A (p′ )
s
= iGV V ′ P εµναβ pµ p′α
ν
β
V (p)
V ′ (p′ )
P
s
µ
ν
A (p)
γ (k)
P
= iGAP γ p · kgµν − kµ pν
s
ν
β
V (p)
γ (k)
166
= iGV P γ εµναβ pµ k α
Apéndice C
Cinemática
Para calcular las observables del decaimiento i → f es necesario describir su cine-
mática, esta dependerá esencialmente del número de partı́culas en el estado final f. En
el presente trabajo únicamente hemos estudiado decaimientos de hasta cuatro cuerpos.
Por lo cual, sólo describiremos la cinemática (más interesante) de los decaimientos a
tres y cuatro cuerpos, la cinemática de un decaimiento a dos cuerpos es trivial y no
vale la pena considerarla.
C.1.
La razón diferencial de decaimiento
La amplitud invariante M para el decaimiento i → f está definida en términos de
la correspondiente matriz S por
X 1 Y 1
p
pf √
hf|S|ii = δfi − i(2π) δ pi −
M,
2Ei f
2Ef
f
4 4
(C.1)
donde pi = (Ei, p~i) y pf = (Ef, p~f) son los momentos de las partı́culas inicial y finales,
respectivamente. Para este proceso la razón diferencial de decaimiento es
X Y d3 p f
(2π)4
|M|2 δ 4 pi −
N ,
pf
dΓ =
3 2E
2Ei
(2π)
f
f
f
(C.2)
N es el factor estadı́stico que se obtiene incluyendo un factor 1/n! si existen n partı́culas idénticas en el estado final,
N=
Y
1
.
n
k!
k=tipos de partı́culas
(C.3)
Por simplicidad vamos a trabajar en el sistema de referencia en el cual la partı́cula
que decae se encuentra en reposo, conocido brevemente como sistema de reposo de
167
la partı́cula que decae, en este sistema de referencia Ei = mi. Y nos restringiremos al
caso de probabilidades de decaimiento no polarizadas,
|M|2 =
X
1
|M|2 ,
2si + 1 polarizaciones
(C.4)
aquı́ si = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, . . . es el espin de la partı́cula inicial. Cinemáticamente la probabilidad de decaimiento no polarizada |M|2 depende únicamente de
los invariantes de Lorentz que se pueden formar con los momentos de las partı́culas
involucradas, y estos a su vez dependen de un conjunto de variables cinemáticas
independientes. En consecuencia, |M|2 sólo dependerá de estas variables cinemáticas.
La descripción que realizaremos de la cinemática consistirá en determinar la razón
diferencial de decaimiento, ası́ como los posibles invariantes de los momentos de las
partı́culas, en términos de variables cinemáticas independientes.
C.2.
Decaimientos a tres cuerpos
Consideremos el decaimiento
P(p, m) −→ P1 (p1 , m1 )P2 (p2 , m2 )P3 (p3 , m3 ) ,
(C.5)
las definiciones del momento y la masa de las partı́culas se dan entre los paréntesis.
Para este proceso la conservación del momento-energı́a establece que
p = p1 + p2 + p3 ,
(C.6)
y la razón diferencial de decaimiento, en el sistema de reposo de P, está dada por
X Y d3 p j
(2π)4
N . (C.7)
d ΓP (P1 P2 P3 ) =
|MP (P1 P2 P3 )|2 δ 4 p −
pj
3 2E
2m
(2π)
j
j=1
j=1
3
3
9
Siempre es posible expresar la probabilidad de decaimiento no polarizada en términos
de los productos escalares de los momentos de las partı́culas: p · p1 , p · p2 , p · p3 , p1 · p2 ,
p1 · p3 y p2 · p3 . Utilizando la conservación del momento-energı́a, el número de estos
productos escalares se puede reducir a tres, por ejemplo p1 · p2 , p1 · p3 y p2 · p3 .
Los decaimientos a tres cuerpos se parametrizan por dos variables cinemáticas;
nosotros elegimos:
• E2 , la energı́a de P2 en el sistema de reposo de la partı́cula inicial,
168
• E3 , la energı́a de P3 en el mismo sistema de referencia.
En términos de estas variables los productos escalares de los momentos son
p · p1 = m2 − m(E2 + E3 ) ,
(C.8)
p · p2 = mE2 ,
(C.9)
p · p3 = mE3 ,
1 2
(m − m21 − m22 + m23 ) − mE3 ,
p1 · p2 =
2
1 2
p1 · p3 =
(m − m21 + m22 − m23 ) − mE2 ,
2
1
p2 · p3 = − (m2 − m21 + m22 + m23 ) + m(E2 + E3 ) .
2
(C.10)
(C.11)
(C.12)
(C.13)
Es obvio que la probabilidad de decaimiento no polarizada cinemáticamente va a
depender de E2 y E3 , es decir
|MP (P1 P2 P3 )|2 = f (E2 , E3 ) .
(C.14)
La integración parcial de la razón diferencial de decaimiento (C.7) es trivial,
d2 ΓP (P1 P2 P3 ) =
N
|MP (P1 P2 P3 )|2 dE2 dE3 .
(4π)3 m
(C.15)
El dominio de integración, o la región cinemática fı́sicamente accesible en este decaimiento, es
{m3 ≤ E3 ≤ [m2 − (m1 + m2 )2 + m23 ]/(2m) , E2− (E3 ) ≤ E2 ≤ E2+ (E3 )} ,
(C.16)
en este caso la integración de (C.15) se debe realizar primero sobre la variable E2 y
posteriormente sobre E3 . Las funciones E2± (E3 ) están definidas como
p
2
2
2
2
E32 − m23
(m
−
E
)(m
−
m
+
m
+
m
−
2mE
)
3
3
1
2
3
E2± (E3 ) =
±
2(m2 + m23 − 2mE3 )
2(m2 + m23 − 2mE3 )
×[(m2 − m21 + m22 + m23 − 2mE3 )2 − 4m22 (m2 + m23 − 2mE3 )]1/2 .
(C.17)
Por supuesto, si el orden de integración sobre E2 y E3 se invierte el dominio va a
ser diferente, este dominio de integración se puede obtener haciendo 2 ↔ 3 en las
ecuaciones (C.16) y (C.17).
En ocasiones es conveniente describir el decaimiento P → P1 P2 P3 en términos de
invariantes de Lorentz. En este caso, escogemos:
169
• s12 = (p1 + p2 )2 , el cuadrado del invariante de masa del sistema P1 P2 ,
• s13 = (p1 + p3 )2 , el cuadrado del invariante de masa del sistema P1 P3 .
De acuerdo con la conservación del momento-energı́a, en el sistema de reposo de P
estos invariantes se pueden escribir en términos de las energı́as E2 y E3 ,
s12 = m2 + m23 − 2mE3 ,
s13 = m2 + m22 − 2mE2 .
(C.18)
(C.19)
Los correspondientes elementos diferenciales del espacio fase están relacionados por
el Jacobiano de las transformaciones (C.18) y (C.19),
∂(E2 , E3 ) ds12 ds13 = ds12 ds13 .
dE2 dE3 = ∂(s12 , s13 ) 4m2
(C.20)
La probabilidad de decaimiento no polarizada va a ser una función de s12 y s13 ,
es decir |MP (P1 P2 P3 )|2 = g(s12 , s13 ), y la razón diferencial de decaimiento va a estar
dada por
d2 ΓP (P1 P2 P3 ) =
N
|MP (P1 P2 P3 )|2 ds12 ds13 .
4(4π)3 m3
(C.21)
El dominio de integración, si se integra primero sobre s13 y después sobre s12 , es
+
{(m1 + m2 )2 ≤ s12 ≤ (m − m3 )2 , s−
13 (s12 ) ≤ s13 ≤ s13 (s12 )} ,
(C.22)
donde
s±
13 (s12 )
1
2(m2 + m21 − s12 )s12 − (m2 − m23 − s12 )(s12 − m21 + m22 )
=
2s12
q
± λ(m2 , m23 , s12 )λ(s12 , m21 , m22 ) .
(C.23)
Si el orden de integración se invierte el dominio se obtiene haciendo 2 ↔ 3 en las
ecuaciones (C.22) y (C.23).
Finalmente, los productos escalares de los momentos se deben expresar en términos
de las variables cinemáticas s12 y s13 ,
1
(s12 + s13 − m32 − m23 ) ,
2
1 2
=
(m + m22 − s13 ) ,
2
1 2
=
(m + m23 − s12 ) ,
2
p · p1 =
(C.24)
p · p2
(C.25)
p · p3
170
(C.26)
1
(s12 − m21 − m22 ) ,
2
1
(s13 − m21 − m23 ) ,
=
2
1 2
=
(m + m21 − s12 − s13 ) .
2
p1 · p2 =
(C.27)
p1 · p3
(C.28)
p2 · p3
(C.29)
Una ventaja de trabajar con variables cinemáticas que sean invariantes de Lorentz es
que la expresión de la probabilidad de decaimiento no polarizada será explı́citamente
invariante bajo transformaciones de Lorentz, y por tanto independiente del sistema
de referencia. Esto es de gran utilidad, pues en ocasiones es conveniente trabajar en
algún otro sistema de referencia que no sea el de reposo de la partı́cula que decae.
C.3.
Decaimientos a cuatros cuerpos
Ahora discutiremos la cinemática de los decaimientos a cuatro cuerpos, esta no es
trivial debido al número de variables que se requieren. Consideremos el decaimiento
P(p, m) −→ P1 (p1 , m1 )P2 (p2 , m2 )P3 (p3 , m3 )P4 (p4 , m4 )
(C.30)
p y m son el momento y la masa, respectivamente, de la partı́cula inicial P, mientras
que pi y mi denotan el momento y la masa, respectivamente, de la i-ésima partı́cula
final Pi (i = 1, . . . , 4). Para este decaimiento la conservación del momento-energı́a
está dada por:
p = p1 + p2 + p3 + p4 .
(C.31)
En el sistema de reposo de la partı́cula que decae la razón diferencial de decaimiento
es
X (2π)4
|M(P → P1 P2 P3 P4 )|2 δ 4 p −
pj
2m
j=1
4
d12 Γ(P → P1 P2 P3 P4 ) =
×
4
Y
d3 p j
N ;
(2π)3 2Ej
j=1
(C.32)
para simplificar el cálculo, la integración parcial de esta se llevará acabo en diferentes
sistemas de referencia con la ayuda de la invariancia de Lorentz.
Para los decaimientos a cuatro cuerpos la probabilidad de decaimiento no polarizada depende de once invariantes de Lorentz p·p1 , p·p2 , p·p3 , p·p4 , p1 ·p2 , p1 ·p3 , p1 ·p4 ,
p2 · p3 , p2 · p4 , p3 · p4 y εαβγδ pα1 pβ2 pγ3 pδ4 . Usando la conservación del momento-energı́a,
171
el número de productos escalares se puede reducir a seis, por ejemplo: p1 · p2 , p1 · p3 ,
p1 · p4 , p2 · p3 , p2 · p4 , p3 · p4 . Notemos que en este caso la probabilidad de decaimiento
no polarizada va a depender de un invariante de Lorentz formado con el tensor de
Levi-Civita. Es conveniente introducir las siguientes combinaciones de momentos
p12 = p1 + p2 ,
(C.33)
q12 = p1 − p2 ,
(C.34)
p34 = p3 + p4 ,
(C.35)
q34 = p3 − p4 .
(C.36)
Con una adecuada elección de la orientación de los ejes coordenados, en el sistema
de reposo de P, siempre es posible reducir las doce variables del espacio fase de
las partı́culas finales a sólo nueve. Sin embargo, de acuerdo con la conservación del
momento-energı́a se tienen cuatro relaciones entre las componentes de los momentos,
E1 + E2 + E3 + E4 = M y p~1 + p~2 + p~3 + p~4 = ~0, de esta manera de las nueve variables
únicamente cinco son independientes. En este sentido, es común que se afirme en la
literatura que un decaimiento a cuatro cuerpos se puede parametrizar por medio de
cinco variables independientes. Siguiendo la referencia [109] elegimos las siguientes
variables:
• s12 = p212 , el cuadrado del invariante de masa del sistema P1 P2 ,
• s34 = p234 , el cuadrado del invariante de masa del sistema P3 P4 ,
• θ1 , el ángulo formado por el trimomento de la partı́cula P1 en el sistema de
reposo de P1 P2 con respecto a la dirección de P1 P2 en el sistema de reposo de
la partı́cula P,
• θ3 , el ángulo formado por el trimomento de la partı́cula P3 en el sistema de
reposo de P3 P4 con respecto a la dirección de P3 P4 en el sistema de reposo de
la partı́cula P,
• φ, el ángulo entre los planos definidos por P1 P2 y P3 P4 en el sistema de reposo
de P.
Para especificar de manera más precisa las definiciones de las variables cinemáticas
independientes, sea p~1 el trimomento de P1 en el sistema de reposo de P1 P2 y p~3 el
trimomento de P3 en el sistema de reposo de P3 P4 . Además, sea n̂12 un vector unitario
172
a lo largo de la dirección de P1 P2 en el sistema de reposo de P, n̂1 un vector unitario
a lo largo de la proyección de p~1 perpendicular a n̂12 , y n̂3 un vector unitario a lo
largo de la proyección de p~3 perpendicular a n̂12 . Entonces tenemos que:
n̂12 · p~1
,
|~p1 |
n̂12 · p~3
cos θ3 = −
,
|~p3 |
cos φ = n̂1 · n̂3 ,
cos θ1 =
sin φ = (n̂1 × n̂12 ) · n̂3 .
(C.37)
(C.38)
(C.39)
(C.40)
En términos de las variables cinemáticas que hemos definido, los invariantes de
Lorentz formados con los momentos (C.33)-(C.36) tienen la forma:
p212 = s12 ,
(C.41)
p234 = s34 ,
(C.42)
2
q12
= 2(m21 + m22 ) − s12 ,
(C.43)
2
= 2(m31 + m42 ) − s34 ,
q34
p12 · q12 = m21 − m22 ,
(C.44)
(C.45)
p34 · q34 = m31 − m24 ,
(C.46)
1 2
p12 · p34 =
(m − s12 + s34 ) ,
(C.47)
2
m23 − m24
p12 · p34 ,
(C.48)
p12 · q34 = Xβ34 cos θ3 +
s34
m2 − m22
p34 · q12 = Xβ12 cos θ1 + 1
p12 · p34 ,
(C.49)
s12
m21 − m22 m23 − m24
m2 − m22
q12 · q34 =
p12 · p34 + 1
Xβ34 cos θ3
s12
s34
s12
h
m2 − m24
+ 3
Xβ12 cos θ1 + β12 β34 p12 · p34 cos θ1 cos θ3
s34
i
√
(C.50)
− s12 s34 sin θ1 sin θ3 cos φ ,
√
γ δ
εαβγδ pα12 pβ34 q12
(C.51)
q34 = − s12 s34 β12 β34 X sin θ1 sin θ3 sin φ ,
donde
λ1/2 (s12 , m21 , m22 )
β12 =
,
s12
λ1/2 (s34 , m23 , m24 )
β34 =
,
s34
h
i1/2 λ1/2 (m2 , s , s )
12 34
2
.
X = (p12 · p34 ) − s12 s34
=
2
173
(C.52)
(C.53)
(C.54)
El resto de los productos escalares están dados por
1 2
(m + s12 − s34 ) ,
p · p12 =
2
1 2
p · p34 =
(m − s12 + s34 ) ,
2
p12 · p34 p · q12 = (m21 − m22 ) 1 +
+ Xβ12 cos θ1 ,
s12
p12 · p34 + Xβ34 cos θ3 .
p · q34 = (m23 − m24 ) 1 +
s34
Es claro que la probabilidad de decaimiento no polarizada va a depender
(C.55)
(C.56)
(C.57)
(C.58)
cinemá-
ticamente de las cinco variables independientes que hemos elegido, es decir
|M(P → P1 P2 P3 P4 )|2 = F (s12 , s34 , cos θ1 , cos θ3 , φ) .
(C.59)
La integración parcial de la razón diferencial de decaimiento no es trivial. El elemento
diferencial de espacio fase d3 pj /2Ej es un invariante de Lorentz, ya que
Z ∞
Z +∞
d3 p j
α
2
0 4
δ(pαj pjα − m2j )d4 pj .
δ(pj pjα − mj )θ(pj )d pj =
=
2Ej
0
−∞
(C.60)
Esta propiedad del elemento diferencial del espacio fase de la j-ésima partı́cula final es
de mucha utilidad, pues la integracion parcial se puede realizar en diferentes sistemas
de referencia donde la integración no sea muy complicada. La integración parcial del
elemento diferencial del espacio fase de las partı́culas P1 y P2 , (d3 p1 /2E1 )(d3 p2 /2E2 ),
se realiza en el sistema de reposo de P1 P2 . Mientras que el elemento diferencial del
espacio fase de las partı́culas P3 y P4 , (d3 p3 /2E3 )(d3 p4 /2E4 ), se integra parcialmente
en el sistema de reposo de P3 P4 . Después de realizar el cálculo se encuentra que la
razón diferencial de decaimiento tiene la siguiente forma:
N Xβ12 β34
d5 Γ(P → P1 P2 P3 P4 ) =
|M(P → P1 P2 P3 P4 )|2
4(4π)6 m3
×ds12 ds34 d cos θ1 d cos θ3 dφ .
(C.61)
Una ventaja de elegir las variables cinemáticas s12 , s34 , cos θ1 , cos θ3 y φ es que el
espacio fase fı́sicamente accesible está descrito de una manera muy sencilla:
√
{(m1 + m2 )2 ≤ s12 ≤ (m − m3 − m4 )2 , (m3 + m4 )2 ≤ s34 ≤ (m − s12 )2 ,
−1 ≤ cos θ1 ≤ 1, −1 ≤ cos θ3 ≤ 1, −π ≤ φ ≤ π} .
(C.62)
Si intercambiamos el orden de integración de los cuadrados de los invariantes de masa,
el dominio es
{(m3 + m4 )2 ≤ s34 ≤ (m − m1 − m2 )2 , (m1 + m2 )2 ≤ s12 ≤ (m −
−1 ≤ cos θ1 ≤ 1, −1 ≤ cos θ3 ≤ 1, −π ≤ φ ≤ π} .
174
√
s34 )2 ,
(C.63)
Es común que las variables s12 , s34 , θ1 , θ3 y φ no sean las más adecuadas para
describir algunos decaimientos a cuatro cuerpos. En este caso se tiene que realizar
un cambio de variables; sean x1 , x2 , x3 , x4 y x5 las nuevas variables cinemáticas. En
general, las transformaciones están dadas por
x1 = g1 (s12 , s34 , cos θ1 , cos θ3 , φ) ,
(C.64)
x2 = g2 (s12 , s34 , cos θ1 , cos θ3 , φ) ,
(C.65)
x3 = g3 (s12 , s34 , cos θ1 , cos θ3 , φ) ,
(C.66)
x4 = g4 (s12 , s34 , cos θ1 , cos θ3 , φ) ,
(C.67)
x5 = g5 (s12 , s34 , cos θ1 , cos θ3 , φ) ,
(C.68)
y las transformaciones inversas por
s12 = h12 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ,
(C.69)
s34 = h34 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ,
(C.70)
cos θ1 = h1 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ,
(C.71)
cos θ3 = h3 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ,
(C.72)
φ = hφ (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) .
(C.73)
La probabilidad de decaimiento no polarizada dependerá de las nuevas variables cinemáticas,
|M(P → P1 P2 P3 P4 )|2 = G(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) .
(C.74)
Los elementos diferenciales del espacio fase en cada uno de los conjuntos de variables se relacionan por medio del Jacobiano de la transformación,
∂(s12 , s34 , cos θ1 , cos θ3 , φ) dx1 dx2 dx3 dx4 dx5 . (C.75)
ds12 ds34 d cos θ1 d cos θ3 dφ = ∂(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )
En términos de las nuevas variables cinemáticas independientes la razón diferencial
de decaimiento está dada por
N Xβ12 β34 ∂(s12 , s34 , cos θ1 , cos θ3 , φ) d Γ(P → P1 P2 P3 P4 ) =
4(4π)6 m3 ∂(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )
5
×|M(P → P1 P2 P3 P4 )|2 dx1 dx2 dx3 dx4 dx5 (C.76)
La región del espacio fase fı́sicamente accesible está definida por las desigualdades:
mı́n(x5 ) ≤ x5 ≤ máx(x5 ) ,
175
(C.77)
mı́n(x4 ) ≤ x4 ≤ máx(x4 ) ,
(C.78)
mı́n(x3 ) ≤ x3 ≤ máx(x3 ) ,
(C.79)
mı́n(x2 ) ≤ x2 ≤ máx(x2 ) ,
(C.80)
mı́n(x1 ) ≤ x1 ≤ máx(x1 ) ;
(C.81)
determinar estos mı́nimos y máximos es una tarea que suele ser complicada.
176
Apéndice D
La simetrı́a SU (3) de sabor y los
acoplamientos de la interacción
fuerte
Basados en lagrangianos invariantes ante transformaciones de SU (3), en el presente apéndice determinamos algunos de los acoplamientos fuertes que caracterizan
(en el MDM) a los decaimientos semileptónicos que hemos estudiado.
D.1.
El acoplamiento ViVf P
Empecemos por definir los multipletes 1 3 S1 (en la notación n
mesones vectoriales (J
PC
−−
=1
2s+1
lJ , ver [1]) de
1
) y 1 S0 de mesones pseudoescalares (J P C = 0−+ ).
Los octetes de 1 3 S1 y 1 1 S0 están dados, respectivamente, por



√
√ 
(ρ+ + ρ− )/ 2
(π + + π − )/ 2



√
√ 
 i(ρ+ − ρ− )/ 2 
 i(π + − π − )/ 2 








0
0




ρ
π




√
√
 (K ∗+ + K ∗− )/ 2 
 (K + + K − )/ 2 




a
[V a ] = 
y
[P
]
=
√
√

 ,

 i(K ∗+ − K ∗− )/ 2 
 i(K + − K − )/ 2 




∗0 √
0 √




 (K ∗0 + K )/ 2 
 (K 0 + K )/ 2 




 i(K ∗0 − K ∗0 )/√2 
 i(K 0 − K 0 )/√2 




ω8
η8
sus correspondientes singletes son
V 0 = ω0
y
177
P 0 = η0 .
Los estados fı́sicos ω y φ son una mezcla ortogonal de los estados de sabor ω8 y ω0 ,
ω = ω8 sin θV + ω0 cos θV ,
(D.1)
φ = ω8 cos θV − ω0 sin θV .
(D.2)
De manera análoga, los estados fı́sicos η y η ′ (958) son una mezcla ortogonal de los
estados de sabor η8 y η0 . El ángulo θV es conocido como el ángulo de la mezcla ω − φ,
y su valor experimental es muy cercano a
1
tan θV = √
=⇒ θV ≃ 35.3◦ ,
2
el cual es comúnmente denominado valor ideal de θV .
El lagrangiano invariante bajo SU (3) que describe la interacción Vi Vf P , incluyendo únicamente el singlete de 1 3 S1 , se puede escribir como
LVi Vf P = G8V V P dabc P a εαβµν ∂α Vibβ ∂µ Vfcν
(D.3)
r
2 0
+
(D.4)
GV V P δab P a εαβµν ∂α Vibβ ∂µ Vf0ν + ∂α Vfbβ ∂µ Vi0ν ,
3
donde dabc es la constante de estructura simétrica de SU (3). Desarrollando este lagrangiano se pueden determinar las constantes de acoplamiento de las interacciones
en las que intervienen los mesones vectoriales ω y φ,
i
h
√
1
Gωρ− π+ = Gωρ+ π− = Gωρ0 π0 = √ G8V V P sin θV + 2 r cos θV
3
i
√
1 8 h
Gφρ− π+ = Gφρ+ π− = Gφρ0 π0 = √ GV V P cos θV − 2 r sin θV
3
GωK ∗− K + = GωK ∗+ K − = GωK ∗0 K 0 = GωK ∗0 K 0
i
h
√
1
= − √ G8V V P sin θV − 2 2 r cos θV
2 3
donde
GφK ∗− K + = GφK ∗+ K − = GφK ∗0 K 0 = GφK ∗0 K 0
i
h
√
1
= − √ G8V V P cos θV + 2 2 r sin θV ,
2 3
G0V V P
.
G8V V P
También son útiles las expresiones de los siguientes acoplamientos:
1
GK ∗+ ρ− K 0 = GK ∗0 ρ+ K − = GK ∗− ρ+ K 0 = GK ∗0 ρ− K + = √ G8V V P ,
2
1 8
GK ∗+ ρ0 K − = GK ∗− ρ0 K + = GV V P ,
2
1
GK ∗0 ρ0 K 0 = GK ∗0 ρ0 K 0 = − G8V V P .
2
r=
178
(D.5)
(D.6)
(D.7)
(D.8)
(D.9)
(D.10)
(D.11)
(D.12)
D.1.1.
El acoplamiento V ′ V P en SU (3)
El multiplete 2 3 S1 de mesones vectoriales (J P C = 1−− ) es definido por el octete


√
(ρ′+ + ρ′− )/ 2


√
 i(ρ′+ − ρ′− )/ 2 






ρ′0


√
 (K ′∗+ + K ′∗− )/ 2 


[V ′a ] = 
(D.13)
√  ,
 i(K ′∗+ − K ′∗− )/ 2 


′∗0 √


′∗0
 (K + K )/ 2 


 i(K ′∗0 − K ′∗0 )/√2 


′
ω8
y el singlete
V ′0 = ω0′ .
(D.14)
Hemos usado la siguiente notación: ρ′ ≡ ρ(1450) y K ′∗ ≡ K ∗ (1410). Los estados
fı́sicos ω ′ ≡ ω(1420) y φ′ ≡ φ(1680) son mezclas ortogonales de los estados de sabor
ω8′ y ω0′ .
El lagrangiano invariante bajo SU (3) que describe la interacción entre mesones
de los multipletes 2 3 S1 , 1 3 S1 y 1 1 S0 se puede escribir como
r
2 0
8
αβµν a
′b
c
GV ′ V P δab εαβµν P a ∂α Vβ′b ∂µ Vν0 ; (D.15)
LV ′ V P = GV ′ V P dabc ε
P ∂α Vβ ∂µ Vν +
3
sólo se ha incluido el singlete de 13 S1 . Los acoplamientos que nos interesan se obtienen
desarrollando este lagrangiano,
i
h
√
1
Gωρ′− π+ = Gωρ′+ π− = Gωρ′0 π0 = √ G8V ′ V P sin θV + 2 r′ cos θV ,
3
h
i
√
1
Gφρ′− π+ = Gφρ′+ π− = Gφρ′0 π0 = √ G8V ′ V P cos θV − 2 r′ sin θV ,
3
GωK ′∗− K + = GωK ′∗+ K − = GωK ′∗0 K 0 = GωK ′∗0 K 0
i
h
√
1
= − √ G8V ′ V P sin θV − 2 2 r′ cos θV ,
2 3
donde
GφK ′∗− K + = GφK ′∗+ K − = GφK ′∗0 K 0 = GφK ′∗0 K 0
i
h
√ ′
1
8
= − √ GV ′ V P cos θV + 2 2 r sin θV ,
2 3
r′ =
G0V ′ V P
.
G8V ′ V P
179
(D.16)
(D.17)
(D.18)
(D.19)
(D.20)
(D.21)
D.2.
El acoplamiento V P1P2
El lagrangiano invariante bajo SU (3) que describe la interacción 1 3 S1 − 1 1 S0 −
1 1 S0 es
LV P1 P2 = iG8V P P fabc V aα (P1b ∂α P2c − P2c ∂α P1b ) ,
(D.22)
donde fabc es la constante de estructura antisimétrica de SU (3). No se incluye un
término con el singlete de 1 3 S1 , ya que este viola la conservación de la carga. Desarrollando este lagrangiano se obtienen las constantes de acoplamiento que nos interesan,
1
Gρ0 K + K − = −Gρ0 K 0 K 0 = G8V P P ,
√2
3 8
GωK + K − = GωK 0 K 0 =
GV P P sin θV ,
√2
3 8
GφK + K − = GφK 0 K 0 =
G
cos θV ,
2 V PP
D.3.
(D.23)
(D.24)
(D.25)
Gρ+ π− π0 = Gρ− π0 π+ = Gρ0 π+ π− = G8V P P ,
(D.26)
Gρ+ π0 π− = Gρ− π+ π0 = Gρ0 π− π+ = −G8V P P .
(D.27)
El acoplamiento AV P
El lagrangiano invariante bajo SU (3) que describe la interacción de los mesones
axiales de los multipletes 1 1 P1 (B) y 1 3 P1 (A) con los mesones vectoriales de 1 3 S1
y pseudoescalares de 1 1 S0 se puede escribir como
LAV P = iG8AV P fabc P a (∂ α Abβ )(∂α Vβc − ∂β Vαc ) + G8BV P dabc P a (∂ α B bβ )(∂α Vβc − ∂β Vαc )
r
2 0
G
δab P a (∂ α B bβ )(∂α Vβ0 − ∂β Vα0 ) ;
(D.28)
+
3 BV P
sólo se ha incluido el singlete de 1 3 S1 . Cabe mencionar que la conjugación de la carga
(C) es la simetrı́a que establece la estructura del lagrangiano LAV P , ası́ como la de
los lagrangianos LVi Vf P y LV P1 P2 .
Siguiendo la notación: a1 ≡ a1 (1260) y b1 ≡ b1 (1235), se pueden escribir los octetes
180
de 1 1 P1 y 1 3 P1 , respectivamente, como


√
−
2
(b+
+
b
)/
1
1


√
 i(b+ − b− )/ 2 
1
1




0


b1


√
 (K + + K − )/ 2 


1B
1B
[B a ] = 
y
√ 
+
−
 i(K1B
− K1B )/ 2 


√ 
0

0
+ K 1B )/ 2 
 (K1B


 i(K 0 − K 0 )/√2 
1B
1B


8
h1
los correspondientes singletes son
B 0 = h01
y









a
[A ] = 







√
−
(a+
1 + a1 )/ 2
√
−
i(a+
−
a
)/
2
1
1
a01
√
+
−
(K1A
+ K1A
)/ 2
√
+
−
i(K1A
− K1A
)/ 2
√
0
0
(K1A
+ K 1A )/ 2
√
0
0
i(K1A
− K 1A )/ 2
f18









 ,







A0 = f10 .
Los estados fı́sicos f1 ≡ f1 (1285) y f1′ ≡ f1 (1420) son mezclas ortogonales de los
estados de sabor f18 y f10 ; mientras que los estados h1 ≡ h1 (1170) y h′1 ≡ h1 (1380)
son mezclas de h81 y h01 .
Los estados de isoespin
1
2
de los multipletes 1 1 P1 (J P C = 1+− ) y 1 3 P1 (J P C =
1++ ) se mezclan, originándose ası́ los estados fı́sicos K1 ≡ K1 (1270) y K1′ ≡ K1 (1400).
El ángulo de la mezcla K1A − K1B (α) se define de la siguiente manera [111]:
K1 = K1B cos α − K1A sin α ,
K1′ = K1B sin α + K1A cos α ,
(para K1+ y K10 )
′+
(D.29)
′0
(para K1 y K1 )
0
K 1 = −K 1B cos α − K 1A sin α ,
(para K1− y K 1 )
= −K 1B sin α + K 1A cos α .
(para K1 y K 1 )
′
K1
′−
′0
(D.30)
(D.31)
(D.32)
A continuación se muestran las expresiones de los acoplamientos AV P que nos
interesan, las cuales se derivan del lagrangiano (D.28). Para los acoplamientos K1 ωK,
K1′ ωK, K1 φK y K1′ φK:
(D.33)
GK1+ ωK − = GK 0 ωK 0 = −GK1− ωK + = −GK 0 ωK 0
1
√ 1h
i
√
1
3 8
GAV P sin α sin θV − G8BV P cos α( sin θV − 2 2rB cos θV ) ,
=
2
3
GK ′ + ωK − = GK ′ 0 ωK 0 = −GK ′ − ωK + = −GK ′ 0 ωK 0
(D.34)
1
1
1
√1 h
i
√
3 8
1 8
= −
GAV P cos α sin θV + GBV P sin α( sin θV − 2 2rB cos θV ) ,
2
3
181
GK1+ φK − = GK 0 φK 0 = −GK1− φK + = −GK 0 φK 0
(D.35)
1
√ 1h
i
√
1 8
3 8
GAV P sin α cos θV − GBV P cos α( cos θV + 2 2rB sin θV ) ,
=
2
3
GK ′ + φK − = GK ′ 0 φK 0 = −GK ′ − φK + = −GK ′ 0 φK 0
(D.36)
1
1
1
√1 h
i
√
1 8
3 8
GAV P cos α cos θV + GBV P sin α( cos θV + 2 2rB sin θV ) ,
= −
2
3
donde
rB =
G0BV P
.
G8BV P
(D.37)
Para los acoplamientos K1 ρK y K1′ ρK:
GK1+ ρ0 K − = GK 0 ρ0 K 0 = −GK1− ρ0 K + = −GK 0 ρ0 K 0
1
1
1 8
(GAV P sin α + G8BV P cos α) ,
=
2
(D.38)
GK + ρ− K 0 = GK10 ρ+ K − = −GK1− ρ+ K 0 = −GK 0 ρ− K +
1
1
1
= √ (G8AV P sin α + G8BV P cos α) ,
2
(D.39)
GK ′ + ρ0 K − = GK ′ 0 ρ0 K 0 = −GK ′ − ρ0 K + = −GK ′ 0 ρ0 K 0
1
1
1
1
1
= − (G8AV P cos α − G8BV P sin α) ,
2
(D.40)
GK ′ + ρ− K 0 = GK ′ 0 ρ+ K − = −GK ′ − ρ+ K 0 = −GK ′ 0 ρ− K +
1
1
1
1
1
= − √ (G8AV P cos α − G8BV P sin α) .
2
(D.41)
Y para los acoplamientos K1 K ∗ π y K1′ K ∗ π:
GK1+ K ∗− π0 = GK 0 K ∗0 π0 = −GK1− K ∗+ π0 = −GK 0 K ∗0 π0
1
1
1
= − (G8AV P sin α − G8BV P cos α) ,
2
(D.42)
GK + K ∗0 π− = GK10 K ∗− π+ = −GK1− K ∗0 π+ = −GK 0 K ∗+ π−
1
1
1
= − √ (G8AV P sin α − G8BV P cos α) ,
2
(D.43)
GK ′ + K ∗− π0 = GK ′ 0 K ∗0 π0 = −GK ′ − K ∗+ π0 = −GK ′ 0 K ∗0 π0
1
1
1
1 8
=
(G
cos α + G8BV P sin α) ,
2 AV P
182
1
(D.44)
GK ′ + K ∗0 π− = GK ′ 0 K ∗− π+ = −GK ′ − K ∗0 π+ = −GK ′ 0 K ∗+ π−
1
1
1
1
1
= √ (G8AV P cos α + G8BV P sin α) .
2
(D.45)
El valor del ángulo de la mezcla K1A −K1B ha sido determinado por varios autores
a partir de diferentes conjuntos de datos experimentales [112], sin embargo en la
actualidad no existe un acuerdo para el valor de este ángulo. De hecho, a partir de
estos análisis podemos establecer la siguiente cota: −30◦ . α . 60◦ . Por esta razón
utilizaremos el valor que se obtiene de consideraciones de la simetrı́a SU (3), α = 45◦ .
Si asumimos la simetrı́a de nonete para la interacción 1 1 P1 − 1 3 S1 − 1 1 S0
√
(G8BV P = G0BV P ) y tomamos tan θV = 1/ 2 y α = 45◦ , entonces las expresiones de los
acoplamientos AV P que predice SU (3) se simplifican considerablemente; enseguida
se muestran estas expresiones. Para los acoplamientos K1 ωK, K1′ ωK, K1 φK y K1′ φK:
1
GK1+ ωK − = GK 0 ωK 0 = −GK1− ωK + = −GK 0 ωK 0 = √ Σ+ ,
1
1
2 2
1
GK ′ + ωK − = GK ′ 0 ωK 0 = −GK ′ − ωK + = −GK ′ 0 ωK 0 = − √ Σ− ,
1
1
1
1
2 2
1
GK1+ φK − = GK 0 φK 0 = −GK1− φK + = −GK 0 φK 0 = Σ− ,
1
1
2
1
GK ′ + φK − = GK ′ 0 φK 0 = −GK ′ − φK + = −GK ′ 0 φK 0 = − Σ+ ,
1
1
1
1
2
(D.46)
(D.47)
(D.48)
(D.49)
donde
Σ+ = G8AV P + G8BV P ,
(D.50)
Σ− = G8AV P − G8BV P .
(D.51)
Para los acoplamientos K1 ρK y K1′ ρK:
1
GK1+ ρ0 K − = GK 0 ρ0 K 0 = −GK1− ρ0 K + = −GK 0 ρ0 K 0 = √ Σ+ ,
1
1
2 2
1
GK + ρ− K 0 = GK10 ρ+ K − = −GK1− ρ+ K 0 = −GK 0 ρ− K + = Σ+ ,
1
1
2
1
GK ′ + ρ0 K − = GK ′ 0 ρ0 K 0 = −GK ′ − ρ0 K + = −GK ′ 0 ρ0 K 0 = − √ Σ− ,
1
1
1
1
2 2
1
GK ′ + ρ− K 0 = GK ′ 0 ρ+ K − = −GK ′ − ρ+ K 0 = −GK ′ 0 ρ− K + = − Σ− .
1
1
1
1
2
(D.52)
(D.53)
(D.54)
(D.55)
Y para los acoplamientos K1 K ∗ π y K1′ K ∗ π:
1
GK1+ K ∗− π0 = GK 0 K ∗0 π0 = −GK1− K ∗+ π0 = −GK 0 K ∗0 π0 = − √ Σ− , (D.56)
1
1
2 2
183
1
GK + K ∗0 π− = GK10 K ∗− π+ = −GK1− K ∗0 π+ = −GK 0 K ∗+ π− = − Σ− , (D.57)
1
1
2
1
GK ′ + K ∗− π0 = GK ′ 0 K ∗0 π0 = −GK ′ − K ∗+ π0 = −GK ′ 0 K ∗0 π0 = √ Σ+ , (D.58)
1
1
1
1
2 2
1
GK ′ + K ∗0 π− = GK ′ 0 K ∗− π+ = −GK ′ − K ∗0 π+ = −GK ′ 0 K ∗+ π− = Σ+ .
(D.59)
1
1
1
1
2
Es conveniente exigir que G8AV P , G8BV P > 0 y G8AV P > G8BV P , de manera que Σ+ > 0
y Σ− > 0.
184
Apéndice E
Determinación de las constantes de
acoplamiento
En este apéndice calculamos las constantes de acoplamiento que introduce el MDM
al describir los decaimientos semileptónicos que se han tratado en esta tesis. Para
esto determinamos las razones de decaimiento de algunos procesos de baja energı́a, y
usamos sus valores experimentales reportados en el PDG [1].
E.1.
Decaimiento V → l+l−
En el MDM el decaimiento V → l+ l− se produce por el intercambio de un fotón
virtual, ver figura E.1. La interacción de los campos vectorial Vα y electromagnético
Aα se describe por medio del lagrangiano efectivo
Leff
Vγ =
em2V α
V Aα ,
γV
(E.1)
a partir del cual se determina el vértice V − γ:
iem2V
gαβ .
γV
(E.2)
La constante de acoplamiento γV se escoge para ser real y positiva.
La amplitud del decaimiento V → l+ l− se obtiene aplicando las reglas de Feynman
al diagrama de la figura E.1,
MV (l+ l− ) =
ie2 m2V
ū(pl− , sl− )γα v(pl+ , sl+ )ǫα ,
2
γV k
185
(E.3)
l+
γ
V ⌢⌣⌢⌣
-⌢⌣⌢⌣⌢
r ⌣⌢⌣
-⌢⌣⌢⌣
@
@
@
@
@
@
R l−
Figura E.1. Diagrama de Feynman para el decaimiento V → l+ l− .
ǫ es el vector de polarización del mesón vectorial V , y k es el momento del fotón
virtual. La probabilidad de decaimiento no polarizada está dada por
|MV (l+ l− )|2 =
1 X
64π 2 α2 2
(mV + 2m2l ) ;
|MV (l+ l− )|2 =
3 s ,s ,s
3γV2
V
l+
(E.4)
l−
de esta manera, la razón de decaimiento es
1/2
2m2l
4m2l
4πα2 mV
+ −
1+ 2
1− 2
.
ΓV (l l ) =
3γV2
mV
mV
(E.5)
Si definimos la función f (mV , ml ) como:
4πα2 mV
f (mV , ml ) =
3
2m2
1 + 2l
mV
1/2
4m2l
1− 2
,
mV
(E.6)
entonces la fracción de decaimiento se puede escribir de una manera sencilla
BV (l+ l− ) =
f (mV , ml )
,
γV2 ΓV
(E.7)
donde ΓV es el ancho total del mesón vectorial V .
Finalmente, para determinar la constante de acoplamiento γV igualamos BV (l+ l− ),
ecuación (E.7), con su valor experimental, ası́ obtenemos que:
s
f (mV , ml )
.
γV =
BVexp (l+ l− )ΓV
E.1.1.
(E.8)
Los acoplamientos γρ , γω y γφ
A partir de los datos experimentales para las fracciones de decaimiento de los
modos:
ρ0 −→ e+ e− ,
186
(E.9)
ρ0 −→ µ+ µ− ,
(E.10)
ω −→ e+ e− ,
(E.11)
ω −→ µ+ µ− ,
(E.12)
φ −→ e+ e− ,
(E.13)
φ −→ µ+ µ− ,
(E.14)
determinaremos las constantes de acoplamiento γρ , γω y γφ (las cuales describen la
interacción de los mesones vectoriales ρ, ω y φ con el fotón). Los resultados se resumen
en la tabla E.1; los resultados para γρ se obtuvieron con el valor de mρ que da el PDG
[1] (mρ = 775.5 ± 0.4 MeV).
En el análisis de los decaimientos semileptónicos τ2π y τ2πγ hemos usado mρ =
776.66 MeV, con este valor de mρ los resultados para el acoplamiento γρ se modifican
ligeramente, ver la tabla E.2.
Acoplamiento
Modo
Valor
e+ e−
4.963 ± 0.045
γρ
µ+ µ−
e+ e−
γω
µ+ µ−
e+ e−
γφ
+ −
µ µ
5.04 ± 0.16
16.92 ± 0.16
15.1 ± 2.6
13.41 ± 0.12
13.66 ± 0.46
Promedio
5.002 ± 0.099
16.0 ± 1.8
13.54 ± 0.30
Tabla E.1. Resultados para los acoplamientos electromagnéticos γV .
Acoplamiento
Modo
Valor
e+ e−
4.967 ± 0.045
γρ
µ+ µ−
5.04 ± 0.16
Promedio
5.004 ± 0.098
Tabla E.2. Resultados para el acoplamiento γρ obtenido con mρ = 776.66 MeV.
187
E.2.
Decaimiento Vi → Vf P
El decaimiento Vi → Vf P es producido por la interacción fuerte. Para describir
dicho decaimiento utilizamos el lagrangiano efectivo
α β γ δ
Leff
Vi Vf P = GVi Vf P P εαβγδ ∂ Vi ∂ Vf ,
(E.15)
a partir del cual se obtiene el vértice Vi − Vf − P que se da en el apéndice B.3. El
acoplamiento efectivo GVi Vf P se elige para ser real.
La amplitud del decaimiento Vi → Vf P se construye fácilmente empleando las
reglas de Feynman dadas en el apéndice B,
MVi (Vf P ) = iGVi Vf P εαβγδ pαVi ǫβVi pγVf ǫδ∗
Vf ,
(E.16)
donde pVi (pVf ) y ǫVi (ǫVf ) son, respectivamente, el momento y el vector de polarización
del mesón vectorial inicial (final). La probabilidad de decaimiento no polarizada es
|MVi (Vf
P )|2
G2Vi Vf P
1 X
2
λ(m2Vi , m2Vf , m2P ) ,
|MVi (Vf P )| =
=
3 s ,s
6
Vi
(E.17)
Vf
y por tanto la razón de decaimiento tiene la siguiente forma:
ΓVi (Vf P ) =
G2Vi Vf P λ3/2 (m2Vi , m2Vf , m2P )
m3Vi
96π
.
(E.18)
Si definimos
g(mVi , mVf , mP ) =
1 λ
96π
3/2
(m2Vi , m2Vf , m2P )
m3Vi
,
(E.19)
entonces la fracción de decaimiento se puede escribir como
BVi (Vf P ) = G2Vi Vf P
g(mVi , mVf , mP )
,
ΓVi
(E.20)
ΓVi es el ancho total del mesón vectorial inicial.
Utilizando el valor experimental de la fracción de decaimiento para Vi → Vf P se
obtiene el valor absoluto del acoplamiento fuerte GVi Vf P :
|GVi Vf P | =
s
BVexp
(Vf P )ΓVi
i
.
g(mVi , mVf , mP )
188
(E.21)
E.2.1.
Los acoplamientos Gφωπ y Gφρπ
El decaimiento φ → ωπ 0 permite fijar el módulo de la constante de acoplamiento
Gφωπ , aplicando la fórmula (E.21) obtenemos:
−1
+0.51
−5
|Gφωπ | = (4.07−0
.43 ) × 10 MeV .
(E.22)
De acuerdo con los datos experimentales reportados en la referencia [1], el decaimiento φ → π + π − π 0 es dominado por la producción del mesón vectorial ρ(770)
como estado intermedio, es decir, por el canal φ → ρπ → π + π − π 0 . Consideremos
entonces la siguiente aproximación
Bφexp (π + π − π 0 ) ∼ Bφ (ρπ) ,
(E.23)
el término Bφ (ρπ) incluye los tres posibles estados: ρ+ π − , ρ− π + y ρ0 π 0 , es decir
Bφ (ρπ) = Bφ (ρ+ π − ) + Bφ (ρ− π + ) + Bφ (ρ0 π 0 ) .
(E.24)
En el lı́mite de la simetrı́a de isoespin la contribución de estos modos es la misma,
1
Bφ (ρ+ π − ) = Bφ (ρ− π + ) = Bφ (ρ0 π 0 ) = Bφ (ρπ) ∼ (5.10 ± 0.13) % .
3
(E.25)
Tomando mπ± = mπ0 = 139.57018 ± 0.00035 MeV y mρ± = mρ0 = 775.5 ± 0.4 MeV
obtenemos (en el lı́mite de isoespin):
|Gφρ+ π− | = |Gφρ− π+ | = |Gφρ0 π0 | = (1.230 ± 0.018) × 10−3 MeV−1 .
E.3.
(E.26)
Decaimiento V → P γ
Para describir el decaimiento V → P γ usamos el lagrangiano efectivo
α β γ δ
Leff
V P γ = GV P γ P εαβγδ ∂ Vi ∂ A ,
(E.27)
el acoplamiento GV P γ se escoge para ser real y positivo. El lagrangiano Leff
V P γ es similar
al que hemos usado para describir el decaimiento Vi → Vf P . El cálculo de la fracción
de decaimiento en ambos casos también es similar, por lo que nos limitaremos a dar los
resultados relevantes de este caso. En términos del valor experimental de la fracción
de decaimiento del proceso V → P γ, la constante de acoplamiento GV P γ está dada
por
GV γP =
s
BVexp (P γ)ΓV
,
g̃(mV , mP )
189
(E.28)
donde ΓV es el ancho total del mesón vectorial V y
g̃(mV , mP ) =
1 (m2V − m2P )3
.
96π
m3V
(E.29)
La función g̃(mV , mP ) corresponde a g(mV , 0, mP ), es decir,
g̃(mV , mP ) = g(mV , 0, mP ) .
E.3.1.
(E.30)
Los acoplamientos Gρπγ , Gωπγ , Gφπγ y GK ∗ Kγ
Usando los valores experimentales de las fracciones de decaimiento de los modos:
ρ± −→ π ± γ ,
(E.31)
ρ0 −→ π 0 γ ,
(E.32)
ω −→ π 0 γ ,
(E.33)
φ −→ π 0 γ ,
K ∗± −→ K ± γ ,
∗0
(E.34)
(E.35)
0
(K ∗0 , K ) −→ (K 0 , K )γ ,
(E.36)
determinaremos los acoplamientos efectivos Gρπγ , Gωπγ , Gφπγ y GK ∗ Kγ . En la tabla
E.3 mostramos los resultados que obtuvimos; para los acoplamientos Gρπγ usamos
mρ = 775.5 ± 0.4 MeV de acuerdo con [1].
Si para la masa del mesón vectorial ρ(770) empleamos el valor mρ = 776.66 MeV
Decaimiento
Acoplamiento
Valor [MeV−1 ]
ρ± → π ± γ
G ρ± π ± γ
(2.19 ± 0.12) × 10−4
ρ0 → π 0 γ
G ρ0 π 0 γ
φ → π0γ
Gφπ0 γ
ω → π0γ
Gωπ0 γ
K ∗± → K ± γ
GK ∗± K ± γ
K ∗0 → K 0 γ
GK ∗0 K 0 γ
(K
∗0
0
→ K γ)
(GK ∗0 K 0 γ )
(2.52 ± 0.17) × 10−4
0.114
−4
(7.214 +
− 0.099 ) × 10
(4.00 ± 0.11) × 10−5
(2.53 ± 0.12) × 10−4
(3.84 ± 0.17) × 10−4
Promedio [MeV−1 ]
(2.36 ± 0.26) × 10−4
–
–
(3.18 ± 0.93) × 10−4
Tabla E.3. Resultados para los acoplamientos efectivos GV P γ .
190
Decaimiento
Acoplamiento
Valor [MeV−1 ]
ρ± → π ± γ
G ρ± π ± γ
(2.18 ± 0.12) × 10−4
ρ0 → π 0 γ
G ρ0 π 0 γ
(2.52 ± 0.17) × 10−4
Promedio [MeV−1 ]
(2.35 ± 0.26) × 10−4
Tabla E.4. Resultados para los acoplamientos efectivos Gρπγ obtenidos con mρ = 776.66 MeV.
(como en el análisis de los decaimientos τ2π y τ2πγ ), los resultados para el acoplamiento
Gρπγ apenas se modifican, ver la tabla E.4.
E.4.
Decaimiento V → P1P2
El lagrangiano efectivo que utilizamos para describir el decaimiento fuerte V →
P1 P2 es
α
Leff
V P1 P2 = GV P1 P2 V (P1 ∂α P2 − P2 ∂α P1 ) ,
(E.37)
la constante de acoplamiento GV P1 P2 se escoge para ser real. A partir de este lagrangiano se obtiene el vértice V − P1 − P2 , el cual se da en el apéndice B.3.
Usando las reglas de Feynman del apéndice B construimos la amplitud del decai-
miento V → P1 P2 ,
MV (P1 P2 ) = iGV P1 P2 ǫ · (p2 − p1 ) ,
(E.38)
aquı́ ǫ denota el vector de polarización del mesón vectorial V . La probabilidad de
decaimiento no polarizada y la razón de decaimiento se pueden calcular fácilmente,
los respectivos resultados son:
|MV (P1 P2
)|2
G2V P1 P2 λ(m2V , m2P1 , m2P2 )
1X
2
=
,
|MV (P1 P2 )| =
3 s
3
m2V
(E.39)
V
ΓV (P1 P2 ) =
G2V P1 P2 λ3/2 (m2V , m2P1 , m2P2 )
.
48π
m5V
(E.40)
Para simplificar la escritura definimos la siguiente función:
k(mV , mP1 , mP2 ) =
1 λ3/2 (m2V , m2P1 , m2P2 )
,
48π
m5V
(E.41)
de esta manera, la fracción de decaimiento toma una forma sencilla:
BV (P1 P2 ) =
G2V P1 P2
k(mV , mP1 , mP2 ) ,
ΓV
191
(E.42)
donde ΓV es el ancho total del mesón vectorial V .
Comparando la fracción de decaimiento BV (P1 P2 ) con su valor experimental ob-
tenemos el módulo del acoplamiento GV P1 P2 ,
s
BVexp (P1 P2 )ΓV
.
|GV P1 P2 | =
k(mV , mP1 , mP2 )
E.4.1.
(E.43)
Los acoplamientos Gρππ y GφKK
A partir de los valores experimentales de las fracciones de decaimiento de los
modos
ρ± −→ π ± π 0 ,
(E.44)
ρ0 −→ π + π − ,
(E.45)
φ −→ K + K − ,
(E.46)
determinaremos el módulo de los acoplamientos Gρππ y GφKK . Los resultados se
muestran en la tabla E.5; para obtener el módulo de los acoplamientos Gρππ usamos
mρ = 775.5 ± 0.4 MeV [1].
En la tabla E.6 se muestran los resultados para |Gρππ | obtenidos con mρ = 776.66
MeV, este valor de la masa del mesón ρ(770) es el que se utilizó en el análisis de los
decaimientos semileptónicos τ2π y τ2πγ . Notemos que estos resultados apenas difieren
de los mostrados en la tabla E.5.
Decaimiento
Acoplamiento
Valor
ρ± → π ± π 0
|Gρ± π± π0 |
5.96 ± 0.02
ρ0 → π + π −
|Gρ0 π+ π− |
5.981 ± 0.020
φ → K +K −
|GφK + K − |
4.482 ± 0.038
Promedio
5.97 ± 0.02
–
Tabla E.5. Resultados para el valor absoluto de los acoplamientos GV P1 P1 .
Decaimiento
Acoplamiento
Valor
ρ± → π ± π 0
|Gρ± π± π0 |
5.953 ± 0.020
ρ0 → π + π −
|Gρ0 π+ π− |
5.974 ± 0.020
Promedio
5.964 ± 0.020
Tabla E.6. Resultados para el módulo de los acoplamientos Gρππ obtenidos con mρ = 776.66 MeV.
192
E.5.
Decaimiento A → V P
Para describir el decaimiento fuerte de un mesón axial (A) a un mesón vectorial
(V ) y un mesón pseudoescalar (P ) utilizaremos el lagrangiano efectivo
α β
Leff
AV P = GAV P P (∂ A )(∂α Vβ − ∂β Vα ) ,
(E.47)
el acoplamiento GAV P se elige para ser real. El vértice A − V − P , el cual se muestra
en el apéndice B.3, se obtiene a partir de este lagrangiano.
La amplitud del decaimiento A → V P se obtiene fácilmente empleando las reglas
de Feynman del apéndice B,
MA (V P ) = iGAV P ǫαA ǫβ∗
V (pA · pV gαβ − pV α pAβ ) ,
(E.48)
donde ǫA (ǫV ) y pA (pV ) denotan, respectivamente, el vector de polarización y el
momento del mesón axial (vectorial). La probabilidad de decaimiento no polarizada
es
|MA (V P )|2 =
1 X
1
|MA (V P )|2 = G2AV P [λ(m2A , m2V , m2P ) + 6m2A m2V ] ,
3 s ,s
6
A
(E.49)
V
ası́ pues, la razón de decaimiento está dada por
G2AV P
[λ(m2A , m2V , m2P ) + 6m2A m2V ]λ1/2 (m2A , m2V , m2P ) .
ΓA (V P ) =
3
96πmA
(E.50)
Si definimos la función l(mA , mV , mP ) como:
l(mA , mV , mP ) =
1
[λ(m2A , m2V , m2P ) + 6m2A m2V ]λ1/2 (m2A , m2V , m2P ) ,
3
96πmA
(E.51)
entonces la fracción de decaimiento se puede escribir de la siguiente manera:
BA (V P ) =
G2AV P
l(mA , mV , mP ) ,
ΓA
(E.52)
ΓA es el ancho total del mesón axial.
El valor absoluto del acoplamiento fuerte GAV P se obtiene comparando la expresión (E.52) de la fracción de decaimiento con su valor experimental,
|GAV P | =
s
exp
BA
(V P )ΓA
.
l(mA , mV , mP )
193
(E.53)
E.5.1.
Los acoplamientos GK1 ωK y GK1′ ωK
Los valores experimentales de las fracciones de decaimiento de los procesos:
K1± (1270) −→ ωK ± ,
K1± (1400) −→ ωK ± ,
0
(E.54)
(E.55)
0
(K10 (1400), K 1 (1400)) −→ ω(K 0 , K ) ,
(E.56)
permiten determinar el módulo de los acoplamientos GK1 ωK y GK1′ ωK . Para evitar
que la cinemática suprima los decaimientos K1± (1270) → ωK ± tomaremos el valor
máximo que sugiere el PDG [1] para la masa del mesón K1 (1270), mK1 = 1279 MeV.
El resto de los parámetros se fijan a los valores promedios que reporta esta misma
0
0
referencia [1]. Los modos neutros K10 (1270) → ωK 0 y K 1 (1270) → ωK no son
considerados porque, aun tomando mK1 = 1279 MeV, la cinemática los prohibe. Los
resultados se muestran en la tabla E.7.
Decaimiento
Acoplamiento
Valor [MeV−1 ]
Promedio [MeV−1 ]
K1± (1270) → ωK ±
|GK1± ωK ± |
(3.17 ± 0.46) × 10−3
–
K1± (1400) → ωK ±
|GK1′± ωK ± |
K10 (1400) → ωK 0
|GK1′0 ωK 0 |
0
0
(K 1 (1400) → ωK )
(|GK ′0 ωK 0 |)
(4.8 ± 2.4) × 10−4
(4.8 ± 2.4) × 10−4
(4.8 ± 2.4) × 10−4
1
Tabla E.7. Resultados para el módulo de los acoplamientos GK1 ωK y GK1′ ωK .
E.5.2.
Los acoplamientos GK1 ρK , GK1 K ∗ π , GK1′ ρK y GK1′ K ∗ π
Para cada estado inicial especı́fico, los valores experimentales de las fracciones de
decaimiento de los procesos
K1 (1270) −→ ρK ,
(E.57)
K1 (1270) −→ K ∗ π ,
(E.58)
K1 (1400) −→ ρK ,
(E.59)
K1 (1400) −→ K ∗ π ,
(E.60)
incluyen dos posibles estados finales. Ası́, por ejemplo,
0
exp
BK
= BK1− (ρ− K ) + BK1− (ρ0 K − ) ,
− (ρK)
1
194
(E.61)
∗0
exp
∗
BK
= BK1− (K π − ) + BK1− (K ∗− π 0 ) ,
− (K π)
(E.62)
exp
= BK1′− (ρ− K ) + BK1′− (ρ0 K − ) ,
BK
′− (ρK)
(E.63)
exp
∗
= BK1′− (K π − ) + BK1′− (K ∗− π 0 ) .
BK
′− (K π)
(E.64)
1
0
1
∗0
1
Consideremos los estados iniciales K1− (1270) y K1− (1400); la simetrı́a SU (3) de sabor predice para los acoplamientos relevantes las siguientes relaciones1 (ver el apéndice
D.3):
G K − ρ− K 0
1
√
,
2
GK − K ∗0 π−
1
√
=
,
2
GK ′− ρ− K 0
1
√
=
,
2
GK ′− K ∗0 π−
1
√
.
=
2
(E.65)
GK1− ρ0 K − =
GK1− K ∗− π0
GK1′− ρ0 K −
GK1′− K ∗− π0
(E.66)
(E.67)
(E.68)
Utilizando las ecuaciones (E.52) y (E.61)-(E.68) podemos calcular los valores de los
acoplamientos que aparecen en las relaciones (E.65)-(E.68). El resto de los acoplamientos se fijan de manera análoga, los resultados se muestran a continuación:
GK1+ ρ+ K 0 = GK10 ρ− K + = −GK − ρ− K 0 = −GK 0 ρ+ K −
1
1
= (4.00 ± 0.55) × 10−3 MeV−1 ,
(E.69)
GK1+ ρ0 K + = GK 0 ρ0 K 0 = −GK1− ρ0 K − = −GK10 ρ0 K 0
1
= (2.83 ± 0.39) × 10−3 MeV−1 ,
(E.70)
GK1+ K ∗0 π+ = GK10 K ∗+ π− = −GK − K ∗0 π− = −GK 0 K ∗− π+
1
1
−4
= −(9.7 ± 1.8) × 10
MeV
−1
,
(E.71)
GK1+ K ∗+ π0 = GK 0 K ∗0 π0 = −GK1− K ∗− π0 = −GK10 K ∗0 π0
1
= −(6.8 ± 1.3) × 10−4 MeV−1 ,
(E.72)
GK1′+ ρ+ K 0 = GK1′0 ρ− K + = −GK ′− ρ− K 0 = −GK ′0 ρ+ K −
1
1
−4
= −(6.8 ± 3.4) × 10
MeV
−1
,
(E.73)
GK1′+ ρ0 K + = GK ′0 ρ0 K 0 = −GK1′− ρ0 K − = −GK1′0 ρ0 K 0
1
= −(4.8 ± 2.4) × 10−4 MeV−1 ,
1
(E.74)
Estas relaciones son válidas para cualquier valor del ángulo de la mezcla K1A − K1B (α).
195
GK1′+ K ∗0 π+ = GK1′0 K ∗+ π− = −GK ′− K ∗0 π− = −GK ′0 K ∗− π+
1
1
−3
= (2.75 ± 0.14) × 10
MeV
−1
,
(E.75)
GK1′+ K ∗+ π0 = GK ′0 K ∗0 π0 = −GK1′− K ∗− π0 = −GK1′0 K ∗0 π0
1
= (1.944 ± 0.095) × 10−3 MeV−1 .
(E.76)
Para obtener estos valores las cantidades involucradas se han fijado de acuerdo con
el PDG [1], excepto para obtener los acoplamientos GK1 ρK , los cuales se obtuvieron
con mK1 = 1279 MeV.
E.6.
Decaimiento τ → ντ V
Para describir el decaimiento semileptónico τ − → ντ V − utilizaremos el hamilto-
niano efectivo
GF VuQ
√ [Qγ α (1 − γ5 )u][ν̄τ γα (1 − γ5 )τ ] ,
(E.77)
2
donde Q = d ó s. La amplitud de decaimiento está dada por el elemento de matriz
GF VuQ
Mτ (V − ) = hντ V − |Heff |τ − i = √ hα lα ,
(E.78)
2
Heff =
lα es la corriente leptónica (definida en la ecuación (2.3)) y hα es la corriente hadrónica,
hα = hV − |Qγ α (1 − γ5 )u|0i .
(E.79)
De acuerdo con la G-paridad, el decaimiento τ − → ντ V − sólo puede ocurrir a través
de la parte vectorial de la corriente hadrónica, es decir,
hV − |Qγ α γ5 u|0i = 0 .
(E.80)
La covariancia de Lorentz establece la siguiente parametrización:
hα = hV − |Qγ α u|0i = GV ǫα∗ ,
(E.81)
donde ǫ es el vector de polarización del mesón vectorial V − y GV es la constante de
acoplamiento que describe la interacción del mesón V − con el bosón débil W − . La
fase del vector de estado |V − i se escoge de manera que el acoplamiento GV sea real
y positivo.
La probabilidad de decaimiento no polarizada se obtiene fácilmente
1 X
|Mτ (V − )|2
|Mτ (V − )|2 =
2 s ,s ,s
τ ν V
4
m2V
2m2V
2
2 2 mτ
1+
.
= GF |VuQ | GV 2 1 − 2
mV
mτ
m2τ
196
(E.82)
Con ésta expresión para |Mτ (V − )|2 , la razón de decaimiento se puede escribir de la
siguiente manera:
2 2m2V
m2V
G2F |VuQ |2 G2V m3τ
1+
.
1− 2
Γτ (V ) =
16πm2V
mτ
m2τ
−
(E.83)
Si definimos la función:
huQ
1 (mτ , mV )
2 G2F |VuQ |2 m3τ
m2V
2m2V
=
1− 2
1+
,
16πm2V
mτ
m2τ
(E.84)
entonces la fracción de decaimiento toma una forma sencilla,
G2V uQ
h (mτ , mV ) ,
Bτ (V ) =
Γτ 1
−
(E.85)
Γτ es el ancho total del τ .
El valor del acoplamiento débil GV se puede determinar comparando la expresión
(E.85) de la fracción de decaimiento Bτ (V − ) con su valor experimental,
s
Bτexp (V − )Γτ
GV =
.
huQ
1 (mτ , mV )
E.6.1.
(E.86)
Los acoplamientos Gρ , GK ∗ y GK ′∗
Los modos de decaimiento
τ − −→ ντ ρ− (770) ,
τ − −→ ντ K ∗− (892) ,
τ − −→ ντ K ∗− (1410) ,
(E.87)
(E.88)
(E.89)
permiten determinar los acoplamientos débiles Gρ− , GK ∗− y GK ′∗− . Para los modos
(E.88) y (E.89) usaremos los valores de las fracciones de decaimiento que reporta el
PDG [1], mientras que para el modo (E.87) tomaremos la siguiente aproximación:
exp
− 0
− 0
Bτ − (ρ− ) ∼ Bτexp
− (π π ) − Bτ − (π π [non-ρ(770)]) = (25.20 ± 0.34) % .
(E.90)
Los resultados del cálculo de los acoplamientos Gρ− , GK ∗− y GK ′∗− se muestran en
la tabla E.8. El valor de Gρ− debe ser tomado con cautela, ya que la aproximación a
partir de la cual se obtiene es muy ingenua; este valor se obtuvo con mρ = 775.5 ± 0.4
MeV (de acuerdo con el PDG [1]), si usamos mρ = 776.66 MeV se obtiene
Gρ− = (0.1626 ± 0.0011) × 106 MeV2 .
197
(E.91)
Modo
Acoplamiento
Valor [×106 MeV2 ]
ντ ρ− (770)
G ρ−
ντ K ∗− (892)
GK ∗−
0.1623 ± 0.0011
ντ K
∗−
(1410)
GK ′∗−
0.1889 ± 0.0041
+ 0.080
0.170 −
0.057
Tabla E.8. Valores de los acoplamientos débiles GV .
E.7.
Decaimiento τ → ντ A
El decaimiento semileptónico τ − → ντ A− se describe por medio del hamiltoniano
efectivo (E.77). Para este decaimiento, la G-paridad establece que la parte vectorial
de la corriente hadrónica no contribuye, es decir,
hA− |Qγ α u|0i = 0 .
(E.92)
De acuerdo con la covariancia de Lorentz, la corriente hadrónica se puede parametrizar
de la siguiente manera:
hα = −hA− |Qγ α γ5 u|0i = GA ǫα∗ ,
(E.93)
donde ǫ y GA son el vector de polarización y el acoplamiento débil del mesón axial
A− , respectivamente. La fase del vector de estado |A− i se elige de tal forma que el
acoplamiento GA sea real y positivo. El cálculo de la fracción de decaimiento del modo
τ − → ντ A− es similar al correspondiente cálculo para el modo τ − → ντ V − ; ası́ pues,
el valor del acoplamiento débil GA está dado por
s
Bτexp (A− )Γτ
GA =
.
huQ
1 (mτ , mA )
E.7.1.
(E.94)
Los acoplamientos GK1 y GK1′
Para determinar los acoplamientos GK1− y GK1′− usaremos los valores experimentales de las fracciones de decaimiento de los modos:
τ − −→ ντ K1− (1270) ,
τ − −→ ντ K1− (1400) ,
(E.95)
(E.96)
los cuales se reportan en la referencia [1]. Los resultados se muestran en la tabla E.9.
198
Modo
Acoplamiento
Valor [×106 MeV2 ]
ντ K1− (1270)
GK1−
ντ K1− (1400)
GK1′−
0.215 ± 0.025
0.17 ± 0.13
Tabla E.9. Valores de los acoplamientos débiles GA .
E.8.
Decaimiento τ → ντ P
La interacción débil semileptónica que produce el decaimiento τ − → ντ P − se des-
cribe por medio del hamiltoniano efectivo (E.77). Las propiedades de transformación
de la corriente débil y del estado hadrónico P − bajo la G-paridad establecen que
hP − |Qγ α u|0i = 0 .
(E.97)
En este caso, de acuerdo con la covariancia de Lorentz, la corriente hadrónica se
parametriza de la siguiente manera:
hα = −hP − |Qγ α γ5 u|0i = GP pαP ,
(E.98)
donde pP y GP son el momento y el acoplamiento débil del mesón pseudoescalar
P − , respectivamente. La fase del vector de estado |P − i se escoge de manera que el
acoplamiento GP sea real y positivo.
De manera análoga a los dos casos previos se calcula la fracción de decaimiento
Bτ (P − ), en este caso el resultado es
Bτ (P − ) =
donde
huQ
0 (mτ , mP )
G2P uQ
h (mτ , mP ) ,
Γτ 0
2
G2F |VuQ |2 m3τ
m2P
=
1− 2
.
16π
mτ
(E.99)
(E.100)
Comparando la expresión (E.99) de la fracción de decaimiento con su valor experimental se obtiene el acoplamiento débil GP ,
GP =
s
Bτexp (P − )Γτ
.
huQ
0 (mτ , mP )
199
(E.101)
E.8.1.
El acoplamiento GK
Usando el valor experimental de la fracción de decaimiento del modo (reportado
en la referencia [1])
τ − −→ ντ K − ,
(E.102)
podemos determinar el valor del acoplamiento débil GK ,
GK − = 154.1 ± 3.0 MeV .
(E.103)
Decaimiento P + → l+νl
E.9.
El decaimiento semileptónico P + → l+ νl se describe por medio del hamiltoniano
efectivo
GF Vq1 q2
√
[ν̄γα (1 − γ5 )l][q̄2 γ α (1 − γ5 )q1 ] .
(E.104)
2
La amplitud de decaimiento está dada por el elemento de matriz de este hamiltoniano,
Heff =
MP (l+ νl ) = hl+ νl |Heff |P + i =
GF Vq1 q2
√
lα hα ,
2
(E.105)
en este caso la corriente leptónica lα es definida como en la ecuación (7.42), y de
acuerdo con lo discutido en la sección anterior, la corriente hadrónica es:
hα = −h0|q̄2 γ α γ5 q1 |P + i = GP pαP .
(E.106)
La probabilidad de decaimiento no polarizada y la razón de decaimiento se pueden
calcular fácilmente:
|MP
(l+ ν
l
)|2
=
X
sl ,sν
+
2
|MP (l νl )| =
2G2F |Vq1 q2 |2 G2P m2P m2l
2
m2l
G2F |Vq1 q2 |2 G2P mP m2l
.
1− 2
ΓP (l νl ) =
8π
mP
m2
1 − 2l
mP
+
,(E.107)
(E.108)
Si definimos la función
n0q1 q2 (mP , ml )
2
G2F |Vq1 q2 |2 mP m2l
m2l
=
1− 2
,
8π
mP
(E.109)
la fracción de decaimiento se puede escribir de la siguiente manera:
BP (l+ νl ) =
G2P q1 q2
n (mP , ml ) ,
ΓP 0
200
(E.110)
donde ΓP es el ancho total del mesón P .
El valor del acoplamiento débil GP se obtiene comparando la fracción de decaimiento BP (l+ νl ), ecuación (E.110), con su valor experimental,
s
BPexp (l+ νl )ΓP
.
GP =
n0q1 q2 (mP , ml )
E.9.1.
(E.111)
El acoplamiento GK
Los decaimientos semileptónicos
K + −→ e+ νe ,
K + −→ µ+ νµ ,
(E.112)
(E.113)
permiten determinar el valor de la constante de acoplamiento débil GK . Los resultados
se muestran en la tabla E.10.
Modo Acoplamiento
Valor [MeV]
e+ νe
GK +
µ + νµ
GK +
152.2 ± 3.7
156.1 ± 1.5
Tabla E.10. Valores del acoplamiento débil GK + .
E.10.
El decaimiento K ∗ → Kγ en el MDM
En el MDM el decaimiento K ∗ → Kγ se produce principalmente por medio de las
resonancias hadrónicas ρ0 , ω y φ. Estas resonancias se crean como estados intermedios
virtuales y posteriormente decaen al fotón (ver la figura E.2). Aplicando las reglas de
Feynman (que hemos dado anteriormente) a los diagramas de la figura E.2 se puede
determinar la amplitud de decaimiento,
e
e
e
MK ∗ (Kγ) = i
GK ∗ ρ0 K + GK ∗ ωK + GK ∗ φK εαβµν pα η β k µ ǫν∗ ,
γρ
γω
γφ
(E.114)
donde p (k) y η (ǫ) son, respectivamente, el momento y el vector de polarización del
mesón vectorial K ∗ (fotón). En la sección E.3 el decaimiento K ∗ → Kγ se descri-
bió utilizando el acoplamiento efectivo GK ∗ Kγ , es fácil comprobar que en este caso el
acoplamiento GK ∗ Kγ está dado por
GK ∗ Kγ =
e
e
e
GK ∗ ρ0 K + GK ∗ ωK + GK ∗ φK .
γρ
γω
γφ
201
(E.115)
Figura E.2. Diagramas de Feynman que contribuyen al decaimiento K ∗ → Kγ.
De acuerdo con los resultados que predice SU (3) para los acoplamientos fuertes
GK ∗ ρ0 K , GK ∗ ωK y GK ∗ φK (consultar el apéndice D.1), y usando los valores que se
obtuvieron para los acoplamientos GK ∗ Kγ en E.3, podemos establecer las siguientes
ecuaciones:
GK ∗± K ± γ
GK ∗0 K 0 γ
√
√
cos θV + 2 2r sin θV
sin θV − 2 2r cos θV
1
√
√
−
−
γρ
3γω
3γφ
−1
−4
= (2.53 ± 0.12) × 10 MeV ,
(E.116)
eG8V V P
=
2
√
√
cos θV + 2 2r sin θV
sin θV − 2 2r cos θV
1
√
√
+
+
γρ
3γω
3γφ
−1
−4
= (3.84 ± 0.17) × 10 MeV ,
(E.117)
eG8
= − VVP
2
Tomando el valor ideal del ángulo de la mezcla ω − φ (θ = 35.3◦ ), las soluciones, para
r y G8V V P , al sistema de ecuaciones (E.116)-(E.117) son:
r = 1.088 ± 0.018 ,
G8V V P = (1.052 ± 0.032) × 10−2 MeV−1 .
(E.118)
(E.119)
Para los acoplamientos electromagnéticos γρ , γω y γφ utilizamos los valores promedios
que se obtuvieron de los modos e+ e− y µ+ µ− .
Ahora, para el acoplamiento Gφρπ la simetrı́a SU (3) de sabor predice la relación:
i
h
√
1
Gφρπ = √ G8V V P cos θV − 2r sin θV ,
(E.120)
3
202
tomando el valor ideal del ángulo θV se obtiene:
√
2 8
Gφρπ =
G
(1 − r) .
3 VVP
(E.121)
Por lo tanto, concluimos que Gφρπ < 0 ya que r > 1 y G8V V P > 0.
E.11.
Decaimiento φ → π +π −π 0
El decaimiento fuerte φ → π + π − π 0 es dominado por la producción del mesón
vectorial ρ(770). Si consideramos únicamente la contribución de esta resonancia, los
diagramas que contribuyen al decaimiento φ → π + π − π 0 son tres (ver la figura E.3).
La amplitud de decaimiento se obtiene aplicando las reglas de Feynman, dadas en el
apéndice B, a estos diagramas,
i2εαβγδ ǫα pβπ+ pγπ− pδπ0
+ − 0
Mφ (π π π ) =
+
(pπ+
(pπ−
Gφρ− π+ Gρ− π− π0
+ pπ0 )2 − m2ρ− + imρ− Γρ−
(E.122)
Gφρ0 π0 Gρ0 π+ π−
Gφρ+ π− Gρ+ π+ π0
+
+ pπ− )2 − m2ρ0 + imρ0 Γρ0 (pπ+ + pπ0 )2 − m2ρ+ + imρ+ Γρ+
,
donde ǫ denota el vector de polarización del mesón vectorial φ.
Para simplificar el análisis tomaremos el lı́mite de isoespin. La simetrı́a SU (3) de
sabor (ver los apéndices D.1 y D.2) predice las siguientes relaciones para las constantes
de acoplamiento:
Gφρ+ π− = Gφρ− π+ = Gφρ0 π0 ≡ Gφρπ ,
(E.123)
Gρ+ π+ π0 = Gρ− π− π0 = Gρ0 π+ π− ≡ Gρππ .
(E.124)
Usando estas relaciones, la probabilidad de decaimiento no polarizada se puede escribir como:
|Mφ (π + π − π 0 )|2 =
1X
|Mφ (π + π − π 0 )|2
3 s
(E.125)
φ
4
= − G2φρπ G2ρππ εαβγδ pβπ+ pγπ− pδπ0 εαµνρ pµπ+ pνπ− pρπ0
3
1
1
×
+
2
2
2
(pπ− + pπ0 ) − mρ + imρ Γρ (pπ+ + pπ− ) − m2ρ + imρ Γρ
2
1
.
+
2
2
(p + + p 0 ) − m + imρ Γρ π
π
ρ
203
Figura E.3. Diagramas de Feynman que contribuyen al decaimiento fuerte φ → π + π − π 0 .
Las variables cinemáticas que elegimos para describir este decaimiento a tres cuerpos son: s = (pπ+ + pπ0 )2 y t = (pπ− + pπ0 )2 . En términos de estas variables la razón
diferencial de decaimiento está dada por
G2φρπ G2ρππ d2 Γφ (π + π − π 0 )
1
1
=
+
3
dsdt
12(4π)3 mφ s − m2ρ + imρ Γρ t − m2ρ + imρ Γρ
2 n
h
1
2
−
− mπ λ(m2φ , s, t)
2
2
2
s + t − mφ − 3mπ + mρ − imρ Γρ
i
+s(s − 4m2π ) + t(t − 4m2π ) + 3st + (2m2φ + m2π )m2π
o
2
2
2
+(mφ − s − t)(s − 2mπ )(t − 2mπ ) .
(E.126)
La región cinemática fı́sicamente accesible se puede escribir como el siguiente dominio:
{4m2π ≤ t ≤ (mφ − mπ )2 , s− (t) ≤ s ≤ s+ (t)} ,
(E.127)
donde
1 2
4m2π 1/2 1/2 2 2
2
s± (t) = mφ + 3mπ − t ± 1 −
λ (mφ , mπ , t) .
2
t
(E.128)
La fracción de decaimiento Bφ (π + π − π 0 ) se obtiene integrando la ecuación (E.126)
sobre las variables s y t. Si definimos
Bφ (π + π − π 0 )
+ − 0
e
,
Bφ (π π π ) =
G2φρπ
204
(E.129)
entonces el valor absoluto del acoplamiento fuerte Gφρπ es
s exp
Bφ (π + π − π 0 )
= (1.568 ± 0.030) × 10−3 MeV−1 .
|Gφρπ | =
Beφ (π + π − π 0 )
(E.130)
Para calcular Beφ (π + π − π 0 ) empleamos la rutina de Fortran llamada VEGAS [34].
205
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211
Artı́culos publicados
El presente trabajo de tesis produjo las siguientes publicaciones en revistas internacionales con arbitraje:
(i) A. Flores-Tlalpa, G. López Castro and G. Toledo Sánchez, Phys. Rev. D 72,
113003 (2005).
(ii) F. Flores-Báez, A. Flores-Tlalpa, G. López Castro and G. Toledo Sánchez, Phys.
Rev. D 74, 071301 (2006).
También motivo la presentación de una conferencia invitada en el 9th International
Workshop on Tau Lepton Physics (Tau06), Pisa, Italy, 19-22 Sep 2006;
(iii) A. Flores-Tlalpa, F. Flores-Báez, G. López Castro and G. Toledo Sánchez, Nucl.
Phys. B (Proc. Suppl.) 169, 250 (2007).
Y recientemente se envı́o el siguiente artı́culo a la revista Physical Review D para su
publicación:
(iv) A. Flores-Tlalpa and G. López Castro, [arXiv:hep-ph/0709.4039].
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