Matemática Discreta - Programa - Departamento de Ingeniería e

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZA
CÓDIGO ASIGNATURA
1028
DEPARTAMENTO: Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas
ASIGNATURA:
Matemática Discreta
1° Cuatrimestre
Año: 2011
1. OBJETIVOS:
i. Cognitivos
Incorporar los conceptos de Matemática Discreta.
Justificar mediante razonamientos lógicos las propiedades de estos conceptos.
Describir mediante el conocimiento de sus características, relaciones, reconocer
sus propiedades y de acuerdo a ellas obtener su clasificación.
Incorporar los conceptos de estructuras algebraicas, reconocer sus propiedades, y
de acuerdo con ello poder establecer similitudes y/o diferencias.
Tomar contacto con las nociones de grafos, dígrafos, árboles, conocer sus
propiedades.
Describir mediante el conocimiento de sus características, lenguajes, autómatas
finitos, de acuerdo con ello poder establecer vínculos.
ii. Habilidades
Poder enfocar la resolución de problemas, mediante la aplicación de dicha
información elaborada y no mediante la simple memorización, para adquirir la técnica y
metodología discreta.
iii. Actitudes
Comprender todos los conocimientos de la asignatura, su código lingüístico y
mediante su propio pensamiento formal poder abstraerlos significativamente, para
transferirlos en una primera instancia a las próximas asignaturas siguientes de su carrera y
en una instancia mediata a su desarrollo personal - profesional.
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2.CONTENIDOS MÍNIMOS:
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Lógica proposicional clásica y de primer orden .Teoría de conjuntos
Teoría de Números.Naturales,Enteros. Inducción matemática
Combinatoria
Relaciones, funciones, manejo matricial de relaciones. Relaciones
binarias,propiedades, clasificación.
Relación de equivalencia.Partición.Relación de orden.
Estructuras algebraicas: semigrupo, grupo, red, álgebra de Boole,anillo
Grafos, dígrafos, Árboles.
Lenguajes,gramáticas, Autómata finito.
3.PROGRAMA ANALÍTICO. CONTENIDOS TEÓRICOS Y PRÁCTICOS:
Unidad Nº 1
Elementos de lógica proposicional, conectores, leyes lógicas.Sintaxis y semántica.
Razonamiento y reglas de inferencia.Demostraciones en matemática.Lógica de primer
orden.Sintaxis y semántica.Conjunto: propiedades, operaciones. Producto Cartesiano:
definición, propiedades.
Números Naturales: principio de inducción completa. Números Enteros: algoritmo de la
división, divisibilidad, máximo común divisor; mínimo común múltiplo.
Combinatoria: factorial de un número, propiedades.Número combinatorio, propiedades; Análi
sis combinatorio simple: variaciones simples, permutaciones simples, combinaciones
simples Análisis combinatorio con repetición: variaciones con repetición, combinaciones con
repetición, permutaciones con repetición.
Unidad Nº 2
Relación: definición, dominio, imagen, conjunto de partida, conjunto de llegada; relación
intersección, unión, complemento, inversa: definición, propiedades. Representación gráfica,
representación matricial. Composición de relaciones: definición, propiedades.
Relación Binaria: definición, propiedades, reconocimiento matricial y gráfico de las
mismas, clasificación: orden amplio, orden estricto, equivalencia
Conjunto Ordenado: elementos distinguibles, diagrama de Hasse, red, propiedades
Partición: definición. Teorema Fundamental de Relaciones de Equivalencia.
Clausuras: definición, manejo matricial, propiedades, cálculo de trayectoria.
Unidad Nº 3
Operación binaria en conjuntos finitos y conjuntos infinitos, propiedades
Estructuras Algebraicas: Retículo, propiedades, clasificación, Álgebra de Boole,
Propiedades, vínculo entre las distintas estructuras.
Funciones booleanas: definición, formas normales, simplificación, uso de compuertas.
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Unidad Nº 4
Estructuras algebraicas: monoide, semigrupo, grupo, anillo y cuerpo Ejemplos y
propiedades de cada uno de ellos.
Estructura de Grupo, elementos distinguibles. Subgrupo, teorema de condición necesaria y
suficiente; subgrupo trivial, propio, normal. Morfismo. Compatibilidad: definición, teorema
fundamental de compatibilidad entre una relación de equivalencia y una operación binaria,
aplicado a grupo; relación congruencia módulo un subgrupo, clases laterales o coclases a
derecha y a izquierda de un subgrupo, grupo cociente por un subgrupo.
Anillo: elementos distinguibles, clasificación subanillo, ideal.Teorema de condición suficiente
para ideal, ideal propio, ideal maximal, morfismo entre anillos, anillo cociente por un ideal,
dominio de integridad, aplicaciones en Z.
Unidad Nº 5
Grafos: notación, vértices, aristas, caminos, grado, propiedades, subgrafos, matriz de
adyacencia, grafo completo, grafo conexo.
Dígrafo: matriz de incidencia, dígrafos fuertemente conexas, búsqueda de componentes
fuertemente.conexas, uso de relación de equivalencia, procedimiento matricial. Ordenamiento
por niveles, relación de orden, procedimiento matricial.
Conjunto de corte, conjunto desconectante, istmo, puente, caminos y circuitos de Euler,
Caminos y circuitos de Hamilton, propiedades.
Grafos planos.Isomorfismo de grafos.
Árbol: definición, árbol no dirigido, árbol dirigido; definición de raíz, hoja, altura, árbol,
antecesores, niveles, balanceados.
Recorrido de árboles: preorden, postorden, orden simétrico; notación polaca directa, notación
polaca inversa, notación polaca infija.
Unidad Nº 6
Estructura Algebraica: Grupo Libre, lenguajes, gramáticas: definición, clasificación, operatoria
concatenación, intersección, unión, reversa; jerarquización de lenguajes.
Máquinas de estado finito: autómata finito y lenguajes regulares.
Trabajos Prácticos
Práctico Nº1: Lógica, Conjuntos, Números Naturales, Números Enteros.
Aplicación práctica N°1: Combinatoria
Práctico Nº 2 : Relaciones, Operatoria Matricial
Práctico Nº3: Relaciones Binarias, propiedades, clasificación.
Práctico Nº 4: Conjunto Ordenado Relación de equivalencia.Clausuras.
Práctico Nº 5: Funciones-Operaciones Binarias , Retículo algebraico,Álgebra de Boole
Práctico Nº 6: Grupo.
Aplicación Práctica N°2 : Anillo
Práctico Nº 7: Grafos
Aplicación Práctica N°:3 :Componentes conexas
Práctico Nº 8: Árboles
Práctico Nº 9: Lenguajes, Autómatas
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4.BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFÍA BASICA
- Grimaldi Ralph P., Matemática Discreta y Combinatoria, México, Addison-Wesley
Iberoamericana, 1998.
- Kolman, B., Busby, R., Ross, K., Estructuras de Matemática Discreta para la Computación,
México, Prentice Hall, 1997.
- Liú, C.L., Elementos de Matemática Discreta, México, McGraw-Hill, 1995.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
- Isasi, P., Martínez, P., Borrajo, D., Lenguajes, Gramáticas y Autómatas, Un Enfoque
Práctico, España, Addison-Wesley Iberoamericana, 1997.
- Lipshutz, Matemática Discreta, Schaum McGraw-Hill.
- Ross, K.A., Wright, Ch.R.B., Matemática Discreta, México, Prentice Hall, 1990.
5.METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA
Las estrategias a usar se basan en la premisa que los alumnos aprenden con mayor efectividad
cuando participan activamente en la organización y búsqueda de relaciones en la información que
cuando pasivamente reciben cuerpos de conocimiento dados por el profesor. La participación
activa proporciona retroalimentación en la comprensión más profunda del contenido estudiado,
como en el mejoramiento de la habilidad de pensar.
Estos modelos, basados en la teoría del aprendizaje significativo, están diseñados para
ayudar al alumno a comprender relaciones en cuerpos organizados de conocimiento, para vincular
el aprendizaje nuevo con el anterior y relacionar entre sí las diferentes partes del nuevo
aprendizaje.
Aplicamos el modelo inductivo a: lógica, conjuntos; el modelo inductivo de adquisición de
conceptos a: divisibilidad en enteros, relaciones, grafos; el modelo inductivo integrativo a:
relaciones, clasificación; el modelo deductivo de exposición directa de procedimiento y
habilidades a: operación binaria, búsqueda de propiedades, operaciones matriciales; el modelo
deductivo de exposición y discusión a: estructuras algebraicas (grupo, red, álgebra de Boole,
anillo), lenguajes.
Las 4 horas semanales que tiene asignada la materia se dividen en:
Sesiones de contenido teórico (2 horas de clases) que consisten en la presentación, exposición
participativa y ejemplificación de los contenidos teóricos.
Sesiones de contenido práctico ( 2 horas de clases )en las cuales se resolverán los ejercicios
planteados en los trabajos prácticos, con la supervisión de los docentes quienes responderán las
consultas, instalando un clima de trabajo que estimule la creatividad, tratando de lograr la
participación de todos los alumnos, para sintetizar y elaborar conclusiones en común
Además, se complementa la formación con talleres extracurriculares optativos, de 2 hs
semanales que se realizan a continuación de cada clase teórica - práctica.para ampliar
explicaciones, resolver problemas, despejar dudas.
Se refuerzan con otros horarios en la semana previa a los parciales y/o recuperatorio.
También los docentes de la cátedra atienden consultas académicas de los alumnos fuera del
horario de clase vía correo electrónico
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Materiales didácticos empleados
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Guía de ejercicios, dividida por unidades temáticas, graduada según complejidad, con
ejercitación básica y complementaria.
Apunte de la cátedra impreso
Sitios de Internet con información de los distintos temas.
Tiza y pizarrón
6.EXPERIENCIAS DE LABORATORIO, TALLER O TRABAJOS DE CAMPO
No se realizan
7.USO DE COMPUTADORAS
Las utilizan los alumnos para buscar información adicional sobre algunos temas como Grafos y
Árboles.
8.METODOLOGÍA DE EVALUACIÓN
El aprendizaje se centra en la comprensión por parte del alumno de las relaciones entre los
temas que se estudian y la aplicación de esos conceptos a nuevas situaciones.
Destacamos dos etapas: por un lado, el desenvolvimiento del alumno durante las clases,
mediante el monitoreo de la comprensión con evaluación informal de preguntas y discusión; por el
otro, los dos parciales o su recuperatorio.
Estos serán escritos, con ejercicios teórico-prácticos de nivel similar a los considerados
durante las clases, permitiendo medir el grado de comprensión profunda e integración de los
conocimientos adquiridos.
La devolución de los parciales se realiza en un siguiente encuentro, donde a cada alumno se
le muestra su trabajo con las indicaciones correspondientes.
9.REGLAMENTO DE PROMOCIÓN
Régimen de Aprobación
Existen tres formas de aprobación:
1.- Curso Regular y Examen Final
2.- Curso Regular y Promoción
3.- Examen Libre
1.- Régimen de Curso Regular y Examen Final
1.1.- Curso Regular: El curso regular de la materia consiste en cumplir con los siguientes
requisitos:
1.1.1.- Asistencia: Tener el 75% de asistencia en las clases dictadas en la asignatura durante
el cuatrimestre.
1.1.2.- Exámenes Parciales: Se deberá aprobar dos exámenes parciales en las fechas fijadas
en el cronograma de la asignatura. La aprobación consiste en obtener una
calificación entre 4 y 6 puntos en cada examen parcial sobre una escala de 0 a 10.
El temario de cada parcial está indicado en el cronograma de la materia. El alumno
tendrá la opción de recuperar solamente un parcial en la fecha fijada según el
cronograma de la materia de acuerdo al calendario académico.
1.1.3.- Firma del Curso Regular: Cumplidos todos los requisitos, el alumno firmará la Libreta
Universitaria con el profesor a cargo de la comisión quien consignará la aprobación
de Trabajos Prácticos y de los Parciales.
1.2.- Examen Final:
1.2.1.- Las fechas de los exámenes finales son las establecidas en el calendario académico
de la Universidad.
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1.2.2.- Las condiciones para presentarse al examen final son: 1) La firma del Curso
Regular en la Libreta Universitaria. 2) La inscripción en la Oficina de Alumnos en
las fechas establecidas al efecto. 3) Presentarse en un llamado y sólo en uno de
cada turno de exámenes de diciembre marzo, julio.
1.2.3.- Para ingresar al examen final deberá presentar: 1) Libreta Universitaria.
1.2.4.- El temario de examen final versará sobre el contenido total de programa en vigencia,
teniendo en cuenta como referencia para la Teoría y Práctica la bibliografía básica
propuesta.
1.3.- Perdida de la condición de Regularidad.
1.3.1.- En caso de perderse las condiciones de regularidad, el alumno deberá recursar la
materia.
1.3.2.- Las condiciones de regularidad se pierden en las siguientes circunstancias: 1) Haber
resultado aplazado en 3 (tres) exámenes parciales y/o recuperatorio 2) Haber
vencido el plazo de 5 (cinco) turnos consecutivos de exámenes finales.
2.- Régimen de Curso Regular y Promoción
2.1.- Curso Regular: El curso regular de la materia consiste en cumplir con los siguientes
requisitos:
2.1.1.- Asistencia: Tener el 75% de asistencia en las clases dictadas en la asignatura durante
el año.
2.1.2.- Exámenes Parciales: Se deberá aprobar dos exámenes parciales en las fechas
fijadas en el cronograma de la asignatura. La aprobación consiste en obtener una
calificación de 7 o más puntos en cada examen parcial sobre una escala de 0 a
10. El temario de cada parcial está indicado en el cronograma de la materia. El
alumno tendrá la opción de recuperar solamente un parcial en la fecha fijada en el
cronograma de la materia, de acuerdo al calendario académico.
2.1.3.- Aprobación por Promoción: Cumplidos todos los requisitos, el alumno firmará la
Libreta Universitaria con el profesor a cargo de la comisión quien consignará la
aprobación de Trabajos Prácticos, de los Parciales y de la Asignatura siendo la
calificación final el promedio de las notas obtenidas en los parciales y/o
recuperatorio.
3.- Régimen de Examen Libre
Consiste en un examen de evaluación general de temas de Práctica y Teoría de acuerdo a los
programas en vigencia y en las fechas establecidas por la Universidad.
10.CALENDARIO DE ACTIVIDADES
N° de
Clase
1
Semana de
Clase
14
Unidad temática o Actividad
2
15
3
16
4
17
5
18
6
19
Inicio de clases para ingresantes
Lógica –conjuntos
Trabajo Práctico Nº 1
Números Naturales – Números Enteros
Trabajo Práctico Nº 1
Relaciones – manejo matricial - Relaciones binarias
– clasificación
Trabajo Práctico N°2
Relación de orden -red
Trabajo Práctico Nº 3
Relación de equivalencia – Clausuras
Trabajo Práctico Nº 4
Repaso
Inicio de clases para alumnos de la universidad
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1° Parcial
Aplicación práctica:Combinatoria
Operaciones binarias- Retículo algebraico –Álgebra
de Boole
Trabajo Práctico Nº 5
Definición de grupo ;Subgrupo-grupo cíclico
Trabajo Práctico Nº 6
Morfismo entre grupos.Congruencia módulo H
Aplicación práctica :Anillo
Grafo – Dígrafo
Trabajo Práctico Nº 7
Grafo euleriano- grafo hamiltoniano – grafos planosgrafos isomorfos
Trabajo Práctico Nº 7
Árbol -Lenguaje
Trabajo Práctico Nº 8 y Nº 9
Autómata finito
Repaso
2° Parcial
Recuperatorio del 1° o 2° parcial
Llenado y entrega de actas / firma de libretas
Atención pre-exámenes a alumnos
Exámenes finales
Revisión de Exámenes
Reuniones de cátedra- Articulación de contenidos
Evaluación cursada 1°Cuatrimestre
Conformación grupos de trabajo revisión temas
teóricos y prácticos
Trabajo en los grupos
Búsqueda de nuevas herramientas didácticas
Articulación de contenidos verticales y horizontales
“Certifico que el presente programa de estudios de la asignatura.Matemática Discreta.
es el vigente para el ciclo lectivo 2011, guarda consistencia con los contenidos mínimos
del plan de estudios y se encuentra convenientemente actualizado”
Firma
Marcela E Bellani
Aclaración
Jefe de Cátedra
Cargo
7
23/05/2011
Fecha