Universidad de Antioquia

Universidad de Antioquia
Algebra y Trigonometrı́a
Taller 1:
Números reales
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
Sea x < 0 y y > 0, determine el signo del número real.
1) xy
2)
x
+x
y
3)
x−y
xy
Valor absoluto:
Propiedades:
El valor absoluto de w se
define como:
(
w
si w ≥ 0
|w| =
−w si w < 0
Sean a y b reales, entonces:
4) y(x − y)
III. | − a| = |a|
I. |a| ≥ 0
a |a|
, b 6= 0
IV. =
b
|b|
II. |ab| = |a||b|
Reescriba la expresión sin utilizar valor absoluto y simplifique el resultado:
√
5) 3 + | − 3|
7) | 5 − 5/2|
9) |x + 3| si x < −3
6)
−3
| − 3|
8) |π − 4|
10) |x + 7| si x ≥ −7
11) |m − n| si m < n
12) | − z 2 − 1|
Utilice desigualdades para describir el intervalo (o intervalos) de números reales.
13)
-5 -4 -3 -2 -1
16) [−1, 1)
0
1
2
3
4
5
x
14)
-5 -4 -3 -2 -1
17) (−∞, 3]
0
1
2
3
4
5
x
15)
-5 -4 -3 -2 -1
18) (0, ∞)
0
1
2
3
4
5
x
Universidad de Antioquia
Álgebra y trigonometrı́a CNM-108
Leyes de los exponentes: Sean x y y números reales y m y n enteros, entonces:
I. xm xn = xm+n
II. (xm )n = (xn )m = xmn
n
VI. x0 = 1
n n
III. (xy) = x y
n
x
xn
IV.
= n
y
y
xm
= xm−n ,
V.
xn
con y 6= 0
VII. x−n =
x 6= 0
x 6= 0
1
xn
x 6= 0
VIII. x1/n =
√
n
x
√ m √
IX. xm/n = ( n x) = n xm
IX. xm/n = x1/n
m
Exprese el número en la forma a/b con a y b enteros:
4
3−2
3
=
19)
− 2−4 =
21)
−
−3
2
2
23) 64−3/2 + 643/2 =
20) −24 + 3−1 =
24) (−0.008)2/3 =
22)
5−2
2−3
= (xm )1/n
Resuelva lo siguiente:
25) 42 (3 × 22 − 3 × 23 ) =
28) 2 − (2 − (42 − (8 + 5) − 1) + 23 (1 − 4)) =
26) 6 − (4 − (2 − 7 − (52 − 5) + 6)) =
√
√
29) Multiplicar y simplificar: ( 2 − 3)( 2 + 5)
27) 5(4 − (5(3 − 42 ) + 4(3 − 7))) =
30) Racionaliza el denominador √
Departamento de Matemáticas
2
1
√
5− 2
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Álgebra y trigonometrı́a CNM-108
Demuestra las siguientes igualdades
31)
1
1
+
=1
m−n
1+x
1 + xn−m
Resuelva:
p
√
34)
1 + 1 + 23 =
33)
5
4− =
8
1 52
=
36)
82− 3
32)
35)
r
n
3
p
√
9a2 + 36a2 + 12a + 1 =
3a + 1
1
4n 6
=
2n+1
4n+1
4
+2
4
r
Simplifique las siguientes expresiones:
37)
(2y 3 )(3y 2 )
=
(y 2 )3
38)
1 4 −3
xy
3
−2
=
40)
(x−3 y 2 )−4
=
(y 6 x−4 )−2
41)
4a3 b
a2 b 3
3b2
2a2 b4
43)
p
3
16x3 y 8 z 4
p
=
36y 4 z 3
=
−4
44) (2 ) ·
39) (3x
1/2
)(−2x
5/2
)
Departamento de Matemáticas
42)
2√
3
4h2
3
s
n+1
4 · 28n
82n
2
=
3√
5
4
16h t =
4
3
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Álgebra y trigonometrı́a CNM-108
En los siguientes enunciados utiliza una de las palabras: “Siempre”, “A veces” o “Nunca” para indicar
si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.
√
√
√
n xy = x1/n y 1/n
27)
30)
x2 = x
x4 + 9 = x2 + 3
33)
√
√
3
n
x3 = x
34)
x0 = 1
x + y=x1/n +y 1/n 31)
28)
√
6
29)
0x = 1
x3 = x2
x = x−1
32)
35)
Simplifique las siguientes expresiones:
(x + 1)1/2 − x 12 (x + 1)−1/2
36)
2
[(x + 1)−1/2 ]
4x3 (3x2 + 1)1/2 − x4 12 (3x2 + 1)−1/2 (6x)
[(3x2 + 1)1/2 ]2
37)
Problemas adicionales
38)
Completar la siguiente tabla usando ∈ o 42)
∈
/ según el número pertenezca o no al conjunto dado
N
Z
Q
I
R
Encuentre el valor de:
i)
ii)
C
iii)
−8
−3/11
−7
√ +i
−25
√
3
−64
5, 75
121/11
π
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
39)
40)
Exprese el enunciado como desigualdad:
x)
i)
y es no negativo
ii)
d está entre 4 y 2
iii)
El negativo de z no es mayor que
3
xii)
iv)
El cociente de p y q es a lo sumo 7
xiii)
v)
El valor absoluto de x es menor
que 4
xiv)
vi)
w es mayor o igual que −4
xi)
xv)
Reescriba la expresión sin utilizar el
sı́mbolo de valor absoluto y simplifique
el resultado
i)
ii)
41)
ix)
2
x + 4
2
−x − 1
Demuestre que
3
−15
= .
−10
2
Departamento de Matemáticas
xvi)
xvii)
√
Si
√
3 45 − 20 + 7 5
√
√
√
5 3 81 − 7 3 192 + 4 3 648
√
√
4
a+b4a−b
√
√
3
5 2×2 5
q
q
q
a4 c
a2 c3
a2 cd2
+
−
3
2
b
bd
bc2
√
√
√
3
3
3
5 −54 − 2 −16 + 4 686
q
q
a2
x3
3
· 34 2a
4
x
x
√
√
√
4
4
3 162 − 7 32 + 4 1250
√ √
2 4
6· 33
3
√
√
√
5 20 − 45 + 2 80
rq
3 4
(x7 y 5 )2
√
√
3ab3 c 2a2 bc4 6a3 b4 c3
√
√
√
√
1
5 × 12 3 2 × 6 80 × 3 5
5
q
q
2 32 + 3 23 −
q √
q
√ 1
2 3 1
÷ 3 25
6 − 24
3
5
4
2
√
√
√
√
45x3 − 80x3 + 5a2 x
a−x
√
√
√
x3 −a3
√x+a − √x−a · √
x−a
x+a
(x+a)2 −ax
√
×
43)
√
2x +
√1
2x
2 (2x − 1) − √1
2x
p
√ + 2 (2x − 1) − 2x
p
x
5
2x − 3y
= , encuentre el valor de
.
y
2
3y − x
4
44)
Encuentre el m.c.m. de 9,11,18,22 y 36.
45)
Escriba en orden creciente los siguientes
racionales:
i)
ii)
7
,
9
2
,
3
5 13
,
,
11 18
5 4
, , y
8 3
3
1
y
.
32
36
1
.
2
1
x
2
a
= y
= , encuentre el valor de
b
4
y
3
ax − 3by
.
4ax + 2by
46)
Si
47)
Encuentre el m.c.d. de:
i)
27, 162 y 36.
ii)
14, 35 y 84.
48)
Encuentre el m.c.m de 3(x + 2)(x − 1),
2(x + 2)(x + 1) y 22 x(x + 2)(x2 − 2x + 4).
49)
Encuentre el m.c.d de 56a2 b, 63ab2 y
91abc.
50)
Suponiendo que x 6= 0, racionaliza el de1
nominador √
3
x
51)
Racionalice el demonimador:
i)
3
√ .
3
ii)
16
√
.
3
4
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52)
53)
iii)
√
3+ 3
√
√ .
2+ 3
iv)
√
3
v)
√
3
56)
h
√ .
x+h+ 3x
2−3 + 3−2
2−4 + 3−1
ii)
−0.0016−3/4
ii)
iii)
iv)
√
3
√
3
x
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vii)
viii)
(x2 )3
1 5
a
−3a2 4a−7
6
8x4 y −3 12 x−5 y 2
vi)
3x2
c−4
16d8
3
4
2
3x5 y 4
x0 y −3
5
2
−2r 2 s
3r −1 s3
1 4 −3 −2
x y
3
2
0
3y 3 2y 2
y3
(y 4 )3
i)
ii)
iii)
iv)
v)
x−2
4x−3a
·
xii)
1+2x2 +x3 +2x4
1+3x2 +2x3 +3x4
3x3 −27ax2 +78a2 x−72a3
2x3 +10ax2 −4a2 x−48a3
·
·
(x−2)2
8pq+z 2
÷
x2 −5x−14 x2 −11x+18
·
x2 −4
(x−2)2
x2 −16x+63
ax3 −4ax2 +4ax
ax+ab+cx+bc
a2 −x2
xi)
x2n+1 −x2n y
xn+3 −xn y 3
9−x2
x4 +6x3
·
2
x2 −x−2
xiii)
xiv)
5(2x−3)
11(6x2 +x−1)
12(3x+1)
11(4x2 +8x+3)
−
+
x
1+x3
x1/2 y 1/3
ii)
√
3
−
−
1
x2 −1
7x
6x2 +7x−3
+
−
x2
(1−x)3
iii)
iv)
vi)
vii)
viii)
y 1/4
x1/6
ab−2 c−2
s
a2p
p
!2
y −1/4
÷ 1/4
x
−1/6
a−1 b−2 c−9
√
√
4 3
√
c
b−1
b
3
√
b
·
ac
·
·
√
a
b a−1/6
! 1/n
√
9(n+1)/4 3 · 3n
√
3 3−n
n
2n 2n−1
1
·
2n+1 2n−1 4−n
4
3 3 √ −1/2 √
6 −4
a
b
a b
÷
a3 b2
a4 b−3
5

b2 c−1/2
·
b−1/2 c2
5
ex + e−x
s
3
 −4
b−1/2 c 
c−1/2 b
32n
n−1
(27n−1 )n+1
n−1
xn−1
· xn+1
xn+1
−1
b−2 + a−2
÷ −2
b − a−2
xn+1 · x2−n ·
xxii)
a−1 − b−1
a−1 + b−1
xxiv)
xxv)
xxvi)
xxvii)
xxviii)
ixxx)
2n+1
(2n )n−1
! 1/2
(81n )2−n 243n(n−1)
38 3n−2
xxiii)
2
(ex + e−x )2 − (ex − e−x )2
xxi)
(a−1 )−p
s
xn+2 − 4x−n
x + 2x−n
"
(a2 −b2 )/a # a/(a−b)
1
xa+b
x1/2 − y 1/2 x1/2 + y 1/2
x1/3 + y 1/3 x2/3 − x1/3 y 1/3 + y 2/3
xx)
Simplifique y exprese con exponentes positivos:
i)
a−1 − x−1
ax−1
1 + ax−1
· −1
÷
−1
−1
−1
a x
a x − ax
x−a
xviii)
x3 −2x2 −3x
x2 +7x+6
÷
1
1
√
√
+
x + x2 − 1
x − x2 − 1
p q
p + 1q
p − 1q
p q
q + p1
q − p1
xiv)
xvii)
x2 −2ax+a2
x2 +(b+a)x+ab
a8 ·
y −2 + 3x−1 y −1 + 2x−2
x−1 y −2 + x−2 y −1
xvi)
÷
√
5
a7 · a−2/3 ÷ a3/5
q p
√
x x3x
ixx)
2
x2 −3x+2
1
1+x
x2 −4
(x+2)2
√
3
xiii)
xv)
2a2 +ax−3x2
a2 −x2
x)
−125
Departamento de Matemáticas
16x −9a2
x2 −4
64p2 q 2 −z 4
x2 −4
v)
1
√
3
2
p
9x−4 y 6
√
4
81r 5 s8
s
11 y 3
5 3x
9x2 y 8
2
vii)
Simplifique la expresión y racionalice el
denominador cuando sea necesario
√
5
·
xi)
9xy 2 z
4xz 5
3a2 +3ax
(a−x)2
xv)
57)
8xyz 2
3x3 y 2 z
vii)
xii)
ix)
2x3 +5x2 y−30xy 2 +27y 3
4x3 +5xy 2 −21y 3
ix)
Simplifique:
2x3
4x4
y2
5
iv)
√1
x
x+h−
h
s
iii)
vi)
4+h−2
h
p
√
3(x + h) + 1 − 2x + 1
h
h
8x3
y4
a3 −a2 b−ab2 −2b3
a3 +3a2 b+3ab2 +2b3
v)
√
−
5
Realice las operaciones y simplifique:
i)
Racionalice el numerador:
√1
x+h
s
x)
√
.
3
3
i)
ii)
55)
vi)
Escriba la cantidad como un número
racional con exponente 1:
i)
54)
3
2−
Álgebra y trigonometrı́a CNM-108
÷
4n+1
(2n−1 )n+1
v
"
u
a #b
u xa ab
xa−b
t
÷
b
xb
xa+b
2
2
ex + e−x − ex − e−x
s
x
2
e − e−x
(ex + e−x )2 1 −
ex + e−x
a−2 + a−1 b−1
a−2 − a−1 b−1
−1
1/2
−1/2
x1/2 +x−1/2
− x x2 −x
x2 −x+1
+x+1
1/2
1/2
−1/2
x
+2x−1/2
− x x−2x
3 +1
x3 −1
÷
4n · 6
42n+1 + 24n+1
1
(3x
3
−
+ 1)−2/3 (3)(2x − 3)1/2
[(2x −3)1/2 ]2
(3x + 1)1/3 12 (2x − 3)−1/2 (2)
[(2x − 3)1/2 ]2
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1/n