CONFERENCIA PARABOLA

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INSTITUCION EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR
Santiago de Cali.
CONFERENCIA Y TALLER DE CALCULO
LA PARABOLA
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CURSO:
No:
FECHA:
1. LA PARABOLA
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de
una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina
foco.
Parábola que abre hacia arriba
Vértice en (h, k)
Foco (h, k+p)
Directriz y = k - p
(x – h)2 = 4p(y – k)
y
Parábola que abre hacia abajo
Vértice en (h, k)
Foco (h, k-p)
Directriz y = k + p
(x – h)2 = -4p(y – k)
y
x
Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección
de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es
más común definir la parábola como un lugar geométrico:
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas,
debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas.
Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la
influencia de la gravedad.
1. LADO RECTO:
Al
segmento
de
recta
comprendido por la parábola, que
pasa por el foco y es paralelo a la
directriz, se le conoce como lado
recto.
La longitud del lado recto es
siempre 4 veces la distancia focal.
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝐹𝑉 = p
𝐹𝑊 = 2p entonces
̅̅̅̅ = 2p 𝐸𝑈
̅̅̅̅ = 2P
𝐹𝐸
2. ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE (0, 0)
Si las coordenadas del:
√(𝑥 − 𝑥)2 + (𝑦 + 𝑝)2
Vértice son V(0, 0)
Foco (0, p)
x2 + y2 - 2yp + p2 = y2 + 2yp + p2
Punto E (x, y)
x2 = 4py
Punto U (x,-p)
Vemos que el lado recto es
Por distancia entre dos puntos
4p
tenemos que:
̅̅̅̅
La ecuación de la directriz es
𝐹𝐸 = ̅̅̅̅
𝐸𝑈
y = -p
√(𝑥 − 𝑜)2 + (𝑦 − 𝑝)2 =
x
Parábola que abre hacia arriba
Parábola que abre hacia arriba
Vértice en (h, k)
Vértice en (h, k)
Foco (h-p, k)
Foco (h+p, k)
Directriz x = k - p
Directriz x = k + p
(y – h)2 = 4p(x – k)
(y – h)2 =- 4p(x – k)
4. APLICACIONES.
La importancia de la parábola radica en las aplicaciones a la vida practica
y de objetos que usualmente conocemos. Tales
LAMPARA FOCAL.
La parábola refleja sobre el foco
los rayos paralelos al eje.
Análogamente, un emisor
situado en el foco, enviará un
haz de rayos paralelos al eje.
ANTENA PARABOLICA.
Los
radiotelescopios
concentran los haces de
señales en un receptor situado
en el foco. El mismo principio
se aplica en una antena de
radar.
PANELES DE ENERGIA SOLAR.
Cocina solar de concentrador
parabólico. El mismo método se
emplea en las grandes
centrales
captadoras
de
energía solar.
Dicha parábola abre hacia arriba
También podemos expresar la
ecuación de la parábola de la
forma:
y=
𝑥2
4𝑝
Si la parábola tiene
Foco (0,-p)
Vértice en (0, 0)
Directriz en y = p.
Según el grafico y aplicando la
ecuación, tendremos:
FOCOS DE LOS AUTOMOVILES.
x2 = - 4py
y =-
𝑥2
4𝑝
Los faros de los automóviles
envían haces de luz paralelos,
si la bombilla se sitúa en el foco
de una superficie parabólica.
Para cuando la parábola abre hacia la izquierda o a la derecha:
5. ECUACION GENERAL.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma
.
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma
y2 = - 4px
y2 = + 4px
3. ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE (h, k)
Si el vértice de la parábola, lo colocamos o mejor lo corremos a
coordenadas diferentes de (0, 0), tal que sean (h, k). La nuevas
ecuaciones de las parábolas serán:
Las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen
mediante una traslación.
.
6. PROBLEMAS RESUELTOS.
1. Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes
parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y
la ecuación de la directriz.
6y2 – 12X = 0, Transformando la ecuación nos queda y2 = 2x
El lado recto 4p = 2, por lo tanto p =
1
1
2
2
Foco ( , 0). Directriz x = -
2
1
EJERCICIOS.
1. Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes
parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco
y la ecuación de la directriz. Graficar.
2
2. 2y2 + 7x = 0
Simplificando la expresión. 2y2 = - 7x
7
y2 = - x
El lado recto es 4p =
7
Foco (- , 0)
7
2
2
entonces p =
Directriz x =
8
7
7
8
8
3. Determine la ecuación de la parábola que tiene por directriz x = - 3 y
foco (3, 0)
La distancia que hay entre la directriz y el foco es 6. Por lo tanto la
distancia de la directriz al foco es 2p = 6, p = 3
La parábola abre a la derecha, por la disposición del foco.
Lado recto es 4p = 4(3) = 12.
La ecuación es y2 = 12x
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
6x2 – 18y = 0
3x2 – 12y = 0
X2 + 4y = 0
15x2 = -42y
3y2 + 6x = 0
2y2 – 15x = 0
4y2 + 18x = 0
5y2 – 12x = 0
2.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
De directriz x = -3/2, de foco (3/2, 0).
De directriz x = 3, de foco (-3, 0)
De directriz x = 2/3, de foco (-2/3, 0)
De directriz x = - 2, de foco (+2, 0)
De directriz y = 3, de foco (0, -3)
De directriz y = 4, de foco (0, -4)
De directriz y = 5, de foco (0, -5)
De directriz y = - 5/3, de foco (0, 5/3)
3.
Determine las ecuaciones de las siguientes parábolas, determinando
el vértice y el lado recto. Graficar.
De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
De foco (2, 3), de vértice (2, 6)
De foco (-3, 1), y directriz (-3, 5).
1.
2.
3.
4.
5.
4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
4. De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
La distancia del vértice al foco es 3.
p = 3.
Por la disposición del vértice y el foco, la parábola abre hacia arriba.
El lado recto es 4p = 4(3) = 12
La ecuación es (x –h)2 = 4p(y – k) (x + 2)2 = 12(y – 2)
Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones
de la directrices de las parábolas:
y2 – 6y – 8x + 17 = 0
x2 – 2x – 6y – 5 = 0
x2 – 6x – 4y + 1 = 0
y2 + 4y + 5x - 11 = 0
2x2 + 8x + 15y – 37 = 0
4y2 – 12y + 24x + 69 = 0
x2 + 6x – 8y – 15 = 0
4y2 – 4y + 20x + 71 = 0
7. Determine la ecuación de cada una de las parábolas que cumple las
siguientes condiciones. Foco, Vértice, Directriz y Grafica.
1. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los
puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).
2. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta:
y= 0 y por foco el punto (2, 4).
3. Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la
parábola y2 = 16 x.
Lic. Simeón Cedano Rojas
Profesor de la materia.
CONFERENCIA PARABOLA.DOC
5. Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones
de la directrices de las parábolas:
4x2 + 12x – 24y + 69 = 0
4x2 + 12x = 24y - 69
9
2
4(x + 3x + ) = 24y – 69 + 9
3
4
4(x + )2 = 24y – 60
2
4p = 6 p =
3
2
4(x + )2 = 24(y –
3
60
2
32
(x + ) = 6(y –
24
60
)
3 5 3
2
24
)
3 5
V(- , )
2 2
5
3
2
2
F (- , + ) Abre hacia arriba. Directriz x = 2 2 2
6. Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la
parábola y2 = 16 x.