Tema 8: Introducción a la Teoría sobre Contraste de hipótesis

Tema 8: Introducción a la Teoría sobre Contraste de
hipótesis
Estadística. 4o Curso.
Licenciatura en Ciencias Ambientales
Licenciatura en Ciencias Ambientales (4o Curso)
Tema 8: Introducción a la Teoría sobre Contraste de hipótesis
Curso 2009-2010
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Índice
1
Objetivos del contraste de hipótesis
2
Conceptos básicos
3
Resolución práctica de un contraste de hipótesis
4
Probabilidad de significación o p-valor
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Objetivos del contraste de hipótesis
Imaginemos que, en distintos experimentos estadísticos, queremos decidir sobre la
verdad o falsedad de las siguientes hipótesis:
Al lanzar al aire determinada moneda hay mayor probabilidad de que salga cara
que de que salga cruz.
Dos métodos de medición de concentraciones tienen distinta precisión.
La altura media de los españoles es mayor que 180 cm.
La altura de las mujeres españolas es menor que la de los hombres.
La variable que estamos estudiando tiene distribución normal.
Aunque hay procedimientos de decisión empíricos, la Estadística debe basarse en los
datos que tomemos al repetir los experimentos un número determinado de veces. A
partir de dichos datos hemos de ser capaces de tomar una decisión que sea
completamente objetiva y en la cual tengamos una probabilidad pequeña de
equivocarnos.
El procedimiento estadístico que usaremos es el del Contraste de Hipótesis y al
mecanismo que nos lleva a tomar dicha decisión lo llamaremos Test de Hipótesis.
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Conceptos básicos
Hipótesis estadística
Es una afirmación sobre la distribución o distribuciones de probabilidad
(desconocidas) asociadas al experimento que estamos realizando.
Contraste de hipótesis
Consiste en formular dos hipótesis sobre las distribuciones de probabilidad de las
variables que estamos estudiando. Una de estas hipótesis es cierta, aunque nunca
sabremos cuál de ellas lo es. Ambas hipótesis no son consideradas del mismo modo.
La hipótesis nula ó inicial, H0 , es la que de partida se da como cierta y por ella
nos decidiremos en caso de duda.
La hipótesis alternativa, H1 , es la que pretendemos probar.
Se trata de decidir entre ellas basándonos en la información que nos proporcionan los
datos que tomemos de las variables bajo estudio. Cuando decidimos que H0 es cierta,
se dice que aceptamos H0 . Cuando decidimos que H1 es cierta se dice que
rechazamos H0 , aunque es también podemos decir que aceptamos H1 .
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Conceptos básicos
Test de Hipótesis
Es un procedimiento matemático que nos lleva a tomar una decisión objetiva entre
ambas hipótesis. Habitualmente consiste en la comparación de dos valores:
Valor Experimental Se calcula a partir de los datos que hemos tomado. Si tenemos
una muestra X1 , . . . , Xn , el valor experimental del test se calcula
mediante una fórmula o algoritmo, S = S(X1 , . . . , Xn ). A la función S
se la denomina Estadístico de Contraste. Sustituyendo X1 , . . . , Xn por
los valores que han tomado estas variables en el experimento
obtenemos el valor experimental.
Valor Teórico es un valor que no depende de la muestra que hemos tomado, sino de
la distribución teórica del estadístico de contraste cuando la hipótesis
nula es cierta. En los test que veremos a continuación lo calcularemos
a partir de las tablas. En cualquier caso, los valores teóricos suelen
estar tabulados.
Llamaremos Región Crítica del test al conjunto de números reales tal que si el valor
experimental es uno de estos números, la decisión tomada es rechazar H0 .
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Conceptos básicos
Errores
El Test de Hipótesis nos lleva a decidir entre las dos hipótesis del Contraste, pero no
sabemos cuál de ellas es cierta, por lo que podemos cometer errores. En la siguiente
tabla se resumen las distintas posibilidades que se pueden dar tras tomar una decisión:
H0 verdadera
H1 verdadera
aceptar H0
acierto
Error tipo II
aceptar H1
Error tipo I
acierto
Nivel de significación del test, α = P(Error de tipo I).
β = P(Error de tipo II). A la cantidad 1 − β la llamaremos potencia del test.
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Resolución práctica de un contraste de hipótesis
Una vez planteado un contraste de hipótesis, debemos buscar un test donde
donde α y β sean pequeños simultáneamente. Esto no siempre va a ser posible.
En la práctica, se considera más grave un Error de tipo I por lo que se buscan test
que no cometan estos errores.
Para ello nosotros mismos fijamos un nivel de significación, α, pequeño
(habitualmente 0.05, 0.01, 0.001) y de entre todos los test con ese nivel de
significación elegimos el que sea más potente.
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Probabilidad de significación ó p-valor
Cuando ya disponemos de los datos podemos proceder de una forma algo diferente a
la descrita anteriormente: calcular el valor experimental y, una vez que contamos con
este valor, plantearnos para qué niveles de significación, α, se rechazará H0 y para
cuáles se aceptará H0 .
Obviamente, cuanto más pequeño sea α, más “difícil” será rechazar H0 . De este modo
podemos encontrar un valor tal que
si admitimos un nivel de significación mayor o igual que dicho valor,
rechazaremos H0 y habremos probado H1 .
si realizamos el test a un nivel de significación menor que este valor,
aceptaremos H0 .
A dicho valor lo llamaremos probabilidad de significación o p-valor del test y se
define como el menor de los niveles de significación para los que rechazamos H0 .
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