Combinatoria apuntes

Actualmente, la Combinatoria, tiene por objeto el estudio de los distintos agrupamientos
y ordenaciones que pueden recibir los elementos de un conjunto, prescindiendo de la
naturaleza de los mismos. El origen de esta rama de las Matemáticas se remonta a los
trabajos de Pascal y Fermat, pues ambos, al fundamentar el cálculo de probabilidades,
m
vuelven a encontrar la expresión   y Pascal es el primero en observar la relación
n
existente entre los números combinatorios y la fórmula del desarrollo de un binomio.
De la combinatoria se ocupó también el alemán G. W. Leibniz en su obra “Disertatio de
Arte Combinatoria”, publicada en 1666. Sin embargo, el mayor impulsor de esta rama
en el siglo XVII fue Jacques Bernoulli, quien en la segunda parte de su obra “Arte de la
Conjetura” incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones que viene
facilitada por el teorema binomial y multinomial.
1
5.1 Factorial de un número
Def.: Se denomina factorial de un número natural n y se representa por n! al producto:
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1
El factorial de cero queda definido por convención como 0! = 1.
Ejemplos:
1. Calcula: a) 4! =
b) 6! =
2. Saca factor común: a) 6! + 8! =
3. Simplifica y calcula: a)
13!

11!
c) 8! =
b) 12! – 9! =
b)
n! (n  1)
=
(n  1)!
d) 11! =
c) n! – (n – 1)! =
c)
2(n  1) ! 
(2n )!
4. Expresa como cociente de factoriales:
a) 7 · 8 · 9
b) p · (p – 1) · (p – 2)
c) n · (n – 1) · (n – 2) · ... · (n – p)
5. Simplifica y calcula las expresiones:
a)
n !  (n  1)!
=
n !  (n  1)!
b)
1
1


n ! (n  1) !
5.2 Diagramas en árbol
Def.: Los diagramas en árbol son esquemas en los que se recogen todas las
posibilidades de un acontecimiento dado.
Ejemplos:
1. Si disponemos de 4 camisetas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos, ¿de cuántas
formas distintas podrá vestirse?
2. El menú de un día de un restaurante está compuesto por un primer plato: sopa,
potaje o garbanzos; y un segundo plato: ternera, pollo, cherne o tortilla. ¿Cuántos
menús diferentes pueden elegirse?
A continuación veremos 4 casos a los que nos remitiremos continuamente en el próximo
apartado de este tema, porque son los cuatro ejemplos fundamentales de la combinatoria
que veremos en este curso.
2
5.3 Cuatro casos básicos de la combinatoria
Def.: La variación (ordinaria) de m elementos tomados de n en n es cada uno de los
grupos n-dimensionales que se pueden formar con los m elementos de manera que:
-
En cada grupo entren n elementos distintos.
Dos grupos se diferenciarán en algún elemento o en el orden de colocación.
La fórmula para calcular este tipo de variaciones viene dada por:
Vm, n 
m!
 m · (m  1) · ... · (m  n  1)
(m  n ) !
En el CASO 1, En una carrera de 5000 m toman la salida 6 corredores. ¿De cuántas
formas distintas se pueden dar los podiums? nos encontramos con un ejemplo de
variaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3. Por lo tanto:
V6, 3 = 6 · 5 · 4 = 120
Def.: Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos
grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
-
En cada grupo entren n elementos, repetidos o no.
Dos grupos se diferenciarán en algún elemento o en el orden de colocación.
La fórmula de las variaciones con repetición es:
VRm,n = mn
El CASO 2 ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar al aire 3 monedas?
Se trata de una variación con repetición. Tenemos 2 elementos, la cara y la cruz, y se
tiran 3 monedas.
VR2, 3 = 23 = 8
Def.: Permutaciones de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de
manera que:
-
En cada grupo estén los n elementos.
Un grupo se diferencie de otro únicamente en el orden de sus elementos.
La fórmula de las permutaciones con repetición es:
Pn = n ! = n · (n –3 1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1
El CASO 3 ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 5 niños en un banco?
Se trata de una permutación. Tenemos 5 elementos y en todos los grupos que formemos
se sentarán los 5.
P5 = 5 ! = 120
Def.: La combinación de m elementos tomados de n en n es cada uno de los grupos ndimensionales que se pueden formar con los m elementos de manera que:
-
En cada grupo entren n elementos distintos.
Dos grupos serán distintos sólo si cambia algún elemento.
La fórmula para calcular las combinaciones viene dada por:
C m, n 
Vm, n
Pn

m!
(m  n ) ! · n !
En el CASO 4, Se desean elegir dos portavoces entre un total de 6 trabajadores,
¿cuántas maneras distintas habrá de hacerlo? nos encontramos con un ejemplo de
combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2.
C6, 2 =
Variaciones
Variac. con repetición
Permutaciones
Combinaciones
6!
= 15
4 !·2 !
Se repiten los elementos Se toman todos Importa el orden
NO
NO
SÍ
SÍ
SÍ
NO
SÍ
SÍ
NO
NO
NO
Con ayuda de esta tabla podemos resumir el estudio de los distintos casos formulando
las siguientes preguntas. En caso de que la respuesta sea negativa habrá que seguir
preguntando, en caso contrario, tendremos el caso que andamos buscando.
1º ¿Se puede repetir algún elemento? SÍ

Variac. con repetición
2º ¿Se toman todos los elementos? SÍ

Permutaciones
3º ¿Importa el orden? SÍ

Variaciones
4º Si las 3 respuestas son negativas

Combinaciones
4
5.4 El binomio de Newton
m
Def.: El número   se lee “m sobre n”; se llama número combinatorio y equivale a
n
Cm, n.
Ejemplo
7
Calcula: a)   
 3
10 
b)   
6
7
c)   
 4
A continuación veremos el triángulo de Tartaglia (o de Pascal). Es importante saber
cómo se construye.
Propiedades de los números combinatorios
1. Todas las filas empiezan y terminan en 1:
m
m
   1 y    1
0
m
2. Todas las filas son capicúas:
m  m 
   

 n  m  n
 m   m   m  1
     

3. Todo número se obtiene sumando los 2 de arriba: 
 n  1  n   n 
Ejemplos:
 25   25 
1. Calcula el valor de x:      .
x 7
10  10 
2. Halla el número combinatorio igual a:      
4 5
5
Calcula las siguiente identidades notables:
(a + b)2 =
(a – b)3 =
De los dos ejemplos anteriores podemos obtener un par de conclusiones muy útiles:
Respecto a los exponentes:
Respecto a los signos:
Respecto a la cantidad de sumandos:
Los números combinatorios constituyen una herramienta muy eficaz para obtener
rápidamente la potencia de cualquier binomio de exponente natural.
n
n
n
 n  1 n 1 n  0 n
 a b
(a  b) n    a n b 0    a n  1b1    a n  2 b 2  ...  
   a b
0
1
2
n

1
 
 
 


n
-
La suma de los exponentes de cada sumando será igual al exponente del
binomio.
Los sumandos serán todos positivos si se trata de una suma, y se alternarán
empezando por positivo cuando se trate de una resta.
En todo desarrollo tendremos n + 1 sumandos.
Ejemplos:
1. (x + y)4 =
2. (a – b)5 =
6
a

3.   y  
x

4. (3x – y)7 =
6
EJERCICIOS
1. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra CASINO?
2. Se desean unir 6 pueblos por medio de una compañía de guaguas. Si los billetes se
expenden con un origen y un destino, ¿cuántos billetes distintos debe tener la línea
de guaguas?
3. ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, y
5, si no se puede repetir ningún dígito? ¿Y en el caso de que sí se pudieran repetir
dígitos?
4. La máquina tragaperras de un bar tiene 3 ventanitas en las que aparecen tres tipos de
frutas. Las frutas se pueden ver al dejar de girar unas ruedas que tienen 11 frutas
distintas cada una. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener al poner en
funcionamiento la máquina?
5. En un mundial participan 24 equipos.
a) ¿Cuántas semifinales distintas se pueden jugar?
b) ¿Cuántos podiums diferentes se pueden dar?
6. Un grupo de 7 amigos decide hacerse una foto sentados en fila en un banco de un
parque. ¿Cuántas fotos distintas se podrán hacer?
7. Lanzamos al mismo tiempo 3 dados de 3 colores distintos. ¿Cuántos resultados
distintos se pueden obtener?
8. En una competición de natación participan 8 nadadores. ¿De cuántas formas
distintas se pueden repartir la medallas?
9. En una bolsa tenemos 10 bolas enumeradas del 0 al 9. Si anotamos el número que
sacamos y devolvemos la bola a la bolsa, repitiendo la operación 4 veces, ¿cuántos
resultados distintos se pueden obtener? ¿Y si no devolvemos las bolas a la bolsa?
10. Con las letras de la palabra PELÍCANO, ¿cuántas palabras de 4 letras sin repetir se
pueden formar?
11. ¿De cuántas maneras distintas podemos rellenar una quiniela de 14 partidos?
12. Al mezclar las cartas de una baraja española, ¿de cuántas formas pueden quedar las
cartas?
13. Se ha convocado una oposición para cubrir 10 plazas de un determinado puesto. A
esta oposición se presentan 1300 aspirantes. ¿De cuántas formas distintas se pueden
cubrir esas plazas?
14. Una heladería dispone de 12 clases de helados. ¿Cuántos cucuruchos distintos de 3
sabores diferentes se pueden formar?
7
15. En una clase de 28 alumnos hay que elegir un delegado y un subdelegado. ¿Cuántas
posibilidades distintas existirán?
16. Se dispone de 3 monedas de 25 céntimos. ¿De cuántas maneras se pueden repartir
entre 7 personas, de manera que no le toque a ninguna persona más de una moneda?
¿Qué ocurriría si las monedas fueran de distintos importes?
17. 7 amigos van al cine a ver una película y se sientan en una fila. ¿De cuántas formas
distintas podrán hacerlo si son 4 niños y 3 niñas y tienen que alternarse por fuerza?
¿Cuál sería el resultado si fueran 4 niñas y 4 niños?
18. Para representar a un centro se van a elegir un grupo de 5 personas. Estas se elegirán
de entre un grupo de voluntarios constituido por 8 profesores y 9 estudiantes.
¿Cuántos grupos distintos se podrán formar? ¿Y si el grupo tuviera que estar
formado obligatoriamente por 3 profesores y 2 alumnos?
19. ¿Cuántas diagonales distintas tiene un heptágono?
20. ¿De cuántas formas distintas puede acabar el Campeonato Nacional de Liga?
21. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra PASIÓN
(sin repetir ninguna)? ¿Cuántas habrá que empiecen por P y terminen por AS?
22. ¿Cuántos números menores que 1000 hay que tengan alguna cifra repetida?
23. Una clase de desdoble consta de 7 niños y 3 niñas. El profesor quiere elegir a 4 de
ellos para hacer un trabajo. ¿De cuántas formas podrá hacerlo? ¿De cuántas formas
podrá hacerlo si tiene que elegir 2 niños y 2 niñas?
24. Una persona tiene 10 amigos y quiere invitar a su apartamento a 6 de ellos.
¿Cuántas formas tendrá para hacerlo? ¿Y si dos de sus amigos están saliendo y no
quiere ir el uno sin la otra?
25. Disponemos de 11 banderas distintas. Determina cuántas señales distintas se podrán
hacer usando como máximo 3 banderas.
26. En un examen tipo test de 30 preguntas hay que responder a 20. ¿Cuántos exámenes
distintos nos podremos encontrar?
27. En la Lotería Primitiva hay que acertar 6 números elegidos entre 49. ¿Cuántas
apuestas distintas existen?
28. Una marca de cerraduras fabrica llaves con 11 dientes, los cuales pueden estar poco,
muy o nada mellados. ¿Cuántas llaves diferentes pueden fabricar?
29. En una carrera de galgos, una persona apuesta a todas las opciones para la apuesta
del primer y segundo puesto que son 132. ¿Cuántos perros participan en la carrera?
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