Explicación de la tarea 6
Felipe Guerra
1. Se desea estimar la venta promedio diaria de una marca de cereal en una cadena
de supermercados. Se tomaron al azar 16 supermercados registrándose la venta
diaria de este cereal. Se obtuvo un promedio de la muestra de $1200.00 USD y una
desviación estándar de la muestra de $180.00 USD.
a. Construir un intervalo de confianza para la media de un nivel de confianza
de 98%.
Para resolver este problema, utilizamos la formula (1) de la lectura de esta
semana.
Substituyendo en Excel tenemos:
Para el límite inferior
=1200- DISTR.T.INV(2*α/2,n-1)*180/RAIZ(n)
=1200- DISTR.T.INV(0.02,15)*180/RAIZ(16)
Para el límite superior
=1200+ DISTR.T.INV(2*α/2,n-1)*180/RAIZ(n)
=1200+ DISTR.T.INV(0.02,15)*180/RAIZ(16)
En donde α corresponde al complemento del nivel de confianza requerido (1-0.98)
ó 0.02.
Observe que usamos 2*α/2 Esto es debido a que Excel utiliza para el calculo de la
distribución inversa de T el valor de la cola de un solo lado, y debemos de generar
el calculo para los dos lados (ver la explicación de la semana 4 para una
explicación mas detallada).
b. Obtener un intervalo de confianza para la desviación estándar de las ventas
con un nivel de confianza de 95%.
Para este inciso utilizamos la formula (2) de la lectura de la semana.
Observa que la formula (2) corresponde a σ2 por lo que debemos de sacar raíz
cuadrada a la formula.
Substituyendo en Excel tenemos:
Límite inferior
=RAIZ(+(n-1)*180^2/(PRUEBA.CHI.INV(α/2,n-1)))
Limite superior
=RAIZ(+(n-1)*180^2/(PRUEBA.CHI.INV(1-α/2,n-1)))
c. Que supuestos se deben considerar para que el resultado del a) y b) sean
válidos.
La respuesta a esta pregunta es mencionada en la lectura de la semana.
d. Determinar el tamaño de la muestra para una desviación estándar estimada
de $150, un error máximo de $50 y un nivel de confianza del 95%.
Para esta pregunta utilizamos la formula (7) de la lectura de la semana:
Substituyendo en Excel tenemos:
=(ABS(DISTR.NORM.ESTAND.INV(α/2))*150/50)^2
Utilizamos el valor absoluto de DISTR.NORM.ESTAND.INV(α/2) debido a que el
valor de para α/2 devuelve el valor de Z para la cola del lado izquierdo, el cual es
negativo. La formula (7) considera el valor de Z como positivo (absoluto).
2. El depto. de personal de una compañía grande desea estimar el gasto promedio
anual en odontología de sus empleados. Una muestra aleatoria reveló los
siguientes datos en USD.
110, 362, 246, 85, 510, 208, 173, 425, 316, 179
a. Obtener un intervalo de confianza del 95% para la media de los gastos
anuales en odontología.
Se resuelve igual que en la pregunta 1.
b. Obtener un intervalo de confianza del 95% para la desviación estándar de
estos gastos.
Se resuelve igual que en la pregunta 1.
c. El gerente de personal afirma que en promedio el personal gasta $400 USD
con una desviación estándar de $80 USD ¿Determinar si los resultados del (a)
y (b) apoyan la afirmación del gerente.
En el inciso a) obtuvimos
$ 162.11
<μ<
$ 360.69
Por lo tanto la media mencionada por el gerente esta fuera del intervalo de
confianza del 95%.
En el inciso b) obtuvimos
$ 95.47
<σ<
$ 253.40
Por lo tanto la desviación estándar mencionada por el gerente esta fuera del
intervalo de confianza del 95%.
Podemos decir con mas del 95% de confianza que el gerente de personal está
equivocado pues la media no es de $400 USD basados en el resultado (a) y la
desviación estándar no es de $80 USD basados en el resultado (b)
3. Se desea estimar la proporción del mercado que acapara la marca A de cierto
producto. Se observaron 560 compradores de este producto y de estos 130
compraron la marca A.
a. Obtener un intervalo de confianza para la proporción del mercado que se
acapara con un nivel de confianza del 90%.
En este caso utilizamos la formula (6) de la lectura de la semana:
Observando que
corresponde a la división de la cantidad de personas
que compraron la marca A entre el total de compradores observados
(130/560)
Sustituyendo en Excel, el límite inferior corresponde a:
=(130/560)-ABS(DISTR.NORM.ESTAND.INV((1-0.90)/2))*RAIZ((130/560)*(1-(130/560))/560)
Y el límite superior corresponde a:
=(130/560)+ABS(DISTR.NORM.ESTAND.INV((1-0.90)/2))*RAIZ((130/560)*(1-(130/560))/560)
b. El director general de la marca de este producto afirma que se acapara el
40% del mercado. Usar el resultado de a) para determinar si tiene razón el
director general.
El resultado obtenido es:
0.2028
<p<
0.2615
Como el valor de 40% está fuera del intervalo podemos decir con un nivel de
confianza del 90% podemos decir que el director general está equivocado
c. Estimar el tamaño de la muestra para un nivel de confianza del 95%, un
error máximo de 0.005 y sin valor estimado de p.
En este inciso nos piden el tamaño de muestra sin darnos el valor de p, por lo
tanto debemos de utilizar la formula (9) de la lectura:
Substituyendo tenemos:
=1/4*(ABS(DISTR.NORM.ESTAND.INV(α/2))/0.005)^2
4. Un supermercado desea estimar la proporción de clientes que realmente
encuentran lo que buscan. Se entrevistaron a 1200 clientes al momento de su
compra y 500 respondieron que si encontraron todo lo que buscaban.
a. Obtener un intervalo de confianza para la proporción de clientes que
encuentran lo que buscan, con un nivel de confianza del 93%.
En este caso utilizamos la formula (6) de la lectura de la semana en forma similar
al inciso (a) del problema anterior.
b. El gerente de la tienda había afirmado que el 60% de los clientes
encuentran todo lo que buscan. Determinar si el resultado del a) apoyan la
afirmación del gerente.
En el inciso anterior se obtiene el intervalo de:
0.3908798
<p<
0.4424536
Por lo tanto el 60% se encuentra fuera del intervalo de confianza obtenido, lo que
nos indica que el gerente está equivocado con un nivel de confianza del 93%.
c. Estimar el tamaño de la muestra para un nivel de confianza del 90% con un
error máximo de 0.02 una p estimada de 0.4.
Para este inciso utilizamos la formula (8) de la lectura:
d. Estimar el tamaño de la muestra para un nivel de confianza del 90% con un
error máximo de 0.02 sin un valor estimado de p.
En este inciso no tenemos el valor de P estimada, por lo que debemos utilizar la
formula (9) de la lectura:
Observe que el resultado en este caso es mayor que en el inciso anterior (1691
contra 1623), esto es debido a que el no tener una p estimada nos da un menor
nivel de exactitud.
Gráficamente podemos observar que ¼ corresponde al nivel máximo de la razón
formada por p(1-p) que se da cuando p=0.5 como lo muestra la gráfica:
Para el inciso anterior la razón p(1-p) equivale a 0.4 x 0.6 = 0.24 el cual es menor a
¼ (que viene de 0.5x0.5)
0
