CURSO: MECÁNICA DE SÓLIDOS II

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO:
MECÁNICA DE
SÓLIDOS II
PROFESOR:
ING. JORGE A. MONTAÑO PISFIL
CURSO DE MECÁNICA DE SÓLIDOS II
CAPÍTULO 4:
TORSIÓN
Rotura por TORSIÓN
de eje de hidrogrúa
CAPÍTULO 4:
TORSIÓN
4.1 DEFORMACIONES POR TORSIÓN DE UNA FLECHA
CIRCULAR.Cuando una flecha con sección transversal circular está
sometida a un par de torsión, la sección transversal
permanece plana mientras que las líneas radiales giran.
Esto ocasiona una deformación unitaria cortante dentro
del material que varía linealmente a lo largo de cualquier
línea radial, de cero en el eje de la flecha a un máximo en
su borde exterior.
* Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a
un miembro con respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de
interés primordial en el diseño de ejes o flechas de impulsión
usadas en vehículos y en maquinaria.
CAPÍTULO 4:
TORSIÓN
4.2 LA FÓRMULA DE LA TORSIÓN.Si una flecha está sometida a un par de torsión externo,
entonces , por equilibrio, debe desarrollarse un par de torsión
interno en la flecha.
Para un material homogéneo elástico lineal, debido a la ley de
Hooke (   G  ) , el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier
línea radial de la flecha también varía linealmente, de cero en
su eje a un máximo en su borde exterior. Este esfuerzo
cortante máximo no debe exceder el límite proporcional.
Se cumple que:

     max
c
Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortante
como una función de la posición radial ρ del elemento.
El esfuerzo cortante máximo se calcula mediante la
ecuación siguiente:
 max
Tc

J
(Fórmula de
la torsión)
Donde:
 máx = esfuerzo cortante máximo en la flecha, el cual ocurre en la
superficie exterior.
T = par de torsión interno resultante que actúa en la sección
transversal. Este valor se determina por el método de secciones y
la ecuación de equilibrio de momentos con respecto al eje
longitudinal de la flecha.
J = momento polar de inercia del área de la sección transversal
c = radio exterior de la flecha
Usando las dos ecuaciones dadas, el esfuerzo cortante en la
distancia intermedia ρ se puede determinar con la sgte ecuación:
T 

J
(Fórmula de
la torsión)
Nota.- Las fórmulas de la torsión se usan solamente cuando la
flecha es circular y el material es homogéneo y se comporta de
manera elástico-lineal.
FLECHA SÓLIDA
Si la flecha tiene una sección transversal circular sólida, el momento polar
de inercia J está dado por:
4
J

2
c
J es una propiedad geométrica del área circular y es siempre positiva.
FLECHA TUBULAR
Si una flecha tiene una sección transversal tubular, con un radio interior ci
c0, entonces, podremos determinar su momento polar
de inercia restando J para una flecha de radio ci del calculado para una
flecha de radio c0. El resultado es:
y un radio exterior
J

2
(c04  ci4 )
ESFUERZO TORSIONAL MÁXIMO ABSOLUTO
En cualquier sección transversal dada de la flecha, el esfuerzo
cortante máximo se presenta en la superficie exterior. Sin embargo,
si la flecha está sometida a una serie de pares externos o el radio
(momento polar de inercia) varía, el esfuerzo torsional máximo en
la flecha podría entonces ser diferente de una sección a la siguiente.
Si se va ha determinar el esfuerzo torsional máximo absoluto,
resulta importante encontrar la posición en que la razón T c/J es
máxima. Para esto puede ser de ayuda mostrar la variación del par
interno T en cada sección a lo largo del eje de la flecha por medio
de un diagrama de momento torsionante. Específicamente, este
diagrama es una gráfica del par interno T versus su posición x a lo
largo de la longitud de la flecha. De acuerdo con una convención de
signos T será positivo si de acuerdo con la regla de la mano
derecha, el pulgar está dirigido hacia afuera de la flecha cuando los
dedos se curvan en la dirección del giro causado por el par. Una vez
que se ha determinado el par interno en toda la flecha, puede
identificarse entonces la razón máxima T c/J .
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
La fórmula de la torsión puede aplicarse usando el siguiendo
procedimiento:
- Seccione la flecha perpendicularmente a su eje en el punto en que el
esfuerzo cortante debe determinarse y use el diagrama de cuerpo libre
necesario y las ecuaciones de equilibrio para obtener el par interno en la
sección (la carga interna).
- Calcule el momento polar de inercia de la sección transversal.
- Para calcular el esfuerzo cortante, especifique la distancia radial ρ
medida desde el centro de la sección transversal al punto en que se va a
calcular el esfuerzo cortante. Aplique luego la fórmula de la torsión
 = Т ρ/J, o si
 máx = T c/J.
el esfuerzo cortante máximo se va a determinar usando
El esfuerzo cortante actúa sobre la sección transversal siempre en forma
perpendicular a ρ. La fuerza que genera debe contribuir a formar el par de
torsión respecto al eje de la flecha que tiene el mismo sentido que el par
resultante interno T que actúa sobre la sección.
4.3 TRANSMISIÓN DE POTENCIA
Las flechas y los tubos que tienen secciones transversales circulares
se usan a menudo para transmitir la potencia desarrollada por una
máquina. Cuando se usan para este fin, quedan sometidos a pares
de torsión que dependen de la potencia generada por la máquina y
de la velocidad angular de la flecha. El trabajo transmitido por una
flecha en rotación es igual al par de torsión aplicado por el ángulo
de rotación. Por tanto, si durante un instante de tiempo dt un par
de torsión aplicado T ocasiona que la flecha gire un ángulo dӨ,
entonces la potencia instantánea es:
T d
P
dt
Dado que la velocidad angular es
expresar como:
ω = dӨ/dt,
P T 
la potencia se puede
Para la maquinaria, a menudo se reporta la frecuencia, f, de
rotación de la flecha. Ésta es una medida del número de
revoluciones o ciclos de la flecha por segundo y se expresa en hertz
(1 Hz = 1 ciclo/s). Puesto que 1 ciclo = 2 π rad, entonces ω = 2π f
y la ecuación anterior para la potencia resulta
P  2 f T
DISEÑO DE UNA FLECHA
Cuando la potencia transmitida por una flecha y su frecuencia se
conocen, el par de torsión desarrollado en la flecha puede determinarse
con la ecuación T = P/2πf. Conociendo T y el esfuerzo cortante
permisible para el material, perm , podemos determinar el tamaño de la
sección transversal de la flecha usando la fórmula de la torsión, siempre
que el comportamiento del material sea elástico-lineal. Específicamente,
el parámetro geométrico o de diseño J/c es:
J
T

c  perm
4.4 ÁNGULO DE TORSIÓN
El ángulo de torsión se determina relacionando el par aplicado al
esfuerzo cortante usando la fórmula de la torsión,  = Т ρ/J, y
relacionando la rotación relativa a la deformación unitaria cortante
usando d   dx /  . Finalmente estas ecuaciones se combinan
usando la ley de Hooke,   G  , lo que da la ecuación siguiente:

L
T( X ) dx
0
J ( x )G
Donde:
Ф = ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro (se
mide en rad).
T (x) = par de torsión interno en una posición arbitraria x, hallado a partir
del método de las secciones y de la ecuación del equilibrio de momentos
aplicada con respecto al eje de la flecha.
J (x) = momento polar de inercia de la flecha expresado en función de la
posición x.
G = módulo de rigidez del material.
PAR DE TORSIÓN Y ÁREA DE LA SECCIÓN
TRANSVERSAL CONSTANTES.
En la práctica de la ingeniería el material es homogéneo por lo
tanto G es constante. Además, el área transversal de la flecha y el
par de torsión aplicado son constantes a lo largo de la longitud de
la flecha ; luego, el par de torsión interno T(x) = T, el momento
polar de inercia J(x) = J, y al integrar la ecuación de Ф se obtiene:
TL

JG
Ф
T
T
Si la flecha está sometida a varios pares de torsión diferentes, o si
el área de la sección transversal o el módulo de rigidez cambian
abruptamente de una región de la flecha a la siguiente, la ecuación
anterior puede aplicarse a cada segmento de la flecha en que estas
cantidades sean todas constantes. El ángulo de torsión de un
extremo de la flecha con respecto al otro se halla entonces por la
suma vectorial de los ángulos de torsión de cada segmento. En este
caso,
TL
 
JG
CONVENCIÓN DE SIGNOS.
Utilizando la regla de la mano derecha, tenemos que el par y el ángulo de
torsión son positivos si el pulgar se aleja de la sección de la flecha
cuando los dedos restantes se curvan para indicar el sentido del par. El
par y el ángulo de torsión son negativos si el pulgar se acerca a la
sección de la flecha cuando los dedos restantes se curvan para indicar el
sentido del par.
4.5 MIEMBROS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS
CARGADOS CON PARES DE TORSIÓN
Una flecha sometida a torsión puede clasificarse como
estáticamente indeterminada si la ecuación de equilibrio por
momentos, aplicada con respecto al eje de la flecha, no es suficiente
para determinar los pares de torsión desconocidos que actúan sobre
la flecha. En la figura se muestra un ejemplo de esta situación
A
T
C
B
Al hacer el DCL de la flecha , los pares de torsión reactivos en los
soportes A y B son desconocidos. Si aplicamos sumatoria de
momentos, respecto al eje de la flecha, igual a cero, tenemos que:
T  TA  TB  0
TA
Puesto que aquí sólo se tiene una ecuación de equilibrio y existen
dos incógnitas, este problema es estáticamente indeterminado.
La condición necesaria de compatibilidad, o condición cinemática,
requiere que el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con
respecto al otro extremo sea igual a cero, ya que los soportes en
los extremos son fijos. Por tanto,
T
A/ B  0
TB
TA
TA
TB
TB
Para escribir la ecuación anterior en términos de los pares de
torsión desconocidos, supondremos que el material se comporta de
modo elástico-lineal, de modo que la relación cargadesplazamiento quede expresada por Ф = TL/JG. Considerando
que el par interno en el segmento AC es +TA y que en el segmento
CB el par interno es –TB (ver la fig. anterior), la ecuación de
compatibilidad anterior puede escribirse como:
TA LAC TB LBC

0
JG
JG
Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para las reacciones y
considerando que L = LAC + LBC, además que JG es constante, obtenemos
 LBC 
TA  T 

 L 
y
 LAC 
TB  T 

 L 
Observe que cada par reactivo crece o decrece linealmente con la
ubicación de LAC o LBC al par de torsión aplicado.