Este material muestra las reglas de conteo que son útiles para

Este material muestra las reglas de conteo que son útiles para identificar y contar
los resultados experimentales para posteriormente asignarles probabilidades.
La regla de conteo para experimentos de varias etapas permite determinar
el número de resultados experimentales sin listarlos.
Las reglas de conteo son: Experimento de varias etapas, Combinaciones y
Permutaciones.
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Si un experimento se puede describir como una sucesión de k etapas, en las
que hay n1 resultados posibles en la primera etapa, n2 en la segunda, etc., la
cantidad total de resultados experimentales es igual a (n1)(n2)…(nk).
Ejemplo 1
Considerar el experimento de lanzar dos monedas.
Los resultados experimentales se definen en términos de la sucesión de águilas o
soles que aparecen en las caras superiores de las dos monedas.
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Lanzar dos monedas se puede considerar como un experimento de dos pasos en
que el primero es el lanzamiento de la primera moneda
y el segundo es el lanzamiento de la segunda.
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El espacio muestral S para el lanzamiento de las dos monedas es:
águila, águila
águila, sol
sol, águila
sol, sol
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Se ve que son posibles cuatro resultados experimentales.
Si el experimento de lanzar dos monedas se considera como una sucesión de
primero lanzar una moneda (n1=2) y luego lanzar la otra (n2=2), podemos inferir de
la regla de conteo que hay (2)(2)=4 resultados experimentales distintos.
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Una representación gráfica que resulta útil para entender un experimento y
enumerar los resultados en un experimento de varias etapas es el diagrama de
árbol. Se muestra el diagrama de árbol para el experimento de lanzar dos monedas
La secuencia de pasos va de izquierda a derecha
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El paso 1corresponde a lanzar la primera moneda y tiene dos ramas que
corresponde a los dos resultados posibles.
El paso 2 corresponde a lanzar la segunda moneda y, para cada resultado posible en
el paso 1, tiene dos ramas que corresponden a los dos resultados posibles en el
paso 2.
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Por último, cada uno de los puntos en el extremo derecho del árbol corresponde a
un resultado experimental.
Cada trayectoria a través del árbol desde el primer nodo de la izquierda a uno de los
nodos en el lado derecho del árbol corresponde a una secuencia única de
resultados.
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Ejemplo 2. Un proyecto tiene por objeto aumentar la capacidad de
generación de una de las plantas de una empresa.
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El proyecto se divide en dos etapas sucesivas: la etapa 1 (diseño)
y la etapa 2 (construcción).
Si bien cada etapa se programará y controlará tan cuidadosamente como
sea posible, la dirección no puede predecir el tiempo exacto para terminarla.
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Un análisis de proyectos similares de construcción ha demostrado que los
tiempos de terminación de la etapa de diseño son 2, 3 o 4 meses
y los de terminación para etapa de construcción son 6, 7 u 8 meses.
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Como el proyecto tiene tres tiempos posibles de terminación para la etapa de
diseño (primera etapa) y tres tiempos de terminación posibles para la etapa de
construcción (etapa 2), se determina que hay un total de (3)(3) = 9 resultados
experimentales
Además, como la necesidad de energía eléctrica adicional es crítica, la
dirección ha establecido una meta de 10 meses para terminar todo el
proyecto.
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La siguiente tabla indica los nueve resultados (puntos muestrales) para el problema.
A continuación se muestra el diagrama de árbol para ayudar a identificar los
resultados experimentales y determinar los tiempos de terminación posibles del
proyecto.
La notación entre paréntesis indica por ejemplo (2,6) que la etapa de diseño se
termina en 2 meses y la de construcción en 6 meses.
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Se ve que el tiempo para terminarlo será de 8 a 12 meses
y que seis de los resultados cumplen con el tiempo deseado, que es de 10 meses o
menos.
Fue útil haber identificado los resultados experimentales, se necesitará considerar
cómo se les pueden asignar valores de probabilidad para poder hacer una
evaluación final de la probabilidad de terminar el proyecto dentro de los 10 meses
deseados.
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La regla de conteo para combinaciones permite contar la cantidad de resultados
experimentales cuando en un experimento se deben seleccionar n objetos entre un
conjunto de N objetos.
La cantidad de combinaciones de N objetos tomando n a la vez se obtiene
dividiendo el factorial del tamaño de la población
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entre el producto del factorial del tamaño de la muestra
por el factorial de la diferencia del tamaño de la población menos el tamaño de la
muestra.
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Al muestrear una población finita de tamaño N, se usa la regla de conteo para
combinaciones con el fin de determinar la cantidad de diferentes muestras de
tamaño n que se pueden seleccionar.
Ejemplo 1.
En un procedimiento de control de calidad en el que un inspector selecciona al azar
dos de cinco partes para examinarlas y ver si tienen defectos.
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La regla de conteo para combinaciones indica que para N (total de la población)= 5
y n (tamaño de la muestra)= 2 el resultado es 10
Hay 10 resultados en el experimento de seleccionar al azar dos partes de un grupo
de cinco. Si se identifica a las cinco partes como A, B, C, D y E
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Las 10 combinaciones o resultados experimentales se pueden identificar como AB,
AC, AD, AE, BC. BD, BE, CD, CE y DE.
Ejemplo 2. La lotería de Ohio emplea selección aleatoria de seis números de un
grupo de 47 para determinar al ganador semanal. Calcular la cantidad de maneras
en que se pueden seleccionar seis números distintos de entre un grupo de 47
números.
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La regla de conteo para combinaciones indica que hay más de 10 millones de
resultados experimentales para determinar al ganador de la lotería.
Una persona que compra un boleto de lotería tiene una posibilidad de ganar entre
10’737,573.
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La regla de conteo para permutaciones permite calcular el número de resultados
experimentales al seleccionar n objetos de un conjunto de N objetos, donde es
importante el orden de selección. Si los mismos n objetos se seleccionan en otro
orden se considera que se trata de un resultado experimental distinto.
El número de permutaciones de N objetos tomando n a la vez está dado por la
división del factorial del tamaño de la población
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Entre el factorial de la diferencia del tamaño de la población menos el tamaño de la
muestra.
La regla de conteo para permutaciones tiene estrecha relación con la de las
combinaciones. No obstante, un experimento tendrá más permutaciones que
combinaciones para el mismo número de objetos porque cada selección de n
objetos tiene n! formas distintas para ordenarlos.
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Considerar nuevamente el procedimiento de control de calidad en el que el
inspector selecciona dos de cinco piezas para hallar defectos.
La regla de conteo para permutaciones muestra que N (tamaño de la población) = 5
y n (tamaño de la muestra) = 2 se obtiene como resultado 20.
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Las 20 permutaciones son AB, BA, AC, CA, AD, DA, AE, EA, BC, CB, BD, DB, BE, EB,
CD, DC, CE, EC, DE Y ED.
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