pr´acticas de f´isica - Universidad de Granada

PRÁCTICAS
DE
FÍSICA
(Licenciado en Geologı́a)
Octubre 2008
Laboratorio 3
Departamento de Fı́sica Teórica y del Cosmos
Facultad de Ciencias
Universidad de Granada
Alumno/a: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Índice
Información general y normas
I.1 Información y normas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Normas especı́ficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorı́a de errores
T.3 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.4 Clasificación de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.5 Conceptos de exactitud, precisión y sensibilidad . . . . . . . . . . .
T.6 Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.7 Determinación de una magnitud y de su error por medida directa .
T.8 Determinación de una magnitud y de su error por medida indirecta
T.8.1 Ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.9 Expresión del valor de una magnitud y de su error . . . . . . . . . .
T.9.1 Ejemplos de cálculo de errores . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.10 Construcción de tablas y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.10.1 Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.10.2 Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.11 Ajuste de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.12 Interpolación en tablas de simple entrada . . . . . . . . . . . . . . .
1 Medidas de precisión
1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . .
1.2 Material . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Nonius . . . . . . . . .
1.2.2 Calibre . . . . . . . . .
1.2.3 Micrómetro o palmer .
1.3 Realización . . . . . . . . . .
1.3.1 Determinación del cero
1.3.2 Cálculo de volúmenes .
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2 Rotación: Momentos de Inercia y Teorema de Steiner
2.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Fundamento teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Parte experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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de calibre y micrómetro
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i
ii
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
3 Péndulo simple y medida de la aceleración de la
3.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Fundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Realización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Dependencia del periodo con la amplitud .
3.4.2 Determinación del valor de g . . . . . . . .
gravedad
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4 El principio de Arquı́medes
4.1 Objetivo . . . . . . . . . .
4.2 Material . . . . . . . . . .
4.3 Fundamento . . . . . . . .
4.4 Realización . . . . . . . .
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5 Dilatación térmica
5.1 Objetivo . . . . . .
5.2 Material . . . . . .
5.3 Fundamento teórico
5.4 Parte experimental
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6 Ley
6.1
6.2
6.3
6.4
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7 Fenómenos transitorios: carga y descarga de un condensador
7.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Fundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Realización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Medida del campo magnético terrestre
8.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Fundamento e introducción . . . . . .
8.3.1 Bobinas de Helmholtz . . . . .
8.3.2 Campo magnético terrestre . .
8.4 Realización . . . . . . . . . . . . . . .
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de Ohm
Objetivo . .
Material . .
Fundamento
Realización
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A Código de colores de una resistencia
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B El polı́metro
B.1 Medidas de tensión: polı́metro como voltı́metro . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Medidas de intensidad: polı́metro como amperı́metro . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Medidas de resistencias: polı́metro como óhmetro . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Información general
Fı́sica para Geólogos, Grupo B, Curso 2008-2009
I.1
Información y normas generales
Las prácticas de Fı́sica consisten en la preparación (previa a la visita al laboratorio), ejecución y
redacción de informes de una selección de experimentos de Fı́sica relacionados con los contenidos
teóricos de la asignatura de Fı́sica para Geólogos.
Los experimentos se realizarán en el laboratorio de Fı́sica General 3, durante diez sesiones de
2 horas. En ellas se realizarán ocho prácticas (siete experimentos y una exposición oral sobre
una de las prácticas realizadas). La primera sesión se dedicará a una clase de teorı́a de errores
y la útima se utilizará para recuperar prácticas (máximo una por alumno).
Todos los alumnos deben tener un cuadernillo de prácticas, el cual contiene notas sobre el
cálculo de errores o incertidumbres, sobre representaciones gráficas, ası́ como los guiones de las
prácticas que se realizarán en el laboratorio. Los guiones están disponibles en la fotocopiadora
de la Facultad de Ciencias o en la siguiente página web:
http://cafpe3.ugr.es/teaching/labo fisica general/Laboratorio.htm.
Las prácticas se realizarán por parejas, pero cada alumno debe entregar sus propios informes.
Las faltas deberán ser justificadas y no se podrán hacer cambios de grupo sin previo acuerdo
con los profesores correspondientes.
• Responsabilidades del alumno:
– Leer en detalle el guión de cada práctica antes de su realización en el laboratorio.
– Realizar las siete prácticas asignadas.
– Entregar informes de las siete prácticas realizadas (ver nota sobre informes abajo)
en el plazo indicado por el profesor.
– Cuidar el material de laboratorio y dejar éste en orden.
• Evaluación:
– Es imprescindible aprobar las prácticas para aprobar la asignatura de Fı́sica.
1
2
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
– La nota final del laboratorio se obtendrá del trabajo en el laboratorio, de la corrección
de los informes de las prácticas, de la exposición oral de la realización y resultados de
una de las prácticas, y de un examen de prácticas que se hará tras haber finalizado
todas las sesiones.
– La calificación obtenida en las prácticas (laboratorio + informes + exposición oral
+ examen) supondrá un máximo de 2 puntos sobre la nota final de la asignatura.
– Para aprobar las prácticas es necesario:
∗
∗
∗
∗
∗
realizar las siete prácticas
entregar los informes de todas las prácticas
realizar una exposición oral sobre una de las prácticas
aprobar el examen de prácticas
realizar los informes correctamente. Los informes no son correctos:
· si faltan resultados o gráficas, o si éstas no se realizan correctamente
· si los resultados se presentan sin unidades o con unidades incorrectas
· si las magnitudes no son correctamente redondeadas o si se muestran sin sus
correspondientes errores
· si no se interpretan y comentan los resultados obtenidos o si no se responden
las cuestiones del guión de cada práctica
• Material de laboratorio: Cada alumno deberá llevar al laboratorio el siguiente material:
– calculadora
– bolı́grafo o lápiz
– hojas donde se apuntarán las medidas realizadas, sus errores y toda aquella información relevante para la realización posterior del informe de la práctica
Los alumnos necesitarán también papel milimetrado y regla graduada para realizar las
representaciones gráficas de los informes.
I.2
Normas especı́ficas
• INFORMES DE PRÁCTICAS
Cada alumno deberá entregar un informe de cada práctica realizada en el laboratorio.
En éste deben quedar claros los objetivos del experimento y deben mostrarse las medidas
realizadas y sus errores con las unidades correspondientes. También deben presentarse, interpretar y discutir los resultados obtenidos. Un informe tı́pico, podrı́a constar
de los siguientes apartados:
Información general
3
– Objetivos, dos o tres frases donde se resuman los objetivos de la práctica. No se
trata de copiar el guión de prácticas.
– Descripción, una descripción breve (uno o dos párrafos) del dispositivo experimental, del material que se utiliza, de las magnitudes que se medirán en la práctica y de
los instrumentos de medida que se usarán en cada caso.
– Realización, presentación de las medidas realizadas, siguiendo las indicaciones del
guión de prácticas. Las medidas se presentarán con claridad, en forma de tabla,
siempre acompañadas de sus unidades y errores.
– Análisis y resultados, debe contener todos los resultados de los cálculos. Éstos
se presentarán en forma de tablas y/o gráficas siempre que el guión lo pida, y sin
olvidar las instrucciones de las secciones T.8.1 y T.8.2 del cuadernillo de prácticas.
Los resultados obtenidos y gráficas deben comentarse.
– Conclusiones, comentar los resultados obtenidos. Se deben tratar de contestar a
las siguientes preguntas: ¿Qué relaciones o tendencias entre magnitudes has encontrado?; ¿has obtenido los resultados esperados?; ¿están de acuerdo con la teorı́a?; si
no, ¿a qué pueden deberse las diferencias?; ¿cómo mejorarı́as el método experimental?
• TABLAS y GRÁFICAS
Las tablas y las gráficas son fundamentales en la presentación de resultados. Es
muy importante (imprescindible!) que los informes contengan todas las tablas y gráficas
que requiere cada práctica, y que éstas se realicen siguiendo las normas descritas en los
apartados T.8.1 y T.8.2 del cuadernillo de prácticas.
Teorı́a de errores
T.3
Introducción
Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisión debida a las
imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos, que
deben registrar la información. El principal objetivo de la teorı́a de errores consiste en acotar
el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales.
La medidas experimentales de las magnitudes fı́sicas pueden ser directas o indirectas.
Éstas últimas se obtienen a partir de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con
la magnitud problema mediante una fórmula fı́sica. Debe admitirse como postulado el que
resulte imposible llegar a conocer el valor exacto de una magnitud, ya que los procedimientos
experimentales de comparación con el patrón correspondiente para obtener las medidas directas
vienen siempre afectados de errores inevitables. Ası́, aunque es imposible encontrar en la
práctica el valor “cierto” o “exacto” de una magnitud determinada, aceptaremos que éste
existe. Nuestro problema es establecer los lı́mites dentro de los cuales se encuentra dicho valor.
T.4
Clasificación de los errores
El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente.
Los errores no siguen una ley determinada y su origen reside en múltiples causas.
Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos grandes
grupos: errores sistemáticos y errores accidentales.
Se denominan errores sistemáticos a aquéllos que son constantes a lo largo de todo el
proceso de medida y, por tanto, afectan a todas las mediciones de un modo definido, siendo los
mismos para todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado y se pueden clasificar a su
vez en:
• Errores instrumentales. Por ejemplo un error de calibrado.
• Errores personales. Éstos son, en general, difı́ciles de determinar y se deben a limitaciones de carácter personal. Por ejemplo, un problema visual del observador.
• Errores en la elección del método de medida de la magnitud.
4
5
Teorı́a de errores
Este tipo de errores se ponen de manifiesto cambiando el aparato de medida, el observador o
el método de medida.
Se denominan errores accidentales a aquéllos que se producen por variaciones fortuitas o
aleatorias que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo observador. Las
variaciones no son reproducibles de una medición a otra y no presentan, más que por azar, el
mismo valor en dos mediciones cualesquiera de una serie. Estos errores son incontrolables.
Para un gran número de medidas, los errores accidentales, debido a su carácter aleatorio,
presentan tantas desviaciones positivas como negativas. Aunque con los errores accidentales
no se pueden hacer correcciones para obtener valores más concordantes con el real, aplicando
métodos estadı́sticos al conjunto de medidas disponible, se puede llegar a algunas conclusiones
acerca del valor más probable.
T.5
Conceptos de exactitud, precisión y sensibilidad
En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamos a
definir: exactitud, precisión y sensibilidad.
La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental, de modo que un aparato es tanto más exacto cuanto más próximo esté el valor de la
medida realizada al valor verdadero de la magnitud medida.
La precisión hace referencia a la concordancia entre varias medidas de la misma magnitud,
realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Es por tanto un concepto relacionado con la
dispersión de las medidas, de modo que un aparato será tanto más preciso cuanto menor sea la
diferencia entre distintas medidas de una misma magnitud.
La exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que
pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a errores sistemáticos
tales como error del cero, etc. En general se puede decir que es más fácil conocer la precisión
de un aparato que su exactitud.
La sensibilidad de un aparato está relacionada con el valor mı́nimo de la magnitud que
es capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa
que para masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviación apreciable.
Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la
división más pequeña de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo erróneo, se
toman como idénticos los conceptos de precisión y sensibilidad, aunque ya hemos visto que se
trata de conceptos diferentes. Toda medida realizada con un aparato viene afectada, al menos,
de un error accidental de valor igual a la sensibilidad del aparato utilizado.
T.6
Error absoluto y error relativo
Si medimos una cierta magnitud fı́sica cuyo valor “verdadero” es x0 y obtenemos un valor de
la medida x, llamaremos error absoluto en dicha medida a la diferencia:
∆x = x − x0 .
(T.1)
6
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
Si la medida es aceptable, |∆x| |x0 |.
El error absoluto nos da una medida de la desviación, en términos absolutos, respecto al
valor verdadero y obviamente tiene idénticas dimensiones fı́sicas que la magnitud a la que afecta.
No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa desviación. Para
tal fin se usa el error relativo.
El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero:
=
∆x
.
x0
(T.2)
Se trata pues de una cantidad adimensional y usualmente se expresa en % (100 ). Cuanto
menor sea mejor será la medida.
T.7
Determinación de una magnitud y de su error por
medida directa
La medida de cualquier magnitud carece de sentido si no se indica una estimación del error
asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor verdadero de la magnitud que deseamos
medir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimación tanto del valor de la magnitud
como de una cota de error que nos indique la incertidumbre en la determinación realizada. El
resultado de una medida lo indicaremos en la forma:
x ± ∆x (unidades) .
(T.3)
El valor de la magnitud problema y su error se determinan estadı́sticamente, para lo cual
la medida se ha de repetir varias veces según se especifica a continuación.
1. Se toman siempre tres medidas de la magnitud, se calcula el valor medio de estas
P
tres medidas, x̄3 = xi /3 y se halla la dispersión total D de las mismas, es decir, la
diferencia entre los valores extremos de las medidas:
D = xmáx − xmı́n ,
(T.4)
(valor máximo de las medidas obtenidas menos el valor mı́nimo) y finalmente se obtiene
el tanto por ciento de dispersión T , que viene dado por:
T =
100 D
.
x̄3
(T.5)
(a) Si el valor de la dispersión total D no excede la sensibilidad S del aparato,
D≤S ,
(T.6)
se toma como valor verdadero de la magnitud el valor medio de las tres medidas x̄3
y como error absoluto la sensibilidad,
x̄3 ± ∆x ,
∆x = S .
(T.7)
7
Teorı́a de errores
(b) Si el valor de la dispersión total D es mayor que la sensibilidad del aparato,
D>S ,
(T.8)
procederemos a aumentar el número de medidas de la magnitud. El criterio a seguir
viene determinado por el valor del porcentaje de dispersión T de acuerdo con la
siguiente tabla:
T en las tres
primeras medidas
No total de medidas necesarias
T ≤2%
Bastan las tres medidas realizadas
2%<T ≤8%
Hay que hacer 3 medidas más, hasta un total de 6
8 % < T ≤ 15 %
Hay que hacer un total de 15 medidas
15 % < T
Hay que hacer un mı́nimo de 50 medidas
2. Una vez realizadas las medidas necesarias, se toma como valor de la magnitud el valor
medio de las mismas y el error se determina según los casos como sigue:
(a) Si se han realizado tres medidas, se toma como error absoluto el valor de la sensibilidad del aparato que, como hemos indicado anteriormente, es el error absoluto de
cada una de las medidas individuales,
∆x = S .
(T.9)
(b) Si se han realizado seis medidas, entonces se calcula el error de dispersión definido
como D6 /4 (cuarta parte de la dispersión total de las seis medidas, es decir, la
diferencia entre la mayor y menor de todas las medidas realizadas) y se asigna como
error absoluto de las medidas el máximo entre este valor y la sensibilidad del aparato:
∆x = máx (D6 /4, S) .
(T.10)
(c) Si se han realizado quince o más medidas, el error absoluto viene dado por el error
cuadrático medio o desviación estándar (σ) de las N medidas:1
∆x ≡ σ =
"P
(xi − x̄)2
N −1
#1/2
.
(T.11)
El significado de la desviación estándar es el siguiente: en el intervalo [x̄ −nσ, x̄ +nσ]
se encuentran un 68.3, 95.4, 99.7 % de las medidas para n = 1, 2, 3, respectivamente.
1
Una serie repetida de medidas de una misma magnitud posee alrededor de su valor medio una distribución
tı́pica llamada gaussiana o normal.
8
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
T.8
Determinación de una magnitud y de su error por
medida indirecta
Como ya hemos indicado, la medida indirecta de una magnitud se debe a la aplicación de una
fórmula a un conjunto de medidas directas (variables independientes o datos) que las relacionan
con la magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene también el error de la medida
según explicamos a continuación.
Si en la fórmula aparecen números irracionales tales como π, e, etc., debemos elegir el número
de cifras significativas con que se toman a la hora de realizar los cálculos correspondientes de
modo tal que los errores cometidos al truncar estos números irracionales no afecten al valor del
error absoluto de la magnitud que queremos determinar.
Supongamos que la magnitud F es función de otras magnitudes fı́sicas,
F = f (x, y, z, ...)
(T.12)
y que se han realizado medidas de las variables x, y, z... y se han determinado sus valores y
errores correspondientes (esto es, conocemos x ± ∆x, y ± ∆y, z ± ∆z...). Para realizar el cálculo
del error absoluto de F se procede como sigue.
Admitiendo que los errores se distribuyen de forma gaussiana, el error ∆F viene determinado
por las derivadas parciales de F con respecto a las variables medidas directamente y por sus
errores mediante la expresión:
2
(∆F ) =
T.8.1
∂F
∂x
!2
∂F
(∆x) +
∂y
2
!2
∂F
(∆y) +
∂z
2
!2
(∆z)2 + ...
(T.13)
Ejemplos sencillos
A continuación determinamos el error ∆F para algunas formas sencillas de la función F :
• F = x + ay , donde a es una constante. Aplicando la fórmula T.13 para esta función que
sólo depende de dos variables (x e y) :
2
(∆F ) =
Para esta función tenemos que
∂F
∂x
∂F
∂x
!2
=1y
∂F
(∆x) +
∂y
2
∂F
∂y
(∆y)2
(T.14)
= a. Por tanto:
(∆F )2 = (∆x)2 + a2 (∆y)2 ⇒ (∆F ) =
, donde b es una constante.
• F = x y b En este caso, ∂F
= yb y ∂F
= xb. Por tanto:
∂x
∂y
!2
q
(∆x)2 + a2 (∆y)2
(T.15)
9
Teorı́a de errores
q
(∆F )2 = (y b)2 (∆x)2 + (x b)2 (∆y)2 ⇒ (∆F ) = b (y ∆x)2 + (x ∆y)2
(T.16)
o equivalentemente,
∆F
F
2
∆x
=
x
2
∆y
+
y
!2
(T.17)
Esta última relación nos indica que para una función de este tipo (producto de potencias),
el error relativo al cuadrado de la magnitud F es igual a la suma de los errores relativos
de las magnitudes fı́sicas de las que depende F al cuadrado.
• F =
mx
ky
, donde m y k son constantes.
Tenemos que
∂F
∂x
=
a
by
y
∂F
∂y
=
−ax
.
by 2
2
(∆F ) =
Por tanto:
m
ky
!2
−m x
(∆x) +
k y2
2
!2
(∆y)2
(T.18)
operando en la expresión anterior, y teniendo en cuenta que F = mx
, podemos escribir
ky
∆F en función de el valor de la magnitud F y de los errores relativos de las magnitudes
x e y:
F
(∆F ) =
x
2
2
F
(∆x) +
y
2
!2

∆x
(∆y) = F 
x
2
2
2
∆y
+
y
!2 

(T.19)
Como vemos, en este caso se verifica también la ecuación T.17.
• F = k xa , donde k y a son constantes (positivas o negativas). Para esta función,
a−1
kax
y por tanto:
∆F =
k
ax
a−1
(∆x)
=
F
∆x a
x ∂F
∂x
=
(T.20)
Para un caso más genérico de función producto de varias potencias (que engloba los tres
ejemplos anteriores),
F = xa y b z c ...
con a, b, c... constantes positivas o negativas, repitiendo el procedimiento anterior se puede
demostrar que
!2
∆x 2
∆y
∆z 2
∆F 2
2
2
2
=a
+b
+ c
+ ...
(T.21)
F
x
y
z
10
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
T.9
Expresión del valor de una magnitud y de su error
De ordinario, dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error absoluto, éste debe
darse con una sóla cifra significativa, aumentándola en una unidad si la segunda fuera mayor o
igual que 5, por convenio.
El valor de la magnitud debe tener sólo las cifras necesarias para que su última cifra significativa (cifra de acotamiento) sea del mismo orden decimal que el error absoluto.2
Como ejemplo damos la siguiente tabla de valores de distintas magnitudes para aclarar lo
dicho anteriormente.
T.9.1
Valores incorrectos
Valores correctos
3.418 ± 0.123
3.4 ± 0.1
6.3 ± 0.09
6.30 ± 0.09
46288 ± 1551
46000 ± 2000 o bien (46 ± 2) · 103
428.351 ± 0.27
428.4 ± 0.3
0.01683 ± 0.0058
0.017 ± 0.006
Ejemplos de cálculo de errores
Vamos a calcular el error absoluto de ciertas magnitudes, conociendo su dependencia funcional
de otras magnitudes de las que poseemos medidas y cuyos errores absolutos son conocidos.
1. Consideremos la función V = V◦ + at. Supongamos que tenemos medidas de las variables de las que depende V (V◦ , a y t) y que se han determinado sus respectivos errores
absolutos:
V◦ = (20.2 ± 0.1) m/s
,
a = (4.1 ± 0.2) m/s2
,
t = (10.00 ± 0.01) s
Con estos datos podemos calcular el valor de V y el error de la misma:
• Para calcular la magnitud, sustituı́mos los valores de la variables de las que depende
V en la función V (V◦ , a, t):
V = V◦ + at = 20.2 + 4.1 · 10 = 61.2 m/s
Acotaremos esta cifra como corresponda una vez que hayamos calculado el error
absoluto de V .
2
Si un valor se extrae de una tabla u otro lugar, sin indicación de su error, se tomará como error una unidad
del orden de la última cifra con que se expresa.
11
Teorı́a de errores
• Para calcular el error, aplicamos lo aprendido en la sección T.6 : dado que V depende
de tres variables (V◦ , a, t), ∆V viene determinado por las derivadas parciales de V
con respecto a dichas variables:
2
(∆V ) =
∂V
∂V◦
!2
∂V
(∆V◦ ) +
∂a
2
!2
∂V
(∆a) +
∂t
2
!2
(∆t)2
Calculamos las derivadas parciales
∂V
∂V
∂V
=1 ,
=t ,
=a
∂V◦
∂a
∂t
y sustituimos los resultados en la expresión anterior:
(∆V )2 = (∆V◦ )2 + (t∆a)2 + (a∆t)2
Sustituyendo los valores de magnitudes y errores en esta fórmula y realizando los
cálculos numéricos correspondientes, obtenemos:
∆V =
q
(0.1)2 + (10.00 · 0.2)2 + (4.1 · 0.01)2 ) = 2.00291... m/s
Teniendo en cuenta que el error se expresa con una única cifra significativa, ∆V = 2
m/s y por tanto, la última cifra significativa de V debe ser la de las unidades (para
que tenga el mismo orden decimal que el error absoluto, ver sección T.7):
V = (61 ± 2) m/s
2. Sea la función Ep = m g h. Los valores de las magnitudes de las que depende Ep han
sido medidos y sus errores absolutos calculados:
m = (170.2 ± 0.5) g ,
h = (50.15 ± 0.02) cm
,
g = (9.81 ± 0.01) m/s2
• Calculamos el valor de la magnitud:
Ep = m g h = 0.1702 · 9.81 · 0.5015 = 0.8373354...J
• Calculamos el error de forma idéntica al ejemplo anterior:
2
(∆Ep ) =
∂Ep
∂m
!2
∂Ep
(∆m) +
∂g
2
!2
∂Ep
(∆g) +
∂h
2
!2
Las derivadas parciales son
∂Ep
∂Ep
∂Ep
=gh ,
=mh ,
=mg
∂m◦
∂g
∂h
Por tanto,
(∆h)2
12
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
(∆Ep )2 = (g h ∆m)2 + (m h ∆g)2 + (m g ∆h)2 ,
Sustituimos ahora los valores de magnitudes y errores, con especial cuidado a las
unidades, y realizamos los cálculos numéricos:
∆Ep =
q
(9.81 · 0.5015 · 5 · 10−4 )2 + (0.1702 · 0.5015 · 0.01)2 + (0.1702 · 9.81 · 2 · 10−4 )2
∆Ep = 2.625064283... · 10−3 J
Ahora ya podemos expresar el error de Ep correctamente (con una única cifra significativa) y acotar de el valor de Ep :
Ep = (837 ± 3) · 10−3 J
3. Por último, vamos a calcular el error de una magnitud genérica F que depende de otras
a través de una expresión algo más compleja que las anteriores, del tipo
F =
(x + y) z
.
(u − v) w
Supongamos que se han medido las magnitudes correspondientes a cada variable y se han
determinado sus errores absolutos con valores
x = 27.3 ± 0.1
, u = 50.2 ± 0.1
, z = 10.0 ± 0.1 ,
y = 2.45 ± 0.05 , v = 1.03 ± 0.01 , w = 3.26 ± 0.02 .
Vamos a calcular el valor de la magnitud F y el error correspondiente a la misma:
F = 1.85596...
!2
!2
!2
∂F
∂F
∂F
(∆x)2 +
(∆y)2 +
(∆z)2
(∆F )2 =
∂x
∂y
∂z
∂F
+
∂u
!2
∂F
(∆u) +
∂v
2
!2
∂F
(∆v) +
∂w
2
!2
(∆w)2
z
∂F
(x + y) z
∂F
(x + y)
∂F
=
,
= −
,
=
,
2
∂x
(u − v) w
∂u
(u − v) w
∂z
(u − v) w
∂F
z
∂F
(x + y) z
∂F
(x + y) z
=
,
=
,
= −
.
2
∂y
(u − v) w
∂v
(u − v) w
∂w
(u − v) w 2
Tras realizar los cálculos numéricos obtenemos ∆F = 0.023176... Al igual que en los casos
anteriores, teniendo en cuenta que el error absoluto se expresa correctamente con una sóla
cifra significativa: ∆F = 0.02 y por tanto,
F = 1.86 ± 0.02 .
13
Teorı́a de errores
T.10
Construcción de tablas y gráficas
Las tablas y las gráficas son fundamentales en la presentación de los resultados cientı́ficos.
Es imprescindible que se presenten con claridad, pues con ellas se pretende mostrar al lector
las relaciones existentes entre magnitudes de interés que han sido medidas o calculadas en un
experimento dado.
T.10.1
Tablas
En las tablas debe ser evidente para el lector la magnitud representada en cada entrada de
la gráfica (poniendo su nombre en la cabecera o el sı́mbolo con el que se representa en las
fórmulas) y su correspondiente unidad de medida (que podemos poner entre paréntesis). Las
magnitudes presentadas deben ir siempre acompañadas de su error. Se presenta un ejemplo de
tabla a continuación:
Tiempo (s) Velocidad (m/s)
0.0 ± 0.2
0±2
2.0 ± 0.2
7±2
4.0 ± 0.2
17 ± 2
6.0 ± 0.2
25 ± 2
8.0 ± 0.2
31 ± 2
10.0 ± 0.2
39 ± 2
12.0 ± 0.2
51± 2
Tabla T.1. Ejemplo de tabla
T.10.2
Gráficas
La representación gráfica de los fenómenos fı́sicos que estudiemos debe ajustarse a las siguientes
normas:
1. Gráficas en papel milimetrado con los ejes bien trazados en cuyos extremos indicaremos
la magnitud representada en ellos y la unidad en que ha sido medida. El tı́tulo de la
gráfica será claro y vendrá indicado en la parte superior.
2. La variable independiente del fenómeno debe ir representada en abscisas (eje horizontal)
y la dependiente en ordenadas (eje vertical).
3. Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla. Para ello se
elegirán las escalas con intervalos equiespaciados.
14
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
Figura T.1 Ejemplo de representación gráfica de los datos experimentales presentados en la tabla T.1.
Corresponden a un experimento en que se ha medido la velocidad de un móvil (representada en el eje
de ordenadas) en función del tiempo (representado en eje de abscisas). La lı́nea recta representa el
mejor ajuste lineal de los datos experimentales. Los datos se han representado con sus correspondientes
barras de error. Nótese que no se han unido mediante lı́neas los datos experimentales entre sı́.
4. Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas, sin excederlo demasiado. De este modo los datos ocuparán toda la gráfica y permitirán una mejor lectura
de los datos experimentales.
5. Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la
escala (que han de quedar ası́ uniformemente espaciadas). Nunca se señalan en los ejes
de la gráfica los valores correspondientes a las medidas realizadas.
6. Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspondiente a sus dos coordenadas (punto experimental) rodeado por el denominado rectángulo
de error o barras de error. Dado un dato experimental para el que la magnitud representada en abscisas vale x◦ ± ∆x◦ , y la representada en ordenadas y◦ ± ∆y◦ , la base del
rectángulo de error abarca desde x◦ − ∆x◦ hasta x◦ + ∆x◦ y su altura se extiende desde
y◦ − ∆y◦ hasta y◦ + ∆y◦ .En el caso de que ∆x◦ o ∆y◦ sean despreciables en comparación
con la escala utilizada, el rectángulo de error queda reducido a un simple segmento vertical
u horizontal, según el caso.
En el caso de las barras de error, éstas se extienden desde x◦ − ∆x◦ hasta x◦ + ∆x◦ para
la variable representada en el eje de abscisas, y desde y◦ − ∆y◦ para la representada en
odenadas. En el caso de que ∆x◦ o ∆y◦ sean despreciables en comparación con la escala
utilizada, no se representa la(s) barra(s) de error correspondiente(s). Un rectángulo o
barra de error de un dato experimental nos indica gráficamente la incertidumbre de dicho
dato, o equivalentemente, el área de la gráfica en la que se encuentra el valor verdadero
15
Teorı́a de errores
de la magnitud.
7. Las curvas de ajuste han de construirse con lı́neas finas y nunca quebradas, que deberı́an
pasar por el área definida por los rectángulos o barras de error (ver figura T.1), aunque
para ello dejen de pasar por los puntos experimentales (que pueden quedar a derecha o
izquierda de la curva). Si al hacer esta operación alguno de puntos queda excesivamente
alejado de la curva (teniendo en cuenta sus barras de error), esa medida es falsa por
alguna causa accidental y debe repetirse.
T.11
Ajuste de la recta
Con frecuencia se plantea el problema de encontrar una expresión matemática y = f (x) de la
ley fı́sica que rige el comportamiento de un determinado fenómeno, a partir de una serie de N
medidas (xi , yi ) de las magnitudes x e y que lo caracterizan.
Cuando la representación gráfica del fenómeno estudiado proporciona una distribución de los
puntos experimentales en forma prácticamente lineal, nos interesa determinar cuál es la ecuación
de la recta que mejor ajusta dichos puntos experimentales, pues dicha ecuación expresará la
ley fı́sica que rige el fenómeno estudiado.
La ecuación de una recta se puede expresar de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente
de la recta, b la ordenada en el origen y x e y las variables independendiente y dependiente
respectivamente. La ecuación de la recta queda determinada conocidas m y b.
• Método gráfico.
Este es un método aproximado, pero didáctico, de obtener la ecuación de la recta. Para
obtener m y b y sus errores mediante el método gráfico a partir de un conjunto de datos
experimentales (xi , yi ) previamente representados según las normas de la sección T.8.2,
debemos seguir los siguientes pasos:
1. Con ayuda de una regla pintamos la recta que mejor ajusta los datos experimentales.
Esto es, la recta que hace que los puntos estén lo más cerca posible de ésta, y de
modo que queden simétricamente distribuı́dos a ambos lados de ella. Esta lı́nea
no tiene necesariamente que pasar por todos los puntos experimentales, aunque sı́
deberá pasar por el área definida por los rectángulos o barras de error de los puntos
experimentales. Si algún punto queda excesivamente alejado de la lı́nea de ajuste
(teniendo en cuenta sus barras de error), desestimaremos ese dato, pues posiblemente
es una medida falsa por alguna causa accidental.
2. Calculamos la pendiente de la recta. Marcamos dos puntos cualesquiera (P1 y P2 )
sobre la recta (ver figura T.3) y determinanos sus coordenadas (x1 , y1 ), (x2 , y2 ).
Dado que ambos puntos pertenecen a la recta, cumplen que:
y1 = mx1 + b
y2 = mx2 + b
(T.22)
16
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
Figura T.3
y por tanto,
y2 − y1 = m(x2 − x1 )
o equivalentemente,
m=
y2 − y 1
x2 − x 1
(T.23)
lo cual nos permite calcular el valor de la pendiente m conocidas las coordenadas de
dos puntos situados en la recta.
3. Calculamos la ordenada en el origen sustituyendo en las equaciones T.22 las coordenadas de los puntos P1 o P2 y el valor calculado de la pendiente.
4. Cálculo del error de la pendiente y de la ordenada en el origen. Podemos obtener
una estimación del error cometido en la determinación de m y b de la recta que
mejor ajusta nuestros datos, comparando estos parámetros con los de las rectas de
mayor y menor pendiente que (aún no siendo las que mejor ajustan todos los datos)
pasan por los puntos experimentales (teniendo en cuenta sus rectángulos o barras
de error).
La figura T.4 muestra con lı́nea continua el mejor ajuste a los datos experimentales.
Con lı́nea discontinua se representa la recta de mayor pendiente posible (mmax ) que,
aún siendo claramente no óptima para ajustar nuestros datos, pasa por las áreas
definidas por las barras de error. Esta recta nos acota superiormente el valor de la
pendiente de la ecuación que describe el fenómeno fı́sico que estamos estudiando.
Del mismo modo, se ha representado (con lı́nea punteada) la recta que acota inferiormente el valor de la pendiente. Si mmax y mmin son respectivamente las pendientes
de las rectas que acotan superior e inferiormente la pendiente de la recta que mejor
ajusta nuestros datos, podemos considerar como error de m, a la mayor diferencia
de pendiente entre la recta del mejor ajuste y las de las rectas de mayor y menos
pendiente compatible con los datos experimentales, esto es:
17
Teorı́a de errores
m max
m min
Figura T.4
∆m = máx (|m − mmax |, |m − mmin |)
(T.24)
Por tanto, basta calcular mmax y mmin (con el método descrito en el apartado 2.)
para obtener ∆m con la ecuación anterior.
De modo similar, consideramos como error en la determinación de la ordenada en el
origen,
∆b = máx (|b − bmax |, |b − bmin |)
(T.25)
donde bmax y bmin son respectivamente las ordenadas en el origen de las rectas cuyas
pendientes son mmax y mmin , y que calculamos de igual modo que para la recta que
mejor ajusta nuestros datos.
• Método de los mı́nimos cuadrados.
Este es uno de los método más utilizados para calcular la ecuación de la recta que mejor
ajusta un conjunto de datos experimentales (xi , yi ). Dicha recta debe cumplir la condición
de que los puntos experimentales queden distribuidos simétricamente a ambas partes de
la misma y además lo más próximos a ella que sea posible. Matemáticamente, ello implica
que la recta de ecuación y = mx + b, debe cumplir que la expresión
c=
N
X
(yi − mxi − b)2
(T.26)
i=1
tenga un valor mı́nimo. Es decir, la suma de las diferencias entre los puntos exprimentales
y la recta debe ser mı́nima.
18
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
Derivando c respecto a a y a b y anulando ambas derivadas se obtiene:
P
P P
P
N xi y i − xi y i
yi − N b
m =
=
P
P 2
P
2
xi
N xi − ( xi )
P
P
P 2P
P P
y i − m xi
xi y i − xi xi y i
=
.
b =
P
P
N x2i − ( xi )2
N
(T.27)
(T.28)
Si se ajusta una recta que pase por el origen de coordenadas el problema se simplifica
puesto que al ser b = 0 se tiene:
P
yi
m= P ,
(T.29)
xi
que proporciona directamente el valor de la pendiente de la recta.
Además de los valores de pendiente y ordenada en el origen, es interesante obtener el
denominado coeficiente de correlación lineal r, que nos da una medida del grado de
correlación entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta qué punto x e y están
relacionadas mediante una función lineal. La expresión de r es:
P
P P
N xi y i − xi y i
r=q P
,
(T.30)
P
P
P
[N x2i − ( xi )2 ] [N yi2 − ( yi )2 ]
que varı́a entre 0 (no existe correlación) y ± 1 (hay correlación completa).
Las expresiones correspondientes al cálculo del error de la pendiente y la ordenada en el
origen son:
∆m =
∆b =
T.12
(yi − mxi − b)2
P
(N − 2) (xi − x̄)2
" P
"
x̄2
1
+P
N
(xi − x̄)2
#1/2
!
(T.31)
(yi − mxi − b)2
(N − 2)
P
!#1/2
.
(T.32)
Interpolación en tablas de simple entrada
Las tablas de simple entrada nos proporcionan el valor de una variable en función de otra.
Cuando se quiere determinar el valor z que corresponde a uno dado x, no tabulado, se toman
dos valores tabulados de x y z entre los que se encuentran nuestros valores problema. Sean:
x1
z1
x2
z2
La relación que liga x con z puede hallarse aproximadamente mediante interpolación lineal:
z2 − z 1
z = z1 +
(x − x1 ) .
(T.33)
x2 − x 1
que permite determinar z en función de x. El error de z es:
z2 − z 1 ∆x .
(T.34)
∆z = x2 − x 1 Práctica 1
Medidas de precisión
1.1
Objetivo
El objetivo de esta práctica es realizar varias medidas de precisión usando algunos de los instrumentos más habituales: el calibre y el micrómetro. Antes de empezar las medidas describiremos
el manejo del nonius cuyo conocimiento es imprescindible para el correcto manejo del calibre.
1.2
1.2.1
Material
Nonius
El modelo de nonius de la práctica consta de una tablilla de madera de 1 m de longitud
con divisiones cada 5 cm (escala principal) y una tablilla corredera con 10 divisiones (escala
auxiliar).
La tablilla corredera está diseñada de forma tal que 10 rayas de la escala auxiliar tienen
la misma longitud que 9 rayas de la escala principal. De esta forma, la longitud entre dos
divisiones de la escala auxiliar es 1/10 más pequeña que la longitud entre dos divisiones de la
escala principal.
Una medida de longitud con el nonius se hace de la siguiente forma. Supongamos, por
ejemplo (ver Figura 1.1), que la primera raya de la escala auxiliar (marcada con un “0”) ha
quedado situada entre el “6” y el “7” de la escala principal. Se busca entonces cual es la
primera raya de la escala auxiliar que coincida con una de las rayas de la escala principal. Si,
por ejemplo, es la octava raya entonces el resultado de la medida será
8
6+
= 6.8
(1.1)
10
1.2.2
Calibre
Este instrumento, cuyo esquema se presenta en la Figura 1.2, sirve para medir longitudes (o
espesores), interiores y profundidades. Posee una regla dividida en milı́metros y otra dividida
19
20
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
0
0
5
5
10
10
15
20
25
Figura 1.1
en pulgadas y un nonius, siendo la longitud máxima que se puede medir de 135 mm. Para medir
longitudes se utilizan los topes A; para medir interiores los topes B; y para medir profundidades
la varilla C que se desplaza por la parte posterior de la regla.
B
C
A
Figura 1.2
1.2.3
Micrómetro o palmer
El micrómetro (Figura 1.3) sirve para medir espesores de hasta 25 mm. El paso de rosca del
tornillo es de 0.5 mm y el tambor esta dividido en 50 divisiones. Es decir, se puede alcanzar una
precisión en la medida de 0.5 mm/50 = 0.01 mm. El tambor siempre se debe mover mediante
el tornillo sensible situado en el extremo del mismo.
21
Práctica 1. Medidas de precisión
Figura 1.3
1.3
1.3.1
Realización
Determinación del cero de calibre y micrómetro
Teóricamente una medida de longitud nula deberı́a marcar cero en la escalar del calibre y del
micómetro. Sin embargo, debido al manejo incorrecto del aparato o al envejecimiento del mismo
puede ocurrir que se obtenga un resultado diferente de cero. Esto se conoce como error del cero,
O. Todas las medidas que se realicen con ese aparato vendrán afectadas por el error del cero.
Al ser un error sistemático (el error afecta de la misma forma a todas las medidas realizadas
con el mismo aparato) se puede corregir.
Una vez determinado el error del cero, se deberán corregir todas las medidas que se realicen
con ese aparato de la forma siguiente. Si se obtiene como resultado de la medida el valor
L0 ± ∆L0 , el verdadero resultado de la misma será
L = (L0 − O) ± ∆L0
1.3.2
(1.2)
Cálculo de volúmenes
Tras hallar el error del cero de los dos aparatos, calcularemos el volumen, V , de la placa metálica
rectangular y el volumen interior del cilindro de la práctica.
Volumen de una placa
Para hallar el volumen de la placa metálica, determinaremos el grosor, a, de la misma
usando el micrómetro. Seguidamente hallaremos los otros dos lados de la placa, b y c, usando
el calibre. ∆a, ∆b y ∆c son los errores de estas medidas. Además hay que:
– Especificar la sensibilidad (error instrumental) del calibre y del micrómetro.
– Justificar el número de medidas que has realizado de cada dimensión.
22
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
– Expresar correctamente cada dato con su error correspondiente.
– Calcular el volumen y el error del volumen, indicando correctamente el valor final:
a=
∆a =
b=
∆b =
c=
∆c =
V =
∆V =
Volumen interior de un cilindro
Para hallar el volumen interior del cilindro, se medirán la longitud total, l, y el diámetro
interior, d, del mismo usando el calibre, con lo que se puede calcular el volumen deseado.
Sigue los pasos indicados en el caso anterior:
l=
∆l =
d=
∆d =
V =
∆V =
Volumen del metal que forma el cilindro
Para hallar el volumen de la envoltura metálica del cilindro, se medirán la longitud total,
l, y el diámetro interior, d, y exterior, D, usando el calibre, con lo que se puede calcular el
volumen deseado.
Sigue los pasos indicados en el caso anterior:
l=
∆l =
d=
∆d =
D=
∆D =
V =
∆V =
Práctica 2
Rotación: Momentos de Inercia y
Teorema de Steiner
2.1
Objetivos
Determinaremos el momento de inercia de diversos cuerpos midiendo sus periodos de vibración
y comprobaremos el teorema de Steiner. La vibración consiste en un movimiento armónico
simple de pequeña amplitud alrededor de un eje determinado.
2.2
Material
• Diversos cuerpos rı́gidos: esfera, disco, barra, masas puntuales y disco con agujeros.
• Regla graduada.
• Barrera fotoeléctrica.
• Soporte con un eje acoplado a una espiral elástica.
IMPORTANTE: nunca girar el eje más de 2 vueltas
2.3
Fundamento teórico
Para determinar el momento de inercia de los cuerpos considerados, estudiaremos su movimiento
de vibración respecto de un eje que pasa por su centro de masas. Obtendremos que el periodo
de vibración depende del momento de inercia del cuerpo, I, y de la constante recuperadora,
D, de la espiral elástica acoplada al eje de giro. Vamos a plantear la ecuación de la dinámica
de rotación y a partir de ella deduciremos que el movimiento es un movimiento oscilatorio
armónico simple.
23
24
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
~ de un sólido rı́gido es igual al momento resultante de
La variación del momento angular, L,
~:
las fuerzas externas, M
~
~ = dL ,
M
(2.1)
dt
~ = Iˆw
donde L
~ es el momento angular del sólido rı́gido, siendo ω
~ su velocidad angular e Iˆ el
tensor de inercia. Si el cuerpo gira alrededor de un eje principal de inercia entonces Iˆ es un
~ yw
escalar y L
~ son paralelos:
~ = I w.
L
~
(2.2)
Sustituyendo (2.2) en (2.1):
M =I
d2 Φ
,
dt2
(2.3)
donde Φ es el ángulo de giro y M es el momento de fuerzas resultante en la dirección del eje
de giro.
Para ángulos pequeños, en el rango de validez de la Ley de Hooke, la espiral tiende a
recuperar su posición de equilibrio mediante un momento de fuerza directamente proporcional
al ángulo girado, Φ. Dicho momento es igual y de sentido contrario al momento ejercido sobre
la espiral:
M = −DΦ.
(2.4)
D es la constante recuperadora de la espiral. Por tanto, la ecuación de la dinámica, que se
obtiene de (2.3) y (2.4) es
d2 Φ D
(2.5)
+ Φ = 0.
dt2
I
t
La solución general de esta ecuación es Φ = A sen 2π
. En efecto, sustituyendo esta solución
T
en (2.5) se encuentra que para
T = 2π
s
I
D
(2.6)
se verifica la ecuación (compruébalo). A partir de esta ecuación, podemos obtener I si conocemos la constante recuperadora, D, y medimos el periodo, T .
Teorema de Steiner
Según el teorema de Steiner el momento de inercia, Ir , de un cuerpo respecto a un eje situado
a una distancia r del centro de masas y paralelo al eje que pasa por dicho centro viene dado
por:
Ir = I + Mr 2
(2.7)
donde I es el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas, M es la masa
total del cuerpo y r la distancia entre ambos ejes.
Práctica 2. Rotación: Momentos de Inercia y Teorema de Steiner
2.4
25
Parte experimental
El dispositivo experimental consiste en una barrera fotoeléctrica y un eje acoplado a una espiral
elástica. Los diversos cuerpos se van montando sobre dicho eje.
Para medir los periodos de oscilación de cada uno de los cuerpos, se seguirá el siguiente procedimiento: Estando el cuerpo en reposo, colocar la barrera fotoeléctrica de forma que
intercepte la marca, que debe estar situada en el borde del objeto. De esta forma, en cada
oscilación la marca corta el rayo de luz de la barrera dos veces (una en cada sentido). De los
tres modos posibles del contador de la barrera, elegimos T/s, que es el que mide directamente
el periodo, promediando el giro en sentidos horario y antihorario. El periodo es dos veces
la cantidad que aparece indicada, en segundos.
Determinación de los momentos de inercia
La constante recuperadora del muelle es D=0.02483
Nm
.
rad
Conocida la constante recuperadora de la espiral, D, podemos hallar los momentos de inercia
de las figuras que se encuentren disponibles entre: esfera, disco (sin agujeros), barra y masas
puntuales. Para ello:
1. Medir los periodos de vibración de cada figura. Se recomienda que los ángulos girados
sean pequeños, Φ ≤ π/2.
2. Construir una tabla indicando para cada figura su momento de inercia calculado experimentalmente (a partir de la ecuación 2.6).
3. En el caso de las masas puntuales:
(a) Situarlas en tres posiciones distintas de la varilla respecto al eje de giro.
(b) Anotar en la tabla tanto la distancia al eje de giro como el momento de inercia
experimental calculado para las 3 posiciones, y la fórmula que nos darı́a el momento
de inercia teórico.
4. Utilizando el disco con agujeros, que permite variar el eje de giro, hallaremos los momentos
de inercia midiendo los periodos cuando el eje de giro pasa por diferentes agujeros.
(a) Representar gráficamente T 2 frente a r 2 , para diferentes distancias r.
(b) Hallar la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos.
(c) Calcular I a partir de la ecuación de la recta y compararlo con el valor hallado
directamente a partir de la ecuación que nos da el periodo. Recuerda que, a partir
de (2.6) y (2.7), se tiene
4π 2
(I + Mr 2 )
(2.8)
T2 =
D
(d) ¿Se verifica el teorema de Steiner?
26
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
(e) ¿Cuál es el momento de inercia del disco?
(f) ¿Cuál es la masa del disco?
Expresar cada dato obtenido experimentalmente con su error correspondiente.
Práctica 3
Péndulo simple y medida de la
aceleración de la gravedad
3.1
Objetivo
En esta experiencia se mide la aceleración de la gravedad utilizando únicamente un péndulo y
un cronómetro.
3.2
Material
El dispositivo experimental consiste en una masa m (pesa) suspendida de un hilo fino de acero
de masa despreciable frente a m. La longitud efectiva del hilo puede medirse sobre una escala
graduada y se puede variar cambiando la posición de un pasador que impide su movimiento.
Los tiempos de oscilación se tomarán con un cronómetro.
3.3
Fundamento
El péndulo simple o matemático es un dispositivo ideal que consta de una masa puntual m
suspendida de un punto fijo mediante un hilo de longitud l inextensible y sin peso.
En su posición de equilibrio el hilo está vertical. Si se desplaza de esta posición un ángulo
inicial Φ0 y se suelta, podemos descomponer las fuerzas que actúan sobre la masa (su peso y la
tensión del hilo) en sus componentes radial y tangencial en función del ángulo Φ con la vertical.
En la dirección tangencial, que es en la que está permitido el movimiento, la única componente
que existe se debe al peso y vale mg sin Φ. La ecuación es
mg sin Φ = −ml
d2 Φ
.
dt2
(3.1)
Esta es una ecuación diferencial no lineal, cuya solución exacta es un desarrollo en serie de
infinitos términos. Sin embargo, si la oscilación Φ es pequeña, puede hacerse la aproximación
27
28
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
sin Φ ≈ Φ que conduce a la ecuación lineal:
mgΦ = −ml
d2 Φ
.
dt2
(3.2)
q
Una solución de esta ecuación es Φ = Φ0 sin(ωt + ϕ) con ω = g/l. Para comprobarlo, basta
con sustituirla en (3.2). Esta solución representa un movimiento armónico simple de periodo
s
l
2π
= 2π
.
T =
ω
g
(3.3)
Si no se hace la aproximación de oscilaciones pequeñas, la solución es también un movimiento
armónico, de periodo aproximado por la siguiente expresión:
s
"
2
1
l
T = 2π
1+
g
2
1·3
Φ0
+
sin2
2
2·4
2
Φ0
+ ...
sin4
2
#
,
(3.4)
que coincide con (3.3) en el lı́mite Φ0 → 0.
3.4
3.4.1
Realización
Dependencia del periodo con la amplitud
Se trata de medir los periodos del péndulo para diversas amplitudes y una longitud fija y
representar en una gráfica la relación entre ambos. Para ello:
1. Tomar una longitud fija del hilo, por ejemplo l = 50 cm.
2. Desviar el péndulo 5◦ de la vertical y dejarlo oscilar libremente. Cuando lo haya hecho
varias veces, poner en marcha el cronómetro para medir el tiempo t transcurrido en
n = 10 oscilaciones. Proceder del mismo modo tomando amplitudes de 10◦ , 15◦ , 20◦ ,
25◦ y 30◦ . Anotar las medidas, amplitudes y periodos (T = t/n) en una tabla, con
su correspondiente error. Nótese que el error en la medida del periodo es inversamente
proporcional al número de oscilaciones que tienen lugar durante el tiempo de medición,
lo que justifica tomar un n relativamente grande.
Amplitud A [◦ ]
Periodo T [s]
Práctica 3. Péndulo simple y medida de la aceleración de la gravedad
29
3. Con estos datos dibujar una gráfica representando en abscisas la amplitud y en ordenadas
el periodo. Sobre esta misma gráfica, representar (con otro color u otro sı́mbolo) los valores
teóricos del periodo calculados con la fórmula (3.4) para esas mismas amplitudes.
4. Discutir los resultados.
3.4.2
Determinación del valor de g
Lo más inmediato serı́a aplicar la fórmula (3.3) del periodo del péndulo en función de su
longitud l para hallar g = 4π 2 l/T 2 . Sin embargo, aunque el periodo puede medirse con bastante
precisión, su longitud (distancia desde el punto de suspensión al centro de masas de la pesa)
no está bien determinada. Nótese que el error relativo de g es proporcional al error en la
determinación de la longitud del péndulo, ∆g/g = ∆l/l + 2∆T /T .
Por el contrario, los incrementos en la longitud del péndulo se miden con un error tan
pequeño como la sensibilidad de la escala graduada de la que se dispone, ya que en esta medida
no influye la posición del centro de masas de la pesa. Sea l = r + r0 , donde r0 es una longitud
cualquiera. Entonces,
4π 2
4π 2 r0
2
2 r + r0
=
r+
.
(3.5)
T = 4π
g
g
g
A partir de la pendiente a ≡ 4π 2 /g se deduce g,
g=
4π 2
.
a
(3.6)
Como la constante se puede expresar con tanta precisión como se requiera, el error relativo de
g es el mismo de la pendiente a,
∆a
∆g
=
.
(3.7)
g
a
1. Medir los periodos correspondientes a varias longitudes, operando siempre con pequeñas
amplitudes para que la aproximación del periodo (3.3) sea válida. Tabular los resultados
con sus errores correspondientes.
r [cm]
T [s]
T 2 [s2 ]
30
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
2. Representar gráficamente T 2 frente a r, calcular la pendiente y su error mediante el
método gráfico y, a partir de la pendiente, extraer el valor de g con su error. Comparar el
resultado obtenido con el valor proporcionado por el ordenador y comentar los resultados.
Práctica 4
El principio de Arquı́medes
4.1
Objetivo
El objetivo de esta práctica es el de familiarizarnos con el famoso principio de Arquı́medes y de
usarlo en el contexto en el que éste lo descubrió: la determinación de la densidad y del volumen
de un sólido.
4.2
Material
Disponemos de un dinamómetro, un recipiente con agua y algunos cuerpos que podemos suspender del dinamómetro y de los que desconocemos su volumen y densidad.
4.3
Fundamento
Según el Principio de Arquı́medes, todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza
de empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Es decir, esta
fuerza de empuje provoca una pérdida de peso del cuerpo.
Sea V el volumen de un cuerpo, P su peso, ρ su densidad y g la aceleración de la gravedad.
Entonces,
P = V ρg .
(4.1)
Si llamamos V 0 al volumen de fluido desalojado, P 0 al peso del mismo y ρ0 a su densidad,
tendremos
P 0 = V 0 ρ0 g .
(4.2)
Como evidentemente V = V 0 , de (4.1) y (4.2) se deduce que
V =
P0
ρ0 g
y
31
(4.3)
32
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
ρ=
P 0
ρ .
P0
(4.4)
Por tanto, conociendo el peso de un cuerpo problema P , el peso del fluido desalojado P 0
(igual a la disminución de peso que experimente al sumergirlo en el fluido) y la densidad del
fluido ρ0 , podremos determinar el volumen y la densidad del cuerpo.
4.4
Realización
1. Medir la temperatura ambiente.
2. Hallar el peso P de un cuerpo problema con el dinanómetro.
3. Sumergir completamente el cuerpo problema en un recipiente con agua.
4. Determinar su peso aparente Ps , una vez sumergido. El peso P 0 del agua desalojada será,
según el Principio de Arquı́medes, la pérdida aparente de peso del cuerpo al sumergirse,
es decir,
P 0 = P − Ps .
(4.5)
(donde hemos despreciado la fuerza de empuje debida al aire).
5. Tomando como temperatura del laboratorio la media de las temperaturas al iniciar y al
terminar la toma de datos, obtener la densidad del agua a esta temperatura mediante
interpolación de los datos que figuran en la tabla correspondiente.
6. Conocidos el peso del cuerpo P , el del lı́quido desalojado P 0 y la densidad del agua a la
temperatura media del laboratorio ρ0 , determinar el volumen y la densidad del cuerpo
problema aplicando las fórmulas (4.3) y (4.4).
7. Expresa todas las magnitudes medidas y calculadas (es decir, P, Ps , P 0 , V, ρ) con su error.
Justifica el número de medidas que has necesitado tomar con el dinamómetro en cada
caso.
8. Repetir los pasos para los diferentes cuerpos. ¿Cuáles podrı́an ser del mismo material?
9. ¿Qué se podrı́a hacer para disminuir el error?
Práctica 5
Dilatación térmica
5.1
Objetivo
Estudiar la dilatación lineal de diferentes materiales en función de la temperatura, con la ayuda
de un extensómetro.
5.2
Material
• Cubeta de metacrilato, termostato de inmersion, termómetro y tubos de goma.
• Varillas huecas de aluminio, latón, cobre y acero.
• Extensómetro y banco para fijar las varillas.
5.3
Fundamento teórico
El aumento de temperatura ocasiona generalmente un incremento de volumen, tanto en sustancias sólidas como en lı́quidas. Una conocida excepción es el agua, que en el intervalo comprendido entre 0◦ C y 4◦ C muestra el comportamiento contrario: en particular, aumenta de volumen
al congelarse, en oposición a la mayorı́a de las sustancias.
Incluso si el cuerpo sólido tiene un hueco, la dilatación es la misma que si el hueco estuviera
relleno del mismo material que el del cuerpo. Ası́ ocurre, por ejemplo, con un tubo de un
determinado material, como los que utilizaremos en esta Práctica.
Si se trata de un sólido en forma de varilla (que aproximadamente tiene una sola dimensión)
de longitud `0 , es un hecho empı́rico que, si la variación de temperatura ∆T no es demasiado
grande, la dilatación longitudinal ∆` que experimenta es directamente proporcional a `0 y a
∆T ,
∆` = α1 `0 ∆T,
(5.1)
33
34
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
donde α1 se denomina coeficiente de dilatación lineal. En la Tabla 5.1 aparecen sus valores
para los materiales que utilizaremos en esta Práctica. Intentaremos reproducirlos experimentalmente.
Material
α1 en (◦ C)−1
Acero
1.1×10−5
Cobre
1.6×10−5
Latón
1.8×10−5
Aluminio
2.2×10−5
Tabla 5.1: Coeficientes de dilatación lineal.
En realidad los coeficientes de dilatación no son constantes sino que varı́an ligeramente con
la temperatura.
5.4
Parte experimental
La cubeta sobre la que se soporta el termostato de inmersión con el termómetro adosado, debe
estar llena hasta un nivel adecuado de agua, que como mı́nimo cubra la resistencia y
el bloque de la bomba de circulación. De lo contrario se encenderá el indicador luminoso
de alarma al conectar el equipo.
Debe existir permanentemente un tubo de goma conectado a la bomba de circulación. De
no ser ası́, deberá contactarse con el profesor de prácticas.
El extremo libre del tubo de goma que sale de la bomba debe conectarse a un extremo de la
varilla problema, mientras que al otro extremo se conectará otro tubo de goma que devolverá
el agua circulante a la cubeta.
El equipo se conectará sólo cuando se hayan revisado las condiciones anteriores.
La temperatura del baño térmico se selecciona mediante el mando de la izquierda. El baño
alcanzará la temperatura deseada cuando el indicador central comience a parpadear.
Medida de coeficientes de dilatación lineal
1. Anotar la temperatura ambiente del laboratorio, T0 , consultando el termómetro que se
encuentra a la entrada del mismo.
2. Escoger 3 de las 4 varillas disponibles y colocarlas alternativamente en el banco de fijación,
conectados al sistema de circulación de la cubeta según se ha explicado anteriormente.
Hace falta hacer solamente una serie de medidas para cada meterial.
Práctica 5. Dilatación térmica
35
3. El extensómetro deberá fijarse también al banco, de modo que su punta se encuentre en
contacto con un extremo de la varilla, sin excesiva presión sobre el mismo.
4. Para cada varilla:
(a) Ajustar el cero del extensómetro, para que la medidas indiquen directamente la
dilatación de las varillas.
(b) Conectar el termostato y seleccionar T = 25◦ C.
(c) Cuando el baño haya alcanzado la temperatura seleccionada, anotar la temperatura
que puede leerse en el termómetro, T , con su correspondiente error. Puede ajustarse
mejor la temperatura del baño operando el mando offset, aunque basta con tomar
la lectura del termómetro.
(d) Anotar la lectura del extensómetro, ∆`.
(e) Elevar la temperatura sucesivamente unos 5◦ C cada vez, accionando el mando del
termostato, y repetir los dos pasos anteriores.
(f) Repetir los pasos (c)–(e) hasta obtener seis medidas.
No será necesario operar el termostato por encima de 50◦ C.
(g) Escribir en una tabla los valores de los incremento de la temperatura, ∆T = T − T0 ,
y las correspondientes dilataciones de las varillas, ∆`, y estimar sus errores.
(h) Representar gráficamente los datos ∆` en ordenadas y ∆T en abscisas y ajusta
gráficamente una recta. Determina la pendiente de la recta y su error.
(i) Sabiendo que la longitud inicial de las varillas es `0 = 600 mm, obtener el valor del
coeficiente de dilatación lineal α1 de cada material a partir de la pendiente de la
recta de ajuste y la ecuación (5.1). Comparar los resultados con la Tabla 5.1.
Tras cada serie de medidas, apagar el termostato y sustituir el agua de la
cubeta por otra frı́a, siguiendo las intrucciones del profesor de prácticas.
Práctica 6
Ley de Ohm
6.1
Objetivo
En esta práctica se estudia el comportamiento de los resistores compactos de uso extendido en
los laboratorios y en la técnica, a fin de verficar si cumplen la ley de Ohm. Asimismo, se inicia
al alumno en el uso del código de colores de las resistencias y en el manejo del polı́metro.
6.2
Material
• Placa reticular DIN A4.
• Fuente de tensión continua.
• Dos polı́metros.
• Resistencias: 220 Ω, 470 Ω, 2.2 kΩ, 3.3 kΩ, 10 kΩ, 47 kΩ y 100 kΩ.
• Enchufes en puente.
• Cables para conexión.
6.3
Fundamento
La ley de Ohm establece que, a una temperatura dada, existe una proporcionalidad directa
entre la diferencia del potencial V aplicada a los extremos de un conductor y la intensidad
de corriente I que circula por el mismo. La relación matemática que expresa esta ley fue
descubierta y demostrada por G.S. Ohm en 1827,
I=
V
.
R
36
(6.1)
37
Práctica 6. Ley de Ohm
R es la resistencia, medida en ohmios (Ω) siempre que V se exprese en voltios (V) e I en
amperios (A). La ley de Ohm no es una propiedad general de la materia, ya que no todas las
sustancias y dispositivos la obedecen. Una sustancia que obedece la ley de Ohm se denomina
conductor óhmico o conductor lineal. En caso contrario, el conductor se denomina no lineal.
6.4
Realización
1. Determinar el valor nominal de 5 resistencias distintas. Para ello, se utilizarán el código
de colores (Apéndice A) y el polı́metro (Apéndice B). Comparar y tabular los resultados
obtenidos, sin olvidar los correspondientes errores.
Dependencia de la intensidad con la tensión a resistencia constante
2. Montar sobre la placa reticular el circuito correspondiente a la Fig. 6.1, utilizando la
resistencia R1 = 220 Ω.
Figura 6.1
3. Actuando sobre el mando regulador de la fuente de tensión continua, aumentar ésta desde
1 V hasta 10 V, con incrementos de 1 V. Medir, para cada valor de la tensión V, el correspondiente valor para la intensidad de corriente I. Obtener este mismo dato calculándolo
a partir de la ley de Ohm, utilizando para ello el valor medido de R. Construir una tabla
que refleje los valores medidos y calculados. Cada dato debe expresarse correctamente
con su error.
4. Representar en papel milimetrado los resultados experimentales, colocando la corriente I
en ordenadas y la tensión V en abscisas. No olvidar dibujar los rectángulos que representan el error. Obtener la recta de ajuste por el método de mı́nimos cuadrados. A partir
de la pendiente de esta recta, calcular el valor de la resistencia utilizada y su error.
5. Repetir los pasos 2 a 4, utilizando esta vez la resistencia R2 = 470 Ω.
38
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
Dependencia de la intensidad con la resistencia a tensión constante
6. Colocar de nuevo la resistencia R1 = 220 Ω.
7. Actuando sobre el mando regulador de la fuente de tensión, fijar ésta en 10 V.
8. Medir la intensidad de corriente I. Obtener este mismo dato a partir de la ley de Ohm
usando el valor medido de R.
9. Sustituir sucesivamente R1 por las resistencias R2 = 470 Ω, R3 = 2.2 kΩ, R4 = 3.3 kΩ,
R5 = 10 kΩ, R6 = 47 kΩ y R7 = 100 kΩ y repetir para cada una de ellas el paso 8.
10. Construir una tabla que refleje los valores de I medidos y calculados para cada una de
las resistencias utilizadas. Cada dato, tanto teórico como experimental debe expresarse
correctamente con su error.
11. Representar gráficamente I (mA) en función de R (Ω) ası́ como los rectángulos de error.
Práctica 7
Fenómenos transitorios: carga y
descarga de un condensador
7.1
Objetivo
Existen numerosos fenómenos en los que el valor de la magnitud fı́sica que los caracteriza evoluciona en régimen transitorio, esto es: la magnitud fı́sica que estamos considerando aumenta o
disminuye con el tiempo t de acuerdo a una ley matemática en la que el término predominante
tiene la forma
magnitud fı́sica ∝ e−t/τ ,
(7.1)
donde τ tiene dimensiones de tiempo y se denomina constante de tiempo del transitorio. Su
significado fı́sico es obvio: indica el tiempo en el que la magnitud fı́sica en estudio aumenta o
disminuye (según la ley que rija el fenómeno) un factor e ' 2.7182. La desintegración de un
elemento radioactivo o la amortiguación de una onda son fenómenos tı́picamente transitorios.
Con esta práctica estudiaremos otros dos ejemplos de tales fenómenos, la carga y descarga de
un condensador.
7.2
Material
Disponemos de un condensador C de 3200 µF, con una tolerancia del 10 %, una resistencia
R de 22 kΩ, con la misma tolerancia, y una fuente de corriente continua que suministra una
tensión V0 ≈ 12 V. Además contamos con un cronómetro digital para determinar el tiempo en
que se toman las medidas y un polı́metro.
7.3
Fundamento
En circuitos eléctricos que contienen un condensador C o una autoinducción L que bruscamente
son conectados a un generador de corriente continua, se originan corrientes eléctricas cuya
evolución en el tiempo tiene el comportamiento de un fenómeno transitorio. Consideremos
39
40
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
el circuito de la Fig. 7.1, con un condensador C, una resistencia óhmica R, un generador
de corriente continua V0 y un interruptor, todos ellos conectados en serie. Supongamos que
inicialmente (t = 0) el condensador está descargado y que cerramos el circuito. La intensidad I
que circula por él y las caı́das de tensión entre los extremos del condensador VC y entre los de
la resistencia VR pueden ser calculados por la simple aplicación de la primera ley de Kirchoff,
R
-
I
B B B
B B B
B B B
+
V0
VC (t)
−
C
PP
P
•
•
Figura 7.1
V0 = V R + V C .
Puesto que VR = IR, siendo I = C
(7.2)
dVC
, podemos escribir
dt
dVC
+ VC ,
dt
(7.3)
VC = V0 (1 − e−t/RC ) ,
(7.4)
V0 = RC
ecuación que tiene como solución,
de lo que se deduce que la caı́da de tensión en los extremos de la resistencia es:
VR = V0 − VC = V0 e−t/RC .
(7.5)
Ambas expresiones (7.4) y (7.5) son similares a (7.1) y representan un fenómeno transitorio con
una constante de tiempo:
τ = RC .
(7.6)
Aplicando la ley de Ohm se tiene que la intensidad que circula por el circuito es,
I=
V0 −t/RC
e
.
R
(7.7)
La evolución temporal de la tensión en el condensador ası́ como la intensidad que circula
por el circuito se describen en las Figs. 7.2 y 7.3, respectivamente. Observamos que la tensión
en el condensador VC aumenta de forma monótona con el tiempo, tendiendo cuando t → ∞
41
Práctica 7. Fenómenos transitorios: carga y descarga de un condensador
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Figura 7.2
=
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Figura 7.3
al valor lı́mite V0 , valor para el cual el condensador está cargado. A efectos prácticos podemos
considerar que esto ocurre cuando t ≈ 5τ .
De forma análoga podemos estudiar el fenómeno de descarga del condensador. Si en t = 0 el
condensador está cargado a una tensión V0 y cerramos nuestro circuito sin fuente de alimentación
(Fig. 7.4), la caı́da de tensión total en la malla es:
R
I
B B B
B B B
B B B
+
VC (t)
−
C
PP
P
•
•
Figura 7.4
dVC
+ V0 = 0 .
dt
Esta ecuación diferencial tiene como solución
RC
VC = V0 e−t/RC = VR .
(7.8)
(7.9)
que representa otro fenómeno transitorio con idéntica constante de tiempo τ = RC a la del
proceso de carga. Análogamente la intensidad en el circuito decrece exponencialmente en virtud
42
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
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9
Figura 7.5
9
8
6
78
Figura 7.6
de la ley de Ohm:
I=
V0 −t/RC
e
.
R
(7.10)
En la práctica, la duración del transitorio es igualmente t ≈ 5τ . Las ecuaciones (7.9) y
(7.10) se representan en las Figs. 7.5 y 7.6, respectivamente.
7.4
Realización
1. Medir la tensión V0 que suministra la fuente de corriente continua conectando la salida
de ésta directamente al polı́metro. El valor de la medida será V0 ≈ 12 V.
2. Comprobar con el polı́metro que el condensador está descargado (el polı́metro medirá
una tensión nula). Si el condensador estuviese todavı́a cargado se deberán unir mediante
un conductor (preferiblemente un cable conectado a una resistencia) los dos polos del
condensador. Es importante conectar la fuente de alimentación al condensador con la
polaridad adecuada. El polo negativo del condensador está indicado con un triangulito
. en los bornes.
3. Proceso de carga:
(a) Montar el circuito de la Fig. 7.1 con el polı́metro en disposición de medir la caı́da de
tensión en los bornes del condensador.
(b) A continuación, conectar la fuente de tensión al mismo tiempo que se pone en marcha
el cronómetro. Se tomarán medidas de VC a intervalos regulares de unos 10 s. El
intervalo temporal de las medidas puede espaciarse conforme la tensión que indica
el polı́metro se va estabilizando. Tomar medidas hasta transcurridos 8-10 minutos,
tiempo en el cual puede decirse que el condensador se ha cargado.
Práctica 7. Fenómenos transitorios: carga y descarga de un condensador
43
4. Proceso de descarga:
(a) Desconectar el circuito anterior de la fuente y disponerlo como se indica en la Fig. 7.4.
(b) Medir de nuevo la tensión en los bornes del condensador a intervalos regulares de 10 s.
Observaremos que la tensión que indica el polı́metro disminuye con el transcurso del
tiempo. Las medidas podemos espaciarlas, igualmente, conforme la tensión se estabiliza. Transcurridos 8-10 minutos podemos considerar que el proceso de descarga
ha terminado.
5. Construir una tabla con los valores de tiempos y tensiones medidas, con su error, en
los procesos de carga y descarga y representar gráficamente VC en función del tiempo
para ambos procesos (la tensión en el eje de ordenadas y el tiempo en abscisas). El
comportamiento exponencial será evidente.
6. Tomando logaritmos neperianos a ambos lados de (7.9), se obtiene la ecuación de una
recta,
t
ln VC = ln V0 − .
(7.11)
τ
Representar gráficamente ln VC en función del tiempo para el proceso de descarga.
Ajusta gráficamente una recta a los datos. Determina la pendiente de la recta y su error.
7. Calcular la constante de tiempo τ del proceso y su error a partir de la pendiente de la
recta de ajuste. Comparar el resultado con el valor teórico τ = RC.
Práctica 8
Medida del campo magnético terrestre
8.1
Objetivo
El objetivo de esta práctica es medir el valor del campo magnético terrestre. Para ello se emplea
un campo magnético de magnitud y dirección conocidas, que se superpone al campo terrestre
(desconocido). La práctica permite variar la intensidad del campo prueba para obtener la
intensidad de la componente horizontal del campo magnético terrestre. La componente vertical
es también calculada.
8.2
Material
La Fig. 8.1 muestra el dispositivo experimental, que consta de los siguientes elementos:
• Un par de bobinas de Helmholtz, con radio 20cm y 154 espiras cada una.
• Una fuente de tensión continua.
• Un polı́metro digital.
• Un reóstato o resistencia variable.
• Una brújula.
• Una sonda Hall axial.
• Un teslametro, que permite medir campos magnéticos.
Las bobinas de Helmholtz están conectadas en serie entre sı́, y a una fuente de tensión
continua, a través de un reóstato. En el circuito conectaremos también un polı́metro en serie
(en modo amperı́metro).
44
45
Práctica 8. Medida del campo magnético terrestre
Sonda de Hall axial
Reostato
Bobinas de Helmholtz
Teslametro
Polimetro
Fuente de alimentacion
Figura 8.1
8.3
8.3.1
Fundamento e introducción
Bobinas de Helmholtz
Un par de bobinas de Helmholtz es un dispositivo formado por dos bobinas circulares idénticas
situadas a lo largo de un mismo eje (el eje de simetrı́a de éstas), por las que circula la misma
intensidad de corriente eléctrica. Usando la ley de Biot y Savart, puede demostrarse que el
campo magnético (B~H ) generado por un par de bobinas de Helmholtz a lo largo del eje de las
bobinas viene dado por:
1
1
N µ ◦ R 2 IH
×( d
+ d
) ~k
B~H = (BH )z~k =
2
2
3/2
2
2
(( 2 + z) + R )
(( 2 − z) + R2 )3/2
(8.1)
donde N y R son el número de espiras y radio de las bobinas respectivamente, d la separación
entre las bobinas, IH la itensidad de corriente eléctrica que circula por las éstas, µ◦ es la
constante de permeabilidad del vacı́o, z es la distancia sobre el eje de las bobinas tomando
como origen el centro de las mismas (ver Fig. 8.2), y ~k un vector unitario en el eje z. En
particular, en el punto medio de las bobinas (z=0), el campo magnético generado viene dado
por:
B~H = (BH )z~k =
N µ◦ R 2
× IH ~k = K × IH ~k
(( d2 )2 + R2 )3/2
(8.2)
46
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
donde K es una constante. En cualquier caso, las ecuaciones anteriores muestran que en un
punto fijo del eje de las bobinas, el campo magnético generado es proporcional a la intensidad de
corriente que circula por las bobinas. La constante de proporcionalidad K (Ec. 8.2) dependerá
sólo de las caracterı́sticas de las bobinas y de la distancia entre éstas.
d
R
z=0
eje z
Figura 8.2. Bobinas de Helmholtz
8.3.2
Campo magnético terrestre
El campo magnético terrestre (desde la superficie de la Tierra y hasta distancia de unos 5
veces el radio de la Tierra) corresponde aproximadamente al campo que generarı́a un dipolo
magnético situado en el centro de la Tierra. La Fig. 8.3 muestra un diagrama simplificado del
campo magnético terrestre.
Como puede apreciarse en la Fig. 8.3b, para una latitud geográfica (λ) determinada, el
vector campo magnético puede descomponerse en su componente tangente a la superficie (o
componente horizontal, (BT )h ), que apunta siempre al Norte, y su componente vertical, (BT )v ,
que en el hemisferio norte está dirigida hacia el centro de la Tierra, y a la inversa en el sur.
El ángulo que forma la dirección del vector campo magnético con la horizontal de un lugar, se
denomina ángulo de inclinación.
8.4
Realización
1. Campo magnético de las bobinas de Helmholtz en el punto central.
En la primera parte de la práctica, vamos a comprobar que el campo magnético en el
punto central de las bobinas Helmholtz (z = 0 en el eje de simetrı́a de las bobinas) viene
dado por la Ec. 8.2 y calcularemos el valor de la constante K. Para ello mediremos el
campo magnético generado (BH ) para un rango de valores de intensidad de corriente (IH )
que haremos circular por las bobinas.
47
Práctica 8. Medida del campo magnético terrestre
PN Magnetico
PN Geografico
PN magnetico
PN Geografico
Ecuador
BT
λ
(a)
(BT )h
(BT )v
Plano horizontal local
(b)
Figura 8.3. (a) Esquema simplificado del campo magnético terrestre. (b) descomosición del campo
magnético terrestre en un lugar de latitud λ, en sus componentes horizontal, (B T )h , y vertical, (BT )v .
• Pasos previos a la obtención de las medidas:
(a) Encender el teslametro (interruptor en su parte trasera) y asegurarse de que ha
estado encendido durante al menos ∼10 minutos antes de comenzar las medidas
o el ajuste del punto cero (descrito abajo).
(b) Asegurar que la fuente de alimentación está limitada a máx. 1.5 A. Para ello
mover si fuese necesario la rueda de la derecha, etiquetada con ‘A’
(c) Poner el voltaje de la fuente de alimentación (rueda de la izquierda, etiquetada
con ‘V’) al máximo.
(d) Poner el reóstato a la máxima resistencia. Para ello alejar el mando superior de
las clavijas de conexión.
• Colocar la punta de la sonda Hall en el centro de las bobinas. La sonda Hall axial
mide componentes de campos magnéticos orientados en dirección paralela al soporte
de la sonda. Por ello, haciendo uso de los soportes disponibles, hay que colocar la
sonda de modo que la punta esté situada en el punto z = 0 (Fig. 8.2), y de modo
que la sonda sea paralela al eje de simetrı́a de las bobinas (ver Fig. 8.1).
• Poner polı́metro en modo amperı́metro: colocar una clavija de los cables de conexión
en el terminal etiquetado COM, y la otra en el etiquetado con 10 A, para proteger
48
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
su fusible interno.
• Pasados 10 minutos de su encendido, ajustar el punto cero del teslametro. Para ello,
mover el botón de ajuste del teslametro (a la derecha, etiquetado con ’0’) hasta que
indique cero o un valor lo más pequeño posible.
• Encender la fuente de alimentación y el polı́metro.
• Ir aumentando la intensidad que circula por los carretes (IH ) haciendo uso del
reóstato, y medir con el teslametro el campo magnético generado para cada valor de
IH entre 0 y 2 amperios. Tomar al menos 5 ó 6 pares de medidas.
• Construir una gráfica de BH (en eje y) en función de IH (en eje x) con sus correspondientes barras de error. Ajustar la recta resultante por mı́nimos cuadrados y
calcular valor de K y su correspondiente error.
2. Medida de la componente horizontal del campo magnético. En ausencia de otro
campo magnético cercano, una aguja imantada indicará siempre la dirección del polo norte
magnético. En presencia de otro campo magnético adicional (por ejemplo el generado por
bobinas de Helmholtz), la aguja de la brújula se deflectará un ángulo α, orientándose en
~ suma de la componente horizontal del
la dirección del campo magnético resultante (B),
campo magnético terrestre (B~T )h y del campo adicional (B~H ):
N
α
(B T)
B
φ
h
(B H)
eje z
z
S
Figura 8.3
Usando el teorema de seno, se obtiene:
(BH )z
(BT )h
=
sin α
sin(φ − α)
(8.3)
y usando la Ec. 8.2, obtenemos:
(BH )z = K × IH =
sin α
(BT )h
sin(φ − α)
(8.4)
La Ec. 8.4 relaciona el ángulo de deflexión α producido por una intensidad de corriente
IH , con la componente horizontal del campo magnético terrestre, permitiéndonos calcular
este último, conocidos el ángulo φ que forman (B~T )h y (B~H )z , y el valor de la constante
K.
49
Práctica 8. Medida del campo magnético terrestre
Para realizar las medidas:
• Apagar la fuente de alimentación para asegurar que no circula corriente por las
bobinas (y asegurar por tanto que BH =0).
• Colocar la brújula en la zona central de las bobinas, de modo que el centro de la
brújula esté aproximadamente situado en el centro de las bobinas (hacer uso del
tornillo del soporte para regular la altura de la brújula si fuese necesario).
• Girar la brújula, de modo que la dirección N-S que indica la aguja de la brújula
coincida con la dirección 0-90◦ en la escala graduada. Desplazar ligeramente la
aguja de su posición de equilibrio un par de veces para asegurar que la dirección N-S
se ha determinado correctamente.
• Medir el ángulo φ. φ es el ángulo entre la dirección N-S y el eje del par de bobinas
de Helmholtz, y corresponde al máximo ángulo de deflexión de la aguja. Encender la
fuente de alimentación y aumentar la intensidad que circula por las bobinas (mediante control del reóstato) hasta que el ángulo de deflexión alcance su valor máximo.
Anotarlo junto con su error correspondiente.
• Poner el voltaje en 1V y la intensidad a 0.5A en la fuente de alimentación. Actuando
sobre el reóstato, ir aumentando la intensidad que circula por las bobinas desde cero
hasta aproximadamente 0.1A. Para cada valor de la intensidad, medir el ángulo de
deflexión α. Anotar las medidas en una tabla , y calcular (BH )z y sin(φ − α)/sin α
y sus correspondientes errores.
IH ± ∆IH
α ± ∆α
(BH )z ± ∆(BH )z
(A)
(◦)
(mT)
sin α
sin(φ−α)
sin α
± ∆( sin(φ−α)
)
• Representar (BH )z (eje y) frente a sin α/sin(φ − α) (eje x) con sus correspondientes
barras de error. Haciendo uso de la Ec. 8.4, calcular a partir de la representación
gráfica la componente horizontal del campo magnético (BT )h en Granada.
3. Medida de la componente vertical del campo magnético.
La Fig. 8.4 muestra las componentes vertical, (BT )v , y horizontal, (BT )h , del campo
magnético terrestre. Podemos apreciar, que usando trigonometrı́a básica, la componente
vertical puede obtenere a partir de la horizontal una vez conocido el ángulo θ o ángulo
de inclinación del campo magnético.
50
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
(B T)
plano horizontal local
h
θ
(B T)
v
B
T
Figura 8.4
(BT )v = (BT )h tan θ
(8.5)
• Apagar la fuente de alimentación.
• Girar la brújula en su soporte, de modo que el plano de ésta sea ahora perpendicular
al plano horizontal, con el eje de la brújula perpendicular a la dirección N-S.
~ T ). An• La aguja indicará ahora la direción del vector campo magnético terrestre ( B
otar el ángulo θ o ángulo de inclinación que forma la aguja de la brújula con la
horizontal.
• Usando la Ec. 8.5, calcular el valor de la componente vertical del campo magnético
terrestre y el campo total en Granada con sus respectivos errores.
• Comparar los resultados obtenidos con el valor del campo magnético en Granada
(ver http://www.ngdc.noaa.gov/geomagmodels/IGRFWMM.jsp). Comentar los resultados y las causas de posibles diferencias. La coordenadas de Granada son: Lat.:
37◦ 10’ 41” N, Long.: 3◦ 36’ 3” O.
Apéndice A
Código de colores de una resistencia
Las resistencias están marcadas con un serie de bandas de diferentes colores que permiten
identificar su valor nominal, ası́ como el margen de incertidumbre de este valor o tolerancia.
Para interpretar el código se procede de la siguiente manera.
1. Se coloca la resistencia con la banda dorada o plateada hacia la derecha.
2. Se asigna, por orden de izquierda a derecha, a cada color el valor numérico correspondiente, según el código de colores siguiente:
Negro
−→ 0 Verde
−→ 5
Marrón
−→ 1 Azul
−→ 6
Rojo
−→ 2 Violeta
−→ 7
Naranja
−→ 3 Gris
−→ 8
Amarillo
−→ 4 Blanco
−→ 9
3. La última banda de color antes de la dorada o plateada, representa la potencia de 10 por
la que hay que multiplicar el valor asignado a los colores anteriores.
4. El resultado numérico ası́ obtenido, representa el valor nominal de la resistencia expresado
en Ω.
5. La última banda, dorada o plateada, indica la tolerancia, de acuerdo con el código:
Oro
−→ 5%
Plata −→ 10%
51
52
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
Ejemplo. Sea una resistencia cuyas bandas de color son amarillo, violeta, naranja y plata. Su
valor nominal será:
amarillo-violeta −→ 47







3
3
3
−→ 103  ⇒ R = 47 · 10 ± 4.7 · 10 Ω = (47 ± 5) · 10 Ω




−→ 10% 
naranja
plata
Otros códigos
En las resistencias de tamaño más pequeño, que presentan una banda roja en lugar de
dorada o plateada, el valor nominal se obtiene en la forma:
1
a







2a  3 primeros dı́gitos según código anterior


a 

3 
4a
Potencia de 10
5a
Coeficiente de temperatura
6a
Banda roja a la derecha ⇒ 2% de tolerancia
Ejemplo. Sea una resistencia cuyas bandas son amarillo, violeta, negro, rojo, marrón y rojo.
Su valor nominal será:
amarillo-violeta-negro −→ 470
rojo
−→ 102
marrón
rojo
−→ 2%



















⇒ R = 470 · 102 ± 9.4 · 102 Ω = (47.0 ± 0.9) · 103 Ω
Apéndice B
El polı́metro
El polı́metro es el instrumento de medida fundamental en cualquier experiencia de teorı́a de
circuitos. Permite medir tensiones, intensidades y resistencias.
Figura B.1
En la Fig. B.1 se muestra un esquema del polı́metro disponible en nuestro laboratorio. Sus
elementos son los siguientes.
1: Tornillo de regulación del cero para cualquier escala.
2: Mando de regulación del cero para medida de resistencias.
53
54
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
3: Selector de rango, tanto de tipo de medida (resistencia, tensión o intensidad de corriente)
como de fondo de escala (valor máximo de la señal que el polı́metro es capaz de medir).
Con el fin de evitar posibles averı́as, nunca deberá usarse una escala cuyo fondo esté
por debajo del valor de la señal a medir. En el caso de la medida de resistencias, el
selector no indica el fondo sino el factor de escala.
4: Selector de función, para corrientes continuas DC=, corrientes alternas AC∼ o resistencias Ω.
Existen además cuatro terminales de entrada, colocados en la parte superior, para conectar el polı́metro con los circuitos o elementos a medir.
B.1
Medidas de tensión: polı́metro como voltı́metro
1. Colocar el selector de función 4 en la posición DC= o AC∼, según se quieran medir
tensiones de corrientes continua o alterna, respectivamente.
2. Conectar una de las clavijas de los cables de conexión al terminal etiquetado COM. Suele
utilizarse el cable negro. La otra clavija (generalmente la roja) se conecta al terminal
VAΩ.
3. Estimar la tensión esperada antes de colocar el selector de rangos 3 en la
escala de tensiones apropiada dentro de la zona del selector marcada con V'. Si se
desconoce este dato, elegir el fondo de escala mayor.
4. Identificar los dos puntos entre los que se quiere determinar la tensión y conectar las
clavijas libres de los cables de forma que el polı́metro quede en paralelo.
5. Teniendo en cuenta el fondo de escala elegido, efectuar la medida leyendo el valor indicado
en una de las escalas graduadas: la negra, marcada con AV=, para la tensión de una
corriente continua o la roja, marcada con V∼, para la de una corriente alterna. Facilita
la lectura inmediata el elegir la numeración superior o la inferior según el fondo de escala
seleccionado. Ambas son, sin embargo, equivalentes. La sensibilidad de la medida es
también función del fondo de escala.
6. Sólo en el caso de tener que seleccionar un fondo de escala de 1.5 kV (650 V máximo)
se insertará la clavija roja del cable de conexión en el terminal de entrada marcado con
1.5 kV, en vez de en VAΩ. Colocar entonces el selector 3 en la posición 500 V/1.5
kV.
B.2
Medidas de intensidad:
perı́metro
polı́metro como am-
1. Colocar el selector de función 4 en la posición DC= o AC∼, según se quieran medir
intensidades de corrientes continua o alterna, respectivamente.
Apéndice B. El polı́metro
55
2. Conectar una de las clavijas de los cables de conexión al terminal etiquetado COM. Suele
utilizarse el cable negro. La otra clavija (generalmente la roja) se conecta al terminal
VAΩ.
3. Estimar la intensidad esperada antes de colocar el selector de rangos 3 en la
escala de intensidades apropiada dentro de la zona del selector marcada con A'. Si
se desconoce este dato, elegir el fondo de escala mayor.
4. Identificar los dos puntos entre los que se quiere determinar la tensión y conectar las
clavijas libres de los cables de forma que el polı́metro quede en serie.
5. Teniendo en cuenta el fondo de escala elegido, efectuar la medida leyendo el valor indicado
en una de las escalas graduadas: la negra, marcada con AV=, para la intensidad de una
corriente continua o la roja, marcada con A∼, para la de una corriente alterna. Facilita
la lectura inmediata el elegir la numeración superior o la inferior según el fondo de escala
seleccionado. Ambas son, sin embargo, equivalentes. La sensibilidad de la medida es
también función del fondo de escala.
6. Sólo para medidas de más de 1 A y de hasta 10 A, insertar la clavija roja del cable de
conexión en el terminal de entrada marcado con 2.5/10 A, en vez de en VAΩ. Colocar
el selector 3 en la posición 1/10 A.
MUY IMPORTANTE: Es frecuente que se intente medir la intensidad suministrada por
una fuente o la red colocando el polı́metro directamente entre los terminales. Dado que la
resistencia interna del polı́metro, en la función de amperı́metro, es pequeña, se deberá entonces
intercalar una resistencia en serie con el polı́metro para evitar una sobrecarga.
B.3
Medidas de resistencias: polı́metro como óhmetro
1. Aislar la resistencia o grupo de resistencias a medir del resto del circuito. De este modo
nos aseguramos de que medimos esta resistencia y no el equivalente de la agrupación con
el resto del circuito.
2. Colocar el selector de función 4 en la posición Ω.
3. Conectar una de las clavijas de los cables de conexión al terminal etiquetado COM. Suele
utilizarse el cable negro. La otra clavija (generalmente la roja) se conecta al terminal
VAΩ.
4. Conectar las clavijas libres de los cables de forma que el polı́metro quede colocado en
paralelo con la resistencia o grupo de resistencias que se desea medir.
5. Efectuar la medida a partir del valor indicado en la escala graduada marcada con Ω. Para
ello, multiplicar el valor leı́do en la escala por el factor que indique el selector 3. Escoger
el rango que permita la más precisa lectura.
56
Prácticas de Fı́sica para Geólogos
NOTA: Cortocircuitando los puntales del polı́metro en el rango Ω × 1, se deberá oir una señal
acústica procedente del zumbador interno, dispositivo que resulta muy útil cuando el polı́metro
se usa para verificar la continuidad de un circuito.