tema 9 – cuerpos geométricos

Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Matemáticas
3º de ESO
Apuntes de Área
TEMA 9 – CUERPOS GEOMÉTRICOS
Objetivos / Criterios de evaluación
O.13.1 Conocer las fórmulas de áreas y volúmenes de figuras geométricas sencillas de
3D.
O.13.2 Resolver problemas geométricos sencillos aplicando las fórmulas.
O.13.3 Conocer las fórmulas de superficie y volumen de la esfera.
O.13.4 Conocer e identificar los elementos de la esfera terrestre
O.13.5 Resolución de problemas de esferas.
1 Puntos, rectas y planos (Página 192)
Punto, recta y plano son los elementos básicos de la geometría del espacio.
Punto: no tiene longitud y su dimensión es cero
Recta: tiene longitud y su dimensión es 1
Plano: Tiene superficie y su dimensión es 2
Las restas en el espacio pueden ser paralelas (no se cortan pero están en el mismo
plano), secantes (pertenecen al mismo plano y se cortan en un punto) o pueden cruzarse
(no pertenecen al mismo plano)
Una recta y un plano pueden ser paralelas (no tienen ningún punto en común) puede
estar la recta contenida en el plano o puede ser secante si lo cruza.
Dos planos pueden ser paralelos si no tienen ningún punto en común o secantes si se
cortan.
Diedro: es el ángulo formado por dos planos que se cortan en una recta que se llama
arista.
La medida de un ángulo diedro es la del ángulo formado por dos semirrectas contenidas
en las caras y perpendiculares a la arista.
2 Estudio de poliedros (Página 194)
Def.: Poliedro es un cuerpo geométrico en tres Dimensiones limitado por polígonos
planos.
Fórmula de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 2 (C+V=A+2)
Def.: Poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales. En cada
vértice concurre el mismo número de caras.: Son cinco:
Tetraedro: 4 caras que son triángulos equiláteros.
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Hexaedro o cubo: 6 caras que son cuadrados.
Octaedro: 8 caras que son triángulos equiláteros.
Dodecaedro: 12 caras que son pentágonos regulares.
Icosaedro: 20 caras que son triángulos equiláteros.
Def.: Eje de simetría de un cuerpo es una recta tal que, si giramos el cuerpo alrededor de
ella con un determinado ángulo, se superpone consigo mismo. Si existe algún eje de
simetría, el cuerpo tiene simetría de rotación.
Def.: Plano de simetría de un cuerpo es un plano que contiene al eje de simetría y que
divide al cuerpo en dos mitades idénticas. Si existe algún plano de simetría, el cuerpo
tiene simetría especular.
Def.: Prisma: Es un poliedro que tiene por bases dos polígonos iguales paralelos y sus
caras laterales son paralelogramos.
Def.: paralelepípedo : es un prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser:
Ortoedro: Todas sus caras son rectángulos.
Cubo: Todas sus caras son cuadrados
Romboedro: todas sus caras son rombos. Procede de la deformación de un cubo.
Romboidedro: todas sus caras son romboides. Procede de la deformación de un
ortoedro
Def.: Pirámide Es un poliedro que tiene por base un polígono y sus caras laterales son
triángulos.
Def.: Tronco de pirámide es el resultado de cortar una pirámide por un plano paralelo a
la base. El extremo es otra pirámide que se llama pirámide deficiente.
Teorema de Pitágoras en 3 dimensiones: En un ortoedro, el cuadrado de una diagonal
es igual a la suma de los cuadrados de los valores de sus tres dimensiones.
.
3. Estudio de cuerpos redondos (página 196)
Def.: Cuerpo de revolución es el que puede obtenerse al girar una forma plana una
vuelta completa alrededor de un eje situado en el mismo plano que ella.
Def.: Esfera es el cuerpo geométrico resultante de girar una circunferencia alrededor de
su eje de simetría.
Def.: Cono es el cuerpo geométrico resultante de girar un segmento llamado generatriz
alrededor de un eje situado en el mismo plano y con el que tiene en común un punto.
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Def.: Tronco de cono es el cuerpo geométrico resultante de girar un segmento llamado
generatriz alrededor de un eje no paralelo situado en el mismo plano y con el que no tiene
ningún punto en común.
Def.: Cilindro es el cuerpo geométrico resultante de girar un segmento llamado generatriz
alrededor de un eje situado en el mismo plano y paralelo al segmento.
4 Estudio de figuras prismáticas (página 198)
Figura
Prisma Regular
recto
Área
Volumen
V  Área de la base  altura
Área  2  A.base  A.Lateral
Cilindro
Estudio de pirámide
Figura
Área
Pirámide Regular
Área  A.base  A.Lateral
Volumen
V
Cono
Tronco de pirámide
recto
Tronco de cono
Área    r 2    r  g
Área 
( P  p)  A
2
Área de la base  altura
3
V  Volumen Pir  Volumen Def
Área    R 2    r 2   ( R  r ) g V  VolumenCono  Volumen Def
5 Estudio de la esfera (página 199)
Def.:Esfera es el cuerpo geométrico resultante de girar un semicírculo (o círculo)
alrededor de su diámetro
Def.: Semiesfera es el cuerpo geométrico resultante de dividir una esfera con un plano
que pasa por el centro de la misma.
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Def.: Casquete esférico es el cuerpo geométrico resultante de dividir una esfera con un
plano que no pasa por el centro de la misma.
Def.: Zona esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos paralelos que
la cortan.
Def.: Huso esférico es la parte de la esfera comprendida entre dos planos que tienen un
diámetro común.
Figura
Área
Volumen
Área  4    r 2
Esfera
Casquete esférico
Volumen  43    r 3
Área  2    r  h
Zona esférica
Huso esférico
Área 
4 r 2 n º
360
Volumen 
4  r 3 n º
3  360
6 Simetrías en los cuerpos geométricos (página 201)
Def.: Simetría axial. Dos puntos P y P' son simétricos respecto de un eje cuando el eje
es mediatriz del segmento que los une.
Dos puntos simétricos respecto del eje horizontal (abscisas) tienen la misma abscisa
y ordenadas opuestas.
Dos puntos simétricos respecto del eje vertical (ordenadas) tienen la misma
ordenada y abscisas opuestas.
Def.: Eje de simetría: decimos que una figura tiene un eje de simetría cuando todos los
puntos tienen su simétrico respecto de ese eje en la misma figura.
Def.: Simetría central. Dos puntos P y P' son simétricos respecto de un punto cuando el
punto es el centro del segmento que los une.
Dos puntos simétricos respecto del origen de coordenadas tienen abcisa y ordenada
opuestas.
Def.: Centro de simetría: decimos que una figura tiene centro de simetría cuando todos
los puntos tienen su simétrico respecto de ese punto en la misma figura.
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Def.: Simetría especular Dos puntos P y P' son simétricos respecto de un plano cuando
el plano contiene a la mediatriz del segmento que los une
Def.: Plano de simetría: decimos que una figura tiene plano de simetría cuando todos los
puntos tienen su simétrico respecto de ese plano en la misma figura.
7 Estudio del planeta Tierra como esfera (página 202)
El planeta Tierra tiene forma de Geoide. Pero puede considerarse como una esfera de
radio medio 6371 km ligeramente achatada por los polos.
Def.: Eje terrestre es una línea imaginaria alrededor de la cual se produce el movimiento
de rotación terrestre. Los puntos de corte del eje con la superficie terrestre se llaman
polos.
Def.: Ecuador terrestre es la circunferencia sobre la superficie de la Tierra cuyo plano es
perpendicular al eje terrestre y le divide por su punto medio.
Def.: Meridiano terrestre son las semicircunferencias que pasan por los polos de la
Tierra. Divide la superficie del planeta en husos.
Def.: Huso horario es cada uno de los 24 husos en que suele dividirse la Tierra. Las
zonas de la Tierra situadas en el mismo huso, suelen tener la misma hora.
Def.: Paralelo terrestre son las circunferencias sobre la superficie terrestre tal que su
plano es perpendicular al eje terrestre. Son paralelas al Ecuador.
Def.: Zona Terrestre es la superficie de la tierra comprendida entre dos paralelos.
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9 Coordenadas geográficas terrestres (página 229)
Def.: Coordenadas terrestres son un sistema de ejes coordenados formado por el
Ecuador y el meridiano de Greenwich (meridiano cero).
Su unidad de medida es el grado. Las coordenadas utilizadas en este sistema se llaman
latitud y longitud.
Def.: Latitud de un punto de la superficie terrestre es la medida en grados del arco,
medido en el meridiano del lugar, que va desde el ecuador hasta el paralelo del lugar.
Puede ser Norte o Sur en función del hemisferio en que se encuentre el punto. Va desde
90º latitud norte hasta 90º latitud sur
Def.: Longitud de un punto de la superficie terrestre es la medida en grados del arco
medido sobre el ecuador desde el meridiano de Greenwich hasta el meridiano en que se
encuentra situado ese punto. Puede ser Oeste o Este en función del lugar hacia el que se
encuentra el punto. Va desde 180º longitud oeste hasta 180º longitud este.
Def.: Altitud es la tercera de las coordenadas terrestres. Se mide en metros desde el
nivel del mar (msnm).
Latitud, longitud y altitud son las tres coordenadas que suministra un dispositivo GPS
Valladolid está situada a 41º38' latitud N, 4º43' longitud oeste y 698 msnm
10 Cartografía (página 230)
Def.: Cartografía es la ciencia que elabora representaciones de la Tierra o de una parte
de ella. Cuando afectan a partes pequeñas de la tierra se llaman planos. Si afectan a
partes más amplias se llaman mapas.
Def.: Proyecciones son las distintas formas en que puede convertirse una superficie
esférica en plana para dibujar un mapa. De la utilización de una u otra proyección
depende la imagen que aparece en el mapa.
Def. Proyección cilíndrica: Se supone la tierra dentro de un cilindro y se proyecta sobre
él. Las partes aparecen más grandes de lo que son en realidad cuanto más alejadas
están del ecuador. Proyección de Mercator.
Def. Proyección cónica: Se supone la tierra dentro de un cono y se proyecta sobre él.
Las partes aparecen más grandes de lo que son en realidad cuanto más alejadas están
del punto de corte del cono y la esfera. Se suele utilizar para representar áreas de
latitudes medias
Def. Proyección cenital o azimutal: La Tierra se proyecta sobre un plano tangente en un
punto. Los mapas son circulares tanto más distorsionados cuanto más nos alejamos del
punto de tangencia. Se suele utilizar para representar los polos.
Tema 9 – Cuerpos geométricos.