matemática 8° básico

MATEMÁTICA 8° BÁSICO
MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE
ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Material elaborado por: Héctor Muñoz
Adaptación: Ernesto Alabarce V.
ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Matemática 8º Básico
1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD
La unidad aborda desde el empleo de letras en la formación de expresiones matemáticas
pasando por la traducción de expresiones de lenguaje cotidiano a simbólico y viceversa, la
resolución de ecuaciones usando propiedades de las operaciones y propiedades de la
igualdad, la validación de las soluciones encontradas hasta llegar a la resolución de
problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita.
2. DURACIÓN APROXIMADA
4 semanas.
3. CONTENIDOS
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Resolución de problemas m
mediante
ediante ecuaciones de primer grado con una incógnita
4. OBJETIVO DE APRENDIZAJE
Modelar situaciones de la vida diaria y de otras asignaturas, usando ecuaciones lineales de la
forma: ax = b ;
ax + b = cx + d ;
x
=b;
a
ax + b = c ;
x
+b =c ;
a
ax = b + cx ;
a ( x + b) = c ;
y a≠0
MATERIAL DE APOYO PARA
PA EL DOCENTE
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ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Matemática 8º Básico
MATERIAL DE APOYO COMPLEMENTARIO PARA EL DOCENTE
1. Profundización de contenidos
Convenciones en relación con las expresiones algebraicas
Entre las principales convenciones que rigen en el álgebra es valioso que los estudiantes
asimilen las siguientes:
Representación de la multiplicación y la división.
Mirando desde la grafología del lenguaje conviene evitar el empleo de una cruz (x) para
representar la multiplicación, ya que puede confundirse fácilmente con la letra x usada en el
álgebra que es usada en el modelamiento de múltiples situaciones, por ejemplos e suele
utilizar para designar la cantidad desconocida en una ecuación. Es por esto que la
multiplicación se denota por un punto; por ejemplo: 2 ⋅ 3 = 6
Si uno de los factores de la multiplicación es una letra, se puede omitir el punto de
multiplicación.
Así, por ejemplo, el producto de a por b puede escribirse como a ⋅ b o como ab . De igual
forma 2 ⋅ x = 2 x .
De acuerdo con la equivalencia que existe entre las fracciones y la operación de división, una
división puede expresarse mediante los habituales dos puntos, por ejemplo x : 4 o utilizando
x
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la notación de fracciones, por ejemplo .
Prioridad de las operaciones.
Una expresión que incluye más de una operación debe abordarse de acuerdo al siguiente
orden:
o
o
o
o
Paréntesis
Potencias y raíces
Multiplicaciones y divisiones
Adiciones y sustracciones
Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual
Es común que muchos estudiantes consideren el signo = como una invitación al cálculo y no
como una relación de equivalencia. Así, por ejemplo, interpretan la expresión 5 + 8 = x + 3
como “a 5 se le suma 8 y al resultado se le suma 3”. Por tal razón, consideran que x debe
valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así: 5 + 8 = x + 3 = 16
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ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Matemática 8º Básico
Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que
todo los que está a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8 ) representa la misma
cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, x + 3 ). Para que ello se cumpla, x debe
ser 10.
Ecuaciones como modelo que representa una situación problemática
En la resolución de problemas, las ecuaciones que se planteen constituyen un modelo de las
relaciones que existen entre las diferentes cantidades que intervienen.
Supongamos, a modo de ejemplo, que se quiere resolver el siguiente problema:
“Las entradas al circo del Tony Pirata cuestan $4.000 para mayores de 10 años y $2.500 para
menores de 10 años. En la primera función, el cajero informó que se habían vendido 210
entradas con una recaudación total de $865.000. Pero no sabía cuántas de estas 210
entradas eran entradas de $2.500 y cuántas eran de $4.000. ¿Podrías ayudarle a salir de su
duda?”.
Si representamos por x el número de espectadores mayores de 10 años, podemos plantear
la ecuación: 4.000 x + 2.500 ( 210 − x ) = 865.000
Es muy importante que, antes de tratar de resolver la ecuación, nos aseguremos que los
estudiantes entiendan qué representa cada número y cada letra en esta ecuación y por qué
se establecen las operaciones que allí aparecen. Por ejemplo: ¿Qué representa la letra x? ¿A
qué corresponde el número 4.000? ¿Por qué se multiplica 4.000 por x? ¿Qué representa ese
producto?, etc.
Sólo después de tener claro qué representa la ecuación y cómo ella expresa la situación en
estudio podemos buscar formas de resolver la ecuación. Y una vez resuelta la ecuación, es
decir, una vez que hemos encontrado el valor que debe tener x para que se cumpla la
igualdad, será necesario interpretar esa solución en términos de la situación problemática
inicial. Y establecer, asimismo, si esta solución responde a lo que se quiere averiguar y si la
respuesta es razonable.
Las propiedades de la igualdad en la resolución de ecuaciones
En la resolución de ecuaciones se utiliza con frecuencia la idea de “pasar” términos o
cantidades de un lado al otro de la igualdad. Esta operación no está definida en matemáticas
y suele inducir a errores o indeterminaciones. Por ejemplo, en la ecuación: x – 3 = 8 es
común que los alumnos “pasen” el –3 como negativo al lado derecho argumentando
(erróneamente por supuesto) que el signo negativo a la izquierda del 3 corresponde al signo
de la sustracción, por ende el 3 es positivo. Las confusiones aumentan cuando la incógnita
aparece multiplicada o dividida por una cantidad. Luego, es preferible apoyarse en las
propiedades de la igualdad o en alguna otra metáfora que priorice la comprensión del
procedimiento por sobre la memorización de rutinas carentes de sentido. Una forma de
aplicar el concepto de igualdad se propone a continuación:
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ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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Si a los dos lados de la igualdad se adiciona o sustrae una misma cantidad, la igualdad se
mantiene.
Si los dos lados de la igualdad se multiplican por una misma cantidad, la igualdad se
mantiene.
Si los dos lados de la igualdad se dividen por una misma cantidad distinta de 0, la igualdad
se mantiene.
La primera propiedad suele ilustrarse utilizando la metáfora de la balanza. Si dos cantidades
están en equilibrio en una balanza, el equilibrio se mantendrá si agrego o quito la misma
cantidad en ambos lados de la balanza. Esta metáfora es muy comprensible para los
estudiantes.
2. Sugerencias metodológicas
El docente debiera intentar por todos los medios evitar mecanizar a sus estudiantes con el
método de “pasar” de un lado a otro. Tal como se mencionaba en la sección de
profundización, este procedimiento tiene muchos inconvenientes y trae consigo una serie de
“anclajes conceptuales” erróneos que después es muy difícil de corregir. Por el contrario,
existen variados métodos de resolución que apuntan a la comprensión por sobre la
memorización. Por ejemplo un método que el docente podría ocupar en ecuaciones sencillas
es el siguiente:
2 x + 3 = 15
2 x + 3 = 12 + 3
2x + 3 = 2 ⋅ 6 + 3
x=6
Como se puede ver en la secuencia anterior, el procedimiento consiste en formar en ambos
lados de la ecuación expresiones iguales. La estrategia anterior funciona incluso para valores
incógnitos racionales, por ejemplo:
5 x + 1 = 17
5 x + 1 = 16 + 1
16
+1
5
16
x=
5
5x + 1 = 5 ⋅
Existen también otros procedimientos usando material concreto que pueden resultar
prácticos y útiles dependiendo el contexto y la realidad de los estudiantes con los cuales se
trabaje.
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ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Matemática 8º Básico
Sin lugar a dudas que la recomendación más importante es realizar una correcta lectura del
Objetivo de Aprendizaje. Como mínimo los estudiantes deben ser capaces de modelar
situaciones de la vida diaria y de otras asignaturas usando ecuaciones de primer grado. Esto
quiere decir que si los estudiantes resuelven cientos de ecuaciones sin contexto alguno, por
muy bien que lo hagan, no estarán cumpliendo ni con lo mínimo requerido. Por lo tanto los
interminables listados de ejercicios de aquellos libros de álgebra que han acompañado a los
docentes por años no son suficientes para dar cumpliendo a las bases curriculares. Lo
anterior no quiere decir que los alumnos y alumnas no deban saber cómo se resuelve una
ecuación, por el contrario, deben saber hacerlo bien para poder modelar diversas situaciones
y resolver problemas por medio de ellas.
Se sugiere también que el docente realice un esfuerzo en relacionar las actividades
enfocadas a la resolución de problemas y el establecimiento de modelos por medio de
ecuaciones con los énfasis en las evaluaciones tanto formativas como sumativas, ya que los
estudiantes tienden a valorar aquello que es evaluado por sobre lo que no se incluye en las
evaluaciones. De esta forma si las evaluaciones apuntan a medir sólo procedimientos de
resolución de ecuaciones, se estará situando un valor en sí que por cierto estará desalineado
con las bases curriculares y por ende con las evaluaciones externas del nivel.
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ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA
GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL). EMPLEO DE LETRAS PARA REPRESENTAR
CANTIDADES
En esta guía se muestran ejemplos de uso de letras para representar números. En especial, se
destaca el uso de letras para representar propiedades de las operaciones, el uso de letras en
fórmulas para el cálculo de magnitudes geométricas y el uso de letras para representar
cantidades desconocidas.
GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL). SIGNIFICADO Y PROPIEDADES DE LA
IGUALDAD
En esta guía se analizan algunas situaciones que suelen originar errores en los estudiantes en
relación con el significado del signo igual. En especial se considera el error mencionado en la
sección anterior.
GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL). CONVENCIONES EN EL LENGUAJE
ALGEBRAICO
En esta guía se ejercitan algunas convenciones relevantes en el lenguaje algebraico. En
especial, se menciona la forma de escribir una multiplicación cuando uno o más de los
factores son letras, y las prioridades de las operaciones en expresiones que incluyen más de
una operación.
GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL). REPRESENTACIÓN DE SITUACIONES MEDIANTE
ECUACIONES
Esta guía pone el énfasis en la representación de una situación problemática mediante una
ecuación en que la cantidad desconocida se designa mediante una letra. Las distintas
actividades propuestas buscan clarificar la relación que existe entre la ecuación y la situación
representada por esa ecuación.
GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL). LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
En esta guía se introduce la noción de solución para una ecuación. Asimismo se trabaja sobre
el hecho de que una ecuación de primer grado tiene, en general, una solución, pero en
algunos casos puede plantearse condiciones para las cuales ningún número es solución o
casos en que cualquier número hace verdadera la ecuación.
GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL). PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES (I)
En esta guía se ven algunos procedimientos de resolución de ecuaciones en casos simples. En
especial se muestra la aplicación del carácter inverso de las operaciones y la aplicación de la
invariancia de la igualdad si se suma o se resta a ambos lados de ella una misma cantidad.
GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL). PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES (II)
En esta guía se ven nuevos procedimientos de resolución de ecuaciones en casos simples.
Esta vez se muestra la aplicación de la invariancia de la igualdad si se multiplican o se dividen
ambos lados de ella por una misma cantidad. La guía se inicia con un breve repaso de
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ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Matemática 8º Básico
conocimientos acerca de la multiplicación y división de fracciones en casos atingentes al
contenido que se está estudiando.
GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON AYUDA DE
ECUACIONES
En esta guía se formulan algunas situaciones problemáticas y se espera que el estudiante las
resuelva usando ecuaciones. Las preguntas que se plantean en cada caso apuntan a aclarar la
relación que existe entre la ecuación y la situación problemática, así como la relación que
existe entre lasolución de la ecuación y la pregunta del problema.
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