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Matemáticas Discretas
Oscar Bedoya
[email protected]
http://eisc.univalle.edu.co/~oscarbed/MD/
Lógica de predicados
Dados A={a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,e,g,h} , responda:
• P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
• AxB={(a,c),(a,d),(a,e),(a,a),(b,c),(b,d),(b,e),(c,c),(c,d),(c,e)}
• {1} A
• |BxC|=8
• |P(C)|=16
• C-B={a,g,h,c}
• B-A={d,e}
• { } { ,{ ,
}}
• x y x y=2
• x y (x+y=15
x-y=1)
Lógica de predicados
Dados A={a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,e,g,h} , responda:
• P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. (F), falta
• AxB={(a,c),(a,d),(a,e),(a,a),(b,c),(b,d),(b,e),(c,c),(c,d),(c,e)}. (F), (a,a) AxB
• {1} A. (F)
• |BxC|=8. (F)
• |P(C)|=16. (V)
• C-B={a,g,h,c}. (F), c C-B
• B-A={d,e}. (V)
• { } { ,{ ,
}}. (V)
• x y x y=2. (F), para x=0 no existe y
• x y (x+y=15
x-y=1). (V), x=8, y=7
Lógica de predicados
Dados A={a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,e,g,h} , responda:
• P(B)
• CxA
• |AxC|
• |P(B)|
• A-B
• A-C
Lógica de predicados
Dados A={a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,e,g,h} , responda:
• P(B) = { ,{c}.{d},{e},{c,d},{c,e}.{d,e},{c,d,e}}
• CxA = {(a,a),(e,a),(g,a),(h,a),(a,b),(e,b),(g,b),(h,b),(a,c),(e,c),(g,c),(h,c)}
• |AxC| = 12
• |P(B)| = 8
• A-B = {a,b}
• A-C = {b,c}
Lógica de predicados
Considerando el dominio de los enteros, responda falso (F)
o verdadero (V) según corresponda:
• x y (x+y=5)
• x y (x+y=1)
• x y (x2+y=-1
2x-y=4)
Lógica de predicados
Considerando el dominio de los enteros, responda falso (F)
o verdadero (V) según corresponda:
• x y (x+y=5). (V)
• x y (x+y=1). (F)
• x y (x2+y=-1
2x-y=4). (V), x=-3, y=-10 ó x=1, y=-2
Lógica proposicional
Pruebe la equivalencia,
[(pq) ( q r)] ( p r)
V
p
q
r
pq
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
q
q r
(pq) ( q r)
[(pq) ( q r)]
p
( p r)
Lógica proposicional
Pruebe la equivalencia,
(p q)( p
(q p))
(p q)( p
(q p))
V
Lógica proposicional
Pruebe la equivalencia,
(p q)( p
(q p))
(p q)( p
( (p q)) ( p
(q p))
V
(q p)) pq
p q
(p q) ( p
(q p))
Doble negación
(p q) ( p
q
p)
De Morgan
(p q) ( p
p
q)
Conmutativa
(p q) ( p
q)
(p q)
V
(p q)
Idempotencia
De Morgan
Negación
Lógica proposicional
Pruebe la equivalencia, (p q)(pq)
V
Lógica proposicional
Pruebe la equivalencia, (p q)(pq)
(p q)(pq)
(p q) (pq)
V
pq
p q
( p
q) (pq)
De Morgan
( p
q) ( p q)
pq
( p
q) (q
Conmutativa
p ( q q)
p V
V
p
p)
p
p q
Asociativa
Negación
Dominación
Teoría de Conjuntos
Probar A
(B - C) = A
(B - C)
A
B
C
A
B-C
B-C
A (B-C)
A (B-C)
A (B C)
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
Teoría de Conjuntos
Probar A
A
(B - A) = U
(B - A) =
Teoría de Conjuntos
Probar A
A
(B - A) = U
(B - A) = { x | x
(A
(B – A)) }
={x|
[x
={x|
[x A
x (B – A)] }
={x|
[x A
x B
x A] }
={x|
[x A
x A
x B] }
={x|
[x
x B] }
={x|
(x
={x|x U}
=U
(A
) }
(B – A))] }
Teoría de Conjuntos
Probar A
A
(A
(A
B) =
B) = A
B
Teoría de Conjuntos
Probar A
A
(A
(A
B) = A
B) = { x | x
={x|
[x
={x|
B
(A
(A
(A
B))] }
[x A
x (A
B)] }
={x|
[x A
(x A
x B)] }
={x|
[ (x A
={x|
[ (x U)
={x|
(x A
={x|x A
=A
B
(A
B)) }
x A)
(x A
x B) }
x B}
(x A
x B)] }
x B)] }
Funciones
Dadas las funciones:
• f1 de {a,b,c,d} a {1,2,3} donde f1(a)=3, f1(b)=1, f1(c)=2 y f1(d)=3
• f2(x)=x2 + 4 de los reales a los reales positivos mayores o iguales a 4.0
•f3(x)=x3+1 de los reales a los reales
Inyectiva
f1
f2
f3
Sobreyectiva
Biyectiva
Funciones
Dadas las funciones:
• f1 de {a,b,c,d} a {1,2,3} donde f1(a)=3, f1(b)=1, f1(c)=2 y f1(d)=3
• f2(x)=x2 + 4 de los reales a los reales positivos mayores o iguales a 4.0
•f3(x)=x3+1 de los reales a los reales
Inyectiva
Sobreyectiva
Biyectiva
f1
NO
SI
NO
f2
NO
SI
NO
f3
SI
SI
SI
Sucesiones y Sumatorias
1/4, -1/2, 1, -2, 4, …
-1, -3, -5, -7, -9, …
6, 18, 54, 162, 486, ...
1/3, 7/12, 5/6, 13/12, …
3, 9/4, 27/16, 81/64, …
Progresión
aritmética
{an=t+n d}
Progresión
geométrica
{ an=t rn }
No es progresión
aritmética ni
geométrica
Sucesiones y Sumatorias
1/4, -1/2, 1, -2, 4, …
-1, -3, -5, -7, -9, …
Progresión
aritmética
{an=t+n d}
{(1/4) (-2)n}
{-1+n (-2)}
6, 18, 54, 162, 486, ...
1/3, 7/12, 5/6, 13/12, …
3, 9/4, 27/16, 81/64, …
Progresión
geométrica
{ an=t rn }
{6 3n}
{1/3+n (1/4)}
{3 (3/4)n}
No es progresión
aritmética ni
geométrica
Sucesiones y Sumatorias
3, -12. 48, -192, 768 …
1, 5, 9, 14, 18, …
-5. -8, -11, -14, -17,...
Progresión
aritmética
{an=t+n d}
Progresión
geométrica
{ an=t rn }
No es progresión
aritmética ni
geométrica
Sucesiones y Sumatorias
3, -12. 48, -192, 768 …
Progresión
aritmética
{an=t+n d}
No es progresión
aritmética ni
geométrica
{3 (-4)n}
1, 5, 9, 14, 18, …
-5. -8, -11, -14, -17,...
Progresión
geométrica
{ an=t rn }
x
{-5+n (-3)}
Sucesiones y Sumatorias
Calcule las siguientes sumatorias:
20
k2
a)
k
2
15
b)
k3
k
c)
1
30
k
k 5
d)
10
3 4k
k 2
Sucesiones y Sumatorias
20
a)
20
k2
k
( 2) 2
( 1) 2
(0) 2
2
k2
k 1
5
20 21 41
6
2875
Sucesiones y Sumatorias
15
b)
15
k3
k
( 1) 3
(0) 3
1
k3
k 1
1
152 (16) 2
4
14399
Sucesiones y Sumatorias
c)
30
30
k
k 5
k
(1
2
3
4)
k 1
30(31)
2
10
455
Sucesiones y Sumatorias
10
10
3 4k
d)
k 2
3 4k
(3 4 0
3 41 )
k 0
3 411 3
4 1
15
4194288
Sucesiones y Sumatorias
Calcule la siguiente sumatoria:
12
2 ( 4) k
k 3
Sucesiones y Sumatorias
Calcule la siguiente sumatoria:
12
2 ( 4) k
k 3
12
2 ( 4) k
[ 2 ( 4) 0
2 ( 4)1
2 ( 4) 2 ]
k 0
2 ( 4)13 2
4 1
26843520
[2
8
32]
26843546 (26)