Matemáticas Discretas SUCESIONES Y SUMATORIAS Sucesiones Estructura discreta usada para representar una lista ordenada de elementos Si elementos de sucesión infinita se pueden enumerar: conjunto contable o numerable Sucesiones: definición Función de un subconjunto del conjunto de enteros ( {0,1,2,..} o {1,2,3,...}) en un conjunto S f(n) = an, an es un término de la sucesión {an} describe la sucesión Sucesiones Considere la siguiente lista de términos 2, 4, 8, 16, 32, ..., Lista se obtiene a partir de la secuencia {an} donde an=2n La lista de términos de esta secuencia es: a1, a2, a3, ..., donde a1=2, a2=4, a3=8 y an=2n Sucesiones Considere la secuencia {bn}, donde bn=(-1)n Cuál es la lista de términos de la secuencia, comenzando desde b0 ? Sucesión La lista de términos de la secuencia {bn}, donde bn=(-1)n desde b0 1,-1,1,-1,1,... b0, b1, b2, b3, ..., donde b0=1, b1=-1, b2=1 b3=-1, ..., bn=(-1)n Sucesiones Qué “regla” permite producir la siguiente lista de términos de la secuencia? 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59,... Sucesiones 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59,... La lista se puede expresar como 5, 5+6(1), 5+6(2), 5+6(3), ..., 5+6(n) Sucesiones La lista de términos 5, 5+(1)6, 5+(2)6, 5+ (3)6, ..., 5+ (n)6 es una progresión aritmética donde a=5 y d=6 Progresión Geométrica Considere la siguiente lista de términos 4, 8, 16, 32, … Se puede expresar como 4, 4*21, 4*22, 4*23, … Progresión Geométrica Sucesión de la forma a, ar, 2 n ar ,...,ar donde, el término inicial a y la razón r son números reales Progresión Aritmética Sucesión de la forma a, a+d, a+2d,a+3d,...,a+nd donde, el término inicial a y la diferencia d son números reales Progresiones Dadas las siguientes listas de términos, indique cuáles corresponden a progresiones aritméticas o geométricas y en tal caso determine a, d o r 2, 4, 6, 8, 10, 12, … 2, 4, 8, 16, 32, 64, … 3, 1, -1, -3, -5, -7, … 1/2, 3/2, 5/2, 5, 9/2, 11/2, … Progresión Geométrica Indique el término inicial y la proporción de la siguiente progresión geométrica 2, 6, 18, 53, … Progresiones Indique cuáles de las siguientes listas de términos corresponden a progresiones geométricas 5, 10, 20, 40, … 3, -3, 3, -3, … 1/2, 1/6, 1/12, 1/18, … Sucesiones útiles Término Primeros términos n-ésimo n2 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,... n3 1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,... n4 1,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561, 10000,... 2n 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,... 3n 3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,... n! 1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,... Sumatoria: definición Sumatoria desde j=m hasta n de aj, n ∑ j=m a j La variable j es el índice de la sumatoria y toma todos los valores enteros entre el limite inferior y el limite superior de la suma Sumatorias Expresar la suma de los primeros 100 términos de la secuencia {an} donde an=1/n para n=1,2,3,… Sumatorias 100 términos de la secuencia {an} donde an=1/n para n=1,2,3,… 100 ∑ j =1 1 j Sumatorias Cuál es el valor de 5 ∑ j =1 j 2 Sumatorias 5 ∑ j 2 j =1 =12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 =55 Sumatorias Cuál es el valor de 8 ∑ k=4 ( − 1) k Sumatorias 8 ∑ ( − 1) k k=4 =(-1)4 + (-1)5 + (-1)6 + (-1)7 + (-1)8 = 1 = 1 + (-1) + 1 + -1 + 1 Sumatorias Indicar el valor de las siguientes sumatorias 4 ∑1 k =1 3 ∑ 2k k =0 9 ∑ j=5 ( j + 2) j Sumatorias SUMAS DOBLES 4 3 ∑∑ i =1 i* j j =1 Para resolver una suma doble se debe resolver primero la suma más interna y luego la suma externa Sumas Dobles 4 ∑ (i * 1 + i * 2 + i * 3) i =1 = 4 ∑ (i * 6 ) i =1 = 1*6 + 2*6 + 3*6+ 4*6 = 6 + 12 + 18 + 24 = 60 Sumas dobles 5 3 ∑∑ i= 2 2 4 ∑∑ i =1 j =1 i* j2 j =1 ( i − 1) * ( j + 1) 2 Sumas sobre conjuntos ∑ s S ∈{ 0 , 2 , 4 } Representa la suma de los valores de s para todos los miembros del conjunto {0,2,4} ∑ s = 0 + 2 + 4 = 6 S ∈{ 0 , 2 , 4 } Ejercicios Dado S={1,3,5,7}, indique cuáles son los valores de las siguiente sumas: ∑ j∈ S j ∑ j∈ S ∑ 1 j∈ S j 2 Sumatoria progresión geométrica A y r son números reales, r ≠0 n Si r ≠1 ∑ ar k = ar k k =0 ar n +1 − a r −1 n Si r =1 ∑ k =0 = ( n + 1) a n ∑ ar k =0 n ∑ k =1 n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) = 6 k 3 n 2 ( n + 1) 2 = 4 n k =1 − a r −1 2 k =1 ∑ = n +1 n ( n + 1) k = 2 n ∑ k ar k 20 ∑ 3 ⋅ (5 ) j=0 100 ∑ k k =1 50 ∑ i =1 i 2 j 5 ∑ k 3 k =1 20 ∑ j =1 (j+ j ) 2 Conjuntos Enumerables Los conjuntos A y B tien en el mismo cardinal si y solo si existe una biyección entre A y B Un conjunto es enumerable o contable si es finito o si tiene el mismo cardinal que el conjunto de los enteros positivos Conjuntos Enumerables Conjunto de impares positivos es contable f(n)=2n-1, f : Z+ → Z+ impares f es biyectiva Conjuntos Enumerables Conjunto infinito enumerable si se pueden enumerar sus elementos en una sucesión a1=f(1), a2=f(2),...., an=f(n) El conjunto anterior se puede enumerar mediante la sucesión a1a2 ,...., an, donde an=2n-1