DdT73conimag BV Ok - Comisión Nacional de Seguros y Fianzas

Predictor Bayesiano de la Reserva para Obligaciones
Pendientes de Cumplir por Siniestros Ocurridos y No
Reportados
Act. María Teresa Moreno Muñoz
Mayo 1999
Serie Documentos de
Trabajo
Documento de Trabajo No. 73
Índice
Introducción
1
Objetivos
4
Capítulo I
Antecedentes
5
Capítulo II
Métodos para el Cálculo de las Reservas de
Siniestros Ocurridos y No Reportados
15
Propuesta del Predictor Bayesiano de la Reserva para
Obligaciones Pendientes de Cumplir por Siniestros
Ocurridos y No Reportados
32
Aplicaciones
41
Capítulo III
Capítulo IV
Conclusiones
108
Apéndice Estadístico
109
Bibliografía
115
Nota
116
Predictor Bayesiano de la Reserva para
Obligaciones Pendientes de Cumplir por
Siniestros Ocurridos y No Reportados
Act. María Teresa Moreno Muñoz*
Introducción
El Seguro tiene como finalidad lograr la estabilidad económica, individual y colectiva, de
conjuntos de unidades económicas amenazadas por los peligros comunes; se les otorga una
forma especial de garantía con medios financieros proporcionados por ellos mismos. Las
instituciones de seguros condicionan esta prestación a cambio del pago de una prima y de que
ocurra el siniestro según el contrato realizado para cada tipo de seguros (un siniestro es algún
evento, condicional y fortuito, que de ocurrir cause daño).
La correcta tarificación de primas junto con una buena estimación de las posibles obligaciones
futuras a las que deben hacer frente las aseguradoras, hacen que se mantenga un nivel
adecuado tanto de siniestralidad (siniestralidadt = monto de los siniestros ocurridos hasta el
tiempo t/prima devengada hasta el tiempo t), como de reservas a través del tiempo.
Por lo general en nuestro país las aseguradoras cierran un período contable cada año, entre
otros informes que se presentan tanto a sus inversionistas como a las autoridades
correspondientes, se presenta el estado de resultados técnico, en donde se reportan las
reservas como pasivos. Aquí se nota la importancia de que cada compañía de seguros cuente
con una estimación de las reservas que sea lo más correcta posible, para no cometer errores
en la estimación de su resultado técnico, ya que si el fondo para prevenir las obligaciones
futuras ( o reserva) es excesivo, los recursos sobrantes podrían haberse empleado para otros
fines de interés para la aseguradora; por otra parte si el fondo es insuficiente, afectaría la
capacidad de la compañía para hacer frente a sus obligaciones en el tiempo al no tener una
clara idea de la magnitud de sus pasivos y realizar gastos no previstos por ellos. Una mala
estimación de la reservas podría tener impacto en la tarificación de los productos ofrecidos por
la compañía de seguros y en consecuencia problemas de solvencia.
Dada la importancia de la correcta estimación de las reservas, en la legislación mexicana sobre
seguros, específicamente en la Ley General de Instituciones y Sociedades Mutualistas de
Seguros, se mencionan varios tipos de reservas técnicas que deben ser constituidas, para la
protección tanto de la empresa, como de los clientes y los servicios que reciben. Entre otras se
tienen las siguientes.
I.- Reservas de Riesgos en Curso.
Las reservas de riesgos en curso que deberán constituir las instituciones de seguros, por los
seguros o reaseguros que practiquen, serán:
I.1) Reserva Matemática.
Para los seguros de vida, en los cuales, la prima sea constante y la probabilidad de siniestro
creciente en el tiempo, se crea la reserva matemática de primas correspondientes a las pólizas
1
en vigor en el momento de la valuación, calculada de acuerdo con los métodos actuariales que
mediante reglas de carácter general autorice la Secretaría de Hacienda y Crédito Público.
Para los seguros de pensiones derivados de las leyes de seguridad social, la reserva
matemática de las primas correspondientes a las pólizas en vigor al momento de su valuación
calculada de acuerdo a los métodos actuariales que mediante reglas de carácter general
autorice la Secretaría de Hacienda y Crédito Público.
I.2) Reserva para primas no devengadas.
Para los seguros de vida temporales a un año, la parte de la prima neta no devengada a la
fecha de valuación, dentro del período de cada año en vigor.
Para las operaciones de accidentes y enfermedades y de daños, a excepción de los seguros de
naturaleza catastrófica para los cuales se utilizan reservas especiales (como la Reserva
Catastrófica, la cual se constituye para hacer frente a reclamos con montos altos originados por
un solo evento o una combinación de eventos: terremotos o grandes desastres que pueden
incrementar de manera importante la siniestralidad), se aplica la reserva para primas no
devengadas, que consiste en la fracción de la prima recibida que es atribuible al período de
riesgo que se encuentra entre la fecha de valuación de la reserva y la fecha de terminación del
contrato de seguro, lapso durante el cual, la prima debe servir para cubrir las obligaciones
contraídas con los asegurados por la compañía aseguradora, hasta que se renueve el contrato
de seguro o se termine la obligación con el asegurado.
II.- Reservas para Obligaciones Pendientes de Cumplir.
Se constituye por la cantidad requerida para hacer frente a los reclamos que no se han
liquidado. Se tienen entre otras las siguientes:
II.1) Por pólizas vencidas, por siniestros ocurridos y por repartos periódicos de utilidades.
Estas reservas se constituyen por el importe total de las sumas que debe desembolsar la
institución, al verificarse la eventualidad prevista en el contrato, la estimación se realiza
conforme a las siguientes bases:
II.1.1) Para las operaciones de vida.
Las sumas aseguradas en las pólizas respectivas, con los ajustes que procedan, de acuerdo a
las condiciones del contrato.
II.1.2) Para las operaciones de daños.
1.
Si se trata de siniestros en los que se ha llegado a un acuerdo por ambas partes, los
valores convenidos.
2.
Si se trata de siniestros que han sido valuados en forma distinta por ambas partes, el
promedio de estas valuaciones.
3.
Si se trata de siniestros respecto de los cuales los asegurados no han comunicado
valuación alguna a las instituciones, la estimación que estas últimas hubieren hecho de
2
los siniestros. La Comisión Nacional de Seguros queda facultada, en este caso, para
rectificar la estimación hecha por las empresas.
II.2) Por Siniestros Ocurridos y No Reportados. (I.B.N.R., Incurred But Not Reported).
Las sumas que autorice anualmente la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas, considerando
la experiencia de siniestralidad de la institución y las estimaciones que ésta hubiere hecho,
basadas en el método de cálculo que cada compañía tenga registrada, de siniestros que en el
momento de establecer las reservas, han ocurrido, pero no han sido reportados a la compañía
aseguradora. Los pasivos de este tipo deben ser constituidos con las primas del período en el
que ocurrieron, si no son tomados en cuenta para la constitución de las reservas en su período
de ocurrencia, es probable que la compañía haga uso de otro tipo de reservas para pagarlos y
tal vez enfrente problemas de solvencia.
Algunas veces la compañía tiene el reporte de que ocurrió el siniestro, pero se desconoce el
monto total de la reclamación que se debe pagar (Siniestros Ocurridos Pero no Totalmente
Reportados I.B.N.E.R.), esto ocurre por lo general en seguros que incluyen la cobertura de
Responsabilidad Civil con el principio de cobertura llamado Ocurred o por ocurrencia que cubre
a los siniestros que se realizaron dentro de la vigencia del seguro, aunque la reclamación se
haga posteriormente, a diferencia del otro principio de cobertura llamado Claims Made que
cubre exclusivamente a aquellos siniestros cuya ocurrencia y reclamación sean dentro de la
vigencia del seguro.
En México las pólizas de seguros de Responsabilidad Civil General: Privada y familiar,
Industrial, Comercial, de Construcción, de Hoteles, cundo no se implican riesgos en el
extranjero, se encuentran basados en el principio de cobertura Ocurred. La Responsabilidad
Civil Viajeros y Profesional (sólo para Médicos y Hospitales) se encuentran basados en el
principio de Claims Made. La reserva para el pago de las reclamaciones de los seguros de
Gastos Médicos se calcula por los métodos de I.B.N.R., debido a que se presenta la reclamación
en el período de vigencia del seguro y para la compañía de seguros implica el comienzo de los
pagos que efectuará por los tratamientos médicos correspondientes, aunque haya terminado la
vigencia del seguro se cubren los gastos por dos años o hasta que se termine la suma
asegurada.
En los seguros de Responsabilidad Civil basados en el principio de Ocurred, para la
determinación el monto total que se pagará se requieren períodos posteriores a la terminación
de la vigencia, incluyendo largos procesos legales (como se especifique en cada caso). Por lo
que estos siniestros se llaman de “cola larga”. Es importante notar que la legislación sobre
responsabilidad civil de cada país influye en que tan pesada es la “cola” de cada siniestro. A lo
largo de esta tesis, se presentan ejemplos de reclamaciones por I.B.N.R. en países europeos,
los Estados Unidos y México.
Dado que el manejo estadístico de ambos tipos de reservas es muy similar, pueden incluirse las
reservas de I.B.N.E.R en las reservas de I.B.N.R. En la tesis se trabajan las reservas de la
manera indicada anteriormente.
III.- Reservas de Previsión.
La reserva de previsión se constituye por las cantidades que resulten de aplicar un porcentaje
que no será superior al tres por ciento a las primas emitidas durante el año, deduciendo las
cedidas por concepto de reaseguro, para las operaciones de vida; ni superior al diez por ciento
3
a las primas correspondientes a las pólizas expedidas durante el año con la deducción de las
cedidas por concepto de reaseguro, las devoluciones y las cancelaciones para las demás
operaciones.
IV.- Otras previstas en la Ley.
En esta tesis se trabajará sobre las reservas para las Obligaciones Pendientes de Cumplir por
Siniestros Ocurridos y No Reportados, con la finalidad de obtener estimaciones precisas y que
sean útiles para el sector asegurador. No se desarrollarán modelos para las reservas restantes
de las Obligaciones Pendientes de Cumplir. Se define una reserva que es complementaria a las
reservas de I.B.N.R., la Reserva de Gastos de Ajuste Asignados al Siniestro, ésta es necesaria
porque al pagar un siniestro se deben realizar gastos administrativos por reclamación. Para el
caso de los Siniestros Ocurridos y No Reportados debe constituirse una reserva para hacer
frente a los gastos derivados del pago de estos siniestros. Para obtener la reserva de Gastos de
Ajuste Asignados al Siniestro se pueden utilizar los mismos métodos que para predecir las
reservas de Siniestros Ocurridos y No Reportados.
Las compañías de seguros deben constituir las reservas para Obligaciones Pendientes de
Cumplir por Siniestros Ocurridos y No Reportados (I.B.N.R.) y reserva de Gastos de Ajuste
Asignados al Siniestro. Registrar el método de cálculo ante la Comisión Nacional de Seguros y
Fianzas (C.N.S.F.), la que evaluará la calidad de estimación del método de cálculo. Si el método
no realiza correctamente la estimación de las reservas, la C.N.S.F. recomienda otro para ser
utilizado.
Se reitera la importancia de utilizar estimaciones que sean lo más adecuadas posibles para el
cálculo de las reservas, y se realiza la aplicación de la Estadística Bayesiana en un modelo de
pronóstico para obtener la reserva de los Siniestros Ocurridos y No Reportados. Con este
modelo se obtiene una medida para el error de la estimación y se dispone de la función de
densidad predictiva completa de la reserva; el modelo permite obtener, además de
estimadores puntuales para la reserva, intervalos de credibilidad con el uso de la función de
densidad predictiva obtenida por medio de simulaciones.
Objetivos
•
Presentar un nuevo predictor Bayesiano para la estimación de las reservas de Siniestros
Ocurridos y No Reportados que se de utilidad para el sector asegurador.
•
Presentar varios métodos utilizados para el cálculo de las reservas de I.B.N.R., tanto en
México, como en otros países.
•
Comparar los resultados obtenidos con los distintos modelos tratados en la tesis con la
finalidad de que el lector pueda entender cada uno ellos y juzgar según su criterio cual
sería apropiado a sus necesidades.
•
Utilizar procesos de simulación para obtener la función de densidad predictiva de la
reserva de los Siniestros Ocurridos y No Reportados, hacer notar la utilidad de estos
procesos en la solución de problemas matemáticos y utilizar las funciones predictivas para
obtener intervalos de credibilidad.
4
•
Presentar el análisis de los resultados y las conclusiones obtenidas.
Capítulo I
Antecedentes
I.1) Definiciones
I.1.1) Siniestros Ocurridos y No Reportados (Incurred But Not Reported, I.B.N.R.).
Siniestros cuyo período de origen (período en el que se realizó el siniestro) no coincide con su
período de reclamación (período en el que la compañía aseguradora realiza el registro o el pago
de la reclamación). Dentro de estos siniestros se reconocen dos tipos:
1.
Los Siniestros Ocurridos y No Totalmente Reportados (I.B.N.E.R.). Se trata de siniestros
que la compañía sabe que ocurrieron, pero ignora el monto total que debe pagar por
ellos; este monto se conocerá en varios períodos, debido a la naturaleza de la
reclamación, por ejemplo en los seguros por Responsabilidad Civil, cuyo monto final se
conocerá al final de los procesos legales correspondientes.
2.
Los Siniestros Ocurridos y No reportados (I.B.N.R.). son siniestros de los que la
aseguradora ignora totalmente su ocurrencia, esto es debido a algún atraso en el reporte
de la misma.
Sin embargo, como se mencionó en la introducción, el tratamiento estadístico que se requiere
para ambos tipos de siniestros es similar, por eso en esta tesis se consideran incluidos en los
Siniestros Ocurridos y No Reportados (I.B.N.R.).
I.1.2) Triángulo de desarrollo
En este arreglo triangular se registra la totalidad de información disponible hasta el día de hoy,
acerca del comportamiento de los Siniestros Ocurridos y No Reportados, para cada tipo de
seguros y para cada compañía. Por renglones registra los períodos de origen de los siniestros y
por columnas se indica hasta cuál período se enteró la compañía de la existencia del siniestro y
pagó o registró la obligación correspondiente.
Se define a Xi , j = monto de las reclamaciones pagadas en el período de desarrollo j, para los
siniestros cuyo período de origen es i; Yi , j =
j
∑X
b =1
i ,b
= valor acumulado de las reclamaciones
hasta el período de desarrollo j correspondiente a los siniestros cuyo período de origen es i. A
continuación se muestra cómo se registra la información en un triángulo de desarrollo cuyas
dimensiones (k = s) quedan determinadas según la disponibilidad de información sobre los
períodos de origen de los siniestros y los respectivos períodos de desarrollo en el tiempo hasta
la fecha con que se cuente para la estimación de la reserva de I.B.N.R. También puede suceder
que s>k, debido a que para algunos casos, los siniestros ocurridos en los períodos de origen
más antiguos y reportados en sus respectivos períodos de desarrollo terminaron de reportarse
en su totalidad en períodos de desarrollo anteriores al actual, por lo que se dispone de varios
períodos de origen con información completa sobre el comportamiento de estos siniestros,
5
puesta la información el arreglo, ya no se acomoda de manera triangular, si no en forma de
trapecio (sección IV.2).
1
2
3
4
. .
j
.
k-2
k-1
k
1
X1,1
X1,2
X1,3
X1,4
. .
X1,j
.
X1,k-2
X1,k-1
X1,k
2
X2,1
X2,2
X2,3
.
. .
.
.
X2,k-2
X2,k-1
3
X3,1
X3,2
.
.
. .
.
.
X3,k-2
4
X4,1
.
.
.
. .
.
X4,k-3
.
.
.
.
.
. .
.
i
Xi,1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s-2
Xs-2,1
.
Xs-2,3
s-1
Xs-1,1
.
s
Xs,1
I.1.3) Teorema de Bayes. Sea { B j } una partición del espacio muestral o universo, entonces
n
UB
j
=Ω
j
=∅
j =1
n
IB
j =1
Se puede interpretar a las B j ´s como las posibles causas; a E, un subconjunto del espacio
muestral Ω , con probabilidad de ocurrencia mayor o igual que cero, como el efecto producido
por algunas de las causas B j ´s,
E⊂Ω
1 ≥ P( E ) ≥ 0
Dado que se conoce un efecto determinado E, se desea la probabilidad de que dicho efecto
venga de la causa específica B j .
6
Teorema de Bayes
Para cualquier partición { B j } y para un evento E ≠ ∅ ,
P( B j E ) =
P( B j ) P( E B j )
(I.1)
n
∑ P( B
j =1
j
) P( E B j )
I.1.4) Distribución a priori y distribución a posteriori.
Una posible aplicación del teorema de Bayes es la siguiente.
Sea X 1 , X 2 ,..., X n una muestra de variables aleatorias continuas, independientes dado
θ
e
idénticamente distribuidas de la función de densidad de probabilidad f ( xi θ ) , con i = 1,2,...n , la
función de densidad conjunta de las variables aleatorias X 1 ,... X n es
n
f ( x θ ) = ∏ f ( xi θ )
i =1
Se supone que el parámetro θ es fijo, pero desconocido y que el conocimiento sobre el
parámetro que tiene el investigador se puede modelar como una variable aleatoria, por lo que
se habla de una función de densidad para θ , f (θ ) y se considera una función de densidad
conjunta para ambas
f ( x,θ ) = f ( x θ ) f (θ ) ,
la densidad marginal de las x es
f ( x) = ∫ f ( x,θ )dθ ,
Θ
por (I.1) se tiene que
f (θ x) =
f ( x θ ) f (θ )
f ( x)
,
la que puede ser escrita como
f (θ x) =
L(θ x) f (θ )
f ( x)
,
(I.2)
f ( x ) es no depende de θ y L(θ x ) es la función de verosimilitud, de ella se obtiene
la información del parámetro que tiene la muestra; f (θ ) es la distribución inicial, a priori o
en donde
previa del parámetro, indica lo que se sabe del parámetro de la distribución antes de tomar la
7
muestra;
f (θ x ) es la distribución final o a posteriori del parámetro θ dada la muestra x ,
indica lo que se sabe del parámetro de la distribución dada la muestra.
Se tiene que
f (θ x ) = k * L(θ x ) f (θ ) ,
o
f (θ x ) ∝ L(θ x ) f (θ ) ,
con k =
1
.
f (x)
Se supone una distribución de probabilidad que genera la muestra aleatoria, de igual manera
que en estadística clásica, pero ahora se incorpora la información acerca de los parámetros
involucrados a través de f ( θ ) .
I.2) Manejo de las reservas de los Siniestros Ocurridos y No Reportados en México y la
legislación al respecto.
Se hace notar que la legislación en cada país sobre la Responsabilidad Civil influye en el
desarrollo de los Siniestros Ocurridos y No Reportados.
En México la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas, a través de las circulares que emite,
reglamenta los aspectos relacionados con la reserva de Siniestros Ocurridos y No Reportados.
Lo anterior da lugar a la ampliación de la Ley General de las Instituciones y Sociedades
Mutualistas de Seguros. En la Ley se exige la constitución de esta reserva a las aseguradoras,
pero es hasta 1994 cuando se reglamenta. Esta reserva se utiliza en los principales mercados
de seguros en el mundo como parte importante del esquema de solvencia de la industria
aseguradora.
I.2.1) Reglas de carácter general
En la circular S-10.6 se especifican las reglas que conciernen a las reservas de I.B.N.R. La
Secretaría de Hacienda y Crédito Público podrá modificar la forma y periodicidad de la
constitución de las reservas. La C.N.S.F. establece los términos en que las Instituciones y
Sociedades Mutualistas de Seguros deberán informarle y comprobar todo lo concerniente a la
constitución de estas reservas. La Reserva para las Obligaciones Pendientes de Cumplir por
Siniestros Ocurridos y No Reportados es la suma que autoriza anualmente la C.N.S.F.
considerando la experiencia de la siniestralidad de la institución y las estimaciones que
hubieren hecho de siniestros en los que tengan evidencia y razonables posibilidades de
responsabilidad para la misma. Esta reserva se reporta para las operaciones y ramos
siguientes:
1.
Operación de Vida, distinguiendo entre individual, grupo y colectivo.
2.
Accidentes y enfermedades de manera separada para accidentes personales y gastos
médicos mayores.
8
3.
Operación de daños, de manera separada para cada uno de los ramos que la integran
distinguiendo las diferentes coberturas que involucran responsabilidad civil en cada uno
de ellos.
Cada institución de seguros debe constituir la reserva con base al método actuarial de cálculo
que en su opinión sea el más acorde con las características de su cartera y experiencia
siniestral, y se registra en la C.N.S.F. La estimación debe realizarse cada tres meses. Las
empresas deberán informar trimestralmente los siniestros pagados, con la identificación del
período de su ocurrencia, para que la C.N.S.F. evalúe la calidad de estimación del método
empleado. Se constituye también la reserva de Gastos de Ajuste Asignados al Siniestro, la que
incluye gastos de ajuste tales como honorarios de abogados y de ajustadores externos
contratados para la atención de ciertos siniestros, todos ellos referidos a siniestros ocurridos en
el ejercicio contable o en ejercicios anteriores, pero cuyo aviso se prevé que será presentado
en fechas posteriores al cierre del ejercicio contable.
1.2.2) Envío de formatos estadísticos.
Se explica en la circular S-10.6.1 como deben ser los formatos estadísticos en los que se
reportan los datos que corresponden a los Siniestros Ocurridos y No Reportados. Se explica en
forma gráfica, los procedimientos de llenado de los formatos necesarios para recabar esta
información estadística. Los formatos utilizados son los siguientes: S.E.S.A.O.N.R. TRIMESTRAL
A1 para reportar a los Siniestros Ocurridos y No Reportados. S.E.S.A.G.A.A.S.TRIMESTRAL para
los Gastos de Ajuste Asignados al Siniestro. Para evaluar la información gráficamente, se deben
consultar los anexos I.3.2.1. y I.3.2.2.
I.2.3) Envío de formatos estadísticos anuales.
En la circular S-10.6.2 se explica como se debe enviar la información que es generada por
períodos anuales. De forma similar a lo establecido para los formatos trimestrales, se
presentan en forma gráfica los formatos anuales para recabar la información estadística:
S.E.S.A.O.N.R ANUAL A3 y S.E.S.A.O.N.R ANUAL A2 para reportar a los Siniestros Ocurridos
Pero No Reportados. Para evaluar la información gráfica se deben consultar los anexo I.3.3.1 y
I.3.3.2.
La manera en que se capturan los datos por medio de los formatos estadísticos presentados en
los anexos respectivos no coincide con la forma en que se utilizan en el triángulo de desarrollo
para la estimación de la reserva, se encuentran de manera inversa. Se deberían modificar los
formatos que exige la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas a las compañías aseguradoras
para que los datos se capturen de manera en que puedan utilizarse directamente para la
estimación de la reserva.
I.2.4) Bases por las que se fija el procedimiento para la constitución de la Reserva para
Obligaciones Pendientes de Cumplir por los Siniestros Ocurridos y No Reportados y la Reserva
de Gastos de Ajuste Asignados al Siniestro.
En la circular S-10.6.4 se menciona que las instituciones de seguros deben registrar su método
de cálculo para la reserva ante la C.N.S.F. a más tardar el 30 de octubre de 1995 y presentar
al cierre del ejercicio la estimación anual de las reservas. Las reservas se constituyen conforme
al siguiente calendario:
9
1.
Al 31 de diciembre de 1996 se habrá constituido al menos el 50% del monto de la
estimación a esa fecha.
2.
Al 31 de diciembre de 1997 se debió constituir al 100%.
Las reservas, sólo podrán comenzar a ser utilizadas por parte de las instituciones y sociedades
mutualistas de seguros, una vez que se encuentren constituidas en su totalidad.
I.2.5) Forma y términos para el control y registro contables.
En la circular S-10.6.5 se da a conocer el nombre de todas las cuentas contables que se
utilizarán tanto de activo como de pasivo.
Entre otras cuentas que pueden consultarse directamente de la circular correspondiente, se
tienen las siguientes disposiciones.
Primera: Para el registro en el activo de la parte correspondiente al reasegurador en la Reserva
para Obligaciones Pendientes de Cumplir por Siniestros Ocurridos y No reportados se utiliza la
siguiente cuenta:
1706
Participación de reaseguradoras por siniestros pendientes.
Segunda: Para el registro del pasivo derivado de la determinación de la reserva para I.B.N.R.
se establece la cuenta:
2125 Reserva para obligaciones pendientes de cumplir por Siniestros
Reportados.
Ocurridos y No
Tercera: Para el registro del pasivo que corresponde a la Reserva de Gastos de Ajuste
Asignados al Siniestro, se utilizará la siguiente cuenta:
2126 Reserva de Gastos de Ajuste asignados a los Siniestros Ocurridos y No Reportados.
Cuarta: Para la afectación de resultados por la parte correspondiente a la retención en la
Reserva para Obligaciones Pendientes de cumplir por Siniestros Ocurridos y No Reportados y
de la Reserva de Gastos de Ajuste Asignados al Siniestro, se establecen las siguientes cuentas
y subcuentas:
5209 Incremento a la Reserva para Obligaciones Pendientes de Cumplir por Siniestros
Ocurridos y No Reportados.
01 Del Seguro Directo
02 Del Reaseguro Tomado
5710 Incremento a la Reserva de Gastos de Ajuste asignados a los Siniestros Ocurridos y
No Reportados.
01 Del Seguro Directo
02 Del Reaseguro Tomado
La circular S-10.6.5 entró en vigor a partir del 1° de enero de 1997.
10
Anexo I.3.2.1: S.E.S.A. O.N.R. TRIMESTRAL A1
11
Anexo I.3.2.2: S.E.S.A. G.A.A.S. TRIMESTRAL
12
Anexo I.3.3.1: S.E.S.A. O.N.R. ANUAL A3
13
Anexo I.3.3.2: S.E.S.A. O.N.R. ANUAL A2
14
Capítulo II
Métodos para el cálculo de las Reservas de Siniestros Ocurridos y No
Reportados.
II.1) Métodos mecánicos o determinísticos
Los métodos mecánicos o determinísticos se basan en el supuesto de que se mantiene
constante la proporción de siniestros que se reportan de un período de desarrollo a otro,
independiente del período de origen del siniestro; no utilizan explícitamente supuestos
probabilísticos para la obtención de la reserva, es decir que no presentan un patrón de
variabilidad, suponen una mecánica exacta del proceso. Su aplicación es sencilla, pero por su
naturaleza no es posible obtener límites de confianza para la estimación de la reserva. Sin
embargo son bastante utilizados por las compañías de seguros tanto en México como en otros
países.
Existen varios métodos mecánicos, a continuación se presentan algunos de estos utilizados en
Europa, Estados Unidos y Canadá.
II.1.1) Europa
En los países de Europa no existen diferencias significativas en cuanto a los métodos utilizados
para la constitución de la reserva de Siniestros Ocurridos Pero No Reportados. Por eso
únicamente se considera el ejemplo de un país: Alemania, en donde se utiliza, entre otros, el
método de Porcentajes Acumulados de Siniestralidad. Para su aplicación se necesita la
información de siniestralidad de períodos anteriores.
II.1.1.1) Porcentajes acumulados de siniestralidad.
Sea X i, j = el monto de los Siniestros Ocurridos y No Reportados que corresponden al período
de origen i,
1 ≤ i ≤ s, pagados en el período de desarrollo j, 1 ≤ j ≤ k . Los valores de X i, j para
i + j ≤ k + 1 son los valores conocidos en el triángulo de desarrollo.
Pi =la prima emitida en el período de ocurrencia i.
j
∑ X i, j
S i, j = b=1
Pi
=Valor acumulado de las siniestralidades hasta el período de desarrollo j para el
año de origen i.
Di, j +1 = S i, j +1 − S i, j =diferencia de los porcentajes acumulados de siniestralidad en relación al
período inmediato anterior.
Entonces a partir de la información conocida en el triángulo de desarrollo sobre las diferencias
de los porcentajes acumulados de siniestralidad X i, j +1’s, se obtiene lo siguiente.
15
s
∑ Di, j +1
Promedio Aritmético j +1 =
i =1
k− j+2
.
Los promedios aritméticos se obtienen para todas las columnas o períodos de ocurrencia,
2 ≤ j + 1 ≤ k . Mediante un proceso de suma inversa se obtienen los promedios acumulados
correspondientes a cada período de origen. Se comienza por j+1=k, el último período de
desarrollo conocido, hasta llegar al primer período de desarrollo.
Promedio Acumulado j +1 =Promedio Aritmético j +1 +Promedio Acumulado j .
Se obtienen por recursividad los promedios acumulados. Para el último período de origen u
ocurrencia del siniestro, le corresponde el promedio acumulado de los promedios aritméticos de
los períodos de desarrollo que se encuentran en la parte desconocida del triángulo de desarrollo
para ese período de origen, es decir dado un período de origen i, le corresponde el promedio
acumulado de los períodos de desarrollo j que cumplen con lo siguiente k − i + 1 ≤ j ≤ k .
La reserva para el período de ocurrencia i es Ri = Pi *
k
∑
Promedio Acumulado j. A
j = k − i +1
continuación se ejemplifica el método.
Cuadro II.1: Porcentajes Acumulados de Siniestralidad. Datos utilizados
Año de desarrollo
Año de
origen u
ocurrencia
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1
2
3
4
5
6
7
8
15
21
12
40
33
7
55
2
45
59
42
105
50
32
111
85
93
72
138
107
66
117
126
110
158
128
127
137
120
165
130
140
123
132
140
132
16
Cuadro II.2: Diferencia de los porcentajes acumulados de siniestralidad, y suma inversa que se
realiza con los promedios aritméticos.
Año de desarrollo
Año de
ocurrencia
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
Promedio
aritmético
Promedio
acumulado
1
30
38
30
65
17
25
56
2
40
34
30
33
57
34
3
32
33
38
20
21
4
10
11
10
7
5
3
3
3
6
2
0
7
0
37
38
29
10
3
1
0
118
80
42
14
4
1
0
Total
117
119
111
125
95
59
56
Cuadro II.3: Ejemplo del cálculo de la reserva para I.B.N.R.
Año de
ocurrencia
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
Total
Promedio
acumulado
0
0
1
4
14
42
80
118
Primas
$
$
$
$
$
$
$
$
1,000
1,100
1,200
1,400
1,500
1,700
1,800
2,000
Reserva
$
$
$
$
$
$
$
$
$
12
56
203
719
1,445
2,352
4,787
II.1.2) Estados Unidos y Canadá.
Se consideran, entre otros existentes, sólo dos métodos utilizados en estos países para el
cálculo de las reservas de I.B.N.R. Los resultados generados por estos métodos son similares
como se verá a continuación.
II.1.2.1) Modelo de Crecimiento.
Sea X i, j =monto de los Siniestros Ocurridos y No Reportados que corresponden al período de
origen i, 1 ≤ i ≤ s , pagados en el período de desarrollo j, 1 ≤ j ≤ k .
j
Yi, j =
∑
X i, b =valor acumulado de los siniestros pagados hasta el período de desarrollo j, que
b=1
corresponden al período de origen i.
Se obtiene la proporción acumulada de siniestros para cada período de desarrollo con respecto
al total reportado, para cada período de origen. Se generan los siguientes valores.
17
Ci, j =
Yi, j
Yi, k − i +1
, para i + j ≤ k + 1. Se incluye el supuesto de que de alguna manera se conoce la
proporción
de siniestros que se han reportado hasta el momento, esta proporción puede
estimarse con la experiencia previa de la compañía sobre el comportamiento de sus Siniestros
Ocurridos y No Reportados
'
, es decir C1, j = Ci, j * τ ,
para los siguientes períodos se deben ajustar los porcentajes calculados con el promedio
k −i
Cb' , j
b=1
'
.
obtenido en la columna correspondiente al período de desarrollo, es decir Ci, j =
Se multiplica el primer renglón del triángulo por el factor de ajuste
τ
∑
k −i
Se encuentra la estimación final de los siniestros con la división de los valores de la diagonal
inferior del triángulo original por los factores resultantes Y$i, j =
Yi, j
Ci' , j
, con i + j = k + 1. La reserva
correspondiente se obtiene al restar estos montos a los últimos acumulados y conocidos para
cada período de origen. La reserva total se obtiene al sumar los valores anteriores para todos
los períodos de origen. A continuación se ejemplifica el método.
Cuadro II.4: Datos en el triángulo de desarrollo. Siniestros acumulados pagados.
Año de desarrollo
Año de
ocurrencia
0
1
2
3
4
1989
750
901
1076
1200
1231
1990
780
912
1045
1150
1991
870
967
1043
1992
987
1098
1993
1078
Cuadro II.5: Porcentajes acumulados de siniestros pagados.
Año de desarrollo
Año de
ocurrencia
0
1
2
3
4
1989
60.9%
73.2%
87.4%
97.5%
100.0%
1990
67.8%
79.3%
90.9%
100.0%
1991
83.4%
92.7%
100.0%
1992
89.9%
100.0%
1993
100.0%
Para el ejemplo se considera que
τ
= 95 %.
18
Cuadro II.6: Estimación del porcentaje de siniestros pagados para cada periodo de origen (los
promedios se encuentran en la diagonal).
Año de desarrollo
Año de
ocurrencia
0
1
2
3
4
1989
57.9%
69.5%
83.0%
92.6%
95.0%
1990
62.8%
73.4%
84.2%
92.6%
1991
69.7%
77.5%
83.6%
1992
66.1%
73.5%
1993
64.1%
Cuadro II.7: Método de Crecimiento. Estimación de la Reserva para I.B.N.R.
Año de desarrollo
Año de
ocurrencia
1989
1990
1991
1992
1993
0
750
780
870
987
1078
1
901
912
967
1098
2
1076
1045
1043
3
1200
1150
4
1231
Estimación
Porcentaje del pago
Reserva
final
95.0% $
1,296 $
65
92.6% $
1,242 $
92
83.6% $
1,248 $
205
73.5% $
1,494 $
396
64.1% $
1,682 $
604
$ 1,361
II.1.2.2) Método de la Razón.
Se definen X i, j y Yi, j como en la sección II.1.2.1. Del triángulo de desarrollo con los siniestros
acumulados se obtienen los porcentajes de crecimiento de un período de desarrollo a otro, para
un período de origen dado, es decir Di, j =
de
las
tasas de
k −( j +1) −1
crecimiento
X i, j +1
X i, j
, se calcula después el promedio aritmético
correspondientes
a
cada
período
de
desarrollo
∑ Di, j
D$ j , j +1 =
i =1
K − ( j + 1) − 1
, para j=1,…,k-1. El método hace el supuesto que de algún modo se
conoce o se puede estimar la proporción
de siniestros que faltan por reportar. Esto puede
estimarse tomando en cuenta el comportamiento de los Siniestros Ocurridos y No Reportados a
través del tiempo para cada compañía de seguros. Se ajusta el último promedio con el factor
$
correspondiente D
k −1, k = Dk −1, k * (1 + γ ) . Luego se deben acumular (mediante un proceso de
acumulación inversa) a estos promedios aritméticos incluyendo el factor de ajuste
D$ ' j −1, j = D$ j −1, j * D$ 'j , j +1 . Se utilizan estos factores para estimar el pago final acumulado que
se realizará para cada período de origen y la reserva se obtiene de la siguiente manera. Los
$'
siniestros acumulados totales son Y$i = Yi, k − i +1 * D
k − i, k − i +1, la reserva para cada período de
origen se obtiene restando al monto del siniestro total estimado, el último monto conocido en
el triángulo de desarrollo. La reserva total se obtiene al sumar las reservas para cada período
de origen, para i=1,…,s.
19
A continuación se presenta un ejemplo de la aplicación del método. Se estima que para el
primer período de origen el porcentaje de los siniestros que aún faltan por pagar γ =5%.
Cuadro II.8: Estimación de los factores de siniestralidad, obtención de su promedio aritmético y
su proceso de acumulación inversa.
Año de desarrollo
Año de
ocurrencia
0a1
1a2
2a3
3a4
1989
1.20
1.19
1.12 1.03
1990
1.17
1.15
1.10
1991
1.11
1.08
1992
1.11
Promedio
aritmético
1.15
1.14
1.11 1.03
Promedio
acumulado
1.56
1.36
1.19 1.08
1.05
Cuadro II.9: Método de la Razón. Estimación de la reserva.
Año de desarrollo
Año de
ocurrencia
0
750
780
870
987
1078
1989
1990
1991
1992
1993
1
901
912
967
1098
2
1076
1045
1043
3
1200
1150
4
1231
Porcentaje EstimaciónReserva
1.05
1,293
62
1.08
1,239
89
1.19
1,245
202
1.36
1,493
395
1.56
1,684
606
1,353
II.1.3) Método de Separación.
Se define a X i , j como en la sección II.1.2.1. El método supone que el triángulo de desarrollo
puede expresarse de la siguiente forma.
Períodos de desarrollo.
Período de
origen
1
2
3
.
.
.
k
1
2
3
.
.
.
k
N1r1 λ 2
N1r2 λ 3
N1r3 λ 4
.
.
.
N1rk λ k+
1
N2r1 λ 3
N3r1 λ 4
.
.
.
Nkr1 λ k+
1
N2r2 λ 4
N3r2 λ 5
.
.
.
N2r3 λ 5
N3r3 λ 6
.
.
.
.
.
.
20
En donde
N i representa el monto total de los siniestros pagados ($) a lo largo de los períodos de
desarrollo para el período de origen i;
rj es la proporción de los reclamos que se presentan para cada período de desarrollo j, es fija
k
por columna,
∑r
j
= 1;
J =1
λ i+ j
es un índice de los efectos de influencias exógenas, entre otras, la inflación.
De acuerdo con el triángulo de desarrollo anterior, el monto de la reclamación esperada en el
período de desarrollo j, por un siniestro que ocurrió en el período de origen i, lo denotamos por
X i , j = N i * r j * λ i+ j . Dado que en la práctica N i generalmente es desconocido, se hace el
N i es proporcional al número de reclamos ni (Incluyendo I.B.N.R.), es decir
N i = C * ni ; el costo de cada siniestro por período de origen es constante. Si se divide X i , j
supuesto de que
entre
ni , denotado por Pi , j =
X i, j
ni
, se obtiene lo siguiente en el triángulo de desarrollo.
Períodos de desarrollo.
Período de
1
origen
1
Cr1 λ 2
2
Cr1 λ 3
3
Cr1 λ 4
.
.
.
.
.
.
k
Cr1 λ k+1
2
3
.
.
.
k
Cr2 λ 3
Cr2 λ 4
Cr2 λ 5
.
.
.
Cr3 λ 4
Cr3 λ 5
Cr3 λ 6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Crk λ k+1
Ahora se definen las sumas de las diagonales.
d1 = Cr1λ 2 ;
d 2 = Cr1λ 3 + Cr2 λ 3 = C( r1 + r2 )λ 3 ;
d 3 = Cr1λ 4 + Cr2 λ 4 + Cr3λ 4 = C( r1 + r2 + r3 )λ 4 ;
.
.
.
d k −1 = C( r1 +...+ rk −1 )λ k ;
d k = C( r1 +...+ rk )λ k +1 = Cλ k +1 ..
Si las reclamaciones observadas en el período de desarrollo j, con respecto al período de origen
*
i, se denotan por X i , j y se dividen por el número de reclamos
ni , se pueden calcular las
21
diagonales observadas
desconocidos
d1* , d 2* ,..., d k* de los datos. Es posible estimar a los parámetros
Cλ i + j y r j de la manera siguiente.
Cλ$ k +1 = d k* ;
P1*,k
r$k =
;
Cλ k +1
Cλ$ k =
r$k −1 =
d k*−1
;
(1 − r$k )
P1*,k −1 + P2*,k −1
;
Cλ$ + Cλ$
k +1
k
etc.
Para estimar la parte desconocida del triángulo de desarrollo y obtener la reserva para los
Siniestros Ocurridos y No Reportados, se procede de la siguiente manera.
El pago para el período de desarrollo 2 correspondiente al período de origen k, por ejemplo,
está dado por
X$ k , 2 = nk r2 Cλ k + 2 = nk r2 ( Cλ k +1 )(1 + f ) , en donde f es la inflación futura para el
próximo período. Se puede estimar la parte desconocida del triángulo de desarrollo dado que
todas las cantidades en la ecuación anterior son conocidas.
II.1.4) Chain Ladder.
Se presenta un método de cálculo para la reserva de los Siniestros Ocurridos y No Reportados.
Dado que este método es comúnmente utilizado por las compañías de seguros y por el hecho
de que requiere una menor cantidad de información para su aplicación, en la tesis se utiliza
este método para compararlo con los métodos estadísticos.
Para que el Chain-Ladder pueda predecir la reserva, se requiere que las entradas del triángulo
de desarrollo sean Yi, j =montos acumulados para el año de accidente i, 1 ≤ i ≤ s hasta el año
son los valores conocidos del
de desarrollo j. 1 ≤ j ≤ k Los valores Yi, j para i + j ≤ k + 1
triángulo de desarrollo, y se requiere estimar los valores de Yi, j para i + j > k + 1 . Se utiliza el
triángulo de desarrollo representado gráficamente en la sección I.1.2, pero en lugar de que en
las entradas se escriban la X i, j ’s, llevan escritas las Yi, j ’s que correspondan.
II.1.3.1) Manera de obtener la reserva para los siniestros I.B.N.R.
El método del Chain-Ladder consiste en estimar los montos desconocidos Yi, j para i + j > k + 1 ,
con la siguiente ecuación
Y$i, j = Yi, k +1− i * mk +1− i *...*mi −1
(II.1)
en donde
22
k− j
∑ Yl , j +1
$ j = lk=−1 j
m
,
∑ Yl , j
(II.2)
l =1
con 1 ≤ j ≤ k − 1 .
Se procede conforme a lo siguiente para la obtener la reserva para los I.B.N.R.
Períodos de desarrollo.
1
2
3
4
. j
.
.
.
k-2
k-1
k
Y1,k1
Y2,k1
Y3,k1
.
Y1,k
.
.
1
Y1,1 Y1,2 Y1,3
2
Y2,1 Y2,2 Y2,3
Y1, . Y1,j .
4
.
. .
.
3
Y3,1 Y3,2 .
.
. .
.
4
Y4,1 .
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
. .
.
Y1,k2
.
Y2,k2
.
Y3,k2
Y4,k- Y4,k3
2
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
i
Yi,1
.
.
.
.
.
.
.
Yi,k
.
.
.
.
.
. Yi
,j
. .
.
.
.
.
.
Ys2,3
Ys2,3
.
.
. .
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
. Ys
,j
.
Ys,k3
Ys,k2
Ys,k1
Ys2,k
Ys1,k
Ys,k
s-2 Ys- .
2,1
s-1 Ys- .
1,1
s
Ys,1 Ys,2
Y2,k
Y3,k
Y4,k
La reserva para el año de origen i, se obtiene al restar Yi ,k − Yi ,k − i +1 , es decir restando al último
monto acumulado que se estimó, el último valor conocido acumulado en el triángulo de
s
(Yi, k − Yi, k − i +1 ) en donde s es el número
desarrollo. La reserva total de I.B.N.R. es igual a
i =1
de períodos de origen.
∑
Es importante notar que el modelo que se propone en la tesis, proporciona un resultado que
numéricamente es igual que el resultado de la estimación de la reserva por el método llamado
Chain-Ladder, pero se cuenta con ventajas, tales como el conocer la función de densidad
23
predictiva completa para la reserva y poder obtener intervalos de credibilidad para la
estimación de la misma.
II.2) Métodos estadísticos o estocásticos.
Se hará una mención general de algunos métodos basados tanto en la estadística Bayesiana
como en la clásica. A diferencia de los métodos mecánicos o determinísticos en donde no se
considera un patrón de variabilidad en el proceso, los métodos estadísticos o estocásticos
describen de manera aproximada al proceso, presentándose un patrón de variabilidad. Estos
métodos proporcionan un tipo de estimación en la que se obtienen límites de confianza en
estadística clásica e intervalos de credibilidad en estadística Bayesiana.
Se ha intentado obtener un modelo estocástico que esté relacionado con el método de ChainLadder. Se menciona este tipo de enfoque y se retoma lo tratado en la sección II.1.4, el
estimador para el j+1-ésimo monto acumulado es
Yˆi , j +1 = Yˆi , j * mˆ j ,
en donde
(II.3)
Yˆi , j es el monto acumulado de siniestros hasta el año j, y m̂ j , definida como en
(II.2); un enfoque estocástico que se le intenta dar al método del Chain-Ladder es el siguiente.
Se considera a
Yi , j como una variable aleatoria para j>k+i-1 o sea para la parte desconocida
del triángulo de desarrollo. La estimación se realiza con valores esperados
E (Yi , j +1 ) = E (Yi , j ) * mˆ j ,
con
(II.4)
m̂ j como un estimador del parámetro desconocido m j , pero interesa estimar el valor de
los montos de las reclamaciones sin acumular para la parte desconocida del triángulo de
desarrollo, es decir de
X i , j = Yi , j − Yi , j −1 ,
para los valores de i + j > k
requerida. Se considera que
(II.5)
+ 1 , con lo que se puede estimar la reserva para los I.B.N.R.
E (Yi ,k ) = E (Y i , j) * mˆ j * ... * mˆ k −1 ,
se despeja
(II.6)
E (Yi , j ) y se supone que Yi ,0 = 0 , por lo tanto
E ( X i, j ) = E (Yi, j ) − E (Yi, j −1 ) = μ * α i * β j =
E (Yi ,k ) * ((mˆ 1 * ... * mˆ k −1 ) −1 − (mˆ j −1 * ... * mˆ k −1 ) −1 )
(II.7)
La esperanza se compone de un factor constante μ que no depende del período de origen ni
del período de desarrollo, una posible interpretación es que este parámetro represente el efecto
24
de factores exógenos en la estimación del monto del siniestro ocurrido y no reportado, como la
inflación, un factor que depende del período de origen que es α i = E (Yi , j ) , con 1 ≤ j ≤ k y por
otro factor que depende del período de desarrollo que es
β j , el que se define por
β 1 = (mˆ 1 * mˆ 2 * ... * mˆ k −1 ) −1 ,
β j = (mˆ j * ... * mˆ k −1 ) −1 − (mˆ j −1 * ... * mˆ k −1 ) −1 ,
para
2 ≤ j ≤ k − 1, y β k = 1 − (mˆ k −1 ) −1 ; de esto se sigue que
βj
j =1
j
= 1.
X i , j ’s son independientes, así se estiman los parámetros μ , α i
Se supone que las variables
y
k
∑β
por cualquier método, por ejemplo por el de máxima verosimilitud; se debe suponer una
distribución para la variable aleatoria, a continuación se mencionan algunas posibilidades.
X i , j ∝ Normal ( μα i β j , σ 2 )
(II.8)
X i, j ∝ Exponencia (1 / ( μα i β j ))
(II.9)
X i , j ∝ Lognormal ( μ + α i + β j , σ 2 ) .
(II.10)
Se introduce el parámetro σ que representa la varianza de la distribución de los montos. En
particular, el modelo (II.10) ha sido utilizado por Verrall(1990), con la ventaja de que resulta
un modelo lineal para log( X i , j ) . Este modelo utiliza un análisis de varianza de doble
2
clasificación porque en este caso interesan dos variables, la componente por renglón o por
período de origen y la componente por columna o por período de desarrollo; los parámetros de
la distribución pueden ser estimados por la teoría de regresión. A continuación se tratará de
manera muy general, un método de estimación Bayesiana.
II.2.1) Estimador Bayesiano para el método del Chain-Ladder.
Por medio de la estadística Bayesiana y la teoría de regresión se estiman los parámetros
involucrados en el modelo lineal del Chain Ladder. Por el hecho de utilizar logaritmos, en caso
de que existieran montos negativos en el triángulo de desarrollo, debido a la recuperación de
los siniestros por medio del reaseguro, si se desea aplicar el modelo, se deben hacer supuestos
adicionales en los datos negativos para poder aplicarlo. A continuación se presenta el desarrollo
del modelo.
II.2.1.1) Modelo lineal para el Chain-Ladder.
Se toma en cuenta el enfoque estocástico del Chain-Ladder, por lo que se retoma (II.7) en
donde se expresa a la esperanza del monto de la reclamación como el producto
E ( X i , j ) = E (Yi , j ) − E (Yi , j −1 ) = α i * β j * μ ,
25
el cual tiene un efecto por columna ( β j ) es decir por período de desarrollo j, un efecto por
renglón ( α i ) que depende del período de origen i y
μ
un índice de los efectos de variables
exógenas en el pago de la reclamación. Se supone que los datos de los montos en el triángulo
de desarrollo tienen una distribución lognormal, como fue especificado en (II.10).
Se define a
Z i , j = log X i , j
la que se distribuye como una Normal ( μ + α i +
β j ,σ 2 )
y
Z i , j = μ + α i + β j + ei , j ,
en donde
(II.11)
ei , j es el error que se distribuye como una Normal (0, σ 2 ) .
Se expresa en forma matricial el modelo lineal para el triángulo completo de la siguiente
manera
Z = ℵβ + e ,
(II.12)
en donde
Z
nx1
es el vector de observaciones,
ℵ nxp nxp es la matriz de diseño,
β
px1
es el vector de parámetros y
es el vector de errores con matriz de covarianza Σ nxn, n representa el número de
observaciones o montos conocidos en el triángulo de desarrollo y p es la longitud del vector de
parámetros.
e
nx1
El estimador de máxima verosimilitud para el vector de parámetros
'
β$ = (ℵℵ
) −1ℵ' Z .
β , es
(II.13)
−1
Siempre que exista (ℵℵ) , o que sea de rango completo. El rango de una matriz M se denota
'
como
ρ( Μ )
y esta definido como el máximo número de columnas de M linealmente
independientes; si M una matriz de uxv, entonces
ρ (Μ ) ≤ min{u, v} , M es de rango completo si
ρ( Μ ) = min{u, v} .
El
rango
presenta
las
siguientes
propiedades
'
'
'
'
'
ρ (Μ ) = ρ (Μ ) = ρ (Μ Μ ) = ρ (ΜΜ ) , por lo que (ℵℵ) es de rango completo si ρ(ℵℵ
)= p o
ρ(ℵ) = p , donde p, como se especifica en (II.12), es el número de parámetros que se deben
26
estimar. Dada la forma en que se encuentra definida ℵ la matriz de diseño en este modelo,
'
(ℵℵ
) no es de rango completo, por lo que se impone alguna restricción para que se pueda
realizar la estimación de los parámetros de interés. Se puede suponer que α 1 = β 1 = 0 , es
decir quitar una columna en ℵ la matriz de diseño par que ρ (ℵ) = p y puedan tener solución
las ecuaciones normales.
II.2.1.2) Estimador Bayesiano para el modelo lineal del Chain-Ladder.
El modelo lineal descrito en (II.12) puede escribirse como
Z β ~ N(ℵβ , Σ ) ,
(II.14)
en donde
Z
nx1
vector de datos,
β
px1
vector de parámetros,
ℵ
nxp
matriz de diseño,
Σ
nxn
matriz de dispersión.
Para esta sección se hace el supuesto poco realista de que las varianzas y las covarianzas son
conocidas, como se especifica en Verrall (1989), se requiere un método para estimar matrices
de varianzas-covarianzas, sin embargo los métodos usuales aplicados en este modelo
desembocan en soluciones que no pueden ser tratadas, por lo que se recurre a las
aproximaciones para las matrices de dispersión. Se utiliza un procedimiento iterativo, iterando
entre los parámetros estimados suponiendo que las varianzas son conocidas y las varianzas
estimadas suponiendo que los parámetros son conocidos. Cada caso es diferente y el
procedimiento deberá describirse en cada aplicación.
Para realizar un análisis Bayesiano se necesita la distribución a priori, como se especificó en la
sección I.2, del vector de parámetros β . Se define la distribución a priori como
β θ 1 ~ N ( A1θ 1 , C1 ) ,
(II.15)
en donde
θ1
p1x1
vector de hiperparámetros,
A1
pxp1
matriz,
C1
pxp
matriz de dispersión, también se supone conocida.
27
La distribución posterior, como quedó definida en la sección I.2, de los parámetros se obtiene
en el Lema 1.
Lema 1: La distribución a posteriori que corresponde a los parámetros del modelo lineal del
Chain-Ladder es
β Z ~ N (Βb, Β) ,
(II.16)
en donde
Β −1 = ℵ' Σ −1ℵ+ C1 −1
b = ℵ' Σ −1 Z + C1−1 A1θ 1 .
El estimador Bayesiano de
media posterior
β
con el supuesto de una función de pérdida cuadrática, es la
~
β , la cual se encuentra definida como la solución de la ecuación
(ℵ' Σ −1ℵ + C1−1 ) β~ = ℵ' Σ −1 Z + C1−1 A1θ1 = ℵ' Σ −1ℵβˆ + C1−1 A1θ1 ,
(II. 17)
en donde
β$
es el estimador de máxima verosimilitud de
β,
~
β = (ℵ' Σ −1ℵ + C1−1 )−1[ℵ' Σ −1ℵ β$ + C1−1 A1 θ1 ].
Esta ecuación permite escribir al estimador como el promedio ponderado entre el estimador de
$ y la media a priori A θ . Como se indica en la ecuación
máxima verosimilitud β
1 1
~
β = ℑβ$ + (1 − ℑ) A1θ 1 ,
(II.18)
en donde
ℑ = (ℵ' Σ −1ℵ+ C1−1 ) −1ℵ' Σ −1ℵ , puede interpretarse como un factor de credibilidad.
Se considera que Σ y C1 son conocidas para estos resultados, pero en la realidad se busca
obtener aproximaciones para la matriz de dispersión, Verrall (1989).
Para el caso del Chain-Ladder, sucede con frecuencia que A1 , el parámetro de la distribución a
priori de
β,
es una matriz identidad. También C1 puede ser una matriz diagonal de varianzas,
aunque no es estrictamente necesario que las covarianzas sean cero. En este caso, la
distribución a priori es
β θ 1 ~ N (θ 1 , C1 ) .
28
Se supone que los errores son independientes o sea
var( e ) = Σ = σ 2 I n , donde I n es la matriz
identidad de dimensión nxn, ya que en la realidad σ es desconocida, se estima con la
varianza residual. Con la aplicación del procedimiento descrito arriba se tiene que el estimador
2
Bayesiano
~
β
es la solución de la siguiente ecuación
~
(σ −2ℵℵ+
'
C1−1 )β = σ −2ℵℵ
' β$ + C1−1 θ 1 .
(II.19)
La matriz de varianzas-covarianzas del estimador es
~
Var ( β ) = [σ −2ℵℵ+
'
C1−1 ]−1 .
(II.20)
Se escribe al estimador Bayesiano con la fórmula de credibilidad
~
β = ℑβ$ + (1 − ℑ)θ 1 ,
(II.21)
en donde
ℑ = (σ −2 X' X + C1 −1 ) −1 σ −2 X' X se considera como el factor de credibilidad.
II.2.1.3) Manera de Obtener la Reserva para los Siniestros Ocurridos y No Reportados.
Se estiman los valores Z$ i , j con
i + j > k + 1 , para la parte desconocida del triángulo de
desarrollo.
Z$ i , j = μ$ + α$ i + β$ j
Para obtener la X i , j , es decir los montos de los siniestros no acumulados que son de interés
para la estimación de la reserva, se aplica el antilogaritmo a las Z$ i,j´s. Finalmente se suman
los valores para la parte desconocida del triángulo de desarrollo que corresponden a cada uno
de los períodos de origen i, para 1 ≤ i ≤ s con el objetivo de encontrar la reserva total para los
Siniestros Ocurridos y No Reportados.
II.2.2) Modelo de Regresión Lineal Lognormal.
Este modelo (Doray 1996) utiliza la teoría de regresión para hacer la estimación de los
parámetros requeridos para la estimación de la reserva. Se basa en supuestos similares a los
utilizados por el modelo desarrollado en la sección II.2.1, aplicando estadística clásica. El
método se presenta de manera muy general. De igual manera que en la sección II.2.1 si
existieran datos negativos en el triángulo de desarrollo y se quisiera aplicar el modelo se
requieren supuestos adicionales para tratarlos.
29
II.2.2.1) Modelo General.
Se define a cada uno de los montos en el triángulo de desarrollo como
X i , j = N i r j λi + j ,
(II.22)
en donde
N i es un componente por año de origen i, el cual es fijo por renglón,
rj es un componente por año de desarrollo j, el cual es fijo por columna,
λ i+ j
componente por año de pago, fijo por diagonal.
La componente
λ i+ j
puede considerarse como un índice de los efectos de influencias exógenas
en el pago de los siniestros, el modelo de regresión lineal lognormal no considera efectos
exógenos, por lo que no se considera, los montos son entonces X i , j = N i r j . El modelo aplica
logaritmos naturales a los montos de los siniestros en el triángulo de desarrollo, los que deben
estar sin acumular, de la siguiente manera
Zij = ln X ij = α i + β j + Eij ,
en donde el error Ei,j se distribuye Normal(0,
(II.23)
σ 2 ).
Los parámetros
αi ,
y
βj
tienen la misma
interpretación que en la sección II.2.1; según (II.11) el modelo de regresión lineal lognormal y
el estimador Bayesiano para el método del Chain-Ladder utilizan la misma distribución para los
montos de los siniestros pagados, sólo que este último agrega un parámetro en el modelo que
es una constante μ . Se considera a α i = ln N i y β j = ln r j ; para realizar la estimación de los
parámetros se utiliza la teoría de regresión, considerando lo siguiente
ln X ij = ln N i + ln rj + Eij .
Toda la información conocida en el triángulo de desarrollo puede escribirse de forma matricial
Z = X *β + E ,
(II.24)
en donde
Z nxi
⎛ ln X 11 ⎞
⎟
⎜
⎜ ln X 12 ⎟
⎜ ln X ⎟
13
⎟
⎜
⎟ vector de observaciones,
= ⎜.
⎟
⎜
⎟
⎜.
⎟
⎜.
⎟⎟
⎜⎜
⎝ ln X n1 ⎠
30
X nxp
⎡1000...0000⎤
⎢1000...1000⎥
⎥
⎢
⎥
⎢.
=⎢
⎥ la matriz de estructura,
⎥
⎢.
⎥
⎢.
⎥
⎢
⎢⎣0001...0001⎥⎦
β px1
⎛ ln N 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ ln N 2 ⎟
⎜ ln N ⎟
3
⎜
⎟
⎜.
⎟
⎜
⎟
⎜.
⎟
⎜.
⎟
⎜
⎟
= ⎜ ln N k ⎟ el vector de parámetros,
⎜ ln r ⎟
⎜ 1 ⎟
⎜ ln r2 ⎟
⎜.
⎟
⎜
⎟
⎜.
⎟
⎜
⎟
⎜.
⎟
⎜ ln r ⎟
⎝ k ⎠
E nx1
⎛ E11 ⎞
⎜
⎟
⎜ E12 ⎟
⎜. ⎟
⎟ el vector de errores.
=⎜
⎜. ⎟
⎜
⎟
⎜. ⎟
⎜E ⎟
⎝ k1 ⎠
Por la manera en la que se construye la matriz de diseño, al igual que en la sección II.2, se
requiere algún supuesto adicional que haga que el rango de X sea igual a p el número de
parámetros que se deben estimar, para que la matriz
solución a las ecuaciones normales.
X ' X sea de rango completo y exista
II.2.2.2) Estimación de los parámetros.
El estimador para el vector de parámetros es
31
βˆ = ( X t X ) −1 X t Z ,
σ~ 2 =
(II.25)
SS z
1
( Z − X βˆ ) t ( Z − X βˆ ) =
,
n− p
n− p
(II.26)
es el estimador insesgado de la varianza, en donde SSz es la suma del cuadrado de los
residuos.
Z$ i , j con i + j > k + 1 , para la parte
Para encontrar la reserva se estiman los valores
desconocida del triángulo de desarrollo,
Z$i , j = α$ i + β$ j .
La reserva total está constituida por la suma de las reservas por período de origen i, con
1 ≤ i ≤ s , y s es el total de períodos de origen en el triángulo de desarrollo.
Para el período de origen i la reserva es
Ri =
K
∑ ln Z$
i, j
,
j > s − i +1
s
en donde k es el número de períodos de desarrollo. La reserva total es
Rtotal = ∑ Ri .
i =1
Se presenta un estimador insesgado de mínima varianza para la media de la reserva de
I.B.N.R. y una medida para la varianza del estimador en Doray (1989), se toma la medida para
la varianza del estimador y se presenta en la sección IV.2.2.
Capítulo III.
Propuesta del Predictor Bayesiano de la Reserva para Obligaciones Pendientes
de Cumplir por Siniestros Ocurridos y No Reportados.
III.1) Herramientas.
f (θ ) , la distribución a priori, representa la información previa a cerca
del parámetro θ en el modelo f ( x θ ) , esta información puede consistir en el conocimiento
En estadística Bayesiana
experto de algún especialista en la materia o en información pasada acerca de la característica
de interés que se desea estudiar. La selección de la distribución a priori es responsabilidad de
quien realice el estudio. en el caso de no tener ningún tipo de información previa o cuando la
información que se posea sobre el parámetro de interés no sea confiable, se utiliza lo que se
llama una distribución previa no informativa, difusa o mínimo informativa. Existe, entre otros
métodos para calcular este tipo de funciones, el método de Jeffreys; este tema ha sido
ampliamente tratado por varios autores, particularmente en Bernardo y Smith (1994). A
continuación se describe el criterio de Jeffrys para el cálculo de previas no informativas.
32
III.1.1) Criterio de Jeffreys.
Se
tiene
X1 ,..., X n
Iθ ( x ) = − E X θ (
define como
una
∂ 2 log f ( x θ )
),
∂θ 2
muestra
aleatoria
de
la
función
de
densidad
f (x θ )
y
la información de Fisher. La previa no informativa de Jeffreys se
p (θ ) ∝ [ I θ ( x)]1 / 2 .
(III.1)
III.1.2) Función de densidad predictiva.
Se tiene una muestra aleatoria X1 ,..., X n de la función de densidad
f ( x θ ) , y se quiere
“pronosticar” o predecir el comportamiento de la siguiente realización de la función de densidad
f ( x θ ) , X n +1 , si X n+1 y X1 ,..., X n son independientes dado θ
f ( x n +1 x ) =
∫ f (x
n +1
θ ) f (θ x )dθ ,
(III.2)
Rθ
es decir, que describe el comportamiento de X n+1 dada la información disponible
X.
III.1.3) Criterio para la predicción Bayesiana.
Para el modelo propuesto en la tesis, se requiere la predicción de la siguiente observación de
una variable aleatoria. Para realizar esta predicción, se considera al proceso inferencial como
un problema de decisión y se utiliza una función de pérdida o utilidad, Bernardo (1994), o sea
una función que modele la pérdida o utilidad en la que el tomador de decisiones incurre al
seleccionar una estimación para la variable de interés. Para tal fin se definen los siguientes
elementos:
(i) a ∈ A , como una acción o decisión que se toma en función a la información disponible;
(ii) w ∈ Ω , se define como un estado de la naturaleza;
(iii) l: AxΩ → ℜ , se define como una función de pérdida que asigna para cada pareja (a, w) un
valor numérico, es llamada función de pérdida;
(iv) p( w ) , una función de densidad que especifica la factibilidad de la ocurrencia de los posibles
estados de la naturaleza.
La decisión óptima es a ∈ A tal que minimiza al valor esperado de la función de pérdida. Para
aplicar estos elementos en el contexto de la tesis se define a d como la posible decisión que
depende de la información disponible; X n+1 como un estado de la naturaleza; a l, la función de
2
pérdida, como l ( d , X n +1 ) = ( d − X n +1 ) se elige una función de pérdida cuadrática porque ésta
fue utilizada en el desarrollo del modelo presentado en la tesis, ya que se valora con la misma
intensidad la pérdida, tanto si se sobrestima, como si se subestima con la decisión que se
33
tome;
f ( x n +1 x ) , como la función de densidad utilizada, R( X n +1, d ) = E X X [l ( X n +1, d )],
n +1
como el riesgo.
Para realizar el pronóstico de la siguiente observación, X n+1 , se minimiza al valor esperado de
la función de pérdida con respecto a d. Se tiene como resultado que la esperanza de la función
de densidad predictiva es la que minimiza al riesgo. Este resultado se aplica en el predictor
Bayesiano para las reservas propuesto en la tesis. Se podría utilizar cualquier otra función de
pérdida y se obtendrían diferentes estimadores puntuales.
III.2) Proceso Continuo para el cálculo de las reservas de I.B.N.R.
Los modelos utilizados en la estimación de las reservas para los Siniestros Ocurridos y No
Reportados toman en cuenta a los montos de las reclamaciones, es decir datos cuyos valores
pertenecen a los números reales, no únicamente a los enteros, como sucede en los modelos
realizados para datos discretos del número de reclamaciones por siniestros de I.B.N.R. El
objetivo es estimar el monto total de reclamaciones no observadas en el triángulo de
desarrollo, y por consiguiente, obtener la reserva necesaria para hacer frente a este tipo de
siniestros.
III.2.1) Predictor Bayesiano para el cálculo de las reservas de I.B.N.R.
Sea la variable aleatoria X i, j ≥ 0 el monto de los siniestros reclamados en el período de
desarrollo j cuyo período de origen es i, i=1,...,k y j=1,...,s; es conocida para
X i , j = M i ,1 + M i , 2 +...+ M i , N j ,
i + j ≤ k + 1 ; sea
(III.3)
es decir que cada monto que es reclamado en el período de desarrollo j cuyo período de origen
es i está compuesto por un número aleatorio de montos reclamados que se dan en el período
de desarrollo j, es decir por M i ,1 , M i , 2 ,..., M i , N j variables aleatorias independientes entre sí,
idénticamente distribuidas e independientes con respecto a
N j (variable aleatoria que
representa el número de reclamos en el período de desarrollo j). Se supone que N j ~Poisson
( λ j ), por lo que X i , j es el proceso agregado de siniestros y se distribuye como un Proceso
Poisson Compuesto con parámetro λ j , Bowers et. al. (1986). Se supone además que M i ,l son
independientes e idénticamente distribuidas para i=1,...,k, l=1,..., N y j=1,...,k.
Entonces se define a X i,0 =
k
∑ X i, j
como el total de siniestros agregados correspondientes al
j =1
a
período de origen i, y X i, a =
∑ X i, j
es el total de siniestros acumulados para el período de
j =1
origen i hasta el período de desarrollo a, con a=k-i+1, por el Teorema 11.1 en Bowers et. al.
(1986) se sigue que
34
k
a
j =1
j =1
X i,0 ~ Poisson Compuesta ( ∑ λ j ).y X i, a ~ Poisson Compuesta( ∑ λ j ).
Se desea estimar el monto total de siniestros para el período de ocurrencia i, dada la
información disponible, es decir X i,0 , i=2,…,k, dado X1,0 y X i, j , i=1,…,k j=1,…,k, con
k
X i, j = X i,0 − X i, a para
i + j ≤ k + 1, la parte conocida del triángulo de desarrollo. Sea Ri =
j = a +1
i = 2,..., k , con a = k − i + 1 . Ri se define como el proceso agregado de siniestros para los
períodos de desarrollo desconocidos correspondientes al período de origen i. Se utiliza una
aproximación Gama para la Poisson Compuesta del tipo de Bowers et. al. (1986), basada en los
dos primeros momentos, dado que por lo general se presentan un gran número de
reclamaciones con montos pequeños y es menos probable que se presenten siniestros con
reclamaciones altas, se considera que una aproximación Gama a la Poisson Compuesta modela
un comportamiento en el monto de los siniestros como el aquí descrito. Si X i, j ~ Gama(α , β )
∑
se sabe que E ( X i, j ) =
α
= λ j p1
β
y la Var ( X i, j ) =
α
= λ j p2 ,
β2
d
en donde p d = E ( M i,1 ) . Se
λ j p12
p1
o X i, j ~
p2
p2
Gama(α j , β ). Por las propiedades de la función de distribución Gama para alguna a ≤ k se
resuelven las ecuaciones para
α
y
β
, se obtiene que
a
tiene que X i, a ~ Gama(
α =αj =
y
k
∑ α j , β ) y Ri ~ Gama( ∑ α j , β ),
j =1
por lo tanto si se define a
j = a +1
a
Wi, a =
X i, a
X i, a + Ri
a
,
β =
Wi, a ~ Beta( ∑ α j ,
j =1
k
∑α t ) y
j = a +1
∑α j
E (Wi, a ) = a
π a = E (Wi ,a )
∑ λj
j =1
j =1
= k
k
∑ α j + ∑ α j ∑ λj
j =1
es independiente de i. Pero
a
j = a +1
= π a , la que
j =1
representa la proporción de siniestros reportados
hasta el período de desarrollo a.
Se
X i,0 = Ri + X i, a
utiliza
y
α2 =
k
∑α j
entonces
j = a +1
β α ( xi,0 − xi, a )α −1
f X ( x i, 0 x i , a ; α 2 , β ) =
exp{− β ( xi,0 − xi, a )} es una distribución Gama
Γ(α 2 )
generalizada con x i,0 ≥ x i, a , Johnson and Kotz (1970), ( X i,0 − x i, a ) ~ Gama(α 2 , β ), se
2
2
i,0
obtienen los dos primeros momentos.
35
α
α
E ( X i,0 xi, a ) = xi, a + 2 y Var ( X i , 0 xi ,a ) = 22 .
β
(III.4)
β
De la independencia entre Wi, a y
X i,0
E ( X i, a ) = E ( X i,0 ( X i, a / X i,0 )) = E (Wi, a X i,0 ) = E (Wi, a ) E ( X i,0 ) = π a E ( X i,0 ) ;
con este resultado y (III.4) se tiene que
α
α
E[ E ( X i,0 X i, a = x i, a )] = E ( X i,0 ) = E ( X i, a ) + 2 = π a E ( X i,0 ) + 2 .
β
β
Entonces
α2
= (1 − π a )E( X i,0 ) , E ( X i,0 x i, a ) = xi, a + (1 + π a ) E ( X i,0 ) .
β
Sea
θ =
a
π
a
(1 − π a )
que
representa los momios para los primeros a años o períodos de desarrollo, con respecto a los
últimos (k-a) períodos de desarrollo. Así
πa =
θa
(1 + θ a )
y E ( X i,0 x i, a ) = x i, a +
E ( X i, a )
θa
, se utiliza
x i, a
x i, a como un “estimador” para el parámetro E ( X i, a ) , así E ( X i,0 xi, a ) = xi, a +
, esto se
θa
obtiene si suponemos que ( X i 0 − x ia ) ~ Ga( x ia , θ a ) . Esta expresión para la distribución de
X i,0 tiene la ventaja de que no posee parámetros desconocidos; además
E ( X i,0 xi, a ) = E ( X i,0 ) , es decir X i,0 es independiente de X i, a , por lo que el modelo final que
se utiliza es
1
θ x i ,a ( xi,0 − xi, a ) x i ,a −1 exp{−θ a ( xi,0 − xi, a )} , (III.5)
Γ( x i, a )
f X i , 0 ( x i, 0 x i , a , θ a ) =
de aquí se sigue que E[( X i,0 − x i, a ) / x i, a ] = E[ E ( X i,0 − x i, a ) x i, a ] = 1 / θ a , el valor esperado de
la razón de los siniestros agregados en los últimos k-a períodos de desarrollo con respecto a los
primeros a, depende únicamente de a. Se tiene para algún valor de a ≤ k ,
( X1,0 − xi, a ) ~Gama( xi, a , θa ) ,
(III.6)
que coincide con la función de verosimilitud para
informativa f ( θ a ) ∝
1
θa
θa ,
y utilizando la distribución previa no
, se obtiene la distribución posterior de la forma
x −1
f ( θa x1, a , x1,0) ∝ θ a 1,a ( x1,0 − x1, a )
x1, a
E[θa x1,0 , x1, a ] =
.
x1,0 − x1, a
x 1, a
exp{−θ a ( x1,0 − x1, a )} . De este resultado se obtiene
36
La función de densidad predictiva para X i,0 dado X1,0 y X i, j con i + j ≤ k + 1, para i=2,…,k se
a
x2, j =el total de los siniestros para el período de
obtiene con (III.5) y (III.6). Sea X 2, a =
j =1
origen 2, hasta el período de desarrollo j. Para período de desarrollo 2
x −1
−( x + x )
f X 2 , 0 ( x 2,0 X1, a , X1,0 , X 2, a ) ∝ ( X 2,0 − x 2, a ) 2 , 0 ( x 2,0 + x 2, a − x1, a ) 2 ,a 1,a , es una beta
∑
inversa de tipo 2 Raiffa & Schlaifer (1961), o sea BeI 2( x 2 a , x1a ,( x10 − x1a )) . Se utiliza una
función de pérdida cuadrática, por lo que la esperanza de la función de densidad predictiva es
el estimador requerido
E[ X 2,0 X1, a , X1,0 , X 2, a ]= x i ,a * (
x1,0
x1,a
(III.7)
)
y la varianza del estimador puede calcularse con
Var[ X 2,0 X1, a , X1,0 , X 2, a ]=
x i ,a ( x i ,a + x1,a − 1)( x1,0 − x1,a )2
.
( x1,a − 1)2 ( x1,a − 2)
(III.8)
El modelo se podría generalizar, para el i-ésimo período de origen. El estimador de la reserva
para cada período de origen i es
E ( Ri Di ,a ) = E ( X i ,0 Dia ) − x i ,a ,
(III.9)
suponiendo independencia entre los períodos de origen la varianza para el estimador es
entonces
Var ( Ri D i ,a ) = Var ( X i ,0 Di ,a ),
(III.10)
en donde Di ,a es la información que utiliza el modelo, considerando los datos de los períodos
de origen con la información completa (por lo general el primer período de origen) y el dato del
período, al cual se le está estimando su reserva.
El estimador de la reserva total se obtiene con
k
∑ E( Ri Di,a ) ,
i= 2
el estimador de la varianza es
k
∑ Var( Ri Di,a ) .
i= 2
Se considera que es independiente la reserva de un período de origen a otro.
37
III.3) Modelo Bayesiano modificado para la predicción de las reservas de los Siniestros
Ocurridos y No Reportados.
Con el fin de encontrar la distribución predictiva de las reservas para un período de origen
dado, el modelo presentado en la sección III.2.1 únicamente toma los datos de m períodos de
información completa y la información del período en el que se estima la reserva. De esta
manera, si se estima la reserva para el j-ésimo período de origen, no se utiliza la información
disponible para los períodos de origen i = 2,..., j − 1 .
Se propone una modificación al modelo para que se incluya la información completa disponible.
La media posterior de la predictiva puede modificarse para que incluya la información completa
y expresarse de manera analítica, pero la varianza presenta mayores complicaciones para
encontrar una expresión analítica.
En general, para el i-ésimo período de origen, con ai = k − i + 1 , i = 2,..., k , se define
( i −1)
X0
=
i −1 k
∑ ∑ X j,t ,
(III.11)
j =1t =1
k
X i,0 = ∑ X i, t ,
(III.12)
t =1
qi =
( i −1)
Xa
i
i −1 a i
∑ ∑ X j ,t ,
=
(III.13)
j =1t =1
ai
pi = X i, a i = ∑ X i, t ,
(III.14)
bi = X 0( i −1) − X a(ii −1) .
(III.15)
t =1
Se
sigue
que
y i = X i ,0 − X i ,a i ~Beta
Inversa2( pi , q i , bi ),
entonces
( i −1)
E( X 0 )
*
E ( X i,0 X i, t , t = 1,..., ai , i = 1,..., k ) = X i, a i * (
) es igual a
( i −1)
Xa
i
E ( X 0( i −1) )
E ( ∑ X i ,t ) = X i ,ai (
) − X i ,ai .
X a( i,i−1)
j = k −i + 2
k
Por otro lado, para
(III.16)
l = 2,..., k , se tiene
38
(l )
E ( X 0 ) = X1,0 +
k −1
∑ X 2, j + E( X 2, k )
j =1
k −2
+ ∑ X 3, j + E ( X 3, k −1 + X 3, k )
j =1
k −3
+ ∑ X 4, j + E ( X 4, k − 2 + X 4, k −1 + X 4, k )
j =1
(III.17)
.
.
.
+
k − l +1
l k − i +1
l
k
∑ X l , j + E( X l , h −l + 2 +...+ X l , k −1 ) = ∑ ∑ X i, j + ∑ [ ∑ E ( X i, j )]
j =1
i =1 j =1
i= 2 j = k −i+ 2
Si en (III.17) se reemplazan las sumas de las esperanzas que se encuentran entre corchetes
por su correspondiente expresión obtenida en (III.16), es posible que se obtengan
(l )
recursivamente las E ( X 0 ) de la manera siguiente
( i −1)
l k − i +1
l
E( X 0 )
(l )
E( X 0 ) =
X i, j + [ X i, a i
− X i, a i ], por lo que la media posterior de la reserva
( i −1)
X
i =1 j =1
i= 2
ai
total es
( i −1)
k
k
k
E( X 0 )
RT =
E(
X i, j ) = [ X i , a i
− X i, a i ].
( i −1)
X
i =1
j = k −i+ 2
i= 2
ai
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
No se pudo obtener una expresión analítica para la varianza del predictor, pero por simulación
se puede conocer la dispersión del modelo. Como se verá en la sección de aplicaciones, el uso
del proceso de simulación es útil para conocer el comportamiento de la función de densidad
predictiva de la reserva y poder calcular intervalos de credibilidad.
III.4) Proceso de simulación.
Por el hecho de que en el modelo presentado en la sección III.3 no se obtuvo una expresión
analítica para la varianza de la función de densidad predictiva de la reserva, se utilizan
procesos de simulación para conocer el comportamiento de la función de densidad. Se obtiene
la reserva por medio de simulación para el período de origen i=2, luego se generan cierto
número de simulaciones para esta reserva. Después con el uso de recursividades, como a
continuación se especifica, se obtiene la reserva también por simulación, para el período de
origen i=3, luego se genera un cierto número de simulaciones para esta reserva, esto se repite
hasta llegar a la reserva que corresponde al último período de origen i=k. Para obtener una
observación de la reserva para I.B.N.R. completa, es decir para todos los períodos de origen, se
suman las reservas obtenidas por simulación para cada uno de los períodos de origen,
i=1,3,…,k. A continuación se especifica el procedimiento:
39
1.
Se define a Zt , i , como una variable aleatoria con distribución beta estándar Be( pi , q i ) ,
i −1 a i
( i −1)
con pi y q i definidas como en (III.13) y (III.14), qi = X a
=
X j ,t , y
i
j =1t =1
ai
∑∑
pi = X i, a i = ∑ X i, t para 1 ≤ t ≤ T con T como el número de simulaciones requeridas, en
t =1
la tesis se considera a T=5000, para i=2,...,k.
2.
Se genera una muestra aleatoria de esta distribución, que en primer lugar corresponde al
período de origen i=2, con el uso de los parámetros respectivos los que son obtenidos de
la información contenida en el triángulo de desarrollo, posteriormente se pueden generar
muestras aleatorias para los restantes períodos de desarrollo, una vez que se tiene
generada la información requerida para las recursividades correspondientes. Para ello
puede utilizarse cualquier paquete estadístico que pueda generar números aleatorios.
3.
Se transforman estos números aleatorios en una distribución Beta Inversa de tipo 2, de la
siguiente manera
Yt , i =
bi Zt , i
(1 − Zt , i )
,
( i −1)
es decir Yt , i ~ BeI ( p i , qi , bi ) , con bi definida como en (III.15), bi = X 0
− X a(ii −1) .
El procedimiento que se requiere para generar muestras aleatorias del total de la reserva para
I.B.N.R. es el siguiente: para i=2, se genera una observación o sea t=1 de Yt ,2 = X 20 − X 2a ,
2
como se indicó en los puntos 1, 2 y 3, por lo tanto Yt,2 ~ BeI ( p2 , q 2 , b2 ) . Para la siguiente
observación, i=3, con ai = k − i + 1 y k igual al número total de períodos de desarrollo, se tiene
que b3 = b2 + Yt ,2 +
2
∑ X s*,a
s =1
i −1
. En general, la recursividad es la siguiente
i −1
bi = bi −1 + Yt , i −1 + ∑ X s*, a i−1 .
(III.18)
s =1
para t=1,2,…,T. Por lo que la t- ésima observación de la reserva total, es decir la reserva para
el total de los períodos de origen, es obtenida de la siguiente manera
k
(t )
RTot =
Yt , i ,
(III.19)
i= 2
∑
para t=1,...,T.
Con estas muestras se genera un histograma y se obtienen las estadísticas descriptivas
correspondientes. Las simulaciones de la predictiva, permiten obtener intervalos de credibilidad
para la predicción de la reserva. Si se requiere mayor exactitud en el cálculo del intervalo de
credibilidad para la función de densidad de la reserva simulada, se deben generar un mayor
número de simulaciones.
40
Capítulo IV
Aplicaciones.
El objetivo en este capítulo es presentar el cálculo de la Reserva para los Siniestros Ocurridos y
No Reportados por el método propuesto en la tesis, y compararlo con otros tratados en la tesis,
haciendo notar la importancia de contar con intervalos de credibilidad para la estimación de la
reserva y el hecho de que el resultado numérico del modelo Bayesiano modificado sea igual
numéricamente que el resultado obtenido por el método del Chain-Ladder en su aplicación para
el sector asegurador, ya que las compañías podrían continuar utilizando los métodos mecánicos
como el de Chain-Ladder para el calculo de sus reservas y posteriormente utilizar el modelo
Bayesiano modificado para que en base al intervalo de credibilidad y la medida para el error de
estimación obtenidos, se decida si la estimación de la reserva es buena o se requiera que sea
aumentada o disminuida.
Para tener una mejor idea del comportamiento de la predictiva, se elaboran, mediante procesos
de simulación, varios histogramas para la función predictiva de la reserva. Los datos utilizados
en los ejemplos pertenecen a casos verdaderos de realizaciones de siniestros, en su mayoría
son sugeridos por varios autores que anteriormente han tratado el problema de la predicción
de estas reservas y pertenecen a aseguradoras europeas y estadounidenses, Doray (1996),
Mack (1994) y Verrall(1990); se presenta un caso con datos de una compañía del sector
asegurador mexicano que corresponden al seguro de gastos médicos, se puede ver que los
datos para este ejemplo se reportan por períodos iguales a tres meses, como se indica en la
sección I.2, de manera distinta a los datos europeos y estadounidenses, en donde las colas de
los siniestros son más pesadas debido a la influencia de la legislación que afecta el
comportamiento de los I.B.N.R.
Se trabaja con cantidades reales, por eso no se consideran la inflación y los rendimientos. Con
la función de densidad predictiva de la reserva obtenida por simulación se calculan para cada
uno de los ejemplos los intervalos de credibilidad al 95%. En la presente tesis se tiene la
intención de brindar una herramienta al sector asegurador que pueda ser útil en la mejora de
las estimaciones para las reservas de I.B.N.R.
IV.1) Cobertura de Responsabilidad Civil para el Seguro de Automóviles, experiencia Belga.
Se realizan las estimaciones de la reserva para los Siniestros Ocurridos y No Reportados por
varios métodos, para los datos que corresponden a las reclamaciones hechas a diez compañías
Belgas, Goovaerts M. J. Et. Al. (1990). En este tipo de coberturas, aunque la compañía
aseguradora tenga registrada la ocurrencia del siniestro, por los largos procesos legales que
deben seguirse para determinar el monto total de la reclamación, no conoce con exactitud cual
será el pago que se hará al asegurado. Los datos utilizados se encuentran a continuación.
41
Cuadro IV.1: Triángulo de desarrollo, cobertura de responsabilidad civil en el Seguro de
automóviles.
Seguro de Automóviles
Año de desarrollo
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
1981
2,062
1,629
583
421
341
276
228
1982
2,031
1,706
643
448
335
307
1983
2,164
1,887
667
454
369
1984
2,320
1,860
671
463
1985
2,462
1,909
736
1986
2,651
2,158
1987
3,084
IV.1.1) Chain-ladder
Con el procedimiento descrito en la sección II.1.1 para este método de cálculo de las reservas
de Siniestros Ocurridos y No Reportados, se obtienen los factores para la estimación de la
reserva y la reserva respectiva como se puede observar en el cuadro A1 del Apéndice
Estadístico. Se obtiene una reserva total de 11,101. Se puede obtener un error de pronóstico
promedio como un indicador para el error de estimación, de la siguiente manera. Se toma la
parte conocida del triángulo de desarrollo y se le aplican los factores que se obtuvieron para la
estimación de la reserva, el resultado es comparado con el verdadero valor del dato restando al
valor real el estimado, esas diferencias son elevadas al cuadrado y sumadas, luego el resultado
es dividido entre el número de datos conocidos en el triángulo de desarrollo; es decir
num
( X d Re al − X$ dEst . )2
, en donde num es el número de datos conocidos en el triángulo de
v = d =1
∑
num
desarrollo, X d Re al es el d-ésimo valor conocido en el triángulo de desarrollo y X$ dEst . es su
correspondiente valor estimado. Se puede observar esta variabilidad aproximada en el cuadro
A2 del Apéndice Estadístico, v=10,289.
IV.1.2) Modelo de Regresión Lineal Lognormal.
Se aplica el modelo para la predicción de la reserva como fue descrito en la sección II.2.2, de
esta manera se obtienen los siguientes resultados basados en la siguiente ecuación
Zi, j = ln X i, j = α i + β j + ei, j . La estimación correspondiente se encuentra en el cuadro A3 del
apéndice Estadístico
42
Cuadro IV.2: Aplicación del método de Regresión lineal lognormal.
Seguro de Automóviles
Seguro de Automóviles
Año de desarrollo
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
Reserva=
11,104
1981
2,062 1,629
583
421
341
276
228
0
1982
2,031 1,706
643
448
335
307
239
239
1983
2,164 1,887
667
454
369
315
253
568
1984
2,320 1,860
671
463
374
321
257
952
1985
2,462 1,909
736
503
399
343
275
1,519
1986
2,651 2,158
792
550
437
375
301
2,454
1987
3,084 2,514 922
640
508
437
350
5,372
Este método obtiene la varianza para la estimación de los parámetros según la teoría de
regresión, expresada en la sección II.2.2.2.
IV.1.3) Modelo Bayesiano.
El modelo utiliza para la predicción de las reservas una cantidad de información, que podría ser
ampliada, al utilizar la totalidad de información disponible en el triángulo de desarrollo. En este
modelo se obtiene la reserva según el procedimiento especificado en la sección III.2.1, sin
embargo a pesar de que se cuenta con una expresión analítica para la varianza de la
estimación de la reserva, se generan las simulaciones de la función de densidad predictiva,
según el procedimiento de la sección III.4 para dar una mejor idea del comportamiento de la
función y calcular intervalos de credibilidad.
Cuadro IV.3: Aplicación del método Bayesiano sin modificar
I.B.N.R.
Modelo Bayesiano sin modificar
Varianza
Acumula
Año de origen
X1
x1a
xia
Reserva
do
1981
5540
5540
5540
5540
0
0
1982
5540
5312
5470 5704.7816 234.782 20.468
1983
5540
5036
5541 6095.5401 554.54 116.64
1984
5540
4695
5314 6270.4068 956.407 367.24
1985
5540
4274
5107 6619.7426 1512.74 984.33
1986
5540
3691
4809 7218.0601 2409.06 2781.9
1987
5540
2062
3084 8285.8196 5201.82 21935
Reserva 10869.4 26205
para obtener de las reservas de
D.E.
C.V.%
0
4.52412
10.8001
19.1634
31.374
52.7433
148.104
266.709
0
0.0793
0.17718
0.30562
0.47395
0.73071
1.78744
3.5542
Hasta ahora los datos tanto de la reserva como de la varianza de la estimación de la reserva
han sido calculados sin necesidad de utilizar el proceso de simulación. Se anexan los resultados
obtenidos del proceso de simulación para este modelo. Los resultados obtenidos se encuentran
en el histograma IV.1.a, en donde se puede observar una gráfica resumen de las simulaciones
que corresponden a la función predictiva de la reserva y las estadísticas descriptivas de los
datos.
43
IV.1.3.1) Intervalo de credibilidad.
Por el hecho de contar con la función de densidad predictiva, se puede obtener un intervalo de
credibilidad para la estimación de la reserva. Para este caso se calcula un intervalo y se utiliza
el histograma generado por simulación con los datos del ejercicio en el triángulo de desarrollo,
se encuentran los límites inferior y superior en donde se acumula el 95% de las observaciones
obtenidas de la reserva total.
Cuadro IV.4. Intervalo de credibilidad al 95% para la reserva del Seguro de Automóviles.
Estimador puntual de
la reserva
10,869.35
1-α
95%
longitud del intervalo
Intervalo de credibilidad
para la estimación de la
reserva. Modelo
Bayesiano.
[10,587.43,11,220.28]
632.85
IV.1.4) Predictor Bayesiano modificado.
Según lo especificado en la sección III.3, el modelo Bayesiano modificado utiliza la cantidad
total de información disponible en el triángulo de desarrollo. Como resultado de la aplicación
del modelo se obtiene lo siguiente.
Cuadro IV.5: Aplicación del predictor para el cálculo de la reserva de I.B.N.R. para el Seguro de
Automóviles.
Modelo Bayesiano Modificado
Año de
origen
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
i ai qi=Xai(i-1) pi=Xiai
bi
1
2
3
4
5
6
7
228
-
7
6
5
4
3
2
1
5,540
5,312
10,199
14,695
18,223
20,030
13,690
5,540
5,470
5,541
5,314
5,107
4,809
3,084
Acumulado
5,705
6,109
6,276
6,622
7,263
8,451
Reserva
Reserva E(X0(i-1))
235
568
962
1,515
2,454
5,367
11,101
5,540
11,245
17,354
23,630
30,252
37,515
Para este método se obtiene la reserva sin necesidad de utilizar el proceso de simulación, sin
embargo para obtener las varianzas de la predictiva se requiere simular el modelo; en el
histograma IV.1.b se puede observar una gráfica resumen de las simulaciones y las estadísticas
descriptivas.
44
IV.1.4.2) Intervalo de credibilidad.
En este caso se calcula un intervalo de credibilidad al 95% del histograma generado con datos
del ejercicio. En el intervalo se encuentran el 95% de las simulaciones que corresponden a la
reserva total para los I.B.N.R.
Cuadro IV.6. Intervalo de credibilidad al 95% para el Seguro de Automóviles.
Intervalo de
credibilidad para la
estimación de la
Estimador puntual de
reserva. Modelo
la reserva
Bayesiano
Modificado.
11,100.80
1-α
95%
[10,866.82,11,369.08]
502.26
longitud del intervalo
Para este caso la longitud del intervalo resulta menor en el modelo Bayesiano modificado, ya
que la longitud del intervalo calculado con el modelo Bayesiano es de 632.85.
IV.1.5) Resumen de resultados.
Para finalizar esta sección, se presenta un cuadro comparativo de los métodos utilizados para
el cálculo de las reservas para los I.B.N.R.
Cuadro IV.7: Comparación de los métodos utilizados.
Método
Errores
Chain-ladder
11,101
Regresión Lineal Lognormal
11,104
Modelo Bayesiano
10,869.4
Modelo Bayesiano modificado
11,101
Varianza
10,289*
26,853.6**
17,434.8
*Se presenta el error de pronóstico promedio como indicador del error, según lo especificado en IV.1.1.
**Para el modelo Bayesiano, se reporta la varianza de la predictiva obtenida por el proceso de simulación.
Histograma IV.1.a: Aplicación del modelo a los datos del ejercicio.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de R.C. Automóviles. Modelo Bayesiano.
250
frecuencias
200
150
100
50
0
10,230
10,322
10,413
10,505
10,597
10,688
10,780
10,872
10,964
11,055
11,147
11,239
11,330
11,422
y
mayor..
clases
45
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
10,876.73
26,853.45
163.870223
0.00503712
11,514
10,874
10,230
54,307,490
5,000
Histograma IV.1.b: Aplicación del modelo a los datos del ejercicio.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de R.C. Automóviles. Modelo Bayesiano Modificado.
300
250
frecuencias
200
150
100
50
10,547
10,623
10,699
10,775
10,852
10,928
11,004
11,080
11,156
11,232
11,308
11,384
11,460
11,537
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
11,103.04
17,434.79
132.04085
0.07164286
11,613
11,104
10,547
55,437,467
5,000
IV.2) Seguro de Responsabilidad Civil (Doray)
En Doray (1996) se presenta el Modelo de Regresión Lineal Lognormal y se utilizan los
siguientes datos, que corresponden a reclamaciones hechas a compañías canadienses que
provienen de seguros de Responsabilidad Civil General, cuyo principio de cobertura es ocurred,
como se especificó en la introducción. Se encuentran expresadas en miles de dólares.
46
Cuadro IV.8: Datos en el triángulo de desarrollo.
Seguro de Responsabilidad Civil (pagos sin acumular)
Año de origen
1
2
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
8,489
12,970
17,522
21,754
19,208
19,604
21,922
25,038
32,532
39,862
1,296
1,796
2,783
2,584
2,341
2,469
2,311
3,363
4,474
Año de desarrollo
3
4
924
1,435
1,469
1,163
1,220
1,223
1,141
2,144
580
859
1,023
783
619
1,247
1,508
5
6
246
654
423
887
841
612
126
265
652
355
703
IV.2.1) Chain-Ladder.
Se obtuvieron los factores para la estimación de la reserva, la reserva y una estimación de la
variabilidad del método según lo especificado en la sección IV.1.1. La reserva total es 23,916.
En el cuadro A4 del Apéndice Estadístico se puede observar el error de pronóstico promedio del
método. Para este caso v=286,476.
IV.2.2) Modelo de Regresión Lineal Lognormal.
Según lo descrito en la sección IV.1.2 se obtienen los estimadores requeridos para este
método, que pueden ser consultados en el cuadro A5 del Apéndice Estadístico. Con lo anterior,
se tiene la siguiente estimación de la reserva.
Cuadro IV.9: Obtención de la reserva por el método de Regresión Lineal Lognormal.
Seguro de Responsabilidad Civil (pagos sin acumular)
Año de
origen
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1
2
8,489
12,970
17,522
21,754
19,208
19,604
21,922
25,038
32,532
39,862
1,296
1,796
2,783
2,584
2,341
2,469
2,311
3,363
4,474
5,250
Año de desarrollo
3
4
924
1,435
1,469
1,163
1,220
1,223
1,141
2,144
2,485
2,979
580
859
1,023
783
619
1,247
1,508
1,439
1,814
2,176
5
6
246
654
423
887
841
612
709
931
1,174
1,407
126
265
652
355
703
433
461
606
764
915
47
La reserva total es 23,543. Por el hecho de que este ejemplo se encuentra desarrollado en
Doray (1996), se toma el resultado de la estimación para la varianza del cálculo de la reserva
que es igual a 21,780,889. Para el resto de los ejemplos utilizados en la tesis, no se calcula la
varianza del método de regresión lognormal ya que el tratamiento de este método en la tesis
no contempla el método para estimar la varianza.
IV.2.3) Modelo Bayesiano.
Como se especificó en la sección IV.1.3 se obtienen los resultados siguientes al aplicar el
modelo.
A continuación se presentan los resultados del modelo, sin el uso del proceso de simulación y
posteriormente se presentan los resultados de las simulaciones de la predictiva para la reserva
de I.B.N.R.
Cuadro IV.10: Aplicación del modelo. Seguro de Responsabilidad Civil.
Año de
origen
1982
1983
1984
1985
1986
1987
X1
105970
105970
105970
105970
105970
105970
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Acumula
Reserva Varianza
x 1a
x ia
do
105970 105970
105970
0
0
103869
25155 25663.82 508.82 12.78505
100818
26882 28255.72 1373.72 88.92089
96954
30545 33385.46 2840.46 347.3698
90743
37006 43215.74 6209.74 1467.015
79943
39862 52839.85 12977.9 6332.264
Reserva 23910.6 8248.355
D.E.
C.V.
0
3.57562
9.42979
18.6379
38.3016
79.5755
149.52
0
0.013933
0.033373
0.055826
0.088629
0.150598
0.342358
Para visualizar la dispersión de la predictiva, se presentan los resultados obtenidos del proceso
de simulación en el histograma IV.2.a.
IV.2.3.2) Intervalo de credibilidad.
Por el hecho de contar con la función de densidad predictiva completa de la reserva para los
I.B.N.R. por medio de simulación se calcula el siguiente intervalo de credibilidad.
Cuadro IV.11: Intervalo de credibilidad al 95%.
Estimador puntual de
la reserva
23,910.64
1-α
95%
longitud del intervalo
Intervalo de
credibilidad para la
estimación de la
reserva. Modelo
Bayesiano.
[23,738.36,24,095.6]
357.24
IV.2.4) Predictor Bayesiano modificado.
Como resultado de la aplicación del modelo se obtiene lo siguiente.
48
Cuadro IV.12: Aplicación del predictor Bayesiano modificado.
Año de
origen
1982
1983
1984
1985
1986
1987
i
1
2
3
4
5
6
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Acumu
Reserva
ai qi=X ai(i-1) pi=X iai bi
lado
6 105,970 105,970
0
0
0
5 103,869 25,160 2101 25,664 508.82
4 125,361 26,880
28,227 1,345.10
3 145,624 30550
33,531 2,986.20
2 165,450 37,010
43,256 6,249.80
1 179,039 39,860
52,688 12,826
Reserva
23,916
E(X 0(i-1))
0
105,970
131,630
159,860
193,390
236,650
Por el hecho de que en este método no se puede obtener una expresión analítica para la
varianza de la predicción, se realizaron simulaciones para obtener la dispersión de la función de
densidad y en general para observar su comportamiento como se aprecia en el histograma
IV.2.b.
IV.2.4.2) Intervalo de credibilidad.
Se presenta un intervalo de credibilidad al 95% del histograma para la reserva total de I.B.N.R.
generado con los datos del ejemplo. Como se especificó en la sección IV.1.4.2 dentro del
intervalo caen el 95% de las reservas generadas por el proceso de simulación.
Cuadro IV.13: Intervalo de credibilidad al 95%.
Estimador puntual de
la reserva
23,916.00
1-α
95%
longitud del intervalo
Intervalo de
credibilidad para la
estimación de la
reserva. Modelo
Bayesiano
Modificado.
[23,749.03,24,086.64]
337.6
En este ejemplo también resulta menor la longitud del intervalo en el modelo Bayesiano
modificado, ya que en el modelo Bayesiano, el intervalo es de 357.24.
IV.2.5) Resumen de resultados.
Cuadro IV.14: Comparación de los métodos utilizados.
Método
Reserva
Errores
Chain-ladder
23,916
386,476*
Regresión Lineal
23,543
21,780,889
Lognormal
Bayesiano
23,911
8,159.10**
Bayesiano modificado
23,916
7,893.05
*Se presenta el error de pronóstico promedio como un indicador del error.
**Para el modelo Bayesiano se presenta la varianza de la predictiva obtenida por simulación.
49
Histograma IV.2.a:Datos utilizados en el triángulo de desarrollo.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Doray). Modelo Bayesiano.
250
frecuencias
200
150
100
50
23,592
23,638
23,683
23,729
23,775
23,821
23,867
23,912
23,958
24,004
24,050
24,096
24,141
24,187
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
23,911.23
8,159.04
90.32743075
-0.033206281
24,233
23,912
23,592
119,556,161
0.00815142
5,000
Histograma IV.2.b: Datos en el triángulo de desarrollo.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Doray). Modelo Bayesiano
Modificado.
250
frecuencias
200
150
100
50
23,598
23,642
23,687
23,731
23,776
23,820
23,864
23,909
23,953
23,998
24,042
24,087
24,131
24,175
y
mayor..
clases
M edia
Varianza
D . E.
Kurtosis
M áximo
M ediana
M ínimo
Suma
Skewness
N
23,918.62
7,893.12
88.84323499
0.104378808
24,220
23,918
23,598
119,593,103
0.043885169
5,000
50
IV.3) Seguro de Responsabilidad Civil (Mack).
Los datos utilizados se encuentran en Mack (1994); corresponden a un ejemplo de Seguro de
Responsabilidad Civil General, cuyo principio de cobertura es ocurred, tomado de “Historical
loss development Study” 1991, publicado por R.A.A. (Reinsurance Asociation of America). Los
montos de estos siniestros pueden ser negativos debido a la recuperación de los siniestros por
medio del reaseguro.
Cuadro IV.15: Triángulo de desarrollo.
Responsabilidad Civil (Mack)
Años de desarrollo
Año de
1
2
3
4
5
6
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5,012
106
3,410
5,655
1,092
1,513
557
1,351
3,133
2,063
3,257
4,179
5,582
5,900
8,473
4,932
3,463
5,596
2,262
2,638
1,111
4,881
4,211
6,271
5,257
6,926
6,165
898
5,270
2,268
5,500
6,333
1,233
1,368
1,734
3,116
2,594
2,159
3,786
2,917
2,642
1,817
3,479
2,658
225
7
8
9
10
1,828
-103
649
984
599
673
603
54
535
172
IV.3.1) Chain-Ladder.
Según lo especificado en la sección IV.1.1 se obtiene la siguiente estimación de la reserva para
I.B.N.R., la reserva total es de 52,135 Se puede obtener el error de pronóstico promedio para
el método del Chain-ladder, v=186,473,033, utilizando la parte conocida del triángulo de
desarrollo como se realizó con los datos utilizados en las secciones IV.1 y IV.2, cuadro A6 del
Apéndice Estadístico.
IV.3.2) Modelo Bayesiano.
Se obtienen los siguientes resultados con la aplicación de lo especificado en la sección IV.1.3.
51
Cuadro IV.16 : Aplicación del Modelo.
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X1
x1a
xia
18,834
18,834
18,834
18,834
18,834
18,834
18,834
18,834
18,834
18,834
18,834
18,662
18,608
18,009
16,181
13,539
11,805
10,907
8,269
5,012
18,834
16,704
23,466
27,067
26,180
15,852
12,314
13,112
5,395
2,063
Acumulado
18,834
16,858
23,751
28,307
30,472
22,052
19,646
22,642
12,288
7,752
Reserva
Reserva
Varianza
154
285
1,240
4,292
6,200
7,332
9,530
6,893
5,689
41,615
3
8
142
1,843
5,265
8,922
15,257
14,559
22,163
68,161
D.E.
C.V.%
2
3
12
43
73
94
124
121
149
619
0.00%
0.97%
1.18%
4.21%
14.09%
32.90%
48.08%
54.55%
98.19%
192.03%
446.22%
Hasta ahora los resultados tanto de la reserva como de la varianza se han obtenido sin la
necesidad de utilizar el proceso de simulación. Ahora se aplica la simulación al modelo y los
resultados se encuentran en el histograma IV.3.a, en donde se observan las estadísticas
descriptivas y la dispersión de la predictiva.
IV.3.2.2) Intervalo de credibilidad.
Se presenta un intervalo de credibilidad al 95% utilizando la función de densidad predictiva
generada por simulación.
Cuadro IV.17: Intervalo de credibilidad al 95%.
Estimador puntual de
la reserva
41,615.00
1-α
95%
longitud del intervalo
Intervalo de
credibilidad para la
estimación de la
reserva. Modelo
Bayesiano.
[41,156.19,42,143.39]
987.2
IV.3.3) Predictor Bayesiano Modificado.
Según lo especificado en la sección IV.1.4 se aplica el modelo y se obtienen los resultados
siguientes.
52
Cuadro IV.18: Modelo Bayesiano Modificado.
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i
ai
qi=X(i-1)ai
pi=Xiai
bi
Acumulado
Reserva
E(X0(i-1))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
18,834.0
18,662.0
34,777.0
56,368.0
80,077.0
95,436.0
94,982.0
84,426.0
60,078.0
21,829.0
18,834.0
16,704.0
23,466.0
27,067.0
26,180.0
15,852.0
12,314.0
13,112.0
5,395.0
2,063.0
172.0
-
16,858.0
24,083.4
28,703.1
28,926.7
19,501.1
17,749.3
24,019.2
16,045.0
18,402.4
Reserva
154.0
617.4
1,636.1
2,746.7
3,649.1
5,435.3
10,907.2
10,650.0
16,339.4
52,135.2
18,834.0
35,692.0
59,775.3
88,478.5
117,405.2
136,906.3
154,655.6
178,674.8
194,719.8
Por el hecho de que se necesita el proceso de simulación para encontrar la varianza de la
predictiva, se presenta el histograma IV.3.b en donde se observan las estadísticas descriptivas
y dispersión de la predictiva.
IV.3.3.2) Intervalo de credibilidad.
Se calcula un intervalo de credibilidad al 95%
Cuadro IV.19: Intervalo de credibilidad al 95%.
Intervalo de
credibilidad para la
Estimador puntual de
estimación de la
la reserva
reserva. Modelo
Bayesiano
Modificado.
52,135.00
1-α
95%
[51,335.4,53,050.61]
1,715.21
longitud del intervalo
IV.3.4) Resumen de resultados.
Cuadro IV.20 :Comparación de los métodos utilizados.
Método
Chain-ladder
Bayesiano
Bayesiano Modificado.
Reserva
52,135
41,615
52,135
Errores
186,473,033*
69,166.2**
193,445.878**
*Se presenta el error de pronóstico promedio como un indicador del error.
**Para el modelo Bayesiano se reporta la varianza de la predictiva.
53
Histograma IV.3.a: Datos en el triángulo de desarrollo.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Mack). Modelo Bayesiano.
250
frecuencias
200
150
100
50
40,705
40,846
40,987
41,128
41,269
41,410
41,551
41,692
41,833
41,974
42,115
42,256
42,397
42,538
y
mayor..
clases
M edia
Varianza
D . E.
Kurtosis
M áximo
M ediana
M ínimo
Suma
Skewness
N
41,618.96
69,165.97
262.994236
0.034606022
42,679
41,619
40,705
208,094,786
0.023665491
5,000
Histograma IV.3.b: Datos en el triángulo de desarrollo.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Mack). Modelo Bayesiano
Modificado.
250
frecuencias
200
150
100
50
50,568
50,794
51,019
51,245
51,471
51,696
51,922
52,148
52,374
52,599
52,825
53,051
53,276
53,502
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
52,146.22
193,445.88
439.824827
0.035024419
53,728
52,143
50,568
260,731,098
0.068510368
5,000
54
IV.4) Seguro de Responsabilidad Civil (Verrall).
Para los datos tratados en Verrall (1989) además de incluir los métodos utilizados hasta el
momento en las secciones anteriores, se agrega un estimador lineal Bayesiano. Los datos
fueron tomados de un portafolio de seguros en general o seguro de daños que contienen la
cobertura de Responsabilidad Civil.
Cuadro IV.21: Datos en el triángulo de desarrollo.
Años de desarrollo
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
357,848
352,118
290,507
310,608
443,160
396,132
440,832
359,480
376,686
344,014
2
766,940
884,021
1,001,799
1,108,250
693,190
937,085
847,631
1,061,648
986,608
3
610,542
933,894
926,219
776,189
991,983
847,498
1,131,398
1,443,370
4
482,940
1,183,289
1,016,654
1,562,400
769,488
805,037
1,063,296
5
527,326
445,745
750,816
272,482
504,851
705,960
6
574,398
320,996
146,923
352,053
470,639
7
146,342
527,804
495,992
206,286
8
139,950
266,172
280,405
9
227,229
425,046
10
67,948
IV.4.1) Chain-Ladder
Como se especificó en la sección IV.1.1 se obtiene una reserva total para los I.B.N.R igual a
18,680,894, de igual forma se puede obtener el error de estimación promedio como una
medida del error, v=1,237,065,717,201, en el cuadro A7 del Apéndice.
IV.4.2) Regresión Lineal Lognormal.
Se aplica el modelo según lo especificado en la sección IV.1.2 y se obtienen los parámetros de
la estimación por regresión. Estos pueden ser consultados en el cuadro A8 del Apéndice
Estadístico. La reserva total igual a 16,497,336.8.
Cuadro IV.22: Aplicación del método de Regresión Lineal Lognormal.
Seguro general (Verral)
Años de desarrollo
Años de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
357,848 766,940 610,542 482,940
352,118 884,021 933,894 1,183,289
290,507 1,001,799 926,219 1,016,654
310,608 1,108,250 776,189 1,562,400
443,160 693,190 991,983 769,488
396,132 937,085 847,498 805,037
440,832 847,631 1131398 1,063,296
359,480 1,061,648 1443370 1,161,357
376,686 986,608 988,259 1,014,595
344,014 344,001 344,001 902,930
5
527326
445745
750816
272482
504851
705960
594277
649073
567048
504640
6
7
8
574,398
320,996
146,923
352,053
470,639
372,019
440,295
440,295
384,654
342,320
146,342
527,804
495,992
206,286
322,546
332,202
359,979
393,171
343,485
305,682
139,950
266,172
280,405
209,337
233,935
240,939
261,085
285,158
249,122
221,704
9
10
227,229 67,948
425,046 97,490
344,070 90,111
307,891 80,636
344,070 90,111
354,371 92,809
384,001 100,569
419,408 109,842
366,407 95,961
326,081 85,400
Reserva
0
97,490
434,181
597,864
990,662
1,392,340
2,140,206
3,458,304
4,009,531
3,376,759
16,497,337
IV.4.3) Modelo de Regresión Lineal Bayesiana
Este modelo es tratado de manera general en el desarrollo de esta tesis, por eso únicamente se
incluyen en esta sección los resultados obtenidos en Verrall (1989).
55
Se pueden consultar las estimaciones de los parámetros requeridos para realizar el cálculo de
la reserva para los Siniestros Ocurridos y No Reportados en el cuadro A9 del Apéndice
Estadístico. La reserva obtenida por este método es de 19,511,625.
IV.4.4) Modelo Bayesiano.
Como se especificó en la sección IV.1.3 se obtienen lo siguiente.
Cuadro IV.23: Aplicación del modelo Bayesiano.
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X1
x1a
3,901,463
3,901,463
3,901,463
3,901,463
3,901,463
3,901,463
3,901,463
3,901,463
3,901,463
3,901,463
3,901,463
3,833,515
3,606,286
3,466,336
3,319,994
2,745,596
2,218,270
1,735,330
1,124,788
357,848
Modelo Bayesiano sin modificar
Acumulad
xia
Reserva
Varianza
o
3,901,463
3,901,463
5,339,085
5,433,719
94,634
4,013
4,909,315
5,311,146
401,831
77,664
4,588,268
5,164,230
575,962
168,002
3,873,311
4,551,689
678,378
257,426
3,691,712
5,245,884
1,554,172
1,534,046
3,483,157
6,126,129
2,642,972
5,154,445
2,864,498
6,440,120
3,575,622
11,830,825
1,363,294
4,728,750
3,365,456
18,377,806
344,014
3,750,637
3,406,623
66,165,159
Reserva
16,295,649
103,569,387
D.E.
63
279
410
507
1,239
2,270
3,440
4,287
8,134
20,629
C.V.%
0.00%
0.12%
0.52%
0.79%
1.11%
2.36%
3.71%
5.34%
9.07%
21.69%
44.71%
Hasta ahora los resultados obtenidos se han calculado sin la necesidad de utilizar el proceso de
simulación. Se utiliza dicho proceso y los resultados se encuentran en el histograma IV.4.a.
IV.4.4.2) Intervalo de credibilidad.
Se calcula un intervalo al 95% utilizando el histograma para la predictiva de la reserva de
I.B.N.R. generado con los datos del ejercicio.
Cuadro IV.24: Intervalo de credibilidad.
Estimador puntual de
la reserva
16,295,600.00
1-α
95%
longitud del intervalo
Intervalo de
credibilidad para la
estimación de la
reserva. Modelo
Bayesiano.
[16,275,599,16,315,787]
40,188
IV.4.5) Modelo Bayesiano modificado.
Se aplican los procedimientos que se especifican en la sección IV.1.4.
56
Cuadro IV.25: Aplicación del predictor para el cálculo de la reserva de I.B.N.R.
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i
ai
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
(i-1)
qi=X
pi=Xiai
ai
3,901,463
3,833,515
8,520,325
12,743,113
15,954,957
17,963,259
18,447,791
15,047,844
10,251,249
3,327,371
3,901,463
5,339,085
4,909,315
4,588,268
3,873,311
3,691,712
3,483,157
2,864,498
1,363,294
344,014
bi
67,948
-
Acumulado
5,433,719
5,378,826
5,297,906
4,858,200
5,111,171
5,660,815
6,784,807
5,642,273
4,969,831
Reserva
Reserva
94,634
469,511
709,638
984,889
1,419,459
2,177,658
3,920,309
4,278,979
4,625,817
18,680,894
E(X0
(i-1)
)
3,901,463
9,335,182
14,714,008
20,011,914
24,870,114
29,981,285
35,642,100
42,426,907
48,069,180
Se presentan las simulaciones del modelo en el histograma IV.4.b.
IV.4.5.2) Intervalo de credibilidad.
Para este caso la longitud del intervalo resulta menor en el modelo Bayesiano modificado,
porque la longitud del intervalo en el modelo Bayesiano es de 40,188.
Cuadro IV.26: Intervalo de credibilidad al 95%.
Intervalo de
credibilidad para la
Estimador puntual de
estimación de la
la reserva
reserva. Modelo
Bayesiano Modificado.
18,680,094.00
1-α
95%
longitud del intervalo
[18,661,119,18,701,285]
40,166
IV.5.6) Resumen de resultados.
Cuadro IV.27: Resultados obtenidos con varios métodos de aplicación.
Método
Reserva
Errores
Chain-ladder
18,680,894
1,237,065,717,201*
Regresión Lineal Lognormal 16,497,337
Regresión Lineal Bayesiana. 19,511,625
Bayesiano
16,295,600
101,877,025**
Bayesiano Modificado
18,680,894
106,240,405**
*Se presenta el error de pronóstico promedio como un indicador del error.
**Para el modelo Bayesiano, se reporta la varianza de la predictiva.
57
y mayor...
18,717,569
18,715,398
18,713,227
18,711,056
18,708,885
18,706,713
18,704,542
18,702,371
18,700,200
18,698,029
18,695,858
18,693,687
18,691,515
18,689,344
18,687,173
18,685,002
18,682,831
18,680,660
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
18,678,488
18,676,317
18,674,146
18,671,975
18,669,804
18,667,633
18,665,462
18,663,290
18,661,119
18,658,948
18,656,777
18,654,606
18,652,435
18,650,263
18,648,092
18,645,921
18,643,750
frecuencias
y mayor...
16,328,153
16,326,092
16,324,031
16,321,970
16,319,909
16,317,848
16,315,788
16,313,727
16,311,666
16,309,605
16,307,544
16,305,483
16,303,422
16,301,361
16,299,300
16,297,239
16,295,178
16,293,117
16,291,056
16,288,995
16,286,934
16,284,873
16,282,812
16,280,751
16,278,690
16,276,629
16,274,568
16,272,507
16,270,447
16,268,386
16,266,325
16,264,264
16,262,203
16,260,142
16,258,081
frecuencias
Histograma IV.4.a. Datos en el triángulo de desarrollo.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Verrall). Modelo Bayesiano.
250
200
150
100
50
-
clases
16,295,572.22
101,887,024.80
10,093.9
0.01209066
16,330,214
16,295,496
16,258,081
81,477,861,078
0.004237785
5,000
Histograma IV.4.b: Datos en el triángulo de desarrollo.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Verrall). Modelo Bayesiano
Modificado.
250
200
150
100
50
-
clases
58
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
18,680,881.65
106,240,405.23
10,307.3
-0.026955978
18,719,740
18,680,680
18,643,750
93,404,408,242
0.026124633
5,000
IV.5) Seguro de Daños (Hossack).
En esta sección, se aplican el Chain-Ladder y los modelos Bayesiano y Bayesiano Modificado a
la experiencia en reclamaciones sobre los siniestros ocurridos y no reportados pertenecientes a
un asegurador específico. Se cuenta con la información que corresponde al número de
reclamos por cada período de origen.
Cuadro IV.28: Número de reclamos por cada período de origen.
Año de origen
Número de reclamos (Incl.
I.B.N.R.)
1976
48,298
1977
43,430
1978
41,454
1979
41,674
1980
39,265
IV.5.1) Chain-Ladder.
Como se especificó en la sección IV.1.1 se tiene una reserva total de 2,097,323, el error de
pronóstico promedio es v=2,557,624,703, puede observarse en el cuadro A 10 del Apéndice
Estadístico.
IV.5.2) Método de Separación.
Se cuenta con la información para aplicar el método, se espera una inflación futura del 12%.
Cuadro IV.29: Aplicación del método de Separación.
Método de Separación
Seguro de Daños (Hossack)
Pi,j
Años de desarrollo
Años de
1
2
3
origen
1976
12.0134
10.3457
4.9692
1977
11.3869
11.4965
4.4261
1978
13.2951
12.2805
5.7472
6.7299
1979
15.5500
15.9377
17.8247
7.5375
1980
18.9992
4
2.7662
3.6612
4.0221
4.5048
5.0454
5
1.1369
1.2734
1.4262
1.5973
1.7890
59
Diagonales
d1=
d2=
d3=
d4=
d5=
12
22
30
35
45
Estimadores
Cλ6=
45
r5=
0.024997465
35.92072871
Cλ5=
r4=
0.078957848
33.21351423
Cλ4=
r3=
0.132114629
Cλ3=
28.44850852
r2=
0.349913869
Cλ2=
29.01668
r1=
0.41401619
Inflación
f=12%
futura
Estimación de la reserva
Seguro de Daños (Hossack)
Años de desarrollo
Años de
origen
1976
1977
1978
1979
1980
1
580,222
494,534
551,136
648,031
746,003
2
499,679
499,293
509,075
664,188
699,885
3
240,001
192,227
238,245
280,463
295,961
4
133,601
159,007
166,733
187,732
198,106
5
Reserva
54,912
0
55,303
55,303
59,121
225,854
66,567
534,762
70,245
1,264,197
2,080,116
IV.5.3) Modelo Bayesiano.
Con la aplicación de lo especificado en la sección IV.1.3 se obtienen los siguientes resultados
aplicados a los datos.
Cuadro IV.30: Datos en el triángulo de desarrollo.
60
Seguro general (Hossack)
Años de desarrollo
Años
de
origen
1976
1977
1978
1979
1980
1
580,222
494,534
551,136
648,031
746,003
2
499,679
499,293
509,075
664,188
3
240,001
192,227
238,245
4
133,601
159,007
5
54,912
Cuadro IV.31: Aplicación del modelo.
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Año
de
origen
1976
1977
1978
1979
1980
X1
x1a
xia
Acumula
do
Reserva
Varianza
D.E.
C.V.%
1,508,415
1,508,415
1,508,415
1,508,415
1,508,415
1,508,415
1,453,503
1,319,902
1,079,901
580,222
1,508,415
1,345,061
1,298,456
1,312,219
746,003
1,508,415
1,395,876
1,483,906
1,832,919
1,939,399
50,815
185,450
520,700
1,193,396
3,696
52,543
457,687
4,363,696
-
0.00
0.02
0.04
0.11
1,950,361
4,877,622
61
229
677
2,089
Hasta ahora no se ha aplicado el proceso de simulación, los resultados de su aplicación pueden
observarse en el histograma IV.5.a.
IV.5.1.2) Intervalo de credibilidad.
Se calcula un intervalo de credibilidad al 95% con el histograma de la distribución predictiva
que utiliza los datos del problema.
Cuadro IV.32: Intervalo de credibilidad.
Estimador puntual de
la reserva
Intervalo de credibilidad
para la estimación de la
reserva. Modelo
Bayesiano.
1,950,361.00
1-α
95%
[1,946,750.27,1,954,308.14]
longitud del intervalo
7,558
IV.5.2) Modelo Bayesiano Modificado.
Con los procedimientos especificados en la sección IV.1.4 se tienen los siguientes resultados al
aplicar al modelo.
Cuadro IV.33: Aplicación del predictor para el cálculo de las reservas de I.B.N.R.
61
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
origen
1976
1977
1978
1979
1980
i
ai
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
(i-1)
qi=X
ai
1,508,415
1,453,503
2,505,956
3,133,939
2,273,923
pi=Xiai
1,508,415
1,345,061
1,298,456
1,312,219
746,003
bi
108,442
-
Acumula
Reserva
do
1,395,876
1,504,853
1,846,163
2,052,170
50,815
206,397
533,944
1,306,167
2,097,323
E(X0
(i-1)
)
1,508,415
2,904,291
4,409,144
6,255,307
Con el uso del proceso de simulación se observan las varianzas para la predictiva en el
histograma IV.5.b.
IV.5.2.2) Intervalo de credibilidad.
Se calcula un intervalo de credibilidad al 95% de la función de densidad predictiva simulada.
Cuadro IV.34: Intervalo de credibilidad al 95% para el Seguro de Daños.
Intervalo de credibilidad
Estimador puntual de para la estimación de la
la reserva
reserva. Modelo
Bayesiano Modificado.
2,097,323.00
1-α
95%
[2,094,196.6,2,100,759.47]
6,563
longitud del intervalo
Para este caso, la longitud del intervalo resulta menor que en el modelo Bayesiano ya que el
modelo Bayesiano para este caso tiene un intervalo de longitud 7,558.
IV.5.3) Resumen de resultados.
Cuadro IV.35 : Comparación de métodos.
Método
Estimación de la
Reserva
Separación
2,080,116
Chain-Ladder
2,097,323
Modelo Bayesiano
Modelo Bayesiano modificado
1,950,361
2,097,323
Errores
2,557,624,703
*
4,877.622**
3,766
*Se presenta el error de pronóstico promedio como un indicador del error.
**Para el modelo Bayesiano se presenta la varianza de la predictiva utilizando el proceso de simulación.
62
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
y mayor...
2,103,345
2,102,947
2,102,549
2,102,152
2,101,754
2,101,356
2,100,958
2,100,561
2,100,163
2,099,765
2,099,367
2,098,970
2,098,572
2,098,174
2,097,776
2,097,379
2,096,981
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
2,096,583
2,096,185
2,095,788
2,095,390
2,094,992
2,094,594
2,094,197
2,093,799
2,093,401
2,093,003
2,092,606
2,092,208
2,091,810
2,091,412
2,091,015
2,090,617
2,090,219
2,089,821
frecuencias
y mayor...
1,958,559
1,958,087
1,957,615
1,957,142
1,956,670
1,956,198
1,955,725
1,955,253
1,954,781
1,954,308
1,953,836
1,953,363
1,952,891
1,952,419
1,951,946
1,951,474
1,951,002
1,950,529
1,950,057
1,949,584
1,949,112
1,948,640
1,948,167
1,947,695
1,947,223
1,946,750
1,946,278
1,945,806
1,945,333
1,944,861
1,944,388
1,943,916
1,943,444
1,942,971
1,942,499
frecuencias
Histograma IV.5.a: Datos en el triángulo de desarrollo.
Predictiva del Seguro de Daños. (Hossack). Modelo Bayesiano.
250
200
150
100
50
-
clases
1,950,361.12
4,993,446.10
2,234.6
-0.055178144
1,959,032
1,950,335
1,942,499
9,751,805,610
0.033828745
5,000
Histograma IV.5.b: Datos en el triángulo de desarrollo.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Daños (Hossack). Modelo Bayesiano.
250
200
150
100
50
-
clases
2,097,313.07
3,766,103.03
1,940.6
-0.007078337
2,103,743
2,097,284
2,089,821
10,486,565,357
-0.037550069
5,000
63
IV.6) Seguro de Gastos Médicos Mayores (Experiencia de una compañía del Sector Asegurador
Mexicano).
Se aplica el método del Chain-Ladder y los modelos Bayesiano y Bayesiano Modificado a la
experiencia de una compañía del sector asegurador mexicano. A diferencia de los ejemplos
utilizados en las secciones anteriores del capítulo IV, los datos se reportan de manera
trimestral, como lo indica la legislación mexicana al respecto. Cabe mencionar que este tipo de
seguros en México es en donde se presentan con mayor frecuencia los casos de Siniestros
Ocurridos y No reportados, la cola en estos siniestros no es tan “pesada” ya que la
responsabilidad de la compañía aseguradora, en cuanto a pagar los tratamientos médicos
necesarios, termina dos años después de que finaliza el seguro de Gastos Médicos o cuando se
agote la suma asegurada, lo que ocurra primero.
IV.6.1) Chain-Ladder.
Con el uso del procedimiento especificado en la sección IV.1.1 se tiene una reserva total de
7,780.08. La aplicación del método puede consultarse en el cuadro A 11 del Apéndice
Estadístico. Los datos en el triángulo de desarrollo son los siguientes.
Cuadro IV.36: Datos del Seguro de Gastos Médicos Mayores correspondientes a una compañía
del Sector Asegurador Mexicano.
Unidades
Trimestre de
ocurrencia
1er Trim. 93
2do Trim. 93
3er Trim. 93
4to Trim. 93
1er Trim. 94
2do Trim. 94
3er Trim. 94
4to Trim. 94
1er Trim. 95
2do Trim. 95
3er Trim. 95
4to Trim. 95
1er Trim. 96
2do Trim. 96
3er Trim. 96
4to Trim. 96
1er Trim. 97
2do Trim. 97
1
1,362
1,796
2,005
1,910
2,180
2,382
2,345
1,925
2,163
2,212
2,377
2,432
2,129
1,777
2,565
2,920
2,261
2,443
2
1,848
1,800
2,001
1,903
2,310
2,017
1,888
1,798
1,866
1,818
1,529
1,629
2,505
2,244
2,273
2,176
2,685
3
200
528
457
362
326
499
420
357
466
419
259
474
571
513
516
769
4
165
205
246
118
165
205
186
187
229
172
185
222
299
310
318
5
149
75
71
59
151
135
102
88
158
135
123
201
274
254
Seguros de Gastos Médicos Mayores.Sin acumular
Compañía del Sector Asegurador Mexicano
10
Trimestre de desarrollo
6
7
8
9
10
11
38
38
26
42
24
12
41
61
35
35
6
3
51
46
68
37
8
16
48
69
54
29
8
113
58
51
74
16
15
84
52
38
48
14
26
60
52
48
58
26
17
84
63
81
39
31
14
126
89
125
93
68
87
94
67
153
89
75
98
141
90
184
12
6
0
2
9
3
8
10
13
7
3
4
26
17
14
15
4
6
2
-
-
16
0
-
17
-
18
7
3
1
6
16
IV.6.2) Modelo Bayesiano.
Se aplica lo especificado en la sección IV.1.3 y se obtienen lo siguiente.
64
Cuadro IV.37: Aplicación del Modelo Bayesiano. Seguro de Gastos Médicos.
1er Trim. 93
2do Trim. 93
3er Trim. 93
4to Trim. 93
1er Trim. 94
2do Trim. 94
3er Trim. 94
4to Trim. 94
1er Trim. 95
2do Trim. 95
3er Trim. 95
4to Trim. 95
1er Trim. 96
2do Trim. 96
3er Trim. 96
4to Trim. 96
1er Trim. 97
2do Trim. 97
Total
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
a
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X10
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
3,929
Modelo Bayesiano
Seguro de Gastos Médicos Mayores.
Xia
X1a
Media
Reserva
3,929 3,929
3,928.50
4,595 3,922
4,603.50
8.20
5,013 3,922
5,021.95
8.95
4,575 3,921
4,583.32
8.52
5,502 3,918
5,517.41
15.31
5,525 3,918
5,540.07
15.37
5,213 3,910
5,237.16
24.26
4,667 3,904
4,695.89
29.29
5,382 3,892
5,433.33
51.03
5,155 3,868
5,235.80
81.30
4,734 3,826
4,861.39
127.09
5,188 3,800
5,363.43
175.03
262.80
5,960 3,763
6,223.10
5,098 3,724
5,377.98
279.68
5,672 3,575
6,233.03
561.03
5,866 3,410
6,757.40
891.70
4,946 3,210
6,052.88
1,106.88
2,443 1,362
7,046.78
4,603.68
97,712.92
8,250.12
Varianza
0.03
0.04
0.03
0.10
0.10
0.26
0.40
1.15
2.99
7.64
13.98
29.97
36.38
143.68
369.12
630.09
24,300.80
25,536.78
D.E.
0.18
0.19
0.19
0.32
0.32
0.51
0.64
1.07
1.73
2.76
3.74
5.47
6.03
11.99
19.21
25.10
155.89
235.35
C.V.
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
0.01%
0.01%
0.02%
0.03%
0.06%
0.07%
0.09%
0.11%
0.19%
0.28%
0.41%
2.21%
0.04
Hasta ahora no se ha aplicado el proceso de simulación, a pesar de que en el modelo Bayesiano
se obtiene una medida para la varianza de la reserva, se utiliza el proceso de simulación para
conocer el comportamiento y dispersión de la función de densidad predictiva y obtener un
intervalo de credibilidad. El resultado de la simulación se encuentra en el histograma IV.6.a.
IV.6.2.1) Intervalo de credibilidad.
Se calcula un intervalo de credibilidad al 95%.
Cuadro IV.38: Intervalo de credibilidad.
Estimador puntual
de la reserva
Intervalo de credibilidad
para la estimación de la
reserva. Modelo
Bayesiano.
8,250
1-α
95%
longitud del
intervalo
[7,936, 8,596]
660
65
Histograma IV.6.a) Datos utilizados en el triángulo de desarrollo.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Gastos Médicos Mayores. Compañía del Sector
Asegurador Mexicano. Modelo Bayesiano.
250
200
150
100
50
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
8843
8810
y mayor...
8777
8744
8711
8678
8645
8612
8579
8546
8513
8480
8447
8414
8381
8348
8315
8282
8249
8216
8183
8150
8117
8084
8051
8018
7985
7952
7919
7886
7853
7820
7787
7754
7721
0
8,255.41
26,098.02
161.54883
-0.00231111
8876.29124
8253.35985
7721.08387
41277042.4
5000
IV.6.3) Modelo Bayesiano modificado.
Con los procedimientos especificados en la sección IV.1.4 se obtiene lo siguiente.
66
Cuadro IV.39: Aplicación del modelo para el cálculo de las reservas de I.B.N.R.
2do Trim.
3er Trim.
4to Trim.
1er Trim.
2do Trim.
3er Trim.
4to Trim.
1er Trim.
2do Trim.
3er Trim.
4to Trim.
1er Trim.
2do Trim.
3er Trim.
4to Trim.
1er Trim.
2do Trim.
Total
93
93
93
94
94
94
94
95
95
95
95
96
96
96
96
97
97
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Modelo Bayesiano Modificado
Seguro de Gastos Médicos Mayores.
(i-1)
(i-1)
q i=X ai p i=X iai Acumulado Reserva
E(X 0 )
3,922
4,598
4,606.61
8.21
3,928.50
8,517
5,013
5,023.78
10.78
8,535.11
13,529
4,575
4,584.91
10.11
13,558.88
18,088
5,502
5,519.07
16.97
18,143.79
23,572
5,525
5,545.90
21.20
23,662.86
29,041
5,213
5,242.98
30.08
29,208.76
34,214
4,667
4,698.97
32.37
34,451.74
38,777
5,382
5,434.16
51.86
39,150.71
43,958
5,155
5,228.04
73.54
44,584.87
48,505
4,734
4,861.94
127.64
49,812.91
52,549
5,188
5,398.30
209.90
54,674.85
56,951
5,960
6,287.08
326.78
60,073.15
61,766
5,098
5,477.48
379.18
66,360.23
64,891
5,672
6,279.23
607.23
71,837.71
67,351
5,866
6,803.33
937.63
78,116.94
66,081
4,946
6,356.05
1,410.05
84,920.27
91,276.32
36,740
2,443
6,069.65
3,626.55
93,417.48
7,880.08
772,297.61
a
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Se utiliza el proceso de simulación para conocer el comportamiento de la función de densidad
predictiva de la reserva, en el histograma IV.6.b se presenta el resultado de la simulación.
IV.6.3.1) Intervalo de credibilidad.
Se calcula un intervalo de credibilidad al 95% con las simulaciones obtenidas.
Cuadro IV.40: Intervalo de credibilidad al 95%.
Intervalo de credibilidad
Estimador puntual para la estimación de la
de la reserva
reserva. Modelo
Bayesiano Modificado.
7,880
1-α
95%
longitud del
intervalo
[7,715, 8,049]
334
67
Histograma IV.6.b: Datos en el triángulo de desarrollo.
Predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Gastos Médicos Mayores. Compañía del Sector
Asegurador Mexicano. Modelo Bayesiano Modificado.
250
200
150
100
50
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
8843
8810
y mayor...
8777
8744
8711
8678
8645
8612
8579
8546
8513
8480
8447
8414
8381
8348
8315
8282
8249
8216
8183
8150
8117
8084
8051
8018
7985
7952
7919
7886
7853
7820
7787
7754
7721
0
7,879.79
6,917.90
83.1739053
-0.07153929
8181.29408
7878.25874
7564.82367
39398967.6
5000
IV.6.4) Resumen de resultados.
Se presenta un cuadro comparativo de los métodos utilizados.
Cuadro IV.41 : Comparación de métodos.
Método
Estimación de la
Reserva
Chain-Ladder
7,880.08
Modelo Bayesiano
8,250.12
Modelo Bayesiano
7,880.08
modificado
Errores
26,098.02*
6,917.90
*Se presenta el error de pronóstico promedio como un indicador del error.
**Para el modelo Bayesiano se presenta la varianza de la pr4dictiva obtenida por simulación.
Anexo
El modelo Bayesiano y Bayesiano Modificado que se desarrolla en la tesis presentan un
problema que consiste en que al aplicar el modelo con distintos múltiplos de las unidades
originales en el triángulo de desarrollo, no se mantiene la propiedad de dispersión en la
variable aleatoria que se utiliza para encontrar la reserva de los Siniestros Ocurridos y No
Reportados, es decir que la varianza predictiva obtenida por el modelo con los distintos
múltiplos en el triángulo de desarrollo no respeta la siguiente propiedad, si definimos a U como
2
una variable aleatoria y a como una constante conocida entonces Var ( aU ) = a Var (U ) . El
problema debe ser resuelto en investigaciones posteriores a la presente tesis. A continuación
68
se presentan los resultados obtenidos con los ejemplos presentados en el capítulo IV y que
tienen la finalidad de ayudar en la investigación para encontrar la solución al problema antes
descrito.
Anexo IV.1) Cobertura de Responsabilidad Civil para el Seguro de Automóviles, experiencia
belga.
En esta sección se presentan los resultados del modelo Bayesiano y Bayesiano Modificado al
utilizar los distintos múltiplos de las unidades originales que a continuación se especifican para
el ejemplo presentado en la sección IV.1. Se aplica el modelo a las unidades originales
divididas entre 10, 100 y 1000 en el triángulo de desarrollo, se presentan los histogramas que
corresponden a las simulaciones del modelo, y una vez que se tienen las observaciones
simuladas para la función de densidad predictiva de las reservas, se transforman en las
unidades originales al multiplicarlas por el divisor correspondiente que fue utilizado para
generar los distintos múltiplos de las unidades originales. Con la finalidad de visualizar las
distintas dispersiones obtenidas por el modelo, se presenta una gráfica resumen, en donde se
utiliza la misma escala de medición para presentar a los histogramas generados.
Anexo IV.1.1) Modelo Bayesiano.
Se presentan distintas variabilidades de la distribución predictiva, al aplicar los distintos
múltiplos de las unidades en el triángulo de desarrollo. Esto puede observarse en los siguientes
cuadros e histogramas.
Cuadro B1: Aplicación del método Bayesiano sin modificar para obtener de las reservas de
I.B.N.R. Unidades Originales/10.
Modelo Bayesiano sin modificar
Varianza
Acumula
X1
x1a
xia
D.E.
C.V.%
Reserva
Año de origen
do
1981
554
554
554
554
0
0
0
0
1982
554
531.2
547
570.47816 23.4782 2.059 1.43492 0.25153
1983
554
503.6
554.1 609.55401 55.454 11.738 3.42609 0.56207
1984
554
469.5
531.4 627.04068 95.6407 36.974 6.08059 0.96973
1985
554
427.4
510.7 661.97426 151.274 99.172 9.95849 1.50436
1986
554
369.1
480.9 721.80601 240.906 280.62 16.7517 2.32081
1987
554
206.2
308.4 828.58196 520.182 2228.4 47.2057 5.69716
Reserva 1086.94 2658.9 84.8575 11.3057
69
Cuadro B2: Aplicación del método Bayesiano sin modificar para obtener de las reservas de
I.B.N.R. Unidades Originales/100.
Modelo Bayesiano sin modificar
Varianza
Acumula
Año de origen
X1
x1a
xia
D.E.
C.V.%
Reserva
do
1981
55.4
55.4
55.4
55.4
0
0
0
0
1982
55.4
53.12
54.7 57.047816 2.34782 0.2187 0.46769 0.81982
1983
55.4
50.36
55.41 60.955401 5.5454 1.2516 1.11873 1.83532
1984
55.4
46.95
53.14 62.704068 9.56407 3.9615 1.99036 3.17421
1985
55.4
42.74
51.07 66.197426 15.1274 10.703 3.27153 4.94208
1986
55.4
36.91
48.09 72.180601 24.0906 30.678 5.53877 7.67349
1987
55.4
20.62
30.84 82.858196 52.0182 262.63 16.2058 19.5585
Reserva 108.694 309.44 28.5929 38.0035
Se presentan los resultados obtenidos por el proceso de simulación para el presente modelo en
la gráfica IV.1 y en los anexos IV.1.1.A y IV.1.1.B.
Anexo IV.1.2) Modelo Bayesiano Modificado.
Al aplicar el modelo Bayesiano modificado con distintas unidades en el triángulo de desarrollo,
se obtiene la reserva sin necesidad de utilizar el proceso de simulación, sin embargo para
obtener las varianzas se requiere simular el modelo, y se observan distintas varianzas para la
predictiva de las reservas de I.B.N.R. como se aprecia los anexos IV.1.2.A y IV.1.2.B, en donde
se puede observar una gráfica resumen de las simulaciones y las estadísticas descriptivas y en
la gráfica IV.II en donde se comparan los histogramas en la misma escala de medición para
que se aprecie visualmente la dispersión de las funciones de densidad predictivas de la reserva.
Cuadro B3: Unidades originales/100.
Modelo Bayesiano Modificado
Acumulado
Año de
bi
Reserva E(X 0(i-1))
i ai qi=X ai(i-1) pi=X iai
origen
1982
2 6
53.12
54.7
2.28
57.048
2.34782
55.40
1983
3 5 101.99
55.41
61.092
5.68161
112.45
1984
4 4 146.95
53.14
62.755
9.61526
173.54
1985
5 3 182.23
51.07
66.222
15.1516
236.30
1986
6 2
200.3
48.09
72.631
24.5411
302.52
1987
7 1
136.9
30.84
84.511
53.6709
375.15
Reserva
111.008
70
Cuadro B4 :Unidades originales/1000.
Modelo Bayesiano Modificado
Año de
origen
1982
1983
1984
1985
1986
1987
i ai qi=X ai(i-1) pi=X iai
2
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1
5.312
10.199
14.695
18.223
20.03
13.69
5.47
5.541
5.314
5.107
4.809
3.084
Acumulado
bi
0.228
-
5.7048
6.1092
6.2755
6.6222
7.2631
8.4511
Reserva
Reserva E(X 0(i-1))
0.23478
0.56816
0.96153
1.51516
2.45411
5.36709
11.1008
5.54
11.24
17.35
23.63
30.25
37.51
Cuadro B4 : Resumen de los resultados obtenidos. (Las varianzas se obtuvieron por el proceso
de simulación).
Modelo
Unidades
Reserva Varianza predictiva
(obtenida por
simulación)
Modelo Bayesiano
originales
10,869.4
26,853.6
/10
10,869.4
268,592
/100
10,869.4
3,166,128
Predictor Bayesiano modificado
originales
11,101
17,434.8
/100
11,101
1,779,512
/1000
11,101
25,370,799
Anexo IV.1.1.A. Unidades originales /10.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de R.C. Automóviles. Modelo Bayesiano.
Unidades originales/10.
250
frecuencias
200
150
100
50
9,309
9,584
9,859
10,134
10,409
10,685
10,960
11,235
11,510
11,785
12,060
12,335
12,610
12,885
y
mayor..
clases
71
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
10,904.98
268,591.00
518.257656
0.29474182
13,160
10,889
9,309
54,448,570
5,000
Anexo IV.1.1.B: Unidades originales /100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de R.C. Automóviles. Modelo Bayesiano.
Unidades originales/100.
300
250
frecuencias
200
150
100
50
6,995
8,085
9,175
10,265
11,355
12,446
13,536
14,626
15,716
16,806
17,896
18,986
20,076
21,166
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
11,263.23
3,166,127.58
1779.361565
2.002086805
22,256
11,061
6,995
56,237,325
5,000
72
Gráfica IV.1
Simulación de la predictiva del seguro de automóviles. Modelo
Bayesiano sin Modificar. Distintas unidades utilizadas en el
triángulo de desarrollo.
2500
Unidades Originales
1500
1000
500
/10
15715.
80799
12445.
53818
11355.
44824
10265.
3583
9175.2
68368
8085.1
78431
6995.0
88495
-500
14625.
71805
/100
0
13535.
62811
frecuencia
2000
clases
Anexo IV.1.2.A: Unidades Originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de R.C. Automóviles. Modelo Bayesiano
Modificado. Unidades originales/100.
250
frecuencias
200
150
100
50
7,508
8,235
8,961
9,688
10,415
11,142
11,869
12,595
13,322
14,049
14,776
15,503
16,230
16,956
y
mayor..
clases
73
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
11,195.82
1,779,512.05
1,334.0
0.552923201
17,683
11,120
7,508
55,900,725
5,000
Anexo IV.1.2.B:Unidades Originales/1000.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de R.C. Automóviles. Modelo Bayesiano
Modificado. Unidades Originales /1000.
400
350
300
frecuencias
250
200
150
100
50
3,193
6,787
10,382
13,976
17,571
21,165
24,760
28,354
31,949
35,543
39,138
42,732
46,326
49,921
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
12,313.55
25,370,798.88
5,036.9
6.561302782
53,515
11,416
3,193
61,481,531
5,000
74
Gráfica IV.2
Simulación de la predictiva del seguro de automóviles. Modelo
Bayesiano Modificado. Distintas unidades utilizadas en el
triángulo de desarrollo.
3000
Unidades
originales
2500
fre
cu
en
cia
s
2000
1500
1000
/100
500
0
31
66
-500
92.
31
95
/1000
60
68.42
52 1
89
17
44.
89
09
11
59
81
37
9.6
14
26
69
95
5.2
17
20
94
62
57
44
53
11
0.7
6.3
clases
23
29
32
69
1.9
26
97
19
27
7.4
29
64
07
84
3.0
m
re
Anexo IV.2) Seguro de Responsabilidad Civil (Doray).
Se presentan los resultados de los modelos Bayesiano y Bayesiano Modificado según lo
señalado en el Anexo IV.1.
Anexo IV.2.1) Modelo Bayesiano.
A continuación se presentan los resultados del modelo, sin el uso del proceso de simulación y
posteriormente se presentan los resultados de las simulaciones de la predictiva para la reserva
de I.B.N.R.
Cuadro B6: Aplicación del modelo con unidades originales/10. Seguro de Responsabilidad Civil.
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
Acumula
X1
x1a
xia
Reserva Varianza
D.E.
C.V.
origen
do
1982
10597
10597
10597
10597
0
0
0
0
1983
10597 10386.9 2515.5 2566.382 50.882 1.278859 1.13087 0.044065
1984
10597 10081.8 2688.2 2825.572 137.372 8.894638 2.98239 0.10555
1985
10597
9695.4 3054.5 3338.546 284.046 34.74743 5.89469 0.176565
1986
10597
9074.3 3700.6 4321.574 620.974 146.7494 12.114 0.280315
1987
10597
7994.3 3986.2 5283.985 1297.79 633.4641 25.1687 0.476321
Reserva 2391.06 825.1344 47.2907 1.082815
75
Cuadro B7: Aplicación del modelo con unidades originales/100. Seguro de Responsabilidad
Civil.
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Acumula
Año de
x1a
xia
Reserva Varianza
D.E.
C.V.
X1
do
origen
1982
1059.7 1059.7 1059.7
1059.7 2.3E-13 9.79E-29 9.9E-15 9.34E-16
1983
1059.7 1038.69 251.55 256.6382 5.0882 0.128241 0.35811 0.139538
1984
1059.7 1008.18 268.82 282.5572 13.7372 0.892019 0.94447 0.334257
1985
1059.7 969.54 305.45 333.8546 28.4046 3.485218 1.86687 0.559188
1986
1059.7 907.43 370.06 432.1574 62.0974 14.72295 3.83705 0.887882
1987
1059.7 799.43 398.62 528.3985 129.779 63.5848 7.97401 1.50909
Reserva 239.106 82.81323 14.9805 3.429955
Cuadro B8: Aplicación del modelo con unidades originales/1000. Seguro de Responsabilidad
Civil.
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
Acumula
X1
x1a
xia
Reserva Varianza
D.E.
C.V.
origen
do
1982
105.97 105.97 105.97
105.97
0
0
0
0
1983
105.97 103.869 25.155 25.66382 0.50882 0.013187 0.11484 0.447463
1984
105.97 100.818 26.882 28.25572 1.37372 0.09182 0.30302 1.072412
1985
105.97 96.954 30.545 33.38546 2.84046 0.359266 0.59939 1.795356
1986
105.97 90.743 37.006 43.21574 6.20974 1.521634 1.23355 2.854389
1987
105.97 79.943 39.862 52.83985 12.9779 6.604465 2.56992 4.863593
Reserva 23.9106 8.590372 4.8207 11.03321
Para visualizar la dispersión de la predictiva, se presentan los resultados obtenidos del proceso
de simulación en los anexos IV.2.1.A, IV.2.1.B, IV.2.1.C, y gráfica IV.3.
Anexo IV.2.2) Modelo Bayesiano Modificado.
El comportamiento de la varianza de la predictiva varía dependiendo de los múltiplos de las
unidades originales que se utilicen. Por el hecho de que en este método no se puede obtener
una expresión analítica para la varianza de la predicción, se realizaron simulaciones para
obtener la dispersión de la función de densidad y en general para observar su comportamiento
como se aprecia en los anexos IV.2.2.A, IV.2.2.B y en la gráfica IV.4.
Se presentan los cuadros con los resultados del modelo.
76
Cuadro B9: Unidades originales/100.
Año de
i
origen
1982 1
1983 2
1984 3
1985 4
1986 5
1987 6
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Acumu
Reserva
ai qi=Xai(i-1) pi=Xiai bi
lado
6
1,060 1059.7
0
0
0
5
1,039
251.6
21 256.64 5.0882
4
1,254
268.8
282.27 13.451
3
1,456
305.5
335.31 29.862
2
1,655
370.1
432.56 62.498
1
1,790
398.6
526.88 128.26
Reserva 239.16
E(X0(i-1))
0
1059.7
1316.3
1598.6
1933.9
2366.5
Cuadro B10: Unidades originales/1000.
Año de
i
origen
1982 1
1983 2
1984 3
1985 4
1986 5
1987 6
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Acumu
ai qi=Xai(i-1) pi=Xiai bi
Reserva
lado
6 105.97
105.97
0
0
0
5 103.869
25.16
2.1 25.664 0.50882
4 125.361
26.88
28.227 1.3451
3 145.624
30.55
33.531 2.9862
2 165.45
37.01
43.256 6.2498
1 179.039
39.86
52.688 12.826
Reserva 23.916
E(X0(i-1))
0
105.97
131.63
159.86
193.39
236.65
Cuadro B11: Resumen de resultados. (Las varianzas se obtuvieron por el proceso de
simulación).
Modelo
Unidades
Reserva
Bayesiano
originales
/10
/100
/1000
originales
/100
/1000
23,911
23,911
23,911
23,911
23,916
23,916
23,916
Bayesiano modificado
Varianza predictiva
(Obtenida por
simulación)
8,159.10
88,897.3
837,796
8,388,593
7,893.05
819,787
8,432,483
77
Anexo IV.2.1.A: Unidades originales/10.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Doray). Modelo
Bayesiano. Unidades originales/10.
250
frecuencias
200
150
100
50
22,931
23,075
23,220
23,364
23,508
23,652
23,796
23,940
24,084
24,229
24,373
24,517
24,661
24,805
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
23,914.61
82,799.14
287.7
-0.050279277
24,949
23,909
22,931
119,573,028
0.065832199
5,000
Anexo IV.2.1.B: Unidades originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Doray). Modelo
Bayesiano. Unidades originales/100.
250
200
frecuencias
150
100
50
21,007
21,465
21,923
22,382
22,840
23,298
23,756
24,215
24,673
25,131
25,590
26,048
26,506
26,964
y
mayor..
clases
78
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
23,942.60
832,909.58
912.6
-0.020039298
27,423
23,911
21,007
119,712,987
0.147925778
5,000
Anexo IV.2.1.C: Unidades originales/1000.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Doray). Modelo
Bayesiano. Unidades Originales /1000.
250
frecuencias
200
150
100
50
15,368
16,852
18,337
19,821
21,305
22,790
24,274
25,759
27,243
28,727
30,212
31,696
33,181
34,665
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
24,141.61
8,395,778.43
2,897.5
0.104162212
36,149
24,018
15,368
120,708,033
0.279781003
5,000
79
Gráfica IV.3
Simulación de la predictiva del Seguro de Responsabilidad Civil
Doray. Modelo Bayesiano sin Modificar. Distintas Unidades
utilizadas en el triángulo de desarrollo.
4000
Unidades
originales
2000
31399
30509
29618
/1000
27837
26946
24274
23384
22493
21602
20712
19821
18930
18040
17149
16259
15368
-1000
26056
/100
0
28727
/10
1000
25165
frecuencias
3000
clases
Anexo IV.2.2.A: Unidades originales /100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Doray). Modelo
Bayesiano Modificado. Unidades originales /100.
200
180
160
frecuencias
140
120
100
80
60
40
20
21,109
21,542
21,976
22,409
22,843
23,276
23,709
24,143
24,576
25,010
25,443
25,877
26,310
26,744
y
mayor..
clases
80
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
23,937.32
819,361.27
905.2
-0.049232927
27,177
23,923
21,109
119,686,600
0.131086284
5,000
Anexo IV.2.2.B: Unidades Originales/1000.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Doray). Modelo
Bayesiano Modificado. Unidades originales /1000.
250
frecuencias
200
150
100
50
15,618
17,059
18,501
19,942
21,384
22,825
24,267
25,708
27,150
28,592
30,033
31,475
32,916
34,358
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
24,063.15
8,436,303.29
2,904.5
0.068321953
35,799
23,842
15,618
120,315,756
0.314311288
5,000
81
Gráfica IV.4
Simulación de la predictiva del Seguro de Responsabilidad Civil
(Doray). Modelo Bayesiano Modificado. Distintas unidades
utilizadas en el triángulo de desarrollo.
5000
Unidades
originales
3000
2000
1000
49981
47601
45221
42841
40461
/5000
35701
30941
26181
23801
21421
19041
16661
14281
11901
9521
-1000
/1000
33321
0
38081
/100
28561
frecuencias
4000
clases
Anexo IV.3) Seguro de Responsabilidad Civil (Mack).
Se procede según lo especificado en el anexo IV.1.
Anexo IV.3.1) Modelo Bayesiano.
Los resultados de aplicar el modelo con los distintos múltiplos de las unidades originales en el
triángulo de desarrollo se presentan a continuación.
Cuadro B12 :Aplicación del Modelo. Unidades originales/100.
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Acumulad
Año de
x1a
xia
Reserva
Varianza
X1
o
origen
1
188.3400
188.3400
188.3400
188.3400
2
188.3400
186.6200
167.0400
168.5795
1.5395
0.0274
3
188.3400
186.0800
234.6600
237.5100
2.8500
0.0798
4
188.3400
180.0900
270.6700
283.0695
12.3995
1.4506
5
188.3400
161.8100
261.8000
304.7241
42.9241
18.8432
6
188.3400
135.3900
158.5200
220.5160
61.9960
54.0372
7
188.3400
118.0500
123.1400
196.4607
73.3207
91.9080
8
188.3400
109.0700
131.1200
226.4155
95.2955
157.5983
9
188.3400
82.6900
53.9500
122.8799
68.9299
151.6913
10
188.3400
50.1200
20.6300
77.5230
56.8930
236.7788
416.1484
712.4146
Reserva
D.E.
0.1655
0.2825
1.2044
4.3409
7.3510
9.5869
12.5538
12.3163
15.3876
63.1889
C.V.%
0.00%
9.82%
11.89%
42.55%
142.45%
333.35%
487.98%
554.46%
1002.30%
1984.91%
4569.72%
82
Cuadro B13 :Aplicación del Modelo. Unidades originales/1000.
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1a
X1
18.8340
18.8340
18.8340
18.8340
18.8340
18.8340
18.8340
18.8340
18.8340
18.8340
18.8340
18.6620
18.6080
18.0090
16.1810
13.5390
11.8050
10.9070
8.2690
5.0120
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Acumulad
Reserva
Varianza
xia
o
18.8340
18.8340
16.7040
16.8580
0.1540
0.0033
23.4660
23.7510
0.2850
0.0096
27.0670
28.3070
1.2400
0.1753
26.1800
30.4724
4.2924
2.3320
15.8520
22.0516
6.1996
6.9551
12.3140
19.6461
7.3321
12.2873
13.1120
22.6416
9.5296
21.6949
5.3950
12.2880
6.8930
23.0226
2.0630
7.7523
5.6893
49.3868
Reserva
41.6148
115.8668
D.E.
0.0572
0.0978
0.4187
1.5271
2.6373
3.5053
4.6578
4.7982
7.0276
24.7269
C.V.%
0.00%
33.91%
41.17%
147.92%
501.14%
1195.95%
1784.24%
2057.18%
3904.77%
9065.14%
18731.41%
Se utiliza el proceso de simulación para observar el comportamiento de la función de densidad
predictiva, los resultados se encuentran en los anexos IV.3.1.A, IV.3.1.B y en la gráfica IV.5.
Anexo IV.3.1.A: Unidades originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Mack). Modelo
Bayesiano. Unidades originales /100.
250
200
frecuencias
150
100
50
33,551
34,987
36,422
37,858
39,294
40,729
42,165
43,601
45,036
46,472
47,908
49,343
50,779
52,215
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
42,026.18
7,266,743.33
2,695.7
0.157098526
53,651
41,948
33,551
210,130,891
0.283760369
5,000
83
Anexo IV.3.1.B: Unidades originales/1000.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Mack). Modelo
Bayesiano. Unidades originales/1000.
400
350
300
frecuencias
250
200
150
100
50
20,556
29,265
37,973
46,682
55,390
64,099
72,808
81,516
90,225
98,933
107,642 116,351 125,059 133,768
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
46,379.52
112,305,275.10
10,597.4
4.452488008
142,476
44,924
20,556
231,897,608
1.275395021
5,000
84
Gráfica IV.5
More
79774
76291
72808
69324
62357
/1000
58874
55390
51907
48423
44940
41457
37973
34490
31006
27523
/100
65841
Unidades
originales
24039
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
-500
20556
frecuencias
Simulación de la predictiva del Seguro de Responsabilidad Civil
(Mack). Modelo Bayesiano sin Modificar. Distintas unidades
utilizadas en el triángulo de desarrollo.
clases
Anexo IV.3.2) Modelo Bayesiano Modificado.
Por el hecho de que se necesita el proceso de simulación para encontrar la varianza
modelo, se presentan los anexos IV.3.2.A, IV.3.2.B y la gráfica IV.6 en donde se observa a
histogramas, estadísticas descriptivas y dispersiones de las simulaciones de la función
densidad predictiva para la reserva de I.B.N.R. con las distintas unidades. Se anexan
cuadros en los que se calculan estas reservas.
Cuadro B14 :Unidades originales/100.
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
bi
Acumulado
i
ai q i=X (i-1)ai p i=X iai
origen
1
1
10
188.34
188.34
2
2
9
186.62
167.04
1.72
168.58
3
3
8
347.77
234.66
240.83
4
4
7
563.68
270.67
287.03
5
5
6
800.77
261.80
289.27
6
6
5
954.36
158.52
195.01
7
7
4
949.82
123.14
177.49
8
8
3
844.26
131.12
240.19
9
9
2
600.78
53.95
160.45
10
10
1
218.29
20.63
184.02
Reserva
Reserva
1.54
6.17
16.36
27.47
36.49
54.35
109.07
106.50
163.39
521.35
E(X 0
(i-1)
del
los
de
los
)
188.34
356.92
597.75
884.78
1,174.05
1,369.06
1,546.56
1,786.75
1,947.20
85
Cuadro B15 : Unidades originales/1000.
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
bi
Acumulado
i
ai qi=X(i-1)ai pi=Xiai
origen
1
1
10
18.83
18.83
2
2
9
18.66
16.70
0.17
16.86
3
3
8
34.78
23.47
24.08
4
4
7
56.37
27.07
28.70
5
5
6
80.08
26.18
28.93
6
6
5
95.44
15.85
19.50
7
7
4
94.98
12.31
17.75
8
8
3
84.43
13.11
24.02
9
9
2
60.08
5.40
16.04
10
10
1
21.83
2.06
18.40
Reserva
Reserva
E(X0
0.15
0.62
1.64
2.75
3.65
5.44
10.91
10.65
16.34
52.14
(i-1)
)
18.83
35.69
59.78
88.48
117.41
136.91
154.66
178.67
194.72
Anexo IV.3.2.A: Unidades originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Mack). modelo
Bayesiano Modificado. Unidades originales/100.
300
250
frecuencias
200
150
100
50
38,924
41,583
44,241
46,899
49,557
52,216
54,874
57,532
60,191
62,849
65,507
68,165
70,824
73,482
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
52,248.80
20,045,559.95
4,477.2
0.409798929
76,140
51,904
38,924
261,244,022
0.431025452
5,000
86
Anexo IV.3.2.B: Unidades originales/1000.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Mack). Modelo
Bayesiano Modificado. Unidades originales/1000.
350
300
frecuencias
250
200
150
100
50
22,137
32,019
41,901
51,782
61,664
71,546
81,428
91,310
101,192 111,074 120,955 130,837 140,719 150,601
y
mayor..
clases
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
53,528.89
225,940,458.04
15,031.3
2.756057082
160,483
50,838
22,137
267,644,474
1.252902729
5,000
87
Gráfica IV.6
Simulación de la predictiva del Seguro de Responsabilidad Civil
(Mack). Modelo Bayesiano Modificado. Distintas unidades
utilizadas en el triángulo de desarrollo.
5000
Unidades
originales
3000
/100
/1000
more
183751
174114
164478
154841
106657
97020
87383
77747
68110
58473
48836
39200
29563
19926
10289
-1000
145204
/5000
0
135567
1000
125930
2000
116294
frecuencias
4000
clases
Cuadro B16: Resumen de resultados. (Las varianzas fueron calculadas por el proceso de
simulación).
Modelo
Bayesiano
Bayesiano modificado.
Unidades
originales
/100
/1000
originales
/100
/1000
Reserva
41,615
41,615
41,615
52,135
52,135
52,135
Varianza predictiva
69,166.2
7,266,742
112,305,275
193,445.878
20,045,559.95
225,940,458
Anexo IV.4) Seguro de Responsabilidad Civil (Verrall).
Según lo especificado en el anexo IV.1 se obtienen los siguientes resultados.
Anexo IV.4.1) Modelo Bayesiano
El comportamiento del modelo al aplicar distintas unidades es el siguiente.
88
Cuadro B17: Unidades originales/100.
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X1
x1a
39,015
39,015
39,015
39,015
39,015
39,015
39,015
39,015
39,015
39,015
39,015
38,335
36,063
34,663
33,200
27,456
22,183
17,353
11,248
3,578
Modelo Bayesiano sin modificar
Acumulad
xia
Reserva
Varianza
o
39,015
39,015
53,391
54,337
946
40
49,093
53,111
4,018
777
45,883
51,642
5,760
1,680
38,733
45,517
6,784
2,575
36,917
52,459
15,542
15,342
34,832
61,261
26,430
51,553
28,645
64,401
35,756
118,333
13,633
47,287
33,655
183,835
3,440
37,506
34,066
662,291
1,036,426
Reserva
162,956
D.E.
C.V.%
6
28
41
51
124
227
344
429
814
2,063
0.00%
1.17%
5.25%
7.94%
11.15%
23.61%
37.06%
53.41%
90.67%
216.98%
447.24%
Cuadro B18: Unidades originales/1000.
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X1
3,901
3,901
3,901
3,901
3,901
3,901
3,901
3,901
3,901
3,901
x 1a
3,901
3,834
3,606
3,466
3,320
2,746
2,218
1,735
1,125
358
Modelo Bayesiano sin modificar
Acumulad
x ia
Reserva
Varianza
o
3,901
3,901
5,339
5,434
95
4
4,909
5,311
402
78
4,588
5,164
576
168
3,873
4,552
678
258
3,692
5,246
1,554
1,536
3,483
6,126
2,643
5,163
2,864
6,440
3,576
11,856
1,363
4,729
3,365
18,436
344
3,751
3,407
66,814
104,312
Reserva
16,296
D.E.
C.V.%
2
9
13
16
39
72
109
136
258
654
0.00%
3.69%
16.60%
25.11%
35.27%
74.71%
117.29%
169.07%
287.13%
689.18%
1418.05%
Se utiliza el proceso de simulación y los resultados obtenidos se presentan en los anexos
IV.4.1.A, IV.4.1.B y en la gráfica IV.7.
Anexo IV.4.1) Modelo Bayesiano Modificado.
Los resultados del modelo Bayesiano modificado con los múltiplos de las distintas unidades en
el triángulo de desarrollo se observan en los siguientes cuadros, se presentan las simulaciones
de los modelos en los anexos IV.4.2.A, IV.4.2.B y en la gráfica IV.8.
Se puede observar el cambio en la dispersión de la predictiva al utilizar las distintas unidades
en el modelo. Se anexan los cuadros con los resultados obtenidos.
89
Cuadro B19: Unidades originales/100.
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i
ai
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
q i=X
(i-1)
ai
39,014.63
38,335.15
85,203.25
127,431.13
159,549.57
179,632.59
184,477.91
150,478.44
102,512.49
33,273.71
p i=X iai
bi
39,014.63
53,390.85
49,093.15
45,882.68
38,733.11
36,917.12
34,831.57
28,644.98
13,632.94
3,440.14
679.48
-
Acumulado
54,337.19
53,788.26
52,979.06
48,582.00
51,111.71
56,608.15
67,848.07
56,422.73
49,698.31
Reserva
Reserva
E(X 0
(i-1)
)
946.34
4,695.11
7,096.38
9,848.89
14,194.59
21,776.58
39,203.09
42,789.79
46,258.17
186,808.94
39,014.63
93,351.82
147,140.08
200,119.14
248,701.14
299,812.85
356,421.00
424,269.07
480,691.80
Reserva
E(X 0
Cuadro B20: Unidades originales/1000.
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i
ai
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
q i=X
(i-1)
ai
3,901.46
3,833.52
8,520.33
12,743.11
15,954.96
17,963.26
18,447.79
15,047.84
10,251.25
3,327.37
p i=X iai
bi
3,901.46
5,339.09
4,909.32
4,588.27
3,873.31
3,691.71
3,483.16
2,864.50
1,363.29
344.01
67.95
-
Acumulado
5,433.72
5,378.83
5,297.91
4,858.20
5,111.17
5,660.81
6,784.81
5,642.27
4,969.83
Reserva
94.63
469.51
709.64
984.89
1,419.46
2,177.66
3,920.31
4,278.98
4,625.82
18,680.89
(i-1)
)
3,901.46
9,335.18
14,714.01
20,011.91
24,870.11
29,981.29
35,642.10
42,426.91
48,069.18
Cuadro B21: Resumen de resultados.(Las varianzas se calcularon mediante el proceso de
simulación)
Modelo
Bayesiano
Bayesiano modificado
Unidades
originales
/100
/1000
originales
/100
/1000
Reserva
16,295,600
16,295,600
16,295,600
18,680,894
18,680,894
18,680,894
Varianza predictiva
101,877,025
10,537,689,693
1.03378E+11
106,240,405
1.0171E+10
1.10649E+11
90
Anexo IV.5) Seguro de Daños (Hossack).
Según lo especificado en el anexo IV.1. se obtienen los siguientes resultados.
Anexo IV.5.1) Modelo Bayesiano.
Se aplica el modelo con distintos múltiplos para los datos.
Cuadro B22: Unidades originales /100.
Año de
origen
1976
1977
1978
1979
1980
X1
15,084.2
15,084.2
15,084.2
15,084.2
15,084.2
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Acumula
Reserva Varianza
x1a
xia
do
15,084.2 15,084.2 15,084.2
14,535.0 13,450.6 13,958.8
508.2
37.0
13,199.0 12,984.6 14,839.1
1,854.5
525.6
10,799.0 13,122.2 18,329.2
5,207.0
4,578.4
5,802.2
7,460.0 19,394.0 11,934.0 43,663.5
19,503.6
D.E.
C.V.%
-
-
6.1
22.9
67.7
209.0
0.0
0.2
0.4
1.1
48,804.4
Cuadros B23: Unidades originales/1000.
Año de
origen
1976
1977
1978
1979
1980
X1
1,508.4
1,508.4
1,508.4
1,508.4
1,508.4
Modelo Bayesiano sin modificar
Parámetros de la distribución predictiva
Acumula
Reserva Varianza
x1a
xia
do
1,508.4 1,508.4
1,508.4
1,453.5 1,345.1
1,395.9
50.8
3.7
1,319.9 1,298.5
1,483.9
185.5
52.7
1,079.9 1,312.2
1,832.9
520.7
459.2
580.2
746.0
1,939.4 1,193.4
4,390.6
1,950.4
D.E.
C.V.%
-
-
1.9
7.3
21.4
66.3
0.1
0.5
1.2
3.4
4,906.2
Se utiliza el proceso de simulación y los resultados se encuentran en los anexos IV.5.1.A,
IV.5.1.B y en la gráfica IV.9.
91
y mayor...
17,387,359
17,322,961
17,258,562
17,194,163
17,129,765
17,065,366
17,000,967
16,936,569
16,872,170
16,807,771
16,743,373
16,678,974
16,614,575
16,550,176
16,485,778
16,421,379
16,356,980
16,292,582
16,228,183
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
16,163,784
16,099,386
16,034,987
15,970,588
15,906,189
15,841,791
15,777,392
15,712,993
15,648,595
15,584,196
15,519,797
15,455,399
15,391,000
15,326,601
15,262,203
15,197,804
frecuencias
y mayor...
16,648,932
16,626,599
16,604,266
16,581,933
16,559,600
16,537,267
16,514,933
16,492,600
16,470,267
16,447,934
16,425,601
16,403,268
16,380,934
16,358,601
16,336,268
16,313,935
16,291,602
16,269,269
16,246,935
16,224,602
16,202,269
16,179,936
16,157,603
16,135,270
16,112,936
16,090,603
16,068,270
16,045,937
16,023,604
16,001,271
15,978,937
15,956,604
15,934,271
15,911,938
15,889,605
frecuencias
IV.4.1.A: Unidades originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Verrall). Modelo
Bayesiano. Unidades Originales /100.
250
200
150
100
50
-
clases
16,296,649.14
10,537,689,693.41
102,653.2
-0.039116583
16,671,265
16,294,638
15,889,605
81,483,245,695
0.066767598
5,000
Anexo IV.4.1.B: Unidades Originales/1000.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Verrall). Modelo
Bayesiano. Unidades originales /1000.
250
200
150
100
50
-
clases
92
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
16,310,862.21
103,377,589,482.65
321,523.9
-0.058561865
17,451,758
16,308,834
15,197,804
81,554,311,057
0.07080901
5,000
Gráfica IV.7
Simulación de la predictiva del Seguro General Verrall. Modelo
Bayesiano sin Modificar. Distintas unidades utilizadas en el
triángulo de desarrollo.
5000
Unidades originales
3000
2000
19517068
.13
19029956
.32
18542844
.52
clases
/5000
17568620
.92
17081509
.12
16107285
.51
15620173
.71
15133061
.91
-1000
14645950
.1
0
16594397
.31
/100
/1000
18055732
.72
1000
14158838
.3
frecuencias
4000
93
y mayor...
19,935,816
19,859,967
19,784,118
19,708,268
19,632,419
19,556,570
19,480,720
19,404,871
19,329,022
19,253,172
19,177,323
19,101,474
19,025,624
18,949,775
18,873,926
18,798,077
18,722,227
18,646,378
18,570,529
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
18,494,679
18,418,830
18,342,981
18,267,131
18,191,282
18,115,433
18,039,583
17,963,734
17,887,885
17,812,035
17,736,186
17,660,337
17,584,487
17,508,638
17,432,789
17,356,939
frecuencias
y mayor...
19,085,235
19,063,421
19,041,608
19,019,794
18,997,980
18,976,166
18,954,353
18,932,539
18,910,725
18,888,912
18,867,098
18,845,284
18,823,471
18,801,657
18,779,843
18,758,030
18,736,216
18,714,402
18,692,589
18,670,775
18,648,961
18,627,147
18,605,334
18,583,520
18,561,706
18,539,893
18,518,079
18,496,265
18,474,452
18,452,638
18,430,824
18,409,011
18,387,197
18,365,383
18,343,569
frecuencias
Anexo IV.4.2.A: Unidades originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Verrall). Modelo
Bayesiano Modificado. Unidades originales/100.
250
200
150
100
50
-
clases
18,684,200.34
10,171,025,509.14
100,851.5
0.064326564
19,107,049
18,683,273
18,343,569
93,421,001,723
0.077639386
5,000
Anexo IV.4.2.B: Unidades originales/1000.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Responsabilidad Civil (Verrall). Modelo
Bayesiano Modificado. Unidades originales /1000.
250
200
150
100
50
-
clases
94
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
18,660,989.59
110,649,378,269.23
332,640.0
-0.007095538
20,011,666
18,667,663
17,356,939
93,304,947,929
-0.087138359
5,000
Gráfica IV.8
Simulacióndelapredictivadel SeguroGeneral (Verrall). Modelo
BayesianoModificado. Distintas unidades utilizadas enel
triángulodedesarrollo.
Unidades originales
frecuencias
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
-500
/5000
16354837
.3
16793151
.55
17231465
.79
17669780
.04
18108094
.29
18546408
.54
18984722
.78
19423037
.03
19861351
.28
20299665
.53
20737979
.77
21176294
.02
/100
/1000
clases
95
Anexo IV.5.2) Modelo Bayesiano Modificado.
Se presentan los resultados del modelo en los siguientes cuadros y con el uso del proceso de
simulación se observan las varianzas del modelo al aplicar las distintas unidades en los anexos
IV.5.2.A, IV.5.2.B, y gráfica IV.10. Se puede observar que el cambio en la dispersión de la
predictiva.
Cuadro B24: Unidades Originales/100.
A ño de
origen
1976
1977
1978
1979
1980
i
ai
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
M odelo Bayesiano M odificado
Parám etros de la distribución predictiva
A cum ula
(i-1)
bi
Reserva
q i =X ai p i =X iai
do
15,084.2
14,535.0
25,059.6
31,339.4
22,739.2
15,084.2
13,450.6
12,984.6
13,122.2
7,460.0
549.1
-
13,958.8
15,048.5
18,461.6
20,521.7
Cuadro B25: Unidades originales/1000.
Modelo Bayesiano Modificado
Parámetros de la distribución predictiva
Acumula
Año de
(i-1)
p i=X iai
i
ai
bi
q i=X ai
do
origen
1976
1977
1978
1979
1980
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
1,508.415
1,453.503
2,505.956
3,133.939
2,273.923
Cuadro B26: Resumen de resultados.
Modelo Bayesiano
Unidades originales
/100
/1000
Bayesiano modificado
Unidades originales
/100
/1000
1,508.415
1,345.061
1,298.456
1,312.219
746.003
54.912
-
Reserva
1,395.876
1,504.853
1,846.163
2,052.170
E(X 0
(i-1)
)
508.2
2,064.0
5,339.4
13,061.7
20,973.2
15,084.2
29,042.9
44,091.4
62,553.1
Reserva
E(X 0
50.815
206.397
533.944
1,306.167
2097.32313
1,508.415
2,904.291
4,409.144
6,255.307
1,950,361
1,950,361
1,950,361
Varianza
predictiva
4,877.622
477,255.617
5,006,828.9
2,097,323
2,097,323
2,097,323
3,766
366,533
3,720,147
(i-1)
)
96
y mayor...
2,221,338
2,206,580
2,191,821
2,177,063
2,162,305
2,147,546
2,132,788
2,118,030
2,103,271
2,088,513
2,073,755
2,058,996
2,044,238
2,029,480
2,014,721
1,999,963
1,985,205
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
1,970,446
1,955,688
1,940,930
1,926,171
1,911,413
1,896,655
1,881,896
1,867,138
1,852,380
1,837,621
1,822,863
1,808,105
1,793,346
1,778,588
1,763,830
1,749,071
1,734,313
1,719,555
frecuencias
y mayor...
2,020,634
2,015,907
2,011,180
2,006,453
2,001,726
1,997,000
1,992,273
1,987,546
1,982,819
1,978,092
1,973,365
1,968,638
1,963,911
1,959,184
1,954,457
1,949,730
1,945,003
1,940,276
1,935,549
1,930,822
1,926,095
1,921,369
1,916,642
1,911,915
1,907,188
1,902,461
1,897,734
1,893,007
1,888,280
1,883,553
1,878,826
1,874,099
1,869,372
1,864,645
1,859,918
frecuencias
Anexo IV.5.1.A: Unidades originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Daños (Hossack). Modelo Bayesiano.
Unidades originales/100.
250
200
150
100
50
-
clases
1,950,421.86
477,255,617.33
21,846.2
0.035500591
2,025,361
1,950,499
1,859,918
9,752,109,320
-0.043173054
5,000
Anexo IV.5.1.B: Unidades originales/1000.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Daños (Hossack). Modelo Bayesiano.
Unidades originales/1000.
250
200
150
100
50
-
clases
97
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
1,954,065.05
5,005,828,979.10
70,751.9
0.058201875
2,236,096
1,951,443
1,719,555
9,770,325,238
0.191030351
5,000
Gráfica IV.9
Simulacióndelapredictivadel SeguroGeneral (Hossack).
ModeloBayesiano. Distintasunidadesutilizadasenel
triángulodedesarrollo.
4000
UnidadesOriginales
3000
/100
2000
1000
65112
60
57806
49
50500
38
43194
27
35888
16
28582
05
-1000
21275
94
66637
2
0
/1000
13969
83
frecuenci9a
5000
clases
98
y mayor...
2,329,932
2,316,845
2,303,759
2,290,672
2,277,586
2,264,499
2,251,413
2,238,326
2,225,240
2,212,153
2,199,067
2,185,980
2,172,894
2,159,807
2,146,721
2,133,634
2,120,548
2,107,461
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
2,094,375
2,081,288
2,068,202
2,055,115
2,042,029
2,028,942
2,015,856
2,002,769
1,989,683
1,976,596
1,963,510
1,950,423
1,937,337
1,924,250
1,911,164
1,898,077
1,884,991
frecuencias
y mayor...
2,172,529
2,168,300
2,164,071
2,159,842
2,155,612
2,151,383
2,147,154
2,142,925
2,138,696
2,134,467
2,130,238
2,126,009
2,121,780
2,117,551
2,113,321
2,109,092
2,104,863
2,100,634
2,096,405
2,092,176
2,087,947
2,083,718
2,079,489
2,075,259
2,071,030
2,066,801
2,062,572
2,058,343
2,054,114
2,049,885
2,045,656
2,041,427
2,037,198
2,032,968
2,028,739
frecuencias
Anexo IV.5.2.A: Unidades originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Daños (Hossack). Modelo bayesiano
Modificado. Unidades originales/100.
250
200
150
100
50
-
clases
2,097,407.10
366,533,782.24
19,145.1
0.035872293
2,176,758
2,097,051
2,028,739
10,487,035,518
0.003870035
5,000
Anexo IV.5.2.B: Unidades originales/1000.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Daños (Hossack). Unidades
originales/1000.
250
200
150
100
50
-
clases
99
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
Skewness
N
2,098,182.90
3,720,147,277.67
60,993.0
-0.012655393
2,343,018
2,096,164
1,884,991
10,490,914,488
0.132668899
5,000
Gráfica IV.10
Simulación de la predictiva del Seguro General (Hossack).
Modelo Bayesiano Modificado.
5000
Unidades Originales
3000
/100
2000
1000
471919
7
427326
9
382734
0
338141
2
293548
3
248955
5
204362
6
159769
8
-1000
/100,000
115176
9
0
/1000
705841
frecuencia
4000
clases
Anexo IV.6) Seguro de Gastos Médicos Mayores (Compañía del Sector Asegurador Mexicano).
Se procede según lo especificado en el anexo IV.1, se espera que la aplicación del modelo que
se propone en la tesis pueda tener utilidad para el sector asegurador mexicano aunque se
presenta el problema de la dispersión en el modelo al cambiar las unidades. Se reitera la
ventaja de tener la función de densidad predictiva para la reserva y el poder calcular los
intervalos de credibilidad.
100
Anexo IV.6.1) Modelo Bayesiano.
En los cuadros anexos se presentan los resultados obtenidos al aplicar el modelo con las
distintas unidades en el triángulo de desarrollo.
Cuadro B27: Unidades Originales/10.
1er Trim.
2do Trim.
3er Trim.
4to Trim.
1er Trim.
2do Trim.
3er Trim.
4to Trim.
1er Trim.
2do Trim.
3er Trim.
4to Trim.
1er Trim.
2do Trim.
3er Trim.
4to Trim.
1er Trim.
2do Trim.
Total
93
93
93
93
94
94
94
94
95
95
95
95
96
96
96
96
97
97
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
a
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X 10
393
393
393
393
393
393
393
393
393
393
393
393
393
393
393
393
393
393
Modelo Bayesiano
Seguro de Gastos Médicos Mayores.
X ia
X 1a
Media
Reserva
393
393
392.85
460
392
460.35
0.82
501
392
502.19
0.89
457
392
458.33
0.85
550
392
551.74
1.53
552
392
554.01
1.54
521
391
523.72
2.43
467
390
469.59
2.93
538
389
543.33
5.10
515
387
523.58
8.13
473
383
486.14
12.71
519
380
536.34
17.50
26.28
596
376
622.31
510
372
537.80
27.97
567
357
623.30
56.10
587
341
675.74
89.17
495
321
605.29
110.69
244
136
704.68
460.37
9,771.29
825.01
Varianza
0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
0.03
0.04
0.12
0.30
0.77
1.41
3.02
3.67
14.50
37.27
63.65
2,489.67
2,614.47
D.E.
0.06
0.06
0.06
0.10
0.10
0.16
0.20
0.34
0.55
0.88
1.19
1.74
1.92
3.81
6.10
7.98
49.90
75.14
C.V.
0.00%
0.01%
0.01%
0.01%
0.02%
0.02%
0.03%
0.04%
0.06%
0.10%
0.18%
0.22%
0.28%
0.36%
0.61%
0.90%
1.32%
7.08%
0.11
Varianza
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.03
0.08
0.15
0.33
0.40
1.59
4.11
7.06
322.18
335.97
D.E.
0.02
0.02
0.02
0.03
0.03
0.05
0.07
0.11
0.18
0.29
0.39
0.57
0.63
1.26
2.03
2.66
17.95
26.33
C.V.
0.00%
0.04%
0.04%
0.04%
0.06%
0.06%
0.10%
0.14%
0.21%
0.35%
0.60%
0.73%
0.92%
1.18%
2.02%
3.00%
4.39%
25.47%
0.39
Cuadro B28: Unidades Originales/100.
1er Trim. 93
2do Trim. 93
3er Trim. 93
4to Trim. 93
1er Trim. 94
2do Trim. 94
3er Trim. 94
4to Trim. 94
1er Trim. 95
2do Trim. 95
3er Trim. 95
4to Trim. 95
1er Trim. 96
2do Trim. 96
3er Trim. 96
4to Trim. 96
1er Trim. 97
2do Trim. 97
Total
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
a
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X 10
39
39
39
39
39
39
39
39
39
39
39
39
39
39
39
39
39
39
Modelo Bayesiano
Seguro de Gastos Médicos Mayores.
X ia
X 1a
Media
Reserva
39
39
39.29
46
39
46.04
0.08
50
39
50.22
0.09
46
39
45.83
0.09
55
39
55.17
0.15
55
39
55.40
0.15
52
39
52.37
0.24
47
39
46.96
0.29
54
39
54.33
0.51
52
39
52.36
0.81
47
38
48.61
1.27
52
38
53.63
1.75
60
38
62.23
2.63
51
37
53.78
2.80
57
36
62.33
5.61
59
34
67.57
8.92
49
32
60.53
11.07
24
14
70.47
46.04
977.13
82.50
Se aplica el proceso de simulación y los resultados obtenidos se presentan en los anexos
IV.6.1.A, IV.6.1.B y la gráfica IV.11.
101
IV.6.2) Modelo Bayesiano Modificado.
Se presentan los resultados del modelo con el uso del proceso de simulación se observan las
varianzas del modelo al aplicar las distintas unidades en los anexos IV.6.2.A, IV.6.2.B y gráfica
IV.12.
Anexo IV.6.1.A: Unidades Originales/10.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Gastos Médicos Mayores. Compañía del
Sector Asegurador Mexicano. Modelo Bayesiano. Unidades Originales /10.
250
200
150
100
50
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
10448
y mayor...
10339
10231
10122
9904
10013
9796
9687
9578
9470
9361
9252
9143
9035
8926
8817
8708
8600
8491
8382
8273
8165
8056
7947
7839
7730
7621
7512
7404
7295
7186
7077
6969
6860
6751
0
8,297.97
266,891.21
516.6151441
0.190176068
10556.89436
8270.622852
6751.201944
41489848.44
5000
102
Anexo IV.6.1.B: Unidades originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Gastos Médicos Mayores. Compañía del
Sector Asegurador Mexicano. Modelo Bayesiano. Unidades Originales /100.
350
300
250
200
150
100
50
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
21334
y mayor...
20845
20357
19869
19380
18892
18403
17915
17427
16938
16450
15962
15473
14985
14496
14008
13520
13031
12543
12055
11566
11078
10589
9613
10101
9124
8636
8148
7659
7171
6682
6194
5706
5217
4729
0
8,739.73
3,437,419.00
1854.027777
3.154513267
21822.16512
8433.381166
4728.835274
43698639.96
5000
103
Gráfica IV.11
10285
y
mayo
r...
10013
9741
9470
9198
8926
8654
8382
8110
7839
7567
7295
Unidades originales
/10
/100
7023
700
600
500
400
300
200
100
0
-100
6751
frecuencias
Simulación de la predictiva del Seguro de Gastos Médicos
Mayores. Modelo Bayesiano Modificado. Distintas Unidades en
el triángulo de desarrollo.
clases
En los cuadros siguientes se presentan los resultados de la aplicación del modelo.
Cuadro B29: Unidades Originales/10.
2d o T rim .
3er T rim .
4to T rim .
1er T rim .
2d o T rim .
3er T rim .
4to T rim .
1er T rim .
2d o T rim .
3er T rim .
4to T rim .
1er T rim .
2d o T rim .
3er T rim .
4to T rim .
1er T rim .
2d o T rim .
T otal
93
93
93
94
94
94
94
95
95
95
95
96
96
96
96
97
97
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
a
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
M od elo B ayesiano M od ificad o
Segu ro d e G asto s M éd icos M ayores.
(i-1)
(i-1)
E (X 0 )
q i=X ai p i=X iai A cum ulad o R eserv a
392
460
460.66
0.82
392.85
852
501
502.38
1.08
853.51
1,353
457
458.49
1.01
1,355.89
1,809
550
551.91
1.70
1,814.38
2,357
552
554.59
2.12
2,366.29
2,904
521
524.30
3.01
2,920.88
3,421
467
469.90
3.24
3,445.17
3,878
538
543.42
5.19
3,915.07
4,396
515
522.80
7.35
4,458.49
4,851
473
486.19
12.76
4,981.29
5,255
519
539.83
20.99
5,467.48
5,695
596
628.71
32.68
6,007.32
6,177
510
547.75
37.92
6,636.02
6,489
567
627.92
60.72
7,183.77
6,735
587
680.33
93.76
7,811.69
6,608
495
635.61
141.01
8,492.03
9,127.63
3,674
244
606.97
362.66
9,341.75
788.01
77,229.76
104
Cuadro B30: Unidades Originales/100.
2do Trim .
3er Trim .
4to Trim .
1er Trim .
2do Trim .
3er Trim .
4to Trim .
1er Trim .
2do Trim .
3er Trim .
4to Trim .
1er Trim .
2do Trim .
3er Trim .
4to Trim .
1er Trim .
2do Trim .
Total
93
93
93
94
94
94
94
95
95
95
95
96
96
96
96
97
97
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
M odelo Bayesiano M odificado
Seguro de G astos M édicos M ayores.
(i-1)
(i-1)
E(X 0 )
q i=X ai p i=X iai A cum ulado Reserva
39
46
46.07
0.08
39.29
85
50
50.24
0.11
85.35
135
46
45.85
0.10
135.59
181
55
55.19
0.17
181.44
236
55
55.46
0.21
236.63
290
52
52.43
0.30
292.09
342
47
46.99
0.32
344.52
388
54
54.34
0.52
391.51
440
52
52.28
0.74
445.85
485
47
48.62
1.28
498.13
525
52
53.98
2.10
546.75
570
60
62.87
3.27
600.73
618
51
54.77
3.79
663.60
649
57
62.79
6.07
718.38
674
59
68.03
9.38
781.17
661
49
63.56
14.10
849.20
367
24
60.70
36.27
912.76
934.17
78.80
7,722.98
a
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Anexo IV.6.2.A: Unidades originales/10.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Gastos Médicos Mayores. Compañía del
Sector Asegurador Mexicano. Modelo Bayesiano Modificado. Unidades Originales /10.
350
300
250
200
150
100
50
21334
y mayor...
20845
20357
19869
19380
18892
18403
17915
17427
16938
16450
15962
15473
14985
14496
14008
13520
13031
12543
12055
11566
11078
10589
9613
10101
9124
8636
8148
7659
7171
6682
6194
5706
5217
4729
0
105
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
7,880.89
69,161.70
262.986119
-0.06384387
8880.60512
7872.34158
6943.36745
39404468.3
5000
Anexo IV.6.2.B: Unidades originales/100.
Histograma de la predictiva para I.B.N.R. del Seguro de Gastos Médicos Mayores. Compañía del
Sector Asegurador Mexicano. Modelo Bayesiano Modificado. Unidades Originales /100.
250
200
150
100
50
Media
Varianza
D. E.
Kurtosis
Máximo
Mediana
Mínimo
Suma
N
10503
10339
10176
9850
10013
9687
9524
9361
9198
9035
8872
8708
8545
8382
8219
8056
7893
7730
7567
7404
7241
7077
6914
6751
0
7,899.90
694,858.65
833.581818
0.09461286
11559.0385
7838.96215
5463.00773
39499483.6
5000
106
Gráfica IV.12
Simulación de la predictiva del Seguro de Gastos Médicos
Mayores. Modelo Bayesiano. Distintas Unidades en el triángulo
de desarrollo.
3000
frecuencias
2500
2000
Unidades Originales
/10
/100
1500
1000
500
-500
4729
5950
7171
8392
9613
10834
12055
13276
14496
15717
16938
18159
19380
20601
y
mayo
r...
0
clases
Para finalizar se presenta un resumen de los resultados obtenidos.
Cuadro B31: Resumen de resultados. (Las varianzas se obtuvieron mediante el proceso de
simulación).
Modelo
Bayesiano
Bayesiano
Modificado
Unidades
Originales
/10
/100
Originales
Reserva
8,250.12
8,250.12
8,250.12
7,880.08
Varianza predictiva
26,098.02
266,891.21
3,437,419.00
6,917.9
/10
/100
7,880.08
7,880.08
69,161.7
694,858.65
Como puede observarse en general para los ejemplos en esta sección se presenta el problema
de la diferente dispersión para la función de densidad predictiva de la reserva. Al utilizar las
unidades originales la varianza en ambos modelos es menor que si se utilizan los múltiplos de
las unidades originales; la varianza para el modelo Bayesiano modificado es menor que la que
presenta el modelo Bayesiano.
107
Conclusiones
Existen varios métodos para el cálculo de la reserva de los Siniestros Ocurridos y No
Reportados; algunos de ellos se aplican de una manera muy sencilla, pero no se tiene forma de
medir que tan buena estimación es la realizada, al no contar con la medida del error. Dada la
importancia de que la estimación sea lo más precisa posible, reviste especial interés el evaluar
las posibles opciones en cuanto al método que la compañía de seguros utilizará para la
predicción de sus reservas de I.B.N.R. Las Compañías de Seguros en México utilizan los
métodos mecánicos para la estimación de sus reservas.
Un objetivo de esta tesis es hacer notar la ventaja que tienen los métodos con una base
estadística. Así se pretende aplicar la estadística Bayesiana para resolver los problemas de
estimación requeridos por las compañías aseguradoras para realizar un estudio más profundo
de los riesgos que se deben controlar en todos los ramos de los seguros.
En el modelo Bayesiano aquí presentado, se pretendió utilizar la totalidad de información
disponible en el triángulo de desarrollo y apegarse a la conceptualización Bayesiana. Utilizar
métodos de estimación de la reserva que permitan a las Compañías de Seguros contar con
márgenes de medición o seguridad como intervalos de credibilidad debe permitirles un mejor
manejo de las estimaciones y de los riesgos en general porque con la utilización del predictor
Bayesiano se cuenta con la función de densidad predictiva de la reserva completa, la que puede
utilizarse para simular a la reserva. El hecho de que el resultado de la estimación para el
modelo Bayesiano modificado sea numéricamente igual al estimado por el método del ChainLadder, permite que en la práctica las compañías aseguradoras puedan calcular sus reservas
por éste método, que es frecuentemente utilizado hasta hoy, pero con la ventaja de que al
realizar el estudio de sus riesgos con la aplicación del modelo Bayesiano modificado, conocerán
más a fondo el comportamiento de sus reservas para I.B.N.R. mediante la función de densidad
predictiva y contarán con un intervalo de credibilidad, adentro del cual se encuentran la
mayoría de las observaciones posibles para su reserva de I.B.N.R.
Se debe realizar un estudio de los riesgos en la compañía de seguros con el método Bayesiano
y en base a los resultados decidir si la estimación realizada por el método del Chain-Ladder es
suficiente, o si se debe reservar para los siniestros de I.B.N.R. un cierto porcentaje arriba o
abajo, dependiendo del caso y del comportamiento de la función de densidad predictiva para
los I.B.N.R, de la estimación obtenida por el Chain-Ladder. Puede identificarse el
comportamiento de la función de densidad predictiva y posteriormente calcular la reserva
únicamente con el método del Chain-Ladder y saber si se requiere mayor o menor reserva,
dependiendo del comportamiento de los riesgos que tenga cada compañía de seguros.
Otro aspecto importante es tratar de hacer que se empleen en nuestro país, con más
frecuencia, métodos con mayores bases estadísticas que nos llevan a un mejor estudio de los
riesgos. En otros países ya se han comenzado a utilizar modelos con bases estadísticas más
profundas, tanto para la tarificación como para el estudio de los riesgos que posee cada
compañía de seguros. Se espera que el trabajo desarrollado en la presente tesis contribuya a
que en el sector asegurador mexicano se empleen métodos de estimación más precisos que los
hasta hoy utilizados y no se comentan estimaciones erróneas que impliquen que la compañía
no tenga valorados correctamente sus pasivos y que su resultado técnico se vea afectado por
esta situación.
108
La recopilación de métodos y las comparaciones realizadas pretenden ser útiles para que se
evalúe la calidad de cada método de estimación para las reservas de I.B.N.R., las ventajas de
tener medida la variabilidad en el cálculo de las reservas, la función de densidad de la
predictiva de la reserva y su aplicación en el cálculo de los intervalos de credibilidad como un
estimador por intervalos al 95% que con otros métodos no se podría calcular.
Esta autora considera que el poder aplicar la estadística para resolver problemas concretos de
manera útil, como sucede al aplicar el modelo descrito en la tesis, contribuirá a que se
comiencen a manejar los riesgos en las compañías de seguros, tanto del sector asegurador
mexicano, como de otros países, (o en cualquier lugar en donde pueda aplicarse a problemas
específicos este tipo de modelos) de manera óptima, aunque la decisión final de cual método se
va a utilizar depende de cada investigador o responsable de la obtención de estas reservas en
donde sean requeridas.
Apéndice Estadístico
Cuadro A1: Factores para la estimación de la reserva por el método de Chain-Ladder y el
cálculo de la reserva de I.B.N.R.
m1/2
m2/3
m3/4
m4/5
m5/6
m6/7
1.81439
1.16475
1.09801
1.07111
1.05716
1.04292
Seguro de Automóviles
Unidades originales
Año de desarrollo
Año de
origen
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1
2,062
2,031
2,164
2,320
2,462
2,651
3,084
2
1,629
1,706
1,887
1,860
1,909
2,158
2,512
3
583
643
667
671
736
792
922
4
421
448
454
463
500
549
639
5
341
335
369
378
399
437
509
6
276
307
317
325
343
376
438
7
228
235
251
258
273
299
348
Reserva
0
235
568
962
1,515
2,454
5,367
11,101
109
Cuadro A2: Aproximación para la variabilidad en la reserva del Chain-Ladder. Seguro de
Automóviles. Unidades Originales.
Seguro de Automóviles
Pagos acumulados
Año de desarrollo
Año de
origen
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
1
2,062
2,062
2,031
2,031
2,164
2,164
2,320
2,320
2,462
2,462
2,651
2,651
-
2
3
4
5
6
3,691
4,274
4,695
5,036
5,312
3,741
4,358
4,785
5,125
5,418
-1.36% -1.96% -1.91% -1.77% -1.99%
3,737
4,380
4,828
5,163
5,470
3,685
4,292
4,713
5,048
5,336
1.39%
2.01%
2.39%
2.23%
2.44%
4,051
4,718
5,172
5,541
3,926
4,573
5,021
5,378
3.08%
3.07%
2.91%
2.93%
4,180
4,851
5,314
4,209
4,903
5,383
-0.70% -1.07% -1.31%
4,371
5,107
4,467
5,203
-2.20% -1.88%
4,809
4,810
-0.02%
7
5,540
5,650
-1.99%
3,084
3,084
Cuadro A3 : Tabla de parámetros requeridos para la estimación de la reserva por el método de
Regresión lineal lognormal para el seguro de automóviles.
Parámetro
α1
α2
α3
α4
α5
α6
α7
β2
β3
β4
β5
β6
β7
Estimado
7.6057
7.6523
7.7085
7.7273
7.7923
7.8822
8.0344
-0.2047
-1.2078
-1.5726
-1.8032
-1.9553
-2.1763
110
Cuadro A4: Aproximación para la variabilidad en la reserva del Chain-Ladder. Seguro de
Responsabilidad Civil. Unidades Originales.
Seguro de Responsabilidad Civil (pagos acumulados)
Pagos acumulados
Año de desarrollo
Año de
origen
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
1
8,489
12,970
17,522
21,754
19,208
19,604
21,922
25,038
32,532
-
39,862
-
2
9,785
9,562
2.28%
14,766
14,610
1.06%
20,305
19,737
2.80%
24,338
24,505
-0.68%
21,549
21,637
-0.41%
22,073
22,083
-0.04%
24,233
24,694
-1.90%
28,401
28,204
0.69%
37,006
36,645
0.97%
3
10,709
10,131
5.39%
16,201
15,479
4.45%
21,774
20,912
3.96%
25,501
25,963
-1.81%
22,769
22,924
-0.68%
23,296
23,397
-0.43%
25,374
26,163
-3.11%
30,545
29,882
2.17%
4
11,289
10,610
6.02%
17,060
16,210
4.98%
22,797
21,900
3.94%
26,284
27,189
-3.44%
23,388
24,007
-2.65%
24,543
24,502
0.17%
26,882
27,399
-1.92%
5
11,535
10,931
5.23%
17,714
16,702
5.71%
23,220
22,563
2.83%
27,171
28,013
-3.10%
24,229
24,735
-2.09%
25,155
25,245
-0.36%
6
11,661
11,249
3.54%
17,979
17,186
4.41%
23,872
23,218
2.74%
27,526
28,826
-4.72%
24,932
25,452
-2.09%
111
Cuadro A5: Tabla de parámetros de regresión necesarios para la estimación.
α1
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8
α9
α 10
β2
β3
β4
β5
β6
9.0656
9.6163
9.8499
9.8122
9.8488
9.8444
9.907
10.18
10.4116
10.5932
-2.0272
-2.5937
-2.9081
-3.3437
-3.7738
Cuadro A6: Variabilidad del Chain-Ladder para el Seguro de R.C.
Seguro de Responsabilidad Civil (pagos acumulados)
Pagos acumulados
Año de desarrollo
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
1
5,012
5,012
106
106
3410
3410
5655
5655
1092
1092
1513
1513
557
557
1351
1351
3133
3133
2063
2063
-
2
8,269
15,033
-82%
4285
318
93%
8992
10,228
-14%
11555
16,961
-47%
9565
3,275
66%
6445
4,538
30%
4020
1,671
58%
6947
4,052
42%
5395
9,397
-74%
3
10,907
24,406
-124%
5396
516
90%
13873
16,605
-20%
15766
27,537
-75%
15836
5,318
66%
11702
7,368
37%
10946
2,712
75%
13112
6,579
50%
4
11,805
31,017
-163%
10666
656
94%
16141
21,103
-31%
21266
34,997
-65%
22169
6,758
70%
12935
9,363
28%
12314
3,447
72%
5
13,539
36,342
-168%
13782
769
94%
18735
24,726
-32%
23425
41,005
-75%
25955
7,918
69%
15852
10,971
31%
6
16,181
40,463
-150%
15599
856
95%
22214
27,530
-24%
26083
45,654
-75%
26180
8,816
66%
7
18,009
42,160
-134%
15496
892
94%
22863
28,684
-25%
27067
47,569
-76%
8
18,608
43,562
-134%
16169
921
94%
23466
29,638
-26%
9
18,662
44,300
-137%
16704
937
94%
10
18,834
44,708
-137%
112
Cuadro A7: Variabilidad del Chain-Ladder para el Seguro de R.C.
Seguro de Responsabilidad Civil (pagos acumulados)
Pagos acumulados
Año de desarrollo
Año de
origen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
real
estimado
variación
Cuadro A8:
1
357,848
357,848
352,118
352,118
290,507
290,507
310,608
310,608
443,160
443,160
396,132
396,132
440,832
440,832
359,480
359,480
376,686
376,686
344,014
344,014
-
2
1,124,788
1,073,314
5%
1,236,139
1,056,128
15%
1,292,306
871,335
33%
1,418,858
931,625
34%
1,136,350
1,329,196
-17%
1,333,217
1,188,142
11%
1,288,463
1,322,213
-3%
1,421,128
1,078,209
24%
1,363,294
1,129,816
17%
3
1,735,330
1,742,551
0%
2,170,033
1,714,648
21%
2,218,525
1,414,632
36%
2,195,047
1,512,514
31%
2,128,333
2,157,980
-1%
2,180,715
1,928,975
12%
2,419,861
2,146,643
11%
2,864,498
1,750,498
39%
4
2,218,270
2,214,587
0%
3,353,322
2,179,126
35%
3,235,179
1,797,839
44%
3,757,447
1,922,236
49%
2,897,821
2,742,551
5%
2,985,752
2,451,512
18%
3,483,157
2,728,144
22%
5
2,745,596
2,594,775
5%
3,799,067
2,553,227
33%
3,985,995
2,106,482
47%
4,029,929
2,252,235
44%
3,402,672
3,213,377
6%
3,691,712
2,872,374
22%
6
3,319,994
2,888,983
13%
4,120,063
2,842,724
31%
4,132,918
2,345,325
43%
4,381,982
2,507,605
43%
3,873,311
3,577,725
8%
7
3,466,336
3,010,132
13%
4,647,867
2,961,932
36%
4,628,910
2,443,675
47%
4,588,268
2,612,760
43%
8
3,606,286
3,110,260
14%
4,914,039
3,060,457
38%
4,909,315
2,524,961
49%
9
3,833,515
3,162,936
17%
5,339,085
3,112,290
42%
10
3,901,463
3,192,088
18%
α i ’s(estimadores por renglón) y β j ’s (estimadores por columna).
Estimadores por
renglón
Estimadores por
columna
12.5198
12.8808
12.8021
12.691
12.8021
12.8316
12.9119
13.0001
12.865
12.7484
.9112
.9387
.965
.3832
-.0049
-.1181
-.4393
-.0535
-1.3933
113
Cuadro A9:
μ , α i ’s(estimadores por renglón) y β j ’s (estimadores por columna).
μ
6.106
Estimadores por renglón
Estimadores por columna
.194
.149
.153
.299
.412
.508
.673
.495
.602
.911
.939
.965
.383
-.005
-.118
-.439
-.054
-1.393
Cuadro A 10: Variabilidad para el método del Chain-Ladder, Seguro de Daños
Seguro general (Hossack)
Pagos acumulados
Año de desarrollo
Año de
1
2
3
4
5
origen
1976
real
580,222
1,079,901 1,319,902 1,453,503 1,508,415
estimado 580,222
1,134,497 1,377,211 1,538,021 1,596,126
variación
-5%
-4%
-6%
-6%
1977
real
494,534
993,827 1,186,054 1,345,061
estimado 494,534
966,953 1,173,822 1,310,884
variación
3%
1%
3%
1978
real
551,136
1,060,211 1,298,456
estimado 551,136
1,077,626 1,308,172
variación
-2%
-1%
1979
real
648,031
1,312,219
estimado 648,031
1,267,083
variación
3%
1980
real
443,160
estimado 443,160
variación
-
114
Cuadro A 11: Aplicación del método del Chain-Ladder para el Seguro de Gastos Médicos
(Experiencia de una Compañía del Sector Asegurador Mexicano).
Trimestrede
ocurrencia
1erTrim.93
2doTrim.93
3erTrim.93
4toTrim.93
1erTrim.94
2doTrim.94
3erTrim.94
4toTrim.94
1erTrim.95
2doTrim.95
3erTrim.95
4toTrim.95
1erTrim.96
2doTrim.96
3erTrim.96
4toTrim.96
1erTrim.97
2doTrim.97
SegurosdeGastosMédicosMayores.
Compañíadel SectorAseguradorMexicano
Trimestrededesarrollo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18 Reserva
0
1,362 3,210 3,410 3,575 3,724 3,763 3,800 3,826 3,868 3,892 3,904 3,910 3,918 3,918 3,921 3,922 3,922 3,929
8
1,796 3,596 4,124 4,329 4,404 4,444 4,505 4,540 4,575 4,581 4,584 4,585 4,587 4,589 4,595 4,595 4,598 4,607
11
2,005 4,007 4,463 4,709 4,781 4,831 4,877 4,945 4,982 4,990 5,006 5,009 5,013 5,013 5,013 5,013 5,015 5,024
10
1,910 3,813 4,175 4,293 4,352 4,400 4,469 4,523 4,552 4,560 4,560 4,569 4,569 4,569 4,575 4,575 4,577 4,585
17
2,180 4,489 4,815 4,980 5,131 5,244 5,302 5,353 5,427 5,443 5,458 5,461 5,486 5,502 5,507 5,507 5,509 5,519
21
2,382 4,399 4,898 5,103 5,238 5,322 5,374 5,413 5,460 5,474 5,500 5,508 5,525 5,529 5,534 5,534 5,536 5,546
30
2,345 4,233 4,653 4,839 4,941 5,001 5,053 5,101 5,159 5,185 5,203 5,213 5,223 5,227 5,231 5,232 5,234 5,243
32
1,925 3,722 4,079 4,266 4,354 4,438 4,501 4,582 4,621 4,652 4,667 4,672 4,681 4,685 4,689 4,689 4,691 4,699
52
2,163 4,029 4,495 4,724 4,882 5,009 5,097 5,222 5,314 5,382 5,397 5,403 5,413 5,417 5,422 5,423 5,424 5,434
5,192
5,198
5,208
5,212
5,217
5,217
5,219
5,228
74
5,178
2,212 4,029 4,448 4,620 4,755 4,841 4,935 5,002 5,155
128
2,377 3,905 4,164 4,349 4,472 4,561 4,636 4,734 4,794 4,816 4,828 4,834 4,843 4,847 4,851 4,852 4,853 4,862
210
2,432 4,061 4,535 4,757 4,958 5,099 5,188 5,257 5,322 5,347 5,361 5,367 5,378 5,382 5,386 5,387 5,389 5,398
327
2,129 4,633 5,204 5,503 5,777 5,960 6,043 6,122 6,199 6,227 6,244 6,251 6,263 6,268 6,273 6,274 6,276 6,287
379
1,777 4,021 4,534 4,844 5,098 5,193 5,264 5,334 5,400 5,425 5,440 5,446 5,457 5,461 5,465 5,466 5,468 5,477
607
2,565 4,838 5,354 5,672 5,845 5,953 6,035 6,114 6,191 6,219 6,236 6,243 6,255 6,260 6,265 6,266 6,268 6,279
938
2,920 5,097 5,866 6,145 6,332 6,450 6,539 6,625 6,708 6,738 6,756 6,764 6,777 6,782 6,788 6,789 6,791 6,803
1,410
2,261 4,946 5,480 5,741 5,916 6,026 6,109 6,189 6,267 6,295 6,312 6,320 6,332 6,337 6,342 6,342 6,345 6,356
3,627
2,443 4,723 5,233 5,483 5,649 5,754 5,834 5,910 5,984 6,012 6,028 6,035 6,046 6,051 6,056 6,057 6,059 6,070
m1/2 m2/3 m3/4 m4/5 m5/6 m6/7 m7/8 m8/9 m9/10 m10/11 m11/12 m12/13 m13/14 m14/15 m15/16 m16/17 m17/18 7,880.08
1.933 1.108 1.048 1.030 1.019 1.014 1.013 1.013 1.005 1.003 1.001 1.002 1.001 1.001 1.000 1.000 1.002
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Nota
*
Las opiniones que aparecen en este artículo son de la autora y no necesariamente
coinciden con las de la CNSF.
116