Finanzas II Mat Financiera

Matemáticas Financieras
Profesor: Christian Espinosa M.
Otoño 2012
Valor del dinero en el
tiempo
Valor del dinero en el tiempo
Si usted guarda una determinada cantidad bajo su
colchón el 01 de enero del año 2011, unos 3 millones de
pesos, cuanto cree que tendrá el 31 de diciembre.
Si nadie se enteró, y le sacó una parte, tendrá los
mismos 3 millones pero ¿podrá comprar los mismos
bienes y servicios que a principio de año?.
Valor del dinero en el tiempo
Piense en el arancel de la universidad. Paga usted la
misma cantidad todos los años.
¿El monto final que termina pagando por una compra a
crédito en una casa comercial es el mismo valor que el
precio contado?.
………
Valor del dinero en el tiempo
Tasa de cambio:
Imagine un artículo que ayer tenía un valor de 100 y hoy
tiene un valor de 110. En cuanto cambio:
En monto : 110-100 = 10
En tasa de cambio : (110-100)/100 = 0.10
= 0.10 * 100 = 10%
¿Que representa este 10%?
Valor del dinero en el tiempo
La diferencia de lo que usted tendrá que pagar o recibir
por sobre el monto original.
¿Por qué?:
Porque el dinero tiene un valor en el tiempo
Valor del dinero en el tiempo
VP
+I
= VF
Valor
Presente
Interés
Valor
Futuro
Valor del dinero en el tiempo
VP
Valor
Presente
+I
= VF
Interés
Valor
Futuro
INTERES
Simple
Compuesto
Compuesto capitalizable
Compuesto continuo
Interés Simple y
Compuesto
Introducción
El interés se define como el dinero que se paga por el
uso del dinero ajeno. También puede interpretarse como
el rendimiento que se tiene al invertir en forma
productiva el dinero.
Usaremos la letra I para referirnos al interés, VP para el
Valor Presente (Capital o Principal) y VF para el Valor
Futuro.
VP
t=0
VF=VP+I
t=T
Introducción
Ahora, el Interés (I) corresponde a un porcentaje (%)
que se paga o recibe sobre el monto original (VP).
Este porcentaje corresponde a la tasa de interés (i). Así,
entonces:
I = VP * i
Donde I es el Interés, VP es el Valor Presente (capital) e
i es la tasa de interés.
Introducción
Recordemos que:
VF=VP+I
VP
t=T
t=0
Ahora si:
I = VP * i
, entonces:
VF = VP + I = VP + (VP * i ) = VP * (1 + i )
Lo que es lo mismo:
VP (1 + i )
Introducción
Pero:
¿Qué pasa con el tiempo?
¿Es indiferente?
Introducción
El tiempo, para estos efectos, se mide anualmente. Lo
denominaremos “n”.
Por simplicidad consideraremos un año calendario de
360 días.
Si es una fracción de año, por ejemplo 3 meses sería:
90
n =
360
Si fuera un año sería:
360
n =
=1
360
Introducción
Así, al cabo de un año tendremos:
VF = VP + I = VP + (VP * i ) = VP * (1 + i )
Al cabo de 2 años:
VF = VP + VP * i + VP * i = VP * (1 + 2 i )
Al cabo de 3 años:
VF = VP + VP * i + VP * i + VP * i = VP * (1 + 3 i )
Interés Simple
En general:
VF = VP (1 + ni )
Esto es lo denominado INTERES SIMPLE.
Interés Simple
Cuando el interés es pagado sobre la suma original
(depositada o solicitada) y no sobre los intereses
subsiguientes devengados, se está hablando de interés
simple.
VF = VP (1 + ni ) = VP + VP * n * i
Capital +
Interés
Interés Simple
Ejemplo:
Si usted solicita prestado $1.000.000 para devolverlo en
3 años más con un 8% de interés anual simple de 8%
¿Cuánto debe cancelar al cabo de los 3 años?.
Interés Compuesto
Cuando el interés se cobra no sólo por el capital original
sino también sobre los intereses devengados, estamos
frente al interés compuesto:
VF = VP (1 + i )
n
Interés Compuesto
Ejemplo:
¿Cuánto debería cancelar usted al cabo de 3 años por
un préstamo de $1.000.000, con un interés de 8%
compuesto anual?
Interés compuesto capitalizable
Ahora, si el interés se capitaliza más de 1 vez al año
entonces:
i 

VF = VP  1 +

m

n*m
Donde m corresponde al número de capitalizaciones en
el año y n al número de años.
Interés compuesto capitalizable
Ejemplo: Una empresa pide prestado $1.000.000 al 8%
de interés anual compuesto trimestralmente,
¿Cuánto debe cancelar al cabo de 3 años.
Interés Compuesto continuo
Puede suceder que el interés se compone
continuamente, aumentando "m" a tal punto que puede
aproximarse al infinito. Esto es lo que se denomina
Capitalización continua.
nm
i 
Cuando sucede esto, el término 
1+ 
m

in
e
se aproxima a
donde "e" es aproximadamente
2,71828, que está definido como:
i 

e = lim1 + 
m
m→∞ 
in
m
Interés Compuesto continuo
Así, el valor final (M), de un capital cuyo interés se
capitaliza continuamente sería:
VF = VP * ε
i* n
Interés Compuesto continuo
Ejemplo: Una empresa pide prestado $1.000.000 a una
tasa de interés de 8% anual compuesta
continuamente ¿Cuánto se debe pagar al final del
tercer año?
1 . 000 . 000 * 2 , 71828
( 0 , 08 * 3 )
= 1 . 271 . 2497
Valor Presente
Para obtener el Valor Presente simplemente
reordenamos las ecuaciones y tendremos:
VF
VP =
(1 + ni )
VP =
VF
(1 + i ) n
VP =
VF
i 

1
+


m

VF
VP = i * n
e
Interés simple
Interés compuesto
m *n
Interés compuesto
capitalizable
Interés compuesto
continuo
Valor Presente
Ejemplo, ¿Cual es el Valor Presente de un préstamo que vence en
3 años más y que se debe pagar 1.240.000 a una tasa de un 8% de
interés anual simple?.
1 . 240 . 000
VP =
= 1 . 000 . 0000
1 + 3 * 0 , 08
Valor Presente
Ejemplo: anteriormente vimos que $1.000.000 colocados al 8%
compuesto anual durante 3 años generaba un valor futuro de
$1.259.700, que en términos de valor presente eran equivalentes a
$1.000.000:
1.259.712
V.P.=
= 1.000.000
3
(1 + i )
Valor Futuro
En resumen:
VF = VP (1 + ni )
Interés simple
VF = VP (1 + i )
Interés compuesto
n
i 

VF = VP  1 +

m

i* n
VF = VP * e
m *n
Interés compuesto
capitalizable
Interés compuesto
continuo
Valor Futuro
Ejemplo, ¿Cual es el Valor Futuro de un préstamo de $1.000.000 a
3 años con un 8% de interés anual simple de 8% interés anual
compuesto?.
VF = 1 . 000 . 000 (1 + 3 * 0 , 08 ) = 1 . 240 . 000
VF = 1 . 000 . 000 (1 + 0 , 08 ) = 1 . 259 . 712
3
Tasas Equivalentes
Tasa de interés nominal a efectiva
Tasa Nominal ( in ): tasa que se conviene en una
operación financiera.
Tasa Efectiva ( ie ): tasa que realmente se paga (o
recibe) sobre el capital en una inversión financiera de
acuerdo a las veces que se capitaliza el interés.
Tasa de interés nominal a efectiva
La tasa de interés efectiva anual se puede calcular
como:
Si
in 

1 + ie = 1 +

m 

m
Entonces:
in 

ie = 1 +

m 

m
−1
Tasa de interés nominal a efectiva
Ejemplo: Un banco ofrece una tasa de interés de 12%
anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la tasa
efectiva anual, que está ofreciendo el banco?
0 . 12 

ie =  1 +

12 

1*12
− 1 = 12 . 7 %
Tasa de interés efectiva a nominal
Ahora, de tasa efectiva anual a nominal:
in 

1 + ie = 1 +

m 

Si
m
Entonces:
in = m
[(
m
) ]
ie + 1 − 1
Tasa de interés efectiva a nominal
Ejemplo: Un banco ofrece una tasa de interés de 12,7%
efectiva anual. ¿Cuál es la tasa anual capitalizable
mensualmente que está ofreciendo el banco?
i n = 12
(
12
)
0 . 127 + 1 − 1 = 12 %
Tasa de interés equivalente
También podemos conocer la tasa de interés de un
subperíodo (semestral por ejemplo) que sea equivalente
a una tasa de interés que corresponda a otro período de
tiempo (trimestral por ejemplo).
Es decir, dada la tasa de un período es posible conocer
la tasa equivalente de un subperíodo.
Tasa de interés equivalente
Es decir:
is 

1 +

m

m
im 

= 1 +

m 

m
Donde is e im corresponden a tasas para diferentes
periodos y m al número de capitalizaciones.
Tasa de interés equivalente
Ejemplo: ¿Cuál es la tasa equivalente semestral para un
banco que ofrece una tasa de interés anual de 16%?.
2
1
is 
0 . 16 


1 +  = 1 +

2
1 


is
2
= 1 + 0 . 16 − 1 = 7 . 7 %
2
Tasa de interés equivalente
Y la tasa equivalente anual de esa tasa de interés
semestral sería:
2
is 
im 


1 +  = 1 +

2
1 


1
; donde
i m = (1 + 0 . 077 ) − 1 = 16 %
2
is
= 0 . 077
2
Tasa de Interés
Nominal y Real
Tasa de interés nominal y real
La tasa de interés nominal (in) es aquella que no considera la
desvalorización monetaria (inflación).
La tasa de interés real(ir) es aquella que si considera la
desvalorización monetaria (inflación). Entre ambas existe una
relación:
(1 + i n ) = [(1 + i r )( 1 + π ) ]
Donde in es la tasa de interés nominal, ir la tasa de interés
real y π la inflación.
Tasa de interés nominal y real
Ejemplo: A usted le ofrecen un préstamo a un año, por
$5 millones en algunas de las siguientes condiciones:
a) Préstamos en pesos con una tasa de interés (in) de
20% al año.
b) Préstamo en U.F. con una tasa de interés (ir) del
11%.
Usted estima que la inflación esperada implícita en la U.F.
en un año es 9%.
Tasa de interés nominal y real
Por lo tanto, La tasa de interés real de 11%, en términos
de interés nominal en pesos sería:
~ )-1
=
(1
+
)
(1
+
π
in
ir
i n = (1 + 0,11) (1 + 0,09) - 1 = 0,2099 = 20,99%
Conviene tomar el préstamo en pesos con interés nominal.
Tasa de interés nominal y real
Ahora, ¿que sucedería si el préstamo es en dólares y la
tasa de interés en dólares (rME) es de 12%?.
Supongamos que la variación del tipo de cambio en un
año, se espera sea 7%. La tasa de interés en dólares,
en término de tasa de interés nominal sería:
i n = [(1 + i ME )( 1 + ∆ TC ) ] − 1
i n = (1 + 0,12) (1 + 0,07) - 1 = 0,1984 = 19,84%
Tasa de interés nominal y real
Cual alternativa es mejor:
La tasa de interés más baja sería el préstamo en
dólares, pero habría que tener presente que en este
cálculo hay implícita una variable aleatoria que es la
variación del tipo de cambio y, por lo tanto ese 19,84%
pudiese ser mayor o menor que el 20% de interés
nominal en pesos ofrecidos.
Anualidades
Anualidades
El valor presente de un flujo de caja (F), es decir una serie de
montos de dinero que se recibirán o pagarán en el varios períodos
futuros, se calcula agregando los valores presente de cada flujo:
F
F
F
F
1
2
3
n
V.P.=
+
+
+ ... +
2
3
n
(1+ i) (1+ i) (1+ i)
(1+ i)
donde: i = es la tasa de descuento pertinente a esos flujos
de caja. Asumiendo que esa tasa de descuento es igual
para todos los períodos.
Anualidad Vencida, Valor Presente
También los flujos de caja se pueden recibir (o pagar) al final o al
principio de cada período, en el primer caso constituyen flujos
vencidos y en el segundo flujos anticipados.
El valor presente de flujos de caja vencidos en que A1 = A2 = A3 =
.... = An, es igual a:
 1

1
1
+
+ ...... +
VP = A 
2
n 
+
+
+
(
1
i
)
(
1
i
)
(
1
i
)


 1 − (1 + i ) − n 
VP = A 

i


donde A es el Flujo o Anualidad.
Anualidad Vencida, Valor Presente
Ejemplo: Un inversionista tiene un proyecto que espera, le genere
$20 millones anuales durante 8 años. La tasa de descuento
apropiada es 15% anual. ¿Cuál es el valor presente de esos flujos
de caja?.
 1 - (1 + 0,15)-8 
V P = $ 20 millones 

0,15


= $ 20 millones x 4,4873 = $ 89.746.000
Anualidad Anticipada, Valor Presente
Si los pagos fuesen anticipados sería:


1
1
1
VP = A 
+
+ ...... +
0
1
n −1 
(
1
+
i
)
(
1
+
i
)
(
1
+
i
)


 1 − (1 + i ) − n
VP = A 
i


 (1 + i )

Anualidad Anticipada, Valor Presente
Ejemplo: Un inversionista tiene un proyecto que espera, le genere
$20 millones anuales durante 8 años. La tasa de descuento
apropiada es 15% anual. ¿Cuál es el valor presente de esos flujos
de caja si se reciben a principios de cada año?.
 1 − (1 + 0 . 15 ) − 8
VP = A 
0 . 15


 (1 + 0 . 15 )

$ 103 . 208 . 394 , 68
Anualidad Vencida, Valor Futuro
Ahora, para obtener el valor futuro de una anualidad, se tiene lo
siguiente:
[
VF = A (1 + i ) 1 + (1 + i ) 2 + ..... + (1 + i ) n
 (1 + i )n - 1 
V F=A 

i


]
Anualidad Vencida, Valor Futuro
Ejemplo: Usted deposita al final de cada mes $50.000 y desea
saber cuánto tendrá después de 60 meses si puede obtener una
tasa de 2% mensual.
 (1 + 0 , 02 )
VF = 50 . 000 
0 , 02

60
− 1


VF = 50 . 000 * 114 , 05 = 5 . 702 . 576 , 97
Anualidad Anticipada, Valor Futuro
Ahora, si los flujos de caja se generan al inicio de cada período
(acumulados anticipados), el valor futuro de esa serie sería:
[
VF = A (1 + i ) 0 + (1 + i ) 1 + ..... + (1 + i ) n − 1
 (1 + i ) n − 1 
VF = A 
 (1 + i )
i


]
Anualidad Anticipada, Valor Futuro
Ejemplo: su papá le financia sus estudios universitarios y paga por
ellos $900.000 al inicio de cada uno de los 5 años que dura su
carrera. ¿Cuánto es el monto que representan estos pagos al final
de los 5 años, si la tasa de interés pertinente es 12% anual?.
 (1 + 0 . 12 ) 5 − 1 
VF = 900 . 000 
 (1 + 0 . 12 )
0 . 12


V F = 900.000 x 7,1152 = 6.403.680
Anualidad Diferida
Ahora, puede suceder que el plazo del los flujos se
inicie en una fecha futura. En este caso se habla de
anualidades diferidas.
Un anualidad diferida es aquella en que el primer
pago no se efectúa al principio ni al final, sino hasta
cierta fecha futura.
Los pagos pueden cancelarse al inicio o al
vencimiento de esa fecha futura.
Anualidad Diferida, Valor Presente
El valor presente de una anualidad diferida es:
 1 − (1 + i ) − n
VP = A 
i


−t`
 (1 + i )

Donde t es el intervalo de aplazamiento t`= t-1 cuando
corresponde a una anualidad vencida.
Anualidad Diferida, Valor Presente
En abril, un almacén ofrece un plan de venta de
“compre ahora y pague después”. Con este plan el
Sr. Méndez compra una computadora que recibe el 2
de mayo, y que debe pagar mediante 5 pagos
mensuales de $2.650 cada uno a partir del 2 de
agosto del mismo año. Si se considera un interés de
36% capitalizable mensualmente ¿Cuál es el valor
contado de la computadora?.
Anualidad Diferida, Valor Presente
Anualidad diferida
02-May 02-Jun
0
1
02-Jul 02-Ago 02-Sep 02-Oct 02-Nov
2
3
4
5
6
1
2.650
VP =
12 .136 , 22
12
 0.36 
1 +

12


2
12
2
2.650
3
2.650
4
2.650
5
−12

12
1 − 1 + 0.36 

12 
VP = 2.650  
0.36

12


= 11 .439 .55
02-Dic
7
5
2.650



 = 12 .136 , 22



Anualidad Diferida, Valor Presente
Anualidad diferida
02-May 02-Jun
0
1
02-Jul 02-Ago 02-Sep 02-Oct 02-Nov
2
3
4
5
6
1
2.650
5
−12

12
1 −  1 + 0.36 

12 
VP = 2.650  
0.36

12


2
2.650
3
2.650
4
2.650

2

−12
  0.36  12
= 11 .439 ,55
 1 + 12 




02-Dic
7
5
2.650
Anualidad Diferida
Ejemplo:
Una agencia de viajes ofrece la promoción “viaje ahora
pague después”, que consiste en liquidar el precio del
pasaje en 10 quincenas, empezando 3 meses
después de haber viajado. ¿Cuánto pagará el señor
Montes cada quincena si el precio de su boleto fue de
$8.320 y le cargan 1.18% quincenal?.
Anualidad Diferida
Anualidad diferida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6
8320
1 − (1 + 0 .0118 ) −10 
−5
8.320 = A 
(
1
+
0
.
0118
)
= 940 ,53

0.0118


Anualidad Perpetua
Es una anualidad cuyo plazo no tiene fin.
Este tipo de anualidades se presenta cuando se
invierte un capital y únicamente se retiran los
intereses. Por tanto, mientras se mantenga invertido
el capital se tendrá una renta perpetua.
La renta perpetua puede ser vencida, anticipada o
diferida.
A
El valor presente de una perpetuidad es: VP =
i
Anualidad Perpetua
Ejemplo:
El testamento del Sr. Perez establece que que debe
pagarse al asilo de ancianos Maria Auxiliadora una
renta perpetua de $250.000 pagaderos a fines de
cada año. ¿Cuál es el valor presente del testamento
suponiendo que se encuentra invertido al 12,64% de
interés anual?.
250 .000
VP =
= 1 .977 .848
0 .1264
Amortización y
Tabla de
Amortización
Amortización
Amortizar es el proceso de cancelar una
deuda y sus intereses por medio de pagos
periódicos.
El detalle del proceso de amortización es lo
que muestra la Tabla de Amortización.
Amortización
Ejemplo:
Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de
amortización para saldar una deuda de $4.051,56
contratada al 42% anual capitalizable bimestralmente,
si la deuda ha de quedar saldada de después de un
año haciendo los pagos al final de cada bimestre.
−6

0 . 42 
1) Pago:


1 − 1 +
6 


4 . 051 , 56 = A
0 . 42


6

A = 850






Amortización
2) Tabla de Amortización:
Número de
Pagos
1
2
3
4
5
6
Pago
$ 850,00
$ 850,00
$ 850,00
$ 850,00
$ 850,00
$ 850,00
Intereses
$ 283,61
$ 243,96
$ 201,54
$ 156,15
$ 107,58
$ 55,61
Amortización
$ 566,39
$ 606,04
$ 648,46
$ 693,85
$ 742,42
$ 794,39
Saldo Insoluto
$ 3.485,17
$ 2.879,13
$ 2.230,67
$ 1.536,82
$ 794,39
$ 0,00
Amortización
Ejemplo:
Una deuda de $8.000 se debe amortizar mediante 5
pagos mensuales vencidos. Los dos primeros por
$1.500 y el tercero y cuarto por $2.000.- Calcule el
importa del quinto pago para saldar la deuda si la
operación se pactó a un interés de 2,33% mensual.
Número de
Pagos
Pago
Intereses
Amortización
Saldo Insoluto
1
2
3
4
$ 1.500,00
$ 1.500,00
$ 2.000,00
$ 2.000,00
$ 186,40
$ 155,79
$ 124,47
$ 80,77
$ 1.313,60
$ 1.344,21
$ 1.875,53
$ 1.919,23
$ 6.686,40
$ 5.342,19
$ 3.466,67
$ 1.547,44
5
$ 1.583,49
$ 36,06
$ 1.547,44
$ 0,00
Evaluación de
Proyectos de Inversión:
VAN y TIR.
Evaluación de Proyectos de Inversión
Un proyecto de inversión es el estudio de una situación
económica determinada para tomar una decisión.
Los proyectos nacen, se evalúan y se ejecutan en la
medida en que ellos respondan a una necesidad
humana y sea factible de realizar.
La preparación y evaluación de proyectos corresponde
a una serie de antecedentes que permiten juzgar
cualitativa y cuantitativamente las ventajas y
desventajas que presenta la asignación de recursos
a una determinada iniciativa.
72
Evaluación de Proyectos de Inversión
La preparación de un proyecto debe contemplar
algunos supuestos y su análisis debe comprender
una serie de etapas entre las cuales se encuentran:
-
Estudio de Mercado
Estudio Técnico
Estudio Legal
Estudio Organizacional
Estudio Económico
Evaluación Financiera
Sensibilidad
73
Evaluación de Proyectos de Inversión
La “evaluación” financiera consiste en determinar la
rentabilidad del proyecto, estableciendo criterios para
tomar la decisión de aceptarlo o rechazarlo.
Los criterios básicos son:
- Valor Actual Neto (VAN)
- Tasa interna de rentabilidad o retorno (TIR)
74
Valor Actual Neto (VAN)
El Valor Actual Neto (VAN) de un proyecto de inversión
es la diferencia entre los flujos netos de fondos (flujos
de caja), descontados a la tasa de costo de capital,
con la inversión.
VAN = − INV +
N
∑
k =1
0
F1
1
F2
2
FK
(1 + i ) k
F3
F4
F5
3 …………………
Fn
n años
INV
75
Valor Actual Neto (VAN)
Ejemplo:
Un proyecto que requiere una inversión inicial de $8
millones y que se espera genere flujos de ingresos
de $4 millones el año 1, $5 millones el año 2 y $ $6
millones el año 3. La tasa de descuento pertinente
es 24% anual. ¿Cuál es el VAN de ese proyecto ?.
4
5
6
VAN = −8 +
+
+
= 1.625
2
3
1.24 1.24
1.24
VAN > 0, entonces el proyecto se realiza.
76
Valor Actual Neto (VAN)
Criterios generales:
VAN > 0, Los flujos futuros son mayores que la
inversión requerida.
VAN = 0, Los flujos futuros son iguales que la inversión
requerida.
VAN < 0, Los flujos futuros son menores que la
inversión requerida.
77
Tasa Interna de Retorno (TIR)
La Tasa interna de retorno (TIR) de un proyecto de
inversión es la tasa de descuento de los flujos netos
de fondos que hace que el VAN sea cero.
La TIR es la tasa de descuento que hace que el valor
presente de los flujos netos de fondos sea igual a la
inversión requerida.
− INV +
N
∑
k =1
FK
= 0
k
(1 + i )
78
Tasa Interna de Retorno (TIR)
Ejemplo,
Un proyecto requiere una inversión inicial de $12.000 y
se espera genere flujos de ingresos de $1.000 el año
1, 6.500 el año 2 y 10.000 el año 3. La tasa de
descuento pertinente es 24% anual. ¿Cuál será la
TIR de ese proyecto ?.
1.000
6.000
10.000
− 12.000 +
+
+
=0
2
3
(1 + TIR ) (1 + TIR )
(1 + TIR )
TIR = 16,38%
79
Tasa Interna de Retorno (TIR)
Para saber si el proyecto es rentable hay que comparar
la TIR con la tasa de descuento.
Así, si:
TIR > tasa de descuento, diremos que el proyecto es
rentable.
TIR > tasa de descuento, diremos que el proyecto
recupera la inversión.
TIR < tasa de descuento, diremos que el proyecto no
es rentable.
80
Tasa Interna de Retorno (TIR)
Supongamos que la tasa de descuento es de un 5%.
El proyecto sería rentable dado que la TIR (16,38%) es
mayor a la tasa de descuento (5%).
Que sucedería con el criterio del VAN.
1.000
6.000
10.000
VAN = −12.000 +
+
+
= 3.486,45
2
3
(1 + 0.05) (1 + 0.05)
(1 + 0.05)
VAN > 0, los flujos futuros son mayores que la inversión
requerida.
81
Valoración de
Bonos
Bono
Un Bono es un instrumento financiero de renta fija que garantiza al
tenedor una serie de pagos periódicos preestablecidos más un
pago final. Las principales características de este tipo de
instrumentos son:
- Principal, Capital, Nocional o Principal: cantidad de capital que
debe ser devuelta al vencimiento.
- Cupón: corresponde a la cantidad de intereses que se deben
pagar. La tasa de interés que paga un bono habitualmente es
conocida como “tasa carátula” o “tasa cupón”.
83
Características de un Bono
-
Fecha de vencimiento: fecha en que un bono vence y el
principal debe ser devuelto.
-
Cláusula de rescate: especifica bajo que condiciones el emisor
puede retirar el bono antes de su vencimiento.
-
Fondo de amortización: disposición que establece la cantidad
del principal que se retirará a lo largo de la vida del Bono.
-
Cláusulas restrictivas (Covenants): son cláusulas impuestas
por el emisor que apuntan a mitigar el problema de agencia
entre accionista-bonistas, la sustitución de activos, pago de
dividendos liquidatorios y subinversión, entre otros.
84
Tipos de Bonos
En general, se pueden encontrar los siguientes tipos de
bonos:
- Bonos subordinados: son bonos que supeditan el pago de
intereses a la existencia de beneficios por parte de la
empresa emisora.
- Bonos cupón cero: son aquellos que no pagan cupones
hasta el vencimiento.
- Bono Bullet (americano): paga intereses durante la vida del
bono amortiza el principal al vencimiento.
- Bono Amortizable: amortiza capital durante la vida del bono
amortiza el principal al vencimiento.
85
Tipos de Bonos
- Bonos a tipo variable: también llamados Floating Rate Notes
(FRN). El cupón se actualiza periódicamente en función de
una tasa de referencia como LIBOR por ejemplo.
- Bonos convertibles: contienen una cláusula de conversión en
acciones de la empresa emisora, durante determinados
periodos y a determinados precios.
- Bonos soberanos: es un instrumento de deuda que permite
al estado acceder a financiamiento a través del mercado de
valores. El emisor es el país, puede ser emitido en mercados
locales como internacionales. Su pago depende del fisco, por
lo tanto el diferencial entre la tasa de interés de un bono libre
de riesgo y el bono soberano indica la probabilidad que le
asigna el mercado al cumplimiento o pago por parte del
emisor de la deuda contraída. Este diferencial “spread” e
conocido como “riesgo país”.
86
Valoración de un Bono
El precio de un bono esta determinado por la interacción entre la
oferta y demanda de este tipo de instrumentos.
El precio teórico se obtiene al calcular el valor presente de los
cupones que se ofrece hasta el vencimiento bajo el contexto de la
Teoría del Valor Actual.
La Teoría del Valor Actual nos permite determinar el precio de un
activo en base a la capacidad generadora de ingresos que éste
posea en el futuro, de manera relativa a otros activos de similares
características.
Entendemos por Valor Actual a la corriente de flujos generada por un
activo descontado a una determinada tasa de interés (tasa de
descuento o costo de oportunidad).
90
Valoración de un Bono
Especificación general:
n
Ft
V.A. = ∑
t
t = 0 (1 + r )
Algunas variantes:
n
V.A. = ∑
t =0
n
V.A. = ∑
t =0
i * Valor Nominal (i * Valor Nominal) + C apital
+
t
(1 + Td )
(1 + Td ) t = n
(i ⋅ Valor Nominal) + Amotización_Capital (i ⋅ Valor Nominal) + Amotización_Capital
+
t
(1 + Td )
(1 + Td )t = n
91
Valoración de un Bono
Ejemplo:
El 10 de marzo de 2008 deseamos valorar un bono que vence el
31 de agosto de 2010 y que paga un cupón anual de 5%. El
mercado demanda para este bono un rendimiento del 3%
hasta el vencimiento. El precio del bono se cotiza en tanto por
ciento, con lo cual no es necesario conocer el nominal del
bono.
92
Valoración de un Bono
Cálculo:
La fórmula para el cálculo del valor actual de cada cupón es:
5
C upón 31 / 08 / 2008 =
(1 + 0 , 03 ) 174 / 365
C upón
31 / 08 / 2009
C upón
31 / 08 / 2010
5
(1 + 0 , 03 ) 539 / 365
105
=
(1 + 0 , 03 ) 904 / 365
=
93
Rendimiento al Vencimiento
Recordemos que la tasa interna de retorno (TIR) de una oportunidad
de inversión es la tasa de descuento con la que el Valor Actual
Neto (VAN) de ésta es igual a cero.
La TIR de una inversión, en un bono cupón cero, es la tasa de
rendimiento que percibirán los inversionistas sobre su dinero si
compran el bono a su precio actual y lo conservan hasta su
vencimiento.
La TIR de una inversión en un bono recibe el nombre de Rendimiento
al Vencimiento (Yield to maturity, YTM).
100 . 000
(1 + YTM )
100 . 000
(1 + YTM ) =
= 1, 035
96 . 618 , 36
YTM = 3 , 5 %
96 . 618 , 36 =
94
Rendimiento al Vencimiento
- Rendimiento al vencimiento de un bono cupón cero a n años.
YTM
n
 VF

=

 Pr ecio 
1/ n
−1
- Rendimiento al vencimiento de un bono cuponado.
1 
1
Pr ecio = Cupón * * 1 −
r  (1 + r ) N

VF
 +
N
(
1
+
r
)

95
Rendimiento al Vencimiento
Ejemplo:
Considere un bono de $1.000 a cinco años con tasa de carátula de
5% y cupones semestrales. Si este bono se comercializa
actualmente en $957,35 ¿cual es su rendimiento al vencimiento?.
1 
1
Pr ecio = Cupón * * 1 −
r  (1 + r ) N

VF
 +
N
(
1
+
r
)

1 
1  1.000
+
957 ,35 = 25 * * 1 −
10 
r  (1 + r )  (1 + r )10
y = 3%
96
Precio del Bono: Convenciones
Una vez calculado el precio del bono se pueden dar tres
situaciones básicas:
-
A la par: el precio del bono coincide con el monto del
principal. Tasa carátula = Rendimiento al vencimiento.
-
Sobre la par: el precio del bono es mayor que el monto del
principal. Tasa carátula > Rendimiento al vencimiento.
-
Bajo la par: el precio es menor que el monto del principal.
Tasa carátula < Rendimiento al vencimiento.
Bonos Corporativos
Corresponde a los bonos emitidos por las empresas.
Estas son las principales emisoras de bonos no
gubernamentales.
Amplia variedad de tipos de bonos, plazos, vencimientos.
Ofrecen rentabilidades, generalmente, por encima de la media
para los inversores (Bonos Basura: bonos de ato riesgo que
tienen baja clasificación pero producen altos
rendimientos).
Riesgo de Incumplimiento (Clasificación de bonos).
Clasificación de los Bonos
La clasificación de bonos permite al inversionista conocer el riesgo de
incumplimiento del emisor.
Es frecuente que a los bonos pertenecientes a las cuatro categorías superiores
se les conozca como bonos con grado de inversión por su bajo riesgo de
incumplimiento.
Las principales empresas que se dedican a la clasificación de riesgo son
Standard and Poor’s (Feller Rate), Moody’s (Humphey’s) y Duff and
Phelps (Fitch Ratings).
En Chile funciona la Comisión Clasificadora de Riesgo. Este es un organismo
independiente formado bajo el sistema de pensiones de AFP para evaluar
los instrumentos susceptibles de inversión.
Aunque el hecho de tener una clasificación de riesgo baja no dice nada
respecto al precio o costo de una emisión, los inversionistas
institucionales están restringidos de comprar estos títulos por lo que la
demanda se puede ver disminuida.
Clasificación de los Bonos
Moody´s
Descripción
Aaa
Estos bonos se consideran los de mejor calidad. Tienen el riesgo de inversión más bajo y se denominan de primer
orden. Los pagos de los intereses se benefician de un margen muy alto o excepcionalmente estable y el principal está
asegurado. Aunque que es posible que cambien los distintos elementos de protección, es improbable que tales
cambios alteren la fuerte posición de estos bonos en el mercado, ya que son previsibles.
Aa
Estos bonos también son de alta calidad según todos los criterios. Junto con lo del tipo Aaa conforman el grupo de los
bonos de alta calificación. Se valoran por debajo de los Aaa porque pueden tener menores márgenes de protección o
mayor fluctuación de los elementos de protección, o porque dependen de otros factores que hacen aparecer riesgos a
largo plazo, mayores que los del tipo Aaa.
A
Estos bonos tienen muchos atributos favorables y se consideran de grado medio superior. Los factores que dan
seguridad al principal y a los intereses se consideran adecuados pero puede haber elementos presentes que sugieren
una tendencia futura a la erosión.
Baa
Estos bonos se consideran obligaciones de calidad media, es decir, que no tienen una alta protección pero tampoco
una seguridad deficiente. Los pagos de intereses y del principal parecen adecuados en el momento presente, pero
faltan ciertos elementos de protección o pueden ser poco fiables a largo plazo. Tales bonos carecen de características
sobresalientes para la inversión y de hecho tienen algunas de carácter especulativo.
BB
Ba
Estos bonos contienen elementos especulativos y su futuro no está bien asegurado. A menudo, la protección de los
pagos de intereses y del principal es muy moderada así que no hay garantía durante los buenos o malos tiempos que
se presenten en el futuro. La incertidumbre es la característica principal de estos bonos.
B
B
Estos bonos carecen de las características para hacer una inversión deseable. La seguridad de recibir los pagos o de
cumplir los términos del contrato a largo plazo es reducida.
CCC
Caa
S&P
AAA
AA
A
BBB
CC
C
Estos bonos son deficientes, ya que pueden incurrir en impagos o pues tienen elementos de peligro respecto al interés
y al principal.
S&P y Fitch
Ratings
Ca
Estos bonos
son especulativos en alto grado. A menudo incumplen los pagos y tienen otras deficiencias notables.
C
Estos bonos son la clase mas baja y su proyección es muy deficiente para ser considerados como una alternativa de
inversión.
Cálculos en Planillas
Excel
INICIO
Para aplicar matemáticas financieras con Excel primero debe tener
activada la función respectiva.
102
INICIO
A partir de ahí, active las funciones financieras:
103
INTERES COMPUESTO
Para Valor Futuro:
Active la Función
104
INTERES COMPUESTO
Para Valor Presente:
Active la Función
105
CONVERSION DE TASAS
Para pasar de tasa nominal a efectiva.
Active la Función
106
ANUALIDAD VENCIDA, VALOR PRESENTE
Active la Función
107
ANUALIDAD ANTICIPADA, VALOR PRESENTE
Active la Función
108
ANUALIDAD VENCIDA, VALOR FUTURO
Active la Función
109
ANUALIDAD ANTICIPADA, VALOR FUTURO
Active la Función
110
VALORACION DE BONOS
Datos requeridos:
Es decir, el 05/02/2007 se desea valorar un bono que vence el
15/09/de 2015. El Cupón que paga es de un 6% y ofrece un
rendimiento hasta el vencimiento del 4%. En ocasiones los bonos
ofrecen una prima de amortización en el vencimiento, esto quiere
decir que, al final, en vez de recibir el 100% del nominal se recibe
un poco más. En la celda B5 se indica lo anterior; en este caso se
paga el 100% del nominal (no hay prima de amortización). La
frecuencia de pagos en anual (celda B6=1; si fuese semestral
debiera ser 2, trimestral 4, etc.).
111
VALORACION DE BONOS
En los diferentes mercados financieros se pueden calcular los
ineteres de diferentes formas. Si fuera:
- Real/Real: Cuenta los días reales incluyendo los bisiestos y lo
divide entre el número de días que tenga ese año. En este caso se
escribe 1 en la celda B7.
- Real/360: Cuenta los días reales incluyendo los bisiestos y lo
divide entre un año de 360 días. En este caso se escribe 2 en la
celda B7.
- Real/360: Cuenta los días reales incluyendo los bisiestos y lo
divide entre un año de 365 días. En este caso se escribe 3 en la
celda B7.
- 30/360: Cuenta los días, realizando el supuesto que al año se
divide en 12 meses de 30 días, y lo divide entre un año de 360
días. Si el cálculo es para bonos de la Asociación Nacional de
Sociedades de Valores Norteamericana (NASD) se escribe un 0; si
es para bonos europeos que utilice este sistema se escribe un 4.
En nuestro caso consideramos un bono Real/Real.
112
VALORACION DE BONOS
Luego:
113
VALORACION DE BONOS
114
RENDIMIENTO AL VENCIMIENTO
Datos de ejemplo anterior:
Es decir, el 05/02/2007 se desea conocer el rendimiento al
vencimiento de un bono que vence el 15/09/de 2015. El Cupón
que paga es de un 6% y el precio es de 114,2987. El bono paga el
100% del nominal (no hay prima de amortización). La frecuencia
de pagos en anual. Bono Real/Real.
115
RENDIMIENTO AL VENCIMIENTO
Abra Funciones y luego RENDTO.
116
RENDIMIENTO AL VENCIMIENTO
117
RENDIMIENTO SI VENDE ANTES
En el caso en que el bono no se mantenga hasta el vencimiento se
puede calcular el rendimiento por la vía de la TIR.
Supongamos que en nuestro ejemplo el inversor compra el bono el
05/02/2007 a 105,256 y lo vende el 05/05/2009 a un precio de
110,856. El pay-off sería el siguiente:
118
RENDIMIENTO SI VENDE ANTES
Cálculo:
119
RENDIMIENTO SI VENDE ANTES
Finalmente,
120