Diapositiva 1 - Diplomado de Medicina y Complejidad

Esbozo Histórico de las Matemáticas
Dr. R. Mansilla
CEIICH, UNAM
Toda ciencia tiene de verdadera lo que de Matemáticas hay en ella.
E. Kant, Crítica a la razón pura.
Las matemáticas pueden ser definidas como aquel tema del cual no
sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero.
Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza
suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.
Bertrand Russell
La Matemática es la ciencia que tiene por objeto de estudio las
relaciones cuantitativas y espacio-temporales de la realidad objetiva.
F. Engels, Dialéctica de la Naturaleza
Orígenes del conocimiento matemático
Resolución de ecuaciones
Problemas geométricos
Conocimiento algebraico
Alrededor del año 1790 A.C. durante el reinado de Hammurabi la contabilidad
del imperio alcanzó un elevado grado de sofisticación. Así mismo algunos de
sus matemáticos llegaron a resolver ecuaciones cuadráticas.
Conocimiento geométrico
Alrededor del año 2500 A.C. existía un cuerpo de
reglas prácticas relacionadas con la agrimensura y
la construcción de pirámides que constituyen la
base de todo el conocimiento geométrico abstracto
posterior.
El origen de la palabra ALGEBRA
Abu Ja’far Muḥammad ibn Musa al-Khwarizmi cuyo
nombre quiere decir “ padre de Jafar, Mohamed, hijo
de Musa el khwarismio”. Khwarismia era un antiguo
estado situado en la actual Uzbekistan. Al-Khwarizmi
nació allí entre el 783 y el 850 D.C.
Su obra principal “Kitab al-jabr wa'l muqabala” que
en chii antíguo quiere decir “Manual de cálculos por
completamiento y reducción” es el origen de la actual
palabra algebra.
x  10 x  39
2
Que en la traducción hecha por Diofanto se lee:
Un cuadrado y diez raíces de la misma cantidad se
igualan a treinta y nueve dirhems.
Tales de Mileto
(639-547 A.C.)
Nació en Mileto, en la actual provincia turca de
Aydin. Tal vez su contribución más importante
fue haber insistido en la necesidad de demostrar
los resultados propuestos.
Sus teoremas relativos a las proporciones entre
los lados de un triangulo son esenciales para la
construcción de las funciones trigonométricas.
Se le atribuye haber medido la altura de una
pirámide a partir de su sombra. Era además un
hábil comerciante.
Pitágoras de Samos
(582-507 A.C.)
Junto a sus seguidores creo una escuela de
pensamiento con matices esotéricos en la
cual se sostenía que la explicación de todos
los fenómenos estaba en los números.
Comprobaron con profunda consternación
que 2 no era un racional.
Este hecho supuso un retorno del estilo de
razonar desde el algebra hacia la geometría.
El padre de la geometría
Euclides de Alejandría vivió alrededor del año 300 A.C. Es
considerado el padre de la geometría. Su obra magna “Los
Elementos” contiene los resultados básicos de la geometría
plana. Contiene algunos capítulos sobre teoría de números
donde puede encontrarse la demostración de que existen
infinitos números primos. Introdujo una sistematización de
las ideas geométricas a partir del método axiomático.
Axiomas de la Geometría de Euclides
1.-Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar
una línea recta.
2.-Todo segmento rectilíneo se puede prolongar
indefinidamente.
3.-Con un centro y un radio dado sólo se puede
trazar una circunferencia.
4.-Todos los ángulos rectos son iguales.
5.-Si una recta corta a otras dos formando a un
lado ángulos internos, y la suma de estos es
menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas
indefinidamente se encontrarán de ese lado.
5’.- Por un punto exterior a una recta es posible
trazar solo una recta paralela a la primera.
El quinto axioma siempre fue “problemático”
Primera situación de imposibilidad.
¿En realidad qué es el método axiomático?
Es un cuerpo de resultados donde la demostración de la validez o falsedad de cualquier
proposición se obtiene por medio de reglas lógicas a partir de un grupo de axiomas y de
otras proposiciones previamente demostradas.
Relación entre problemas geométricos y
algebraicos antes de R. Descartes.
Omar Khayyam (1048-1131) fue un matemático
persa que relacionó los problemas geométricos
con los planteamientos algebraicos.
Dibujar un triangulo rectángulo. Construir la
perpendicular desde el ángulo recto hasta la
hipotenusa. Si la longitud de esta perpendicular
más la longitud del lado más corto de triangulo
es igual a la longitud de la hipotenusa, entonces
el cociente entre el lado más corto del triangulo
y el siguiente más corto satisface la ecuación:
2x  2x  2x 1
3
2
Khayyam encontró una buena aproximación
para la solución:
x 
103
159
Niccolo Fontana (Tartaglia) (1500-1557)
Su sobrenombre se debe a su tartamudez provocada por una
herida que le produjo un soldado francés del ejercito de
Luis XII en la toma de su ciudad natal Brescia.
En lo que respecta a la fórmula para obtener las soluciones
de las ecuaciones de tercer grado tuvo una disputa similar a
la desarrollada por Newton y Leibnitz. Scipione del Ferro
era un notable matemático italiano que le pidió a Tartaglia
le enseñase la solución de cierto tipo especial de ecuaciones
de tercer grado. Tartaglia lo hizo bajo la promesa de que su
colega del Ferro no la haría publica. A la muerte de este
último, Antonio del Fiore, un discípulo de Scipione se hizo
de la fórmula reclamando para él su descubrimiento. La
disputa se dirimió por medio de un concurso, en el cual
cada contendiente debía de resolver 30 ecuaciones resueltas
por el otro. Los historiadores afirman que Tartaglia en un
esfuerzo excepcional, encontró la solución general el día
antes del duelo, venciendo a Del Ferro 30-0.
Mario Livio, “The equation that couldn’t be solved”, Simon & Schuster, 2005.
Girolamo Cardano (1501-1576)
Como muchos hombres del Renacimiento tenía intereses
muy amplios. Fue médico, matemático, astrologo, jugador
exitoso e inventor. Publicó 130 trabajos, dejo 111 libros sin
imprimir y se conoce que además desechó otros 170 por
considerarlos poco satisfactorios.
Uno de sus libros más famosos es Liber ludo alae, sin duda
el primer tratado de la teoría de las probabilidades, donde
por primera vez se habla de una caminata aleatoria.
En su obra Artis magnae sive de regulis algebraicis liber
unus aparece por primera vez la solución de las ecuaciones
de tercera y cuarto grado en general:
ax
3
 bx
2
 cx  d  0
ax
4
 bx
3
 cx
2
 dx  e  0
Cardano dejó abierto el camino para los trabajos de N. H. Abel y E. Galois casi 300 años
después.
Leonardo de Pisa o Fibonacci (1170-1250).
Su verdadero apellido era Bonacci (el fi es referido a
hijo. Era primogénito de un comerciante radicado en
la ciudad de Pisa que recorrió todo el norte de África
en función de sus negocios. Allí Leonardo que le
acompañaba entró en contacto con las matemáticas
árabes.
Alrededor del año 1200 publicó su libro más conocido
Liber Abacci. En el mismo aparece por primera vez la
famosa sucesión que lleva su nombre:
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ,.....
Solo casos particulares
Liber Abacci fue durante más de 300 años el libro más
reconocido de Matemáticas. En sus páginas se pueden
encontrar problemas de interés para los comerciantes
(cálculo de tasas de interés, por ejemplo), así como
problemas de índole más teórica como la solución de la
siguiente ecuación:
x  2 x  10 x  20
3
2
De la cual Fibonacci encontró la solución x=1.3688081078213726
¿Qué tienen de especial las
ecuaciones de quinto grado?
E. Galois (1811-1832)
N. H. Abel (1802-1829)
Los trabajos de Galois y Abel establecieron una base rigurosa para la formulación de las
simetrías, tan frecuentes en la naturaleza. De paso resolvió algunos viejos problemas
geométricos planteados en la Antigua Grecia y que aún no habían sido resueltos.
Fundación
del
Cálculo
Issac Newton (1642-1726)
G. W. Leibniz (1646-1716)
El cálculo diferencial e integral es sin duda la contribución intelectual más importante hecha
por nuestra civilización para la comprensión de los procesos naturales. Por primera vez en la
historia el concepto de movimiento entra a las ciencias de manera rigurosa. La extensión que
hicieron Newton y Leibniz del proceso de exhausión de Arquímedes abrió nuevas sendas en
la comprensión de muchos fenómenos naturales.
Pierre Simón Laplace (1749-1827)
Nació en Normandía y estudió en la Universidad de Caen
donde dos de sus profesores de matemáticas (Christophe
Gadbled and Pierre Le Canu) lo recomendaron al notable
matemático de la época J. D’Alembert. Este último fue su
mentor varios años y le propuso como profesor para la ya
famosa École Militaire de París. Allí, uno de sus más
aventajados alumnos fue Napoleón (¡!).
Laplace desarrolló la Mecánica de Newton publicando su
notable obra Méchanique Céleste. Estudio el problema de
la estabilidad de sistema solar, investigación que influyó
notablemente en varios aspectos de la futura teoría de los
sistemas dinámicos.
Publicó en 1812 su Théorie analytique des probabilités y
en 1814 apareció una versión de divulgación científica de
esta obra titulada Essai philosophique sur la théorie des
probabilités. En esta última obra aparece su famosa frase
acerca del determinismo.
Consecuencias del éxito de la Mecánica de Newton
 El determinismo laplaciano se extiende a todas las áreas del conocimiento.
Debemos considerar - decía Laplace- el estado presente del Universo como el efecto del
estado anterior y como la causa del estado que le siga. Una inteligencia que conociera
todas las fuerzas que actúan en la Naturaleza en un instante dado y las posiciones
momentáneas de todas las cosas del universo, sería capaz de abarcar en una sola fórmula
los movimientos de los cuerpos más grandes y de los átomos más livianos del mundo,
siempre que su intelecto fuera suficientemente poderoso como para someter a análisis todos
los datos; para ella nada sería incierto, y tanto el futuro como el pasado estarían presentes
a sus ojos.
Laplace influyó sobre A. Quetelet en sus ideas de la creación de una Física para
las Ciencias Sociales. L'homme et le développement de ses facultés, ou Essai de physique
sociale, 1835.
 El descubrimiento de J. Adams y U. Leverrier del planeta Neptuno en 1845.
 L. Walras intenta utilizar modelos provenientes de la Mecánica para entender
fenómenos económicos (equilibrios económicos v.s. equilibrios físicos, 1870-1892).
Este paradigma se rompe al menos en tres direcciones distintas
Poincaré fue un influyente matemático francés y uno de los
fundadores de la teoría de los sistemas dinámicos.
Su trabajo sobre el problema de los tres cuerpos le permitió
comprender la existencia de sistemas dinámicos caóticos, lo
cual lo puso casi 60 años antes de las investigaciones sobre
ese tema.
Fue un matemático polifacético obteniendo resultados muy
notables en cualquier área donde trabajo.
H. Poincaré (1854-1912)
http://faculty.ifmo.ru/butikov/Projects/Collection1.html
Hilbert es el matemático más influyente de la segunda mitad
del siglo XIX y la primera mitad del siglo XX. En el Congreso
Internacional de matemáticas que se celebro en París en 1900
propuso un grupo de 23 problemas cuya solución sería esencial
para la matemática del siglo que comenzaba.
El segundo de esos problemas era:
“Demostrar que los axiomas de la aritmética son consistentes”
Como veremos más adelante, este problema influyó mucho en
la pretensión de encontrar una axiomatización completa de la
matemática, de la cual Hilbert mismo era un entusiasta y muy
comprometido proponente.
De los problemas originales de Hilbert fue resuelto hace unos
David Hilbert (1862-1943) pocos años la llamada conjetura de Poincaré por el matemático
ruso M. Perelmann. Queda aún por resolver lo que se conoce
como la conjetura de Riemann, por la cual se ofrece en la
actualidad 1 millón de dólares por su solución.
Kurt Godel (1906-1978)
Todo sistema lógico formal que contenga la aritmética
de los números enteros, si es consistente, esto es, si no
existen resultados contradictorios dentro de él, entonces
tiene una proposición indecidible.
Creador de concepto de máquina de Turing 1937
Rompió el código Enigma de los nazis
Extendió los resultados de Godel
Pionero en la construcción de computadoras
Alan M. Turing (1912-1954)
El proceso de demostración matemática puede
ser interpretado como la ejecución de un
algoritmo. Por tanto probar una proposición es
equivalente a echar a nadar el programa de su
demostración. Se impone pues la siguiente
pregunta:
¿Cuándo se detiene un programa de computadora?
Representación de una Máquina de Turing
El problema de decidir cuando un programa
de computadora se detendrá es indecidible en
el sentido de Godel.
http://web.bvu.edu/faculty/schweller/Turing/Turing.html
:
G. Chaitin (1947-)
Probabilidad de que un programa de computadora
corriendo sobre una máquina universal de Turing se
detenga.
¡ Los dígitos de  son indecidibles !
La Matemática no puede ser una TOE (theory of everything)
Mecánica Cuántica
W. Heisenberg (1901-1976)
El principio de incertidumbre de Heisenberg es
la segunda de las formas en que se rompe la idea
original del determinismo y del alcance ilimitado
de las teorías físicas anteriores.
¡ Dios no juega a los dados !
A. Einstein (1879-1955)
E. N. Lorenz (1917-2008)
El trabajo de Lorenz hizo renacer las ideas de Poincare acerca de la falta de predictibilidad
en sistemas deterministas.
¿ Cómo se mide la complejidad ?
K ( c )  min
A. N. Kolmogorov (1903-1987)

 long ( ) , c  T ( )
El concepto de complejidad de Kolmogorov está
relacionado con la dificultad en la descripción
del objeto