Tema IV (Capítulos

Tema IV (Capítulos:
Tema IV
6,7, 14.2 de Física, P. A Tipler 4ª ed.
Energía cinética
5 y 6 de Física, Bauer y Westfall 1ª ed.
Trabajo de una fuerza. Potencia
¡Resuelve los ejemplos de las lecciones!
Energía potencial. Fuerzas conservativas
(gravitatoria, elástica).
Conservación de la energía mecánica.
Recordatorio: producto escalar de dos
vectores A y B
A ∙ B = A B cos φ= A Bproy = A proy B
=B∙A
p. conmutativa
(Ax i +Ay j+Az k) ∙ (Bx i +By j+Bz k)=
(Ax Bx + Ay By + Az Bz ) p. distributiva
en comp. cartesianas
i ∙i = j∙ j = k∙k=1
i ∙j = j ∙k = k ∙i =0
Motivación En los procesos físicos se produce
 intercambio de energía de unos objetos con otros,
conservación o transformación de un tipo de energía en otro (trabajo),
 conceptos: trabajo, energía mecánica, potencia….
leyes de conservación: alternativa a las leyes de Newton para resolver problemas
1
Energía cinética
 Energy contained in the motion of an object
 Definition
2
1
K = 2 mv
 Unit of kinetic energy:
[K]=[m][v]2 =M L2s-2
 This energy unit has received its own name,
Joule (J), named after British physicist James
Joule (1818-1889)
 Energy unit
1 J = 1 kg m 2 / s 2
 Useful conversion: 1 J = 1 N m
2
Trabajo elemental dw
de una fuerza F para producir el desplazamiento dr de una
partícula
dw = F · dr = Ft dr
siendo
Ft= F cosθ y dr =| dr |
Movimiento en una dimensión y
wAB= ∫AB F ∙ dr
F constante en todo el camino:
W =Fx ∆x = F cos θ ∆x
trabajo finito de A hasta B por
el camino indicado en la figura
𝑥2
𝑊1→2 = � 𝐹𝑥 𝑑𝑥
𝑥1
Trabajo equivale a la energía transferida hacia un objeto (trabajo +)
o sustraída de un objeto (trabajo −) debido a la acción de una fuerza sobre él
El ángulo θ juega un papel importante. El trabajo puede ser cero aunque ni la
fuerza ni el desplazamiento lo sean. Ejemplo: la tensión en una cuerda que mantiene
girando en uno de sus extremos una piedra, no produce trabajo sobre ella.
3
Teorema Trabajo−Energía cinética
Trabajo transferido a una partícula en un desplazamiento elemental dr :
dwneto = Fneta· dr = Fneta· v dt
siendo dr el desplazamiento producido en dt y v la velocidad, entonces:
dw = F • v dt = m a • v dt = m
dv
• v dt = mv • d v
dt
Puesto que F=ma y a = dv/dt .
Por tanto, el trabajo transferido a lo largo de un camino finito de a hasta b
b
vb
a
va
w = ∫ dw = ∫
b
a
1 2 1 2
mv • d v = mvb − mva
2
2
El trabajo realizado por la fuerza NETA que actúa sobre una partícula que sufre
un desplazamiento es igual al cambio que se ha producido en la energía cinética
de la partícula debido a ese desplazamiento. (Teorema trabajo-energía cinética)
Trabajo equivale a una transferencia de energía
Unidad de trabajo en el SI: 1 Julio = 1 N x 1 m = 1N.m Ecuación de dimensiones:
[w]=[F][r]=MLT-2L= ML2 T-2
4
Potencia suministrada por una fuerza F
P= dw/dt = F· dr/dt = F· v
Unidad de potencia en el SI: 1 Watio = 1 J / 1 s = 1 J/s
2
-2
2
-3
Ecuación de dimensiones: [P]= [w] / [t] = ML T / T= ML T
Energía potencial (U)
Asociada a la posición del objeto en un campo de fuerzas conservativo Fc
Fcx = − dU(x)/dx (en una dimensión x).
dU(x)= − Fcx · dx
La variación de U, dU, es el trabajo, cambiado de signo, de la fuerza Fc producido en
el desplazamiento dx. Ejemplos:
Una masa que se eleva una altura (U gravitacional)
Una carga eléctrica que se acerca a otra (U electrostática)
Una masa sujeta a un muelle que se comprime (U elástica)
En tres dimensiones,
Energía
Fc = − ∇U=−(∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z) ec. vectorial
potencial gravitatoria
(cerca de la
superficie de la Tierra)
Un objeto de masa
m
levantado una altura
∆y adquiere una energía potencial ∆U como
resultado del trabajo W negativo efectuado
=mg
por la fuerza gravitatoria
mg =− mg j:
W = ∫1→2 − mg j ·dy j=− mg ∆y
Por tanto, ∆U= mg ∆y
Mientras, la fuerza aplicada F = mg j realiza
un trabajo WF = −W
∆y
de manera que
Wneto = W +WF =0 = ∆Ec
5
 El objeto no ha adquirido energía cinética pero ha acumulado energía potencial U:
El cambio dU es el trabajo elemental del peso (cambiado de signo) cuando la masa
m se desplaza un dy
dU = −dW = −mg · dy = mgj dy
en un desplazamiento finito ∆y el cambio de U es
∆U = Ufinal − Uinicial = mg (yfinal − yinicial )= mg∆y
Cuando la fuerza gravitatoria hace el trabajo espontáneamente (trabajo positivo
mg· dy>0), entonces la energía potencial disminuye (dU <0)
 La energía potencial Ugravitatoria es compartida por la Tierra y el objeto m
!!
Es el cambio de la energía potencial, ∆U, y no su valor absoluto,
interés. En los procesos físicos, medimos diferencias de
La asignación
U, lo que tiene
energía potencial ∆U.
U =0 a un estado concreto del sistema es “arbitraria”:
si U1(x)=U(x) +cte, las dos funciones U1(x) y U(x) tienen la misma derivada y, por
tanto, tienen asociada la misma fuerza conservativa.
 la energía y el trabajo tienen la misma ecuación de dimensiones y las mismas
2
-2
unidades: [U]=[W]=ML T
Conservación de la energía mecánica. Ejemplo 1: Solo actúa el peso.
El objeto cae libremente (sube o baja) bajo la acción de la fuerza gravitatoria que es
conservativa, recorre una trayectoria de la cual nos fijamos en dos puntos
cualesquiera: 1 y 2
W 12 = ∆Ec = Ec2 − Ec1 (teorema trabajo-energía cinética)
W 12 =− ∆U= − (U2grav − U1grav)
Entonces la suma Ec2 + U2grav = Ec1 +U1grav es la misma en cada punto de la
trayectoria ⇒ E≡ Ec +Ugrav =constante
( E es la energía mecánica ) ½ mv2+mgy=cte
6
Energía potencial elástica
El objeto se desplaza lentamente hacia la derecha por acción de una fuerza aplicada
sobre él, equilibrada constantemente por la fuerza elástica, arrastrando consigo el
extremo derecho del muelle de manera que el muelle se estira almacenando una
energía potencial elástica. Sea
equilibrio.
x
el vector de posición del objeto respecto del
En un desplazamiento
dx,
como resultado del trabajo
dW< 0
efectuado por la fuerza elástica, el muelle acumula dU>0 :
dU= −Felástica ∙ dx = k x ∙ dx 
∆U = ½ k x2 = −Welástico
Se ha elegido U=0 cuando x=0
W fuerza aplicada = − W fuerza elástica  Wneto =0 = ∆Ec
 El objeto, en el extremo del muelle, no ha adquirido energía cinética pero ha
acumulado energía potencial.
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Conservación de la energía mecánica. Ejemplo2: Solo actúa la fuerza elástica
El objeto unido al extremo de un muelle se mueve bajo la acción de la fuerza elástica
conservativa que ejerce el resorte sobre el objeto, recorre una trayectoria de la cual
nos fijamos en dos puntos qualesquiera: 1 y 2
W 12 = ∆Ec = −∆Uelástica
entonces
Ec2 + U2elástica = Ec1 +U1elástica ⇒
E= Ec +Uelástica =constante
½ mv2+ ½ kx2=cte
T
El objeto describe un movimiento armónico simple (debido a la fuerza elástica)
x = A cos φ
v = − Aω sen φ
( recuerda que ω2 = k/m)
-Kx
U = ½ kx2 = ½ KA2 cos2φ
Ec =1/2 mv2 = ½ A2ω2 sen2φ = ½ K A2 sen2φ
E = Uel + Ec = ½ K A2 (sen2φ + cos2φ) = ½ K A2 (constante)
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 Fuerza conservativa y energía potencial F = − dU/dx
x
Cuando el trabajo realizado por una fuerza puede expresarse como la diferencia
entre los valores inicial y final de una función energía potencial ( no depende de
la trayectoria sino sólo de los puntos inicial y final de la misma) la fuerza se dice
que es conservativa.
Si la trayectoria es una curva cerrada, el trabajo es cero.
Existe una función
potencial tal que
U llamada
energía
dU = −F ∙ dr
en 1 dim, Fx = −dU/dx
Conservación de la energía mecánica
(resumen)
∆U=(U1 – U2)AóB = W12
E mecánica = E cinética + E potencial
(E = Ec + U)
•Cuando la fuerza es conservativa la energía mecánica se conserva.
W12 (conserv.) = T2 − T1= U1 − U2  W = ∆T
T2+U2= T1+U1= cte
= −∆U 
∆(T + U) =0
•Cuando hay fuerza conservativa y fuerza no conservativa
Wtotal = W (conserv.) + W (no conserv.) = T2
− T1= U1 − U2 + W (no conserv.)
⇒ T1+U1 + W (no conserv.) = T2 + U2 ⇒
la energía mecánica no se conserva
∆(T + U) = W (no conserv.) ≠ 0
Ejemplo (ej.11 de hoja prob. 4)
9
 Fuerza conservativa y energía potencial GRÁFICOS (F = − dU/dx)
ej. 12, T4
16
U(X)/J
12
8
U(X)/J 30
F(X)/N
4
20
0
-3
-2
-1
0
X/m
1
2
3
10
0
-10
-20
-30
-3
-2
-1
0
1
2
3
X/m
10
14
12
U(x)/J
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-2
0
2
4
x/m
Ej.13 T 4
11