Para empezar Los números I

Los números I
1
Para empezar
Cuentalahistoriaquelafalange macedonia,elfamoso
einvencibleejércitodeAlejandroMagno,infundíatemorasusenemigosconsusolapresencia.
Lossoldadosavanzabanporelcampodebatallaen
formacionesrectangulares.
Cadafilade16hoplitas,comosellamabanlossoldadosdeinfantería,componíalacuartapartedeunatetrarquia,quea
suvezeralacuartapartedeunsyntagma,ylafalangeestabaconformadapor64deestos.
¿Cuántoshoplitascomponíanunafalange?
LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
1 Completa con  si el número pertenece al conjunto numérico y con - en caso
contrario.
¥
-
¢
-
¤

I
-
¡

−11,2 -999
π
1
1
43
-
1
4
1,11…
2 Indica si cada afirmación es verdadera o falsa.
a. Un número con infinitas cifras decimales puede ser racional o irracional.
b. Los números enteros pueden ser racionales o irracionales.
c. Hay números que son enteros y racionales.
d. Hay números que son racionales e irracionales.
e. Todos los racionales tienen expresión decimal exacta.
6
-π
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

7, 64
RACIONALES E IRRACIONALES
3 Hoy Javi y Matías aprendieron que hay números irracionales, como π, que no se
pueden expresar como una fracción porque tienen infinitas cifras decimales no
periódicas.
¡Mira! Inventé este que también
¿Se te ocurre otro?
es irracional porque se forma
escribiendo después de la coma
todos los números naturales.
a. Descubre la regla de formación de estos irracionales y escribe las próximas
10 cifras.
1,01001000100001… →
3,579111315171921… →
–3,1121231234… →
0,112233111222333… →
b. Inventa otros dos números irracionales; escríbelos en tu cuaderno y explica
cómo se forman.
4
Analiza estos números y ubícalos en la casilla correspondiente.
4
3
-8
0,151515…
18
3
9
45
2,197
- 2
Racionales
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
Irracionales
5
Ordena cada terna de números de menor a mayor.

a. 3, 4641; 12; 3, 4641
; 2, 6457513; 7
b. 2, 6457513

c. 13; 3, 60555; 3, 605
6 Si ubicaras los números del ejercicio 1 en una recta numérica, ¿cuál quedaría
más a la izquierda?
7
7 a. Muestra cinco números racionales entre -2 y
3 . ¿Podrías nombrar más?
b. Escribe cinco números irracionales mayores que -2 y menores que
c. ¿Puedes nombrar cinco números enteros entre -2 y
3.
3 ? ¿Y naturales?
8 ¿Quiénes tienen razón? ¿Por qué?
Entre 3 y 4 no hay
ningún número.
Daniel
Sí, hay, pero ninguno
es natural.
Hay infinitos, y todos
racionales.
Marcelo
Carla
9 Cuando sea posible, escribe lo que se pide; cuando no lo sea, explica por qué.
a. Un número racional comprendido entre
13 18
y
.
5
4
c. Un número irracional comprendido entre 2 y 5.
d. El menor racional que sea mayor que 1.
8
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
 y 0,97.
b. Un número racional comprendido entre 0, 96
APROXIMACIONES
10 Completa la tabla con las aproximaciones indicadas.
Redondeo
Número
A los
centésimos
A los milésimos
Truncamiento
A los
centésimos
A los milésimos
1,23458
2,7

4, 3
5

1, 8
11 Escribe un número que cumpla con lo pedido en cada caso.
a. Al redondearlo y truncarlo a los décimos, da el mismo resultado.
b. Al redondearlo a los centésimos, da como resultado 5,87.
c. Al truncarlo a los décimos, da como resultado 0,7.
12
Desde chico usabas π como 3,14. Ahora sabes que es irracional y sus primeras cifras son: 3,14159265358979323846264338327…
a. ¿La aproximación que usaste hasta ahora se hizo por redondeo o truncamiento? ¿Por qué?
b. ¿Qué valor muestra tu calculadora? ¿Cómo lo aproxima?
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c. Compara el valor que da tu calculadora con el que dan las de tus compañeros.
¿Todas aproximan igual? Prueba con otros números.
13
Si en un pentágono regular se trazan las diagonales,
el cociente entre una diagonal y un lado es otro número
irracional, Phi (se lee fi): Φ =
1+ 5
.
2
Aproxímalo a los centésimos y a los milésimos por redondeo y truncamiento.
9
2
0,010203040506…
1– 5
I (irracionales)
¡ (reales)
¥ (naturales)
¢ (enteros)
¤ (racionales)
Todos los racionales y todos los irracionales son númerosreales.
Recuerda que incluídos en los racionales están los enteros, y
en los enteros, los naturales.
π
• Entre dos números de distinto signo, siempre es mayor el
positivo.
• Si tienen igual signo y son racionales, podemos buscar fraccionesequivalentes o comparar sus expresionesdecimales.
• Y si alguno es irracional debemos comparar sus expresiones
decimales.
Los números racionales son todos los que se pueden expre5 3
,=1−
sar como
una fracción. Son racionales los números −5
, 54,=
4
– 1, 3 = – 1 2
– 1, 3,=
– pues:
y7
3
3
4
7
21
5
3
7= −21
– 1, 3 = –
7= =
−
5
1
,
5
=
7= = 1
3
1
3
2
3
1
7
21
7= =
1
3
Los números irracionales no se pueden expresar como una
fracción, tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
7
7
, pues 2 ≈ 1, 41421 y = 1, 4.
5
5
Portruncamiento
Porredondeo
…centésimos
–4,85
–4,85
Para aproximar –4,853, hacemos así:
A los…
…décimos
–4,8
–4,9
…enteros
–4
–5
•Por redondeo: para hacerlo a una posición determinada. Se
mira la siguiente cifra decimal. Si esta es mayor o igual a 5,
la cifra de la posición considerada se aumenta en 1; de lo
contrario se deja igual.
•Por truncamiento: suprimimos las cifras ubicadas a la derecha
de la posición elegida para cortar (unidades, décimos, centésimos, etcétera).
Aproximaciones
2>
3
3
9
2 10
9
10
2
=
y =
; como < , entonces < ,
5 15 3 15
15
15
5
3

o bien 0, 6 < 0, 6 .
–2,3 < 0 < 1,8
Comparación
Números reales
Para recordar
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18
72
=–
= −0, 72
25
100
Expresión periódica pura
Expresión periódica mixta
4
18
− = −1, 3 = −1, 333... −
= −0, 69
23076
26
3
Si los restos comienzan a repetirse a partir de alguno, la
expresióndecimalesperiódica, surestonuncaseránulo;
las cifras decimales que se repiten en el cociente forman
el período(se marca con un arquito o se escribe tres veces
seguido de puntos suspensivos). Hay expresiones decimales
periódicas puras(el período comienza después de la coma)y
mixtas(el período sigue a una o más cifras no periódicas).
−
Cualquier fracción se puede escribir con una expresión
decimal, alcanza con dividir el numerador por el denominador.
Al hacerlo, puede ocurrir que se obtenga resto0; en ese caso
la expresióndecimalesexacta (es un númerodecimal).La
fracción de la que este proviene es unafraccióndecimal.
Fracciones y expresiones decimales
0, 000000018 = 1, 8 ⋅ 10−8
Un 9 por cada decimal del periódico y un 0 por
cada decimal del anteperíodo.
= 1257 − 12 = 1245
1, 257
990
990
Todo el número sin coma y sin el símbolo del período MENOS lo que queda de ese número si se le
tacha la parte periódica.

Periódicapura → 0, 888... = 0, 8 .
0,888… · 10 =
8,888…
–
–
0,888… =
0,888…
8
0,888… · 9 =
8
entonces 0,888… = .
9

Periódicamixta→ 2, 1777... = 2, 17 .
2,1777… · 100 = 217,777…
–
–
2,1777… · 10 =
21,777…
 196
.
2,1777… · 90 = 217 – 21 = 196, o sea, 2, 17 =
90
1257 − 12 1245
=
O usar esta regla, para escribir el 1, 257
como fracción=se
990
990
procede así:
Si se quiere escribir una expresión decimal periódica como
fracción, se puede hacer así:
Escribir una expresión decimal exacta como fracción es muy
sencillo:
1107
32 16
105
21
1,107 =
3, 2 =
=
−1, 05 = −
=−
1000
10
5
100
20
Para expresar un número en notación científica hay que descomponerlo como producto de un número decimal mayor o
igual que 1 y menor que 10 por una potencia de 10.
2 750 000 = 2, 75 ⋅ 106
Pasaje de decimal a fracción
Notación científica
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15
Más actividades
15
29 Indica verdadero o falso según corresponda. En
el caso de las opciones que consideres falsas,
justifica por qué.
a. El número 8 es racional.
b. π es racional.
c. -24 = 24 y -(-5)2 = 25.
d. Todo número negativo es entero.
e. El único número mayor que 2,4 y menor que
2,6 es 2,5.
30 a. ¿Cuántas fracciones con denominador 3 hay
entre 5 y 6? ¿Cuáles son?
b. ¿Y con denominador 2? ¿Cuáles?
c. ¿Y con denominador 7?
31 a. ¿Hay alguna fracción con denominador 3 que
1 2
y ?
se encuentre entre
9 3
b. ¿Y con denominador 2?
32 Si es posible, escribe un número que cumpla con
lo pedido en cada caso.
a. Un irracional que esté entre 2 y 2.
b. Un racional que esté entre
c. Un entero que esté entre
2 y 2.
2 y 2.
d. Un número real que esté entre
2 y 2.
33 Observa los siguientes números racionales. Indica cómo se forman y encuentra la cifra que ocupa
el lugar 100 en la expresión decimal.
a. 2,34343434…
b. 5,2051051051051…
c. 0,1234123412341234…
16
34 Descubre una regla de formación de los siguientes números irracionales.
a. 2,4681012141618…
b. 0,102003000400005…
c. 0,31323334…
d. 2,52552255522255552222…
e. 2,52522522252222…
35 Escribe estos números racionales como fracciones.
a. 2,555…
b. 2,55
c. 2,52
d. 2,5222…
e. 2,52555…
f. 2,525252…
 ; -5 y
36 Escribe el inverso y el opuesto de 0, 407
-4,5.

37 a. ¿Es verdad que para dividir por 0, 3 se puede
multiplicar por 3? ¿Por qué?

b. ¿Y que para dividir por 0, 4 hay que multiplicar
por 4? ¿Por qué?
38 ¿Es verdad que dividir por 11 es lo mismo que
 ? ¿Por qué?
multiplicar por 0, 09
39
En el siglo
iii
a.C. Arquímedes dio como
aproximación del número π la fracción
22
.
7
a. Redondea ambos números a los milésimos y
compara los resultados. ¿Qué observas?
b. ¿Y si los redondeas a las centésimas?
40 Un local comercial ocupa una superficie de
117,13 m2 y su depósito, otra de 73,65 m2. Redondea y trunca la superficie de cada uno a la unidad, e indica qué aproximación es más precisa.
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28Escribe a qué conjuntos numéricos pertenecen
los siguientes números; luego, ordénalos de menor a mayor:
 ; - 4 y - 2.
0,232233222333…; -6; -0, 456
41
42
a. Un nanómetro (nm) es la milmillonésima
parte del metro. La longitud de una molécula
de pentaceno es de 1,4 nm. Expresa esta medida en metros y después escríbela en notación científica.
b. Si se pudiesen alinear las moléculas de pentaceno, ¿cuántas se necesitarían para alcanzar
una longitud de 1 cm?
Según la teoría del big bang, la edad del
universo es de unos trece mil seiscientos millones de años.
a. Escribe esta cantidad en notación científica.
b. ¿Cuántas horas de vida tiene el universo,
aproximadamente?
43 Calcula y escribe el resultado en notación
científica.
a. (1,4 ⋅ 10 3 ) ⋅ (9,85 ⋅ 107 )
b. (5,74 ⋅ 10 –9 ) ⋅ (4,5 ⋅ 106 )
c. (2,52 ⋅ 105 ) : (4,8 ⋅ 10 –8 )
d. (3,034 ⋅ 10 –6 ) : (3,7 ⋅ 107 )
44 En la secuencia 1; 4; 9; 16; ...
a. ¿Qué número ocupa el lugar 10?
b. ¿Y el lugar 40?
c. ¿Qué lugar ocupa el número 625?
Autoevaluación
1 Investiga la verdad o falsedad de las siguientes expresiones.
d. − 8 ∈ Ι
a. −25 ∈ ¤
b. −
3
∈Ι
5
e.
16
∈¢
49
c.
64
∈¤
125
f.
7 ∈¤
3
© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
2 ¿Cuáles de estas expresiones representan el mismo número? ¿Por qué?
a. 2 ⋅ 10−3
0, 002
0, 23
0,2%
2 ⋅ 0, 13

b. 1, 3
13
9
1, 33
4
3
1, 33333...
2%
3 La razón entre la medida de la diagonal D y la medida del lado l de un cuadrado es el
número irracional 2 .
Verifica que la aproximación por redondeo y por truncamiento a los centésimos son
iguales.
D
l
17