actividades finales

Soluciones unidad 5. Trabajo y Energía 4º ESO
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SOLUCIONES UNIDAD 5. TRABAJO Y ENERGÍA
¿QUÉ SABES DE ESTO?
1. Describe las diferentes transformaciones de la energía que se realizan cuando una niña se
sube a un tobogán y se desliza por él.
Al subir por la escalera del tobogán, la persona transforma la energía almacenada en los alimentos y
realiza un trabajo para colocar a su cuerpo a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra. Este
trabajo se almacena en forma de energía potencial gravitatoria. Al deslizarse, la energía potencial
gravitatoria se transforma en forma de energía cinética y en forma de calor por fricción con la
superficie del tobogán.
2. Una bola que se lanza por una superficie acaba por detenerse. )Qué ocurre con la energía
cinética asociada al movimiento del objeto?
La energía cinética se transforma y se degrada en forma de calor con el entorno, debido a la
fricción.
3. )Por qué se dice que un automóvil de fórmula 1 es más potente que un turismo?
Un automóvil es tanto más potente cuanto antes alcance una determinada velocidad.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1. Indica si en las siguientes actividades se realiza trabajo o solamente esfuerzo: levantar una
mochila desde el suelo hasta la espalda, sostener la mochila mientras llega la hora de clase,
pasearse por el pasillo con la mochila a la espalda, subir las escalares, bajar las escaleras,
descargarse la mochila hasta el suelo.
Se realiza trabajo al levantar una mochila desde el suelo hasta la espalda, al subir las escalares, al
bajarlas y al descargarse la mochila hasta el suelo.
Al sostener la mochila mientras llega la hora de clase no se realiza trabajo, ya que la fuerza no se
desplaza. Tampoco se realiza trabajo al pasearse por el pasillo con la mochila a la espalda, ya que la
fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento.
2. Justifica que la unidad de energía cinética en el SI es el julio.
Aplicando la definición de energía cinética: Ec = 2 m v2, resulta que:
kg (m/s)2 = kg m/s2 m = N m = J
3. ¿Cuál es la energía asociada a un automóvil de 1200 kg de masa que se traslada con una
velocidad de 72 km/h?
La velocidad en unidades del SI es: v = 72 km/h = 20 m/s
Aplicando la definición de energía cinética:
Ec = ½ · m · v2 = ½ · 1 200 kg · (20 m/s)2 = 480 000 J
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4. Deduce la relación entre las energías cinéticas asociadas a un objeto cuando se duplica su
velocidad.
La energía cinética asociada a un objeto de masa m es: Ec = 2 m v2
Si la velocidad se duplica: v= = 2 v, la energía cinética asociada al cuerpo se multiplica por cuatro.
En efecto: E=c = 2 m v=2 = 2 m (2 v)2 = 2 m 4 v2 = 4 Ec
5. Justifica que la unidad de energía potencial gravitatoria en el SI es el julio.
De la definición de energía potencial gravitatoria: Ep = m g h, se deduce que:
kg m/s2 m = N m = J
6. Se tiene un objeto de 1 kg de masa sobre el suelo y se desea colocarlo sobre una mesa que
tiene una altura de 1 m. Calcula el módulo de la fuerza necesaria para elevarlo. ¿Qué trabajo
realiza esta fuerza? Calcula la energía potencial gravitatoria asociada al objeto en el suelo y
encima de la mesa. ¿Cuánto vale la variación de la energía potencial gravitatoria?
El módulo de la fuerza es igual al peso: F = P = m · g = 1 kg · 9,8 m/s2 = 9,8 N
Aplicando la definición de trabajo, resulta que:
WF = F · Δh · cos 0º = 9,8 N · 1 m · 1 = 9,8 J
Eligiendo como origen del sistema de referencia el suelo, resulta que las energía potenciales son:
Ep, suelo = m · g · hsuelo = 1 kg · 9,8 m/s2 · 0 m = 0 J
Ep, mesa = m · g · hmesa = 1 kg · 9,8 m/s2 · 1 m = 9,8 J
Su variación es: ΔEp = Ep, mesa – Ep, suelo = 9,8 J – 0 J = 9,8 J
7. ¿Tiene energía potencial gravitatoria un objeto situado en el fondo de un hoyo?
A un objeto dentro de un hoyo se le puede asignar una energía potencial gravitatoria respecto del
fondo de otro pozo más profundo que se elija como origen de referencia.
8. Clasifica las palancas de la figura y dibuja las
fuerzas motrices y resistentes.
Son palancas de primer género: tijeras, palanca,
martillo, abre botellas y de tercer género: pinzas, brazo.
9. Justifica que la unidad de medida de la energía eléctrica kW h es una unidad de energía y
no de potencia y expresa su equivalencia en julios.
Teniendo en cuenta la definición de vatio: 1 kW h = 1 000 J/s 3 600 s = 3 600 000 J
10. Calcula la potencia que desarrolla una persona que eleva paquetes de 75 kg de masa a 1 m
de altura en 1 s. Expresa esa cantidad en CV (1 CV = 735 W).
La fuerza con la que actúa la persona es igual al peso de cada paquete y el trabajo que realiza al
elevar cada uno es:
WF = F · Δh = m · g · Δh = 75 kg · 9,8 m/s2 · 1 m = 735 J
Y la potencia que desarrolla es: P 
WF 735J
1CV

 735W  735W
 1CV
t
1s
735W
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ACTIVIDADES FINALES
1. Indica si en las siguientes actividades se realiza trabajo o solamente esfuerzo: subir unas
escaleras, empujar una pared, colocar un libro en una estantería, transportar un paquete por
una calle horizontal, dejar un libro desde una mesa al suelo.
En una transformación se realiza trabajo cuando una fuerza provoca una deformación y/o el
desplazamiento de un objeto.
Al empujar una pared no hay desplazamiento, luego no se realiza trabajo. Al transportar un paquete
por una calle horizontal la fuerza es perpendicular al desplazamiento, luego no se realiza trabajo. Al
subir unas escaleras, colocar un libro en una estantería o dejar un libro desde una mesa al suelo
actúa una fuerza que produce un desplazamiento, luego en los tres casos se realiza trabajo.
2. Identifica las transformaciones de la energía que se realizan durante un salto con una
pértiga.
El atleta al correr transforma la energía que almacenan los alimentos por energía cinética. Al
elevarse se transforma la energía cinética en energía potencial elástica de la pértiga, que
posteriormente se transforma en forma de energía potencial gravitatoria del atleta. Al caer, la
energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética, que al golpear contra la colchoneta
se transforma en forma de energía elástica de la colchoneta y en forma de calor con el entorno.
3. ¿Cuándo se realiza más trabajo al subir a una montaña: campo a través o siguiendo una
carretera?
El trabajo realizado en ambos casos es el mismo, la variación de la energía potencial solo depende
de la diferencia de alturas y no de la trayectoria que sigue un objeto.
4. Deduce que para un objeto que se deja caer con velocidad inicial igual a cero y desde una
altura h, su velocidad en el suelo es: v = 2 · g ·h .
La única fuerza que actúa sobre un objeto que cae es su peso y, por tanto, se conserva su energía
mecánica. Aplicando la ley de conservación de la energía mecánica entre el punto desde el que se
deja caer y el suelo y eligiendo como nivel de referencia de la energía potencial el suelo, se tiene:
ΔEc + ΔEp = 0; 2 m v2suelo - m g h = 0  vsuelo = 2 · g ·h
5. Calcula la energía cinética de un objeto de 5 kg de masa cuando lleva una velocidad de 4
m/s.
Aplicando la definición de energía cinética: EC = ½ · m · v2 = ½ · 5 kg · (4 m/s)2 = 40 J
6. ¿Cuál es la velocidad de un objeto de 7 kg de masa que tiene una energía cinética de 56 J?
Aplicando la definición de energía cinética: EC = ½ · m · v2; 56 J = ½ · 7 kg · v2; v = 4 m/s
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7. Sobre un objeto 4 kg de masa, que inicialmente está en
reposo, actúa una fuerza de intensidad variable en la misma
dirección y sentido que su movimiento. La magnitud de la
fuerza está representada en la gráfica adjunta. Determina la
velocidad del objeto al dejar de actuar la fuerza.
El trabajo que realiza una fuerza variable es igual al área encerrada por la curva de la representación
gráfica fuerza frente al desplazamiento y el eje de abscisas.
WF = área triángulo + área rectángulo = 2 10 m 8 N + 5 m 8 N = 80 J
El trabajo que realiza la fuerza resultante se emplea en modificar la energía cinética del objeto.
WFresultante = ΔEc = 2 m v2 ; 80 J = 2 4 kg v2 v = 6,3 m/s
En el instante de que deje de actuar la fuerza el cuerpo continúa con velocidad constante y en línea
recta.
8. Un embalse contiene 50 hm3 de agua a una altura media de 20 m sobre el cauce de un río.
Calcula la energía potencial gravitatoria asociada al agua del embalse.
El volumen de agua embalsada es: V = 50 hm3 106 m3/hm3 = 50 106 m3
La densidad del agua es: d = 1 kg/L = 1000 kg/m3
La masa del agua embalsada es: m = d V = 1000 kg/m3 50 106m3 = 50 109 kg
La energía potencial gravitatoria asociada al agua embalsada respecto del cauce del río es:
Ep = m g h = 50 109 kg 9,8 m/s2 20 m = 9,8 1012 J
9. Deduce desde qué altura hay que dejar caer un automóvil para que la violencia del choque
contra el suelo sea equivalente a la del mismo vehículo que choca contra un muro de
hormigón cuando se mueve con una velocidad de 120 km/h.
Expresando la velocidad en el S.I.: v = 120 km/h = 33,3 m/s
El impacto tiene la misma violencia cuando las energías asociadas a los dos casos sean iguales. Por
tanto, hay que calcular la distancia desde la que hay que soltar un automóvil para que la velocidad
en el suelo sea igual a 33,3 m/s.
La única fuerza que actúa sobre un objeto que cae es su peso y, por tanto, se conserva su energía
mecánica. Aplicando la ley de la conservación de la energía mecánica entre el punto desde el que se
deja caer y el suelo y eligiendo como nivel de referencia de la energía potencial el suelo, se tiene:
ΔEc + ΔEp = 0; (2 m v2suelo – 0) + (0 - m g h) = 0
Sustituyendo: 2 (33,3 m/s)2 = 9,8 m/s2 h
h = 56,6 m
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10. Un balón se lanza verticalmente desde el suelo y hacia arriba con una velocidad de 8 m/s.
¿Hasta qué altura sube? Calcula su velocidad cuando está a 2 m del suelo. ¿A qué altura
estará cuando su velocidad sea 4 m/s?
La única fuerza que actúa sobre el balón es su peso y por ello se conserva su
energía mecánica durante todo el recorrido. Se elige como origen de energía
potencial gravitatoria el suelo.
ΔEc + ΔEp = 0
a) La energía cinética en el suelo se transforma en energía potencial gravitatoria.
Ec suelo + Ep suelo = Ec arriba + Ep arriba
½ ·m · v2suelo + 0 = 0 + m · g · h; ½ · (8 m/s)2 = 9,8 m/s2 · h  h = 3,26 m
v=0
h

v0
b) Un parte de la energía cinética se transforma en energía potencial gravitatoria.
Ec suelo + Ep suelo = Ec 2m + Ep 2m
½ ·m · v2suelo + 0 = ½ · m · v2 + m · g · h; ½ · (8 m/s)2 = ½ · v2 + 9,8 m/s2 · 2 m  v = 5 m/s
c) De igual forma: Ec suelo + Ep suelo = Ec + Ep
½ ·m · v2suelo + 0 = ½ · m · v2 + m · g · h; ½ · (8 m/s)2 = ½ · (4 m/s)2 + 9,8 m/s2 · h  v = 2,45 m/s
11. Desde una terraza situada a 4 m del suelo se lanza verticalmente y hacia arriba una pelota
de tenis, de 55 g de masa, con una velocidad de 8 m/s. Calcula la velocidad cuando llega al
suelo de la calle. ¿Cómo se modifica esta velocidad si la pelota se lanza con la misma velocidad
pero hacia abajo?
Una vez que la pelota abandona la mano, solamente actúa sobre ella su peso.
Aplicando la ley de la conservación de la energía mecánica entre el punto de
lanzamiento, posición 1, y el suelo, posición 2, resulta que:
ΔEc + ΔEp = 0; Ec, 1 + Ep, 1 = Ec, 2 + Ep, 2
Operando: 2 m v02 + m g hlanzamiento = 2 m vsuelo2 + m g hsuelo
Simplificado: vsuelo2 = v02 + 2 g (hlanzamiento - hsuelo)
Y como: hlanzamiento - hsuelo = h
vsuelo =
2
vo + 2 · g · h
Sustituyendo: vsuelo = (8 m/s)2 + 2 · 9,8 m/ s2 · 4 m = 12 m/s
b) El término v02 es siempre positivo y por ello es independiente del signo de la velocidad de
lanzamiento, es decir independiente de si el lanzamiento es hacia arriba o hacia abajo.
12. Un péndulo consta de una esfera de 250 g de masa y una cuerda de 1 m de longitud que
cuelga de un soporte. Calcula el trabajo realizado para separar al objeto lateralmente de la
vertical una altura de 50 cm, manteniendo la cuerda tensa. Determina la velocidad de la
esfera cuando está a una altura de 10 cm sobre el punto más bajo de la trayectoria. Calcula la
velocidad de la bola al pasar por el punto más bajo de la trayectoria.
a) En este caso solamente hay variación de la posición respecto de la Tierra.
Aplicando la ley de la energía potencial: el trabajo que realiza la fuerza externa
es igual a la variación de la energía potencial gravitatoria de la esfera.
WF = ΔEp = m g Δh = 0,250 kg 9,8 m/s2 0,5 m = 1,225 J
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b) Al dejar el sistema en libertad, las fuerzas que actúan son su peso y la tensión de la cuerda que
obliga a la esfera a describir una trayectoria circular. La tensión de la cuerda es siempre
perpendicular a la trayectoria y por tanto no realiza trabajo alguno. Por ello la energía mecánica
asociada a la esfera se conserva a la largo de toda la trayectoria.
Aplicando la ley de la conservación de la energía mecánica entre la posición inicial y el punto
situado a 10 cm de la posición más baja de la trayectoria y eligiendo el punto más bajo de la
trayectoria como nivel de referencia de la energía potencial gravitatoria, se tiene:
ΔEc + ΔEp = 0; Ec, 1 + Ep, 1 = Ec,2 + Ep, 2 m g h1 = 2 m v22 + m g h2
Despejando: v = 2 · g · (h1 - h2) = 2 · 9,8 m/ s2 · (0,5 m - 0,1m) = 2,8 m/s
d) Aplicando la ley de la conservación de la energía mecánica entre las dos posiciones:
ΔEc + ΔEp = 0; Ec, 1 + Ep, 1 = Ec, 3 + Ep, 3; m g h1 = 2 m v32
Despejando: v = 2 · g ·h1 = 2 · 9,8 m/ s2 · 0,5 m = 3,13m/s
13. Dos objetos de masas m1 = 4 kg y m2 = 4,1 kg están unidos a los extremos de una cuerda
ligera que pasa por la garganta de una polea exenta de rozamiento. Inicialmente los objetos
están a la misma altura sobre el suelo y se deja evolucionar al sistema. Calcula la velocidad de
cada uno de ellos cuando están separados por una distancia de 2 m.
Al liberar el sistema, los dos objetos se aceleran aumentando
continuamente su velocidad. Ambos tienen la misma
velocidad y la distancia que desciende el uno, es igual a la
recorrida por el otro.
Al no existir fricción, la energía mecánica del sistema se
conserva. La disminución de la energía potencial del objeto
que desciende, se transforma en energía potencial del que
asciende y en energía cinética de ambos.
Se elige como nivel de referencia de la energía potencial la posición del objeto de mayor masa en
el instante en el que la separación de ambos es 2 m. Respecto a esta referencia, la posición inicial
de los dos objetos es 1 m y la posición final del objeto que tiene una masa menor es 2 m.
Aplicando la ley de la conservación de la energía mecánica entre ambas posiciones, se tiene:
ΔEp + ΔEc = 0; Epi, 1 + Eci, 1 + Epi, 2 + Eci, 2 = Epf, 1 + Ecf, 1 + Epf, 2 + Ecf, 2
Por tanto: m1 g h + m2 g h = m1 g 2 · h + 2 m1 v2 + 0 + 2 m2 v2
Operando: g h (m2 - m1) = 2 v2 (m1 + m2)
El primer miembro es la pérdida de energía potencial gravitatoria del sistema y el segundo miembro
es la energía cinética ganada por él conjunto.
Sustituyendo: 9,8 m/s2 1 m (4,1 kg - 4 kg) = 2 (4 kg + 4,1 kg) v2 v = 0,49 m/s
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14. Un automóvil que tiene una velocidad de 72 km/h recorre 50 m hasta que se detiene. Si la
fuerza de rozamiento permanece constante, )qué distancia recorrerá hasta detenerse cuando
la velocidad sea de 108 km/h?
Las velocidades en unidades del SI son: v1 = 72 km/h = 20 m/s; v2 = 108 km/h = 30 m/s
Como solamente hay variaciones de la velocidad del automóvil se aplica la ley de la energía
cinética, para determinar el módulo de la fuerza de rozamiento. El trabajo que realiza la fuerza
resultante se emplea en modificar la energía cinética del automóvil.
WFresultante = ΔEc; Frozamiento Δx = 0 - 2 m v2
Sustituyendo en los casos: Frozamiento Δx1 = - 2 m v12; Frozamiento Δx2 = - 2 m v22
Dividiendo miembro a miembro y como la fuerza de rozamiento permanece constante:
 x1 v12 50 m (20 m/s)2
= ;
=
 x 2 v 22  x 2 (30 m/s)2
Δx2 = 112,5 m
15. Un muelle tiene una constante elástica de 0,4 N/m y lleva adosado un objeto de 100 g de
masa. Calcula el trabajo que hay que realizar y la energía potencial elástica que almacena
cuando se comprime 5 cm. Al soltar el muelle, ¿con qué velocidad sale despedido el objeto?
El trabajo realizado para comprimir el muelle se almacena en forma de energía potencial elástica.
WF = ΔEp elástica = ½ · K · x2 – 0 = ½ · 0,4 N/m · (0,05 m)2 = 5 · 10-4 J
Al soltar el muelle solamente actúa la fuerza elástica y la energía mecánica se conserva.
ΔEc + ΔEp = 0; (½ · m · v2 – 0) + (0 - ½ · K · x2) = 0
Despejando: v 
K ·x 2
0,4 N / m·(0,05m) 2

 0,1m / s
m
0,1kg
16. Una caja que tiene una masa de 20 kg se desplaza por una superficie horizontal que se
opone a su deslizamiento con una fuerza de 40 N. La caja está inicialmente en reposo y se tira
de ella con una fuerza de 50 N. Determina la velocidad de la caja después de recorrer 9 m.
El módulo de la fuerza resultante es:
Fresultante = F - Frozamiento = 50 N - 40 N = 10 N
Como solamente hay variaciones de la velocidad de la caja,
aplicando la ley de la energía cinética:
WFresultante = ΔEc; Fresultante Δx · cos 0º = ΔEc
Y como la velocidad inicial de la caja es cero, se tiene:
Fresultante Δx· cos 0º = 2 m v2; 10 N 9 m · 1 = 2 20 kg v2
v = 3 m/s
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17. La figura muestra el recorrido de una vagoneta en la
montaña rusa de un parque de atracciones. La vagoneta parte
del reposo desde el punto A y tiene una masa de 500 kg cuando
circula con dos pasajeros. Suponiendo que no existe rozamiento
en ninguna parte del recorrido, determina la velocidad de la
vagoneta al pasar por los puntos B y C. ¿Cómo se modifican los
valores de las velocidades cuando la vagoneta traslada al doble
de pasajeros en cada viaje? Si después de pasar por el punto C,
la vagoneta recorre 5 m de pista horizontal hasta que se detiene,
determina la fuerza de rozamiento y la aceleración de frenado.
La energía mecánica asociada a la vagoneta se conserva a lo largo de todo el recorrido, ya que las
únicas fuerzas que actúa son su peso y la fuerza normal y el trabajo que realiza esta fuerza es cero,
por ser perpendicular a la superficie por la que se desplaza la vagoneta.
ΔEc + ΔEp = 0 Ec, A + Ep, A = Ec, B + Ep, B = Ec, C + Ep, C
a) En la posición B: La variación de la energía potencial se transforma en energía cinética.
m g (hA - hB) = 2 m vB2; 9,8 m/s2 5 m = 2 vB2 vB = 9,9 m/s
b) En la posición C: La variación de la energía potencial se transforma en energía cinética.
m g (hA - hC) = 2 m vC2; 9,8 m/s2 2 m = 2 vC2 vC = 6,3 m/s
c) La velocidad con la que pasa la vagoneta por las distintas posiciones no depende ni de su masa ni
de los pasajeros que lleve.
d) A partir del punto C, no se conserva la energía mecánica. La energía mecánica de la vagoneta se
transforma en calor debido al trabajo que realiza la fuerza de rozamiento. Aplicando la ley de la
energía cinética:
WFresultante = ΔEC; Frozamiento Δx cos 180º = 0 - 2 m vC2
Sustituyendo: Frozamiento 5 m · (- 1) = - 2 500 kg (6,3 m/s)2 Frozamiento = 1 984 N
De sentido contrario al movimiento.
Aplicando la segunda ley de Newton: F = m a; 1 984 N = 500 kg a
a = 4 m/s2
18. Un objeto de 8 kg de masa se traslada por una superficie horizontal por la acción de una
fuerza de 60 N que forma un ángulo de 30º con la citada horizontal. Si el objeto arranca
desde el reposo y la fuerza de rozamiento entre las superficies es de 15 N, determina el trabajo
que realiza cada una de las fuerzas y la velocidad del objeto después de recorrer 4 m. Si a
continuación se deja de empujar al objeto, calcula la distancia recorrida hasta que se detiene.
a) Sobre el objeto actúan su peso, la fuerza normal y la fuerza
aplicada. El peso y la fuerza normal no realizan trabajo pues
son perpendiculares al desplazamiento.
El trabajo que realiza la fuerza aplicada es igual que el que
realiza su componente en la dirección del desplazamiento.
Aplicando la definición de trabajo:
WF = F Δx cos = 60 N 4 m cos 30º = 208 J
WFrozamiento = Frozamiento Δr cos 180º = 15 N 4 m (- 1) = - 60 J
El trabajo total es igual a la suma de los trabajos que realizan cada una de las fuerzas, que coincide
con el que realiza la fuerza resultante:
WFresultante = 208 J - 60 J = 148 J
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b) El trabajo que realiza la fuerza resultante se emplea en modificar la energía cinética del objeto.
Aplicando la ley de la energía cinética:
WFresultante = ΔEc = Ec, f - Ec, i = 2 m vf2 - 0; 148 J = 2 8 kg vf2 6 m/s
c) Al dejar de empujar, solamente actúa la fuerza de rozamiento que frena al móvil. Aplicando la
ley de la energía cinética y como el objeto acaba por detenerse, resulta que:
WFrozamiento = ΔEc ; Frozamiento Δr cos 180º = Ec, f - Ec, i;
Sustituyendo: 15 N Δx (- 1) = 0 - 2 8 kg (6 m/s)2  Δx = 9,6 m
19. Una caja de 2 kg de masa se desliza sin rozamiento desde una altura de 3 m por una
superficie inclinada. A continuación accede a una superficie horizontal que presenta un
coeficiente de rozamiento μ = 0,2. ¿Cuál es el valor de su velocidad en la base del plano
inclinado? Calcula la fuerza de rozamiento en la superficie horizontal y la distancia que
recorre por la citada horizontal hasta que se detiene.
a) Entre los puntos A, arriba del plano, y B en la base
del plano inclinado actúan el peso y la fuerza normal y
se conserva la energía mecánica. La energía potencial
gravitatoria asociada al punto A se transforma en
energía cinética en el punto B.
ΔEc + ΔEp = 0; m · g · h = ½ · m · v2
A
3m
B

Frozamiento
x
v B  2·g·h  2·9,8 m / s 2 ·3 m  7,7 m / s
b) En la horizontal actúan su peso, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento y no se conserva la
energía mecánica.
En una superficie horizontal la fuerza de rozamiento es:
Frozamiento = μ · m · g = 0,2 · 2 kg · 9,8 m/s2 = 3,9 N
El trabajo que realiza la fuerza resultante, la fuerza de rozamiento, es igual al incremento de la
energía cinética.
WFresultante = ΔEc; Frozamiento · Δx · cos 180º = 0 – ½ · m · v2
Sustituyendo: 3,9 N · Δx · (- 1) = - ½ · 2 kg · (7,7 m/s)2  Δx = 15,2 m
20. Dos personas elevan objetos de 50 kg de masa desde el suelo hasta
un andamio situado a 4 m de altura. Una lo hace tirando
directamente con una cuerda y la otra se ayuda con un plano
inclinado que tiene una longitud de 8 m, tal y como se muestra en la
figura adjunta. Prescindiendo de la fuerza de rozamiento, ¿quién
realiza más trabajo? ¿Cual de las dos personas actúa con una fuerza
mayor?
Sea el objeto 1 el que se eleva directamente y el objeto 2 el que se sube a
lo largo del plano inclinado.
a) La variación de la energía potencial gravitatoria es la misma para los
dos objetos, ya que depende de la diferencia de altura entre las posiciones consideradas y no de la
distancia recorrida.
ΔEp, objeto 1 = ΔEp, objeto 2 = m g Δh = 50 kg 9,8 m/s2 4 m = 1 960 J
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Aplicando la ley de la energía potencial, ya que los objetos solamente experimentan variaciones de
su posición respecto de la Tierra, se tiene que las dos personas realizan el mismo trabajo, que se
emplea en modificar la energía potencial de los objetos. La fuerza normal que actúa sobre el objeto
2 es perpendicular al tabón y por lo tanto no realiza trabajo.
WF1 = WF2 = ΔEp = 1 960 J
b) En los dos casos la fuerza aplicada tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento.
Para la persona que eleva el objeto directamente:
WF1 = F1 Δr1 cos 0º = F1 h cos 0º; 1 960 J = F1 4 m 1
Que lógicamente coincide con el peso del objeto.
F1 = 490 N
Para la persona que sube el objeto ayudándose con el plano inclinado de longitud L:
WF2 = F2 Δr2 cos 0º = F2 L cos 0º; 1 960 J = F2 8 m 1 F2 = 245 N
El plano inclinado es una máquina simple y como tal, su utilización permite realizar un mismo
trabajo aplicando una fuerza menor.
21. Una persona desea elevar una piedra de 100 kg de masa ayudándose con una palanca de
1,5 m de largo y de masa despreciable. Si el punto de apoyo de la palanca está a 0,5 m de uno
de los extremos, calcula la fuerza que hay que aplicar en el extremo libre. ¿Qué trabajo
realiza la persona cuando la piedra se eleva 20 cm?
Las fuerzas que actúan sobre la palanca son: en los extremos el peso
de la piedra y la fuerza que aplica el operario y en el punto de apoyo
la reacción del mismo sobre la palanca.
Aplicando la ley de la palanca: F1 r1 = F2 r2
Sustituyendo: F 1 m = P 0,5 m = 0; F 1 m = 100 kg 9,8 m/s2
0,5 m
Despejando la fuerza aplicada es: F = 490 N
b) La fuerza R no se desplaza por lo que no realiza trabajo. Aplicando la ley de conservación de la
energía potencial: El trabajo que realiza la fuerza aplicada es igual a la variación de la energía
potencial asociada a la piedra.
WF = ΔEp = m g Δh = 100 kg 9,8 m/s2 0,20 m = 196 J
22. Una grúa eleva paquetes de 500 g de masa a una altura de 8 m en un minuto. Calcula la
potencia que debe tener le motor.
El trabajo que realiza el motor de la grúa es igual a la variación de la energía mecánica de los
paquetes.
Wmotor = ΔEp = m · g · h = 0,5 kg · 9,8 m/s2 · 8 m = 39,2 J
Aplicando la definición de potencia: P 
Wmotor 39,2 J

 0,65 W
t
60s
Soluciones unidad 5. Trabajo y Energía 4º ESO
11
23. Una forma de realizar ejercicio para las personas atareadas es subir y bajar las escaleras
de su casa andando. Un padre, que tiene una masa de 70 kg, y su hija, que tiene una masa de
30 kg, suben andando las escaleras de su casa situada en un 4º piso. Entre planta y planta hay
16 escaleras de 18 cm de alto cada una. Determina el trabajo que realizan y la potencia que
desarrollan si tardan un minuto en subir desde la calle.
Aplicando la ley de la energía potencial: el trabajo que realizan las personas es igual a la variación
de su energía potencial gravitatoria.
La altura hasta la que suben por las escaleras es:
Δh = 4 plantas 16 escaleras/planta 18 cm/escalera = 1 152 cm = 11,52 m
El trabajo que realiza cada una de las personas es:
WPadre = ΔEp = mpadre g Δh = 70 kg 9,8 m/s2 11,52 m = 7 903 J
Wniña = ΔEp = mniña g Δh = 30 kg 9,8 m/s2 11,52 m = 3 387 J
La potencia que transforma cada una de las personas es.
Ppadre =
W
3 387 J
Wpadre 7 903 J
=
= 131,7W ; Pni ña = niña =
= 56,5 W
t
60 s
t
60 s
24. Un automóvil tiene una masa de 1 400 kg y tarda 8 s en alcanzar una velocidad de 108
km/h, desde el reposo. Calcula la potencia mínima que desarrolla el vehículo.
La velocidad en unidades del sistema internacional es: v = 108 km/h = 30 m/s
Aplicando la ley de la energía cinética, el trabajo que realiza la fuerza resultante modifica la energía
cinética del vehículo.
WFresultante = ΔEc = 2 m v 2
1
1
·1 400 kg · (30 m/s)2
·m · v 2
W 2
2
Y su potencia: P = =
=
= 78 750 W
8s
t
t
1CV
Y expresada en CV: P = 78 750 W = 78 750 W ·
= 107 CV
735 W