Clase 8 - Universidad Nacional de La Plata

Matemáticas
Avanzadas
2016
Clase Nro 8
Octavio
Miloni
Matemáticas Avanzadas
2016
Clase Nro 8
Octavio Miloni
Facultad de Cs. Astronómicas y Geofı́sicas - Universidad Nacional de La Plata
Coordenadas Curvilı́neas
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Octavio
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Hasta ahora, los cambios de coordenadas -inducidos por un
cambio de base- estaban definidos de manera lineal, es decir,
en la forma
x 0α = Ψαβ x β = Ψα1 x 1 + Ψα2 x 2 + · · · + Ψαn x n
Donde Ψαβ es una matriz en la que α indica fila y β, columna.
Cambios de coordenadas no lineales
Consideremos ahora, cambios de coordenadas generales, no
necesariamente lineales
x 0α = x 0α (x 1 , x 2 , . . . , x n ),
α = 1, 2, . . . , n
Linealización. Cambios locales.
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Si consideramos que las funciones que definen el cambio de
coordenadas son diferenciables, podemos considerar que en
cada punto tendremos
dx 0α =
∂x 0α β
dx = Ψαβ dx β
∂x β
Más aún, si consideramos el punto como un origen, podemos
considerar que localmente tenemos
x 0α ≈ Ψαβ x β =
∂x 0α β
x
∂x β
Ahora, con esta linealización, podemos notar que un cambio no
lineal también induce, localmente, un cambio de base.
Ejemplo: Coordenadas polares
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Efectuemos el cambio de coordenadas
Octavio
Miloni
x
= r cos(θ)
y
= r sin(θ)
La linealización, será, entonces
dx
= cos(θ)dr − r sin(θ) dθ
dy
= sin(θ)dr + r cos(θ) dθ
Entonces, localmente y en un entorno del punto de la
linealización (considerado como el origen), podemos escribir
x
= cos(θ) r − r sin(θ) θ
y
= sin(θ) r + r cos(θ) θ
Notemos que este cambio es el de las ”viejas” como función de
las ”nuevas”
Coordenadas polares. Continuación
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Con la linealización, entonces, tendremos que la matriz de
cambio de base, Λ, será
cos(θ) sin(θ)
cos(θ) −r sin(θ)
−1
Λ=
, Λ =
cos(θ)
sin(θ) r cos(θ)
− sin(θ)
r
r
Estas son las matrices necesarias para analizar los cambios de
coordenadas para vectores, 1-formas, y tensores en general.
El tensor métrico
En las coordenadas polares, las coordenadas del tensor métrico
serán
0
gµν
= Λαµ Λβν gαβ
Y como en cartesianas y en el producto
interno
canónico la
1
0
métrica es diagonal, tendremos g0 =
0 r2
Derivadas de vectores base
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El hecho de que la base de un espacio vectorial dependa de la
posición (como en el caso de cambio de coordenadas nolineales)
produce que las bases de los espacios ya no sean constantes.
Este aspecto es novedoso y a partir de ahora tendrá sentido la
∂e
expresión ∂x µα .
Como vamos a imponer que la dervación sea parte del espacio
local (llamado espacio tangente) la derivada debe poder ser
escrita como compbinación de los elementos de la base, por tal
motivo, se definen los Sı́mbolos de Christoffel, Γµνα , de manera
tal de que
∂eα
= Γµαβ eµ
β
∂x
Los cuales se pueden obtener a partir de la métrica
∂gνβ
∂gµν
g αβ ∂gµβ
α
Γµ ν =
+
−
2
∂x ν
∂x µ
∂x β
Derivada covariante de un vector contravariante
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Consideremos un vector contravariante ~v = v µ eµ
Calculando la derivada parcial con respecto a x α , tendremos
∂eµ
∂~v
∂v µ
=
eµ + v µ α
α
α
∂x
∂x
∂x
Agrupando ı́ndices convenientemente, podemos escribir
µ
∂~v
∂v
µ ν
=
+ Γνα v eµ
∂x α
∂x α
|
{z
}
derivada covariante
Notación: Vamos a denotar [ ],α =
covariante se utiliza el ”;” Entonces
∂[ ]
∂x α
µ
µ
v;α
= v,α
+ Γµνα v ν
y para la derivada
Derivada covariante de una 1-forma
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Consideremos una 1-forma f = fµ dxµ
Para calcular la derivada covariante de un vector covariante, es
decir, calcular fµ;ν nos valdremos del hecho de que para
cualquier vector contravariante, ~v , f (~v ) es un escalar. Además,
como
fµ v µ ∈ R, [fµ v µ ];ν = [fµ v µ ],ν
Calculando las derivadas a ambos miembros
fµ;ν v µ + fµ v;νµ = fµ,ν v µ + fµ v,νµ
aplicando la expresión de derivada covariante para v µ y
agrupando adecuadamente, se obtiene
fµ;ν = fµ,ν − Γαµν fα
Derivada covariante de Tensores
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Derivada de un tensor dos veces contravariante
0
Dado un tensor del tipo
2
T = T µν eµ ⊗ eν
Al calcular la derivada parcial respecto a x α , aplicando la
propiedad del producto, y el cálculo de la derivada covariante
para coordenadas contravariantes, obtenemos
∂T
µν
= T;α
eµ ⊗ eν
∂x α
con
µν
µν
T;α
= T,α
+ Γµβα T βν + Γνβα T µβ
Derivada covariante de Tensores
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Derivada de un tensor una vez covariante y una vez
contravariante
1
Dado un tensor del tipo
1
T = Tνµ dxν ⊗ eµ
Al calcular la derivada parcial respecto a x α , aplicando la
propiedad del producto, y el cálculo de la derivada covariante
para coordenadas contravariantes, obtenemos
∂T
µ
= Tν;α
dxν ⊗ eµ
∂x α
con
µ
µ
+ Γµβα Tνβ − Γβνα Tβµ
Tν;α
= Tν,α
Derivada covariante de Tensores. Caso general
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p
Para el caso general, de un tensor del tipo
, las
q
µ µ ...µ
coordenadas serán Tν11ν22...νp q
Regla de derivación covariante
µ µ ...µ
q
Por cada ı́ndice contravariante, se incorporan a Tν11ν22...νp ,α
µ µ ...µ
`
+ Γµβα
Tν11ν22...νp `−1
βµ`+1 ...µq
µ µ ...µ
q
Por cada ı́ndice covariante, se incorporan a Tν11ν22...νp ,α
µ µ ...µ
q
− Γβν` α Tν11ν22...ν`−1
βν`+1 ...νp
Ejemplo
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3
Tensor de tipo
2
Con la regla para obtener la derivada covariante, tenemos
Tνµ11νµ22ν3 ;α = Tνµ11νµ22ν3 ,α +
1
2
2
+ Γµβα
Tνβµ
+ Γµβα
Tνµ11νβ2 ν3
1 ν2 ν3
µ1 µ2
µ2
− Γβν1 α Tβν
−Γβν2 α Tνµ11βν
−Γβν3 α Tνµ11νµ22β
2 ν3
3